Dicotomias em equações diferenciai impulsivas s · Neste trabalho tratamo, dsa teori fundamentaa del dicotomia pars certa equaçãa diferenciao l linear com impulso as tempo pré-fixado

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 08.03.2005

Assinatura: r y j m ^ 1 P 0 n (L L w ^ a ' ^ f ^ J ^

Dicotomias em equações diferenciais impulsivas

Angela Leite Moreno

Orientadora: Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

USP-São Carlos Março/2005

Aluno: Angela Leite Moreno

A Comissão Julgadora:

Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson_

Profa. Dra. Maria do Carmo Carbinatto

Prof. Dr. Aloisio José Freiria Neves

Ao meu marido

Roberto

e à minha filha

Carolina.

Agradecimen tos

Há muitos a quem agradecer, pois nenhuma pesquisa científica é solitária. Ao longo caminho,

fui orientada, inspirada e apoiada por todas as pessoas que em mim confiaram.

Agradaço, primeiramente, à Deus, por estar sempre presente em meu coração guiando-me pelos

caminhos da vida.

Em particular, agradeço profundamente ao meu marido, Roberto, por seu amor, sua amizade e

compreensão e à minha filha, Carolina, pela alegria que traz à minha vida.

Aos meus pais, Sr. Edivá e Sra. Conceição, por terem apoiado meus passos na infância, os

conselhos na adolescência e ensinamentos para toda vida; e às minhas irmãs, Rosinéia e Rosangela,

por acreditarem em mim.

Aos amigos de sempre, Alcindo, Carlos, Christiano, Danielli, Eliza, Marleide, Nair, Pandu e

Solange, pela grande amizade, pela dedicação e por todo apoio que deram durante estes anos.

À minha orientadora professora Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson, que com perícia

me ajudou a vencer as dificuldades e me orientou com competência e dedicação.

Não tenho palavras para expressar também minha gratidão a:

Aos meus amigos de graduação do curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade

Estadual Paulista - UNESP, campus de Presidente Prudente, SP.

Aos meus amigos do primeiro ano de gradução do curso de Licenciatura Plena em Matemática

da Universidade Federal do Mato Grosso - UFMS, campus de Três Lagoas, MS.

Aos meus amigos de minha turma de mestrado (Aldicio, Andréa, Daniela, Everaldo, Fábio,

Márcio Alexandre, Márcio, Nivaldo, Rafael, Rodrigo, Thiago e Vanda), pelo companheirismo,

amizade e por tudo que passamos juntos no início de nossa caminhada.

Aos professores da FCT, em especial aos professores Dr. José Carlos Rodrigues e Dr. José

Roberto Nogueira, pelo aconselhamento e incentivo a continuar os estudos.

Aos professores da UFMS de Três Lagoas, especialmente ao professor Dr. Antônio Carlos

Tamarozzi, pelo incentivo no início de minha caminhada.

Aos professores e funcionários da USP, meu muito obrigado por tudo!

Finalmente, ao CNPq, pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho.

Resumo

Neste trabalho, tratamos da teoria fundamental de dicotomias para certa equação diferencial

linear com impulsos a tempo pré-fixado. Consideramos condições necessárias e suficientes para

a existência de dicotomia exponencial e dicotomia ordinária para esta equação e apresentamos

algumas consequências destes fatos. Escrevemos abreviadamente EDI para significar equação di-

ferencial impulsiva.

Alguns dos resultados interessantes contidos neste texto estão descritos a seguir. Apresentamos

algumas relações entre crescimento limitado e dicotomia exponencial para a EDI em estudo. Apre-

sentamos, também, condições para a equivalência entre a existência de dicotomia exponencial para

a EDI que tratamos e a admissibilidade de certos pares de funções para uma perturbação desta EDI.

Em particular, se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limi-

tada, obtemos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada e vale a recíproca.

Nós contribuímos com este resultado provando o fato de que o espaço das funções limitadas pode

ser substituído pelo espaço das funções limitadas com limite no infinito. Assim, se a EDI tiver uma

dicotomia exponencial, então dada uma perturbação limitada com limite no infinito, a EDI pertur-

bada admitirá uma solução também limitada e com limite no infinito e a recíproca é verdadeira.

Outro resultado importante diz que se a EDI estudada for quase periódica e tiver uma dicoto-

mia exponencial sobre R+, então ela terá uma dicotomia exponencial sobre toda a reta. E a nossa

contribuição aqui se deu através de um resultado mais geral que diz que se a EDI tiver uma dicoto-

mia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia

sobre toda a reta.

Abstract

In this work we deal with the fundamental theory of dichotomies for a linear differential equa-

tion with pre-assigned moments of impulse effects. We consider necessary and sufficient conditions

for the existence of each of two types of dichotomies for this equation: ordinary and exponential

dichotomies, and we present some consequences of these facts. We write IDE for impulsive differ-

ential equation.

Some interesting results are mentioned below. We present some relations between bounded

growth and the existence of exponential dichotomy for the IDE in question. We also present the

equivalence between the existence of an exponential dichotomy for our IDE and the admissibility of

certain pairs of function for the IDE with a perturbation. In particular, if our IDE has an exponential

dichotomy, then given certain bounded perturbation, we obtain a non-homogeneous IDE which

admits a bounded solution and the converse holds. We contribute to this result showing that the

space of bounded functions can be replaced by the space of bounded function with limit at infinity.

This means that if our IDE has an exponential dichotomy, then for any bounded perturbation with

limit at infinity, the perturbed IDE admits a bounded solution with limit at infinity and we also have

a converse.

Another interesting result says that if the IDE we study is almost periodic and has an exponential

dichotomy on M+ then it also has an exponential dichotomy on E. We generalize this results

proving that if our IDE has an exponential dichotomy on a finite interval of sufficiently large length,

then the IDE also has an exponential dichotomy on R.

Sumário

Introdução 1

Notação Básica 3

1 Teoria Fundamental 5

1.1 Espaços de Banach 5

1.1.1 Espaços Normados e Espaços de Banach 5

1.1.2 Operadores Lineares 6

1.1.3 Soma Direta de Subespaços e Projeções 9

1.1.4 Complexificação de um Espaço de Banach 10

1.2 Operadores Lineares Limitados 11

1.2.1 Espectro e Resolvente 11

1.2.2 A Integral de Riesz 12

2 Equações Diferenciais Impulsivas 15

2.1 Definições Básicas 15

2.2 Existência e Unicidade de Soluções 17

2.3 Desigualdades Integrais 20

3 Dicotomias para Equações Diferenciais Impulsivas 28

3.1 Definições e Propriedades 28

3.2 Redutibilidade 44

4 Crescimento Limitado e Dicotomias 50

4.1 Definições e Propriedades 50

4.2 Relações entre Crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 61

5 Dicotomias e Admissibilidade 70

5.1 Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 72

5.2 Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 79

5.2.1 Admissibilidade de Funções com Limite no Infinito 87

6 Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 93

/

Apêndice 1: Um Teorema do Tipo Ascoli-Arzelá 117

Referências Bibliográficas 120

ii

Introdução

O estudo das equações diferenciais impulsivas (EDIs) é muito importante pois elas modelam,

de forma mais realista, vários problemas que surgem naturalmente em diversas áreas das ciências

e tecnologia como, por exemplo, em teoria de controle, engenharia (robótica industrial), física

(mecânica), ciências médicas e biológicas (farmacocinética, dinâmica populacional), economia en-

tre muitas outras. As EDIs descrevem a evolução de sistemas onde o desenvolvimento contínuo de

um processo sofre variações de estado de curta duração que podem ser consideradas instantâneas.

Esse fenómeno é chamado impulso ou ação impulsiva e corresponde às descontinuidades de

primeira espécie das soluções.

No presente trabalho, consideramos o caso de EDIs com impulsos pré-estabelecidos, ou seja,

os impulsos são conhecidos de antemão, e apresentamos um estudo sobre dicotomias para estas

EDIs e suas implicações no comportamento das soluções. O texto base para este trabalho foi [1].

Aqui, além de discutirmos vários resultados, nós também modificamos algumas demonstrações e

incluímos outras. Também agregamos alguns resultados de artigos ao texto desta dissertação e

contribuímos com alguns resultados novos.

Organizamos os capítulos desta dissertação da forma seguinte. No Capítulo 1, apresentamos

algumas propriedades básicas sobre espaços de Banach que serão utilizadas no decorrer do texto.

A referência fundamental para este capítulo é [7]. Vamos omitir as demonstrações pois estas são

bem conhecidas e podem ser encontradas em [7].

No Capítulo 2, descrevemos uma EDI usual e definimos o que é uma solução para esta EDI.

1

2

Apresentamos teoremas sobre existência e unicidade de soluções e estabelecemos algumas pro-

priedades da matriz de Cauchy para EDIs. Damos condições para valerem certas desigualdades

integrais para funções contínuas por partes, que serão utilizadas posteriormente. As referências

principais para este capítulo são [1], [4] e [8].

No Capítulo 3, consideramos a EDI linear que será nosso objeto de estudo e apresentamos as

definições de dicotomia exponencial, dicotomia ordinária e dicotomia espectral bem como algumas

de suas propriedades. Além disso, definimos equivalência cinemática e apresentamos propriedades

fundamentais deste conceito para nossa EDI. Os resultados contidos aqui podem ser encontrados

em [1], [4] e [6],

No Capítulo 4, apresentamos vários resultados que relacionam crescimento limitado e ex-

istência de dicotomia exponencial para a EDI em questão. Primeiramente, damos condições necessárias

e suficientes para que a EDI tenha crescimento limitado. Depois, relacionamos a existência de di-

cotomia exponencial e crescimento limitado de tal EDI. As referências para este capítulo são [1],

[2] e [6].

No Capítulo 5, apresentamos condições para a equivalência entre a admissibilidade de certos

pares de funções para uma perturbação de nossa EDI perturbada e a existência de uma dicotomia

exponencial para a EDI original. Tais resultados podem ser encontrados em [1] e [9].

Finalizamos este trabalho com o Capítulo 6. Apresentamos um resultado já conhecido que diz

que se a EDI (3.1), (3.2) for quase-periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R+, então

ela terá uma dicotomia exponencial sobre R. Em seguida, apresentamos um resultado novo que nos

diz que se esta EDI tiver uma dicotomia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente

grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta.

Notação Básica

Apresentamos, aqui, algumas notações que aparecem ao longo deste trabalho.

• Z representa o conjunto dos números inteiros;

• Z+ representa o conjunto dos números inteiros não-negativos;

• N representa o conjunto dos números inteiros estritamente positivos;

• R representa o conjunto dos números reais;

• R + representa o conjunto dos números reais não—negativos;

• R_ representa o conjunto dos números reais não—positivos;

• C representa o conjunto dos números complexos;

• Re z representa a parte real do número complexo z\

• Im z representa a parte imaginária do número complexo z\

• Rn representa o espaço euclidiano N—dimensional, que denotamos por X\

• A representa o fecho de um conjunto A c i ;

• d A representa a fronteira de um conjunto A cl;

• B(x, e) = {y G X : p(y, x) < e}, onde p(x,y) denota a distância entrexe^;

• (jci,JC2) £ M representa o produto interno usual entre x\ e X2\

• Im / representa o conjunto imagem de uma função / ;

3

4

• Ker / representa o núcleo de uma função / .

Quando um conceito for introduzido pela primeira vez, as palavras que o definem estarão em

negrito.

Indicaremos o final de uma demonstração com o símbolo • .

Capítulo

1

Teoria Fundamental

1.1 Espaços de Banach

Nesta seção, enunciaremos algumas proposições gerais sobre a geometria de espaços de Ba-

nach. Este conteúdo será importante para o desenvolvimento das próximas seções. A referência

para este capítulo é [7], onde podem ser encontradas as provas para os resultados que apenas enun-

ciamos aqui.

1.1.1 Espaços Normados e Espaços de Banach

Diremos que um conjunto Jf é um espaço normado real (complexo) se

(i) Jf for um espaço vetorial linear sobre o corpo dos números reais (complexos), e

(ii) para cada vetor x 6 J f , existir um número não-negativo ||x||, denominado norma de x, com

as seguintes propriedades:

(a)

(b)

(c)

Espaços de Banach 6

A função p(x,y) = \\x — em um espaço normado Jz? 3 x,y, define uma métrica neste espaço.

Deste modo, (Jz?,p) é um espaço métrico.

Uma sequência {xn} C áf será uma sequência de Cauchy, se lim \\xn — xm|| = 0 . n , m — o

Um espaço normado será um espaço de Banach, se toda sequência de Cauchy em tiver

um ponto limite * e Jz? para o qual lim \\xn — xll = 0. Em outras palavras, um espaço de Banach n—

é completo na métrica p(x,y) = \\x — >>||.

Se outra norma | |x| 12 for dada em um espaço normado % , com norma | |x| 11, então toda sequência

convergente com respeito à norma ||x|| 1 convergirá com respeito à norma ||x|j2 se, e somente se, e-

xistir uma constante positiva c\ tal que ||x||2 < c\ ||x|| 1.

Duas normas ||x||i e ||x|]2 dadas em um espaço linear Jz? serão topologicamente equivalentes,

se a convergência em uma implicar a convergência na outra. Para isto é necessário e suficiente que

existam constantes positivas c\ e C2 tais que

c~2 < {{ j{2 < cj, x / 0. IWIi

Diremos que dois espaços de Banach são isomorfos, se existir uma aplicação linear contínua in-

jetora de um espaço sobre o outro. Esta aplicação será chamada de isomorfismo. Se o isomorfismo

preservar a norma, então ele será chamado de isomorfismo isométrico.

1.1.2 Operadores Lineares

Sejam , e espaços de Banach. Uma aplicação A\ Sê 1 —>• é um operador linear,

se A{ax + fíy) = ctAx + /3Ay para quaisquer números a , (5 e quaisquer jc, y E .

Um operador linear será contínuo, se ele for contínuo no ponto x = 0.

A continuidade é equivalente à propriedade de limitação de um operador A, isto é, à finitude da

quantidade

||A|| '.= sup í " t t t t " x ^ o l = s u p { | | A x | | 2 : x G ^ i , ||x||i = 1}. (1.1)


O conjunto dos operadores lineares limitados A : Sê\ —> Sê2 será denotado por \Sê\,Sè-2\. Este

conjunto é um espaço de Banach com norma (1.1) sob a definição natural das operações de soma

de operadores e de multiplicação de um operador por um número:

(A + B)x = Ax + Bx e (ocA)x — oc(Ax).

Sejam A : S§2 Sê^ e B : Sê\ —,• S$2 operadores lineares. A fórmula Cx = A(Bx), para x£S§\,

define um operador C \ Sê\ —> Sê^ que será chamado de produto dos operadores A e B, Neste caso,

escrevemos C = AB. Se os operadores A e B deste produto forem limitados, isto é, se A £ [£$2,

e B e \Sê\, £$2}, então o operador C será limitado, ou seja, C G \Sê\, Sê{\. Além disso, teremos

||C|| = ||A5|| < ||A||||£||.

Um operador B : Sê2 —> Sê\ será chamado de inverso do operador A : Sê\ —> Sê2, e escrevemos

B = A~l, se AB = I2 e BA = I\, onde 4 é o operador identidade em ou seja Ikx = x, para

qualquer x £ k = 1,2.

O conjunto de todos os operadores lineares limitados de um espaço de Banach Sê sobre ele

mesmo será denotado por [Sê], Assim \Sê\ := \Sê,Sê\.

Sob a operação de multiplicação definida acima (produto de operadores), [Sê] será um espaço

de Banach.

Por A" denotaremos a composição do operador A e [Sê] com ele mesmo n vezes.

Diremos que a função (•, •) : Sê x Sê — C define um produto interno, se forem satisfeitas as

seguintes propriedades:

(i) (x,y) = (y,x), para todo x,y E Sê;

(ii) (hx,y) = X(x,y), para quaisquer x,y GêleC;

(iii) (xi +x2,y) = (xuy) + {x2,y), para quaisquer xux2,y <E Sê\

(iv) (x,x) = 0 se, e somente se, x = 0.


Seja Sê um espaço de Banach com produto interno. Para que um operador linear A : Sê Sê seja

limitado, isto é, A £ [Sê], será necessário e suficiente que exista um operador linear A* : Sê Sê

tal que (Ax,y) = (x,A*y), para quaisquer x,y £ Sê. Deste modo, se A £ [Sê], então A* £ [Sê] e

(A*)* = A. O operador A* é chamado operador adjunto de A.

Um operador A £ [Sê] será um operador hermitiano se A = A*.

O teorema a seguir é conhecido como Teorema de Banach. Este teorema nos diz que se tivermos

um operador linear limitado injetor de Sê\ sobre Sê2, com Sê\ e S§2 espaços de Banach, então seu

inverso também será um operador linear limitado. Isto justifica a definição de espaços de Banach

isomorfos dada na seção anterior.

Teorema 1.1 (Banach) Suponhamos que o operador A £ [Sê\, Sêj\ seja uma aplicação injetora de

um espaço de Banach Sê\ sobre um espaço de Banach Sê2. Então A 1 £ [S§2,S$\], isto é, o inverso

de A também será um operador linear limitado.

Corolário 1.1 Suponhamos que, em um espaço linear Jzf, sejam dadas duas normas ||x||i e ||x||2

que fazem de ££ espaços de Banach que denotamos por Sê\ e Sê2 respectivamente. Suponhamos,

também, que ||x||2 < c\ ||x||i, para x 6 Sâ, onde c\ é uma constante positiva. Então existirá uma

constante positiva C2 tal que ||x||i < <211112 e< consequentemente, as normas ||x||i e \\x\\2 serão

topologicamente equivalentes.

Teorema 1.2 (Princípio da Limitação Uniforme) Suponhamos que U seja um conjunto de ope-

radores de [Sê 1, Sê2] tal que, para cada x £ Sê\, tenhamos

sup{||Ax|| : A £ U} < 00.

Então U será limitado.

Em particular, segue deste teorema que se uma sequência de operadores {A„}„eN C [Sê\,Sê2]

for tal que Anx converge, qualquer que seja x £ Sê\, então a igualdade Ax = lim Anx definirá um n—}<x>

operador linear contínuo A £ [Sê\, Sê?\.


Encerramos esta subseção com o Teorema da Aplicação Aberta e o Teorema do Gráfico fechado

que são essenciais neste trabalho.

Teorema 1.3 (Teorema da Aplicação Aberta) Suponhamos que A £ [Sê\, Sê^ seja sobrejetiva.

Então o operador A será aberto.

Teorema 1.4 (Teorema do Gráfico Fechado) Seja A £ [Sê\,Sê2] e suponhamos que seu gráfico

seja fechado. Então o operador A será contínuo.

1.1.3 Soma Direta de Subespaços e Projeções

Um espaço de Banach Sê poderá ser decomposto como soma direta dos subespaços Sê\ e Sê2 e,

neste caso, escreveremos

Sê = Sê\ © (1.2)

se cada elemento x £ Sê admitir uma única representação na forma

x = x ] + x 2 , (1.3)

ondexi £ Sê\ ex2 £ Sê2.

Cada um dos subespaços Sêk,k = 1,2, é dito complementar direto um do outro.

A decomposição (1.2) define dois operadores lineares Pk : Sê —> Sêk, 1,2, através das igual-

dades Pkx — xk, onde xj e X2 são as componentes de x na decomposição (1.3). Os operadores P\ e

P2 tem as seguintes propriedades:

Pl = Pk-, Pi+P2=E PiP2 = P2Pi=0', k= 1,2. (1.4)

Tais operadores também são contínuos, isto é, Pk £ \Sê\ k= 1,2. Para provarmos este fato, seja

I M I l = | | * 1 I I + I I ( = + 1 1 ^ 2 * 1 1 ) ,

para qualquer x £ Sê. Comox = x\ +X2, temos ||x|| < |jjcj || + ||x2|| = ||x||i. Não é difícil de ver que


o fato dos espaços 38 \ e 382 serem completos implica que o espaço 38 é completo na norma ||x||i.

Desta forma, o Corolário 1.1 implica a existência de uma constante c > 0 tal que ||x||i < c||x||,

donde \\Pkx\\ < c||x||, isto é, P,\ £ [38], k = 1,2.

Um operador P £ [38] é chamado de projeção, se P2 = P. Se um operador Pi for uma projeção,

então o operador P2 = I — P\ também será uma projeção e todas as relações de (1.4) serão satisfeitas.

Os operadores Pi e P2 são chamados projeções mutuamente complementares.

Como podemos notar, toda decomposição direta (decomposição em soma direta) de dois su-

bespaços define um par de projeções mutuamente complementares. Reciprocamente, todo par

de projeções mutuamente complementares define uma decomposição direta como em (1.2), onde

38x = P\38e382 = Pl38.

Uma definição análoga existe para a decomposição de um espaço de Banach numa soma direta

38 — 38 \ © • • • © 38n de subespaços, e podemos mostrar que toda decomposição direta define e é

definida pela decomposição da identidade em soma de projeções I — Pi +... + Pn, as quais são duas

a duas disjuntas, ou seja,

Notemos, também, que ||P|| < ||P||2, ou seja, ||P|| > 1 para qualquer projeção P. Isto ocorre tendo

em vista que P2 = P.

1.1.4 Complexificação de um Espaço de Banach

PjPk = PkPj = SjkPk

onde ôjk é o símbolo de Kronecker, isto é,

Definimos a complexificação do espaço de Banach 38, a qual denotaremos por 3ê como um

espaço de Banach complexo isomorfo ao espaço 38 x 38. O espaço 38 consiste, por definição,

de todos os pares (x\,x2) de elementos de 38 com comportamento algébrico definido pela forma

Funções de Operadores Lineares Limitados 11

simbólica (jq ,x2) = x\ + ix2 e com norma

1*1 + '*2| = Y |* l | 2 + 1*2 P'

Como podemos verificar, é um espaço de Banach complexo.

1.2 Operadores Lineares Limitados

1.2.1 Espectro e Resolvente

Seja Sê um espaço de Banach complexo.

Um ponto X do plano complexo será chamado de ponto regular de um operador A £ se

[Sê] contiver o operador

Rx = {A-Xl)-\

que será chamado resolvente de A em A.

O conjunto p(A) de todos os pontos regulares de um operador A é aberto. O complementar de

p(A) em C será chamado espectro de A. O espectro de A, que denotaremos por c(A), será sempre

não-vazio, fechado e estará no disco |A| < ||A||.

Teorema 1.5 (Teorema do Raio Espectral) Seja A £ Então o espectro o (A) está contido no

disco de centro na origem e raio

rA = lim HA"]!'7".

Observemos que a existência do limite acima segue da relação ||Am+"|| < ||A'"|| ||A"||. CXD

Demonstração: Notemos que, quando |A| > r^, a série converge absolutamente k=0

na métrica de \â§\. A série de normas correspondente é majorada pela progressão geométrica

{(rA para qualquer e > 0 e para k £ N suficientemente grande. Multiplicando-se


esta série por XI — A, obtemos I. Assim, quando |A | > RA, O resolvente sempre existirá e teremos

o o

k=o

Podemos verificar que o círculo |A| — r^ sempre contém um ponto do espectro c(A). Portanto o

limite lim ||A"|| será chamado de raio espectral de A. •

O resolvente Rx é uma função analítica de X em uma vizinhança de cada ponto regular [i e

p(A). A expansão absolutamente convergente

0 0

0

é válida para \X - fi\ < 1 /\\R^\\.

Terminamos esta seção com a seguinte regra especial, notável por sua simplicidade:

Se A £ [Sê] for tal que ||A|| < 1 (ou mais geralmente r^ < \), então o operador I — A

será invertível e valerá 0 0

1.2.2 A Integral de Riesz

Sejam Sê um espaço de Banach arbitrário e A e [Sê], isto é, A é um operador linear limitado

agindo sobre Sê. Suponhamos que o espectro cr(A) de A seja desconexo. Um subconjunto fechado

de cr(A) cujo complementar em o*(A) também é fechado será chamado de conjunto espectral.

Assumiremos que

a(A) = ur=1cx,(A)

onde crÂ), k = 1 , 2 s ã o conjuntos espectrais disjuntos. Considerando tal situação, as-

sumiremos que a fronteira T^, onde T^ é um contorno qualquer que cerque o espectro cr(A), con-

siste de partes disjuntas k — 1,2,. . . ,/n, tais que cada limita o conjunto Gk D CTj A), sendo

que Gk é qualquer conjunto que contém o^(A) e não contém nenhum elemento de Oi(A), para i k.


<^(A)

Seja

' 1, A e G * ,

O, A e G j ,

As funções <j>k(A) pertencem à classe de todas as funções a valores complexos 0(A) (A-complexo)

analíticas por partes no espectro <j(A). Portanto os operadores seguintes são bem definidos

= hw = um^dx = R^dÁ,, k = 1 , 2 , m . (1.5)

O lado direito da igualdade

é chamado de integral de Riesz.

Para A e G = Uk=] Gk, temos

Portanto temos

<t>k(X)<l>j(k) = 8kj<\*k(X)

k=\

PkPj = 0,

m

/t=i

(1.6)

Assim, os operadores formam uma decomposição da identidade em uma soma de projeções duas

a duas disjuntas. De (1.5) deduzimos que Pk comuta com A, isto é,

PkA=APk, k = 1,2,... ,m. (1.7)

A partir de agora, denotaremos por Pk a projeção espectral correspondente a <Jk(A) como

acima.

Sejam um subespaço de Sê e Sê — 3è\ © Sê2. Diremos que Sê\ é invariante sob um operador


A 6 [Sê], se ASê\ C Sêi. Então Sê\ será invariante com respeito a A se, e somente se,

PAP = AP

onde P : Sê —» Sê\ é uma projeção qualquer.

De (1.7) segue que todo subespaço Sê^ = P^Sê é invariante com respeito a A. Também temos

que o espectro o(A\ggk) da restrição do operador A ao subespaço Sêk coincide com o espectro do

conjunto cfy(A) e o espaço Sê pode ser decomposto como soma direta

Capítulo

2

Equações Diferenciais Impulsivas

Iniciamos este capítulo definindo o que vem a ser uma equação diferencial impulsiva (EDI)

e sua solução. Em seguida, enunciamos teoremas de existência e unicidade de soluções e es-

tabelecemos algumas propriedades da matriz de Cauchy de certa EDI linear homogénea. Além

disso, apresentamos condições para termos certas desigualdades integrais para funções contínuas

por partes.

2.1 Definições Básicas

Seja X = um espaço vetorial 7V-dimensional e seja 7 : X —> X a aplicação identidade sobre

X. Denotaremos por L(X) o espaço de todas as matrizes N xN com entradas em X.

Seja { í „ } c l = ( — u m a sequência com índices em Z ou N. Assumiremos que tn < tn+\,

para todo « Ç Z . Além disso, para {/n}„eN> assumiremos que quando n —> <*> e, para {tn}nez>

assumiremos que tn ±<*> quando n —>• Denotaremos por J um intervalo qualquer de R.

Definição 2.1 Um sistema da forma

dx — =f(t,x), t^tn, (2.1)

x(t+)=x{tn) +In(x(tn)) := Qn(x(t„)),

15

(2.2)

Notações 16

onde

• f : J x X —y X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie

em t = t„, contínua à esquerda em t = tn, n £ Z;

• In : X ^ X é uma função contínua, para todo n £ Z tal que tn £ J.

é dito ser uma equação diferencial impulsiva (escrevemos abreviadamente EDI)

O processo simulado pela EDI (2.1), (2.2) evolui do modo como descrevemos a seguir.

A aplicação P(t) = (t,x(t)), que aplica a trajetória dex(r) com ponto inicial (ío,*o), move-se ao

longo da curva {(?,*) : t > ÍQ,X = jc(í)} determinada pela solução da equação diferencial ordinária

(escrevemos abreviadamente EDO):

com valor inicial x(to) — XQ, com t £ [íoî]- O movimento ao longo desta curva vai até o instante

11 > ÍQ no qual a aplicação P(t) encontra o hiperplano t = t\. Neste instante, acontece um salto do

ponto (íi,x(íi)) para o ponto (t\,x(tf)) através da ação da função de impulso I\. Em seguida, para

t £ (h,h), a aplicação P(t) move-se ao longo da curva {(/,*) : t > t\,x = x(t)} onde, agora, x(t) é

a solução da equação diferencial ordinária (2.3) com t £ [t\,t2\ e valor inicial x(t^). No momento

t = t2, ocorre uma nova transição por salto realizada do ponto (t2,x(t2)) ao ponto (^-xf/^)) Peâ

função de impulso h e assim por diante.

Definição 2.2 Uma solução da EDI (2.1), (2.2) é qualquer função contínua por partes, x: J X,

com descontinuidade de primeira espécie em t = tn, contínua à esquerda em t = tn e tal que as

equações (2.1) e (2.2) estejam satisfeitas.

Denotaremos por x(f,to,xo) = x(t) a solução da EDI (2.1), (2.2) para a qual x(to) — xo e por

(respectivamente Í2_) o intervalo maximal no qual esta solução é contínua à direita (respecti-

vamente à esquerda) do instante ÍQ. Veremos, na próxima seção, que um tal intervalo existe.

Se x(t) — x(f,to,xo) for uma solução da EDI (2.1), (2.2) com condição inicial x(to) = XQ, então

(2.3)

Existência e Unicidade de Soluções 17

a seguinte representação será válida

í f(s,x(s))ds + T I„(x(tn)), t e n + , Jín

x(t) = < X0- __

x 0 + / f(s,x(s))ds - £ /„(*(?„)), í e f í --7'0 í<ín<ío

2.2 Existência e Unicidade de Soluções

O problema de existência e unicidade da solução da EDÍ (2.1), (2.2) pode ser reduzido ao

problema de existência e unicidade da EDO (2.1) correspondente, considerando-se cada intervalo

[ t n - i , t n } , n G Z .

Teorema 2.1 [[1], Teorema 2.1] O problema de valor inicial para a EDI (2.1), (2.2) com valor

inicial lem solução única à direita de íq se, e somente se, a EDO (2.3) tiver solução única

para to ^ tn e xç, G X ou se tç, = tn e xo = x(t„), para algum n G Z. O problema de valor inicial

para a EDI (2.1), (2.2) com valor inicial (ÍQ,XQ) tem solução única à esquerda de to se, e somente

se, existirem funções , n G Z, e a equação diferencial ordinária (2.3) tiver solução única para

to G R e x0 G X.

Consideremos a EDI linear homogénea

dx — =A{t)x, t^tn, (2.4)

x(t + ) = x(tn) +In(x(tn)) := Qn(x(tn)), ( 2 - 5 )

onde

• A : J —> X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em

t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n G Z;

• /„ : X —>• X é uma função contínua, para todo n G Z tal que tn G /.


O teorema a seguir é uma consequência imediata do Teorema de Existência e Unicidade para

EDOs aplicado a cada intervalo [tn,tn+1], para n G Z.

Teorema 2.2 [[1], Teorema 2.2] Dado qualquer ponto (ío,xq) G J x X, a EDI (2.4), (2.5) admite

uma solução única x(t) definida para todo t >tQ e tal que X(ÍQ) = XQ.

Definição 2.3 Uma função a valores matriciais U (Í, T) que associa a cada elemento xr G X, t < t,

uma única solução determinada pelo problema de valor inicial (2.4), (2.5), X(T) = xT, isto é,

é uma matriz ou operador de Cauchy da EDI (2.4), (2.5). Em particular, quando x = to, temos

xr — XQ e, neste caso, escrevemos U(t) em lugar de U(t,to) e dizemos que U{t) é a matriz ou

operador fundamental da EDI (2.4), (2.5) com x(to) — XQ.

Supondo que as matrizes Qn, em (2.5) sejam não-singulares, isto é, det<2„ ^ 0, n G Z, podemos

ver que os operadores U(t) e U(t, t ) satisfazem

U{t,x)xx =x{t)

U(t)=X(t,tn)QnX(tn, tn^,)Qn_i... QiX{h, t0)

e

/ s,t G [tk-i,tk}, Xk(t,s),

Xk+1 {t,h)QkXk{tk,s), tk-1 < s < tk < t < tk+i

U(t,s)={ Xk+i(t,h)Qk

lXk(tk,s), 1 <t <tk<s< tk+l,

Xk+iitÛlQjXjitjSj^QiX^s) ti-\ < s <ti <tk<t < tk+i .i=k

Xi(t,ti) H[Qj]Xj(tj,tj-i)]Qk lXk+] (tk)s), ti-1 <t <ti<tk<s< tk+1,

onde Xk(t, r) é a matriz de Cauchy da equação diferencial ordinária

d* . / \ — = A(t)x dt


restrita ao intervalo [tkJk+1]. c o m condição inicial x(t£), para k G Z.

Notemos que

U(t,t) = I,

U(t,s) = U(t,t)U(T,s), r<s<t,

jU{t,x)=A{t)U{t,x), x <t,t<£{tn},

T) = T ) A ( T ) , T < t, t i {tn},

U(t+,x) = QnU{tn, r),

U(t,t+) = U(t,tn)Q~l, tn < t.

Agora, vamos considerar a EDI linear não-homogênea

dx

(2.6)

dt A{t)x + f(t,x), t^tn, (2.7)

x{t+) = x(tn) + In(x(tn)) + hn(x) = Qn(x(tn)) + hn(x), (2.8)

onde

• A : J —> X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em

t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n e Z;

• f : J xX X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie

em t = tn, contínua à esquerda em t = tn,n£ Z;

• In : X —> X é uma função contínua, para todo n G Z tal que tn G J.

O lema a seguir é conhecido como Fórmula da Variação das Constantes para EDIs e [1] o

apresenta separadamente em dois lemas. Este resultado apresenta a solução da EDI não-homogênea

(2.7), (2.8) utilizando o operador de Cauchy da EDI homogénea associada a ela, isto é, a EDI (2.1),

(2.2).

Lema 2.1 (Fórmula da Variação das Constantes para EDIs) [[1], Lemas 2.2 e 2.3] Considere-

mos a EDI (2.7), (2.8) e suponhamos que a função f(t,x) seja localmente lipschitziana em x Seja

Desigualdade Integrais 20

x(t) = x(f;?o,xo) uma solução da EDI não-homogênea (2.7), (2.8). Então

x{t) = U(t,t+)x0+ f U{t,s)f(s,x(s))ds + £ U(t,t+)hn(x(tn)), te£l+. (2.9) Jto t0<tn<t

Se, além disso, as matrizes Qn forem invertíveis para todo n G Z, então

x{t) = U(t,t+)x0+ f U(t,s)f(s,x(s))ds- £ U{t,t+)hn(x(tn)), te Si-, (2.10) t<í„<i 0

onde U(t, T) é a matriz de Cauchy da EDI homogénea (2.4), (2.5) correspondente a (2.7), (2.8).

2.3 Desigualdades Integrais

Nesta seção, provamos algumas desigualdades integrais que serão usadas no decorrer do texto.

Lema 2.2 //27, Teorema 1.4.1] Suponhamos que (p : [fo, +°°) K seja uma função não-negativa,

contínua por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos tn £ [/q, n G N.

Sejam p, v : [íq, —> R funções contínuas não-negativas e suponhamos que Pn>QeYn sejam

constantes para cada h G N . Suponhamos, ainda, que

(p'(t)< v(f)ç>(/)+íi(0 (2.11)

e que

Então )%+ lQ<t„<t l0 «/.<' \t„<ti<t ) (2.13)

+ / 1 n ''o \T <ti<t t > í0-


Seja t e M ] . Então, de (2.11), temos

d dt

(p(t)e J'o V(.vkv / - í! v(s)ds

que integrando de íq a t, to < t < t\, implica em

(p(t) < (p(to)eJ'ov{s)dx + f p{x)e^dsdx. J to

(2.14)

Portanto (2.13) é verdadeira para t e [to,t\}.

Agora, suponhamos que (2.13) seja válida para t e [to,tn] para algum inteiro positivo n > 1.

Então, parar e [to,tn+\], segue de (2.11) e (2.14) que

e, usando (2.12), obtemos

9 ( 0 < (I%cp(tn) + yn)elv^dx+ [ p{x)e^dsdx. (2.15)

Pela hipótese de indução, (2.15) implica que

<p(t) < P„eÚvW* m n pkeL°v(s)ds+ i ( n a 'o<tk<tn to<lk<tn \tk<H<tn

//" v(s)ds , eJ,k w | yk

/ ( E l fre&ÂnWdT +ynelvWs+ f p{x)e^dsdx.

Portanto

(p{t) < cp(to) n Pnej>ov{r)dx + £ ( n PielLv{T)dT) 7n+ t0<l„<t t0<tu<t V„«,<' /

r< ( n faÂ p(x)dx, Jlo \r<ti<t

para te [to, tn+1]. Isto completa a prova.

Lema 2.3 [[ 1 ], Lema 3.1] Suponhamos que (p : [/o, °°) —> R seja uma função não-negativa, contínua

por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos ti, para todo i e N. Seja


v : [ío,°°) K uma função contínua não-negativa e sejam c > O e fy > O, i G N, constantes.

Suponhamos, ainda, que

<p{t)<c+ £ Pi<p(ti)+[ (p(T)v(x)dx, t0> 0. t0<li<í •''o

Então

ç(t)<c (1 + pi)ef'ov{r)d\ ÍQ<ti<l

Demonstração: Consideremos y/ : [ÍQ, —> M. dada por

V(t) = c+ £ PM*) + í (p(T)v(T)dr. to<ti<t

Logo, para t > to, temos

\j/(t) = v(t)(p(t), t^tn,

ljf(t0) = C,

V(tf)<(l+Pn)<P(tn).

Como (p(t) < \ff(t), dado t G temos

i / ( r ) < v ( f )v (0 , t^tn.

Além disso,

W(to) = c

e

Y(t+)<(\+Pn)Y(tn), neN.

Deste modo, podemos aplicar o Lema 2.2 para obtermos

¥ ( t ) < c n ( i + A > i i ° v ( T ) d T , *>*<> '0<li<t

e, portanto, o resultado está provado.


Denotemos por i(a,b) o número de pontos da sequência {tn}nez contidos no interior de certo

intervalo [a,b] c R e , por j(t) = i(to,t). Deste modo, j(t) = n, se tn < t < tn+\, n G 1.

O próximo lema é um caso particular do Lema 2.3.

Lema 2.4 [[1 ], Lema 3.2] Suponhamos que (p : [ío, —> K seja uma função não-negativa, contínua

por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos ti, para todo i G N, e que

Lema 2.5 [[1 ], Lema 3.3] Suponhamos que (p : [ío?00) —tM.seja uma função não-negativa, contínua

por partes com descontinuidade de primeira espécie nos pontos ti, para todo i G N tal que, para

t > to, tenhamos

(2.16)

onde a, P>0ej>0 são constantes. Então

<P(t) < a ( l + /3yM e r t ' - t o ) ,

(2.17)

onde A, J S > 0 E Y > 0 são constantes. Então

Demonstração: Note que (2.17) pode ser reescrita do seguinte modo

7

Assim, a função <p(f) H— satisfaz as condições do Lema 2.4. Portanto,

e a demonstração está completa.


Consideremos, agora, a EDI linear não-homogênea

dx = A{t)x + f{t), t^tn, (2.18)

dt

x(t+)=x(tn)+In(x(tn))+hn = Qn(x(tn)) +hn. (2.19)

onde

• A : K + —> L(X) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie

em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, a é N ;

• / : R+ —> X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em

t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n £ N;

• In : X —> X é uma função contínua, para qualquer n G N;

• h„ G X, para qualquer n G N.

O próximo lema nos dá uma estimativa para a solução da EDI (2.18), (2.19).

Lema 2.6 [[1], Lema 3.5] Consideremos a EDI não-homogênea (2.18), (2.19) e seja J cR um

intervalo de comprimento l. Então, para qualquer solução x{t) de (2.18), (2.19), teremos

\x(t)\< ( W o ) | + L\f(u)\du+ £ \hk\\ + ||/„||) (2.20) V tka J í„ef

jc(í)| < ( r 1 [_\x(u)\du+ [\f(u)\du+T\hk\ I ^ ^ T K ^ I I 7 " ! ! ) - (2-21)

V J j Jl tka J t„ef

Demonstração: Pelas fórmulas (2.9) e (2.10) parax(í), temos

x(t) = <

XQ+ í f(u)du+ í A(u)x(u)du+ £ hn+ £ Inx{tn), t > t0, J'0 'o tQ<ln<t ÍQ<t„<t

xq + í f(u)du+ í A(u)x(u)du- £ hn- £ Inx(tn), t < t0. J'0 J'0 t<tn<tQ t<tn<to


Então

\x(t) \ < |xo | + / \f(u)\du + / |\A{u) |\x(u)\du JtQ JtQ " £ \hn\ + £ \\In\Mtn)\,

tneQ. t„e fi

onde

Q (tQ,t), t>to,

(Mo), t<t0.

Então

K O I < \*o\+ f \f(»)\du + \\A{u)\\\x(u)\du + L 1^1+ £ 1141114^)1-t„ef t„eJ

(2.22)

Daí, pelo Lema 2.3, segue a desigualdade (2.20).

Provemos, agora, a desigualdade (2.21). Para isto, integramos a desigualdade (2.22) sobre i e

obtemos

m<eh\\A{u)\\du J-](l + ||/n||) ( í\x{u)\du + l flfWldu + l^lhnl) .

t„el V J J t„ef ) (2.23)

A estimativa (2.21) segue de (2.23).

Observação 2.1 Em particular, se x(t) for uma solução da EDI homogénea (2.4), (2.5) e ÍQ, t G J,

então teremos as seguintes estimativas para \x{t) \:

W0l< W ^ I ^ ^ T K ^ I I 7 » ! ! ) t„eJ

(01 < y e^ A { u ) l l d u n ( J + II7'

Para isto, hasta aplicarmos o Lema 2.6 com f — 0 e hn = 0, n G N.

O próximo lema é a Desigualdade de Gronwall Generalizada que será utilizada no último

capítulo desta dissertação.


Lema 2.7 (Desigualdade de Gronwall Generalizada) [[5], Lema 6.2] Suponhamos que a, j3, <j>:

[a,b] —> R sejam funções contínuas, com fi(t) > 0, para todo t £ [a,b], tais que

(j>(t) < a(t)+ I /3(s)(j)(s)ds, t e [a,b\. J a

Então

<K0 < a(0+ f P(s)a{s)e^li{u)duds} t e [a,b). Ja

Demonstração: Definamos

V(t)= r [3 (s)íj>(s)ds, x e[a,b}. Ja

Dado % € [fl,&], temos

dVp- = /3( t )0( t) < j8(T)a(T) + V(T)0(T), dx

daí

^ - V ( t ) / 5 ( T ) < / 5 ( T ) O ( T ) .

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por ^(v)rfv s e g U e q U e

e-i;ms)dsWW _ v(T)j3(t)e-fjf}(s)ds < pwaWe-XPM', dx

donde

d TV /

Integrando de a a f temos

V { t ) e - í ' ' P { s ) d s < f fi(T)a(z)e-s«^x)dsdT. Ja

Portanto, para ? € temos

V(í)< f j5{x)a{x)e^P^dsdx. Ja


Como <j)(t) < a ( t ) + V ( t ) , segue, para t £ [a,b], que

0 (0 < « ( r ) + f p{s)a{s)eti^duds. Ja

Portanto, a Desigualdade de Gronwall Generalizada está demonstrada.

Capítulo

3

Dicotomias para Equações Diferenciais

Impulsivas

Neste capítulo, apresentamos as definições de vários tipos de dicotomia para certa EDI lin-

ear homogénea. Definimos expoente geral superior e inferior e apresentamos uma relação entre

estes expoentes e a existência de uma dicotomia espectral. Finalmente, definimos equivalência

cinemática e apresentamos propriedades fundamentais deste conceito para EDIs.

3.1 Definições e Propriedades

Seja / c l um intervalo qualquer. Consideremos a EDI linear homogénea

dx -^=A(t)x, t£tn, ( 3 .1 )

X{t+) =x{tn) +In(x(tn)) = Qn{x{tn)), ( 3 . 2 )

onde

• A : J c R —> L(X) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie

em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, para qualquer n e Z tal que tn e J;

28

Definições e Propriedades 29

• /„ : X -» X é um operador contínuo, para qualquer n £ Z tal que tn £ 7.

Definimos Q(t) pela fórmula

<2(0= E Q n S ( t - t n ) , i„e.f

com 8(t) sendo a função característica do conjunto {0}. Esta função Q será importante ao tratarmos

de funções quase periódicas.

Vamos introduzir alguns conceitos essenciais para a obtenção dos resultados deste capítulo.

Definição 3.1 Seja X um espaço de Banach e sejam X\ e X2 subespaços de X com X = X\ ®X2.

Introduzimos a seguinte caracterização de suas inclinações mútuas:

Sn{Xx,X2) = inf{|x, + x 2 | £ X„ = 1, i= 1,2}. (3.3)

Definição 3.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que det<2« 0, para qualquer n £ Z

tal que tn £ J. Diremos que (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial, se o espaço X = puder

ser decomposto em uma soma direta de dois subespaços X\ e X2, isto é, X = X\ GjXo, e as seguintes

condições forem satisfeitas:

(i) para s,t £ com s <t,

\ x x { t ) \ < N x e - v ^ \ x { { s ) l (3.4)

onde x\ (t) = U (t, to)xl0 £ X\ e N\, Vi > 0;

(ii) para s, t £ J, com s > t,

\x2(t)\<N2e-v^\x2{s)\, (3.5)

onde x2(t) = U(t, íq)xq £ X2 e N2, v2 > 0;

(iii) para qualquer t £ J,

Sn(U(t)XuU{t)X2)>y> 0, (3.6)

onde íq £ J éfixo, U(t, s) é a matriz de Cauchy de (3.1), (3.2) e U(t) — U(t, 0).


Definição 3.3 Temos as seguintes definições:

(i) Chamamos de expoente geral superior de uma solução x(t) da EDI (3.1) , (3 .2) o seguinte

número

inf{a e R : 3Na > 0 tal que \x(t)\ < Naea{l~s^\x(s)\, Ws < t, s,t € •/},

que será denotado por g ( x ( t ) ) .

(ii) Chamamos de expoente geral superior das soluções da EDI (3 .1) , (3.2) , iniciando no subes-

paço X\ c X no momento íq E J, o seguinte número

inf{a G R : 3Na > 0 tal que |x(/)| < Naea^1^ |x(s)

para x(t) = U(t,to)x]Q,\/xQ G Xi,Va' < t, s,t G J},

que denotaremos por g(X]).

(iii) Chamamos de expoente geral inferior de uma solução x(t) da EDI (3 .1) , (3 .2) o seguinte

' número

sup{a G K : 3N a > 0 tal que |x(í)| > W a ^ ' - ' ^ 1*001, Vj > t, s,t G J},

que será denotado por g'(x(t)).

(iv) Chamamos de expoente geral inferior das soluções da EDI (3 .1) , (3.2) , iniciando no subes-

paço X\ C X no momento íq G J, O seguinte número

s u p j a G R : 3Na > 0 tal que |*(r)| > Naea('-^\x(s)\,

para x(t) = U(t,to)x]0,\/xQ G X\, \/s > t, s,t G /}.

Denotaremos este número por

Observação 3.1 Podemos notar que as desigualdades (3.4), (3 .5 ) da Definição 3.2 são equiva-


lentes, respectivamente, às seguintes desigualdades

g(x 0 < 0 g g ' ( x 2 ) < 0 .

Lema 3.1 Suponhamos que U seja a matriz fundamental da EDI (3.1), (3.2) e que det Qn ^ O, para

qualquer n £ Z tal que tn G J. Então, para quaisquer s,t € [tj,^] C J, teremos

\\U(tis)\\<Ml/'Jm")¥u,

ondeM] = (k-j)max{\\Qi\\,\\Q;l\\-,i = j+\,2,...,k}.

Demonstração: Sejam s,t e [tj,tk\. Se s <t, então existem inteiros l e m, com j < l < m < k, tais

que

ti<s<ti+1 e tm<t<tm+i.

Então

t/(í ,s) = í / ( í , í m )e m í / ( í m , í , w _i) . . . t / ( í / + 2, í / + i )ô / + i t / ( í /+i , j )

e, portanto,

l l t f M I I =\M*

l). . .C/(f / +2,í/+l)Gz+lí/(í/+i )s)| | <

< ||í/(í, ÍOT) || ||ô/n|| n— 1) II • • • H+\) || | |ô/+l || 11^(^+1 ; 0 I! n Ha l l ) | |[/(í,ím)| | | |[/(íw,ím_i)||... | |t/(ti+2,ti+i)\W\U{ti+\,s)W =

n WQiW ) e-//'" ÍI^C")!^"^^"... M")\\*»ef!i+l =

<tl+\<ti<tm J

n i i a i i V - 1 1 ^ * . ^/+l<'í<'m J

Por outro lado, se s>t, então existem inteiros l e m, com j < m < l < k, tais que

ti<s<t!+1 e tm<t<tm+,.

Então U(t,s) = U{t,tm+i)Q-llU(tm+i,tm+2)...U{ti_hti)Q-fíU(ti,s)


e, portanto,

\U(t,s)\\ = \\U{t,tm+l)Q~í+lU(tm+utm+2)...U(tl_htl)QÛ(tl,s)\\ <

Logo,

\U{t,s)\\ = ( n \\Q;1\\) | |£/(í ,^+1)1111^+1,^+2)11.•• | | í / ( íz-i , í /) | | | |C/(í / ,01 \hn+\<ti<tl

n llô«rl II ) eI'"+1 mu)¥u eJ'^mu)lldu . Mê^wmwdu Ktm+\<ti<ti )

n i i e r 1 ! ! ) 'm+l <ti<tl )

Donde segue o resultado.

Definição 3.4 Diremos que uma função A : J -> L(X) é integralmente limitada, se existir M > 0

tal que rt+1

J| \\A(T)\\dT<M, teJ. (3.7)

O próximo lema, cuja versão para EDOs pode ser encontrado em [4], Lema 3.1, diz que se

a função A em (3.1) for integralmente limitada, então a condição (iii) da Definição 3.2 pode ser

omitida.

Lema 3.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que det<2„ ^ 0, para qualquer n e Z tal

que tn 6 J. Se a função A(t) for integralmente limitada, então o item (iii) da Definição 3.2 será

uma consequência dos itens (i) e (ii) da mesma definição.

Demonstração: Pelo Lema 3.1, a estimativa (3.7) implica que

\\U(t + m,t)\\ <MxemM,

para todo m e Z tal que t + meJ, onde M\ = \j - max {\\Qk\\,\\Qkl = 1 ,2 , . . . , ; } , com

te {ti,tl+l} et + me (tj,tj+1].


Consideremos a decomposição X = X\ ®X2 da Definição 3.2. Para cada t e J fixado, consider-

emos os vetores x^t) 6 Xk, k= 1,2, tais que

xk(x) = U(r,t)xk(t), xeJ,

De (3.4) e (3.5), obtemos as estimativas

|xi(í + m)| <N\e~Vxm\x\{t)\

e

\x2{t + m)\>Nê^m\x2{t)\.

Daí,

\xi(t) +x2(t)\ = \\U(t,t + m)U(t + m,t)xi(t) + U(t,t + m)U(t + m,t)x2(t)\\ >

> M\e~mM\ \U(t -f m,t)x\ (t) + U(t + m, t)x2(t)\\ >

> M\e~mM(\\x2(t + m)\\ - ||xi (t + m)\\) >

> Mi e-'nM(N2 1 éV2tn \x2(t) | - Ni e~^'m |xi (t) |).

e, como |xi (t) \ = 1 = \x2 (t) |, segue que

\xi(t)+x2(t)\>M1e"nM(N2lev'm-Nie-vn = Ym

donde, por (3.3), temos

Sn(U(t)XhU(t)X2) > Ym, para todo me N.

Daí, como ym > 0, para m suficientemente grande, o resultado segue.

Lema 3.3 [[4], Lema 1.1] Suponhamos que o espaço X seja decomposto como soma direta dos

subespaços X\ e X2, isto é, X = X\ © X2, e sejam Pi e P2 = I — Px suas projeções correspondentes.

Então


Demonstração: Escolhamos ô > Sn(X \,X2) arbitrário. Então existem vetores unitários x^ G X^,

k— 1,2, tais que

\x\ + x2\ < Ô.

Seja x = x\ + x2. Então, para k = 1,2, temos x^ = P^x e

Assim 1

<8, k — 1,2.

Como 5 > Sn(X1 ,X2) é arbitrário, podemos tomar a sequência {5m}m g N , com ôm = Sn(Xi,X2)

para m e N. Deste modo,

T-^-j- < ôm, k = 1,2, 11 "k 11

e, fazendo m —> temos

<Sn(XuX2), k— 1,2, m G N.

Por outro lado, dado x e l arbitrário, temos

Sn(XuX2) < P i * P 2 * < P i *

|P ,x |

|P2X|

\P2x\ <

1

\Pix\ \P\x + P2x\

\P2x\ P2X < 2

X \P,x\

Portanto

Analogamente, temos

Sn(XuX2)< i n f ^ 2 - ^ : x G X , |x| mw

X Sn(XuX2)< M{2-^-:xeX, |*| = m e a prova está completa.

Observação 3.2 Suponhamos que P\ e P2 sejam projeções mutuamente complementares sobre os


espaços X\ e X2, respectivamente como no enunciado do Lema 3.3. Então

Pk = U(t)PkU~l{t), t £ j , k = 1,2.

Observação 3.3 Segue do Lema 3.3 que a condição (iii) na Definição 3.2 é equivalente à limitação

uniforme das projeções P\ e P2 = (/ — P\), isto é, existe M tal que

\\Pk\\<M, k= 1,2.

O próximo lema nos dá condições necessárias e suficientes para que (3.1), (3.2) admita uma

dicotomia exponencial. É importante ressaltar que, nos artigos que estudamos, a definição de

dicotomia é dada pela condição suficiente deste lema. Por outro lado, em [1], os autores usam

a definição com a qual trabalhamos aqui sem, contudo, demonstrar o lema seguinte.

Lema 3.4 [[1], Lema 5.1] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que detQ„ ^ 0, para

qualquer n G Z tal que tn G J. Então (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial se, e somente se,

existirem constantes positivas K, a e uma projeção P : X —> X tais que

\\U(t)PU~l(s)\\<Ke-a{'-s\ s<f, s.teJ (3.8)

e

\\U(t)(I-P)U~](s)\\ <Ke~a{x-'\ s>t\ s,teJ. (3.9)

Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial com decom-

posição X = X\ © X2.

Seja P a projeção de X sobre X\. Então, para s < t com s, t G / , temos, por (3.4), que

\U{t)PU-]{s)x\ = |£/(0*òl < N\e^í^\U(s)x]0\= Nie-v^'-^\U(s)PU-l(s)x\ =


donde

llí/ÍOPÍ/"1^)!! <AWie~ V l ( í _ ' ç ) . (3.10)

Analogamente, tomando a projeção I-P, para 5 > t com s,t e / , (3.5) implica

|U(t)(/ - P)U-1 (s)x| = \U(t)4\ < N2e-v^-')\U(s)x20\ =

= N2e~v^^\U(s)(I - P)U~l (s)x\ = N2e~v^s^\{I - P)x\ <

< N2e~v^-^\\I-P\\\x\ < N2M2e~v^'-^ \x\

e, portanto,

\\U(t)(I-P)U~l(s)\\<N2M2e-V2{s-'l (3.11)

Finalmente, fazendo a = min{vi, V2} e K — msLx{N\M\,N2M2}, segue de (3.10) e (3.11) que

|| U(t)PU-l(s)\\<Ke-a^

e

| | t / ( r ) ( / -P) í /~ 1 ( s ) | | <Ke-a^-'l

Reciprocamente, suponhamos que existam constantes positivas K e a e uma projeção P . X ^ X

tais que

WU{t)PU-\s)\\<Ke~a^s\ t>s\ t,seJ

e

||U(t)(I-P)U~l(s)\\<Ke-a{s-'\ t<s; s,teJ.

Tomemos X] = PX e X2 = (/ - P)X. Logo X = X\ © X2 e valem

1*1 (01 = \U(t)Px{0)\ = \U(t)PU-\s)x(s)\<

< llt/ÍOPC/"1^)!!!^)! <Ke'a^-s^\x{s)\

\x2(t)\ = \U(t)(I-P)x(0)\ = \U(t)(I-P)U-\S)x(S)\<

< \\U(t)(I- P)U-1 (s)\\\x{s)\ < Ke~aí>l~s1\x(s)\.


Pelas hipóteses, temos

||í/(r)P/7"1(S)|| <Ke~a^~s\ s<t; s,teJ

e

||U{t){I-P)U-l{s)\\<Ke-a{s-'\ s>f, s,t <EJ.

Daí, para s = t, segue que

||P|| = \\u(t)pu~l(t)\\ <K, teJ

e

||/-p|| = \\u(T)(I-P)u~L(T)\\ <K, TEJ.

Então, pela Observação 3.3, segue que

Sn(U(t)XuU(t)x2)>K=Y-

Desta forma, a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial e o lema está provado.

Uma característica importante da dicotomia exponencial é a seguinte: se a EDI (3.1), (3.2) tiver

uma dicotomia exponencial sobre ambas as semi-retas e R + com mesma projeção P : X —>• X,

constantesa, K\ e/3, / ^ . r e s p e c t i v a m e n t e , então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial

sobre R, com a mesma projeção P e constantes que dependerão somente de oc, K\, /3 e K2.

A seguir, apresentamos alguns exemplos de dicotomia exponencial.

Exemplo 3.1 Consideremos o problema impulsivo (3.1), (3.2), com A{t) = A, t G R+, In = I,

n G N, e suponhamos que AQ = QA, onde Q = I + l = 21. Suponhamos que os pontos

formem uma progressão aritmética, isto é, tn = nh, n G N, h > 0. Então a EDI (3.1), (3.2) tem a

forma dx — =Ax, t^nh,ne N, (3.12) dt

&x(tn) = 2Ix(t„), n G N, (3.13)


Mostraremos que a EDI (3.12), (3.13) terá uma dicotomia exponencial, se o espectro do operador

A + hXnQ não interceptar o eixo imaginário. De fato, neste caso o operador de evolução U (t) tem

a forma

U (t) = eAtQt/h

e o espectro do operador A + h\ri Q pode ser escrito como soma direta de duas partes <J\ e 02, onde

G\ está contido no semi-plano esquerdo e 02 está contido no semi-plano direito. Sendo

X=Xi @x2

a decomposição correspondente do espaço X como uma soma direta e sendo P a projeção corres-

pondente a X\, não é difícil verificar que

\\U{t)PU~\s)W<Kxe^l-s\ O <s<t<™, (3.14)

e

\ \ U ( t ) ( I - P ) U - \ s ) \ \ < K 2 e ^ { t ' s \ 0 < í < s < ° ° , (3.15)

onde fi\ é um número arbitrário pertencente ao intervalo (sup(Ji,0), /i2 é um número arbitrário

pertencente ao intervalo (supO2,0) e K\. K2 são constantes positivas.

Exemplo 3.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2), ondeA(t), 0 < t < °° e Qn = I+ In, n eN, comutam

entre si, isto é,

A{t)A{s)=A(s)A{t), 0 < í , 5 < o o , (3.16)

e

A(t)In=InA(t), 0 < í < n G N, (3.17)

Neste caso, o operador de evolução U(t) tem a forma

onde n(t) = min{« : t < tn}. Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial, se existir

uma projeção P que comute com A(t), 0 < t < e os operadores /„, n G N, sejam tais que para


algumas constantes positivas K e a, as seguintes desigualdades sejam válidas:

e&AW°(I + In{t))...(I + In{x))P <Ke -att-T) , O < T < t < o o , (3.18)

< Ke -a (z-t. , 0 < t < T < oo . (3.19)

Exemplo 3.3 Consideremos a EDI (3.1), (3.2), onde A(t), 0 < t < e as sequências {tn}ne?q

e {/„ }„cm são (O-periódicas, isto é, existem (O > 0 e um inteiro positivo l tais que as seguintes

igualdades são válidas:

A ( t + a>) = A ( t ) , 0 < í < o o ,

tn + (0 = tn+h ne N,

In+j((o)=In, neN.

Então o operador de evolução U(?) satisfaz

U{t + (o) = U { t ) U { w ) . (3.20)

A EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial, se o espectro do operador U(co) não in-

terceptar o círculo unitário. De fato, neste caso, o espaço X pode ser escrito como uma soma

direta

X = X I © X 2

onde X\ e X2 são invariantes com respeito a U((ú).

O espectro da restrição de U{(ú) a X\ pertence ao interior do círculo unitário e o espectro da

restrição de U(co) aX2 pertence ao exterior do círculo unitário. Se P for a projeção correspon-

dente à decomposição X = X\ ® X2, com X\ = PX, então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia

exponencial com a projeção P mencionada.

Agora, vamos definir dicotomia ordinária para a EDI (3.1), (3.2).


Definição 3.5 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que detQn / 0, para todo n £ Z

tal que tn G J. Diremos que (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária sobre J, se existirem uma

constante positiva K e uma projeção P : X —> X tais que

\\U(t)PU~\s)\\<K, s,t G J

e

||u(t)(i-p)u~\s)\\<K, s,t eJ.

Vale observarmos que, se a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial ou uma dicoto-

mia ordinária sobre um intervalo [/o,°°)> to £ , então ela também terá, respectivamente, uma

dicotomia exponencial ou uma dicotomia ordinária sobre a semi-reta R + , com a mesma projeção

P : X —>• X e o mesmo expoente a , no caso da dicotomia exponencial. De fato. Podemos escolher

onde M\ — |/(0,ío)| max j||<2y||, \\Qjl || 'tj G (0,/o) | • Deste modo, pelo Lema 3.1, temos

||í/(/,í)|| <M, 0<s,t<t0.

Suponhamos que 0 < s < t < to. Então,

\\U{t)PU-\s)\\<M\x{t)PU-\to)\<MKe-a(l~^ <MKeat«e~a(l~s\

Agora, se supusermos que 0 < s < to < t < teremos

IIC/COW"1 (j)| | < Af2jC/(f0)/>C/-1(r0)| < < M 2 ^ " ' 0 ^ " ^ - ^ .

Portanto

Ilíy^C/"1^)!! <Ke~a{l~s\ 0 < s < t <

onde K — M2KeatQ.


Utilizando um argumento análogo para I — P, chegaremos em

U(t)(I-P)U~l(s)\\ <Ke-^l-s\ 0 < 5 < í < oo

e, deste modo, nossa afirmação está provada.

No restante desta seção, assumiremos que detQn ^ 0, para todo n tal que tn e J na EDI (3.1),

(3.2). Isto será necessário para definirmos dicotomia espectral. Além disso, esta hipótese também

será utilizada implicitamente na definição do inverso do operador característico da EDI (3.1), (3.2)

que definiremos abaixo, bem como no Teorema 3.1.

Seja J f o espaço de Banach

Definição 3.6 Chamamos de operador característico da EDI (3.1), (3.2), para J = R, o operador

T : M3 —> Jí? dado por

{Tv)(t) = U{t,t-l)v{t-l), te R,

para todo u £ M'. Então T~l : Jí? Jíf é definido por

(T~xv){t) = u(t,t+\)v{t+\), teR.

Observemos que, para o inverso do operador característico da EDI (3.1), (3.2) estar definido, é

necessário que det Qn / 0, para qualquer n e Z, como estamos supondo.

Definição 3.7 Diremos que a EDI (3.1), (3.2) (com J = R ou J — R + ) tem uma dicotomia espectral

se a(T) flS1 = 0 , onde T é o operador característico da EDI (3.1), (3.2), a(T) é o espectro da

complexificação de T e S' é o círculo unitário no plano complexo.

A versão original do próximo teorema se encontra em [1], Teorema 5.1, onde os autores não

consideram a hipótese da invertibilidade das matrizes Qn e que g(X) < e que g'(X) >

munido da norma ||u|| = sup |u(í)|. íeR


Isto implica que o operador de evolução, U(t,s), da EDI (3.1), (3.2) está definido somente para

s < t. Entretanto, no enunciado e no decorrer da demonstração, eles utilizam o inverso do operador

característico que é definido por

(T^v)(t) = U(t,t+\)v(t+\), te R,

o que mostra que a hipótese de que as matrizes Qn sejam invertíveis é necessária. Além disso, eles

utilizam o fato dos expoentes geral superior e geral inferior das soluções da EDI (3.1), (3.2) serem

limitados. O objetivo do próximo teorema é relacionar os expoentes geral superior e geral inferior

das soluções da EDI (3.1), (3.2) com o operador característico T desta equação.

Teorema 3.1 [[1], Teorema 5.1] Consideremos a EDI (3.1), (3.2), com J = R (ou J = R+), e

suponhamos que det<2„ / 0, para qualquer n e Z (respectivamente, n e N). Suponhamos, também,

que g(X) < e que g'(X) > — Então

g(X) = \nra(T) (3.21)

e

*'(*) = - l n ra(T~l), (3.22)

onde T é o operador característico de {3.1), (3.2) e ra(T) é o raio espectral da complexificação de

T.

Demonstração: Primeiramente, mostraremos (3.21). Provemos, inicialmente, que

g(X)>\nra(T). (3.23)

Suponhamos que exista q e R tal que

|Í/(M)*| < Nq^l~s)\x\, parai- < t.

Notemos que tal número q existe pela limitação do expoente geral superior, g(X). Então

|(r*u)(f)| = \U(t,t-k)v(t-k)\ < Nqeqk\v{t-k)l


para k G N, v G J f , t G E. Portanto

\Tkv\\ < Nqeqk\\v\

para todo v G . Pelo Teorema do Raio Espectral (Teorema 1.5), segue que

ra(T) = lim \\Tk\\* < lim \\Nqeqk\\* = eq. k—k—><x>

Isto prova (3.23).

Suponhamos, agora, que exista um número real positivo p tal que p > ra(T). Novamente, pelo

Teorema do Raio Espectral (Teorema 1.5) temos que, para ko suficientemente grande, vale

||7*°II1» < p. (3.24)

Seja x G X e definamos vx G Jí? por

{0, para t ^ s,

x, para t = s.

De (3.24) segue que

IITk°vx\\ <

Pelas definições do operador característico T e de vx, segue que

s u p i r * 0 ^ * ) ! = s u p | t / ( f , r - * o ) u , ( f - * o ) | = \U(t,t-k0)x\ = te R ígK

= \\Tk°Vx\\ < Pk°\\Vx\\ = Pk°\x\.

Daí,

\U{t,s)x\ < p(t~s)\x\

e, pela limitação da expoente geral superior, chegamos à conclusão que existe um número positivo

Np tal que

|t/(M)*| <Npp{t~s)\xl

Redutibilidade 44

para todo s <t e todo x eX. Isto implica que

ln p>g(X)

o que prova (3.21).

Analogamente, prova-se (3.22).

3.2 Redutibilidade

Consideremos a EDI dx

— = B{t)x, t^tn, (3.25)

x(t+) = x{t„)+J„(x{tn)) :=Rn(x(tn)), (3.26) onde

• B: J c R —> L(X) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie

em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, para qualquer n G Z tal que tn G /;

• Jn : X —> X é um operador contínuo, para qualquer n 6 Z tal que tn E J.

Definição 3.8 Diremos que a EDI (3.25), (3.26) é cinematicamente equivalente (ou cinematica-

mente similar) à EDI (3.1), (3.2), se existir uma função a valores matriciais S : J C R — L ( X )

satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) S(t) é limitada e diferenciável em t ^ tn, para todo n G Z tal que tn E J;

(ii) S(t) tem descontinuidade de primeira espécie em t = tn e é contínua à esquerda em t = t,„

para todo n G Z tal que tn G J;

(iii) S(t) é invertível com S~ 1 (/) limitada;

(iv) Se x(t)for uma solução de (3.1), (3.2), então S(t)x(t) será uma solução de (3.25), (3.26).

Redutibilidade 45

Segue diretamente da definição que a equivalência cinemática é uma relação de equivalência.

Podemos facilmente verificar que uma condição necessária e suficiente para a EDI (3.1), (3.2)

ser cinematicamente equivalente à EDI (3.25), (3.26) é a existência da função a valores matriciais

S(t), t G J, satisfazendo as propriedades (/), (ii), (iii) da Definição 3.8 tal que pelo menos uma das

três condições a seguir seja satisfeita

(i) para t G J, com t ^ tn, temos -/ p—i B = SAS~l+S'S

S(t+)Qn = RnS(tn),

para todo n G Z tal que tn G J.

(ii) para t G J, temos

S(t) = V(t)U-l(t),

onde U(t) e V(t) sao os operadores de evolução de (3.1), (3.2) e de (3.25), (3.26) respectiva-

mente.

(iii) 5 é solução da seguinte equação

d S — — B(t)S — SA(t), teJ,t^tn, (3.27)

S(t+)=RnS(tn)Q-\ (3.28)

para todo n G Z tal que tn G J.

A seguir temos uma observação importante.

Observação 3.4 A equivalência cinemática preserva as dicotomias exponencial, ordinária e es-

pectral.

O próximo lema será importante no seguinte sentido: sempre que tivermos projeções P e / — P

não necessariamente hermitianas, poderemos encontrar uma outra decomposição do espaço X com

Redutibilidade 46

novas projeções P\ e I - P\ que sejam hermitianas.

Lema 3.5 [[1], Lema 6.1] Suponhamos que X possa ser escrito como soma direta de dois subes-

paços X] e X2 com projeções P e I - P, isto é, X = X\Q X2 com X\ = PX e X2 = (/ - P)X. Então X

poderá ser representado na forma X = X\ © Y2, onde as projeções P\ : X —> X\ e (I - P\) : X —Y2

são operadores hermitianos.

Demonstração: Seja Y\ um complemento ortogonal de X\ em X. Então a projeção P\ : X X\

com Ker P\ = Y\ é hermitiana. A projeção I -Pi também é hermitiana e X pode ser escrito como

soma direta de X\ e Y2 — (/ — P\ )X.

O próximo teorema nos diz que, sempre que a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia ordinária

cujas projeções P e I — P sejam hermitianas, poderemos encontrar uma outra EDI cinematicamente

equivalente à primeira, com algumas propriedades interessantes.

Teorema 3.2 [[1], Teorema 6.1] Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia or-

dinária. Suponhamos, ainda, que as projeções P e I — P da Definição 3.5 sejam projeções hermi-

tianas. Então existirá uma EDI que será cinematicamente equivalente à EDI (3.1), (3.2), digamos

a EDI (3.25), (3.26), com B(t) e Jn comutando com P e I — P. Além disso,

| | f l (0+fl*(0ll < ||A(/)+A*(0H, teJ. (3.29)

Demonstração: Seja

R2(t) = PlU*{t)U(t)Pl+P2U*(t)U(t)P2. (3.30)

Notemos que o operador R2(t) é uniformemente positivo e hermitiano para todo t G / . Suponhamos

que R(t) seja uma raiz quadrada positiva de R2(t). Pela Fórmula de Riesz (veja Seção 1.2.2), segue

que

R(t) = -^-<l ^/X\R2(t)-Xir'dÃ, (3.31) 2ki Jr,

onde r , é uma fronteira suave dependendo continuamente de t, cercando o espectro de R2(t) no

semi-plano ReX > 0 e orientada no sentido anti-horário. Por \fk denotamos o valor principal da

Redutibilidade 47

raiz de A. Como R2(t) é hermitiano, segue que R(t) também é hermitiano. Pelo fato de R2(t)

comutar c o m k — 1,2, segue de (3.31) que R(t) comuta com P^, k= 1,2, como queríamos.

Consideremos a função a valores matriciais S(t) = R(t)U~l(t), t e J. Por (3.31), as funções a

valores matriciais S{t) e (t) têm descontinuidade de primeira espécie em / = tn, são diferenciá-

veis em t / tn e são contínuas à esquerda em t — tn.

Provemos que S(t) é limitado para cada t G J. Da igualdade

S*S= (U~l)*R2U~l = (UP\U~])* (UP\U~X) + (UP2U~])* (UP2U~'[),

chegamos à seguinte estimativa

Redutibilidade 48

\\s\\2 <\\UP]U~1\\ + \\UP2U-[\\<M2+M2

Daí, como \\S(t)\\ < ||S|||í|, segue que S(t) é limitado para cada t G J.

Provemos, agora, que S - 1 = UR ] é limitado. De fato. Temos

P\ (S~XY S^PX+P2(S-Y S"XP2 =P]R~]U*UR~LPI +P2R~LU*UR~[P2 =

= R~1 (P]U*UPI +P2U*UP2)R~X =1

Então, tomando z G X arbitrário, temos

[S-^l2 = \S~xPu. + S~xP2z\2 <2\S~xP\z\2 + 2\S~xP2z\2 =

= 2 (S~1 Pi z, S~1 Px z) + 2 (5"1 P2z, S~1 P2z) =

= 2 [Pi {s-xys-]piz,z) + 2 (P2(S~x)*S~]P2z,z) =

= 2(z,z) = 2\z\2-

Daí, como | |S_1(í)| | < | |5 - 1 | | |r|, segue que S~\t) é limitado para cada t G J.

Resta mostrarmos que se x(t) for uma solução da EDI (3.1), (3.2), então S(t)x(t) será uma

solução da EDI (3.25), (3.26). Por (3.27), isto é equivalente a mostrarmos que

B = SAS~1+S,S~l.

dU'1 , dU , , Como = -U-] — í / " 1 = —U A, então

dt dt

i 1 (dR , , \ , di? , 5 = RU AU R + —r~U~ —RU~ A UR~] = — / T 1 . (3.32)

\ dt J dt

Devido a (3.28), temos

Portanto a EDI (3.1), (3.2) é cinematicamente equivalente à EDI (3.25), (3.26), com B(t) e Jn

comutando com k = 1,2.

Redutibilidade 49

Agora, provemos (3.29). Como o operador de evolução de (3.25), (3.26) é

V(t) = S(t)U(t)=R(t),

então, diferenciando ambos os lados de (3.30), obtemos

RdR + dRR = +

dt dt

Então, para todo z G X, vale

(3.33)

Seja j3(f) = ||A(í) + A*(í)||, t e J. De (3.33), temos a estimativa

R[t)d^{t) + Tt'[t)R{t)) Z'Z) - P(t){(vmzMt)Piz) + (U(t)P2z,U(t)P2z)} =

= f3(t)(R2(t)z,z) = m m z \ 2 ,

para z E X e t e J . Disto, de + = R(t){B{t)+B*(t))R(t) e devido a (3.32),

chegamos a

(R(t)(B(t)+B*(t))R(t))z,z) < P(t)\R(t)z\2,

ou seja,

((B(t)+B*(t))R(t))z,R{t)z) < p{t)\R(t)z\2.

Então, fazendo u = R(t)z, obtemos

((B(t)+B*(t))v,v)<p(t)\v\2.

Em outras palavras,

\\B(t)+B*(t)\\<f}(t) = \\A(t)+A*(t)\\,

para t e J.

Capítulo

4

Crescimento Limitado e Dicotomias

Neste capítulo, apresentamos vários resultados sobre crescimento limitado e dicotomia para a

EDI linear homogénea que estamos estudando. Começamos por apresentar condições necessárias

e suficientes para o crescimento limitado. Em seguida, discutimos uma relação entre dicotomia

exponencial e crescimento limitado para a EDI.

É importante observarmos que nos artigos [2] e [6], os autores não consideram, explicitamente,

a hipótese da invertibilidade das matrizes Qn, para n Ç Z tal que tn E / . Isto implica que o operador

de evolução, U(t,s), da EDI (3.1), (3.2) é definido somente para s < t. Entretanto, no decorrer

destes mesmos artigos, é utilizado o operador de evolução, U(t,s), com s > t, e para este oper-

ador estar definido, é necessária a hipótese de que as matrizes Qn sejam invertíveis. Aqui, nós

apresentamos vários resultado com a condição de inivertibilidade.

4.1 Definições e Propriedades

Nesta primeira seção, nós definimos crescimento limitado e, em seguida, apresentamos uma

condição necessária e suficiente para que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado. Depois

disto, apresentamos algumas condições que implicam nesta condição suficiente provando, assim,

que a EDI tem crescimento limitado.

Definição 4.1 Diremos que a EDI (3.1), (3.2) tem crescimento limitado sobre J se, para algum

50


h> O, existir uma constante C > 1 tal que toda solução x{t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaz

|x( í) |<C|x(s) | , (4.1)

para s,t E J, com t E [s,5 + h] Pi / .

Podemos observar que, tomando to E R+, se a EDI (3.1), (3.2) tiver crescimento limitado sobre o

intervalo

J - [íO) °°)> então ela terá crescimento limitado sobre a semi-reta R + . Isto decorre dos fatos das

soluções x(t) da EDI (3.1), (3.2) serem contínuas por partes, com descontinuidade de primeira

espécie em t = tn e contínuas à esquerda em t = tn, para qualquer n E Z, e de [0,ío] ser um intervalo

compacto. Deste modo, se a EDI tiver crescimento limitado com |x(í)| < C|x(s)| como em (4.1),

então poderemos definir max{jx(f) | : t E [0,?o]} min{|x(í)| : t E [0,/o]}

e teremos

| x ( 0 | < Q |x(s)|,

parai, t G R e ? G [h,s + h], onde C\ = Cmax{l,r]}.

Do mesmo modo, se a EDI (3.1), (3.2) tiver crescimento limitado sobre o intervalo J = (—°°,ío]>

então ela terá crescimento limitado sobre a semi-reta R_.

O próximo teorema nos dá uma condição necessária e suficiente para que a EDI (3.1), (3.2)

tenha crescimento limitado. O aspecto interessante de tal teorema é que a condição se dá sobre o

operador de Cauchy da EDI. Além disso, a partir daqui, utilizaremos este resultado na maior parte

dos teoremas para concluirmos que (3.1), (3.2) tem crescimento limitado.

Teorema 4.1 [[6], Teorema 2.1 ] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que det<2« 0,

para todo n G Z tal que tn E J. Então a EDI (3.1), (3.2) terá crescimento limitado se, e somente se,

existirem constantes reais K e a tais que

(4.2)


Demonstração: Seja x(t) uma solução da EDI (3.1), (3.2). Suponhamos que (4.2) ocorra para

alguns valores de K e a. Seja h > 0 fixado e sejam s,t G J tais que í e [ i , í + / i]n7. Então, fazendo

C = Keah, temos

|x(r)| < ||í/(r,í)HKOI < Keah\x{s)\ = C\X{S)\.

Reciprocamente, suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado e que h seja

como na Definição 4.1. Seja s < t. Então í e [ s + kh, s + (k+ 1 )h] para algum k G Z. Portanto,

temos

|*(01 < C\x(s + kh)\<...<Ck+l\x(s)\.

Fazendo K = C e a = h~l InC, temos Ck = eakh < ea^~s\ Logo

WOI < s<t.

E, coraox(í) = U(t,s)x(s), temos

\\U(t,s)\\ < Kea^ = K e a 5 < t.

Analogamente provamos a desigualdade acima para s > t, donde segue o resultado.

No teorema que acabamos de provar, a parte em que ocorrem os impulsos não é explícita.

Originalmente, o resultado a seguir pode ser encontrado em [6]. Aqui, em vez de assumirmos

a condição de A ser limitada, consideramos a condição mais fraca de A ser integralmente limitada.

Neste teorema, damos condições suficientes sobre A(r), sobre os operadores de impulso, Qn, com

n G Z tal que tn G J, e sobre a sequência de tempos de impulso {ím}«gn C i , a fim de obtermos (4.2)

e, deste modo, conseguimos que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado.

Teorema 4.2 [[6], Teorema 2.2] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que

(i) A(t) seja integralmente limitada sobre J;

(ii) Exista uma constante K > 0 tal que, para quaisquer inteiros positivos i e j, com i < j,


tenhamos

/-«+1. I I Ô « | | | | ô / + i | | . . . | | ô y | | <KeJ~

(iii) Exista h> O tal que h < tn+\ — tn, para todo n EZ tal que tn E J,

(iv) det Qn ^ O, para n GZ tal que tn € J.

Então

||í/(í,j)|| s,teR,

onde K\ = Ke e a = <5_1 lnA^ +M.

Demonstração: Suponhamos que A(t) seja integralmente limitada sobre J. Logo, existirá uma

constante M > 0 tal que rt+1

J | | i4( j ) | |d j<M, teJ.

Sejam s,t E J, com s < t. Então existirão inteiros positivos i e k, com i < k, tais que s E 1] E T E {TK,TK+1]- Assim

| | t / M | | < | | í /(í,í t) | | | |£/(í i k , íjk_i)| | . . . | | í /(í í+i ,í) | | | |ô)i | | | |G*_i| | . . . | | a+ i | | . (4.3)

Seja ^ EX. Escrevemos

U(t,tk)Ç=x(f,tk^) = Ç+ I A(s)x(s\tk,Ç)ds. Jtk

Passando a norma na igualdade acima e usando o Lema 3.1, como não temos impulso, pois t E

(tk,tk+1]> obtemos

Do mesmo modo provamos que


Portanto, de (4.3) e utilizando as hipóteses (i) e (ii), temos

\\V(t,s)\\ <eI'mu){ldu\\Qk\\...\\Qi+i\\ <KeMêk~^+l < / ^ ' " V ^ . (4.4)

Seja s < t < s + h. Como h é a limitação inferior para a distância entre duas descontinuidades

consecutivas, segue que o número de descontinuidades entre s et é no máximo um. Em vista disto

e de (4.4), temos

l l í / M H < (Ke)^1^ =KleM^

para s < t < s + h, onde K\ = Ke.

Para s <t qualquer, existe um inteiro positivo k tal que t e [s + kh,s + (k+ l)/ij. Assim

\\U(t,s)\\ < \\U{t,s + kh)\\\\U(s + kh,s+(k-l)h)\\...\\U{s + h,s)\\<Kk+íeM^-sl

Fazendo j8 = h~1 ln Kx, temos K\ = e$kh < Portanto

||í/(í, j)|| < KieW+W-*) < Kxea^s\ s < t,

onde K\ = Ke e (X = p +M = h~l\nK\+M. Analogamente estudamos o caso s > t.

Em [2], o autor observa, sem contudo provar, que o resultado abaixo é verdadeiro. Este resul-

tado nos diz que, sob certas condições sobre A(t) e sobre os operadores de impulso, Qn, com n e Z

tal que tn e J, a EDI (3.1), (3.2) tem crescimento limitado.

Teorema 4.3 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que

(i) A seja integralmente limitada sobre J;

(ii) det Qn ^ 0, para n 6 Z tal que tn 6 J.

(iii) Existam constantes L > 0 e X £ R tais que os operadores de impulso Qn satisfaçam a

condição,

PI \\Qj\\ <LeX{'~x\ t, t g R . K t j < t


Então a EDI (3.1), (3.2) terá crescimento limitado.

Demonstração: Suponhamos que A seja integralmente limitada sobre J. Então existirá uma cons-

tante M > 0 tal que rt+1

sup / \\A(x)\\dx < M. /eJ Ji

Sejam s,t G J com s < t. Então existem inteiros k e i, com i < k, tais que 5 G (ti,ti+1] e

t G {tk,tk+1]- Assim, temos

Utilizando o Lema 3.1, temos

= WQJW < =

= Le(AÍ+A)(/-i-)=LeAt(í-.v)> s < t ,

onde fi = M + A.

Provamos o caso s > t analogamente e, portanto, a EDI (3.1), (3.2) tem crescimento limitado

sobre J.

Denotaremos por ( (A(t ) ,Q n ) , {tn}nEz, S,H) o conjunto de todas as EDIs (3.25), (3.26) cujos

operadores de Cauchy, V(t, x), satisfazem a seguinte condição:

para qualquer s G R, existe T G K tal que a seguinte desigualdade é válida:

\\V(t + s,u + s) - U(t + x,u + x)\\ < 5 (4.5)

parau.tE [—H,H], onde U(t,x) é o operador de Cauchy da EDI (3.1), (3.2).

Assim, c/V((A(t), Qn), {tn}neZ) Õ,H) representa o conjunto das EDIs cujos operadores de Cauchy

estão em uma "vizinhança" do operador de Cauchy da EDI (3.1), (3.2).


No teorema a seguir, encontramos uma estimativa para a solução x(t) da EDI (3.1), (3.2) usan-

do desigualdades integrais para funções contínuas por partes. Este resultado será utilizado na

demonstração do Teorema 4.5.

Teorema 4.4 [[6], Teorema 2.3] Assumamos que existam constantes K > 1 e a > 0 tais que

<Keat, (4.6)

para quaisquer u, í 6 l . Então, para qualquer solução x(t) da EDI (3.1), (3.2), teremos a estima-

tiva

1401 < ( n llônlll , \io<t„ onde j(t) = k.

Demonstração: Primeiramente, reescreveremos a EDI (3.1), (3.2) do seguinte modo

dx

— = A{u)x{t) + [A(t) - A(u)]x(t), t ^ tn, (4.7)

x(t+) = Qnx(tn), ne Z, (4.8) Podemos observar que a EDI (4.7), (4.8) é uma perturbação da EDI seguinte:

dv -J-=A(u)y(t), t^tn, (4.9)

y{tt) = Qny{tn), nez. (4.10)

Utilizando a Fórmula da Variação das Constantes para EDIs (Lema 2.1), a solução x{t) da EDI

(4.7), (4.8) é dada por

x{t) = U(t,s)x(s) + £ U(t,x)[A(r) -A(u)}x(x)dT, (4.11)


, com U(t) sendo a matriz de fundamental da EDI (4.9), (4.10) dada por

= E{T-TK)A(U) J-J QNE{LN~LN.{]A{U) ^ ( 4 1 2 )

l0<'n<l

para te (tk,tk+1].

De (4.11) e (4.12), segue que

x(t) = [ Y[ Qne('n~ln~l)A{u)\eÂ^x(s) + \S<tn<t J

,T <tn<I

onde t e {tk,tk-f i]j s e (ti,tj+1], com s < t e / < k, e j(x) é tal que x e (tj(x)itj{x)+\]- Utilizando a

desigualdade (4.6) em (4.13), segue que

KOI H + f t

s < t n < t (4.14) + / K M - J ( S ) + \ ]-[ \\Qn\\e^)\\A(x)-A(u)\\\x(x)\dx.

T <ln<t

Seja H fixado tal que to<s<t<H. Então, de (4.14), temos

[] \\Qn\\e-a,\x(t)\K-M <KK-M f ] ||&l||érXJ)|+ tQ<tn<H S<ln<H ^

+ [ 'K n ||Gn|k-OTAr-^)||A(T)-A(«)||WT)|dT. Jx tÎ /M %<tn<H

Agora, definamos

<P(0 = E [ \\Qn\\e-mK-^\x(t)\. (4.16) t<in<H

De (4.15) e (4.16) obtemos

<p(t) < K(p(s) + j f K(?{x)\\A{x) —A(u)|||x(t)\dx


e utilizando o Lema 3.1 no intervalo tj <s <t < ti+\, segue que

Portanto,

<p(t) < K t p i t ^ e ^ W - * ^ , (4.17)

parar e (tj,ti+\). De (4.16), temos

<P(',+) 1 \x{tf)\ <p(ti) K\\Qi\\

ede (3.2), temos |x(í,+)| < ||Q;|| !*(*,•) |. Deste modo, (4.18) implica que

(4.18)

(p(t+)<K-l<p{ti). (4.19)

Daí, substituindo (4.19) em (4.17), segue que

Pode ser facilmente verificado que

Portanto

V(t)<Kç(t0)eK^}-A^d\

isto é,

t<t„<H tç><t„<H

ou ainda,

K O I < n l ! & l k a ( ' - ' o ) ^ ( ' ) - / ( ' o ) + 1 ^ ó / " l | A ( T ) " ' 4 ( " ) l | £ / r | x ( r o ) | tQ<tn<t

e a demonstração está terminada.


Observação 4.1 Segue da demonstração do Teorema 4.4 que, dados t G 1] e s € (U,U+\],

com s <t, a solução x(t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaz a seguinte desigualdade

M 0 I < E l (4.20) S<tn<t

No teorema a seguir, considerando a EDI (3.1), (3.2) sobre R, apresentamos condições sufi-

cientes sobre A(t), sobre os operadores de impulso, Qn, n G Z, e sobre a sequência de tempos de

impulso {tn}nez a fim de obtermos (4.2), ou seja, a fim de que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento

limitado.

Teorema 4.5 [[6], Teorema 2.4] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre R e suponhamos que

(i) Existam constantes K > 1 e a > 0 tais que < Keal, para quaisquer t,u G R;

(ii Exista L> 0 tal que ||A(fi) — A(t2)\\ < L\t\ — ti\, para quaisquer t\ € R;

(iii) det Qn 0, para n G Z.

(iv) Existam constantes K' > 1 e (5 > 0 tais que

s<t„<t s<tn<l

para quaisquer s, t G R,"

(iv) Exista h> 0 tal que h < tn+\ — tn, para todo n G Z.

Então \\U{t,s)\\<Me^l-s\

para quaisquer s, t G R, com s < t.

Demonstração: Sejam s,t G R, com s < t. Então existirão inteiros k e i, com i < k, tais que

sG (ti,ti+í}ete (tk,tk+1].


Seja x(t) uma solução da EDI (3.1), (3.2). Então, pela Observação 4.1 e utilizando (ii) em

(4.20), obtemos

K O I + 1 J - | \ \ Q n \ \ e ^ ) e K L f s \ x - u \ d T ^ y ( 4 2 1 ) s<tn<t

Fazendo u = (s + t)/2, podemos reescrever (4.21) como

K O I < KJ^-J{s)+1 n \\Qn\\eaêKL^2/A\x(s)\-S<ln<t

e utilizando (iv) segue que

Daí, substituindo K2K'eP por M e utilizando (v), segue que

para s < t < s + 8.

Sejam hx = 2 { ( l n M ) / L M } X ! 2 , y = ( \ / 2 ) { L M \ n M ) 1 / 2 e h = min{<5,/íi}. Então, para 5 < t <

s + h, temos K O I < M e ^ a + ^ l ' s \ x { s ) \ . De modo geral, temos s + nh < t < s + (n + 1 )h, para algum « 6 Z . Então,

K O I < Me^+^-x-^ | x ( s + nh) \ <

< - (n - \)h)\ < ... < Mn+l

Observemos que Mn = enlnM < e]nM^-s)lh, deste modo,

K O I < ^ ( a + r + i n W / / ! ) ( í ~ - ç ) K 0 l ,

para s < t e, portanto,

\\U(t,s)\\<Me^'->\

Relações entre crescimento Limitado e Dicotomia Exponencial 61

para s < t, onde / = a + \(LM\nM)1/2 + \nM/h.

Analogamente, estudamos o caso s > t. Para este caso, utilizamos a hipótese

I I I I Q n l \ \ < K ' e ^ - ^ \ t<tn<s

Isto encerra a demonstração.

4.2 Relações entre Crescimento Limitado e Dicotomia Exponen-

cial

Nesta seção, discutimos uma relação entre dicotomia e crescimento limitado para a EDI (3.1),

(3.2).

Em [6], os autores enunciam sem contudo demonstrar o próximo teorema. Neste teorema a

condição (4.22) a seguir é somente uma condição necessária para a existência de dicotomia expo-

nencial para a EDI (3.1), (3.2).

Teorema 4.6 [[6], Teorema 4.2] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) e suponhamos que detQn 0,

para n tal que tn G J. Suponhamos, ainda, que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial

sobre R. Então, para qualquer 9 G (0,1), existirá H > ÍQ tal que

|jc(s)| < 0sup{|x(w)| : \u-s\ <H}, s<H,seJ. (4.22)

Demonstração: Como a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial sobre J, segue que exis-

tem uma projeção P : X —> X e constantes positivas K e a tais que

|| V{t)PU~l(s)\\<Ke-a^-^ s<t

e

|| U(t){I-P)U-l(s)\\<Ke-~a{s~l) s>t.


Seja x(t) uma solução qualquer da EDI (3.1), (3.2). Definamos

xi(t) = U{t)PU~1(t)x(t)

e

x2(t) = U(t)(I-P)U~\t)x(t).

Assim,


x(t) = U{t)PU~l(s)x\ (s) + U(t){I - P)U~X (s)x2(s).

Suponhamos que < |x2(s)|. Então, para s < t, temos

WOI > \\U(t)(I-P)U-](s)\\\x2(S)\-\\U(t)PU~HmMs)\>

2 L

Pelo mesmo raciocínio, se supusermos que |xj (s)| > |x2(s)| então, para s >t, teremos

W 0 l > i K ~ l e a ^ - K e - " ^ |x(s) 2 L

Observemos que, para qualquer G G (0,1), podemos escolher H > 0 tão grande de modo que

tenhamos

Isto completa a demonstração.

O próximo teorema apresenta um critério de suficiência para que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma

dicotomia exponencial sobre [ío7 •

Teorema 4.7 [[6], Teorema 4.3] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre a semi-reta J = [ío>°°) e

suponhamos que det<2„ ^ 0, para n G N. Suponhamos que existam constantes H > ÍQ, C > 1 e

9 G (0,1) tais que toda solução x(t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaça

K~leaH - Ke~aH > 20

e, portanto,

|x(s)| < 0sup{|x(w)| : \u-s\ < H}, s< H.

|x(R)| < C |X(Í ) | , para tQ < s <t <s + H, (4.23)

e

lx(i)| < 0sup{|x(w)| : \u — s\ <H}, para s < H. (4.24)


Suponhamos, também, que toda solução não-limitada x(t) da EDI (3.1), (3.2) satisfaça a seguinte

hipótese:

Para qualquer t > tq e para qualquer inteiro positivo m, se tivermos |x(/+)| > Cd~m

então existirá um número T(t) > t tal que

0< T(t)-í <H,

Ce~{m+]) <\x(x(t) + )\<Cd-{m+V e ce~m <\x(x(t))\<C/d-{m+l).

Suponhamos, ainda, que exista uma constante positiva M tal que \\Qn\\ < M, para todo n Ç. N.

Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial sobre

Demonstração: Primeiramente, suponhamos que x(t) seja uma solução limitada da EDI (3.1),

(3.2). Então

m(s) = sup{|x(w)| : u> s} <

Seja t >s + H, com H > 0. De (4.24), observamos que |x(í)| < 6m(s). Assim,

m(s) = sup{|x(u)| :s<u<s + H}. (4.25)

Seja to < s < t < oo. Então, utilizando (4.23), (4.25) e o fato de que d e (0,1), temos

\x(t) \ < Qm{s) < m(s) — SUP{|X(M)| : s < u < s + H} < C|x(s)|.

Seja n um inteiro não-negativo tal que s + nH<t<s+(n+ 1 )H. Então

|x(í)| < 0sup{|x(M,)| : t — H < u\ < t + H} <

< 0sup{|x(wi)| \ s + {n — \ )H < u\ <t + H} <

< 02sup{|x(M2)| : s+(n-2)H < u2 <t + 2H} <

<....< enc|x(^)| = ên+í\x(s)\< êc-•')/«(s)|,


•(01 < \x(s)\ = Ke~a{-s-^\x{s) |

para ÍQ < s <t.

Agora, suponhamos que x(t) seja uma solução não-limitada da EDI (3.1), (3.2), com |x(fo) j = 1.

Então existirá um X\ > 0 tal que |*(Ti)| > 1 e |x(Tj+)| > C/6. Assim, a hipótese sobre soluções

não-limitadas implicará na existência de um número T(TI) = x2 tal que

0 < x2~x\ < H, C6~2 < | x ( t 2+ ) | < c e - 3 e C6~] < \x(x2)\ < ce~2.

Utilizando o mesmo raciocínio, segue que existirá um número x(x2) = T3 > 0 tal que

0<x3-x2<H, C0~3 < jx(T3+)| < Cd'4 e C 0 - 2 < | x ( t 3 ) | < C 0 - 3 .

Continuando com o argumento acima, encontramos uma sequência {T,}, com 0 < T,+ I -XI < H

e tal que

Suponhamos que i(m) seja o índice tal que xm e i,ti(m)+hti(m)+2\- Sejam s.í e R tais que

xm < t < xm+i e xn < s < xn+\, com s > t. Assim, temos

Cd"' < | x ( T + ) | < C 0 - ( , + 1 ) e C0 _ ( ' , _ 1 ) < | x ( t , ) | < ce >. (4.26)

\x(xm)\<ce-,n.

Para xm < t < xm+\ < xm + H, a condição de crescimento limitado implica que

|.v(0| < C|.v(r+)| < C||g / {m)+1 | | |x(Tw)| < C2d-'"\\Qi{m)+l (4.27)


e, para t„ < s < Tn+\ < zn+H, a condição de crescimento limitado implica que

| x ( r n + i ) | < C W 0 | . (4.28)

De (4.26), segue que

C 0 " > + 1 ) < | 4 t + + 1 ) | < | | ( 2 , ' ( „ ) + i | | K T „ + I ) |

e, portanto,

c < 11(2,•(„)+!|| Wt«+i)| . (4.29)

Assim, de (4.27) e (4.29), temos

| x (O |<C0- m 0 ' ! + 1 | | ô ; W + i | | | | e , ( n ) + , | |WT„ + 1 ) | . (4.30)

Daí, utilizando (4.28) em (4.30), obtemos

\x(t)\ < C20"~'"+1||ô/(w) + 1 II||ô/(n)+1111401 < C2M2e"~"^\x(s)\< C2M20(*-'Vh\X(S)I,

pois (/ — 0 < {n — m+l )H. Portanto

1401 1401. (4.31)

para X\ < t < s, com K = C2M2 e a = - ln 9/H > 0.

SejaXi o subespaço de todos osx(£) G X para os quais a função U(t)x(Ç), com t>%,é limitada

e seja Xo um subespaço de X complementar a X\.

Seja t, e X2, com |< | = 1. Então a solução x(t) =x(f,to,Ç) da EDI (3.1), (3.2) iniciando em

(to,Ç) é não-limitada com \x(to)\ = \ | = 1. Assim, existirá u > to tal que \x(u\to,^) \ > C0~{. Seja

T] (£) o mínimo de todos estes pontos u. Então |4Ti+)l > Cd"1.

Agora, mostraremos que o conjunto

D={ 1,(^:^X2,1^1=1}


é limitado. Suponhamos, por absurdo, que D não seja limitado. Então existirá uma sequência {t,v}

em X2 tal que \ÇV\ = 1 e —> quando v —> Como { } é uma sequência sobre a

esfera unitária de X, podemos assumir, sem perda de generalidade, que t,v —> ^ quando v —» +°o,

com \t,v\ — 1 e Çv G X2. Também temos quex(r;ío,<^v) x(t',to,Ç) quando v —> +00.

Se to < t < T] então \x{t\tQ^) \ < CQ~l. Seja t um número positivo arbitrariamente grande.

Como quando v —> segue que existe um inteiro positivo k = k(t) tal que v > k implica

que to <t < T\ (i;v). Então \x(f,to, <;v)\ < Disto e pela convergência x(f,to, x(f,to, <!;),

obtemos \x(f,tQ,Ç)\ < C0~l, para todo t > to, isto é, x{f,to,£,) é limitada. Isto contradiz os fatos

de que Ç G X2 e que toda solução com valor inicial em X2 é não-limitada. Então o conjunto D é

necessariamente limitado

Seja S = supD. Então t0 < S < De (4.31), para S <t <s < temos

\ x ( r , t 0 ^ ) \ < K e - a ^ \ x ( s - , t Q ^ ) \ . (4.32)

Observemos a seguinte diferença na obtenção de (4.31) e de (4.32): em (4.31), T\ depende do

valor inicial de x(t), enquanto que em (4.32), S é independente do valor inicial de x(t).

Seja P uma projeção ortogonal sobre X]. Então (/ - P)X = X2 e X = X\ ®X2. Para cada t

fixado, consideremos

X](t) = U{t)PU~x{t)x{t)eX 1

e

X2(t) = u{t){i-p)u-](t)x(t) ex2.

Assim,

x(t)=x:(t)+x2(t) = U(t)PU-](s)xl(s) + U(t)(I-P)U~\s)x2(s).

Por (4.32), segue que j | í 7 ( r , . v ) | | < Ke~a^~s\ s<t.


Portanto,

\U{t)PU~l(s)x(s) | = \U(t,s)xl(s)\ < for «('-*) |*i(.s)| < Ke'a(-l~^\Px(s)\ <

donde segue que ||C/(0/>C/-1(j)|| ^^-"('-ÎIPII, s<t.

Analogamente,

||í/(0(/-P)í/"1(í)|| <Ke~a^-l)\\I-P\\, s>t.

Logo

|| U(t)PU-\s)\\<ke-a{l~s\ s<t

e

\\U{t)(I - P)U-1 (s)\\ < Ke~a{t~x\ s>t,

onde K = max{A'|j/'||, K\\í — /->|j}. Deste modo, o teorema está provado.

O teorema a seguir nos diz que se a EDI (3.1), (3.2) tiver crescimento limitado, então toda EDI

em uma "vizinhança" de seu operador de Cauchy terá crescimento limitado.

Teorema 4.8 [[2], Teorema 1 ] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre Re suponhamos que àe\.Qn^

0, para n 6 Z. Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha crescimento limitado. Então cada EDI

(3.25), (3.26) em JY((A(t),Qn), {tn}neZ, 8,H) também terá crescimento limitado.

Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.25), (3.26) pertença a ^K((A(t),Q„),{t„}ne%,S,H)

(veja definição ao final do Teorema 4.3). Então, para qualquer s e K, existirá T e R tal que, para

~H < t.u < H, tenhamos

\\V(t + s.U + s) - U[t + TAI + t)\\ < 8, (4.33)

onde V(t.s) é o operador de Cauchy da EDI (3.25), (3.26).


Pelo fato da EDI (3.1), (3.2) ter crescimento limitado existem constantes C > 1 e A > 0 tais que

U{t + x,u + x)\\ < CeA!'~"1

e, utilizando (4.33), segue que

+ + < \\V(t,u)-U(t + x,u + T)\\ + \\U{t + T,u + r)\\ < 1 + 5,

para —H <t,u<H. Como o número 5 é arbitrário, tomando-o igual a zero, segue que

||V(f,«)|| <CeAl '-"l + 5 < (4.34)

para —H <t,u<H.

Suponhamos que t > u. Então existe um número inteiro positivo k tal que

u + 2kH < t <u + 2(k + 1 )H.

Daí, por (4.34), temos

\\V(t,u)\\ < \\V(t,u + 2kH)\\\\V(u + 2kH,u + 2(k-\)H)\\...\\V{u + 2H,u)\\ <

< = (C+8)(C + Ô)W2)H~l2Hkek(t-u) <

< (C + Ô)(C + = (C+5)elÀ+(1/2)H-lHC+S)](t-u)m

O caso t <ué considerado analogamente.

Capítulo

S

Dicotomias e Admissibilidade

Neste capítulo, estabelecemos relações entre admissibilidade para pares de espaços de funções

e a existência de dicotomias exponencial ou ordinária para a EDI (3.1), (3.2) sobre R + . Con-

sideramos certos espaços de funções limitadas. Em seguida, relacionamos dicotomia ordinária e

admissibilidade. Finalmente, apresentamos dois resultados (Teoremas 5.3 e 5.4) que juntos dizem

que se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limitada, obte-

mos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada, e vale a recíproca. O último

teorema do capítulo refina este resultado e esta é nossa contribuição neste capítulo.

Consideremos a EDI não-homogênea

dx — =A(t)x + f(t), t^tn, (5.1)

*(/+) = x{tn) + I„x{tn) + hn = Qnx(tn) +hn: ne N, (5.2)

onde

• A : R+ —> LiX) é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie

em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n e N;

• / : R+ X é uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em

t — tn, contínua à esquerda em t — t„,n € N;

70

5. Dicotomias e Admissibilidade 71

• /„ : X —> X é um operador contínuo, para qualquer n G N;

• hn G X, para qualquer n G N.

Consideremos, também, os seguintes espaços lineares:

e

£i(N) = \h = {hn}neJi:'£\hn\< oo

Podemos observar que os espaços «£fi(R+,X) e î(N) sao espaços de Banach com respeito às

normas

respectivamente. Note que J^ i (E + ,X) é o espaço das funções de R + em X absolutamente in-

tegráveis no sentido da integral imprópria de Riemann.

Seja &(R+,X) o espaço de todas as funções limitadas em R+ com valores em X que são

contínuas em t ^ tn, têm descontinuidade de primeira espécie em t = tn e são contínuas à esquerda

em t = tn. Definamos, também, o espaço seguinte

isto é, á^(oo) é o espaço de funções de á?(R+ ,X) com limite no infinito. Os espaços á?(R+ ,X) e

munidos da norma

são espaços de Banach. Além disso, se F : R + ->• L(X) e F(t) for invertível para cada t G R+, isto

é, existe F~] (t) : X X, para cada t G então definimos

e

^lli = £ \hn

sup{|jc(f) j : t G M+},

•%FH •= {/ 6 : F~x f G ^ H } .

Dicotomia Ordinária e Admissibilidade 72

Em &f(°o), consideramos a norma

\\f\\F = \\Ff\\~.

Se F for limitada, então será um espaço de Banach.

Definição 5.1 Sejam e (S espaços de funções de R em X. Diremos que o par f S ) é admissível

para a EDI (5.1), (5.2) se, para cada f no espaço , existir uma solução de (5.1), (5.2) pertencente

a9.

Como veremos no decorrer deste capítulo, pares admissíveis são importantes na teoria de

equações diferenciais impulsivas, pois, através da admissibilidade de um par de espaços de funções

para a EDI não-homogênea (5.1), (5.2) eles definem o caminho dicotômico da EDI homogénea

associada, isto é, a EDI (3.1), (3.2).

5.1 Dicotomia Ordinária e Admissibilidade

Nesta seção, relacionamos a existência de dicotomia ordinária para a EDI homogénea (3.1),

(3.2) e a existência de soluções limitadas da EDI não-homogênea (5.1), (5.2).

No texto original [ 1 ], Teorema 7.1,0 autor apresenta o teorema abaixo com a hipótese adicional

de que

Existem um número l > O e um inteiro positivo X tais que cada intervalo em R+ com

comprimento l não contém mais que X pontos da sequência {/„}„-;;.

Entretanto tal hipótese não foi necessária conforme podemos observar em sua demonstração.

Teorema 5.1 Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) sobre R + tenha uma dicotomia ordinária e que

det<2„ ^ O, para qualquer n e N. Então, para toda função f 6 (R+ ,X) e toda sequência h e

t\ (N), existirá uma solução x:{t) da equação não-homogênea (5.1), (5.2) que será limitada em R + ,

ou seja, existirá uma solução x € da equação não-homogênea (5.1), (5.2).


Demonstração: Consideremos a equação x(t) definida pela fórmula

X(t) = jÛ{t)PU-\x)f{%)dT-U(t){I-P)U~l(T)f{T)dT+

+ £u(t)pu~l(tj)hj-£u(t)(i--p)u-\tf)hj. lj<t lj>t

Provemos, inicialmente, que x(t) é uma solução da EDI (5.1), (5.2). Para isto, utilizaremos as

igualdades

Û(t,x)=A(t)U(t,x), x) = —U(F, T)A(T) (5.3) dt dx

e

U(t+,x) = QnU{tn,x), 0<x, HGN, (5.4)

(veja (2.6)).

Observemos que, pela definição de x(t) e pelos fatos de A : R + —> L(X) ser uma função contínua

por partes, com descontinuidade de primeira espécie em t = tn, contínua à esquerda em t = tn, n e N,

e de / : R + —> X ser uma função contínua por partes, com descontinuidade de primeira espécie em

t = tne contínua à esquerda em t = tn, n <G N, concluímos que x(t) é contínua para t tn e que o

valor limite x(t,f) existe, para qualquer n e N. Diferenciando x(t) para t ^ tn, obtemos

-U(,)jt ( f u m - P)U-\t)f{z)dz^ - ^ fu(<)(/ - P)U-'(z)f(x)dx+

+ L ^ ^ - ' C V j - E ^ u w i - F V J - ' ( ' t ) h j = lj<t a l tj>t c u

= U(t)PU~l(t)f(t) - U(t)(I - P)U~] ( 0 / ( 0 +

+ j\(t)U{t)PU~\x)f(x)dx - J~A(t)U(t)(I - P)U-\x)f(x)dx+

+ £ A(t)U(t)PU-\tf)hj - £ A(t)U(t)(I - P)U-\t+)hj = tj<t tj>t

= f{t)+A(t)x{t).

Além disso,


W+ r00

C(t+) = / " U(t+)PU~\x)f(x)dX- U(t+)(I~P)U"\x)f(x)dX+

J O Jt+

+ £ U(t+)PU-l(tt)hj- E £ / ( r + ) ( / - / l ) í / - , ( f t ) / I ; . =

./o QnU(tn)PU~\x)f{x)dX- I QnU(tn)(I-P)U-{(x)f(T)dZ+

JtP,

— Qn fnU(tn)PU-l(x)f(x)dx-Qn ru(tn)(l-p)u~\x)f{x)dx+ J O A,

-Qn £ U(tn)(I-P)U-l(tf)hj + QnU(tn)(I-P)U-\t+)hn tj>ln

e, portanto,

-*0„+) = QnX{tn)+hn,

para qualquer « e N.

Agora, estimaremos o módulo de x(t). Temos

K O I < f\U(t)PV~x(x)\\f(x)\dx+ r\U(t)(I-P)U-l(x)\\f(x)\dx+ J 0 JÍ

-f £ u(t)pu-\tf) ihji + z u(t)(i-p)u-l(tf; <i« <V><

M -

Como a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária, segue da Definição 3.5 que existem uma

constante K > 0 e uma projeção P : X X tais que

\U(t)PU"\s)\ <K, para s <t,

\U(r)(I -P)U~x(s)\< K, para s > t.

Assim,


(01 <K \f(x)\dx + K imidx + K^lhjl+K^lhjl Jt íj<t i ->/

= K IfWldT + K^lhjl J 0 7=1

e, como / G Jz?i (R+ ,X) e h G l\ (N), segue que \x(t)\ < °o. Portanto o teorema está provado.

No restante deste capítulo, vamos considerar que X\ é o espaço dos x(Ç) G X para os quais a

função U(t)x(Ç), t > é limitada e que á?°(R+ ,X) é o subespaço de <%t(R+,X) que consiste das

funções que satisfazem a condição

X{*n) ~ QnX{tn) = 0,

ou seja, hn =• 0, n G N.

Como anteriormente, também definimos o seguinte espaço

á ? ° ( o o ) : = i fe&°(R+,X) : lim f ( t ) existe 1 , [ J

isto é, é o espaço de funções de com limite no infinito. Nos espaços

e ,á?°(oo) consideremos a norma induzida de á?(R+ ,X) . Além disso, se A : R + — L ( X ) for tal

que A(t) é invertível para cada t G R + , isto é, existe A - 1 (t) : X X, para cada t G R+, então

definiremos

W : = { / e : G •

Em consideramos a norma

ll/IU = W\\~

Se A for limitada, então será um espaço de Banach.

Lema 5.1 [[1], Lema 7.1] Suponhamos que ,^(R+,X) seja um espaço de Banach arbitrário de

funções / : E + 4 X c, para qualquer função f G &(R+,X), a equação não-homogênea (5.1),

(5.2) tenha pelo menos uma solução x G â£°(R+,X) limitada em R+. Então, para toda função

f G existirá uma única solução limitada em R + iniciando em Xo, onde X2 é qualquer


complemento de X\ em X, satisfazendo a estimativa

IWI=o<M||/ | |^, (5.5)

onde M é uma constante independente de f e dependente, somente, do espaço .^(R \ - X).

Demonstração: Não é difícil ver que, se x\ (t) e x2(t) forem duas soluções da EDI não-homogênea

(5.1), (5.2), então sua diferença, z(t) = x\ (t) — x2(t), será uma solução da EDI homogénea (3.1),

(3.2). Se as soluções x\(t) e x2(t) forem limitadas, então z(t) também será limitada. Portanto

z(0) G Xi. S e x ( t ) for uma solução de (5.1), (5.2) em @°(R+,X), então x(t) = x(t) - U(t)Px(0)

também será uma solução de (5.1), (5.2) em áí?0(R+,X), com valor inicial x(0) = (f-P)x(O) G X2.

De fato. Temos

x(t + ) ~ QnX(tn) = X(t+) - U(t + )Px(0) - Qn[x{tn) - U{tn)Px{0)] =

= Qnx(t„) - QnU(t„)Px(0) - Qnx(tn) - QnU(tn)Px(0) = 0.

Portanto x G á?°(R+,X) e como

jt(0) = jc(0) - U(0)Px{0) = *(0) - Px{0) = (/ - P)x(0) G X2,

pelas condições do Lema 5.1, segue que, para / G , ^ ( R + , X ) , a EDI não-homogênea (5.1), (5.2)

tem uma única solução x(t) G ^ ° ( R + , X ) satisfazendo a igualdade Px(0) = 0. Assim, definimos

o operador K : J ? (R+ ,X) á?°(R+,X) pela associação de cada elemento / G ^ ( R + , X ) a uma

solução da EDI não-homogênea (5.1), (5.2).

Provemos que K tem gráfico fechado. Suponhamos que f n / em ^"(R + ,X) e que

ym = Kfm y. Então

v(0) = lim v„,(0) G X2 III —

e, para qualquer t fixado, temos

I f(s)ds = lim I fn{s)ds. J o

Portanto,


y(t)-y(0) = / /(s)ds = J O

fi /-'/+1 /•'

JO ,= 1 v/í, J/„ /•'l /•'l+l /•'

= / lim y » ( J M - s + 2 - / l i m y „ ( s ) r f s + / l imy„(j)rfs JO •/*,• '»->00 JIN

= lim / lim / y + lim / =

rh r'í+i = lim / [Â(5)>'m(s)+/w(s)]í/5+ V lim /

+ lim í [A(s)ym(s) + fm(s)}ds = •„ôo Jtn

1 [A(i)y+ /(s)]dj + £ r [A(s)y(s) + f(s)]ds+ i= 1

1

vo

Jtn

Jo

E, como

= lim = lim Qnym(tn) = Qny{tn),

segue quey(7) é uma solução da equação (3.1), (3.2). Portanto, pelo Teorema do Gráfico Fechado

de Banach, o operador é limitado, isto é, existe uma constante positiva M tal que

| | £ / | | c o < M | | / | U

e a prova está completa.

Agora, para continuarmos, introduziremos a seguinte função de Green

„ , í U(t)PU(s), s<t, O (t,s)=< (5.6)

[ -U(t){I-P)U(s), s > t,

que será utilizada nas demonstrações dos próximos teoremas.


O resultado a seguir dá uma recíproca do Teorema 5.1 para o caso em que h = 0. Cabe ob-

servarmos que, para este teorema, damos uma prova alternativa pois na demonstração dada em [1]

alguns pontos não ficaram suficientemente claros.

Teorema 5.2 [[1], Teorema 7.2] Suponhamos que a EDI não-homogênea (5.1), (5.2) tenha uma

única solução limitada na semi-reta R+ , para qualquer função f E ,(£\ (IR . ,X) e para h = 0.

Suponhamos, ainda, que det(2» 0. para qualquer n E N. Então a EDI homogénea (3.1), (3.2)

terá uma dicotomia ordinária.

Demonstração: Para provarmos que a EDI homogénea (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária,

é suficiente mostrarmos que, para 0 < T,Í < temos

onde K é uma constante. Para isto, sejam a,s E R arbitrários e consideremos a função fa definida

por

[0, t£[s-a,s\,

onde s > f l > 0 e z e X , com \z\ = 1. Vemos que fa E j£fi(R+,X).

Definamos, agora, a função ya(t) por

isto é, a função ya(t) é limitada.

Para 0 < / < a, a função ya(t) também é limitada, pois ela é contínua num intervalo compacto.

Portanto ya(t) é limitada na semi-reta R + , e mais, temos

G(Í,t)|| <K,

ya{t)= í G(t, x)zdz. J ,v—a

Para t > a, temos ya (t) = U (t) £, onde

ya(0)= r G(0, z)zdx = -(I — P) [ J.s-a J s-

•s U ~1 (x)zdx.

a

Dicotomia Exponencial e Admissiblidade 79

Logo>'a(0) e X2. Assim, pelo Lema 5.1, existe uma constante M > 0 tal que

i^fljoo < M||/a||i =M í \z\dx = Ma\z\ = Ma, Js—a

isto é,

e, portanto,

G(t,x)z.dx < Ma

G(t.x)zdx < M.

Daí, fazendo a tender a zero, obtemos

onde |z| = 1 e, portanto,

\G{t,s)z\<M,

|G(f,s)ll < M ,

para 0 < s,t < Logo a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia ordinária.

5.2 Dicotomia Exponencial e Admissiblidade

Nesta seção, discutiremos as relações entre a existência de dicotomia exponencial para a EDI

(3.1), (3.2) sobre R + e a existência de soluções limitadas da equação não-homogênea (5.1), (5.2).

Seja l\ (X) o espaço de todas as sequências em X tal que £ \an\ < neN

Teorema 5.3 [[1], Teorema 7.3] Suponhamos que

(i) Existam um número l > 0 e um inteiro positivo X tais que cada intervalo em R+ com com-

primento l não contenha mais que A pontos da sequência {í„}„éN;

(ii) A EDI (5.1), (5.2) tenha uma dicotomia exponencial;

(iii) det<2„ ^ 0, para todo n £ N.


Então,

L Para toda função f E á^(M+;X) e toda sequência {hn}ne^ e í\ (X), existirá pelo menos uma

solução limitada da EDI não-homogênea (5.1), (5.2) sobre M.. .

2. O operador linear L : @(R+,x) -» 38{R+,X) x i\(X) definido por

L*(t) = (^-A(t)x,x(t+)~Qtlx(tn)^ ,

admitirá um operador inverso contínuo à direita.

Demonstração: Primeiramente, mostraremos que o operador K : &(R+,X) x l\(X) —> á?(R+ ,X)

definido por

rt roo

K(f,h)(t) =jo U{t)PU~\x)f(x)dX-J^ U(t)(I-P)U'l(x)f(x)dX+

+ £ UMPU-^tphj-Z U(t)(I-P)U-\t+)hj

(5.7)

ti<!

é contínuo e satisfaz

LK = /, (5.8)

onde / é o operador identidade no espaço á^R+.X) . De fato. Notemos que

/' U(t)PU~{(x)f(x)dx lo

< / \U(t)PU'l{x)\\f{x)\dx< J o

< Ke~at 1

'o r ™ ii/ii. < §n/ii (5.9)

e que

/

oo

U{t)(I-P)U'\x)f(x)dx < jf \U(t)(I-P)U-x(x)\\f(x)\dx<

K, /

oo 1/

e-axdx\\f\\x< -H/lloc.

Analogamente, temos

(5.10)


Zu(t)PU-l(t+)hj < u(t)pu-*(t+)\\hj\< < J «

< K ( £ jj<t

a(iri) Ml< KX

— e -al

(5 .11 )

EU{t)(I-P)U-l(tf)hj <J><

< E l U ( t ) ( l - P ) U - l ( t j - ) \ \ h j \ <

<K ll/zjl,^ KX

— e -al

(5.12)

De (5.9) até (5.12), segue que a função K(f,h) é limitada e satisfaz

2K .. 2KX K(J,h)\\ao < — \\j\\oo + -a

Pela definição de K(f,h) e como / G ã$(R+,X) e h G l\(X), concluímos que K(f,h) é contínua

em t ^ f „ e que existe o valor limite K(f,h)(t+), para qualquer b g E

Ainda resta verificarmos (5.8).

Diferenciando (5.7) para t / tn e utilizando (5.3), (5.4) e as igualdades

U{t,x) = Í/_1(T,F) e U(t,x) = U{t,s)U(s,x),

onde 0 < x,s,t < °° (veja (2.6)), obtemos

K(f,h)(t) dt

u{t)pu~\t)f{t)+um - p)u~\t)m+ t poo ' A{t)U{t)PU~\x)f{x)dx - J A(t)U(t)(I - P)U~l(x)f{x)dx+

+ £A(t)U(t)PU-l(tf)hi-£A(t)U(t)(I-P)U-l(tf)hJ

>j«

= f(t)+A(t)(K(fJi)(t)).

./o

n>t


Além disso, para cada n G N, temos

K(f,h)(t+) =/ U^)PU-\x)f(x)dx- Í / ( F + ) ( / - P ) Í / - , ( T ) / ( T ) D T + JO J/„

+ £ u(t+)pu-l(t+)hj- £ Í / ( í + ) ( / - / , ) Í / - 1 ( Í ; ) ^

Daí, utilizando (5.4), obtemos

K(f,h)(t+) =Qn ['" U{tn)PU-\x)f{x)dx-Qn rU(tn)(I-P)U~](T)f(T)dx+ J 0 J IN

+Qn £ U(tn)PU-\tf)hj-Qn £ £/(f„)(7 — />)t/-1 (f/)/!_/+

+U(t+)PU-x(t+)hn + U(t+)(1 - P)U-](t+)hn =

= Q„K(f,h)(tn)+h„.

Assim,

L(K(f,h)(t)) =

= A(t)(K(f,h)(t))t(K(JMti))-Qn(K(f,hHtn))) =

= (f(t),hn) = (f,h)(t)

e, deste modo, terminamos a demonstração.

Observação 5.1 Podemos substituir a condição

S U p | | / ( / ) | | < o o

í € R +

do Teorema 5.3 pela condição mais fraca

f , + \ sup / \f(x)\dx < reR+ Jt

Observação 5.2 O Teorema 5.3 ainda continua válido sem a condição (/), se considerarmos a

equação não-homogênea com h = 0. Neste caso, os valores do operador definido por (5.7) ficam


no subespaço á?°(R+ ,X) (veja o Lema 5.1).

Teorema 5.4 [[ 1 ], Teorema 7.4] Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) sobre R + satisfaça as condições

(i) g{X)<êg'{X)>-oo;

(ii) Para toda função f £ ,5^(R+,X), a EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com h = 0, tem pelo

menos uma solução iniciando no espaço á^(R+,X);

(iii) det Q„ ^ 0, para n£ N.

Então, a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial.

Demonstração: Seja X\ o subespaço de X consistindo de todo t; tal que

sup \U(t)Ç\ < ( ) < / < °o

Denotemos por P a projeção de X sobre X], isto é, Xi = PX.

Observemos que se xi(í) e X2(t) forem duas soluções da EDI não-homogênea (5.1), (5.2),

então sua diferença, z(t) — x\(t) — x2(t), será uma solução da EDI homogénea (3.1), (3.2). E,

se as soluções x\(t) e X2(t) forem limitadas, então z(t) também será limitada. Portanto z(0) G

Xi. Se x(t) for uma solução de (5.1), (5.2) em á^°(]R+,X), segue que a equação x(t) = x(t) -

(J(t)Px(O) também será uma solução de (5.1), (5.2) pertencente a com valor inicial

x(0) = (/ - P)x{0) G Ker P.

Por hipótese, para cada / £ a EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com h = 0, tem

uma única solução x(t) £ /i^°(R+,X) tal que Px(0) = 0. Desta forma, definimos o operador K

como sendo a função de ,C^(R+,X) em ,°/?°(R+,X) que associa a cada elemento / G 33(R+,X)

uma solução da EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com li = 0. Pelo Teorema do Gráfico Fechado de

Banach, este operador é contínuo, isto é, existe um número M tal que

(5.13)


Agora, provemos que

\U(t)PU-{(s)\\<Ke-a['-sK 0 <s<t< (5.14)

e que

| Í / ( 0 ( / - P ) Í / " , ( O I I <Ke-a{'-x), <s<t< (5.15)

onde K e a são constantes positivas.

Seja x(t) uma solução limitada da EDI (3.1), (3.2) sobre M+ , com valor inicial x(0) G X\. Para

cada a G K, definimos

ya{t) = [ Xo(z)\x(z)I ]di J o

x(t),

onde 1, 0 < t < T + a,

Xa(t)={ 1 - ( Í - T - F L ) , T + a < t < T + a + \,

0, T + a + 1 < í < ° ° .

Podemos ver que a função ya(t) é uma solução da EDI (5.1), (5.2) com h — O. Seja fa dada por

fait) =Xa{t)\x{t)\ Xx(t).

Então fa G á?(R+ ,X) e \\fa\\oo = 1. Logo (5.13) implica que

Em outras palavras,

Daí, fazendo a obtemos

f Xa(^)\x{r)\ xdx J o

WOi < K -

f \x{x)\~xdx J o

|.v(í)| < K.

Como g(X) < oo e g'{X) > -« j , deduzimos que existem constantes positivas M e N tais que


qualquer solução da EDI (3.1), (3.2) satisfaz

< 0<t,s<°°. (5.16)

Seja t — s > 1. Então existe T > 1 tal que t — s + T e vale

\x(t)\J\x(u)\~ldu<\x{t)\J \x(u)\~ldu<K. (5.17)

Introduziremos, agora, a seguinte função

(p(t) = j \x(u)\^xdu.

De (5.17), obtemos d(p(s + u)

Jt > 1

<p(s + u) K

que, após integrarmos com respeito a u sobre [1, T], nos dará

<p(t) = <p(s+ T) > <p(s+

Agora, por (5.16), segue que, para u > s, temos

\x(u)\~] > |x(s)\'xM-xe'fl{u-'s\

o que implica que

(p{s+ 1) = Ix(u)\-]du > Ix{s)\-xM~xe-R{u-s)du =

= \x(s)\-]M~[eRs [S+\-"udu=\x{s)\-]M-\\-eR)N~\

donde , . ., K K K !-v(0! < - w

I \x(s)\-Wh j \x{s)\-lds


daí,

WOI < „ , . , „_ , w t . = <

K M W _{l_sy„ , , ( 5 ' 1 8 )

\ - e ~ N

Para O < t — s < 1, temos g1/*<?-('-*)/*• > 1. Assim,

WOI <e1//re"('~-v)//r|jc(í)|

e, utilizando (5.16), obtemos

KOI < M e ^ + V ^ ^ K v ) ! . (5.19)

Daí, combinando (5.18) e (5.19), obtemos

MOI < £ie - a i{ '~-v) |x(s)|, 0 < s < í < ° o , (5.20)

í MNKe ! -./*-,*>] 1 onde K\ = max < > e ct\ = —.

\ l - e ~ N J *

Analogamente, consideramos o caso onde a solução da EDI (3.1), (3.2) se inicia em x(0) G

Ker P. Neste caso, para cada a G IR, no lugar de ya(t), consideramos a função

%{t) x{t),

e obtemos

KOI < K2e-a^'-^\x(s)\, 0 <s>t<™. (5.21)

Finalmente, podemos notar que (5.20) e (5.21) implicam em (5.14) e (5.15), onde

K = mâ\{K],K2} e a = min{oíj, a 2 ) (veja a Seção 3.1). Isto encerra a demonstração.

Observação 5.3 A condição g(X) < oo será satisfeita, se

ri +1 sup / IKOII^ ' < 00 e SUP L l l^» l l < 0 0 -I>0J< 0<J<°°t<tn — oo será satisfeita, se

sup / |A(s)||í/j < °o e sup E 11 <2/; 11 ' < 0<í <00 ;<(j| </_(_!

o o .

/>0 Ji

Observação 5.4 As condições

g(X) < o o e g'(X) > - o o

seguem imediatamente da condição (i) do Teorema 5.2 juntamente com as seguintes condições

Observação 5.5 O Teorema 5.4 continua válido se retirarmos a condição (ii) e impusermos a

seguinte condição:

(ii') Para toda função f £ 1 X satisfazendo

a EDI não-homogênea (5.1), (5.2), com h = O, tem pelo menos uma solução iniciando no

subespaço

A prova pode ser obtida pelo mesmo caminho do Teorema 5.4.

5.2.1 Admissibilidade de Funções com Limite no Infinito

O objetivo desta subseção é caracterizar a dicotomia exponencial através da admissibilidade

de um par de espaços de funções com limite no infinito. O resultado que apresentamos a seguir

estabelece condições para que tenhamos a equivalência entre admissibilidade para certos pares de

s u p | |A(f ) | j < OO, sup \ \Qn\ \ < 00, í>0 neN

SUp \ \Qn j | 1 < ° ° -/ÍGN

com a norma


funções com respeito à EDI não-homogênea (5.1), (5.2) e a existência de uma dicotomia expo-

nencial para sua equação homogénea correspondente, a EDI (3.1), (3.2). Uma parte do resultado

é devida a Bainov et al (veja [1]). A nossa contribuição está em conseguirmos refinar o par de

funções admissíveis.

Teorema 5.5 [9] Suponhamos que

(i) A função A seja limitada sobre R+;

(ii) A matriz A(t) seja invertível, para cada t £ R + ;

(iii) det£>„ ^ 0, para qualquer n £ N;

(iv) sup £ \\Qn\\<°°e sup £ H G j - ^ o o . 0</<°°,</H</ + i o <t<°°i<tn<t+\

Então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. Opar(,%°( R+,X),/jd°(R+,X)) é admissível, isto é, dada f e .@°(R+,X), a EDI (5.1), (5.2)

2. O par oo),,s0O(oo)) é admissível, isto é, dada f £ a EDI (5.1), (5.2) admite

3. A EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial.

Demonstração:

(1. 3.) Segue diretamente dos Teoremas 5.3 e 5.4, juntamente com a Observação 5.3. Note-

mos que esta equivalência continua válida sem que as matrizes A(t) sejam invertíveis.

(1. 2.) Seja / £ ,%(«>). Como o par (âg°(R+,X),<%°(R+,X)) é admissível, segue, pela

primeira parte desta demonstração, que a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial. Então,

para qualquer / £ &(R+,X), a EDI (5.1), (5.2) tem a seguinte solução limitada

admite solução x £ ,X).

solução x £

(t) = JQ U{t)PU-\s)f{s)ds-Jt U{t)(I-P)U-\s)f{s)ds. o


Utilizando a função de Green (veja (5.6)), podemos escrever a solução xç acima na forma

XA<) = J G(t,s)f(s)ds.

Devemos provar que lim f ( t ) existe. Como A(t) é uma função limitada, podemos usar a í—

seguinte identidade

U {t)PU(0) - 1 = j G{t,s)A{s)ds, (5.22)

que pode ser verificada sem maiores dificuldades.

Usando (5.22), podemos escrever

xf(t) = -A~l (t)f(t) + U(t)PU~\Q)A-\t)f(t) +/, (t) + I2(t),

onde

7,(0 := f G(t,s)A(S)[A-\s)f(s)-A-\t)f(t)}ds J o

e

I2(t) := l~G(tts)A(s)[A-l(s)f(s)-A-l(t)f(t)]ds, De acordo com (3.8) e (3.9), podemos estimar /] e I2. Temos

\h (01 = / G(t,S)A(s)[A-\s)f(s)~A'l(t)f(t)]ds I o

<

< / H í / f O W ^ ^ I I I l A M I I I A - ^ í J / M - A - ^ O / Í O l r f ^ lo

< f Ke-a{l~s)\\A\\^ sup \A-x{s)f(s)-A~x{t)f{t)\ds<

^ J M - o r 1 sup \A~l(s)f(s) ~A-l(t)f(t)\ [\+e~ai] se[Q,t]

\h(t)\ G(t,s)A(s)[A~] (s)f(s) -A~](t)f(t)}ds <

< jf \\U(t)(I~P)U-\s)\\\\A(s)\\\A^(s)f(s) -A-\t)f(t)\ds < /•OO

< .veíí,00)

(5.23)


\h(t)\ <Ka~l\\A\\„ Z \A~](s)f(S)-A-](t)f(t)\. (5 24) .ve [/,«=)

Como f e •<%{<*>), por hipótese, segue, de (5.23) e (5.24), que lim 7,(7) = 0, i = 1,2. De (5.22),

temos que lim xr(t) = - (A - 1 / ) (<») . Portanto o par é admissível.

(2. => 1.) Notemos que, se x\(t) e xj(t) forem duas soluções da EDI não-homogênea (5.1),

(5.2), então sua diferença, z(f) = xi(í) — xj(t), será uma solução da EDI homogénea (3.1), (3.2).

Se as soluções xi(t), xi(t) G ÔSa(°°), então z.{t) G e, portanto, z(0) G X\. Se x(t) for uma

solução de (5.1), (5.2) em então x{t) = x(t) - U(t)Px(O) também será uma solução de (5.1),

(5.2) em com valor inicial jc(0) = (/ - -P)- (O) G X2.

Por hipótese, para / G S$A(a EDI não-homogênea (5.1), (5.2) tem uma única solução x(t) G

3ê(°°) satisfazendo a igualdade Px(0) = 0. Assim, definimos o operador linear K : SSA (°°) —>

pela associação de cada elemento / G a u m a solução da EDI não-homogênea (5.1), (5.2).

Agora, provemos que K tem gráfico fechado. Suponhamos que fm —>• f em S$A (°°) e que

y,n = Kfm y. Então

>'(0)= lim yn (0) G X2

e, para qualquer f fixado, temos

í f(s)ds= lim / fm(s)ds.


Portanto,

>'(0->'( 0) — í' y'(s)ds — J o

•/O Ji, Ji„ rt i «-1 W/+1 r!

= Um y'm(s)ds+Y lim y 'm(s)ds+ lim >>' (SWJ-=

/•' 1 /•/,+1 rt lim / >4(6')^ + V lim / lim / y'm(s)ds =

m->°°Jo "i^00 7í,

Z-'1 /•''•+' lim / [A(i')>',„Gv)+/m(í)])í/.v+> lim / +/,n(j)])rfi '+

daí

E, como

I I I — > 0 0 / A < 0 0 . ,/U í-1 r'i

+ lim /

y(t)-y(0) = / ' ' [ A + 70 A

+ íl[A(s)y(s)+f(s)]ds = 7/„

7o

>-(/+) = lim ym(^) = lim Qnym{t„) = Qny{t»),

segue que >(?) é uma solução da equação (3.1), (3.2). Portanto, pelo Teorema do Gráfico Fechado

de Banach, este operador é limitado, isto é, existe uma constante positiva M tal que

| | É ( / ) | | ~ < M | | / | U . (5.25)

Seja / e X) e, para cada //? = 1,2..., seja 0m(í) uma função contínua tal que = 1 e

í 1, í e [0 ,m] , 0m(O = <

[ o , r > m + 1.

Seja, também, {/„,} uma sequência em definida por

fm(t) = 9m(t)f{t). (5.26)


Para cada função fm, consideremos a solução x"1 = K(fm,0) da EDI

dx ~=A(t)x(t)+fm(t), (5.27)

x(t+)=x(tn) + /„(*('/»)) = Qnx{t„). (5.28)

De acordo com (5.25), para qualquer índice m, temos

Vl\\oo < M\\fm\\A <M\\f\\A. (5.29)

Por (5.27), (5.28) e (5.29), obtemos sequências {V"}, ,^ e {(x"1)'},,,^ em &(R+,X), que são lim-

itadas sobre qualquer subintervalo compacto de R + . Pelo Teorema de Áscoli-Arzelá para funções

contínuas por partes (veja Apêndice 1) aplicado a cada intervalo compacto de R + , segue que existe

uma subseqiiência de {x"'}mefq, que denotaremos por tal que {x"!l}mi£N é conver-

gente para uma função vi G ^([0,ri],AT). Pelo mesmo argumento, existe uma subseqiiência de

}»IIGN. que denotaremos por {y"2},n2eN, tal que {x"l2}m2eN é convergente para uma função

v'2 G <é'([t\,t2],X). Continuando com este procedimento, concluímos que, para cada número natural

n, existe uma subsequência de {x"!"-> } , „ „ _ , q u e denotaremos por {*"'"}»,„gn> t al que {jc"!"}m„eN

é convergente para uma função v„ G cé'({tn-\ ,í„],X). É claro que cada subsequência {*"!"}m„eN con-

vergente para uma função u G á?(R+ ,X), onde u é uma função tal que m, = v,, para cada i = 1,2,....

De (5.26), (5.27) e (5.28), segue que u satisfaz

u'{t)=A{t)u(t)+f{t), t^t„,

u{t+) = Qnu(tn).

Isto implica que u é uma solução de (5.1), (5.2) no espaço

Capítulo

6

Dicotomia Exponencial e Funções Quase

Periódicas

Neste capítulo, primeiramente apresentamos um resultado de D. D. Bainov et al, [1], que diz

que se a EDI (3.1), (3.2) for quase periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R.f, então ela

terá uma dicotomia exponencial sobre R. O objetivo deste capítulo é mostrar um resultado inédito e

mais geral que nos diz que se a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial sobre um intervalo

finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta.

Definição 6.1 Seja Y um espaço de Banach. Dizemos que y: K —> Y é uma função quase periódica

se, de qualquer sequência {hv} C IR, pudermos extrair uma subseqiiência {hVk\ tal que o limite

lim y(t + hVk),

exista uniformemente com respeito a t G R.

Observação 6.1 A função y é quase periódica se, e somente se, para todo £ > 0, existir l(e) > 0

tal que, para todo intervalo de comprimento /(e), pudermos encontrar um número co, chamado

número e-translação paraA(t), satisfazendo

\y(t + co) - y(t) \ <£,

93

6. Dicotomia Exponencial e Funções Quase Periódicas 94

para t £

O lema a seguir relaciona o operador de evolução da EDI (3.1), (3.2) com o operador de

evolução da EDI (6.1), (6.2) abaixo, que nada mais é do que a EDI (3.1), (3.2) com uma adição em

seus tempos.

Lema 6.1 [[1], Lema 9.1 ] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre E com detQn / 0, para qualquer

n £ Z. Suponhamos que h seja uma constante positiva dada. Então a seguinte EDI

dx — =A(t + h)x, t^tn, (6.1)

x(t+) = Q(tn + h)x(tn), (6.2)

terá um operador de evolução, Vh(t), satisfazendo

Vh(t) = U(t + h)U~l(h),

onde U(t) é a matriz fundamental da EDI (3.1), (3.2).

Demonstração: Basta observarmos que

dt dt l-U-](h)U(h)U-\t + h) =

dU{t + h ) T i _ W ! ^ r r / ^ r r

dt -h\

U~ (t + h), dU(t + h)rr_l

dt

donde segue o resultado.

O próximo lema relaciona os operadores de Cauchy das EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26),

através das estimativas (6.3), (6.4) e (6.5) seguintes.

Lema 6.2 [[1], Lema 9.2] Consideremos as EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26). Sejam U(t.s) o


operador de Cachy da EDI (3.1), (3.2) e V(t,s) o operador de Cachy da EDI (3.25), (3.26). Se

\ \ U ( t , s ) \ \ < N e - v ^ - h ^ K (6.3)

para quaisquer t, s G IR, onde h(t), t G R, é uma função qualquer satisfazendo h(0) = 0, então

teremos

\\V{t)\\<Ne-vhêN&^dr f ] (1 +q(tj)). (6.4) o <t,<t

\V(t)~U(t)\\ <Ne-yhÂ(t) +

+Ne-vW £ Nqitj^tírW f ] O+?('*)), o <tj<t 0<tk<tj

onde

X(t) = U(t,0) + y U(/,t)(B(T) -A(T))V(T)C/T+

(6.5)

n

MO= n O </,<<

e <5(í) e a função característica do conjunto {0}.

Demonstração: Notemos que o operador V(t) = V(t, 0) é uma solução da EDI

dW --AV = {B-A)V. t^tn, (6.6)

W(t+) = Q„W(tn) + (R„ - Q„)W(t„) (6.7)

W(0)=I. (6.8)

Pela Fórmula da Variação das Constantes (Lema 2.1), temos

(6.9)

0 <(,</


onde X(t) é uma solução do problema de Cauchy (6.6), (6.7), (6.8).

Como o operador V(t) é uma solução do problema de Cauchy (6.6), (6.7), (6.8), por (6.9),

concluímos que

\\V(t)\\ < | | l / ( f , 0 ) | | + j / u V ( r , T ) t | | | f i ( T ) - A ( T ) | | | | V ( T ) | | J T +

+ £ \\u(t4MQi~RMvm-0 <!,<!

Seja (p(t) = ||V(r)||. Por (6.3), segue que

(p(t) <Ne~vh^+N f e"v{h^-h^p(T)ç(T)dT+ Jo

+ E e-vM-hWq(tj)<p(tj) 0 < t j < t

e, fazendo Ç\ (t) = (p(t)evh^'K chegamos a

<p\{t)<N + N I (p\(l)p(l)dT+ £ q(tj)<P\{tj). •/0 0 </,<í

Daí, aplicando o Lema 2.3, temos

(pi (0 <NeN^p[x)dx n 0+?(';)) 0 <tj<t

e, então,

(p(t)<Ne-vhi,)eNtipir)clT n 0 + < ? ( ' / ) ) • 0 <tj<t

Portanto a desigualdade (6.4) está provada.

Agora provaremos (6.5). Pelo fato do operador V(t) ser uma solução do problema de Cauchy

(6.6), (6.7), (6.8), por (6.9), temos

\\V(t) - U(t)\\ = U{t.0)+ / U{t,T){B{x)-A{z))V{r)dT +

+ £ U(t,t]-)(Rj-Qj)V(tj)-U(t,0)


Dai,

m O - í / ( O I I í | |í/(Í,T)|| | |B(T)-M(T)|| | |V(T)|| í/T+ £ M ^ t p W W Q j - R j O <tj<t

< J o

\\u(t,x)\\p(x)(p(x)dx + £ m ^ M t j M t j ) < 0 <'./<'

0 < / , < T

O <tj<t O <tk<i.

= Ne~vW f Np(x)eN^p{s)ds (1 + q(tj))dx+

+Ne~vh^ £ Nq(tj)eNúJPW* (I +q{tk)). O </,</ O <tk<l.

]! II -

Como f Np{x)eN^^dsdx = eN^l,(s)ds - eNío'^dx, temos

Q<I,<T

n(l) ( Ne-Vh^ £ / 7 Np(T)eNtip{s]ds [] (1 + q{tj))dx }> +

j= 1 [•''j- 1 0<lj<T

+Ne-yh^ [ Np{T)e"f°PWdx f j (\+q{tj))dx< 0 < / , < T

0<t, <í

"{') ( rtj r , £ / Np(x)eN^P^dx\ + i i (•'' ;

-V/L(/) n ( 1 + ^ ( 0 » Np(x)e's

-vll(t) O </;</

"(O E 7 = 1

oNJ0Jp{x)ds_ Nf0

j-1 p(X)d.i

-Vil(l) 0</, </

)lp{s)ds _ N j'{;'(,) p{s)ds

— A(t) (jN J q p(s)ds gN J q ° p[s)ds = Ne~vhil)A(t) eNJlP(s)ds_ j


donde segue o resultado.

Lema 6.3 [[I], Lema 9.3] Consideremos a EDI (3.1), (3.2) E e suponhamos que

(i) A EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial sobre a semi-reta E+ com constantes K

e a e projeção P;

(ii) Exista uma sequência de números {/ív}veN> com hv —> quando v —> tal que

lim A(t + hy) — B{t) e lim Q(t + hv) = Q(t) ambos os limites uniformes sobre qualquer V—yoo v—

segmento finito da reta E;

(iii) det Qn ^ 0, para qualquer n e Z.

Então existirá uma projeção P : X —>• X tal que

l i m U ( h y ) P U ~ \ h y ) = P

e a equaçao

-i = B(t)y, t ± t, (6.10)

y(tZ) = Q(tn)y(tn), (6.11)

terá uma dicotomia exponencial sobre a reta E com projeção P.

Demonstração: Consideremos a equação

dx di

A{t + hv)x,

x{t+) = Q{t + hv)x{tn),

com a matriz fundamental Vv(/). De acordo com o Lema 6.1, Vv(t) satisfaz

Vy{t) =U(t + h y ) U - \ h y ) .


onde U(s) denota a matriz fundamental de (3.1), (3.2).

Seja Pv = U (hv)PU~x (hv), onde P é a projeção da dicotomia exponencial da EDI (3.1), (3.2).

Então

j|Vv(r)PvVv-1(.v)|| = \\U(t + hv)U~l (hy)U(hv)PU-1 (hv)U(hv)U-] (s + hv)l

daí

||Vv(f)PvVV'(*)[i = \\U(t + hv)PU~l(s + hv)\\ < Ke-a['-s\ (6.12)

para —hv < s < t <

Analogamente, prova-se que

| v v ( 0 ( / - / v ) v v - 1 ( í ) l l < ^ " a ( , " ' ))

para — hv < s < t <

De (6.12) segue que, para todo v € Z, ||PV|| < K. Assim, podemos tomar uma subseqiiência

{Pv„ } da sequência {Pv} tal que exista

P = lim Pyk.

Podemos observar, pela própria definição, que P é uma projeção.

Seja W(t) a matriz fundamental da EDI (6.10), (6.11). Pelo Lema 6.2, segue que, para todo

/ e R.

lim Vv(t) = W(t). V—>OO

Então por (6.12), fazendo v —> temos

\\Vv{t)PV < Ke-a{'-x). -hv < s < t < oo

e

||Vv(f)(/-,P)V_1(j)|| < Ke~a{-S~'\ -hv<s<t< oo,


ou seja, a EDI (6.10), (6.11) tem uma dicotomia exponencial e a prova está concluída.

Considerando a EDI (3.1), (3.2) sobre E, o próximo teorema diz que seA(t) e Q(t) forem quase

periódicas sobre R e se a EDI (3.1), (3.2) admitir uma dicotomia exponencial sobre R + então ela

terá uma dicotomia exponencial sobre E.

Teorema 6.1 [[1 ], Teorema 9.1] Suponhamos que

(i) A EDI (3.1), (3.2) sobre E admita uma dicotomia exponencial sobre a semi-reta E+ .

(ii) As funções A(t) e Q(t) sejam quase periódicas sobre a reta.

(iii) det Qn 0, para qualquer n G Z.

Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial sobre a reta E.

Demonstração: ComoA(í) e Q{t) são funções quase periódicas sobre a reta, segue que existe uma

sequência hv —> quando v —> tal que A(t + hv) —» A(t) e Q(t + hv) -» Q(t), quando v —> oo

uniformemente. Desta forma, o teorema segue diretamente do Lema 6.3.

O lema a seguir nos dá estimativas para funções que satisfazem algumas propriedades. Es-

tas estimativas serão importantes para mostrarmos que a EDI (3.1), (3.2) admite uma dicotomia

exponencial.

Lema 6.4 (i) Suponhamos que x : E+ —> X seja contínua por partes, com descontinuidade de

primeira espécie em t„ e contínuas à esquerda em t„, n £ N, com x(t) / 0, para todo t £ E+ .

Se existirem constantes C > 1, 0 > l e h> 0 tais que

KOl^cW-OI. o < t < s + h

e

|.r(í)| > 0 inf{|jc(j)| : \t - s\ < /?}, t>h.


Então existirão constantes a > 0 e K > 1 tais que

\x(t)\<Ke-a{l"-s)\x(s)\, 0 <s<t,

ou

\x(t)\ < Ke~a[s-!]\x{s)\, 0 <t<s.

(ii) Suponhamos que x : R_ —> X seja contínua por partes, com descontinuidade de primeira

espécie em tn e contínuas à esquerda em tn, n <G Z_, com x(t) / 0, para todo t E R_. Se

existirem constantes C>\,d>\eh>Q tais que

< s<t<s + h< 0

e

\x(t) \ > 0inf{|x(í)| : \t~s\<h], t < -h.

Então existirão constantes a > 0 e K > 1 tais que

\x(t)\ < Ke~ai'^\x(s)\, s<t< 0,

ou

1401 < Ke"a{s-Í]\x{s)l t<s< 0.

Demonstração: Provaremos apenas a afirmativa (/) pois a prova da afirmativa (ii) é análoga.

Seja A : R + —> R + definida por

A (5) = inf{|A-(»)| : u >

Dividiremos a prova em duas partes: Na primeira parte suporemos que A(0) > 0 e, na segunda

parte, consideraremos que A(0) = 0. Em cada uma destas partes obteremos uma das estimativas

que queremos.

Parte 1: Suponhamos, primeiramente, que A(0) > 0, isto é, que inf{ j : u > 0} > 0.


Por hipótese, para s > t > h, temos

1401 > 0 inf{ |4 í ) | : \t-s\ < h} =

= 0inf{|x(s)| : s - h < t <s + h} >

> 0 inf{|x(i) j : t > s - h } =

= ex(s-h).

Pela definição de A(5), existe uma sequência {um}m€-^, com um > 5, tal que

lim \x(um)\ = A(s). (6.13) 111 —

Provaremos, agora, que existe um mo £ N tal que um < s + h, para todo m > niQ. Suponhamos o

contrário, isto é, que exista uma subseqiiência {um k} n i k e^ de {«m}meN t a l Que umk > s + h. Então

\x(u,nk)\ > 0inf{|x(w)| : Iu-u„ l k \ <h} =

'• ~ h 

> 0 inf{ |x(u) | : u > u,„k — h] =

= QX(umk - h) > 9X(s) >k(s).

Mas isto contradiz (6.13). Portanto existe um mo G N tal que um < s + h, para m > mQ. Então

X{s) = inf{|x(w)| \s<u< s + h}

e, para 0<s-2h<2 + hts<t<s + h, temos

|x(.v)| > 02 inf{|x(w)| :\u~s\<2h}>

> 02k(s - 2h) >

> 02 inf {| x{u) | :s-h<u<s + h}>

> 02C-'|.v(OI-


Assim, para t + (k — 1 )h < s < t + kh, temos

\x(s) I > 0 inf{ jx(u) | : |w - s\ <h}>

> O2 inf{ \x(u) j : \u-s\ < 2 A} > ... >

> inf{jx(w)| : \u-s\ <{k+\)h}>

> ek+lX{s-(k+\)h) =

= ek+l inf{|x(w)| :\s-(k+\)h\<u<s-kh}>

> dk+lC~l\x(t)\.

Tomando a = ln 6 e K\ = max{ 1 ,C0~' }, temos

W0I < K]e~a{x~'">\x{s)\, 2h <t < s.

Seja 2a/,max{|x(Q| :te [0,2h]}

P l min{|x(r)| [0,2/z]}'

Então

|jc(í)| 0<t<s.

Parte 2: Suponhamos, agora, que A(0) = 0, isto é, que inf{|x(w)| : u > 0} = 0.

Construamos uma sequência {t,,,},,,^ tal que

|jc(T,„)| = 0 "'"Cjx(0)|

e

|x(r)|>0~mC|x(O)|, 0 < f < T m .

Assim, h < TL < T2 < . . . < T„, < T,)L+1 < . . . .

Agora, provaremos que > xm + h. Suponhamos, por absurdo, que exista um niQ e N tal

que TJHO+I < Tmo+h. Então


\x(xmo+í)\ < inf{W")l : o < t i < t „ ! o + 1 +h\} =

< inf{jx(w)j : \u - T , „ 0 + i J < A} <

o que contradiz o fato de que jx(T„,0+1)| = 0 " " 1 | x ( r m o ) | . Assim, xm+\ > xm + h.

Seja t > s > 0. Logo existem inteiros positivos ktm tais que xm < t < tm+\ e xk < 5 < T^ j .

Então

|*(í)| > \x(zk+])\ = em~k~x\x(xm)\> dm~k-[c~l\x(t)\ = em~k+le~2c"l\x(t)\

Como

xm < t < xm+\ e xk<s< xk+i,

temos

t - s < xm+i —xk < (m — k + 1 )h

e, assim,

-(t-s) > -(m-k + 1 )h.

Daí,

Tomando a = h 1 ln 0 e Â i = CO2}, segue que

\x(t)\<Kle-a{l~s)\x{.s)\, T , <s<t.

Seja 2ahmax{\x(t)\:te[0,2h}}

P l min{|x(0| :te [0.2h]}'

Então

|.Y(0| < O < S < T .

Isto completa a prova do lema.


O lema a seguir apresenta propriedades de uma EDI que admite uma dicotomia exponencial.

Lema 6.5 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre E. Suponhamos que o operador A seja limitado

e que detQn / 0, para n £ TL. Se a EDI (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial então, para

todo 0 > 1, existirão uma constante h > 0 e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1),

(3.2), digamos x\ (t), x2 (t), ..., x^(t), tais que

|JC/(0| > 0inf{jx/(w)| : \u — t\ < h}, i = 1,2

lim \xi(t) \ > 0, i— 1,2, . . . , / : / —> —oo

e

lim |x;(0l > 0, i = k+\,k + 2,...,N.

Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial. Logo

existem contantes a > 0, K > 1 e yv soluções linearmente independentes x\ (?), x2 (t), xu(t),

tais que

e

|jc/(r) | < Ke-^-^lxiit)], t<s, i = k+l,k+2,...,N,

donde

lim \xi(t)\ = +oo, / = 1,2, . . . , / : i —y — ° °

e

lim \xj(t)\ = +00, i = k+],k + 2,...,N. 1 ->-(-00

Desta forma precisamos provar apenas que, dado 0 > 1, existe h > 0 tal que

\xj(t) \ > 0inf{|x/(«)| :\u~t\<h}. i= 1.2, — N.

Seja 0 > 1 fixo e tomemos h > 0 tal que K~1 eah = 6. Assim, para / = 1,2,..../:, temos

j.r,(0| > K-leah\x,{t + h)\ = 9\xj(t + h)\ > 0inf{|jc/(m)| : \u-t\ < h}.


E, para i = k + 1, k + 2 , . . . , N, temos

MOI > K~leah\xj(t-h)\ = d\xi(t-h)\ > 6 inf{|jc,(w) j :\u-t\< h\,

donde segue o resuldado.

O próximo lema é uma recíproca do lema anterior. E importante salientarmos que, no lema

anterior, conseguimos o fato de que, sob certas hipóteses, se a EDI (3.1), (3.2) admitir uma dicoto-

mia exponencial, então para toda constante d > 1, conseguiremos encontrar uma constante h > 0

e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2), digamos x\(t), x2(t), ..., x^(t), de

modo que algumas propriedades sejam válidas. Por outro lado, no lema a seguir, se existirem

constantes 6 > 1, h > 0 e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2),digamos

x\(t), xi(t), . . . , XN(í), que satisfaçam algumas propriedades, então a EDI (3.1), (3.2) admitirá

uma dicotomia exponencial.

Lema 6.6 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre E. Suponhamos que o operador A seja limitado

e que det<2„ ^ 0, para n £ Z. Suponhamos, ainda, que existam constantes 6 > 1 e h > 0 e N

soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2), digamos x\(t), (t), ..., xît), tais que

j xi(t)\ > 0inf{|x/(w)| : \u-t\ < h}, i= 1,2,. . . ,7V,

Tim~|.v,-(f)| > 0, /' = 1.2, . . . , / : í — o o

e

lim \xi(t)I > 0, i = k+ Lk + 2,...,N. /->-j-oo1

Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial

Demonstração: Assumamos que exista uma constante h > 0 tal que o operador A da EDI (3.1),

(3.2) seja limitado, daí

|jc/(0| <C|.r,-(s)|, s<t<s + h. i= 1,2,...,AT.

Para ; = 1.2 k e t e M+, como lim jx;(í) | > 0, segue pelo Lema 6.4 que existem constantes / —> - oo

«i > 0 e K\ > 1 tais que


\xi{t)\<Kie~a,{l's)\xi(s)\, 0 <s<t. (6.14)

Novamente, pelo Lema 6.4, para t £ R_, temos que existem constantes a2 > 0 e > 1 tais que

|*/(0| < K2e-a^\xi{s)\, s<t< 0, (6.15)

ou

\xi(t) I < K2e-a2(s"t)\xi(s)\, t<s< 0. (6.16)

Queremos mostrar que apenas (6.15) é verdadeiro. Suponhamos, por absurdo, que (6.16) seja

verdadeiro, disto e por (6.14) temos

lim \xi{t) \ = 0 e lim jx,(0l = 0.

Logo, existe um to £ R tal que

|JC,'(/O)| = sup{ |JCÍ(M) | : u £ R } .

Isto contradiz a condição

jx,(í)| > mf{\xj(u)\ : \u — t\ > h}.

Como uma das duas condições necessariamente acontece, segue que apenas (6.15) é verdadeiro.

Sejam a = min {ai, a2} e K = max{K\ ,K2], por (6.14) e (6.15) obtemos

\Xi(t)\ <Ke-aU-s)\xi(s)\, s<t.

Analogamente, provamos que

|-v/(0| < Ke-a{s-'] t<s,

para / = k+ \ .k + 2, N. E, assim, a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial.


O próximo teorema apresenta condições necessárias para que a EDI (3.1), (3.2) admita uma

dicotomia exponencial.

Teorema 6.2 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre R. Suponhamos que o operador A seja lim-

itado e que det<2„ ^ 0, para todo n £ Z. Se (3.1), (3.2) tiver uma dicotomia exponencial então,

dados 0i > 1 e 02 £ (0,1), existirão uma constante h > 0 e N soluções linearmente independentes

da EDI (3.1), (3.2), digamos x\ (t), X2(t), ..., x^(t), tais que

|*/(0I > 01 inf{\xi{u) \ :\u-t\< h]

e

\xi(t) \ < 02 sup{ \xj(u) | : \u — t\ < h]

i= 1,2 ,...,/V.

Demonstração: Suponhamos que a EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial. Pelo Lema

6.5 segue que, dado 0i > 1, existem uma constante h\ > 0 e/V soluções linearmente independentes

da EDI (3.1), (3.2), digamos x\ (t), x2{t), ..., xN(t), tais que

i*/(OI > ^í inf{k(") | : I" — f | < h]}

para i = 1 ,2 , . . . .N. Como 02 £ (0,1), pelo Teorema 4.6, segue que para qualquer solução x(t) da

EDI (3.1), (3.2), existe um h2 > 0 tal que

|JC(/)| < 02sup{|A-(«) : \ u - t \ < h 2 } .

Assim, para / = 1,2, . . . .N, existe um h'2 > 0 tal que

\xj(t) \ < 02 sup{ |.ç/(t<) | : I u - t \ <h'2}

Tomando /?3 = maxj/?!, : / = 1.2, . . . , A } segue que

|jc/(r)| < 02sup{|jt/(w)| : \u~t\ < h2}.


Seja h = max{/zi, h3}. Assim

(01 > 01 inf{|*/'(")| :\u-t\<h}

e

!*/(0l — ®2sup{|*í(m)! : \u~~t \ — M-

Deste modo, o teorema está demonstrado.

O próximo teorema apresenta condições suficientes para que a EDI (3.1), (3.2) admita uma

dicotomia exponencial.

Teorema 6.3 Consideremos a EDI (3.1), (3.2) sobre IR. Suponhamos que o operador A seja

limitado e que deiQn / 0, para todo n £ Z. Suponhamos, ainda, que existam constantes 6\ >

1, 62 G (0,1) e h > 0 e N soluções linearmente independentes da EDI (3.1), (3.2), digamos

x\(0, xi (t), ..., xjy(t), tais que

\xj(t) \ < e2sup{|x,(M)| : \u — t\ < h}

i = 1. 2. . . . .N. Então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial.

Demonstração: Como o operador A da EDI (3.1), (3.2) é limitado, para h > 0 existe uma constante

C > 1 tal que

|*/(0I < Cpt/GOI, s<t<s + h, 1 = 1,2,...,/V.

Assim, pelo Lema 6.4, para quaisquer i= 1,2,.. . .N e t G R+ existem constantes a\ > 0 e K\ > 1

|x,(0| > 0i inf{ \XÍ{U) | : \u - t\ < h}

e

tais que

^•(01 < ^ i e _ 0 t l ( ' _ ' v ) k ' ( 0 l . o<s<t. (6.17)

ou

|x,(0| < Kie~ai{-S~^\xi(s)\, 0 <t<s. (6.18)


Novamente, utilizando o Lema 6.4, para quaisquer i = l ,2, . . . , iV e t G R_, existem constantes

a 2 > 0 e Ki > 1 tais que

|jc/(0| < ^ - « ( ' - ' ^ ( í ) ! , s<t< 0, (6.19)

ou

\xi(t) \ < Ke-^-^lx^s)], t < s < 0. (6.20)

Dividiremos a demonstração em duas partes: primeiro, suporemos que (6.17) seja verdadeiro e

provaremos que isto implicará que apenas (6.19) acontece; depois, suporemos que (6.18) seja ver-

dadeiro e provaremos que isto implicará que apenas (6.20) acontece.

Parte 1: Suponhamos, primeiramente, que (6.17) seja verdadeiro e suponhamos, por absurdo, que

(6.20) aconteça.

De (6.17) e (6.20) segue que

lim \xi(t)\ = 0 e lim |x;-(r)| = 0.

Então existe um T, G R tal que

\xí(Tj)\ = sup{|x/(r)| : t G R}.

Mas isto contradiz a hipótese do teorema. Portanto (6.19) é verdadeiro. Tomando a - min {ai, a 2 }

e K = max{£i, K2}, de (6.17) e (6.19) obtemos

|x,(OI < f o r a ( ' ~ - ç ) K ( í ) | , s < t .

Parte 1: Suponhamos, agora, que (6.18) seja verdadeiro e suponhamos, por absurdo, que (6.19)

valha.

De (6.18) e (6.19) segue que

\*i(s)\ >K;]e~a^'-s)\xi(t)\. 0 < t <x


e

!*«(*) I > Kê-^-^Xiít)], s<t< O,

e estas duas desigualdades implicam

lim |jc,-(í')| = + o ° e lim =-f°o. •V—>+°° .V—>-00

Então existe um r £ R tal que

Ijc/Ct/)! = inf{|jc/(r)| : ígR}.

Isto contradiz a hipótese do teorema. Portanto (6.20) é verdadeiro. Tomando a = min{ai,a2} e

K = max{iî, K2}, de (6.18) e (6.20) obtemos

\xi(t)\ < s>t.

Assim, pelas partes 1 e 2, concluímos que a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial.

No próximo lema, considerando as EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26) sobre o intervalo

J — [a,b], através de uma estimativa sobre a diferença de A(t) e B(t), obtemos uma estimativa

para os operadores de Cauchy destas EDIs.

Lema 6.7 Consideremos as EDIs (3.1), (3.2) e (3.25), (3.26), ambas sobre o intervalo J = \a,b).

Suponhamos que, para cada t G [a,b], tenhamos

\\B{t) -A(0|| <

então, para a < t,s < b, teremos

\\V{t.s)-U{t.s)\\<LeM(h-a)[eL£(h-a)- 1].

onde U(t.s) é o operador de evolução da EDI (3.1), (3.2) e V(t,s) é o operador de evolução da

EDI (3.25), (3.26).


Demonstração: Seja

M = sup{||/4(r)|| :a<t<b}

Pelo Lema 3.1, temos

\\U(t,s)\\<Le^'-sK

para s, t € [a, b], onde L = ( j - i) max {11Qk j|, 11 Q~' 11; k = i + 1, i + 2 , . . . , j} ,

Agora, como W(t) = V(t,s) - U(t,s) é solução da equação não-homogênea

dW

— = A(t)W + [B(t) - A(t)][W(t) + U(M)L t ± tn,

W(t+) = Q(tn)W(t„) + [/?(í„) - Q(tn)][W(tn) + U(tn,s)], com

= o.

Pela Fórmula da Variação das Constantes (Lema 2.1), temos

W(t) = £ U{t,o)[B(o)-A{o)][W(a) + U{o,s)]da,

e, então, se a < s < t < b, temos

\\W(t)\\ < j'LeM[t~ah \\\W(o)W+LeM{a-s^ da

< L2£(t - s)eM^'--v) + Le J' eM{'~a)\\W(cr) | |da.

Seja v(t) = e~Mí\\W(t)\\. Então, para a < s < t < b, temos

v(t) < £L 2 ( t - s )e~ M x + L£ I' v(a)do.

Então, utilizando a Desigualdade de Gronwall Generalizada (Teorema 2.7), segue

v{t)<L2e{t-s)e-Ms + L3e2e-Ms f (o ~ s)eL£[,~a)do


e, integrando por partes, chegamos em

v(t) < Le~Mx[eL£('~^ - 1],

Portanto, para a < s < t < b, temos

\\V(t,s) -U(t,s)\\ < LeM^-s)[eL£^ - 1],

Podemos provar que, para a < t < s < b, temos uma desigualdade similar. Portanto, para

s,t £ [a,b\,

||V(M)-Í/(M)|| <LeM(h~a)[eLe{h-a) - 1],

Isto completa a prova do lema.

O teorema a seguir nos diz que, considerando a EDI (3.1), (3.2) sobre R, se a (3.1), (3.2) admi-

tir uma dicotomia exponencial sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande,

então a EDI (3.1), (3.2) admitirá uma dicotomia exponencial sobre E. Este resultado generaliza o

anterior.

Teorema 6.4 Sejam a,H 6 R, H > 0 e suponhamos que

(i) A EDI (3.1), (3.2) tenha uma dicotomia exponencial sobre o intervalo [a,a + H];

(ii) As funções A(t) e Q(t) sejam quase periódicas sobre a reta;

(iii) det Qn ^ 0, para qualquer n 6 TL;

(iv) £ seja um número positivo tal que LeMb(eLeh — 1) < 1/2, onde M = sup|j/l(.v)||,

L (k - i) max | |J2/||- \ \Qjl\\'J = M + 1, • • • j , com a e (í/.í/+i) ea + H <E (tk,tk+í), e

h = a-l( senh~lH + \nK).

Se H > 0 for tão grande que H > 4h e todo intervalo de comprimento H/2 contiver um número

e-translação, então a EDI (3.1), (3.2) terá uma dicotomia exponencial sobre R.


Demonstração: Seja s e E. Então o intervalo [s- -a,s- \H -a] contém um número e-

translação T para A(t). Assim, para todo t e [s - \H - a,s - \H - a],

| |A(í)-A(r - T)|| < e . (6.21)

Agora, como [5 - - o,s — - a] C [a,a + H], segue que a EDI

^=A{t-z)y, (6.22)

y(ti) = Q(ta-r)y(tn) (6.23)

tem uma dicotomia exponencial sobre \s — \H, s + jH] com constantes K e a. Então, como t > 4h 4 e

K~xeah — Ke~ah = 2senh(a/z + InK) = 2 h,

segue do Teorema 6.2, com 6\ = | e 62 = 4, que existem N soluções da EDI (6.22), (6.23) linear-

mente independentes, digamosy,-(t), i = 1 , 2 t a i s que

\yi(s)\<l-sup{\yi(t)\:\t-s\<h}

I.V1WI >4inf{|y/(0 | : \t-s\ <h).

Agora, seja Xj(t) uma solução qualquer de (3.1), (3.2) e seja y/(t) a solução de (6.22), (6.23)

com >v(.v) = Xi(s). Segue de (6.21) e pela definição de £ que, para \t — s\ < h, temos

|>v(r) = | [ í / ( í -T, A - -T)- í / ( r , A - )K-WI < 2^ 'WI-

Assim,

\xi(s)\ =\yi(s)\<-sup{\yi(t)\-.\t-s\<h}

< i-supd.x-KOi + i>v(0--r/Cr)! : |r - < /?}

< -sup{|.v ;(0| : \ t - s \ < h } + -\xj{s)\,


ou seja,

Também temos

| = \yi(s)\ > 4inf{|y,'(r)| \t — s\ < h}

> 4inf{|x/(/") | — \yi(t) —Xj(t) \ '• \t — s\ < h}

> 4inf{|jc,-(í)| : \t-s\ < h}-2\xj(s)\,

ou seja, 4

\xi(s) j > -inf{|jr/(0| : \t-s\ < h).

Como í é arbitrário temos que

2 \xi(s) \ < -sup{|x,(í) | : \ t - s \ < h }

4 |x/(s)| > - inf{|x,(/")j : \ t - s \ < h}.

Então, pelo Teorema 6.3, segue que a EDI (3.1), (3.2) tem uma dicotomia exponencial sobre R.

Apêndice 1: Um Teorema do Tipo /

Ascoli-Arzelá

Neste apêndice, apresentamos um teorema do tipo Áscoli-Arzelá para funções contínuas por

partes. Este teorema foi relevante para a obtenção do Teorema 5.5 desta dissertação.

Seja ,L],X) o espaço de todas as funções de [0,L] com valores em X que são contínuas

em t / tn, têm descontinuidade de primeira espécie em t = tn e são contínuas à esquerda em t = tn,

n— 1,2,... , m, onde m indica o número de descontinuidades no intervalo [0,L].

Para cada u £ ^cé\[0,L},X), definimos

I u(t), para i ^ tn, u(t) = <

I u(t„), para t = tn,

n= 1,2,...,/«. Então, dado 9 C ^"^([0,1],X), definimos il1 := {u : u £ 9).

Definimos, também,

u0(t) = u(t), í6[0 , í i ] ,

u(t), para t^tn, II, AT) = < «(r+), para t = t,u

para t £ [tn.tn+i], n = 1,2 m. Deste modo, u0 £ ^([0,fi],X) e un £ (é\[tn.tn+\\,X), n =

1 , 2 , . ...m.

Teorema 6.5 (Teorema de Áscoli-Arzelá para EDIs) [[12], Teorema 3.4] Um conjunto

116

Um Teorema do Tipo Ascoli-Arzelá 117

00 C ,0^^(10, L],X) será relativamente compacto se, e somente se, as seguintes propriedades forem

verdadeiras:

(i) Para qualquer t £ M+, os conjuntos O0(t) — {u(t) : u G 00} e O0(t) = {u(t) : u G 00} forem

relativamente compactos;

(ii) O conjunto 00 (t) for eqiiicontínuo à esquerda em cada t £ [0,L];

(iii) O conjunto 00 (t) for eqiiicontínuo à direita em cada t G [0,L],

Demonstração: Suponhamos que as condições (/'), (ii) e (iii) estejam satisfeitas. É consequência

direta das hipóteses e do Teorema de Ascoli-Arzelá clássico que os conjuntos 00o e O0n, são relati-

vamente compactos em céJ([0,t\],X) e %J([tn, tn+\],X) respectivamente, n — 1 ,2 , . . . ,m.

Agora, provaremos (/) e (iii). A prova de (ii) é análoga à de (iii).

Seja { i / } ^ ^ uma sequência em 00. Então existe uma subseqtiência de { u k q u e denotare-

mos por {ukl jêN* t a l Que j"*1 lêN converge para uma função

vi G ^ ( [ (Vi^X) . Analogamente, a sequência {w^jêN possui uma subseqiiência, que denotare-

mos por {ukl}/t2ÊN> t a ' Que {ãk2}k2eN converge para uma função v2 G ^([í i , f2] ,X). Continuando

com este procedimento, concluímos que existe uma subseqiiência de { u ^ 1 } ^ ^ n > Que denotare-

mos por {^"jk^n, tal que {uk"}k„eN converge para uma função v„ G Então, existe

uma subseqiiência {uk"}kn€N que converge para uma função u G onde u é uma

função tal que un = vn, para cada n= 1,2 ,...,m. Logo 00 é relativamente compacto.

Suponhamos, agora, que 00 C seja relativamente compacto. Pelo Teorema de

Ascoli-Arzelá usual, vemos facilmente que, para t / tn, n— 1 ,2 , . . . , m, os conjuntos 00(t) e 00(t)

são relativamente compactos e que 00 é equicontínuo em t.

Para estudarmos o caso em que t = /„, mostraremos, primeiramente, que para cada/z = 1,2,.. . ,m,

a função y/„(«) = " ( O é contínua.

Sejam e > 0 e w G Para todo v G B£^(u), existe <5,, > 0 tal que

| |v (C)-v( / , ! + /7 ) | |<e /3 ,

Um Teorema do Tipo Áscoli-Arzelá 118

quando 0 < h < 5,,. Com estas escolhas, para v E BEP(u) e 0 < h < <5 = min{<5w, 5,,}, temos

I K O - K O l l < I!"(',!) -u{tn + h)\\ + \\u{tn + h) -v(tn + h)\\ + \\v(t+) -v{tn + h)\\ < e,

o que prova que % é contínua e, portanto, &(t„) é relativamente compacto em X.

Mostraremos, agora, a eqiiicontinuidade de @ à direita de t — tn raciocinando por absurdo.

Suponhamos que existam e > 0 e sequências {uk}ke^ em ,L],X) e {hi}ie^ em E, com

0 < hj < 1 /i, tais que

||uk(t^) — uk(tn + hj)\\ > e.

Como @ é relativamente compacto em <^"íf([0,L],X), segue que existem uma subsequência de

{uk}kew, que denotaremos por { í / 1 } ^ ^ , e « e ,L],X) tais que uk{ m ,L],X)

quando k —»

Agora, pela continuidade de y/n, podemos fixar A^ G N tal que

||w(7+) - t / ( í , | ) j | < e, « = l , 2 , . . . ,m

e

||w* - m|| < e/3,

para todo k> Ne. Nestas condições, para k> Ne, temos

||M'(r+) - + II > \Wk(t+) - uk(tn + h)\\ - ||uk{tn + h) - u(t„ + h)||-

- | |m( Í+) -«*( Í+) | |>

> e - e / 3 - e / 3 = e/3,

o que é absurdo, pois u E ,L],X). Isto mostra que é equicontínua à direita em cada t„,

n= 1,2, . . . , m. Portanto a prova do teorema está completa.

Referências Bibliográficas

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Dicotomias em equações diferenciai impulsivas s · Neste trabalho tratamo, dsa teori fundamentaa del dicotomia pars certa equaçãa diferenciao l linear com impulso as tempo pré-fixado