DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2005/06

João M. C. Estêvão - EST - UAlg

- 2 -

1. Conceitos básicos Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares. Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de deformação de um corpo. Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre pontos de um corpo. 2. Ligações 2.1. Ligações exteriores (apoios)

Designação usual

Representação esquemática

Reacções associadas

Deslocamentos permitidos

Apoio simples

Apoio fixo

Encastramento deslizante

Encastramento

Nenhum

Diagramas de esforços

- 3 -

2.2. Ligações interiores

Designação usual

Representação esquemática

Esforços transmitidos

Deslocamentos permitidos

Rótula N e V

Encastramento deslizante

N e M

Pistão V e M

Continuidade N, V e M Nenhum

3. Equações de equilíbrio estático

Momentos =∑ 0 (qualquer ponto)

Forças =∑ 0 (resultante nula) 4. Diagramas de esforços Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da secção que os separa.

Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M)

NN

x

VV

x MM

x

V p dx= − ⋅∫ M V dx= ⋅∫


- 4 -

Diagramas de esforços para cargas usuais

Tipo de carga (p)

Esforço Transverso (V)

Momento Flector (M)

p = 0

V = constante

Linear

V = 0

V > 0

V < 0

Linear

Parábola

Parábola

Eq. do 3º grau

Parábola

Eq. do 3º grau

Linear

Parábola

Parábola

Eq. do 3º grau

Parábola

Eq. do 3º grau

Casos particulares:

- O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada.

- O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula.

- O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado.

- O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula.


- 5 -

Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada

MA

VB

p

VA

MB A B

x

L

V V p xx A( ) = − ⋅

M M V xp x

x A A( ) = + ⋅ −⋅ 2

2

M M L V p LL

MB A A B∑ = → + ⋅ = ⋅ ⋅ +02

VL

M Mp L

A B A= − +⋅

12

2

F V p L VV A B∑ = → = ⋅ +0 V V p LB A= − ⋅

M V V p xx A= → = = − ⋅max. ( ) 0 M xV

pA= → =max. max

( )M M M VV

pp V

px A AA A

max max= = + ⋅ − ⋅

2

2

M MV

pAA

max = +⋅

2

2

M M V xp x

x A A( ) = + ⋅ −⋅

=2

20

x

x1

2

xV V p M

pA A A

1

2 2=

− + ⋅ ⋅ , 0 1≤ ≤x L

xV V p M

pA A A

2

2 2=

+ + ⋅ ⋅ , 0 2≤ ≤x L

se V p M x x

x xA A2

1 2

1 2

2

0

0

0

+ ⋅ ⋅< →= → => → ≠

sem zeros

xmax

M(x)

x2

x1 Mmax

V(x)


- 6 -

PROBLEMAS PROPOSTOS

Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe

os diagramas de esforços.

1)

A B

C30 kN/m

50 kNm

D

20 kN

2.50 m 2.50

1.50

0.50

2)

4.00 m 2.00 2.00

3.00

1.00

1.00 1.00

A

B C

40 kN/m 50 kN

D

EF

20 kN

60 kN/m

3)

A

B C D EF

50 kN

40 kN/m

3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50

10 kNm


- 7 -

4)

A

B

C DE

F

50 kN

36 kN/m

23 kN

2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.001.00 1.00

1.00

1.00

60 kN/m

G H

5)

AB

C

D

E

F

90 kN

125 kN

50 kN/m

GH

1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00

1.50

1.50

80 kN

30 kNm

6)

A

B

C

D EF

60 kN

10 kN/m

G

70 kN

1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50

2.00

2.00

30 kN/m


- 8 -

7)

A BC

D E

F

94 kN

G

10 kN/m

2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00

1.50

1.50

40 kN

8)

A

B

C

D EF

140 kN

G

23 kN/m

2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00

2.00

2.00

HI J

15 kN/m

20 kN/m

100 kN

35 kN

30 kN

50 kNm


- 9 -

9)

A

B C D

E

5 kN

48 kN/m

4.00 m 3.00

3.00

3.00

250 kN

10)

A B

C

D

E

F

60 kN/m

4.00 m

2.00

3.00

6 kN/m

30 kN/m


- 10 -

11)

A

B C D E

F

63 kN

50.2 kN/m

1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00

4.00 30 kN/m

12)

AB

C D

E F

60 kN

20 kN/m

2.00 4.00 m 3.00

3.00

3.00

14 kN/m

30 kN/m

132 kN


- 11 -

13)

A B

C

D E F

70 kN

40 kN/m

50 kN

1.50 1.50 3.00 m 3.00

2.00

2.00

30 kN/m

14)

A

B

CD

E

F

40 kN

G

10 kN/m

H I

35 kN

2.00 m 2.00 2.00 2.00

3.00

2.00

1.00

40 kN/m


- 12 -

15)

A

BC

D

EF

10 kN

G

20 kN/m

3.00 4.00 m 3.00 2.00

2.00

4.00

30 kN/m

16)

A

B

C D E

F

60 kN

G

H I

J

2.00 2.00 2.00 3.00 m

2.00

4.00

3.00

L

60 kN

75 kN

100 kN


- 13 -

17)

AB

C

D

E F

G

25 kN/m

H

I

40 kNm

4.00 m 2.00 2.00

1.50

1.50

1.50

40 kN/m

18)

A

B

C

D

E

F

40 kN

G

14 kN/m

H I

25 kNm

2.00 1.50 1.50 4.00 m

2.00

2.00

1.00

5 kN/m

20 kN/m

90 kN


- 14 -

19)

A

B

C D

E F

119 kN

G

30 kN/m

H I

J

2.00 4.00 m 2.25 1.75

2.00

2.00

3.00

10 kN/m18 kN/m

30 kN 63 kN

20)

A B

C D E

8 kN/m42 kNm

1.50 m 1.50 1.50 1.50

2.00

72 kN/m


- 15 -

Soluções dos problemas propostos

1)

Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três

ligações ao exterior.

F R RH HA HA∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 20 30 2 40 kN

M R RA VB VB∑ = ⇒

× + × = + × ⇒ =030 2

25 50 15 20 4

2

. kN

F R RV VA VB∑ = ⇒ = =0 4 kN

Reacções de apoio e orientação das barras

A B

C D

4 kN 4 kN

40 kN

Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de

esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das

reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de

esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB

e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando

todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo.


- 16 -

A

B

C30 kN/m

20 kN

D

C

RVA

RVB

50 kNm

D

RHA

F1

F1

F2

F2

F3F

5F6F

4

F7

F8

F9

M1

M1

M2

A

A

F9

F10

F10

F11

F11

F12

F12

M2

F5

F3

F4

F6

B

B

Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer

um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças

internas.

M F FD

CD∑ = ⇒ × = ⇒ =0 5 50 101 1

kN

F F FVCD∑ = ⇒ = =0 10

2 1 kN

F F FVBD∑ = ⇒ = =0 10

3 2 kN

F F FVAC∑ = ⇒ = =0 10

4 1 kN

F F FVnó B

kN∑ = ⇒ + = ⇒ =0 4 10 65 5

F F FVAB∑ = ⇒ = =0 6

6 5 kN

M F FB

BD∑ = ⇒ × = × ⇒ =0 2 15 20 157 7

. kN

F F FHCD∑ = ⇒ = =0 15

8 7 kN


- 17 -

F F FHBD∑ = ⇒ + = ⇒ =0 15 20 5

9 9 kN

F F FHnó B

kN∑ = ⇒ = =0 510 9

F F FHAB∑ = ⇒ = =0 5

11 10 kN

F F FHAC∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 15 30 2 45

12 12 kN

M M FA

AB∑ = ⇒ = × = × =0 5 5 6 301 5

kNm

M M MA

AC∑ = ⇒ + × = ×⇒ =0 2 15

30 2

230

2

2

2 kNm

Valores finais:

A

B

C

30

20

D

C

4 4

50

D

10

10

10

10

1066

10

1515

530

30

30

A

A

5

5

5

5

5

45

45

30

6 1010 6

B

B

40

Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos

diagramas de esforços.


- 18 -

• Esforços axiais

N F FAB

= − = − = −10 11

5 kN

N F FBC

= − = − = −7 8

15 kN

N F FAC

= − = − = −1 4

10 kN

N F FBD

= = =2 3

10 kN

• Esforços transversos

V F V FAAB

BAB= − = = − = −

6 56 kN

V F V FCCD

DCD= = = =

1 210 kN

V FAAC = =

1245 kN

V FCAC = − = − × = −

845 2 30 15 kN

V FBBD = − = −

95 kN

V FDBD = = − + =

75 20 15 kN

V xxAC( ) = − ⋅45 30

0 45 30 15= − ⋅ ⇒ =x x m.

• Momentos flectores

M MAAB = =

130 kNm

M Fm x esqCDa . .

kNm= × =2 5 251

.

M F FdirCDmax. . . .= − × = × − = −25 25 50 25

2 1 kNm

M MAAC = − = × − × = −

2

2

2 1530 2

230 kNm

MABmax. .

..= − + × − × =30 15 45

30 15

2375

2

kNm

M F FBDmax. . . .= − × = − × = −15 05 75

9 7 kNm


- 19 -

Diagrama de esforços axiais (kN)

-15-10 10

-5

Diagrama de esforços transversos (kN)

45

-15

10

-6

-5

15

Diagrama de momentos flectores (kNm)

30

25

-30

3.75 -7.5

-25


- 20 -

2)

Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário

estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível

determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em

quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um

conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos

exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável.

A

B C

40 kN/m 50 kN

DC

RVA

F1

F1

F2

F3

RHB

RVB

E

F

20 kN

60 kN/m

E

D

F4

F3

F5

F5

F6

RHF

RVF

RMF

Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer

as seguintes equações:

M F FEED∑ = ⇒ × + × = ⇒ = −0 4 20 3 0 15

4 4 kN (mudar o sentido do vector)

F F FHED∑ = ⇒ + − = ⇒ = −0 20 15 0 5

5 5 kN (mudar o sentido do vector)

F RHEF

HF∑ = ⇒ =0 5 kN


- 21 -

F FHCD∑ = ⇒ = −0 15

2 kN (mudar o sentido do vector)

F RHABC

HB∑ = ⇒ = −0 15 kN (mudar o sentido do vector)

M F FCCD∑ = ⇒ × − × = ⇒ =0 2 1 50 0 25

3 3 kN

F FVCD∑ = ⇒ = − =0 50 25 25

1 kN

F F FVED∑ = ⇒ = =0 25

6 3 kN

F RVEF

VF∑ = ⇒ = + × =0 2560 2

285 kN

M RFEF

MF∑ = ⇒ = × + × × × =0 2 2560 2

2

2

32 130 kNm

M R RAABC

VB VB∑ = ⇒ × − × × − × = ⇒ =0 4 40 66

26 25 0 2175. kN

F RVABC

VA∑ = ⇒ = × + − =0 6 40 25 2175 475. . kN

Valores finais:

A

B C

40 50

DC

47.5

25

25

15

2515

217.5

E

F

20

60

E

D

15

25

5

5

25

5

85

130


- 22 -


A

B CD

E

F

47.5 kN 217.5 kN

85 kN

5 kN

130 kNm

15 kN

Cálculo dos esforços:

• Esforços axiais

NAB

= 0 kN

N R FBC HB

= = =2

15 kN

N F FCD

= = =4 2

15 kN

N F FDE

= − = − = −3 6

25 kN

N R FEF HF

= − = − = −5

5 kN

• Esforços transversos

V RAdir

VA.

.= = 475 kN

VBesq .

. .= − × = −475 40 4 1125 kN

VBdir .

. .= − + =1125 2175 105 kN

V FCesq . = = − × =

1105 2 40 25 kN

V FCdir . = =

125 kN

V FDCD = − = − = −

325 50 25 kN

V FEED = =

55 kN


- 23 -

V FDED = − = − = −

45 20 15 kN

V FEEF = − = −

625 kN

VFesq . = − − × = −25

60 2

285 kN

V xxAB( ) .= − ⋅475 40

0 475 40 11875= − ⋅ ⇒ =. .x x m

• Momentos flectores

MABmax. . .

..= × − × =11875 47 5

40 11875

228 2

2

kNm

M B = × − × = −4 47540 4

2130

2

. kNm

M FCDmax. = × =1 25

1 kNm

M FEDmax. = × =1 15

4 kNm

M RF MF= − = −130 kNm


15

-5

-25


- 24 -


47.5

-112.5

105

25

-25-15

5

-25

-85


28.2

-130

25

15

-130


- 25 -

3)

D

EF

50

40

A

B

C

10 40

150

30

5010

40 40 40 40

Equações de equilíbrio:

F RH HF∑ = ⇒ =0 0

M F FCCD∑ = ⇒ × = ×

⇒ =0 240 2

240

1

2

1 kN

F F FVCD∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 40 40 2 40

2 2 kN

M R RAABC

VB VB∑ = ⇒ + × = × ⇒ =0 10 3 40 4 50 kN

F R RVABC

VA VA∑ = ⇒ + = ⇒ =0 40 50 10 kN

F R RV VE VE∑ = ⇒ × + + = + ⇒ =0 40 35 50 10 50 150. kN

M R RDDEF

MF MF∑ = ⇒× + × + = × ⇒ =0

40 15

250 3 150 15 30

2.

. kNm

MCDmax. = × =40 2

820

2

kNm


A

B C D EF

150 kN

30 kNm

50 kN10 kN


- 26 -



-10

-100

4050

-40


-30

-105

-40

20

-30


- 27 -

4)

C

E

F

50

36

2360

161

25

70

21

25

100

A

B

C

D E

FG

H

C

40

40

25

47

25

25

25

25

25

40

47

40

25

47

17.68

33.23 17.68

33.23


M R RFFGH

VG VG∑ = ⇒ × = × × + ×

⇒ =0 1

60 2

21

1

32 100 kN

F F FVFGH∑ = ⇒ + × = ⇒ =0

60 2

2100 40

1 1 kN

F F FVEF∑ = ⇒ = =0 40

3 1 kN

M F FEEF∑ = ⇒ × = × ⇒ =0 2 1 50 25

2 2 kN

F F FHEF∑ = ⇒ = =0 25

4 2 kN

M R RCCDE

VD VD∑ = ⇒ × + × = ×⇒ =0 2 3 40

36 3

221

2

kN

F F FVCDE∑ = ⇒ × = + + ⇒ =0 36 3 40 21 47

5 5 kN


- 28 -

F F FHCDE∑ = ⇒ = =0 25

6 4 kN

F R FHABC

HA∑ = ⇒ = =0 256

kN

F RVABC

VA∑ = ⇒ = + =0 23 47 70 kN

M R RAABC

MA MA∑ = ⇒ + × = × + × ⇒ =0 2 25 1 23 4 47 161 kNm

F R RH HG HG∑ = ⇒ + = ⇒ =0 25 50 25 kN

V xxCD( ) = − ⋅47 36

0 47 36 130556= − ⋅ ⇒ =x x m.

MCDmax. .

..= × − × =130556 47

36 130556

230 68

2

kNm

Corpo ABC, ponto C:

47 45 47 45 3323× = × =cos º sen º . kN

25 45 25 45 17 68× = × =cos º sen º . kN


161 kNm

25 kN

70 kN

21 kN

25 kN

100 kN

A B

C DE

F G H


- 29 -


-50.91

-25

-40

-25

25


-40

-25

60-40

-4

-25

25

47

15.56

47

70


-161

-44

-91

22

-40

25

30.68


- 30 -

5)

EF

50

125

137.5

D

GH

C125

87.5

88.39

61.87 88.39

61.87

125

137.5

A

B

C

125

87.5

87.5

125 125

C

C125

37.5

151

247

30

80

90

9072

54

37.5

37.5

125

75

3022.5

100

C

71

109.5

71

109.5

D

4 3 52 2+ = m

α = =arctan .3

436869898

o

90 72× =cos kNα

90 54× =sen kNα


M R RDABCD

VA VA∑ = ⇒ × = +

× × + × + × ⇒ =0 8 71

21 50 4 125

5

290 1375. kN

M R RCABC

HA HA∑ = ⇒ × + × × +

= × ⇒ =0 3 50 1 31

24 1375 125. kN

F F RHABC

HA∑ = ⇒ = =0 1251

kN


- 31 -

F F FVABC∑ = ⇒ + × = ⇒ =0 50 1 137 5 875

2 2. . kN

F F FHCnó

kN∑ = ⇒ = =0 1253 1

F F FVCnó

kN∑ = ⇒ + = ⇒ =0 87 5 125 37 54 4

. .

F F FH

CD∑ = ⇒ + = ⇒ =0 54 125 715 5

kN

F FVCD∑ = ⇒ = + =0 72 375 1095

6. . kN

F RHDFGH

HH∑ = ⇒ = + =0 71 80 151 kN

M R REDFGH

VH VH∑ = ⇒ × + × + = × + × ⇒ =0 3 15 80 30 3 151 1 1095 1375. . . kN

F R RV VE VE∑ = ⇒ + = + + + × ⇒ =0 1375 1375 72 125 50 1 247. . kN

Corpo ABC, ponto C:

87 5 45 87 5 45 6187. cos º . sen º .× = × = kN

125 45 125 45 88 39× = × =cos º sen º . kN

Corpo CD, ponto C:

375 30. cos× = kNα e 375 225. s .× =en kNα

125 100× =cos kNα e 125 75× =sen kNα


AB

C

D

E

F

GH

125 kN

137.5 kN 247 kN

151 kN

137.5 kN


- 32 -


-150.26

-125-71

-122.5

-137.5

-151


-45

-26.5287.5

-71

-151

-109.5

137.5137.5

45

137.5


-305

112.5

-78.5

-137.5

-109.5

28

-167.5

112.5

112.5

28

-305


- 33 -

6)

E F

30

G

C

120

90

42.43

60

A

B

90

D

90

120

60

42.43

90

120

150

120

150

375

63.64

63.64

84.85

84.85

C C

D

10

120

180 70

70

120

60 45 60 45 42 43× = × =cos º sen º . kN


F FHABC∑ = ⇒ = × =0 30 4 120

1 kN

F F FHCD∑ = ⇒ = =0 120

3 1 kN

M F FDCD∑ = ⇒ × + × = × ⇒ =0 4 2 60 4 120 90

2 2 kN

F R FVABC

VA∑ = ⇒ = =0 902

kN

M R RCABC

MA MA∑ = ⇒ = × + ×⇒ =0 15 90

30 4

2375

2

. kNm


- 34 -

F FVCD∑ = ⇒ = + =0 90 60 150

4 kN

M R RDDEFG

VE VE∑ = ⇒ × + × = × + ×⇒ =0 3 1 150 4 5 70

10 3

270

2

. kN

F R RV VE VE∑ = ⇒ + = + + × + ⇒ =0 70 90 60 10 3 70 180 kN

Corpo CD, ponto C:

90 45 90 45 63 64× = × =cos º sen º . kN

120 45 120 45 84 85× = × =cos º sen º . kN


A

BC

D

E

G

375 kNm

90 kN

70 kN

120 kN

180 kN

F


- 35 -


-120

90

-190.92

-148.49

-120


21.21

-150

30-21.21

-120

70

-90


375

-150

-105

135

135

60


- 36 -

7)


114 kNm

15 kN

151 kN

24 kN

A BC

DE

FG


-60

36-60

-24

-20

-5


60

-20

20

36

-52

-15

99

20

-20

5


- 37 -


-208

114

20

54

-10

50

-90

144

8)


46 kNm

70 kN400 kN

194.5 kN

47.5 kN

AB

C

D EF

GH

I J


-194.5

-153.5

200 -70

-82.5

100


- 38 -


-200

-46

10

138

200

-82.5

110

-1270

-47.5

-130

-160


-300

65

290

15

80

46

260

320

290

260

95


- 39 -

9)


C

A

D

E

336 kN

B

309 kNm245 kN


−392

490

−294

−336


- 40 -


−150

142

−245

144

42


−216

309

−426 18.375


- 41 -

10)

E

A B

D C

F

120 kN

195 kN 45 kN


75

−120

−45 −125

−195

−125


- 42 -


60

−120

−65 −132

25

120

−120

75

93


120

60 −252

−10.42

11)

RVA HF VF= ↑ = → = ↑434 60 25 4 kN ; R kN ; R kN . ; RMF = 66 2. kNm


- 43 -

12)

RHA VA VB= → = ↑ = ↑117 208 66 kN ; R kN ; R kN

RHE ME= ← =27 40 kN ; R kNm

13)

RHA VA HB= → = ↑ = ←27 5 100 17 5. . kN ; R kN ; R kN

RVB VC= ↑ = ↑85 30 kN ; R kN

14)

RHA VA HB= → = ↑ = ←58 43 5 81 kN ; R kN ; R kN .

RVB MB= ↑ =76 5 351. kN ; R kNm ; R kN HI = →28

15)

RHA VA VB= ← = ↑ = ↓120 285 5 kN ; R kN ; R kN

16)

RHA VA HB= → = ↑ = →60 340 115 kN ; R kN ; R kN

RVB MB= ↓ =220 690 kN ; R kNm

17)

RHD VD HI VI= → = ↑ = = ↑60 40 0 60 kN ; R kN ; R ; R kN

18)

RVA HE VE HI= ↑ = ← = ↓ = →179 13 83 128 kN ; R kN ; R kN ; R kN

19)

kNm 67R ; kN 75.12R MAVA =↓= ; R kN VE = ↑68

↑=←= kN 75.137R ; kN 83R VJHJ

20)

RHA VA HB VB= ← = ↑ = ← = ↑45 22 27 48 kN ; R kN ; R kN ; R kN

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DIAGRAMAS DE ESFORÇOS