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Diferenciabilidade defun¸c˜ oes reais de v´ arias vari´ aveis reais alculo II Departamento de Matem´ atica Universidade de Aveiro 2018-2019 alculo II | 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 1/1

Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis reaissweet.ua.pt/crequejo/teach/CII_slides3-4Diferenciabilidade.pdf · Derivadas parciais Derivada parcial Seja f : D ⊂Rn

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Diferenciabilidadede funcoes reais de varias variaveis reais

Calculo II

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

2018-2019

Calculo II | 2018-2019 Diferenciabilidade de f.r.v.v.r. 1 / 1

Derivadas parciais

Derivada parcial

Seja f : D ⊂ Rn → R uma funcao real de varias variaveis reais eX0 ∈ intD. Chama-se derivada parcial de f em ordem a xi no ponto X0

ao limite, caso exista em R,

limh→0

f (x01 , . . . , x

0i + h, . . . , x0

n )− f (X0)

h

e denota-se f ′xi (X0) ou ∂f∂xi

(X0).

Dada uma funcao f (x , y , z), designaremos respetivamente por f ′x(x , y , z),f ′y (x , y , z) e f ′z (x , y , z) a derivada parcial de f relativamente a variavel x , avariavel y e a variavel z .

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Como obter as derivadas parciais em cada ponto (x0, y0, z0)?

1 consideram-se apenas os pontos (x0, y0, z0) tais que a funcao f1(x) := f (x , y0, z0) facasentido para todo o x pertencente a um certo intervalo aberto centrado em x0, destemodo f1(x) e funcao de apenas uma variavel

2 definir f ′x (x0, y0, z0) := f ′

1 (x0)

1 consideram-se apenas os pontos (x0, y0, z0) tais que a funcao f2(y) := f (x0, y , z0) facasentido para todo o y pertencente a um certo intervalo aberto centrado em y0, destemodo f2(y) e funcao de apenas uma variavel

2 definir f ′y (x0, y0, z0) := f ′

2 (y0)

1 consideram-se apenas os pontos (x0, y0, z0) tais que a funcao f3(y) := f (x0, y0, z) facasentido para todo o z pertencente a um certo intervalo aberto centrado em z0, destemodo f3(z) e funcao de apenas uma variavel

2 definir f ′z (x0, y0, z0) := f ′

3 (z0)

Notacao: f ′x(x0, y0, z0) = ∂f∂x , f

′y (x0, y0, z0) = ∂f

∂y , f′z (x0, y0, z0) = ∂f

∂z

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Exemplos

1 f (x , y) = 2xy3 + x2 cos y − sin(πx)

f ′x(x , y) = 2y3 + 2x cos y − π cos(πx)

f ′y (x , y) = 6xy2 − x2 sin y

2 f (x , y , z) = xx2+y2+z2

f ′x(x , y , z) = −x2+y2+z2

(x2+y2+z2)2

f ′y (x , y , z) = −2xy(x2+y2+z2)2

f ′z (x , y , z) = −2xz(x2+y2+z2)2

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Exemplos

Obtenha as derivadas parciais num ponto generico X0.

1 f (x , y) = 2xy3 + x2 cos y − sin(πx)

f ′x(x0, y0) = (2y30 + 2x cos y0 − π cos(πx))|x=x0

f ′y (x0, y0) = (6x0y2 − x2

0 sin y)|y=y0

2 f (x , y , z) = xx2+y2+z2

f ′x(x0, y0, z0) =−x2+y2

0 +z20

(x2+y20 +z2

0 )2 |x=x0

f ′y (x0, y0, z0) = −2x0y(x2

0 +y2+z20 )2 |y=y0

f ′z (x0, y0, z0) = −2x0z(x2

0 +y20 +z2)2 |z=z0

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Exemplo 3

Obtenha as derivadas parciais num ponto generico X0 da funcao

f (x , y) =

{xy , x 6= y ,x3, x = y ,

para x 6= y temos

f ′x (x0, y0) = (y0x)′|x=x0 = (y0)|x=x0 = y0

f ′y (x0, y0) = (x0y)′|y=y0 = (x0)|y=y0 = x0

para x = y (aqui teremos de recorrer a definicao) temos

f ′x (x0, y0) = limh→0f (x0+h,y0)−f (x0,y0)

h = limh→0(x0+h)y0−x3

0

h =

limh→0x2

0 (1−x0)+x0hh = 1 para x0 = y0 = 1, mas este limite nao existe (e +∞)

para x0 = y0 6= 1

f ′y (x0, y0) = limh→0f (x0,y0+h)−f (x0,y0)

h = limh→0x0(y0+h)−x3

0

h =

limh→0x2

0 (1−x0)+x0hh = 1 para x0 = y0 = 1, mas este limite nao existe (e +∞)

para x0 = y0 6= 1

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Interpretacao geometrica das derivadas parciais

Consideremos a funcao de duas variaveis z = f (x , y) e, por exemplo,f ′x(x0, y0), para um ponto (x0, y0) do domınio de f onde aquela derivadaparcial esteja definida.

f ′x(x0, y0) da-nos o declive da reta contida no plano y = y0 e que etangente no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) a curva de intersecao do grafico de fcom aquele plano e que e o grafico de z = f (x , y0).

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Interpretacao geometrica das derivadas parciais

Consideremos a funcao de duas variaveis z = f (x , y) e, por exemplo,f ′x(x0, y0), para um ponto (x0, y0) do domınio de f onde aquela derivadaparcial esteja definida.

f ′x(x0, y0) da-nos o declive da reta contida no plano y = y0 e que etangente no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) a curva de intersecao do grafico de fcom aquele plano e que e o grafico de z = −x2 − y2

0 + 3.

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Derivadas parciais de ordem superior

Derivada parcial de ordem superior

Seja f : D ⊂ Rn → R uma funcao real de varias variaveis reais. Podemosagora tomar cada uma das suas derivas parciais f ′xi (X ) como sendo uma

funcao f ′xi : D ⊂ Rn → R real de varias variaveis reais e agora derivar

parcialmente cada uma destas funcoes f ′xi = ∂f∂xi

obtendo

f ′′xixj =∂

∂xj(∂f

∂xi) =

∂2f

∂xj∂xi

Obtemos para D ⊂ R2

∂x(∂f

∂x) =

∂2f

∂x2;

∂y(∂f

∂x) =

∂2f

∂y∂x;

∂x(∂f

∂y) =

∂2f

∂x∂y;

∂y(∂f

∂y) =

∂2f

∂y2.

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Derivadas parciais de ordem superior

Seja f : D ⊂ Rn → R uma f.r.v.v.r. definida num aberto D ⊂ Rn, e sejak ∈ N0. Diz-se que a funcao f e de classe C k em D, se admite derivadasparciais contınuas ate a ordem k em todo o ponto de D. Ser de classe C 0

significa ser contınua.

Teorema de Schwarz

Se f e de classe C 2 num aberto D ⊂ Rn, entao para A ∈ D

∂xj(∂f

∂xi)(A) =

∂2f

∂xj∂xi(A) =

∂xi(∂f

∂xj)(A) =

∂2f

∂xi∂xj(A)

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Exemplo

f (x , y) = x + sin(xy)− ey

1 ∂f∂x = 1 + y cos(xy)

1∂

∂x∂f∂x = −y2 sin(xy)

2∂

∂y∂f∂x = cos(xy)− xy sin(xy)

2 ∂f∂y = x cos(xy)− ey

1∂

∂x∂f∂y = cos(xy)− xy sin(xy)

2∂

∂y∂f∂y = −x2 sin(xy)− ey

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Derivadas e continuidade

Nota: Para funcoes de uma variavel real, se uma funcao admite derivadafinita num ponto, entao ela e necessariamente contınua nesse ponto.Tal nao acontece para f.r.v.v.r.. Veja o exemplo seguinte:

Seja f : R2 → R, definida por

f (x , y) =

{1, xy 6= 0,x + y , xy = 0,

Temos

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f (0 + h, 0)− f (0, 0)

h= 1

∂f

∂y(0, 0) = lim

h→0

f (0, 0 + h)− f (0, 0)

h= 1

Contudo f (x , y) e descontınua em (0, 0).

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Derivadas direcionais

Derivadas direcionais

Sejam f : D ⊂ Rn → R, X0 ∈ intD e ~u um vetor unitario (i.e., tal que||~u|| = 1) em Rn. A derivada direcional de f segundo a direcao ~u em X0

define-se como

D~uf (X0) = f ′~u(X0) := limh→0

f (X0 + h~u)− f (X0)

h

se este limite existir.

As derivadas parciais sao casos particulares das derivadas direcionais:

fx(x , y) = f ′(1,0)(x , y) fy (x , y) = f ′(0,1)(x , y)

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Derivadas direcionais: interpretacao geometrica

Para uma funcao de duas variaveis f (x , y) e um ponto X0 = (a, b), aderivada direcional f ′~u(X0) traduz a variacao da cota de um observadorquando se desloca na superfıcie z = f (x , y), passa por (a, b, f (a, b)) esegue a direcao e sentido de ~u.

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Exemplos

Determine a derivada direcional de f na direcao e sentido do vetor ~uindicado.

1 f (x , y) = x2 − 4y , ~u = (1, 3)

2 f (x , y) = x2 + ln(y), ~u = (2, 1), no ponto (1, 1)

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E o exemplo anterior?

f (x , y) =

{1, xy 6= 0,x + y , xy = 0,

Temos, no ponto (0, 0), para um vetor ~u = (u1, u2) 6= (0, 0) e de norma 1:

limh→0

f (0 + hu1, 0 + hu2)− f (0, 0)

h= lim

h→0

1− (0 + 0)

h= lim

h→0

1

h

que nao existe.

Esta funcao nao tem derivadas direcionais no ponto (0, 0) segundo vetores~u = (u1, u2) 6= (0, 0).

Mas esta ainda nao e razao para a sua descontinuidade: ha funcoes comderivadas direcionais num ponto e ainda assim descontınuas nesse ponto

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Outro exemplo

Seja f : R2 → R, definida por

f (x , y) =

{xy2

x2+y4 , (x , y) 6= (0, 0),

0, (x , y) = (0, 0),

Temos, no ponto (0, 0), para um vetor ~u = (u1, u2) 6= (0, 0) e de norma 1:

limh→0

f (0 + hu1, 0 + hu2)− f (0, 0)

h= lim

h→0

hu1(hu2)2

(hu1)2+(hu2)4 − 0

h=

limh→0

h3u1(u2)2

h3((u1)2 + h2(u2)4)= lim

h→0

u1(u2)2

(u1)2 + h2(u2)4

f~u(0, 0) =u2

2u1

se u1 6= 0f~u(0, 0) = 0 se u1 = 0Recorde que verificamos que esta funcao nao e contınua em (0, 0), poisnao tem limite neste ponto (verifique as trajetorias x = 0 e x = y2)

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Nota:

A existencia de derivadas direcionais nao garante, por si so, a continuidadeda funcao.

A nocao de diferenciabilidade para f.r.v.v.r. sera algo mais forte que asimples existencia das derivadas direcionais.

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Gradiente

Gradiente

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ intD tais que f ′x1(X0), . . . , f ′xn(X0) existem

e sao finitas.

O gradiente de f em X0 define-se como sendo o vetor

∇f (X0) := (f ′x1(X0), . . . , f ′xn(X0)).

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Funcao diferenciavel

Funcao diferenciavel

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ intD tais que f ′x1(X0), . . . , f ′xn(X0) existem

e sao finitas.

Diz-se que f e diferenciavel em X0 se

limX→X0

f (X )− f (X0)−∇f (X0)(X − X0)

||X − X0||= 0.

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Plano tangente (caso de f com duas variaveis)

Sejam f : D ⊂ R2 → R e X0 ∈ intD tais que f ′x(X0), f ′y (X0) existem e saofinitas.

Qual o plano tangente ao grafico de f num ponto?

1 ponto do grafico (x0, y0, f (x0, y0)) tal que X0 = (x0, y0) ∈ intD

2 dois vetores nao colineares:

(1, 0, f ′x(x0, y0)), (0, 1, f ′y (x0, y0))

3 a equacao vetorial do plano e, para α, β ∈ R

(x , y , z) = (x0, y0, f (x0, y0)) + α(1, 0, f ′x(x0, y0)) + β(0, 1, f ′y (x0, y0))

e a equacao geral do plano e

z = f (x0, y0) + (x − x0)f ′x(x0, y0) + (y − y0)f ′y (x0, y0)

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Planos tangentes e funcoes diferenciaveis

Plano tangente e funcao diferenciavel (caso de duas variaveis)

Sejam f : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) ∈ intD tais que f ′x(x0, y0) e f ′y (x0, y0)existam e sejam finitas. Diz-se que o plano de equacao

z = f (x0, y0) + (x − x0)f ′x(x0, y0) + (y − y0)f ′y (x0, y0),

e tangente ao grafico de f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) se

lim(x ,y)→(x0,y0)

f (x , y)− f (x0, y0)− f ′x(x0, y0)(x − x0)− f ′y (x0, y0)(y − y0)

||(x , y)− (x0, y0)||= 0.

Diz-se, neste caso, que f e diferenciavel em (x0, y0).

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Plano tangente: exemplo

Determine o plano tangente z = f (x0, y0) +∇f (x0, y0) · (x − x0, y − y0) aografico da funcao f (x , y) = sin(xy) no ponto (1, π, 0).

1 ∇f (x , y) = (f ′x(x , y), f ′y (x , y)) = (y cos(xy), x cos(xy))

2 as derivadas parciais sao contınuas e finitas em R2, logo tambemnuma vizinhanca de (1, π)

3 ∇f (1, π) = (f ′x(1, π), f ′y (1, π)) = (π cos(π), cos(π)) = (−π,−1)

4 f (1, π) = sin(π) = 0

5 z = f (1, π) +∇f (1, π) · (x − 1, y − π) =0 + (−π,−1) · (x − 1, y − π) = 0− π(x − 1)− (y − π) = 2π− πx − y

6 o plano e z + πx + y = 2π

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Continuidade de funcoes diferenciaveis

Continuidade

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ intD.Se f e diferenciavel em X0, entao e contınua em X0.

provar ....

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Derivadas direcionais de funcoes diferenciaveis

Derivadas direcionais de funcoes diferenciaveis

Sejam f : D ⊂ Rn → R diferenciavel e X0 ∈ intD.Entao existem e sao finitas as derivadas direcionais de f em X0 segundoqualquer vetor normado ~u ∈ Rn e

f ′~u(X0) := ∇f (X0) · ~u.

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Determine a derivada direcional de f na direcao esentido do vetor ~u indicado.

1 f (x , y) = x2 − 4y , ~u = (1, 3)

2 f (x , y) = x2 + ln y , ~u = (2, 1), no ponto (1, 1)

3 f (x , y) = x2y3, ~u = (3,−4)

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Criterio de diferenciabilidade

Teorema (condicao suficiente de diferenciabilidade)

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ intD.Se as derivadas parciais de f existem e sao finitas numa bola abertacentrada em X0 e sao contınuas em X0, entao f e diferenciavel em X0.

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Verifique se a funcao e diferenciavel no pontoindicado.

f (x , y) = 4−xyx+y , (2, 2, 0)

1 Df = {(x , y) ∈ R2 : x + y 6= 0}

2 ∇f (x , y) = (− 4 + y2

(x + y)2,

4 + x2

(x + y)2)

3 as derivadas parciais sao funcoes contınuas pelo menos emDf = {(x , y) ∈ R2 : x + y 6= 0}

4 logo tambem em (2, 2) e sao finitas numa bola aberta centrada em(2, 2)

5 assim, f e diferenciavel em (2, 2, 0)

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Verifique se a funcao e diferenciavel no pontoindicado.

f (x , y) = 1x2+y2 , (1, 1, 1/2)

1 Df = R2\{(0, 0)}

2 ∇f (x , y) = (−2x

x2 + y2,−2y

x2 + y2)

3 as derivadas parciais sao finitas e contınuas pelo menos emR2\{(0, 0)}

4 logo tambem numa bola aberta centrada em (1, 1)

5 assim, f e diferenciavel no ponto indicado

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Verifique se a funcao e diferenciavel no pontoindicado.

f (x , y) =√x2 + y2, (0, 0, 0)

1 Df = R2

2 ∇f (x , y) = (x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

)

3 as derivadas parciais sao finitas e contınuas pelo menos emR2\{(0, 0)}

4 logo nao estao definidas em (0, 0)

5 assim, f nao e diferenciavel no ponto indicado

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Propriedades das funcoes diferenciaveis

A soma, o produto e o quociente de funcoes diferenciaveis sao aindafuncoes diferenciaveis.

A composicao de funcoes diferenciaveis e ainda uma funcaodiferenciavel.

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Regra da cadeia

Regra da cadeia

Sejam f : D ⊂ Rn → R e g : R→ Rn tal que a composicao(f ◦ g)(t) := f (g1(t), . . . , gn(t)) esta bem definida.Seja t0 ∈ intDg e X = g(t).Se g1, . . . , gn sao diferenciaveis em t0 (entao g e diferenciavel e t0) e f ediferenciavel em X0 = g(t0), entao f ◦ g e diferenciavel em t0 e

d(f ◦ g)(t0)

dt= ∇f (X0)(

dg1

dt(t0), . . . ,

dgndt

(t0))

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Regra da cadeia: exemplo

f (x , y) = x2 + 2y2, g(t) = (sin(t), cos(t))

d(f ◦g)dt (t0) = ∇f (g(t0))(dg1

dt (t0), dg2dt (t0)) Temos

1 ∇f (x , y) = (2x , 4y)

2dg(t)dt = (dg1(t)

dt , dg2(t)dt ) = (cos(t),− sin(t))

3 ∇f (g(t0)) = (2 sin(t), 4 cos(t))

4d(f ◦g)(t)

dt = ∇f (g(t))dg(t)dt = (2 sin(t), 4 cos(t)) · (cos(t),− sin(t)) =

2 sin(t) cos(t)− 4 cos(t) sin(t) = −2 sin(t) cos(t)

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Linearizacao: aproximacao de z = f (X ) navizinhanca de X0

Se f e uma funcao diferenciavel no ponto X0 ∈ intD, a linearizacao de fjunto a, ou numa vizinhanca de, X0 e

z ≈ f (X0) +∇f (X0)(X − X0)

O valor de z = f (X ) pode ser aproximado, localmente, de forma linear navizinhanca de X0.

Nota que z = f (X0) +∇f (X0)(X − X0) e a equacao do plano tangente aografico de f no ponto (X0, f (X0)).

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Linearizacao: exemplo

Determina uma aproximacao linear de f (x , y) = xy na vizinhanca doponto (1, 2).

1 ∇f (x , y) = (f ′x(x , y), f ′y (x , y)) = (yxy−1, xy ln(x))

2 as derivadas parciais sao contınuas e finitas em R+ ×R, logo tambemnuma vizinhanca de (1, 2)

3 ∇f (1, 2) = (f ′x(1, 2), f ′y (1, 2)) = (2, 0)

4 f (1, 2) = 1

5 a aproximacao linear e z ≈ f (1, 2) +∇f (1, 2) · (x − 1, y − 2) =1 + (2, 0) · (x − 1, y − 2) = 1 + 2(x − 1) + 0(y − 2) = 2x − 1

6 uma vez que (1.01; 2.03) e proximo de (1, 2), podemos usar esteplano para obter o valor aproximado de 1.012.03 = 1.020404

7 a aproximacao e 1.012.03 ≈ 2x − 1 = 2× 1.01− 1 = 1.02

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Direcao e sentido de crescimento mais rapido

Seja f : D ⊂ Rn → R, X0 ∈ int tal que f e diferenciavel em X0, e seja ~uum vetor unitario de Rn. Entao

f ′~u(X0) = ∇f (X0) · ~u = ||∇f (X0)|| cos θ

onde θ e o angulo entre ∇f (X0) e ~u.Tambem se pode dizer que f ′~u(X0) e, a menos de sinal, a norma daprojecao ortogonal do gradiente de f sobre o vetor ~u.

Recorda que:

Dados os vetores X e Y de Rn, e θ o angulo por eles formado

X · Y = ||X || ||Y || cos θ, θ ∈ [0, π]

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Direcao e sentido de crescimento mais rapido

Uma vez que f ′~u(X0) = ||∇f (X0)|| cos θ pode-se dizer que atinge o seuvalor maximo quando cos θ = 1 e, portanto, quando

f ′~u(X0) = ||∇f (X0)||

ou seja, quando ~u tem a mesma direccao e sentido do vetor gradienteDiz-se portanto que:

em cada ponto de diferenciabilidade da funcao, a taxa de variacao emaxima na direcao e sentido do vetor gradiente, sendo ||∇f (X0)|| o seuvalor maximo.

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Exemplo

A distribuicao da temperatura num objeto (um plano) e dada porf (x , y) = x2 + 3y2. Determina a direcao e sentido de maior aumento detemperatura no ponto (2, 1

2 ) e o seu valor.

1 ∇f (x , y) = (2x , 6y)

2 ∇f (2, 12 ) = (4, 3) e a direcao e sentido de maior aumento

3 que ocorre quando ~u e ∇f (2, 12 ) tem a mesma direcao e sentido

4 logo ~u = (4,3)||(4,3)|| = ( 4

5 ,35 )

5 o seu valor e de ||∇f (2, 12 )|| =

√42 + 32 = 5 que e a taxa de

aumento nessa direcao e sentido

6 a direcao e sentido de menor aumento de temperatura e−∇f (2, 1

2 ) = (−4,−3)

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Campos de gradientes

Dada uma funcao f : D ⊂ Rn → R chama-se representacao dos campos degradientes de f a representacao da funcao ∇f (x , y)

Exemplo: f (x , y) = x2 + y2

1 ∇f (x , y) = (2x , 2y)

campo de vetores campo de vetores e curvas de nıvel

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Planos tangentes a superfıcies de nıvel

Em cada ponto o gradiente da funcao parece perpendicular a curva denıvel que passa por tal ponto.

Seja a funcao f : D ⊂ Rn → R e N(c) = {X ∈ Rn : f (X ) = c } a suacurva de nıvel.Seja ainda g : R→ Rn, com g1, . . . , gn diferenciaveis, e tal que acomposicao (f ◦ g)(t) := f (g1(t), . . . , gn(t)) esta bem definida.Para o intervalo real I e quando a curva esta no conjunto de nıvel N(c)temos f (g(t)) = c, para t ∈ I . E portanto

∇f (g(t))dg

dt(t) = (f (g(t))′(t) = 0

i.e. o gradiente de f em cada ponto X = g(t) da curva e perpendicular aovetor dg

dt (t)

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Planos tangentes a superfıcies de nıvel

Seja a funcao f : D ⊂ R3 → R e N(c) = {X ∈ Rn : f (X ) = c } a suacurva de nıvel para um dado c ∈ R.Seja X0 ∈ N(c) um ponto de diferenciabilidade de f . Se ∇f (X0) 6= ~0, oplano tangente a N(c) no ponto X0 e

∇f (X0) · (X − X0) = 0

∇f (X0) e perpendicular ou ortogonal a superfıcie de nıvel em X0

a definicao anterior de plano tangente ao grafico da funcao e um casoparticular deste

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Planos tangentes a superfıcies de nıvel

Seja a funcao f : D ⊂ R2 → R entao

1 ∇f (x0, y0) e ortogonal a curva de nıvel f (x0, y0)

2 ∇f (x0, y0) nao e ortogonal ao grafico de f em (x0, y0, f (x0, y0))

3 f ′x(x0, y0), f ′y (x0, y0),−1) e ortogonal ao grafico de f em(x0, y0, f (x0, y0))

Seja a funcao f : D ⊂ R3 → R entao

1 ∇f (x0, y0, z0) e ortogonal a superfıcie de nıvel f (x0, y0, z0)

2 ∇f (x0, y0, z0) nao e ortogonal ao grafico de f em(x0, y0, z0, f (x0, y0, z0))

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Gradiente e Plano tangente

Seja f uma funcao diferenciavel em X0, o vetor gradiente de f em X0, ∇f (X0), pareceperpendicular ao hiperplano tangente ao conjunto de nıvel f (X ) = k que passa no ponto X0.

Seja f uma funcao diferenciavel em (x0, y0), o vetor gradiente de f em (x0, y0),∇f (x0, y0), e perpendicular a reta tangente a curva de nıvel f (x , y) = k que passa noponto X0. Sendo ∇f (x0, y0) 6= 0, a reta tangente e

∇f (x0, y0).(x − x0, y − y0) = 0

e a reta normal a reta tangente e

(x , y) = (x0, y0) + α∇f (x0, y0), α ∈ R

Seja f uma funcao diferenciavel em (x0, y0, z0), o vetor gradiente de f em (x0, y0, z0),∇f (x0, y0, z0), e perpendicular ao plano tangente a superfıcie de nıvel f (x , y , z) = k quepassa no ponto X0. Sendo ∇f (x0, y0, z0) 6= 0, o plano tangente e

∇f (x0, y0, z0).(x − x0, y − y0, z − z0) = 0

e a reta normal a este plano e

(x , y , z) = (x0, y0, z0) + α∇f (x0, y0, z0), α ∈ R

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Exemplo

Seja a funcao f (x , y) = x√x2 + y2 e X0 = (1, 2

√2). Determine a

equacao da reta perpendicular a curva de nıvel 3 do grafico de f .

1 A curva de nıvel 3 eN(3) = {(x , y) : f (x , y) = 3} ⇔ N(3) = {(x , y) : x

√x2 + y2 = 3}

2 X0 = (1, 2√

2) e tal que f (1, 2√

2) = 3 logo X0 ∈ N(3)

3 ∇f (x , y) = (√x2 + y2 + x2√

x2+y2, xy√

x2+y2)

4 o gradiente num ponto e perpendicular a curva de nıvel que o contemnesse ponto, logo a equacao da reta ortogonal e

(x , y) = (1, 2√

2) + α∇f (1, 2√

2) = (1, 2√

2) + α( 103 ,

2√

23 ), α ∈ R

⇔ −2√

2x + 10y = 18√

2

5 E a equacao da reta tangente a curva de nıvel 3 do grafico de f ?

6 A equacao da reta e

((x , y)− (1, 2√

2)) · ( 103 ,

2√

23 ) = 0⇔ 10x + 2

√2y = 18

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Plano tangente e reta normal: exemplo

Considere a superfıcie esferica x2 + y2 + z2 = 1. Determine o planotangente a superfıcie no ponto (1/2, 1/2,

√2/2) e a reta normal ao plano

nesse ponto.Podemos dizer que se trata da superfıcie de nıvel 1 da funcaof (x , y , z) = x2 + y2 + z2.

1 ∇f (x , y , z) = (f ′x(x , y , z), f ′y (x , y , z), f ′z (x , y , z)) = (2x , 2y , 2z)

2 as derivadas parciais sao contınuas e finitas em R3, logo tambemnuma vizinhanca de (1/2, 1/2,

√2/2)

3 ∇f (1/2, 1/2,√

2/2) = (1, 1,√

2)

4 ∇f (1/2, 1/2,√

2/2) · (x − 1/2, y − 1/2, z −√

2/2) =∇f (1, 1,

√2)·(x−1/2, y−1/2, z−

√2/2) = x−1/2+y−1/2+

√2z−1

5 a equacao cartesiana do plano tangente e x + y +√

2z = 2

6 a equacao vetorial da reta normal ao plano e(x , y , z) = (1/2, 1/2,

√2/2) + α(1, 1,

√2), α ∈ R.

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Diferencial

f (x) = x2

f (x0)

f (x) z = f (x0) +∇f (x0)(x − x0)

4f

x0 x

4x

df = ∇f (x0)4 x

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Diferencial

Seja f : D ⊂ Rn → R diferenciavel em X0 ∈ intD.O diferencial df de f (no ponto X0) define-se como a funcao que a cada4X , 4X := X − X0, associa o valor

df := ∇f (X0) · (4X ).

Nota que para valores pequenos de 4x temos df ≈ 4f .

Tambem podemos usar dx em vez de 4x e assim df := ∇f (X0) · (dX ).

Portanto z ≈ f (X0) +∇f (X0)(X − X0) ≈ f (X0) + df

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Diferencial: exemplo

Obtem o diferencial de f (x , y) =√x2 + y2 no ponto (3, 4).

1 ∇f (x , y) = (f ′x(x , y), f ′y (x , y)) = ( x√x2+y2

, y√x2+y2

)

2 as derivadas parciais sao contınuas e finitas em R2\{(0, 0)}, logotambem numa vizinhanca de (3, 4)

3 ∇f (3, 4) = (f ′x(3, 4), f ′y (3, 4)) = ( 35 ,

45 )

4 temos df = 35 4 x + 4

5 4 y

5 ou melhor df = 35dx + 4

5dy

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Extensao da nocao de diferencial

Seja f : D ⊂ R→ R diferenciavel em x0 ∈ intD, e

df = f ′(x0)dx .

Se f ◦ g fizer sentido, para uma funcao g : I ⊂ R→ R diferenciavel emt0 ∈ intI , e se g(t0) = x0, sabemos, pela regra da cadeia para funcoes deuma so variavel, que

(f ◦ g)′(t0) = f ′(x0)g ′(t0),

de modo que

d(f ◦ g) = (f ◦ g)′(t0)dt = f ′(x0)g ′(t0)dt = f ′(x0)dg .

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Extensao da nocao de diferencial

Sendo f : D ⊂ Rn → R, g : R→ Rn, g = (g1, . . . , gn), e X0 = g(t0)temos

dy = f ′x1(X0)dx1 + · · · + f ′xn(X0)dxn

ou

dy = f ′x1(X0) g ′1(t0)dt + · · · + f ′xn(X0) g ′n(t0)dt

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Extensao da nocao de diferencial: exemplo

Seja f (x , y) = x2 + yx + y2, g(t) = t2 + et temos

∂g

dx=∂g

dt×∂tdx

= (2t+et)(2x− y

x2) = (2(x2+

y

x+y2)+e(x2+ y

x+y2))(2x− y

x2)

∂g

dy=∂g

dt× ∂tdy

= (2t+et)(2y+1

x) = (2(x2+

y

x+y2)+e(x2+ y

x+y2))(2y+

1

x)

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f (x1, . . . , xn)

x1

t1 tm

xj

t1 tm

xn

t1 tm

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