Derivadas e EDO

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Derivadas e EDO. Renato Assunção DCC, UFMG. Derivada numerica. Lembre da definição de derivada Como no caso da integral, a definição e’ uma operação de limite quando h  0 Uma estimativa simples e’ então tomar h ≈0 e usar a aproximação - PowerPoint PPT Presentation

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Razes e otimizao

Derivadas e EDORenato AssunoDCC, UFMG1Derivada numericaLembre da definio de derivada

Como no caso da integral, a definio e uma operao de limite quando h 0Uma estimativa simples e ento tomar h 0 e usar a aproximao

Este e chamado o mtodo das diferena sucessiva (forward difference method)

2Preciso da diferena sucessivaSe f e diferenciavel duas vezes, podemos escrever sua expansao de Taylor de 2 ordem:

Onde (x, x+h)Entao

Portanto, o erro de Dhf e

3ExemploConsidere a funo e calcule

Pelo mtodo da diferena sucessiva:

Por outro lado, sabemos do calculo que f (x)=1/(1+x2) e portanto

4Um mtodo mais precisoConsidere as seguintes DUAS expanses de Taylor:

Isolando f (x) encontramos:

Isto produz o mtodo da diferena simtrica

5Diferena simtricaEste mtodo e uma media dos mtodos de diferena sucessiva e diferena retroativa.Qual a preciso desta media?Como

e

O mtodo da diferena simtrica tem um erro de aproximao igual a

6Extrapolao de RichardsonExtrapolao de Richardson pode ser usada para melhorar qualquer mtodo numrico que tenha a ordem de grandeza de seu erro conhecida. Podemos usa-la para melhorar:Diferena sucessiva (O(h))Diferena simtrica (O(h2))Nos podemos ser bastante especficos sobre o impacto da extrapolao de Richardson nestes dois casos.

7Se nos tivssemos tomado a expanso completa de Taylor quando derivamos o mtodo das diferenas simtricas teramos:

ou

onde k2, k4, .. so constantes independentes de h.

8Agora podemos olhar a precisao da extrapolacao de Richardson para diferencas simetricas (p=2):4/3 Dh/2 1/3 DhDo slide anterior:

Multiplicando pelos fatores apropriados temos

Substituindo (2) em (1) temos

Assim, diferenas simtricas com extrapolao de Richardson tem erro O(h4)

9Estimando a derivada segundaVamos considerar de novo as duas expanses de Taylor:

Isolando f(x) encontramos

E assim temos a aproximao

10Equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem11Calculo diferencial e integralNewton e Leibniz inventaram o calculo diferencial e integral por volta de 1670.O objetivo era ter ferramentas matemticas apropriadas para lidar com o movimento e mudanas no tempo.Entender, modelar e predizer o movimento dos corpos celestes era um dos maiores objetivos da cincia naqueles tempos. Para os homens daquele tempo, compreender o movimento dos cus era ouvir a voz de Deus.12Calculo diferencial e integralLogo depois ocorre uma exploso cientifica revolucionaria: Os irmos Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, etc. A cincia e engenharia modernas nascem, vicejam, crescem e criam o que temos hoje em dia. Derivadas e integrais aparecem em todos os modelos cientficos para descrever a natureza se um processo de mudana estiver envolvido no fenmeno estudado.A mais famosa lei da fisica, a 3 lei de Newton, envolve uma segunda derivada: F = m * d2 y(t)/dt2

13Um passo alem: Equaes diferenciaisEquao no linear usual: achar os valores de t para os quais a igualdade f(t)=0 e valida Equao diferencial ordinria: achar as funes y(t) para as quais a igualdade g(t, y(t), y(t)) = 0 PARA TODO tPor exemplo: achar y(t) tal que seja valida a equao y(t)3y(t) = 0 OU SEJA y(t) = 3y(t).Isto e, queremos achar as todas as funes y(t) tais que a sua funo derivada y(t) seja igual a 3 vezes a prpria funo y(t).

14EDO de 1 ordemAchar y(t) tal que y(t) = 3y(t)Geometricamente: Desenhe o grfico da funo y(t)Calcule a inclinao da reta tangente y(t) em cada ponto tA inclinao deve ser igual a 3 vezes o valor da funo y(t)Existe alguma funo que satisfaz esta condio?Se existem, e possvel encontra-las?Tcnicas de soluo ANALITICA de EDO: soluo exata

15EDO de 1 ordemAchar y(t) tal que y(t) = 3y(t)Que tal y(t) = t2 ??Neste caso, y(t) = 2 t t2 = y(t) Que tal y(t) = cos(t) ?Neste caso, y(t) = -sen(t) cos(t) = y(t) OU ainda y(t) = log(t) ??y(t) = 1/t que no e a prpria funo y(t)=log(t)

16EDO de 1 ordemAchar y(t) tal que y(t) = 3y(t)Que tal y(t) = e3t ??De fato, para esta funo, temos y(t) = 3 e3t = 3 y(t) e uma soluo da equao diferencial. Existe alguma outra funo que tambm seja soluo? Sim: todas as funes da forma y(t) = c e3t onde c R tambm e uma soluo.Existem outras? No, estas so todas, no existem mais funes para as quais temos y(t) = 3 y(t) PARA TODO t

17EDO 1 ordem com valor inicialAchar y(t) tal que y(t) = 3y(t)E ALEM DISSO, y(0) = 2Agora, colocamos uma restrio adicional, uma condio sobre o valor inicial da funo y(t).No tempo t=0, a funo deve valer y(0)=2Como todas as solues de y(t) = 3y(t) so da forma y(t) = c e3t temos de encontrar alguma que satisfaa a condio inicial.2 = y(0) = c e3*0 = c.1 y(t) = 2 e3t

18Notao: ordinria?Equaes diferenciais: okMas por que Equaes diferenciais ORDINRIAS? Existem Equaes diferenciais EXTRAORDINRIAS?No. O palavra ordinria e usada para diferenciar das equaes diferenciais PARCIAIS.Parciais: equaes que envolvem funes de mais de uma varivel e suas derivadas parciais. Exemplo: Equao de difuso do calor numa barra de densidade homognea. Seja u(t,x) a temperatura no ponto x no tempo t Ento onde c depende do material

19EDO de 1 ordem Equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem so equaes envolvendo apenas a derivada y(t) e a funcao y(t) e possivelmente outras funes FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo:y(t) = p(t) * y(t) + g(t)Casos particulares:y(t) = 3 * y(t) + sin(t)y(t) = (3*t2 + 2t -1) * y(t) + sin(t)

20EDO de ordem nEDO ordem n so equaes envolvendo :As derivadas yn(t), yn-1(t),..., y(t) a funo y(t) e possivelmente outras funes FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo, uma EDO de 2 ordem:y(t) = sin(t) * y(t) + y(t) + 3t Qual a (ou as) FUNCAO y(t) tal que a sua FUNCAO derivada segunda y(t) obedece a equao acima?Mas isto e so um exerccio de matemticos sem ter o que fazer, certo?21Exemplos de EDOs famosasDecaimento radioativo: proporo carbono-14/carbono-12 presente na matria orgnica viva constante.No entanto, na matria orgnica morta a quantidade de 14C diminui com o tempo, a uma taxa proporcional quantidade existente. Se designarmos essa quantidade por Q, teremos:Q(t) = -c Q(t) onde c > 0 e uma constante22Exemplos de EDOs famosasCorpo em queda livre com atrito devido a resistncia do ar:Mv(t) = mg k v(t) ou v(t) + k/m v(t) g = 0Engenharia Qumica: balano de massa ou volume ou energia num reator qumico. O volume de lquido num tanque e a concentrao de uma soluo A mudam com o tempo. Entra e sai lquido a taxas constantes e diferentes. Os lquidos possuem concentraes de A diferentes. Descrever a concentrao de A em cada instante : terminamos em uma EDOs23Exemplos de EDOs famosasOscilador harmnico amortecido:y(t) + a y(t) + b y(t) = 0Para descrever a fsica do tomo de hidrognio:Legendre: (1-t2)y(t) 2 t y(t) + k(k+1) y(t) = 0Para descrever o comprimento de onda no tomo de hidrognio:Laguerre: t y(t) + (1-t) y(t) + k y(t) = 0Membranas vibratrias:Bessel : t2 y(t) + t y(t) + (t2 k2) y(t) = 0Mecnica quntica:Hermite: y(t) 2 t y(t) + 2 k y(t) = 0Arco-risy(t) + t y(t) = 024EDO linear de 1 ordemSuponha que y(t) = a(t) * y(t) + b(t) Soluo:

Com o fator integrante

Se y(t) = - y2(t) EDO NO-LINEAR. Esta EDO particular pode ser resolvida pelo mtodo de separao de variveis .

25EDO de 1 ordemVamos considerar problemas do seguinte tipo:

Existe alguma soluo? Quando ela e nica?TEOREMA:

26Mtodos numricos: EulerNosso problema de EDO de 1 ordem: Euler e o mtodo mais simples.Acha uma aproximao para a soluo y(t) num intervalo [t0, tN] Divide o intervalo em N subintervalos de comprimentos iguais: t0, t1, ..., tN onde tk=t0 + k * h com h=(tN-t0)/NSe h e pequeno, temos

27Mtodo de EulerNosso problema de EDO de 1 ordem: t0, t1, ..., tN onde tk=t0 + k * h com h=(tN-t0)/NSe h e pequeno, temos

Algoritmo:

Temos uma aproximao y0, y1, y2, ..., yN para y(t)

2829Mtodo de Euler 1 iteracaoPasso ht y(t)(t0, y0)Valor de y(t0+ h)

Slope

Interpretao grfica: primeiro passo do mtodo de Euler

Valor aproximado y1t0t130Mtodo de Euler 2 iteraoTamanho do passohValor verdadeiro y(x2) y2 Valor aproximadoy1ty(t)t1t2Segunda iterao do mtodo de Euler

Note que y2 e o Valor em x2 de uma reta que passa por (t1, y1) e que teminclinao f(t1,y1).

31Mtodo de Euler 2 iteraoTamanho do passohValor verdadeiro y(t2) y2 Valor aproximadoy1ty(t)t1t2

NO ESTAMOS USANDO

y*2 = y(t1) + f(t1, y(t1))h

uma reta passando por y(t1) e com inclinao f(t1,y(t1)) poisNOS NO TEMOSy(t1)

Na 1 iterao obtivemos uma aproximao y1 para y(t1)32Mtodo de Euler iterao iTamanho do passohValor verdadeiro y(ti+1) yi+1, Valor aproximadoyitytiti+1Passo genrico do mtodo de Euler

Erros em EulerAssim, na n-sima iterao, gostaramos de aproximar yn+1 pelo valor em tn+1 = tn+h da reta tangente a y(t) no ponto (tn, y(tn))Entretanto, NO TEMOS y(tn)mas somente uma aproximao ynAssim, temos dois erros acumulando-seem cada iterao do mtodo de Euler.Existe um erro em aproximar y(tn)por yn , a n-sima iteraoAlm disso, gostaramos de ter f(tn,y(tn)) mas usamos f(tn,yn)

3334ExemploUma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920oC ) e comeca a resfriar a temperatura ambiente de 300K (ou 27oC). Assumindo que o calor e dissipado sem interferncia, a equao diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO

Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o mtodo de Euler. Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

35Soluo

Primeira iterao:

e a temperatura aproximada em

36Soluo - continuaoPara

Iterao 2:

e a temperatura aproximada em

37Soluo continuao A soluo exat