Determinantes IFRN

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TPICO: Determinantes Prof. FERNANDO

1 MATEMTICA

DEFINIO

A toda matriz quadrada A=(aij)nxn de

elementos reais de ordem n est associado um nico nmero real chamado de Determinante da matriz A e indicamos por det A.

REPRESENTAO O determinante de uma matriz A pode ser representado pelos elementos da matriz isolados por

duas barras verticais | A |.

Exemplo: Dada a Matriz

A=[

]

Representao do Determinante da matriz A:

det A= |

|

REGRA PRTICA PARA OBTER O DETERMINANTE

Matriz quadrada de ordem 1: o determinante da matriz A=[a11] o prprio

elemento a11.

Ex.:

A=[3] detA=3

B=[0] detB=0

Matriz quadrada de ordem 2: o determinante a diferena entre o produto

dos elementos da diagonal principal e o

produto dos elementos da diagonal

secundria.

|

|

Exemplo

Calcule o determinante da matriz: *

+

Matriz quadrada de ordem 3: para a matriz quadrada de 3 ordem, utiliza-se o mtodo prtico conhecido como REGRA DE SARRUS:

Repetem-se, direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal,

multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.

Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.

Exemplo

Calcule o determinante da matriz: [

]

Obs.: O mtodo tambm funciona se forem repetidas as duas primeiras linhas aps a ltima linha da matriz.

SARRUS (pronuncia-se Sarr), cujo nome completo Pierre

Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na

universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS,

foi provavelmente escrita no ano de 1833.

EXERCCIOS I

1. Calcule os determinantes das matrizes.

A=

4 3

0 0 B=

2- 3

7- 1-

C=

402

501

603 D=

5 1- 5

1 0 1

4 2 4

2. Qual o valor de x na equao 2x-102

43 =0

3. Se o determinante da matriz

t 1- 1-

t 1 1-

1 1 1 igual a 12,

ento quanto vale o determinante da matriz

t 2

t t .

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2 MATEMTICA

4. Sendo A=(aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij=i2-j,

ento qual o determinante da matriz A.

5. Determinar x tal que:

a) 0

x1

2x3x2

b) 11

1x35x4

2xx2

c)

x4

x2x3

x21xx3

110

x21x

MENOR COMPLEMENTAR Consideremos uma matriz M de ordem ;

seja um elemento de M. Definimos Menor

Complementar do elemento , e indicamos por ,

como sendo o determinante da matriz que se obtm,

suprimindo a linha i e a coluna j de M.

Exemplo: Seja (

) e calculemos ,

e .

Exemplo2: Dada a matriz A=

5 1- 5

1 0 1

4 2 4, calcule:

a) +

COMPLEMENTO ALGBRICO (OU COFATOR)

Consideremos uma matriz de ordem ;

seja um elemento de M. Definimos Complemento

Algbrico de (ou Cofator de ), e indicamos

por , como sendo:

Exemplo1: Seja (

) e calculemos ,

e .

Exemplo2: Calcule os Cofatores , e da matriz M acima.

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3 MATEMTICA

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de uma Matriz M, de

ordem , a soma dos produtos dos

elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos

respectivos cofatores.

Isto ,

a) Se escolhermos a coluna j da matriz M, ento:

b) Se escolhermos a linha i da matriz M, ento:

Exemplo: Seja (

), usando o Teorema de

Laplace, calcule o determinante da matriz M,

conforme se pede:

a) Escolhendo a coluna 2:

DICA: note que o termo se anula sempre

que o elemento zero . Portanto, para

facilitar o clculo do determinante, escolha a fila

(linha ou coluna) que tenha mais zeros.

b) Escolhendo a linha 2:

Exemplo: Calcule o determinante:

OBS.: O determinante de uma matriz triangular

(superior ou inferior) igual ao produto dos

elementos da diagonal principal. Verifique o

determinante anterior.

aaaa

a

aa

aaa

aaaaaa

nnij2n1n

in

n2

n1

ij2i1i

j22221

j11211

M

5000

2400

3420

1121

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4 MATEMTICA

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES A definio de determinante e o Teorema de Laplace permitem-nos o clculo de qualquer

determinante, contudo, possvel simplificar o clculo com o emprego de certas propriedades. Vejamos quais so elas:

(P1) Matriz Transposta

Se M a matriz de ordem n e Mt sua transposta, ento:

Exemplo: Seja (

) calcule det M e

det Mt.

(P2) Fila Nula

Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n

forem todos nulos, ento

Exemplo: Seja (

) calcule det M:

(P3) Duas filas paralelas iguais

Se uma matriz tem duas filas (duas linhas ou duas colunas) paralelas iguais, ento:

Exemplo: Seja (

) calcule det M:

(P4) Duas filas paralelas proporcionais Se uma matriz tem duas filas (duas linhas ou duas colunas) paralelas proporcionais, ento:

Exemplo: Seja (

) calcule det M:

(P5) Multiplicao de uma fila por uma constante

Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um nmero K, o determinante da nova matriz M obtida ser o produto

de K pelo determinante de M, isto :

Exemplo: Seja (

) e (

) calcule

det M e detM e verifique a propriedade P5:

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5 MATEMTICA

OBS: Note que se multiplicarmos uma matriz M por

uma constante k, todas as filas da matriz

multiplicada por k. Logo o determinante da nova

matriz M obtida fica multiplicado por kn, onde n a

ordem da matriz. Ou seja,

Exemplo: Seja (

) e (

)

calcule detM e detM e verifique a observao acima:

(P6) Troca de filas paralelas Se trocarmos de posio duas filas paralelas (linhas ou colunas) obteremos uma nova matriz M tal que detM=-detM.

Exemplo: Seja (

) e (

) calcule detM

e detM e verifique a P6.

(P7) Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz M,

de ordem n, uma outra fila paralela, previamente

multiplicada por uma constante, obteremos uma nova

matriz M, tal que detM=detM.

Exemplo: Seja (

) e (

),

obtida a parti de M, multiplicando a primeira linha

por 3 e somando segunda linha. Calcule detM e

detM e verifique o Teorema de Jacobi.

OBS.: Este Teorema bastante importante, pois utilizando-se dele podemos

introduzir zeros em uma fila de uma

matriz e assim facilitar o clculo do

determinante pelo Teorema de Laplace.

Exemplo: Utilizando os Teoremas de Jacobi e

Laplace, calcule o determinante:

Dica: multiplique a primeira linha por -2 e some

com a segunda. Ficaremos com um outro determinante, cujo o valor igual ao primeiro (Teor. de Jacobi). Agora fcil calcul-lo segundo o Teor. de Laplace.

5234

2553

3222

1111

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6 MATEMTICA

(P8) Teorema de Binet Se A e B so matrizes quadradas de ordem n,

ento:

Exemplo: Dadas as matrizes A=

4 3

6 8 e

B=

5 3

2 2 calcule o det(AxB), pelos dois

mtodos:

1 Mtodo: Realizando primeiro a multiplicao e depois calculando o determinante da matriz resultante.

2 Mtodo: Usando o Teorema de Binet. Ou seja, calcule os determinantes de cada uma e depois multiplique-os.

Conseqncia: Como

A.A-1=In Aplicando determinante em ambos os lados, temos:

det(A.A-1)=det(In)

Como det(In)=1 sempre, aplicando o Teor. de Binet no primeiro membro temos:

det(A) x det(A-1)=1

por fim, temos que:

,

Ou seja, o determinante da inversa de uma matriz A igual ao inverso do determinante de A, desde que o determinante de A seja diferente de

zero. Podemos concluir que para saber se uma matriz A qualquer inversvel, ou seja, tem uma

inversa A-1, basta calcular o determinante de A, da:

1 Se , ento A no tem inversa;

2 se , ento A tem uma inversa A-1.

Exemplo: Dadas as matrizes A=

4 3

6 8 e

B=

8 4

6 3 , verifique se so inversveis e em

caso positivo, diga quanto vale o determinante

da inversa.

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7 MATEMTICA

(P9) Regra de Chi A regra de Chi um procedimento prtico

para rebaixar a ordem de uma matriz sem alterar o

valor de seu determinante. Seguindo a regra

podemos rebaixar, por exemplo, uma matriz de

ordem 4 para uma de ordem 2, sem alterar o o valor

do determinante. Vejamos os passos:

1) Utilizando as propriedades P6 e/ou P7,

altere a matriz de forma que seu primeiro

elemento seja igual 1, ou seja, a11=1.

2) Suprimimos a 1 linha e 1 coluna da

matriz.

3) De cada elemento restante da matriz,

subtramos o produto dos elementos que se

encontram nas extremidades das

perpendiculares traadas do elemento

considerado, 1 linha e 1 coluna. Com

isso, obteremos uma matriz de ordem (n-1),

cujo determinante igual ao da matriz

original.

Exemplo: Calcule os determinantes usando a Regra

de Chi:

|

|

(P10)Determinante da matriz das potncias ou de Vandermonde Chamamos matriz de Vandermonde, ou das

potncias, toda matriz de ordem n , do tipo.

nxn

n

n

nnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

11

3

1

2

1

1

22

3

2

2

2

1

11

3

1

2

1

1

1111

Isto , as colunas de M so formadas por potncia de

mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 at n 1 (os elementos de cada coluna formam uma progresso geomtrica

cujo primeiro elemento 1).

Os elementos da 2a linha so chamados elementos

caractersticos da matriz.

Indiquemos o determinante de uma matriz de

Vandermonde por.

Exemplo: Calcule os determinantes das matrizes de

Vandermonde:

a) 2 2) - (3 . 2) - (4 . 3) - (4

1694

432

111

A

b)

1920 - 1) (- . 5) (- . 4)- ( . 3 . 4 . 8

1252718

25914

5312

1111

B

5234

2150

3220

0432

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8 MATEMTICA

EXERCCIOS II

1. Encontre os determinantes sem usar clculos, justifique

sua resposta.

A=

023

042

061 B=

0203

7171

0203

7171

C=

0183

2042

061

2. Sabendo A e B so matrizes quadradas de mesma

ordem e que o determinante da matriz A 25 e o

determinante da matriz AxB 100, ento, qual o

determinante da matriz B?

3. Calcule o valor de x, sabendo que 3x-810

4x =0

4. (UNESP-SP) Considere as matrizes:

zy

xA

2

02 e

xy

zB

4. Se

tBA , ento

o determinante da matriz

254

11

1

z

yx igual a:

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

5. (Fei) Para que o determinante da matriz:

seja nulo, o valor de a deve ser:

a) 2 ou -2 c) -3 ou 5 e) 4 ou -4

b) 1 ou 3 d) -5 ou 3

6. (UFRN) Sendo 2

22 xxa

e

2

22 xxb

, o

determinante da matriz

ab

ba igual a:

a) 1/4 b) 4 c) 1 d) 1/2

7. Determine o valor de 2240222401

5240252401?

8. (FEI-SP) As faces de um cubo foram numeradas de 1 a

6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz

de ordem 2, com elementos definidos por:

jisej

jisefiaij

,

,2em que f o valor associado

face correspondente.

Qual o valor do determinante da matriz registrada

na face 5.

9. (IFSC 2008) Calcule o valor de x para que se tenha

a) -3. b) 6. c) 0. d) 3. e) -6.

10. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que

aij = 2, se i < j

aij = 3i + j, se i j,

encontre o DETERMINANTE da matriz At.

11. (UFS SE) O determinante da matriz A = ( aij)3x3,

onde aij = 2i j, igual a:

a. - 12 b. 8 c. 0 d. 4 e. 6

12. (Ufal) A matriz A-1 a inversa da matriz

Se o determinante de A-1 igual a - 1

2, calcule o

determinante da matriz A + A-1.

13. Seja (

), calcule os menores

complementar D12, D22 e D23.

14. Encontre o cofator de 3 na matriz

15. Calcule os determinantes das matrizes abaixo,

utilizando o TEOREMA DE LAPLACE:

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9 MATEMTICA

16. Observando os determinantes e as propriedades, diga

quanto vale cada um. Especifique a propriedade

observada.

17. Sem resolver diga porque o valor dos determinantes

abaixo zero.

18. Sem desenvolver nenhum dos determinantes, provar

que D=8.D, sabendo que:

19. Calcule os determinantes abaixo, pela REGRA DE

CHI:

20. Resolva a equao:

21. Qual a condio sobre a para que a matriz M abaixo,

seja inversvel?

22. Calcule, se existir, o determinante da matriz INVERSA

das matrizes abaixo:

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10 MATEMTICA

23.

24.

25.

26.

27. Se A uma matriz quadrada de ordem 2 e inversvel,

que satisfaz a equao A2=2A, ento o determinante de

A, ser:

a) 0 b) 1 c)2 d)3 e)4

28. Se K=(kij) uma matriz quadrada de ordem 2, dada

por

{

Ento calcule det(K-1), se existir.

29. Chamamos de Trao da matriz M e indicamos por

Tr(M) a soma dos elementos da diagonal principal da

matriz quadrada M. Ento, julgue a sentena a abaixo em

verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.

Tr(M)=Tr(Mt) ( )

Justifique sua resposta

30.

31.

32.

33. (Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro

de determinada cidade, com um grupo de 500 crianas de

3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em funo da

idade x da criana, concluiu-se que o peso mdio p(x), em

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11 MATEMTICA

quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A,

onde

Com base na frmula p(x) = det A, determine:

a) o peso mdio de uma criana de 5 anos;

b) a idade mais provvel de uma criana cujo peso 30

kg.

34. (UFRN-2006) Seja

ihg

fed

cba

A uma matriz 33 .

Se 6)(

ihg

fed

cba

ADet, ento

cba

fed

ihg

fed

cba

ihg

fed

ihg

cba

ihg

fed

cba

igual a:

a) 18 b) 12 c) 6 d) 0

35. (IME - 2000) Calcule o determinante:

13111111

11111111

1191111

1117111

1111511

1111131

1111111

D

36. (Fafi-MG) O valor de

1111

0111

4321

0010 :

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2

37. (Puc-MG) O valor do determinante da matriz

1403

1021

0321

0020

A

igual a:

a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 3

38. (UFC - 2000) Considere a matriz A =

x

a a

x

0 1

1

0 1

. O

valor de a para o qual a equao det A = 1 possui

exatamente uma raiz real :

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

39. (OSEC SP) O valor do determinante

dcb

da

ca

ba

0

00

00

00

:

a. 3abcd c. 3acd e. -2abd

b. 2abcd d. -3abc

40. (UNIFOR CE) O determinante de uma matriz 42.

Se multiplicarmos a primeira linha da matriz por trs e

dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova matriz

ter determinante igual a:

a. 12 b. 14 c. 21 d. 42 e. 36

41. (UF SE) Se D1 =

102

221

012

n

n

n

e D2 = n

n

21

12,

com n 0, ento o quociente

2

1

D

D igual:

a. 12 n c.

12

12

n

n

e. 12

2

n

n

b. 121 n d.

12

1

n

42. (Fatec 2008) Se x um nmero real positivo tal que

e det (A.B) = 2, ento x-x igual a

a) - 4 b) 1

4 c) 1 d) 2 e) 4

43.

44.O valor do determinante

3694

632

111

:

45. (EFOMM) O valor do determinante

222 )a100(log)a10(log)a(log

a100loga10logalog

111

:

a) a b) log a c) 0 d) 2 e) 4

Data: / / .


12 MATEMTICA

46. (FEI-SP) Dada a matriz

21

32A , sendo tA a

sua transposta, o determinante da matriz tAA :

a) 1 b) 7 c) 14 d) 35 e) 49

47. (MACK-2004) Dada a matriz

12

2 kA ,

0det A , a soma dos valores de k para os quais 1detdet AA :

a) 2 b) 2 c) 1 d) 1 e) 0

48. (UFSCar SP) Sejam A =

3000

0100

2120

3011

e

B =

3453

0112

0021

0001

. Ento, det (A.B) igual a:

a. 36 b. 12 c. 6 d. 36 e. 6

49.O valor do determinante

sm

rm

pm

m

111

111

111

111

:

a) 4 p r s d) m p r s

b) p s r e) 4 m p r s

c) m p s

50. (OSEC-SP) O valor do determinante

wzz

wyy

wxx

31

31

31

:

a) w b) y c) 1 d) x e) zero

51. (IME ) Determine o valor numrico do determinante

abaixo:

52.

53.

54.

55. (ESAF-MPU-2004)

onde a e b so inteiros positivos tais que a >1 e b>1,

igual a

a) - 60a. b) 0. c) 60a. d) 20ba2. e) a(b-60).

56. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer

aquela que se obtm trocando linhas por colunas. Sabendo-se

que uma matriz quadrada de segunda ordem possui

determinante igual a 2, ento o determinante do dobro de sua

matriz transposta igual a:

a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 8 e) 10

57. Calcule o determinante da inersa da matriz

A =

3000

0100

2120

3011

.

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