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Descobrindo o algoritmo de Guido Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar as definições e exemplos de relação e de função. 2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática.

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Descobrindo o algoritmo de Guido

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar as definições e exemplos de

relação e de função.

2. Mostrar uma conexão histórica entre a

música Gregoriana e a Matemática.

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Descobrindo o algoritmo de Guido

Série Matemática na Escola

Conteúdos Conjuntos, relações, funções.

Duração Aprox. 10 minutos.

Objetivos 1. Apresentar as definições e

exemplos de relação e de função.

2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática.

Sinopse Um jovem aprende o segredo do monge Guido para compor músicas devocionais, no estilo Gregoriano. O segredo envolve relações entre um conjunto de notas musicais e um conjunto de letras do alfabeto.

Material relacionado Vídeo: Oferenda musical de Bach, Música quase sem compositor; Conclusões precipitadas; Áudio: Subconjuntos.

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

A música é uma extraordinária forma de expressão artística e pode, entre outras de suas qualidades, transmitir emoções. Apesar disso, a música também pode ser encontrada ao longo da história como um produto de raciocínios lógicos ou ainda procedimentos automatizados

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ou mecânicos, tal como os chamados algoritmos que podem ser implementados em um programa de computador.

O vídeo aborda alguns conceitos musicais apenas superficialmente, pois o objetivo principal é mostrar uma possibilidade de composição algorítmica a partir dos conceitos de relação entre conjuntos e funções.

Vamos abordar alguns dos assuntos que o vídeo trata, com ênfase na matemática. A abordagem desse guia deve servir como ponto de partida para mais estudos, se o professor julgar conveniente e necessário, pois há muitos outras possibilidades de composição musical utilizando-se modelos matemáticos.

De acordo com o dicionário Aurélio música é “arte e ciência de combinar os sons de modo agradável aos ouvidos”.

O som é um fenômeno físico que compreende a geração e propagação de perturbações de pressão em um fluido (ar ou água). Os nossos ouvidos de alguma forma filtram algumas e amplificam outras dessas perturbações para que nosso cérebro registre e processe a informação sonora. Essas perturbações são periódicas e daí podem ser caracterizadas por oscilações que têm amplitude e frequência.

Notas Uma nota musical é o som proveniente de uma fonte sonora, na maioria das vezes um instrumento musical, que ouvimos com uma frequência determinada predominante, chamada frequência fundamental. O ouvido humano consegue distinguir 1400 frequências discretas, mas na chamada escala temperada da música convencional do ocidente existem apenas 120 notas musicais ou tons discretos, os quais podem ser facilmente percebidos e diferenciados pela maioria das pessoas.

Acordes Um acorde, em música convencional, é um conjunto de notas musicais tocadas ou cantadas simultaneamente. Acordes simples têm três notas diferentes, tocadas ao mesmo tempo.

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Harmonia é o estudo das combinações de notas em acordes e sua distribuição e organização temporal e seu uso em composição musical.

Melodia Melodia é uma sucessão de notas individuais, ou seja, uma sequência de notas tocadas de maneira sucessiva, com durações e intervalos de tempos determinados pelo compositor.

Modos Gregos Na Grécia antiga e durante a Idade Média, as escalas (ou sequencia pré-determinada do conjunto de 7 notas {DÓ, RÉ, MI, FÁ, SOL, LÁ, SI}, usadas para composições eram chamadas de modos, que são algumas das possíveis organizações dos sons.

O canto Gregoriano deveria seguir um dos seis modos que recebem os nomes das regiões de origem na Grécia:

• Dórico (Dória),

• Frígio (da região da Frígia),

• Lídio (da Lídia),

• Jónio (da região da Jónia) e

• Eólio (da Eólia).

• Mixolídio, que é uma mistura dos modos lídio e dórico

Cada um destes modos pode se repetir em oitavas, que é o “mesmo” conjunto de notas mas soando cada uma delas com o dobro da frquencia. Assim um lá com 440 Hz uma oitava acima soa com 880 Hz. O som fica , digamos, mais agudo!

Por esses motivos é conveniente distinguir as oitavas pelo sub índice nas notas, como indicado no vídeo no momento em que associa o conjunto de vogais ao das notas musicais.

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O exemplo do vídeo de associação entre as vogais e notas na música Gregoriana é a mostrado abaixo:

Ag---nus----De----i-----qui---i------tol---lis-----pe---ca----ta----mun—di

Fa2—Mi

2---Sol

2--La

2- -Do

2--La

2---Si

2---La

2---Sol

2--Fa

2--Fa

2---Mi

2---Dó

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A essência do programa é mostrar a construção de uma Relação entre dois conjuntos.

O professor pode indicar no quadro os pares ordenados em um gráfico, como mostrado abaixo.

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As notas e as vogais estão relacionadas. Observem no gráfico acima que a letra I está associada (ou relacionada!) às notas DÓ

1, LÁ

1 e DÓ

2.

Portanto esta associação é, matematicamente falando, uma RELAÇÃO.

É possível, fazendo restrições em uma Relação obter uma Função, como indicado no gráfico do vídeo:

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Com isso, o aluno deve entender que função é uma relação muito especial. Cada elemento do Domínio está relacionado (ou associado) `a um único elemento do Contra-domínio.

O canto Gregoriano tem várias regras e também espaço para a liberdade artística. Assim, o canto de um Coral, usando o Algoritmo de Guido, não é apenas um algoritmo matemático – é acima de tudo, Arte!

Sugestões de atividades

Antes da execução

Esse vídeo é introdutório ao conceito de relação e função entre conjuntos. Assim, o professor pode estabelecer claramente a noção de conjunto em matemática, isto é, uma coleção de objetos e coisas, chamados de elementos, usualmente agrupados por alguma característica comum.

Por exemplo, o conjunto dos Animais deve ter todos os animais conhecidos ou não como elementos. Podemos formar subconjuntos, tais como, por exemplo, os répteis.

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A teoria elementar dos conjuntos segue os princípios básicos da Lógica. Para introduzir noções de Lógica, o professor pode desenvolver as atividades associadas ao vídeo Conclusões Precipitadas, da coleção M3 – Matemática Multimídia.

Convém recomendar o uso de apenas um vídeo em uma aula. Dessa forma, o preparo para esse vídeo Descobrindo o Algoritmo de Guido deve ser feito em um programa com mais de uma aula, se outro vídeo vier a ser usado.

Durante a execução

O professor pode interromper o vídeo para desenhar o gráfico das relações entre notas e vogais, como feito acima.

Depois da execução

A formalização do conceito de função pode ser feito pelo par ordenado de um elemento de um conjunto de partida e outro elemento de um conjunto de chegada. Essa construção é chamada também de produto cartesiano de conjuntos não vazios, digamos, 𝐴 e 𝐵. O produto cartesiano de 𝐴 por 𝐵 é denotado por 𝐴×𝐵 = 𝑥,𝑦  tal  que  𝑥 ∈ 𝐴  e  𝑦 ∈ 𝐵 .

Uma Relação entre A e B, por definição é qualquer subconjunto do produto cartesiano 𝐴×𝐵, incluindo o conjunto vazio e o próprio 𝐴×𝐵. Por exemplo, seja o conjunto de vogais 𝐴 = 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜,𝑢 e as notas de uma escala musical 𝐵 = 𝐷Ó,𝑅É,𝑀𝐼,𝐹Á, 𝑆𝑂𝐿, 𝐿Á  𝑆𝐼 . Uma relação que

surgiu no vídeo foi 𝑅 = 𝑎,𝐹Á , 𝑒, 𝑆𝑂𝐿 , 𝑖,𝐷Ó , 𝑖, 𝐿Á , 𝑜, 𝑆𝐼 , (𝑢,𝑀𝐼) . Claramente R⊂ 𝐴×𝐵.

Uma função é um caso muito especial de relação. Uma função que surgiu no vídeo foi 𝐹 = 𝑎,𝐹Á , 𝑒, 𝑆𝑂𝐿 , 𝑖, 𝐿Á , 𝑜, 𝑆𝐼 , (𝑢,𝑀𝐼) . Nesse

caso, cada vogal está associada a uma e somente uma nota musical.

Reforçamos que o conceito de função consiste em três conjuntos: o conjunto de partida ou Domínio, o conjunto de chegada ou

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Contradomínio. Uma função é então um subconjunto do produto cartesiano, desses conjuntos tal que todo elemento (primeira entrada do par ordenado) do Domínio está associado a um único elemento do contradomínio (segunda entrada do par ordenado).

Usualmente a maneira de definir uma função é usar regras que restringem o conjunto de pares ordenados possíveis satisfazendo a definição de função. Na prática é a melhor maneira de se entender e manipular funções. Assim temos uma representação do tipo 𝑓:𝐴 → 𝐵, dizemos que temos uma função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, e então escrevemos uma fórmula que associa cada elemento de 𝐴 a um único elemento de 𝐵. Por exemplo, se para todos os números reais calcularmos o seu quadrado, obtemos o subconjunto 𝑥, 𝑥!  para  todo  𝑥 ∈ ℝ ⊂ ℝ×ℝ, e representamos a função 𝑓:ℝ → ℝ tal que os valores no contradomínio serão da forma 𝑓 𝑥 = 𝑥!.

Desafio: Qual é a função? Sejam 𝐴 = 2,3,4,5 e 𝐵 = ℕ tal que 𝐴×𝐵 = 2,22 , 3,28 , 4,34 , (5,40) . Que função 𝑓 podemos obter usando apenas as quatro operações básicas da aritmética com os elementos de 𝐴?

Resposta Vamos chamar de 𝑥 os elementos de 𝐴. Podemos fazer as seguintes operações com 𝑥: somar ou subtrair, multiplicar ou dividir, isto é,

𝑥 + 𝑎, 𝑏𝑥, !! para algumas constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐. Podemos pensar em várias

combinações de duas dessas operações. Assim, podemos escrever a função da maneira mais geral possível:

𝑓 𝑥 = (𝑥 + 𝑎) +  𝑏𝑥 +𝑐𝑥

onde as constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 devem ser determinadas para que a função seja encontrada. Observe que as quatro operações com o número 𝑥 estão contempladas.

Para determinar as constantes podemos aplicar a expressão aos números do domínio e comparar com os valores esperados noa imagem, isto é: 𝑓 2 = 22, 𝑓 3 = 28, 𝑓 4 = 34, 𝑓 5 = 40. Encontramos o seguinte conjunto de equações:

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2 + 𝑎 +  2𝑏 +𝑐2 = 22,  

3 + 𝑎 +  3𝑏 +𝑐3 = 28,  

4 + 𝑎 +  4𝑏 +𝑐4 = 34,  

5 + 𝑎 +  5𝑏 +𝑐5 = 40.

Temos quatro equações para as três incógnitas 𝑎, 𝑏, 𝑐. Elas podem ser reescritas como:

2𝑎 +  4𝑏 + 𝑐 = 40  3𝑎 +  9𝑏 + 𝑐 = 75  4𝑎 +  16𝑏 + 𝑐 = 120  5𝑎 +  25𝑏 + 𝑐 = 175

Subtraindo a terceira equação da primeira equação obtemos uma equação equivalente: 2𝑎 +  12𝑏 = 80. E subtraindo a quarta equação da segunda equação obtemos outra equação equivalente: 2𝑎 +  16𝑏 = 100. E subtraindo essas duas equações obtemos 4𝑏 = 20. De onde segue imediatamente que 2𝑎 = 20. E usando esses dois resultados na primeira equação obtemos 𝑐 = 0. Então a função que reproduz os pontos com as restrições impostas é

𝑓 𝑥 = 10 + 𝑥 + 5𝑥 = 10 + 6𝑥.

Devemos verificar se a função resultante reproduz os dados:

𝑓 2 = 10 + 6×2 = 22, 𝑓 3 = 10 + 6×3 = 28,  𝑓 4 = 10 + 6×4 = 34, 𝑓 5 = 10 + 6×5 = 40.

De fato, a função reproduz os dados, caso contrário teríamos que verificar se houve algum erro ou se o sistema de equações era incompatível, sem solução.

Interpolação A maneira mais fácil e direta de se achar uma fórmula para uma função é através do método chamado de Interpolação Polinomial. Este método está baseado no fato que um polinômio de grau n tem n raízes, reais ou complexas. Uma consequência disto é que dados 2

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pontos no Plano Cartesiano pode-se passar (ou interpolar) um polinômio de grau 1, ou seja uma reta. Dados 3 pontos pode-se passar um polinômio interpolador de grau 2 (ou seja uma parábola). Dados 4 pontos passa-se um polinômio de grau 3, etc. Assim, por 𝑛 pontos podemos passar um polinômio de grau 𝑛 − 1.

Problema Sejam 𝐴 = 2,3,4 e 𝐵 = ℝ e considere a função 𝑓 = 2, 3 , −1, 6 , 0, 1  ⊂ 𝐴  ×𝐵. Escreva uma fórmula do tipo 𝑦 =  𝑓(𝑥) que gere a função 𝑓 acima.

Solução Como temos 3 pontos, o polinômio interpolador deve ser de grau 2, cujo gráfico é uma parábola. Assim a fórmula da função 𝑓 deve ser escrita como

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑥! + 𝐵𝑥 + 𝐶

Nosso objetivo é então determinar quais são os coeficientes do polinômio e assim obteremos a fórmula desejada que gera todos os elementos da função 𝑓 dada. Para isto, “lemos” da função (isto é, do subconjunto 𝑓 = 2, 22 , 3, 28 , 4, 34   que

3 =  𝑓(2)  =  4𝐴  + 2𝐵  + 𝐶  

6   =  𝑓(−1)  =  𝐴  –𝐵  +  𝐶  

1 =  𝑓(0)  =  0𝐴  +  0𝐵  +  𝐶

Resolvendo este sistema de equações lineares em 𝐴,𝐵,𝐶 encontramos 𝐴 = 2,𝐵 = −3  ,𝐶   = 1. Portanto o polinômio interpolador (uma fórmula para a função 𝑓) é dado por

 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥! − 3𝑥 + 1

Sugestões de leitura

Júlio Medaglia, MÚSICA, MAESTRO!: DO CANTO GREGORIANO AO

SINTETIZADOR, Globo Livros, 2008.

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Luis Roberto Dante, Matemática: contexto e aplicações. Volume único, 2a edição, Ática, 2007. Capítulo 3. Manoel Paiva, Matemática – conceito, linguagem e aplicações. Vol. 1, Moderna, 2002. Capítulo 14.

Ficha técnica

Conteudista Samuel Rocha de Oliveira Revisão Adolfo Maia Jr. e Jonatas Manzolli Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López