DERIVADAS PARCIAIS - .Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂

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Text of DERIVADAS PARCIAIS - .Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂

  • Captulo 5

    DERIVADAS PARCIAIS

    5.1 Introduo

    Definio 5.1. Sejam A R3 um conjunto aberto e f : A R uma funo.

    1. A derivada parcial de f em relao varivel x, no ponto (x, y, z) A denotada por

    f

    x(x, y, z) e definida por:

    f

    x(x, y, z) = lim

    t0f(x+ t, y, z) f(x, y, z)

    t

    se o limite existe.

    2. A derivada parcial de f em relao varivel y, no ponto (x, y, z) A denotada por

    f

    y(x, y, z) e definida por:

    f

    y(x, y, z) = lim

    t0f(x, y + t, z) f(x, y, z)

    t

    se o limite existe.

    3. A derivada parcial de f em relao varivel z, no ponto (x, y, z) A denotada por

    f

    z(x, y, z) e definida por:

    f

    z(x, y, z) = lim

    t0f(x, y, z + t) f(x, y, z)

    t

    se o limite existe.

    De forma anloga so definidas as derivadas parciais para funes de duas vari-veis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x A necessrioque x + t ei A, onde i = 1, 2, 3; o que verdadeiro se |t| < ( > 0 pequeno).Veja a bibliografia.

    89

  • 90 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

    Exemplo 5.1.

    [1] Se z = f(x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 2:

    f

    x(x, y) = lim

    t0f(x+ t, y) f(x, y)

    t= lim

    t0(x+ t) y x y

    t= lim

    t0t y

    t= y,

    f

    y(x, y) = lim

    t0f(x, t+ y) f(x, y)

    t= lim

    t0x (t+ y) x y

    t= lim

    t0t x

    t= x.

    [2] Se w = f(x, y, z) = x2 y z2, calcule suas derivadas parciais. Estamos no cason = 3:

    f

    x(x, y, z) = lim

    t0f(x+ t, y, z) f(x, y, z)

    t= lim

    t0(x+ t)2 y z2 x2 y z2

    t

    = limt0

    2x y z2 t+ t2yz2

    t= 2x y z2,

    f

    y(x, y, z) = lim

    t0f(x, t+ y, z) f(x, y, z)

    t= lim

    t0x2 (t+ y) z2 x2 y z2

    t

    = limt0

    t x2 z2

    t= x2 z2,

    f

    z(x, y, z) = lim

    t0f(x, y, t+ z) f(x, y, z)

    t= lim

    t0x2 y (t+ z)2 x2 y z2

    t

    = limt0

    t2 x2 y + 2 t x2 y z

    t= 2x2 y z.

    Observao 5.1.

    Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f(x, c); logo:

    g(x) = limt0

    g(x+ t) g(x)t

    = limt0

    f(x+ t, c) f(x, c)t

    =f

    x(x, c);

    se h(y) = f(c, y), ento:

    h(y) =f

    y(c, y).

    Analogamente para mais variveis. Consequentemente, para derivar parcialmenteuma funo em relao a x, as demais variveis so consideradas como constantese a derivao feita como em R.Em relao s outras variveis o procedimento anlogo. Assim, todas as regrasde derivao estudadas para funes em R podem ser aplicadas.

  • 5.1. INTRODUO 91

    Exemplo 5.2.

    [1] Se z = f(x, y) =

    x2 + y2, calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primei-ramente, a derivada parcial de f em relao a x. Pela observao anterior conside-ramos z =

    x2 + c, onde c = y2; derivando como em R:

    f

    x(x, y) =

    xx2 + c

    =x

    x2 + y2;

    analogamente para y: fazemos c = x2:

    f

    y(x, y) =

    y

    c+ y2=

    y

    x2 + y2.

    [2] Se z = f(x, y) = (x2 + y2) cos(x y), calcule suas derivadas parciais no ponto(1, ). Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relao a x. Pelaobservao anterior consideramos z = (x2 + c2) cos(c x), onde y = c; derivandocomo em R:

    f

    x(x, y) =

    (

    (x2 + c2) cos(c x)) = 2x cos(c x) c (x2 + c2) sen(c x)

    = 2x cos(x y) y (x2 + y2) sen(x y);

    analogamente para y: fazemos z = (c2 + y2) cos(c y):

    f

    y(x, y) =

    (

    (c2 + y2) cos(c y))

    = 2 y cos(c y) c (c2 + y2) sen(c y)

    = 2 y cos(x y) x (x2 + y2) sen(x y));fx(1, ) = 2,

    fy (1, ) = 2.

    [3] Sew = f(x, y, z) = ln(x2 +y2+z2), calcule suas derivadas parciais. Calculemos,primeiramente, a derivada parcial de f em relao a x. Seja w = ln(x2 + c), ondec = y2 + z2; derivando como em R, temos:

    f

    x(x, y, z) =

    2x

    x2 + c=

    2x

    x2 + y2 + z2;

    analogamente para y: fazemos c = x2 + z2 e para z: c = x2 + y2:

    f

    y(x, y, z) =

    2 y

    y2 + c=

    2 y

    x2 + y2 + z2e

    f

    z(x, y, z) =

    2 z

    c+ z2=

    2 z

    x2 + y2 + z2.

    [4] Se w = f(x, y, z) = sen(x y

    z

    )

    , calcule suas derivadas parciais. Calculemos,

    primeiramente, a derivada parcial de f em relao a x; seja w = sen(c x), ondec =

    y

    z; derivando:

    f

    x(x, y, z) = c cos(c x) =

    y

    zcos

    (x y

    z

    )

    ;

    analogamente para y; fazemos c =x

    ze para z; fazemos c = x y:

    f

    y(x, y, z) = c cos(c y) =

    x

    zcos

    (x y

    z

    )

    e

    f

    z(x, y, z) = c z2cos( c

    z) = x y

    z2cos

    (x y

    z

    )

    .

  • 92 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

    De forma anloga ao Clculo de uma varivel, as derivadas parciais de uma funoso funes e, portanto, podemos calcula-ls em pontos de seus domnios.

    [5] Seja f(x, y) = ln (x2 + y2 + 1); ento:

    f

    x(x, y) =

    2x

    x2 + y2 + 1e

    f

    y(x, y) =

    2 y

    x2 + y2 + 1.

    Temos duas novas funes: g(x, y) =2x

    x2 + y2 + 1e h(x, y) =

    2 y

    x2 + y2 + 1Logo,:

    g(1, 1) = h(1, 1) =2

    3, g(3,2) = 3

    7e h(1,2) = 2

    7.

    -2

    0

    2

    -2

    02

    0

    1

    2

    3

    Figura 5.1: Grfico de f .

    Figura 5.2: Grficos de g e h, respectivamente.

    A no existncia das derivadas parciais de uma funo contnua de duas variveisnum ponto indica que o grfico da funo apresenta "arestas"nesse ponto.

    De fato, seja z = f(x, y) =

    x2 + y2; ento, as derivadas parciais existem, excetona origem.

  • 5.2. GENERALIZAES 93

    Figura 5.3: Grfico de f(x, y) =

    x2 + y2.

    5.2 Generalizaes

    Definio 5.2. Seja A Rn um conjunto aberto, x = (x1, x2, ..., xn) A e f : A Ruma funo. A derivada parcial de f em relao j-sima varivel no ponto x A denotada por fxj (x) e definida por:

    f

    xj(x) = lim

    t0f(x1, ..., xj + t, .., xn) f(x1, ...., xn)

    t,

    se o limite existe.

    Fazendo j = 1, ..., n, temos as derivadas parciais de f em relao primeira, segunda, terceira, ......., n-sima variveis, respectivamente. Denotando porej = (0, ...., 1, ....0) o vetor que tem todas as componentes zero exceto a j-sima,que igual a 1, temos:

    f

    xj(x) = lim

    t0f(x + tej) f(x)

    t.

    5.3 Interpretao Geomtrica das Derivadas Parciais

    O grfico de uma funo de duas variveis z = f(x, y) , em geral, uma superfcieem R3. A interseo desta superfcie com um plano paralelo ao plano xz, que passapelo ponto (0, y0, 0) uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz s condies:

    {

    z = f(x, y)

    y = y0.

    Como a curva plana, podemos consider-la como o grfico de uma funo deuma varivel, a saber: g(x) = f(x, y0). Logo, o coeficiente angular da reta tangente curva no ponto x0, relativa ao plano, :

    g(x0) =f

    x(x0, y0)

    Analogamente, a curva plana definida pela interseo do grfico de f com o planoque passa por (x0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser definida por h(y) = f(x0, y).

  • 94 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

    Logo, o coeficiente angular da reta tangente curva no ponto y0, relativa ao plano,:

    h(y0) =f

    y(x0, y0)

    Desenhos esquerda e direita, respectivamente:

    Figura 5.4:

    Figura 5.5:

    Exemplo 5.3.

    [1] Seja z = f(x, y) = x2 + y2. Determine a equao da reta tangente interseodo grfico de f com o plano de equao y = 2, no ponto (2, 2, 8).

    Pela observao anterior: z = x2 + 4; logo, z = g(x) = x2 + 4 e a equao da retatangente : z g(x0) = g(x0)(x x0), onde x0 = 2, ou seja: z 4x = 0.

    -2

    0

    2

    -2

    0

    2

    0

    2

    4

    6

    -2

    0

    2

    4

    Figura 5.6: Exemplo [1].

  • 5.3. INTERPRETAOGEOMTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 95

    [2] Seja z = f(x, y) = y2. Determine a equao da reta tangente interseo dogrfico de f com o plano de equao x = x0, no ponto (x0, 1, 1).

    Pela observao anterior: z = y2; logo z = h(y) = y2 e a equao da reta tangente: z h(y0) = h(y0) (y y0), onde y0 = 1, ou seja: z 2y + 1 = 0.

    1

    Figura 5.7: Exemplo [2].

    Dos pargrafos anteriores temos:

    Proposio 5.1. Seja f : A R2 R uma funo tal que as derivadas parciais existamno conjunto aberto A, ento:

    f

    x(a, b) = g(a) se g(x) = f(x, b)

    f

    y(a, b) = h(b) se h(y) = f(a, y)

    A prova segue das definies e observaes anteriores. Esta proposio se estendenaturalmente para n 2.

    Exemplo 5.4.

    [1] Se f(x, y) = 4

    x4 + y4, calculef

    x(0, 0) e

    f

    y(0, 0).

    Seja g(x) = f(x, 0) = x e h(y) = f(0, y) = y; logo g(x) = 1 e h(y) = 1; ento:

    f

    x(0, 0) =

    f

    y(0, 0) = 1.

    [2] Se f(x, y) = x2

    (x2 + y2 ln(y2 + 1))5 etg(x2 y+y3 x2), calcule

    f

    x(1, 0).

    Seja g(x) = f(x, 0) = x3 e g(x) = 3x4; logo:f

    x(1, 0) = g(1) = 3.

    [3] Se f(x, y, z) =cos(x+ y + z)

    ln(x2 + y2 + z2), calcule

    f

    x(, 0, 0).

    Seja g(x) = f(x, 0, 0) =cos(x)

    2 ln(x)e g(x) = x ln(x) sen(x) + cos(x)

    2 ln2(x); logo:

    f

    x(, 0, 0) = g() =

    1

    2 ln2().

  • 96 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

    5.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variao

    As derivadas parciais tambm podem ser interpretadas como taxa de variao ourazo instantnea.

    De fato, sejamA R2 aberto e f : A R uma funo tal que as derivadas parciaisexistem no ponto (x0, y0). A derivada parcial

    f

    x(x0, y0) a taxa de variao de

    f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direo e1 = (1, 0), isto ,c(t) = (x0, y0) + t (1, 0) = (x0 + t, y0), (|t| pequeno).De forma anloga interpretamos a outra derivada parcial:

    f

    y(x0, y0)