DerivadaDerivada de funções: Exponencial, logarítmica

Derivada do ProdutoDerivada do Cociente

Regra da Cadeia

1

Derivada da Função Exponencial

• Regra

• Para todo a>0

d(ax)

dx= lna.a

x

Consequentemente :

d(ex)

dx= lne.e

x= e

x

2

Exemplo

• Derive as seguintes funções:

a)ƒ(x) = 4.10x! x

3

b)y = e2+ x

e

c)g(t) = et+2

3

Exemplo

• Derive as seguintes funções:

a)ƒ(x) = 4.10x! x

3

4d(10

x)

dx!dx

3

dx= 4.ln10.10

x! 3x

2= 9,2103.10

x! 3x

2

b)y = e2+ x

e

de2

dx+dx

e

dx= 0 + ex

e!1= ex

e.x

!1=ex

e

x

c)g(t) = et+2

et+2

= et.e2=de

t

dt.de

2

dt= e

t+2

4

Derivada do Produto de Funções

• Considere f e g duas funções de x .

• A derivada de ƒ(x).g(x) é dada por

d( f (x).g(x))

dx=dƒ(x)

dx.dg(x)

dx= f '(x).g(x) + g '(x) f (x)

5

Exemplo

c)g(t) = et+2

et+2

= et.e2=de

t

dt.de

2

dt= e

t.e2+ 0.e

t

d(et+2)

dt= e

t.e2= e

t+2

6

Exercício

• Derive as seguintes funções:

a) f (x) = x.2x

b)h(s) = (s2+ 3).e

s

c)g(x) =ex

x2

7

Derivada do Cociente de funções

• Considere f e g duas funções de x .

• A derivada de ƒ(x)/g(x) é dada por

d(f (x)

g(x))

dx=f '(x).g(x) ! g '(x). f (x)

[g(x)]2

8

Exemplos

• Derive as seguintes funções:

a) f (x) =1

1+ ex

b) f (t) =t

t3+1

c)g(x) =ex

x2

d) f (t) =2t

2+ t

4! 2

t4

9

Exemplos

a) f (x) =1

1+ ex

=0.(1+ e

x) ! (e

x)(1)

(1+ ex)2

=!e

x

(1+ ex)2

b) f (t) =t

t3+1

=t

1

2

t3+1

=

1

2t!1

2 .(t3+1) ! 3t

2.t

1

2

(t3+1)

2=

(t3+1)

2 t .(t3+1)

2!3t2t

(t3+1)

2

=1

2 t .(t3+1)

!3t2t

(t3+1)

2

10

Exemplos

c)g(x) =ex

x2

=ex.x2! 2x.e

x

(x2)2

=ex(x

2! 2x)

x4

=ex.x.(x ! 2)

x4

=ex.(x ! 2)

x3

d) f (t) =2t

2+ t

4! 2

t4

=(4t + 4t

3).t

4! 4t

3.(2t

2+ t

4! 2)

(t4)2

=4t

5+ 4t

7! 8t

5! 4t

7+ 8t

3

t8

=!4t

5+ 8t

3

t8

=t3(!4t

2+ 8)

t3.t5

=(8 ! 4t

2)

t5

11

Regra da Cadeia

• Essa regra é utilizada quando se quer derivar uma função composta tipo

• f(g(x)) - uma função em função de outra

• se P=f(g(x)) então:

dP

dx=d[ f (g(x))]

dx= f '(g(x)).g '(t)

12

Exemplos

• Calcule usando a regra da cadeia as seguintes funções:

a)h(x) = (x2+ 3)

3

h '(x) =d(x

2+ 3)

3

dx.d(x

2+ 3)

dx= 3(x

2+ 3)

2.(2x) = 6x.(x

2+ 3)

2

b) f (t) = e5t

ƒ '(t) =d(e

5t)

dx.d(5t)

dx= e

5t.5 = 5e

5t

13

Exemplos

• Calcule usando a regra da cadeia as seguintes funções:

c)Q(x) = (x3+ 2x !1)

d)ƒ(s) =s2

(2s2+ 3)

2

14

Exemplos

c)Q(x) = (x3+ 2x !1)

Q(x) = (x3+ 2x !1)

1

2

Q '(x) =1

2(x

3+ 2x !1)

!1

2 .(3x2+ 2)

Q '(x) =1

2 (x3+ 2x !1)

.(3x2+ 2) =

(3x2+ 2)

2 (x3+ 2x !1)

15

Exemplos

d)ƒ(s) =s2

(2s2+ 3)

2

Primeiro aplicamos a regra da derivada do cociente..

f'(s)=

d(s2 )

ds.(2s2

+ 3)2!d(2s2

+ 3)2

ds.s2

((2s2+ 3)2 )2

Agora aplicamos a regra da cadeia só no numerador:

f'(s)=

2s.(2s2+ 3)2

!d(2s2

+ 3)2

ds.d(2s2

+ 3)

ds.s2

(2s2+ 3)4

16

Exemplos

f'(s)=

2s.(2s2+ 3)

2!d(2s

2+ 3)

2

ds.d(2s

2+ 3)

ds.s2

(2s2+ 3)

4

f'(s)=2s.(2s

2+ 3)

2! 2(2s

2+ 3)

2!1.(4s).s

2

(2s2+ 3)

4

f'(s)=2s.(2s

2+ 3)

2! (2s

2+ 3).8s

3

(2s2+ 3)

4

17

Exemplos

f '(s) =2s.(2s

2+ 3)

2

(2s2+ 3)

4!

(2s2+ 3).8s

3

(2s2+ 3)

4=

2s

(2s2+ 3)

2!

8s3

(2s2+ 3)

3

ƒ '(x) =2s.(2s

2+ 3) ! 8s

3

(2s2+ 3)

3=

2s( (2s2+ 3) ! 4s

2)

(2s2+ 3)

3

f'(s)=2s.(2s

2+ 3)

2! (2s

2+ 3).8s

3

(2s2+ 3)

4

18

Derivada da função Logarítmica

• Regra:

• Tanto para log base 10 quanto para ln, vale:

d(log x)

dx=1

x

d(ln x)

dx=1

x

19

Exemplo

• Derive as funções:

a) f (x) = ln(x3+ 2x +1)

b)g(t) = t2ln(2t)

20

Exemplo

• Derive as funções:

a) f (x) = ln(x3+ 2x +1)

f '(x) =d[ln(x

3+ 2x +1)]

dx.d(x

3+ 2x +1)

dx

f '(x) =1

(x3+ 2x +1)

.(3x2+ 2) =

(3x2+ 2)

(x3+ 2x +1)

21

Exemplo

• Derive as funções:

b)g(t) = t 2 ln(2t)

Primeiro aplicamos a regra do produto

g '(t) =dt

2

dt.ln(2t) + t 2 .

d(ln2t)

dt

Agora aplicamos a regra da cadeia no 2º termo...

g '(t) = 2t.ln(2t) + t 2 .d(ln 2t)

dt.d(2t)

dt

g '(t) = 2t.ln(2t) + t 2 .1

2t.2 = 2t ln(2t) + t

g '(t) = t(2 ln(2t) +1)

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Referencias

[1]!R. S. Ferreira, Matemática Aplicada às Ciências Agrárias -

Análise de Dados e Modelos, 1º ed. Viçosa: Editora UFV, 1999.

!

[2] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo:

Editora Saraiva, 2005.

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