Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Abril de 2008

Feixes Ópticos 1

1. Feixes gaussianos

Num meio homogéneo e isotrópico o potencial vector satisfaz a equação de onda (com

0k n k , sendo n o índice de refracção do meio e 0 2k c )

2 2equação de Helmholtz 0k A A . (1)

Em coordenadas cilíndricas , ,r z e considerando simetria azimutal, vem

2 2 2

2 2

2 2 2

1t

z r r r z

. (2)

Consideremos, então, um pontencial vector da forma

ˆ, , expr z r z i k z A a (3)

onde a é um vector unitário pertencente ao plano ,x y . Nestas circunstâncias, obtém-se

2 2

2

2 22 ,i k k r z

z z z

AA . (4)

De (1)-(4) infere-se então que

2

2

2equação das ondas 2 0t i k

z z

. (5)

Para uma variação espacial lenta, tal que para z , deverá ter-se

2

kz

z z z

2 Carlos R. Paiva

kz

. (6)

Analogamente

2 2

2 2

1

2

kk

z z z z z

. (7)

Podemos portanto inferir de (5) a chamada equação paraxial

2equação paraxial das ondas 2 0t i kz

. (8)

Vamos, nesta secção, considerar a seguinte solução (ou «ansatz») de (8):

2«ansatz» , exp2

kr z i P z r

q z

. (9)

Note-se que se considera, aqui, uma solução particular; outras soluções poderão existir. Trata-

se, para já, de saber quais as equações que caracterizam as funções P z e q z que são, por

enquanto, desconhecidas. Notando que

2 1

,2

k ri P r z

z q

1

,k

i r zr r q

2 2 2

2 2,

k r ki r z

r q q

resulta de (8)

Feixes Ópticos 3

2

2 212 2 0

k kk r i P

q q q

.

Ora, como esta equação deve ser válida qualquer que seja o valor da distância r , deverá

impor-se

2

1

1 10

P iq

q q

. (10)

Façamos agora, por definição,

1 1 du du u

q u d z d z q . (11)

Logo, da segunda equação de (10), vem

2

20

d uu z a z b

d z

0 0

0

1 10

bq q q z z q

a q z z q

. (12)

Mas então, introduzindo este resultado na primeira equação de (10), tira-se que

0

0

1

ln 1

0 0

P z iz q z

P z iq

P

. (13)

Agora, substituindo (12) e (13) em (9), obtém-se

4 Carlos R. Paiva

20

0 0

, exp2

q kr z i r

q z z q

. (14)

Em particular virá

2

0

,0 exp2

kr i r

q

. (15)

Porém, deverá observar-se a seguinte restrição

lim ,0 0r

r

.

Esta restrição só se verifica desde que

0 0 0, 0q i z z

0q z z i z

tendo-se então

2

2

2

0 0

perfil gaussiano ,0 exp exp2

k rr r

z w

(16)

onde se introduziu, para o parâmetro dito confocal 0z ,

2

00parâmetro confocal

2

k wz . (17)

Infere-se, deste modo, que é possível reescrever (14) na forma alternativa

20feixe gaussiano , , exp

2

q k rx y z i

q z q z

. (18)

Feixes Ópticos 5

Notando que

1

20

00

0 1 1exp tan

11

q zi

zq z zi z

zz

e definindo

2

0

0

2

0

1

1

zw z w

z

zR z z

z

(19)

virá

0

2

00 0

11 1 1 1

1 1

zi

zzq z z i z z zz iz z

2

1 1 2i

q z R z k w z . (20)

Podemos, portanto, escrever (18) na forma mais explícita

2

0

2feixe gaussiano , exp exp ,

w rr z i r z

w z w z

(21)

em que

6 Carlos R. Paiva

2

1

0

,2

tan

k rr z z

R z

zz

z

. (22)

A fase de , ,x y z é ,r z ; a fase de ,r zA , por seu turno, é – de acordo com (3) –

dada por

2

, ,2

k rr z k z r z k z z

R z . (23)

No eixo do feixe, tem-se

0 0,r z k z z (24)

que corresponde a duas contribuições distintas: (i) o termo k z é a fase de uma onda plana; (ii)

o termo z , dado pela segunda equação de (22), corresponde a um desvio de fase em

relação quer a uma onda plana quer a uma onda cujo raio variável é R z dado pela segunda

equação de (19).

●

A constante efectiva de propagação longitudinal effk é tal que

1

eff0

0

0, tanz z

k d z k z z k zz

. (25)

Como

1

2 2tan

d x a

d x a x a

Feixes Ópticos 7

infere-se que

0eff 2 2

0

constante efectiva de

propagação longitudinal

zdk z k n n

d z c z z c

(26)

tendo-se

2

0eff 0 2

wk k z

w z . (27)

Em particular, para 0z , obtém-se

eff 2

0

20 0z k k

kw . (28)

Interpretação física: O resultado expresso em (28) tem uma explicação física interessante.

Admitindo, com efeito, que os valores típicos de xk e yk são dados por

0

2x yk k

w

infere-se que

2 2

2 2 2 2

2

0

2

2

x y

x y z z

k kk k k k k k k

k k w

.

de acordo com o valor efectivo dado por (28).

Isto significa que é possível definir uma velocidade de fase (efectiva) tal que

8 Carlos R. Paiva

1 1

2 2 2 2

eff

2 21 1p

cv z

k z k w z k k w z n

2 2

21

p

cn

v z k w z

. (29)

A intensidade óptica ,I r z é proporcional a 2

,r z , i.e., tem-se

22

00 2

intensidade óptica do 2, exp

feixe gaussiano

w rI r z I

w z w z

. (30)

Na Fig. 1 representa-se graficamente a intensidade óptica normalizada 0I I em função de

0r w para diferentes valores de 0z z . Na Fig. 2, por outro lado, representa-se graficamente

0I I em função de 0z z ao longo do eixo óptico do feixe (i.e., para 0r ). Note-se que a

potência óptica total do feixe gaussiano é finita (ao contrário de uma onda plana) e dada por

(como não há perdas, esta potência é independente do plano transversal z onde é calculada e,

portanto, pode ser calculada no plano 0z para facilitar os cálculos)

2

0 0 0, 2 ,P I r z r dr d I r z r dr

2 2

2

0 0 02 200 0 0

2 1 22 exp exp

2

r rP I r d r I w

w w

200

potência óptica do

feixe gaussiano 2

IP w . (31)

Esta última expressão mostra que a potência total do feixe é igual ao produto de metade da

intensidade óptica máxima pela área (efectiva) do feixe – entendida esta última como

2

0A w .

Feixes Ópticos 9

Figura 1 Intensidade óptica normalizada 0I I em função da distância radial (também

normalizada) 0r w para três valores diferentes da distância axial: (i) 0z ; (ii) 0z z ; (iii)

02z z .

Figura 2 Intensidade óptica normalizada 0I I em função da distância axial (também

normalizada) 0z z ao longo do eixo óptico do feixe, i.e., para 0r .

10 Carlos R. Paiva

A largura do feixe é caracterizada pela função w z , tal como se ilustra na Fig. 3. Para 0z

esta largura assume o seu valor mínimo 0w que se designa por cintura do feixe e que

caracteriza, como se viu, a sua área efectiva. O efeito da difracção (ou dispersão) espacial é,

assim, caracterizado pelo alargamento de 0w z w tal como se indica na Fig. 3. Note-se que,

de acordo com a primeira equação de (19), um feixe gaussiano de cintura 0w apresenta uma

divergência espacial que está assimptoticamente contida num cone cujo ângulo 0 é tal que

2 2 0 00 0

0 0 0

2tan

w wz z w z z

z z kw

2 20

0 0

conew

r z x y zz n w

1

0

0 0

tann w n w

. (32)

Na Fig. 4 representa-se a desfasagem z introduzida na segunda equação de (22).

●

A função R z , que se representa graficamente na Fig. 5, caracteriza o raio de curvatura da

frente de onda do feixe gaussiano. Com efeito, as superfícies de fase constante satisfazem a

equação (com q inteiro) , 2r z q , ou seja,

2

superfícies de fase constante 22

rk z z q

R z

.

Como as funções R z e z variam lentamente com z , podemos considerar que elas são

aproximadamente constantes nas superfícies de fase constante. Assim, como 0k n k e

0 2k , as superfícies de fase constante são superfícies de um parabolóide

Feixes Ópticos 11

2superfície de um parabolóide

de raio de curvatura 2 2

rz c c q

R R n

(33)

tal como se indica na Fig. 6 para diferentes valores de R e admitindo que não varia.

Figura 3 Largura normalizada 0w z w do feixe gaussiano em função da distância axial

normalizada 0z z . Para 0z z a largura reduz-se ao seu valor mínimo – a cintura 0w w .

Note-se que, para uma onda esférica, se tem

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 21 1

2

x y r rr z R x y z z z z

z z z

21 1onda esférica exp exp exp

2

ki k R i r i k z

R R R

. (34)

Ao comparar a fase da onda esférica em (34) com (23) entende-se melhor o significado de

R z num feixe gaussiano.

12 Carlos R. Paiva

Figura 4 Desfasagem z em função da distância axial normalizada 0z z .

Figura 5 Raio de curvatura normalizado 0R z z das frentes de onda de um feixe gaussiano

em função da distância axial normalizada 0z z .

Feixes Ópticos 13

Figura 6 Superfície de um parabolóide caracterizado por (33) para diferentes valores da

curvatura R e considerando fixo o valor de c .

Exemplo numérico: A saída de uma cavidade laser é um feixe gaussiano. Considerando um

feixe gaussiano com uma cintura 0 1 mmw , para um comprimento de onda 1.06 m ,

infere-se que o parâmetro confocal é 0 3mz . Para uma distância 10 mz , tem-se

3.5 mmw z , 10.9 mR z e um ângulo de divergência espacial 0 0.02 .

14 Carlos R. Paiva

2. Difracção de Fresnel

Em (1) a constante de propagação longitudinal k é tal que

2

2 2 2 2 2 2

0

2x y z

nk k k k n k

. (35)

A solução geral da equação de onda (1), fazendo

ˆ, , , ,x y z u x y zA a (36)

em vez de (3), é dada pelo feixe óptico

0

feixe, , , exp

ópticox y x yu x y z U k k i d k d k

k r (37)

em que

x y zk x k y k z k r . (38)

Como sempre omite-se, estando contudo subentendida, a variação temporal com exp i t .

Nota: Não é por acaso que, em (36), , ,u x y z se refere ao potencial vector A e não, por

exemplo, ao campo eléctrico. Podemos, portanto, colocar a seguinte questão: seria possível

escrever, em vez de (36), ˆ, , , ,x y z u x y zE a ? A resposta é: em geral, não. Porque, num

meio homogéneo e isotrópico, se tem 0 E e daí que, no caso geral, deveria ser

ˆ ˆ 0u u a a o que não é verdade. No caso do potencial vector é possível considerar,

por outro lado, que 0 A . É essa a razão para a escolha do potencial vector em (36).

Assim, de acordo com (35), podemos ainda escrever (37) na forma alternativa

Feixes Ópticos 15

0 0ˆ , , , expx y x yu x y z U k k i nk dk dk

k r . (39)

Nota importante: De acordo com (35) não é necessária a integração em zk na equação (37).

Com efeito, tem-se

2 2

2 2 2

21

x y

z x y

k kk k k k k

k

. (40)

Isto significa que, com base em (35), zk fica determinado desde que se conheçam xk , yk e k .

O caso em que se quer, apenas, conhecer o perfil do feixe óptico no plano 0z resulta então

imediatamente de (37): fazendo 0 , , ,0u x y u x y , vem

0 00 , , expx y x y x yz u x y U k k i k x k y dk dk

. (41)

Note-se que esta última equação tem a forma de um integral bi-dimensional de Fourier. A sua

transformada inversa será dada por

0 02

amplitude 1, , exp

espectral 2x y x yU k k u x y i k x k y d x d y

.(42)

Só no caso particular em que 0 0,x yU k k U é que resulta de (39) a solução especial

0 0 0

onda plana e, , exp exp

monocromáticau x y z U i U i n k k r (43)

que tem associada uma energia infinita – daí que a sua existência física individual não seja

possível; um feixe óptico, por outro lado, é fisicamente realizável de acordo com (31).

Consideremos, agora, o caso em que

16 Carlos R. Paiva

0

1, e ,

0, ou

x a y bu x y

x a y b

. (44)

De acordo com (42) vem, para este caso,

0

sin

,sin

x

a x

x

x y a x b y

y

b y

y

k aaU k

k aU k k U k U k

k bbU k

k b

. (45)

Na Fig. 7 representa-se graficamente /a xU k a em função de xk a ; a função

/b yU k b tem um andamento semelhante.

Figura 7 Transformada de Fourier (normalizada) /a xU k a em função de xk a . A

envolvente assinalada corresponde à função 1 xk a .

Notemos que: (i) para xk a a amplitude espectral a xU k pode ser considerada

desprezável; (ii) a constante de propagação é zk k para 2 2 2

x yk k k . Então, de acordo com

Feixes Ópticos 17

a Fig. 8, uma estimativa razoável para o ângulo de divergência espacial deste feixe óptico será

dada por

tan2

xx x

z

k

k k a n a

(46)

tendo-se, analogamente,

2

yn b

. (47)

Figura 8 Estimativa da divergência espacial de um feixe óptico segundo o eixo transversal

x . Considera-se a situação descrita em (44)-(47). Considerações análogas poderiam ser

feitas para a divergência espacial segundo o outro eixo transversal, i.e., o eixo y .

●

A solução apresentada na equação (37) pode ser reescrita na forma

0, , , exp expx y x y z x yu x y z U k k i k x k y i k z dk dk

. (48)

xka

0zk k n k

x

18 Carlos R. Paiva

Comentário: Note-se, assim, que é possível determinar , ,u x y z para 0z a partir de

0 ,u x y . Basta começar por calcular a amplitude espectral 0 ,x yU k k a partir de (42) e, de

seguida, calcular o integral em (48) tendo (40) em consideração. Este cálculo, porém, é – pelo

menos do ponto de vista analítico – em geral complicado.

Para um feixe óptico paraxial, em que se pode considerar que 0 ,x yU k k só assume valores

significativos para ,x yk k k , podemos aproximar a expressão (40) por

2 2 2 2 2 2

2 2

aproximação1 1

paraxial 2 2

x y x y x y

z

k k k k k kk k k k

k k k

. (49)

No âmbito desta aproximação é possível reformular (48) como segue

2 2

0

, , , , exp

, , , exp exp2

x y

x y x y x y

u x y z x y z i k z

k kx y z U k k i z i k x k y d k d k

k

(50)

de modo que, se se introduzir a função de transferência , ;x yk k zH tal que

0

2 2

, ; , ; ,

, ; exp2

x y x y x y

x y

x y

U k k z k k z U k k

k kk k z i z

k

H

H

(51)

vem ainda

, , , ; expx y x y x yx y z U k k z i k x k y dk dk

. (52)

Feixes Ópticos 19

Em síntese: Para calcular, na aproximação paraxial, , ,x y z a partir de

0 0, ,x y u x y basta começar por calcular 0 ,x yU k k usando (42); calcular,

seguidamente, , ;x yU k k z de acordo com (51); aplicar, finalmente, (50) tendo em

consideração a equação (52).

0 0 0, , , , ; , , , ,x y x yu x y x y U k k U k k z x y z u x y z

Substituindo (42) em (52) , tendo ainda em consideração as equações (51), obtém-se então

0 0 0 1 0 2 0 0 02

1, , , , , , ,

2x y z x y J x x z J y y z d x d y

(53)

onde se introduziram as funções

2

1 0 0

2

2 0 0

, , exp exp2

, , exp exp2

xx x

y

y y

kJ x x z i z i k x x d k

k

kJ y y z i z i k y y d k

k

.

Estas funções podem ser calculadas com base no integral

2

2exp exp4

bax bx d x

a a

. (54)

Vem então

2

0

1 0

2

0

2 0

2, , exp

2

2, , exp

2

k x xkJ x x z i

i z z

k y ykJ y y z i

i z z

. (55)

20 Carlos R. Paiva

Logo, substituindo estas expressões em (53), obtém-se o integral de Fresnel

2 2

0 0 0 0 0 0 0

Integral de difracção de Fresnel:

, , , exp2

i kx y z x y i x x y y d x d y

z z

. (56)

Este integral de difracção permite calcular , ,x y z a partir do conhecimento da distribuição

0 ,x y sobre o plano 0z . O feixe óptico total , ,u x y z pode então ser calculado usando

a primeira equação de (50). A resposta impulsiva , ,h x y z (ou o kernel de Fresnel) para

0 ,x y x y (57)

é dada por

2 2kernel de Fresnel , , exp2

i kh x y z i x y

z z

. (58)

Note-se que, deste modo, o integral de difracção de Fresnel pode ser escrito como a

convolução de , ,h x y z com 0 ,x y :

0convolução , , , , ,x y z h x y z x y . (59)

●

Consideremos agora, como exemplo de aplicação, a distribuição

2 2

0 2

0

perfil gaussiano , expx y

x yw

. (60)

Feixes Ópticos 21

Note-se que, neste caso, resulta de (42) que

2

00

0 2

0

0

exp2

,

exp2

xa x

x y a x b y

y

b y

k wU k w

U k k U k U kk w

U k w

(61)

onde se recorreu, mais uma vez, a (54). Considerando que, para 0, 2x yk k w , a amplitude

espectral 0 ,x yU k k é desprezável, infere-se que uma estimativa razoável do ângulo 0 de

divergência espacial é dada por

0 0

0 0

2tan

yx

z z

kk

k k kw n w

(62)

o que está de acordo com o resultado (32) obtido anteriormente através de um método

diferente. Após substituir o perfil (60) em (56), obtém-se

, , , ,a b

ix y z J x z J y z

z (63)

em que

220

0 02

0

220

0 02

0

, exp exp2

, exp exp2

a

b

x kJ x z i x x d x

w z

y kJ x z i y y d y

w z

.

Notando que

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0 0

2

2

x x x x x x

y y y y y y

22 Carlos R. Paiva

infere-se

22 00 02

0

22 00 02

0

1, exp exp exp

2 2

1, exp exp exp

2 2

a

b

k xxk x kJ x z i i x i d x

z w z z

k y yk y kJ y z i i y i d y

z w z z

. (64)

Este integrais podem, novamente, ser calculados através de (54). Atendendo a que

2 2

00

2 2

00

, exp exp2 2

, exp exp2 2

a

b

zz k x k xJ x z w i

q z z q z z

zz k y k yJ y z w i

q z z q z z

resulta então de (63) que

20feixe gaussiano , , exp

2

q k rx y z i

q z q z

. (65)

Esta equação coincide com o resultado obtido previamente – a equação (18) – usando um

método completamente diferente.

Conclusão: O integral da difracção de Fresnel permite determinar a evolução espacial de um

feixe óptico paraxial como o feixe gaussiano. A evolução espacial de um feixe gaussiano tinha

sido obtida anteriormente por um método alternativo baseado na resolução da equação

paraxial de onda supondo, como solução particular, o «ansatz» (9).

Feixes Ópticos 23

Bibliografia Básica

Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 3: pp. 74-101).

Bibliografia Complementar

Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 2: pp. 66-

109).

Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-

Hall, 1984 (Chapters 4-5: pp. 81-157).

Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986 (Chapters

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Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988 (Chapter 14: pp.

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