Derivada e Antiderivada

Exemplo Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da Terra. Num certo dia à tarde o navegador lê o velocímetro do foguete como função do tempo, e conclui que ele é dado por: f(t) = 100t 3 – 400t 2 + 800t, onde t é o tempo em horas. Se a função f fornece a velocidade em km/h, encontre a distância percorrida pelo foguete:a)Entre o início da tarde e as duas horas;b)Entre uma e 4 horas da tarde.

Solução A leitura do velocímetro é a taxa de variação

instantânea da distância em função do tempo. Sabendo que s é a distância da Terra, temos que:

Se dispusermos os dados numa tabela, teremos:

tttdtds 800400100 23

)(tfdtds

Derivada e Antiderivadat

tempo

s

distância

v

velocidade0 ?

1 ?

2 ?

4 ?

t F(t) f(t)

dtds

Conhecemos a expressão f(t), precisamos encontrar sua antiderivada F(t), que é:

CttttF 2

8003

4004

100)(234

Derivada e Antiderivada Precisamos agora determinar o valor de C; Contudo, substituindo o valor de t por 0, 1, 2 e 4 na expressão F,

podemos facilmente responder o que se pede no item a):

a) A distância percorrida entre t = 0 e t = 2 é igual a:(posição para t=2) menos (posição para t=0)s = F(2) – F(0)

Calculemos então quando t=2:CttttF 2

8003

4004

100)(234

CFCF

CF

CF

33,933)2(160066,1066400)2(

24.800

38.400

416.100)2(

2)2(800

3)2(400

4)2(100)2(

234

Derivada e Antiderivada

Agora vamos calcular quando t=0:

Fazendo temos:

CttttF 2

8003

4004

100)(234

CFCF

CF

)0(000)0(

2)0(800

3)0(400

4)0(100)0(

234

)0()2( FFs

kmsCCs

33,93333,933

Derivada e Antiderivada

b) A distância percorrida entre t = 1 e t = 4 é igual a:

)1()4( FFs

CFCF

CF

CF

67,4266)4(400.633,8533400.6)4(216.800

364.400

4256.100)4(

2)4(800

3)4(400

4)4(100)4(

234

CFCF

CF

CF

67,291)1(40033,13325)1(

21.800

31.400

41.100)1(

2)1(800

3)1(400

4)1(100)1(

234

kmsCCs

FFs

397567,29167,4266

)1()4(

Antiderivação e Integração Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma

função F(x), cuja derivada F’(x) é uma função conhecida f(x). Se a função F(x) existir, ela é chamada antiderivada de f(x).

Integral Indefinida

CxxF 3

31)(2)( xxf

2)(' xxF

Exemplo Seja . Uma antiderivada de f(x) é:Pois . Costuma-se chamar a operação de antiderivação

também por integração e a antiderivada de integral.

Antiderivação e Integração Todas as integrais indefinidas devem ter o complemento “+C” em sua solução pois muitas funções têm a mesma derivada.

A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou família de funções;

A integral definida é aquela definida dentro de um certo intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um número.

Integral Indefinida

Integral Indefinida A operação que envolve uma integral indefinida consiste

em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma antiderivada. O que muda então?A notação!

Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação:Seja . Uma primitiva de f é:

Pois . Assim, a nova notação estabelece que:

2)( xxf CxxF 3

31)(

)()(' xfxF

cxFdxxf )()(

Integral Indefinida

Exemplo A integral de é:2)( xxf Cxdxx 3

32

Integral Indefinida

xxf sen)( Cxxdx cossen A integral de é:xexf )( Cedxe xx A integral de é:

xxf cos)( Cxxdx sencos A integral de é:

Outro Exemplo

A função é uma primitiva da função

f(x) = cos2x, pois .

Fazendo,

Não é uma tarefa muito fácil encontrar a primitiva de certas funções, mas existem métodos para isto e iremos aprender alguns deles.

CxxF 2sen21)(

)(2cos02cos2.21)(' xfxxxF

Cxxdx 2sen212cos

Integral Indefinida

Definição simbólica Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é

chamada integral indefinida da função f(x) e é representada pela expressão:

O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a variável sobre a qual se processa a integração.

CxFdxxf )()(

Integral Indefinida

Exemplo

Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.

Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”.

dxx 2

dyyx 32.

Integral Indefinida

Integral de uma função constante Uma primitiva de uma função constante f(x) = k, é a

função linear F(x) = k.x, pois F’(x) = (k.x)’ = k. Logo:

Exemplo

Cxkdxk ..

Cxdx .5.5

Integral Indefinida

Integral de uma função potência Seja, por exemplo, f(x) = x4.

Uma primitiva de f(x) é pois F’(x) = x4.

Logo:

Portanto, uma primitiva da função f(x) = xn, com n -1, é a função

5

5xxF )(

Cnxdxxn

n

1.

1

Cxdxx 5

54

1)(

1

nxxFn

Integral Indefinida

Caso especial de Integral de uma função potência Seja, por exemplo, f(x) = x-1 = 1/x.

Uma primitiva de f(x) = 1/x é a função F(x) = ln|x|, portanto:

Cxdxx

ln1

Integral Indefinida

Integral de função exponencial

Integrais de funções trigonométricas

Cedxe xx

Cxxdx sencos

Cxxdx cossen

Ctgxxdx 2sec

Integral Indefinida

Cxdxtgxx sec..sec

Cgxdxx cot.seccos 2

Cxdxgxx seccos.cot.seccos

Integral das funções inversas

Cxdxx

arcsen.1

12

Carctgxdxx

.11

2

Integral Indefinida

Propriedades Integral da soma

Exemplo

dxxgdxxfdxxgxf )()()].()([

dxxdxdxxdxxx 4)4( 22

3

3x2

2x x4+ + + C

Integral Indefinida

Propriedades Integral da diferença

Exemplo dxxgdxxfdxxgxf )()()].()([

dxxdxxdxxx 2424 )(

5

5x3

3x- + C

Integral Indefinida

Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person

Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.

São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.

Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

Integral Indefinida