Departamento - files.isec.ptfiles.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Keila... · 4.3 Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos elementos finitos

Departamento

De Engenharia Civil

AAnnáálliissee EEssttrruuttuurraall ddee EEddiiffíícciiooss ddee BBeettããoo AArrmmaaddoo Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em

Construção Urbana

Autor

Keila Samira Garcia Robalo

Orientador

Prof. Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo

Instituição

Instituto Politécnico de Coimbra

Instituto Superior de Engenharia de Coimbra

Coimbra, Maio, 2011

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado AGRADECIMENTO

Keila S. G. Robalo. iii

AGRADECIMENTO

Ao terminar esta Tese de Mestrado resta-me registar os sinceros agradecimentos às

individualidades que de várias formas contribuíram para que esta se tornasse numa realidade.

Ao Professor Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo, orientador da Tese de Mestrado, por

toda a dedicação, compreensão e amizade demonstrada, pelos inúmeros ensinamentos

recebidos, sugestões preciosas, colaboração prestada e pelo estímulo e exigência crescente

que foi impondo à medida que este trabalho caminhava para o seu término.

À Computer and Structures, Inc. (CSI), pelo inestimável contributo prestado nesta

investigação, tendo sido fundamental na prossecução do trabalho, ao ceder-me gratuitamente

o programa de cálculo SAP2000.

Ao Vander Neves, pela amizade e ajuda na realização deste trabalho.

À minha família, amigos e colegas, em especial à Isolina Spencer, pelo apoio, pelas oportunas

manifestações de companheirismo, pelo incentivo e afecto demonstrados ao longo do período

da realização desta dissertação.

A todos o meu profundo agradecimento.

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado RESUMO

Keila S. G. Robalo. iv

RESUMO

Na presente dissertação elaborou-se uma análise estrutural de um edifício de betão armado

usando vários modelos de cálculo, desde os mais simples até aos mais sofisticados como o

método dos elementos finitos. O objectivo foi realizar um estudo comparativo entre as

diversas modelações de modo a perceber a influência de certos parâmetros nos esforços dos

elementos estruturais. Os elementos analisados foram: lajes apoiadas em vigas, lajes

fungiformes e pórticos.

Os esforços nas lajes vigadas foram determinados recorrendo às tabelas de Barés e ao

programa Sap2000 utilizando elementos finitos shell para a modelação das lajes. Neste estudo

as lajes foram analisadas considerando as seguintes hipóteses de cálculo: consideração, ou

não, da deformação por corte das lajes (teoria de Reissner-Mindlin e de Kirchhoff), variação

da rigidez à torção da laje, variação da rigidez à flexão e à torção das vigas.

Para o mesmo edifício apresentou-se uma outra solução estrutural, a laje fungiforme. Os

esforços na laje fungiforme foram calculados pelo método dos pórticos equivalentes e pelo

método dos elementos finitos, onde a laje foi modelada mais uma vez com o elemento shell e

os pilares como apoios pontuais. Para além da análise comparativa dos esforços obtidos pelos

dois métodos foram também apresentadas algumas considerações sobre a redução dos

momentos negativos máximos nas lajes.

Por fim, a estrutura do edifício, mais especificamente os pilares e as vigas, foi analisada

considerando diversas modelações, modelação plana dos pórticos e uma modelação

tridimensional dos pórticos com e sem laje. Os resultados provenientes dos diversos modelos

estruturais foram comparados entre si, as diferenças foram analisadas e foram também

apresentadas informações que permitem compreender melhor as razões dessas diferenças.

Realizou-se ainda uma análise comparativa da quantidade de armadura longitudinal em vigas

e pilares determinada para cada modelo.

Palavras-Chave: betão armado, análise estrutural, método dos elementos finitos, modelação,

projecto de estruturas.

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ABSTRACT

Keila S. G. Robalo. v

ABSTRACT

In this dissertation was elaborated a structural analysis of a reinforced concrete building using

various calculation models, from the simplest to the most sophisticated as the finite element

method. The goal was to conduct a comparative study between the different modulations in

order to understand the influence of certain parameters in the efforts of structural elements.

The analyzed elements were: slabs supported by beams, flat slabs and frames.

The efforts on the beamed slabs were determined applying the Barés tables and the Sap2000

program using shell finite elements for modelling the slabs. In this study, the slabs were

analyzed considering the following assumptions of calculation: consideration, or not, of

deformation by cutting the slabs (Reissner-Mindlin and Kirchhoff´s theory), variation of the

torsional stiffness of the slab, the variation of bending stiffness and torsion of the beams.

For the same building, it was presented another structural solution, the flat slabs. The efforts

on the flat slabs were calculated by the equivalent frame analysis and by the finite elements

method, where the slabs were modelled with the shell element and the columns as a punctual

support. Besides a comparative analysis of efforts obtained by the two methods, it was also

presented some thoughts on reducing the maximum negative moments in the slabs.

Finally, the structure of the building, specifically the columns and beams, has been analyzed

considering several modelling, plane modelling of frames and three-dimensional modelling of

frames, with and without slab. The results from the various structural models were compared,

and then the differences were analyzed and were given information to enable better

understanding the reasons for these differences. It was also held a comparative analysis of the

amount of longitudinal reinforcement in beams and columns determined for each model.

Keywords: reinforced concrete, structural analysis, finite element method, modelling, design

of structures.

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE

Keila S. G. Robalo. vi

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTO ..................................................................................................................................... III

RESUMO ........................................................................................................................................................ IV

ABSTRACT ...................................................................................................................................................... V

ÍNDICE GERAL ............................................................................................................................................ VI

ÍNDICE DAS FIGURAS ............................................................................................................................ VIII

ÍNDICE DOS QUADROS .............................................................................................................................. XI

1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 11

1.1 Enquadramento....................................................................................................................................... 11

1.2 Objectivos e Metodologia ....................................................................................................................... 12

1.3 Organização da tese ................................................................................................................................ 13

2. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO A ANALISAR ........................................................................................... 14

3. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES VIGADAS DE BETÃO ARMADO ........................................ 21

3.1 Análise de lajes vigadas de betão armado recorrendo às tabelas .............................................................. 24

3.1.1 Aplicação do modelo ...................................................................................................................... 24

3.1.1.1 Cálculos dos momentos positivos ........................................................................................ 26

3.1.1.2 Cálculo dos momentos negativos ......................................................................................... 26

3.1.1.3 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade ............................................ 26

3.1.1.4 Ajuste do momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo...................... 28

3.2 Análise de lajes maciças vigadas pelo método dos elementos finitos ....................................................... 35

3.2.1 Aplicação do modelo para análise global da laje ............................................................................. 36

3.2.1.1 Modelação geométrica e condições de apoios ...................................................................... 36

3.2.1.2 Formulação do modelo ........................................................................................................ 36

3.2.1.3 Cargas actuantes e carregamento a considerar na modelação ............................................... 38

3.2.1.4 Apresentação dos resultados dos momentos flectores nas lajes ............................................ 38

3.2.1.5 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da teoria utilizada na modelação das

lajes…………….. ............................................................................................................................ 39

3.2.1.6 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à flexão das vigas de

apoios……….. ................................................................................................................................. 40

3.2.1.7 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção da laje ............. 41

3.2.1.8 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção da viga. ........... 42

3.2.2 Aplicação do método dos elementos finitos para análise da laje L1 isoladamente ........................... 44

3.2.2.1 Apresentação dos resultados ................................................................................................ 45

3.2.2.2 Análise dos esforços ............................................................................................................ 45

3.3 Análise comparativa dos esforços obtidos recorrendo ao uso das tabelas de Barés e pelo método dos

elementos finitos ........................................................................................................................................... 46

3.3.1 Análise comparativa dos momentos flectores.................................................................................. 46

3.3.2 Análise comparativa da quantidade das armaduras longitudinais principais .................................... 51

4. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES FUNGIFORMES ..................................................................... 53

4.1 Generalidades ......................................................................................................................................... 53

4.2 Análise das lajes fungiformes pelo método dos pórticos equivalentes ..................................................... 56

4.2.1 Aplicação do Modelo ..................................................................................................................... 60

4.3 Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos elementos finitos .............................................. 69

4.3.1 Modelação ...................................................................................................................................... 69

4.3.2 Apresentação dos resultados: .......................................................................................................... 70

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE

Keila S. G. Robalo. vii

4.3.3 Redução dos momentos negativos máximos ................................................................................... 71

4.4 Análise comparativa dos esforços obtidos pelo método dos pórticos equivalentes e pelo método dos

elementos finitos ........................................................................................................................................... 72

4.4.1 Análise comparativa dos momentos flectores nos vãos ................................................................... 72

4.4.2 Análise comparativa dos momentos flectores nos apoios. ............................................................... 73

4.4.3 Considerações gerais ...................................................................................................................... 76

5. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS ESPACIAIS PÓRTICADAS DE BETÃO ARMADO ........................ 77

5.1 Estrutura a analisar ................................................................................................................................. 77

5.2 Quantificações e combinações das acções ............................................................................................... 78

5.3 Modelação dos pórticos .......................................................................................................................... 78

5.3.1 Modelação plana dos pórticos ......................................................................................................... 78

5.3.2 Modelação tridimensional dos pórticos ........................................................................................... 81

5.4 Apresentação e análise comparativa dos resultados ................................................................................. 83

5.4.1 Esforços nas vigas seleccionadas .................................................................................................... 83

5.4.2 Cálculo das armaduras longitudinais na viga do 1º piso do Pórtico 1............................................... 91

5.4.3 Esforços nos pilares ........................................................................................................................ 92

5.4.4 Análise comparativa das quantidades de armaduras longitudinais nos pilares.................................. 93

5.4.4.1 Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar ............................................................... 93

5.4.4.2 Determinação do limite de esbelteza do pilar, λlim. ............................................................. 95

5.4.4.3 Determinação do momento de dimensionamento MEd ........................................................ 96

5.4.4.4 Cálculo das armaduras longitudinais .................................................................................... 97

6. CONCLUSÕES GERAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ........................................................ 99

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................................... 103

ANEXOS ........................................................................................................................................................ 106

Anexo I: Análise das lajes maciças vigadas recorrendo às tabelas de Barés ................................................. 106

Anexo II: Análise das lajes maciças fungiformes através do método dos pórticos equivalentes.................... 131

Anexo III: Quantificações das acções nos pórticos ...................................................................................... 145

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE DE FIGURAS

Keila S. G. Robalo. viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Projecto arquitectónico e projecto estrutural. .................................................................................. 14

Figura 2.2 – Planta do piso 0.............................................................................................................................. 15

Figura 2.3 – Planta dos pisos 1, 2, 3 e 4. ............................................................................................................ 16

Figura 2.4 – Cobertura. ...................................................................................................................................... 17

Figura 2.5 – Casa das máquinas. ........................................................................................................................ 18

Figura 2.6 – Alçado principal. ........................................................................................................................... 19

Figura 2.7 – Alçado posterior. ........................................................................................................................... 19

Figura 2.8 – Alçado posterior esquerdo. ............................................................................................................. 20

Figura 3.1– Definição das rotações segundo Kirchhoff (Castro, 2007). .............................................................. 22

Figura 3.2 – Deformação da secção transversal de uma laje; teoria de Mindlin (Castro, 2007). .......................... 22

Figura 3.3 – Planta estrutural do piso tipo. ......................................................................................................... 25

Figura 3.4 – Momentos na laje L1 e nas lajes adjacentes. ................................................................................... 27

Figura 3.5 – Elementos finitos de casca de quatro e três nós, respectivamente (SAP2000 Basic Analysis

Reference Manual, 2009). .................................................................................................................................. 35

Figura 3.6 – Discretização e condiçoes de apoios do pavimento em estudo. ....................................................... 36

Figura 3.7 – Diagramas de momentos flectores para as condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1, respectivamente. ... 41

Figura 3.8 – Modelo 1: Discretização e condições de apoio da laje L1 ............................................................... 44

Figura 3.9 – Modelo 2: Discretização e condições de apoio da laje L1 ............................................................... 44

Figura 3.10 – Momento flector na direcção X. ................................................................................................... 46

Figura 3.11 – Momento flector na direcção Y. ................................................................................................... 47

Figura 3.12 – Momento torsor. .......................................................................................................................... 47

Figura 3.13 – Momentos flectores determinados usando as tabelas de Barés. ..................................................... 48

Figura 3.14 – Momento flector na direcção X e Y, respectivamente. .................................................................. 48

Figura 3.15 – Traçado aproximado do diagrama dos momentos flectores dados pelo método das tabelas de Barés.

.......................................................................................................................................................................... 49

Figura 3.16 – Momento flector na direcção X: corte AA’................................................................................... 49

Figura 3.17 – Momento flector na direcção X: corte BB’. .................................................................................. 49

Figura 3.18 – Momento flector na direcção X: corte CC’. .................................................................................. 50

Figura 3.19 – Momento flector na direcção Y: corte DD’ .................................................................................. 50

Figura 3.20 – Momento flector na direcção Y: corte EE’ ................................................................................... 50

Figura 3.21 – Momento flector na direcção Y: corte FF’ .................................................................................... 50

Figura 4.1– Laje fungiforme com capitel e com espessamento (Henrichs, 2003). ............................................... 53

Figura 4.2 – Laje fungiforme maciça (Ramos, 2006). ........................................................................................ 54

Figura 4.3 – Laje aligeirada com moldes recuperáveis e com moldes embebidos (Ramos, 2006 e Martins, 2009).

.......................................................................................................................................................................... 54

Figura 4.4 – Dimensões mínimas dos pilares. .................................................................................................... 55

Figura 4.5 – Analogia dos pilares circulares com pilares quadrados. .................................................................. 55

Figura 4.6 – Pórticos equivalentes na direcção X (estrutura com um piso). ........................................................ 56

Figura 4.7 – Pórticos equivalentes na direcção Y (estrutura com um piso). ........................................................ 56

Figura 4.8 – Cargas a considerar nos pórticos. ................................................................................................... 56

Figura 4.9 – Acções verticais e geometria do pórtico 2y. ................................................................................... 57

Figura 4.10 – Divisão dos pórticos em faixas (EC2-1-1). ................................................................................... 57

Figura 4.11 – Largura efectiva, be, de uma laje fungiforme (EC2-1-1). .............................................................. 58

Figura 4.12 – Distribuição dos momentos nas faixas do Pórtico 2Y. .................................................................. 58

Figura 4.13 – Disposição dos pilares (Montoya et al). ........................................................................................ 59

Figura 4.14 – Limites máximos para a aplicação do método do pórtico equivalente, na análise de lajes

fungiformes com aberturas (Martins, 2009). ...................................................................................................... 60

Figura 4.15 – Pavimento tomado como exemplo para a análise dos esforços. ..................................................... 60

Figura 4.16 – Pórticos na Direcção X................................................................................................................. 61

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE DE FIGURAS

Keila S. G. Robalo. ix

Figura 4.17 – Pórticos na Direcção Y................................................................................................................. 62

Figura 4.18- Carregamentos no pórtico2x .......................................................................................................... 63

Figura 4.19 – Modelo de cálculo dos pórticos. ................................................................................................... 64

Figura 4.20- Divisão dos pórticos na direcção x em faixas sobre pilares e faixas centrais segundo EC2-1-1. ...... 66

Figura 4.21 – Divisão dos pórticos na direcção y em faixas sobre pilares e faixas centrais segundo EC2-1-1. .... 66

Figura 4.22 – Momentos flectores na direcção X. .............................................................................................. 68

Figura 4.23 – Momentos flectores na direcção Y. .............................................................................................. 68

Figura 4.24 - Discretização da laje e condições de apoios. ................................................................................. 69

Figura 4.25 – Momento flector na direcção X (M11). .......................................................................................... 70

Figura 4.26 – Momento flector na direcção Y (M22). .......................................................................................... 70

Figura 4.27 – Momento torsor (M12). ................................................................................................................. 71

Figura 4.28 - Redução do momento sobre o apoio (Carmo, 2010) ...................................................................... 71

Figura 4.29 – Zonas da laje sujeitas à análise comparativa dos esforços. ............................................................ 72

Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores Mx na secção BB'. .................................................................... 72

Figura 4.31 – Diagrama dos momentos flectores My na secção HH’. ................................................................. 73

Figura 4.32– Diagrama de momentos flectores Mx na secção AA’. .................................................................... 73

Figura 4.33 – Diagrama dos momentos flectores Mx na secção CC’. .................................................................. 74

Figura 4.34 - Diagrama dos momentos flectores Mx na secção DD’. .................................................................. 74

Figura 4.35– Diagrama dos momentos flectores Mx na secção EE’. ................................................................... 75

Figura 4.36 - Diagrama dos momentos flectores My na secção FF’. .................................................................... 75

Figura 4.37 – Diagrama dos momentos flectores My na secção GG’. ................................................................. 76

Figura 5.1 – Pórticos Planos em planta .............................................................................................................. 79

Figura 5.2– Pórticos Planos: vista posterior (Pórtico 1). ..................................................................................... 79

Figura 5.3- Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas. .................................... 80

Figura 5.4 – Simplificações adoptadas. .............................................................................................................. 80

Figura 5.5 - Carga permanente no Pórtico 1. ...................................................................................................... 81

Figura 5.6 – Sobrecarga no Pórtico 1. ................................................................................................................ 81

Figura 5.7 – Modelação tridimensional dos pórticos sem laje. ............................................................................ 82

Figura 5.8 – Modelação tridimensional dos pórticos com laje. ........................................................................... 82

Figura 5.9 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ............................................... 83

Figura 5.10 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ............................................ 84

Figura 5.11 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 1 do 1º piso. .................................................... 84

Figura 5.12 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 1 do 1º piso ............................................... 84

Figura 5.13 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 4 do 1º piso .............................................. 86

Figura 5.14 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 4 do 1º piso. ............................................ 86

Figura 5.15 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 4 do 1º piso ..................................................... 86

Figura 5.16 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 4 do 1º piso ............................................... 86

Figura 5.17 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 12 do 1º piso ............................................ 87

Figura 5.18 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 12 do 1º piso ........................................... 88

Figura 5.19 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 12 do 1º piso .................................................... 88

Figura 5.20 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 12 do 1º piso. ............................................ 88

Figura 5.21 – Diagramas d os momentos flectores na viga do pórtico 13 do 1º piso ........................................... 89

Figura 5.22 – Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso ........................................... 89

Figura 5.23 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 13 do 1º piso .................................................... 90

Figura 5.24 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 13 do 1º piso ............................................. 90

Figura 5.25 – Armadura longitudinal, As (cm2), da viga do Pórtico 1 do 1º piso. ................................................ 91

Figura 5.26 – Determinação da rigidez da ligação: a) Pórtico na direcção X; b) Pórtico na direcção Y. .............. 94

Figura 5.27 – Momento de dimensionamento (Moss e Brooker). ....................................................................... 96

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE DE QUADROS

Keila S. G. Robalo. x

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 3.1– Momentos máximos na laje L1. ..................................................................................................... 32

Quadro 3.2 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Reissner-Mindlin/ Timoshenko

.......................................................................................................................................................................... 38

Quadro 3.3 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/ Timoshenko ........ 39

Quadro 3.4 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/Navier- Bernoulli . 39

Quadro 3.5 – Diferença entre os momentos obtidos considerando as condições de cálculos 1.1 e as restantes

condições de cálculos (2.1 e 3.1)........................................................................................................................ 40

Quadro 3.6 – Momentos máximos na laje L1 tendo em conta o efeito da rigidez à torção das vigas de apoios ... 42

Quadro 3.7 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os modelos que

consideram J=0.................................................................................................................................................. 43

Quadro 3.8 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os modelos que

consideram J=0,5 ............................................................................................................................................... 43

Quadro 3.9 – Momentos positivos máximos na laje L1 ...................................................................................... 45

Quadro 3.10 – Momentos negativos máximos na laje L1 ................................................................................... 45

Quadro 3.11 – Diferença (em percentagem) entre os momentos de dimensionamento dados pelo método dos

elementos finitos e método das tabelas. .............................................................................................................. 48

Quadro 3.12 – Armaduras longitudinais da laje L1 ............................................................................................ 52

Quadro 4.1 – Espessuras a adoptar numa laje fungiforme (Marchão e Appleton, 2009) ..................................... 55

Quadro 4.2 – Distribuição simplificada dos momentos flectores numa laje fungiforme segundo EC2 e REBAP

(Carmo, 2010). .................................................................................................................................................. 57

Quadro 4.3 – Momentos máximos nos pórticos longitudinais ............................................................................ 64

Quadro 4.4 – Momentos máximos nos pórticos transversais .............................................................................. 65

Quadro 4.5 – Distribuição dos momentos no Pórtico 2x ..................................................................................... 67

Quadro 5.1– Esforços nos pilares P2, P13 e P16 ................................................................................................ 92

Quadro 5.2– Cálculo das armaduras longitudinais no pilar P2 ............................................................................ 97

Quadro 5.3 – Armaduras longitudinais no pilar P2. ............................................................................................ 97

Quadro 5.4 – Armaduras longitudinais no pilar P16 ........................................................................................... 98

CAPÍTULO I

Keila S. G Robalo. 11

1. INTRODUÇÃO

1.1 Enquadramento

Segundo o EC2-1-1, “o objectivo de uma análise estrutural é o de determinar a distribuição,

quer de esforços, quer de tensões, extensões e deslocamentos, em toda ou parte da estrutura.”

Estas análises devem ser realizadas com base nos modelos que traduzem as condições reais da

estrutura, ou seja, modelos que permitem idealizar a geometria e o comportamento das

estruturas.

Até há pouco tempo atrás, a modelação do comportamento real de uma estrutura era quase

impossível pois a análise estrutural era realizada usando modelos que se baseavam em várias

simplificações. Por exemplo, a estrutura tridimensional real era subdividida em subestruturas

(lajes e pórticos) que eram avaliadas separadamente, sem levar em conta a interacção real

existente entre elas.

Com o desenvolvimento dos meios informáticos tornou-se viável a aplicação de métodos que

consideram a interacção entre os vários elementos estruturais, tornando assim os modelos

estruturais um pouco mais realistas. Os pórticos em vez de serem analisados apenas no plano

são considerados em conjunto (estrutura tridimensional) e as lajes podem também ser

analisadas em conjunto com as vigas e pilares. A análise estrutural melhorou

significativamente quando se aplicou o método dos elementos finitos na modelação estrutural.

Hoje em dia existem no mercado vários programas de cálculos baseados no método dos

elementos finitos que permitem modelar as estruturas de modo muito mais rigoroso.

Uma mesma estrutura pode ser analisada através dos diversos modelos estruturais, sendo o

modelo mais adequado aquele que idealiza a estrutura como um todo. Porém, o engenheiro

nem sempre tem acesso aos programas que permitem tais modelações, sentindo-se obrigado a

adoptar modelos mais simples. Portanto, é importante que o engenheiro saiba em que situação

uma estrutura pode ser analisada com base em modelos simplificados, sem que tenha de

preocupar-se com uma análise mais sofisticada, e que tipos de erros são cometidos quando são

utilizados os modelos mais simples. Neste contexto considera-se pertinente analisar uma

estrutura através de modelos simplificados e depois com modelos mais sofisticados, comparar

os resultados fornecidos pelos dois modelos e procurar explicar as possíveis causas para as

diferenças e semelhanças.

Para além de estudos comparativos dos resultados provenientes dos dois modelos referidos

atrás, também julga-se importante avaliar a influência de certos parâmetros nos resultados dos

esforços nas lajes, como a influência da rigidez à torção e à flexão das vigas de apoio, a

influência da consideração da rigidez à torção da laje na modelação bem como as teorias

consideradas na análise das lajes. O estudo destes parâmetros tem o propósito de reforçar a

comparação entre os dois modelos de cálculos dos esforços nas lajes referidos anteriormente,

e demonstrar que os programas de cálculos disponíveis permitem fazer várias adaptações aos

modelos de cálculos utilizados. Por outro lado, o estudo de tais parâmetros serve para

justificar porque é que muitas vezes a utilização dum mesmo programa de cálculo por

utilizadores diferentes na análise de uma mesma estrutura conduzirá, eventualmente, a

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado INTRODUÇÃO

Keila S. G. Robalo. 12

resultados diferentes. Estas diferenças poderão advir das hipóteses de cálculos por eles

admitidas. Neste documento é apresentada e sistematizada informação que permite

compreender melhor as razões dessas diferenças. Dessa forma, julga-se que esta dissertação

pode, eventualmente, melhorar a sensibilidade dos jovens engenheiros para os problemas da

modelação estrutural e ser uma base de reflexão sobre os possíveis “riscos” inerentes à

utilização dos programas de cálculo.

1.2 Objectivos e Metodologia

O objectivo principal desta dissertação é realizar um estudo comparativo entre vários modelos

de análise de uma estrutura de betão armado. Mais especificamente pretende-se:

Analisar uma laje vigada recorrendo ao uso das tabelas e a um programa de elementos

finitos de modo a comparar os esforços e a quantidade de armadura longitudinal obtidos

pelos dois modelos de cálculos. Pretende-se, ainda, avaliar a influência da rigidez à

flexão e à torção das vigas de apoio, a influência da rigidez à torção da laje bem como

as teorias consideradas na análise das lajes nos resultados dos esforços na laje.

Analisar uma laje fungiforme com base no método de cálculo simplificado previsto no

EC2-1-1 e REBAP, dois conjuntos de pórticos em direcções ortogonais, e o método dos

elementos finitos e comparar os esforços obtidos pelos dois modelos de cálculos.

Analisar uma estrutura espacial porticada considerando modelação plana e modelação

tridimensional com e sem laje de modo a avaliar o seu efeito nos esforços das vigas. Os

resultados dos esforços e da quantidade da armadura longitudinal dados pelos três

modelos são comparados entre si.

Para que estes objectivos sejam atingidos, definiu-se um processo de trabalho faseado, com os

seguintes passos:

Realização de uma pesquisa bibliográfica sobre o tema de modo a actualizar os

conhecimentos;

Estudar e aprender a utilizar o programa de cálculo Sap2000;

Realizar as várias análises estruturais e proceder ao estudo comparativo;

Organizar informação e escrever o documento final.

Para a realização do primeiro objectivo foram efectuados trinta e cinco modelos, sendo que o

primeiro foi idealizado de acordo com as tabelas de Barés e os restantes foram elaborados no

programa Sap2000, onde a laje foi modelada isoladamente, variando a sua rigidez à torção e o

tipo de laje (laje Kirchhoff e laje de Reissner-Mindlin) e ainda modelou-se também o

pavimento como um todo, variando o tipo de laje e vigas de apoios (viga de Timoshenko e de

Navier-Bernoulli), a inércia à torção das lajes e das vigas de apoios e a inércia à flexão das

vigas de apoios. a realização do segundo objectivo foram desenvolvidos dois modelos, ambos

idealizados no programa Sap2000. Em relação ao último objectivo foram simulados três

modelos no mesmo programa.

É importante salientar que todos os modelos foram idealizados considerando que os materiais

que constituem o edifício têm comportamento linear elástico.

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado INTRODUÇÃO


1.3 Organização da tese

Esta dissertação é composta por seis capítulos e três anexos.

No Capítulo 1 é feita uma introdução à análise estrutural de edifícios de betão armado, são

apresentados os objectivos e descrito resumidamente o modo como a dissertação está

organizada.

No Capítulo 2 é apresentada a arquitectura do edifício que serviu de base à concepção da

estrutura que é analisada ao longo deste trabalho.

No Capítulo 3 é realizada uma análise comparativa entre os resultados dos esforços e das

armaduras de uma laje vigada de betão armado obtidos pelo modelo das tabelas de Barés com

os obtidos recorrendo ao método dos elementos finitos através do programa Sap2000. Neste

capítulo é também avaliada a influência de certos parâmetros possíveis de considerar na

modelação estrutural nos resultados dos esforços nas lajes.

No Capítulo 4 estudam-se dois métodos de análise das lajes fungiformes, o método dos

pórticos equivalentes e o método dos elementos finitos. É analisado um pavimento tomado

como exemplo recorrendo aos dois métodos de cálculos e posteriormente é realizada uma

análise comparativa dos resultados dos esforços.

Ao longo do Capítulo 5 é realizada uma análise linear elástica da estrutura porticada

considerando três tipos de modelação geométrica: plana, tridimensional sem laje e

tridimensional com laje. Os três modelos são idealizados e analisados no programa Sap2000.

Realizou-se uma análise crítica dos resultados tanto ao nível de esforços, como da quantidade

de armaduras longitudinais, obtidos para os diferentes tipos de modelações estruturais. Nestas

modelações manteve-se, sempre que possível, as mesmas hipóteses de cálculo de modo a

minimizar as diferenças.

No Capítulo 6 apresentam-se as conclusões que se julguem relevantes bem como propostas

para os desenvolvimentos futuros.

A dissertação é ainda composta por três anexos:

O Anexo I é o complemento do Capítulo 3, onde estão descritos detalhadamente os

cálculos efectuados através das tabelas de Barés.

No anexo II apresentam-se os pormenores de cálculos das lajes fungiformes através do

método dos pórticos equivalentes.

No Anexo III apresentam-se os carregamentos utilizados na modelação dos pórticos.

CAPÍTULO II


2. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO A ANALISAR

A concepção da estrutura que serve de base ao trabalho desenvolvido resultou da

consideração da arquitectura de um edifício de habitação multifamiliar com as seguintes

características: dois apartamentos por piso e é composto por cave, rés-do-chão, quatro

pavimentos-tipo e cobertura. A arquitectura do edifício é apresentada nas Figuras 2.2 a 2.9.

Usou-se uma arquitectura real para demonstrar que a estrutura em estudo poderia ser real.

A localização do edifício em questão é Coimbra, apesar de que esta informação não é

relevante para este estudo, uma vez que nas análises realizadas não se considerou o efeito das

acções horizontais, sismo e vento (a intensidade destas acções depende da localização do

edifício).

O edifício foi analisado considerando uma estrutura constituída por lajes, vigas e pilares. Para

o mesmo edifício considerou-se uma outra estrutura composta apenas por lajes e pilares. É de

referir que a adopção das duas soluções estruturais tem como pressuposto avaliar os métodos

de cálculo utilizados em cada uma delas. Portanto, não foram realizadas comparações entre as

duas estruturas.

Na concepção da estrutura constituída por lajes, vigas e pilares houve algumas dificuldades

porque tentou-se minimizar o conflito entre a estrutura e o projecto arquitectónico. Na figura

seguinte apresenta-se um caso em que a posição dos pilares influenciou a posição da viga e

esta por sua vez condicionou o aspecto estético do edifício (como não existem paredes nesta

zona não foi possível “disfarçar” a referida viga).

Figura 2.1 – Projecto arquitectónico e projecto estrutural.

Para além dos pisos destinados à habitação, o edifício em estudo tem um piso para

estacionamento o que condiciona ainda mais a disposição dos pilares. No presente trabalho

não foi possível compatibilizar a solução estrutural (com lajes, vigas e pilares) e todas as

condicionantes arquitectónicas. Deste modo refere-se que a posição dos pilares definida para

os pisos de habitação não poderia ser mantida para o piso destinado ao estacionamento.

Considerando os objectivos do trabalho optou-se por ignorar as condicionantes

arquitectónicas do piso de estacionamento. Isto significa que a solução estrutural real para

L1 L3

L4

L2

L5

L6L7

Consola1 Consola2 Consola3

Consola4 Consola5

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR


este edifício passaria por lajes fungiformes (maior liberdade para a posição dos pilares) ou

então por uma ligeira alteração do projecto de arquitectura.

Figura 2.2 – Planta do piso 0.



Figura 2.3 – Planta dos pisos 1, 2, 3 e 4.



Figura 2.4 – Cobertura.



Figura 2.5 – Casa das máquinas.



Figura 2.6 – Alçado principal.

Figura 2.7 – Alçado posterior.



Figura 2.8 – Alçado posterior esquerdo.

CAPÍTULO III


3. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES VIGADAS DE BETÃO

ARMADO

Uma laje é um elemento cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a cinco vezes a

sua espessura total (EC2-1-1), podendo classificar-se sob diversos pontos de vista,

nomeadamente quanto ao tipo de apoio, à constituição, ao processo de fabrico, ao modo de

flexão dominante e quanto à sua espessura (lajes finas ou espessas, esta classificação depende

da relação entre a espessura e o vão de cálculo).

No que se refere à análise de esforços na laje, as duas últimas classificações têm maior

relevância, pois a classificação da laje de acordo com o modo de flexão dominante permite ter

a ideia do modelo de cálculo a adoptar e a classificação quanto à sua espessura dá

informações ao utilizador quanto à formulação mais adequada para analisar a laje em causa.

Relativamente ao modo de flexão, as lajes classificam-se como armadas numa direcção ou

armadas em duas direcções. As lajes armadas numa direcção são analisadas de forma análoga

à análise das vigas, usando equações da estática se são isostáticas ou mediante as equações da

estática e as equações de compatibilidade de deformações se são hiperestáticas. As lajes

armadas nas duas direcções, por apresentarem comportamentos mais complexos, só são

possíveis de ser analisadas através da resolução de uma equação diferencial que rege o

comportamento da laje, equação de Lagrange. Esta equação pode ser resolvida recorrendo aos

métodos que baseiam na teoria de elasticidade ou métodos que baseiam na teoria de

plasticidade (métodos estático e método cinemático).

Neste trabalho é dado mais ênfase à análise das lajes vigadas de betão armado por modelos

baseados na teoria de elasticidade, ou seja, modelos que para a sua aplicação são admitidas as

seguintes hipóteses (Grupo de Análise de Estruturas, 2005):

Relativamente ao material e à forma da laje:

o O material é perfeitamente elástico, isótropo, homogéneo e obedece a lei de

Hooke;

o A espessura da laje é pequena comparada com as restantes dimensões.

Quanto ao comportamento da laje são admitidas:

o As hipóteses baseadas na teoria de Kirchhoff ou então na teoria de Reissner-

Mindlin.

Para a avaliação do comportamento das lajes de Kirchhoff admite-se que (Castro, 2007):

i. No plano médio, não existem deslocamentos laterais;

ii. No plano médio, os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma secção

transversal são pequenos quando comparados com a espessura da laje;

iii. Os pontos sobre rectas normais ao plano médio antes da deformação permanecem

sobre rectas também perpendiculares ao referido plano médio depois da deformação,

isto é:

Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III


Figura 3.1– Definição das rotações segundo Kirchhoff (Castro, 2007).

(3.1)

(3.2)

Rotação do eixo do plano médio (componente de flexão).

A deformação por esforço transverso é ignorada e o estado de deformação é descrito

unicamente pelo deslocamento vertical da laje (w (x,y)).

iv. As tensões normais à superfície médias são desprezíveis em relação às demais tensões;

A teoria de lajes de Reissner pressupõe as mesmas hipóteses definidas pela teoria de

Kirchhoff, excepto a hipótese iii), alterando-se para:

iii. Rectas normais ao plano médio permanecem rectas mas não necessariamente

perpendiculares ao plano médio, depois da deformação, devido à deformação por corte

(Castro, 2007).

Figura 3.2 – Deformação da secção transversal de uma laje; teoria de Mindlin (Castro, 2007).

(3.3)

(3.4)

Rotação correspondente à deformação por esforço transverso.

Para modelar o mais correctamente possível o comportamento da laje é importante saber qual

das teorias referidas anteriormente deve ser a adoptada na sua modelação. Normalmente a

escolha de uma destas teorias depende da classificação das lajes de acordo com a relação entre

a espessura (h) e o menor vão da laje (L), considerando-se que para h ≥ 0,1L as lajes são

espessas e para h ≤ 0,05L as lajes são finas 1 (Castro, 2007).

1Há autores que consideram que as lajes finas são aquelas cuja relação espessura/menor vão é ≤1/5, enquanto

que as lajes espessas são lajes cuja relação espessura/menor vão é ≥1/5.



A teoria clássica de Kirchhoff é aplicada na análise linear das lajes finas, pois segundo Duarte

(1998), esta teoria interpreta suficientemente bem o comportamento dessas lajes, enquanto

que a utilização da teoria de Reissner-Mindlin é aconselhável sempre que a espessura da laje

ultrapassar os limites que a permitem classificar como laje fina.

Segundo Castro (2007), a análise de lajes baseado na teoria de Reissner-Mindlin é a mais

utilizada, mesmo em situações para as quais se pode deixar de considerar a laje como espessa.

Pois um “bom” elemento de Reissner-Mindlin deve conseguir recuperar os resultados

fornecidos pela teoria de Kirchhoff quando a espessura da laje começa a diminuir. Não

esquecendo de realçar que embora esta afirmação seja verdadeira em muitos dos casos, há

situações em que a diminuição da espessura da laje pode conduzir ao fenómeno designado por

locking2. Este fenómeno pode conduzir a uma solução incorrecta ou impossível, tornando

muito pequenos (ou mesmo nulos) os valores calculados para o campo de deslocamentos.

Para além do tipo da laje, há outro parâmetro que também condiciona a escolha da teoria a

adoptar para a análise da laje que é o valor do deslocamento transversal, (Grupo de Análise de

Estruturas, 2005). Segundo eles, quando o deslocamento transversal máximo é inferior a

aproximadamente 1/5 da espessura é aconselhável adoptar a teoria de Kirchhoff para a análise

do comportamento da laje.

No presente capítulo procura-se abordar, no campo da teoria da elasticidade, dois métodos de

análise das lajes vigadas. Um método de análise simplificado no qual recorre-se às tabelas

para calcular os esforços e as lajes são admitidas como isoladas. O outro método é o dos

elementos finitos, onde os esforços são determinados considerando a interdependência das

várias lajes. O cálculo simplificado é desenvolvido recorrendo às tabelas de Barés e Czerny e

o método dos elementos finitos através da utilização do SAP2000.

Para atingir o objectivo pretendido, que é saber quais as diferenças entre os resultados dos

esforços e das armaduras numa laje vigada de betão armado obtidos a partir da aplicação do

modelo das tabelas com os obtidos através do método dos elementos finitos, primeiro

procede-se à sintetização dos princípios de análise de cada um dos modelos, sem grandes

aprofundamentos teóricos, servindo como orientação resumida, porém objectiva.

Posteriormente são aplicados os dois modelos na análise da mesma laje, com o intuito de

mostrar as suas particularidades. Depois são apresentados os resultados obtidos em cada um

dos modelos, a partir dos quais são estimadas as armaduras de acordo com o EC2-1-1.

Finalmente são analisados e comparados os resultados, tanto ao nível dos esforços como das

armaduras.

2Locking é um fenómeno que surge porque na definição dos elementos da matriz de rigidez há coeficientes que

têm parcelas que vêm multiplicadas por h3 (parcela de flexão) e parcelas que vêm multiplicadas apenas por h

(parcela de corte). Quando a espessura da laje começa a diminuir, a parcela de corte começa a predominar sobre

a parcela de flexão, o que faz com que a influência desta última tenda a “desaparecer”. Para solucionar essa

situação normalmente é aplicada a técnica de integração reduzida que consiste na integração numérica da matriz

de rigidez do elemento reduzindo os pontos de Integração de Gauss Legendre, (Castro 2007).



3.1 Análise de lajes vigadas de betão armado recorrendo às

tabelas

Antes do uso efectivo de programas computacionais para o cálculo de lajes em projectos de

edifícios, a maioria dos casos eram solucionados usando métodos aproximados, entre os

quais, pode-se destacar o método de Marcus (Bernal, 2005 e Montoya et tal, 2000). Com base

no método das diferenças finitas, admitindo as hipóteses de Kirchhoff, foram elaboradas

várias tabelas para o cálculo de esforços nas lajes como as tabelas de Barés, as de Montoya, as

de Czerny, as de Szilard e as tabelas de Rocha (Rocha, 1976, Duarte, 1998 e Montoya et al,

2000). Essas tabelas limitam-se a condições de geometria, de carregamento e do contorno

correntes, ou seja, as condições que levem a soluções exactas da equação que rege o

comportamento das lajes.

A modelação das lajes recorrendo a essas tabelas é feita assumindo simplificações que visam

facilitar o cálculo dos esforços, mas por outro lado não simulam o comportamento real da laje,

por isso os valores obtidos são aproximados. Esse método sustenta-se sobre pressupostos de

que não há interacção entre as lajes e os demais elementos da estrutura (vigas e pilares), no

que se refere às dimensões e rigidez dos mesmos. Portanto, as lajes vigadas são modeladas

desprezando a flexibilidade e a rigidez à torção das vigas. As lajes são também analisadas

isoladamente, com condições de apoio simples, encastrados ou livres, e posteriormente, nos

bordos contínuos é realizado o equilíbrio dos esforços e a consequente redistribuição de

momentos no vão de cada laje. Todo o carregamento actuante na laje, incluindo as cargas das

paredes divisórias e sobrecargas de utilização, é admitido como uniforme sobre toda a

superfície do painel.

Neste estudo são utilizadas as tabelas de Barés e também as de Czerny adaptadas pelo Rocha,

porém estas últimas são aplicadas apenas no caso da avaliação dos momentos positivos após o

equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade.

3.1.1 Aplicação do modelo

O piso tipo sujeito à análise está apresentado na Figura 3.3. Para a análise considerou-se que

todas as lajes têm a mesma espessura cujo valor é 21cm e que estão apoiadas nas vigas com

secção 50cmx30cm.

Foi adoptado um aço A400NR e um betão da classe C25/30 cujas propriedades mecânicas de

interesse para o presente estudo são: resistência característica à compressão fck =25MPa, o

módulo de elasticidade Ec=31GPa e o coeficiente de Poisson ν=0,15. Segundo EC2-1-1, o

cálculo dos esforços elásticos para o estado limite últimos deve ser efectuado admitindo

secções fendilhadas, ou seja ν =0, porém como não foi encontrada tabelas com ν=0, adoptou-

se esse parâmetro igual a 0,15.

As acções consideradas foram as acções permanentes (g) com valor igual a 8,75kN/m2 e as

sobrecargas (q) com valor igual a 2kN/m2. As cargas a considerar no cálculo de esforços

foram determinadas através da aplicação da combinação fundamental, (ver detalhe de cálculos

no Anexo I).



São apresentados apenas os pormenores de cálculos e os resultados relativos à laje L1, sendo

que os das restantes lajes encontram-se no Anexo I.

Figura 3.3 – Planta estrutural do piso tipo.

Definição do modelo estrutural para o cálculo da laje L1

Classificação da laje L1:

Lx = 6,5m

Ly = 5,5m

O bordo adjacente à consola foi considerado como simplesmente apoiado.

L1 L3

L4

L2

L5

L6L7


Consola4 Consola5

=1,18 laje armada em duas direcções



3.1.1.1 Cálculos dos momentos positivos

Método de cálculo: Método de Marcus

Combinação das acções:

Recorrendo à Tabela de Barés obteve-se:

μ = 0,15

= 1,18

3.1.1.2 Cálculo dos momentos negativos

Combinação das acções: Psd = 1,5*g +1,5*q = 1,5*8,75 + 1,5*2=16,13kN/m2

Recorrendo à tabela de Barés obteve-se:

μ = 0,15

= 1,18

3.1.1.3 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade

Para fazer o equilíbrio de momentos negativos nos bordos de continuidade é necessário

conhecer os momentos negativos nas lajes adjacentes à L1. Na Figura 3.4 apresentam-se os

momentos negativos referentes às três lajes cujos pormenores de cálculos encontram-se no

Anexo I.

Psd1= 14,63 kN/m2

Psd2= 1,50 kN/m2

Mxvs-

= -0,0546 x Psd x a2 = -37,21kN.m/m

Myvs,-

= -0,0853 x Psd x b2 = -41,62kN.m/m

Mxs+

= 0,0190 x Psd x a2 = 12,95kN.m/m

Mys +

= 0,0356 x Psd x b2 = 17,37k.m/m

Mx2= 0,0305 x Psd2 x a2

Mx2=1,93kN.m/m

Momento positivo máximo na direcção X

Mx1= 0,0190 x Psd1 x a2

Mx1=11,74kN.m/m

Mxs += Mx1 +Mx2=13,68kN.m/m

Mys+ = My1 + My2=18,30 kN.m/m

My2= 0,056 x Psd2 x b2

My2=2,54kN.m/m

My1= 0,0356 x Psd1 x b2

My1=15,76kN.m/m

Momento positivo máximo na direcção Y



Figura 3.4 – Momentos na laje L1 e nas lajes adjacentes.

Após o cálculo dos momentos negativos actuantes na laje L1 e nas lajes adjacentes é

necessário fazer a compatibilização dos momentos flectores negativos.

Na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte compatibilização:

MB= Max

Na continuidade das lajes L1 e L4 o momento equilíbrio é dado por:

MB = Máx

MB= - 44,63kN.m/m

Consola 1

L1

L4

L2

Myvs=-41,62kN.m/m

Myvs=

-37,2

1kN

.m/m

Myvs=-17,02kN.m/m

Myvs=0kN.m/m

Myvs=-47,64kN.m/m

Myvs=

-16,4

7kN

.m/m

MB= - 29,77kN.m/m

kN.m/m

á

,77kN.m/m

kN.m/m

á

kN.m/m



Na continuidade L1 e consola o momento de equilíbrio é igual ao momento da

consola.

3.1.1.4 Ajuste do momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo

Na laje em estudo verifica-se que numa direcção o momento negativo do equilíbrio é menor

que o momento negativo calculado inicialmente e na outra direcção acontece o contrário.

Sendo assim, a correcção deve ser feita tanto na direcção em que o momento aumentou como

na outra, visto que numa laje armada em duas direcções a alteração do momento negativo

numa direcção afecta os momentos positivos nas duas direcções.

Ajuste dos momentos positivos máximos através das interpolações dos esforços obtidos pelas

tabelas

O My+ e Mx

+ podem ser calculados fazendo a interpolação dos esforços dados pelas tabelas

representadas nas situações a), b) e situação em que se considera uma laje com as mesmas

condições de apoio, com excepção do apoio onde há ajuste de momento negativo que deve ser

considerado simplesmente apoiado (cx ou cy).

Laje 1

Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção X

bx) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção X:

b) Situação após o equilíbrio do momento

negativo nas duas direcções

a) Situação inicial

Psd = 1,5x(Carga permanente + sobrecarga)



Situação cx)

Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), bx) e cx)

obteve-se o Mx1s+ e o My1s

+:

A redução do momento negativo na direcção X provocou um aumento de momento positivo

na direcção y e uma diminuição na direcção X.

Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção Y

by) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção Y:

Situação cy)

Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), by) e cy)

obteve-se My2+ e Mx 2

+.

Mxvs = -37,21→Mxs=+12,95

Mxvs= 0 →Mxs = +12,88

Mxvs = -29,77→Mx1s=?

↔ Mx1s = 12,93

∆ Mx1s=12,93-12,95 = -0,02

Mxvs = -37,21 →Mys=+17,37

Mxvs = 0 →Mys = +20,98

Mxvs = -29,77→My1s =?

↔ My1s= 18,09

∆ My1s=18,09 -17,37= 0,72

My+ e Mx

+→ ??

Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2)

Tabela de Barés: ν= 0,15

Mx+=0,0189*16,13*6,5

2=12,88kN.m/m

My+=0,0430*16,13*5,5

2=20,98kN.m/m

Myvs= -41,62→Mxs= +12,95

Myvs=0 → Mxs =+29,30

Myvs= - 44,63→Mx2s=?

↔ Mx2s=11,77

∆ Mx2s=11,77 -12,95= -1,18

Myvs = - 41,62→Mys = +17,37

Myvs =0 → Mys = + 9,22

Mxvs = - 44,63→ My2s = ?

↔ My2s = 17,96

∆ My2s=17,96 - 17,37 = 0,59

Psd=1,5 x (g+q) =16,13 kN/m2)

Tabela de Barés: ν = 0,15

Mx+

=0,0430 x 6,13 x 6,52 =29,30 kN.m/m

My+=0,0189 x 16,13 x 5,5

2=9,22 kN.m/m



O aumento do momento negativo na direcção Y provocou um aumento de momento positivo

na direcção Y e uma diminuição na direcção X.

Determinadas as variações de momentos positivos nas duas direcções procedeu-se finalmente

ao cálculo dos momentos positivos Mx+ e My

+:

Mx+

= Mx+ (situação inicial) + ∆ Mx1s

+ ∆ Mx2s= 12,95 - 0,02 - 1,18 =11,75kN.m/m

My+

= My+ (situação inicial) + ∆ My1s

+ ∆ My2s = 17, 37 + 0, 72+0, 59 =18, 68kN.m/m

Ajuste do momento positivo máximo através das tabelas de F.Czerny

Cálculo de My1+

e Mx1+

após o equilíbrio do momento no bordo maior (direcção Y)

Para corrigir os momentos positivos da laje entra-se com um momento no apoio, ΔM igual à

diferença entre o momento de equilíbrio e o momento calculado considerando a laje isolada:

ΔMy = My (situação após o equilíbrio) - My (situação inicial) ↔ ΔMy = - 44,63 - (-41,62) =- 3,01

De acordo com as condições de apoio, o tipo de laje em análise corresponde ao caso 3 e

atendendo à sua configuração e a da laje na tabela verifica-se que é necessário rodar a laje

90o, logo:

x = y = 0,138

y = x = 0,059

Os momentos de correcção dos momentos positivos nos vãos após o equilíbrio de momento

na direcção Y:

ΔMx1+= x x ΔMy = 0,138x (- 3,01)= -0,4154

ΔMy1+= y x ΔMy = 0,059x (- 3,01)= -0,1776

Cálculo de My2+ e Mx2

+ após o equilíbrio do momento no bordo menor (direcção X)

ΔMx = Mx (situação após o equilíbrio) – Mx (situação inicial) ↔ ΔMx = -29,77- (-37,21) = 7,44



=

De acordo com as condições de apoio o tipo de laje em análise corresponde ao caso 3, logo:

x = -0,024

y = 0,105

Os momentos de correcção dos momentos positivos nos vãos após o equilíbrio de momento

na direcção X:

ΔMx2+= x x ΔMy = - 0,024 x (7,44) = -0,1786

ΔMy2+= y x ΔMy = 0,105 x (7,44) = 0,7812

Os momentos de correcção dos momentos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção

X e Y:

ΔMx+= ΔMx1

++ ΔMx2

+= - 0, 4154 + (-0,178)= -0,5940

ΔMy+= ΔMy1

++ ΔMy2

+= - 0, 1776 + 0, 7812=0, 6036

Assim, os momentos positivos finais, Mx+ e My+, após o equilíbrio dos momentos negativos

nos dois bordos são:

Mx+= M

+x (inicial calculado usando Psd=1,5 *(g+q)) + ΔMx

+=12,95 + (-0,5940) =12,34kN.m/m

My+= M

+y (inicial calculado usando Psd=1,5* (g+q)) + ΔMy

+=17,37+0,6036 =17,97kN.m/m

Correcção dos momentos no vão devido ao momento da consola:

Caso se pretenda ter em conta o efeito do momento da consola, os momentos de correcção dos

momentos nos vãos podem ser determinados da seguinte forma:

1. Cálculo do momento sinusoidal (∆M) aplicado no bordo da laje adjacente à consola:

; sendo o momento da consola.

Como o momento na consola tem um efeito favorável nos momentos positivos só se deve

considerar o momento resultante das cargas permanentes cujo valor é -11,39kN.m/m (ver

Anexo I).

2. Determinação dos coeficientes de transmissão x e y.



O momento sinusoidal está aplicado no bordo maior. De acordo com as condições de

apoio o tipo de laje em análise corresponde ao caso 5 e atendendo à sua configuração e

a da laje na tabela de Czerny verifica-se que é necessário rodar a laje 90o, logo:

x = y =0,113

y = x = 0,050

3. Determinação do momento no vão quando aplicado um momento sinusoidal de valor

igual a -14,51 no bordo

ΔMx3+

= x x ΔM = 0,113x (-14,51)=-1,64

ΔMy3+

= y x ΔM = 0,050 x (-14,51)=-0,73

Os momentos de correcção dos momentos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção

X e Y são dados através das seguintes expressões:

ΔMx+= ΔMx1

++ ΔMx2 +ΔMx3

+= -0,4154+( -0,1786)+ (-1,64) = -2,23

ΔMy+= ΔMy1

++ ΔMy2

+ +ΔMx3

+= -0,1776 + 0,7812+ (-0,73)=-0,13

Assim, os momentos positivos finais, Mx + e My

+, após o equilíbrio dos momentos negativos

nos dois bordos, são:

Mx+=M

+x (inicial calculado usando Psd=1,5* (g+q)) + ΔMx

+= 12,95 +(-2,23)=10,72kN.m/m

My+=M

+y (inicial calculado usando Psd=1,5* (Sop+Cp)) + ΔMy

+=17,37+(-0,13)= 17,24kN.m/m

Momentos de dimensionamento da laje L1

Quadro 3.1– Momentos máximos na laje L1.

Momentos negativos

L1

Mxmáx- My1máx- My2máx

-

-29,77 kN.m/m -44, 3 kN. /m -19,60 kN.m/m

Momentos positivos

Condições de cálculos Mxmáx+ My1máx+

a) 13,68 kN.m/m 18,30 kN.m/m

b) 11,75 kN.m/m 18,68 kN.m/m

c) 12,34 kN.m/m 17,97 kN.m/m

d) 10,72kN.m/m 17,24kN.m/m

Sendo que:

My1máx-: bordo adjacente à L2;

My2máx-: bordo adjacente à consola;

a) - Momentos obtidos através da aplicação do Método de Marcus;

b) - Momentos obtidos após o equilíbrio dos momentos nos apoios através da interpolação

das tabelas de Barés;

c) - Momentos obtidos recorrendo às tabelas de Czerny adaptadas pelo Rocha, após o

equilíbrio dos momentos nos apoios;

d) - Momentos obtidos tendo em conta o efeito do momento da consola.

De acordo com os resultados obtidos pelos dois métodos de correcção dos momentos nos vãos

constata-se que há uma pequena diferença, o que já era de esperar, pois o primeiro método é

baseado nas interpolações de esforços dados pelas tabelas de Barés, onde foi considerado o

coeficiente de Poisson igual a 0,15, enquanto que as tabelas de Czerny foram elaboradas

considerando tal parâmetro nulo (fase fendilhada).



O momento positivo de dimensionamento é determinado da seguinte maneira:

M+

dim = máx

Sendo assim:

Mx+

dim = 13,68→ momento calculado pelo método de Marcus

My+

dim = 18,68→ momento calculado após o equilíbrio de momento negativo

Momentos de dimensionamento (kN.m/m) na laje L1

Diagrama dos momentos de dimensionamento da laje L1

O comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente a L4 deve ser corrigido,

pois o momento resultante do equilíbrio nesse bordo é maior que o momento obtido

inicialmente. Sendo assim o comprimento da região com momento negativo é dado pela

seguinte expressão:

Determinação do comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente à

consola

Psd1 = 1,5x(Rev+Pp+Sob) = 1,5x(1,5+5,25+5) = 17,63 KN/m2

Bordo adjacente à consola

Diagrama dos momentos de dimensionamento da laje L1

O comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente a L4 deve ser corrigido


Bordo adjacente a L4

- Momentos positivos resultantes do equilíbrio de momentos negativos

- Momentos positivos determinados pelo Método de Marcus



Psd2 = 1,5x(Rev+Pp+Sob) = 1,5x(1,5+5,25+2) = 14,13 KN/m2

Psd3 = 1x(rev+Pp+Pd) = 1x(1,5+5,25+2) = 8,75 KN/m2

α = ???:

ay = ax ↔(1-α) x = ↔α x

↔α =

↔α =

↔ α = 0,66

Ao analisar esta estrutura no programa Sap2000 obteve-se o comprimento da região com

momento negativo (X) igual a 1,05 metros.

L1

a=6.5

b=

5.5

ax

ay

19,6kN.m/m

ax =

X

ay =



3.2 Análise de lajes maciças vigadas pelo método dos elementos

finitos

A determinação dos esforços numa laje tem sido feita através de modelos elásticos que se

baseiam na solução da equação diferencial que rege o comportamento de uma placa. Essas

soluções, como já foi dito anteriormente, limitam-se às lajes com condições de carregamento,

de contornos e de geometria simples que levem a soluções exactas. Para tentar superar tais

limitações recorreu-se a outras técnicas mais sofisticadas, entre as quais cita-se o método dos

elementos finitos.

O método de elementos finitos permite modelar lajes com diversas condições de

carregamento, espessura e forma irregulares, lajes com presença de aberturas e com variadas

condições de contorno, e ainda contempla de maneira mais precisa a interacção entre os

elementos estruturais que compõem a estrutura.

Esse método, apesar de ter sido descoberto há algumas décadas, só há pouco tempo é que se

tornou numa ferramenta corrente dos engenheiros devido à generalização dos meios

informáticos. Hoje encontram-se no mercado vários programas de cálculos de estrutura

baseados nessa metodologia.

Neste documento o programa utilizado para a aplicação deste método é o SAP2000. Este

programa permite efectuar modelações planas e tridimensionais, considerando todos os

elementos que constituem a estrutura. Esses elementos são modelados por elementos finitos

lineares, superfície e de volume. A escolha do elemento mais adequado depende

principalmente da geometria da estrutura a analisar, das cargas a serem consideradas e do seu

comportamento estrutural.

O Sap2000 permite a modelação das lajes com base na teoria de placas de Mindlin ou de

Kirchhoff e com recurso ao elemento finito de casca de três ou quatro nós (Figura 3.5).

Figura 3.5 – Elementos finitos de casca de quatro e três nós, respectivamente (SAP2000 Basic

Analysis Reference Manual, 2009).



3.2.1 Aplicação do modelo para análise global da laje

Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicação do método dos elementos finitos através

do programa Sap2000 versão 14.2, que consiste na análise do pavimento que já tinha sido

analisado pelo modelo das tabelas (Figura 3.3). Os dados relativos às propriedades mecânicas

dos elementos são os mesmos.

A análise é global, mas são apresentados apenas os resultados referentes à laje L1.

3.2.1.1 Modelação geométrica e condições de apoios

A geometria da laje em análise foi definida através do modelo preliminar “Grid only” e

posteriormente foi aperfeiçoada com modelos que descrevem o comportamento de cada um

dos elementos constituintes da estrutura em análise. Neste caso considerou-se os elementos

finitos de barra para a modelação das vigas e os elementos finitos de casca de quatro nós na

modelação das lajes.

As lajes foram discretizadas considerando uma malha de 0,5mx0,5m e as vigas foram

discretizadas nos pontos de intersecções com as malhas da laje.

Para os apoios contínuos (vigas), considerou-se as condições descritas mais a frente, e nos

apoios pontuais (pilares) foram restringidas todas as translações.

Figura 3.6 – Discretização e condiçoes de apoios do pavimento em estudo.

3.2.1.2 Formulação do modelo

Numa primeira fase a modelação das lajes foi feita com base na teoria de Reissner-Mindlin,

considerando portanto a deformação de corte. Posteriormente, o mesmo pavimento foi

modelado com a formulação de Kirchhoff, com o objectivo de avaliar a diferença nos

resultados obtidos pelas duas formulações.



As vigas foram formuladas com base na teoria de Timoshenko3 e posteriormente considerou-

se mais um modelo com o mesmo pavimento, mas considerando que está apoiado sobre vigas

modeladas com base na teoria de Navier-Bernoulli4. Neste estudo também foi analisado o

efeito da flexibilidade das vigas de apoio no comportamento das lajes. Os pavimentos de

edifícios reais têm lajes apoiadas em vigas que são flexíveis. Na análise das lajes usando as

tabelas correntes supõe-se que os apoios são indeformáveis. Para avaliar a influência da

flexibilidade das vigas nos resultados dos esforços nas lajes foi realizado um estudo

admitindo a variação da sua inércia à flexão. Primeiro realizou-se uma formulação em que se

considerou a viga com a sua deformação real, depois admitiu-se que esta é infinitamente

rígida e finalmente considerou-se a hipótese de que a flexibilidade da viga é reduzida para

metade. Com a última hipótese pretendeu-se simular a perda de rigidez devido à fendilhação

das vigas (por flexão e por torção).

Para além dos parâmetros indicados realizou-se também a modelação da laje tendo em conta a

influência da sua rigidez à torção.

Sendo assim, o pavimento em estudo foi analisado baseado nas seguintes hipóteses de

cálculo:

a) Modelação com base na teoria de Reissner-Mindlin e de Timoshenko - Modelo A:

1. Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e à

torção):

1.1 Considerar a laje com rigidez torsional;

1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.

2. Considerando vigas com rigidez de flexão infinita:



3. Considerando vigas com rigidez de flexão igual a 0,5:



b) Modelação com base na formulação de Kirchhoff e de Timoshenko - Modelo B:

1. Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e à

torção):

1.1Considerar a laje com rigidez torsional;


2. Considerando vigas com rigidez infinita:






c) Modelação com base na formulação de Kirchhoff e de Navier-Bernoulli - Modelo C:

3 Considera deformação de corte (teoria idêntica à teoria de Reissner-Mindlin para as lajes).

4 Ignora a deformação de corte (teoria idêntica à teoria de Kirchhoff para as lajes).



1.Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e À

torção):

1.1Considerar a laje com rigidez torsional;


2. Considerando vigas com rigidez infinita:






A atribuição das propriedades dos elementos foi feita de acordo com as formulações

apresentadas acima não esquecendo de realçar que a laje foi modelada tendo em conta os

princípios de análise elástica linear considerando que o betão é um material isotrópico.

3.2.1.3 Cargas actuantes e carregamento a considerar na modelação

O pavimento a modelar foi sujeito as mesmas cargas consideradas no modelo anterior e foi

feita também a alternância da sobrecarga, em que para a determinação de esforços máximos

na laje L1 foram simuladas as seguintes condições de carregamento, mais adiante designado

por C.car:

Carregamento 1: corresponde à actuação da sobrecarga apenas nas seguintes lajes: L1,

L3, L5, Consola 4 e 5.

Carregamento 2: corresponde a aplicação da sobrecarga apenas nas lajes L1, L2 e L4 e

Consola 1.

Carregamento 3: corresponde ao carregamento total (g+q) do pavimento.

3.2.1.4 Apresentação dos resultados dos momentos flectores nas lajes

Concluída a análise da estrutura ficou-se a conhecer os valores dos momentos flectores nas

lajes. Nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 estão apresentados os momentos flectores máximos obtidos

na laje L1 para as diferentes condições de cálculos referidas anteriormente.

Quadro 3.2 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Reissner-

Mindlin/ Timoshenko.

Momentos

Mxmáx + Mx máx

- Mymáx

+ My máx

-

Mo

del

o A

1.1 kN.m/m 36,61 -51,08 18,46 -59,03

C.car Carregamento3 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2

1.2 kN.m/m 39,19 -56,32 18,78 -63,53


2.1 kN.m/m 13,21 -20,72 17,01 -31,49


2.2 kN.m/m 16,76 -23,57 23,41 -37,96


3.1 C.car 46,06 -67,40 21,24 -79,91


3.2 kN.m/m 50,93 -75,14 23,32 -88,72




Quadro 3.3 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de

Kirchhoff/ Timoshenko

Momentos flectores Mxmáx

+ Mx máx

- Mymáx

+ My máx

-

Mo

del

o B

1.1

kN.m/m 37,01 -55,81 18,35 -76,31


1.2 kN.m/m 39,93 -58,46 18,24 -83,84

Carregamento2 Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2

2.1 kN.m/m 29,79 -32,37 16,50 -37,35


2.2 kN.m/m 28,89 -31,78 22,80 -43,59


3.1 C.car 46,59 -70,24 20,85 -98,96


3.2 kN.m/m 51,78 -79,95 23,37 -112,26


Quadro 3.4 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de

Kirchhoff/Navier- Bernoulli

Momentos Mxmáx

+ Mx máx

- Mymáx

+ My máx

-

Mo

del

o C

1.1 kN.m/m 35,91 -56,70 18,26 -51,73


1.2 kN.m/m 38,16 -60,14 18,29 -56,43


2.1 kN.m/m 10,68 -22,71 16,49 -38,18


2.2 kN.m/m 15,48 -25,47 23,09 -44,69


3.1 C.car 45,49 -70,88 20,69 -79,38


3.2 kN.m/m 50,41 -77,24 23,01 -89,54


3.2.1.5 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da teoria utilizada na

modelação das lajes

Os resultados apresentados nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 mostram que existem algumas

discrepâncias entre os modelos. Da análise aos momentos obtidos pelo Modelo A e B nota-se

que a maior diferença surge no cálculo dos momentos positivos na direcção X, para as

condições de cálculos 2.1 e 2.2, onde o Modelo B lidera com uma diferença máxima de

aproximadamente 56% do Modelo A. Já na direcção Y o momento máximo positivo é dado

pelo Modelo A com diferença pouco significativa em relação ao Modelo B, cerca de 3%. Em

relação ao momento negativo nota-se que na direcção X, o valor máximo é também dado pelo

Modelo B, distinguindo cerca de 36% para a condição de cálculo 2.1 e 26% para a condição

de cálculo 2.2, do Modelo A. Na direcção Y verifica-se que para a condição de cálculo 2.1 o

Modelo A resulta momento negativo superior ao Modelo B, com uma diferença máxima de

aproximadamente 16%. Para a condição de cálculo 2.2 na mesma direcção o momento

máximo negativo é dado pelo Modelo B, com uma diferença de aproximadamente 13% do

Modelo A. Para as condições de cálculos 1.1, 1.2, 3.1 e 3.2 constata-se que as diferenças entre



os momentos são pouco significativas, com excepção dos momentos negativos na direcção Y,

onde os momentos dados pelo Modelo B são superiores aos dados pelo Modelo A, com

diferenças entre 19% e 24%.

Ao comparar os resultados dos momentos flectores dados pelo Modelo A (Quadro 3.2) com

os dados pelo Modelo C (Quadro 3.4) nota-se que, relativamente aos momentos positivos, o

Modelo A fornece valores superiores, sendo que a máxima diferença é de 19%, que

corresponde à diferença entre os momentos positivos dados pela condição de cálculo 2.1. Para

as restantes condições de cálculos as diferenças entre os momentos positivos são inferiores a

10%. Em relação aos momentos negativos nota-se que na direcção X, as diferenças entre os

dois modelos são pouco significativas. Na direcção Y constata-se que para as condições de

cálculos 3 as diferenças entre os modelos também são pouco significativas (máximo de 1%,

para a condição de cálculo 3.2). Para as condições 1.1 e 1.2 as diferenças são de 12% e de

11%, respectivamente, enquanto que para as condições 2.1 a diferença é de 16% e para 2.2 a

diferença é de 15%.

Por último, comparando os resultados dos momentos flectores dados pelo Modelo B com os

dados pelo Modelo C constata-se que a maior diferença registada é de 64%, verificada nos

momentos positivos na direcção X obtidos na formulação 2.1. É de referir que é nesse modelo

e na mesma direcção que se verifica a maior diferença entre os momentos negativos, com

valor de 30%. Na direcção Y as diferenças entre os modelos para a formulação 2.1 são

insignificantes, pois a máxima é de 2%. Para a formulação 2.2 confirma-se a mesma

tendência. Relativamente às restantes formulações, 1.1 1.2, 3.1 e 3.2, as diferenças

significativas verificam-se apenas nos cálculos dos momentos negativos na direcção Y, com

valor máximo de 33%.

3.2.1.6 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à flexão

das vigas de apoios

No cálculo dos esforços das lajes maciças vigadas pelo método tradicional admite-se que a

flexibilidade das vigas de apoio não influencia o valor dos esforços actuantes, porém, de

acordo com os valores apresentados nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 constata-se o contrário.

Examina-se por exemplo os momentos do Quadro 3.2 (Modelo A), para as condições de

cálculos 1.1, 2.1 e 3.1, que correspondem respectivamente aos apoios com flexibilidade “real”

(sem alteração da rigidez à flexão), apoios infinitamente rígidos e apoios com a flexibilidade

reduzida a metade. Desta análise comparativa verificou-se as diferenças apresentadas no

Quadro 3.5.

Quadro 3.5 – Diferença entre os momentos obtidos considerando as condições de cálculos 1.1

e as restantes condições de cálculos (2.1 e 3.1)

Momentos (kN.m/m)

Modelo A Mxmáx + (%) Mx máx

- (%) Mymáx

+ (%) Mymáx

- (%)

1.1 36,61 - -51,08 - 18,46 - -59,03 -

2.1 13,21 -64% -20,72 -59% 17,01 -8% -31,49 -47%

3.1 46,06 26% -67,40 32% 21,24 15% -79,91 35%

Nas figuras que se seguem apresentam-se também as diferenças nos diagramas dos momentos

flectores dados pelas condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1.



Figura 3.7 – Diagramas de momentos flectores para as condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1,

respectivamente.

Perante as diferenças entre os modelos apresentados pode-se concluir que quanto mais

flexível forem as vigas, maiores são os momentos flectores nas lajes e que é importante

considerar as vigas de apoios com a sua rigidez real uma vez que este parâmetro influência

bastante os momentos nas lajes.

3.2.1.7 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção

da laje

Nas modelações em que não é tida em conta a rigidez de torção da laje, todo o carregamento

da laje é equilibrado pela flexão, o que justifica os valores superiores dos momentos flectores

nestas situações. Os momentos apresentados nos Quadros 3.2 (Modelo A) e 3.4 (Modelo C)

mostram exactamente isso. Ao analisar, por exemplo, a situação de cálculo 2 do Modelo A,

constata-se que ao considerar na referida modelação laje com rigidez à torção (2.1), o

momento flector máximo positivo na direcção X é de 13,21kN.m/m, sendo que esse valor

aumenta cerca de 21%, quando não é considerada a rigidez à torção da laje (2.2). Em relação



ao momento negativo na mesma direcção o incremento é de 12% e na direcção Y, o momento

positivo e negativo aumentaram cerca de 27% e 17% respectivamente. Para as restantes

modelações, situações 1 e 3, o máximo incremento nota-se no momento positivo na direcção

X, com valor de 9% na situação 1 e 10% na situação 3.

Relativamente aos momentos obtidos usando o Modelo B, Quadro 3.3, nota-se que há

situações em que o momento flector é superior na formulação em que é tida em conta a

rigidez de torção da laje, como por exemplo o momento positivo na direcção Y dado pela

condição de cálculo 1.1 é superior ao dado pela condição de cálculo 1.2. Também os

momentos flectores na direcção X, tanto positivo como negativo, dados pela condição de

cálculo 2.1 são superiores aos dados pela condição de cálculo 2.2.

3.2.1.8 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção

da viga.

Até agora todos os modelos de cálculo apresentados consideram as vigas com a sua rigidez à

torção real. No Quadro 3.6 apresentam-se os momentos máximos na laje L1 determinados

considerando que o pavimento está submetido ao Carregamento 2 e às condições de cálculo 1

e 2 do Modelo A, onde se variou apenas a rigidez de torção das vigas de apoios. Portanto,

para cada uma das condições de cálculo referidas foram considerados quatro modelos, sendo

que no primeiro modelo, considerou-se as vigas com a sua rigidez à torção real (J=1), no

segundo admitiu-se que a sua rigidez à torção é nula (J=0) e por ultimo considerou-se as vigas

com apenas metade da rigidez à torção (J=0,5).

Quadro 3.6 – Momentos máximos na laje L1 tendo em conta o efeito da rigidez à torção das

vigas de apoios

Momentos

Rigidez à torção (J) Mxmáx + Mx máx

- Mymáx

+ My máx

-

Vig

a co

m r

igid

ez à

flex

ão r

eal

(1)

Laj

e co

m

torç

ão (

1.1

)

Real 36,60 -51,08 14,77 -59,03

J=0 37,95 -75,73 17,17 -69,68

J=0,5 36,86 -52,21 14,64 -59,34

Laj

e se

m

torç

ão

(1.2

)

Real 39,19 -56,32 14,70 -63,53

J=0 40,22 -64,17 14,92 -65,36

J=0,5 39,68 -58,95 14,83 -64,23

Vig

a rí

gid

a (2

)

Laj

e co

m

torç

ão (

2.1

) Real 13,20 -20,57 15,88 -31,49

J=0 18,93 -21,89 16,95 -34,54

J=0,5 12,78 -20,16 16,25 -32,57

Laj

e se

m

torç

ão

(2.2

)

Real 14,92 -22,89 21,18 -37,96

J=0 16,87 -21,49 23,21 -43,23

J=0,5 15,49 -22,36 21,97 -39,99



Análise comparativa dos momentos dados pelos modelos que consideram a rigidez à torção

real das vigas de apoios e os modelos que consideram que as vigas não resistem à torção,

J=0.

Quadro 3.7 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os

modelos que consideram J=0

Momentos (kN.m/m)

Rigidez à

torção Mxmáx

+ (%) Mx máx

- (%) Mymáx

+ (%) My máx

- (%)

Vig

a co

m r

igid

ez

à fl

exão

rea

l Laje com

torção

Real 36,60 4%

-51,08 33%

14,77 14%

-59,03 15%

J=0 37,95 -75,73 17,17 -69,68

Laje sem

torção

Real 39,19 3%

-56,32 12%

14,70 1%

-63,53 3%

J=0 40,22 -64,17 14,92 -65,36

Vig

a rí

gid

a Laje com

torção

Real 13,20 30%

-20,57 6%

15,88 6%

-31,49 9%

J=0 18,93 -21,89 16,95 -34,54

Laje sem

torção

Real 14,92 12%

-22,89 -7%

21,18 9%

-37,96 12%

J=0 16,87 -21,49 23,21 -43,23

Os modelos que consideram que as vigas não resistem à torção, J=0, quando comparadas com

os modelos que consideram a rigidez à torção real das vigas de apoios, J=1, nota-se diferenças

significativas, principalmente nos casos em que se considera lajes com torção. Constata-se

também que ao considerar que as vigas não resistem à torção os momentos na laje aumentam

na maioria dos casos, com excepção do momento negativo na direcção Y para a condição de

cálculo onde considera-se vigas rígidas e lajes sem torção.

Analise comparativa dos momentos dados pelos modelos que consideram a rigidez à torção

real das vigas de apoios (J=1) e os modelos que consideram apenas metade da rigidez,

J=0,5.

Quadro 3.8 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os

modelos que consideram J=0,5

Momentos (kN.m/m)

Rigidez à torção

das vigas Mxmáx

+ (%) Mx máx

- (%) Mymáx

+ (%)

My máx

-

(%)

Vig

a co

m r

igid

ez

à fl

exão

rea

l Laje com

torção

Real 36,60 1%

-51,08 2%

14,77 -1%

-59,03 1%

Gj=0,5 36,86 -52,21 14,64 -59,34

Laje sem

torção

Real 39,19 1%

-56,32 4%

14,70 1%

-63,53 1%

Gj=0,5 39,68 -58,95 14,83 -64,23

Vig

a rí

gid

a Laje com

torção

Real 13,20 -3%

-20,57 -2%

15,88 2%

-31,49 3%

Gj=0,5 12,78 -20,16 16,25 -32,57

Laje sem

torção

Real 14,92 4%

-22,89 -2%

21,18 4%

-37,96 5%

Gj=0,5 15,49 -22,36 21,97 -39,99

De acordo com os resultados apresentados no Quadro 3.8 verifica-se que as diferenças entre

os modelos são insignificantes (inferiores a 10%). Por outro lado, constata-se que ao reduzir o



momento torsor das vigas de apoios os momentos flectores nas lajes aumentam. Porém, com

algumas excepções, como por exemplo, no cálculo de momento positivo na direcção Y para a

condição de cálculo em que se considera as vigas com a sua rigidez à flexão real e laje com

torção, no cálculo dos momentos tanto positivo como negativo na direcção X para a condição

de cálculo que considera vigas rígidas e lajes com torção e ainda no cálculo do momento

negativo na direcção X para a condição de cálculo que considera viga rígida e laje sem torção.

3.2.2 Aplicação do método dos elementos finitos para análise da laje L1

isoladamente

Tal como no modelo das tabelas a análise da laje isoladamente foi feita aplicando o método de

Marcus. Para a determinação dos momentos positivos foram admitidos os seguintes modelos

de cálculos:

Modelo 1: Considera a laje L1 submetida a uma carga Psd1= 1,5 x (g+q/2) =14,63

kN/m2 e com as seguintes condições de apoios:

Figura 3.8 – Modelo 1: Discretização e condições de apoio da laje L1

Modelo 2: Considera a laje L1 submetida a uma carga Psd=1,5x(q/2)=1,5kN/m2 e

com todos os bordos simplesmente apoiados conforme ilustrado na figura que se

segue:

Figura 3.9 – Modelo 2: Discretização e condições de apoio da laje L1

Os momentos positivos máximos na laje L1 são obtidos através da soma dos momentos

positivos resultantes dos dois modelos.

No Quadro 3.9 apresentam-se os valores dos momentos para cada um dos modelos, tendo em

conta as seguintes condições de cálculos:

Bordos encastrados

Bordos simplesmente apoiados



1. Modelação com base na teoria de Reissner-Mindlin:

a) Considerar a laje com rigidez torsional;

b) Considerar a laje sem rigidez torsional.

2. Modelação com base na teoria de Kirchhoff:

a) Considerar a laje com rigidez torsional;

b) Considerar a laje sem rigidez torsional.

3.2.2.1 Apresentação dos resultados

Quadro 3.9 – Momentos positivos máximos na laje L1

Momentos (kN.m/m)

Modelo 1 Modelo 2 Momentos finais (kN.m/m)

Condições de cálculos Mxmáx + Mymáx

+ Mxmáx

+ Mymáx

+ Mxmáx

+ Mymáx

+

1a 13,89 18,47 1,98 2,62 15,86 21,08

1b 19,64 26,18 3,39 4,46 23,03 30,64

2a 12,68 17,43 1,90 2,53 14,58 19,96

2b 19,24 25,97 3,37 4,46 22,62 30,43

Os momentos negativos foram determinados através do Modelo1, mas considerando que este

está submetido a uma carga igual a 16,13kN/m2 (Psd=1,5*g +1,5*q). De acordo com as

condições de cálculo descritas anteriormente obtiveram-se para os momentos negativos na

laje L1 os valores apresentados no Quadro 3.10.

Quadro 3.10 – Momentos negativos máximos na laje L1

Momentos (kN.m/m)

Condições de cálculos Mxmáx - Mymáx

-

1a -34,27 -38,98

1b -40,15 -47,97

2a -36,35 -41,04

2b -41,35 -49,86

3.2.2.2 Análise dos esforços

Os resultados apresentados no Quadro 3.9 e 3.10 mostram que os momentos calculados pelo

Modelo de Kirchhoff e pelo Modelo de Reissner-Mindlin são aproximados, com diferença

máxima de 8%, ao contrário do que aconteceu na modelação do pavimento como um todo.

Ao analisar o efeito da rigidez à torção da laje constata-se a tendência esperada que é o

aumento do momento flector no caso em que não é tida em conta a rigidez à torção da laje.

Do Quadro 3.9 verifica-se que o incremento do momento positivo na direcção X é de 31%

para o Modelo de Reissner-Mindlin e 36% para o modelo de Kirchhoff. Na direcção Y o

incremento é de 31% para o modelo de Reissner-Mindlin e 34% para o modelo de Kirchhoff.

Quanto aos momentos negativos (Quadro 3.10) verifica-se que na direcção X o incremento

dado pelo Modelo Reissner-Mindlin é de 15% enquanto que o dado pelo modelo de Kirchhoff

é de 12%. Na direcção Y nota-se um aumento de 19% no Modelo de Reissner-Mindlin e 18%

no modelo de Kirchhoff.



3.3 Análise comparativa dos esforços obtidos recorrendo ao uso

das tabelas de Barés e pelo método dos elementos finitos

3.3.1 Análise comparativa dos momentos flectores

O método das tabelas sustenta-se sobre pressupostos de que não há interacção entre as lajes e

os demais elementos da estrutura (vigas e pilares), no que se refere às dimensões e rigidez dos

mesmos, bem como a influência da laje no comportamento global da estrutura. Das análises

feitas através do método dos elementos finitos recorrendo ao programa Sap2000 nota-se,

explicitamente, que todos esses parâmetros influenciam bastante os esforços nas lajes,

portanto o ideal será modelar a laje tendo em conta todos esses parâmetros de modo a obter

resultados mais realistas.

Nas Figuras 3.10, 3.11, 3.12, 3,13 e 3.14 apresentam-se os diagramas dos momentos flectores

e torsores na laje L1 determinados com base no método dos elementos finitos (M.E.F), em

que se simulou o comportamento do pavimento em estudo o mais próximo da realidade,

Modelo A- condição de cálculo 1.1 (ver Secção 3.2.1) e os diagramas dos momentos obtidos

através do método das tabelas de Barés (ver Secção 3.1.1).

Momentos flectores na laje L1 determinados através do M.E.F: Modelo A - condição de

cálculo 1.1

Figura 3.10 – Momento flector na direcção X.

Momentos flectores na laje L1 determinados através do M.E.F: Modelo A- condição de

cálculo 1.1

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 – Momento

flector na direcção X.

uywdjhsakj

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1- Momento

flector na dire

Mxmáx + =36,61kN.m/m

Mxmáx - =-51,08kN.m/m

≈1,2m ≈0,3

Ponto onde verifica-se

o Mxmáx+

Mxmáx+=36,61kN.m/m


Mxmáx- = -51,08kN.m/m

C’ C

B’ B

A’ A



Figura 3.11 – Momento flector na direcção Y.

Figura 3.12 – Momento torsor.

Com base nos diagramas apresentados é possível determinar os momentos máximos de

dimensionamento da laje L1 através da aplicação da seguinte fórmula:

Armadura superior:

Bordo adjacente à L2:

Bordo adjacente à L4:

Bordo adjacente à consola:

Armadura inferior:




flector na direcção Y.

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1- Momento


Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 -

Momento flector na direcção Y.

Mymáx+=18,46kN.m/m


Mymáx-=-59,03kN.m/m

Bordo Adjacente à consola

Mymáx- =-21,96kN.m/m

≈1,7m

≈0,8m

Mymáx+=18,46kN.m/m



Bordo Adjacente à consola


Ponto onde verifica-se

o Mymáx+. D’

D

E’

E

F’

F

1 – Momento flector na direcção Y.


torsor

Mxymáx=5,08kN.m/m

Mxymín=-15,60kN.m/m

Mxymáx=5,08kN.m/m

Mxymín=-15,60kN.m/m



Momentos flectores na laje L1 determinados usando as Tabelas de Barés (ver detalhe de

cálculo em 3.1.1)

Figura 3.13 – Momentos flectores determinados usando as tabelas de Barés.

Ao analisar os resultados dos esforços dados pelos dois métodos constata-se claramente que o

método dos elementos finitos oferece resultados superiores, diferindo significativamente dos

resultados obtidos com base no método das tabelas, conforme apresentado no Quadro 3.11.

Quadro 3.11 – Diferença (em percentagem) entre os momentos de dimensionamento dados

pelo método dos elementos finitos e método das tabelas.

Método das tabelas M.E.F

Msd (kN.m/m) Msd (kN.m/m) (%)

Direcção X Bordo adjacente a L2 -29,77 -66,68 55%

Vão 13,68 37,25 63%

Direcção Y

Bordo adjacente à consola -19,60 -27,04 28%

Bordo adjacente à L4 -44,63 -65,70 32%

Vão 18,68 19,97 6%

O método das tabelas não dá informação da secção onde se verifica os momentos máximos,

porém através do modelo idealizado no programa Sap2000 em que tentou-se simular as

condições das tabelas (ver as condições de cálculos referidas na Secção 3.2.2, Modelo 2a)

averigua-se, através da Figura 3.14, que o momento máximo negativo na laje L1 verifica-se

nas zonas da laje localizadas aproximadamente ao meio vão das vigas de apoios e o momento

máximo positivo ocorre no vão da laje.

Figura 3.14 – Momento flector na direcção X e Y, respectivamente.

Ao observar os diagramas dos momentos na laje L1 obtidos através do método dos elementos

finitos, Modelo A - condição de cálculo 1.1, constata-se que o momento máximo negativo




ocorre na secção da laje sobre o apoio pontual e vai diminuindo à medida que se avança para

o meio vão das vigas de apoio (ver Figuras 3.10 e 3.11).

Nas figuras que se seguem apresentam-se os diagramas dos momentos que mostram as

regiões da laje com momento negativo não esquecendo de realçar que o diagrama que

representa os momentos dados pelo método das tabelas foi traçado de acordo com os

diagramas simplificados propostos pelo Czerny (ver Anexo I).

Para facilitar a comparação entre os dois métodos, os momentos dados pelo método dos

elementos finitos são apresentados em cortes.

Figura 3.15 – Traçado aproximado do diagrama dos momentos flectores dados pelo método

das tabelas de Barés.

Figura 3.16 – Momento flector na direcção X: corte AA’.

Figura 3.17 – Momento flector na direcção X: corte BB’.

1,05m

1,18m

1,1m

1,1m

-29,7kN.m/m

13,68kN.m/m

- 4

4,6

3k

N.m

/m

-19,60kN.m/m

B=

5,5

m

a=6,5m

18

,68

kN

.m/m

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

Mx (kN

.m /

m)

m

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

Mx

(k

N.m

/m)

m

Bordo adjacente à L2





Figura 3.18 – Momento flector na direcção X: corte CC’.

Figura 3.19 – Momento flector na direcção Y: corte DD’

Figura 3.20 – Momento flector na direcção Y: corte EE’

Figura 3.21 – Momento flector na direcção Y: corte FF’

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

Mx

(k

N.m

/m)

m

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

My

(kN

.m /

m)

m

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

My

(kN

.m /

m)

m

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

My

(kN

.m /

m)

m



De acordo com o diagrama apresentado na Figura 3.15 constata-se que no bordo considerado

como simplesmente apoiado não há momentos negativos mas ao analisar os diagramas

obtidos com base no método dos elementos finitos em que se tentou simular o comportamento

real da laje (Figuras 3.16, 3.17 e 3.18), nota-se que existe uma região com momentos

negativos que assume no máximo uma distância 0,25 m do apoio.

No bordo adjacente à laje L2 as regiões com momento negativo dado pelos dois métodos têm

comprimentos aproximados, 1,1 metro dado pelo método simplificado de Czerny contra os

1,25 metros obtido através do modelo dos elementos finitos.

Na direcção Y, no bordo adjacente à consola nota-se que o comprimento máximo da região

com momento negativo determinado de forma simplificada aproxima-se muito do

determinado pelo método dos elementos finitos. Já no bordo adjacente à laje L4 o

comprimento da região com momento negativo determinado com base nos elementos finitos é

superior ao obtido através do método simplificado de Czerny, o primeiro toma valor máximo

de 1,6 m aproximadamente e o segundo toma o valor de 1,18m.

3.3.2 Análise comparativa da quantidade das armaduras longitudinais

principais

As armaduras longitudinais da laje em análise, L1, foram determinadas de acordo com o EC2-

1-1 para os momentos flectores máximos positivos e negativos dados pelos dois métodos de

cálculos, o método das tabelas e o método dos elementos finitos (Modelo A, condição de

cálculo 1.1), que posteriormente foram comparadas entre si. Para o efeito foi considerado que

a altura útil da laje, d, igual a 0,18m, betão classe C25/30 (fcd=16,7MPa e fctm=2,6MPa) e aço

A400NR (fsyd=348MPa).

Determinação das armaduras longitudinais (verificação da segurança ao Estado Limite

Último de Resistência à Flexão) para resistir aos esforços dados pelo método das tabelas:

Na direcção X:

Armadura longitudinal principal para resistir ao momento negativo

Mxsd-=-29,77kN.m/m →

→ da tabela obteve-se que

→

.

Armadura longitudinal principal para resistir ao momento positivo

Mxsd+=13,68kN.m/m→

→ da tabela obteve-se que

→

As armaduras longitudinais na direcção Y foram determinadas da mesma maneira, bem como

as armaduras necessárias para resistir aos momentos dados pelo método dos elementos finitos

(M. E. F) e os resultados estão apresentados no Quadro 3.12.



Quadro 3.12 – Armaduras longitudinais da laje L1

M. das tabelas M.E.F

Asfinal(cm

2/m) Asfinal(cm

2/m) (%)

Direcção X Bordo adjacente a L2 4,89 11,40 57%

Vão 2,21 6,17 64%

Direcção Y

Bordo adjacente à consola 3,19 4,43 28%

Bordo adjacente à L4 7,45 11,22 34%

Vão 3,04 3,25 7%

Da análise comparativa dos esforços dados pelos dois métodos notou-se que a máxima

diferença é de aproximadamente 63%, porém, ao nível das quantidades das armaduras

longitudinais constata-se através do Quadro 3.12 que a máxima diferença entre os modelos é

de 64%.

CAPÍTULO IV


4. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES FUNGIFORMES

As lajes fungiformes são lajes que apoiam directamente nos pilares e são dimensionadas quer

para acções verticais quer para acções horizontais, pois nesse tipo de laje o efeito de pórtico é

garantido pela própria laje.

A determinação dos esforços de dimensionamento neste tipo de lajes é feita com base num

método comprovado, como o método das grelhas, no qual a laje é idealizada como um

conjunto de elementos discretos interligados, o dos elementos finitos, o das charneiras

plásticas e o do pórtico equivalente (EC2-1-1).

Neste capítulo, o estudo focaliza-se na análise dos esforços nas lajes fungiformes recorrendo à

simplificação permitida pelo REBAP e Eurocódigo 2 (método dos pórticos equivalentes) e

método dos elementos finitos através da aplicação do programa de cálculo Sap2000. È

adoptado um pavimento tipo, no qual são aplicados os dois modelos e posteriormente é feita a

análise comparativa dos esforços obtidos.

Antes de desenvolver as questões relacionadas com a análise dos esforços das lajes

fungiformes é feita uma abordagem sucinta dos aspectos relacionados com a sua concepção e

geometria.

4.1 Generalidades

As lajes fungiformes são lajes que apoiam directamente nos pilares, e podem ser maciças ou

aligeiradas (Marchão e Appleton, 2007).

Os pilares podem ter ou não espessamento da sua secção transversal nas proximidades da

ligação com a laje, sendo esse espessamento denominado de capitel, que tem como principal

finalidade evitar o fenómeno de punçoamento na laje. As lajes também podem apresentar um

aumento da espessura próximo do pilar, conhecido nos Estados Unidos como drop panel.

Essa técnica é aplicável sempre que há um elevado momento negativo nessa região ou então

sempre que a espessura necessária para transmitir as acções verticais aos pilares excede a

exigida pela flexão. Há casos, em que é adoptada uma solução com os dois elementos,

(Henrichs, 2003).

Figura 4.1– Laje fungiforme com capitel e com espessamento (Henrichs, 2003).

As lajes fungiformes maciças normalmente são utilizadas em vãos na ordem dos 4 a 6 metros

e para cargas de utilização de valor moderado. No caso de cargas maiores e vãos entre 6 a 10

metros essa solução só é aconselhável se caso o pilar for munido de capitel ou então realizar-

se-á um aumento da espessura da laje junto ao pilar.

Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV


Figura 4.2 – Laje fungiforme maciça (Ramos, 2006).

As lajes fungiformes aligeiradas são lajes constituídas por um sistema de nervuras nas duas

direcções, combinado com uma zona maciça junto do pilar e eventualmente com vigas no

alinhamento dos pilares que se designam por bandas de acerto, com altura igual à espessura

da laje. O uso deste tipo de bandas permite uma maior resistência para transmitir esforços

transversos e momentos aos pilares, fornecendo maior resistência e rigidez para suportar

forças horizontais. A zona aligeirada pode ser feita com moldes recuperáveis ou com moldes

embebidos e podem ter dimensões variáveis. A zona maciça junto ao pilar geralmente tem

espessura igual à da laje e a sua largura depende da localização dos pontos de momentos

nulos. Normalmente é considerado que esses pontos encontram-se a uma distância entre o

eixo do pilar e a extremidade do maciço não inferior a 0,15 e não superior a 0,20 do vão

correspondente (Trindade, 2009).

Figura 4.3 – Laje aligeirada com moldes recuperáveis e com moldes embebidos (Ramos, 2006

e Martins, 2009).

No Quadro 4.1 apresenta-se, consoante o tipo de laje fungiforme e em função do seu vão

maior e da sua esbelteza, a espessura mínima a adoptar no caso de laje sujeita a sobrecarga

inferior a 5kN/m2, sendo que os valores apresentados foram obtidos tendo em conta o controlo

indirecto da deformação e o nível de esforços na laje (momento flector, punçoamento e

esforço transverso).



Quadro 4.1 – Espessuras a adoptar numa laje fungiforme (Marchão e Appleton, 2009)

O quadro apresentado acima, para além de dar informações sobre a espessura mínima a

adoptar para cada tipo de laje, indica também o intervalo dos vãos que se utiliza normalmente

para cada tipo de laje (ver zona cinzenta do Quadro 4.1).

Na Secção 7.4.2 do EC2 e no Anexo I desta dissertação encontram-se expressões que

permitem determinar a relação entre a altura útil e o vão maior da laje fungiforme. No caso

das lajes fungiformes em que o vão é superior a 8,5 metros e que suportam divisórias que

possam ser danificadas por flechas excessivas, o EC2-1-1 aconselha que os valores de L/d

dados pela Expressão I.2 ou I.3 devem ser multiplicados por 8,5/leff (leff em metros, ver

Anexo I).

Em relação aos pilares as dimensões a adoptar dependem da sua forma e da possibilidade de

ter ou não capitel (Montoya et al, 2000). Se o pilar for rectangular ou quadrangular as

dimensões mínimas são as seguintes:

Figura 4.4 – Dimensões mínimas dos pilares.

Se o pilar for circular faz-se primeiramente a analogia com pilares quadrados conforme

ilustrado a seguir.

Figura 4.5 – Analogia dos pilares circulares com pilares quadrados.

Sendo:

h- espessura da laje;

hc – espessura do capitel;

Lb – maior vão na direcção bo (adjacente);

Ll – maior vão na direcção lo (adjacente);

D – diâmetro do pilar.

lo

bo

h

hc

D2

1

bo

bo

bo ≥ 25 cm

bo ≥ h+hc

bo ≥ Lb/20

lo≥ 25 cm

lo ≥ h+hc

lo ≥ Ll/20

P1=P2→ D=2+bo2 → bo=



4.2 Análise das lajes fungiformes pelo método dos pórticos

equivalentes

O método dos pórticos equivalentes é um processo simplificado para a determinação dos

esforços actuantes nas lajes fungiformes que consiste, conforme citado no EC2-1-1, na:

1. Divisão da laje longitudinalmente e transversalmente em pórticos constituídos por pilares

e por troços de lajes compreendidos entre as linhas médias dos painéis adjacentes.

hfh

Figura 4.7 – Pórticos equivalentes na direcção Y (estrutura com um piso).

2. Determinação das cargas actuantes em cada pórtico. Nas lajes fungiformes, ao contrário do

que acontece nas lajes vigadas, as cargas são aplicadas na totalidade para ambas as direcções.

Essas cargas correspondem à largura da travessa do pórtico multiplicada pelo valor das cargas

actuantes, psd.

Figura 4.8 – Cargas a considerar nos pórticos.

Pórtico

1y

Pórtico

2y

Pórtico

3y

Lx1 Lx2

Lx1/2 Lx1/2 Lx2/2 Lx2/2

Ly

2L

y1

Ly1/2

Ly1/2

Ly2/2

Ly2/2

Lx1/2 Lx1/2 Lx2/2 Lx2/2

Psd x (Ly1/2)

Psd x (Ly1/2+Ly2/2)

Psd x (Ly2/2)

Psd x (Lx1/2) Psd x (Lx1/2+Lx2/2) Psd x (Lx2/2)

Figura 4.6 – Pórticos equivalentes na direcção X (estrutura com um piso).

Pórtico 1x

Pórtico 2x

Ly

2L

y1

Ly1/2

Ly1/2

Ly2/2

Ly2/2 Pórtico 3x

Lx1 Lx2



Para as cargas verticais (sobrecarga e cargas permanentes) a análise é feita considerando a

rigidez total da travessa.

Figura 4.9 – Acções verticais e geometria do pórtico 2y.

Para acções horizontais (vento e sismo) deve ser considerado apenas 40% da rigidez da

travessa (REBAP considera 50%), de modo a reduzir os momentos flectores transmitidos

entre a laje e o pilar.

(4.2)

3. Determinação dos momentos flectores máximos nos apoios e nos vãos de cada pórtico.

4. Divisão dos pórticos em faixas sobre os pilares e faixas centrais. Segundo EC2-1-1 a

divisão dos pórticos em faixas pode ser feita conforme ilustrado na Figura 4.10.

Figura 4.10 – Divisão dos pórticos em faixas (EC2-1-1).

Da Figura 4.10 constata-se que a faixa sobre os pilares tanto na direcção X como na direcção

Y é definida pelo menor valor entre ly/4 e lx/4, ao contrário do REBAP que considera para o

pórtico na direcção X a faixa sobre pilar igual a ly/4 e na direcção Y igual a lx/4.

Quando existem capitéis de largura maior que ly/3, poderá considerar-se para largura das

faixas sobre os pilares a largura dos capitéis e a largura das faixas centrais deverá ser ajustada

em conformidade, (EC2-1-1).

5. Distribuição dos momentos flectores nas faixas sobre os pilares e nas faixas centrais de

acordo com as condições citadas no Quadro 4.2.

Quadro 4.2 – Distribuição simplificada dos momentos flectores numa laje fungiforme

segundo EC2 e REBAP (Carmo, 2010).

Momentos negativos Momentos positivos

Faixa sobre pilares 60 % - 80 % (REBAP 75%) 50 % - 70 % (REBAP 55%)

Faixa central 40 % - 20 % (REBAP 25%) 50 % - 30 % (REBAP 45%)

NOTA: O total dos momentos negativos e positivos, a resistir conjuntamente pelas faixas sobre pilares e

pelas faixas centrais, deverá ser sempre igual a 100 %.

Pórtico 2y Psdv.(Lx1/2+Lx2/2)

Ly1 Ly2

- Faixa sobre o pilar

- Faixa central

A

B

Secção transversal da laje

(4.1)

Lx1/2+Lx2/2

hlaje



No caso de haver vigas de bordo devidamente dimensionadas à torção, os momentos

transferidos para os pilares de bordo ou de canto deverão ser limitados ao momento resistente

de uma secção rectangular igual a 0,17.be.d2.fck, sendo be calculado conforme ilustrado na

Figura 4.11. O momento positivo no tramo de extremidade deverá ser calculado em

conformidade (EC2-1-1).

a) Pilar de bordo b) Pilar de canto

- Bordo da laje

Nota: z pode ser cz e y pode ser> cy

Figura 4.11 – Largura efectiva, be, de uma laje fungiforme (EC2-1-1).

Já o REBAP no artigo 119.2 preconiza que no caso em que a travessa do pórtico extremo se

apoiar lateralmente numa parede ou numa viga de bordadura de altura não inferior a 1,5 vezes

a espessura da laje, os momentos flectores na faixa sobre os apoios podem ser considerados

iguais a um quarto dos resultantes da aplicação das percentagens definidas no Quadro 4.2.

Essa parede ou a viga deve ser dimensionada para a carga correspondente à faixa da travessa

sobre apoio, acrescida obviamente das cargas que lhe são directamente aplicadas.

A figura que se segue ilustra a forma como o momento máximo do pórtico equivalente é

distribuído nas faixas sobre os pilares e central.

Figura 4.12 – Distribuição dos momentos nas faixas do Pórtico 2Y.

A

M4

M a

poio

Pó

rtic

o

equiv

alen

te

M a

po

io

M v

ão

M1

M3M4

M2 M2

Pórtico 2y

0,25Lx20,25Lx10,25Lx1 0,25Lx2

M1

M2 M2



Considerando os coeficientes definidos pelo REBAP, já que esses pertencem ao intervalo

citado pelo EC2-1-1, os momentos M1 (momento negativo na faixa sobre os pilares), M2

(momento negativo na faixa central), M3 (momento positivo na faixa sobre os pilares), e M4

(momento positivo na faixa central) podem ser calculados da seguinte forma:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

ã

(4.6)

O método dos pórticos equivalentes é adequado para lajes sujeitas predominantemente a

cargas uniformemente distribuídas e para as quais seja possível considerar um sistema regular

de pórticos ortogonais.

Na situação em que há uma distribuição irregular dos pilares a aplicação desse métodos

método só é aconselhável se os pilares apresentarem no máximo um desvio de 10% em

relação ao alinhamento dos demais, (Pedrozo, 2008 e Montoya et al).

Figura 4.13 – Disposição dos pilares (Montoya et al).

As lajes com aberturas também podem ser analisadas recorrendo ao método dos pórticos

equivalentes, desprezando as aberturas e fazendo passar pelos seus lados uma área de

armadura igual à que é interrompida pela abertura, desde que as suas dimensões e

posicionamento obedeçam aos seguintes limites máximos, (Martins, 2009):

Intersecção das faixas sobre pilar:

(a1, a2)

(4.7)

Intersecção das faixas centrais:

(b1, b2)

(4.8)

Intersecção da faixa sobre o pilar com a faixa central:

(c1, c2)

(4.9)



Figura 4.14 – Limites máximos para a aplicação do método do pórtico equivalente, na análise

de lajes fungiformes com aberturas (Martins, 2009).

4.2.1 Aplicação do Modelo

Para a aplicação deste modelo foi escolhida a laje maciça fungiforme do 1º piso do edifício

apresentado no Capítulo II deste documento. Os pilares são de secção quadrangular,

0,30mx0,30m.

Figura 4.15 – Pavimento tomado como exemplo para a análise dos esforços.

a2

L2/2

Faixa sobre o pilar Faixa sobre o pilar

Fai

xa

sobre

o p

ilar

Fai

xa

sobre

o p

ilar

Faixa central

Fai

xa

centr

al

L1/2 L1/4L1/4

L1

e2d2

d1e1d1

L2/4

L2

L2/4

c1

c2

b1

b2

a1

P1.1 P1.2 P1.3

5.00 5.00 3.00 3.00 4.00

5.0

03

.50

3.5

01

.75

1.5

0

P1.4 P1.5 P1.6

P1.7 P1.8 P1.9 P1.10 P1.11 P1.12

P1.13 P1.18P1.14 P1.15 P1.16 P1.17

P1.19 P1.24P1.20 P1.21 P1.22 P1.23

P1.25 P1.26

2.0

0

2.00



Como pode-se constatar, a laje fungiforme adoptada para a análise (Figura 4.15) apresenta

aberturas com dimensões superiores aos limites mínimos citados anteriormente, logo pode-se

concluir, à prior, que a aplicação do modelo dos pórticos equivalentes na análise deste

pavimento pode não ser uma boa opção. Contudo, foi feita a análise usando o referido

método, com base nas simplificações que o tornam viável, mas que podem conduzir a

algumas discrepâncias entre os valores obtidos nos cálculos e os valores reais.

É de referir também que podia adoptar-se uma concepção mais económica através da redução

do número dos pilares, mas, de modo a atingir o objectivo pretendido tentou-se obter uma

estrutura com distribuição regular dos pilares. Desta forma torna-se mais viável a aplicação do

método dos pórticos equivalente.

Posteriormente será feita uma outra análise utilizando um método mais rigoroso para esse

cenário com o objectivo de avaliar as diferenças entre os dois métodos de cálculos.

Os dados utilizados na modelação:

Betão da classe C25/30:

fck=25MPa;

Ec=31GPa

Coeficiente de Poisson, ν=0,15.

Divisão da estrutura em pórticos ortogonais:

Figura 4.16 – Pórticos na Direcção X.

cxbcb



P1.12- significa pilar número 12 do piso 1.

Na definição dos pórticos na direcção X foram ignorados os pilares 25 e 26.

Devido à existência da abertura, o Pórtico 4x foi dividido em dois pórticos independentes,

sendo que o primeiro é definido pelos pilares P19, P20 e P21 e o segundo pelos pilares P22,

P23 e P24.

Os pórticos 3y e 4y foram definidos ignorando a existência da abertura adjacente ao pilar P9.

Espessura da laje

O pavimento em estudo é maciço e está sujeito a uma sobrecarga inferior a 5 kN/m, portanto a

sua espessura pode ser estimada pela expressão:

. O maior vão do pavimento é de 5

metros, logo h a adoptar deve pertencer ao intervalo:

. Adoptou-se

para o cálculo, h igual a 0,20m.

Quantificação e combinação das acções actuantes no pavimento

Foram consideradas apenas as cargas verticais e essas foram determinadas a partir das

dimensões adoptadas para a secção transversal da laje, do peso específico dos materiais e do

uso a que se destina o pavimento. Sendo assim as cargas actuantes no pavimento, cargas

permanentes e cargas variáveis, foram determinadas da seguinte forma:

Carga permanente, g:

Peso próprio: 25kN/m3×0,20m=5kN/m2

Revestimentos: = 1,5kN/ m2

Figura 4.17 – Pórticos na Direcção Y.



Paredes divisórias: = 2kN/m2

Carga variável, q:

Sobrecarga: = 2kN/m2

Psd=1,5 x (q+g) =15,75kN/m2

Carregamentos nos Pórticos

O carregamento em cada pórtico é dado pela expressão LpórticoxPsd. Nos casos dos pórticos que

apresentam variabilidade da largura ao longo da sua extensão, esta variabilidade foi tida em

conta nos cálculos dos carregamentos. Por exemplo, no Pórtico 2x os carregamentos a

considerar foram 4,25x15,75=66,94 kN/m

e 2,5x15,75=39,38kN/m. Na figura seguinte

apresentam-se os carregamentos no Pórtico 2x e os carregamentos nos restantes pórticos

encontram-se no Anexo II.

Figura 4.18- Carregamentos no pórtico2x

Cálculo dos momentos nos pórticos equivalentes:

Para o cálculo dos momentos, o pórtico equivalente foi modelado no programa SAP2000

através do elemento do tipo barra e com base na formulação de Timoshenko. Cada pórtico é

constituído por pilares de secção 0,30 x 0,30 e vigas com altura igual à da laje e largura igual

à largura da travessa, (por exemplo para o Pórtico 1x, as vigas apresentam uma secção de

4mx0,20m). Na figura que se segue apresenta-se o modelo de cálculo dos pórticos, e como se

pode verificar tentou-se simular a rigidez real da ligação laje-pilar.

szzzzzzzzzg

gvfvgnbn

66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94kN/m 66,94 k/m

66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38 kN/m 66,94 kN/m

39,38 kN/m

66,94kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38kN/m

66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38 kN/m

66,94kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38 kN/m



Figura 4.19 – Modelo de cálculo dos pórticos.

Para os pórticos que apresentam algumas irregularidades geométricas a modelação foi feita

considerando que todo o pórtico tem a mesma largura, sendo a largura adoptada foi a maior.

Nos quadros que se seguem apresentam os valores dos momentos do piso em análise.

Quadro 4.3 – Momentos máximos nos pórticos longitudinais

Pórtico Troço Ltroço [m] Msd apoio1 [kN.m] Msd vão [kN.m] Msd apoio2 [kN.m]

1x

Externo 1 5,00 -77,21 85,21 -146,13

Interno1 5,00 -141,46 71,91 -108,48

Interno 2 3,00 -75,30 11,24 -43,98

Interno 3 3,00 -43,19 17,52 -63,52

Externo2 4,00 -77,96 61,43 -51,18

2x

Externo1 5,00 -80,28 91,38 -155,34

Interno 1 5,00 150,03 78,13 -112,10

Interno 2 3,00 -71,50 0,83 -35,86

Interno 3 3,00 -41,43 20,97 -67,25

Externo2 4,00 -82,35 66,04 -53,32

3x

Externo 1 5,00 -70,41 73,09 -127,97

Interno1 5,00 -123,45 64,61 -91,89

Interno 2 3,00 -51,14 -5,30 -23,75

Interno 3 3,00 -32,77 18,74 -53,79

Externo2 4,00 -68,28 52,62 -47,00

4x' Externo1’ 5,00 -70,77 72,09 129,62

Externo 2' 5,00 -129,62 72,09 -70,77

4x'' Externo 1'' 3,00 -26,06 23,18 -51,62

Externo2’’ 4,00 -69,21 52,95 -45,42

O Ltroço é o comprimento do vão dos vários tramos de cada pórtico.



Quadro 4.4 – Momentos máximos nos pórticos transversais

Pórtico Troço Ltroço [m] Msd apoio1 [kN.m] Msd vão [kN.m] Msd apoio2 [kN.m]

1y

Externo 1 1,50 --- -11,08 -44,30

Interno1 5,00 -69,97 48,87 -78,42

Interno 2 3,50 -51,79 15,31 -38,20

Interno 3 3,50 -33,85 17,45 -51,85

Externo2 1,75 -60,30 -15,08 ---

2y

Externo 1 1,50 --- -22,15 -88,59

Interno1 5,00 -128,76 105,69 -152,04

Interno 2 3,50 -112,25 26,59 -75,75

Interno 3 3,50 -67,86 32,26 -108,80

Externo2 1,75 -120,59 -30,15 ---

3y

Externo 1 1,50 --- -17,72 -70,88

Interno1 5,00 -113,97 83,24 -109,03

Interno 2 3,50 -82,87 5,79 -39,84

Interno 3 3,50 -43,06 24,42 -28,71

Externo2 1,75 -18,94 2,45 -6,30

4y

Externo 1 1,50 --- -13,29 -53,16

Interno1 5,00 -88,27 59,74 -87,56

Interno 2 2,00 -64,23 17,71 -33,06

Interno 3 3,50 -29,73 12,67 -17,29

Externo2 1,75 -11,66 1,66 -3,11

5y

Externo 1 1,50 --- -15,51 -62,02

Interno1 5,00 -94,30 70,99 -108,29

Interno 2 3,50 -75,58 20,09 -53,08

Interno 3 3,50 -47,21 23,60 -74,42

Externo2 1,75 -84,42 -21,11 ---

6y

Externo 1 1,50 --- -8,86 -35,44

Interno1 5,00 -57,24 38,21 -63,22

Interno 2 3,50 -40,24 12,72 -30,79

Interno 3 3,50 -27,25 14,24 -40,74

Externo2 1,75 -48,23 -12,06 ---



Divisão dos pórticos em faixas

Figura 4.20- Divisão dos pórticos na direcção x em faixas sobre pilares e faixas centrais

segundo EC2-1-1.

Figura 4.21 – Divisão dos pórticos na direcção y em faixas sobre pilares e faixas centrais

segundo EC2-1-1.



Distribuição dos momentos nas faixas sobre o pilar e nas faixas centrais

Os momentos foram distribuídos nas faixas admitindo os coeficientes de distribuição

estipulados pelo REBAP, sendo estes pertencentes ao intervalo definido pelo EC2 (ver

Quadro 4.2). No Quadro 4.5 apresenta-se a distribuição dos momentos no pórtico 2x, os

resultados dos restantes pórticos encontram-se no Anexo II.

Quadro 4.5 – Distribuição dos momentos no Pórtico 2x

Pórtico Troço Momentos no pórtico

Faixa LFaixa Coef. De

Repartição

Msd Msd

[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]

2x

Externo 1

Msd

(apoio1) -80,28

Central 2,13 0,25 -20,07 -9,44

Sobre o pilar 2,13 0,75 -60,21 -28,33

Msd (vão) 91,38 Central 2,13 0,45 41,12 19,35

Sobre o pilar 2,13 0,55 50,26 23,65

Msd

(apoio2) -155,34

Central 2,13 0,25 -38,84 -18,28

Sobre o pilar 2,13 0,75 -116,51 -54,83

Interno 1

Msd

(apoio1) -150,03

Central 2,13 0,25 -37,51 -17,65

Sobre o pilar 2,13 0,75 -112,52 -52,95

Msd (vão) 78,13 Central 2,13 0,45 35,16 16,55

Sobre o pilar 2,13 0,55 42,97 20,22

Msd

(apoio2) -112,10

Central 2,13 0,25 -28,03 -13,19

Sobre o pilar 2,13 0,75 -84,08 -39,56

Interno 2

Msd

(apoio1) -71,50

Central 1,75 0,25 -17,88 -10,21

Sobre o pilar 0,75 0,75 -53,63 -71,50

Msd (vão) 0,83 Central 1,75 0,45 0,37 0,21

Sobre o pilar 0,75 0,55 0,46 0,61

Msd

(apoio2) -35,86

Central 3,00 0,25 -8,97 -2,99

Sobre o pilar 0,50 0,75 -26,90 -53,79

Interno 3

Msd

(apoio1) -41,43

Central 2,75 0,25 -10,36 -3,77

Sobre o pilar 1,50 0,75 -31,07 -20,72

Msd (vão) 20,97 Central 2,75 0,45 9,44 3,43

Sobre o pilar 1,50 0,55 11,53 7,69

Msd

(apoio2) -67,25

Central 2,75 0,25 -16,81 -6,11

Sobre o pilar 1,50 0,75 -50,44 -33,63

Externo 2

Msd

(apoio1) -82,35

Central 2,38 0,25 -20,59 -8,67

Sobre o pilar 1,88 0,75 -61,76 -32,94

Msd (vão) 66,04 Central 2,38 0,45 29,72 12,51

Sobre o pilar 1,88 0,55 36,32 19,37

Msd

(apoio2) -53,32

Central 2,38 0,25 -13,33 -5,61

Sobre o pilar 1,88 0,75 -39,99 -21,33

As Figuras 4.22 e 4.23 ilustram a distribuição dos momentos nas lajes. De acordo com o

Quadro 4.5 e os que se encontram no Anexo II salienta-se que num mesmo nó (na mesma

direcção) existem diferentes valores dos momentos, devido ao facto das faixas terem

comprimentos diferentes e também o momento à esquerda e à direita do pilar são diferentes.

No entanto, para o efeito de dimensionamento adoptou-se para cada nó o momento máximo

em valor absoluto.



á

á

Figura 4.22 – Momentos flectores na direcção X. dfgdf

á

á

Figura 4.23 – Momentos flectores na direcção Y.



4.3 Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos

elementos finitos

O método dos elementos finitos é um método numérico que permite a análise de lajes ou de

outros elementos estruturais mais complexos. Actualmente esse método é vulgarmente

utilizado, devido a sua eficácia e facilidade com que permite avaliar o comportamento da

estrutura.

Neste trabalho o método dos elementos finitos é aplicado à laje descrita no subcapítulo

anterior, onde se aplicou o método dos pórticos equivalentes. Os dados admitidos para o

cálculo são também iguais.

4.3.1 Modelação

A laje foi modelada no programa Sap2000, através dos elementos finitos de casca, tendo em

conta a deformação de corte (Laje de Ressin-Meddlin). Por simplificação, os pilares foram

modelados como apoios duplos, uma vez que a sua restrição à rotação da laje é muito fraca.

A discretização da laje foi feita através de malhas de 0,5mx0,5m, sendo estas refinadas para

0,25mx0,25m nas regiões próximas dos pilares.

Figura 4.24 - Discretização da laje e condições de apoios.



4.3.2 Apresentação dos resultados:

Os resultados dos momentos obtidos para o modelo acima estão descritos nas seguintes

figuras:

M11

-máximo=-135,16 kN.m/m M11

+máximo= 40,4 kN.m/m

Figura 4.25 – Momento flector na direcção X (M11).

M22

-máximo=-142,09 kN.m/m M22

+máximo= 34,73 kN.m/m

Figura 4.26 – Momento flector na direcção Y (M22).



M12

-máximo= -53,75kN.m/m M12

+máximo= 38,74kN.m/m

Figura 4.27 – Momento torsor (M12).

4.3.3 Redução dos momentos negativos máximos

O EC2-1-1 refere na Secção 5.3.2.2 (3) que nos “casos em que a viga ou a laje é betonada

monologicamente com os apoios, deverá considerar-se para momento de cálculo crítico no

apoio o valor à face do apoio. Em geral, deverá considerar-se para o momento de cálculo e a

reacção transmitidos ao apoio (por exemplo, pilar, parede, etc.) o maior dos valores elásticos

ou redistribuídos. O momento à face do apoio não deverá ser inferior a 0,65 do momento de

encastramento.”

Na Secção 5.3.2.2 (4) menciona ainda que “independentemente do método de análise

utilizado, no caso de continuidade de uma viga ou de uma laje sobre um apoio que se possa

considerar como não impedindo a rotação (por exemplo, sobre paredes), o valor de cálculo

dos momentos de apoio, calculados com base nos vãos iguais entre eixos dos apoios, poderá

ser reduzido de uma quantidade ΔMed”:

Δ

(4.10)

Onde Fed,sup é a reacção de apoio e t é a largura do apoio.

Figura 4.28 - Redução do momento sobre o apoio (Carmo, 2010)



Por exemplo, o momento negativo máximo na direcção X é de -135,16 kN.m/m e dá-se no

pilar P8 cuja reacção é de 437,95 kN. Sendo assim, o momento de dimensionamento é :

4.4 Análise comparativa dos esforços obtidos pelo método dos

pórticos equivalentes e pelo método dos elementos finitos

A análise comparativa dos momentos obtidos pelos dois métodos foi feita em três regiões

consideradas críticas: região dos apoios, vãos centrais e nas regiões das aberturas. Na Figura

4.29 apresentam-se as diferentes zonas da laje sujeitas à análise comparativa.

Figura 4.29 – Zonas da laje sujeitas à análise comparativa dos esforços.

4.4.1 Análise comparativa dos momentos flectores nos vãos

Corte BB’

Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores Mx na secção BB'.

A Figura 4.30 mostra que os momentos dados pelos dois métodos seguem a mesma tendência,

porém, os obtidos pelo método dos elementos finitos são maiores.

Método dos pórticos equivalentes

Método dos elementos finitos (MEF)



Corte HH’:

Figura 4.31 – Diagrama dos momentos flectores My na secção HH’.

Tal como acontece no corte BB’, os momentos obtidos pelos dois métodos seguem a mesma

tendência, mas neste caso são aproximadamente iguais, exceptuando os momentos no

intervalo entre 8 a 11 metros. Isto pode ser explicado pe lo facto de ser uma zona próxima das

aberturas, onde no cálculo dos momentos pelo método dos pórticos equivalentes foram feitas

algumas simplificações, como por exemplo, a consideração de uma largura constante ao longo

do pórtico.

4.4.2 Análise comparativa dos momentos flectores nos apoios.

Corte AA’: Extremidade da laje

Figura 4.32– Diagrama de momentos flectores Mx na secção AA’.

Da Figura 4.32 pode-se observar que nos extremos do pavimento os momentos flectores nos

apoios dados pelo método dos pórticos equivalentes são superiores aos determinados pelo

método dos elementos finitos, tendo uma diferença que oscila entre 16% a 51%.

Outra particularidade que se pode averiguar é que segundo o método dos pórticos

equivalentes os vãos possuem tracção nas fibras superiores, enquanto que no método dos

elementos finitos estes possuem tracção nas fibras inferiores. Estas situações requerem

atenção, mas no caso em estudo os valores dos momentos obtidos são irrelevantes.





MEF - Redução dos momentos sobre os pilares



Corte CC’: faixa interna

Figura 4.33 – Diagrama dos momentos flectores Mx na secção CC’.

A Figura 4.33 ilustra explicitamente o facto de que nos apoios os momentos flectores

calculados pelo método dos elementos finitos são significativamente superiores aos

determinados pelo método dos pórticos equivalentes, com uma diferença que varia entre 41 a

60%. Essas diferenças são reduzidas para 33 a 54 % devido a correcção dos momentos nos

apoios.

Nos vãos verifica-se que os momentos negativos determinados pelo método dos elementos

finitos também são maiores que os momentos dados pelo método dos pórticos equivalentes,

exceptuando o caso do vão limitado pelos pilares P2 e P8. Nesse vão os momentos negativos

determinados pelo método dos elementos finitos são inferiores, existindo zonas onde a

diferença entre os momentos calculados pelos dois métodos atinge 39%.

Corte DD’

Figura 4.34 - Diagrama dos momentos flectores Mx na secção DD’.

A Figura 4.34 mostra que nos apoios extremos, P21 e P25, os momentos determinados pelo

método dos pórticos equivalentes são superiores aos determinados pelo método dos elementos

finitos, tal como acontece na Figura 4.32, enquanto que nos apoios internos os momentos

dados pelo método dos elementos finitos são maiores.









P25 é um pilar que foi ignorado no cálculo dos momentos na direcção X pelo método dos

pórticos equivalentes, sendo que o momento ali considerado foi o momento obtido para a

faixa central do pórtico 4x’. De acordo com a Figura 4.34 pode-se concluir que a decisão

tomada origina valores que se aproximam muito dos momentos obtidos pelo método dos

elementos finitos.

No pilar P15 e nos extremos do pavimento, os momentos dados pelo método dos pórticos

equivalentes cobrem satisfatoriamente os momentos determinados pelo método dos elementos

finitos.

No pilar P9, apesar do momento do pico dado pelo método dos elementos finitos ser superior

aos momentos dados pelo método dos pórticos equivalentes, considera-se que este último

fornece valores aceitáveis, pois os momentos resultantes deste método são maiores que os

momentos nas faces do pilar obtido pelo método dos elementos finitos. Por outro lado, o

diagrama do momento dado pelo método dos pórticos equivalentes cobre eficazmente o

diagrama dos momentos dados pelo método dos elementos finitos.

Corte EE’

Figura 4.35– Diagrama dos momentos flectores Mx na secção EE’.

Na determinação dos momentos através do método dos pórticos equivalentes foi considerado

na zona da abertura uma largura superior à largura real da travessa, esta opção poderá

justificar a presença de momentos maiores que os dados pelo método dos elementos finitos.

Corte FF’

Figura 4.36 - Diagrama dos momentos flectores My na secção FF’.






MEF: Redução dos momentos sobre os pilares



Conforme pode-se observar na Figura 4.36, os momentos obtidos através do método dos

elementos finitos são bastante superiores aos obtidos pelo modelo dos pórticos equivalentes,

excepto no pilar P4.

Corte GG’

Figura 4.37 – Diagrama dos momentos flectores My na secção GG’.

No ponto médio do P9 o método dos elementos finitos fornece resultados dos momentos

superiores aos determinados pelo método dos pórticos equivalentes, mas os momentos nas

faces do referido pilar, obtidos pelos dois métodos são semelhantes. Face a essa situação e

devido ao facto da área que cobre os momentos distribuídos dados pelo método dos pórticos

equivalentes ser praticamente igual à área do diagrama do modelo dos elementos finitos na

mesma região, pode concluir-se que o método dos pórticos equivalentes fornece valores

satisfatórios para a análise da laje junto ao pilar P9.

Nas zonas junto ao pilar P10 considera-se que os momentos obtidos pelo método dos pórticos

equivalentes apresentam algumas discrepâncias em relação aos resultados do outro método,

nomeadamente o traçado do diagrama dos momentos determinado por esse método não cobre

satisfatoriamente o diagrama dos momentos obtido pelo modelo dos elementos finitos.

4.4.3 Considerações gerais

Através da análise realizada constatou-se que há diferenças significativas entre os momentos

flectores dados pelos dois métodos. Notou-se que de um modo geral o método dos elementos

finitos oferece momentos superiores, razão pela qual pode-se concluir que os resultados dos

momentos dados pelo modelo dos pórticos equivalentes revelam insuficiências para a análise

ao estado limite último de resistência à flexão do pavimento analisado.

O método dos pórticos equivalentes não dá informação sobre o momento torsor na laje e

através do método dos elementos finitos é possível determinar esse esforço. No caso em

estudo obteve-se, através do método dos elementos finitos, momentos torsores que variam

entre -53,75kN.m/m e 38,74kN.m/m. Como se pode verificar isso acarretaria um aumento

significativo dos momentos de dimensionamento e consequentemente da quantidade de

armaduras longitudinais.

Face às situações descritas, pode-se concluir que o método dos pórticos equivalentes não

consegue representar adequadamente o comportamento da laje em estudo.



MEF: Redução dos momentos sobre os pilares

CAPÍTULO V


5. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS ESPACIAIS PÓRTICADAS DE

BETÃO ARMADO

Os pórticos são estruturas reticuladas constituídos por pilares (elementos com esforço axial

não desprezável) e vigas (elementos sujeitos essencialmente a momentos flectores e a

esforços transversos).

A análise destas estruturas e não só deve ser feita através da utilização de modelos quer de

geometria quer do comportamento que idealizam adequadamente o comportamento da

estrutura. A escolha de um modelo adequado depende da solução estrutural escolhida, da

complexidade da estrutura, do carregamento actuante bem como das ferramentas de cálculo

disponíveis.

Segundo o EC2-1-1 o comportamento dos elementos estruturais é modelado com base numa

análise linear elástica ou com base em análise não lineares. A geometria da estrutura pode ser

definida com base nos modelos planos ou então com base nos modelos tridimensionais.

Neste capítulo o estudo centraliza-se na análise linear elástica da estrutura porticada

considerando dois tipos de modelação geométrica: plana e tridimensional. Os resultados

obtidos, tanto a nível de esforços como das quantidades de armaduras longitudinais, pelas

diferentes modelações estruturais são avaliados e comparados entre si. É de realçar que na

análise dos pórticos será adoptada sempre que possível as mesmas hipóteses de cálculos de

modo a minimizar as diferenças. Uma outra questão abordada neste capítulo é a análise da

influência do comportamento da laje nos pórticos, de modo a medir a sua contribuição para a

rigidez dessas estruturas.

Assim, começa-se por descrever os modelos estruturais a analisar, as caracteristicas dos

materiais e as acções a considerar. Posteriormente, para cada modelo estrutural determina-se

os esforços e as quantidades de armaduras. Finalmente, os resultados referentes a cada modelo

analisado são presentados e comparados.

5.1 Estrutura a analisar

A estrutura sujeita a análise comparativa trata-se do edifício de habitação apresentado no

Capítulo II. Para este estudo foi considerado que as plantas dos pavimentos são todos iguais

de modo a facilitar a elaboração dos modelos, e ainda não foi considerada a existência de

pavimentos como cave, cobertura e casa das máquinas, apesar de estes terem importância

considerável na definição e comportamento da estrutura real. O pé-direito foi considerado

constante em todos os pisos com valor de 2,7m e o vão de cálculo foi definido como a

distância entre os centros dos apoios.

Para a análise admitiu-se que o edifício em questão apresenta pilares com secção 0,30m x

0,30m, vigas com secção 0,30m x 0,50m e lajes com 0,21m de espessura. A laje de escadas

tem uma espessura 0,18m e considerou-se que os degraus têm um espelho com 0,17m de

altura e um cobertor com 0,30 de largura.

Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V


Escolheu-se o betão da classe C25/30 e aço A400NR como material estrutural, cujas

características mecânicas consideradas foram: módulo de elasticidade, Ec=31GPa, fck=25MPa;

coeficiente de Poisson, ν=0,15, o peso específico, =25kN/m3 e fsyk=400MPa.

5.2 Quantificações e combinações das acções

Para a análise dos modelos estruturais apresentados considerou-se apenas as acções verticais

(sobrecarga e carga permanente). Portanto, nas lajes foram consideradas como acções

permanentes o seu peso próprio com valor de 5,25kN/m2, o peso do revestimento igual a 1,5

kN/m2, o peso das paredes divisórias igual a 2 kN/m

2 e ainda o peso da parede exterior na

região da Consola 2 com valor igual a 3,56kN/m2

(ver Anexo I e II). Como acções variáveis

considerou-se apenas a sobrecarga cujo valor é de 2kN/m2

em toda a laje, com excepção da

zona da consola a um metro da extremidade exterior onde admitiu-se uma sobrecarga de 5

kN/m2. Em relação às lajes de escadas as acções a considerar encontram-se no Anexo III. Por

simplificação admitiu-se que os carregamentos em todos os pisos são idênticos.

O carregamento actuante sobre as vigas é constituído pelo seu peso próprio, P(viga), que

nesse caso tem o valor de 3,75kN/m e o peso das paredes exteriores, P(p.ext), com valor de

8,91kN/m (ver Anexo III). Numa viga interna onde há uma separação dos apartamentos, para

além do peso próprio também considerou-se o peso da parede, P(p.int), com valor igual a

7,09kN/m (ver Anexo III). Nas vigas também devem ser consideradas as cargas provenientes

das lajes, das escadas e das outras vigas que nelas apoiam. Esta última acção é analisada de

modo diferente dependendo do tipo de modelo considerado, sendo isso um assunto a tratar

mais a frente.

Na modelação dos pórticos colocou-se no nó superior de cada pilar (piso a piso) uma força de

6,1kN, referente ao peso próprio do pilar, (Ppilar).

Para a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos, considerou-se a

combinação fundamental das acções, PSd= 1,35g+ 1,5q, onde g são as acções permanentes e q

são as sobrecargas.

5.3 Modelação dos pórticos

Os pórticos podem ser analisados através de vários modelos ou esquemas estruturais, como

por exemplo, modelo de pórticos planos e modelo tridimensional dos pórticos sem laje e

modelo tridimensional incluindo as lajes.

Neste trabalho a estrutura em estudo foi analisada usando os três modelos citados, através do

programa Sap2000, onde as vigas e os pilares foram idealizados através dos elementos finitos

de barras, tendo em conta a deformação por corte (viga de Timoshenko) e as lajes foram

modeladas recorrendo aos elementos finitos shell-thickness (laje de Reissner-Mindlin).

A estruturafoi considerada encastrada ao nível da fundação em todos os modelos.

5.3.1 Modelação plana dos pórticos

A modelação plana da estrutura espacial mais adiante designada por Modelo 1 consiste na

separação de uma estrutura tridimensional em várias estruturas a duas dimensões sendo que



uma delas é a altura do edifício. A estrutura é representada por um conjunto de pórticos

planos independentes onde cada nó entre os elementos lineares possui três graus de liberdade,

duas translações (esforço axial e transverso) e uma rotação (Momento flector). A utilização

deste modelo não é adequada para estruturas que estejam sujeitas a grande esforços de torção,

ou seja, é mais apropriada para estruturas simétricas ou com pequenas assimetrias.

Nas figuras que se seguem apresentam-se os pórticos da estrutura a analisar.

Figura 5.1 – Pórticos Planos em planta

Figura 5.2– Pórticos Planos: vista posterior (Pórtico 1).

Nesta modelação as lajes não são consideradas. As cargas transmitidas das lajes para as vigas

(reacção das lajes) são determinadas por outros modelos (modelo das grelhas, método dos

elementos finitos, etc.) ou pela área de influência determinada pelas linhas de rotura (método

simplificado que permite determinar as reacções nos apoios das lajes rectangulares

submetidas a carregamento uniformemente distribuído).

Neste trabalho é usado o método da área de influência para a determinação das reacções das

lajes armadas em duas direcções. Este método permite determinar as reacções dos apoios

dessas lajes considerando, para cada apoio, a carga correspondente à área de influência

definida por triângulos ou trapézios. Estas áreas são obtidas traçando-se, a partir dos vértices,

rectas inclinadas de 45º entre dois apoios do mesmo tipo, 60° a partir do apoio encastrado, se

uhggg

hjkhg

Nas figuras que se seguem apresentam-se os pórticos da estrutura a analisar.

L1L3L2

Consola 1

105.44

Pórtico 1

Pórtico 3

Pórtico 6

Pórtico 8

Pórtico 5

Pórtico 4

Pórtico 2

Pórtico 7

Pórtico

9

Pórtico

10

Pórtico

11

Pórtico

13

Pórtico

14

Pórtico

15

Pórtico

12

P1 P2 P3 P4 P5

P10

P17 P18

P11

P1P12

P6 P8 P9P7

P14 P15P16

P19 P20 P21 P22

P1P13

P23 P24

L4

Consola 2 Consola 3

Consola 4 Consola 5

L5 L6L7

a)

dfngm

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 – Pórticos

Planos: a) em planta e b) vista posterior (Pórtico 1).

b)



o outro for simplesmente apoiado, 90° a partir do apoio simplesmente apoiado, ou encastrado,

quando o bordo perpendicular for livre.

Na Figura 5.3 apresenta-se a aplicação do referido método para a determinação das cargas nas

vigas.

Figura 5.3- Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas.

Na região junto ao pilar P13 as cargas aplicadas sobre as vigas foram simplificadas da

seguinte maneira:

Figura 5.4 – Simplificações adoptadas.

No projecto em análise constata-se que a viga do pórtico 12 apoia sobre a viga do Pórtico 4.

Portanto, esta última deve ser carregada com uma carga pontual de valor igual a 13,5kN

(g=13kN e q=0,5kN) oriunda da viga do Pórtico 12 (ver Anexo III). Essa carga foi

determinada considerando que a viga do pórtico 12 apoia na viga 4 por meio de um apoio

elástico (mola).

Nas Figuras 5.5 e 5.6 apresentam-se detalhadamente as cargas que foram consideradas para a

análise do pórtico tomado como exemplo (Pórtico 1). Os carregamentos considerados nos

bordo adjacente for livre.

Na Figura 4.2 apresentam-se aplicação do referido método.

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1-

Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas.

maneira:

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –

Simplificações adoptadas



restantes pórticos foram determinados da mesma maneira e os resultados encontram-se no

Anexo III.

Figura 5.5 - Carga permanente no Pórtico 1.

Figura 5.6 – Sobrecarga no Pórtico 1.

A laje L2 é armada numa direcção (ver Anexo I), direcção essa que é paralela ao Pórtico1, por

isso considerou-se que o Pórtico 1 suporta apenas 1m do carregamento dessa laje. Dessa

forma parte da carga da laje L2 é duplicada e sendo assim é necessário subtrair no esforço

axial dos pilares a carga que é considerada duas vezes. Esse raciocínio foi aplicado em todas

as situações idênticas.

5.3.2 Modelação tridimensional dos pórticos

A modelação tridimensional da estrutura espacial é um modelo mais rigoroso uma vez que

possibilita a modelação estrutural incluindo todas as vigas e pilares do edifício e, ao contrário

do modelo plano, permite determinar os esforços devido à torção do edifício. Por isso, este

tipo de modelação é mais adequado para a análise de qualquer estrutura, inclusive com

assimetrias. O pórtico tridimensional quando combinado com o modelo das lajes permite a

análise da estrutura como um todo. De modo a avaliar a influência da laje na análise dos

pórticos, numa primeira fase é feita uma modelação sem considerar a laje e depois uma

modelação com laje.

P1 P2 P3 P4 P5

2.0 3.5

P(viga)=3,75kN/m

g (Consola 1)=10,13kN/m

P(p. ext.)=8,91kN/m

g (L1) =2*8,75=17,5kN/m

P(viga)=3,75kN/m

g (Consola1)=10,13kN/m

P(p. ext.)= 8,91kN/m

g (L2)=1*8,75=8,75kN/m

P(viga)=3,75kN/m


R(L

2)=

15

,31

kN

R(L

2)=

15

,31

kN

g (L3)=16,41kN/m

2.0

g (L3)=21,88kN/m

P(viga)=3,75kN/m


g (L3)=16,41kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p. ext.)=8,91kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P1 P2 P3 P4 P5

2.0 3.5

q (Consola1)= 6 kN/m

q (L1)=2*2= 4 kN/m


q (L2)=1*2= 2 kN/m


q (L3)=3,75 kN/m

2.0

q (L3)=5 kN/m


q (L3)= 3,75 kN/m

R(L

2)=

3,5

kN

R(L

2)=

3,5

kN



Modelação sem laje

A modelação tridimensional dos pórticos sem laje (Modelo 2) é um modelo composto apenas

por vigas e pilares conforme ilustrado na Figura 5.7.

Figura 5.7 – Modelação tridimensional dos pórticos sem laje.

Os carregamentos a considerar neste tipo de modelação são determinados da mesma maneira

que no Modelo1 com excepção do carregamento proveniente do apoio indirecto da viga do

Pórtico 12 que nesse caso é feito automaticamente.

Modelação com laje

O modelo tridimensional da estrutura em que a laje é incluida na modelação (Modelo 3)

permite avaliar a interacção entre os elementos estruturais de forma mais precisa. Neste

modelo a transferência das cargas das lajes para as vigas, ao contrário do que acontece nos

outros modelos, é feita automaticamente de acordo com a rigidez de cada elemento.

Na Figura 5.8 apresenta-se a estrutura em análise num modelo tridimensional com laje.

Figura 5.8 – Modelação tridimensional dos pórticos com laje.

modelação tridimensional dos pórticos sem laje (Modelo 2) é um modelo composto apenas por

vigas e pilares conforme ilustrado na figura x.


Modelação tridimensional dos pórticos sem laje

Falar da discretização da laje

Na Figura 4.8 apresenta-se a estrutura em análise num modelo tridimensional com laje.

dtghjjjjjvmn


Modelação tridimensional dos pórticos com laje.



5.4 Apresentação e análise comparativa dos resultados

Depois de definidos os modelos procedeu-se ao cálculo de esforços. Neste caso realizou-se

uma análise linear elástica, como já referiu anteriormente. Dado ao elevado volume de

informação proviniente das referidas modelações, optou-se por apresentar e analisar os

resultados relativos a alguns elementos considerados representativos, como por exemplo as

vigas do 1º piso dos pórticos 1, 4, 10, 12 e 13 e os pilares P2 e P13 e P16 do 1º piso.

Antes de proceder à análise dos esforços convém realçar um pormenor importante sobre a

convenção dos sinais adoptados pelo programa Sap2000 que é diferente da utilizada em

Resistência dos Materiais, principalmente a nível dos esforços transversos. Neste caso o

programa utiliza convenção oposta à usada na em Resistência dos Materiais, ou seja, o

diagrama de esforço transverso é em tudo simétrico em relação ao diagrama que se obtém de

acordo com a convenção adoptada na Resistência dos Materiais. Em relação aos momentos

flectores e esforços axiais a convenção de sinais é exactamente a mesma que utilizada na

Resistência dos Materiais.

5.4.1 Esforços nas vigas seleccionadas

De modo a permitir a melhor comparação dos modelos apresentam-se nas figuras seguintes os

gráficos dos esforços (momento flector, esforço axial, esforço transverso e momento de

torção) resultantes da combinação fundamental das acções consideradas, nas vigas referidas

anteriormente.

Diagramas de esforços na viga do Pórtico 1

Figura 5.9 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 1 do 1º piso.

TGGHDHK

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

kN.m

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P1 P2 P3 P4 P5



Figura 5.10 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 1 do 1º piso.

Figura 5.11 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 1 do 1º piso.

Figura 5.12 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 1 do 1º piso

De acordo com os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores na viga do

Pórtico 1 apresentados nas Figuras 5.9, 5.10, constata-se que os Modelos 1 e 2 apresentam

resultados aproximados, enquanto que o Modelo 3 apresenta valores mais reduzidos para


Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do piso 1

Bibliografia

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P1 P2 P3 P4 P5


Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do 1º piso.


Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do 1º piso.

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P1 P2 P4 P3 P5


Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 1 do 1º piso.


Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 1 do 1º piso

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

kN.m

m

Modelo 2

Modelo 3

P1 P2 P4 P5 P3



esses dois esforços. Ao analisar o momento positivo máximo em cada troço, nota-se que as

diferenças entre os dois primeiros modelos e o Modelo 3 variam entre 20% e 40%. Em

relação aos momentos negativos máximos constata-se que as diferenças entre os dois

primeiros modelos e o Modelo 3 variam entre 28% e 47%.

Para a análise comparativa do esforço transverso toma-se como exemplo a secção à esquerda

do P3, onde verifica-se que a diferença entre os dois primeiros modelos e o Modelo 3 é da

ordem de 44% (esforço transverso máximo dado pelos três modelos são de 218,61kN,

217,14kN e 98,20kN, respectivamente).

De acordo com os valores dos esforços axiais apresentados na Figura 5.11 verifica-se também

que o Modelo 1 e Modelo 2 apresentam valores aproximados. Ao comparar os dois modelos

com o Modelo 3 verifica-se claramente que os resultados dos dois primeiros modelos são

superiores aos do Modelo 3 e com diferenças significativas, pois existem zonas da viga onde

esta diferença atinge 110%. Constata-se que nos apoios os valores dados pelos três modelos

seguem a mesma tendência ao contrário do que acontece nos vãos, pois segundo os Modelos 1

e 2 os esforços axial mantêm-se constante nos vãos, enquanto que no Modelo 3 o diagrama de

esforço axial segue a tendência de uma parábola. Uma outra constatação a fazer é que face ao

Modelo 3, as zonas perto dos apoios intermédios estão à compressão, o que não se verifica

nos outros modelos.

Ao observar os diagramas dos momentos torsores (Figura 5.12), a primeira constatação a

fazer é relativamente à sua forma. Para o Modelo 2 o diagrama do momento torsor é constante

ao longo do vão, enquanto que para o Modelo 3 o diagrama segue a mesma tendência que o

diagrama de esforço transverso, com o valor máximo junto aos apoios e mínimo nos vãos.

Nos apoios constata-se claramente que o momento torsor dado pelo Modelo 3 é superior ao

determinado pelo Modelo 2. Por exemplo, ao analisar a zona junto ao apoio P3 verifica-se que

no Modelo 3 o momento torsor máximo é de 10kN.m e no Modelo 2 esse esforço toma o

valor de 4,28kN, tendo portanto uma diferença de aproximadamente 60%. Dado que esses

momentos torsores são de compatibilidade, justifica-se a diferença entre os dois modelos, não

só entre os valores como também na forma dos diagramas, pelo facto que no Modelo 2 os

valores dos momentos torsores apresentados resultam da compatibilização das deformações

que surgem nas ligações entre as vigas e ainda entre estas e os pilares. Já no Modelo 3 o

momento torsor é resultante não só da ligação entre os elementos referidos anteriormente

como também entre as lajes e as vigas.

De um modo geral pode-se concluir que as diferenças entre os três modelos, neste caso, deve-

se principalmente à influência da laje na modelação. No Modelo 1 e 2 os esforços são

praticamente iguais porque foram admitidas as mesmas condições de carregamento

(determinação das cargas nas vigas foi realizada à parte). No Modelo 3 essas cargas foram

determinadas automaticamente através da introdução a laje na modelação. Esta última

hipótese julga-se ser a mais adequada uma vez que desta forma as cargas são distribuídas nas

vigas de acordo com a sua rigidez. De acordo com este cenário, pode-se concluir que modelar

vigas que se encontram nas condições idênticas às da viga do Pórtico1, pelo Modelo 1 e 2

pode acarretar custos desnecessários para a construção.




Figura 5.13 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 4 do 1º piso

Figura 5.14 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 4 do 1º piso.

Figura 5.15 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 4 do 1º piso

Figura 5.16 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 4 do 1º piso

yfffffffffffffff

huygjyh

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

kN.m

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P12 P13





Bibliografia


Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do piso 1

Bibliografia

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P1 P2 P3 P4 P5

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

kN.m

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P9 P10


Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 4 do 1º piso

-40

-20

0

20

40

60

80

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P9 P10 P12 P13

YTUUIK

GHGJHK

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

kN.m

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P1 P2 P3 P4 P5

P12 P13 Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –


P1



-9

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

9

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

kN.m

m

Modelo 2

Modelo 3

P1 P1

P12 P13



Nesta viga, ao contrário do que aconteceu na viga do Pórtico 1, há diferenças significativas

nos esforços obtidos pelos Modelos 1 e 2. Como se verifica na Figura 5.13, o momento

máximo junto ao apoio P12 dado pelo Modelo 2 é de 4kN.m e pelo Modelo 1 é de 10,5kN.m,

tendo portanto uma diferença entre si de aproximadamente 61%. No vão acontece o contrário,

pois o maior momento é dado pelo Modelo 2 com valor de 28,97kN.m e com diferença de

aproximadamente 23% do Modelo 1, cujo valor do momento máximo obtido é de 22,25kN.m.

Os momentos junto dos apoios dados pelo Modelo 3 são superiores aos resultantes do Modelo

1 e 2. Ao analisar a zona junto do apoio P12, verifica-se que o momento dado pelo Modelo 3

difere cerca de 55% do Modelo1 e aproximadamente 82% do Modelo 2. Nos vãos, o

momento positivo máximo dado pelo Modelo 3 é inferior aos dados pelos Modelos 1 e 2, com

uma diferença de 62% do Modelo 1 e 71% do Modelo 3.

Em relação ao esforço transverso (Figura 5.14) analisam-se três pontos considerados críticos.

No ponto junto ao apoio P12, o esforço transverso máximo é dado pelo Modelo 3 com uma

diferença de 6% do Modelo 1 e 15% do Modelo 2. A 2m do P12 verifica-se uma diferença

significativa entre os modelos. Nesse ponto o esforço transverso dado pelo Modelo 2 é

superior aos restantes, com uma diferença de aproximadamente 44% do Modelo1 e 30% do

Modelo 3. Na secção da viga sobre o pilar P13, o esforço transverso máximo é também dado

pelo Modelo 2 com diferença de cerca de 11% do Modelo 1 e 42% do Modelo 3.

As diferenças entre o Modelo 1 e Modelo 2 poderão ser parcialmente justificadas pelo facto

de que esta viga serve de apoio a uma outra viga e a interacção entre essas duas vigas é tida

em conta de maneira distinta em cada um dos modelos. No Modelo 1 a outra viga é tida em

conta na modelação da viga do Pórtico 4 através da aplicação de uma carga pontual obtida

considerando algumas simplificações (ver Secção 4.3.1 e Anexo III), enquanto que no Modelo

2 a determinação dessa carga é feita de forma automática.

Em relação às diferenças existentes entre os dois primeiros modelos e o Modelo 3 podem ser

parcialmente explicadas pela inclusão das lajes na modelação e pelo facto de que nos Modelos

1 e 2 foram admitidas algumas simplificações na determinação das cargas (ver Figuras 5.3 e

5.4).


Figura 5.17 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 12 do 1º piso

rydhg

gujghg

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

kN.m

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P7



Figura 5.18 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 12 do 1º piso

Figura 5.19 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 12 do 1º piso

Figura 5.20 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 12 do 1º piso.

Os diagramas dos esforços apresentados nas Figuras 5.17, 5.18, 5.19 e 5.20 mostram

claramente a diferença entre os três modelos. Constata-se que o Modelo 3 apresenta

momentos negativos maiores e com diferenças significativas dos Modelos 1 e 2. Segundo esse

modelo, todas as fibras superiores dessa viga encontram-se tracionadas, ao contrário do

Modelo 1 que indica que são as fibras inferiores que estão tracionadas. O Modelo 2 indica que

nas extremidades das vigas, as fibras superiores se encontram tracionadas, e no vão as fibras

inferiores é que estão traccionadas. Segundo esse método, o momento máximo negativo é

dado na extremidade que apoia sobre a viga do Pórtico 4, ao contrário do Modelo 3 que dá o

momento máximo negativo na extremidade sobre o apoio P7.


Diagramas dos momentos flectores a viga do pórtico 12 do 1º piso

Bibliografia

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P7

Dsfwegsd

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P7

Dsfwegsd

yt

0

1

2

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

kN.m

m

Modelo 2Modelo 3

P7



Em relação ao esforço transverso (Figura 5.18), verifica-se que na extremidade apoiada sobre

a viga do Pórtico 4, o valor máximo é dado pelo Modelo 2 com valor de 22,21 kN, com a

diferença do Modelo 1 da ordem de 18%. Segundo o Modelo 3, o esforço transverso nessa

extremidade é nula. Na extremidade sobre o apoio P7, o Modelo 3 dá esforços transversos

superiores, com uma diferença de aproximadamente 57% do Modelo 2 e 66% do Modelo 2.

Da Figura 5.19 nota-se que os modelos revelam valores de esforços axiais pouco

significativos, no entanto com algumas diferenças entre si. Verifica-se que os resultados

obtidos pelo Modelo 1 são constantes e praticamente nulos. A maior diferença entre os

modelos ocorre na extremidade que apoia sobre a viga do Pórtico 4, onde o esforço axial

máximo é dado pelo Modelo 2, com uma diferença de 56% do Modelo 3.

De acordo com os diagramas apresentados na Figura 5.20, verifica-se que o Modelo 2 fornece

valores dos momentos torsores superiores aos do Modelo 3 com diferenças da ordem de 27%.

As discrepâncias entre os modelos, para esta situação, podem ser justificadas em parte pelas

razões referidas anteriormente, que é a forma como é tida em conta as cargas transmitidas da

laje para as vigas, bem como o tipo de apoio considerado pelo Modelo 1. No Modelo 1, a

extremidade que apoia sobre a viga do pórtico 4, foi simulada considerando que esta apoia-se

sobre uma apoio elástico, cuja rigidez foi determinada conforme ilustrado no Anexo III.


Figura 5.21 – Diagramas d os momentos flectores na viga do pórtico 13 do 1º piso

Figura 5.22 – Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso

rytfzgcdxf

idyhgj

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0,00 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 4,50 5,25 6,00 6,75

kN.m

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P24 P20 P15 P13 Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –

Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 12 do 1º piso



-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P24 P20 P15 P13



Figura 5.23 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 13 do 1º piso

Figura 5.24 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 13 do 1º piso

Das Figuras 5.21 a 5.24 constata-se existir uma diferença significativa entre os esforços dados

pelos modelos. Por exemplo, ao analisar o momento positivo máximo ao longo do troço P20 a

P15 constata-se que o dado pelo Modelo 2 é superior aos restantes modelos, com diferença de

aproximadamente 16% do Modelo 1 e 25% do Modelo 3. Na zona junto ao apoio P20 o

momento máximo também é dado pelo Modelo 2, com uma diferença da ordem de 13% do

Modelo 1 e 11% do Modelo 3, enquanto que na zona junto ao apoio P15 nota-se que o

momento máximo negativo é dado pelo Modelo 1 com diferenças de aproximadamente 73%

do Modelo 2 e 65% do Modelo 3.

Em relação a esforço transverso, nota-se através do diagrama ilustrado na Figura 5.22, que a

maior diferença entre os esforços transversos máximos dados pelos modelos é de

aproximadamente 50%, sendo essa a diferença entre o Modelo 2 e Modelo 3 na extremidade

junto ao apoio P13. Também é nessa secção que ocorre a diferença máxima entre o Modelo 2

e o Modelo 1 com um valor da ordem de 32%.

Da Figura 5.23, nota-se que nos dois primeiros troços, os esforços axiais dados pelos três

modelos são positivos, portanto de tracção, já no troço P15-P13 constata-se que segundo o

Modelo 1 e 2 este troço está à tracção e segundo o Modelo 3 este está à compressão. Ao

analisar quantitativamente os esforços axiais dados pelos três modelos, nota-se que o maior

esforço axial em qualquer troço é dado pelo Modelo 2 e constata-se que a diferença máxima

entre o Modelo 2 e o Modelo 1 é de 26% e em relação ao Modelo 3 é de 81%.



Dimensionamento das vigas

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5

kN

m

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

P13 P24 P15 P20 Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –


Falar sobre torsão:

http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/flash/Torcao.html

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

kN.m

m

Modelo 2

Modelo3

P24 P20 P13 P15



Considerações gerais

Ao analisar os diagramas de esforços nas vigas constata-se que nas situações em que as cargas

transmitidas das lajes para as vigas foram determinadas através do método das linhas de

influências e das vigas para as vigas através de métodos simplificados (ver Anexo III), os

esforços à esquerda e à direita do nó, ao longo do mesmo troço, são iguais. Nos casos em que

as cargas transmitidas das lajes para vigas ou das vigas para as vigas foram feitas de forma

automática verifica-se o contrário, pois neste caso as cargas são distribuídas tendo em conta a

rigidez de cada elemento estrutural (ver todos os diagramas dados pelo Modelo 3 e os

diagramas de esforços nas vigas do Pórtico 4 dado pelo Modelo 2, mais precisamente no nó

da intersecção entre esta viga e a viga do Pórtico 12).

No primeiro caso considera-se que as vigas recebem apenas os esforços verticais da laje ou

das outras vigas que sobre elas apoiam e no segundo caso, o programa Sap2000 permite a

transmissão não só dos esforços verticais como também dos restantes esforços.

Este facto pode-se verificar no Pórtico 4, no ponto de intersecção com o Pórtico 12, onde a

variação do momento à esquerda e à direita é igual ao momento torsor do Pórtico 12, para o

Modelo 2, enquanto que no Modelo 3 essa variação é influenciada não só pelo momento

torsor proveniente do Pórtico 12 como também da laje.

5.4.2 Cálculo das armaduras longitudinais na viga do 1º piso do Pórtico 1

Após os esforços solicitantes nas vigas serem determinados procede-se à determinação das

armaduras dos elementos. O dimensionamento é realizado apenas para a verificação da

segurança em relação ao E.L.U de resistência à flexão e as propriedades mecânicas dos

materiais utilizados estão descriminadas na Secção 5.1.

As armaduras longitudinais foram determinadas seguindo a seguinte sequência.

Msd→ sd→ através das tabelas elaboradas de acordo com o EC2 determinou-se a

percentagem mecânica das armaduras e por fim calculou-se as armaduras longitudinais.

Na figura seguinte apresentam-se as armaduras longitudinais obtidas para a viga do Pórtico 1

do 1º piso, não esquecendo de realçar que no caso dos pontos com momentos diferentes à

esquerda e à direita, o momento de dimensionamento adoptado é o maior dos dois.

Figura 5.25 – Armadura longitudinal, As (cm2), da viga do Pórtico 1 do 1º piso.

P1 P2 P3 P4

Modelo 1

1 2 3 4 6 75

9,43

11,61

14,69 13,91

9,82

14,39 2,65

P5

9,49

11,73

14,34 13,64

9,73

14,91 2,21

Modelo 2

Modelo 3

5,53

7,70

9,52 7,29

5,33

8,34 1,40



5.4.3 Esforços nos pilares

Os esforços solicitantes (esforço axial (N), esforço transverso (V), momento flector (M) e

torsor (T)) nos pilares tomado como exemplos, para cada um dos modelos estão apresentados

no Quadro 5.1 São apresentados as esforços em três pontos dos pilares seleccionados (pilares

localizados entre fundação e o 1º piso), secção a zero metro de altura que é o ponto de

intersecção com a fundação (base do pilar), secções a meio vão e o topo do pilar (2,91m).

Quadro 5.1– Esforços nos pilares P2, P13 e P16

No pilar P2 verifica-se, que a nível do esforço transverso e momento flector, o Modelo1

apresenta valores máximos na direcção Y ao contrário dos Modelos 2 e 3 que apresentam

maior esforço na direcção X. Ao analisar o topo do P2 na direcção Y nota-se que o maior

momento é dado pelo Modelo 1 com uma diferença de 11% do Modelo 2 e 56,6% do Modelo

3.

Em relação ao esforço axial constata-se que o Modelo 3 apresenta um resultado superior com

uma diferença pouco significativa dos restantes modelos, cerca de 1,4% do Modelo 1 e do 5%

do Modelo 2.

O esforço axial dado pelo Modelo 1 corresponde à soma desse esforço obtido no pilar para

cada pórtico independente. Por exemplo, para o pilar P1 o esforço axial total é a soma do

esforço axial desse pilar quando modelado no Pórtico 1 e o esforço axial desse mesmo pilar

quando modelado no Pórtico 10. Aplicou-se o mesmo procedimento para o pilar P13. Para o

pilar P16 isso não foi possível uma vez que esse pilar pertence a apenas a um pórtico que é na

direcção Y. Daí que através do Modelo1 só é possível saber informações acerca do P16 na

direcção Y. No entanto, de acordo com os Modelos 2 e 3, constata-se que existem esforços

nesse pilar tanto na direcção Y como na direcção X. É de notar que ao modelar o P16 num

modelo tridimensional (Modelo 2 e Modelo 3) o esforço axial aumenta significativamente,

cerca de 3,5 vezes no caso do Modelo 2 e 3,23 vezes no Modelo 3.

Ao analisar os momentos flectores no pilar P16 constata-se que segundo o Modelo 1 esse

pilar está submetido à flexão composta e face ao Modelo 2 e Modelo 3 o P16 está submetido à

flexão desviada mas com esforço muito reduzidos.

Em relação a P13 verifica-se que o esforço axial máximo é dado pelo Modelo 3 com uma

diferença de 32,9% do Modelo 1 e do 8,9% do Modelo 2. Em relação ao momento flector



nota-se que todos os modelos revelam resultados muito reduzidos, sendo que o maior tanto na

base como no topo, quer na direcção X como na direcção Y é dado pelo Modelo 2, com

diferenças significativas dos dois restantes modelos. Em relação ao esforço transverso nota-se

que o modelo 2 também apresenta resultados superiores.

5.4.4 Análise comparativa das quantidades de armaduras longitudinais nos

pilares

Para atingir o objectivo pretendido neste subcapítulo tomou-se como exemplos os pilares P2 e

P16 para proceder o dimensionamento. O pilar P2 está submetido à flexão desviada e sendo

assim, o seu dimensionamento pode ser feito através de ábacos disponíveis para esse efeito ou

através do método simplificado que consiste na divisão do problema nas duas direcções e

resolver como se tratasse de um problema de flexão composta simples em cada direcção. O

último método referido requer que no final seja feita, caso necessário, a verificação da

resistência à flexão desviada partindo da distribuição da armadura já dimensionada.

O pilar P16 está submetido à flexão composta segundo o Modelo 1 e para os restantes

modelos este encontra-se submetido à flexão desviada.

No caso em estudo a determinação da percentagem mecânica foi realizada recorrendo aos

Ábacos disponíveis nas publicações de LNEC5, porém, todos os restantes procedimentos

foram feitos de acordo com o EC2-1-1.

5.4.4.1 Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar

O coeficiente de esbelteza pode ser determinado através da seguinte fórmula (EC2-1-1,

Secção 5.8.3.2 (1)):

(5.1)

Onde,

i é o raio de giração dado pela expressão

(5.2)

lo é o comprimento efectivo do pilar.

No EC2-1-1, Secção 5.8.3.2 (2) a (7) são indicados os comprimentos efectivos para elementos

lineares isolados, para as diversas condições dos apoios, bem como as expressões que

permitem definir o comprimento efectivo dos elementos inseridos em pórticos.

No caso em estudo os elementos a dimensionar estão inseridos em pórticos e considerando

que estes são elementos contraventados, o comprimento efectivo é então dado pela seguinte

expressão:

(5.3)

Em que:

l é o comprimento do pilar;

5D’ARGA E LIMA, J. [et al.] - Betão Armado – Esforços normais e de flexão. Laboratório Nacional de

Engenharia Civil, Lisboa, 1991.



k1 e k2 são as flexibilidades relativas dos encastramentos parciais das extremidades 1 e

2, respectivamente. Esse parâmetro pode ser determinado através da seguinte expressão

(EC2-1-1, Secção 5.8.3.2 (3)e (4)):

(5.4)

Sendo,

EI - Rigidez de flexão do elemento comprimido (a e b são elementos comprimidos

acima e abaixo do nó).

- A rotação dos elementos que se opõem à rotação para o momento flector M.

A relação

M pode ser determinada de forma simplificada através da seguinte expressão,

(Appleton, 2011):

(5.5)

Em que:

EIvigas é a rigidez de flexão das vigas que concorrem no nó.

assume o valor de 4 para elementos com ligações de continuidade nas extremidades, ou

3 para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em análise.

Sendo assim a Expressão 5.4 toma a seguinte configuração:

(5.6)

Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação que confiram

encastramento, considera-se que k é igual a 0,1. Se o apoio for de livre rotação k é igual a

Determinação do coeficiente de esbelteza λ do pilar P2

Figura 5.26 – Determinação da rigidez da ligação: a) Pórtico na direcção X; b) Pórtico na

direcção Y.

k1x = k1y = 0,1

a)

Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar λ P2 na direcção x

a)

P1 P2 P3

P2'

Z

X

V21 V23k2x

k1x

0,3

0,3

0,3

0,3

0,5

0,3

0,5

0,3

2,7

2,7

3.56.5

encastramento, considera-se que k é igual a 0,1. Se o apoio for de livre rotação k é igual a ∞.

Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar λ P2 na direcção x

b)

P2 P11 P3

2,7Z

y

V211

0,3

0,3

0,5

0,32,7

k2y

k1y

P2'

0,3

0,3

5,5 6,5



Substituindo na Expressão 2 obtém-se lox=1,6m e loy=1,7m.

Raio de giração

Coeficiente de esbelteza

λx

18 4 λy

19 5

5.4.4.2 Determinação do limite de esbelteza do pilar, λlim.

Utilizando esforços obtidos através do Modelo 1

, (ver Secção 5.8.3.1 (1) do EC2-1-1) (5.7)

Onde,

e ef (coeficiente de fluência efectiva) não é conhecido, pode considerar-se A=0,7

Se (taxa mecânica de armadura) não é conhecida, pode considerar-se B=1,1.

C 1 7 rm

endo rm M 01

M02. Mo1 e M02 são momentos de primeira ordem nas extremidades. |Mo2| ≥

|M01|.

, Esforço axial reduzido.

Para o pilar em estudo, P2, na direcção X e considerando os esforços do Modelo 1 obtém-se

que:

Cx 1 7 18 98

34 82 2 24

2148 96

0 3 0 3 25 103 1 5 =1,43

Substituindo cada um dos parâmetros na Expressão 5.7 obtém-se que λlim=28,9.

Como λx =18,4 < λlim=28,9, os efeitos de segunda ordem podem ser ignorados nessa direcção.

Determinação do limite de esbelteza ,λlim, do pilar P2 na direcção Y, considerando os esforços

do Modelo 1

B λlim=29,2

Como λy = 19,5 < λlim = 29,2, os efeitos de segunda ordem podem ser ignorados nesta

direcção.



5.4.4.3 Determinação do momento de dimensionamento MEd

O momento de dimensionamento é determinado através da seguinte expressão (EC2-1-1,

Secção 5.8.8.2 e Moss e Brooker, 2007):

(5.8) Onde:

M01 e M02 - Momentos da primeira ordem → Momentos resultantes das acções aplicadas na

estrutura e das imperfeições geométricas. Esses momentos são dados pelas seguintes

expressões:

M01 = Min{|Mtopo|, |Mbase|} + ei x NEd

M02 = Max{|Mtopo|, |Mbase|} + ei x NEd.

Em que, ei é a excentricidade devido ao efeito das imperfeições geométricas

M0e - Momento de extremidade de primeira ordem equivalente:

M0e = 0,6 x M02 + 0,4 x M01 ≥ 0,4 x M02.

M2 - Momento nominal de segunda ordem:

M2 = NEd x e2

Sendo, e2 a excentricidade devido ao efeito das imperfeições da segunda ordem.

Figura 5.27 – Momento de dimensionamento (Moss e Brooker).

No pilar em estudo como o efeito da segunda ordem é dispensado, logo o momento de

dimensionamento é dado pela seguinte expressão:

MEd M02 Max Mtopo Mbase e i x NEd eo NEd

Sendo:

ei, a excentricidade devido ao efeito das imperfeições geométricas. O EC2-1-1 na Secção

5.2 explica-se como é que esse parâmetro pode ser determinado, mas no caso em estudo

considerou-se a expressão simplificada:

ei

400 (5.9)

eo excentricidade mínima cujo valor é (EC2-1-1 na Secção 6.1.4):

e máx h

30

0 02m sendo h a altura da secção. (5.10)

Segundo o EC2, Secção 5.8.9 (2), as imperfeições devem ser consideradas apenas numa

direcção, e é na direcção em que estas têm os efeitos mais desfavoráveis.



Determinação dos momentos de dimensionamento usando os esforços do Modelo 1:

Neste caso as imperfeições têm os efeitos mais desfavoráveis na direcção Y e sendo assim os

momentos a considerar são os seguintes:

Momento de dimensionamento na direcção Y

M02y 45 43kN m

Momento de dimensionamento na direcção X

5.4.4.4 Cálculo das armaduras longitudinais

NEd

b h fcd

2148 96

0 3 0 3 25 103 1 5 1 43

μx

MEdx

b h2 fcd

34 82

0 3 0 32 25 103 1 5 0 077

μy

MEdy

h b2 fcd

45 43

0 3 0 32 25 103 1 5 0 101

Como Asmáx=0,04xAc=36cm2 é menor que a área da armadura obtida, As =38,87cm

2, pode-se

concluir que a solução não é adequada, portanto, dever-se-á aumentar as dimensões do pilar.

Sendo assim, considerando que a secção do pilar é 0,4mx,3m e seguindo o mesmo raciocínio

de cálculo efectuado anteriormente obtêm-se para cada modelo de cálculos as seguintes áreas

das armaduras longitudinais:

Quadro 5.2– Cálculo das armaduras longitudinais no pilar P2

lox

(m) λx λlimx

loy

(m) λy λlimy

MEdx

(kN.m)

MEdy

(kN.m)

NEd

(kN) µx µy µy/µx

As

(cm2)

Modelo 1

1,6 18,7

33,4

1,8 15,8

33,7 34,82 46,11 2148,96 1,07 0,06 0,06 0,99 0,44 25,3

Modelo 2 33,8 33,6 44,28 32,21 2069,61 1,03 0,07 0,04 0,55 0,41 23,6

Modelo 3 32,7 32,9 26,98 43,59 2179,57 1,09 0,04 0,05 1,21 0,37 21,3

Quadro 5.3 – Armaduras longitudinais no pilar P2.

As cal As adoptadas

Modelo 1 25,34 cm2 44 27,68 cm

2

Modelo 2 23,61 cm2 44 24,14cm

2

Modelo 3 21,31 cm2 44 22,78 cm

2

É de referir que a área de aço obtida é muito elevada e seria conveniente, em termos

económicos, aumentar as dimensões da secção do pilar para que As seja menor.

Mtopo 34 82kN m

Mbase 18 98kN m

NEd 2148 96kN

M02x Máx 18 98 34 82 34 82kN m

ei 1

400 0 0042m

e0 0 02m

Mtopo 36 34kN m

Mbase 20 57kN m

NEd 2148 96kN

M02y Máx Máx 20 57 36 34 0 0042x2148 96 45 43

0 02x2148 96 42 98

μy

μx

≈1,3

Admitindo que a/h=0,10 obtêm-se

através do ábaco 59, =0,9

As= 38,87cm2



O pilar P2 localiza-se na zona da laje onde apresenta-se menores irregularidades geométricas

e mesmo assim nota-se, a partir dos resultados apresentados no Quadro 5.3 que há diferenças

entre os modelos utilizados na modelação. Constata-se que o Modelo 3 oferece solução mais

económica, deferindo aproximadamente 19% do Modelo 1 e 10% do Modelo 2.

Para o pilar P16 as dimensões arbitradas inicialmente servem e os resultados referentes as

armaduras estão apresentados no quadro que se segue:

Quadro 5.4 – Armaduras longitudinais no pilar P16

As cal As adoptadas

Modelo 1 1,75 cm2 4 3,14 cm

2

Modelo 2 8,64 cm2 9,05 cm

2

Modelo 3 5,18 cm2 6,28 cm

2

De acordo com os valores apresentados constata-se que há maior diferença entre os modelos.

Nota-se que o Modelo 1 revela-se pouco adequado, uma vez que necessita de uma área de aço

bastante inferior à do Modelo 3, com uma diferença de aproximadamente 66%. Já o Modelo 2

revela-se menos económico, pois conduz a mais área de aço que o Modelo 3, diferindo deste

cerca de 67%.

Asmin

CAPÍTULO VI


6. CONCLUSÕES GERAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

O presente trabalho incidiu na análise estrutural do edifício apresentado no Capítulo II

recorrendo a diferentes modelos estruturais. Os resultados provenientes de cada modelo foram

comparados entre si. Das várias análises comparativas foi possível obter algumas conclusões

que se julga serem úteis para os jovens engenheiros e que são descritas a seguir.

Análise das lajes vigadas

A análise comparativa dos momentos flectores nas lajes determinados através das tabelas de

Barés e do método dos elementos finitos demonstrou que existe uma grande divergência entre

estes e, consequentemente, a quantidade de armadura longitudinal necessária também será

muito diferente. Essas diferenças foram justificadas através das condições admitidas por cada

um destes métodos de cálculos. Os esforços determinados com recurso às tabelas são obtidos

partindo do pressuposto que as vigas de apoio são indeformáveis à flexão. Porém, através dos

modelos analisados pelo método dos elementos finitos no programa Sap2000 foram feitas

várias formulações onde a inércia das vigas de apoio foi variado e demonstrou-se que esse

parâmetro influência bastante os esforços nas lajes. Deste estudo ficou explícito que os

momentos obtidos através dos modelos que consideram a rigidez à flexão real das vigas de

apoios são maiores que os obtidos pelos modelos que não a consideram, chegando a existir

diferenças que podem atingir os 64%. No caso em que se simulou que as vigas estão

fissuradas, através da consideração de apenas metade da sua rigidez à flexão, verificou-se um

aumento significativo dos momentos flectores nas lajes. Em relação à rigidez à torção das

vigas de apoio constatou-se que ao ignorar este parâmetro no cálculo isso implicou, para

maioria dos modelos analisados, um aumento dos momentos nas lajes tanto positivo como

negativo, havendo casos onde esse aumento atingiu 33%. Nos modelos que consideraram que

as vigas estão fendilhadas, verificou-se que as diferenças são pouco significativas.

Outro parâmetro que também foi analisado foi a teoria das lajes utilizada em cada um dos

métodos de cálculos. Conforme referido no Capítulo 3, as tabelas utilizadas para a análise das

lajes foram elaboradas com base na teoria de Kirchhoff, ou seja, desprezando a deformação de

corte. O programa Sap2000 permite a modelação das lajes baseada tanto na teoria de

Kirchhoff como na teoria de Reissner-Mindlin. Das diversas modelações realizadas no

programa Sap2000 verificou-se que há diferenças significativas entre os momentos flectores

obtidos pelas duas teorias quando é considerado todo o pavimento. No caso em que o painel

de laje foi estudado isoladamente, no mesmo programa, constatou-se que a diferença dos

resultados entre as duas teorias foi menos significativa. Esta diminuição das diferenças

permite afirmar que se verificou a situação referida no início do Capítulo 3, “um “bom”

elemento de Reissner-Mindlin deve conseguir recuperar os resultados fornecidos pela teoria

de Kirchhoff”.

Foram feitas modelações admitindo várias hipóteses de cálculos e para todas as modelações

foram obtidas soluções. Obviamente que o programa de cálculo não dá informações sobre os

erros relacionados com a modelação estrutural e, claro, pode haver situações em que a

modelação escolhida não é adequada para o caso em estudo. Portanto, cabe ao engenheiro a

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado CONCLUSÃO


decisão sobre o modelo estrutural e o programa de cálculo mais apropriado para o caso em

estudo. Os utilizadores devem ter consciência de que o programa de cálculo é apenas uma

ferramenta e deve ser utilizada com muita prudência.

A partir dos resultados obtidos, pode-se concluir que é imprescindível modelar a laje de modo

a simular o mais correctamente possível o seu comportamento real. Para isso devem ser

usadas ferramentas de cálculo que permitam considerar todos os parâmetros citados

anteriormente e outras variáveis que não foram contempladas neste documento

(comportamento não linear dos materiais e ainda uma análise que considera as dimensões

reais de todos os elementos estruturais).

Análise das lajes fungiformes

Através da análise comparativa dos momentos flectores nas lajes fungiformes determinados

através do método dos pórticos equivalentes e do método dos elementos finitos, constatou-se

que há diferenças significativas entre os resultados dados pelos dois métodos. Notou-se que,

de um modo geral, o método dos elementos finitos conduz a momentos flectores superiores,

razão pela qual pode-se concluir que o modelo dos pórticos equivalentes parece ser pouco

adequado para a análise do estado limite último de resistência à flexão da laje.

Salienta-se ainda que o método dos pórticos equivalentes não dá informações sobre o

momento torsor na laje e através do método dos elementos finitos é possível determinar esse

esforço. No caso em estudo obteve-se, através do método dos elementos finitos, momentos

torsores que variaram entre -53,75kN.m/m e 38,74kN.m/m. Como pode verificar isto

implicaria um aumento significativo dos momentos de dimensionamento e,

consequentemente, nas quantidades de armaduras longitudinais. Face à situação descrita

pode-se concluir e referir mais uma vez que o método dos pórticos equivalentes não consegue

representar adequadamente o comportamento da laje em estudo.

Análise dos pórticos

No Capítulo 5 foi apresentada uma análise linear elástica da estrutura porticada considerando

três tipos de modelação geométrica: plana (Modelo 1), tridimensional sem laje (Modelo 2) e

modelação tridimensional com laje (Modelo 3). O estudo focalizou-se na análise das

variações dos resultados obtidos, tanto a nível de esforços como das quantidades de

armaduras longitudinais, dados pelas diferentes modelações estruturais. Nestas análises

manteve-se sempre que possível as mesmas hipóteses de cálculo. Do estudo realizado

salienta-se o seguinte:

Comparando os esforços na viga do Pórtico 1 notou-se que os Modelos 1 e 2 apresentam

resultados dos esforços transversos, axiais e momentos flectores aproximados e

superiores aos obtidos pelo Modelo 3, com diferenças significativas. Desta análise

comparativa foi possível concluir que as diferenças entre os três modelos deve-se,

principalmente, à influência da laje na modelação. No Modelo 1 e 2 os esforços são

praticamente iguais porque foram admitidas as mesmas condições de carregamento (a

acção da laje na viga foi determinada previamente). No Modelo 3 essas cargas foram

determinadas automaticamente através da introdução da laje na modelação. Esta última

hipótese julga-se ser a mais adequada porque desta forma as cargas são distribuídas pelas



vigas de acordo com a sua rigidez. Com base nesta mesma análise e considerando a

verificação da segurança em relação ao E.L.U de resistência à flexão foi possível concluir

que modelar vigas, que se encontram em condições idênticas às da viga do Pórtico1, pelo

Modelo 1 e 2 pode acarretar custos desnecessários para a construção.

No estudo das vigas do Pórtico 4 e 12 registaram-se diferenças significativas entre os

esforços dados pelos três modelos e essas diferenças estão relacionadas com as

simplificações admitidas no Modelo 1 e 2. É importante relembrar que a viga do Pórtico

12 apoia-se na viga do Pórtico 4 e a interacção entre essas duas vigas foi tida em conta de

maneira distinta em cada um dos modelos. O Modelo 1 considerou, na modelação do

Pórtico 12, que a viga do Pórtico 4 comporta-se como um apoio elástico com rigidez

constante e no Pórtico 4, o efeito da viga do Pórtico 12, foi modelada como uma carga

pontual igual, em valor absoluto, à reacção do referido apoio elástico. A partir da

comparação dos diagramas dos esforços dados pelos três modelos foi possível concluir

que a simplificação adoptada no Modelo 1 não traduz o comportamento real destes

pórticos. As diferenças observadas não só entre o Modelo 1 e os restantes modelos, mas

também entre o Modelo 2 e 3. Estas diferenças podem ser parcialmente explicadas pela

inclusão das lajes na modelação e pelo facto de que nos Modelos 1 e 2 foram admitidas

algumas simplificações na determinação das cargas (ver Figuras 5.3 e 5.4). Face ao

exposto pode-se concluir que nas situações em que há vigas a apoiar sobre outras vigas, o

Modelo 1 pode apresentar resultados que podem comprometer a segurança.

Da análise comparativa dos esforços no Pórtico 13 verificou-se diferenças significativas

entre os modelos, sendo que essas diferenças podem ser justificadas com base nas

irregularidades geométricas da estrutura na periferia desse pórtico. Devido a essas

irregularidades foram necessárias fazer algumas simplificações, principalmente no

cálculo das cargas provenientes das lajes, o que justifica em parte as diferenças entre os

Modelos 1 e 2 e o Modelo 3. As diferenças entre o Modelo 1 e os restantes modelos

devem-se principalmente à assimetria da estrutura.

Do estudo comparativo dos esforços nos pilares tomados como exemplos ficou bem claro

que há diferenças significativas entre os três modelos. Por exemplo, verificou-se que o

Modelo 1, para o caso do pilar P2, conduz a uma solução pouco económica porque é

necessária uma área de aço superior à do Modelo 3, com uma diferença de

aproximadamente 20%. Já o Modelo 2 conduz a uma quantidade de armadura

longitudinal razoável, deferindo apenas 10% do Modelo 3. Para o pilar P16 verificou-se

que o Modelo 1 revela-se inadequado, uma vez que necessita de uma área de aço bastante

inferior à do Modelo 3, com uma diferença de aproximadamente 66%. Já o Modelo 2,

para este caso, revela-se menos económico, pois conduz a mais área de aço que o Modelo

3, diferindo deste cerca de 67%.

Pelas razões expostas, pode-se concluir que o uso de modelos que se baseiam na separação

dos elementos estruturais pode conduzir a resultados que se julga serem pouco adequados ou

pode, noutros casos, conduzir a soluções pouco económicas. Sendo assim é fundamental que

se tenha bastante cautela na simplificação das estruturas e lembrar que, na realidade, tais

elementos funcionam como um elemento solidário, por isso, o ideal será adoptar modelos que

permitem idealizar a estrutura como um todo.



Desenvolvimentos futuros

Para estudos a realizar no futuro sugere-se a análise estrutural deste mesmo edifício mas com

diferentes soluções estruturais, nomeadamente considerar estruturas com paredes resistentes.

Poder-se-á estudar diferentes modelações para as paredes resistentes e a sua interacção com os

pórticos. Ainda neste tema julga-se que será interessante avaliar o efeito das acções

horizontais na estrutura tendo em conta as três modelações apresentadas neste trabalho. Do

ponto de vista da concepção estrutural e considerando as acções horizontais será importante

comparar soluções estruturais com e sem paredes resistentes.

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado


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Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado


ANEXOS

Anexo I: Análise das lajes maciças vigadas recorrendo às tabelas

de Barés

I.1 Condições de apoio

A análise de um pavimento constituído por lajes vigadas recorrendo às tabelas é feita através

da decomposição do pavimento em lajes isoladas. Ao isolar a laje é importante simular, o

mais correctamente possível, as suas condições de apoio. Geralmente, os apoios utilizados nos

bordos das lajes para imitar o seu “comportamento real” estão representados na Figura I.1.

Figura I.1 – Representação esquemática das condições de apoio (Grupo de Análise de

Estruturas, 1996).

Uma laje tem bordo livre quando esta não tem viga de apoio e como exemplo cita-se uma laje

em consola.

Quando a laje apoia-se numa viga e não há outra laje adjacente considera-se que esse bordo é

simplesmente apoiado, pois assume-se que a viga não tem rigidez à torção e apresenta uma

rigidez à flexão infinita. Na realidade não é bem assim, pois essa viga é flexível, o que

confere um certo grau de encastramento a laje, principalmente quando esta é betonada em

simultâneo com a viga. Face a essa situação, muitos projectistas questionam-se sobre qual é o

tipo de apoio ideal a considerar no cálculo para este caso. Para Bernal (2005), quando a laje é

apoiada sobre uma viga cuja altura útil, dviga, é igual a 1,5.dlaje, considera-se no cálculo que

essa viga, devido a sua baixa rigidez de torção, não impede eventuais rotações que a laje

possa ter, portanto funciona como um apoio simples. Ainda explica que apesar de haver nesta

situação algum grau de encastramento conferido pela rigidez da torção das vigas de apoio,

este encastramento não é tido em conta na análise, pois essa rigidez reduz bruscamente

quando a viga passa do estado I (sem fissuração) para o estado II (fissurado).

No caso em que dviga é superior a 1,5.dlaje, considera-se que a viga apresenta uma maior

resistência à torção, o que impede a rotação da laje.

As lajes contínuas são assemelhadas às lajes isoladas considerando encastrado o bordo de

continuidade. Esta hipótese é viável se as lajes adjacentes à viga tiverem as mesmas

dimensões, condições de apoio e de carregamento (Rocha, 1976). Nas lajes contínuas cujos

painéis são muito diferentes uns dos outros, esta hipótese não é muito recomendada. Contudo,

na prática, considera-se o bordo de continuidade encastrado obtendo-se assim esforços à

esquerda e à direita dessa viga diferentes. De modo a garantir a lei de continuidade num nó, é

Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I


feito o equilíbrio de esforços nesse apoio e a consequente redistribuição de momentos no vão

de cada laje.

Camacho (2004) referiu no seu trabalho que para lajes com vãos diferentes, lajes rebaixadas e

ainda lajes que apresentam descontinuidade ao longo do seu contorno adopta-se as seguintes

condições de apoio:

Lajes com vãos diferentes

Se

→ considera-se que Laje 1 está encastrada na Laje 2.

Se

→ considera-se que Laje 1 está apoiada na Laje 2.

Lajes rebaixadas

Onde:

h1: espessura da laje superior (Laje 1);

h2: espessura da laje inferior (Laje 2);

hmin: o menor entre h1 e h2;

L: o menor vão entre as duas lajes (Laje 1 e Laje 2).

Encastramento Parcial:

Lajes com vãos diferentes

1 Se L2 1

4L1→ considera-se que Laje 1 está encastrada na Laje 2.

2 Se L2 1

4L1→ considera-se que Laje 1 está apoiada na Laje 2.

Lajes rebaixadas

Laje 1 Laje 2

L1 L2

Lajes rebaixadas

1 Se

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

Laje 1

Laje 2

dsfv

Ytv

Lajes rebaixadas

1 Se

2 Se

3 Se

Onde:

h1: espessura da laje superior;

h2: espessura da laje inferior;

hmin: o m

Lajes rebaixadas

1 Se

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

Laje 1

Laje 2

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

Ytv

Lajes rebaixadas

1 Se

2 Se

3 Se

Onde:



hmin: o m

Lajes rebaixadas

1 Se

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

Laje 1

Laje 2

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

Ytv

Lajes rebaixadas

1 Se

2 Se

3 Se

Onde:



hmin: o m

Lajes rebaixadas

1 Se

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

Laje 1

Laje 2

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ≤ h1

bw ≥ hmin

Bordo encastrado

Δh ˃ h1

L ≤ 2,5m

Bordo apoiado

ytgfn


1 Se L1 ≥ 2

3L3→Bordo encastrado


1 e l1 ≥ 2

3l3→Bordo encastrado

Bordo em análise

Laje 1

Laje 3

Laje 2

Laje 3

L1

L2

L3

Apoiado

Encastrado

Bordo em análise



e L1 ≥

→Bordo encastrado

Se L1 <

→ Bordo apoiado

O vão teórico ou vão efectivo, das lajes deve ser definido através da expressão seguinte

(EC2, Secção 5.3.2.2):

(I.1)

Figura I.2 – Vão efectivo de uma laje

Onde:

a1: menor valor entre t1/2 e h/2

a2: menor valor entre t2/2 e h/2 (figura 4)

ln: distância livre entre as faces dos apoios;

t: largura do elemento do apoio.

Na prática, é comum considerar como vão teórico a distância entre os centros dos apoios.

I.2 Classificação das lajes de acordo com o modo de flexão dominante

As lajes podem ser definidas como armadas numa só direcção ou armadas em duas direcções,

sendo que essa classificação depende da relação entre os vãos e das condições de apoio.

Segundo EC2-1-1 Secção 5.3.1 (5), uma laje é armada numa direcção se ã

ã , ou se

esta tiver dois bordos livres sensivelmente paralelos. Tratando da primeira situação, a flexão é

predominante no plano paralelo ao menor vão, logo a armadura principal da laje é colocada

nessa direcção, e se for o segundo caso a análise é feita segundo a direcção dos apoios.

Se

, a laje é armada nas duas direções. As lajes deste tipo deformam-se sem que

haja uma direcção predominante, por isso a armadura principal é colocada nas duas direcções.

I.3 Espessura mínima das lajes vigadas maciças

A determinação da espessura da laje é feita com base nos critérios dos estados limites de

utilização e dos estados limites último do elemento estrutural, (Duarte, 1998).

Baseando no critério de estado limite de utilização, o EC2-1-1 na Secção 7.4.2. (2), preconiza

os valores limites para a relação L/d, dados pelas seguintes expressões:

1 e l1 ≥ 2

3l3→Bordo encastrado

2 Se l1 < 2

3l3→ Bordo apoiado

1.1.1.1 Vãos teóricos

Laje 3

Laje 3

Se L1 < 2

3L3→ Bordo apoiado

1.1.1.1 Vãos teóricos

Laje 3



(I.2)

(I.3)

Sendo que:

L/d : valor limite da relação vão/altura;

K: coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais. No quadro 7.4 do

EC2 encontram-se os valores recomendados de K.

0: taxa de armaduras de referência que é dado pela expressão: ;

: taxas de armaduras de tracção necessária a meio vão para equilibrar o momento

devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);

’: taxas de armaduras de compressão necessária a meio vão para equilibrar o

momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);

fck: valores característicos da resistência à compressão referido a provetes cilíndricos

em MPa.

Os valores de L/d determinados pelas expressões referidas acima deverão ser corrigidos

quando a tensão no aço na secção crítica é diferente de 310MPa, sendo que o EC2 recomenda

que a correcção deve ser feita multiplicando os valores obtidos pela Expressão I.2 ou I.3 por

ou por

, em que:

s: tensões de tracção no aço a meio vão (no apoio no caso de uma consola) para as acções de

cálculo no estado limite de utilização;

As,req: área da secção de armaduras existente na secção;

As,prov: área da secção de armaduras necessária na secção resultante da verificação ao estado

limite último.

Nas lajes vigadas com vãos superiores a 7 metros, que suportam divisórias que possam ser

danificadas por flechas excessivas, os valores de L/d dados pela expressão I.2 ou I.3 devem

ser multiplicados por 7/leff (leff em metros).

A espessura da laje também é condicionada pela sua resistência (Flexão e esforço transverso).

O EC2-1-1 na Secção 9.3.2 (1) refere que uma laje com armadura de esforço transverso

deverá ter uma espessura pelo menos igual a 200 mm.

Para sobrecargas correntes em edifícios (q<5 kN/m2), a espessura das lajes armadas numa

direcção pode ser determinada a partir da relação h ≈ L/ (25 a 30), enquanto a espessura das

lajes armadas em duas direcções é dada por h ≈ L/ (30 a 35), sendo que estas expressões têm

por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na laje (Marchão e

Appleton, 2009).

É de realçar que se a espessura for determinada tendo em conta o vão da laje, pode-se correr o

risco de num piso formado por lajes de vãos diferentes ter várias espessuras. Porém, por

questão de estética e de facilidade na sua execução, convém que haja uniformização da

espessura das lajes no mesmo piso. Para isso, quando um piso é constituído por lajes de vãos



diferentes a espessura é determinada para cada laje e finalmente adopta-se para o cálculo de

esforços a maior espessura obtida.

I.4 Quantificação e combinação das acções

O dimensionamento das lajes vigadas é condicionado essencialmente pelas acções verticais,

como o peso próprio da laje, pesos de revestimentos do piso, peso das paredes divisórias e

cargas do uso. Essas acções foram definidas de acordo com as normas em vigor, EC1.

Relativamente ao peso próprio das paredes divisórias, neste trabalho foram admitidas as

regras preconizadas no artigo 15º do RSA.

Os esforços actuantes de cálculo foram determinados por aplicação da combinação

fundamental: 1,5*(g + q), sendo q acções variáveis (sobrecarga) e g acções permanentes (peso

próprio, pesos de revestimentos do piso, peso das paredes divisórias).

I.5 Condições do carregamento nas lajes contínuas

Na modelação das lajes contínua é importante saber quais são as posições mais desfavoráveis

para aplicação da sobrecarga, principalmente quando esta é elevada, de modo a obter esforços

máximos.

Segundo Rocha (1976), o cálculo de momento flector máximo nas lajes contínuas deve ser

feito mediante as seguintes condições:

Se a sobrecarga for pequena em relação a carga permanente total, (q <1,5 g), a análise

é feita sem que seja necessário estudar a situação mais desfavorável da sobrecarga;

Se a sobrecarga for elevada, a análise deve ser feita estudando a posição da aplicação

desta, de modo a obter o momento flector máximo.

I.6 Alternância da sobrecarga para o cálculo do momento positivo máximo

A determinação de momento positivo máximo num painel de lajes contínuas é feita

considerando que este está totalmente carregado e os que lhe ficam adjacentes estão sob a

acção, apenas de carga permanente. Por exemplo, para o cálculo do momento positivo

máximo no painel L1 e L3 da Figura I.3, é preciso que o carregamento seja feito como se

ilustra a seguir:

Figura I.3 – Carregamento mais desfavorável para o cálculo do momento máximo positivo

nas lajes L1 e L3 (Rocha, 1976).



Essa hipótese de carregamento é obtida a partir da linha de influência aplicada a uma viga

contínua conforme ilustrado a seguir. A secção crítica analisada é a secção a meio vão.

Figura I.4 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento positivo máximo na

secção a meio vão (Ramos, 2010).

No estudo dessas lajes como lajes isoladas, Marcus considera encastramento no contorno de

continuidade e o cálculo de momento positivo máximo é feito através da decomposição da

carga p (p = p’+p’’), obtendo assim M+= M’

++ M’’

+. Para o cálculo de M’

+ considera-se a laje

em analise sob a acção da carga p’ = g+q/2. Depois considera-se a mesma laje, mas se esta

tiver bordos encastrados, estes passarão a bordos simplesmente apoiados, sob a acção da carga

p’’= q/2 e calcula-se M’’+. O momento máximo positivo final será a soma dos momentos

calculados para os dois casos: Mxs= M’x++ M’’x+ e Mys= M’y++ M’’y+, (Rocha, 1976).

Exemplo1: Painel de canto

Figura I.5 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis de

canto. Hhh Exemplo 2: Painel central

Figura I.6 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis

interior. Hh Exemplo 3: Painel de bordo

Figura I.7 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis de

bordo



hhhh Exemplo 4: Painel com bordo livre

Figura I.8 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos num painel com

bordo livre

A mesma hipótese de carregamento também pode ser aplicada às lajes armada numa direcção.

Se considerar que L1 e L3 são lajes armadas numa direcção as condições de carregamento

seriam as seguintes:

Figura I.9 – L1, vão extremo.

hhhh

Figura I.10 – L3, vão central.

As hipóteses de carregamento admitidas pelo Marcus podem ser compreendidas através das

Figuras I.11 e I.12:

Figura I.11 – Corte da situação da carga correspondente ao momento flector positivo máximo

na laje L3 central. hhhh

As hipóteses de carregamento admitidas pelo Marcus podem ser compreendidas

através das figuras seguintes:

Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 - Corte da situação da

carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L3 central.



Figura I.12 – Corte da situação da carga correspondente ao momento flector positivo máximo

na laje L1.

I.7 Alternância da sobrecarga para o cálculo do momento negativo máximo

Para o cálculo dos momentos negativos máximos, a situação mais desfavorável corresponde

ao carregamento total tanto na laje em análise como na laje adjacente, Figura I.13.

Figura I.13 – Posicionamento mais desfavorável da sobrecarga para o cálculo do momento

flector negativo máximo no bordo indicado (Marchão e Appleton, 2009)

A hipótese de carregamento apresentada na Figura I.13 é obtida com base na linha de

influência aplicado ao corte AA’, considerando como secção crítica o bordo adjacente à Laje

4 e 5.

Figura I.14 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo

no apoio A. (Ramos, 2010).

Na análise do painel isoladamente considera-se que para a determinação do momento máximo

negativo o painel em análise deve estar submetido à carga total, p = g + q.

As condições de carregamento propostas pelo método de Marcus, para a análise de lajes como

isoladas, tanto para o cálculo de momento negativo máximo como para momento positivo


carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L3 central.


carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L1



máximo, restringem-se ao pavimento constituído por lajes sujeitas a cargas uniformemente

distribuídas e com vãos adjacentes semelhantes.

I.8 Cálculo dos Momentos flectores

Conhecendo as condições geométricas, de carregamento e de apoio da laje a analisar,

procede-se ao cálculo dos momentos nas lajes através das tabelas.

Com os valores de λ= lx/ly, coeficiente de Poisson, obtêm-se através das tabelas, que no caso

em estudo são as de Barés, os coeficientes que posteriormente são substituídos nas expressões

que permitem calcular os momentos nas lajes armadas nas duas direcções.

Na laje armada numa direcção os esforços podem ser determinados de forma análoga à

análise de uma viga com largura igual a um metro e altura igual à altura da laje.

Se o pavimento for constituído por lajes contínuas de vãos, condições de carregamento ou

ainda condições de apoios diferentes, é obvio que a sua análise considerando painéis de lajes

independentes, acarreta diferenças apreciáveis entre os momentos negativos obtidos para cada

painel. Como numa laje contínua, o bordo de continuidade deve ter momentos idênticos em

ambos os lados, logo os resultados dos momentos obtidos para dois painéis adjacentes devem

ser tratados de modo a garantir o equilíbrio dos esforços no bordo comum às duas lajes. O

tratamento desses esforços influenciam os momentos nos vãos dos dois painéis, portanto será

necessário fazer um reajuste nesses momentos.

I.9 Equilíbrio de esforços nos bordos dos painéis adjacentes

O cálculo dos esforços nas lajes recorrendo às tabelas é feito para cada painel isolado, por isso

nos apoios comuns entre as lajes contínuas, geralmente existem dois valores diferentes de

momentos flectores negativos, MA e MB.

Figura I.15 – Momentos num bordo de continuidade.

O momento equilíbrio, MAB, depende da rigidez das duas lajes e o valor correspondente situa-

se entre MA e MB. O seu valor determina-se através da expressão baseada no método de Cross

(Marchão e Appleton, 2009):

(I.4)

Sendo:

e

Na prática esse momento pode ser determinado através da média dos momentos MA e MB,

desde que o valor médio seja igual ou superior a 80% do maior dos momentos (Camacho,

2004, Marchão e Appleton, 2009):

A B

l A l B

A BM A M B

MA

MB



MAB= MA+MB

2

0,8 máximo ( MA ; MB ) (I.5)

Figura I.16 - Equilíbrio dos Momentos no bordo das lajes adjacentes

Se um dos painéis estiver em consola o momento no apoio é precisamente o momento do

painel em consola, pois esta é uma estrutura isostática e como tal não permite que o momento

seja diminuído.

I.10 Correcção dos momentos positivos após o equilíbrio dos momentos nos

apoios

O equilíbrio dos momentos nos apoios faz com que haja alteração dos momentos a meio vão.

Se o momento negativo resultante do equilíbrio (MAB) em valor absoluto for inferior ao

momento negativo calculado para o painel isoladamente (MA), o momento a meio vão desse

painel deve ser reajustado, pois esse momento pode ser superior ao momento positivo

calculado pelo método de Marcus. Caso contrário, o momento a meio vão é então dado pelo

método de Marcus.

Se MAB> 0,8xMáximo (|MA|, |MB|), ou seja, MAB é determinado pela expressão (MA + MB)/2,

é usual que o momento máximo positivo seja determinado pelo método de Marcus. Quando

MAB é determinado pela expressão 0,8xMáximo ( MA ; MB ) deve determinar-se o momento

positivo resultante do equilíbrio dos momentos negativos, e verificar se este momento é o

momento de dimensionamento (Carmo, 2010).

I.10.1 Correcção dos momentos positivos nas lajes armadas numa direcção

No caso de laje armada numa direcção, o ajuste de momento a meio vão é feito da seguinte

maneira (Camacho, 2004 e Carmo, 2010):

Vão extremo:

Figura I.17 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio do vão extremo.

ΔM= (I.6)

’ Δ

(I.7)



Vão interno:

Figura I.18 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio

(I.8)

’ Δ

(I.9)

É importante realçar que as expressões indicadas acima permitem determinar apenas por

aproximações o M+ pois ΔM/2 é o acréscimo do momento positivo a meio vão e M’ não é

necessariamente a meio vão.

Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a

determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:

I.10.2 Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções

Como este tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo

é efectuada de modo diferente porque a alteração do momento num dos apoios afecta os

esforços da laje nas duas direcções. A correcção dos momentos positivos nas duas direcções,

My+ e Mx

+, efectua-se através da interpolação usando os esforços dados pelas tabelas. Para a

interpolação poderá usar-se os momentos de uma laje com as mesmas condições de apoio,

excepto no apoio onde há o equilíbrio de momentos negativos que deverá considerado

simplesmente apoiado (ou seja, momento nulo no apoio) e os momentos da laje considerando

as condições de apoio inicialmente definidas, incluindo o encastramento no apoio em estudo

(Carmo, 2010).

Esses momentos também podem ser corrigidos recorrendo aos quadros da autoria de Czerny

apresentados a seguir.



Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções

Como este tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo

ximações o M+ pois ΔM/2 é o acréscimo do momento positivo a meio vão e M’ não é

necessariamente a meio vão.



M+

dim = máx

Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções

Como esse tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo

Momentos positivos resultantes do equilíbrio de momentos negativos

M+=M’+ΔM/2

Sendo que M’ é momento calculado considerando Psd=1,5x (q+g)

Momentos positivos determinados pelo Método de Marcus

M+= M’

++ M’’

+→ ver secção 3.1.1.6.1



Momentos flectores e no centro das lajes para o momento unitário aplicado nos apoios

(Rocha, 1976).

Quadro I.1 – Momento aplicado no lado maior >

Valores de E para

≥ 1

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1.0

0.056 0.045 0.009 -0.021 0.009 -0.022

0.144 0.116 0.126 0.112 0.113 0.111

1.1

0.083 0.064 0.034 -0.001 0.031 -0.005

0.144 0.112 0.132 0.124 0.116 0.118

1.2

0.109 0.082 0.059 0.021 0.050 0.014

0.142 0.106 0.138 0.132 0.113 0.120

1.3

0.136 0.098 0.087 0.048 0.069 0.033

0.139 0.100 0.138 0.138 0.105 0.120

1.4

0.161 0.113 0.115 0.076 0.088 0.052

0.133 0.093 0.136 0.138 0.100 0.116

1.5l

0.185 0.126 0.141 0.103 0.106 0.072

0.128 0.087 0.134 0.139 0.092 0.112

Quadro I.2 – Momento aplicado no lado menor <

Valores de E para

≤ 1

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1.0

0.056 0.045 0.010 -0.022 0.009 -0.022

0.144 0.116 0.125 0.112 0.113 0.111

1.1

0.033 0.028 -0.010 -0.037 -0.009 -0.038

0.140 0.118 0.015 0.100 0.109 0.099

1.2

0.015 0.013 -0.024 -0.046 -0.021 -0.050

0.134 0.117 0.105 0.087 0.103 0.086

1.3

0.002 0.002 -0.032 -0.051 -0.031 -0.055

0.126 0.113 0.093 0.074 0.092 0.075

1.4

-0.007 -0.006 -0.036 -0.052 -0.036 -0.056

0.116 0.106 0.081 0.060 0.081 0.065

1.5l

-0.15 -0.013 -0.041 -0.053 -0.041 -0.057

0.109 0.102 0.074 0.053 0.072 0.056

Obs: Toma-se como o vão normal ao lado onde se aplica o momento.

O Quadro I.1 fornece valores dos momentos nos vãos quando o momento sinusoidal é

aplicado no lado maior, e Quadro I.2, quando o momento sinusoidal é aplicado no lado

menor. Estes quadros permitem corrigir os momentos positivos na laje, supondo aplicado no

bordo de continuidade o momento ΔM (momento sinusoidal) igual a diferença entre o

momento do equilíbrio e o momento calculado considerando essa laje isolada. Se o bordo em

análise corresponder ao bordo maior escolhe-se o Quadro I.1, caso contrário escolhe-se o

Quadro I.2. Atendendo às condições de apoio da laje a analisar, selecciona-se o tipo de laje



correspondente na referida tabela e entrando com a relação Lmaior/Lmenor, encontra-se no

Quadro I.1 ou Quadro I.2 os coeficientes de transmissão γx, e γy para o cálculo da variação dos

momentos positivos quando há um momento sinusoidal no valor de ΔM através das seguintes

fórmulas:

ΔMx= γx x ΔM (I.10)

ΔMy= γy x ΔM (I.11)

Estes quadros também podem ser usados para efectuar a correcção dos momentos nos vãos de

uma laje adjacente à consola caso se pretenda ter em conta o efeito do momento negativo da

consola. Para a aplicação dos quadros calcula-se primeiro os momentos na laje adjacente à

consola, considerando o bordo de continuidade simplesmente apoiado. Posteriormente para a

correcção dos momentos a meio vão dessa laje procede-se a transformação do momento

negativo da consola (momento constante) num momento sinusoidal através da Expressão I.12,

(Rocha, 1976). Depois seguem-se as mesmas instruções referidas no parágrafo anterior.

Δ

(I.12)

Sendo que M- é o momento negativo da consola.

I.11 Distribuição dos momentos nas lajes

Quando uma laje é analisada com recurso às tabelas, geralmente não se tem a ideia de como

os momentos são distribuídos. No entanto, é importante ter a noção de como os momentos se

distribuem nas lajes de modo a dispor convenientemente as armaduras.

Se a laje for armada numa direcção é fácil determinar a região onde os momentos são

negativos e a região onde os momentos são positivos, pois para isso é preciso apenas conhecer

a expressão dos momentos do troço que se pretende analisar e depois a expressão é igualada a

zero. Resolvendo a equação obtida determina-se a coordenada do ponto cujo momento é nulo.

Exemplo:

Considerando Psd=10 kN/m2

MA=M-máx= -Psd*L

2/8= -31,25 kN.m/m

M+

máx= Psd*L2/14, 2 = 17,61kN.m/m

VA=5* Psd*L/8= 31,25kN/m

Equação do momento: My =VA *y–Psd*y2/2 - MA ↔ My=31,25*y-10* y

2/2 -31,25

Igualando a expressão do momento a zero obtém-se:

31,25*y-10* y2/2 -31,25= 0 ↔y=1,25m ou y=5m



Figura I.19 – Diagramas dos momentos numa laje armada numa direcção.

Já numa laje armada nas duas direcções, é difícil traçar o diagrama de momentos flectores

uma vez que as tabelas dão os valores dos momentos flectores máximos sem indicar a região

onde esses momentos se desenvolvem.

Segundo Czerny, o diagrama dos momentos flectores, no caso de não haver informações

precisas, pode ser traçado, de forma aproximada, conforme apresentado nas tabelas que se

seguem, considerando que Lx é menor que Ly, (Carmo, 2010):

O2l32ç2eçe3pç+



Figura I.20 – Diagramas simplificados, lajes com diferentes condições de apoio (Czerny).

Para estudar o comprimento das armaduras positivas deve-se atender o diagrama simplificado

apresentado na Figura I.20, sendo que o EC2-1-1 preconiza que pelo menos um quarto destas

armaduras devem ser prolongadas até aos apoios e aí serem amarradas convenientemente.

As armaduras negativas devem também ser definidas com base no traçado do diagrama de

momentos. De acordo com as simplificações apresentadas na Figura I.20 nota-se que essas

armaduras se estendem até uma distância de 0,2 ou 0,25Lx do apoio da laje e só podem ser

interrompidas a partir da seguinte distância dos apoios:

(0,2.L ou 0,25L) + al + lbd (I.13)

Sendo que:

(0,2.L ou 0,25L) é o comprimento da região com momento negativo.

al é a translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e assume o valor d

segundo EC2;

lbd é o comprimento de amarração da armadura.

L corresponde ao menor vão da laje.

De acordo com as tabelas apresentadas na Figura I.20 constata-se que mesmo nos bordos

simplesmente apoiados é considerado que existe momento negativo a partir do apoio até a

uma distância de 0,2 L, tal como preconizado pelo EC2-1-1. Esse momento segundo a norma

pode tomar valor de pelo menos 25% do momento máximo positivo do vão adjacente.



O comprimento da região com momento negativo deve ser corrigido no caso em que há

necessidade de realizar o equilíbrio dos momentos nos apoios e o momento resultante desse

equilíbrio seja superior ao momento obtido inicialmente pelas tabelas, (Carmo, 2010). O

coeficiente de correcção é dado por

, sendo que quando Mab é menor do que Mb esse

parâmetro é considerado unitário.

(0,2.L ou 0,25L)

+ al + lbd (I.14)

Figura I.21 – Correcção do comprimento da região com momentos negativos (Carmo, 2010).

As lajes adjacentes à consola armadas em duas direcções quando analisadas recorrendo às

tabelas, normalmente são consideradas simplesmente apoiadas no bordo de continuidade com

a consola. Nesse bordo o momento de equilíbrio é igual ao momento da consola e o

comprimento da região com momento negativo pode ser determinado da seguinte maneira:

1. Determinar a percentagem da carga (α) na laje na direcção da consola, com base na

compatibilidade do deslocamento máximo vertical na laje.

ax=ay↔ α

=

α

↔ α =

2. Conhecido o coeficiente de repartição da carga procede-se a análise de esforços na

consola considerando a seguinte hipótese de carregamento:

ax= α

ay=




Sendo que Psd1=1,5*(cp+5) e Psd2=1,5*(cp+2)

3. Cálculo do comprimento da região com momento negativo (x) com base na equação

do momento.

I.12 Calculo detalhado do pavimento apresentado na Figura I.22

Figura I.22– Pavimento a analisar.

I.12.1 Classificação das lajes e pré-dimensionamento das lajes

Se ã

ã →a laje é armada numa direcção → h ≈ L/(25 a 30)

Se

, a laje é armada nas duas direções. h ≈ L/(30 a 35)

Quadro I.3 - Classificação das lajes e pré-dimensionamento das lajes

Pré-dimensionamento

Laje Lmaior Lmenor Lmaior/ Lmenor Direcção das armaduras li h h adoptado (m)

L1 6,50 5,50 1,18 armada nas duas direcções 6,50 0,19 0,21

L2 12,00 3,50 3,43 armada numa direcção 3,50 0,10 0,21






19,6kN.m/m

L1 L3

L4

L2

L5

L6L7


Consola4 Consola5

X



I.12.2 Quantificações e combinações de acções

Acções a considerar:

Acções permanentes (g):

o Peso próprio da laje (Pp): h*γ=0,21*25=5,25 kN/m2;

o Revestimentos (Rev): considera-se 1,5 kN/m2;

o Peso das paredes divisórias

Considerar paredes de tijolo furado leve com 0,15m de espessura, incluindo

argamassa de assentamento e reboco: γ = 1,8 kN/m2 (Tabelas técnicas);

Pé-direito: 2,7 m;

O peso das paredes divisórias (Pd) é determinado da seguinte maneira:

2,7*1,8*0,40=1,94kN/m2; Adoptar 2kN/m

2. Considera-se que essa carga

encontra-se distribuída em todas as lajes (L1…L7).

o Peso das paredes divisórias localizada sobre a Consola2

Considerar paredes de tijolo furado leve com 0,32m de espessura, incluindo

argamassa de assentamento e reboco:

γ=3,30kN/m2→2,7*3,30*0,40=3,56kN/m2. Essa carga é considerada na

Consola 2.

Os valores das sobrecargas dependem da utilização do ambiente arquitectónico que

ocupa a região da laje em estudo e neste caso por ser uma edificação residencial, esse

parâmetro toma o valor de 2kN/m2.

Combinação das acções: Combinação fundamental: Psd=1,5*(g+q)

I.12.3 Cálculo de esforços nas lajes recorrendo às tabelas de Barés

Mx= Psd x α x Lx2

My= Psd x α x Ly2

Sendo,

α: parâmetro tirado da tabela de Barés que depende das condições dos apoios das lajes,

da sua relação entre os vãos, =Lx/Ly e ainda do coeficiente de Poisson, μ, que no caso

em estudo considerou-se 0,15.

I.12.3.1 Cálculo do Momento positivo

Modelo de cálculo: Método de Marcus

Combinação das acções:

Condição de cálculo 2

Psd2= 1,50 kN/m2

Condição de cálculo 1

Psd1= 14,63 kN/m2



Quadro I.4 – Momentos positivos no pavimento em estudo

Condição de cálculo 1 Condição de cálculo 2

Lx

m

Ly

m

Psd1

KN/m2

α M1

+

kN.m/m

Psd2

KN/m2

α M2

+

kN.m/m

Mtotal+

kN.m/m

L1 Mxmáx

+

6,5 5,5 1,18

14,63

0,019 11,74

1,5

0,0305 1,93 13,68

Mymáx + 0,0356 15,76 0,056 2,54 18,30

L2 iMxmáx

+

3,5 12 0,29 - 12,62 - 2,30 14,92

iiMxmáx

+ - 7,47 - 2,30 9,76

L3 iii

Mymáx +

10 5 2,00 - 45,72 - 4,69 50,41

ivMymáx

+ - 25,76 - 4,69 30,44

L4 Mxmáx

+

6,5 6,5 1,00 0,0269 16,63 0,0423 2,68 19,31

Mymáx + 0,0269 16,63 0,0423 2,68 19,31

L5 vMymáx

+

3 1,5 2,00 - 4,11 - 0,42 4,54

viMymáx

+ - 2,32 - 0,42 2,74

L6=L7 Mxmáx

+

4 7 0,57 0,0531 12,43 0,0897 2,15 14,58

Mymáx +

0,006 4,30 0,0114 0,84 5,14

I.12.3.2 Cálculo do Momento negativo

Combinação das acções: Psd = 1,5*g +1,5*q = 1,5*8,75 + 1,5*2=16,13kN/m2

Quadro I.5 – Momentos positivos no pavimento em estudo

Lx

m

Ly

m

Psd1

KN/m2

α M

-

kN.m/m

L1

Mxmáx -

6,50 5,50

16,13

1,18

-0,0546 -37,21

Mxmáx + 0,019 12,95

Mymáx - -0,0853 -41,62

Mymáx + 0,0356 17,37

iL2

Mxmáx -

3,50 12,00 -

-24,70

Mxmáx + 13,91

iiL2

Mxmáx - -16,47

Mxmáx + 8,23

L3

iiiMymáx +

10,00 5,00 -

50,41 ivMymáx - -50,41

ivMymáx + 28,40

L4

Mxmáx -

6,50 6,50 1,00

-0,0699 -47,64

Mxmáx + 0,0269 18,33

Mymáx - -0,0699 -47,64

Mymáx + 0,0269 18,33 vL5 Mymáx +

3,00 1,50 -

4,54

viL5

Mymáx - -4,54

Mymáx + 2,56

L6=L7

Mxmáx -

4,00 7,00 0,57

-0,113 -29,16

Mxmáx + 0,0531 13,70

Mymáx - -0,0267 -21,10

Mymáx + 0,006 4,74 iMomento determinado considerando apoio simples no bordo adjacente às aberturas.

iiMomento determinado considerando encastramento no bordo adjacente a L3 e L5.

iiiMomento determinado considerando apoio simples no bordo adjacente à abertura..

ivMomento determinado considerando encastramento no bordo adjacente a L6 e L7.

vMomento determinado considerando apoio simples no bordo adjacente à abertura.

viMomento determinado considerando encastramento no bordo adjacente a L6 e abertura.

Obs. A laje L6 não consta na tabela. Por isso, para a determinação dos esforços foi

considerado que esta laje tem a seguinte geometria:



I.12.4 Cálculo do Momento nas consolas

Consola 1 e 3

O valor de 6,75kN/m2 corresponde a soma das cargas permanentes: Revestimento igual

1,5kN/m2 e peso próprio da laje igual 5,25 kN/m

2.

Mymáx –=1,5*(6,75*1,5

2/2)+1,5*(5*1

2/2+2*0,5*1,25)

Mymáx –= 1,5*(-7,59-3,75)=-17,02kN.m/m

Consola 2

Nessa consola entra a carga da parede exterior, sendo esta considerada distribuída em toda a

consola. Logo as cargas permanentes a considerar são 6,75+3,56=10,31kN/m2.

Mymáx –=1,5*(10,31*1,5

2/2)+1,5*(5*1

2/2+2*0,5*1,25)

Mymáx –= 1,5*(-11,59-3,75)=-23,02kN.m/m

Consola 4 e 5

Estas consolas estão submetidas às mesmas cargas que as Consolas 1 e 2, mas o vão destas

lajes é de 1,75m.

Mymáx–=1,5*(6,75*1,75

2/2)+1,5*(5*1

2/2+2*0,75*1,375)

Mymáx –= 1,5*(-10,34-4,56)=-22,35kN.m/m

I.12.5 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios

Corte L1, L2 e L3

MB= Máx

4

2

5

Corte AA’: Laje L1, L2 e L3

Momentos calculados pelas tabelas isoladamente

-16,47 -16,47

-37,21

á B B

MB= - 29,77kN.m/m

Carga permanente Sobrecarga



MC= Máx

Situação antes do equilíbrio de momentos negativos nos apoios

Situação após o equilíbrio de momentos negativos nos apoios

↔

↔

Corte L4, L2, L5

MB= Máx

MC= Máx



á

MC= -13,17kN.m/m

á B B

MB= - 38,11kN.m/m

á

MC= -13,17kN.m/m



↔

↔

Corte L1 e L4

MB= Máx



↔

↔

Corte L3 e L6 ou L7

MB= Máx

á B B

MB= - 44,63kN.m/m

á B B

MB= -40,33kN.m/m





↔

↔

I.12.5 Momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo nos

apoios intermédios

Laje L2

A laje L2 sofreu uma redução do momento positivo devido a compatibilização de momento

negativo (ver corte L1, L2 e L3 e corte L4, L2, L5, L6 e L7), portanto o momento positivo de

dimensionamento é o momento calculado pelo método de Marcus.

Laje L3

↔

→ Momento calculado considerando a combinação das acções Psd =

1,5*(g +q), (ver o Quadro I.5)

Laje L4


negativo nas duas direcções c) Situação inicial


b) Situação inicial



negativo nas duas direcções



Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção X

bx) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção X:

Situação cx)

Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), bx) e cx)

obtêm-se Mx1s+ e My1s

+:

Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção Y

by) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção Y:

Situação cy)

My+ e Mx

+→??

Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2)

Tabela de Barés: ν= 0,15

Mx+= 0,0291*16,13*6,5

2=19,83kN.m/m

My+=0,0354*16,13*5,5

2=24,12kN.m/m

Mxvs = -47,64→Mxs=+18,33

Mxvs= 0 →Mxs = +19,83

Mxvs = -38,11→Mx1s=?

↔ Mx1s = 18,63

∆ Mx1s=18,63-18,33= 0,30

Mxvs = -47,64 →Mys=+18,33

Mxvs = 0 →Mys = +24,12

Mxvs = -38,11→My1s =?

↔ My1s= 19,49

∆ My1s=19,49-18,33=1,16

Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2)

Tabela de Barés: ν = 0,15

Mx+

=0,0354*16,13*6,52 =24,12 kN.m/m

My+=0,0291*16,13*5,52=19,83 kN.m/m



Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), by) e cy)

obtêm-se My2+ e Mx 2

+.

Mx+

= Mx+

(situação inicial) + ∆ Mx1s + ∆ Mx2s = 18,33 +0,30+0,37 = 19kN.m/m < Mx

+ dado

pelo método de Marcus

My+

= My+ (situação inicial) + ∆ My1s

+ ∆ My2s = 18,33+1,16+0,1= 19,59 kN.m/m > My

+ dado

pelo método de Marcus

Momento a adoptar para o dimensionamento da laje L4

I.12.6 Momentos de dimensionamento no pavimento em estudo

Figura I.23 – Momentos flectores no pavimento em estudo.

L4

Mxmáx - = -38,11 kN.m/m

Mxmáx + = 19,31 kN.m/m

Mymáx - = -44,63 kN.m/m

Mymáx += 19,59 kN.m/m

Myvs= -47,64→Mxs= +18,33

Myvs=0 → Mxs =+24,12

Myvs= - 44,63→Mx2s=?

↔ Mx2s=18,70

∆ Mx2s=18,70 -18,33= 0,37

Myvs = - 47,64→Mys = +18,33

Myvs =0 → Mys = +19,83

Mxvs = - 44,63→ My2s = ?

↔ My2s = 18,43

∆ My2s=18,43- 18,33 = 0,1

Momento obtido através do Método de

Marcus

Momento resultante do equilíbrio de momentos negativos

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II


Anexo II: Análise das lajes maciças fungiformes através do método

dos pórticos equivalentes.

II.1 Carregamentos nos Pórticos

Figura II.1 – Carregamentos no Pórtico 1X.

_______------________________sadcs

Figura II.2 – Carregamentos no Pórtico 3x

jjjj

kjhjkfvuj

63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 k/m

63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m

63 kN/m




Sz<dasf

sdfvcsgb

55,13kN/m 55,13k/m

55,13 kN/m 27,56 kN/m

55,13 kN/m

27,56 kN/m

55,13kN/m 55,13 kN/m 27,56kN/m

55,13 kN/m 55,13kN/m 27,56 kN/m

55,13 kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 27,56 kN/m



Figura II.3 – Carregamentos no Pórtico 4X.

--------------ghhg

Figura II.4 – Carregamentos no Pórtico 1Y.

Cálculo dos momentos nos pórticos equivalentes:

55,13 kN/m

55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m

55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m

55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m

55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m

55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m

Gvfvgnbn

gfjh

39,38 kN/m

39,38 kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38 kN/m

39,38 kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38 kN/m

39,38 kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38 kN/m

39,38 kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38 kN/m

39,38 kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m





Gvfvgnbn

gfjh

78,75 kN/m

78,75 kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75 kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75 kN/m

78,75 kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75 kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75 kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

78,75kN/m

Sz<dasf

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

63kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m



---klk

Figura II.7 – Carregamentos no Pórtico 4Y

Figura II.8 – Carregamentos no Pórtico 5y

Gvfvgnbn

gfjh

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m 39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

39,38kN/m

23,67kN/m

23,67kN/m

23,63kN/m

23,67kN/m

23,67kN/m

23,67kN/m

23,67kN/m

23,63kN/m

23,67kN/m

23,67kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

47,25kN/m

Gvfvgnbn

gfjh

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13 kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m

55,13kN/m



Jsdjh

Figura II.9 – Carregamentos no Pórtico 6y.

Gvfvgnbn

gfjh

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

55,13kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

55,13kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

55,13kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

55,13kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

31,50kN/m

55,13kN/m

31,50kN/m



II.2 Distribuição dos momentos nas faixas sobre o pilar e nas faixas centrais

Quadro II.1 – Distribuição dos momentos no Pórtico 1X


Faixa Lfaixa Coef. De

Repartição

Msd Msd


1x

Externo 1

Msd (apoio1) -77,21 Central 2,00 0,25 -19,30 -9,65

Sobre o pilar 2,00 0,75 -57,91 -28,95

Msd (vão) 85,21 Central 2,00 0,45 38,34 19,17

Sobre o pilar 2,00 0,55 46,87 23,43


Sobre o pilar 2,00 0,75 -109,60 -54,80

Interno 1


Sobre o pilar 2,00 0,75 -106,10 -53,05

Msd (vão) 71,91 Central 2,00 0,45 32,36 16,18

Sobre o pilar 2,00 0,55 39,55 19,78


Sobre o pilar 2,00 0,75 -81,36 -40,68

Interno 2


Sobre o pilar 1,50 0,75 -56,48 -37,65

Msd (vão) 11,24 Central 2,50 0,45 5,06 2,02

Sobre o pilar 1,50 0,55 6,18 4,12


Sobre o pilar 1,50 0,75 -32,99 -21,99

Interno 3


Sobre o pilar 1,50 0,75 -32,39 -21,60

Msd (vão) 17,52 Central 2,50 0,45 7,88 3,15

Sobre o pilar 1,50 0,55 9,64 6,42


Sobre o pilar 1,50 0,75 -47,64 -31,76

Externo 2


Sobre o pilar 1,75 0,75 -58,47 -33,41

Msd (vão) 61,43 Central 2,25 0,45 27,64 12,29

Sobre o pilar 1,75 0,55 33,79 19,31


Sobre o pilar 1,75 0,75 -38,39 -21,93



Quadro II.2 – Distribuição dos momentos no Pórtico 3X



Repartição

Msd Msd


3x

Externo 1


Sobre o pilar 1,75 0,75 -52,81 -30,18

Msd (vão) 73,09 Central 1,75 0,45 32,89 18,79

Sobre o pilar 1,75 0,55 40,20 22,97


Sobre o pilar 1,75 0,75 -95,98 -54,84

Interno 1


Sobre o pilar 1,75 0,75 -92,59 -52,91

Msd (vão) 64,61 Central 1,75 0,45 29,07 16,61

Sobre o pilar 1,75 0,55 35,54 20,31


Sobre o pilar 1,75 0,75 -68,92 -39,38

Interno 2


Sobre o pilar 0,75 0,75 -38,36 -51,14

Msd (vão) -5,30 Central 0,75 0,25 -1,33 -1,77

Sobre o pilar 0,75 0,75 -3,98 -5,30


Sobre o pilar 0,75 0,75 -17,81 -23,75

Interno 3


Sobre o pilar 1,50 0,75 -24,58 -16,39

Msd (vão) 18,74 Central 2,00 0,45 8,43 4,22

Sobre o pilar 1,50 0,55 10,31 6,87


Sobre o pilar 1,50 0,75 -40,34 -26,90

Externo 2


Sobre o pilar 1,75 0,75 -51,21 -29,26

Msd (vão) 52,62 Central 1,75 0,45 23,68 13,53

Sobre o pilar 1,75 0,55 28,94 16,54


Sobre o pilar 1,75 0,75 -35,25 -20,14



Quadro II.3 – Distribuição dos momentos no Pórtico 4x



Repartição

Msd Msd


4x'

Externo1'


Sobre o pilar 1,75 0,75 -53,08 -30,33

Msd (vão) 72,09 Central 1,75 0,45 32,44 18,54

Sobre o pilar 1,75 0,55 39,65 22,66


Sobre o pilar 1,75 0,75 -97,22 -55,55

Externo2'


Sobre o pilar 1,75 0,75 -97,22 -55,55

Msd (vão) 72,09 Central 1,75 0,45 32,44 18,54

Sobre o pilar 1,75 0,55 39,65 22,66


Sobre o pilar 1,75 0,75 -53,08 -30,33

4x''

Externo1''


Sobre o pilar 1,63 0,75 -19,55 -12,03

Msd (vão) 23,18 Central 1,88 0,45 10,43 5,56

Sobre o pilar 1,63 0,55 12,75 7,85


Sobre o pilar 1,63 0,75 -38,72 -23,82

Externo2''


Sobre o pilar 1,75 0,75 -51,91 -29,66

Msd (vão) 52,95 Central 1,75 0,45 23,83 13,62

Sobre o pilar 1,75 0,55 29,12 16,64


Sobre o pilar 1,75 0,75 -34,07 -19,47



Quadro II.4– Distribuição dos momentos no Pórtico 1y



Repartição

Msd Msd


1y

Externo 1 Msd

(apoio2) -44,30

Central 1,75 0,25 -11,08 -6,33

Sobre o

pilar 0,75 0,75 -33,23 -44,30

Interno 1

Msd

(apoio1) -69,97

Central 1,25 0,25 -17,49 -13,99

Sobre o

pilar 1,25 0,75 -52,48 -41,98

Msd (vão) 48,87

Central 1,25 0,45 21,99 17,59

Sobre o

pilar 1,25 0,55 26,88 21,50

Msd

(apoio2) -78,42

Central 1,25 0,25 -19,61 -15,68

Sobre o

pilar 1,25 0,75 -58,82 -47,05

Interno 2

Msd

(apoio1) -51,79

Central 1,63 0,25 -12,95 -7,97

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -38,84 -44,39

Msd (vão) 15,31

Central 1,63 0,45 6,89 4,24

Sobre o

pilar 0,88 0,55 8,42 9,62

Msd

(apoio2) -38,20

Central 1,63 0,25 -9,55 -5,88

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -28,65 -32,74

Interno 3

Msd

(apoio1) -33,85

Central 1,63 0,25 -8,46 -5,21

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -25,39 -29,01

Msd (vão) 17,45

Central 1,63 0,45 7,85 4,83

Sobre o

pilar 0,88 0,55 9,60 10,97

Msd

(apoio2) -51,85

Central 1,63 0,25 -12,96 -7,98

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -38,89 -44,44

Externo 2 Msd

(apoio1) -60,30

Central 0,88 0,25 -15,08 -17,23

Sobre o

pilar 1,63 0,75 -45,23 -27,83



Quadro II.5 – Distribuição dos momentos no pórtico 2y



Repartição

Msd Msd


2y

Externo 3 Msd

(apoio2) -88,59

Central 3,50 0,25 -22,15 -6,33

Sobre o

pilar 1,50 0,75 -66,44 -44,30

Interno 1

Msd

(apoio1) -128,76

Central 2,50 0,25 -32,19 -12,88

Sobre o

pilar 2,50 0,75 -96,57 -38,63

Msd (vão) 105,69

Central 2,50 0,45 47,56 19,02

Sobre o

pilar 2,50 0,55 58,13 23,25

Msd

(apoio2) -152,04

Central 2,50 0,25 -38,01 -15,20

Sobre o

pilar 2,50 0,75 -114,03 -45,61

Interno 2

Msd

(apoio1) -112,25

Central 3,25 0,25 -28,06 -8,63

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -84,19 -48,11

Msd (vão) 26,59

Central 3,25 0,45 11,97 3,68

Sobre o

pilar 1,75 0,55 14,62 8,36

Msd

(apoio2) -75,75

Central 3,25 0,25 -18,94 -5,83

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -56,81 -32,46

Interno 3

Msd

(apoio1) -67,86

Central 3,25 0,25 -16,97 -5,22

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -50,90 -29,08

Msd (vão) 32,26

Central 3,25 0,45 14,52 4,47

Sobre o

pilar 1,75 0,55 17,74 10,14

Msd

(apoio2) -108,80

Central 3,25 0,25 -27,20 -8,37

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -81,60 -46,63

Externo 2 Msd

(apoio1) -120,59

Central 3,25 0,25 -30,15 -9,28

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -90,44 -51,68



Quadro II.6 – Distribuição dos momentos no Pórtico 3y



Repartição

Msd Msd


3y

Externo 3 Msd (apoio2) -70,88 Central 2,50 0,25 -17,72 -7,09

Sobre o pilar 1,50 0,75 -53,16 -35,44

Interno 1


Sobre o pilar 2,00 0,75 -85,48 -42,74

Msd (vão) 83,24 Central 2,00 0,45 37,46 18,73

Sobre o pilar 2,00 0,55 45,78 22,89


Sobre o pilar 2,00 0,75 -81,77 -40,89

Interno 2


Sobre o pilar 0,88 0,75 -62,15 -71,03

Msd (vão) 5,79 Central 1,63 0,45 2,61 1,60

Sobre o pilar 0,88 0,55 3,18 3,64


Sobre o pilar 1,63 0,75 -29,88 -18,39

Interno 3


Sobre o pilar 0,88 0,75 -32,30 -36,91

Msd (vão) 24,42 Central 1,63 0,45 10,99 6,76

Sobre o pilar 0,88 0,55 13,43 15,35


Sobre o pilar 0,88 0,75 -21,53 -24,61

Externo 2


Sobre o pilar 0,88 0,75 -14,21 -16,23

Msd (vão) 2,45 Central 1,63 0,45 1,10 0,68

Sobre o pilar 0,88 0,55 1,35 1,54

Msd (apoio2)

-6,30 Central 1,63 0,25 -1,58 -0,97

Sobre o pilar 0,88 0,75 -4,73 -5,40






Repartição

Msd Msd


4y

Externo 1 Msd

(apoio2) -53,16

Central 1,50 0,25 -13,29 -8,86

Sobre o

pilar 1,50 0,75 -39,87 -26,58

Interno 1

Msd

(apoio1) -88,27

Central 1,50 0,25 -22,07 -14,71

Sobre o

pilar 1,50 0,75 -66,20 -44,14

Msd (vão) 59,74

Central 1,50 0,45 26,88 17,92

Sobre o

pilar 1,50 0,55 32,86 21,90

Msd

(apoio2) -87,56

Central 1,50 0,25 -21,89 -14,59

Sobre o

pilar 1,50 0,75 -65,67 -43,78

Interno 2

Msd

(apoio1) -64,23

Central 1,25 0,25 -16,06 -12,85

Sobre o

pilar 1,25 0,75 -48,17 -38,54

Msd (vão) 17,71

Central 1,25 0,45 7,97 6,38

Sobre o

pilar 1,25 0,55 9,74 7,79

Msd

(apoio2) -33,06

Central 1,50 0,25 -8,27 -5,51

Sobre o

pilar 1,50 0,75 -24,80 -16,53

Interno 3

Msd

(apoio1) -29,73

Central 0,75 0,25 -7,43 -9,91

Sobre o

pilar 0,75 0,75 -22,30 -29,73

Msd (vão) 12,67

Central 0,75 0,45 5,70 7,60

Sobre o

pilar 0,75 0,55 6,97 9,29

Msd

(apoio2) -17,29

Central 0,75 0,25 -4,32 -5,76

Sobre o

pilar 0,75 0,75 -12,97 -17,29

Externo 2

Msd

(apoio1) -11,66

Central 0,75 0,25 -2,92 -3,89

Sobre o

pilar 0,75 0,75 -8,75 -11,66

Msd (vão) 1,66

Central 0,75 0,45 0,75 1,00

Sobre o

pilar 0,75 0,55 0,91 1,22

Msd

(apoio2) -3,11

Central 0,75 0,25 -0,78 -1,04

Sobre o

pilar 0,75 0,75 -2,33 -3,11

lkkkk






Repartição

Msd Msd


5y

Externo 1 Msd

(apoio2) -62,02

Central 2,00 0,25 -15,51 -7,75

Sobre o

pilar 1,50 0,75 -46,52 -31,01

Interno 1

Msd

(apoio1) -94,30

Central 1,75 0,25 -23,58 -13,47

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -70,73 -40,41

Msd (vão) 70,99

Central 1,75 0,45 31,95 18,25

Sobre o

pilar 1,75 0,55 39,04 22,31

Msd

(apoio2) -108,29

Central 1,75 0,25 -27,07 -15,47

Sobre o

pilar 1,75 0,75 -81,22 -46,41

Interno 2

Msd

(apoio1) -75,58

Central 1,88 0,25 -18,90 -10,08

Sobre o

pilar 1,63 0,75 -56,69 -34,88

Msd (vão) 20,09

Central 1,88 0,45 9,04 4,82

Sobre o

pilar 1,63 0,55 11,05 6,80

Msd

(apoio2) -53,08

Central 1,88 0,25 -13,27 -7,08

Sobre o

pilar 1,63 0,75 -39,81 -24,50

Interno 3

Msd

(apoio1)

-47,21 Central 1,88 0,25 -11,80 -6,29

Sobre o

pilar 1,63 0,75 -35,41 -21,79

Msd (vão)

23,60 Central 1,88 0,45 10,62 5,66

Sobre o

pilar 1,63 0,55 12,98 7,99

Msd

(apoio2)

-74,42 Central 1,88 0,25 -18,61 -9,92

Sobre o

pilar 1,63 0,75 -55,82 -34,35

Externo 2 Msd

(apoio1)

-84,42 Central 1,88 0,25 -21,11 -11,26

Sobre o

pilar 1,63 0,75 -63,32 -38,96






Repartição

Msd Msd


6y

Externo 1 Msd

(apoio1) -35,44

Central 1,25 0,25 -8,86 -7,09

Sobre o

pilar 0,75 0,75 -26,58 -35,44

Interno 1

Msd

(apoio1) -57,24

Central 1,00 0,25 -14,31 -14,31

Sobre o

pilar 1,00 0,75 -42,93 -42,93

Msd

(vão) 38,21

Central 1,00 0,45 17,19 17,19

Sobre o

pilar 1,00 0,55 21,02 21,02

Msd

(apoio2) -63,22

Central 1,00 0,25 -15,81 -15,81

Sobre o

pilar 1,00 0,75 -47,42 -47,42

Interno 2

Msd

(apoio1) -40,24

Central 1,13 0,25 -10,06 -8,94

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -30,18 -34,49

Msd

(vão) 12,72

Central 1,13 0,45 5,72 5,09

Sobre o

pilar 0,88 0,55 7,00 8,00

Msd

(apoio2) -30,79

Central 1,13 0,25 -7,70 -6,84

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -23,09 -26,39

Interno 3

Msd

(apoio1) -27,25

Central 1,13 0,25 -6,81 -6,06

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -20,44 -23,36

Msd

(vão) 14,24

Central 1,13 0,45 6,41 5,70

Sobre o

pilar 0,88 0,55 7,83 8,95

Msd

(apoio2) -40,74

Central 1,13 0,25 -10,19 -9,05

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -30,56 -34,92

Externo 2 Msd

(apoio1) -48,23

Central 1,13 0,25 -12,06 -10,72

Sobre o

pilar 0,88 0,75 -36,17 -41,34

Anexos


Anexo III: Quantificações das acções nos pórticos

Figura III.1 – Distribuição das cargas das lajes para as vigas - Linhas de influência

O parâmetro P é igual a carga permanente da laje (g) mais a sobrecarga (q) e L é o vão do

cálculo da laje.

As cargas permanentes consideradas nas lajes L1 a L7 foram 8,75kN/m2

(revestimento=1,5kN/m2, peso próprio=5,25kN/m

2, peso das paredes divisórias =2kN/m

2) e as

sobrecargas consideradas foram 2kN/m2.

Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III


III.1 Quantificação das cargas das paredes

Parede exterior

Considerou-se que a parede exterior é de tijolo furado leve com 0,32 metros de espessura.

Para esye tipo de parede o peso específico é de 3,30kN/m2, incluindo argamassa de

assentamento, segundo as Tabelas Técnicas. Sendo o pé-direito dos pisos 2,7 metros, obteve-

se o peso próprio das paredes externas igual a 8,91kN/m (2,7m*3,30kN/m).

Parede interior

Considerou-se que a parede interior é de tijolo furado leve com 0,24 metros de espessura. Para

este tipo de parede o peso específico é de 2,60kN/m2, incluindo argamassa de assentamento.

Sendo assim obteve-se o peso próprio das paredes internas igual 2,7m*2,60kN/m2=7,09kN/m.

III.2 Determinação das reacções das lajes em consola

Consola 1 e 3

Determinação das cargas permanentes, gconsola e cargas variáveis qconsola transmitidas das

consolas para as vigas

O valor de 6,75kN/m2 corresponde a soma das cargas permanentes: Revestimento igual


2.

Consola 2

Nessa consola entra a carga da parede exterior, sendo esta considerada distribuída em toda a

consola conforme preconizada pelo RSA. Portanto as cargas permanentes consideradas foram

6,75+8,91*0,4=10,31kN/m2.

Consola 4 e 5

Essas consolas estão submetidas as mesmas cargas que as Consolas 1 e 3, diferindo destas

apenas nos vãos.

Cargas permanentes, gconsola e cargas variáveis qconsola transmitidas das consolas para as vigas,

O valor de 6,75kN/m

2 corresponde a soma das cargas permanentes: Revestimento igual


2.

gconsola=1,5*6,75=10,13kN/m qconsola=0,5*2+1*5=6kN/m

8,75kN/m

1,5m

1m 1,5m 1m

5kN/m 2kN/m

Cargas permanentes, gconsola e cargas variáveis qconsola transmitidas das consolas para as vigas,

gconsola=1,5*10,31=15,47kN/m qconsola=0,5*2+1*5=6kN/m

10,31kN/m

1,5m

1m

gconsola=1,75*6,75=11,81kN/m qconsola=0,75*2+1*5=6,5kN/m



III.3 Determinação das reacções das lajes de escadas

Quadro III.1 – Acções consideradas nas escadas

Lanço Patamar

α 34 º

Peso próprio (Pplaje) = (gbetão*hlaje)*cos(a) 4,38kN/m2 5,28kN/m

2 4,38kN/m

2

Peso de degraus (Ppdegraus) = gbetão*hdegraus/2 -- 2,13kN/m2 --

Revestimento (Rev) -- 1,50kN/m2

Carga permanente 8,90kN/m2 5,88kN/m

2

Sobrecarga (Sob) -- 3 kN/m2

11,90kN/m

2 8,88kN/m

2

Figura III.2 – Reacções das lajes de escada.

As reacções g1 e q1 foram aplicadas no Pórtico 5 e as reacções g2 e q2 foram aplicadas no

Pórtico 8.

III.4 Quantificação das cargas transmitidas da viga do Pórtico 12 para a viga

do Pórtico 4

Para a determinação da carga transmitida da viga do Pórtico 12 para a viga do Pórtico 4

considerou-se que a primeira apoia sobre a segunda por meio de um apoio elástico, cuja

rigidez foi determinada da seguinte forma: Aplicou-se uma carga unitária no Pórtico 4, no

ponto da ligação das duas vigas, onde se pretende determinar o deslocamento. Primeiramente

foi aplicada a carga unitária no referido ponto no piso 5 e determinou-se o deslocamento da

viga do referido piso. Depois aplicou-se novamente a carga unitária no piso 4 e determinou-se

o deslocamento da viga do piso 4 e assim sucessivamente até ao primeiro piso. Determinados

os deslocamentos, calculou-se a sua rigidez. A seguir apresenta-se o quadro com o

deslocamento obtido no nó em análise em cada piso e respectiva rigidez.

5,88KN/m2

d2=2,1m d3=1,4md1=1,75m

34

8,9KN/m25,88KN/m2 Cp(L5)=8,75KN/m2

d4=1,5m

d2=2,1m d3=1,4md1=1,75m

34

q(L5)=2KN/m2

d4=1,5m

q=3KN/m2

g1=14,2kN/m

g2=44,3kN/m

q1=6,2kN/m

q2=16,8kN/m



Figura III.3 – Diagrama de deslocamento.

Quadro III.2 – Deslocamento obtido no nó em análise em cada piso e respectiva rigidez.

Deslocamento vertical (m) Kmola (kN)

5ºPiso 6,870E-06 145560

4ºPiso 5,750E-06 173913

3ºPiso 5,160E-06 193798

2ºPiso 4,584E-06 218150

1ºPiso 3,979E-06 251319

Conhecido o valor da rigidez do apoio flexível do Pórtico 12 procedeu-se a sua análise de

modo a determinar a reacção da mola que corresponde a carga que a viga do pórtico 12

transmite ao Pórtico 4.

Para além das cargas referidas anteriormente, também considerou-se o peso próprio das vigas

é igual 3,75kN/m (0,3m*0,5m*25kN/m3) e o peso do pilar com o valor de 6,1kN

(0,3m*0,3m*2,7m*25 kN/m3)

Nas lajes armadas numa direcção onde há partes da carga que foram duplicadas, para o efeito

de dimensionamento dos pilares essas cargas devem ser descontadas. Os valores das cargas a

descontar correspondem às reacções dessas lajes.

A seguir apresentam se detalhadamente as cargas a actuar nos pórticos

III.5 Acções no Pórtico 2

Figura III.4 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 2.

rigidez.

.

1

rigidez.

vbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

rigidez.

.

1

1

d=-6,87*10-6

P6 P7 P9

P(viga)=3,75kN/m

P8

P(p. ext.)=

8,91kN/m

P(viga)=3,75kN/m

g (L3) =

21,88kN/mg (L3) =27,34kN/m

g (L6) =2,5*8,75

=21,88kN/m

2.5

g (L6) =1*8,75

=8,75kN/m

g (L6) =0,5*8,75

=4,375kN/m

g (L3) =27,34kN/m

P6 P7 P9P8

q (L3) =5kN/m q (L3) =6,25kN/m

q (L6) =2,5*2=5kN/m

2.5

q (L6) =1*2=2kN/m

q (L6) =0,5*2

=1kN/m

q (L3) =6,25kN/m

1.50.5

1.50.5

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P6 P7 P9

P(viga)=3,75kN/m

P8

P(p. ext.)=

8,91kN/m

P(viga)=3,75kN/m

g (L3) =

21,88kN/mg (L3) =27,34kN/m

g (L6) =2,5*8,75

=21,88kN/m

2.5

g (L6) =1*8,75

=8,75kN/m

g (L6) =0,5*8,75

=4,375kN/m

g (L3) =27,34kN/m

P6 P7 P9P8

q (L3) =5kN/m q (L3) =6,25kN/m

q (L6) =2,5*2=5kN/m

2.5

q (L6) =1*2=2kN/m

q (L6) =0,5*2

=1kN/m

q (L3) =6,25kN/m

1.50.5

1.50.5

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN









P10 P11

2.0 3.5

P(viga)=3,75kN/m

g (L1) =3,5*8,75=30,63kN/m

g (L4) =4,1*8,75=35,88kN/m

2.3 4.1

P1 P2

2.0 3.5

q (L1) =3,5*2=7kN/m

q (L4) =4,1*2=8,2kN/m

2.3 4.1P

(pil

ar)

= 6

,1k

N

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P12 P13

2.0

g (L5) =

6,56kN/m

g (L5)=

8,20kN/m

P(viga)=3,75kN/m

P(p. ext.)=7,09kN/m

P(pi

lar)

= 6,

1kN

P(pi

lar)

= 6,

1kN

g (L6)=0,9*8,75=7,88kN/m

g (L6)=0,4* 8,75=3,5kN/m

RPó

rtic

o12=

13k

N

P12 P13

2.0

q (L5) =

1,5kN/m

q (L5)=

1,88kN/m

q (L6)=0,9*2=1,8kN/m

q (L6)=0,4* 2=0,8kN/m

RPó

rtic

o12=

0,5

kN

P14 P15

2.0

g (L5) =

6,56kN/m g (L5)=4,92kN/m

P(viga)=3,75kN/m

P(p. ext.)=7,09kN/m

g (Escada)=44,3kN/m

P14 P15

2.0

q (L5) =

1,5kN/mq (L5)=1,13kN/m

q (Escada)=16,8kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN









P17 P18 P19

P(viga)=3,75kN/m


P(p. ext.)=8,91kN/m

g (L4) =2,4*8,75=21kN/m

P(viga)=3,75kN/m


g (L2)=1*8,75=8,75kN/m

R(L

2)=

15

,31

kN

R(L

2)=

15

,31

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN


2.3 4.1

P17 P18 P19

q (Consola 4)=6,5kN/m

q (L4) =2,4*2=4,8kN/m q (L2)=1*2=2kN/m

R(L

2)=

3,5

kN

R(L

2)=

3,5

kN


2.3 4.1

P17 P18 P19

P(viga)=3,75kN/m


P(p. ext.)=8,91kN/m

g (L4) =2,4*8,75=21kN/m

P(viga)=3,75kN/m


g (L2)=1*8,75=8,75kN/m

R(L

2)=

15

,31

kN

R(L

2)=

15

,31

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN


2.3 4.1

P17 P18 P19


q (L4) =2,4*2=4,8kN/m q (L2)=1*2=2kN/m

R(L

2)=

3,5

kN

R(L

2)=

3,5

kN


2.3 4.1

P20

P(viga)=3,75kN/m


P(p. ext.)=8,91kN/m

g (L6)=1,1*8,75=9,63kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P21

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P22

P(p

ila

r)=

6,1

kN

1.12.5

g (L7) =1,5*8,75=13,13kN/m

P20


qL6)=1,1*2=2,2kN/m

P21 P22

1.12.5

q (L7) =1,5*2=3kN/m

P23 P24

P(viga)=3,75kN/m

P(p. ext.)=8,91kN/m

g(Escada)=14,2kN/m

P23 P24

q(Escada)=6,2kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN








Figura III.13 – Carga permanente Pórtico 11.

P(viga)=3,75kN/m

P(p. ext.)=8,91kN/m

g (L4) =2,3*8,75=20,13kN/m

P(viga)=3,75kN/m


P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

3.5

g (L1) =2*8,75=17,5kN/m

4.1

P17 P10 P1

q (L4) =2,3*2=4,6kN/m

3.5

q (L1) =2*2=4kN/m

4.1

P17 P10 P1

q (L4) =4,1*2=8,2kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

3.5

q (L1) =3,5*2=7kN/m

4.1

q (L2) =3,5kN/mq (L2) =

4,38kN/m

q (L2) =

3,5kN/mq (L2) =4,38kN/m

P18 P11 P2

P(viga)=3,75kN/m

g (L4) =4,1*8,75=35,88kN/m

P(viga)=3,75kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

3.5

g (L1) =3,5*8,75=30,63kN/m

4.1

g (L2) =15,32kN/mg (L2) =

19,14kN/m

g (L2) =

15,32kN/mg (L2) =19,14kN/m

P18 P11 P2

g (L5)=

8,75kN/m

g (L2) =

11,48kN/mg (L2) =15,32kN/m

g (L3) =8,75kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P23 P19

P(viga)=3,75kN/m

g (Consola 4)

=6,75kN/m

P(p. ext.)

=8,91kN/m

P(viga)=3,75kN/m

R(C

on

so

la 4

)= 7

,38

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P14

R(L

5)=

8,2

kN

P12

R(L

5)=

4,9

2k

N

P6

R(L

3)=

21

,88

kN

P3

R(L

3)=

21

,88

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(viga)=3,75kN/m

P(p. int.)=7,09kN/m P(p. int.)=7,09kN/m P(p. int.)=7,09kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

g (L2) =11,48kN/mg (L2) =

15,32kN/m



Figura III.14 – Carga variável no Pórtico 11.





1.0

P23 P19

5kN/m

P14 P12 P6 P3

q (Consola 4)

2kN/m

R(C

on

so

la 5

)= 1

,75

kN

q (L2) =2,63kN/mq (L2) =

3,5kN/m

q (L5) =

2kN/m

q (L2) =

2,63kN/mq (L2) =3,5kN/m

q (L3) =3,5kN/m

R(L

5)=

1,8

8k

N

R(L

5)=

1,1

3k

N

R(L

3)=

5k

N

R(L

3)=

5k

N

P7

P(viga)=3,75kN/m

P(p. int.)=7,09kN/m

g (L2) =

8,75kN/m

1.0

P(p

ilar

)= 6

,1kN

P7

q (L2) =

1kN/m

1.0

K=

2513

19kN

K=

2513

19kN

P24 P20

P(viga)=3,75kN/m

g (Consola 5)

=6,75kN/m

P(p. ext.)

=8,91kN/m

P(viga)=3,75kN/m

R(C

on

so

la 5

)= 7

,38

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P15

R(L

5)=

6,5

6k

N

P13

R(L

5)=

6,5

6k

N

g (L6)

19,25kN/m

P24 P20

q (Consola 5)

R(C

on

so

la 5

)= 3

,36

kN

P15

R(L

5)=

1,5

kN

P13

R(L

5)=

1,5

kN

q (L6) =2kN/mq (L5) =

2kN/m

3kN/m

q (L6)

4,4kN/m

5kN/m

2kN/m

1.0

1.1

1.1

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p. int.)=7,09kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

g (L6) =9,63kN/mg (L5) =

8,75kN/m

13,13kN/m







g (L6) =13,13kN/m

1.5

2.5

P21 P16 P8

g (L7) =5kN/m

1.5

g (L6) =3,8kN/m

1.1

g (L6) =3kN/m

1.5

2.5

P21 P16

P(viga)=3,75kN/m P(viga)=3,75kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P8

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

g (L7) =21,88kN/m

1.5

g (L6) =16,63kN/m

1.1

P21 P16 P8

q (L7) =5kN/m

1.5

q (L6) =3,8kN/m

1.1

q (L6) =3kN/m

1.5

2.5

R(L

3)=

3,7

5k

N

R(L

3)=

6,2

5k

N

P22 P9 P5

P(viga)=3,75kN/m P(viga)=3,75kN/m

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p

ila

r)=

6,1

kN

P(p. ext.)=8,91kN/m P(p. ext.)=8,91kN/m

g (L7) =13,13kN/m

1.52.5

g (L3) =8,75kN/m

Pórtico 15

P22 P9 P5

q (L7) =3kN/m

1.52.5

q (L3) =2kN/m

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Departamento - files.isec.ptfiles.isec.pt/DOCUMENTOS/SERVICOS/BIBLIO/teses/Tese_Mest_Keila... · 4.3 Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos elementos finitos