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derivação
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DERIVADAS PARCIAIS
Motivação
A figura abaixo ilustra a definição e a interpretação geométrica da derivada de uma função
de uma variável . ( )y f x=
0 0
0 0 0 0
( ) ( )( ) '( ) ( ) limRT h
f x h f xdfm x f x xdx h→
+ −= = =
DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO Definição: Se 0 0( , )x y é um ponto do domínio da função de duas variável ( ),z f x y= ,
então a derivada parcial de ( ),f x y em relação a x no ponto 0 0( , )x y é a derivada em x0 da
função que resulta quando y = y0 for mantido fixado e a x for permitido variar. Essa derivada parcial é dada por:
0 0 0 00 0 0 0 0
( , ) ( ,( , ) ( , ) lim .x h
)f x h y f x yf x y f x yx h→
+ −∂= =
∂
Ilustração da Definição
Analogamente, a derivada parcial de ( ),f x y em relação a y no ponto 0 0( , )x y é a
derivada em y0 da função que resulta quando x=x0 for mantido fixado e a y for permitido variar. Essa derivada parcial é dada por:
0 0 0 00 0 0 0 0
( , ) ( , )( , ) ( , ) limy h
f x y h f x yf x y f x yy h→
+ −∂= =
∂ .
Ilustração da Definição:
OBSERVAÇÃO: Note que na definição da derivada parcial de ( ),f x y em relação a x no ponto
0 0( , )x y , 0 0 0
0 0 0
( , ) ( ,( , ) limh
0 )f x h y f x yf x yx h→
+ −∂=
∂ é calculada mantendo o
valor de y fixo e igual a y0 e desta forma estaremos derivando a função ( ) 0( , )g x f x y= no
ponto x=x0 , ou seja, 0 0
0 0 0 0
( ) (( , ) ( ) limh
)g x h g xf dgx y xx dx h→
+ −∂= =
∂ .
Analogamente, a derivada parcial de ( ),f x y em relação a y no ponto 0 0( , )x y ,
0 0 0 00 0 0
( , ) ( , )( , ) limh
f x y h f x yf x yy h→
+ −∂=
∂ é calculada mantendo o valor de x
fixo e igual a x0 e desta forma estaremos derivando a função ( ) 0( , )g y f x y= no ponto y=y0,
ou seja, 0 0
0 0 0 0
( ) (( , ) ( ) limh
g y h g yf dgx y yy dy h→
)+ −∂= =
∂ .
EXEMPLOS: 1) Se , calcule e 2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − + (2,1)xf ( )2,1fy∂∂
1º MODO: Usando a definição
Utilizaremos a definição para determinar , vejamos: (2,1)xf
(2 ,1) (2,1)
2 2 2 2
0 0
2 2 2 2 2
0 0
(2 2) (1 2) 4 (2 2) (1 2) 4(2 ,1) (2,1)(2,1) lim lim `
( 1) 4 (0) ( 1) 4 3 3lim lim 0
f h f
x h h
h h
hf h ffh h
h hh h
+
→ →
→ →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − − + − − − − − ++ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + − − − − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =
6444447444448 64444744448
=
Portanto, a derivada parcial de 2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − + , com relação a variável x ,
no ponto (2,1) é ( )(2,1) 2,1 0xf fx∂
= =∂
.
Analogamente, temos: (2,1 ) (2,1)
2 2 2 2
0 0
2 2 2 2 2
0 0 0
(2 2) (1 2) 4 (2 2) (1 2) 4(2,1 ) (2,1)(2,1) lim lim `
0 ( 1 ) 4 (0) ( 1) 4 ( 1 ) 4 3 [1 2lim lim lim
f h f
h h
h h h
hf f h fy h h
h h hh h
+
→ →
→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + − + − − − − − +∂ + − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − − − + − − + + − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =
6444447444448 64444744448
=
2
0
] 1
1¨ limh
hh
→
+=
−=
22 1h h+ − +0
lim(2 ) 2h
hh →
= − =
Portanto, a derivada parcial de 2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − + , com relação a variável y ,
no ponto (2,1) é ( )(2,1) 2,1 2yf fy∂
= =∂
2º MODO: Utilizando a idéia descrita na observação acima
Podemos determinar as derivadas parciais e (2,1)xf (2,1fy
)∂∂
, da seguinte forma:
I) Como queremos a derivada parcial , então vamos considerar a componente y fixa e igual
à 1 e construir a função que é dada por :
(2,1)xf
( ) ( ,1)g x f x=
2
2 2 2
34 4
( ) ( ,1) ( 2) (1 2) 4 4 1x x
g x f x x x x− + −
= = − − − − + = − +1424314243
− .
Derivando a função , teremos 2( ) 4 1g x x x= − + − ( ) 2 4dg x xdx
= − + e como queremos a
derivada parcial (2,1) (2)xdgfdx
= , basta fazer x=2 na derivada (2) 2.2 4 0dgdx
= − + = e assim
(2,1) 0.xf =
II) Analogamente, para determinar (2,1fy∂∂
) , deixaremos a componente x fixa e igual a 2 e
trabalharemos com a função .
Derivando a função com relação a variável y teremos
2
2 2 2
0 4 4
( ) (2, ) (2 2) ( 2) 4 4y y
g y f y y y y− + −
= = − − − − + = − +1424314243
2( ) 4g y y y= − + ( ) 2 4dg y ydy
= − + .
Para encontrar a derivada parcial ( )2,1 (1)f dgy dy∂
=∂
, basta fazer y=1 na derivada
(1) 2.1 4 2dgdy
= − + = e assim ( )2,1 2fy∂
=∂
.
3º MODO: Utilizando as regras de derivação já conhecidas no cálculo de funções de
uma variável.
Na resolução desenvolvida no 2º MODO derivamos a função , ou seja,
derivamos a função e depois
aplicamos o resultado da derivada de
( ) ( ,1)g x f x=
2
2 2 2
34 4
( ) ( ,1) ( 2) (1 2) 4 4 1x x
g x f x x x x− + −
= = − − − − + = − +1424314243
−
( ) ( ,1)g x f x= no ponto x=2 pra obtermos a derivada
parcial (2,1) 0.xf =
Vamos agora utilizar das regras de derivação que conhecemos para encontrar .
Iremos derivar a função , na qual pode ser descrita da forma
(2,1)xf2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − +
( ) 2 2, 4f x y x y y x= − − + + −4 4 , mantendo a variável y fixa e considerando x com única
variável, observe:
{( ) ( ) { ( ) ( ) ( )
{
2 2 2 2
tan
tan
( , ) 4 4 4 4 4 4
2 0 0 4 0 2 4.
xLembre se y é
Derivada com cons terelação a x
Derivada deumacons te é zero
d d d d df x y x y y x x y y xdx dx dx dx dx dx
x x
−
⎛ ⎞⎜ ⎟
= − − + + − = − + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − + + + + = − +
d=
Desta forma, e assim ( , ) 2 4xf x y x= − + ( )2,1 2.2 4 0xf = − + = , que é o resultado
obtido anteriormente.
2) Determine ( , )xf x y e ( , )yf x y , sabendo que 3 4 5 2 2( , ) 4 3 4 2f x y x y x y x y−= + − + + .
Vamos determinar a derivada parcial ( , )xf x y , derivando a função
, com relação a variável x e considerando y constante.
Observe:
3 4 5 2 2( , ) 4 3 4 2f x y x y x y x y−= + − + +
( ) { {
( ) ( ) { ( ){ { {
35
3 4 5 2 2
Constante
2 4 4 2
derivada derivada da derivada daderivada constante4 constante 2dede
, . 4 3 4 2
, , 3 . 4. 5 3.2 0
Variável
x
yxx
f x y x y x y x y
f x y f x y x y x y xx
−
−
= + − + +
∂= = + − + +
∂0 ,
ou seja, ( ) 2 4 4 2, 3 20 6xf x y x y x y x−= + − .
Analogamente, para determinar a derivada parcial ( , )yf x y , derivando a função
, com relação a variável y e considerando x constante.
Observe:
3 4 5 2 2( , ) 4 3 4 2f x y x y x y x y−= + − + +
( ) { {
( ) ( ) { { ( ){ { {
24 2
3 4 5 2 2
Constante
3 3 5 3
constante derivada da derivada daderivada derivadaconstante constante 2constante 3de de
, . 4 3 4 2
, , .(4 ) 4. .( 2 ) 0 4
Variável
y
xy y
f x y x y x y x y
f x y f x y x y x yy
−
−
−
= + − + +
∂= = + − − + +
∂ 142430
,
ou seja, ( ) 3 2 5 3, 4 8yf x y x y x y−= − 4+
R
.
Observação: Vale a pena observar que se uma função satisfaz as seguintes
propriedades:
2:f X ⊆ →R
( , ) = ( , )f x y f y x , para todo ( , )x y X∈ ou ( , ) = ( , )f x y f y x− , para todo
( , )x y X∈ . Então, basta calcular uma derivada parcial, por exemplo, ( , )xf x y e fazer
( , ) = ( , )y xf x y f y x se ( , ) = ( , )f x y f y x ou ( , ) = ( , )y xf x y f y x− se ( , ) = ( , )f x y f y x− .
Exemplo: Seja a função definida por 2:f →R R 3 3( , ) = cos( )f x y x y xy+ . Determine xf e yf .
Solução. Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x . Assim, basta determinar ( , )xf x y e fazer
( , ) = ( , )y xf x y f y x . Como 2 3( , ) = 3 sen( )xf x y x y y xy−
temos que 3 2( , ) = ( , ) = 3 sen( )y xf x y f y x x y x xy− .
INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS
Geometricamente, diremos que 0 0( , )xf x y é a inclinação da superfície na direção x em
0 0( , )x y e 0 0( , )yf x y a inclinação da superfície na direção y em 0 0( , ).x y
Ilustração Geométrica:
Outra interpretação para as derivadas xf e yf é dada por:
A derivada parcial 0 0( , )xf x y é a taxa de variação de z em relação a x ao longo da curva
1 0 0{( , , ( , )}C x y f x y= e 0 0( , )yf x y é a taxa de variação de z em relação a y ao longo da curva
2 0 0{( , , ( , )}C x y f x y= .
Exemplo: Seja 2 2( , ) 3 4f x y x y xy= + . Determine a inclinação da superfície na
direção x no ponto (4,2).
( , )z f x y=
Solução:
Observando a ilustração acima vemos que a inclinação da superfície
2 2( , ) 3 4f x y x y xy= + na direção x no ponto (4,2) é dado por . (4,2)xf
Vamos agora derivar a função ( )1 22 2 2 2( , ) 3 4 3 4f x y x y xy x y xy= + = + com relação a variável
x e considerando y constante. Observe:
2 2 1 2 21( , ) (3 4 ) .(6 4 )2xf x y x y xy xy y−= + + .
Portanto a inclinação da superfície 2 2( , ) 3 4f x y x y xy= + na direção x no ponto (4,2) é,
( )( )
( )2 2 1 2 21 1 1(4,2) (3.4 .2 4.4.2) . 6.4.2 4.2 . 96 8 .2 2 224192 32xf
−= + + = + =+
52
DERIVADAS PARCIAIS E CONTINUIDADE
Considere 2 2 , ( , ) (0,0( , )
0, ( , ) (0,0)
xy se x yx yf x y
se x y
⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩
). Vamos provar que as derivadas parciais
( , )xf x y e ( , )yf x y existe em todos os pontos do 2( ) .D f IR=
Solução:
(I) Suponha ( , ) (0,0).x y ≠
Temos que 2 2( , ) xyf x yx y
=+
.
Logo,
2 2 2
2 2 2 2 2
( ) (2 )( , )( ) ( )x
y x y xy x x y yf x y3
2x y x+ − − +
= =+ + y
e ( )2 2 3 2
2 2 2 2 2
( ) 2( , )
( ) ( )y
x x y xy y2
x xyf x yx y x+ − −
= =+ + y
.
(II) Suponha agora que ( , ) (0,0)x y =
Temos que:
0 0
(0 ,0) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0x h h
f h ffh h→ →
+ − −= = = e
0 0
(0,0 ) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0y h h
f h ffh h→ →
+ − −= = = .
Desta forma as derivadas parciais da função 2 2 , ( , ) (0,0( , )
0, ( , ) (0,0)
xy se x yx yf x y
se x y
⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩
), existem
um todo e são dados por: 2( )D f IR=
( ) (
2 3
2 2 2 , ( , ) (0,0)( )( , )0, , 0,0
x
x y y se x yx yf x y
se x y
⎧− +≠⎪ += ⎨
⎪ =⎩ ) e
( ) (
( ) (
3 2
2 2 2 , , 0,0( )( , )0, , 0,0
y
x xy se x yx yf x y
se x y
⎧ −≠⎪ += ⎨
⎪ =⎩
)
).
Iremos mostrar agora que a função 2 2 , ( , ) (0,0( , )
0, ( , ) (0,0)
xy se x yx yf x y
se x y
⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩
) não é contínua no
ponto (0,0).
De fato, temos que 2
2 2 20 0 0
1lim ( , ) lim lim( ) 2x x x
y x y x y x
xy xf x yx y x→ → →
= = =2
= =+
= e
2
2 2 20 0 0
1lim ( , ) lim lim( ) 2x x x
y x y x y x
xy xf x yx y x→ → →
=− =− =−
−= =
+ 2= − , ou seja,
00
lim ( , )xy
f x y→→
não existe e desta forma a função
2 2 , ( , ) (0,0( , )
0, ( , ) (0,0)
xy se x yx yf x y
se x y
⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩
) não é contínua em (0,0).
Observe que e (0,0) 0xf = (0,0) 0yf = , ou seja, o fato de que as derivadas parciais
existirem num ponto, não necessariamente a função é contínua nesse ponto. Vimos no cálculo de
funções de uma variável que se existir 0( )df xdx
então a função ( )f x é contínua no ponto 0x , o
que não acontece para funções de várias variáveis.
DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
Suponha que uma função ( , )f x y possui derivadas parciais ( , ) ( , )xf x y f x yx∂
=∂
e
( , ) ( , )yf x y f x yy∂
=∂
. Como as derivadas parciais ( , )f x yx∂∂
e ( , )f x yy∂∂
também são funções de
duas variáveis, essas funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso origina possível
derivadas parciais de segunda ordem de ( , )f x y .
Vejamos o diagrama abaixo que ilustra as derivadas de primeira e segunda ordem de uma
função ( , )f x y .
( )
2
2
2
2
2
2
,
xx
x
xy
yx
y
yy
f f fx x xf f
x f f fy x y x
f x yf f f
x y x yf fy f f f
y y y
⎧ ⎧ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = =⎪ ⎜ ⎟⎪∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎪⎪ = ⎨⎪∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ = =⎪ ⎜ ⎟⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩⎪= ⎨
⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ = =⎪ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎪ ⎝ ⎠⎪ = ⎨∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪ = =⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩⎩
As derivadas parciais de segunda ordem ( , )xyf x y e ( , )yxf x y são denominadas
derivadas parciais de segunda ordem mistas da função ( , )f x y .
Observação: Observe que as duas notações para as derivadas parciais de segunda ordem mistas
te convenção oposta quanto a ordem de diferenciação. Note que devemos fazer a leitura da
seguinte forma: ( )2
Derivando, primeiro emrelação a e, então, em relação a .
x y
xy
f f fy x y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠14444244443
enquanto ( )2
Derivando, primeiro emrelação a e, então, em relação a .
y x
yx
f f fx y x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠14444244443
.
EXEMPLO: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 2
( , ) . . yf x y y senx x e= + .
Solução:
Vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função. Logo, 2 2
( , ) .cos e ( , ) . .2y yx yf x y y x e f x y sen x x e y= + = + .
Desta forma teremos:
2
2
2 2 2 2
) ( , ) . ;
) ( , ) cos 2 . ;
) ( , ) cos 2 . ;
) ( , ) 2 . 2 . .(2 ) 2 . 4 .
xx
yxy
yyx
2y y yyy
I f x y y sen x
II f x y x y e
III f x y x y eyIV f x y x e xy e y x e xy e
= −
= +
= − +
= + = +
Note que neste caso temos as derivadas de segunda ordem mista iguais,
( , ) ( , )xy yxf x y f x y= . A seguir enunciaremos um Teorema que explica o motivo dessa igualdade.
TEOREMA: Seja f uma função de duas variáveis, contínua e que possui derivadas xf , yf e
xyf também contínuas numa região R aberta que contenha o ponto 0 0( , )x y . Então
0 0 0 0( , ) ( , )xy yxf x y f x y= .
Exercícios Resolvidos
1) Seja a função definida por 2:f →R R 22( , ) = 3 5 4f x y x xy y+ − . Determine ( , )xf x y e
( , )yf x y no ponto . = (1,3)P
Solução. Para obtermos ( , )xf x y , tratamos a variável momentaneamente como uma
constante e derivamos em relação à variável
y
x usando as técnicas de derivação para funções
reais de uma variável real. Assim,
( , ) = 6 5 .xf x y x y+
Em seguida avaliamos a derivada no ponto desejado, ou seja,
(1,3) = 6 1 5 3 = 21.xf ⋅ ⋅+
De modo análogo, obtemos ( , ) = 5 8yf x y x y− e (1,3) = 19yf − .
2) Seja a função definida por 2:f →R R 2 3( , ) = 3 5 sen( )f x y x xy xy− − .
a) Determine . (1,0)xf
b) Determine a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície 2 3= 3 5 sen( )z x xy xy− − com o plano no ponto . = 0y = (1,0,3)P
Solução. (a) Derivando a função com relação a variável x obtemos 3( , ) = 6 5 cos( ) (1,0) = 6 1 5 0 0cos(0) = 6.x xf x y x y y xy f ⋅ ⋅− − − −e assim
(b) Sabemos que a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície ( , )f x y
com o plano no ponto , nada mas é do que . = 0y = (1,0,3)P = (1,0) = 6xm f
3)Seja a função definida por 2:f →R R 3 3( , ) = cos( )f x y x y xy+ . Determine xxf , xyf , yxf e
yyf .
Solução. Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x . Assim, basta determinar ( , )xf x y e fazer
( , ) = ( , )y xf x y f y x . Como
2 3( , ) = 3 sen( )xf x y x y y xy−
temos que 3 2( , ) = ( , ) = 3 sen( )y xf x y f y x x y x xy− .
Assim, 2
3 22 = 6 cos( )xx
f f f xy y xyx x x∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
e 2
2 2= 9 sen( ) cos( )xyf f f x y xy xy xy
y x y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = = − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
De modo análogo, obtemos 2 2 3 2= 9 sen( ) cos( ) e = 6 cos( ).yx yyf x y xy xy xy f x y x xy− − −
Note que =xy yxf f , mas isto nem sempre é verdade.
4) Seja a função definida por 2:f →R R
2 2
2 2
( ) , se ( , ) (0,0)( , ) =
0, se ( , ) = (0,0).
xy x y x yf x y x y
x y
⎧ −≠⎪
+⎨⎪⎩
a) Determine xf e yf .
b) Calcule e . (0,0)xyf (0,0)yxf
Solução. (a) Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x− . Como a função é definida por duas sentenças
vamos dividir a prova em dois passos:
1.o Passo. Se ( , então , ) (0,0)x y ≠
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4( , ) = .( )x
x y x yf x y yx y x y
⎛ ⎞−+⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
2.o Passo. Se ( , , então devemos usar a definição da derivada parcial para calcular
.
) = (0,0)x y
(0,0)xf
0 0
( ,0) (0,0) 0(0,0) = = = 0.lim limxx x
f x ffx x→ →
−
Portanto,
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 , se ( , ) (0,0)( , ) = ( )
0, se ( , ) = (0,0)x
x y x yy xf x y x y x y
x y
⎧ ⎛ ⎞−+ ≠⎪ ⎜ ⎟+ +⎨ ⎝ ⎠
⎪⎩
y
e
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 , se ( , ) (0,0)( , ) = ( , ) = ( )
0, se ( , ) = (0,0).y x
y x x yx xf x y f y x x y x y
x y
⎧ ⎛ ⎞−− + ≠⎪ ⎜ ⎟− + +⎨ ⎝ ⎠⎪⎩
y
( ) Para calcalar e , devemos usar a definição da derivada parcial segunda. 2 (0,0)xyf (0,0)yxf
3
30 0
(0, ) (0,0)(0,0) = = = 1lim limx xxy
y y
f y f yfy y→ →
−− −
e 3
30 0
( ,0) (0,0)(0,0) = = = 1.lim limy y
yxx x
f x f xfx x→ →
−
Note que . (0,0) (0,0)xy yxf f≠
5) Seja a função definida por 2:f →R R
2 2
2 2
1( )sen , se ( , ) (0,0)( , ) =
0, se ( , ) = (0,0).
x y x yf x y x y
x y
⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟+ ≠⎪ ⎜ ⎟⎨ +⎝ ⎠⎪⎪⎩
a) Determine xf e yf .
b) Verifique se xf e yf são contínuas em . = (0,0)P
Solução. (a) Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x . Como a função é definida por duas sentenças
vamos dividir a prova em dois passos:
1.o Passo. Se ( , então por derivação direta, obtemos , ) (0,0)x y ≠
2 2 2 2 2 2
1 1( , )) = 2 sen cos .xxf x y x
x y x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2.o Passo. Se ( , , então devemos usar a definição da derivada parcial para calcular
.
) = (0,0)x y
(0,0)xf
2
0 0 0
( ,0) (0,0) 1 1(0,0) = = sen = sen = 0,lim lim limxx x x
f x f xf xx x x x→ → →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
pois 1senx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
é limitada. Portanto,
2 2 2 2 2 2
1 12 sen cos , se ( , ) (0,0)( , ) =
0, se ( , ) = (0,0)x
xx xf x y x y x y x y
x y
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ≠⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎩
y
e
2 2 2 2 2 2
1 12 sen cos , se ( , ) (0,0)( , ) = ( , ) =
0, se ( , ) = (0,0).y x
yy xf x y f y x x y x y x y
x y
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ≠⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎩
y
(b) Para saber se xf é contínua em devemos verificar cada uma das condições da
definição de continuidade de
= (0,0)P
xf em um ponto . Como o domínio de P xf é todo temos que
existe e . Ao longo da sequência
2R
(0,0)xf (0,0) = 0xf1=x
nπ e , com , obtemos = 0y n∈N
2 2 2 2 2 2( , ) (0,0)
2 2 212 2 2
0
1
0
1 12 sen cos =
11 1 12 sen .cos
1 1 10 0 0
12
lim
lim
lim
x y
xn
yn
xn
yn
xxx y x y x y
nn
n n n
n
π
π
ππ
π π π
→
=
=→+∞
=
=→+∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
=
=
}
( )0
1
0
11sen .cos cos( ) = ( 1) .lim1 1lim n
nxLimitado nyn
nn n
n nπ
ππ ππ
π π
→
→∞=
=→+∞
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
14243− −
Assim, ( , ) (0,0) ( , )lim x y xf x y→ não existe, pois depende do número ser par ou ímpar.
Portanto,
n
xf não é contínua no ponto . De modo análogo, prova-se que = (0,0)P yf não é
contínua no ponto . Note que = (0,0)P xf e yf são contínuas em . 2 {(0,0)}−R
EXERCÍCIOS DE COMPREENÇÃO
1) Considere uma função 2:f IR IR→ definida por: ( )( ) (
( ) ( )
2 2
2 , , 0,,
0, , 0,0
xy se x yx yf x y
se x y
⎧ =⎪ += ⎨⎪ =⎩
)0.
Mostre que ( ) ( ) ( ) ( ) .00,0,001,11,1
limlim00
=−
=−+
→→ hfhfe
hfhf
hh
2) Determine yfe
xf
∂∂
∂∂
.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 22
22222
145
32222
32
32234
,)3cos,)4,)
ln,),)cos,)
1,),),)
2,)1,)2675,)
yxyxyxfmyxyxflyseneyxfj
yxyxfieyxfhyxyxfg
xyyxyxff
yx
xyxfeyxyxfd
yxyxfcxyyxfbyyxyxyxfa
xy
yx
+−
=−==
+===
−+
=+
=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=−=+−−=
++
3) Determine : zyx feff ,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )yzzx
xzyxzyxffezyxfe
xyyzzyxfdzyxzyxfc
zyxzyxfbzxyzyxfa
zyx
−−
==
=++=
+−=−+=
++−
−
43
232
21
222
2222
,,),,)
ln.,,),,)
,,)21,,)
222
4) Seja 3 2 2( , , ) 2 3( ) .f x y z z x y z= − + Mostre que 2 2 2
2 2 2 0f f fx y z
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
5) Calcule as derivadas parciais indicadas.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ),4,1()2/,2,0(),0,1,0(),,1,0(;cos,,)
2,31,2,2,1,2,1;4)
1,11,3;,)
22
2
2
2
22
2
2
222
2
πππyzge
zxg
xg
ygzyxzyxgc
yxfef
yz
xzyxzb
yfefyexyxfa
xy
xxy
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂∂
∂∂
∂∂
+=
∂∂
=
6) Determine sabendo que yx fef ( ) ( ) (
( ) ( ).
0,0,0
0,0,, 22
4
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠++
=
yxse
yxseyxyx
yxf)
7) Considere uma função 2:f IR IR→ definida por: ( )( ) (
( ) ( )
2 2
2 , , 0,,
0, , 0,0
xy se x yx yf x y
se x y
⎧ =⎪ += ⎨⎪ =⎩
)0.
a) Mostre que ( )(1,1) 0, (0,0) 0 0,0 0x x yf f e f= = =
)
.
b) Mostre que a função não é contínua na origem 8) A inclinação da superfície na direção x no ponto (2,3) é______________ e a inclinação dessa superfície na direção y no ponto (2,3) é ____________________.
2z xy=
9) Seja Determine a inclinação da superfície na direção x no ponto (4,0).
( ) .5, yxeyxf y += − ( yxfz ,=
10) Mostre que a função 22
2
yxxyz+
= satisfaz a equação diferencial . zzyzx yx =+ ..
11) Considere a função definida por: IRIRf →2:
( )( ) ( ) (
( ) ( ).
0,0,,0
0,0,,, 22
22
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+−
=
yxse
yxseyxyxxy
yxf)
Mostre que . ( ) ( )0,00,0 yxxy ff ≠
12) Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace 02
2
2
2=
∂∂
+∂∂
yz
xz
:
xesenyezbxyyxza yx cos)2) 22 +=+−=
13) Mostre que a função satisfaz a equação do calor 2
22
xzc
tz
∂∂
=∂∂
(c>0, constante)
( ) ( )cxezbcxseneza tt cos)) −− ==
14) Em cada item mostre que ( ) ( )yxveyxu ,, satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
.xv
yue
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
senyevyeubxyvyxua xx ===−= ,cos)2,) 22
15)Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação 0w w wx y z
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂.
) cos( )
) ( );
) ln( ).
x y
x y z
x y z
a w e y z z x
b w sen e e e
c w e e e
−= + − + −
= + +
= + +
;
16) O operador de Laplace em IRΔ 2 é definido por xx yyΔ = ∂ + ∂ . Mostre que a função
( ), coxu x y e y= s satisfaz a equação de Laplace 0uΔ = .
17) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície e o plano nos pontos dados: a) Superfície z=3x-5y+7 e o plano y=2 no ponto (1,2,0).
b) Superfície 22 3231 yxz −−= e o plano x=3 no ponto (3,2,1).
c) Superfície xyyx eez −= e o plano y=2 no ponto (2,2,0).
d) Superfície e o plano x=1 no ponto (1,0,0). ysenez x 3.2−=
18) Um ponto move-se ao longo da intersecção do parabolóide elíptico e do
plano y=1. Qual é a taxa de variação de z em relação a x quando o ponto estiver em (2,1,7)?
22 3yxz +=
19) O volume V de um cone circular reto é dado por 222 424
dhdV −=π
, onde h é a
inclinada e d é o diâmetro da base. a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se d permanece constante. b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a d se h permanece constante. c) Suponha que d tenha um valor constante de 16cm, mas h varie. Determine a taxa de variação de V em relação a h quando h=10cm.