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1 1. Introdução. O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônicos utilizaram tabelas de quadrado e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar e determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções já definidas por relações entre variáveis. Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto, para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. Só no séc. XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da ciência.

Derivadas e suas aplica__es

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1

1. Introdução.

O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa

evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônicos utilizaram tabelas de quadrado e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar e determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções já definidas por relações entre variáveis.

Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto, para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.

Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. Só no séc. XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da ciência.

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2

2. A Reta Tangente e a Derivada. 2.1 – Reta Tangente.

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Limites do tipo

lim→

푓(푥 )– 푓(푝)푥 − 푝

ocorrem de modo natural tanto na geometria como na física.

Consideremos, por exemplo, o problema de definir a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Evidentemente, tal reta deve passar pelo ponto (p, f(p)); assim a reta tangente fica determinada se dissermos qual deve ser seu coeficiente angular. Consideremos, então, a reta 푠 que passa pelos pontos (p, f(p)) e (x, f(x), conforme figura 2.1.

Figura 2.1 – Reta Secante ao gráfico de 푓.

Coeficiente angular de 푠 = ( ) ( )

Quando x tende a p, o coeficiente angular de 푠 tende a f’(p), onde

푓 ′(푝) = lim→

푓(푥)– 푓(푝)푥 − 푝 ∙

Observe que f’(p) (leia: f linha de p) é apenas uma notação para indicar o valor do limite acima. Assim à medida que x vai se aproximando de p, a reta 푠 vai tendendo para a posição da reta T da equação

푦 − 푓(푝) = 푓 ′(푝)(푥 − 푝). (1)

f (x)

f(p)

f

sx

x - p

f(x) - f(p)

x

y

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3

Figura 2.2 – Reta Tangente ao gráfico de 푓.

É natural, então, definir a reta tangente em (p, f(p)) como sendo a reta de equação (1).

Suponhamos, agora, que s=f(t) seja a equação horária do movimento de uma partícula vinculada a uma reta orientada na qual se escolheu uma origem. Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a abscissa ocupada pela partícula na reta. A velocidade média da partícula entre os instantes 푡 e t é definida pelo quociente ( ) ( )

A velocidade (instantânea) da partícula no instante 푡 é definida como sendo o limite

v(t ) = lim →

푓(푡 )– 푓(푡 )푡 − 푡 ∙

Esses exemplos são suficientes para levar-nos a estudar de modo puramente abstrato as propriedades do limite

lim→

푓(푥 )– 푓(푝)푥 − 푝 ∙

2.2 - Derivada de uma Função.

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite

lim→

푓(푥 )– 푓(푝)푥 − 푝

quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’ (p) (leia: f linha de p).

Assim,

푓 ′(푝) = lim→

푓(푥 )– 푓(푝)푥 − 푝 ∙

Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p. Dizemos que f é derivável ou diferenciável em A ⊂ 퐷 se f for derivável em cada p ∈ A. Diremos simplesmente, que f é uma função derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto de seu domínio.

f

xx

y

p

T

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4

Observação: Segue das propriedades dos limites que

lim→

푓(푥 )– 푓(푝)푥 − 푝 = lim

푓(푝 + ℎ) − 푓(푝)ℎ ∙

Assim,

푓(푝) = lim→

푓(푥 )– 푓(푝)푥 − 푝 표푢 푓 ′(푝) = lim

푓(푝 + ℎ)− 푓(푝)ℎ ∙

Conforme vimos na introdução a reta de equação 푦 − 푓(푦) = 푓 ′(푝)(푥 − 푝)é, por definição,a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Assim, a derivada de f em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p.

Exemplos.

1 - Seja f(x) = 푥 . Calcule:

a) f’ (1) b) f’ (x) c) f’ (-3) Solução:

퐚) f ′(1) = lim→

푓(푥 )– 푓(1)푥 − 1 = lim

푥 − 1푥 − 1 = lim

→( 푥 + 1) = 2.

Assim, f’(1) = 2. (A derivada de f(x) = 푥 , em p=1, é igual a 2.).

퐛)푓 ′(푥) = lim→

푓(푥 + ℎ )– 푓(푥)ℎ = lim

(푥 + ℎ) − 푥ℎ ∙

Como (푥 + ℎ) − 푥

ℎ =2푥ℎ + ℎ

ℎ = 2푥 + ℎ, ℎ ≠ 0

Segue que 푓 ′(푥) = lim →

(2푥 + ℎ) = 2푥.

Portanto,

f(x) = 푥 ⟹ f’(x)=2x. Observe que f’(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f(x) = 푥 , em todo x real. 퐜)Segue de (푏)que f’(-3) = 2 (-3) = -6.

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2 - Seja f(x) = 푥 . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto:

a) (1, f(1)). b) (-1, f(-1)).

Solução:

a) A equação da reta tangente em (1, f(1)) é

y – f(1) = f’ (1) (x –1)

푓(1) = 1 = 1 푓 (푝) = 2푝(exemplo 1, item b) ⇒ 푓 (1) = 2

Substituindo em (1), vem

y– 1 = 2(x – 1) ou y = 2x –1.

Assim y = 2x –1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 푥 , no ponto (1 , f(1)).

b) A equação da reta tangente em (−1, f(−1)) é y – f(−1) = f’(−1) (x-(−1)) ou y – f(−1) = f’(−1) (x+ 1)

f(−1) = (−1) = 1

f’(p) = 2p ⟹f’ (−1) substituindo esses valores na equação vem

푦 − 1 = −2(푥 + 1) 표푢 푦 = −2푥 − 1 Que é a equação da reta tangente pedida.

Figura 2.3 – gráfico das retas tangentes de 푓 nos pontos (1, 푓(1)) e (−1, (푓(−1)).

y

x

(1, f(1))

y = 2x - 1

y = - 2x - 1

-1 1

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6

3 - Seja f(x) = k uma função constante. Mostre que f’(x) = 0 para todo o x. (A derivada de uma constante é zero).

Solução:

푓 ′(푥) = lim→

푓(푥 + ℎ )– 푓(푥)ℎ .

Como f(x) = k para todo x, resulta f (x + h) = k para todo x e todo h, assim

푓 ′(푥) = lim→

푘 − 푘ℎ = lim

→0 = 0.

4 – Calcule a derivada de f(x) = 푥 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y =푥 no ponto x = -1. Qual é a equação da reta tangente nesse ponto?

Solução:

A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (c, f(x)) é dada por 푚 = f’(c). De acordo com a definição de derivada,

푓 ′(푥) = lim→

푓(푥 + ℎ )– 푓(푥)ℎ = lim

(푥 + ℎ) − 푥ℎ

푓 ′(푥) = lim→

(푥 + 3푥 ℎ + 3푥ℎ +ℎ )−푥ℎ = lim

→(3푥 + 3푥ℎ + ℎ )

푓(푥) = 3푥 ∙

Nesse caso, a inclinação da reta tangente à curva y =푥 no ponto x = -1 é f’ (-1) = 3(−1) = 3.

Para determinar a equação da reta tangente, precisamos também da coordenada y do ponto de tangencia, y=(−1) = -1. Assim, a reta tangente passa pelo ponto (-1, -1) com inclinação três. Usando a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, temos:

푦 − (−1) = 3 [푥 − (−1)]

y =3x + 2.

푡푔 = 푓(푎 + ℎ)− 푓(푎)

(푎+ ℎ − 푎) ⇒ 푡푔훼 = 푓(푎 + ℎ)− 푓(푎)

ℎ ∙

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7

5 - Encontre a equação da reta normal à curva y =√푥 − 3 que seja paralela à reta 6x + 3y – 4 = 0.

Solução:

Seja a reta dada. Para encontrarmos a declividade de, escrevermos sua equação na forma reduzida, que é y =− 푑표푖푠푥 + . Portanto, a declividade de 푓 é −2, e a declividade da reta normal procurada também é −2, pois suas retas são paralelas.

Para encontrarmos a declividade da reta tangente à curva dada em qualquer (푥 ,푦 ), aplicamos a fórmula

푛(푥 ) = limΔ →

푓(푥 + Δ푥) − 푓(푥 )Δ푥

Com f(x) = √푥 − 3 obtemos

푛(푥 ) = limΔ →

푥 + Δ푥 − 3 − 푥 − 3Δ푥 ∙

Para calcularmos esse limite, racionalizamos o numerador.

푛(푥 ) = limΔ →

푥 + Δ푥 − 3 − 푥 − 3 ( 푥 + Δ푥 − 3 + 푥 − 3)Δ푥( 푥 + Δ푥 − 3 + 푥 − 3)

푛(푥 ) = limΔ →

Δ푥Δ푥( 푥 + Δ푥 − 3 + 푥 − 3

Dividindo numerador e denominador por Δ푥, desde Δ푥 ≠ 0, obtemos

푛(푥 ) = limΔ →

1푥 + Δ푥 − 3 + 푥 − 3

푛(푥 ) =1

2 푥 − 3∙

Conforme mostramos acima, a declividade da reta procurada é -2. Assim, resolvemos a equação −2 푥 − 3 = -2 resultando 푥 = 4. Portanto, A reta procurada é a reta que passa pelo ponto (4, 1) sobre a curva e tem uma declividade –2. Usando a forma ponto-declividade da equação da reta obtemos y –1 = −2(x−4) ou 2x + y −9 = 0.

Veja a figura 2.4, que mostra um esboço da curva junto com a reta normal PN em (4, 1) e a reta tangente PT em (4,1).

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8

Figura 2.4 – Gráfico da Reta Normal a curva 푦 = √푥 − 3.

6 - Calcule a derivada de 푓(푥) = √푥 e use o resultado para determinar a equação da reta tangente à curva y = √푥 no ponto x = 4.

Solução:

A derivada de 푦 = √푥 em relação à x é dada por:

푑푑푥 √푥 = lim

푓(푥 + ℎ) − 푓(푥)ℎ = lim

√푥 + ℎ − √푥ℎ

푑푑푥 √푥 = lim

√푥 + ℎ − √푥 (√푥 + ℎ + √푥)ℎ(√푥 + ℎ + √푥)

푑푑푥 √푥 = lim

푥 + ℎ − 푥ℎ(√푥 + ℎ + √푥)

= lim→

ℎℎ(√푥 + ℎ + √푥)

푑푑푥 √푥 = lim

1√푥 + ℎ + √푥

= 1

2√푥∙

Para x = 4, a coordenada correspondente y no gráfico de y = √푥 é y = √4 = 2; então, o ponto de tangência é P(4, 2). Como f’(x) = 1/2√푥, a inclinação da reta tangente à curva de f(x) no ponto P (4, 2) é dado por f’(4) =

√= . Usando a forma ponto-inclinação da

equação de uma reta, descobrimos que a equação da reta tangente no ponto

P é 푦 − 2 = (푥 − 4) ou 푦 = 푥 + 1.

90°

T

N

X

y

P(4,1)

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7 - Seja 푓(푥) = 푓(푥) = √푥. Calcule f’(2).

Solução:

푓 ′(2) = lim→

푓(푥 )– 푓(2)푥 − 2 = lim

√푥 − √2푥 − 2 ∙

Assim,

푓 ′(2) = lim→

√푥 − √2√푥 − √2 (√푥 + √2)

= lim→

1√푥 + √2

=1

2√2∙

Isto é,

푓 ′(2) = 1

2√2∙

3. Regras de Derivação.

3.1. Derivada da Função Constante.

Se c é um número constante e 푓 é a função constante definida por 푓(푥) = 푐, então f é diferenciável para todo número 푥 e 푓’ é a função definida por 푓’(푥) = 0.

Prova:

푓 ′(푥) = limΔ →

푓(푥 + Δ푥)− 푓(푥)Δ푥 = lim

Δ →

푐 − 푐Δ푥 = lim

Δ →0 = 0.

Exemplos.

1 - Seja f uma função constante definida pela equação 푓’(푥) = 5 + 휋. Calcule 푓’.

Solução:

Pela regra da Constante, 푓’ é a função definida pela equação 푓’(푥) = 0.

2 - Calcule 퐷 5 + √3 .

Solução:

Pela regra da Constante, 퐷 (5 + √3) = 0.

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3.2. Derivada da Função Potência.

Seja n um número inteiro maior que 1 e seja f a função definida por 푓(푥) = 푥’’. Então f é diferenciável para todo número 푥 e 푓’ é a função definida por

푓 ′(푥) = 푛푥 .

Prova:

A prova se processa por indução matemática, iniciando com n = 2. Para n = 2 temos, pelas regras do produto e da identidade,

푓 ′(푥) = 퐷 (푥 ) = 퐷 (푥.푥) = 푥. (퐷 푥) + (퐷 푥)푥

푓 ′(푥) = 푥 + 푥 = 2푥 = 2푥 ;

Assim o teorema é válido quando n = 2. Agora, assumindo que n é maior que 2 e que o teorema seja válido para expoentes menores que n, os Teoremas 4 e 2 implicam que

푓 ′(푥) = 퐷 (푥 ) = 퐷 (푥 . 푥) = 푥 . (퐷 푥) + (퐷 푥 ) .푥 푓 ′(푥) = 푥 + [(푛 − 1)푥 ] .푥 = 푥 + (푛 − 1)푥

푓 (푥) = 푛푥 .

Exemplos.

1 - Seja 푓(푥) = 4 √푥 encontre 푓’(푥).

Solução:

푓(푥) = 4푥

푓 (푥) = 4 . 푥

푓 (푥) =83 푥 =

8

3푥=

83√푥

2 - Seja ℎ(푥) = √2푥 − 4푥 + 5, encontre h’(x).

Solução:

ℎ(푥) = (2푥 − 4푥 + 5)

ℎ (푥) =12 (2푥 − 4푥 + 5) (6푥 − 4)

ℎ (푥) = 3푥 − 2

√2푥 − 4푥 + 5∙

Page 11: Derivadas e suas aplica__es

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3.3. Derivada da Soma.

Sejam f e g funções diferenciáveis em um número x, e seja h = f + g. Então h é diferenciável em 푥 e

ℎ (푥 ) = 푓 (푥 ) + 푔 (푥 ).

Prova:

ℎ (푥 ) = lim∆ →

ℎ(푥 + ∆푥 )–ℎ(푥 )∆푥

ℎ (푥 ) = lim∆ →

[푓(푥 + Δ푥) + 푔(푥 + Δ푥)] − [푓(푥 ) + 푔(푥 )]∆푥

ℎ (푥 ) = lim∆ →

푓(푥 + Δ푥) − 푓(푥 ) + 푔(푥 + Δ푥)− 푔(푥 )∆푥

ℎ (푥 ) = lim∆ →

푓(푥 + Δ푥)− 푓(푥 )

∆푥 +g(x + Δx) − g(x )

Δx

ℎ (푥 ) = lim∆ →

푓(푥 + Δ푥) − 푓(푥 )Δ푥 + lim

푔(푥 + Δ푥)− 푔(푥 )Δ푥

ℎ (푥 ) = 푓 (푥 ) + 푔 (푥 ).

Exemplos.

1 - Seja 푓(푥) = 3푥 +8x+5. Calcule a derivada.

Solução:

푓 (푥) = 3(4푥 ) + 8.1 + 0

푓 (푥) = 12푥 + 8.

2 – Seja 푓(푥) = 7푥 − 2푥 + 8푥 + 5, 푒푛푐표푛푡푟푒 푓 (푥).

Solução:

푓 (푥) = 퐷 (7푥 − 2푥 + 8푥 + 5) = 퐷 (7푥 ) + 퐷 (−2푥 ) + 퐷 (8푥) + 퐷 (5) =

= 28푥 − 6푥 + 8 .

Page 12: Derivadas e suas aplica__es

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3.5. Derivada da Função Produto.

Sejam f e g funções ambas diferenciáveis em um número 푥 , e seja ℎ = 푓 ∙ g. Então h também é diferenciável em 푥 e

ℎ (푥 ) = 푓(푥 ).푔 (푥 ) + 푓 (푥 ).푔(푥 ).

Prova:

ℎ (푥 ) = lim∆ →

ℎ(푥 + ∆푥)− ℎ(푥 )∆푥

ℎ (푥 ) = lim∆ →

푓(푥 + ∆푥).푔(푥 + ∆푥)− 푓(푥 ).푔(푥 ).∆푥

Usaremos agora um curioso, mas eficiente artifício algébrico – a expressão 푓(푥 + ∆푥).푔(푥 ) é subtraída do numerador e depois adicionada de novo (o que, é claro, mantém o valor do numerador sem alteração).

O resultado é

ℎ (푥 ) =

= lim∆ →

푓(푥 + ∆푥 ).푔(푥 + ∆푥)− 푓(푥 + ∆푥).푔(푥 ) + 푓(푥 + ∆푥).푔(푥 )− 푓(푥 ).푔(푥 )∆푥

ℎ (푥 ) = lim∆ →

푓(푥 + Δ푥).푔(푥 + ∆푥)− 푓(푥 + ∆푥).푔(푥 )

∆푥

+f(x + Δx). g(x ) − f(x ). g(x )

Δx

ℎ (푥 ) = lim→

푓(푥 + ∆푥)푔(푥 + Δ푥)− 푔(푥 )

∆푥 +f(x + Δx)− f(x )

Δx g(x )

ℎ (푥 ) = lim∆ →

푓(푥 + ∆푥) ∙ lim∆ →

g(x + Δx) − g(x )Δx + lim

∆ →

f(x + ∆x) − f(x )∆x

∙ lim∆ →

g(x )

ℎ (푥 ) = lim→푓(푥 + Δ푥) .푔 (푥 ) + 푓 (푥 ) lim

∆ →푔(푥 ) ∙

Page 13: Derivadas e suas aplica__es

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Desde que, f é diferenciável em 푥 ela é contínua em 푥 .

Assim,

lim∆ →

푓(푥 + ∆푥) = lim→

푓(푥) = 푓(푥 )

Também desde que g(푥 ) é uma constante,

lim∆ →

푔(푥 ) = 푔(푥 )

Segue que,

ℎ (푥 ) = 푓(푥 ). g (x ) + f (x ). g(x ).

Exemplos.

1 - Calcule 퐷 [(3푥 + 1)(7푥 + 푥)] pelo uso da regra da multiplicação.

Solução:

퐷 [(3푥 + 1)(7푥 + 푥)] = (3푥 + 1)[퐷 (7푥 + 푥)] + [퐷 (3푥 + 1)](7푥 + 푥) = (3푥 + 1)(21푥 + 1) + (6푥)(7푥 + 푥) = (63푥 + 24푥 + 1) + (42푥 + 6푥 ) = 105푥 + 30푥 + 1.

2 - Suponha que f e g são funções diferenciáveis no número 2 e que f (2) = 1, g(2) = 10, f’(2) = e g’(2) = 3. Se h= f . g, calcule h’ (2).

Solução:

ℎ (푥푓(푥).푔 (푥) + 푓 (푥).푔(푥) Então: ℎ (2) = 푓(2).푔 (2) + 푓 (2).푔(2) Ou ℎ (2) = (1)(3) + (10) = 8.

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14

3.4. Derivada do Quociente.

Sejam f e g funções ambas diferenciáveis em um numero 푥 e suponha que 푔(푥 ) ≠ 0.

Então, se ℎ = 푓푔 segue que h é diferenciável em 푥 e

ℎ (푥 ) =푔(푥 ).푓 (푥 )− 푓(푥 ).푔 (푥 )

푔[(푥 )] ∙

Prova:

Note que h = f(1/g); assim pelas regras do produto e da inversa aritmética,

ℎ (푥 ) = 푓(푥 ).−푔 (푥 )[푔(푥 )] + 푓 (푥 ).

1푔(푥 )

ℎ (푥 ) =−푓(푥 ).푔 (푥 )

[푔(푥 )] + 푔(푥 ).푓 (푥 )

[푔(푥 )]

ℎ (푥 ) = 푔(푥 ).푓 (푥 ) − 푓(푥 ).푔 (푥 )

[푔(푥 )] .

Exemplos.

1 - Sendo 푓(푥) =

∙ Calcule 푓’(푥).

Solução:

푓 (푥) =(푥 − 5푥 + 3). (2.4푥 − 0)− (2푥 − 3)(2푥 − 5)

(푥 − 5푥 + 3)

푓 (푥) =(푥 − 5푥 + 3)(8푥 )− (2푥 − 3)(2푥 − 5)

(푥 − 5푥 + 3) ∙

2 - Calcule 푓’(푥) da função 푓 = ∙

Solução:

푓 (푥) =(푥 )′(푥 + 7)− 푥 (푥 + 7)′

(푥 + 7)

푓 (푥) =2푥(푥 + 7) − 푥 (3푥 )

(푥 + 7)

푓 (푥) =14푥 − 푥(푥 + 7) ∙

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4. Derivada da função composta (Regra da Cadeia).

Suponhamos que 푦 = (푥 + 5푥) e que desejamos determinar dy/dx. Uma saída é expandir (푥 + 5푥) e então diferenciarmos o polinômio resultante.

Assim,

푦 = (푥 + 5푥) = 푥 + 15푥 + 75푥 + 125푥 , então = 6푥 + 75푥 + 300푥 + 375푥 .

Outro método é fazermos,

푢 = 푥 + 5푥 , tal que 푦 = 푢 , dy/Du = 3푢 , du/dx = 2푥 + 5 .

Então,

푑푦푑푥 =

푑푦푑푢

푑푢푑푥 = 3푢 (2푥 + 5) = 3(푥 + 5푥) (2푥 + 5) = 6푥 + 75푥 + 300푥 + 375푥 .

O último cálculo produziu a resposta certa, mas existe um detalhe nele. As expressões são apenas símbolos para as derivadas nas quais os “numeradores” e “denominadores”

ainda não tiveram nenhum significado quando vistos separadamente, logo não estávamos realmente seguros em supor que = . De fato, a legitimidade desse cálculo é garantida

por uma das mais importantes regras de diferenciação em cálculo – a regra da cadeia.

4.1 - A regra da cadeia.

Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferençável de x, então y é uma função diferenciável de x e

푑푦푑푥 =

푑푦푑푢

푑푢푑푥 ∙

É claro, a regra da cadeia pode ser escrita na notação de operador como

퐷 푦 = (퐷 푦)(퐷 푢).

Se fizermos y = f(u), onde u é uma função de x, faremos

퐷 푓(푢) = 푓 (푢)퐷 푢.

Page 16: Derivadas e suas aplica__es

16

Exemplos.

1 - Calcule 퐷 (푥 + 5푥) .

Solução:

Aqui 푢 = 푥 + 5푥 e n = 100, assim

퐷 (푥 + 5푥) = 100(푥 + 5푥) 퐷 (푥 + 5푥) = 100(푥 + 5푥) (2푥 + 5).

2 - Se 푓(푥) =( )

, calcule 푓 (푥).

Solução:

Aqui 푓(푥) = (3푥 − 1) , então

푓 (푥) = 퐷 퐹(푥) = 퐷 (3푥 − 1) = (−4)(3푋−1) 퐷 (3푋 − 1)

푓 (푥) = (−4)(3푥−1) (3) = −12(3푥 − 1) .

3 - Calcule 퐷 .

Solução:

퐷3푥

푥 + 7 = 103푥

푥 + 7 퐷3푥

푥 + 7

퐷3푥

푥 + 7 = 103푥

푥 + 7(푥 + 7)(3)− (3푥)(2푥)

(푥 + 7)

퐷3푥

푥 + 7 =(3푥) (210 − 30푥 )

(푥 + 7) ∙

4 - Calcule푔 푔 (푡) 푠푒 푔(푡) = (2푡 − 5푡 + 1) .

Solução:

푔 (푡) = −7(2푡 − 5푡 + 1) (4푡 − 5) =35 − 28푡

(2푡 − 5푡 + 1) ∙

Page 17: Derivadas e suas aplica__es

17

5 - Calcule 퐷 [(푥 + 6푥) (1 − 3푥) ].

Solução:

퐷 [(푥 + 6푥) (1 − 3푥) ] = [퐷 (푥 + 6푥) ](1 − 3푥) + (푥 + 6푥) [퐷 (1− 3푥) ]

퐷 [(푥 + 6푥) (1 − 3푥) ] = [10(푥 + 6푥) (2푥 + 6)](1 − 3푥) +

+(푥 + 6푥) [4(1 − 3푥) (−3)]

퐷 [(푥 + 6푥) (1 − 3푥) ] = (푥 + 6푥) (1 − 3푥) [10(2푥 + 6)(1 − 3푥)− 12(푥 + 6푥)]

퐷 [(푥 + 6푥) (1 − 3푥) ] = (푥 + 6푥) (1 − 3푥) (−72푥 − 232푥 + 60).

No cálculo de derivadas algumas vezes é necessário usar a regra da cadeia repetidamente. Por exemplo, se y é uma função de v, v é uma função de u, e u é função de x,

Então,

= e = , e daí = .

6 - Seja 푦 = ( 1 + 푥 ) . Use o fato de que √푢 =√

e a regra da cadeia para determinar

.

Solução:

Seja 푢 = 1 + 푥 ,푣 = √푢 푒 푦 = 푣 , tal que 푦 = (√푢) = (1 + 푥 ) .

Assim,

푑푦푑푥 =

푑푦푑푣

푑푣푑푢

푑푢푑푥 = (3푣 )

12√푢

(2푥) = 3(√푢)푥√푢

= 3푥√푢 = 3푥 1 + 푥 .

7 - Calcule 퐷 [1 + (1 + 푥 ) ] .

Solução:

Usando a regra da cadeia repetidamente, temos

퐷 [1 + (1 + 푥 ) ] = 7[1 + (1 + 푥 ) ] 퐷 [1 + (1 + 푥 ) ]

퐷 [1 + (1 + 푥 ) ] = 7[1 + (1 + 푥 ) ] [6(1 + 푥 ) 퐷 (1 + 푥 )]

퐷 [1 + (1 + 푥 ) ] = 7[1 + (1 + 푥 ) ] 6(1 + 푥 ) (5푥 )

퐷 [1 + (1 + 푥 ) ] = 210푥 [1 + (1 + 푥 ) ] (1 + 푥 ) .

Page 18: Derivadas e suas aplica__es

18

A regra da cadeia é realmente uma regra para a diferenciação da composta f ° g de duas funções. Para ver isso, seja y = f(u) e u = g(x), tal que 푦 = 푓(푢) = 푓[푔(푥)] =(푓 ° 푔)(푥).

Desta forma, pela regra da cadeia, = = 푓 (푢)푔 (푥) = 푓′[푔(푥)]푔 (푥).

Denotando a composta f ° g por h, podemos escrever a regra da cadeia como a seguir:

Se h = f ° g, então h’(x) = (f ° g)’(x) = f’[푔(푥)]푔 (푥).

Aqui, é claro, estamos assumindo que g é diferenciável no número x e f é diferenciável no número g(x).

8 - Seja 푔(푥) = 4푥 − 푥 + 푥 − √2 ,푓(푢) = 푢 . Calcule (f ° g)’ (x).

Solução:

푓 (푢) = 4푢 푒 푔 (푥) = 2푥 − 4푥 + 1 ; assim, pela regra da cadeia

(푓 ° 푔) (푥) = 푓 [푔(푥)]푔′(푥) = 4[푔(푥)] 푔 (푥)

(푓 ° 푔) (푥) = 414푥 −

23 푥 + 푥 − √2 .

5. Derivada da Função Inversa.

Seja푦 = 푓(푥) uma função que admite inversa 푥 = 푓 (푦). Como 푓 표 푓 = 퐼푑, ou seja,

푓 표 푓(푥) = 푥,

Aplicando a regra da cadeia, temos

(푓 ) (푦) =1

푓 (푥)

Portanto,

(푓 ) (푦) =1

푓 (푥) ∙

Desde que 푓 (푥) ≠ 0.

Page 19: Derivadas e suas aplica__es

19

Exemplos.

1 – Seja 푦 = 푓(푥) = 5푥 . Obtenha (푓 ) (40) (푎) invertendo a função, e (푏) utilizando a regra da derivada inversa.

Solução:

(a) 푦 = 5푥 ⟹ 푥 = 푓 (푦) = = .

Logo,

(푓 ) (푦) =13푦5 .

15 =

115

푦5 .

Portanto,

(b) 푦 = 40 푒 푦 = 5푥 ⟹ 푥 = 2. Como 푓 (푥) = 15푥 , usando a regra da função teremos

(푓 ) (40) =1

푓 (2) =1

60 ∙

2 – Seja 푓(푥) = 푥 para 푥 > 0. Determine (푓 ) (푥).

Solução:

Já que 푓 é definida e diferenciavél no intervalo aberto (0, ∞), e como 푓 (푥) = 2푥 ≠ 0 para todos os valores de 푥 no intervalo, segue do teorema da função inversa que 푓 é inversivél, 푓 é diferenciável e

(푓 ) (푥) =1

푓 [푓 (푥) =1

2푓 (푥) ∙

Válido para todo 푥 no domínio de푓 . Desde que 푓(푥) = 푥 para 푥 > 0, segue que 푓 (푥) = √푥. Então (푓 ) (푥) =

( ) simplismente significa que 퐷 √푥 =

√ .

Page 20: Derivadas e suas aplica__es

20

6. Derivada da Função Exponencial.

6.1. Derivada da Função Exponencial Composta.

Exemplos.

1 - Determine a derivada da função 푓(푥) =

Solução:

De acordo com a regra do quociente,

푓 (푥) = (푥 + 1)(−3푒 ) − (2푥)푒 − (2푥)푒

푓 (푥) = 푒−3(푥 + 1)− 2푥

(푥 − 1) = 푒−3푥 − 2푥 − 3

(푥 + 1) ∙

2 - Determine a derivada da função 푓(푥) = 푒 .

Solução:

De acordo com a regra da cadeia, 푓 (푥) = 푒 (푥 + 1) = 2푥푒 .

3 - Determine a derivada da função 푓(푥) = 푥푒 .

Solução:

De acordo com a regra do produto,

푓 (푥) = 푥 (푒 ) + 푒 (푥) = 푥(2푒 ) + 푒 (1) = (2푥 + 1)푒 .

6.2. Derivada da Função Exponencial Logarítmica.

Exemplos.

1 - Determine a derivada da função 푓(푥) = ln 푥.

Solução:

Combinando a regra do produto com a expressão da derivada de ln x, temos

푓 (푥) = 푥12 + ln 푥 = 1 + ln푥.

Page 21: Derivadas e suas aplica__es

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2 - Determine a derivada da função.

푓(푥) =푙푛√푥푥 ∙

Solução:

Como √푥 = 푥 , temos, de acordo com a regra da potência para logaritmos

푓 (푥) =푙푛√푥푥 =

푙푛푥푥 =

23 푙푛푥푥 ∙

Aplicando a regra do quociente para derivadas, obtemos:

푓 (푥) =32푥 (푙푛푥) − (푥 )′

(푥 )

푓 (푥) =23푥 1

푥 − 4푥 푙푛푥푥

푓 (푥) =23

1 − 4푙푛푥푥 ∙

3 - Determine a derivada da função 푔(푡) = (푡 + ln 푡) .

Solução:

A função tem forma 푔(푡) = 푢 , onde u = t + ln t aplicando a regra da potência para derivadas, obtemos:

푔 (푡) =푑푑푡 푢 =

32푢

푑푢푑푡

푔 (푡) = 푢 = (푡 + 푙푛 푡) aplicando a regra da potência para derivadas, obtemos:

푔 (푡) =푑푑푡 푢 =

32푢

푑푢푑푡

푔 (푡) =32

(푡 + 푙푛 푡)푑푑푡 (푡 + 푙푛 푡)

푔 (푡) =32

(푡 + 푙푛 푡) 1 +1푡 .

Page 22: Derivadas e suas aplica__es

22

7. Derivada das Funções trigonométricas.

Antes de calcular as derivadas das funções trigonométricas, observemos que

lim→

cos 푥 − 1푥 = lim

푐표푠 푥 − 1푥(cos푥 + 1)

lim→

cos 푥 − 1푥 = lim

−푠푒푛 푥푥(cos푥 + 1)

lim→

cos 푥 − 1푥 = lim

→ −

푠푒푛 푥푥 ∙

푠푒푛푥cos 푥 + 1

lim→

cos 푥 − 1푥 = −1 ∙

01 + 1

lim→

cos 푥 − 1푥 = 0.

7.1. Derivada da Função Seno.

O quociente de Newton da função sen x é

푠푒푛(푥 + ℎ) − 푠푒푛 푥ℎ ∙

Para calcular seu limite, desenvolvemos sen (x+h) usando a fórmula do seno da soma de dois arcos.

Então temos,

푙푖푚ℎ → 0

푠푒푛(푥 + ℎ) − 푠푒푛 푥ℎ = lim

푠푒푛 푥 ∙ cos ℎ + 푠푒푛 ℎ . cos 푥 − 푠푒푛 푥ℎ

푙푖푚ℎ → 0

푠푒푛(푥 + ℎ) − 푠푒푛 푥ℎ = lim

푠푒푛 푥 ∙ (cos ℎ − 1) + sen ℎ ∙ 푐표푠 푥ℎ

푙푖푚ℎ → 0

푠푒푛(푥 + ℎ) − 푠푒푛 푥ℎ = lim

→푠푒푛 푥

cos ℎ − 1ℎ +

푠푒푛 ℎℎ ∙ cos 푥

푙푖푚ℎ → 0

푠푒푛(푥 + ℎ) − 푠푒푛 푥ℎ = 푠푒푛 푥 ∙ 0 + 1 ∙ 푐표푠푥

푙푖푚ℎ → 0

푠푒푛(푥 + ℎ) − 푠푒푛 푥ℎ = cos푥.

Logo,

(푠푒푛 푥) = cos푥.

Page 23: Derivadas e suas aplica__es

23

Exemplos.

1 - Determine a derivada da função 푦 = 푠푒푛(푥 ).

Solução: 풅풚풅풙

= 풅풚풅풖

. 풅풖풅풙

푦 = 푠푒푛 푢 , 푢 = 푥

푦 = cos 푢. 2푥

푦 = 2푥 . cos(푥 ).

2 – Determine a derivada da função 푦 = ( ) ( )

Solução:

푓’(푥) = (푥 푠푒푛 ) 푐표푠 푥 − 푥 푠푒푛 푥(푐표푠 푥)′

푐표푠 푥

푓’(푥) = (3푥 푠푒푛 푥 + 푥 푐표푠 푥) 푐표푠 푥 + 푥 푠푒푛 푥

푐표푠 푥

푓’(푥) = 3푥 푠푒푛 푥 푐표푠 푥 + 푥 (푐표푠 푥 + 푠푒푛 푥)

푐표푠 푥

푓’(푥) = 3푥 푠푒푛푥 푐표푠 푥 + 푥

푐표푠 푥 ∙

3 – Calcule a derivada da função h(x) = 푒 ∙ 푠푒푛(3푥).

h’(x )= (푒 ) 푠푒푛 (3푥) + 푒 [푠푒푛(3푥)]′

h’(x) = 3푒 푠푒푛(3푥) + 3푒 푐표푠(3푥)

h’(x) = 3푒 [푠푒푛(3푥) + cos (3푥)].

7.2. Derivada da Função Cosseno.

Se y = cos x, então y’ = − sen x.

Prova:

Seja y = 푐표푠 푥 aplicando a definição

푦 = lim∆ →

cos( 푥 + ∆푥) − cos푥∆푥

Page 24: Derivadas e suas aplica__es

24

aplicaremos a fórmula trigonométrica:

Cos p – cos q = − 2 sen . sen ∙

Então,

푦 = lim∆ →

−2푠푒푛 푥 + ∆푥 + 푥2 . 푠푒푛 푥 + ∆푥 − 푥

2∆푥

y = lim∆ →

−2푠푒푛 2푥 + ∆푥

2 . lim∆ →

푠푒푛∆푥/2

2.∆푥2

푦 = −2. 푠푒푛 푥 .12 . 1

푦 = −푠푒푛 푥.

Exemplos.

1 - Determinar a derivada da função 푦 = cos (1/x).

Solução: 풅풚풅풙

= 풅풚풅풖

. 풅풖풅풙

y= cos u, u = (1/x)

y’ = (− sen u ) . u’

y’ = [−푠푒푛 (1/푥)].−1/푥

y’ = sen (1/x).

2 – Determinar a derivada da função 푦 = cos (1/x).

Solução:

y= cos u, u = (1/x) 풅풚풅풙

= 풅풚풅풖

. 풅풖풅풙

y’ = (− sen u ) . u’

y’ = [−푠푒푛 (1/푥)].−1/푥

y’ = sen (1/x).

Page 25: Derivadas e suas aplica__es

25

3 - Determine a derivada da função 푦 = 2푐표푠(푥 − 푒). ℓ푛(푥) , no ponto 푥 = 푒.

Solução:

푓(푥) = 2 cos(푥 − 푒) . ℓ푛 푥 ; 푥 = 푒

푓 (푥) = 2[(cos (푥 − 푒)) . ℓ푛 푥 + cos(푥 − 푒) . (ℓ푛 푥)′]

푓 (푥) = 2 −푠푒푛(푥 − 푒). ℓ푛 푥 + cos(푥 − 푒) .1푥

푓 (푒) = 2 −ℓ푛 푥 . 푠푒푛(푥 − 푒) +1푥 . cos (푥 − 푒)

푓 (푒) = 2 −ℓ푛 푒 . 푠푒푛(푒 − 푒) +1푒 . cos (푒 − 푒)

푓 (푒) = 2 0 +1푒 =

2푒 ∙

7.3. Derivada da Função Tangente.

Usando a relação t g 푥 = obtemos

(푡푔 푥)’ = 푠푒푛 푥푐표푠 푥

(푡푔 푥)’ = 푐표푠 푥 . 푐표푠 푥 − 푠푒푛 푥 . (−푠푒푛 푥)

푐표푠 푥

(푡푔 푥)’ = 푐표푠 푥 + 푠푒푛 푥

푐표푠 푥

(푡푔 푥)’ = 1

푐표푠 푥

(푡푔 푥)’ = 푠푒푐 푥.

Logo,

( 푡푔 푥)’ = 푠푒푐 푥.

Page 26: Derivadas e suas aplica__es

26

Exemplos.

1 – Calcule a derivada da função 푓(푥) =ℓ ( )

Solução:

푓 (푥) =푠푒푐 (푥 − 2푥). (5푥 − 2). ℓ푛 푥 − 푡푔(푥 − 2푥) ∙ 1

푥(ℓ푛 푥)

푓 (푥) =푥(5푥 − 2)ℓ푛푥 푠푒푐 (푥 − 2푥)− 푡푔(푥 − 2푥)

푥(ℓ푛 푥) ∙

2 – Calcule 푑푦/푑푥 se 푦 = 푡푔 4푥.

Solução:

Como 푦 = 푡푔 4푥 = (푡푔4푥) , a regra da potência dá

푑푦푑푥 = 3(푡푔 4푥) ∙

푑푑푥 푡푔 4푥.

Pela fórmula (1) com 푢 = 4푥,

푑푑푥 푡푔 4푥 = (푠푒푐 4푥)(4),

E, juntando os vários pedaços, obtemos

푑푦푑푥 = 12 푡푔 4푥 푠푒푐 4푥.

7.4. Derivada da Função Cotangente.

Usando a relação 푐푡푔 푥 =

Obtemos,

(푐푡푔 푥)’ =푠푒푛 푥 . (−푠푒푛 푥)− 푐표푠 푥 . 푐표푠 푥

푠푒푛 푥

(푐푡푔 푥)’ = −푠푒푛 푥 − 푐표푠 푥

푠푒푛 푥

(푐푡푔 푥)’ = −1

푠푒푛 푥

(푐푡푔 푥)’ = −푐표푠푒푐 푥.

Logo,

(푐푡푔 푥)’ = −푐표푠푒푐 푥.

Page 27: Derivadas e suas aplica__es

27

Exemplos.

1 - Calcule 푑푦 푑푥⁄ se푦 = 푐표푡푔(1 − 3푥).

Solução:

Pela fórmula

푑푑푥 푐표푡푔 푢 = −푐표푠푒푐 푢

푑푢푑푥

com 푢 = 1 − 3푥,

푑푦푑푥 = −푐표푠푒푐 (1 − 3푥). (−3) = 3 푐표푠푒푐 (1− 3푥).

7.5. Derivada da Função Secante.

A partir de sec 푥 = obtemos

(푠푒푐 푥)’ = 푐표푠 푥 . 0 − 1 . (−푠푒푛 푥)

푐표푠 푥

(푠푒푐 푥)’ = 푠푒푛 푥푐표푠 푥

(푠푒푐 푥)’ = 푠푒푛 푥푐표푠 푥 .

1푐표푠 푥

(푠푒푐 푥)’ = 푡푔 푥 . 푠푒푐 푥.

Logo,

(푠푒푐 푥)’ = 푡푔 푥 . 푠푒푐 푥.

Exemplos.

1 - Determinar a derivada da função 푦 = sec (푥 + 3푥 + 7).

Solução:

푦 = 푠푒푐 푢 , 푢 = 푥 + 3푥 + 7

푦’ = 푠푒푐 푢 . 푡푔 푢 . 푢’

푦’ = [푠푒푐(푥 + 3푥 + 7) . 푡푔 (푥 + 3푥 + 7)]. (2푥 + 3)

푦’ = (2푥 + 3) 푠푒푐 (푥 + 3푥 + 7). 푡푔 (푥 + 3푥 + 7)

Page 28: Derivadas e suas aplica__es

28

7.6. Derivada da Função Cossecante.

De 푐표푠푒푐 푥 =

vem,

(푐표푠푒푐 푥)’ = 푠푒푛 푥 .0 − 1 . 푐표푠 푥

푠푒푛 푥

(푐표푠푒푐 푥)’ = −푐표푠 푥푠푒푛 푥

(푐표푠푒푐 푥)’ = −푐표푠 푥푠푒푛 푥 .

1푠푒푛 푥

(푐표푠푒푐 푥)’ = − 푐푡푔 푥 . 푐표푠푒푐 푥.

Logo,

(푐표푠푒푐 푥)’ = −푐푡푔 푥 . 푐표푠푒푐 푥.

Exemplos

1 - Dada a função 푦 = 푐표푠푒푐 . Calcule sua derivada.

Solução:

푦 = 푐표푠푒푐 푢 , 푢 = 푥 + 1푥 − 1 .

푦’ = − 푐표푠푒푐 푢 . 푐표푡푔 푢 .푢’

푦’ = − 푐표푠푒푐푥 + 1푥 − 1 . 푐표푡푔

푥 + 1푥 − 1 .

−2(푥 − 1)

푦’ = 2

(푥 − 1) . 푐표푠푒푐 푥 + 1푥 − 1 . 푐표푡푔

푥 + 1푥 − 1 .

2 – Dada 푦 = 4 푐표푠푒푐(−6푥). Calcule 푑푦 푑푥.⁄

Solução:

푦 = 4. (−푐표푡푔(−6푥). 푐표푠푒푐(−6푥). (−6))

푦 = 24 푐표푡푔(−6푥). 푐표푠푒푐(−6푥).

Page 29: Derivadas e suas aplica__es

29

8. Derivada das Funções trigonométricas Inversas.

8.1. Derivada arc seno.

A função arc seno é, a inversa da função seno. Para que a função seno se tornasse inversível, tomamos o intervalo − , para seu domínio e [−1 , 1] para contradomínio.

Assim a função arc seno x é a inversa da função f : − , → [−1 , 1] dada por y = f (x) = sen x.

Usemos então, a letra y para indicar a variável da inversa de f que é a função g(y) = arc seno 푦.

Assim, desde que 푓’(푥) = 푐표푠 푥 ≠ 0 ,ou seja , 푥 ∈ − , , temos

푔 (푦) =1

푓 (푥)

푔 (푦) =1

cos 푥 ∙

Como 푦 = 푠푒푛 푥, temos cos 푥 = ± 1 − 푦 . Sabendo que 푥 ∈ − , ,

devemos ter 푐표푠 푥 > 0 , o que exige cos 푥 = 1 − 푦 . Conseqüentemente 푔’(푦) =

ou

(푎푟푐 푠푒푛표 푦)’ = . Usando novamente a letra x para representar a variável da função

arco-seno, temos

(푎푟푐표 푠푒푛표 푥) =1

√푥 − 푥∙

Exemplos.

1 – Dada 푦 = 푎푟푐 푠푒푛 푥 encontre 퐷 푦.

Solução:

Aplicando a fórmula 퐷 (푎푟푐 푠푒푛 푢) = √

퐷 푢, obtemos

퐷 푦 =1

1 − (푥 )(2푥) =

2푥√1 − 푥

Page 30: Derivadas e suas aplica__es

30

8.2. Derivada arc cosseno.

Relembrando: a função f: [0, 휋]→ [−1 , 1] dada por y = f(x) = cos x é a inversa da função

g(y) = arc cos y.

Logo,

desde que f’(x) = −sem x ≠ 0 , ou seja , x ∈ (0 , 휋),

Temos,

푔’(푦) =1

푓 (푥)

푔 (푦) =1

−푠푒푛 푥 ∙

Como 푦 = 푐표푠 푥, temos 푠푒푛 푥 = ± 1 − 푦 , e sabendo que 푥 ∈ [0 ,휋] , temos,

푠푒푛 푥 = 1 − 푦 .

Assim,푔 (푦) = , ou (arc cos y)’= − ∙

E usando novamente a letra x para indicar a variável da função arc cos, temos

(arc cos x)’ = −√

Exemplos.

1 – Dada 푓(푥) = 푎푟푐 푐표푠√푥, encontre 퐷 푦.

Solução:

푓(푥) = 푎푟푐 푐표푠푥

퐷 푦 = −1

√1 − 푥 .

12√푥

= −1

2√푥 .√1 − 푥

= −1

2√푥 − 푥∙

Page 31: Derivadas e suas aplica__es

31

8.3. Derivada arc tangente.

Como a função f: − , → ℝ dada por y = f(x) = tg x é a inversa de g(y) = acr tg y , temos,

푔’(푦) = 1

푓 (푥)

푔’(푦) = 1

푠푒푐 푥 . Como 푦 = 푡푔 푥,

Temos,

푠푒푐 푥 = 1 + 푡푔 푥

푠푒푐 푥 = 1 + 푦 .

Logo,

푔’(푦) = , ou (푎푟푐 푡푔 푥)’ = , ou , ainda ,(arc 푡푔 푥)’ = ∙

Exemplos.

1 – Dada ln(푥 + 푦) = 푎푟푐 푡푔 encontre 퐷 푦.

Solução:

Derivando, implicitamente, os dois membros da equação dada em relação a 푥, obtemos

1푥 + 푦

(1 + 퐷 푦)1

1 + 푥푦

∙푦 − 푥퐷 푦

푦 ∙

Ou

1 + 퐷 푦푥 + 푦 =

푦 − 푥퐷 푦푦 + 푥 ∙

Ou

푦 + 푥 + (푦 + 푥 )퐷 푦 = 푥푦 + 푦 − (푥 + 푥푦)퐷 푦.

Ou

퐷 푦 = 푥푦 − 푥

2 + 푥푦 + 푦 ∙

Page 32: Derivadas e suas aplica__es

32

8.4. Derivada arc cotangente.

A função 푓: (0 ,휋) → ℝ dada por 푦 = 푓(푥) = 푐푡푔 푥 é a inversa de 푔(푦) = 푎푟푐 푐푡푔 푦 .

Logo,

푔’(푦) = 1

푓 (푥)

푔’(푦) = ∙ De 푦 = 푐푡푔 푥, vem 푐표푠푒푐 푥 = 1 + 푦 .

Portanto,

푔’(푦) = − ou (푎푟푐 푐푡푔 푦)’ = − ou, ainda,

(푎푟푐 푐푡푔 푥)’ = −1

1 + 푥 ∙

Exemplos.

1 – Dada 푦 = 푥 푎푟푐 푐표푡푔 푥 encontre퐷 푦.

Solução:

퐷 푦 = 3푥 푎푟푐 푐표푡푔 13 푥 + 푥 ∙

−1

1 + 19 푥

∙13

퐷 푦 = 3푥 푎푟푐 푐표푡푔 13 푥 −

3푥9 + 푥 ∙

8.5. Derivada arc secante.

Como 푠푒푐 푦 = , temos 푎푟푐 푠푒푐 푥 = 푎푟푐 푐표푠 ∙

Logo,

(푎푟푐 푠푒푐 푥)’ = 푎푟푐 푐표푠1푥

(푎푟푐 푠푒푐 푥)’ = −1

1 − 1푥

.1푥

Page 33: Derivadas e suas aplica__es

33

(푎푟푐 푠푒푐 푥)’ = −1

1 − 1푥

. −1푥

(푎푟푐 푠푒푐 푥)’ = 1

푥 푥 − 1푥

(푎푟푐 푠푒푐 푥)’ = 1

푥 √푥 − 1|푥|

(푎푟푐 푠푒푐 푥)’ = 1

|푥| .√푥 − 1∙

8.6 Derivada arc cossecante.

Como 푐표푠푒푐 푦 =

, temos a푟푐 푐표푠푒푐 푥 = 푎푟푐 푠푒푛 ∙

Assim,

(푎푟푐 푐표푠푒푐 푥)’ = 푎푟푐 푠푒푛 1푥

(푎푟푐 푐표푠푒푐 푥)’ = 1

1 − 1푥

. −1푥

(푎푟푐 푐표푠푒푐 푥)’ = −1

푥 푥 − 1푥

(푎푟푐 푐표푠푒푐 푥)’ = −1

푥 √푥 − 1|푥|

(푎푟푐 푐표푠푒푐 푥)’ = −1

|푥| .√푥 − 1∙

Page 34: Derivadas e suas aplica__es

34

9. Derivadas Sucessivas ou de Ordem Superior.

De um modo geral, se 푓 é uma função diferenciável em algum intervalo aberto, então a derivada de 푓 é novamente uma função definida neste intervalo aberto e podemos perguntar se 푓 é diferenciável no intervalo. Se o for, então sua derivada(푓 ) é escrita, por simplicidade, como 푓"(leia-se “푓 duas linhas”). Denominamos 푓" de derivada de segunda ordem, ou simplesmente de derivada segunda da função 푓. Por exemplo, se uma partícula se move ao longo de uma reta orientada de acordo com a lei de movimentos 푠 = 푓(푡), então 푣 푒 푎 são representados na notação simplificada.

풗 = 풇 (풕), 풂 = 푫풕 풇 (풕) = 풇"(풕).

Não existe nada que prove, ao se tomar, sucessivamente, derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias, que as funções derivadas permaneçam diferenciáveis em cada estagio. Desta forma, se 푓 e uma função e se 푓,푓 푒 푓"são diferenciáveis num intervalo aberto, nós podemos formar a derivada de terceira ordem, ou derivada terceira,푓 =(푓 ) ; se, 푓 tambem é diferenciável no intervalo, podemos obter a derivada de quarta ordem, ou derivada qurta,푓 = (푓 ) , e assim por diante. Se 푓 pode ser sucessivamente diferenciavel 푛 vezes desta forma, dizemos que 푓 é 푛 vezes diferenciável.

Visto que 푓( ) e uma função constante,todas as derivadas subseqüentes são nulas,

isto é,

푓( )(푥) = 0 para 푛 ≥ 5.

Assim como para a derivada primeira, nós freqüentemente ignoramos deliberadamente a distinção entre a função derivada de ordem 푛-ésima 푓( )(푥)e o valor desta função 푓( )no ponto x, e ambas são referidas como “a 푛-ésima derivada”.

A notação operacional para derivadas de ordem superior é auto-explicativa; sem dúvida, D푥 푓(푥) significa 푓( )(푥). A correspondente notação de Leibniz é induzida como se segue: Se푦 = 푓(푥) tal que = 퐷 푓(푥) = 푓 (푥),

Então a segunda derivada é dada por

푑 푑푦푑푥푑푥 = 퐷 푥푓(푥) = 푓 (푥).

O símbolo 푑 푑푥⁄ para a derivada segunda é incômodo. O tratamento algébrico

formal, como se fosse fração real, converte-se em ( )

. Os parênteses do denominador

são, na prática, omitidos, e a derivada segunda é escrita como . Notação análoga é empregada no das derivadas de ordem superior com se constata pela tabela 1.

Page 35: Derivadas e suas aplica__es

35

Tabela 9.1 – Tabela de derivadas de ordem 푛.

Exemplos.

1 – encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial 푓(푥) = 15푥 −8푥 + 3푥 − 2푥 + 4.

Solução:

푓 (푥) = 60푥 − 24푥 + 6푥 − 2,

푓 (푥) = 180푥 − 48푥 + 6,

푓 (푥) = 360푥 − 48,

푓 (푥) = 푓 (푥) = 푓( )(푥) = 360,

푓 (푥) = 푓 (푥) = 푓 (푥) = 0.

푦 = 푓(푥) Notação simplificada Operador Leibniz

1. derivada primeira

푦 = 푓 (푥) 퐷 푦 = 퐷 푓(푥) 푑푦푑푥

=푑푑푥 푓(푥)

2. derivada segunda

(푦 ) = 푦 = 푓 (푥) 퐷 (퐷 푦) = 퐷 푦 = 퐷 푓(푥) 푑 푦푑푥

=푑푑푥 푓(푥)

3. derivada terceira

(푦 ) = 푦 = 푓 (푥)

(퐷 푦) = 퐷 푦 = 퐷 푓(푥) 푑 푦푑푥

= 푑푑푥 푓(푥)

⋮ 푛.derivada 푛-ésima

푦( ) = 푦( )

= 푓( )(푥)

퐷 (퐷 푦) = 퐷 푦 = 퐷 푓(푥)

푑 푦푑푥

=푑푑푥 푓(푥)

Page 36: Derivadas e suas aplica__es

36

2 – Se 푦 = 2푥 + , ache:

(a) 퐷 푦. (b) 퐷 푦. (c) 퐷 푦.

Solução:

(a) 퐷 푦 = 퐷 2푥 + = 4푥 −

(b) 퐷 푦 = 퐷 4푥 − = 4푥 +

(c) 퐷 푦 = 퐷 4 + = − ∙

3 – Seja 푓(푥) = . Ache:

(a) 푓 (0). (b) 푓 (1).

Solução:

푓 (푥) = (3푥 + 2)(2)− (2푥 − 1)(3)

(3푥 + 2) = 7

(3푥 + 2) ∙

e

푓 (푥) = 퐷7

(3푥 + 2) = 7퐷 [(3푥 + 2) ] = −14(3푥 + 2) 퐷 (3푥 + 2) =−42

(3푥 + 2) ∙

Portanto,

(푎)푓 (0) =7

[3(0) + 2] =74

(푏)푓 (1) =−42

[3(1) + 2] =−42125

(푐)푓 (0) =−42

[3(0) + 2] =−42

8 = −214 ∙

Page 37: Derivadas e suas aplica__es

37

10. Diferenciação Implícita.

Exemplos.

1 – Dada (푥 + 푦) − (푥 + 푦) = 푥 + 푦 encontre 퐷 푦.

Solução:

Diferenciando implicitamente em relação a 푥, temos 2(푥 + 푦)(2푥 + 2푦)퐷 푦 − 2푥 + 2푦 +(2푥 − 2푦)퐷 푦 = 4푥 + 4푦 ∙ 퐷 푦 do qual obtemos,

2푥 + 2푦 + (2푥 + 2푦)퐷 푦 − 2푥 + 2푦 + (2푥 − 2푦)퐷 푦 = 4푥 + 4푦 퐷 푦

퐷 푦(4푥 − 4푦 ) = 4푥 − 4푦

퐷 푦 =푥 − 푦푥 − 푦 ∙

2 – Encontre a equação da reta tangente à curva 푥 + 푦 = 9 no ponto (1, 2).

Solução:

Diferenciando implicitamente em relação a 푥, obtemos 3푥 + 3푦 ∙ 퐷 푦 = 0

Portando,

퐷 푦 = −푥푦

Portanto, no ponto (1, 2), 퐷 푦 = − . Então a equação da reta tangente é:

푦 − 2 = −14 (푥 − 1)

3 – Dada a equação 푥 + 푦 = 9, encontre: (a) 퐷 푦 por diferenciação implícita; (b) duas funções definidas pela equação; (c) a derivada de cada uma das funções obtidas na parte (b) por diferenciação implícita; (d) verifique se o resultado obtido na parte (a) concorda com os resultados obtidos na parte (c).

Solução:

(1) Diferenciando implicitamente, encontramos 2푥 + 2푦퐷 푦 = 0 e assim 퐷 푦 = − ∙

(2) Resolvendo a equação dada para 푦, obtemos

푦 = √9 − 푥 e 푦 = −√9 − 푥 .

Page 38: Derivadas e suas aplica__es

38

Seja 푓 a função para a qual

푓 (푥) = 9 − 푥 .

푒 푓 a função para a qual푓 (푥) = −√9− 푥 .

(3) Como 푓 (푥) = (9 − 푥 ) usando a regra da cadeia obtemos

푓 (푥) =12

(9 − 푥 ) (−2푥) = −푥

√9 − 푥∙

Analogamente, obtemos

푓 (푥) =푥

√9 − 푥∙

(4) Para 푦 = 푓 (푥) onde 푓 (푥) = √9 − 푥 , temos da parte (3)

푓 (푥) = −푥

√9− 푥= −

푥푦 ∙

Que é coerente com a resposta n aparte (1). Para 푦 = 푓 (푥), onde 푓 (푥) = −√9 − 푥 , temos da parte (3)

푓 (푥) =푥

√9 − 푥= −

푥−√9 − 푥

= −푥푦 ∙

Que também está de acordo com a resposta (1).

Page 39: Derivadas e suas aplica__es

39

11. Teorema de L`Hospital.

As regras de L`Hospital, que vamos enunciar a seguir, aplicam-se a cálculos de limite que apresentam indeterminações do tipo e ∙

11.1 - 1ª Regra de L`Hospital:

Sejam 푓 e 푔 derivaveis em ]p - r , p[ e em ]p , p + r[ ( r > 0), com g`(x) ≠ 0 para 0 < I x - p I < r. Nestas condições, se

lim→푓(푥) = 0, lim

→푔(푥) = 0.

푒 푠푒 lim→

푓 (푥)푔 (푥) existir( inito ou in inito), então lim

푓(푥)푔(푥) existirá e

lim→

푓(푥)푔(푥) = lim

푓′(푥)푔′(푥) ∙

Observamos que a primeira regra de L`Hospital continua valida se substituirmos “ x → 푝 ” ou “ x → 푝 “ ou “ x → ±∞” .

11.2- 2ª Rregra de L`Hospital:

Sejam푓 e 푔 deriváveis em ] m, p [ , com g’ (x) ≠ 0 em ] m, p [ . Nestas condições, se

lim→

푓(푥) = +∞ , lim→

푔(푥) = +∞

푒 푠푒 lim→

푓′(푥)푔′(푥) existir ( inito ou in inito) então lim

푓(푥) 푔(푥) existirá e

lim→

푓(푥)푔(푥) = lim

푓′(푥)푔′(푥) ∙

Observamos que a 2ª regra de L`Hospital continua válida se substituirmos “푥 → 푝 “ por “푥 → 푝 ” ou por “x→p ” ou por “x→± ∞” . A regra permanece válida se substituirmos um dos símbolos +∞, ou -∞.

Page 40: Derivadas e suas aplica__es

40

Exemplos.

ퟏ − Calcule lim →

푥 − 6푥 + 8푥 − 3푥 − 1 ∙

Solução:

lim→

푥 − 6푥 + 8푥 − 3푥 − 1 =

00 .

Temos,

lim→

(푥 − 6푥 + 8푥 − 3)′(푥 – 1)′ = lim

5푥 − 18푥 + 84푥 =

−54 ∙

Pela 1ª regra de L`Hospital

lim→

푥 − 6푥 + 8푥 − 3푥 − 1 = lim

(푥 − 6푥 + 8푥 − 3)′(푥 – 1)′ = −

54 ∙

Ou seja,

lim→

푥 − 6푥 + 8푥 − 3푥 − 1 = −

54 ∙

ퟐ − calcule lim→

푒푥 =

∞∞ .

Solução:

Pela 2ª regra de L`Hospital,

lim→

푒푥 = lim

(푒 )′(푥)′ = lim

→푒 = +∞ .

Assim,

lim→

푒푥 = +∞ .

Page 41: Derivadas e suas aplica__es

41

ퟑ − Calcule lim→

푥 ln 푥 = [0 . (−∞)].

Solução:

Note que é uma indeterminação que poderá ser colocada na forma ou ∙ É mais

interessante aqui passá-la para a forma , que nos permitirá eliminar o ln x.

lim→

푥 ln푥 = lim→

ln 푥1푥

= −∞∞ .

lim→

ln푥1푥

= lim→

(ln푥)′1푥 ′

= lim→

1푥

− 1푥

= lim→

(−푥) = 0

Ou seja,

lim→

푥 ln푥 = 0 .

Page 42: Derivadas e suas aplica__es

42

12. Diferencial.

Até então, a derivada

de uma função real 푦 = 푓(푥) foi vista como uma simples notação. Interpretaremos, a partir da definição de diferencial, a derivada como um quociente de acréscimo.

12.1 - [Acréscimos e decrescimento] Um acréscimo (decréscimo) é feito a um valor x se somarmos (subtrairmos) um valor ∆푥 ∈ ℝ∗.

12.2 – [Diferencial da variável Independente] Seja 푦 = 푓(푥) uma função derivável. O diferencial de 푥, denotado por 푑푥, é o valor do acréscimo ∆푥, isto é, 푑푥 = ∆푥.

12.3 – [Diferencial de Variável Independente] O diferencial de 푦, denotado por 푑푦, é o acréscimo na ordenada da régua tangente 푡, correspondente ao acréscimo 푑푥 em 푥.

Figura 12.1 – Interpretação Geométrica da Derivada .

Considere 푡 a reta tangente ao gráfico da função 푦 = 푓(푥) no ponto 푥. Seja 훼 o ângulo de inclinação de 푡.

De acordo com a figura 12.1, podemos observar que = 푡푔 (훼). Mas, 푓 (푥) =푡푔(훼), pois esta é a interpretação geométrica da derivada. Logo,

푑푦푑푥 = 푓 (푥).

O acréscimo 푑푦 pode ser visto como uma aproximação para ∆푦. Esta aproximação é tanto melhor quanto for o valor de 푑푥 → 0, então ∆푦 − 푑푦 → 0.

Segue que podemos considerar 푑푦 ≈ ∆푦 se 푑푥 for suficientemente pequeno. Como ∆푦 = 푓(푥 + 푑푥)− 푓(푥), 푝표푑푒푚표푠 표푏푡푒푟 푓(푥 + 푑푥) ≈ 푓 (푥) ∙ 푑푥. Segue que

푓(푥 + 푑푥) ≈ 푓(푥) + 푓 (푥) ∙ 푑푥.

Page 43: Derivadas e suas aplica__es

43

Exemplos.

1 – Encontre aproximadamente o volume de uma concha esférica cujo raio interior é 4 cm e cuja espessura é cm.

Solução:

Consideremos o volume da concha esférica como o incremento do volume de uma esfera.

Sejam,

푟 = Ao número de centímetros no raio de uma esfera;

푉 = Ao número de centímetros cúbicos no volume de uma esfera;

∆푉 = Ao número de centímetros cúbicos de uma concha esférica.

푉 = 4 3 휋푟 .

Logo,

푑푉 = 4휋푟 푑푟.

Substituindo 푟 = 4 푒 푑푟 = nas expressões anteriores, Obtemos

푑푉 = 4휋(4)1

16 = 4휋

Portanto, ∆V ≈ 4π, e concluímos que o volume da concha esférica é aproximadamente 4π cm .

2 – o raio de uma esfera de aço mede 1,5 centímetros e sabe-se que o erro cometido na sua medição não excede 0,1 centímetros. O volume da esfera e calculado a partir da medida de seu raio usando-se a fórmula 푉 = 4

3 휋푟 . Estime o erro possível no calculo de seu volume.

Solução:

O valor real do raio é 1,5 + ∆푟, onde ∆푟 é o erro de medida. Sabemos que |∆푟| ≤ 0,1. o valor verdadeiro o volume é4

3휋(1,5 + ∆푟) , enquanto o valor do volume do raio calculado

medido é 43휋(1,5) . A diferença∆푉 = 4

3휋(1,5 + ∆푟) − 43휋(1,5) , representa o erro

no cálculo do volume. Colocamos 푑푟 = ∆푟 e estimamos ∆푉 por 푑푉 como se segue. Observe que

푑푉푑푟 =

푑푑푟

43휋푟 = 4휋푟 .

Conseqüentemente,

Page 44: Derivadas e suas aplica__es

44

∆푉 ≈ 푑푉 =푑푣푑푟 푑푟 =

푑푉푑푟 ∆푟 = 4휋푟 ∆푟 = 4휋(1,5) ∆푟 = 9휋∆푟.

Portanto, |∆푉| ≈ |9휋∆푟| = 9휋|∆푟| ≤ 9휋(0,1) = 0,9휋, e então o erro possível é limitado em valor absoluto por cerca de 0,9휋 ≈ 2,8 푐푚 .

3 – Use diferenciais para achar o volume aproximado de uma camada cilíndrica circular de 6 cm de altura cujo raio interno mede 2 centímetros e cuja espessura e de 1 10 푐푒푛푡í푚푒푡푟표푠 .

Solução:

O volume de um cilindro circular reto é igual à sua altura vezes a sua área da base. Se V denota o volume de um cilindro (sólido) de altura 6 centímetros e raio r, então 푉 = 6휋푟 .. A diferença∆푉 no volume desses dois cilindros é o volume procurado da camada. Fazemos 푑푟 = e usamos a aproximação

∆푉 ≈ 푑푉 =푑푉푑푟 푑푟 =

푑푑푟

(6휋푟 )푑푟 = 12휋푟 = 12휋(2) 110 =

125 휋.

Assim, o volume da camada é aproximadamente 휋 ≈ 7,5 centímetros cúbicos.

13. Taxa de Variação.

Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo 푥 com função posição 푥 = 푓(푡). Isto significa dizer que a função 푓 fornece a cada instante a posição ocupada pela partícula na reta. A velocidade média da partícula entre os instantes 푡 e 푡 + ∆푡 é definida pelo quociente entre ( ∆ ) ( )

∆, onde ∆푥 = 푓(푡 + ∆푡)− 푓(푡) é o deslocamento da partícula no

instante 푡 e 푡 + ∆푡. A velocidade da partícula no instante 푡 é definida como sendo a derivada (caso exista) de 푓 em 푡, isto é:

푣(푡) =푑푥푑푡 = 푓 (푡).

Assim, pela definição de derivada,

푣(푡) = lim∆ →

푓(푡 + ∆푡) − 푓(푡)∆푡 ∙

A aceleração no instante 푡 é definida como sendo a derivada em 푡 da função 푎(푡) = = ∙

Pela definição de derivada,

푎(푡) = lim∆ →

푣(푡 + ∆푡)− 푣(푡)∆푡 ∙

O quociente ( ∆ ) ( )∆

é a aceleração média entre os instantes 푡 푒 푡 + ∆푡.

Page 45: Derivadas e suas aplica__es

45

Exemplos.

1 – Uma escada de 5 metros de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/seg, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base se encontre a 3 m da parede?

Solução:

Seja,

푡 = Ao número de segundos transcorridos desde que a escada começou a deslizar na parede.

푦 = Ao número de metros desde o piso até a parte superior da escada em t seg.

푥 = Ao número de metros desde a base da escada à parede em t seg.

Como a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/seg. 퐷 푥 = 3. Queremos encontrar 퐷 푦 quando 푥 = 3.

Do teorema de Pitágoras, temos

푦 = 25 − 푥 (1)

Como 푥 푒 푦 são funções de 푡, derivamos ambos os membros da eq. (1) em relação a 푡 e obtemos

2푦퐷 푦 = −2푥퐷 .

Dando-nos

퐷 푦 = − 퐷 푥 (2)

Quando 푥 = 3, segue da eq. (1) que 푦 = 4. Como 퐷 푥 = 3, temos de (2)

퐷 푦] = −34 ∙ 3 = −

94 ∙

Portanto, a parte superior da escada está deslizando na parede à taxa de 2

m/seg,

quando a base está a 3 m da parede. ( O significado do sinal menos é que decresce quando 푡 cresce.

Page 46: Derivadas e suas aplica__es

46

2 – Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taxa de 72 km/h e o outro para o sul à taxa de 54 km/h estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taxa os carros se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 400 m e o segundo estiver a 300 m do cruzamento?

Solução:

Seja,

푥 = Ao número de metros que o primeiro carro está distante de P em 푡 seg.

푦 = Ao número de metros que o segundo carro está distante de P em 푡 seg.

푧 = Ao número de metros que indica a distancia entre os dois carros em 푡 푠푒푔.

Desde que o primeiro carro se aproxima de P à taxa de72km/h = 72 푚/푠푒푔 = 20m/seg e

que 푥 decresce quando t cresce, temo0s conseqüentemente 퐷 푥 = −20. Analogamente, como 54 km/h = 54 ∙ m/s = 15 m/s, 퐷 푦 = −15.

Queremos encontrar 퐷 푧 quando 푥 = 400 푒 푦 = 300.

Do teorema de Pitágoras, temos

푧 = 푥 + 푦 (3)

Derivando os dois membros da eq. (3) em relação a t, obtemos

2푧퐷 푧 = 2푥퐷 푥 + 2푦퐷 푦.

E assim,

퐷 푧 = ∙ (4)

Quando 푥 = 400 푒 푦 = 300, com base na eq. (3) temos que 푧 = 500. na eq. (4) substituindo-se 퐷 푥 = −20, 퐷 푦 = −15, 푥 = 400, 푦 = 300 푒 푧 = 500 obtemos

퐷 푧 ] =(400)(20) + (300)(−15)

500 = −25.

Portanto, no instante em questão os carros aproximam-se um do outro à taxa de -25 m/seg.

Page 47: Derivadas e suas aplica__es

47

3 – Um empresário calcula que quando 푥 unidades de um certo produto são fabricadas,a receita bruta associada ao produto é dada por 푅(푋) = 0,5푋 + 3푋 - 2 milhares de reais.qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção 푥 quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção?

Solução:

Como 푥 representa o numero de unidades fabricadas, temos necessariamente 푥 ≥ 0. O quociente – diferença de 푅(푥) é

푅(푥 + ℎ)− 푅(푥)ℎ =

=[0,5(푥 + 2푥ℎ + ℎ ) + 3(푥 + ℎ) − 2]− [0,5푥 + 3푥 − 2]

ℎ =

=푥ℎ + 0.5ℎ + 3ℎ

ℎ = 푥 + 0,5ℎ + 3.

14 – Intervalos de Crescimento e Decrescimento.

14.1 – Teorema.

Seja 푓 uma função definida no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b).

(i) Se 푓 (푥) > 0, para todo 푥 ∈ (푎,푏), então 푓 é crescente em [푎,푏]; (ii) Se 푓 (푥) > 0, para todo푥 ∈ (푎, 푏), então 푓 é decrescente em [푎, 푏];

Em ambos os casos 푓 é dita monótona.

14.2 – Interpretação geométrica.

Observe na figura 14.1, que quando a inclinação da reta tangente for positiva, a função será crescente e quando a inclinação da reta for negativa, a função será decrescente. Como 푓(푥) é a inclinação da reta tangente à curva 푦 = 푓(푥),푓 é crescente quando 푓 (푥) < 0.

Figura 14.1 – Representação Gráfica da inclinação da reta Tangente.

Page 48: Derivadas e suas aplica__es

48

Exemplos.

1 – A função 푓(푥) = 푥 é crescente em ℝ, pois sua derivada é 푓 (푥) = 3푥 ≥ 0, ∀ 푥 ∈ ℝ;

Figura 14.2 – gráfico da função 푓(푥) = 푥 .

2 – A função 푓(푥) = é decrescente em qualquer intervalo que não contenha o zero, pois

sua derivada é 푓 (푥) = − < 0,∀ 푥 ∈ ℝ∗.

Figura 14.3 – Gráfico da função 푓(푥) = ∙

15. Máximos e Mínimos.

Freqüentemente nos interessamos por uma função definida num dado intervalo e queremos encontrar o maior ou o menor valor da função no intervalo. Discutiremos esta questão a seguir.

Page 49: Derivadas e suas aplica__es

49

15.1 – Definições:

Sejam 푓:퐷 → ℝ uma função e 푥 ∈ 퐷. Dizemos que 푥 é ponto de:

15.1.1 – Máximo relativo.

Se existir um intervalo aberto 훪 contendo 푥 tal que

푓(푥) ≤ 푓(푥 ),∀ 푥 ∈ 훪 ∩ 퐷.

15.1.2 – Máximo absoluto.

Se 푓(푥) ≤ 푓(푥 ),∀ 푥 ∈ 퐷;

15.1.3 – Mínimo Relativo.

Se existir um intervalo aberto 훪 contendo 푥 tal que

푓(푥) ≥ 푓(푥 ), ∀ 푥 ∈ 훪 ∩ 퐷.

15.1.4 – Mínimo absoluto.

Se 푓(푥) ≥ 푓(푥 ),∀ 푥 ∈ 퐷.

Figura 15.1 – Gráfico de uma Função푓, contendo Máximo e Mínimo local.

A figura 15.1, mostra o esboço de parte do gráfico de uma função, tendo um valor mínimo local em 푥 = 푏 e um valor máximo local em 푥 = 푎.

Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado de ponto extremo.

Page 50: Derivadas e suas aplica__es

50

Exemplos.

1 – Dada 푓(푥) = 2푥 encontre os extremos.

Solução:

A figura 15.1, apresenta um esboço do gráfico de 푓 em [1,4).

A função 푓 tem um valor mínimo absoluto de 2 em [1,4). Não existe um valor máximoabsoluto de 푓 em [1, 4), pois

lim→

푓(푥) = 8,

Mas 푓(푥) é sempre menor que 8 no intervalo dado.

Absolutos de 푓 no intervalo [1, 4) se existirem.

Figura 15.2 – gráfico de 푓 em [1,4).

2 - Dada 푓(푥) = −푥 encontre os extremos absolutos de 푓 em (−3, 2] se existirem.

Solução:

A figura 15.3, mostra um esboço do gráfico de 푓 em (-3, 2].

A função 푓 tem um valor máximo absoluto de 0 em (−3, 2]. Não existe valor mínimo absoluto de 푓 em(−3,2], pois

lim→

푓(푥) = −9, mas 푓(푥) é sempre menor que −9 no intervalo dado.

Figura 15.3 – Gráfico de 푓 em (-3, 2]

-4

-9

o-3 2

y

x

8

1 4

2

x

y

Page 51: Derivadas e suas aplica__es

51

3 - Dada 푓(푥) = 푥 + 1 푠푒 푥 < 1푥 − 6푥 + 7 푠푒 1 ≤ 푥 encontre os extremos absolutos de 푓 em [−5,4]

se existirem.

Solução:

A figura 15.4, mostra um esboço do gráfico de 푓 em [−5, 4].

O valor máximo absoluto de 푓 em [−5,4] ocorre em 1 e 푓(1) = 2; o valor mínimo absoluto de 푓 em [−5,4] ocorre em −5, e 푓(−5) = −4. Note que 푓 tem um valor máximo relativo em 1 e um valor mínimo relativo em 3. Note também que 1 é um numero crítico de 푓, pois 푓′ não existe em 1, e 3 é um numero crítico de 푓, pois 푓 (3) = 0.

Figura 15.4 – Gráfico da Função 푓 em [-5, 4]

4 - A função 푓(푥) = 3푥 − 12푥 tem um máximo relativo em 푐 = 0, pois existe o intervalo (−2,2) tal que 푓(0) ≥ 푓(푥) para todo 푥 ∈ (−2,2).

Em 푐 = −√2 푒 푐 = +√2, a função dada tem mínimos relativos, pois 푓(−√2) ≤푓(푥) para todo 푥 ∈ (−2,0) 푒 푓(√2) ≤ 푓(푥) para todo 푥 ∈ (0,2), conforme figura 15.5.

Figura 15.5 – Gráfico da Função 푓(푥) = 3푥 − 12푥 .

y

xo

-2 2- 2 2

-12

Y

X

Page 52: Derivadas e suas aplica__es

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15.2 – Teorema de Weirstrass.

Se f for continua em [a, b], então existirão 푥 e 푥 em [a, b] tais que f(푥 ) ≤ f(x) ≤ f(푥 ) para todo x em [a,b].

Demonstração:

Sendo f continua em [a, b], f será limitada em [a, b], daí o conjunto A = {f(x) / x Є [a,b]} admitirá supremo e ínfimo.

Sejam,

M = Sup {f(x) / x Є [a, b]}.

m = Inf {f(x) / x Є [a, b]}.

Assim, para todo x em [a, b], m ≤ f(x) ≤ M.

Provaremos, a seguir, que M = f(푥 ) para algum 푥 em [a, b]. Se tivéssemos f(x) < M para todo x em [a, b], a função g(x) =

( ) , x Є [a,b] ( veja observação na outra página).

Seria continua em [a, b], mas não limitada em [a, b] que é uma contradição (Se g fosse limitada em [a, b], então existiria um β > 0 tal que para todo x em [a, b]

0 < = ( )

< β

e, portanto, para todo x em [a, b],

f(x) < M -

E assim,

M não seria supremo de A).

Segue que f(x) < M para todo x em [a, b] não pode ocorrer, logo devemos ter M = f(푥 ) para algum 푥 em [a, b]. Com raciocínio análogo, prova -se que f(푥 ) = m para algum 푥 , em [a, b].

Observação: A idéia que nos levou a construir tal função g foi a seguinte: Sendo M o supremo dos f(x), por menor que seja r > 0, existirá x tal que M – r < f(x) < M; assim, a diferença M – f(x) poderá se tornar tão pequena quanto se queira e, portanto, g(x) poderá se tornar tão grande quanto se queira.

Page 53: Derivadas e suas aplica__es

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15.3 – Teorema de Fermat.

Seja 푓: 퐼 → ℝ uma função derivável, 퐼 um intervalo e 푥 ∈ 퐼 tal que:

1. 푥 é um ponto de máximo ou de mínimo local; 2. 푥 é um dos extremos do intervalo 퐼, isto é, se 퐼 = [푎, 푏], então푥 ≠ 푎 푒 푥 ≠ 푏; 3. 푓 é derivável em 푥 ;

Então 푓 (푥 ) = 0.

15.3.1 – Definição.

O ponto 푥 pertencente ao domínio de 푓 tal que 푓 (푥) = 0 표푢 푓 (푥 ) não existe, é chamado de ponto crítico de 푓.

Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em um ponto 푥 é que 푥 seja um ponto crítico de 푓.

15.4 – Teorema (Critério da primeira derivada).

Seja 푓 ∶ [푎, 푏] → ℝ é uma função contínua e derivável em (a, b) exceto possivelmente em 푐 ∈ (푎, 푏).

I. Se 푓 (푥) > 0,∀ 푥 < 푐 푒 푓 (푥) < 0,∀ 푥 > 푐, então c é um ponto de máximo local de 푓.

II. Se 푓 (푥) < 0,∀ 푥 < 푐 푒 푓 (푥) > 0,∀ 푥 > 푐, então c é um ponto de mínimo local de 푓.

Esse teste estabelece essencialmente que se 푓 for contínua em c e 푓 (푥) mudar de sinal positivo para negativo quando 푥 cresce através de c, então 푓 será um valor máximo relativo em c, e se 푓 (푥) mudar o sinal de negativo para positivo enquanto x cresce através de c, então 푓 terá um valor mínimo relativo em c.

Observe a Figura 15.6, ela mostra que, numa vizinhança de um ponto c de máximo local, as retas tangentes a curva passam de coeficiente angular positivo (à esquerda de c) para negativo (à direita de c). E o coeficiente angular é justamente a derivada de 푓.

Enquanto que, na 15.7, temos uma vizinhança de um ponto c de mínimo local, onde as retas tangentes à curva passam de coeficiente angular negativo (à esquerda de c) para (à direita de c). Note que em ambos os casos 푓 (푐) existe e é igual a zero.

Page 54: Derivadas e suas aplica__es

54

Figura 15.6 Figura 15.7

Resumidamente, este teste estabelece essencialmente que se 푓 for contínua em c e 푓 (푥) mudar de sinal positivo para negativo quando 푥 cresce através de c, e se 푓′(푥) mudar o sinal de negativo para positivo enquanto 푥 cresce através de c, então 푓 terá um valor mínimo relativo em c.

Exemplos.

1 – A função 푓(푥) = (푥 − 2) , esboçada na Figura 15.8, mostra, que mesmo 푓 tendo um ponto crítico, nesse caso em 푥 = 2 푒 푓 (푥) > 0 quando 푥 > 2 ou seja,푓 não tem um extremo relativo em 2.

Figura 15.8

Page 55: Derivadas e suas aplica__es

55

2 – A figura15.9, mostra um esboço de gráfico de uma função 푓, que tem um valor máximo relativo num número c mas 푓 (푐) não existe, contudo 푓 (푥) > 0 quando 푥 < 푐 푒 푓 (푥) < 0 quando 푥 > 푐.

Figura 15.9

Em suma, para determinar os extremos relativos de 푓:

(1) Ache 푓 (푥); (2) Ache os números críticos de 푓(푥), isto é, os valores de 푥 para os quais 푓 (푥) = 0, ou

para os quais 푓 (푥) não existe; (3) Aplique o teste da derivada primeira

3 – Dada 푓 ( ) = 푥 − 12푥 + 9 + 1 ache os extremos relativos de 푓, aplicando teste da derivada primeira. Determine os valores de 푥 nos quais ocorrem extremos relativos, bem como os intervalos nos quais 푓 é crescente e aqueles onde 푓 é decrescente. Faça um esboço do gráfico.

Solução:

Temos que 푓 (푥) = 3푥 − 12푥 + 9 e 푓 (푥) existe para todos os valores de 푥 por se tratar de um polinômio. Portanto, resolve-se a equação푓 (푥) = 0, ou seja, 3푥 − 12푥 + 9 =3(푥 − 3)(푥 − 1) = 0. Segue que: 푥 = 3 표푢 푥 = 1 são números críticos de 푓. Pra determinar se 푓 possui extremos relativos nesses números, aplicaremos o teste da primeira derivada, conforme o tabela 15.1, e Figura 15.10.

Tabela 15.1 Figura 15.10

Page 56: Derivadas e suas aplica__es

56

15.5 – outro teste para o cálculo de máximos e mínimos.

Com o teste da primeira derivada, podemos determinar se uma função 푓 tem valor máximo ou mínimo relativo num número crítico c, verificando o sinal de 푓′ em números contidos em intervalos à direita e à esquerda de c. Veremos a seguir, outro teste para extremos relativos envolvendo somente o número crítico c.

15.5.1 – critério da segunda derivada.

Sejam 푓: [푎, 푏] → ℝ uma função contínua e derivável até segunda ordem em 퐼 =(푎,푏), com derivadas 푓 푒 푓′′ também contínuas em 퐼 e c ∈ 퐼 tal que 푓 (푐) = 0.

Então,

(1) Se 푓 (푐) < 0, c é ponto de máximo local; (2) Se 푓 (푐) > 0, c é ponto de mínimo lolcal.

Percebe-se, facilmente, nas Figuras, que exibiremos a seguir, que o teste falha quando f (c) = 0, nada se pode concluir quanto aos extremos relativos. Deve-se, portanto, utilizar somente o teste da derivada primeira.

Figura 15.11 Figura 15.12 Figura 15.13

Considerando as funções 푦 = 푥 ,푦 = −푥 e 푦 = 푥 , notemos que cada uma delas possui a segunda derivada nula em 푥 = 0. Em 푥 = 0, a função 푦 = 푥 possui um mínimo relativo, e 푦 = −푥 possui um máximo relativo, no entento, para y = x não tem máximo e nem mínimo relativo.

Page 57: Derivadas e suas aplica__es

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15.6 – Teorema de Lagrange.

Se 푓 ∶ [푎, 푏] → ℝ é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um ponto 푥 ∈ (푎,푏) tal que

푓(푏) − 푓(푎)푏 − 푎 = 푓 (푥 ).

15.6.1 – Interpretação geométrica do Teorema de Lagrange.

Num esboço do gráfico da função 푓, conforme Figura 15.14, ( ) ( ) é a inclinação do segmento de reta que liga os pontos A(푎,푓(푎)) e B(푏,푓(푏)). O Teorema de Lagrange afirma que existe um ponto sobre a curva entre A e B, onde a reta tangente é paralela à reta secante por A e B, ou seja, existe um 푐 ∈ (푎,푏) tal que 푓 (푐) = ( ) ( ) = 푓 (푥 ).

Figura 15.14

16. Concavidade e ponto de inflexão.

Seja 푓 derivável no intervalo 훪 e seja 푝 um ponto de 훪. A reta tangente em (푝, 푓(푝)) ao gráfico de 푓 é

푦 − 푓(푝) = 푓 (푝)(푥 − 푝) ou 푦 = 푓(푝) + 푓 (푝)(푥 − 푝).

Deste modo, a reta tangente em (푝, 푓(푝)) é o gráfico da função T dada por

푇(푥) = 푓(푝) + 푓 (푝)(푥 − 푝).

Page 58: Derivadas e suas aplica__es

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Definições.

1 – Dizemos que 푓 tem a concavidade para cima no intervalo aberto 훪, conforme as Figuras 16.1 e 16.2, se quaisquer que sejam 푥 e 푝 em 퐼, com 푥 ≠ 푝.

Figura 16.1 Figura 16.2

2 – Dizemos que 푓 tem a concavidade para baixo no intervalo 퐼 se

푓(푥) < 푇(푥).

Quaisquer que sejam 푥 e 푝 em 퐼, com 푥 ≠ 푝.

3 – Sejam 푓 uma função e 푝 ∈ 퐷 , com 푓 contínua em 푝. Dizemos que 푝 é ponto de inflexão de 푓 se existirem números reais 푎 e 푏, com 푝 ∈ ]푎,푏[ ⊂ 퐷 , tal que 푓 tenha concavidade de nomes contrários em ]a, p[ e em ]p, b[, como podemos perceber nas Figuras 16.3 e 16.4.

Figura 16.3 Figura 16.4

f

x

yf

x

y

P X

T

X

Y

pf

Page 59: Derivadas e suas aplica__es

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Teorema.

Seja 푓 uma função que admita derivada até a 2ª ordem no intervalo aberto 퐼.

(i) Se 푓 (푥) > 0 em 퐼, então 푓 terá a concavidade voltada para cima em 퐼. (ii) Se 푓 (푥) < 0 em 퐼, então 푓 terá a concavidade voltada para baixo em I.

Exemplos.

1 – Seja 푓(푥) = 푒 . Estude 푓 com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.

Solução:

푓 (푥) = −푥 푒 ∙

푓 (푥) = (푥 − 1) 푒 ∙

Como 푒 > 0 para todo 푥, o sinal de 푓 (푥) é o mesmo que o de 푥 − 1.

Figura 16.5

푓 (푥) > 0 em ] −∞,−1[ e em ]1, +∞[.

푓 (푥) < 0 em ] − 1, 1[.

Então, conforme a Figura 16.5,

푓 tem a concavidade voltada para cima em ] −∞,−1[ e em ]1, +∞[ ;

푓 tem a concavidade voltada para baixo em ] − 1,1[ ;

Pontos de inflexão: −1 푒 1.

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2 – Dada a função 푓 de inida por 푓(푥) = 푥 − 6푥 + 9푥 + 1 ache o ponto de inflexão do gráfico de 푓, caso tenha, e determine onde o gráfico é côncavo e convexo.

Solução:

Temos que 푓 (푥) = 3푥 − 12푥 + 9 e 푓 (푥) = 6푥 − 12.푓 (푥) existe, para todos valores de 푥.푓 (푥) = 0 ⟺ 6푥 − 12 = 0 ⇔ 푥 = 2. Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão em 푥 = 2, precisa verificar se 푓 (푥) muda de sinal; ao mesmo tempo, determinamos a concavidade do gráfico para respectivos intervalos, conforme Tabela 16.1 e Figura 16.6.

Tabela 16.1 Figura 16.6

3 – Dada 푓(푥) = 푥 − 5푥 − 3푥 verifique que a hipótese do teorema do valor é satisfeita para 푎 = 1 푒 푏 = 3. Então, encontre todos os números 푐 no intervalo aberto (1,3) tais que

푓 (푐) =푓(3)− 푓(1)

3 − 1 ∙

Solução:

Como 푓 é uma função polinomial, 푓 é continua e derivável para todos os valores de 푥. Portanto, a hipótese do teorema do valor médio é satisfeita para qualquer 푎 푒 푏.

푓 (푥) = 3푥 − 10푥 − 3

푓(1) = −7 푒 푓(3) = −27

Logo,

푓(3)− 푓(1)3 − 1 =

−27 − (−7)2 = −10.

Determinando 푓 (푐) = −10, obtemos

3푐 − 10푐 − 3 = −10

Ou

3푐 − 10푐 + 7 = 0

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Ou

(3푐 − 7)(푐 − 1) = 0

Que resulta:

푐 =73 푒 푐 = 1.

Como 1 não pertence ao intervalo aberto (1,3), o único valor possível para 푐 é 73 ∙

4 – Dada 푓(푥) = 푥 ⁄ trace um esboço do gráfico de 푓. Mostre que não existe número 푐 no intervalo aberto (−2,2) tal que

푓 (푐) =푓(2)− 푓(−2)

2 − (−2) ∙

Que condição da hipótese do teorema do valor médio não é verificada para 푓 quando 푎 =−2 푒 푏 = 2 ?

Solução:

Um esboço do gráfico de 푓 é mostrado na figura 16.7.

Figura 16.7 – Gráfico da Função 푓(푥) = 푥 .

푓 (푥) =23푥

⁄ .

Portanto,

푓 (푐) =2

3푐 ⁄

1

1

0-1-2 2 x

y

Page 62: Derivadas e suas aplica__es

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푓(2) − 푓(−2)2 − (−2) =

4 ⁄ − 4 ⁄

4 = 0.

Não existe número 푐 para o qual 2 3푐 ⁄⁄ = 0.

A função 푓 é continua no intervalo fechado [−2,2]. Contudo, 푓 não é derivável no intervalo aberto (−2,2), pois 푓 (0) não existe. Portanto, a condição (ii) da hipótese do teorema de valor médio não é verificada para푓 quando 푎 = −2 푒 푏 = 2.

17. Assíntotas.

17.1 – Assíntotas Horizontais.

A reta 푦 = 푏 é uma assíntota horizontal de do gráfico de uma função 푦 = 푓(푥) se ocorrer:

(풊) lim

→푓(푥) = 푏.

Ou

lim→

푓(푥) = 푏.

Exemplos.

1 – As reta 푦 = 1 e 푦 = −1 são assíntotas horizontais do gráfico de

푦 =푥

√푥 + 2 ∙

Porque,

lim→

푥√푥 + 2

= 1 푒 lim→

푥√푥 + 2

= −1.

Figura 17.1 – Gráfico da Função 푦 =√

X

Y

-1

1

Page 63: Derivadas e suas aplica__es

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2 – A reta 푦 = 1 é uma assíntota horizontal da função

푦 =푥 − 11 + 푥 , pois lim

푥 − 11 + 푥 = 1.

Figura 17.2 – Gráfico da função 푦 = ∙

17.2 – Assíntotas Verticais.

A reta 푥 = 푎 é uma assíntota vertical do gráfico de uma função 푦 = 푓(푥) se ocorrer pelo menos uma das situações:

(풊) lim→

푓(푥) = +∞

(풊풊) lim→

푓(푥) = −∞

(퐢퐢퐢) lim → 푓(푥) = +∞

(풊푽) lim→

푓(푥) = −∞

Exemplos.

1 - A reta 푥 = 0 é uma assíntota vertical da função 푦 = ln (푥), pois

lim→

푓(푥) = −∞.

Figura 17.3 – 푦 = 푙푛푥.

Page 64: Derivadas e suas aplica__es

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2 – Reta 푥 = 1 é uma assíntota vertical de função 푦 =( )

, pois

lim→

1(푥 − 1) = +∞ ∙

Figura 17.4 – Gráfico da 푦 =( )

17.3 – Assíntotas Oblíquas.

A reta 푦 = 푘푥 + 푏 é uma assíntota oblíqua do gráfico de uma função 푦 = 푓(푥), se ocorrer:

(푎) lim

→[푓(푥)− (푘푥 + 푏)] = 0 ou

(푏) lim→

[푓(푥)− (푘푥 + 푏)] = 0

É possível se mostrar que

푘 = lim→

푓(푥)푥 .

E uma vez determinado o k, que

푏 = lim→

[푓(푥)− 푘푥].

(1) Substituindo-se 푥 → −∞, obtem-se, analogamente, as expressões de k e de b para outra possível assíntota oblíqua.

(2) Em ambos os caso, se não existir um dos limites acima de inidas para k e b, não existe a assíntota oblíqua.

(3) As assíntotas horizontais são casos particulares das assíntotas oblíquas, ocorrendo quando 푘 = 0.

(4) Uma função pode ter no máximo duas assíntotas oblíquas, incluindo as horizontais.

Page 65: Derivadas e suas aplica__es

65

18. Esboço Gráfico de Funções.

Para obtermos o esboço gráfico de uma função, devemos seguir os seguintes passos:

1. Determinar o domínio de 푓. 2. Calcular os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados; 3. Determinar os pontos; 4. Determinar os pontos de Máximos e Mínimos; 5. Estudar a concavidade; 6. Determinar os pontos de inflexão; 7. Determinar as assíntotas; 8. Esboçar o gráfico.

Exemplos.

1 - Esboçar o gráfico da função푓(푥) = (푥 − 1) .

Solução:

1) Domínio: 퐷표푚(푓) = ℝ; 2) Intersecções com os eixos coordenados: se 푥 = 0, então 푦 = −1 e, se 푦 = 0 então

푥 ± 1; a curva passa pelos pontos(1, 0), (−1, 0) e (0,−1). 3) Pontos críticos de 푓: 푓 (푥) = 6푥(푥 − 1 ) . Logo, resolvendo a equação푓 (푥) = 0,

obtemos 푥 = 0,푥 = 1 e 푥 = −1, que são os pontos crítico de 푓. 4) Máximos e mínimos relativos de 푓:푓 (푥) = 6(푥 − 1)(5푥 − 1). Logo, 푓 (0) > 0 e 0

é o ponto mínimo relativo de 푓. 푓 (±1) = 0 e o teste da segunda derivada não nos diz nada. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal temos: 푓 (푥) < 0, para 푥 > 0, então 푥 = 1 não é ponto extremo de 푓.

5) Concavidade 푓 (푥) = 6(푥 − 1)(5푥 − 1) = 0 implica que 푥 = ±1 e 푥 = ± √ ∙

푓 (푥) > 0 se 푥 ∈ (−∞,−1) ∪ − √ , √ ∪ (1, +∞).

푓 (푥) < 0 se 푥 ∈ −1,− √ ∪ √ .

Conclusão: 푓: tem C.V.C. nos intervalos (−∞,−1), − √ , √ e (1,+∞).

푓 tem C.V.B. nos intervalos −1,− √ e √ , 1 .

6) Ponto de inflexão: As abscissas dos pontos de inflexão de 푓 são 푥 = ±1 e 푥 ± √ . 7) Assíntotas de 푓: A curva não possui assíntotas; 8) Esboço do gráfico de 푓.

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Figura 18.1 – Gráfico da Função 푓(푥) = (푥 − 1) .

2 – Esboçar o grá ico da função 푓(푥) = −7 + 12푥 − 3푥 − 2푥 .

Solução:

1) Domínio: 퐷표푚(푓) = ℝ; 2) Intersecção com os eixos coordenados: 푠푒 푥 = 0, então 푦 = −7 푒 푠푒 푦 = 0, 푥 = 1

표푢 푥 = −72 ;

3) 푃표푛푡표푠 푐푟í푡푖푐표푠 푑푒 푓: 푓 ′(푥) = 12 − 6푥 − 6푥 . 푃표푟푡푎푛푡표, 푟푒푠표푙푣푒푛푑표 −푠푒 푎 푒푞푢푎çã표 푓 ′(푥) = 0,표푏푡푒푚표푠 표푠 푝표푛푡표푠 푐푟í푡푖푐표푠 푥 = −2,푥 = 1 푑푒 푓.

4) 푀á푥푖푚표푠 푒 푚í푛푖푚표푠 푟푒푙푎푡푖푣표푠 푑푒 푓: 푓 ′′(푥) = −6 − 12푥. 퐿표푔표, 푓 ′′(1) < 0 푒 1 é 푝표푛푡표 푀á푥푖푚표 푟푒푙푎푡푖푣표 푑푒 푓. 푓 ′′(2) > 0 푒 2 é ponto de mínimo.

5) 퐶표푛푐푎푣푖푑푎푑푒: 푓 ′′(푥) = −6 − 12 = 0 푖푚푝푙푖푐푎 푞푢푒 푥 = − . 푓 ′′(푥) > 0 푠푒 푥 < − 푒

푓 ′′(푥) < 0 se 푥 > − .

Conclusão: o grá ico de 푓 tem C. V. C. em −∞,− e tem C. V. B. Em − , +∞ .

6) Ponto de in lexão: A abscissa do ponto de in lexão de 푓 é − . 7) Assíntotas de 푓: A curva não possui assíntotas. 8) Esboço do gráfico de 푓.

Figura 18.2 – Gráfico da Funçãof(x) = −7 + 12x + 3x − 2x .

Page 67: Derivadas e suas aplica__es

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19. Problemas de Otimização Envolvendo máximos e Mínimos.

Exemplos.

1 - No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se existem lugares para 40 a 80 pessoas o lucro semanal será de R$ 70,00 por lugar,contudo a capacidade de assentos esta acima de 80 lugares,o lucro semanal em cada lugar será reduzido em 50 centavos pelo numero de lugares excedentes.qual devera ser a capacidade de assentos para se obter o maior lucro semanal?

Solução:

Sejam x= o numero de lugares que a lanchonete comporta;

P= o numero de cruzeiros no lucro total semanal,

O valor de p depende de x e é obtido ao multiplicarmos x pelo numero de cruzeiros obtido no lucro por lugar. Quando 40 ≤ 푥 ≤ 80, o lucro por lugar é 푅$ 70,00 e por tanto 푝 = 70푥.contudo,quando 푥 > 80 o lucro de cruzeiros por lugar é [ 70 – 0,5(푥 – 80 )],ou seja, 푝 = 푥 [70 – 0,5(푥 – 80 )] = 100푥 – 0,5푥 . Assim, temos

푃(푥) = 70푥 푠푒 40 ≤ 푥 ≤ 80110푥 − 0,5 푠푒 80 ≤ 푥 ≤ 220

O extremo superior de 220 para 푥 é obtido notando que 110푥 – 0,5푥 =0 quando 푥 =220 e 110푥 − 0,5 é negativo para 푥 > 220.

Embora x seja um inteiro, por definição, para termos uma função continua devemos tomar x para todos os valores reais no intervalo [40, 220]. Notemos que p é continua em 80, pois

lim→

푝(푥) = lim→

70푥 = 5.600.

e

lim→

푝(푥) = lim→

(110 − 0,5 ) = 5.600.

De onde resulta que lim→

푝(푥) = 5.600 = 푝(80).

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Logo, 푝 é continua no intervalo fechado [ 40, 220] e o teorema do valor extremo garante a existência de um valor Máximo absoluto de 푝 neste intervalo.

Quando 40 < x < 80, p’(x) = 70 e 푝′(80) = 30. Determinando 푃’(푥) = 0,

Temos,

110 – 푥 = 0

푥 = 110.

Logo, os números críticos de p são 80 e 110. Calculamos 푝(푥) nos extremos do intervalo [40, 220] e nos números críticos, temos

푝(40) = 320,푝(80) = 5.600,푝(110) = 6050 푒 푝 (220) = 0. Então, o valor Maximo absoluto de p é 6050 e o corre quando x = 110. A capacidade de assentos deve ser de 110 lugares, que da um lucro semanal total de 푅$ 6050,00.

2 – Um fabricante deseja construir caixas de papelão sem tampa e de base regular, dispondo de um pedaço retangular de papelão com 8 cm de lado e 15cm de comprimento.Para tanto, deve-se tirar de cada canto quadrados iguais,em seguida viram-se os lados para cima.determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume Maximo.

Solução:

A altura da caixa é x; a largura é (8 – 2x) e o comprimento é (15 – 2x), observando que 0 < x < 4.

Logo, devemos maximizar:

V(x) = x (8 – 2x)(15 – 2x) = 4푥 - 46푥 + 120x.

Derivando-se e igualando a zero:

V’(푥) = 12푥 - 92푥 + 120 = (푥 − 6)(12푥 − 20) = 0,

Obtemos 푥 = 6 ou 푥 = . Mas, 6 <∉ (0,4); então, 푥 = é o único ponto critico de v.

logo, estudando o sinal de V’, 푥 é o ponto Maximo. Então 푥 1,6푐푚 푒 v= 90,74푐푚 .

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19.3 – Um tanque sem tampa em forma de cone é feito com material plástico, tem capacidade de 1.000푚 . Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade do plástico usada na sua fabricação.

Solução:

A área do cone 퐴 휋푟푙√푟 + ℎ , em que a última igualdade usamos o teorema de Pitágoras. Por outro lado, o volume do tanque é de 1.000푚 logo,

1.000= 푉 = 휋r h.

E ℎ = . . Substituindo ℎ na expressão da área. Temos:

퐴 = 휋푟 푟 +3.000휋 푟 ∙

Como antes minimizaremos 퐴 = (퐴 ) . Logo:

퐴(푟) = 휋 푟 +푘푟

Em que 푘 = (3.000) . Derivando-se e igualando a zero, obtemos que 푟 é aproximadamente, 8,733푚 푒 ℎ é aproximadamente, 12,407푚.

Conseqüentemente, 퐴 é aproximadamente, 418,8077푚 .