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Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 1 Aula 10 Derivadas de Outras Funções Elementares Objetivos da Aula Estudar as curvas exponenciais e logarítmicas, suas propriedades, suas relações, processos de diferenciação e aplicações. Logaritmos Logaritmo de x na Base b (definição) Observe que o logaritmo log é definido somente para valores positivos de x. Exemplo 1:

derivadas expon

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Page 1: derivadas expon

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Aula 10Derivadas de Outras Funções Elementares

Objetivos da Aula

Estudar as curvas exponenciais e logarítmicas, suas propriedades,

suas relações, processos de diferenciação e aplicações.

Logaritmos

Logaritmo de x na Base b (definição)

Observe que o logaritmo log é definido somente para valores

positivos de x.

Exemplo 1:

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Exemplo 2:

Resolva cada uma das seguintes equações em x:

Observação:

Dois sistemas de logaritmos amplamente usados são os sistemas de

logaritmos comuns, que usa o número 10 na base, e o sistema de

logaritmos naturais, que usa o número irracional e = 2,71828... na

base. Também é comum, na prática, escrever log para e

Vejamos agora como é a notação logarítmica

O sistema de logaritmos naturais é bastante usado em trabalhos

teóricos. O uso de logaritmos naturais, mais do que logaritmos em

outras bases, freqüentemente leva a expressões mais simples.

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Propriedades de Logaritmos

Atenção:

Não confunda a expressão log m/n (Propriedade 2) com a expressão

log m/log n. Por exemplo,

Exemplo 3:

Expanda e simplifique as seguintes expressões:

Solução:

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Funções Logarítmicas e Seus Gráficos

Seja b e n números positivos, e b diferente de 1, então a expressão log

b n é um número real.

Um jeito fácil de obter o gráfico da função logarítmica y = log b x é

construindo uma tabela de valores do logaritmo (base b). Entretanto,

outro método mais instrutivo é baseado na exploração da estreita

relação entre funções logarítmicas e exponenciais.

Se um ponto (u , v) pertence ao gráfico de y = log b x, então:

Mas também podemos escrever esta equação na forma exponencial

como

Assim o ponto (v , u) pertencente ao gráfico da função y = b x. Veremos

também a relação entre os pontos (u , v) e (v , u) e a reta y = x (Figura

1). Se pensarmos na reta y = x como um espelho, então o ponto (v , u)

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é a imagem especular do ponto (u , v). Da mesma forma o ponto (u , v)

é a imagem especular do ponto (v , u). Podemos tirar vantagem desta

relação para a ajudar a construir o gráfico das funções logarítmicas.

Por exemplo, se queremos desenhar o gráfico de y = log b x, onde

b > 1, então precisamos somente desenhar a imagem especular do

gráfico de y = b x em relação à reta y = x (Figura 2).

Propriedades Que Relacionam as Funções Exponencial e Logarítmica.

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Exemplo 1:

Esboce o gráfico da função y = ln x.

Solução:

Primeiro esboçamos o gráfico de . Então, o gráfico desejado é

obtido traçando a imagem espectral do gráfico de em relação

à reta y = x.

O gráfico de y = ln x é a imagem especular do gráfico de y = e x.

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Propriedades dos Expoentes

Agora veja alguns exemplos do uso das propriedades dos expoentes:

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Solução:

Inicialmente, como já vimos, o domínio da função exponencial y = f (x)

= 2 x é o conjunto dos números reais. Depois, colocando x = 0 temos

y = 2 0 = 1, valor onde f intercepta o eixo do y. não há intersecção

no eixo do x, pois não existem valores de x para os quais y = 0. Para

encontrar o domínio de f considere a seguinte tabela.

Vemos definir, a partir destes cálculos, que 2 decresce e se aproxima

de zero à medida que x decresce ilimitadamente e que 2 cresce sem

limites com o crescimento ilimitado dos valores de x. Portanto, o

domínio de f é o intervalo (0 , ), ou seja, o conjunto dos números

reais positivos.

Finalmente, esboçaremos o gráfico de abaixo.

Veja o gráfico abaixo:

y = b x é uma função crescente de x se b > 1, uma função constante

se b = 1, e uma função decrescente se < b < 1.

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Propriedades da Função Exponencial

Aplicações da função exponencial e logarítmica.

O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos

naturais. No entanto, de modo geral, não se apresenta na forma ax,

mas sim modificado por constantes características do fenômeno,

como em:

Exemplo 1:

O número de bactérias de uma cultura, t horas apos o inicio de

certo experimento, é dado pela expressão

Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento

a cultura terá 38.400 bactérias?

Solução:

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Exemplo 2:

Chama-se de montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber

após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um

tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula .

Supondo que o capital aplicado é de R$ 200000,00 a uma taxa 12% ao

ano durante 3 anos, qual é o montante no final da aplicação?

Supondo que o capital aplicado é de R$ 200000,00 a uma taxa 12% ao

ano durante 3 anos, qual é o montante no final da aplicação?

Solução

Exemplo 3:

Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se

desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzira a 100 g ?

Use , em que Q é a massa da substância, r é a taxa

e t é o tempo em anos.

Solução:

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Derivada Da Função Logarítmica

Nesta seção iremos usar a diferenciação implícita para encontrar as

derivadas das funções logarítmicas log a x e, em particular, a função

logarítmica natural y = ln x.

Prova:

Diferenciando essa equação implicitamente em relação a x, usando a

fórmula obteremos

e logo

Se pusermos a = e na fórmula [ 1 ], então o fator ln a no lado direito

torna-se ln e = 1, e obtemos a fórmula para a derivada da função

logarítmica natural log e x = ln x:

Comparando as fórmulas [ 1 ] e [ 2 ] vemos uma das principais razões

para os logaritmos naturais (logaritmos com base e) serem usados em

cálculo. A fórmula de diferenciação é a mais simples quando a = e,

pois ln e = 1.

Exemplo 1:

Para usar a Regra da Cadeia vamos . Então y = ln u; logo:

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Em geral, se combinarmos a fórmula [ 2 ] com a Regra da Cadeia, como

no exemplo [ 1 ], obtemos

Exemplo 2:

Encontre

Solução:

Usando [ 3 ], temos

Exemplo 3:

Diferencie

Solução:

Dessa vez o logaritmo é a função de dentro; logo, a Regra da Cadeia dá

Exemplo 4:

Diferencie

Solução:

Usando a fórmula [ 1 ] com a = 10, temos

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Exemplo 5:

Encontre

Solução 1:

Solução 2:

Se primeiro simplificarmos a função dada usando as leis do logaritmo,

então a diferenciação ficará mais fácil:

Essa resposta pode ser deixada como escrito, mas se usássemos um

denominador comum obteríamos a mesma resposta da solução 1.

Exemplo 6:

Encontre

Solução:

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O resultado do exemplo 6 vale a pena ser lembrado:

A derivada de ln x

Exemplo 1:

Calcule a derivada das seguintes funções:

Solução:

a) Usando a regra do produto, obtemos

b) Usando a regra do quociente, obtemos

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Regra da Cadeia Para Funções Logarítmicas

Exemplo 1:

Encontre a derivada de

Solução:

Usando a regra da cadeia para funções logarítmicas vemos que

Na hora de derivar funções envolvendo logaritmos, as regras

dos logaritmos podem ser úteis, como iremos mostrar no

próximo exemplo.

Exemplo 2 :

Encontre a derivada de

Solução :

Primeiro reescreveremos a função dada usando as

propriedades dos logaritmos:

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derivando usando a regra da cadeia para funções

logarítmicas obteremos

Diferenciação Logarítmica

Este processo não só simplifica os cálculos das derivadas de certas

funções, mas também nos permite calcular derivadas de funções que

não poderiam ser derivadas de outra forma usando as técnicas vistas

até o momento.

Exemplo 1:

Usando a diferenciação logarítmica derive

Solução:

Primeiro, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação

dada, obtendo

Depois, usando as propriedades dos logaritmos para reescrever o

lado direito desta equação, obtendo

Se derivarmos os dois lados da equação teremos

(Usando a regra da cadeia para funções logarítmicas)

Para calcular a expressão do lado esquerdo, note que y é uma função de

x. Portanto, escrevendo y = f (x) para lembrarmos deste fato, teremos

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(Usando a regra da cadeia para funções logarítmicas)

Portanto, teremos,

Finalmente, resolvendo y’, temos

Veremos agora um resumo dos passos envolvendo a

diferenciação logarítmica.

1. Aplique o logaritmo natural dos dois lados da equação e use

as propriedades dos logaritmos para escrever uma “expressão

complicada” como uma soma de termos simples.

2. Derive os dois lados da equação em relação a x.

3. Resolva a equação resultante para .

Derivada da Função Exponencial

Exemplo 1:

Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:

Solução:

a) Usando a regra do produto, temos

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b) Usando a regra geral da potência, temos

Aplicando a Regra da Cadeia Para Funções Exponenciais

Para ver este resultado, observe que h(x) = g[f (x)], onde g(x) = e x,

então, pela regra da cadeia h’(x) = g’(f (x)) f ’ (x) = e f (x) f ’ (x)

pois g’(x) = e x

Para se lembrar da regra da cadeia para funções exponenciais, observe

que temos neste caso a seguinte forma

Exemplo 1:

Derive a função

Solução:

Usando a regra do produto, seguida da regra da cadeia, temos

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Exemplo 2:

Derive a função

Solução:

Usando a regra do quociente, seguida da regra da cadeia, teremos

Referências Bibliográficas

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:

Thomson, 2001.

LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São

Paulo: Harbra, 1988.

STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003.

DANTE, L. ROBERTO. Matemática: Contexto & Aplicação. São Paulo:

Ática,1999.