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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDEE MMEESSTTRRAADDOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM EECCOONNOOMMIIAA
“UMA VISÃO GERAL DOS DERIVATIVOS DE CRÉDITO E SUA APLICAÇÃO NA
ADMINISTRAÇÃO DE CARTEIRAS EXPOSTAS A RISCO DE CRÉDITO”
EEDDUUAARRDDOO AABBRRAAHHÃÃOO DDEE SSOOUUZZAA
OORRIIEENNTTAADDOORR:: JJOOSSEE SSAANNTTIIAAGGOO FFAAJJAARRDDOO BBAARRBBAACCHHAANN
Rio de Janeiro, 11 de agosto de 2006.
“UMA VISÃO GERAL DOS DERIVATIVOS DE CRÉDITO E SUA A PLICAÇÃO NA ADIMINSTRAÇÃO DE CARTEIRAS EXPOSTAS A RISCO DE CRÉD ITO”
EDUARDO ABRAHÃO DE SOUZA
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças
ORIENTADOR: JOSE SANTIAGO FAJARDO BARBACHAN
Rio de Janeiro, 11 de agosto de 2006.
iii
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho ao meu avô Tuffi Isaac Abrahão que foi meu grande exemplo e ao qual tenho eterna gratidão.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a meu primo Nelson Isaac Abrahão Jr. que sempre que precisei mostrou-se solícito
e amigo, e particularmente agradeço aos meus colegas de turma que nos momentos difíceis
estavam presentes com apoio e incentivo.
v
RESUMO
Uma nova classe de instrumentos financeiros emergiu com muita força a partir dos anos 90 –
os Derivativos de Crédito. Basicamente, eles possibilitam transferir risco de crédito. Neste
trabalho vamos apresentar os principais Derivativos de Crédito. Veremos que entre eles o
Swap de Crédito é o mais usado. Mostraremos algumas estratégias possíveis para administrar
carteiras expostas a risco de crédito, inclusive combinando Derivativos de Crédito com a
Moderna Teoria de Carteiras. Veremos também em que estágio de desenvolvimento este
mercado se encontra no Brasil e no mundo. Por fim, vamos apresentar um modelo para
quantificar risco de crédito e usaremos este modelo para calcular o valor do “spread” de um
Swap de Crédito.
Palavras Chave: Derivativos de Crédito
vi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Fluxo de caixa de um Swap de Retorno Total.........................................................10
Figura 2 – Fluxo de caixa de um Swap de Crédito...................................................................15
Figura 3 – Exemplo de Swap de Crédito – fluxo de caixa........................................................28
Figura 4 – Estrutura de uma Obrigação Garantida....................................................................54
vii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Volume negociado de derivativos de crédito por praça..........................................10
Tabela 2 – Participação por setor no mercado de derivativos de crédito..................................10
Tabela 3 – Participação por produto no mercado de derivativos de crédito.............................11
Tabela 4 – Exemplo de Swap de Retorno Total – dados..........................................................17
Tabela 5 - Exemplo de Swap de Retorno Total – matriz de covariâncias................................17
Tabela 6 – Resultado da alavancagem com o uso do Swap de Retorno Total..........................21
Tabela 7 – Spread dos títulos....................................................................................................37
Tabela 8 – Exemplo de cálculo de probabilidade de inadimplência – dados............................42
viii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................1
2 CARACTERIZAÇÃO DOS DERIVATIVOS DE CRÉDITO......................................5
3 MOTIVAÇÃO PARA O USO DE DERIVATIVOS DE CRÉDITO.............................7
4 O MERCADO DE DERIVATIVOS DE CRÉDITO....................................................9
5 SWAP DE RETORNO TOTAL..............................................................................12
5.1 MOTIVAÇÃO PARA O USO DE TRS.................................................................................................16 5.1.1. Para o vendedor de TRS.............................................................................................................16 5.1.2. Administração de carteiras com TRS.........................................................................................16 5.1.3. Para o comprador de TRS...........................................................................................................20
5.2 ALAVANCAGEM COM O USO DE TRS’s.........................................................................................20
6 SWAP DE CRÉDITO............................................................................................23
6.1 PRINCIPAIS TERMOS DO CONTRATO DE CDS.............................................................................24
6.2 CDS X OPÇÕES AMERICANAS.........................................................................................................25
6.3 CDS X TRS.............................................................................................................................................26
6.4 EXEMPLO..............................................................................................................................................27
6.5 ADMINISTRAÇÃO DE CARTEIRAS COM O USO DE CDS’s.........................................................30
6.6 RISCO DE INADIMPLÊNCIA DO VENDEDOR DE PROTEÇÃO....................................................32
6.7 ERRO DE BASE.....................................................................................................................................33
6.8 PRECIFICAÇÃO DE CDS’s..................................................................................................................34 6.8.1. Probabilidade de inadimplência com títulos que não pagam juros periódicos...........................34 6.8.2. Probabilidade de inadimplência – sem taxa de recuperação......................................................35 6.8.3. Probabilidade de inadimplência – com taxa de recuperação......................................................36 6.8.4. Exemplo......................................................................................................................................37
6.9 CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INADIMPLÊNCIA COM O USO DE VÁRIOS TÍTULOS DO MESMO EMISSOR EM TEMPO DISCRETO...............................................................................................38
ix
6.9.1. Exemplo......................................................................................................................................42
6.10 CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INADIMPLÊNCIA EM TEMPO CONTÍNUO............................................................................................................................................................44
6.11 APREÇAMENTO DO SWAP DE CRÉDITO........................................................................................45 6.11.1. Cálculo da taxa do CDS em tempo discreto...............................................................................45 6.11.2. Exemplo......................................................................................................................................48 6.11.3. Cálculo da taxa do CDS em tempo contínuo..............................................................................49
6.12 APREÇAMENTO DE SWAP DE CRÉDITO BINÁRIO......................................................................50
7 NOTAS LIGADAS AO CRÉDITO..........................................................................51
8 OBRIGAÇÃO GARATIDA.....................................................................................53
8.1 OUTROS FORMATOS DE CDO’s........................................................................................................56
9 DERIVATIVOS DE CRÉDITO NO BRASIL...........................................................57
10 CONCLUSÃO.......................................................................................................61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................62
ANEXO A....................................................................................................................63
1
1 INTRODUÇÃO: RISCO DE CRÉDITO E OS DERIVATIVOS DE CR ÉDITO
Os agentes econômicos estão expostos a quatro diferentes dimensões de riscos corporativos.
São eles: o risco de mercado; o risco operacional; o risco de crédito e o risco legal. Para o
desenvolvimento do trabalho vamos tomar o risco de crédito como nossa “matéria prima”.
Risco de crédito é por definição a probabilidade de possíveis perdas em uma instituição caso a
sua contraparte em um contrato tenha alterado sua capacidade de honrar suas obrigações seja
por falência ou degradação de sua qualidade creditícia. Alternativamente, podemos também
entender risco de crédito como sendo a volatilidade da taxa de inadimplência esperada de uma
carteira de crédito.
A análise da concessão do crédito e controle de perdas decorrentes da falta de pagamentos por
parte dos devedores sempre foram preocupações primárias na administração bancária. A
estimativa do potencial de perda tendo em vista determinada política de concessão de crédito
estabelecida pela organização era feita, até recentemente, mais com base na expectativa do
gestor do que com o suporte de modelos estatísticos de avaliação de riscos mais avançados,
até por que, assumia-se que em se administrando bem o processo de crédito das transações
individuais, estaria se garantindo uma boa situação do crédito da carteira como um todo.
2
Existem duas abordagens clássicas para se administrar o risco de crédito. A primeira consiste
na diversificação da carteira, ou seja, o banco ou investidor procura se posicionar através da
concessão de empréstimos em setores pouco correlacionados evitando assim a concentração
na carteira. Por exemplo, a diversificação pode ser feita por setores de atividade, áreas
geográficas, tipos de garantias, tamanho dos clientes, moedas, prazos, etc.
Uma segunda estratégia ultimamente bastante utilizada para administrar o risco de crédito é
repassar o risco através da venda direta no mercado secundário, no caso de títulos, ou através
do processo de securitização de recebíveis, no caso de créditos concedidos.
Porém essas estratégias impõem muitas limitações aos agentes econômicos e em particular
aos bancos. Em primeiro lugar a redução do risco de crédito da carteira por diversificação é
limitada devido à escassez de oportunidades. Provavelmente esta limitação acarretará em uma
carteira concentrada, por exemplo, em um setor econômico ou uma região geográfica. De
certa forma é bastante provável que este efeito de concentração ocorra já que quanto mais
uma instituição tem contato com um determinado segmento da economia mais adquire
conhecimento sobre seu comportamento e, portanto sente-se mais confortável em realizar
negócios com este. Já a securitização é mais apropriada para empréstimos que tem esquemas
de pagamentos padronizados e características de riscos similares, premissas estas que nem
sempre se verificam.
Por fim essas estratégias não contemplam todas as formas possíveis de exposição a risco de
crédito. Por exemplo, quando avaliamos um derivativo, partimos do pressuposto da
inexistência de risco de inadimplência. Para um mercado organizado como uma Bolsa de
Valores ou de metais essa afirmação é pertinente, pois elas possuem mecanismos eficientes
para que suas operações sejam sempre honradas. Para o mercado de balcão, porém, esta
3
afirmação já não é mais consistente. Como mercado de balcão vem crescendo de forma
significativa nos últimos anos, estas questões relacionadas a risco de crédito passaram a ser
extremamente relevantes tanto para bancos quanto para instituições reguladoras.
Tradicionalmente, um banco somente poderia administrar seus riscos de crédito na origem.
Uma vez que o Risco de Crédito foi originado, ele permaneceria na contabilidade do banco
até que o contrato fosse honrado ou que ocorresse o evento de inadimplência. Há alguns anos
não havia nenhuma forma eficiente ou padronizada de transferir este risco assumido para um
terceiro agente.
João Carlos Douat em sua tese de doutorado (Douat 1994) ressalta que no Brasil a maneira
com que as carteiras de empréstimo são administradas atualmente não considera a forma
correta de avaliação do risco total da carteira nem tão pouco sugere se a mensuração desses
riscos foi realizada de forma mais adequada. Faz-se necessário então adotar uma nova
abordagem para o risco de crédito. Segundo Douat o enfoque deveria mover-se da transação
individual para o risco acumulado de grandes carteiras de empréstimo. Desta forma é possível
lançar mão da moderna teoria de carteira na administração dos empréstimos do banco.
Conseqüentemente será possível se estabelecer limites para a volatilidade da carteira, de
limites de concentração e de retornos esperados para ativos individuais.
É justamente neste contexto que se insere uma nova classe de instrumentos financeiros: Os
Derivativos de Crédito. Nos últimos anos, Derivativos de Crédito tem transformado
profundamente a forma com que os agentes econômicos administram a sua carteira de
obrigações. Eles possibilitam a transferência de um determinado risco de crédito para um
terceiro agente de uma forma simples e eficiente e abre um mercado para esses riscos que
todos podemos participar, ou seja, o risco de crédito passou a ser um “ativo negociável”.
4
Desta forma é possível utilizar ferramentas importantes já conhecidas como análise risco-
retorno que faze parte da moderna teoria de administração de carteiras para gerir a carteira de
crédito. Esta é a razão, a meu ver, mais importante e que justifica o crescimento
extraordinário dos negócios com Derivativos de Crédito. Para se ter uma idéia, o British
Bankers’ Association (BBA) estimou em US$3.5 trilhão o valor total bruto em aberto de
derivativos de crédito (excluindo os swaps de ativos) ao fim de 2003. A expectativa é que haja
um crescimento explosivo. O departamento de controle da moeda norte americano (The
Office of the Controller of the Currency) calcula em 50% a taxa de crescimento anual no uso
de derivativos de crédito pelos bancos americanos. A estimativa do BBA é que ao fim de
2004 os bancos americanos estejam com um valor total bruto em aberto de derivativos de
crédito da ordem de US$5.0 trilhões e para 2006 as projeções são da ordem de US$8.2 trilhão.
5
2 CARACTERIZAÇÃO DOS DERIVATIVOS DE CRÉDITO
O termo “derivativo de crédito” é empregado numa ampla classe de contratos de derivativos e
novas estruturas aparecem com freqüência. Por esta razão não temos uma definição precisa
sobre o que vem a ser um derivativo de crédito. Porém para que possamos continuar nosso
estudo diremos que podemos caracterizar um contrato financeiro como derivativo de crédito
se este possuir necessariamente as seguintes condições:
(a) Derivativo de crédito é um instrumento financeiro que é fundamentalmente usado
para transferir, contratar seguro ou gerir risco de crédito.
(b) Derivativo de crédito é um instrumento financeiro que sua liquidação é
essencialmente afetada por risco de crédito.
Podemos observar que pela primeira condição a intenção de uso do contrato derivativo
determinará se o instrumento é um derivativo de crédito ou não. Um contrato de derivativo
como, por exemplo, um contrato futuro sobre um título financeiro pode ser considerado um
derivativo de crédito para uma contraparte (devido à intenção de usá-lo para administrar risco
de crédito) e não ser para a outra contraparte. A segunda condição é necessária para a
adequação do contrato derivativo como um instrumento de “hedge” para risco de crédito.
6
Então de uma forma mais geral podemos dizer que o derivativo de crédito é um contrato
financeiro bilateral que deriva seu valor de um índice subjacente ou evento que seja sensível
ao crédito. Esses contratos possibilitam aos agentes econômicos utilizar novas técnicas de
gerenciamento de risco de crédito que não as tradicionais. Os derivativos de crédito oferecem
aos gestores de carteiras proteção contra três tipos de eventos, são eles:
(1) Evento de Inadimplência – risco de um empréstimo não ser pago, seja
parcialmente ou em sua totalidade.
(2) Rebaixamento do “raiting” – risco de uma agência de classificação de
risco reduzir a nota (classificação) do devedor.
(3) Risco de “spread” – risco que se o crédito deteriora em valor, o prêmio
pelo risco relativo à taxa ou índice flutuante poderá alterar-se.
7
3 MOTIVAÇÃO PARA O USO DE DERIVATIVOS DE CRÉDITO
Como vimos derivativos de crédito são usados para a transferência de risco de crédito, mas
quais são as motivações das partes para lançarem mão deste instrumento financeiro?
Compradores e vendedores de contratos de derivativos de crédito entram em negociação
fundamentalmente por duas razões: para administrar risco e ganhar taxa. Se houver algum
benefício contábil seja ele sob o ponto de vista de impostos ou regulatório, isto é um bônus.
Veremos abaixo mais algumas razões para o uso de derivativos de crédito.
Para o comprador de Proteção:
• Neutralização de riscos específicos – é o uso mais comum dos derivativos de crédito.
Consiste na venda sintética de risco de crédito específico com o objetivo de compor
uma relação retorno esperado-risco mais apropriada da carteira de obrigações ou para
evitar perdas financeiras decorrentes de inadimplência.
• Ajuste do perfil de concentração setorial – Operação na qual se compra proteção com
o objetivo de diminuir ou sair do risco setorial. Este instrumento é bastante valioso
para os investidores que estejam com a concentração elevada em um determinado
setor ou até mesmo uma região geográfica ou país. Para os bancos é possível limpar a
carteira a carteira de crédito, abrindo espaço para novas operações.
• Eliminar ou reduzir uma correlação alta entre ativos da carteira.
8
• Sigilo – o comprador consegue proteção contra um devedor sem que este tome
conhecimento.
• Versatilidade – o derivativo de crédito pode ser feito sob medida, podendo o
comprador montar um instrumento financeiro perfeitamente adequado as suas
necessidades.
• Flexibilidade – permite carregar o ativo em seus livros, e transformá-lo, pelo prazo
total ou parcial, em um ativo sinteticamente livre de risco de crédito. Existe a
possibilidade também da venda parcial ou total desse ativo.
Para o vendedor de Proteção:
• Assumir risco de crédito sem usar os mecanismos clássicos como conceder
empréstimos ou comprar títulos financeiros de forma a não ser necessário o uso de
caixa.
• Os derivativos de crédito fornecem instrumentos para que o administrador possa
assumir sinteticamente uma exposição em trechos da curva do emissor inexistentes no
mercado de títulos.
• Um banco pode obter vantagem competitiva a partir do momento que possuir
informações únicas a respeito da qualidade de crédito de alguns setores ou países, o
que outros bancos podem não ter, e utilizá-las em benefício próprio.
Além disto, alguns derivativos de crédito conferem aos investidores um incrível poder de
alavancagem já que como foi dito acima, nestas operações o receptor do risco de crédito não
necessita realizar qualquer desembolso adiantado. Este vem a ser o grande apelo e o que
explica em boa parte o fortíssimo avanço da participação dos Hedge Funds verificado no
mercado de derivativos de crédito no passado recente.
9
4 O MERCADO DE DERIVATIVOS DE CRÉDITO
O mercado de derivativos de crédito é recente e os riscos nele transacionados variam muito
em tamanho, qualidade e estrutura. Os negócios são realizados em balcão depois de uma
negociação direta entre compradores e vendedores. Por esta razão uma especificação precisa
sobre derivativos de crédito ainda está em andamento e novas estruturas aparecem com
freqüência.
A British Bankers’ Association (BBA) iniciou o acompanhamento do mercado de Derivativos
de Crédito a partir de 1997. As pesquisas por ela divulgadas nos dão a dimensão da evolução
e da importância que vem assumindo estes instrumentos financeiros ao longo do tempo.
Segundo a BBA em seu último relatório (Credit Derivatives Report 2003/2004) o montante
negociado de Derivativos de Crédito vem ano após ano superando todas as projeções. Para o
final de 2003 estima-se que o volume total de Derivativos de Crédito negociados alcançou o
montante de US$ 3,5 bilhões. É esperado que o mercado de Derivativos de Crédito continue
crescendo em proporções significativas e já para 2004 projeta-se um crescimento de
aproximadamente 50% em relação a 2003 atingindo o patamar de US$ 5,021 bilhões. As
previsões para 2006 são ainda mais otimistas, para a BBA o mercado global de Derivativos de
Crédito irá negociar nada menos do que um montante da ordem de US$ 8,206 bilhões.
10
As duas principais praças de negociação de Derivativos de Crédito são Londres e Nova York,
a primeira com um pouco mais de participação no total negociado, algo em torno de 44%.
Juntas elas negociam quase a totalidade do mercado.
2003 2004 2006 US$ bil Part % US$ bil Part % US$ bil Part % Mercado Global 3,548 100 % 5,021 100 % 8,206 100 % Londres 1,586 45 % 2,230 44 % 3,563 43 % EUA 1,459 41 % 2,000 40 % 3,173 39 % Ásia/Austrália 287 8 % 446 9 % 858 10 % Resto do mundo 216 6 % 345 7 % 612 8 %
Tabela 1 – Volume Negociado de Derivativos de Crédito por praça.
Segundo a BBA os principais “atores” continuam sendo os Bancos, as Seguradoras e as
Securities Houses. Porém outro “ator” vem aumentando sua participação no mercado de
Derivativos de Crédito: são os chamados “Headge Funds”. Primeiramente eles apareceram
apenas como compradores de proteção, mas esta última pesquisa revela que os “Headge
Funds” também se tornaram grandes vendedores de proteção o que está em linha com a
apreciação feita neste trabalho no capítulo de Swap de Retorno Total.
2003 2006 Compradores de Proteção Bancos 51 % 43 % Seguradoras 16 % 15 % Hedge Funds 16 % 17 % Vendedores de Proteção Bancos 38 % 34 %
Seguradoras 20 % 21 % Securities Houses 16 % 14 % Hedge Funds 15 % 15 %
Tabela 2 – Participação por Setor no mercado de Derivativos de Crédito
Já no que tange aos produtos, o Swap de Crédito continua de longe sendo o Derivativo de
Crédito mais negociado com uma participação de 51% do nocional total de Derivativos de
Crédito negociados. Os CDO’s aparecem em segundo lugar com 16% de participação. Um
11
derivativo de crédito emergente é o Derivativo de Crédito ligado a um Índice. Estima-se que
para 2006 sua participação seja de 17% do mercado global, superando inclusive os CDO’s.
PARTICIPAÇÃO % 2003 2006 Swap de Crédito 51 % 42 % CDO’s 16 % 16 % Índices 11 % 17 %
Tabela 3 –Participação por Produto no mercado de Derivativos de Crédito
12
5 SWAP DE RETORNO TOTAL (TRS – TOTAL RETURN SWAP OU T RORS – TOTAL RATE OF RETURN SWAP)
O Swap de Retorno Total (TRS) é um contrato financeiro bilateral no qual o retorno efetivo
de um ativo, normalmente um título financeiro sujeito a risco de crédito, é trocado por um
fluxo de caixa geralmente de taxas flutuantes do tipo LIBOR (London Interbank Offering
Rate) mais um spread. O retorno do ativo inclui os pagamentos de juros periódicos e os
ganhos ou perdas provenientes da flutuação dos preços deste ativo durante a vida do TRS.
No mercado de derivativos de crédito o ativo que dá lastro ao TRS é chamado de ativo de
referência e o pagamento efetuado pelo investidor é conhecido como “pagamento de índice
flutuante” ou “custo do financiamento”. Isto devido ao fato de que o TRS foi primeiramente
concebido para ser uma ferramenta de financiamento, pois o resultado de um TRS é
rigorosamente idêntico à operação de se tomar dinheiro emprestado para comprar o ativo de
referência.
Figura 1 – Fluxo de Caixa de um Swap de Retorno Total
COMPRADOR DE
PROTEÇÃO
INVESTIDOR
Retorno efetivo do ativo de referência
LIBOR + Spread
13
Veja que esta estrutura permite ao investidor criar um ativo sintético semelhante ao ativo de
referência e usufruir seu fluxo de caixa sem realmente possuí-lo. Na verdade, podemos traçar
duas estratégias bastante distintas. Caso o vendedor de TRS possua o ativo de referência, o
TRS lhe permite repassar o risco de crédito relacionado ao ativo de referência ao investidor,
montando assim uma proteção contra o mesmo. Porém caso o emissor não possua o ativo de
referência, a venda do TRS permite que o vendedor crie uma posição sinteticamente vendida
no ativo.
Como o TRS é “marcado a mercado”, o ativo de referência precisa ser negociado com uma
boa liquidez para que em cada vencimento parcial seu valor possa ser corretamente
observado. Caso não haja um mercado para o ativo (por exemplo: empréstimo) ou ele não
tenha uma boa liquidez, será necessário determinar um outro mecanismo para que se calcule o
seu valor. Esta situação é particularmente crítica no vencimento do TRS.
O spread do TRS depende da qualidade do crédito do investidor, da qualidade do crédito do
emissor do ativo de referência e da correlação em inadimplência entre o emissor e o
investidor. Os ativos de referência podem ser ações, empréstimos, títulos financeiros,
commodities, entre outros.
O TRS é uma transação caracterizada como “fora do balanço”. O comprador de proteção é o
proprietário legal do ativo e, portanto, o mantêm em seu balanço durante toda a vigência do
TRS. De forma análoga, o investidor (vendedor de proteção), por não ser o detentor legal do
ativo não deverá registrar o mesmo em seu balanço.
O TRS termina, na maioria dos casos, porém não necessariamente, quando durante seu
período de vigência acontecer o evento de crédito indicado nele. Cabe ressaltar que o
14
investidor detém em qualquer circunstância o risco de crédito de referência. Portanto se o
TRS terminar devido à ocorrência de um evento de inadimplência, o investidor deverá fazer
ao comprador de proteção um último pagamento que será a diferença entre o valor atual do
ativo de referência e o seu valor no início da transação líquido do pagamento da taxa
flutuante. Alternativamente, o investidor pode adquirir junto ao emissor o ativo de referência
pelo seu valor ao par ou pelo seu valor inicial.
Seja uma carteira formada por títulos da dívida soberana de países emergentes. Dentre os
títulos que a compõe existe uma determinada posição em México. O gestor está preocupado
com o desenrolar da eleição para presidente que acontecerá naquele país em 2006. Para se
proteger de eventuais perdas, o gestor decide vender um TRS com as seguintes características:
Dados do TRS: Início da operação – Janeiro de 2005; Prazo (T ) – cinco anos; Montante
( M ) – US$ 100.000.000,00; Ativo de referência – título da dívida soberana do México;
Evento de crédito – Inadimplência no pagamento de juros periódicos; Spread do TRS (TRSS )
– 0,90% ao ano, pagos semestralmente; Liquidação financeira.
Dados do Título de Referência: Título – dívida soberana do México; Vencimento – 2025;
Juros periódicos – 6% ao ano, pagos semestralmente; Valor atual ( toB ) – ao par (100).
Para simplificar nosso exemplo vamos supor que o pagamento do ajuste do preço do título,
caso ocorra, se dará no vencimento do TRS, que os pagamentos efetuados pelas contrapartes
do TRS se dêem exatamente na mesma data do pagamento dos juros periódicos do título e que
durante este período a LIBOR fique estável a 2% ao ano.
15
Figura 2 – Exemplo Swap de Retorno Total – Fluxo de Caixa
zeroflcxt =0
000.550.10145,0000.000.10003,0000.000.100...21 =×−×== Ttt flcxflcxflcx
• O investidor terá um fluxo de caixa positivo em US$ 1.550.000,00 a cada semestre.
• O Fundo Mútuo terá um fluxo de caixa negativo em US$ 1.550.000,00 a cada
semestre.
Caso o valor do título se aprecie em 10% durante a vida do TRS, então teremos o seguinte
fluxo de caixa em T a favor do Investidor:
00,000.550.1110,0000.000.100000.550.1 =×+=Tflcx
Analogamente, caso o valor do título deprecie em 15% durante a vida do TRS, teremos o
seguinte fluxo de caixa em T a favor do Fundo Mútuo:
00,000.450.13000.550.115,0000.000.100 =−×=Tflcx
FUNDO MÚTUO DE
INVESTIMENTO
VENDEDOR DE
PROTEÇÃO
3 %
1 % + 0,45%
16
Por fim, vamos supor que o evento de crédito ocorra em 8t ,imediatamente antes do
pagamento do fluxo de caixa, e que a taxa de recuperação do título é de 30%, ou seja, o valor
do título após o evento de inadimplência será de US$ 30.000.000,00. Para os fluxos de caixa
de 0t a 7t nada muda, porém em 8t teremos o seguinte fluxo de caixa a favor do fundo Mútuo
de Investimentos:
00,000.550.68000.450.1000.000.30000.000.1008 =−−=tflcx
5.1. MOTIVAÇÃO PARA O USO DE TRS
5.1.1. Para o Vendedor de TRS
O vendedor de TRS cria em um só instrumento um seguro para o risco de queda do preço do
ativo e para o risco de inadimplência por parte do emissor do ativo. Como vimos apesar de ser
ele o detentor legal do ativo, o uso do TRS garante que este não sofrerá perdas ligadas aos
eventos de crédito que possam ocorrer.
O TRS é um instrumento especialmente interessante para aquelas instituições que não podem
assumir posições vendidas em um determinado ativo ou em caso de ativos que não permitam
assumir posições vendidas como, por exemplo, uma carteira de empréstimos, pois a venda de
um TRS nos permite montar uma posição vendida sintética. Para isto basta comprar proteção
sobre um ativo que não existe na carteira.
5.1.2. Administração de Carteiras com TRS’s
Vejamos um exemplo de como melhorar a relação risco retorno de uma carteira de títulos
financeiros usando a moderna teoria de carteiras combinada com um TRS.
17
Por simplificação vamos considerar que um administrador de títulos de renda fixa dispõe
apenas de três títulos sujeitos a risco de crédito e mais um título livre de risco para alocar
recursos.
TÍTULOS _
R EM BASE ANUAL _
σ EM BASE ANUAL A 11% 2% B 14% 6% C 17% 9% RF 5% 0%
Tabela 4 – Exemplo de Swap de Retorno total – Dados
A B C A 4% 7% 4% B 7% 36% 30% C 4% 30% 81%
Tabela 5 - Exemplo de Swap de Retorno total –Matriz de Covariâncias
Usando a teoria de média variância para montagem de carteiras eficientes vamos encontrar a
seguinte composição ótima da carteira para combinarmos com o ativo livre de risco:
%104=AW ; %12−=BW ; %8=CW
O retorno esperado desta carteira (PR_
) é de 11,14% e o desvio padrão (P
_
σ ) é de 1,93%.
Note que esta carteira impõe que façamos uma venda a descoberto em uma determinada
quantidade do título B. Na verdade não só esta carteira, mais qualquer carteira eficiente neste
exemplo que se situe entre o ponto de variância mínima e o ponto tangente (carteira ótima)
nos leva a uma posição vendida do título B. Então como resolver esta questão?
A primeira maneira é simplesmente montarmos uma fronteira eficiente com a restrição de que
não podemos fazer venda a descoberto. O resultado é o seguinte:
18
%95=AW ; %0=BW ; %5=CW
O retorno esperado desta nova carteira com restrição ( PRR_
) é de 11,31% e o desvio padrão
( PR
_
σ ) é de 2,05%.
É importante lembrar que as carteiras da fronteira eficiente sem restrição dominam as
carteiras da fronteira eficiente com restrição. Em nosso caso é possível montar uma carteira
com o mesmo risco P
_
σ de 2,05%, porém com um retorno maior PR_
de 11,41%.
A segunda maneira é entrarmos em um TRS na posição de compradores de proteção do título
B sem possuí-lo para assim montarmos uma posição vendida sintética neste título.
Neste exemplo, suponha que o montante total a ser investido nesta carteira é de
US$100.000,00, e que o administrador deseje combinar 50% do título livre de risco com 50%
da carteira ótima formada pelos ativos de risco.
Comprar 50% da carteira ótima significa:
• Comprar 50.000 x 104% de A = 52.000
• Comprar 50.000 x 8% de C = 4.000
• Vender TRS de B no montante de 6.000
Por simplificação vamos supor que a taxa paga pela contraparte no TRS seja igual à taxa livre
de risco. A carteira total terá então a seguinte composição:
• 44.000 investidos em RF
• 6.000 “investidos” em TRS de B
19
• 52.000 investidos em A
• 4.000 investidos em C
• 6.000 vendidos em TRS de B
Esta carteira replica exatamente o resultado obtido caso fosse possível fazer a venda em
descoberto do título B para a montagem da carteira ótima. Desta forma obteremos os
seguintes resultados:
•
_
%07,8%55,0%14,115,0 =×+×=FR
• 963,071,3)5,0( 2
_
=×=Fσ
Outro bom exemplo é quando nos encontramos diante da seguinte situação: suponha que você
seja um investidor de longo prazo e que tenha em seu portfólio um ativo qualquer que você
acredite que o spread deste ativo irá aumentar pelo menos no curto prazo, porém depois irá
recuperar seu preço.
Claramente podemos lançar mão do uso de TRS’s para administrarmos a carteira, para isto,
basta comprarmos proteção usando um TRS com vencimento mais curto do que o do ativo
original, ou seja, durante o período que o administrador acredita que o spread sofrerá um
incremento. Como a estrutura é flexível e não requer a venda do ativo, o comprador de
proteção pode “travar” uma taxa ainda que ele mantenha uma visão negativa de curto prazo de
seu ativo.
Veja que caso você não use o TRS ou outro derivativo de crédito, a sua única possibilidade
para gerir esta carteira seria vender o ativo, caso este seja um ativo que se possa negociar no
20
mercado. Caso contrário à única alternativa seria manter posição no ativo, como no caso de
um empréstimo ou mesmo um título financeiro com pouquíssima liquidez.
5.1.3. Para o Comprador de TRS
Podemos destacar algumas razões para um investidor entrar como contraparte em um contrato
de TRS, entre elas:
• A possibilidade de criar um ativo sintético com prazo específico não encontrado no
mercado.
• Acesso à exposição em um determinado ativo o qual não seria possível caso o
investidor tivesse que contabilizá-lo em seu balanço.
• Acesso à exposição em um determinado ativo onde só seria possível caso este ativo
fizesse parte de seu negócio.
• Possibilidade de preencher os espaços de crédito em seus portfólios.
• Redução de custos administrativos através de operações fora do balanço.
• Acesso a uma completa classe de ativos vinculados a um determinado índice.
5.2. ALAVANCAGEM COM O USO DE TRS’s
Como vimos, existem muitas razões para que investidores realizem negócios com TRS,
porém cabe destacar uma, ainda não citada, que é de extrema relevância. Para os investidores
uma motivação adicional, talvez a principal razão, para entrar em um contrato de TRS é o
poder alavancar sua posição, vejamos por que:
Primeiro para entrar em um negócio com TRS não é necessário realizar nenhum tipo de
pagamento inicial. Segundo, os fluxos de caixa são pagos de forma líquida entre as partes, ou
seja, os pagamentos que seriam efetuados pelos investidores são subtraídos antecipadamente
21
do retorno do ativo, como os custos do financiamento são inferiores ao retorno do ativo, o
investidor tem um fluxo de caixa, a princípio, positivo pela frente.
Suponha que tenhamos dois investidores (A e B) que irão alocar todos os seus recursos em
apenas um ativo sujeito a risco de crédito e cujo retorno esperado é de LIBOR + 2,5% ao ano.
O investidor A compra o ativo e o mantém até o vencimento. O investidor B irá receber o
retorno do ativo através de uma estrutura com TRS. O investidor B é requisitado a depositar
garantias da ordem de 10% sobre o montante negociado no TRS e que esta garantia é em
moeda. O custo deste TRS é LIBOR + 1% ao ano e suas garantias serão remuneradas a taxa
LIBOR que vamos supor se mantenha em 5,8% ao ano durante todo o período do TRS.
Para o investidor A, o resultado de seu investimento será a rentabilidade do próprio ativo, ou
seja, 8,3% ao ano. Já o investidor B terá um resultado totalmente diferente. Ele será
remunerado em 100% de seus recursos pela taxa LIBOR (5,8%aa) e como ele pode alavanca
em 10 vezes a sua posição, o resultado da operação de TRS será de dez vezes o resultado
líquido do TRS, ou seja, 15%. O resultado final desta estratégia será um retorno de 20,8% ao
ano. Veja no quadro abaixo. Note como é poderosa esta ferramenta, o investidor A obteve
mais do que o dobro do retorno do investidor B, e claro, assumiu um risco muito maior.
Investidor A Investidor B Retorno do Ativo 8,3% 8,3% LIBOR 5,8% 5,8% Spread do Ativo 2,5% 2,5% Custo do TRS 6,8% Retorno do TRS 1,5% Garantias 10% do Nocional Alavancagem 1 X 1 1 X 10 Retorno da Alavancagem 15% Retorno das Garantias 5,8% Retorno Total 8,3% 20,8%
Tabela 6 – Resultado da alavancagem com o uso do swap de retorno total.
22
Como última observação, vale a pena salientar que a afirmação de que o fluxo de caixa será
positivo para o investidor não é sempre verdade. Primeiramente estamos supondo que o preço
do ativo se manterá constante e, portanto, não haverá necessidade de ajuste de preço entre as
contrapartes do TRS, segundo, caso o investidor receba uma taxa de juros pré-fixada e faz
pagamentos com índices flutuantes, é possível que caso haja um ambiente propício para a
inversão da curva de juros, o investidor tenha que efetuar pagamentos ao comprador de
proteção. Em nosso exemplo, propositadamente os retornos dos ativos estão vinculados à
mesma taxa flutuante.
23
6 SWAP DE CRÉDITO – CDS (CREDIT DEFAULT SWAP)
O Swap de Crédito (CDS - Credit Default Swap) em sua forma mais comum é definido como
sendo um contrato financeiro bilateral em que uma contraparte, o comprador de proteção,
paga um taxa periódica fixa em troca de proteção contra o risco de inadimplência de uma
determinada entidade de referência.
Caso ocorra o evento de inadimplência prescrito no CDS, o comprador de proteção tem o
direito de vender pelo valor ao par um título financeiro específico emitido pela entidade de
referência. Este título é denominado de ativo de referência.
O comprador do CDS efetua pagamentos periódicos ao vendedor de proteção até o
vencimento do CDS ou até que ocorra o evento de inadimplência. Caso o pagamento desta
taxa seja feito de forma antecipada, então, o contrato é chamado de Opção de Crédito ou
(CDO -Credit Default Option). Podemos concluir então, que o CDS é um instrumento
financeiro que provém seguro ao seu comprador contra o risco de inadimplência.
24
Figura 2 – Fluxo de Caixa de um Swap de Crédito
O uso de CDS’s para proteção contra o risco de crédito que um investidor esteja exposto é
bastante amplo e flexível. Na verdade, esta exposição pode se dar de diferentes formas, por
exemplo, um investidor pode estar exposto a um determinado risco de crédito através de
empréstimos concedidos, compra de ativos financeiros, uma posição em derivativos ou até
mesmo risco soberano devido a transações comerciais em outros países, e ainda assim ser
possível usar os CDS’s com eficiência.
É importante observarmos que uma característica bastante peculiar do CDS é justamente o
fato de que este isola totalmente o risco de inadimplência da entidade de referência, ou seja, o
comprador de proteção que possui exposição ao risco de crédito da entidade de referência está
protegido totalmente contra o seu risco de inadimplência, porém, mantém o risco de mercado
sobre o ativo de referência, caso ele o possua. Já o vendedor de CDS por sua vez assume
totalmente o risco de inadimplência da entidade de referência.
6.1. PRINCPAIS TERMOS DO CONTARTO DE CDS
Evento de Inadimplência – Este é o mais importante termo em um contrato de CDS. É
definido como o evento de crédito cuja entidade de referência está sujeita e contra o qual será
contratada proteção. É de extrema importância que este termo seja descrito de forma clara e
Vendedor
De Proteção
Comprador
De Proteção
CDSS
25
precisa incluindo inclusive o mecanismo para se determinar o evento de crédito. Os principais
eventos de inadimplência são: Falência, Inadimplência e Moratória.
Taxa do CDS (Spread) – Constitui o prêmio pago pelo comprador do CDS requerido
pelo vendedor de proteção por assumir o risco de inadimplência da entidade de referência.
Esta taxa é fixa, cotada em termos anuais e paga em intervalos de tempo regulares. O
montante a ser pago é calculado multiplicando-se a taxa do CDS equivalente ao prazo
definido de cada parcela pelo valor nominal do CDS.
Liquidação – Existe duas formas de efetuar a liquidação de um CDS caso o evento de
inadimplência ocorra: Liquidação física ou liquidação financeira. Já colocamos que na
maioria dos casos a forma de liquidação escolhida é física que é aquela em que o comprador
de proteção tem o direito de vender o ativo de referência pelo seu valor ao par ou em outros
casos pelo seu valor cotado na data de início do CDS para o vendedor de proteção.
Caso a liquidação seja financeira, se faz necessário um procedimento prévio que visa
determinar o valor de mercado dos ativos de referência após a ocorrência do evento de
inadimplência. Quando estes ativos têm boa liquidez, basta solicitar a um dealer que forneça
um preço. Porém, caso estes ativos não tenham boa liquidez, então será necessário solicitar a
cotação do ativo em vários dealers e o preço a ser usado será a média destas cotações. O valor
a ser pago pelo vendedor de proteção será a diferença entre o valor ao par do ativo (ou o valor
cotado na data de início do CDS) e este valor apurado.
6.2. CDS X OPÇÕES AMERICANAS
26
É comum confundirmos os CDS’s com opções de venda americana. Na verdade CDS’s não
são opções. Para ficar claro, vamos comparar a estrutura de um CDS com uma opção de
venda americana que entre os tipos de opções é a que mais se aproxima de um CDS. Primeiro
o CDS é um derivativo sobre eventos duvidosos ou eventuais, ou seja, a liquidação só será
realizada se ocorrer o evento de inadimplência, portanto, nada tem a ver com o
comportamento do preço de um ativo subjacente. Este constituirá a incerteza e o risco de uma
opção de venda.
Outra diferença em relação às opções de venda americanas, é que o CDS somente fica em
“situação de exercício”, após a ocorrência do evento de inadimplência. Caso isto não ocorra, o
vendedor de CDS não tem nenhuma obrigação de pagamento. Já a opção americana pode ser
exercida a qualquer momento independentemente de seu possuidor estar aferindo lucro ou
prejuízo.
6.3. CDS X TRS
Quando falamos em TRS, normalmente estamos imaginando a troca de um fluxo de caixa de
um título financeiro por um pagamento em taxas flutuantes. É ai que reside à primeira
diferença em relação ao CDS. Neste não há troca de fluxos de caixa, apenas uma taxa
periódica é paga pelo comprador de proteção, sendo que por parte do investidor, não será
necessário nenhum pagamento durante a vigência do CDS, a não ser que ocorra o evento de
inadimplência descrito no CDS.
Outra diferença importante é a que diz respeito ao tipo de proteção que um CDS proporciona.
Como vimos, em um TRS compramos proteção contra o risco de inadimplência do emissor do
título financeiro, que é a nossa entidade de referência, e também compramos proteção contra
27
as flutuações nos preços deste título, ou seja, compramos proteção também contra o risco de
mercado deste título financeiro ao mesmo tempo, sendo que em um TRS não é possível
comprar isoladamente proteção contra apenas um desses riscos. Já em um CDS é possível
isolar totalmente qualquer natureza de risco de crédito da entidade de referência que um
investidor esteja exposto. Isto é muito importante por que em um TRS podemos incorrer em
erro de base, pois existe a possibilidade de, por exemplo, uma empresa ficar inadimplente em
certas obrigações e não ficar em outras.
6.4. EXEMPLO
Vamos agora ilustrar o que foi dito até então sobre CDS’s através de um exemplo de uma
operação usando-se a sua forma mais comum. Suponha que duas contrapartes “A” e “B”,
fechem um contrato de CDS em 15 de Janeiro de 2005 por um prazo de cinco anos. O
comprador de proteção “A” concorda em pagar anualmente a taxa de 0,90%aa (CDSS ) ao
vendedor de proteção “B” contra o evento de inadimplência de uma entidade de referência
“C”. Assuma que o ativo de referência será um título financeiro emitido por “C” ( CB ) que é
100% correlacionado com o seu risco de crédito. O nocional ( CDSM ) do CDS é de US$100
milhões.
28
Figura 3 – Exemplo de Swap de Crédito – Fluxo de Caixa
Caso não ocorra o evento de inadimplência, o comprador de proteção “A” pagará nos anos
seguintes o valor de 0,90% aa vezes o valor da operação e nada mais serão pagos por ambas
as partes. Desta forma o fluxo de caixa para o comprador de proteção será o seguinte:
0t ----- 15/01/2005 ---- US$ Zero
1t ----- 15/01/2006 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
2t ----- 15/01/2007 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
3t ----- 15/01/2008 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
4t ----- 15/01/2009 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
5t ----- 15/01/2010 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
Caso ocorra o evento de inadimplência durante o período do CDS (suponha que o vendedor
de proteção foi notificado em 15/06/2008) os seguintes pagamentos por parte do comprador
de proteção serão efetuados:
0t ----- 15/01/2005 ---- US$ Zero
1t ----- 15/01/2006 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
B Vendedor
De Proteção
A Comprador
De Proteção
aaSCDS %90,0=
C
t
CC BBB −0,
zero
29
2t ----- 15/01/2007 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
4t ----- 15/01/2008 ---- US$100 milhões X 0,0090=US$900.000,00
15/06/2008 ---- US$100 milhões X 0,0045=US$450.000,00
O comprador do CDS exercerá o seu direito e o vendedor de proteção efetuará a liquidação de
acordo com os termos do contrato. Caso este determine a entrega física do ativo de referência
o comprador do CDS tem o direito de vender o ativo de referência ao par, ou seja, por
US$100 milhões.
Caso, de outra forma, a liquidação for financeira, então primeiramente terá que ser calculado
o valor do ativo de referência após o evento de inadimplência. Isto de dá através de cotações
feitas com dealers em um determinado número de dias previamente definido no CDS, após a
ocorrência do evento de inadimplência. O valor médio destas cotações será o valor residual do
título. O valor a ser a ser restituído será a diferença entre o valor original contratado e este
valor residual. Vamos supor que o valor calculado seja de US$35 milhões, então o comprador
de proteção terá o direito de receber US$65 milhões.
Outro aspecto importante diz respeito à arbitragem com um CDS. Suponha, que o rendimento
de um título com vencimento em 5 anos emitido pela entidade de referência seja de 5%. Ao
adquirir o título e a proteção contra a inadimplência um investidor praticamente tem
assegurado o retorno prometido pelo título menos, é claro, a taxa paga pela proteção. Ora,
para que não haja possibilidade de arbitragem, é necessário que este retorno líquido seja muito
parecido ao retorno de um título livre de risco que tenha o mesmo prazo de vencimento, em
nosso caso, cinco anos. Logo, o investidor, no exemplo acima, receberá um retorno líquido de
30
4,1% (5% - 0,90%) que deverá ser o retorno pago por um título livre de risco com um prazo
de cinco anos.
6.5. ADMINISTRAÇÃO DE CARTEIRAS COM O USO DE CDS’s
Já dissemos que antes do aparecimento dos derivativos de crédito uma vez que fosse aprovada
ou não a operação de crédito nada mais se podia fazer. Isto é bastante inquietante para o
gestor já que o ambiente macroeconômico e microeconômico pode sofrer alterações após essa
decisão ter sido tomada.
O uso de CDS’s permite que os agentes econômicos (os bancos em particular) possam
gerenciar ativamente sua carteira de risco. Veremos através de um exemplo não só que isto é
perfeitamente possível, mas também que é de fácil operacionalização.
Um determinado banco comercial de atuação global possui uma carteira de empréstimos com
a seguinte composição:
ALCAN – 10% da carteira
CBA – 10% da carteira
ALCOA – 10% da carteira
BILITTON – 10% da carteira
OUTROS – 60% da carteira
Note que nitidamente esta carteira de empréstimos possui ativos com alta correlação de
inadimplência, pois quarenta por cento da mesma está concentrada em empresas que tem
como atividade principal à produção de alumínio. A carteira no caso guarda uma alta
31
concentração setorial e mesmo alguma concentração geográfica, já que as plantas industriais
destas empresas se localizam nos mesmos países ou regiões.
Em seu novo cenário o gestor acredita que o preço da tonelada de alumínio irá cair ou que
haverá uma retração na economia mundial. Esses dois cenários não são positivos para esta
indústria e certamente vão elevar a percepção de risco sobre ela. Naturalmente a carteira
sofrerá alterações em sua relação risco-retorno. O que o gestor pode fazer para ajustar o
retorno à nova percepção de risco? Bem, usar CDS’s é certamente uma resposta.
Para diminuir a nova perda esperada da carteira, o banco decida reduzir sua exposição em
uma das empresas de alumínio, por exemplo, a ALCOA. Para tanto o gestor decide comprar
um CDS em Janeiro de 2005 por um prazo de dez anos e um montante de US$100 milhões,
que correspondem aos 10% de participação da ALCOA na carteira. Para fazer jus a esta
proteção, o banco pagará ao vendedor do CDS uma taxa de 1,35% aa o que dará uma quantia
paga anualmente de US$1.350.000,00 ao ano por dez anos.
Com esta operação o banco repassaria parte de sua exposição no setor “alumínio” durante o
prazo do CDS para outra instituição e, portanto, melhoraria sua relação risco-retorno. Porém o
banco pode não querer diminuir sua exposição a risco de crédito. O banco então pode
proceder de duas formas:
• Já que o banco “abriu espaço” em sua carteira de empréstimos, e caso possua caixa,
ele pode voltar ao mercado e conceder um novo empréstimo a uma empresa de um
setor totalmente diferente do anterior.
• Outra boa alternativa é voltar ao mercado de CDS’s. O banco poderia vender um CDS
de mesmo prazo, ou seja, cinco anos em, por exemplo, Merril Lynch. Suponha que a
32
taxa do CDS recebida será de 1,25% ao ano. O custo líquido da operação da operação
será de 0,10% ao ano (1,25% Merril Lynch – 1,35% ALCOA).
A estratégia mostra que os CDS’s podem ser usados para diversificar o risco de crédito da
carteira. Isto é possível devido ao fato de que os CDS’s nos permitem “comprar” e “vender”
risco de crédito. Em nosso caso foi possível trocar o risco de crédito de uma empresa que
possui alta correlação de risco de inadimplência com outras empresas da carteira, por uma
outra empresa com baixa correlação.
Veja que com a nova combinação a carteira possuirá uma correlação média de inadimplência
menor entre os ativos que a compõem, como também possuirá uma qualidade de crédito total
melhor.
6.6. RISCO DE INADIMPLÊNCIA DO VENDEDOR DE PROTEÇÃO
Toda a teoria até agora desenvolvida parte da premissa de que a probabilidade de o vendedor
de proteção incorrer em inadimplência é zero. Porém isto não é verdade. Para o comprador de
proteção através de um CDS a melhor contraparte será uma instituição com alta qualidade de
crédito, digamos com nota AAA e baixa correlação de risco de crédito com a entidade de
referência a qual estamos querendo comprar proteção. Parece evidente a afirmação de que
gostaríamos de comprar proteção de uma instituição com alta qualidade de crédito, assim
estaremos “garantindo” que seremos ressarcidos pelas perdas incorridas caso ocorra o evento
de inadimplência ao qual compramos proteção, porém, quanto melhor for à qualidade de
crédito do vendedor de proteção maior será o preço.
Por outro lado, é igualmente importante que procuremos instituições que tenham pouca
correlação de risco de crédito com a entidade de referência. Por exemplo, é razoável acreditar
33
que bancos japoneses têm alta correlação de risco de crédito com empresas japonesas, logo se
estamos comprando proteção contra o risco de crédito de uma empresa japonesa em
particular, devemos procurar bancos que possuam baixa correlação de crédito com ela, sob
pena de o evento de inadimplência afetar o poder de pagamento do vendedor de proteção.
Quando estamos comprando proteção de uma instituição com alta correlação de crédito com a
entidade de referência estamos potencializando o risco de crédito desta.
Se levarmos estes dois fatores em consideração, chegaremos à conclusão de que é melhor
comprar proteção de uma instituição que possua uma nota de crédito mais baixa, porém com
um risco ainda aceitável, e que tenha baixa correlação de risco de crédito com a entidade de
referência do que comprar proteção de uma instituição de nota de crédito mais alta, porém
com uma alta correlação de risco de crédito com a entidade de referência.
6.7. ERRO DE BASE
Outro ponto importante em um contrato de CDS está na escolha do conjunto de ativos de
referência que são importantes para se determinar as bases de cálculo dos valores a serem
pagos caso ocorra o evento de inadimplência, ou no caso da liquidação ser físca, para se
especificar o conjunto de ativos que serão entregues. Além disto é possível que estes ativos
sejam usados também para caracterizar alguns eventos de inadimplência, como por exemplo,
o não pagamento de juros periódicos ou do principal de algum título específico.
O problema na escolha do conjunto dos ativos de referência está na possibilidade de estes
ativos nã sejam cem por cento correlacionados com o risco de inadimplência da entidade de
referência, por isto sua escolha é tão importante. O desafio aqui está na tentativa de não correr
em risco de base. Porém, na auxência de um “hedge” melhor, é razoável assumir algum risco
34
de base para receber um pagamento que tenha alguma correlação com a queda no preço do
ativo em façe de um evento de crédito.
6.8. PRECIFICAÇÃO DE CDS’s – Modelo de Hull & White
Para que possamos calcular o spread de um CDS é necessário conhecer a probabilidade neutra
ao risco que uma determinada entidade tem em incorrer em inadimplência ao longo do tempo.
Vamos assumir como hipótese que a possibilidade de incorrer em inadimplência é a única
razão para que uma entidade venda títulos financeiros por um preço menor (uma taxa de
retorno maior) do que uma entidade considerada sem risco de crédito. Isto significa dizer que
existe uma relação entre os juros pagos pelos títulos e a perda por inadimplência. Esta
hipótese é à base de nossos cálculos e não será relaxada em nenhum momento. Os títulos
financeiros emitidos por essas entidades são as melhores fontes de dados para se estimar as
probabilidades de inadimplência, ao mesmo tempo em que as agências de classificação de
risco são particularmente interessantes para nos ajudar neste processo, principalmente quando
a entidade de crédito não possuir títulos emitidos ou caso estes títulos não gozem de boa
liquidez. Vamos comparar os preços de títulos financeiros cujos emissores estão sujeitos a
risco de crédito com outros títulos financeiros que prometem pagar o mesmo fluxo de caixa e
possuem o mesmo vencimento, porém são títulos cujos emissores são considerados sem risco
de crédito. Isto implica que o excesso de taxa paga pelo emissor do título sujeito a risco de
crédito compensa totalmente a perda esperada em função de inadimplência.
6.8.1. Probabilidade de Inadimplência com Títulos que não Pagam Juros Periódicos
Sabemos que normalmente os títulos financeiros são estruturados em sua emissão primária
pagando juros periódicos, o que nos impossibilitaria de usar este método. Porém já que é
possível extrair a estrutura a termo de juros de títulos financeiros a partir de dados coletados
35
no mercado financeiro, isto para cada classificação de risco crédito, então poderemos
implementar este modelo.
6.8.2. Probabilidade de Inadimplência – sem taxa de Recuperação
A partir de nossa hipótese principal, podemos então dizer que o valor presente da
perda esperada por inadimplência como proporção do valor atual do título sem risco de
crédito de uma determinada entidade é igual à diferença entre o preço do título financeiro
emitido por este e um título de um emissor sem de risco de crédito.
Seja;
:)(TQ Probabilidade acumulada neutra ao risco de inadimplência entre zero e T .
:RF
TY Taxa interna de retorno do título sem risco de crédito observada na estrutura a
termo de juros da entidade de referência.
:TY Taxa interna de retorno do título com risco de crédito observada na estrutura a
termo de juros da entidade livre de risco.
Então:
TYTYTY TRF
TRF
T eeeTQ ×−×−×− −=×)(
TYTYTY RFTT
RFT eeeTQ ××−×− ×−= )()(
)(1)(RF
TT YYTeTQ −−−=
Poderemos também extrair a mesma expressão para a probabilidade neutra ao risco
acumulada )(TQ a partir da afirmação de que é válido dizer que o valor presente esperado, no
36
mundo neutro ao risco de um título com probabilidade de inadimplência )(TQ no tempo T é
igual ao valor do título hoje. Mantidas as mesmas premissas anteriores, teremos então:
TYTY TRF
T eeTQTQ ×−×− ×=×−+× 1]1))(1(0)([
TYTY TRF
T eeTQ ×−×− =− ))(1(
TYTY TRF
T eeTQ ×−×− =− ))(1(
)()(1)(1RF
TTRF
TT YYTTYTY eTQeeTQ −−××− =−⇒×=−
)(1)(RF
TT YYTeTQ −−−=
6.8.3. Probabilidade de Inadimplência – com Taxa de Recuperação
A expressão acima encontrada tem como hipótese que a perda por inadimplência do detentor
da obrigação será total. No mundo real, porém, não é isto que ocorre. O detentor da obrigação
acaba recuperando um determinado percentual sobre o que chamaremos de “valor requerido”.
A este percentual chamaremos de taxa de recuperação “ R”. Para que possamos extrair uma
expressão para )(TQ , assumiremos que em caso de inadimplência o investidor desejará
receber uma proporção R do valor da obrigação ao par, ou seja o nosso “valor requerido”
será o valor do título caso não haja inadimplência. Então teremos uma nova expressão para o
valor presente esperado do título. Mantidas as demais premissas teremos a seguinte expressão:
TYTY TRF
T eeTQRTQ ×−×− ×=×−+×× 1]1))(1(1)([
TYTY TRF
T eeTQRTQ ×−×− =−+× ))](1()([
37
TYTY TRF
T eeTQRTQ ×−×− =−+× ))](1()([
)()(1)(RF
TT YYTeTQRTQ −−=−+×
)(1)1)((RF
TT YYTeRTQ −−−=−
R
eTQ
RFTT YYT
−−=
−−
1
1)(
)(
6.8.4. Exemplo
Suponha que uma determinada entidade possua uma estrutura a termo de juros conforme a
tabela abaixo:
TEMPO SPREAD Um ano 0,25%
Dois anos 0,50% Três anos 0,80%
Quatro anos 1,05% Cinco anos 1,45% Seis anos 1,95%
Tabela 7 – Spread dos títulos
A partir destes dados podemos calcular a probabilidade de inadimplência neutra ao risco
acumulada para os vencimentos. Assuma que a taxa de recuperação seja constante em 30% e
que o valor requerido seja o valor do título ao par. Assim teremos:
%3567,030,01
1)1(
0025,01
=−
−=×−e
Q
%4215,130,01
1)2(
0050,02
=−
−=×−e
Q
%3878,330,01
1)3(
0080,03
=−
−=×−e
Q
38
%8757,530,01
1)4(
01050,04
=−
−=×−e
Q
%9906,930,01
1)5(
01450,05
=−
−=×−e
Q
%7735,1530,01
1)6(
01550,06
=−
−=×−e
Q
Vamos extrair a probabilidade de inadimplência neutra ao risco por intervalos de 1 ano, que é
a probabilidade incondicional de inadimplência vista a partir de 0=T . Teremos:
%3567,0)1()10( ==→ QQ
%0648,1)1()2()21( =−=→ QQQ
%9663,1)2()3()32( =−=→ QQQ
%4880,2)3()4()43( =−=→ QQQ
%1149,4)4()5()54( =−=→ QQQ
%7829,5)5()6()65( =−=→ QQQ
6.9. CÁLCLO DA PROBABILIDADE DE INADIMPLÊNCIA COM O USO DE VÁRIOS TÍTULOS DO MESMO EMISOR EM TEMPO DISCRETO
Até agora, para podermos calcular a probabilidade neutra ao risco de inadimplência foi
necessário assumir duas hipóteses: o “valor requerido” será sempre o valor do título ao par; é
correto calcular a probabilidade de inadimplência a partir da estrutura a termo de juros
extraída no mercado. De agora em diante vamos flexibilizar estas duas hipóteses. Para
podermos aproximar mais nosso modelo do mundo real, iremos supor que o “valor requerido”
pelos detentores dos títulos seja de duas formas: seu valor ao par mais a taxa interna de
39
retorno paga pelo título entre o último valor de juros pago e o momento do evento de
inadimplência ou pelo valor futuro do título no momento do evento de inadimplência.
Para extrairmos uma nova expressão para calcular a probabilidade de inadimplência vamos
usar vários títulos emitidos pela própria entidade. No caso de ser uma emissão nova, ou seja,
não houver outros títulos emitidos pelo mesmo emissor, poderemos fazer uma aproximação
usando títulos de emissores com a mesma classificação de risco.
Por conveniência iremos assumir que as taxas de desconto são dadas e que tanto a taxa de
recuperação quanto o “valor requerido” são conhecidos com certeza. Jhon Hull afirma que os
resultados obtidos serão verdadeiros mesmo com essas restrições impostas, contanto que os
eventos de inadimplência, a taxa livre de risco e as taxas de recuperação sejam variáveis
mutuamente independentes. Infelizmente não será possível relaxar esta hipótese sob a pena de
que tenhamos que nos defrontar com modelos muito mais complexos.
Vamos supor que o evento de inadimplência somente poderá ocorrer imediatamente ates das
datas de vencimento dos títulos. Defina como it as datas de pagamento de juros para um título
específico, onde nttt <<< ...21 .
Seja;
:jB Preço atual do jotaésimo título.
:jG Preço atual do jotaésimo título que promete o mesmo fluxo de caixa de jB assumindo
que este não possua risco de crédito.
40
:)(tF j Preço futuro do jotaésimo título em um contrato futuro com vencimento em t ( jtt < )
assumindo que o título não possui risco de crédito, ou seja, )(tF j é p preço futuro de jG .
:)(tv É o fator de desconto calculado a partir da taxa livre de risco.
:)(tC j “Valor requerido” do jotaésimo título feito pelos seus detentores caso ocorra o evento
de inadimplência em t ( jtt < ).
:)(tRj Taxa de recuperação do jotaésimo título caso ocorra o evento de inadimplência em
t ( jtt < ).
:ijα Valor presente da perda realizada por inadimplência do jotaésimo título ocorrida em it .
:ip Probabilidade neutra ao risco de inadimplência em it .
O preço do jotaésimo título capitalizado a taxa livre de risco no instante t é )(tF j . Caso
ocorra o evento de inadimplência em t o valor recuperável do título será )()( tCtR jj × . Por
conseguinte teremos a seguinte expressão para ijα :
[ ])()()()( ijijijiij tCtRtFtv −=α
Da mesma forma que anteriormente, podemos afirmar, que existe uma probabilidade
associada ao valor da perda realizada por inadimplência cujo resultado explica totalmente a
diferença entre os preços dos títulos financeiros. Lembre-se que por hipótese a única razão
para que esta diferença exista é o fato de que um dos emissores está sujeito a risco de crédito.
O valor presente total das perdas esperadas do jotaésimo título será, portanto, dado pela
seguinte expressão:
41
∑=
=−j
iijijj pBG
1
α
A partir desta expressão, podemos deduzir facilmente uma expressão geral para jp .
Para 1=j teremos;
1,1
1111,1111 α
α BGppBG
−=⇒=−
Para 2=j teremos;
2,2
2,1122
2
2
12,22
][
αα
α×−−
=⇒=− ∑=
pBGppBG
iii
Para 3=j teremos;
3,3
3,223,1133
3
1
13,33
][
ααα
α×+×−−
=⇒=− ∑=
ppBGppBG
iii
Para jj = teremos;
jj
jjjjj
ji
jiijj
pppBGppBG
,
,113,223,111
1,
]...[
αααα
α −−
=
×++×+×−−=⇒=− ∑
Podemos escrever que de forma geral jp será:
42
jj
j
iijijj
j
pBGp
α
α∑−
=−−
=
1
1
6.9.1. Exemplo
Suponha que possamos observar títulos no mercado emitidos por um agente econômico
qualquer cujas características se encontram na tabela abaixo:
TÍTULO VENCIMENTO JUROS PERIÓDICOS TAXA INTERNA DE RETORNO
1B Um ano R$ 3,50 6,49% aa
2B Dois anos R$ 3,50 6,59% aa
3B Três anos R$ 3,50 6,69% aa
4B Quatro anos R$ 3,50 6,78% aa
5B Cinco anos R$ 3,50 6,88% aa
6B 10 anos R$ 3,50 7,07% aa
Tabela 8 – Exemplo de Cálculo da Probabilidade de Inadimplência - Dados
Além disto teremos também como premissas: A taxa livre de risco será constante para todos
os períodos e igual a 4,94% ao ano composto continuamente; A taxa interna de retorno do
título é composta continuamente; Os juros periódicos são pagos semestralmente; A taxa de
recuperação é a mesma para todos os títulos em qualquer momento e igual a 30%; O valor de
face será de 100 unidades monetárias.
A partir da fórmula encontrada, vamos calcular a probabilidade neutro ao risco de
inadimplência para o caso do “valor reclamado” ser o valor de face mais o pagamento de uma
parcela de juros periódicos. O cálculo completo encontra-se no Apêndice A.
Valores de jB encontrados:
43
381,1001 =B ; 553,1002 =B ; 535,1003 =B ; 344,1004 =B ; 000,1005 =B ;
592,986 =B .
Valores de jG encontrados:
927,1011 =G ; 762,1032 =G ; 508,1053 =G ; 170,1074 =G ; 752,1085 =G ;
589,1156 =G .
Valores de )(tF j encontrados:
50,103)1(1 =F ; 427,105)1(2 =F ; 500,103)2(2 =F ; 262,107)1(3 =F ;
427,105)2(3 =F ; 500,103)3(3 =F ; 008,109)1(4 =F ; 262,107)2(4 =F ;
427,105)3(4 =F ; 500,103)4(4 =F ; 670,110)1(5 =F ; 008,109)2(5 =F ;
262,107)3(5 =F ; 427,105)4(5 =F ; 500,103)5(5 =F ; 853,117)1(6 =F ;
555,116)2(6 =F .
Valores de ijα encontrados:
9590,681,1 =α ; 7935,702,1 =α ; 6361,652,2 =α ; 5397,723,1 =α ; 3819,673,2 =α ;
4734,623,3 =α ; 2015,744,1 =α ; 0443,694,2 =α ; 1351,644,3 =α ; 4631,594,4 =α ;
7835,755,1 =α ; 6261,705,2 =α ; 7174,655,3 =α ; 0447,615,4 =α ; 5978,565,5 =α ;
6203,826,1 =α ; 4633,776,2 =α ; 5545,726,3 =α ; 8823,676,4 =α ; 4349,636,5 =α ;
2141,446,6 =α .
44
Cálculo de jp .
jj
j
iijijj
j
pBGp
α
α∑−
=−−
=
1
1
0224,09590,68
381,100927,101
1,1
111 =−=−=
αBG
p
0247,02 =p ; 0269,03 =p ; 0291,04 =p ; 0311,05 =p ; 1657,06 =p
6.10. CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INADIMPLÊNCIA EM TEMPO CONTÍNUO.
Até agora nosso estudo foi desenvolvido a partir da premissa que o evento de inadimplência
somente poderia acontecer no vencimento de cada título. Porém esta mesma análise pode ser
estendida para calcularmos a probabilidade neutra ao risco de inadimplência cujo evento de
inadimplência possa ocorrer em qualquer momento t.
Defina )(tq como sendo a densidade de probabilidade de inadimplência. Isto significa dizer
que ttq δ)( é a probabilidade de inadimplência entre os momentos t e tt δ+ vista a partir de
0=t . Novamente iremos assumir que )(tq é constante para todos os títulos e igual a iq
onde ii ttt <<−1 , assim teremos:
[ ]dttRCtFtvt
tjjij
i
∫−
−=1
)()()(β
Sabemos também que:
45
∑=
=−j
iijijj qBG
1
β
A mesma demonstração usada para o caso do cálculo da probabilidade em tempo discreto vale
também agora para acharmos uma expressão geral para jq . Chegaremos então a seguinte
expressão:
jj
j
iijijj
j
qBGq
β
β∑−
=−−
=
1
1
6.11. APREÇAMENTO DO SWAP DE CRÉDITO
O modelo ora sugerido nada mais é do que uma extensão da lógica que foi utilizada para se
calcular a probabilidade neutra ao risco de inadimplência. Assumiremos, portanto as mesmas
hipóteses anteriores quando calculamos a probabilidade neutra ao risco de inadimplência, são
elas:
• O evento de inadimplência, as taxas de desconto e a taxa de recuperação são eventos
mutuamente independentes.
• O “valor reclamado” será o valor de face mais o pagamento de uma parcela de juros
periódicos.
• A taxa de recuperação será a mesma para todos os títulos a qualquer tempo it . Hull
faz referência a esta taxa como sendo a taxa esperada de recuperação no mundo neutro
ao riscoR̂.
6.11.1. Cálculo da Taxa do CDS em Tempo Discreto
46
Em um contrato de CDS existem dois fluxos de caixa distintos: O fluxo de caixa sob o ponto
de vista do comprador de proteção e o fluxo de caixa sob o ponto de vista do vendedor de
proteção. Para que não haja arbitragem no início da vigência do contrato é necessário que
estes dois fluxos sejam iguais. Suponha que em nosso contrato o nocional seja de uma
unidade monetária, o pagamento do CDSS seja semestral e mais:
Seja:
:T Prazo em anos do CDS.
:ip Probabilidade neutra ao risco de inadimplência em it .
:R̂ Taxa de recuperação.
:)(tu Somatório do valor presente do título caso não ocorra o evento de
inadimplência entre as datas )0(t e )(it .
:)(te Somatório do valor atual da parcela de juros em valores monetários decorridos
entre as datas )(it e *)(it onde *)(it é a data de vencimento do título imediatamente
anterior a )(it .
:)(tv É o fator de desconto calculado a partir da taxa livre de risco.
:CDSS Taxa anual do CDS.
:π Probabilidade neutra ao risco de não ocorrência do evento de inadimplência
durante a vida do CDS.
:)(tA Uma parcela dos juros periódicos como percentual do valor de face.
O comprador de proteção, em nosso modelo, paga semestralmente a taxa do CDS até o
vencimento do contrato ou até que ocorra o evento de inadimplência, o que acontecer
primeiro. Então, o valor presente esperado dos pagamentos que o comprador de proteção fará
47
no CDS será o valor presente de cada fluxo de caixa ponderado pela sua respectiva
probabilidade de inadimplência, caso o evento de crédito ocorra antes do vencimento do CDS,
mais a soma dos pagamentos feitos pelo comprador ponderados pela probabilidade de não
inadimplência caso este não ocorra.
Podemos calcular a probabilidade neutra ao risco de não ocorrência do evento de
inadimplência, π , a partir de ip , então:
∑=
−=n
iip
1
1π
O valor presente esperado dos pagamentos da taxa de proteção será:
)()]()([1
TuSptetuS CDSn
iiii
CDS ××++×∑=
π
Vamos agora analisar o fluxo de caixa sob o ponto de vista do vendedor de proteção. O valor
que o vendedor poderá fazer no caso de ocorrer o evento de inadimplência a cada instante
)(it será dado pela diferença entre o valor do título ao par e a parte recuperável do valor do
título.
RtARRtA ii )(1)](1[1 −−⇒×+−
Logo o valor presente neutro ao risco esperado a ser pago pelo CDS será:
∑=
−−n
iiii tvpRtAR
1
)(])(1[
48
Para encontrarmos o spread do CDS basta igualarmos os dois fluxos de caixa. Logo teremos:
)(])(1[)()(11
ii
n
ii
CDSn
iii
CDS tvpRtARTuSptuS ∑∑==
−−=××+× π
∑
∑
=
=
×+
−−= n
iii
n
iiii
CDS
Tuptu
tVpRtARS
1
1
)(])([
)(])(1[
π
6.11.2. Exemplo
Suponha um CDS com prazo de vencimento de três anos com pagamentos semestrais e que o
evento de inadimplência somente possa ocorrer ao fim dos anos um, dois e três. Assumiremos
que a taxa livre de risco para os três anos será constante em 7% ao ano composto
continuamente e a taxa de recuperação no mundo neutro ao risco é de 30%. O ativo de
referência não paga juros periódicos. Qual será a taxa do CDS? Usaremos as probabilidades
de inadimplência encontradas no exemplo anterior.
Em nosso caso itA i ∀= 0)( .
Cálculo de :)( itv
9324,0)( 107,0
1 === ××− eetv tRF
8694,0)( 207,0
2 === ××− eetv tRF
8106,0)( 307,0
3 === ××− eetv tRF
Cálculo de :)( itu
49
9490,022
)(107,05,007,0
1 =+=+=×−×−×−×− eeee
tutRFtRF
8338,18848,09490,022
)()(207,05,107,0
12 =+=+=++=×−×−×−×− eeee
tututRFtRF
6589,28250,08338,122
)()(307,05,207,0
23 =+=+=++=×−×−×−×− eeee
tututRFtRF
Sabemos que 0224,01 =p , 0247,02 =p e 0269,03 =p então π será:
9260,00269,00247,00224,0113
1
=++−=−= ∑=i
ipπ
Seja:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
×+
×−−=
×+
−−= 3
1
3
1
1
1
)(])([
)(]30,0030,01[
)(])([
)(])(1[
iii
iii
n
iii
n
iiii
CDS
Tuptu
tvp
Tuptu
tVpRtARS
ππ
01733,06589,29260,06589,20269,08338,10247,09490,00224,0
)8106,00269,08694,00247,09324,00224,0(7,0 =×+×+×+×
×+×+××=CDSS
Ou seja, a taxa do CDS será de 1,733% ao ano pago semestralmente.
6.11.3. Cálculo da Taxa do CDS em Tempo Contínuo
Neste caso estamos assumindo que o evento de inadimplência poderá ocorrer a qualquer
momento. A lógica é a mesma do cálculo em tempo discreto apenas com a diferença que
50
agora usaremos a densidade de probabilidade neutra ao risco )(tq . A equação para calcular
CDSS ficará da seguinte forma:
)()]()()[(
)()(])(1[
0
0
tudttetutq
dttvtqRtARS T
T
CDS
×++
×−−=∫
∫π
6.12. APREÇAMENTO DE SWAP DE CRÉDITO BINÁRIO
Como vimos um CDS Binário possui exatamente a mesma estrutura e características de um
CDS padrão. A única diferença entre eles consiste no fato de que no CDS Binário o
pagamento em caso de ocorrência do evento de inadimplência é feito através de um valor fixo
pré-determinado.
Neste caso a taxa de recuperação afetará a probabilidade neutra ao risco de inadimplência,
porém não afetará o pagamento feito pelo vendedor de proteção caso ocorra o evento de
inadimplência. Para acharmos uma expressão geral, vamos supor que o valor do pagamento
no caso de ocorrência do evento de inadimplência será de uma unidade monetária. Desta
forma poderemos calcular CDSBS da seguinte maneira:
)()]()()[(
)()(
0
0
tudttetutq
dttvtqS T
T
CDSB
×++=∫
∫π
Por fim, cabe ressaltar que este tipo de CDS é bastante sensível à taxa de recuperação. Quanto
maior for esta menor será o spread do CDS e visse versa.
51
7 NOTAS LIGADAS AO CRÉDITO (CREDIT LINKED NOTES – CLN )
Notas Ligadas ao Crédito são notas financeiras que possuem um derivativo de crédito
embutido. As CLN’s são emitidas normalmente por uma instituição de alta qualidade de
crédito e da mesma forma que um título financeiro normal elas pagam juros periódicos e o
principal no vencimento. As CLN’s recebem a classificação de risco de crédito do seu
emissor. Qualquer derivativo de crédito pode estar embutido em uma CLN, porém, o mais
usual é que um CDS esteja embutido. Note que nesta operação o emissor da CLN compra
proteção sobre o risco de crédito de referência do derivativo de crédito que está embutido na
nota.
Sabemos que uma das principais características dos derivativos de crédito é permitir que
possamos assumir risco de crédito sem desencaixe de moeda. Ora, então por que alguém
entraria em um negócio de derivativos de crédito através da compra de CLN’s. A resposta é
muito simples, são justamente aquelas instituições que por questões de regulamento interno
ou força da lei, são proibidas de negociarem derivativos, sejam estes em mercado organizado
ou em balcão. Desta forma as CLN’s se tornaram um importante instrumento financeiro, para
que estas instituições possam participar do mercado de derivativos de crédito.
Além disto existem algumas vantagens para o emissor de CLN’s que diferem de uma
negociação direta com derivativos de crédito. Em primeiro lugar por serem títulos financeiros
52
estas notas não precisam da anuência ou da confirmação por parte da ISDA (International
Swaps and Derivatives Association). Em segundo lugar a operação não ocupa as linhas de
crédito do investidor.
Porém o que é mais atraente nesta operação é o fato de que o emissor da CLN não corre o
risco de inadimplência da contraparte (provedor do seguro), além do que também não
importa, para o emissor, o grau de correlação que exista entre o risco de crédito de referência
e o risco de crédito do investidor, isto devido ao fato de que o investidor para adquirir a CLN
paga ao emissor um valor nocional correspondente a 100% do risco assumido por ele.
Vejamos um exemplo de CLN que foi emitido por uma instituição de primeira linha em Julho
de 2005: Emissor: Banco Europeu de primeira linha; Data: Julho de 2005; Vencimento: cinco
anos; Entidade de Referência: Petrolíferas do México – PEMEX; Evento de crédito:
Inadimplência; Taxa da CLN: Libor + 119 BP.
Note que em nosso exemplo, o investidor está exposto ao risco de crédito da PEMEX, o que é
muito próximo a comprar um título emitido pela PEMEX ou comprar um CDS cuja entidade
de referência seja a mesma. A única diferença é que o investidor também assumiu um risco
residual pela exposição ao risco de crédito do emissor da CLN. Do ponto de vista do emissor
(banco de primeira linha europeu) o investidor vendeu para ele um CDS e colocou
“depositou” o equivalente a 100% do nocional em garantias.
53
8 OBRIGAÇÃO GARANTIDA (COLLATERALISED DEBT OBLIGATION - CDO)
Os CDO’s são instrumentos financeiros cuja estrutura (em sua forma mais simples) consiste
em agrupar ativos com risco de crédito formando uma carteira de obrigações que servirá de
lastro para a emissão de apólices de uma empresa especificamente criada para este propósito
que chamaremos de “Trust”. Podemos dizer que o CDO é uma forma de criar valores
mobiliários com características de risco de crédito bastante diferentes da carteira original. As
apólices são garantidas pelas obrigações da carteira formada especialmente para este fim, daí
o nome CDO.
A principal inovação na estrutura de um CDO está na forma como as apólices emitidas pela
“Trust” são tratadas. São criadas algumas classes de apólices que possuem uma hierarquia
entre elas e as quais passaremos a chamar de Lote. Cada Lote possui um nocional que é
equivalente a um percentual da carteira de obrigações original e possuem um retorno esperado
específico. As perdas causadas por um evento de inadimplência sofrido na carteira de
obrigações serão absorvidas pelo Lote de menor hierarquia até o limite de seu nocional para
então passar a ser absorvido pelo Lote seguinte.
Vamos ilustrar o que foi dito até agora com um exemplo. Seja uma estrutura de CDO de
acordo com o diagrama abaixo:
54
Figura 4 – Estrutura de uma Obrigação Garantida
O Lote um possui um nocional equivalente a 30% da carteira de obrigações e é aquele que
absorverá os primeiros 30% de perda caso ocorra um evento de inadimplência em algum dos
títulos que compõem a mesma. O Lote dois possui um nocional equivalente a 20% da carteira
e absorverá os próximos 20% de perda após todo o nocional do Lote um ser utilizado. O Lote
três também possui um nocional equivalente a 20% da carteira e absorverá os próximos 20%
de perda após todo o nocional do Lote dois. Por fim o Lote quatro possui um nocional
equivalente a 30% da carteira e absorverá as demais perdas.
Caso ocorra uma perda, os rendimentos pagos aos portadores dos Lotes são calculados sobre o
saldo remanescente do nocional original daquele Lote. Por exemplo, suponha que ocorra um
evento de inadimplência que implique em uma perda no valor de R$ 30.000,00. Esta perda
Título Financ 1
Título Financ 2
Título Financ 3 . . . . . . . .
Título Finac N
Nocional R$ 1.000.000,00
Retorno Esperado
12% aa
TRUST
LOTE 1 Nocional: R$300.000,00 Retorno: 25% aa
LOTE 2 Nocional: R$200.000,00 Retorno: 14,5% aa
LOTE 3 Nocional: R$200.000,00 Retorno: 5% aa
LOTE 4 Nocional: R$300.000,00 Retorno: 2% aa
55
será totalmente absorvida pelo Lote um (o mais baixo na hierarquia) e o rendimento será
então pago sobre R$ 270.000,00.
A partir da estrutura exposta, fica fácil entender que quanto mais alta a hierarquia do Lote,
melhor sua classificação de risco. Note que eventuais perdas sofridas na carteira original terão
que exceder a 70% de seu nocional para que os detentores do Lote quatro sejam afetados. O
Lote três possui um risco maior do que o Lote quatro, porém, em nosso exemplo, ainda assim
um risco menor do que a carteira original. Perdas sofridas na carteira original teriam que
exceder a 50% de seu nocional para afetarem o Lote três. O Lote 2 supostamente possui risco
superior que a carteira original e absorve perdas sofridas entre 30% e 50% do nocional dessa.
O primeiro Lote (Lote um) é substancialmente sensível ao risco da carteira e normalmente é
retido pelo emissor do CDO.
O CDO é um derivativo de crédito pelo qual é possível criar obrigações com alta qualidade de
risco de crédito a partir de obrigações com média ou até mesmo baixa qualidade de risco de
crédito. Para isto, basta concentrar o risco de inadimplência no primeiro Lote aumentando seu
nocional. Outro ponto importante é a correlação de risco de crédito existente entre as
obrigações que compõem a carteira original. A classificação de risco de crédito dos Lotes
dois, três e 4 depende muito desta correlação. Quanto menor for a correlação de risco de
crédito, maior será a qualidade de crédito dos Lotes e conseqüentemente melhor será sua nota
de risco de crédito. Esta característica do CDO torna este instrumento financeiro bastante
atraente, pois os CDO’s podem ser estruturados de forma a oferecer relações de risco e retorto
especialmente construídas de forma a atenderem a demanda dos investidores, muito dos quais
não poderiam investir diretamente nas obrigações que compõem a carteira original, seja por
que estas obrigações não estejam accessíveis (empréstimos), seja devido à baixa classificação
de risco que eventualmente elas possam possuir.
56
8.1. OUTROS FORMATOS DE CDO’s
Vimos acima à estrutura básica de um CDO mais existem algumas variações possíveis, na
verdade como a maioria dos derivativos de crédito “não há limites” para novas formas.
Vejamos algumas:
• Caso a carteira original seja constituída por empréstimos, então diremos que se trata
de um CLO – Collateralised Loan Obligation.
• Caso a carteira original seja constituída por financiamentos habitacionais, então
diremos que se trata de um CMO - Collateralised Mortgage Obligation.
• Caso a carteira original seja constituída por CDS’s (swaps de crédito), então estamos
diante de um CDO Sintético – Synthetic Collateralised Debt Obligation.
A carteira original pode ser administrada de forma ativa ou passiva. Caso a gestão da carteira
seja ativa, o gestor deverá observar algumas restrições legais geralmente incluídas nesse tipo
de operação. CDO’s com administração ativa de sua carteira são marcados a mercado
regularmente e o fluxo de caixa deste é afetado pelos resultados desta marcação a mercado. Já
os CDO’s com administração passiva de sua carteira possuem o seu fluxo de caixa
perfeitamente correlacionado com o fluxo de caixa da carteira original.
Por fim, existem também estruturas exóticas de CDO’s. Uma delas consiste no fato do
emissor do CDO, por algum motivo, não puder divulgar as entidades de referência das
obrigações que compõem a carteira original, neste caso o CDO é chamado de Black Box.
Outra forma que está “na moda” no mercado de CDO’s é aquele que emite apenas uma
apólice. Um exemplo prático foi o CDO emitido em 2006 por um banco de primeira linha,
nele a Trust vendeu apenas uma apólice, alavancava o nocional captado em 10 vezes e
emprestava este novo montante a pequenas e médias empresas americanas.
57
9 DERIVATIVOS DE CRÉDITO NO BRASIL
O Conselho Monetário Nacional (CMN) através da Resolução Nº 2.933 de 28 de Fevereiro de
2002 autorizou as instituições financeiras e demais instituições autorizadas a funcionar pelo
Banco Central do Brasil (BACEN) a realizar operações com derivativos de crédito. O CMN
permitiu a negociação de dois tipos de derivativos de crédito: o swap de crédito e o swap de
retorno total. Após quatro anos da entrada em vigor desta resolução o volume negociado de
derivativos de crédito é praticamente nulo (hoje estão registrados quatro contratos somando
um nocional total de R$200 milhões). Qual será a razão para que um instrumento financeiro
tão poderoso e que vem sendo negociado cada vez com maior freqüência e em volumes
maiores a cada ano no mercado internacional não seja “atraente” o bastante para as
instituições financeiras nacionais?
Uma das respostas possíveis para este questionamento, como veremos, pode ser facilmente
encontrada na própria Resolução 2.933. Esta resolução é excessivamente conservadora, o que
praticamente inviabiliza o desenvolvimento do mercado de derivativos de crédito no Brasil.
Para avaliarmos melhor, vamos então confrontar alguns pontos da Resolução 2.933 que
considero serem os mais importantes com as características mais marcantes dos derivativos de
crédito e com seus potenciais usos.
58
O artigo 4º da Resolução 2.933 estabelece a obrigatoriedade de se registrar as operações com
derivativos de crédito em uma entidade registradora de ativos autorizada para este fim pelo
Banco Central do Brasil. Hoje este papel é exercido pela Câmara de Custodia e Liquidação de
títulos Privados (CETIP). Como sabemos, no mercado internacional, os derivativos de crédito
são instrumentos financeiros negociados em balcão e não existe nenhuma obrigação das
partes para registrar o contrato. Mesmo sabendo que as informações contidas nos contratos
que são registrados na CETIP são sigilosos, esta obrigação pode gerar um certo desconforto
entre as contrapartes, principalmente aquela que está comprando proteção, pois como vimos
um dos atrativos para este tipo de operação é a confidencialidade.
Somente instituições autorizadas pelo Baco Central do Brasil a atuarem no mercado
doméstico podem negociar derivativos de crédito no Brasil (artigo 1º). Este artigo coloca uma
barreira no desenvolvimento deste mercado em nosso país. Significa dizer, por exemplo, que
um banco brasileiro não pode buscar proteção contra um risco de crédito específico em um
banco estrangeiro que não seja autorizado a funcionar no Brasil. Sabemos que uma motivação
para usar derivativos de crédito é poder diversificar o risco de sua carteira no que tange a
aspectos geográficos ou de industria, por exemplo, isto sem a necessidade de usar
mecanismos clássicos para assumir risco de crédito, como, por exemplo, conceder
empréstimos ou comprar títulos financeiros, o que levaria as instituições a incorrer em custos
administrativos adicionais desnecessários.
Como foi colocado acima, o Banco central do Brasil somente autorizou a negociação com
dois tipos de derivativos de crédito: o swap de crédito e o swap de retorno total. Eles juntos
correspondem a um pouco mais de 55% do volume negociado no mercado internacional de
derivativos de crédito. Fazendo uma projeção para o mercado brasileiro baseado em que estas
proporções negociadas se repitam no Brasil, podemos concluir que não só estamos negando
59
aos agentes econômicos a possibilidade de negociar os outros tipos de derivativos de crédito
como também estamos limitando o tamanho potencial do mercado, já que os outros tipos de
derivativos de crédito correspondem aproximadamente à metade dos negócios efetuados.
Outra restrição importante é a que obriga as instituições financeiras que estão na ponta
compradora de proteção a manter o ativo de referência em sua posse até o término do
contrato. Vimos no capítulo de swap de retorno total que uma das motivações para se lançar
mão deste instrumento é a possibilidade de criar uma posição sintética vendida a partir da
compra de proteção de um ativo que o agente econômico não possui. Esta estratégia é
particularmente útil quando estamos diante de um ativo que não permite assumir uma posição
vendida, como por exemplo, um empréstimo.
Outros fatores de menor peso também colaboram para que o mercado de derivativos de
crédito simplesmente não exista no Brasil. A Resolução 2.933 impede que fundos de
investimento transacionem derivativos de crédito (Art 1º, parágrafo 1º). No mercado
internacional estas instituições respondem por aproximadamente 17% dos negócios. Logo esta
resolução exclui um ator importante neste mercado.
No que concerne à liquidação das operações quando ocorre um evento de crédito, a Resolução
2.933 em seu artigo 3º parágrafo IV diz que a contraparte receptora do risco de crédito
compromete-se a ressarcir a contraparte transferidora os valores “pactuados” entre eles. Isto
nos sugere duas possibilidades: primeiro é que não existe a liquidação física e segundo é que
o valor “pactuado” é um valor fixo. Desta forma, as operações com swap de crédito ficam
mais caras e se restringe ainda mais o uso dos derivativos de crédito, já que só é possível
realizar uma operação de Swap de Crédito Binário.
60
Para inviabilizar de vez o uso de derivativos de crédito no Brasil o artigo 1º parágrafo 3º/II diz
que os ativos subjacentes devem ser necessariamente “negociados e praticados no mercado
doméstico”. Ora a indústria bancaria no Brasil tem como uma de suas características mais
marcantes o fato de que o mercado é concentrado em instituições financeiras que tem atuação
nacional, logo praticamente não há como promover uma diversificação de uma carteira
exposta a risco de crédito negociando apenas títulos ou créditos disponíveis em nossas
fronteiras, pois praticamente todos os participantes deste mercado têm acesso aos mesmos
clientes.
61
10 CONCLUSÃO
O Risco de Crédito é uma das quatro dimensões dos riscos corporativos. Até o surgimento dos
Derivativos de Crédito a gestão do Risco de Crédito era feita por métodos clássicos, como por
exemplo, a venda ou a securitização de ativos. Derivativos de Crédito são, por definição,
contratos financeiros de compra e venda de proteção contra perdas relacionadas a um evento
de crédito sem a necessidade de transferência dos ativos. Os Derivativos de Crédito estão
revolucionando o mercado financeiro e se transformaram na principal ferramenta para
administrar Risco de Crédito. Isto se dá devido ao fato de que os Derivativos de Crédito tem a
qualidade de transformar o Risco de Crédito em um ativo negociável, com isto o foco da
administração do Risco de Crédito deixou de ser nas operações individuais e passou a ser na
gestão da carteira como um todo. Vimos neste trabalho, que os Derivativos de Crédito são
realmente instrumentos eficientes para a gestão do Risco de Crédito, pois com eles é possível
melhorar a relação risco-retorno esperado de uma carteira exposta a Risco de Crédito.
Podemos também lançar mão da moderna teoria de carteiras associada aos Derivativos de
Crédito, o que torna possível administrar uma carteira exposta a Risco de Crédito da mesma
forma que qualquer outra carteira de investimentos.
62
REFERÊNCIAS BOBLIOGRÁFICAS
ARANOVICH, Selmo e PEREIRA, Thiago Rabelo. (2003) “Derivativos de Crédito: Uma Introdução ao Instrumento Financeiro e Potenciais Usos”, Revista do Bndes, Rio de Janeiro.
BADER, Fani Léa C. (2002) Derivativos de Crédito – uma Introdução, Notas técnicas do Banco Central do Brasil.
BOMFIM, Antulio N. (2001) “Understanding Credit Derivatives and Their Potencial to Synthesize Riskless Assets”, Federal Reserve Board.
DAGES, B. Gerard, PALMER, Damon, SHAD, Turney. (2005) “An Overview of the Emerging Market Credit Derivatives Market”, Federal Reserve Bank of New York.
DUARTE Jr., Antonio M., VARGA, Gyorgy. (2003) “Gestão de Riscos no Brasil”, Financial Consultoria, Rio de Janeiro.
DUFEY, Gunter, REHM, Florian. (2000). “An Introduction to Credit Derivatives”, University of Michigan Business School.
ELTON, Edwin J., GRUBER, Martin J., BROWN, Stephen J., GOETZMANN, William N. (2004) “Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos”, Editora Atlas, São Paulo.
HULL, John C. (2002) “Options Futures and Other Derivatives”, Prentice Hall, New Jersey.
HULL, John and WHITE, Alan. (2000) “Valuing Credit Default Swaps I: No Counterparty Default Risk”, University of Toronto, Toronto.
Resolução 2.933 de 28 de Fevereiro de 2002 do Conselho Monetário Nacional. Disponível em http://www.bacen.gov.br.
SCHONBUCHER, Philipp J. (2003) “Credit derivatives pricing models”, John Wiley & Sons, EUA.
TAVAKOLI, Janet M. (2001) “Credit Derivatives & Synthetic Structures”, John Wiley & Sons, EUA.
63
APÊNDICE A
Cálculo da probabilidade neutra ao risco de inadimplência com o uso de vários títulos do
mesmo emissor em tempo discreto – Cálculo do exemplo do capítulo 6.
Cálculo de jB .
∑=
××=T
t
tR
tj eFLCXB5,0
381,10050,1035,3 10649,05,00649,01
5,0
0649,0
1 =×+×=×= ××
=
×∑ eeeFLCXBt
t
t
20659,05,10659,010659,05,00659,02
5,0
0659,0
2 50,1035,35,35,3 ××××
=
× ×+×+×+×=×= ∑ eeeeeFLCXBt
t
t
553,100=
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20669,05,10669,010669,05,00669,03
5,0
0669,0
3 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXBt
t
t
535,1005,1035,3 30669,05,20669,0 =×+×+ ×× ee
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20678,05,10678,010678,05,00678,04
5,0
0678,0
4 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXBt
t
t
344,10050,1035,35,35,3 40678,05,30678,030678,05,20678,0 =×+×+×+×+ ×××× eeee
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20688,05,10688,010688,05,00688,05
5,0
0688,0
5 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXBt
t
t
+×+×+×+×+ ×××× 40688,05,30688,030688,05,20688,0 50,35,35,35,3 eeee00,1005,1035,3 50688,05,40688,0 =×+×+ ×× ee
64
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20707,05,10707,010707,05,00707,010
5,0
707,0
6 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXBt
t
t
+×+×+×+×+ ×××× 40707,05,30707,030707,05,20707,0 50,35,35,35,3 eeee
+×+×+×+×+ ×××× 60707,05,50707,050707,05,40707,0 50,35,35,35,3 eeee
+×+×+×+×+ ×××× 80707,05,70707,070707,05,60707,0 50,35,35,35,3 eeee
592,9850,1035,35,35,3 100707,05,90707,090707,05,80707,0 =×+×+×+×+ ×××× eeee
Cálculo de jG .
∑=
××=T
t
tRF
tj eFLCXG5,0
927,10150,1035,3 10494,05,00494,01
5,0
0494,0
1 =×+×=×= ××
=
×∑ eeeFLCXGt
t
t
20494,05,10494,010494,05,00494,02
5,0
0494,0
2 50,1035,35,35,3 ××××
=
× ×+×+×+×=×= ∑ eeeeeFLCXGt
t
t
762,103=
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20494,05,10494,010494,05,00494,03
5,0
0494,0
3 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXGt
t
t
508,1055,1035,3 30494,05,20494,0 =×+×+ ×× ee
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20494,05,10494,010494,05,00494,04
5,0
0494,0
4 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXGt
t
t
170,10750,1035,35,35,3 40494,05,30494,030494,05,20494,0 =×+×+×+×+ ×××× eeee
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20494,05,10494,010494,05,00494,05
5,0
0494,0
5 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXGt
t
t
+×+×+×+×+ ×××× 40494,05,30494,030494,05,20494,0 50,35,35,35,3 eeee
752,1085,1035,3 50494,05,40494,0 =×+×+ ×× ee
65
+×+×+×+×=×= ××××
=
×∑ 20494,05,10494,010494,05,00494,010
5,0
0494,0
6 50,35,35,35,3 eeeeeFLCXGt
t
t
+×+×+×+×+ ×××× 40494,05,30494,030494,05,20494,0 50,35,35,35,3 eeee
+×+×+×+×+ ×××× 60494,05,50494,050494,05,40494,0 50,35,35,35,3 eeee
+×+×+×+×+ ×××× 80494,05,70494,070494,05,60494,0 50,35,35,35,3 eeee
589,11550,1035,35,35,3 100494,05,90494,090494,05,80494,0 =×+×+×+×+ ×××× eeee
Cálculo de )(tF j .
[ ] tRF
jj eIGtF ∆××−=)( , onde I é o valor presente dos rendimentos entre o tempo zero e
t.
[ ] [ ] 50,103415,3927,101)1( 0494,01494,0
11 =×−=×−= × eeIGF
[ ] [ ] 427,105415,3762,103)1( 0494,01494,022 =×−=×−= × eeIGF
[ ] [ ] 500,103996,9762,103)2( 20494,02494,0
22 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 262,107415,3508,105)1( 0494,01494,033 =×−=×−= × eeIGF
[ ] [ ] 427,105996,9508,105)2( 20494,02494,0
33 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 500,103260,16508,105)3( 30494,03494,033 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 008,109415,3170,107)1( 0494,01494,0
44 =×−=×−= × eeIGF
[ ] [ ] 262,107996,9170,107)2( 20494,02494,044 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 427,105260,16170,107)3( 30494,03494,0
44 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 500,103223,22170,107)4( 40494,04494,044 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 670,110415,3170,107)1( 0494,01494,0
55 =×−=×−= × eeIGF
66
[ ] [ ] 008,109996,9170,107)2( 20494,02494,055 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 262,107260,16170,107)3( 30494,03494,0
55 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 427,105223,22170,107)4( 40494,04494,055 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 500,103898,27170,107)5( 50494,05494,0
55 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 853,117415,3170,107)1( 0494,01494,066 =×−=×−= × eeIGF
[ ] [ ] 555,116996,9170,107)2( 20494,02494,0
66 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 191,115260,16170,107)3( 30494,03494,066 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 758,113223,22170,107)4( 40494,04494,0
66 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 252,112898,27170,107)5( 50494,05494,066 =×−=×−= ×× eeIGF
[ ] [ ] 500,103426,52589,115)10( 100494,010494,0
66 =×−=×−= ×× eeIGF
Cálculo de ijα .
[ ])()()()( ijijijiij tCtRtFtv −=α
[ ] [ ] 9590,6850,10330,050,103)1()1()1( 0494,0
111
10494,0
1,1 =×−=−= −×− eCRFeα
[ ] [ ] 7935,7050,10330,0427,105)1()1()1( 0494,0222
10494,02,1 =×−=−= −×− eCRFeα
[ ] [ ] 6361,6550,10330,050,103)2()2()2( 20494,0222
20494,02,2 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 5397,7250,10330,0262,107)1()1()1( 0494,0
333
0494,0
3,1 =×−=−= −− eCRFeα
[ ] [ ] 3819,6750,10330,0427,105)2()2()2( 20494,0333
20494,03,2 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 4734,6250,10330,0500,103)3()3()3( 30494,0333
30494,03,3 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 2015,7450,10330,0008,109)1()1()1( 0494,0444
0494,04,1 =×−=−= −− eCRFeα
67
[ ] [ ] 0443,6950,10330,0262,107)2()2()2( 20494,0444
20494,04,2 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 1351,6450,10330,0427,105)3()3()3( 30494,0444
30494,04,3 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 4631,5950,10330,0500,103)4()4()4( 40494,0
444
40494,0
4,4 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 7835,7550,10330,0670,110)1()1()1( 0494,0555
0494,05,1 =×−=−= −− eCRFeα
[ ] [ ] 6261,7050,10330,0008,109)2()2()2( 20494,0555
20494,05,2 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 7174,6550,10330,0262,107)3()3()3( 30494,0
555
30494,0
5,3 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 0447,6150,10330,0427,105)4()4()4( 40494,0
555
40494,0
5,4 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 5978,5650,10330,0500,103)5()5()5( 50494,0555
50494,05,5 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 6203,8250,10330,0853,117)1()1()1( 0494,0666
0494,06,1 =×−=−= −− eCRFeα
[ ] [ ] 4633,7750,10330,0555,116)2()2()2( 20494,0
666
20494,0
6,2 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 5545,7250,10330,0191,115)3()3()3( 30494,0666
30494,06,3 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 8823,6750,10330,0758,113)4()4()4( 40494,0666
40494,06,4 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 4349,6350,10330,0252,112)5()5()5( 50494,0
666
50494,0
6,5 =×−=−= ×−×− eCRFeα
[ ] [ ] 2141,4450,10330,050,103)6()6()6( 60494,0
666
60494,0
6,6 =×−=−= ×−×− eCRFeα
Cálculo de jp .
jj
j
iijijj
j
pBGp
α
α∑−
=−−
=
1
1
0224,09590,68
381,100927,101
1,1
111 =−=−=
αBG
p
68
0247,06361,65
7935,700224,0553,100762,103][
2,2
2,1122
2 =×−−=×−−
=α
αpBGp
3,3
3,223,1133
3
][
ααα ×+×−−
=ppBG
p
0269,04734,62
3819,670247,05397,720224,0535,100508,1053 =×−×−−=p
4,4
4,334,224,1144
4
][
αααα ×+×+×−−
=pppBG
p
0291,04631,59
1351,640269,00443,690247,02015,740224,0344,100170,1074 =×−×−×−−=p
5,5
5,445,335,225,1155
5
][
ααααα ×+×+×+×−−
=ppppBG
p
0311,05978,56
04,610291,071,650269,062,700247,078,750224,0100752,1085 =×−×−×−×−−=p
6,6
6,556,446,336,226,1166
6
][
αααααα ×+×+×+×+×−−
=pppppBG
p
1657,02141,44
4,630311,09,670291,06,720269,05,770247,06,820224,06,986,1156 =×−×−×−×−×−−=p
