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DERIVADAS PARCIAIS Motivação A figura abaixo ilustra a definição e a interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável . () y fx = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) lim RT h f x h f x df m x f x x dx h + = = = DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO Definição: Se 0 0 ( , ) x y é um ponto do domínio da função de duas variável ( ) , z f xy = , então a derivada parcial de ( ) , f xy em relação a x no ponto 0 0 ( , ) x y é a derivada em x 0 da função que resulta quando y = y 0 for mantido fixado e a x for permitido variar. Essa derivada parcial é dada por: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ( , ) ( , ) lim . x h ) f x hy f x y f x y f x y x h + = = Ilustração da Definição

derivadas parciais

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derivação

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DERIVADAS PARCIAIS

Motivação

A figura abaixo ilustra a definição e a interpretação geométrica da derivada de uma função

de uma variável . ( )y f x=

0 0

0 0 0 0

( ) ( )( ) '( ) ( ) limRT h

f x h f xdfm x f x xdx h→

+ −= = =

DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO Definição: Se 0 0( , )x y é um ponto do domínio da função de duas variável ( ),z f x y= ,

então a derivada parcial de ( ),f x y em relação a x no ponto 0 0( , )x y é a derivada em x0 da

função que resulta quando y = y0 for mantido fixado e a x for permitido variar. Essa derivada parcial é dada por:

0 0 0 00 0 0 0 0

( , ) ( ,( , ) ( , ) lim .x h

)f x h y f x yf x y f x yx h→

+ −∂= =

Ilustração da Definição

Analogamente, a derivada parcial de ( ),f x y em relação a y no ponto 0 0( , )x y é a

derivada em y0 da função que resulta quando x=x0 for mantido fixado e a y for permitido variar. Essa derivada parcial é dada por:

0 0 0 00 0 0 0 0

( , ) ( , )( , ) ( , ) limy h

f x y h f x yf x y f x yy h→

+ −∂= =

∂ .

Ilustração da Definição:

OBSERVAÇÃO: Note que na definição da derivada parcial de ( ),f x y em relação a x no ponto

0 0( , )x y , 0 0 0

0 0 0

( , ) ( ,( , ) limh

0 )f x h y f x yf x yx h→

+ −∂=

∂ é calculada mantendo o

valor de y fixo e igual a y0 e desta forma estaremos derivando a função ( ) 0( , )g x f x y= no

ponto x=x0 , ou seja, 0 0

0 0 0 0

( ) (( , ) ( ) limh

)g x h g xf dgx y xx dx h→

+ −∂= =

∂ .

Analogamente, a derivada parcial de ( ),f x y em relação a y no ponto 0 0( , )x y ,

0 0 0 00 0 0

( , ) ( , )( , ) limh

f x y h f x yf x yy h→

+ −∂=

∂ é calculada mantendo o valor de x

fixo e igual a x0 e desta forma estaremos derivando a função ( ) 0( , )g y f x y= no ponto y=y0,

ou seja, 0 0

0 0 0 0

( ) (( , ) ( ) limh

g y h g yf dgx y yy dy h→

)+ −∂= =

∂ .

EXEMPLOS: 1) Se , calcule e 2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − + (2,1)xf ( )2,1fy∂∂

1º MODO: Usando a definição

Utilizaremos a definição para determinar , vejamos: (2,1)xf

(2 ,1) (2,1)

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

0 0

(2 2) (1 2) 4 (2 2) (1 2) 4(2 ,1) (2,1)(2,1) lim lim `

( 1) 4 (0) ( 1) 4 3 3lim lim 0

f h f

x h h

h h

hf h ffh h

h hh h

+

→ →

→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − − + − − − − − ++ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + − − − − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =

6444447444448 64444744448

=

Portanto, a derivada parcial de 2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − + , com relação a variável x ,

no ponto (2,1) é ( )(2,1) 2,1 0xf fx∂

= =∂

.

Analogamente, temos: (2,1 ) (2,1)

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

0 0 0

(2 2) (1 2) 4 (2 2) (1 2) 4(2,1 ) (2,1)(2,1) lim lim `

0 ( 1 ) 4 (0) ( 1) 4 ( 1 ) 4 3 [1 2lim lim lim

f h f

h h

h h h

hf f h fy h h

h h hh h

+

→ →

→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + − + − − − − − +∂ + − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − − − + − − + + − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =

6444447444448 64444744448

=

2

0

] 1

1¨ limh

hh

+=

−=

22 1h h+ − +0

lim(2 ) 2h

hh →

= − =

Portanto, a derivada parcial de 2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − + , com relação a variável y ,

no ponto (2,1) é ( )(2,1) 2,1 2yf fy∂

= =∂

2º MODO: Utilizando a idéia descrita na observação acima

Podemos determinar as derivadas parciais e (2,1)xf (2,1fy

)∂∂

, da seguinte forma:

I) Como queremos a derivada parcial , então vamos considerar a componente y fixa e igual

à 1 e construir a função que é dada por :

(2,1)xf

( ) ( ,1)g x f x=

2

2 2 2

34 4

( ) ( ,1) ( 2) (1 2) 4 4 1x x

g x f x x x x− + −

= = − − − − + = − +1424314243

− .

Derivando a função , teremos 2( ) 4 1g x x x= − + − ( ) 2 4dg x xdx

= − + e como queremos a

derivada parcial (2,1) (2)xdgfdx

= , basta fazer x=2 na derivada (2) 2.2 4 0dgdx

= − + = e assim

(2,1) 0.xf =

II) Analogamente, para determinar (2,1fy∂∂

) , deixaremos a componente x fixa e igual a 2 e

trabalharemos com a função .

Derivando a função com relação a variável y teremos

2

2 2 2

0 4 4

( ) (2, ) (2 2) ( 2) 4 4y y

g y f y y y y− + −

= = − − − − + = − +1424314243

2( ) 4g y y y= − + ( ) 2 4dg y ydy

= − + .

Para encontrar a derivada parcial ( )2,1 (1)f dgy dy∂

=∂

, basta fazer y=1 na derivada

(1) 2.1 4 2dgdy

= − + = e assim ( )2,1 2fy∂

=∂

.

3º MODO: Utilizando as regras de derivação já conhecidas no cálculo de funções de

uma variável.

Na resolução desenvolvida no 2º MODO derivamos a função , ou seja,

derivamos a função e depois

aplicamos o resultado da derivada de

( ) ( ,1)g x f x=

2

2 2 2

34 4

( ) ( ,1) ( 2) (1 2) 4 4 1x x

g x f x x x x− + −

= = − − − − + = − +1424314243

( ) ( ,1)g x f x= no ponto x=2 pra obtermos a derivada

parcial (2,1) 0.xf =

Vamos agora utilizar das regras de derivação que conhecemos para encontrar .

Iremos derivar a função , na qual pode ser descrita da forma

(2,1)xf2 2( , ) ( 2) ( 2) 4f x y x y= − − − − +

( ) 2 2, 4f x y x y y x= − − + + −4 4 , mantendo a variável y fixa e considerando x com única

variável, observe:

{( ) ( ) { ( ) ( ) ( )

{

2 2 2 2

tan

tan

( , ) 4 4 4 4 4 4

2 0 0 4 0 2 4.

xLembre se y é

Derivada com cons terelação a x

Derivada deumacons te é zero

d d d d df x y x y y x x y y xdx dx dx dx dx dx

x x

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − − + + − = − + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + + + + = − +

d=

Desta forma, e assim ( , ) 2 4xf x y x= − + ( )2,1 2.2 4 0xf = − + = , que é o resultado

obtido anteriormente.

2) Determine ( , )xf x y e ( , )yf x y , sabendo que 3 4 5 2 2( , ) 4 3 4 2f x y x y x y x y−= + − + + .

Vamos determinar a derivada parcial ( , )xf x y , derivando a função

, com relação a variável x e considerando y constante.

Observe:

3 4 5 2 2( , ) 4 3 4 2f x y x y x y x y−= + − + +

( ) { {

( ) ( ) { ( ){ { {

35

3 4 5 2 2

Constante

2 4 4 2

derivada derivada da derivada daderivada constante4 constante 2dede

, . 4 3 4 2

, , 3 . 4. 5 3.2 0

Variável

x

yxx

f x y x y x y x y

f x y f x y x y x y xx

= + − + +

∂= = + − + +

∂0 ,

ou seja, ( ) 2 4 4 2, 3 20 6xf x y x y x y x−= + − .

Analogamente, para determinar a derivada parcial ( , )yf x y , derivando a função

, com relação a variável y e considerando x constante.

Observe:

3 4 5 2 2( , ) 4 3 4 2f x y x y x y x y−= + − + +

( ) { {

( ) ( ) { { ( ){ { {

24 2

3 4 5 2 2

Constante

3 3 5 3

constante derivada da derivada daderivada derivadaconstante constante 2constante 3de de

, . 4 3 4 2

, , .(4 ) 4. .( 2 ) 0 4

Variável

y

xy y

f x y x y x y x y

f x y f x y x y x yy

= + − + +

∂= = + − − + +

∂ 142430

,

ou seja, ( ) 3 2 5 3, 4 8yf x y x y x y−= − 4+

R

.

Observação: Vale a pena observar que se uma função satisfaz as seguintes

propriedades:

2:f X ⊆ →R

( , ) = ( , )f x y f y x , para todo ( , )x y X∈ ou ( , ) = ( , )f x y f y x− , para todo

( , )x y X∈ . Então, basta calcular uma derivada parcial, por exemplo, ( , )xf x y e fazer

( , ) = ( , )y xf x y f y x se ( , ) = ( , )f x y f y x ou ( , ) = ( , )y xf x y f y x− se ( , ) = ( , )f x y f y x− .

Exemplo: Seja a função definida por 2:f →R R 3 3( , ) = cos( )f x y x y xy+ . Determine xf e yf .

Solução. Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x . Assim, basta determinar ( , )xf x y e fazer

( , ) = ( , )y xf x y f y x . Como 2 3( , ) = 3 sen( )xf x y x y y xy−

temos que 3 2( , ) = ( , ) = 3 sen( )y xf x y f y x x y x xy− .

INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS

Geometricamente, diremos que 0 0( , )xf x y é a inclinação da superfície na direção x em

0 0( , )x y e 0 0( , )yf x y a inclinação da superfície na direção y em 0 0( , ).x y

Ilustração Geométrica:

Outra interpretação para as derivadas xf e yf é dada por:

A derivada parcial 0 0( , )xf x y é a taxa de variação de z em relação a x ao longo da curva

1 0 0{( , , ( , )}C x y f x y= e 0 0( , )yf x y é a taxa de variação de z em relação a y ao longo da curva

2 0 0{( , , ( , )}C x y f x y= .

Exemplo: Seja 2 2( , ) 3 4f x y x y xy= + . Determine a inclinação da superfície na

direção x no ponto (4,2).

( , )z f x y=

Solução:

Observando a ilustração acima vemos que a inclinação da superfície

2 2( , ) 3 4f x y x y xy= + na direção x no ponto (4,2) é dado por . (4,2)xf

Vamos agora derivar a função ( )1 22 2 2 2( , ) 3 4 3 4f x y x y xy x y xy= + = + com relação a variável

x e considerando y constante. Observe:

2 2 1 2 21( , ) (3 4 ) .(6 4 )2xf x y x y xy xy y−= + + .

Portanto a inclinação da superfície 2 2( , ) 3 4f x y x y xy= + na direção x no ponto (4,2) é,

( )( )

( )2 2 1 2 21 1 1(4,2) (3.4 .2 4.4.2) . 6.4.2 4.2 . 96 8 .2 2 224192 32xf

−= + + = + =+

52

DERIVADAS PARCIAIS E CONTINUIDADE

Considere 2 2 , ( , ) (0,0( , )

0, ( , ) (0,0)

xy se x yx yf x y

se x y

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

). Vamos provar que as derivadas parciais

( , )xf x y e ( , )yf x y existe em todos os pontos do 2( ) .D f IR=

Solução:

(I) Suponha ( , ) (0,0).x y ≠

Temos que 2 2( , ) xyf x yx y

=+

.

Logo,

2 2 2

2 2 2 2 2

( ) (2 )( , )( ) ( )x

y x y xy x x y yf x y3

2x y x+ − − +

= =+ + y

e ( )2 2 3 2

2 2 2 2 2

( ) 2( , )

( ) ( )y

x x y xy y2

x xyf x yx y x+ − −

= =+ + y

.

(II) Suponha agora que ( , ) (0,0)x y =

Temos que:

0 0

(0 ,0) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0x h h

f h ffh h→ →

+ − −= = = e

0 0

(0,0 ) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0y h h

f h ffh h→ →

+ − −= = = .

Desta forma as derivadas parciais da função 2 2 , ( , ) (0,0( , )

0, ( , ) (0,0)

xy se x yx yf x y

se x y

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

), existem

um todo e são dados por: 2( )D f IR=

( ) (

2 3

2 2 2 , ( , ) (0,0)( )( , )0, , 0,0

x

x y y se x yx yf x y

se x y

⎧− +≠⎪ += ⎨

⎪ =⎩ ) e

( ) (

( ) (

3 2

2 2 2 , , 0,0( )( , )0, , 0,0

y

x xy se x yx yf x y

se x y

⎧ −≠⎪ += ⎨

⎪ =⎩

)

).

Iremos mostrar agora que a função 2 2 , ( , ) (0,0( , )

0, ( , ) (0,0)

xy se x yx yf x y

se x y

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

) não é contínua no

ponto (0,0).

De fato, temos que 2

2 2 20 0 0

1lim ( , ) lim lim( ) 2x x x

y x y x y x

xy xf x yx y x→ → →

= = =2

= =+

= e

2

2 2 20 0 0

1lim ( , ) lim lim( ) 2x x x

y x y x y x

xy xf x yx y x→ → →

=− =− =−

−= =

+ 2= − , ou seja,

00

lim ( , )xy

f x y→→

não existe e desta forma a função

2 2 , ( , ) (0,0( , )

0, ( , ) (0,0)

xy se x yx yf x y

se x y

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

) não é contínua em (0,0).

Observe que e (0,0) 0xf = (0,0) 0yf = , ou seja, o fato de que as derivadas parciais

existirem num ponto, não necessariamente a função é contínua nesse ponto. Vimos no cálculo de

funções de uma variável que se existir 0( )df xdx

então a função ( )f x é contínua no ponto 0x , o

que não acontece para funções de várias variáveis.

DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

Suponha que uma função ( , )f x y possui derivadas parciais ( , ) ( , )xf x y f x yx∂

=∂

e

( , ) ( , )yf x y f x yy∂

=∂

. Como as derivadas parciais ( , )f x yx∂∂

e ( , )f x yy∂∂

também são funções de

duas variáveis, essas funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso origina possível

derivadas parciais de segunda ordem de ( , )f x y .

Vejamos o diagrama abaixo que ilustra as derivadas de primeira e segunda ordem de uma

função ( , )f x y .

( )

2

2

2

2

2

2

,

xx

x

xy

yx

y

yy

f f fx x xf f

x f f fy x y x

f x yf f f

x y x yf fy f f f

y y y

⎧ ⎧ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = =⎪ ⎜ ⎟⎪∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎪⎪ = ⎨⎪∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ = =⎪ ⎜ ⎟⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩⎪= ⎨

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ = =⎪ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎪ ⎝ ⎠⎪ = ⎨∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪ = =⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩⎩

As derivadas parciais de segunda ordem ( , )xyf x y e ( , )yxf x y são denominadas

derivadas parciais de segunda ordem mistas da função ( , )f x y .

Observação: Observe que as duas notações para as derivadas parciais de segunda ordem mistas

te convenção oposta quanto a ordem de diferenciação. Note que devemos fazer a leitura da

seguinte forma: ( )2

Derivando, primeiro emrelação a e, então, em relação a .

x y

xy

f f fy x y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠14444244443

enquanto ( )2

Derivando, primeiro emrelação a e, então, em relação a .

y x

yx

f f fx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠14444244443

.

EXEMPLO: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 2

( , ) . . yf x y y senx x e= + .

Solução:

Vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função. Logo, 2 2

( , ) .cos e ( , ) . .2y yx yf x y y x e f x y sen x x e y= + = + .

Desta forma teremos:

2

2

2 2 2 2

) ( , ) . ;

) ( , ) cos 2 . ;

) ( , ) cos 2 . ;

) ( , ) 2 . 2 . .(2 ) 2 . 4 .

xx

yxy

yyx

2y y yyy

I f x y y sen x

II f x y x y e

III f x y x y eyIV f x y x e xy e y x e xy e

= −

= +

= − +

= + = +

Note que neste caso temos as derivadas de segunda ordem mista iguais,

( , ) ( , )xy yxf x y f x y= . A seguir enunciaremos um Teorema que explica o motivo dessa igualdade.

TEOREMA: Seja f uma função de duas variáveis, contínua e que possui derivadas xf , yf e

xyf também contínuas numa região R aberta que contenha o ponto 0 0( , )x y . Então

0 0 0 0( , ) ( , )xy yxf x y f x y= .

Exercícios Resolvidos

1) Seja a função definida por 2:f →R R 22( , ) = 3 5 4f x y x xy y+ − . Determine ( , )xf x y e

( , )yf x y no ponto . = (1,3)P

Solução. Para obtermos ( , )xf x y , tratamos a variável momentaneamente como uma

constante e derivamos em relação à variável

y

x usando as técnicas de derivação para funções

reais de uma variável real. Assim,

( , ) = 6 5 .xf x y x y+

Em seguida avaliamos a derivada no ponto desejado, ou seja,

(1,3) = 6 1 5 3 = 21.xf ⋅ ⋅+

De modo análogo, obtemos ( , ) = 5 8yf x y x y− e (1,3) = 19yf − .

2) Seja a função definida por 2:f →R R 2 3( , ) = 3 5 sen( )f x y x xy xy− − .

a) Determine . (1,0)xf

b) Determine a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície 2 3= 3 5 sen( )z x xy xy− − com o plano no ponto . = 0y = (1,0,3)P

Solução. (a) Derivando a função com relação a variável x obtemos 3( , ) = 6 5 cos( ) (1,0) = 6 1 5 0 0cos(0) = 6.x xf x y x y y xy f ⋅ ⋅− − − −e assim

(b) Sabemos que a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície ( , )f x y

com o plano no ponto , nada mas é do que . = 0y = (1,0,3)P = (1,0) = 6xm f

3)Seja a função definida por 2:f →R R 3 3( , ) = cos( )f x y x y xy+ . Determine xxf , xyf , yxf e

yyf .

Solução. Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x . Assim, basta determinar ( , )xf x y e fazer

( , ) = ( , )y xf x y f y x . Como

2 3( , ) = 3 sen( )xf x y x y y xy−

temos que 3 2( , ) = ( , ) = 3 sen( )y xf x y f y x x y x xy− .

Assim, 2

3 22 = 6 cos( )xx

f f f xy y xyx x x∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

e 2

2 2= 9 sen( ) cos( )xyf f f x y xy xy xy

y x y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = = − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

De modo análogo, obtemos 2 2 3 2= 9 sen( ) cos( ) e = 6 cos( ).yx yyf x y xy xy xy f x y x xy− − −

Note que =xy yxf f , mas isto nem sempre é verdade.

4) Seja a função definida por 2:f →R R

2 2

2 2

( ) , se ( , ) (0,0)( , ) =

0, se ( , ) = (0,0).

xy x y x yf x y x y

x y

⎧ −≠⎪

+⎨⎪⎩

a) Determine xf e yf .

b) Calcule e . (0,0)xyf (0,0)yxf

Solução. (a) Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x− . Como a função é definida por duas sentenças

vamos dividir a prova em dois passos:

1.o Passo. Se ( , então , ) (0,0)x y ≠

2 2 2 2

2 2 2 2 2

4( , ) = .( )x

x y x yf x y yx y x y

⎛ ⎞−+⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2.o Passo. Se ( , , então devemos usar a definição da derivada parcial para calcular

.

) = (0,0)x y

(0,0)xf

0 0

( ,0) (0,0) 0(0,0) = = = 0.lim limxx x

f x ffx x→ →

Portanto,

2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 , se ( , ) (0,0)( , ) = ( )

0, se ( , ) = (0,0)x

x y x yy xf x y x y x y

x y

⎧ ⎛ ⎞−+ ≠⎪ ⎜ ⎟+ +⎨ ⎝ ⎠

⎪⎩

y

e

2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 , se ( , ) (0,0)( , ) = ( , ) = ( )

0, se ( , ) = (0,0).y x

y x x yx xf x y f y x x y x y

x y

⎧ ⎛ ⎞−− + ≠⎪ ⎜ ⎟− + +⎨ ⎝ ⎠⎪⎩

y

( ) Para calcalar e , devemos usar a definição da derivada parcial segunda. 2 (0,0)xyf (0,0)yxf

3

30 0

(0, ) (0,0)(0,0) = = = 1lim limx xxy

y y

f y f yfy y→ →

−− −

e 3

30 0

( ,0) (0,0)(0,0) = = = 1.lim limy y

yxx x

f x f xfx x→ →

Note que . (0,0) (0,0)xy yxf f≠

5) Seja a função definida por 2:f →R R

2 2

2 2

1( )sen , se ( , ) (0,0)( , ) =

0, se ( , ) = (0,0).

x y x yf x y x y

x y

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟+ ≠⎪ ⎜ ⎟⎨ +⎝ ⎠⎪⎪⎩

a) Determine xf e yf .

b) Verifique se xf e yf são contínuas em . = (0,0)P

Solução. (a) Observe que ( , ) = ( , )f x y f y x . Como a função é definida por duas sentenças

vamos dividir a prova em dois passos:

1.o Passo. Se ( , então por derivação direta, obtemos , ) (0,0)x y ≠

2 2 2 2 2 2

1 1( , )) = 2 sen cos .xxf x y x

x y x y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.o Passo. Se ( , , então devemos usar a definição da derivada parcial para calcular

.

) = (0,0)x y

(0,0)xf

2

0 0 0

( ,0) (0,0) 1 1(0,0) = = sen = sen = 0,lim lim limxx x x

f x f xf xx x x x→ → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

pois 1senx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

é limitada. Portanto,

2 2 2 2 2 2

1 12 sen cos , se ( , ) (0,0)( , ) =

0, se ( , ) = (0,0)x

xx xf x y x y x y x y

x y

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ≠⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎩

y

e

2 2 2 2 2 2

1 12 sen cos , se ( , ) (0,0)( , ) = ( , ) =

0, se ( , ) = (0,0).y x

yy xf x y f y x x y x y x y

x y

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ≠⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎩

y

(b) Para saber se xf é contínua em devemos verificar cada uma das condições da

definição de continuidade de

= (0,0)P

xf em um ponto . Como o domínio de P xf é todo temos que

existe e . Ao longo da sequência

2R

(0,0)xf (0,0) = 0xf1=x

nπ e , com , obtemos = 0y n∈N

2 2 2 2 2 2( , ) (0,0)

2 2 212 2 2

0

1

0

1 12 sen cos =

11 1 12 sen .cos

1 1 10 0 0

12

lim

lim

lim

x y

xn

yn

xn

yn

xxx y x y x y

nn

n n n

n

π

π

ππ

π π π

=

=→+∞

=

=→+∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

=

}

( )0

1

0

11sen .cos cos( ) = ( 1) .lim1 1lim n

nxLimitado nyn

nn n

n nπ

ππ ππ

π π

→∞=

=→+∞

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

14243− −

Assim, ( , ) (0,0) ( , )lim x y xf x y→ não existe, pois depende do número ser par ou ímpar.

Portanto,

n

xf não é contínua no ponto . De modo análogo, prova-se que = (0,0)P yf não é

contínua no ponto . Note que = (0,0)P xf e yf são contínuas em . 2 {(0,0)}−R

EXERCÍCIOS DE COMPREENÇÃO

1) Considere uma função 2:f IR IR→ definida por: ( )( ) (

( ) ( )

2 2

2 , , 0,,

0, , 0,0

xy se x yx yf x y

se x y

⎧ =⎪ += ⎨⎪ =⎩

)0.

Mostre que ( ) ( ) ( ) ( ) .00,0,001,11,1

limlim00

=−

=−+

→→ hfhfe

hfhf

hh

2) Determine yfe

xf

∂∂

∂∂

.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 22

22222

145

32222

32

32234

,)3cos,)4,)

ln,),)cos,)

1,),),)

2,)1,)2675,)

yxyxyxfmyxyxflyseneyxfj

yxyxfieyxfhyxyxfg

xyyxyxff

yx

xyxfeyxyxfd

yxyxfcxyyxfbyyxyxyxfa

xy

yx

+−

=−==

+===

−+

=+

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−=+−−=

++

3) Determine : zyx feff ,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )yzzx

xzyxzyxffezyxfe

xyyzzyxfdzyxzyxfc

zyxzyxfbzxyzyxfa

zyx

−−

==

=++=

+−=−+=

++−

43

232

21

222

2222

,,),,)

ln.,,),,)

,,)21,,)

222

4) Seja 3 2 2( , , ) 2 3( ) .f x y z z x y z= − + Mostre que 2 2 2

2 2 2 0f f fx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

5) Calcule as derivadas parciais indicadas.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ),4,1()2/,2,0(),0,1,0(),,1,0(;cos,,)

2,31,2,2,1,2,1;4)

1,11,3;,)

22

2

2

2

22

2

2

222

2

πππyzge

zxg

xg

ygzyxzyxgc

yxfef

yz

xzyxzb

yfefyexyxfa

xy

xxy

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂

∂∂

∂∂

+=

∂∂

=

6) Determine sabendo que yx fef ( ) ( ) (

( ) ( ).

0,0,0

0,0,, 22

4

⎪⎩

⎪⎨

=

≠++

=

yxse

yxseyxyx

yxf)

7) Considere uma função 2:f IR IR→ definida por: ( )( ) (

( ) ( )

2 2

2 , , 0,,

0, , 0,0

xy se x yx yf x y

se x y

⎧ =⎪ += ⎨⎪ =⎩

)0.

a) Mostre que ( )(1,1) 0, (0,0) 0 0,0 0x x yf f e f= = =

)

.

b) Mostre que a função não é contínua na origem 8) A inclinação da superfície na direção x no ponto (2,3) é______________ e a inclinação dessa superfície na direção y no ponto (2,3) é ____________________.

2z xy=

9) Seja Determine a inclinação da superfície na direção x no ponto (4,0).

( ) .5, yxeyxf y += − ( yxfz ,=

10) Mostre que a função 22

2

yxxyz+

= satisfaz a equação diferencial . zzyzx yx =+ ..

11) Considere a função definida por: IRIRf →2:

( )( ) ( ) (

( ) ( ).

0,0,,0

0,0,,, 22

22

⎪⎩

⎪⎨

=

≠+−

=

yxse

yxseyxyxxy

yxf)

Mostre que . ( ) ( )0,00,0 yxxy ff ≠

12) Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace 02

2

2

2=

∂∂

+∂∂

yz

xz

:

xesenyezbxyyxza yx cos)2) 22 +=+−=

13) Mostre que a função satisfaz a equação do calor 2

22

xzc

tz

∂∂

=∂∂

(c>0, constante)

( ) ( )cxezbcxseneza tt cos)) −− ==

14) Em cada item mostre que ( ) ( )yxveyxu ,, satisfazem as equações de Cauchy-Riemann

.xv

yue

yv

xu

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

senyevyeubxyvyxua xx ===−= ,cos)2,) 22

15)Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação 0w w wx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂.

) cos( )

) ( );

) ln( ).

x y

x y z

x y z

a w e y z z x

b w sen e e e

c w e e e

−= + − + −

= + +

= + +

;

16) O operador de Laplace em IRΔ 2 é definido por xx yyΔ = ∂ + ∂ . Mostre que a função

( ), coxu x y e y= s satisfaz a equação de Laplace 0uΔ = .

17) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície e o plano nos pontos dados: a) Superfície z=3x-5y+7 e o plano y=2 no ponto (1,2,0).

b) Superfície 22 3231 yxz −−= e o plano x=3 no ponto (3,2,1).

c) Superfície xyyx eez −= e o plano y=2 no ponto (2,2,0).

d) Superfície e o plano x=1 no ponto (1,0,0). ysenez x 3.2−=

18) Um ponto move-se ao longo da intersecção do parabolóide elíptico e do

plano y=1. Qual é a taxa de variação de z em relação a x quando o ponto estiver em (2,1,7)?

22 3yxz +=

19) O volume V de um cone circular reto é dado por 222 424

dhdV −=π

, onde h é a

inclinada e d é o diâmetro da base. a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se d permanece constante. b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a d se h permanece constante. c) Suponha que d tenha um valor constante de 16cm, mas h varie. Determine a taxa de variação de V em relação a h quando h=10cm.