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Captulo 5
DERIVADAS PARCIAIS
5.1 Introduo
Definio 5.1. Sejam A R3 um conjunto aberto e f : A R uma funo.
1. A derivada parcial de f em relao varivel x, no ponto (x, y, z) A denotada por
f
x(x, y, z) e definida por:
f
x(x, y, z) = lim
t0f(x+ t, y, z) f(x, y, z)
t
se o limite existe.
2. A derivada parcial de f em relao varivel y, no ponto (x, y, z) A denotada por
f
y(x, y, z) e definida por:
f
y(x, y, z) = lim
t0f(x, y + t, z) f(x, y, z)
t
se o limite existe.
3. A derivada parcial de f em relao varivel z, no ponto (x, y, z) A denotada por
f
z(x, y, z) e definida por:
f
z(x, y, z) = lim
t0f(x, y, z + t) f(x, y, z)
t
se o limite existe.
De forma anloga so definidas as derivadas parciais para funes de duas vari-veis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x A necessrioque x + t ei A, onde i = 1, 2, 3; o que verdadeiro se |t| < ( > 0 pequeno).Veja a bibliografia.
89
90 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS
Exemplo 5.1.
[1] Se z = f(x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 2:
f
x(x, y) = lim
t0f(x+ t, y) f(x, y)
t= lim
t0(x+ t) y x y
t= lim
t0t y
t= y,
f
y(x, y) = lim
t0f(x, t+ y) f(x, y)
t= lim
t0x (t+ y) x y
t= lim
t0t x
t= x.
[2] Se w = f(x, y, z) = x2 y z2, calcule suas derivadas parciais. Estamos no cason = 3:
f
x(x, y, z) = lim
t0f(x+ t, y, z) f(x, y, z)
t= lim
t0(x+ t)2 y z2 x2 y z2
t
= limt0
2x y z2 t+ t2yz2
t= 2x y z2,
f
y(x, y, z) = lim
t0f(x, t+ y, z) f(x, y, z)
t= lim
t0x2 (t+ y) z2 x2 y z2
t
= limt0
t x2 z2
t= x2 z2,
f
z(x, y, z) = lim
t0f(x, y, t+ z) f(x, y, z)
t= lim
t0x2 y (t+ z)2 x2 y z2
t
= limt0
t2 x2 y + 2 t x2 y z
t= 2x2 y z.
Observao 5.1.
Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f(x, c); logo:
g(x) = limt0
g(x+ t) g(x)t
= limt0
f(x+ t, c) f(x, c)t
=f
x(x, c);
se h(y) = f(c, y), ento:
h(y) =f
y(c, y).
Analogamente para mais variveis. Consequentemente, para derivar parcialmenteuma funo em relao a x, as demais variveis so consideradas como constantese a derivao feita como em R.Em relao s outras variveis o procedimento anlogo. Assim, todas as regrasde derivao estudadas para funes em R podem ser aplicadas.
5.1. INTRODUO 91
Exemplo 5.2.
[1] Se z = f(x, y) =
x2 + y2, calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primei-ramente, a derivada parcial de f em relao a x. Pela observao anterior conside-ramos z =
x2 + c, onde c = y2; derivando como em R:
f
x(x, y) =
xx2 + c
=x
x2 + y2;
analogamente para y: fazemos c = x2:
f
y(x, y) =
y
c+ y2=
y
x2 + y2.
[2] Se z = f(x, y) = (x2 + y2) cos(x y), calcule suas derivadas parciais no ponto(1, ). Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relao a x. Pelaobservao anterior consideramos z = (x2 + c2) cos(c x), onde y = c; derivandocomo em R:
f
x(x, y) =
(
(x2 + c2) cos(c x)) = 2x cos(c x) c (x2 + c2) sen(c x)
= 2x cos(x y) y (x2 + y2) sen(x y);
analogamente para y: fazemos z = (c2 + y2) cos(c y):
f
y(x, y) =
(
(c2 + y2) cos(c y))
= 2 y cos(c y) c (c2 + y2) sen(c y)
= 2 y cos(x y) x (x2 + y2) sen(x y));fx(1, ) = 2,
fy (1, ) = 2.
[3] Sew = f(x, y, z) = ln(x2 +y2+z2), calcule suas derivadas parciais. Calculemos,primeiramente, a derivada parcial de f em relao a x. Seja w = ln(x2 + c), ondec = y2 + z2; derivando como em R, temos:
f
x(x, y, z) =
2x
x2 + c=
2x
x2 + y2 + z2;
analogamente para y: fazemos c = x2 + z2 e para z: c = x2 + y2:
f
y(x, y, z) =
2 y
y2 + c=
2 y
x2 + y2 + z2e
f
z(x, y, z) =
2 z
c+ z2=
2 z
x2 + y2 + z2.
[4] Se w = f(x, y, z) = sen(x y
z
)
, calcule suas derivadas parciais. Calculemos,
primeiramente, a derivada parcial de f em relao a x; seja w = sen(c x), ondec =
y
z; derivando:
f
x(x, y, z) = c cos(c x) =
y
zcos
(x y
z
)
;
analogamente para y; fazemos c =x
ze para z; fazemos c = x y:
f
y(x, y, z) = c cos(c y) =
x
zcos
(x y
z
)
e
f
z(x, y, z) = c z2cos( c
z) = x y
z2cos
(x y
z
)
.
92 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS
De forma anloga ao Clculo de uma varivel, as derivadas parciais de uma funoso funes e, portanto, podemos calcula-ls em pontos de seus domnios.
[5] Seja f(x, y) = ln (x2 + y2 + 1); ento:
f
x(x, y) =
2x
x2 + y2 + 1e
f
y(x, y) =
2 y
x2 + y2 + 1.
Temos duas novas funes: g(x, y) =2x
x2 + y2 + 1e h(x, y) =
2 y
x2 + y2 + 1Logo,:
g(1, 1) = h(1, 1) =2
3, g(3,2) = 3
7e h(1,2) = 2
7.
-2
0
2
-2
02
0
1
2
3
Figura 5.1: Grfico de f .
Figura 5.2: Grficos de g e h, respectivamente.
A no existncia das derivadas parciais de uma funo contnua de duas variveisnum ponto indica que o grfico da funo apresenta "arestas"nesse ponto.
De fato, seja z = f(x, y) =
x2 + y2; ento, as derivadas parciais existem, excetona origem.
5.2. GENERALIZAES 93
Figura 5.3: Grfico de f(x, y) =
x2 + y2.
5.2 Generalizaes
Definio 5.2. Seja A Rn um conjunto aberto, x = (x1, x2, ..., xn) A e f : A Ruma funo. A derivada parcial de f em relao j-sima varivel no ponto x A denotada por fxj (x) e definida por:
f
xj(x) = lim
t0f(x1, ..., xj + t, .., xn) f(x1, ...., xn)
t,
se o limite existe.
Fazendo j = 1, ..., n, temos as derivadas parciais de f em relao primeira, segunda, terceira, ......., n-sima variveis, respectivamente. Denotando porej = (0, ...., 1, ....0) o vetor que tem todas as componentes zero exceto a j-sima,que igual a 1, temos:
f
xj(x) = lim
t0f(x + tej) f(x)
t.
5.3 Interpretao Geomtrica das Derivadas Parciais
O grfico de uma funo de duas variveis z = f(x, y) , em geral, uma superfcieem R3. A interseo desta superfcie com um plano paralelo ao plano xz, que passapelo ponto (0, y0, 0) uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz s condies:
{
z = f(x, y)
y = y0.
Como a curva plana, podemos consider-la como o grfico de uma funo deuma varivel, a saber: g(x) = f(x, y0). Logo, o coeficiente angular da reta tangente curva no ponto x0, relativa ao plano, :
g(x0) =f
x(x0, y0)
Analogamente, a curva plana definida pela interseo do grfico de f com o planoque passa por (x0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser definida por h(y) = f(x0, y).
94 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS
Logo, o coeficiente angular da reta tangente curva no ponto y0, relativa ao plano,:
h(y0) =f
y(x0, y0)
Desenhos esquerda e direita, respectivamente:
Figura 5.4:
Figura 5.5:
Exemplo 5.3.
[1] Seja z = f(x, y) = x2 + y2. Determine a equao da reta tangente interseodo grfico de f com o plano de equao y = 2, no ponto (2, 2, 8).
Pela observao anterior: z = x2 + 4; logo, z = g(x) = x2 + 4 e a equao da retatangente : z g(x0) = g(x0)(x x0), onde x0 = 2, ou seja: z 4x = 0.
-2
0
2
-2
0
2
0
2
4
6
-2
0
2
4
Figura 5.6: Exemplo [1].
5.3. INTERPRETAOGEOMTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 95
[2] Seja z = f(x, y) = y2. Determine a equao da reta tangente interseo dogrfico de f com o plano de equao x = x0, no ponto (x0, 1, 1).
Pela observao anterior: z = y2; logo z = h(y) = y2 e a equao da reta tangente: z h(y0) = h(y0) (y y0), onde y0 = 1, ou seja: z 2y + 1 = 0.
1
Figura 5.7: Exemplo [2].
Dos pargrafos anteriores temos:
Proposio 5.1. Seja f : A R2 R uma funo tal que as derivadas parciais existamno conjunto aberto A, ento:
f
x(a, b) = g(a) se g(x) = f(x, b)
f
y(a, b) = h(b) se h(y) = f(a, y)
A prova segue das definies e observaes anteriores. Esta proposio se estendenaturalmente para n 2.
Exemplo 5.4.
[1] Se f(x, y) = 4
x4 + y4, calculef
x(0, 0) e
f
y(0, 0).
Seja g(x) = f(x, 0) = x e h(y) = f(0, y) = y; logo g(x) = 1 e h(y) = 1; ento:
f
x(0, 0) =
f
y(0, 0) = 1.
[2] Se f(x, y) = x2
(x2 + y2 ln(y2 + 1))5 etg(x2 y+y3 x2), calcule
f
x(1, 0).
Seja g(x) = f(x, 0) = x3 e g(x) = 3x4; logo:f
x(1, 0) = g(1) = 3.
[3] Se f(x, y, z) =cos(x+ y + z)
ln(x2 + y2 + z2), calcule
f
x(, 0, 0).
Seja g(x) = f(x, 0, 0) =cos(x)
2 ln(x)e g(x) = x ln(x) sen(x) + cos(x)
2 ln2(x); logo:
f
x(, 0, 0) = g() =
1
2 ln2().
96 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS
5.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variao
As derivadas parciais tambm podem ser interpretadas como taxa de variao ourazo instantnea.
De fato, sejamA R2 aberto e f : A R uma funo tal que as derivadas parciaisexistem no ponto (x0, y0). A derivada parcial
f
x(x0, y0) a taxa de variao de
f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direo e1 = (1, 0), isto ,c(t) = (x0, y0) + t (1, 0) = (x0 + t, y0), (|t| pequeno).De forma anloga interpretamos a outra derivada parcial:
f
y(x0, y0)
