Diaforikos Logismos

8/3/2019 Diaforikos Logismos

1/50

1

1. f xx

x( ) , .=-

1

11

) 1 f;

) f(-3).

2. f(x)=x2+2x f(0), f(1), f(-4), f 12

.

3. f()=2-2+1 f(0)/ f(1), f().4. ()=3-2 (0), j p

2

, (), jp32

.

5. f(t)=lnt+lnt2 f(e), f(1), f(e2).6. ()=e-e2 (ln2), (0), (ln4).7. f x x

x( )=

-+1

42 f

12

aa

,f ( ) 0.

8. f(x)=4x+6, g(x)=x+1 : f(x)+g(x), f(x)-g(x),f(x)g(x),

f x

g x

g x

f x

( )

( ),

( )

( ).

9. f(x)=10x2

-29x+10, g(x)=1-8x

f x

g x

g x

f x

( )

( )

( )

( ) .

10. :) f x

x

x( ) ,=

2

) g xx

x( )=

++

2 1

1 ) h x

x x( )=

+ +1

7 102

11. :) f x

x x

x( ) ,=

+-

2 5

4

2

) ( )g x x x( )= + -5 7 24 ) h x x x( ) ln( )= - +hm5 1


2/50

2

12.) x2+2x-8


3/50

3

) ( )limx

1

4

-x x2 1 ) limx0 2

x

x +1

19. ) lim ( )

x

x xx

--1

11

) limx

-0

2 2x xx

) limx 2

--

x x

x

22

2 ) lim

2

-5

+5- 2

20. ) lim

h

h

h

--5

225

5 ) lim

x-

-+3

22 18

3

x

x

) limx - -+1

2

11

xx

) limx4

2

2x -16x -4x

21. ) lim

x

x x

x-

+ ++1

22 1

1 ) lim

x

+ --2

22 8

2

x x

x

) limt -

+ ++5

2

2

7 10

5

t t

t t ) lim

2

2

+5-6

2 +14+12- 6

22. ) lim

x

x

x

--7 2

7

7 ) lim

t

-+ -2 2

2

6

t

t t

) lim -4

2

+4

++

3 12

5 ) lim

x

2

5x-7

5x -2x-7 75

23. y=f(x), f(x)=x(x-1)+(x-2)(x-1) xx. yy.

24. f xx

x( )=-

+

24

2 .

lim ( ), lim ( ), lim ( )x x x

f x f x f x -0 2 2

.

25. :) y=x2-1, ) y=(x+1)2 ) y=(x-1)2

26. :) y x= , ) y x= - ) y x= +1


4/50

4

1.

A te

t( ) ,= ++

10

11 t[0,5] ( ).

t=ln5.

2,5.

2. (t)=e

t

+ +

-

-355

1

1ee e

t ( .), t

.

) , t=0;

) ;

ln16

7

62

75=

.

3. : 1.500.000

20%.

) 4.000.000;

) x (x>1.500.000) y

y=f(x).

.

4. AIDS A t

e e

ee

t t

t

t

( )=-

+

-

-

2

(

) t .

100 AIDS, t=0

1986. ln425

18=

.


5/50

5

5. f(x)=2x, f(x+3)-f(x-1)=152

f x( ) .

6. f(x)=x2-4x+6, f(2-h)=f(2+h).7. f x

x

x( )=-+

1

1 f x f x1

= - ( ) f x f x-

= -

1 1

( ) .

8. y=f(x)= 5 34 5

x

x

+-

x=f(y).

9. 500m. x

x.

;

10.

.

x

4

x

4

)

x.

)

.

11. 8 A t t( ) ,= +25

162002

B t t( )= +50

161502 ( .), t[0,8] (

).

) .

)

.


6/50

6

12. t : Y t

e e

e e

t t

t t( )=-+

-

-5

l l

l l ( t

(t) ).

i) , t=1, 1 .

ii) , ,

t=5.

13. 12 x.

x

A

x

14. :) lim

x

x

x

-

-3

3

3 ) lim

x

x

x

-

-4

2

2

16

) limx

x

x

-

-11

1 ) lim

x

x

x

--7 2

7

49

15. ) lim

x

x

x

+ -0

25 5 ) lim

x

x

x

-

+ -22

2 2

16. .

1

2 3

1, 2, 3 :


7/50

7

12=23=31=

a

2.

, 1, 2, 3 .

i) .

ii) .17.

:

)

x x+, >0.

)

.

) 2 .

i) S V x.

ii) () x=.

iii) ().18.

, .

, 3 1

2

-

1

2 ,

. =60

;

E A


8/50

8


9/50

9

1. :: 2 : 4 :

1

2 :

1

4 : 2

y y=x2

A B

4

0 x

2. x 1 :: f x( )1 : f x( )1 : f x( )0 : f x( )2 : f x( )2

3. ;

: f x( )1 : f x( )1 : f x( )0 : f x( )2 : f x( )2

4. f;: 1 : 2 : 3 : 4 :

-1

0 1 2 3 x

-1

1

3

2

y=f(x)

y

x

y

0

y=f(x)


10/50

10

5. f;.: 3 : -2 :-1 :-4 : 4

6. , , , f;

: : : : :

7. ;

A: B:

y=f(x)

-4 -2 0 3

3

2

1

-2

-3

-3-1

-1 1 2 4

y

y=f(x)

x

x

y

O

y

O x


11/50

11

: :

E:

8. f(x)-g(x);: 4 : 3 : 2 : 1 :

9. f x( )0;

: [-2,0] : [0,5] : [0,+ ] : [-1,+ ] : [-1,4]

x

y

O

x

y

O

O x

y

x

yy=f(x)

y=g(x)

y

-1 O 1 2 3 4 5x

3

2

1

-1

-2

-3

y=f(x)


12/50

12

10. :

: [6,12] : [-1,12] : [3,12] : [3,9] : (- ,6]

1. , , , 1 8

.

1: f(x)=-x2 2: f(x)=(x+1)2

3: f(x)=-(x+1)2 4: f(x)=x2+1

5: f(x)=(x-1)2 6: f(x)=-(x+1)2

7: f(x)=-x2+1 8: f(x)=x2-1

A B

y=f(x)


13/50

13

2. , , , , 1 3

.: f(x) = -x2 1.

: g(x) = ex

: h(x)=x2 2.

: (x) = x

: (x) = x3 3.

A B

3. f. , , , 1

6

.

: f(-1) 1: 0

: f(0) 2: 4

: f(4) 3: -1

: f(3) 4: 1

5: -3

6: 2

A B

4. f. , , , , , 1 3

.

: [-1,1] 1. f .

: [5,+ ]


14/50

14

: (- ,1] 2. f

: [1,2]

: [3,4] 3. f

: [4,5]A B

5. , , , 1 6

.

: f x x( )= -1 1: x, x1

B: g xx

( )=-1

12: x(1,+ )

: h xx

( )=-

1

13: x (- ,1)

: (x)=x-1 4: x [-1,+ )

5: x

6: x [1,+ )A B

-1 O 1 5

2 3 4 x

y


15/50

15

1. ) f x1,x2

x1 x2 f(x1) f(x2).) f x1,x2

x1 x2 f(x1) > f(x2).

2. ) f xx

( )=1

) f(x)=ln(x-2)

3. :

f x=

.

f . , f x=

x= .

4.

:


16/50

16

) , x=-4, x=0 x=2.

) (-,-2] [1,+ )

[-2,1].

) f(-2)=2 f(1)=-3.


17/50

17

1-14 .

1. ) f(x)=-3 ) f(x)=-3x2 ) f(x)=-3x-3 ) f(x)=4x4

) f(x)= 25x

) f(x)= x ) f(x)= x

2

3 ) f(x)= x-4

5

. ) f(x)=1

3 x ) f(x)= -

4

43 x

2. ) f(x)=x5-4x3+2x-1 ) f(x)= x

x3

337

+ +

) f(x)= 3 2

2

3

5

2 3x x x- + - ) f(x)= x x x23 2 1- +

3. ) f(x)=x4

-lnx ) f(x)=x2

lnx2

) f(x)= x x ) f(x)=(1-4x3)(1+2x2)

4. ) f(x)=x7ex ) f(x)=-4x5e-x

) f(x)=3x2e ) f(x)=exx

5. ) f(x)=1

x ) f(x)=

2

2

2x

x -

) f(x)=

2 4

2 2

x

xa - ) f(x)=

x

x

53

3 2-

6. ) f(x)=

1+ ) f(x)=

x

x

2

2

1

1

+-

) f(x)=e

e

x

x

+-

1

1 ) f(x)=

ln

ln

x

x

++

2

4

7. ) f(x)=x3(x2+x) ) f(x)=x3 x -1

) f(x)= ( )x x -3 2 ) f(x)= ( )( )x x- -2 3 5


18/50

18

8. ) f(x)=2x ) f(x)= 3

13x x

x+ +

) f(x)=2x+3x ) f(x)=2x+53x

9. ) f(x)= ( )xx-3

2

) f(x)= ( )xx+

1

2

) f(x)=( )1 2 3

3

- xx

) f(x)=e

x

x2

10. ) f(x)=log2x ) f(x)=

x x

x x

+-

) f(x)= x2 2+ a ) f(x)=x+x+1

11. ) f(x)=(x2+3x+2) ) f(x)= ( )13

+ x

) f(x)= x x+ ) f(x)=e e

e e

x x

x x

-+

12. ) f(x)= ( )ex 33x-3x ) f(x)= ( )+x a - x

) f(x)=x-x

5 ) f(x)= 3x3x

13.) f(x)= x+x+x x

1 1

+ ) f(x)=

1

3

1

x3x -

) f(x)= ln(x) ) f(x)= 3x+x

5 x+

14. ) f(x)= 21

1

3

2

xx

x

-

+

) f(x)=1

1

-+

x

x

2

2

) f(x)=1

1

+-

x

x ) f(x)=

2 1

1

2

2

x

x x

-

+

15. :

) f(x)=xex ) f(x)=5x+1 ) f(x)=lnx

16. :

) f(x)=x ) f(x)=x

x +1 ) f(x)= x +7

17. :

) i) f(x)=e-5x ii) f(x)=ex- +5 12

) i) f(x)=ln(x+2) ii) f(x)=ln(x+2)


19/50

19

) i) f(x)=7x ii) f(x)= x +1

18. f(x)=x g(x)=f(2x2-3) g(1).

19. f(x)=x g(x)=2x+1. :

f(x)g(x) f x

g x

( )

( )

20. y=f(x) x=x0 :

) f(x)=x, x0 =

2 ) f(x)=2x-x2, x0=-

) f(x)=x-x, x0 =

2 ) f(x)=x+x, x0=

21. f(x2)=x5 x>0 f(9).22. f(x)=x2(3x2+8x+6)

.

23. y=2x3+9x2-24x-7 xx.

24. y=- =

2.

25. y

e e

e e

x x

x x=-+

-

- x=0.

26. t0 ( sec)

25cm.

4 t

10

27. m1, m2 F G m m

r= 1 2

2

, r


20/50

20

G . r

F r=1.

28. f(x)=x x= x+y=0.

29. f(x)=ln(x2+4) y x= +

1

23.

30. y=+3 =

2.

31. , y=x f(x)=x2+x+ (1,1).

32. y=x2-7x+3 x-y+2=0.

33. x f(x)=0, f(x)=x+2x.

34. =2.

y y=x2

A

0 x

35. xx t0 : S(t)=ln(t+1)+ 1

2t +.

t=1.

36. , xx xA, xB t0 :

xA(t)=100+5t, xB(t)=1

2

2t

. ( cm sec).


21/50

21

37. t[0,2] :

(t)=1

3

5

2

223

6e t

t -

+

(C)

t=1

. ( ).

38. ( ) t :

f t t t t( ) (%)= - + -

+

10

223

8

63

100

2132 10

3 2

t[0,24] t=0 . 8 ( t=20

).

39. t0 x(t), y(t). y x=

1

182

.

40.) u(t) (t) .

)

( xx).

)

.

) t=4 t=10.

) [0,10].

( ).

41. . t[0,7] ( sec)

h(t)=35t-5t2.

:

) .

) t=3 t=4.) .


22/50

22

( ).

42. . t[0,4] ( sec)

h(t)=35t-5t

2

( ) 15

, .

43. f x e ex x( )= + - , x>0 xf x f x f x + - =( ) ( ) ( )

1

2

1

40

44. y=f(x).y

x

O


23/50

23

1. t x(t)=5t2-3t.

:

: 5 : 10t-3 : -3 : 10 :5

2

2. f(5)=x-4 f(x)=: -4x5 : -

45x

: -4x3 : -4

3x :

13x

3. y=lnx+2x x=1;

: 2 : 1 : 3 : ln2 :

4. t x(t)= t t+ . t=4;

:1

2 :

5

4 :

1

4 : 6 : -

1

32

5. 2 Q( )t t t= - +39 (C), t[0,2] . t=1:

: 1

2

o C .

: 1

2

o C .

: 1oC .

: 1

4o C .

: 1

4o C .


24/50

24

6. f x ex( )= 2 f(x)=: x e

x2 12 - : 2

2 32

x ex -

: 2ex : 22

ex

: 22

xex

7. f(x)=x f (x)=: x : x : -x : -x :

8. t0 u(t)=lnt. t=e :

:1

e : 1 : -1 : -

12e

: -e

9. f(x)=(x) f(x)=: (x)x B: -(x)x : (x)x

: -(x)x E:

10. f(x)= 1x

f (x)=

:1

3x :

12x

:2

3x : -

23x

: lnx

1. , , 1 4

.

: (x) 1: x

B: (x) 2: (x): (x) 3: -x

4: x

A B


25/50

25

2. , , , 1 6

.

: x-1 1: 12

12x

B: x3 2: -1

33

4x

: x 3: -x-2

:1

3 x4:

1

21

2x-

5: - 13

43x

6: 3x2

A B

3. , , , 1 6

x=1.

: y=ex 2 1-

1: 3

B: y=x+1

x2: 0

: y=3xlnx 3: 0

: yx

x=

ln4: 2

5: 1

6: -2

A B

4. t0 S(t).

, , , 1 6 S(t)

.


26/50

26

: 10t-5t2 1: -10

B: 5t-10t2 2: 5

: -5t+10t2 3: -20

: 10t+5t

2

4: 105: 20

6: -5

A B

1. ) 8

t0 : S(t)=3t+ t2.

S(t)=

t=1

)

t0 S(t)=-5t2

-2t. S(t)=

t=2 .

2. ) f(x)= ex 4 3+

= +f x ex( )4 3 =

) f(x)=(lnx+1) f(x)=(lnx+1) =

) f(x)=1821x f(x)=18211820x =

) f(x)=1999x f(x)=

3. ) t0

S(t)=ln(t2+1).

S(t) =

S (t)=

t=1 .

) t0

S(t)= et t2 3 2- -

.

S(t) =

S (t)=


27/50

27

t=1 .

4.

f.

x

y

O

y

x

O

y=f(x)


28/50

28

1. f(x)=2x+1.) x=-2, ) x=0, ) x=5

2. , , , ., y=f(x) f.

) , ) , ) .

.

3. ) f(x)=x2-x x=2 ) ()=

5

w =1

4. ) f(x)=2x2+x+1 x=-1 ) g x

x( )=

+2

3 x=0

5. f(x)=x3) x=8, ) x=0

6. f(x)=-x2

) x=-1, ) x=0, ) x=1

7. =f(x) x=x0 :) f x

x

( )=1

x0=2 ) f(x)=x3+1 x0=-1 ) f(x)=x

2+2x+4 x0=0


29/50

29

8. x x=8.

1

x+2

9. >0. =4

1. k 2k+1, k>0.

k : ) k=1 ) k=2

) k=3

;

2. f x x( )= x=4.

3. x>0 1

1

x

+ .

x x=5

11. ( .

=22

7).

4. y= x -2

x=11.

5.

f(x)=-x2+x+.

) f.

) f x=0.

f x=8 .

) f x0=4.

;

y


30/50

30

S

0 4 x

6. (oC) :

Q( ) ( )t t t= - - +2

2510 37

t[0,10] ( ). t=7

.

1. , , , , ;

: : : : :

2. f(5)=-4 y=f(x) x=5 :

y

x

H

ZO

I


31/50

31

: -4 : 5 : - -4

5 : -

5

4 :


32/50

32

3. x1, x2, x3, x4 f g.

: x1 : x2 : x3

: x4 : y y=g(x)

y=f(x)

0 x1 x2 x3 x4 x

4. f(x)=2x x=1000 :: 2 : 1000 :

1

500 : -2 : 1

y y=2x

2

0 1 x

5. , , , , f 0;

: : y : : :

0 x

6. y=f(x) :y B y=f(x)

A

0 x1 x2 x


33/50

33

: lim( ) ( )

h

f x h f x

h

+ -0

1 1 : lim

( ) ( )

h

f x h f x

h

+ -0

1 2 :

lim( ) ( )

h

f x h f h

h

+ -0

1

: lim( ) ( )

h

f x h f x

h

+ -0

2 1 :

7. y=f(x) x=2 y=7x-5 :

A: f(2)=5 : f(2)=-5 : f(-2)=7 : f(2)=7 :

f (7)=2

8. xx S(t). t=3;

: .

: .

: .

: .

:

9. y=f(x). f(1)=A: 1 : -1 : 2 : -2 :

1 2 3 4 t

4

3

2

1

S

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x K x

y

y=f(x)2

1


34/50

34

10. f(0)=5 f(0)=0 y=f(x) x=0 :

A: y=5 : y=x : y=1

5x : x=5 : y=5x

1. , , 1 6

.

: f(3) 1: lim( ) ( )

h

f h f

h

- - -0

3 3

: f(-3) 2: lim( ) ( )

h

f h f

h

-0

0

: f(0) 3: lim( ) ( )

h

f h f

h

+ -0

3 3

4: lim( ) ( )

h

f h f

h

- -0

3 3

5: lim( ) ( )

h

f h f

h

- -0

0

6: lim( ) ( )

h

f h f h

h

+ -0

3

2. , , , , , , 1 4

:

1:

2:

3:

O 1 2x

y

A

B


35/50

35

4:

x


36/50

36

1. ) f x0 = f x h( ) lim0 0

) y=f(x)

x=x0 .

2.

S(t).

t=t0.

xx

3. 4 , , , y=f(x) f , ,

.

4. y=f(x) :) f 0 2.

) f (1,+)

(-,1).

) f x=1 .

) f(1)=-2

3

2

1

0

-3 -2 -1

-1

1 2 3 4

-2

-3

-4

y

xO

y

x


37/50

37

1. :) f(x)=x2+2x+3 ) g(x)=3+2x-x2

) h(x)=(2-x)3 ) (x)=(x2-4)2

2. :

) f(x)=(x-4)4

(x+3)3

) g(x)=x2

(1-4x2

)2

) h(x)=x3+2x2-4x-8 ) (x)=(x-1)1/3(x+2)2/3

3. :

) f(x)=1

3

1

26 13 2x x x+ - + ) g(x)=x3-6x2+9x-8

) h(x)=x4-8x3+18x2-27 ) (x)= - - + +1

4

1

354 3 2x x x

4. f(x)=-2x2+16x+ 39.

5. 120 .

6. .7. .

t

[ ]h t t t( ) ,= - 10 2 52

t 0,2 2

. ;

30o

45o

h(t)

20m/sec


38/50

38

8. t=0.

t :

Q( ) ( ) (%)t t t= - +

1

10 20 2

t[0,15] ( ).

.

;

9. x y 20cm.

) x y

.

) x, y .

;

10. x, x100

(x)=4x2+3x+6400

.

11. x (x100) :K x x x( )= + +30 3

1

1002

( .)

11000 .

12. 20. :)

)

) .

13. 60 :P( )t t t= - + +

1

200

2

5502 ( )

t[0,60] ( ) t=0

1930.

. ;


39/50

39

14. Q( ) ,t

t

t=

++

6

336 62 (

oC)

t0 ( ).

.

;

15. x y.

x 3600 . y

1200 . .

4000m2

;

16. f x e ex x( )= --2

.

f(x) 1.

17. x y.) V S

V

xx= +4 2

) V=62,5cm3 S x .

1. f x x x x( ) ( ln ),= - 24

2 1 0 .

f -1

4.

x

x

y y

x

x

y


40/50

40

2. r ( )

Fkx

x r=

+2 25

2

x

. F x r=2

.

3. .

V rA

r

B

r( )= -7 3 , r

, . r

. ;

4. , , .

1500m

;

5. .

.


41/50

41

6. , , 6280cm3

. ;

( =3,14).

7. (. ) 125cm3. 32 . cm2

1 . cm2.

.

8. 5u2+75. ( . ).

500

.;

9. (3,4) .

10. 100 400 . .

5

10 .

.

11. y x= +12

12

5

20,

.

12. f(x)=(1-x)2+(2-x)++(-x)2 ( )x v=

1

+ +...+1 2 .

x

x

y


42/50

42

13. f t

e t( )=

++- +

10000

11010 t[0,20] ( )

.

.

14. : h t

e

e e

t

t t( ) ,= +

-

- - +

2 10

10 10 0 t 20

)

.

) .

;

15. 400cm2. 4cm

3cm .

;

16. f x x( )= (4,0), (0,0). ,

y=f(x) , .

17. 2x-y+1=0 (2,3) (4,5) .

18. ,

3km.

10.000.000

. ,

2.000.000 .

5km,

.


43/50

43

;

19. (8,0) (0,2) .

1=2cm/sec 2=1cm/sec .

.

20. 10 104 km . 16km/h

24 km/h. ;

;

21. 9 .

15 .

4 5

.

;

22. , ,

. (

).

O

A

9

15 B


44/50

44

1. f(x)=x(x-1) f :: x[0,1] B: x[1,+) : x(-,0] : x(-,0] x[1,+ )

:x

2. f(x)=x2(x-2) f:: x=2 B: x=2

: x=0 x=2

: x=0 x=2

:

3. [,];

:

4. f, g, h, . f, g, h,

x=1;


45/50

45

:


46/50

46

5. f(x)=+ x = p4

:

: , fp

42

= : , fp

41

=

: , fp

42

=

. , fp

41

=

:

6. .A: f(x)=x2+1 B: g(x)=x2-5x : h(x)=2x+5

: (x)=1+2x2+x : ()=3-

7. f :: f(x0)>0, f (x0)>0

: f(x0)=0, f (x0)>0

: f(x0)0

: f(x0)>0, f (x0)


47/50

47


48/50

48

1. , , , 1 6 , , , .

1: f(x)0

4: f(x)=0 f (x)0 f (x)0

2. , , , 1 4

.

1: f(x)>0, f (x)>0

2: f(x)>0, f (x)


49/50

49

1. f : >, 0, f (2)0

f(0)=2, f(-3)=-3, f(2)=-1

3

2

1

-2

-3

y=f(x)

y

x

x

y


50/50

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1

-2

-3

5. f(x)=x3- x=0 x=1. ,

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