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Derivadas Parciais & Aplicações Derivadas Parciais – p.

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Derivadas Parciais & Aplicações

���� ��� � � � �� � � � ��� � �� ��

� � �� � �� � � �

Derivadas Parciais – p. 1

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Derivadas e Integrais deQuantidades vetoriais

Todas as regras aprendidas na derivação eintegração de quantidades escalares são válidas naderivação e integração de quantidades vetoriais.

Uma derivada ou integral de uma quantidadevetorial é definida pela aplicação desse entematemático nas componentes do vetor a seroperado.

Derivadas Parciais – p. 2

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Diferenciação em Sinal de Integral

� � � �

��� ��

��� ��

�� �� � ��

� � �

. Então:

�� �

������

�� �

� ��� �� � �� � �

� � � � � �� � �� � �

� �

Essa é a Regra de Leibnitz. No caso de � � e � �

serem constantes, os dois últimos termos são nulos.

Derivadas Parciais – p. 3

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Pontos de Máximo e Mínimo de uma

Condição necessária

��

� �

�� �

� �

Se

� �� � ��

é um ponto que satisfaz essa cond. , entãoele é chamado de ponto crítico.

Derivadas Parciais – p. 4

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Pontos de Máx. e Mín. de uma

� � �� �

� �� �

� �� � �

� � �� �

� � �� � �

��

��

� ��� ��� � �

1.

� �� � ��

é um ponto de máximo relativo se � �

e

��� �

� �� �� � � �

ou

��� �

� �� �� � � �

.

2.

� �� � ��

é um ponto de mínimo relativo se � �

e

��� �

� �� �� � � � �

ou��

� �� �� �� � � � �

.

3.

� �� � ��

não é nem ponto de máximo nem pontode mínimo relativo se �

. Neste caso,

� �� � ��

é chamado saddle point ou "ponto de cela".

4. Nenhuma informação pode ser obtida se � �

.Derivadas Parciais – p. 5

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Exercicios

Derivadas Parciais – p. 6

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Encontre:

1.

� � ��� �

se

� ��� � �

�� �

� � ��� � �

� � .

2. os pontos de máximo e mínimo relativos de

� � ��� �� � � � � � �� �� � � � �� � � �� �

, e os valores de

� � ��� ��

nestes pontos.

Derivadas Parciais – p. 7

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Aplicações em Geometria

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Derivadas Direcionais

� �� �� ��

def. num ponto

� �� �� ��

de uma dadacurva .

�� um comprimento de arco infinitesimal da curva

a derivada direcional de no ponto

� �� �� ��

aolongo da curva é def.:

��

��

� �

��

�� �

� ��

��

��

��

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Derivadas Direcionais, formavetorial

��

��

�� �

��

� �

��

� ��

��

��

��

� �� �

��

� �

a derivada direcional é dada pelo componente dona direção da tangente de .

Derivadas Parciais – p. 10

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Derivadas Direcionais

o vetor é um vetor unitário uma vez que este éa derivada do vetor posição � em relação aocomprimento de arco da curva.

caso se disponha de um vetor tangentenão-unitário, deve-se dividí-lo pelo seu módulo afim de torná-lo unitário.

O máximo valor da derivada direcional é

� �

, eocorre qdo aponta na mesma direção esentido que o vetor tangente .

� �

são chamadas superfícies equipotenciais ouisosuperfícies.

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Exemplos

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Exemplos

Derivadas Parciais – p. 13

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Plano Tangente a uma Superfície

Seja a superfície

definida pela função

� � ��� � � � � � �.

Um vetor normal a

em um ponto , é o

���

� � ��

Derivadas Parciais – p. 14

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Plano Tangente a uma Superfície

�� é também normal a um plano que étangente à superfície

, no ponto .

� � é o vetor posição, em relação à origem, doponto

� �� � �� � ��

,

� é o vetor posição de um ponto qualquer sobre oplano,

� �� �� ��

,

Eq. Plano Tangente a uma Superfície

�� � � � � � � � �� � � � � �

�� � �

pois � � � � é perpendicular a �.

Derivadas Parciais – p. 15

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Plano tangente, em coordenadasretangulares

��

��

��

� �� � ��

�� �

��

��

� �� � � � ��

��

��

��

�� �

�� � � �

� � �

Derivadas Parciais – p. 16

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Reta Normal a uma Superfície

�� �� �� ��

localizado na mesma reta da normal àsuperfície

no ponto

� �� � �� � ��

, �, � � � � écolinear a �

Derivadas Parciais – p. 17

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Eq. da Reta Normal a umaSuperfície

�� � � � � � � � �� � � � � �

�� � �

Derivadas Parciais – p. 18

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Reta Normal a uma Superfície,coordenadas retangulares

� � ��

��

��

��

� �

�� � � � ��

�� �

��

��

� �

��

� � � ��

��

��

��

�� �

Igualando cada um destes termos a um parâmetro(como

ou � ) e isolando , � e �, são obtidas asequações paramétricas da reta normal.

Derivadas Parciais – p. 19

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Reta Tangente a uma Curva

Uma curva def. pelas eq. paramétricas

� � � �

, � � �� � �

e � � � � � �

cada ponto da curva pode ser definido por um vetor

� � � � �

�� � � � � � � � �

,

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Reta Tangente a uma Curva

Um vetor tangente a num ponto , � � � � , édefinido

� ��

� ��

��

�� �

� � e � são vetores posição de� �� � �� � � e

� �� �� ��

,em relação à origem,

Derivadas Parciais – p. 21

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Reta Tangente a uma Curva

um ponto sobre a linha tangente em , então ovetor

�� � � � � é colinear ao vetor �, e assim:

�� � � � � � � � �� � � � � �

�� �

��

��

� �

� �

A reta tangente pode ser obtida pelas seguintesrelações:

� �

� � � �� �

� � � �

� � � � �� �

� � � �

� � � � ��

As equações paramétricas da reta podem ser obtidasigualando cada uma destas razões a � ou

.Derivadas Parciais – p. 22

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Plano Normal a uma Curva

Dd um ponto

� �� �� ��

sobre um plano que é normalà curva , no ponto

�� �� � �� � ��

, então o vetor � � � �

é perpendicular ao vetor tangente �.

Derivadas Parciais – p. 23

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Eq. do plano normal emcoordenadas retangulares

�� � � � � � � � �� � � � � �

�� �

��

��

� �

� �

� � � �� � � ��

�� � � �� � � � � �� � � � � �� �

� � � �� � �

Derivadas Parciais – p. 24

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Exercicios

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Encontre:

1. a derivada direcional de

� � � � � � � � � � � � ao longo da

curva � � � � � ��� � � �

, � � � �� � , � � �� � � �

, no ponto P

onde � � � .

2. as eq. para o plano tangente e para a linha normal à

superfície �� � � � � � � � � � � � � � � � � �, no ponto

� � � ��� � � �

.

3. as eq. da linha tangente e do plano normal à curva

� � � � � �

, � � � � � �, � � � � � � �

, no ponto onde

� � � �

.

Derivadas Parciais – p. 26