desenho geométrico – 9º ano – gabarito comentado da apostila · COLÉGIO MILITAR DO RIO DE JANEIRO PROFESSOR THIAGO MACIEL DESENHO GEOMÉTRICO – 9º ANO – GABARITO COMENTADO

COLÉGIO MILITAR DO RIO DE JANEIRO PROFESSOR THIAGO MACIEL

DESENHO GEOMÉTRICO – 9º ANO – GABARITO COMENTADO DA APOSTILA

Folha 19

Fundamentação teórica

1. A área de um triângulo é calculada pela metade do produto entre a medida da base e a medida da altura

(𝑆 =𝑏.ℎ

2);

2. Se a reta 𝑟 é paralela ao lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , então os triângulo 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐵𝐶′ possuem a mesma área, uma vez que

possuem a mesma base (o lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) e a mesma medida para a altura (dada pela distância entre a reta 𝑟 e o lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ).

Questão 1

Passo 1: Trace uma paralela1 à base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝐶;

Passo 2: Trace a mediatriz2 do

segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . A interseção entre a mediatriz e a paralela traçada no

1 Veja a seção “Construções Básicas” para relembrar a construção da paralela a uma reta ou segmento dado.

passo anterior determina a posição do ponto 𝐶′;

Passo 3: Trace os segmentos 𝐴𝐶′̅̅ ̅̅̅ e

𝐵𝐶′̅̅ ̅̅ ̅. Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐵𝐶′ são equivalentes. O triângulo 𝐴𝐵𝐶′ é a solução gráfica do problema.

Justificativa: Como 𝐶′ pertence à

mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶′̅̅ ̅̅̅ = 𝐵𝐶′̅̅ ̅̅ ̅, ou seja, 𝐴𝐵𝐶′ é triângulo isósceles.

Questão 2

Passo 1: Trace uma paralela à base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝐶;

2 Veja a seção “Construções Básicas” para relembrar a construção da mediatriz de um segmento.



Passo 2: Trace a perpendicular3 ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando por 𝐴. A interseção entre a perpendicular e a paralela traçada no passo anterior determina a posição do ponto 𝐶′;

Passo 3: Trace os segmentos 𝐴𝐶′̅̅ ̅̅̅ e

𝐵𝐶′̅̅ ̅̅ ̅. Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐵𝐶′ são equivalentes. O triângulo 𝐴𝐵𝐶′ é a solução gráfica do problema.

Justificativa: Como 𝐶′ pertence à

perpendicular a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando por 𝐴,

𝐵Â𝐶′ = 90°, ou seja, 𝐴𝐵𝐶′ é triângulo retângulo.

3 Veja a seção “Construções Básicas” para relembrar a construção da perpendicular a uma reta ou segmento dado.

Questão 3

Passo 1: Trace uma paralela à base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝐶;

Passo 2: Trace o arco capaz4 de medida 45° com relação ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . As interseções entre o arco capaz e a paralela traçada no passo anterior determina os pontos 𝐶′ e 𝐶′′;

Passo 3: Trace os segmentos 𝐴𝐶′̅̅ ̅̅̅ , 𝐵𝐶′̅̅ ̅̅ ̅,

𝐴𝐶′̅̅ ̅̅̅′ e 𝐵𝐶′′̅̅ ̅̅ ̅̅ . Os triângulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐶′ e 𝐴𝐵𝐶′′ são equivalentes. Os triângulos 𝐴𝐵𝐶′ e 𝐴𝐵𝐶′′ são as soluções gráficas do problema.

4 Veja a seção “Construções Básicas” para relembrar a construção do arco capaz de um ângulo com relação a um segmento dado.



Justificativa: Como 𝐶′ e 𝐶′′pertencem ao arco capaz de medida 45° com relação ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶′𝐴 = 𝐵𝐶′′𝐴 = 45°.

Questão 4

Passo 1: Trace uma paralela à base 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝐸;

Passo 2: Com a ponta seca do compasso em 𝐹, abra-o até 𝐺 e trace um arco de circunferência. A interseção entre o arco e a paralela traçada no passo anterior determina a posição do ponto 𝐸′;

Passo 3: Trace os segmentos 𝐹𝐸′̅̅ ̅̅̅ e

𝐺𝐸′̅̅ ̅̅ ̅. Os triângulos 𝐸𝐹𝐺 e 𝐸′𝐹𝐺 são

equivalentes. O triângulo 𝐸′𝐹𝐺 é a solução gráfica do problema.

Justificativa: Como 𝐹𝐸′̅̅ ̅̅̅ = 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ por construção, 𝐸′𝐹𝐺 é triângulo isósceles e acutângulo.

Questão 5

Passo 1: Trace uma paralela à base 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝑀;

Passo 2: Com a ponta seca do compasso em 𝑁, abra-o até 𝑃 e trace um arco de circunferência. A interseção entre o arco e a paralela traçada no passo anterior determina a posição do ponto 𝑀′;



Passo 3: Trace os segmentos 𝑁𝑀′̅̅ ̅̅ ̅̅ e

𝑃𝑀′̅̅ ̅̅ ̅. Os triângulos 𝑀𝑁𝑃 e 𝑀′𝑁𝑃 são equivalentes. O triângulo 𝑀′𝑁𝑃 é a solução gráfica do problema.

Justificativa: Como 𝑁𝑀′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ por construção, 𝑀′𝑁𝑃 é triângulo isósceles. Como há duas interseções entre a circunferência e a paralela, escolha o ponto de modo que o

ângulo 𝑀′�̂�𝑃 seja obtuso.

Questão 6

Passo 1: Trace uma paralela à base 𝑆𝑇̅̅̅̅ passando pelo ponto 𝑅;

5 Veja a seção “Construções Básicas” para relembrar a construção de uma circunferência dado o seu diâmetro.

Passo 2: Trace a semicircunferência5 de diâmetro 𝑆𝑇̅̅̅̅ . A interseção entre a semicircunferência e a paralela traçada no passo anterior determina os pontos 𝑅′ e 𝑅′′;

Passo 3: Trace os segmentos 𝑆𝑅′̅̅ ̅̅ , 𝑇𝑅′̅̅ ̅̅̅,

𝑆𝑅′̅̅ ̅̅ ′ e 𝑇𝑅′′̅̅ ̅̅ ̅. Os triângulos 𝑅𝑆𝑇, 𝑅′𝑆𝑇 e 𝑅′′𝑆𝑇 são equivalentes. Os triângulos 𝑅′𝑆𝑇 e 𝑅′′𝑆𝑇 são as soluções gráficas do problema.

Justificativa: Os triângulos 𝑅′𝑆𝑇 e 𝑅′′𝑆𝑇 estão inscritos em uma semicircunferência. Desse modo,

𝑆𝑅′̂𝑇 = 𝑆𝑅′′̂𝑇 = 90°.

Construções Básicas

Reta paralela a uma reta ou segmento dado



Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e um ponto 𝑃:

Passo 1: Alinhe um dos esquadros com o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ;

Passo 2: Apoie o outro esquadro no primeiro já posicionado;

Passo 3: Deslize o primeiro esquadro sobre o outro até o ponto 𝑃;

Passo 4: Trace a reta paralela ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ por 𝑃.

Mediatriz de um segmento

Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ :

Passo 1: Com a ponta seca do compasso em 𝐴, abra-o de uma medida maior que a metade de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e trace um arco de circunferência;

Passo 2: Com a ponta seca em 𝐵 e mesma abertura do compasso, trace um arco de circunferência;



Passo 3: Trace a reta que passa pelos dois pontos de interseção entre os arcos traçados anteriormente. Essa reta é a mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Reta perpendicular a uma reta ou segmento dado

Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e um ponto 𝑃:

Passo 1: Alinhe um dos esquadros com o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ;

Passo 2: Apoie o outro esquadro no primeiro já posicionado;

Passo 3: Gire o primeiro esquadro sobre o segundo. Deslize-o até o ponto 𝑃;

Passo 4: Trace a reta perpendicular ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ por 𝑃.



Arco capaz de um ângulo com relação a um segmento dado

Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e um ângulo 𝛼:

Passo 1: Trace uma semirreta de origem 𝐴 que forma ângulo de medida 𝛼 com 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ;

Passo 2: Trace a perpendicular a semirreta traçada passando pelo ponto 𝐴;

Passo 3: Trace a mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Essa reta intersecta a reta traçada no passo 2 em um ponto 𝐶;

Passo 4: Com a ponta seca em 𝐶, abra o compasso até o ponto 𝐴 e trace o arco de circunferência ligando os pontos 𝐴 e 𝐵;

Passo 5: Construa o simétrico do arco traçado no passo 4 com relação ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .



Circunferência de diâmetro dado

Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ :

Passo 1: Construa a mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . O ponto 𝑀 de interseção entre a mediatriz e o segmento é o centro da circunferência de diâmetros 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Passo 2: Com a ponta seca em 𝑀, abra o compasso até 𝐴 e trace a circunferência.

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