Universidade Federal do Piauí

Centro de Engenharia de Produção – CT

Professor: Ediman Dias

Mecânica

Calculando Centroide por Integração

Lucas Alencar

Robson Junior

Teresina, Dezembro 2014

Determinação de Centroides por Integração

O centroide de uma superfície limitada por curvas analíticas pode ser determinado pelo cálculo dos integrais:

x∗A=∫ xdA y∗A=∫ ydA

 Se o elemento de área dA é escolhido como sendo um pequeno retângulo de lados dx e dy, a determinação do centroide requer uma dupla integração em x e em y (acontece o mesmo se forem utilizadas coordenadas polares).Contudo, é possível, na maioria dos casos, determinar as coordenadas do centroide de uma superfície efetuando-se uma única integração. Consegue-se isto escolhendo dA como um retângulo estreito ou uma faixa fina, ou um fino sector ou elemento em forma de sector circular.

 

As coordenadas do centroide são obtidas igualando o momento estático de toda a área em relação a cada eixo, à soma (integral) dos momentos das áreas elementares.

Qy=x∗A=∫ xdA Qx= y∗A=∫ ydA

Calculando Centroide de Sólidos de Revolução por Integração

Para determinar o centroide de um arco semicircular, primeiro devemos encontrar seu cumprimento por integral.

L=∫−a

a

dL=∫−a

a

rdθ=r∫−a

a

dθ=2 rα

O momento de primeira ordem em relação ao eixo y:

Qy=∫❑

❑

xdL=∫−a

a

rdθ=r (cosθ)(rdθ)

¿ r ²∫−a

a

cosθdθ

¿ r2 [senθ ]

¿ x (2 ra )=2 r ² sen (α )

x=rsen(α )α