Desde El Punto de Vista Del Material Infor Para Resistencia

8/17/2019 Desde El Punto de Vista Del Material Infor Para Resistencia

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Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es másresistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de

transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable

para un material.

Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en

un ángulo ð.

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente !" y" ð!"y" que deben calcularse en base a

los esfuerzos originales. #omando un trozo de elemento plano se tiene que $


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%ara poder &acer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada

esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas.'onsiderando que los esfuerzos inc(gnitos se aplican en una área )da". Se tiene que este

trozo de cu*a tiene un área basal )da cos ð" y un área lateral )da sen ð"

Suma de fuerzas en la direcci(n !" $

!" da + ! da cos ð cos ð y da sen ð sen ð ð!y da cos ð sen ð ð!y sen ð cos ð

!" + ! sen-ð y cos-ð - ð!y cos ð sen ð

!" + ! y /0- ! 1 y /0- cos -ð/ ð!y sen -ð/

Suma de fuerzas en la direcci(n y" $

ð!"y" da + y da cos ð sen ð 1 ð!y da sen ð sen ð ð!y cos ð cos ð 1 ! da sen ð cos ð

ð!"y" + y cos ð sen ð 1 ð!y sen-ð ð!y cos-ð1 ! sen ð cos ð

ð!"y" + ð!y cos -ð/ 1 ! 1 y /0- sen -ð/

'on estas e!presiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de

un estado inicial. 2a siguiente aplicaci(n permite calcular estos valores automáticamente.

'ompruebe los resultados que se obtienen.

ESFUERZOS PRINCIPALES

Siempre es importante obtener los valores má!imos de los esfuerzos tanto los normales como

los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.

El esfuerzo normal má!imo se deduce derivando !" con respecto al ángulo ð $


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d!" 0dð + 3 + 1 ! 1 y / sen -ð/ - ð!y cos -ð/

tan -ð + - ð!y 0 ! 1 y /

2a soluci(n de esta ecuaci(n son dos ángulos que valen $ ð y ð 43

5l evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales má!imo

6/ y mínimo -/. Es importante destacar que si se iguala ð!"y" + 3 se obtiene la misma

e!presi(n que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los

esfuerzos principales 6 y -/ se produce que el esfuerzo cortante vale cero.

En definitiva $

6 , - + ! y / 0 - 0 1

El esfuerzo cortante má!imo se obtiene de forma similar, derivando la e!presi(n

correspondiente con respecto al ángulo ð.

dt!"y" 0 dð + 3 + 1- ð!y sen -ð/ 1 ! 1 y / cos -ð/

tan -ð + 1 ! 1 y / 0 - ð!y

Esta e!presi(n nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes

má!imos, queda en definitiva $

ð6 y ð- + 0 1

ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS


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El esfuerzo cortante má!imo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como

muestran las formulas e!plicadas el tema Esfuerzo s %rincipales. 5demás, puesto que las dos

raíces de la ecuaci(n tan -ð + 1 ! 1 y / 0 - ð!y

sit7an el plano a 438, este resultado significa tambi9n que son iguales los valores num9ricos

de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares.

En esta deducci(n, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la

convenci(n para localizar los planos en que act7an estos esfuerzos. Desde el punto de vista

físico dic&os signos carecen de significado, por esta raz(n al mayor esfuerzo cortante,

independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo.

El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustituci(n

directa de la raíz particular de ð en la ecuaci(n

ð!"y" + ð!y cos -ð/ 1 ! 1 y /0- sen -ð/

un esfuerzo cortante positivo indica que este act7a en el sentido supuesto y viceversa. 2a

determinaci(n del esfuerzo cortante má!imo es de mayor importancia para materiales de baja

resistencia al corte.

5 diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los

esfuerzos cortantes má!imos act7an en planos que usualmente no están libres de esfuerzos

normales. 2a situaci(n de ð de la ecuaci(n

tan -ð + 1 ! 1 y / 0 - ð!y

en la

!" + ! y /0- ! 1 y /0- cos -ð/ ð!y sen -ð/

muestra que los esfuerzos normales que act7an en los planos de los esfuerzos cortantes

má!imos son

: + ! y /0-

por consiguiente, el esfuerzo normal act7a simultáneamente con el esfuerzo cortante má!imo

a menos que se anule ! y.


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Si ! y y de la ecuaci(n ð6 y ð- + 0 1

son esfuerzos principales, ð!y es cero y la ecuaci(n se simplifica en

ðma! + ! 1 y /0-

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO.

2as ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una

ecuaci(n de circunferencia $

Se tiene que $

!" + ! y /0- ! 1 y /0- cos -ð// ð!y sen -ð/

ð!"y" + ð!y cos -ð/ 1 ! 1 y /0- / sen -ð/

2a primera ecuaci(n se acomoda de la siguiente forma $

!" 1 ! y /0- + ! 1 y /0- cos -ð// ð!y sen -ð/

Elevando al cuadrado se tiene $

!" 1 ! y/0-/- +! 1 y/-0; cos -ð/- ! 1 y/ cos -ð/ ð!y sen -ð/ ð!y- sen -ð/-

Elevando al cuadrado la segunda ecuaci(n se tiene $

ð!"y"- + ð!y- cos -ð/- 1 ð!y cos -ð/ ! 1 y/ sen -ð/ ! 1 y/-0; sen -ð/-

Sumando ambas e!presiones $

!" 1 ! y /0-/- ð!"y"- + ð!y- ! 1 y /-0-/-


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2os esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces $

ð!y- ! 1 y /-0-/- + b-

! y /0- + a

y + 3 con un radio

r + b. Esta circunferencia se denomina 'írculo de ?o&r @tto ?o&r 6A4B/ que en definitiva

tiene las siguientes características $

'entro en $ ! + ! y /0- > y + 3


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ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADA

2os recipientes de pared delgada constituyen una aplicaci(n importante del análisis de

esfuerzo plano. 'omo sus paredes oponen poca resistencia a la fle!i(n, puede suponerse que

las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del

recipiente. El análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos

que se encuentran con mayor frecuencia$recipientes cilíndricos y esféricos.


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'onsiderando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene unfluido a presi(n Se van a determinar los esfuerzos ejercidos sobre un peque*o elemento de

pared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la

simetría a!ial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el

elemento.

2os esfuerzos 6 y - mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo 6

se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera. El

esfuerzo - es el esfuerzo longitudinal.

%ara determinar los esfuerzos de costilla se retira una porci(n del recipiente y su contenido

limitado por el plano xy y por dos planos paralelos al plano yz con una distancia C de

separaci(n entre ellos. Se aclara que p es la presi(n manométrica del fluido.

2a resultante de las fuerzas internas es igual al producto de y del área transversal -t!. 'on la

ecuaci(n de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de costilla$


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'on el prop(sito de determinar el esfuerzo longitudinal -, &aremos un corte perpendicular al

eje ! y se considerará el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a

la izquierda de la secci(n. #omando en cuenta las f(rmulas del área y longitud del cilindro y la

sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluiría que$ - + pr 0 -t

El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. 2uego se dibuja el 'írculo de

?o&r y se llega a que$

ma!en el plano/+ -+ pr 0 ;t

Este esfuerzo corresponde a los puntos D y E y se ejerce sobre un elemento obtenido

mediante la rotaci(n de ;B8 del elemento original de dic&a figura, dentro del plano tangente a

la superficie del recipiente. E2 esfuerzo cortante má!imo en la pared del recipiente es

mayor. Es igual al radio del círculo de diámetro OA y corresponde a una

rotación de 45 alrededor de un eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo.

'onsiderando a&ora un recipiente esf9rico, de radio interior r y espesor de pared t, que

contiene un fluido bajo presi(n manom9trica p. aciendo un corte por el centro del recipiente

determinamos el valor del esfuerzo.

5sí concluye que, para un recipiente

6 + - + pr 0 -t

Fa que los esfuerzos principales 6 y - son iguales, el circulo de ?o&r para la transformaci(n

de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El

esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo má!imo en el plano es cero.

%odemos concluir

ma!+ 6 + pr 0 ;t


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TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA

En este tema se &a de analizar las transformaciones de la deformación cuando los ejes

coordenados giran. Este análisis se limitará a estados de deformación plana! es decir, a

situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y

son las mismas en cada uno de estos planos. Si se escoge el eje z ver figura G/ perpendiculara los planos en los cuales la deformaci(n tiene lugar, tenemos Ez + "#zx + "#zy + 3, las 7nicas

componentes de deformaci(n que restan son Ex! Ey y "#xy. #al situaci(n ocurre en una placa

sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida

para e!pandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, rígidos y lisos $%er figura & /.

#ambi9n se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas

uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetría, los elementos situados en un

plano transversal no pueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso real

de una barra larga sometida a cargas transversales uniformemente distribuidas $%er figura && /,

e!iste un estado de esfuerzo plano en cualquier secci(n transversal que no este localizada

demasiado cerca de uno de los e!tremos de la barra.


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figura I figura II

figura III

Sup(ngase que e!iste un estado de esfuerzo plano en el punto = $z + "Fz! + "#z + 3/, definido

por las 'omponentes de deformaci(n Ez! Ey y"#xy asociadas 'on los ejes x y y. E sto significa

que un elemento cuadrado de centro =, con lados de longitud 's respectivamente paralelos a

los ejes x y y! se transforma en un paralelogramo con lados de longitud 's 6 E x( y 's 6

Ey(! formando ángulos de H0- )"#xy y f "#xy entre si$%ea figura &&(/.'omo resultado de las

deformaciones de los otros elementos localizados en el plano xy! el elemento considerado

tambi9n puede e!perimentar un movimiento de cuerpo rígido, pero tal movimiento es

insignificante en lo referente a la determinaci(n de las deformaciones en el punto = y no se

tendrá en cuenta en este análisis.

El prop(sito es determinar en t9rminos de E x!Ey! "#xy y 3 las 'omponentes de deformaci(n

E x!Ey. y "#x"y" asociadas con el marco de referencia x" y " obtenido mediante la rotaci(n de los

ejes x y y u n ángulo . 'omo se muestra en la figura GI, estas nuevas componentes de la

deformaci(n definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con lados

respectivamente paralelos a los ejes x" y y".

FIGURAS COMPLEMENTARIAS


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figuras: IV Va V! VI."r#s$%

%rimero se derivará una e!presi(n para la deformaci(n normal E ( a lo largo de una

línea A* que forma un ángulo arbitrario con el e+e x. %ara &acerlo considere el triángulo

rectángulo 5J' con A* como &ipotenusa $%ea figura ,a( y el triángulo oblicuo A"*"-"! en el

cual se transforma el triángulo A*- $%ea la figura ,/, se tiene

$A""(/01 $A"-"( /0 2 $-"*"( /0 )$A"-"($-"*"(cos$'30 2 #xy(


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$'s( /0 2 E$(61 $'x( /0$ 2Ex( /0 2 $'y( /0$ Ey( /0

)0$'x($2Ex($ 'y($2Ey( cos$'30 2 #xy % "a%

pero de la figura ,a!

'x1$ 's( cos/ 'y1$ 's( sen/ "!%

y, como #xy es muy pe7ue8o

-os$ 30 2 #xy(1 )sen#xy' )#xy "&%

Sustituyendo de las ecuaciones b/ y c/ en la ecuaci(n a/,

se escribe

E$(1 Ex cos/0 2 Ey sen/0 2 #xy sen cos (d)

2a ecuaci(n d/ permite &allar la deformaci(n normal E / en cualquier direcci(n A*! en funci(n

de las componentes de deformaci(n Ex!Ey! "#xy! y del ángulo que forma A* con el

eje x. @bserve que, para $ + 3/, la ecuaci(n d/ produce E ( + Ex! y que, para $ + 438, da

E438/ + Ey.

El prop(sito principal de esta secci(n es e!presar las componentes de la deformaci(n

asociadas con el marco de referencia x"y" de la figura GI en t9rminos del ángulo y de las

componentes Ex! Ey y #xy! asociadas con los ejes x y y se nota que la deformaci(n

normal Ex" a lo largo del eje x" esta dada por la ecuaci(n d/. Se escribe esta ecuaci(n en la

forma alternativa

Ex"1$Ex 2 Ey(30 2 $Ex ) Ey(30 cos0 2#xy30 sen0 (e)


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E$ (*" 1Ex"1$Ex 2 Ey(30 ) $Ex ) Ey(30 sen0 2#xy30 cos0 (h)

Escribiendo la educaci(n d/ con respecto a los ejes !" y y",se e!presa >a deformaci(n cortante

F!"y" en funci(n de las deformaciones normales medidas a lo largo de los ejes !" y y", y de la

bisectriz @J"$

#x"y"1 0E$ (*" )$ Ex" 2 Ey"( (i)

Sustituyendo de las ecuaciones g/ y &/ en la i/

#x"y"1 )$Ex ) Ey(sen0 2 #xy cos0 (j)

Escribiendo las ecuaciones e/, f/ y j/ son las que definen la transformaci(n de deformaci(n

plana bajo una rotaci(n de ejes en el plano de deformaci(n. Dividiendo la ecuaci(n j/ por -,

se escribe esta ecuaci(n en la forma alternativa

#x"y"301 ) $Ex ) Ey(30 sen0 2 #xy30 cos0

MEDIDAS DE DEFORMACION. ROSETA DE DEFORMACION

aciendo dos marcas A y * a trav9s de una línea dibujada en la direcci(n deseada, y

midiendo la longitud del segmento A* antes y despu9s de aplicar la carga se puede

determinar la deformaci(n normal en cualquier direcci(n en la superficie de un elemento

estructural o componente de máquina.

Si 9 es la longitud no deformada de A* y su alargamiento, la deformaci(n normal a lo largo

de A* es$

Eab+ 0 2

5&ora bien, e!iste un m9todo mas conveniente y e!acto para la medida de deformaciones,

basado en los deformímetros el9ctricos. %ara medir la deformaci(n de un material dado en la

direcci(n A*! el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre

paralelos a A*. 'uando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en

diámetro, &aciendo que la resistencia el9ctrica del medidor aumente. ?idiendo la corriente que

pasa a trav9s de un medidor bien calibrado, la deformaci(n EA: puede determinarse precisa

y continuamente a medida que la carga aumenta.


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Debe advertirse que las componentes E x y E y F xy en un punto dado pueden obtenerse de la

medida de deformaci(n normal &ec&a a lo largo de tres líneas dibujadas por ese punto.

Designando respectivamente por 6, - y K el ángulo que cada una de las líneas forma con el

eje x , remplazando en la ecuaci(n anterior, se tienen las tres ecuaciones $

E6+ E!cos/0 6 Eysen/0 6 F!y sen6 cos 6

E-+ E!cos/0 - Eysen/0 - F!y sen- cos -

EK+ E!cos/0 K Eysen/0 K F!y senK cos K

2a colocaci(n de los deformímetros utilizados para medir las tres deformaciones normales El,

E- y EK se conoce como


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#an -p+ -!y 0 ! 1 y+ -M.4L/ 0 31A.A; + 16.A3

-p+ 1L6 Q y 6A3Q 1 L6Q + 664Q

$( 34+.*5 6 *1.*5

má!, mín + ! y 0 - R ! 1 y 0 -/- - !y T

1

3 A.A; 0 - R 3 1 A.A; 0 -/- M.4L/- T + ;.;- 4.63

1

789. ( )4.*; /si 6 7#r7i=# ,?s #sfu#r@?s $ri=&i$a,#s # ,a f,#&Ba # ar?. La F,#&Ba >i#=# u=i87#>r? # 4 $u,g. Las $?,#as $#sa= ;*+ ,!. Caa u=a 6 ,as >#=si?=#s #= ,as !a=ass?= ?$u#s>as. Las &Bu7aras # ,as #9>r#7?s $#r7i>#= r?>a&i= sufi&i#=># # 7??u# ,?s a$?6?s #9>r#7?s $u##= &?=si#rars# &?7? ar>i&u,a?s. D#s$r#&i# #, $#s? #,a f,#&Ba.

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4.3 AB?ra #>#r7i=# #, #sfu#r@? &?r>a=># 789i7? # ,a f,#&Ba.

+

+ H 1KK6B 1 3/U 6B63U + 3670 lb/pulg²


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CONCLUSION

En esta presentaci(n &emos analizado temas como son Esfuerzos en #uberías y Envases

Esf9ricos de %ared Delgada> como transformar la deformaci(n plana a otros ejes, el concepto

de


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• Popov, Eor. +,ec#nica de ,ateriales-. Editora !i"usa, M#$ico.

• Ro%ert &. Fit'erald. +easistencia de ,ateriales-. Fondos Educativos

(nternacionales, ).*., M#$ico, 19+

=i

Pagi=a

&ntroducción ....................................................... 0

áximos............................?

-irculo de >o@r para Esfuerzo...........................

Esfuerzos en :ecipientes de ;resión de

;ared Delgada.......................................................B

edidas de Deformación. :oseta

de Deformación....................................................B


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;rolemas :esueltos............................................0

-onclusión ............................................................0=

*iliografía...........................................................04

L

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