DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA O APOIO AO … · elementos finitos aplicado a estruturas aporticadas rosanna duarte fernandes dutra ... 2 – fundamentos bÁsicos utilizados –

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA O APOIO

AO ENSINO E APRENDIZAGEM DO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS APLICADO A ESTRUTURAS

APORTICADAS

ROSANNA DUARTE FERNANDES DUTRA

ORIENTADOR: PAUL WILLIAM PARTRIDGE

CO-ORIENTADOR: WILLIAN TAYLOR MATIAS DA SILVA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E

CONSTRUÇÃO CIVIL

PUBLICAÇÃO: E.DM – 08/2004

BRASÍLIA/ DF : AGOSTO/2004.

ii

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA O APOIO AO

ENSINO E APRENDIZAGEM DO MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS APLICADO A ESTRTURUAS APORTICADAS

ROSANNA DUARTE FERNANDES DUTRA

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL.

APROVADA POR:

_____________________________________________________ Prof. Paul Willian Partridge, Ph.D.(UnB) (Orientador) _____________________________________________________ Prof. Willian Taylor Matias da Silva, Dr.Ing.(UnB) (Co-orientador) _____________________________________________________ Prof. Luciano Mendes Bezerra, Ph.D.(UnB) (Examinador Interno)

_____________________________________________________ Prof. Sérgio Scheer, D.SC.(UFPR) (Examinador Externo)

BRASÍLIA/ DF, 17 DE AGOSTO/2004

iii

FICHA CATALOGRÁFICA DUTRA, ROSANNA DUARTE FERNANDES Desenvolvimento de Programa para Apoio ao Ensino e Aprendizagem do Método dos

Elementos Finitos [Distrito Federal] 2004. xv, 107 p., 297mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas, 2004). Dissertação de Mestrado –

Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1. Mét. Elementos Finitos 2. Pórticos Planos 3. Software Educativo 4. Ensino em Engenharia I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DUTRA, R.D.F. (2004). Desenvolvimento de Programas para Apoio ao Ensino e

Aprendizagem do Método dos Elementos Finitos, Publicação E.DM- / 2004, Departamento

de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF,107 p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTOR: Rosanna Duarte Fernandes Dutra.

TÍTULO: Desenvolvimento de Programas para Apoio ao Ensino e Aprendizagem do

Método dos Elementos Finitos Aplicado a Estruturas Aporticadas.

GRAU: Mestre ANO: 2004

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação

de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação

de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

Rosanna Duarte Fernandes Dutra Rua T-27 Nº 1725, Setor Bueno CEP: 74215-030 – Goiânia – GO – Brasil.

iv

Dedicatória

Dedico esta dissertação a meu marido Sílvio Pereira Dutra.

Aos meus pais, Ezio e Júlia. Aos meus irmãos Cristianna e Euclides.

v

AGRADECIMENTOS

A Deus, Inteligência Suprema, fonte de infinita sabedoria.

Ao Prof.º Paul William Partridge, por sua orientação segura, sua colaboração, incentivo e

dedicação neste período de dissertação.

Ao Profº Willian Taylor Matias da Silva, por sua co-orientação, por sua disponibilidade

para questionamentos e por sua atenção durante este período de dissertação.

Aos meus sogros Eusébio Pereira Dutra e Maria Pereira Dutra, por seu apoio e atenção

durante todo este período.

Aos professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção

Civil da Universidade de Brasília por todo apoio e interesse demonstrado ao longo do

curso.

Aos colegas e amigos Maura Milfont Shzu, Carla Nascimento, Chênia Figueredo e Sérgio

Ricardo, por sua ajuda em todos os aspectos e por sua amizade.

Aos colegas e amigos do Mestrado e Doutorado do PECC, Gláucio Oliveira dos Santos,

Gilberto Gomes, em especial ao Fábio, a quem dedico grande parte desta conquista a sua

grande ajuda em meus primeiros passos de programação.

A minha cunhada Cínthia e minhas sobrinhas Lara Beatriz e Laís Vitória, pelo apoio e

alegria em todos os momentos desta vitória.

À CAPES, pelo apoio financeiro.

vi

RESUMO

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA APOIO AO ENSINO E APRENDIZAGEM DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A ESTRUTURAS APORTICADAS

Autor: Rosanna Duarte Fernandes Dutra Orientadores: Paul Willian Partridge e Willian Taylor Matias da Silva Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, agosto de 2004

Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um programa – ferramenta computacional –

para apoio ao ensino e aprendizagem do Método dos Elementos Finitos voltado para o caso

de pórticos planos. Este programa foi desenvolvido em ambiente Windows utilizando o

compilador Delphi.

O programa permite através de interfaces gráficas, a geração automática da geometria da

estrutura, dos carregamentos aplicados, das propriedades mecânicas dos elementos, bem

como a visualização dos resultados intermediários e finais da análise, como matrizes dos

elementos, matriz global da estrutura, vetores de cargas, permitindo também a visualização

dos diagramas de esforços da estrutura.

Apresenta-se inicialmente a formulação matricial utilizada para a implementação do

programa.

A utilização do programa é detalhada mostrando-se janelas, menus e comandos. Depois,

para ilustrar o seu funcionamento analisamos exemplos de pórticos planos e verificamos a

confiabilidade dos resultados intermediários e finais, bem como, a veracidade dos gráficos

fornecidos pelo programa. Desta forma procuramos demonstrar a potencialidades

educacionais do programa que busca atuar como uma ferramenta educacional.

São mostradas algumas conclusões e sugestões para estudos complementares.

vii

ABSTRACT SOFTWARE DEVELOPMENT TO SUPPORT THE TEACHING AND LEARNING OF THE FINITE ELEMENT METHODS APPLIED TO FRAME STRUCTURES Author: Rosanna Duarte Fernandes Dutra Supervisors: Paul Willian Partridge and Willian Taylor Matias da Silva Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, August of 2004

The object of this research is to develop auxiliar software for teaching the Finite Element

Methods for plane frames. The software was developed using the Delphi compiler in the

Windows Platform.

The program developed uses graphic interfaces to allow the automatic generation of the

geometry of the structures, load conditions and mechanics proprieties of elements, as well

as, for the visualization of intermediate and final results of the analysis , such as the

element and global stiffness matrices and the load vectors.

The matrix formulation used for the implementation for the program is given.

Application of the program is described through detailed comments of the main

commands, icons and windows. Several examples are considered in order to illustrate the

application of the program to different cases and the results are compared with expected

values. In this way the reliability of the program and its educational advantages are

demonstrated.

viii

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO..............................................................................................................1

1.1 - NOVAS TÉCNICAS NO PROCESSO ENSINO APRENDIZAGEM

ATRAVÉS DO USO DO COMPUTADOR..................................................................1

1.2 - ALGUNS REFENCIAIS PEDAGÓGICOS.........................................................2

1.3 - NOVAS METODOLOGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM EM

ENGENHARIA...............................................................................................................5

1.4 - OBJETIVOS............................................................................................................6

2 – FUNDAMENTOS BÁSICOS UTILIZADOS – MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS...........................................................................................................................8

2.1 - INTRODUÇÃO.......................................................................................................8

2.2 - HISTÓRICO............................................................................................................8

2.3 - EQUAÇÕES MATRICIAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS...8

2.3.1 - Determinação da função de forma para elementos unidimensionais....13

2.3.1.1 - Funções de forma para um elemento de treliça........................................14

2.3.1.2 - Obtenção da matriz de rigidez para um elemento de treliça.....................16

2.3.1.3 - Funções de forma para um elemento de viga...........................................20

2.3.2 - Matriz de Rigidez de Pórticos Planos.....................................................23

2.3.2.1 - Elemento de Pórtico Comum...................................................................23

2.3.2.2 - Elemento de Pórtico com Rótula na Esquerda........................................29

2.3.2.3 - Elemento de Pórtico com Rótula na Direita............................................32

2.3.3 - Vetor de Cargas Nodais Equivalentes....................................................35

2.3.3.1 - Cargas Concentradas...............................................................................35

2.3.3.2 - Cargas Distribuídas.................................................................................37

2.3.3.3 - Peso Próprio............................................................................................40

2.3.3.4 - Efeitos de Temperatura...........................................................................41

2.3.4 - Matriz de Rigidez Global.........................................................................43

2.3.5 - Aplicação das Condições de Contorno...................................................45

2.3.6 - Resolução do Sistema de Equação (Eliminação de Gauss)..................45

2.3.7 - Cálculo dos Esforços................................................................................46

ix

3 – PROGRAMA EDUCACIONAL.................................................................................47

3.1 - INTRODUCÃO.....................................................................................................47

3.1 - ESTRUTURA DO PROGRAMA........................................................................48

3.3 - PROGRAMA EDUCACIONAL – PÓRTICOS PLANOS...............................49

3.3.1 - Janela Principal do Programa para Pórticos Planos..............................49

3.3.2 - Comandos da Janela Principal do Programa para Pórticos Planos......50

3.3.2.1 - Menu Arquivo...........................................................................................50

3.3.2.2 - Menu Dados..............................................................................................51

3.3.2.3 - Menu Estrutura.........................................................................................52

3.3.2.4 - Menu Solução...........................................................................................53

3.3.2.5 - Menu Resultados......................................................................................53

3.3.2.6 - Menu Relatórios.......................................................................................54

3.3.2.7 - Menu Sobre..............................................................................................54

3.3.2.8 - Menu Teoria.............................................................................................55

3.3.3 - Barra de Atalhos.......................................................................................60

3.3.4 - Menu Dados: Janelas Principais.............................................................64

3.3.4.1 - Janela Dados Globais...............................................................................64

3.3.4.2 - Janela Coordenadas dos Nós....................................................................65

3.3.4.3 - Janela Conectividade dos Elementos.......................................................66

3.3.4.4 - Janela para Condições de Contorno.........................................................67

3.3.4.5 - Janela para Cargas Nodais (Concentradas)..............................................68

3.3.4.6 - Janela para Cargas Distribuídas...............................................................69

3.3.4.7 - Janela para Propriedades dos Elementos.................................................70

3.3.5 - Menu Solução – Opção Passo a Passo: janelas auxiliares.....................71

3.3.5.1 - Passo 1 - Numeração dos nós e graus de liberdade..................................71

3.3.5.2 - Passo 2 - Cálculo da matriz de rigidez do elemento................................72

3.3.5.3 - Passo 3 - Vetor de cargas da estrutura.....................................................75

3.3.5.4 - Passo 4 - Condições de Contorno............................................................76

3.3.5.5 - Passo 5 - Solução do Sistema de Equações ............................................78

3.3.5.6 - Passo 7 - Reações de Apoio ....................................................................80

4 - RESULTADOS............................................................................................................82

4.1 - INTRODUCÃO....................................................................................................82

x

4.2 - EXEMPLOS..........................................................................................................82

4.2.1 - Exemplo 1.....................................................................................................82 4.2.1.1 - Resultados Intermediários..........................................................................88

4.2.1.2 - Resultados Finais........................................................................................91

4.2.2 - Exemplo 2.....................................................................................................94 4.2.2.1 - Resultados Finais........................................................................................94

4.2.3 - Exemplo 3................................................................................................... 97 4.2.3.1 - Resultados Finais........................................................................................98

4.2.4 - Exemplo 4.....................................................................................................99 4.2.4.1 - Resultados Finais......................................................................................100

4.2.5 - Exemplo 5...................................................................................................101 4.2.5.1 - Resultados Finais......................................................................................101

5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS....................104

5.1 - CONCLUSÕES....................................................................................................104

5.2 - SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS...............................................104

REFERÊNCIAS...............................................................................................................106

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Coordenadas dos Nós............................................................................................ 83

Tabela 4.2 – Conectividade dos Elementos............................................................................. 84

Tabela 4.3 – Cargas Nodais........................................................................................................ 85

Tabela 4.4 – Cargas Distribuídas............................................................................................... 85

Tabela 4.5 – Condições de Contorno......................................................................................... 86

Tabela 4.6 – Propriedades dos Elementos................................................................................ 87

Tabela 4.7 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 1 ........................................................... 91

Tabela 4.8 – Comparativo das Reações - Exemplo 1.............................................................. 92

Tabela 4.9 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 2............................................................ 95

Tabela 4.10 – Comparativo das Reações - Exemplo 2.......................................................... 95

Tabela 4.11 – Comparativo dos Deslocamentos - Exemplo 3.............................................. 99

Tabela 4.12 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 3.......................................................... 99

Tabela 4.13 – Comparativo das Reações-Exemplo 3............................................................. 99

Tabela 4.14 – Comparativo dos Deslocamentos - Exemplo 4............................................. 100

Tabela 4.15 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 4......................................................... 100


Tabela 4.17 – Comparativo dos Deslocamentos - Exemplo 5............................................. 102

Tabela 4.18 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 6......................................................... 102


xii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Elemento Finito para treliça.............................................................................13

Figura 2.2 – Elemento Finito para viga................................................................................13

Figura 2.3 – Elemento Finito para pórtico plano.................................................................13

Figura 2.4 – Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças no

Sistema Local...................................................................................................18

Figura 2.5 – Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças no

Sistema Global.................................................................................................19

Figura 2.6 – Giro de uma seção de viga...............................................................................24

Figura 2.7 – Elemento para definição dos limites de integração.........................................24

Figura 2.8 – Elemento finito para pórtico - Componentes de deslocamentos e forças no

Sistema Local...................................................................................................27

Figura 2.9 – Elemento finito para pórtico - Componentes de deslocamentos e forças no

Sistema Global.................................................................................................28

Figura 2.10 – Elemento finito para viga com rótula na esquerda..............................................29

Figura 2.11 – Elemento finito para viga com rótula na direita............................................33

Figura 2.12 – Cargas em elementos de viga........................................................................36

Figura 2.13 – Alongamento devido a variação....................................................................41

Figura 2.14 – Matriz de Rigidez da Estrutura no Sistema local..........................................43

Figura 2.15 – Matriz de Rigidez do elemento.....................................................................44

Figura 2.16 – Bloco definido pelo NDF é dividida em blocos............................................44

Figura 3.1 – Estrutura Básica do Programa PGen.FOR......................................................47

Figura 3.2 – Procedimentos Principais Programa de Pórticos Planos.................................48

Figura 3.3 – Janela de Abertura do programa para pórticos planos....................................49

Figura 3.4 – Janela Principal do programa para Pórticos Planos........................................49

Figura 3.5 – Menu Arquivo.................................................................................................50

Figura 3.6 – Menu Dados....................................................................................................51

Figura 3.7 – Menu Estrutura...............................................................................................52

Figura 3.8 – Menu Solução.................................................................................................53

Figura 3.9 – Menu Resultados............................................................................................53

Figura 3.10 – Menu Relatórios...........................................................................................54

Figura 3.11 – Menu Sobre..................................................................................................54

xiii

Figura 3.12 – Menu Teoria..................................................................................................55

Figura 3.13 –Programa Educacional....................................................................................56

Figura 3.14– Matriz de Rigidez do Elemento......................................................................56





Figura 3.19– Montagem do Vetor de Forças.......................................................................59

Figura 3.20– Montagem do Vetor de Forças.......................................................................59

Figura 3.21– Condições de Contorno..................................................................................60

Figura 3.22– Barra de Atalhos.............................................................................................60

Figura 3.23– Janela para Entrada dos Dados Globais.........................................................64

Figura 3.24– Janela para entrada das Coordenadas dos Nós...............................................65

Figura 3.25– Janela para entrada das Conectividades dos Elementos.................................66

Figura 3.26– Janela para entrada das Condições de Contorno............................................67

Figura 3.27– Janela para entrada das Cargas Concentradas (Nodais).................................68

Figura 3.28– Janela para entrada das Cargas Distribuídas..................................................69

Figura 3.29–Janela para entrada das Propriedades dos Elementos.....................................70

Figura 3.30– Janela Solução Passo a Passo........................................................................71

Figura 3.31– Janela Graus de Liberdade – Passo 1............................................................72

Figura 3.32– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2 A.......................................73

Figura 3.33– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B........................................73

Figura 3.34– Caixa de Seleção dos Elementos....................................................................74

Figura 3.35– Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A..........................................75

Figura 3.36– Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B..........................................75

Figura 3.37– Janela Condições de Contorno – Passo 4 A...................................................76

Figura 3.38– Janela Condições de Contorno – Passo 4B....................................................77

Figura 3.39– Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Cheia................................77

Figura 3.40– Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Semi- Banda.....................78

Figura 3.41– Janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5 A....................................79

Figura 3.42– Janela Deslocamento Nodais – Passo 5B......................................................79

Figura 3.43– Janela Reações de Apoio – Passo 7 A............................................................80

Figura 3.44– Janela Reações de Apoio – Passo 7B.............................................................81

xiv

Figura 3.45– Aviso de visualização dos esforços nos elementos.........................................81

Figura 4.1– Pórtico Plano: Exemplo 1.................................................................................82

Figura 4.2– Dados globais: Exemplo 1................................................................................83

Figura 4.3– Preenchimento das Coordenadas dos Nós: Exemplo 1.....................................84

Figura 4.4– Preenchimento das Conectividades dos Elementos: Exemplo 1.......................84

Figura 4.5– Preenchimento das Cargas Nodais: Exemplo 1................................................85

Figura 4.6– Preenchimento das Cargas Distribuídas: Exemplo 1........................................86

Figura 4.7– Preenchimento das Condições de Contorno: Exemplo 1..................................86

Figura 4.8– Preenchimento das Propriedades dos Elementos: Exemplo 1..........................87

Figura 4.9– Visualização do pórtico em estudo: Exemplo 1...............................................87

Figura 4.10– Matriz de Rigidez do Elemento 1: Exemplo 1...............................................88







Figura 4.17– Matriz de Rigidez do Pórtico sem impor condições de contorno:

Exemplo 1.......................................................................................................90

Figura 4.18– Matriz de Rigidez do Pórtico na forma Semi-Banda-condições de contorno:

Exemplo 1.......................................................................................................91

Figura 4.19– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 1........................................................92

Figura 4.20– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo 1.......................................................93

Figura 4.21– Gráfico de Momento Fletor: Exemplo 1........................................................93

Figura 4.22– Pórtico Plano para o exemplo 2.....................................................................94

Figura 4.23– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 2........................................................96

Figura 4.24– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo 2.......................................................96

Figura 4.25– Gráfico de momento Fletor: Exemplo 2........................................................97

Figura 4.26– Pórtico Plano: Exemplo 3..............................................................................98

Figura 4.27– Entrada da variação de temperatura na janela de Dados Globais:

Exemplo 3......................................................................................................98

Figura 4.28– Pórtico Plano: Exemplo 4............................................................................100

Figura 4.29–Pórtico Plano: Exemplo 5.............................................................................101

xv

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMECLATURA E ABREVIAÇÕES F - Conjunto de esforços externos

δ - Deslocamentos devido às forças externas

σ - Estado de tensões internas

ε - Deformações específicas

K - Matriz de rigidez do elemento em coordenadas globais

eK - Matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais

u - Vetor de deslocamentos da estruturas

P - Vetor de Cargas

Ω - Domínio

Γ - Contorno

∆u, ∆v - Funções de ponderação

n

iu - Valores nodais dos deslocamentos

iφ - Funções de forma

E - Módulo de elasticidade do material

A - Área de seção transversal

L - Comprimento do elemento

R - Matriz de rotação

β - Ângulo medido no plano da seção transversal

q - Valor constante de carga distribuída

θ - Aumento de temperatura

α - Coeficiente de expansão térmica

δ - Alongamento devido ao acréscimo de temperatura

u - Deslocamento na direção x

v - Deslocamento na direção y

θ - Deslocamento na direção z

1

1 - INTRODUÇÃO

1.1 - NOVAS TÉCNICAS NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM ATRAVÉS

DO USO DO COMPUTADOR

Está havendo uma revolução tecnológica na ciência, colocando o homem de posse de

ferramentas tecnológicas poderosas capazes de facilitar a vida em muitas maneiras.

A mais significativa destas ferramentas que influenciou de maneira substancial a vida

moderna é o computador. Esta máquina vem sendo utilizada desde o início da década de

50, porém sua evolução alcançou um grande salto nos últimos anos, podendo-se prever

para o próximo século um progresso equivalente a todo o desenvolvimento alcançado até

agora.

O desenvolvimento do computador possibilitou grandes avanços em campos de pesquisas

para diversas áreas do conhecimento humano. Foi através do uso de computadores que se

tornou possível efetuar análise de dados de forma sistemática, e executar operações

matemáticas complexas e outras atividades de difícil resolução, quando simplesmente

realizadas pelo cérebro humano. Esta tecnologia cada vez mais poderosa em recursos,

velocidade e programas permitiram ao homem, pesquisar, simular situações, analisar seus

conhecimentos científicos entre muitas outras possibilidades. Estas técnicas de informação

estão presentes na vida cotidiana, fazendo parte do universo de todos nós, no qual

principalmente os jovens crescem apertando botões, dentro de uma alta interatividade e

também adultos passam a trabalhar de uma maneira mais eficaz e interativa.

Assim como essas novas tecnologias serviram para impulsionar o mercado científico e

tecnológico de uma forma muito proveitosa, serviram também para serem utilizadas em

métodos pedagógicos e educacionais, na procura da melhoria da formação de profissionais

que usufruirão desta grande ajuda tecnológica no exercício de suas profissões.

Levando em consideração que os responsáveis em repassar conhecimentos tiveram uma

formação mais tradicional, na qual era apenas repassado ao aprendiz o conhecimento

necessário (Maia e Calixto, 1999), estes passarão a ter a tarefa de se adaptar aos novos

2

meios de ensino que surgiram com os novos avanços, porque as próprias inovações

tecnológicas em toda as áreas do conhecimento humano, passaram a exigir uma formação

educacional mais adequada para acompanhar este dinamismo de conhecimentos (Maia e

Calixto, 1999).

Buscando proporcionar uma melhora no aprendizado, o computador passou a ser usado

também, como uma ferramenta metodológica para o auxílio ao ensino e a aprendizagem.

Com o auxílio desta nova ferramenta busca-se modificar os métodos tradicionais de

ensino, passando a utilizá-los como uma estratégia educacional que possa transformar o

aprendizado, através de um ambiente de sala de aula como um espaço de trabalho mais

dinâmico e de melhor aproveitamento.

Através da utilização destas novas metodologias de ensino busca-se transcender a relação

professor-aluno-sala de aula na procura de uma melhor qualidade de ensino (Menezes e

Longo, 1999).

1.2 - ALGUNS REFERENCIAIS PEDAGÓGICOS

Pesquisadores buscam definir novas técnicas pedagógicas, mostrando as diferenças

existentes entre a pedagogia tradicional e esta nova pedagogia, que vem surgindo com os

avanços e com novas ferramentas que se aliam a este novo processo. Buscam também

salientar as possíveis desvantagens desta nova era da informação e tecnologia dentro do

processo educacional.

Em 1987, Freire (apud Laudares e Lachini, 2002) observou que na pedagogia tradicional a

transmissão do conhecimento pronta é feita de uma geração mais velha para uma mais

nova. Assim a educação tradicional é colocada como uma ‘Pedagogia Bancária’, sendo

esta o ato de depositar conhecimentos, onde o educador é o depositante e o aluno é o

depositário, que recebe as informações memorizam e repetem. Ele considera que o único

papel do educador é o de ‘encher’ os educandos de conteúdos, fazendo assim depósitos de

‘comunicados’. Freire considera: ‘...Eis a concepção ‘bancária’ da educação, em que a

única margem de ação que se oferece aos educandos é a de receberem os depósitos,

guardá-los e arquiva-los’.

3

Através de Dewey (apud Laudares e Lachini, 2002) temos uma contraposição a esta

pedagogia, porque este propõe uma didática concretizada em estudo através de projetos,

colocando o pensamento científico como o centro da ação educativa. As propostas de

Dewey levam a uma reengenharia de pedagogia tradicional, dando ênfase a uma mudança

radical dos métodos de ensino, no qual o conhecimento é constantemente construído e

reconstruído. Para Dewey a centralidade didática não se restringe somente ao professor,

mas sim, em uma atitude reflexiva que o estudante deve demonstrar no processo de

aprendizagem.

Saviani (apud Laudares e Lachini, 2002), faz uma demarcação clara das Escolas que

surgiram em conseqüência da industrialização. Seriam a escola da pedagogia tradicional

onde a iniciativa cabia somente ao educador, que era o elemento decisivo do processo; a

pedagogia nova onde a iniciativa passa a ser do aluno com uma relação professor-aluno

proporcionando assim uma relação interpessoal , intersubjetiva; e por último, a pedagogia

tecnicista que coloca o professor e o aluno em posições secundárias, relegados a condição

de executores de um processo cuja concepção, planejamento, coordenação e controle ficam

a cargo de especialista supostamente habilitados, neutros, objetivos, imparciais.

Em seus estudos, Lévy (apud Laudares e Lachini, 2002), dá ênfase a uma abordagem

humanística da técnica, alegando não existir um ‘Cálculo’, uma ‘Metafísica’, uma

‘Racionalidade acidental’, nem mesmo um ‘Método’ que possam explicar a crescente

importância das ciências e das técnicas na vida coletiva. Lévy separa a evolução

comunicativa que se desenvolveu na vida do homem através de suas relações sociais, em

três tempos: o da oralidade primária, o da oralidade escrita, e recentemente, o da

informática. Neste tempo em que vivemos, a era da informática, o computador tornou-se

uma imensa máquina integradora que alcançou todas as novas tecnologias. Para Lévy o

computador é ‘constituído por uma infinidade de dispositivos materiais e de camadas de

programas que se recobrem e se interfaceiam umas com as outras. Grande número de

inovações importantes no domínio da informática provém de outras técnicas: eletrônicas,

telecomunicações, laser... ou de outras ciências: matemática, lógica, psicologia cognitiva,

neurobiologia. Cada casca sucessiva vem do exterior, é heterogênea em relação a

interface que a recobre, mas acaba por tornar-se parte integrante da máquina.’

4

Utilizando estes grandes avanços tecnológicos aliados às várias mudanças a que se passou

a pedagogia tradicional novas metodologias de ensino foram sendo criadas, acompanhando

a evolução social do homem e da própria pedagogia, buscando uma melhor relação do

ensino e da aprendizagem para a formação de pensamentos não somente acabados, mas

também reflexivos (Laudares e Lachini, 2002).

É necessário, porém, ter a preocupação se estes materiais tecnológicos utilizados para

viabilizar a didática levam a pedagogia tecnicista a uma redução perigosa do trabalho

executado pelos alunos. Isto poderia colocar como centro a eficiência do material didático

e em segundo plano a ação dos alunos (Laudares e Lachini, 2002).

Dentro deste contexto de viabilização de didática através de materiais tecnológicos é

necessário que os educadores que optarem por este tipo de pedagogia tecnicista, citada

anteriormente, analisem a melhor forma de inserir pedagogicamente este tipo de

ferramenta dentro da sala de aula. Pravia et al. (2001), afirma que o uso inadequado de

programas computacionais pode gerar falsas expectativas nos estudantes que passam a ver

a ferramenta como um meio de diminuir o seu trabalho dentro de sala de aula. Pravia et al.

(1999), cita afirmação de Frankenberg a respeito de softwares educativos usados para

auxiliar o aluno no processo de aprendizagem como uma ferramenta educacional: ‘O

software educativo é aquele que tende a viabilizar o processo ensino-aprendizagem,

favorecendo o desenvolvimento e a aprendizagem. Além disto, também objetiva o reforço e

a construção do conhecimento do aluno. Em primeiro lugar, um software elaborado para

solução de problema técnico não visa então, o desenvolvimento do aluno quanto a

assimilação de conteúdos mas sim capacita-lo em termos de programação e repetibilidade

de passos preestabelecidos. Entretanto como tinha descrito, o software educativo

desenvolvido para o ensino, poderá focar o mesmo assunto, mas de forma a enfatizar o

poder crítico de assimilação de conteúdos.’

É necessário, portanto, que o educador se preocupe com o conteúdo a ser passado, para que

estas ferramentas sirvam como metodologias capazes de fixar conceitos e para que não

tragam prejuízos aos alunos no que diz respeito a sua capacidade crítica e sua futura

competência profissional.

5

1.3 - NOVAS METODOLOGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM EM

ENGENHARIA

Levando em consideração as dificuldades encontradas pelos alunos em determinadas

disciplinas, como análise e dimensionamento de estruturas, consideradas fundamentais

para a formação de bons profissionais na área de Engenharia Civil, o computador começou

a ser amplamente usado como uma alternativa que disponibiliza melhores dinâmicas

visuais do comportamento de estrutura entre outras aplicações (Pravia et al., 1999).

A utilização destas novas técnicas didáticas através de programas aplicados na área de

engenharia surgiu para auxiliar o professor no processo de ensino. Isto ocorre na medida

em que o professor poderá contar com uma ferramenta poderosa, que permitirá ao usuário

não só obter os resultados, mas também consultar, pesquisar, gerar conteúdos audiovisuais

e simular efeitos físicos dos problemas em questão. Todo este processo não tem como

intenção diminuir o trabalho do professor, e sim, melhorar a sua capacidade de repassar o

conhecimento através de uma melhor assimilação do conteúdo.

Buscando alcançar estes objetivos, vários programas vêm sendo desenvolvidos baseados

neste cunho educacional. Estes programas, chamados de softwares educativos, segundo

Frakenberg (Pravia et al., 1999) tendem viabilizar o processo ensino-aprendizado e buscam

através de mídias digitais proporcionar ao aluno uma maior assimilação do conteúdo dado

em sala de aula.

O presente trabalho procura dar continuação à linha de pesquisa iniciada por Santos

(2003), no Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil voltada para

Novas Tecnologias e Metodologias para o Ensino de Engenharia.

Dá-se continuidade no presente trabalho, a metodologia e a implementação de ferramentas

computacionais, através de programas educacionais, para o ensino e aprendizagem de

análise de estruturas através do Método dos Elementos Finitos. O presente trabalho baseia-

se em elementos de pórticos planos e continuará atendendo as recomendações de Pravia

(Pravia et al., 1999), possibilitando o acesso a resultados intermediários de análise, já

implementados, e possibilitando agora, busca a ajudas contextuais, como conceitos

teóricos e processos usados nos cálculos. Será possível também ao usuário, a visualização

6

de saídas, por exemplo, como gráficos dos esforços gerados pela estrutura (normal,

cortante e fletor).

Desta forma, o programa foi desenvolvido com interface amigável em ambiente Windows

para a geração de pórticos planos. Utilizou-se a linguagem Pascal Orientada a Objetos em

Ambiente de Desenvolvimento Integrado Delphi (2003), por se tratar de um programa que

permite uma boa interação com os usuários, na medida em que estes participam de todo o

processo com janelas interativas, botões e saídas gráficas.

1.4 - OBJETIVO

Levando em consideração a evolução de modelos interativos de programas que buscam

ampliar o ambiente de aprendizado do aluno, proporcionando mais espaço para a interação

entre a prática e a teoria, vários programas vêm sendo elaborados, no objetivo de aplicar o

aprendizado não somente no âmbito de sala de aula.

Buscando este objetivo contamos com alguns exemplos de programas educacionais que

foram desenvolvidos para auxílio ao ensino de engenharia de estruturas (Pravia et al.,

1999):

• SOFTed – Conjunto de programas de baixo custo (ED-Frame, ED-Tridim,etc.)

desenvolvidos pelo CIMNE (SOFTed, 1997). Programas totalmente interativos para

estruturas constituídas por barras, e apresentam todo o processo de análise da estrutura;

• RUCKZUCK: programa interativo, em alemão, desenvolvido na Universidade Técnica

de Graz (Ruckzuck, 2003), programa para análise de estruturas de barras utilizando

métodos de análise matricial de estruturas. Semelhante aos programas SOFTed.

• FTOOL: versão educacional de um programa comercial. Programa para análise de

estruturas de barras totalmente interativo desenvolvido no TECGraf (Martha, 2003) da

PUC de Rio de Janeiro, porém só apresenta os resultados finais da análise.

7

• SALT/UFRJ: Programa que trabalha com arquivos de dados, porém possui interface

para adquirir os dados de modelos desenhados em softwares que possam gerar arquivos

do tipo DXF. Este programa vem evoluindo, e é desenvolvido na UFRJ (SALT, 2003).

Embora este programa seja de uso profissional, tem uma versão “educacional”, com

capacidades reduzidas.

Alguns destes programas possuem versões educacionais, sendo necessário apenas uma

conexão com a Internet para sua utilização, sem custo. Existem outros programas de fácil

localização pela Internet, que apesar de totalmente gratuitos são programas com pouca ou

nenhuma interatividade, como ALADDIN, FELT.

Existem também outros programas comerciais como ANSYS, MC/Patran, DesignSpace,

ABAQUS, STRAP, MICROFE, SAP2000, ANALYS, VISUALANALYS, STAADII, que

são programas com várias opções de análise de dimensionamento e podem ser comprados

a bons preços em versões chamadas universitárias.

Cita-se aqui apenas alguns dos muitos programas que existem no mercado tanto do Brasil

como do mundo. Vários trabalhos continuam sendo feitos no sentido de criar novas

ferramentas computacionais de ensino e aprendizagem na engenharia de estruturas. Os

exemplos aqui citados são apenas para demonstrar a importância do trabalho desenvolvido.

8

2 – FUNDAMENTOS BÁSICOS UTILIZADOS – MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

2.1 - INTRODUCÃO

Neste capítulo utilizou-se o método dos elementos finitos para obter a matriz de rigidez e o

vetor de forças nodais equivalentes dos elementos de treliça e pórticos planos. Além disso,

considerou-se a presença de rótulas no elemento de pórtico plano.

2.2 - ORIGEM DO MÉTODO

O método dos elementos finitos surgiu em 1955 com a evolução da análise estrutural de

modelos reticulados (concebida no início da década de 30 na indústria aeronáutica

britânica), com a disponibilidade de computadores digitais e devido à necessidade de

projetar estruturas em modelos contínuos.

Os primeiros elementos foram concebidos por engenheiros aeronáuticos para análise de

distribuição de tensões em chapas de asas de avião. Sua formulação foi tratada

pioneiramente por Argyris e Kesley em 1955 (republidada em 1960) e por Turner, Clough,

Martin e Topp (1956).

Assim, o computador digital e a engenharia aeronáutica são os responsáveis pela origem do

método dos elementos finitos.

O Método dos Elementos Finitos tornou-se muito importante para as atividades de

engenharia e sua adaptação aos computadores eletrônicos representa a solução para

diversos problemas de grande complexidade como problemas da engenharia estrutural.

2.3 - EQUACÕES MATRICIAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

(BREBIA E FERRANTE, 1986)

Para a resolução de problemas de grande complexidade da teoria da elasticidade pelo

método dos elementos finitos, pode-se contar com dois métodos de aproximação: o método

9

variacional ou de Rayleigh-Ritz e o método dos resíduos ponderados ou de Garlekin.

O método de Rayleigh-Ritz requer um funcional, já o método de Garlekin utiliza

diretamente as equações diferenciais. Para resolver este sistema de equações diferenciais

substituem-se funções aproximadoras que satisfaçam as condições de contorno. Estas

funções não sendo a solução exata do sistema de equações geram resíduos que devem ser

ponderados.

Neste trabalho, utilizou-se o método de Garlekin para determinar a equação matricial de

equilíbrio para casos de elasticidade bidimensional. Esta equação de equilíbrio pode ser

expressa em notação matricial da seguinte forma:

K u = p (2.1)

Onde K é a matriz de rigidez do elemento, p é o vetor de carga da estrutura e u é o vetor de

deslocamentos nodais.

Portanto considera-se as equações de equilíbrio para o estado plano de tensões de um

elemento infinitesimal:

übyx x

xyxx ρσσ

=+∂

∂+

∂∂

(2.2a)

..vbyx y

yyyx ρσσ

=+∂

∂+

∂

∂ (2.2b)

Por outro lado, as condições de contorno para a elasticidade em deslocamentos e tensões

são escritas como:

−= uu para deslocamentos prescritos;

−= pp para tensões de superfície prescritas.

Consideram-se as condições de contorno u e p nas direções x e y em cada ponto do

contorno. Chega-se a equação:

10

P=σ n; (2.3a)

Ou:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

y

x

yyyx

xyxx

y

x

nn

pp

.σσσσ

(2.3b)

Onde P são as trações de superfície, σ representa o estado de tensões e n são cosenos

diretores.

Utiliza-se uma expressão de resíduos ponderados para obter a Equação (2.1). Portanto

integra-se a Equação (2.2) no domínio e contorno do elemento, tal que:

( ) ( ) ∫

∫∫Γ−++−+

=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂

∂+

∂

∂+Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂

∂+

∂∂

dvpnnupnn

dvvbyx

duübyx

yyyyxyxxyxyxxx

yyyxy

xxyxx

δσσδσσ

δρσσ

δρσσ ..

(2.4)

Onde Ω representa o domínio, Γ representa o contorno eδ u e δ v são funções de

ponderação.

Utiliza-se a regra de integração por partes, tal que:

xxxx x xx

xyxy y xy

xyxy x xy

yyyy y yy

u. u.d .n . u.d . .dx x

u. u.d .n . u.d . .dy y

v. v.d .n . v.d . .dx x

v. v.d .n . v.d . .dy y

∂σ ∂δδ Ω = σ δ Γ − σ Ω

∂ ∂∂σ ∂δ

δ Ω = σ δ Γ − σ Ω∂ ∂∂σ ∂δ

δ Ω = σ δ Γ − σ Ω∂ ∂∂σ ∂δ

δ Ω = σ δ Γ − σ Ω∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(2.5)

Válidas no contorno

11

Substituem-se estes resultados na Equação (2.4) cancelando os termos idênticos que

aparecem em ambos lados da equação, chega-se:

( )

( )∫∫∫∫

∫∫∫

Γ+=Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+Ω

∂∂

−+Ω∂∂

−

+Ω−+Ω∂∂

−+Ω∂∂

−

dvpupdvvbdyvd

xv

duübdyud

xu

yxyyyxy

xxyxx

δδδρδσδσ

δρδσδσ

..

(2.6)

Reordenam-se os termos, então a Equação (2.6) pode ser reescrita como:

∫∫

∫

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−

−− dvpupdvvbuub

dyv

xv

yu

xu

yxyx

yyxyxx

δδδρδρ

δσδδσδσ

....

(2.7)

Introduzem-se as relações deformação-deslocamento:

xu

xx ∂∂

=ε , xxux

∂δδε =

∂

yv

yy ∂∂

=ε , yyvy

∂δδε =

∂ (2.8)

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ , xyu vy x

∂δ ∂δδγ = +

∂ ∂

Na expressão (2.7), chega-se a:

( )

( ) Ω++Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Γ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++Ω++−

∫ ∫

∫∫

−− dvbubdvpup

dvvuud

yxyx

yyyyxyxyxxxx

δδδδ

δρδρδεσγδσδεσ ....

(2.9)

No caso de um problema estático, tem-se ü = 0.. =v , portanto a Equação (2.9) reescreve-se

como:

12

( ) ( ) Ω++Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++ ∫ ∫∫ −− dvbubdvpup yxyxyyyyxyxyxxxx δδδδδεσγδσδεσ

(2.10)

Esta equação é escrita na forma matricial da seguinte maneira:

=∫ Ωdδεσ ∫ Γdup δ ∫+ Ωdub δ (2.11)

Onde:

=σ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

σ

σσ

, =ε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

ε

εε

, =p

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

p

pp

, =b

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

b

bb

, =u

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

u

uu

(2.12)

Porém é conveniente considerar a equação na sua forma transposta:

=∫ ΩdTσδε ∫ Γdpuδ ∫+ ΩdbuTδ

(2.13)

Na Equação (2.13), o termo do lado esquerdo da equação produzirá a matriz de rigidez, e

os termos do lado direito produzirão o vetor de cargas nodais equivalentes, depois de

introduzida a aproximação de elementos finitos e após serem executadas as integrações

necessárias.

A aproximação de elementos finitos consiste em obter funções aproximadoras dos

deslocamentos para cada elemento em termos de valores nodais. Assim tem-se que:

nii

uu φΣ= (2.14)

Onde u é a função deslocamento, iφ são funções conhecidas que são determinadas para

cada tipo de elemento chamadas de funções de forma, ni

u são valores das incógnitas

nodais do elemento finito e são consideradas como constantes inicialmente desconhecidas

e n é o número de nós do elemento.

13

A partir do momento em que a função deslocamento se torna conhecida, é possível

executar as diferenciações necessárias para obter a matriz de rigidez e o vetor de cargas da

Equação (2.13).

2.3.1 - Determinação da função de forma para elementos unidimensionais

Elementos de treliças, vigas e pórticos podem ser discretizados em elementos finitos

unidimensionais de dois nós. O elemento de treliça pode ser considerado uma barra

unidimensional, sujeito apenas a esforços axiais, ( )0≠xxσ . O elemento possui uma

deformação longitudinal constante, com incógnitas de deslocamentos longitudinais 1u e 2u

em coordenadas locais, ver Figura (2.1).

1 2 1u 2u

l Figura 2.1- Elemento finito para treliça

Para o caso de um elemento viga teremos quatro graus de liberdade e as incógnitas de

deslocamento serão 1v e 1θ para o nó 1, e 2v e 2θ para o nó 2 , Figura (2.2).

1θ 2θ

1 2 l 1v 2v

Figura 2.2 - Elemento finito para viga

Para determinarmos as funções de forma para um elemento de pórtico plano devemos

somar um elemento de treliça e um elemento de viga, ver Figura (2.3).

1θ 2θ 1u 1 2 2u

l

1v 2v

Figura 2.3 - Elemento finito para pórtico plano

14

Em seguida procede-se os cálculos para determinar as funções de forma para um elemento

de pórtico, que depende das funções de forma do elemento de treliça e do elemento viga.

2.3.1.1 - Funções de forma para um elemento de treliça

Para o cálculo da função de forma do elemento de treliça considere um elemento linear de

dois nós da Figura 2.1

Considere que no nó 1 a coordenada x assume o valor zero e no nó 2 será igual a l, onde l é

o comprimento do elemento. Desenvolvem-se as funções de forma para o elemento

partindo da expressão matricial:

αAu= (2.15)

Onde u são as funções desconhecidas, A é a base de polinômios determinada pela natureza

do problema, que no caso, é uma base de termos polinomiais lineares, e α são os

coeficientes desconhecidos em número igual ao número de nós.

Tem-se então as seguintes particularizações:

=A [ ]x1 ; =α ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

αα

e =u [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

11αα

x (2.16)

Substituem-se os valores correspondentes de x:

No nó 1:

No nó 2: (2.17)

Assim chaga-se ao resultado:

x = 0 u = u1

x = l u = u2

15

1

2

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

uu

1

2

1 01

α⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ α⎣ ⎦ ⎣ ⎦l

(2.18)

Considera-se que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

uu

u n e C 1 01⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦l

(2.19)

Chega-se a seguinte expressão:

αCu n = (2.20)

Para calcular os coeficientes 1α e 2α inverte-se (2.20) e tem-se: nuC 1−=α , que

matricialmente se expressa como:

1

2

α⎡ ⎤⎢ ⎥α⎣ ⎦

011 1

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

ll

1

2

uu⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.21)

Substituindo (2.21) em (2.16), elimina-se α, portanto chega-se a :

nuCAu 1−= , que matricialmente expressa-se como: (2.22)

u [ ] 01 11 1

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

lx

l1

2

uu⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.23)

Simplificando temos:

u 1 21⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

x xu ul l

(2.24)

Tem-se então as funções de forma do elemento de treliça definidas como:

16

1 1⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

xl

e 2⎛ ⎞φ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

xl

(2.25)

Desta maneira, chega-se a seguinte expressão:

2211 uuu φφ += (2.26)

Desse modo, chega-se a uma função geral do tipo: n

iiuu φΣ= .

2.3.1.2 - Obtenção da matriz de rigidez para um elemento de treliça

Chega-se a matriz de rigidez e vetor de cargas nodais para a treliça substituindo (2.26) em

(2.13). No momento considerar b = 0:

∫∫ Γ=Ω dpud TT δσδε (2.27)

No caso do elemento treliça, xyσ = yyσ = 0 e considerando as coordenadas locais, tem-se

v=0. No caso de cargas concentradas o lado direito de (2.7) se torna:

[ ] 1T1 2

2

pu p d u u

p⎡ ⎤

δ Γ = δ δ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (2.28)

Para obter a matriz de rigidez, assume-se a Lei de Hooke, σxx = E ε xx, e utiliza-se o lado

esquerdo de (2.13) tal que:

Txx xx

u ud E d E dx x

∂δ ∂δε σ Ω = δ ε ε Ω = Ω

∂ ∂∫ ∫ ∫ (2.29)

Usa-se a aproximação de elementos finitos da Equação (2.13) tem-se

1 21 2

u u ux x x

∂Φ ∂Φ∂= +

∂ ∂ ∂, com ( )1

1Φ = −l x

l e 2Φ =

xl

chega-se:

17

1

2

1 1 ⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

uuux l l

(2.30)

1

2

1 1 ∆⎡ ⎤∂∆ ⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

uuux l l

(2.31)

Substitui-se em (2.29) tal que:

[ ] 11 2

2

11 1

1

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤δε σ Ω = δ δ − Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫T uld E u u dul l

l

(2.32)

Considera-se 0

Ω =∫ ∫l

d A dx , onde A é a área da seção transversal da barra e executa-se a

multiplicação, tal que:

[ ] 11 2 2 0

2

1 11 1

− ⎡ ⎤⎡ ⎤δε σ Ω = δ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

lT uEAd u u dxul

(2.34)

Executa-se a integração em (2.32):

[ ] 11 2

2

1 11 1

− ⎡ ⎤⎡ ⎤δε σ Ω = δ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ T uEAd u u

ul (2.35)

Juntam-se os termos dos dois lados de (2.13) tal que:

[ ] [ ] 111 2 1 2

2 2

1 11 1

− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤δ δ = δ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

puEAu u u uu pl

(2.36)

Cancelam-se os incrementos δu obtendo:

11

2 2

1 11 1

− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

puEAu pl

(2.37)

18

A partir da equação matricial de equilíbrio do elemento de treliça, ⋅ =k u p , tem-se que

=k ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1111

LEA , que se refere a matriz de rigidez do elemento em coordenadas

locais.

Considera-se (2.34) em coordenadas locais, e inclui-se os deslocamentos transversais 1v e

2v obtendo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

2

2

1

1

2

2

1

1

0000010100000101

qpqp

vuvu

LEA (2.38)

É necessário fazer a transformação do sistema de coordenadas locais para o global. Na

Figura (2.4) podemos observar o sistema local para o elemento de treliça:

Figura 2.4 - Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças

no Sistema Local

Deve-se fazer a transformação do sistema local (x,y) para o sistema global (X,Y), usando a

matriz de rotação R que se define como:

Letras minúsculas → sistema local Letras maiúsculas → sistema global

α

Y

X

1u

1p

y

x

2u

2p

1Nó

2NóGlobalSistema→

LocalSistema→

19

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

CSSC

CSSC

R

0000

0000

(2.39)

Executa-se a rotação passando a expressar os resultados no sistema de coordenadas

globais.

Na Figura (2.5) pode-se observar os deslocamentos do elemento de treliça no sistema de

coordenadas globais.

x

1Vy

Y

X

Local

0

SistemaGlobal 2U

2V

1UNÓ 1

NÓ 2

Figura 2.5 - Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças

no Sistema Global

Portanto a equação de equilíbrio do elemento de treliça em coordenadas globais se

expressa como:

PUK = (2.40)

Onde: θcos=C θsen=S


20

Tem-se que:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

SCSSCSCSCCSCSCSSCSCSCCSC

lEAK . (2.41)

Onde K é a matriz de rigidez em coordenadas globais.

2.3.1.3 - Funções de Forma para um elemento de viga

Para o cálculo das funções de forma do elemento de viga considere um elemento linear de

dois nós da figura 2.2. O elemento possui quatro graus de liberdades, 1v , 1θ , 2v e 2θ .

Considere um polinômio cúbico em x cujos quatro termos são (1, x, x², x³).

Considere que no nó 1 tem-se x = 0 e no nó 2, x = l. Desenvolve-se as funções de forma

para o elemento partindo da expressão u = A α,, cujos termos diferem-se como:

=A [ ]321 xxx , =α ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

αααα

e =v [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

321

αααα

xxx (2.42)

Para os graus de liberdade )0(1 =xv e )(2 lxv = , obtem-se as seguintes relações:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

1 0001

αααα

v e [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

322 1

αααα

lllv (2.43)

Para os graus de liberdade )0(1 =xθ e )(2 lx =θ , utiliza-se , primeiramente, a relação

xv

∂∂

=θ . Portanto, aplica-se esta rotação em (2.42) obtém-se que:

21

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

23210

αααα

θ xx (2.44)

Finalmente em (2.45), chega-se as seguintes expressões para os graus de liberdade

rotacionais do elemento de viga:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

1 0010

αααα

θ e [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

22 3210

αααα

θ ll (2.45)

Agrupando as expressões (2.43), (2.44), tem-se que:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

2

32

2

2

2

1

32101

00100001

αααα

θ

θ

lllllv

v

(2.46)

Onde, o vetor de deslocamentos nodais e a matriz C são dados por:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

1

θ

θv

v

vn

e ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

32

32101

00100001

lllll

C (2.47)

Finalmente chega-se a expressão:

αCv n = (2.48)

Portanto, para determina-se os coeficientes α, invertendo (2.48), tal que:

nvC 1−=α (2.49)

22

A inversa da matriz C é escrita como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

2

1

22

3232

4

4

4

4

3

2

1

22

323

000

000

1

θ

θ

αααα

v

v

llll

llll

l

l

l (2.50)

Substituindo (2.50) em (2.42), é possível eliminar α . Desta maneira obtemos:

nvCAv 1−=

Matricialmente escreve-se como:

4

14

12 34 2 3 2 3

2

2 2 2

0 0 0

0 0 01 13 2 3

2 2

l vl

v x x xvl l l l l

l l l l

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦−⎣ ⎦

(2.51)

Desenvolvendo esta expressão teremos a expressão, tem-se: 4

14

12 34 2 3 2 3

1 1 1 22 2

1 1 2 2

1 13 2 3

2

⎡ ⎤⎢ ⎥

θ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − θ + − θ⎢ ⎥⎢ ⎥+ θ − + θ⎣ ⎦

l v

lv x x x

l l v l l v l

lv l lv l

(2.52)

Agrupando o termos em comum chega-se a:

(2.53)

Desta maneira tem-se as funções de forma para o elemento viga:

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]2

3223

2322

132234

13224

4 232231

θ

θ

xlxl

vxlxlxlxlxlvxlxlll

v

+−

+−++−++−=

23

3 2

1 3 22 3 1

⎛ ⎞φ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

x xl l

,3 2

2 22⎛ ⎞

φ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

x x xl l

,2 3

3 2 33 2⎛ ⎞

φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

x xl l

,3 2

4 2

⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

x xll

(2.54)

Por outro lado a equação de aproximação de elementos finitos se torna:

24231211 θφφθφφ +++= vvv (2.55)

2.3.2 - Matriz de Rigidez de Pórticos Planos

Uma vez que define-se as funções de forma conforme os itens 2.3.1.1 e 2.3.1.3, calcula-se

agora a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano.

Considere três tipos diferentes de elementos para o cálculo da matriz de rigidez de pórtico

plano, tais que:

1) Elemento de Pórtico comum;

2) Elemento de Pórtico com Rótula na Esquerda;

3) Elemento de Pórtico com Rótula na Direita.

A seguir apresenta-se a matriz de rigidez para cada tipo de elemento.

2.3.2.1 - Elemento de Pórtico Comum

A matriz de rigidez é desenvolvida a partir do termo do lado esquerdo da Equação (2.13),

ou seja o termo dσ δε Ω∫ . Considere um elemento de viga sob flexão pura, 0yy xyε = γ = ,

de onde:

0=∂∂

+∂∂

=xv

yu

xyγ (2.56)

Considere o giro de uma seção do elemento sob deformação, conforme Figura 2.6, define-

se então a seguinte relação:

24

y

u

β

x

Figura 2.6 – Giro de uma seção de viga

yu β−= (2.57)

Substituindo esta relação na expressão (2.57) tem-se:

0vx

∂−β + =

∂ ou v

x∂

= β∂

(2.58)

Sabendo que: xxu yx x

∂ ∂βε = = −

∂ ∂, então tem-se

2

2xxv yx

∂ε =

∂. Se considerar xx xxEσ = ε

chega-se a:

2 22

2 2

Td v d vd E y dd x d x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞δδε σ Ω = Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ (2.59)

Observa-se que não há dependência na coordenada z e considera-se a origem das

coordenadas no plano médio do elemento (Figura 2.7). Além disso, considere a dimensão z

com comprimento b e a dimensão y com comprimento h. Então a expressão (2.59) se

torna:

y b x

h z

Figura 2.7: Elemento para definição dos limites de integração

25

32 2 2 222

2 2 2 20 0

2

12

hT Tl l

h

E bhv v v vE b y dx dy dxx x x x

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ δ ∂ ∂ δ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2.60)

Sabemos que o momento de inércia de uma seção quadrada pode ser expresso por

12

3hbI = , obtemos:

2 2

2 20

Tl v vE I dxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ δ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ (2.61)

Introduzindo ni iv v= φ e n

i iv vδ = φ δ , a expressão (2.61) pode ser escrita como:

nl

Tn vdx

xxvIE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

2

2

02

2 φφδ (2.62)

Desta maneira, a matriz de rigidez do elemento de viga é dada pela seguinte expressão:

dxxx

IEKl

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

= ∫ 2

2

0 2

2 φφ . (2.63)

Considerando as funções de forma de (2.54) e fazendo as diferenciações necessárias,

obtemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

∂∂

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

∂∂

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 322

12

3

2

21

2

2

3

3

112666132l

xlxl

xl

xxl

xlx φφ

φ (2.64a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

∂∂

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

∂

∂⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 22

22

2

22

2

2

3

2641342l

xlxl

xlx

xx

lx

lx φφ

φ (2.64b)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂∂

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂∂

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 32

32

3

2

23

3

3

2

2

31266623l

xlxl

xl

xxl

xlx φφ

φ (2.64c)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂∂

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂

∂⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

llx

xlx

lx

xlx

lx 2623

224

2

2

24

2

2

3

4φφ

φ (2.64d)

26

Substituindo as derivadas das funções de forma dadas em (2.64) na expressão (2.63)

obteremos a matriz de rigidez:

dxll

xl

xll

xll

xl

llx

lx

l

lx

l

lx

l

IEKl

∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+

−+

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+−

+−

=0

23232

2

3

2

32

2612664126

26

126

64

126

(2.65)

Realizando as multiplicações e integrações de cada termo desta expressão, obtem-se a

matriz de rigidez do elemento viga.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

−

=

32

23

3

4626612612

2646612612

llllll

llllll

lEIK

(2.66)

Para obter a matriz de rigidez do elemento de pórtico comum é necessário somar a matriz

de rigidez do elemento de treliça à matriz de rigidez do elemento de viga (2.66). Assim

obtém-se uma matriz 6 x 6, que se escreve como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

−

−

−

=

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lAE

lAE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lAE

lAE

lEIK

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

333

22

333

3

(2.67)

27

x

u

u

y

Y

X

SistemLoca

0

SistemGloba

NÓ 1

NÓ 2

V

V

θ

θ

x

u

u

y

Y

X

SistemLocal

0

SistemGlobal

NÓ 1

NÓ 2

V

V

θ1

θ2

α

Tem-se a matriz de rigidez de um elemento de pórtico comum no sistema local de

coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É necessário fazer a transformação

deste sistema local para o sistema global de coordenadas, transformando para as

coordenadas da estrutura.

Figura 2.8: Elemento finito para pórtico – Componentes de deslocamentos no Sistema

Local

Para fazer a transformação de sistemas é necessário usar a matriz de rotação R dada pela

seguinte expressão:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

1000000000000000010000000000

CSSC

CSSC

R (2.68)

Usando a matriz de rotação R; os deslocamentos e as forças nodais expressos em

coordenadas do elemento, Sistema Local, são transformados para o Sistema Global (Figura

2.9).


Onde: θcos=C

θsen=S

28

Figura 2.9: Elemento finito para pórtico – Componentes de deslocamentos no Sistema

Global

A equação de equilíbrio do elemento de pórtico plano em coordenadas locais se escreve

como:

lll PuK = (2.69)

Onde lK é a matriz do elemento em coordenadas locais, lu são os deslocamentos em

coordenadas locais e lP é o vetor de forças em coordenadas locais.

Aplicando a rotação sobre os vetores de deslocamentos e cargas nodais, tem-se:

gl PRP = (2.70a)

gl uRu = (2.70b)

Substituindo as Equações (2.70a) e (2.70b) em (2.69) tem-se:

ggl PRuRK = (2.71)

x

1Vy

Y

X

Local

0

Sistema Global 2U

2V

1UNÓ1

NÓ 2

θ

θ


29

Pela ortogonalidade da matriz de rotação ( )1−= RRT pode-se obter a matriz de rigidez do

pórtico plano em coordenadas globais, que se escreve como:

RKRK lT= (2.72)

2.3.2.2 - Elemento de Pórtico com Rótula na Esquerda

Para o cálculo da matriz de rigidez para um elemento de viga com a presença de uma

rótula à esquerda não é possível utilizar as mesmas funções de forma encontradas

anteriormente, porque conta-se somente com três graus de liberdade 1v , 2v e 2θ . Adota-se

então outro método para o cálculo das funções de forma deste tipo de elemento.

Considere agora um elemento de viga com rótula na esquerda como mostrado na figura

abaixo:

1Nó 2Nó 2θ

l 1v 2v

Figura 2.10: Elemento finito para viga com rótula na esquerda

Para calcular as funções de forma deste elemento, utiliza-se a equação diferencial de uma

viga com cargas concentradas:

04

4

=xd

vd (2.73)

Portanto, deve-se integrar quatro vezes e realizar integrações sucessivas. Chega-se então à

seguinte expressão:

43

22

31

26cxcxcxcv +++=

(2.74)

30

Utilizam-se as condições de contorno para encontrar os coeficientes, considerando que o

eixo da barra coincide com o eixo local. Então considere que no nó 1, x = 0 e no nó 2, x= l:

No nó 2: 2

2

d vx ldx

v v

= ⇒ = θ

= (2.75)

Aplicam-se as condições de contorno (2.75) em (2.74) e obtém-se:

2

12 2 32

c l c l cθ = + + (2.76 a)

43

22

31

2 26clclclcv +++=

(2.76 b)

Por outro lado, as condições de contorno para o nó 1 são dadas como:

No nó 1:

2

2

1

0 0d vxdx

v v

= ⇒ =

=

(2.77)

Novamente substitui-se (2.77) em (2.74), chegando às expressões para o nó 1:

02 =c (2.78a)

14 vc = (2.78b)

Portanto, determina-se 1c e 3c , substituindo os valores de 2c e 4c , Equações (2.78a)

e (2.78b), nas Equações (2.76a) e (2.76b), tal que:

2

21

23lcc −=θ (2.79a)

( )212313 vvll

c −+= θ (2.79b)

Finalmente substituindo todas as constantes tem-se:

31

( ) ( ) 12122

3

2123 23

63 vxvvl

lxvvl

lv +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−+= θθθ

(2.80)

Agrupando os termos a Equação (2.80) se reescreve como:

3 3 3

1 2 22 3 23 312 2 22 2 2

x x xx x xv v vl ll l l

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + − θ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.81)

As funções de forma para o elemento viga com rótula na esquerda se reescrevem como:

3

1 23 122

x xll

⎛ ⎞φ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

3

3 332 2x xl l

⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

3

4 3 22x xl

⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.82)

A equação de aproximação de elementos finitos se torna:

242311 θφφφ ++= vvv (2.83)

Pode-se encontrar a matriz de rigidez de um elemento de viga com rótula na esquerda

utilizando a expressão (2.63) e as funções de forma definidas em (2.82)

Portanto, é necessário executar diferenciações e integrações destas funções de forma da

mesma maneira como foi feita para o elemento de pórtico comum. Então tem-se:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

lll

lll

lll

IEK

333

333

333

22

233

233

´ (2.84)

32

Para obter a matriz de rigidez do elemento de pórtico com rótula na esquerda é necessário

somar a matriz de rigidez do elemento de treliça à matriz de rigidez do elemento de viga

com rótula na esquerda definida em (2.84). Assim obtém-se uma matriz 6 x 6:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−

=

222

233

333

3300

30

3300

30

0000

000000

3300

30

0000

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lAE

lAE

lIE

lIE

lIE

lAE

lAE

K

(2.85)

Tem-se agora montada, a matriz de rigidez de um elemento de pórtico com rótula na

esquerda no sistema local de coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É

necessário fazer a transformação deste sistema local para o sistema global de coordenadas,

transformando para as coordenadas da estrutura, como já descrito anteriormente.

Observa-se que em (2.85) retêm-se uma linha e coluna de zeros para o grau de liberdade

( 1θ ). O mesmo procedimento é usado em relação a matriz de rigidez para os elementos de

pórtico com rótula na direita, e visa uniformizar o procedimento de montagem da matriz

global, sendo o que número de graus de liberdade por nó permanece igual a 3 em todos os

casos. Na rotina de aplicação das condições de contorno, o número “1” é colocado na

diagonal principal da matriz global na posição relativa a este grau de liberdade, para evitar

singularidade.

2.3.2.3 - Elemento de Pórtico com Rótula na Direita

Para o cálculo da matriz de rigidez para um elemento de viga com a presença de uma

rótula à direita, conta-se também com somente três graus de liberdade 1v , 1θ e 2v . Adota-

se o mesmo método anterior (elemento com rótula à esquerda) para o cálculo das funções

de forma deste tipo de elemento. Considere agora o elemento:

33

1Nó 1θ 2Nó

l

1v 2v

Figura 2.11: Elemento finito para viga com rótula na direita

Para calcular as funções de forma deste elemento, utiliza-se novamente a equação

diferencial de uma viga com carga concentradas, definida em (2.73) e a Equação (2.74).

Utiliza-se as condições de contorno para encontrar as constantes ic , considera-se que o

eixo da barra coincide com o eixo local. Então considere que no nó 1, x = 0 e no nó 2 , x=l.

Desta maneira, pode-se escrever as seguintes relações:

No nó 1:

1

10

vvxdvdx

=

=⇒= θ (2.86a)

3132

21

1 2ccxcxc

=⇒++= θθ (2.86b)

1443

22

31

1 26vccxcxcxcv =⇒+++=

(2.86c)

No nó 2:

2

12

2

vvxd

vdlx

=

=⇒= θ (2.86d)

lccclcxdvd

12212

2

0 −=⇒=+= (2.86e)

11

31

211

22

31

2 226vl

lcvvl

lclcv ++−=⇒+++= θθ (2.86f)

34

Finalmente, substituindo as relações (2.86b), (2.86c), (2.86e) e (2.86f) e agrupando chega-

se aos seguintes campos de deslocamentos:

22

2

2

3

1

2

2

3

12

2

3

3

23

223

21

23

2v

lx

lx

lx

lxv

lx

lxv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= θ (2.87)

Desta maneira as funções de forma para o elemento viga com rótula na esquerda serão:

23

1 3 23 1

2 2xx

l l⎛ ⎞

φ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 2

2 2322

x xll

⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

23

3 3 23

2 2xx

l l⎛ ⎞

φ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.89)

A equação de aproximação de elementos finitos para este vaso se escreve como:

231211 vvv φθφφ ++= (2.90)

Pode-se obter a matriz de rigidez de um elemento de viga com rótula na direita utilizando a

mesma expressão para o cálculo do elemento de pórtico comum, ou seja:

dxxx

IEKl

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=2

2

02

2 φφ (2.91)

Usando a aproximação de elementos finitos, definida em (2.80), as funções de forma

definidas em (2.76) e executando as diferenciações e integrações necessárias destas

funções tem-se como resultado a matriz de rigidez em coordenadas locais dada por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

323

22

323

333

333

333

lll

lll

lll

IEK

(2.92)

35

Para obter a matriz de rigidez do elemento de pórtico com rótula na direita é necessário

somar a matriz de rigidez do elemento de treliça à matriz de rigidez do elemento de viga

com rótula na direita (2.92). Assim obtém-se uma matriz 6 x 6:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

=

000000

03

033

0

0000

03

033

0

03

033

0

0000

323

22

33

lIE

lIE

lIE

lAE

lAE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lIE

lAE

lAE

K

(2.93)

Tem-se a matriz de rigidez de um elemento de pórtico com rótula na direita (2.93) no

sistema local de coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É necessário fazer a

transformação deste sistema local para o sistema global de coordenadas, já descrito

anteriormente.

2.3.3 - Vetor de Cargas Nodais Equivalentes

Considerando os vários tipos de carregamentos a que a estrutura pode estar submetida,

pode-se ter diferentes contribuições ao vetor de cargas da estrutura. Considere diferentes

tipos de carregamentos como cargas concentradas, cargas distribuídas (uniforme e

triangular), peso próprio e efeitos de temperatura.

Será mostrado a seguir os diferentes tipos de montagem para o vetor de carga da estrutura.

2.3.3.1 - Cargas Concentradas

Considere o termo: ∫ pduT Γδ (2.94)

No caso de vigas as cargas são:

36

1M 2M 1Nó 2Nó

l 1F 2F

Figura 2.12 – Cargas em elementos de viga

No caso de cargas concentradas não se realiza integrações, em coordenadas locais. Então

tem-se:

Pu

MvF

MvF

δ

θδδθδ

δ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

22

22

11

11

(2.95)

No caso do elemento de pórtico somam-se a cargas do elemento de viga e do elemento de

treliça para obter:

Pu

MFvFu

M

FvFu

n

y

x

y

x

δ

θδ

δδθδ

δδ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

22

22

22

11

11

11

(2.96)

A equação completa para o elemento será:

PuuKu TT δδ = (2.97)

O incremento δ u em ambos os lados cancelam para se tornar:

PuK = (2.98)

37

2.3.3.2 - Cargas Distribuídas

Para obter o vetor de cargas nodais equivalentes à cargas distribuídas uniformes utiliza-se

as funções de forma do elemento viga, Equação (2.54). Substitui-se então o primeiro termo

da direita da Equação (2.13).

P u q d= δ Γ∫ , (2.99)

Fazendo nu uδ = δ φ , term-se:

nP u q d= δ φ Γ∫ (2.100)

Onde q é um valor constante da carga distribuída; φ são as funções de forma do elemento

viga. Substituem-se, então as funções de forma na equação e cancelam-se os termos δu

com o mesmo termo que aparece no cálculo da matriz de rigidez. Executa-se a integral e

considere que as cargas distribuídas agem na direção y negativa. Obtém-se:

3 2

3 2

3 2 2

2

2 30

2 3

23 2

2

2 3 12

2

123 2

2

12

l

x xl

l l

x x lxl l

P q dx P qlx x

l ll

x xll

⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤

⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎜ ⎟ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= ⇒ = ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ (2.101)

Onde P é o vetor de cargas nodais equivalentes para cagas distribuídas uniformes em

coordenadas locais. Portanto é necessário fazer a transformação deste sistema local para o

sistema global de coordenadas. Primeiros inclui-se os graus de liberdade 1u e 2u , depois

multiplica-se pela matriz de rotação R transposta. Obtém-se:

38

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

12

2

2

12

2

2

2

2

2

l

cosl

senl

l

cosl

senl

qP

θ

θ

θ

θ

(2.102)

Os termos referentes ao deslocamento θ não se alteram com a rotação de coordenadas

Para casos de cargas distribuídas triangulares considere uma variação linear de densidade.

Para implementar este tipo de carregamento substitui-se o termo abaixo, na expressão

usada para a carga uniforme:

nqq 1θ=

(2.103)

E chega-se a:

( ) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

l

LT dx

qq

P0 2

1ΦΦ (2.104)

Onde q1 e q2 são os valores inicias e finais da carga triangular; φ são as funções de forma

do elemento viga. e φ L são as funções de forma do elemento treliça.

Substituindo as funções de forma do elemento de viga e as funções de forma do elemento

treliça na expressão, chega-se a:

39

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= ∫

2

2

1

2

21

2

2

1

2

21

10

2

2

3

3

3

3

2

2

2

3

2

2

3

3

2030

207

203

3020

203

207

123

2

132

qlql

qlql

qlql

qlql

Pdxlxq

lx

lx

lx

lx

lx

xlx

lx

lx

lx

Pl

(2.105)

Calculando o vetor (2.105) e considerando 1q de valor igual a 2q tem-se o vetor para

cargas distribuídas uniformes dado pela expressão (2.101). Este resultado é obtido para o

sistema local de coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É necessário fazer a

transformação deste sistema local para o sistema global de coordenadas. Este processo é

feito da mesma maneira executado anteriormente.

1 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

7 320 20

7 cos 3 cos20 20

20 20

3 720 20

3 cos 7 cos20 20

30 20

l sen l senq q

l lq q

ll q q

Pl sen l senq q

l lq q

ll q q

⎡ θ θ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠= ⎢ ⎥

θ θ⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

θ θ⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥

+⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.106)

Onde os termos referentes ao deslocamento θ não se alteram com a rotação de coordenadas

40

2.3.3.3 - Peso Próprio

Retirando da equação (2.13) o segundo termo do lado direito, considere as forças de corpo.

Sendo o valor de b constante tem-se a seguinte equação:

P u b d= δ Ω∫ (2.107)

Admitindo que nu uδ = δ φ obtém-se nb u dδ φ Ω∫ . O termo nuδ é cancelado como

explicado anteriormente.

Considerando o peso próprio de uma estrutura, tem-se que b = γ, onde γ é o peso

específico. O peso próprio de uma estrutura gera um termo parecido a um carregamento

uniformemente distribuído em coordenadas locais. Considerando d A dxΩ =∫ ∫ chega-se :

∫ ∫

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

===l l

dx

l

l

l

l

lAdxAdP0 0

12

2

12

2

γφγΩφγ

(2.108)

Onde Al peso da barraγ = . Não se emprega a matriz de rotação com este termo. Em

coordenadas globais tem-se:

012

12012

12

l

P A l

l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, agindo na direção y. (2.109)

41

2.3.3.4 - Efeitos de Temperatura

Sabe-se que o efeito da temperatura provoca um esforço axial nos elementos da estrutura.

Então tem-se:

δ

l

Figura 2.13: Alongamento devido à variação

Sendo:

lδ = α θ (2.110)

Onde θ é o aumento de temperatura, α é o coeficiente de expansão térmica, l é o

comprimento inicial da barra e δ é o alongamento sofrido devido ao acréscimo de

temperatura;

Pode-se então calcular o vetor de cargas equivalentes considerando um elemento de treliça,

que possui as funções de forma:

1 21 x xu u ul l

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.111)

Considerando o primeiro termo em (2.13), dσ δε Ω∫ . No caso de uma barra axial onde

Eσ= ε , tem-se E dδε ε Ω∫ .

A deformação total é a soma de deformações devido ao carregamento e deformações

iniciais. Então:

0T T

p p oE d E dε = ε + ε ⇒ δε ε Ω + δε ε Ω∫ ∫ (2.112)

42

O primeiro termo da expressão leva a matriz de rigidez. Considerando o segundo termo e

introduzindo as condições de contorno:

[ ] 11 2

1

1n lu u u

xl

⎡ ⎤−⎢ ⎥∂φ⎡ ⎤δε = δ δ ⇒ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.113)

Considerando que no caso da expansão térmica:

(2.114)

Escrevendo o primeiro termo da Equação (2.13) chega-se a:

11

1 1T n

olE d E A u dx E A

l

⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤δε ε Ω ⇒ αθ δ = αθ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ (2.115)

O termo nuδ será cancelado como explicado anteriormente.

A expressão é válida para coordenadas locais. Para obter um vetor em coordenadas globais

inclui-se os demais graus de liberdade e depois se emprega a matriz de rotação.

100100

P E A

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= αθ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.116)

lT

G PRP = (2.117)

Em seguida descreve-se os processos de montagem da matriz global, aplicação das

condições de contorno e cálculo dos esforços. Estes procedimentos são descritos de forma

θαεθαδε =⇒== 00 ll

l

43

resumida, visto que rotinas em questão diferem pouco daquelas apresentadas originalmente

por Brebbia e Ferrante (1986).

2.3.4 - Montagem da Matriz Global (Brebbia e Ferrante, 1986)

Através do procedimento descrito anteriormente é possível determinar a matriz de rigidez

de cada elemento isolado da estrutura. Porém é necessário fazer a montagem da matriz de

rigidez da estrutura inteira. A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da

superposição adequada das rigidezes dos elementos de acordo com seus vetores de

localização, portanto a matriz dos elementos é utilizada para montar a matriz de rigidez da

estrutura.

NÓ 2 barra 2 NO 3

barra 1

NÓ 1

Figura 2.14: Matriz de Rigidez da Estrutura no Sistema local

11 12

21 22 11 12

21 22

0123 0

K KFF K K K KF K K

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.118)

Todo este processo é feito de maneira computacional, através da subrotina específica no

programa implementado, onde após ter sido calculada cada matriz de rigidez dos

elementos isoladamente será montada a matriz de rigidez da estrutura inteira.

Para implementação desta matriz primeiramente considere que problemas com elementos

finitos produzem matrizes banda, porque um determinado nó é conectado aos vizinhos

imediatos. O tamanho da matriz banda é calculada pelo programa considerando a semi

largura de banda. O tamanho da largura de banda é calculado obtendo a maior diferença

entre a entre o nó inicial e o nó final encontrado na malha. Soma-se ao valor 1 e multiplica-

se pelos graus de liberdade da estrutura, então chega-se a:

( )1MS d NDF= + (2.119)

44

Onde MS é a largura de banda, d é a maior diferença entre os nós na malha e NDF é o

número de graus de liberdade por nó na estrutura.

Este tipo de armazenamento de dados representa uma grande economia de memória,

quando se refere a casos de estruturas com muitos graus de liberdade.

No programa, primeiro obtêm-se a posição que cada elemento teria na matriz em sua forma

quadrada. A alocação dos elementos na matriz é feita considerando que a matriz de rigidez

dos elementos em coordenadas globais é composta por blocos, com tamanho definido pelo

número de graus de liberdade por nó do elemento (NDF), no caso de pórtico seria três.

j=1 j=2 m=1 m=2 m=3

i=1 l=1

i=2 l=2

l=3

Figura 2.15: Matriz de Rigidez do elemento Figura 2.16: Bloco definido pelo NDF

é dividida em blocos

Faz-se referência aos elementos da matriz através de quatro índices: l mi jK . A posição do

elemento na matriz é definida usando a conectividade do elemento, por exemplo, N1 seria

o nó inicial e N2, o nó final. A posição na matriz K será definida por ( ),i jP l P m+ + sendo,

por exemplo:

( 1 1)iP N NNE= − × , para i=1; (2.120a)

( 2 1)iP N NNE= − × , para i=2; (2.120b)

( 1 1)jP N NNE= − × , para j=1; (2.120c)

( 2 1)jP N NNE= − × , para j=2; (2.120d)

Em seguida converte-se para a posição que o termo tem na matriz semibanda usando a

transformação que segue: um termo na posição A (I,I) será colocado na posição A(I,J-I+1)

na matriz armazenada em forma semi banda.

45

2.3.5 - Aplicação das Condições de Contorno

A matriz de rigidez da estrutura completamente montada é simétrica e singular e por isso

observa-se uma impossibilidade de resolução do sistema no cálculo dos deslocamentos. O

significado físico desta impossibilidade de resolução está no fato da estrutura estar ‘solta’,

podendo mover-se como um corpo rígido.

Na prática as estruturas estão fixadas, portanto é necessário estabelecer um número de

restrições na estrutura para impedir o movimento do corpo rígido e possibilitar o cálculo do

dos deslocamentos. As condições de contorno são especificadas como os vínculos que

restringem o movimento da estrutura. Portanto sabe-se que um apoio fixo de uma estrutura

representa que deslocamentos são nulos.

Uma maneira simples para aplicação das condições de contorno seria considerar um grau

de liberdade ui=⎯u i conhecido. Primeiro coloca-se a fileira i da matriz igual a zero. Em

seguida, multiplica-se a coluna i pelo vetor ⎯u i conhecido e subtrai-se de P. Depois se

coloca o valor ‘1’ na diagonal principal da matriz, na posição (i,i). Finalmente coloca-se

⎯ui na posição i de Pi. O processo explicado acima para uma matriz quadrada é adaptado

no código para uma matriz banda. No caso de ⎯ui=0 não é necessário subtrair a coluna i de

P, basta acrescentar valor zero.

2.3.6 - Resolução do Sistema de Equação (Eliminação de Gauss)

Quando realiza-se o processo de montagem da matriz de rigidez da estrutura e obtém-se a

relação definida por PuK = , tem-se como incógnita do problema os deslocamentos da

estrutura, representados pela letra u. Para o cálculo destes deslocamentos, resolve-se o

sistema de equações lineares, utilizando o Método de Eliminação de Gauss. Este método é

o mais conhecido na resolução de sistemas de equações lineares.

O processo de resolução de sistemas através do Método de Gauss não será abordado neste

trabalho, sendo que a rotina empregada foi obtida em Brebbia e Ferrante (1986). Após a

resolução do sistema obtém-se todos os deslocamentos dos nós da estrutura.

46

2.3.7 - Cálculo dos Esforços

Os deslocamentos obtidos após a resolução do sistema estão em coordenadas globais. O

cálculo dos esforços é feito para cada elemento. Para tanto, utiliza-se a conectividade dos

elementos para obter o vetor de deslocamentos do elemento em coordenadas globais gu .

Em seguida utilizamos a matriz de rotação para obter os deslocamentos do elemento em

coordenadas locais.

gl uRu = (2.121)

O próximo passo é utilizar a matriz de rigidez local lk para obter os esforços em

coordenadas locais.

lll Puk = (2.122)

Assim obtem-se os três esforços normais, cortantes e fletor para cada nó do elemento. Para

finalizar este processo e obter as reações nodais, transfere-se os esforços para o sistema

global de coordenadas:

lT

g PRP = (2.123)

Agora, somando os esforços em cada direção dos nós, u, v e θ, chega-se as reações de

apoio nos nós restringidos.

47

3 – PROGRAMA EDUCACIONAL

3.1 - INTRODUCÃO

O trabalho apresenta interfaces gráficas amigáveis para o programa PPGen.FOR (análise

estática linear de pórticos planos). O código foi desenvolvido a partir de um programa

computacional apresentado por Brebbia e Ferrante (1986) para o elemento de pórtico comum

com cargas concentradas. Este programa e outros que incluem cargas distribuídas e forças

devido à gravidade e temperatura são utilizados na disciplina Método dos Elementos Finitos I

do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da Universidade de Brasília.

O código base é escrito em linguagem FORTRAN, mostrado na Figura 3.1.

Figura 3.1 – Estrutura Básica do Programa PPGen.FOR

Reecrevendo o código em Fortran para a linguagem Pascal, foi possível utilizar o programa

Delphi 6 (2003), para montar interfaces amigáveis de cada resultado parcial e final das etapas

da programação. Montando janelas gráficas do Windows através de formulários, é possível o

usuário fornecer dados de entrada, ler os resultados de saída, e também visualizar saídas

gráficas.

Leitura de D ados

Cálculo das M atrizes de R igidez e Vetor de C argas

para C ada E lem ento

M ontagem da M atriz de R igidez e Vetor de C argas

G lobal

A plicação das C ondiçõesde Contorno

Início

R esolução do Sistem a

Cálculos Secundários

Saída de Resultados

Fim

48

Através destes formulários, é possível também o usuário ter acesso à teoria empregada no

processo de resolução do problema. Este processo busca obter uma maior interatividade e um

maior aprendizado do usuário.

Apresentaremos neste capítulo os formulários implementados para entrada de dados do

problema e para as saídas de resultados.

3.2- ESTRUTURA DO PROGRAMA

A implementação das interfaces gráficas dos programas foi desenvolvida a partir da linguagem

de programação Object Pascal em Ambiente de Desenvolvimento Delphi 6 (2003).

O programa para pórticos planos está escrito de maneira a acompanhar os resultados

intermediários durante a análise do problema em estudo por meio da opção “Passo a Passo”.

A Figura 3.2 apresenta os principais procedimentos para a utilização do programa para

pórticos planos.

Geração da Geometria

Geração dos Carregamentose

Condições de Contorno

Geração das Propriedadesdos

Elementos

Leitura de arquivo“*.dat”

Solução Passo a Passo Solução Final

Visualização de Relatóriose

Saídas Gráficas

Resultados Intermediáriose

Resultados Finais

Pórticos Planos

Figura 3.2 – Procedimentos Principais Programa de Pórticos Planos

49

3.3 - PROGRAMA EDUCACIONAL – PÓRTICOS PLANOS

Apresenta-se a descrição sobre o desenvolvimento e funcionamento do Programa Educacional

em Elementos Finitos aplicado a análise de pórticos planos. A Figura 3.3, mostra a tela de

abertura do programa.

Figura 3.3 – Janela de Abertura do programa para pórticos planos

3.3.1- Janela Principal do Programa para Pórticos Planos A janela principal do programa é apresentada a seguir, na Figura 3.4.

Barra de Menus Barra de Atalhos

Tela de desenho

Figura 3.4 – Janela Principal do programa para Pórticos Planos

50

Através desta janela principal pode-se dar entrada aos dados do problema através da barra de

atalhos, que contém ícones ilustrativos que sugerem ao usuário a que se refere.

Pode-se obter o resultados e também dar entrada aos dados através da barra de menus e obter

resultados visuais na tela de desenho.

A seguir apresenta-se as principais ferramentas utilizadas no programa para pórticos planos.

3.3.2 - Comandos da Janela Principal do Programa para Pórticos Planos

Alguns itens desempenham funções iguais para este tipo de estrutura. Na barra de menus

encontram-se os seguintes itens e comandos:

3.3.2.1 - Menu Arquivo

A Figura 3.5 mostra os comandos do menu Arquivo.

Figura 3.5 – Menu Arquivo

Descrição dos comandos do menu Arquivo e suas respectivas funções:

Novo – Redefine todos os dados e inicia um novo projeto.

Abrir – Abre um projeto gravado. O programa permite a utilização de arquivos de texto com

extensão “*.dat” e “*.txt”. Para carregá-los é recomendável que os arquivos de dados estejam

na mesma pasta do arquivo executável Soft_Pórtico.exe.

51

Salvar Dados – Após o fornecimento de todos os dados, via preenchimento dos formulários,

grava o projeto em disco no formato “*.dat” e com nome um definido pelo usuário.

Salvar Resultados – Grava em disco, os resultados de um projeto com formato “*.out” ou

“*.txt” e com um nome definido pelo usuário.

Imprimir – Imprime relatório contendo: dados de entrada (dados globais, coordenadas dos

nós, conectividades dos elementos, cargas nodais, condições de contorno e propriedades dos

elementos); e resultados (deslocamentos nodais, esforços nos elementos e reações de apoio e

cargas nodais aplicadas).

Fechar – Fecha o programa.

3.3.2.2 - Menu Dados

Os comandos do menu Dados são apresentados na Figura 3.6.

Figura 3.6 – Menu Dados

Observa-se que muitos dos comandos na barra de menus podem também ser acessados pela

barra de atalhos a ser descrito em seguida:

Globais – Exibe a janela “Dados Globais”, onde os mesmos são definidos.

Nós – Exibe a janela “Coordenadas dos Nós”, onde são fornecidas todas as coordenadas

nodais.

52

Conectividades – Exibe a janela “Conectividades dos Elementos”. Nesta janela se definem as

conectividades, informando os nós inicial e final de cada elemento de treliça.

Cargas:

• Nodais - Exibe a janela “Cargas Nodais”. Nesta janela se definem: o nó, a direção (se

a carga atua na direção x ou na direção y) e o valor das cargas concentradas atuantes.

• Distribuídas: Exibe a janela “Cargas Distribuídas”. Nesta janela se definem: o

elemento em que a carga atua, a direção (se a carga atua na direção x ou na direção y) e

o valor inicial e valor final da carga, levando em consideração que a carga atuante pode

ser retangular, triangular ou trapezoidal.

Contorno – Exibe a janela “Condições de Contorno”. Nesta janela se definem: o nó, a direção

e o valor dos deslocamentos prescritos impostos à estrutura. A definição da direção em que

ocorre a condição de contorno é feita de forma similar à feita para as cargas nodais.

Propriedade – Exibe a janela “Propriedades dos Elementos”, onde são fornecidas as

propriedades como a área da seção transversal, módulo de elasticidade, o momento de inércia,

a expansão térmica, no caso da existência de variações de temperatura, e o peso específico, no

caso da existência de peso próprio para cada elemento.

3.3.2.3 Menu Estrutura

Os comandos do menu Estrutura são apresentados na Figura 3.7.

Figura 3.7 – Menu Estrutura

53

Descrição dos comandos do menu Estruturas e suas respectivas funções:

Gera Desenho – Desenha o pórtico na tela de desenho da Janela Principal, após o

fornecimento dos dados necessários. Não é necessário ter calculado a estrutura previamente.

3.3.2.4 - Menu Solução

Os comandos do menu Solução são apresentados na Figura 3.8.

Figura 3.8 – Menu Solução

Descrição dos comandos do menu Solução e suas respectivas funções:

Passo a Passo – Após o fornecimento dos dados. Calcula o pórtico de modo interativo,

possibilitando a visualização das janelas das etapas intermediárias com os seus respectivos

resultados, bem como das janelas referentes aos resultados e relatórios finais.

Final – Após o fornecimento dos dados. Executa o cálculo do pórtico e possibilita acesso às

janelas com os resultados e relatórios finais, sem mostrar as janelas dos passos intermediários.

3.3.2.5 - Menu Resultados

Os comandos do menu Resultados são apresentados na Figura 3.9.

Figura 3.9 – Menu Resultados

54

Descrição dos comandos do menu Resultados e suas respectivas funções:

Deslocamentos Nodais – Exibe a janela “Deslocamentos nodais”. Nesta janela é possível

visualizar os valores dos deslocamentos para os nós selecionados pelo usuário.

Reações de Apoio –Exibe a janela “Reações de Apoio”. Nesta janela é possível visualizar os

valores das reações nos nós ou apoios selecionados pelo usuário.

3.3.2.6 - Menu Relatórios

Os comandos do menu Resultados são apresentados na Figura 3.10.

Figura 3.10 – Menu Relatórios

Descrição dos comandos do menu Relatórios e suas respectivas funções:

Entrada de Dados/Resultados – Após o cálculo, exibe a janela “Relatórios”, onde é possível

a visualização dos relatórios: Entrada de Dados e Resultados.

3.3.2.7 - Menu Sobre

Os comandos do menu Sobre são apresentados na Figura 3.11.

Figura 3.11 – Menu Sobre

Sobre – Exibe a janela de abertura do programa Pórticos Planos.

55

3.3.2.8 - Menu Teoria

Os comandos do menu Teoria são apresentados na Figura 3.12

Figura 3.12.– Menu Teoria

Cada tópico contém uma explicação teórica referente ao assunto citado. Este menu foi criado

para fornecer alguns conhecimentos teóricos a respeito do assunto abordado no programa.

Portanto sua finalidade é como de um menu de ajuda.

As janelas referentes aos tópicos estão representadas nas figuras abaixo.

A Figura 3.13 traz algumas informações a respeito da estrutura do programa usado para

implementação do código usado. As Figuras 3.14, 3.15, 3.16, 3.17 buscam mostrar ao usuário

a montagem da matriz de rigidez do elemento de pórtico através do MEF.

A Figura 3.18 procura mostrar o processo de montagem da matriz de rigidez da estrutura,

mostrando a montagem no sistema local de coordenadas e através da matriz de rotação, sua

transformação para o sistema global. Busca-se mostrar ao usuário também a montagem da

matriz semi-banda.

As Figuras 3.19 e 3.20 procuram mostrar a montagem do vetor de forças da estrutura para os

diversos tipos de carregamentos a que a estrutura pode estar submetida (cargas distribuídas,

peso próprio, temperatura).

E a Figura 3.21 busca demonstrar a aplicação das condições de contorno na matriz para o

cálculo final dos deslocamentos e dos esforços da estrutura.

56

Figura 3.13–Programa Educacional

Figura 3.14 – Matriz de Rigidez do Elemento

57



58

Figura 3.17 –Matriz de Rigidez do Elemento

Figura 3.18 – Matriz de Rigidez da Estrutura

59

Figura 3.19 – Montagem do Vetor de Forças

Figura 3.20 – Montagem do Vetor de Forças

60

Figura 3.21 – Condições de Contorno

3.3.3 - Barra de Atalhos O programa permite o acesso a alguns comandos mais utilizados através da Barra de Atalhos.

A Figura 3.22 apresenta a Barra de Atalhos com os comandos de cada botão descritos abaixo.

Figura 3.22 – Barra de Atalhos

Arrastando o mouse sobre cada um dos ícones pode-se ler a que se refere cada ícone. Na barra

de atalhos encontram-se os seguintes ícones de comandos:

61

• Atalho para um Novo Documento:

• Atalho para Abrir um Novo Documento:

• Atalho para Imprimir:

• Atalho para Salvar Dados:

• Atalho para Salvar Resultados:

• Atalho para Dados Globais: Exibe a janela em que se define a entrada dos dados globais

de toda a estrutura (número de nós, número de elementos, número de cargas aplicadas

etc.).

• Atalho para Nós da Estrutura: Exibe s janela em que se define as coordenadas de cada

nó da estrutura.

62

• Atalho para Conectividade dos Elementos: Exibe a janela em se define onó inicial e o

nó final de cada elemento.

• Atalho para Condições de Contorno: Exibe a janela em que se define o nó, a direção e o

valor dos deslocamentos prescritos impostos a estrutura.

• Atalho para Cargas Nodais: Exibe a janela em que se definem o nó, a direção e o valor

das cargas concentradas atuantes.

• Atalho para Cargas Distribuídas: Exibe a janela em que se definem o elemento, a

direção e o valor inicial e final das cargas distribuídas atuantes.

• Atalho para Propriedades dos Elementos: Exibe a janela em que se definem área da

seção transversal, do módulo de elasticidade, o momento de inércia da seção do

coeficiente de expansão térmica e o peso específico de cada elemento.

• Atalho para Gerar Desenho da Estrutura: Exibe o desenho da estrutura lançada na tela

de desenho, mesmo sem o cálculo da estrutura. Este procedimento permite ao usuário

verificar o lançamento correto da estrutura antes de efetuar os cálculos.

63

• Atalho para Calcular a Estrutura: Executa o cálculo do pórtico, fornecendo os

resultados e relatórios finais referentes aos deslocamentos e reações da estrutura.

• Atalho para Gerar Gráficos de Esforços Normais: Mostra visualmente os resultados

dos esforços normais resultantes para cada estrutura.

• Atalho para Gerar Gráficos de Esforços Cortantes: Mostra visualmente os resultados

dos esforços cortantes resultantes para cada estrutura.

• Atalho para Gerar Gráficos de Momentos Fletores: Mostra visualmente os resultados

dos momentos resultantes para cada estrutura.

• Atalho para Aumentar Zoom: Aumenta o zoom dos gráficos resultantes de cada

estrutura.

• Atalho para Diminuir Zoom: Diminui o zoom dos gráficos resultantes de cada estrutura.

64

3.3.4 - Menu Dados: Janelas Principais

3.3.4.1 - Janela Dados Globais

Quando o atalho para Dados Globais é solicitado a seguinte janela de entrada de dados será

exibida como mostrado na Figura 3.23:

Figura 3.23 – Janela para entrada dos Dados Globais

Nos campos de edição da janela Dados Globais serão fornecidos os seguintes dados: Número

de Nós, Número de Elementos, Número de Cargas Concentradas (Nodais), Número de

Condições de Contorno, Número de Cargas Distribuídas, existência do Peso Próprio e

existência de Variação de Temperatura. Ao lado direito da janela de entrada de dados, é

possível obter informações a respeito dos dados a que se deu entrada e sobre alguns conceitos

considerados importantes para o aprendizado do usuário.

Ao clicar no botão “OK” da janela Dados Globais, confirma-se os valores digitados.

Ao clicar no botão “Limpar”, limpa-se os dados digitados em todos os campos de edição e ao

clicar no botão “Fechar”, a janela será fechada.

65

3.3.4.2 - Janela Coordenadas dos Nós

Quando o atalho para Nós é solicitado a janela de entrada de coordenadas será exibida como

mostrado na Figura 3.24:

Figura 3.24 – Janela para Entrada das Coordenadas dos Nós

Na caixa de seleção “Nó”, escolhe-se o nó para o fornecimento das coordenadas X e Y em

seus respectivos campos de edição.

Ao clicar no botão “Aplicar” da janela Coordenadas dos Nós, os valores que foram digitados

serão armazenados. Deve-se sempre acioná-lo primeiro.

Ao clicar no botão “Próximo” da janela Coordenadas dos Nós, automaticamente o valor do

nó constante na caixa de seleção é acrescido de 1 (um), passando assim para o preenchimento

do próximo nó.

Ao clicar no botão “Anterior” da janela Coordenadas dos Nós, automaticamente o valor do

nó constante na caixa de seleção é subtraído de 1 (um), passando assim para o preenchimento

do nó anterior.

Ao clicar no botão “Fechar”, confirma-se os valores das coordenadas nodais fornecidas e

fecha a janela.

66

Ao lado direito da janela de entrada das coordenadas, é possível obter informações a respeito

da teoria referente a nós, sendo considerado como conceitos importantes para o aprendizado

do usuário.

3.3.4.3 - Janela Conectividade dos Elementos

Usando o atalho para Conectividade dos Elementos, a janela de entrada de coordenadas será

exibida como mostrado na Figura 3.25:

Figura 3.25 – Janela para entrada das Conectividades dos Elementos

Nos campos de edição informa-se o nó inicial (Nó i) e final (Nó j) de cada elemento da

estrutura. Deve-se optar também pelo tipo de elemento, que poderá ser: elemento de pórtico,

elemento de pórtico com rótula na esquerda, elemento de pórtico com rótula na direita e

elemento de treliça. Na parte inferior da janela, pode-se obter exemplos destes tipos de

elementos. Com isso busca-se possibilitar ao usuário um maior entendimento do assunto.

67

Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, tem-se o mesmo

funcionamento explicado anteriormente.

Ao lado direito da janela de entrada de conectividades, é possível obter informações a respeito

da teoria referente à conectividade e aos tipo de elementos selecionados, sendo considerado

como conceitos importantes para o aprendizado do usuário.

3.3.4.4 - Janela para Condições de Contorno

Usando o atalho para Condições de Contorno ou no menu Dados, o comando Condições de

Contorno, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.26:

Figura 3.26 – Janela para entrada das Condições de Contorno

Nos campos de edição informa-se o Nó, a Direção e o Valor de todas as condições de

contorno.



68

Ao lado direito da janela de entrada das condições de contorno, é possível obter informações a

respeito da teoria referente as condições de contorno e aos tipos de apoios usados, sendo estes

representado por figuras logo abaixo. Estes aspectos são considerados conceitos importantes

para o aprendizado do usuário.

3.3.4.5 - Janela para Cargas Nodais (Concentradas)

Usando o atalho para Cargas Concentradas ou no menu Dados o comando Cargas

Concentradas, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.27:

Figura 3.27 – Janela para entrada das Cargas Concentradas (Nodais)

Nos campos de edição informa-se o Nó, a Direção e o Valor de todas as cargas nodais que

atuam na estrutura.



69

Ao lado direito da janela de entrada das cargas nodais, é possível obter informações a respeito

da teoria referente as cargas concentradas e os sentidos das cargas usadas. O sentido das

cargas está representado por figuras na opção ‘‘direção’’. Desta maneira há uma visualização

melhor do carregamento aplicado. Estes aspectos são considerados conceitos importantes para

o aprendizado do usuário.

3.3.4.6 - Janela para Cargas Distribuídas

Usando o atalho para Cargas Distribuídas ou no menu Dados escolhendo o comando Cargas

Distribuídas, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.28:

Figura 3.28 – Janela para entrada das Cargas Distribuídas

Nos campos de edição informa-se o Elemento, o Valor Inicial e Valor Final de todas as

cargas concentradas que atuam na estrutura.

Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, teremos o mesmo


70


da teoria referente às cargas distribuídas. A opção ‘’direção’’ informa as opções de

carregamentos distribuídos, retangulares, triangulares e trapezoidais. Através de desenho

podemos obter uma melhor visualização do carregamento aplicado, buscando assim um

melhor aprendizado do usuário.

3.3.4.7 - Janela para Propriedade dos Elementos

Usando o atalho para Propriedades dos Elementos ou o menu Dados escolhendo o comando

Propriedade dos Elementos, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.29:

Figura 3.29 – Janela para entrada das Propriedades dos Elementos

Nos campos de edição informa-se a Área da Seção Transversal, o Módulo de Elasticidade,

o Momento de Inércia, a Expansão Térmica e o Peso Específico de todos os elementos da

estrutura. A opção ‘‘Expansão Térmica’’ e ‘‘Peso Específico’’ será informada como valores

zero caso não haja variação de temperatura e peso próprio no elemento em questão.

71

Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, teremos o mesmo



da teoria referente às propriedades que são dadas de entrada no programa. Estes aspectos são

considerados conceitos importantes para o aprendizado do usuário.

3.3.5 - Menu Solução – Opção Passo a Passo: janelas auxiliares(Santos, 2003)

No menu Solução, implementado em trabalho anterior, escolhendo o comando “Passo a

Passo...”, a janela Solução Passo a Passo será exibida, conforme a Figura 3.20, dando início à

seqüência de passos necessários para a solução e visualização das etapas intermediárias. A

solução Passo a Passo tem um caráter didático muito importante, já que descreve, de forma

ordenada e clara, as operações que devem ser realizadas para se obter a solução seguindo os

métodos matriciais de resolução de estruturas.

3.3.5.1 - Passo 1 – Numeração dos nós e graus de liberdade

Nesta janela, são definidas as operações realizadas no passo1.

Figura 3.30– Janela Solução Passo a Passo

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Solução Passo a Passo e abre a janela

seguinte que é a Graus de Liberdade – Passo 1, mostrada na Figura 3.31.

72

Figura 3.31– Janela Graus de Liberdade – Passo 1

Escolhendo a opção Sim em “Visualizar Graus de Liberdade?”, pode-se visualizar a

numeração dos nós e dos graus de liberdade do pórtico, sendo três graus de liberdade em

cada nó. Na opção Não, visualiza-se apenas o desenho da estrutura.

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Graus de Liberdade – Passo 1 e abre a janela

de abertura da etapa seguinte que é a Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A, mostrada na

Figura 3.32.

3.3.5.2 - Passo 2 – Cálculo da matriz de rigidez do elemento

Nesta janela, são definidas as operações realizadas no passo 2. São elas: a) cálculo da matriz

de rigidez para cada elemento; b) montagem da matriz de rigidez global da estrutura, na forma

cheia e em semibanda .

73

Figura 3.32– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A e

abre a janela anterior que é a Graus de Liberdade.

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A e

abre a janela seguinte que é a Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B, mostrada na Figura

3.33.

Figura 3.33– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B

74

Na caixa de seleção “Matriz de Rigidez [Ke] do Elemento”, mostrada na Figura 3.34,

escolhe-se o elemento a ser calculado/montado.

Figura 3.34 – Caixa de Seleção dos Elementos

Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento selecionado são calculados e montados, na

matriz 6 x 6, posicionada na parte superior direita da janela da Figura 3.33. Simultaneamente,

são montados nas suas correspondentes posições da matriz de rigidez global da estrutura nas

formas cheia e semibanda, mostradas na parte inferior da mesma Figura 3.33. Esse processo

se repete para todos os elementos, obtendo assim, a matriz de rigidez global do pórtico plano

nas formas cheia e semibanda.

Para a orientação do aluno durante o processo de montagem das matrizes de rigidez, o pórtico

em estudo é mostrado na parte superior esquerda da janela, com a numeração dos graus de

liberdade em destaque e passa a ter cada elemento selecionado destacado. Este processo busca

uma melhor visualização do elemento escolhido para a verificação da matriz gerada.

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B e

abre a janela anterior Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A.

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B e

abre a janela seguinte que é a Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A, mostrada na Figura

3.35.

75

3.3.5.3 - Passo 3 – Vetor de cargas da estrutura

O passo seguinte aborda a montagem do vetor de cargas associado às cargas externas atuantes

no pórtico.

Figura 3.35 – Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A e

abre a janela anterior que é a Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B .

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A e

abre a janela do Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B, mostrada na Figura 3.36.

Figura 3.36 – Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B

76

Escolhendo a opção Visualizar Graus de Liberdade em “Visualizar Graus de Liberdade e

Carregamento?”, pode-se visualizar a numeração dos nós e dos graus de liberdade do

pórtico em estudo. Escolhendo a opção Visualizar Carregamento, visualiza-se apenas o

carregamento atuante no pórtico em estudo. O vetor de cargas da estrutura é mostrado à direita

da janela da Figura 3.36.

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B e

abre a janela anterior Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A.

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B e

abre a janela seguinte que é a Condições de Contorno – Passo 4A, mostrada na Figura 3.37.

3.3.5.4 - Passo 4 – Condições de Contorno

Obtida a matriz de rigidez da estrutura e o vetor de cargas, o próximo passo consiste em

modificar a matriz de rigidez introduzindo as condições de contorno do pórtico, tanto para a

matriz de rigidez na forma cheia como para a armazenada em semibanda.

Figura 3.37 – Janela Condições de Contorno – Passo 4 A

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Condições de Contorno – Passo 4A e abre a

janela anterior Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B.

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Condições de Contorno – Passo 4A e abre

a janela seguinte que é a Condições de Contorno – Passo 4B,mostrada na Figura 3.38.

77

Figura 3.38 – Janela Condições de Contorno – Passo 4B

A parte superior da janela, mostrada na Figura 3.38, refere-se à imposição das condições de

contorno na matriz de rigidez da estrutura na forma cheia.

Figura 3.39 – Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Cheia

Pode-se modificar a matriz cheia impondo as condições de contorno, ou seja, eliminando as

linhas e as colunas referentes aos deslocamentos prescritos, uma a uma, utilizando a caixa de

seleção localizada na parte superior da janela, ou impor todas simultaneamente usando o botão

“OK”.

A parte inferior da janela Condições de Contorno – Passo 4B, mostrada na Figura 3.38, refere-

se à imposição das condições de contorno na matriz de rigidez da estrutura na forma semi-

banda.

78

Figura 3.40 – Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Semi- Banda

Procede-se de modo similar ao da matriz cheia, pode-se impor as condições de contorno, ou

seja, eliminando as linhas e as anti- diagonais referentes aos deslocamentos prescritos, uma a

uma, utilizando a caixa de seleção localizada na parte superior da janela, ou impor todas

simultaneamente usando o botão “OK”. Aqui, considera-se condições de contorno iguais a

zero. Para completar o processo coloca-se 1 (um) na diagonal principal.

Ao clicar no botão “Anterior” da Figura 3.37, fecha-se a janela Condições de Contorno –

Passo 4B e abre a janela anterior Condições de Contorno – Passo 4A .

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Condições de Contorno – Passo 4B e abre a

próxima janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5A,mostrada na Figura 3.40.

3.3.5.5 - Passo 5 – Solução do Sistema de Equações

Neste passo se resolve o sistema de equações lineares PuK = , que resulta após a imposição

das condições de contorno. Não se incide aqui sobre os métodos de resolução de equações

lineares por escapar aos objetivos do programa. A Figura 3.41 mostra a janela Solução do

Sistema de Equações – Passo 5A.

79

Figura 3.41 – Janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5 A

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5A

e abre a janela anterior Condições de Contorno – Passo 4B .

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5A

e abre a próxima janela Deslocamento Nodais – Passo 5B, mostrada na Figura 3.42.

Figura 3.42 – Janela Deslocamento Nodais – Passo 5B

Uma vez resolvido o sistema de equações é possível conhecer os valores das incógnitas, ou

seja, os deslocamentos nodais.

80

Digitando o número do nó para o qual se deseja conhecer os deslocamentos , na caixa de

edição “nó” localizada na parte inferior da janela, e ao clicar no botão “OK”, visualiza-se os

valores dos deslocamentos xu , yu e Zu para o mesmo. Este procedimento pode ser repetido

para todos os nós, aleatoriamente.

Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Deslocamentos Nodais – Passo 5B e abre a

janela anterior Solução do Sistema de Equações – Passo 5A .

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Reações Nodais – Passo 5B e abre a próxima

janela Reações nos Apoios – Passo 6A, mostrada na Figura 3.43.

3.3.5.6 - Passo 7 – Reações de Apoio

Este passo permite conhecer os valores das reações de apoio, nos nós com restrição, e as

cargas nodais aplicadas nos nós sem restrição.

Figura 3.43 – Janela Reações de Apoio – Passo 7 A

Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Reações de Apoio – Passo 7A e abre a

próxima janela Reações de Apoio – Passo 7B, mostrada na Figura 3.44.

81

Figura 3.44 – Janela Reações de Apoio – Passo 7B

Nesta janela, pode-se escolher o nó para o qual se deseja conhecer as reações de apoio ou as

cargas aplicadas, de modo semelhante ao feito no passo anterior. Na Figura 3.44, por exemplo,

para o nó 2 visualiza-se os valores de suas reações de apoio.

Ao clicar no botão “Finaliza”, fecha-se a janela Reações de Apoio – Passo 7B, encerrando

assim o comando Solução Passo a Passo. É dado também como aviso ao usuário a Figura

3.45, que coloca ao usuário que a visualização dos esforços nos elementos é feita escolhendo

os ícones de opções para gráficos na barra de menus.

Figura 3.45 – Aviso de visualização dos esforços nos elementos

Nos menus de visualização dos gráficos, conta-se com os respectivos gráficos de esforços

normais, cortante e fletor que serão exibido na tela de desenho do programa. Este aspecto será

considerado no próximo capítulo através de exemplos.

82

4 – RESULTADOS

4.1 - INTRODUÇÃO

Apresentam-se, neste capítulo, as resoluções de alguns exemplos utilizados para ilustrar a

forma de funcionamento do programa PPGen.For, bem como verificar a confiabilidade dos

resultados finais e intermediários obtidos na análise dos mesmos.

4.2 - EXEMPLOS

4.2.1 - Exemplo 1

O exemplo a seguir foi retirado do livro Curso de Análise Estrutural (SüSSEKIND,

1979).É demonstra um pórtico sob a ação de carga distribuída, concentrada e momento.

Figura 4.1 – Pórtico Plano: Exemplo 1

4t

2t/m

2t

Nó 1

Nó 2

Nó 3 Nó 6

Nó 7

Nó 8

Nó 5

1

2

4

5

6

7

Nó 43

83

Entrada de dados

Dados Globais:

Figura 4.2 – Dados globais: Exemplo 1

Coordenadas Nodais:

Tabela 4.1 – Coordenadas dos Nós Nó X Y

1 2 0

2 2 4

3 0 8

4 2 8

5 10 10

6 10 8

7 10 6

8 10 4

As coordenadas da Tabela 45.1 são fornecidas por intermédio da janela Coordenadas dos

Nós, mostrada na Figura 4.3.

84

Figura 4.3 – Preenchimento das Coordenadas dos Nós: Exemplo 1

Conectividades dos Elementos:

Tabela 4.2 – Conectividades dos Elementos Elemento no i no j

1 1 2

2 2 4

3 3 4

4 4 6

5 5 6

6 6 7

7 7 8

As conectividades da Tabela 4.2 são fornecidas usando a janela Conectividades dos

Elementos, mostrada na Figura 4.4.

Figura 4.4 – Preenchimento das Conectividades dos Elementos: Exemplo 1

85

Cargas Nodais:

Tabela 4.3 – Cargas Nodais Nó Valor

2 4

5 -16

7 -2

As cargas nodais da Tabela 4.3 são fornecidas usando a janela Cargas Nodais, mostrada na

Figura 4.5.

Figura 4.5 – Preenchimento das Cargas Nodais: Exemplo 1

As direções das cargas concentradas são fornecidas através dos desenhos ilustrativos.

Cargas Distribuídas

Tabela 4.4 – Cargas Distribuídas Elemento Valor Inicial Valor Final

3 2 2

4 2 2

As cargas distribuídas da Tabela 4.4 são fornecidas usando a janela Cargas Distribuídas,

mostrada na Figura 4.6.

86

Figura 5.6 – Preenchimento das Cargas Distribuídas: Exemplo 1

As direções das cargas distribuídas são fornecidas através dos desenhos ilustrativos.

Condições de Contorno:

Tabela 4.5 – Condições de Contorno Nó Direção Valor

1 1 0

1 2 0

8 1 0

As condições de contorno da Tabela 4.5 são fornecidas usando a janela, mostrada na

Figura 4.7.

Figura 4.7 – Preenchimento das Condições de Contorno: Exemplo 1

87

Propriedades dos Elementos:

Tabela 4.6 – Propriedades dos Elementos Elemento Área E I α λ

1 1 10000 1 0 0

2 1 10000 1 0 0

3 1 10000 1 0 0

4 1 10000 1 0 0

5 1 10000 1 0 0

6 1 10000 1 0 0

7 1 10000 1 0 0

As propriedades dos elementos constantes na Tabela 4.6 são fornecidas ao programa

usando a janela, mostrada na Figura 4.8.

Figura 4.8 – Preenchimento das Propriedades dos Elementos: Exemplo 1

Após a entrada dos dados, pode-se calcular a treliça em estudo, mostrada na Figura 5.9.

Figura 4.9 – Visualização do pórtico em estudo: Exemplo 1

88

4.2.1.1 - Resultados Intermediários

A seguir, apresentam-se as matrizes de rigidez dos elementos e da estrutura no sistema

global obtidas no programa para pórticos planos. Para as matrizes dos elementos cada

elemento aparece destacado para melhor visualização do usuário.

Matriz de Rigidez do Elemento 1:

Figura 4.10 – Matriz de Rigidez do Elemento 1: Exemplo 1



89







90





Matriz de Rigidez do Pórtico (desconexa):

Figura 4.17 – Matriz de Rigidez do Pórtico sem impor condições de contorno: Exemplo 1

91

Matriz de Rigidez do Pórtico na forma Semi-Banda–após imposição das condições de

contorno:

Figura 4.18 – Matriz de Rigidez do Pórtico na forma Semi-Banda-condições de contorno:

Exemplo 1

4.2.1.2 - Resultados Finais

As Tabelas 4.7 e 4.8 apresentam os comparativos dos resultados finais (esforços nos

elementos e reações nos nós).

Esforços:

Tabela 4.7 – Comparativo dos Esforços – Exemplo 1

NORMAL CORTANTE FLETOR NORMAL CORTANTE FLETOR1 20.00 -10.00 0.00 20.00 -10.00 0.002 20.00 -10.00 40.00 20.00 -10.00 40.002 20.00 -14.00 40.00 20.00 -14.00 40.004 20.00 -14.00 96.00 20.00 -14.00 96.003 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 4.00 4.00 0.00 4.00 4.004 14.00 16.00 100.00 14.00 16.00 100.006 14.00 0.00 36.00 14.00 0.00 36.005 0.00 0.00 16.00 0.00 0.00 16.006 0.00 0.00 16.00 0.00 0.00 16.006 0.00 14.00 52.00 0.00 14.00 52.007 0.00 14.00 24.00 0.00 14.00 24.007 0.00 12.00 24.00 0.00 12.00 24.008 0.00 12.00 0.00 0.00 12.00 0.00

Esforços - Programa de Pórticos Planos Esforços - Publicação

5

6

7

1

2

3

4

Elemento Nó

92

Reações:

Tabela 4.8 – Comparativo das Reações – Exemplo 1

A verificação também pode ser feita através da visualização dos gráficos de esforços

normais, cortantes e fletor. As Figuras 4.20, 4.21, 4.22 mostram os diagramas de esforços

para o Exemplo 1.

Esforço Normal:

Figura 4.19– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 1

Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 10.00 20.00 0.00 10.00 20.00 0.002 4.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.003 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.005 0.00 0.00 16.00 0.00 0.00 16.006 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.007 -2.00 0.00 0.00 -2.00 0.00 0.008 -12.00 0.00 0.00 -12.00 0.00 0.00

Reações - Programa Pórtico Plano Reações - PublicaçãoNó

93

Esforço Cortante:

Figura 4.20– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo

Momento Fletor:

Figura 4.21– Gráfico de Momento Fletor: Exemplo 1

94

4.2.2 - Exemplo 2

Este exemplo foi retirado do livro Curso de Análise Estrutural (SüSSEKIND, 1979). Os

resultados finais obtidos para esta estrutura pelo programa para pórticos planos foram

comparados com os fornecidos pelo livro.

Este exemplo é um pórtico plano composto por 10 nós e 9 elementos e está submetido a

carga concentrada e distribuída. Neste exemplo há a existência de elementos de pórtico

com rótula na direita e com rótula na esquerda. Apresenta-se apenas a verificação dos

resultados, sem a demonstração das janelas do programa.

3t3t

2t1t/m

1t/m

Nó 1

Nó 3

Nó 2

Nó 7

Nó 4

Nó 5

Nó 6

Nó 8Nó 9

Nó 10

1

23

4

5

6

7

9

8

Figura 4.22 – Pórtico Plano para o exemplo 2


As Tabelas 4.9 e 4.10 apresentam os comparativos dos resultados finais (esforços nos

elementos e reações) do Exemplo 2.

95

Esforços:


Reações:


Os resultados apresentados nas Tabela 4.9 e 4.10 são idênticos.

As Figuras 4.23, 4.24 e 4.25 mostram os gráficos do pórtico calculado neste exemplo. Pelo

gráfico é possível verificar os resultados.

NORMAL CORTANTE FLETOR NORMAL CORTANTE FLETOR1 -4.75 0.00 0.00 -4.75 0.00 0.002 -4.75 0.00 0.00 -4.75 0.00 0.002 -4.75 -3.00 0.00 -4.75 -3.00 0.003 -4.75 -3.00 6.00 -4.75 -3.00 6.003 -3.00 4.75 6.00 -3.00 4.75 6.005 -3.00 -3.25 0.00 -3.00 -3.25 0.004 -6.50 0.00 0.00 -6.50 0.00 0.005 -6.50 0.00 0.00 -6.50 0.00 0.005 -3.25 -3.00 0.00 -3.25 -3.00 0.006 -3.25 -3.00 12.00 -3.25 -3.00 12.006 -3.00 3.25 12.00 -3.00 3.25 12.007 -3.00 -4.75 18.00 -3.00 -4.75 18.007 -4.75 3.00 18.00 -4.75 3.00 18.008 -4.75 3.00 6.00 -4.75 3.00 6.008 0.00 -2.00 6.00 0.00 -2.00 6.009 0.00 -2.00 0.00 0.00 -2.00 0.008 -6.75 3.00 12.00 -6.75 3.00 12.00

10 -6.75 3.00 0.00 -6.75 3.00 0.00

8

9

Esforços - Programa de Pórticos Planos Esforços - Publicação

5

6

7

1

2

3

4

Elemento Nó

Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 0.00 4.75 0.00 0.00 4.75 0.002 3.00 0.00 0.00 3.00 0.00 0.003 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 6.50 0.00 0.00 6.50 0.005 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.006 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.007 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.008 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.009 0.00 -2.00 0.00 0.00 -2.00 0.00

10 -3.00 6.75 0.00 -3.00 6.75 0.00

Reações - Programa Pórtico Plano Reações - PublicaçãoNó

96

Esforço Normal:

Figura 4.23– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 2

Esforço Cortante:

Figura 4.24– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo 2

97

Momento Fletor:

Figura 4.25– Gráfico de Momento Fletor: Exemplo 2

4.2.3 - Exemplo 3

Este exemplo foi retirado das anotações da disciplina Método dos Elementos Finitos I do

PECC (Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da Universidade de

Brasília). Os resultados finais obtidos para esta estrutura pelo programa para pórticos

planos foram comparados com os fornecidos pelo programa Fortran.


efeito de temperatura. O pórtico estará submetido a um aumento de 20 graus e a barra

possui área de 25 cm², módulo de elasticidade de valor 21000 Kg/cm² e expansão térmica

da valor 0,0001. Observa-se que como não há restrições no nó dois, a barra expande sem

gerar esforços.

A Figura 4.26 mostra o pórtico em estudo.

98

Figura 4.26– Pórtico Plano: Exemplo 3

Dados Globais:

Para este exemplo daremos entrada no valor da temperatura no campo de edição através da

janela de dados globais mostrada na Figura 4.27.

Figura 4.27– Entrada da variação de temperatura na janela de Dados Globais: Exemplo 3


As Tabelas 4.11, 4.12 e 4.13 apresentam os comparativos dos resultados finais

(deslocamentos, esforços nos elementos e reações) do Exemplo 3.

99

Tabela 4.11 – Comparativo dos Deslocamentos – Exemplo 3



Os resultados apresentados nas Tabelas 4.11, 4.12 e 4.13 são idênticos. Foi possível

verificar que para este exemplo houve deslocamentos apenas nas direções x e y do nó 2

que está sem restrições e não ocorreu nenhum tipo de esforço neste tipo de estrutura.

4.2.4 - Exemplo 4


PECC. Os resultados finais obtidos para esta estrutura pelo programa para pórticos planos

foram comparados com os fornecidos pelo programa Fortran.


efeito de temperatura. O pórtico estará submetido a um aumento de 20 graus e a barra

possui área de 25 cm², módulo de elasticidade de valor 21000 Kg/cm² e expansão térmica

do valor 0,0001. Observa-se que como há restrições nos dois nós, portanto a barra não

expande e não possuirá deslocamentos mas possuirá esforços..


Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Reações - Programa Pórtico Plano Reações - Solução EsperadaNó

Ux Uy Uz Ux Uy Uz1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,2000 0,0000 0,2000 0,2000 0,0000

Desloc. - Programa Pórtico Plano Desloc. - Solução EsperadaNó

Normal Cortante Fletor Normal Cortante Fletor1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Esforços - Programa Pórtico Plano Esforços - Solução EsperadaNó

100








Ux Uy Uz Ux Uy Uz1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Desloc. - Programa pórtico Plano Desloc. - Solução EsperadaNó

NORMAL CORTANTE FLETOR NORMAL CORTANTE FLETOR1 1050,0000 0,0000 0,0000 1050,0000 0,0000 0,00002 1050,0000 0,0000 0,0000 -1050,0000 0,0000 0,0000

Esforços - Programa pórtico Plano Esforços - Solução EsperadaNó

Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 742,4621 742,4621 0,0000 742,4621 742,4621 0,00002 -742,4621 -742,4621 0,0000 -742,4621 -742,4621 0,0000

Reações - Programa pórtico Plano Reações - Solução EsperadaNó

101


verificar que para este exemplo não houve deslocamentos e correu apenas esforço normal.

4.2.5 - Exemplo 5


PECC. Este exemplo é um pórtico plano composto por 9 nós e 8 elementos e está

submetido a efeito de peso próprio.

Mostraremos apenas a verificação dos resultados, sem apresentar novamente as janelas do

programa.






102




Normal Cortante Fletor Normal Cortante Fletor1 -2,0000 0,0000 0,0000 -2,0000 0,0000 0,00002 1,7500 0,0000 0,0000 1,7500 0,0000 0,00002 -1,7500 0,0000 0,0000 -1,7500 0,0000 0,00003 1,5000 0,0000 0,0000 1,5000 0,0000 0,00003 -1,5000 0,0000 0,0000 -1,5000 0,0000 0,00004 1,2500 0,0000 0,0000 1,2500 0,0000 0,00004 -1,2500 0,0000 0,0000 -1,2500 0,0000 0,00005 1,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,00005 -1,0000 0,0000 0,0000 -1,0000 0,0000 0,00006 0,7500 0,0000 0,0000 0,7500 0,0000 0,00006 -0,7500 0,0000 0,0000 -0,7500 0,0000 0,00007 0,5000 0,0000 0,0000 0,5000 0,0000 0,00007 -0,5000 0,0000 0,0000 -0,5000 0,0000 0,00008 0,2500 0,0000 0,0000 0,2500 0,0000 0,00008 -0,2500 0,0000 0,0000 -0,2500 0,0000 0,00009 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5

6

7

8

1

2

3

4

Esforços - Programa Pórtico Plano Esforços - Solução EsperadaNóElemento

Ux Uy Uz Ux Uy Uz1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000002 0,002000 -0,000047 0,000000 0,002000 -0,000047 0,0000003 0,000000 -0,000088 0,000000 0,000000 -0,000088 0,0000004 0,002000 -0,000122 0,000000 0,002000 -0,000122 0,0000005 0,000000 -0,000150 0,000000 0,000000 -0,000150 0,0000006 0,002000 -0,001720 0,000000 0,002000 -0,001720 0,0000007 0,000000 -0,000188 0,000000 0,000000 -0,000188 0,0000008 0,002000 -0,000197 0,000000 0,002000 -0,000197 0,0000009 0,002000 -0,000200 0,000000 0,002000 -0,000200 0,000000

Desloc. - Programa Pórtico Plano Desloc. - Solução EsperadaNó

Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 0,000000 2,000000 0,000000 0,000000 2,000000 0,0000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000003 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000004 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000005 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000006 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000007 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000008 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000009 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

Reações. - Programa Pórtico Plano Reações - Solução EsperadaNó

103


verificar que para este exemplo houve esforços apenas na direção y dos elementos.

104

5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

5.1. CONCLUSÕES

Neste trabalho apresentou-se o desenvolvimento e a implementação de programa

educacional cujo objetivo é fazer uma interface com os softwares de elementos finitos

escritos em Fortran. Utilizando janelas gráficas do Windows permite-se que a entrada de

dados seja feita através de tabelas e que os dados e resultados finais sejam apresentados em

forma gráfica.

Nesta etapa considerou-se o programa para análise de pórticos planos, dando continuidade

a etapa iniciada por Santos (2003) em que foi elaborado o programa educacional para

análise de treliças planas. Acrescentaram-se também, tópicos teóricos e saídas gráficas

para visualização dos resultados.

A opção “Passo a Passo” foi adaptada ao novo código para pórticos planos permitindo que

os resultados intermediários como matrizes de rigidez de elementos, aplicação de

condições de contorno etc., também sejam visualizadas possibilitando o acompanhamento

pelo aluno de todo o processo de análise utilizando elementos finitos de um determinado

exemplo. É dada a opção ao aluno de ter acesso à aspectos teóricos referentes ai assunto

abordado. Cada janela de entrada possui uma explicação teórica objetivando um melhor

aprendizado do usuário.

O compilador Delphi utilizado no desenvolvimento do programa se mostrou adequado para

a realização das interfaces gráficas. Este leva o usuário a uma interatividade maior com o

conteúdo na medida em que todas as entradas de dados são acompanhadas durante a

execução do programa. O compilador apresenta um aprendizado mais simples para os

usuários com pouco entendimento na utilização de linguagens de programação.

5.2. SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS

Com o intuito de fortalecer o caráter educativo do programa aqui desenvolvido e de futuros

trabalhos nesta linha de pesquisa, sugere-se para os próximos trabalhos:

105

1. Considera outros casos: treliças espaciais, pórticos espaciais, estados planos,

estendendo assim este tipo de programa para os demais softwares utilizados no

ensino de elementos finitos.

2. Considerar outras situações: existência de recalques nas estruturas em estudo,

variações diferentes de temperatura em cada elemento da estrutura, análise não-

linear e dinâmica e integração com rotinas de dimensionamento.

3. Promover de forma sistemática entrevistas junto aos alunos a fim de verificar a

viabilidade do uso dos programas educacionais dentro do objetivo de melhoria na

aprendizagem. Lembrando que, até agora foram desenvolvidos apenas os

programas, sendo necessário comprovações da utilidade dos mesmos perante o

ambiente educacional.

106

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