DIFERENTES USOS DE RECURSOS COMPUTACIONAIS EM

ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA

Rhômulo Oliveira Menezes¹

1. rhominho.oliveira@hotmail.com

Resumo

Cada vez mais se torna recorrente o uso de Recursos Computacionais em atividades de

Modelagem Matemática. Diante disso, assumo neste trabalho o objetivo de relatar como se deu

o planejamento de uma atividade de Modelagem Matemática, na qual o uso de Recursos

Computacionais se fez presente e necessário. Para isso retomo vivências ocorridas enquanto

discente de uma disciplina do Curso de Mestrado, na qual tive, a pedido do professor mediador

da disciplina, a oportunidade de planejar uma atividade de Modelagem Matemática. Ao realizar

esse planejamento, surgiu a necessidade de utilizar e incluir Recursos Computacionais, de modo

que os mesmos figuraram no desenrolar das etapas em duas vertentes de uso, a primeira na

realização de cálculos trabalhosos se realizados a mão, e a segunda como simulador ao

possibilitar o manejo de variáveis e a visualização dessas alterações graficamente.

Palavras – chave: Atividades de Modelagem Matemática. Uso de Recursos Computacionais.

Realização de Cálculos Trabalhosos. Simulador.

Abstract

Increasingly becomes the recurring use of Computing Resources mathematical modeling

activities. Therefore, I take this work in order to report how was planning a modeling activity

Mathematics, in which the use of Computing Resources was present and necessary. For this

return experiences occurred while students of a discipline of the Master Course, which had, at

the request of the facilitator of the course, the opportunity to plan a mathematical modeling

activity. When performing this planning, the need to use and include Computational Resources

so that they figured in the unfolding of the stages in two areas of use, the first in performing

laborious calculations are made by hand, and the second as simulator to enable the management

of variables and viewing these changes graphically.

Keywords: Mathematical Modeling activities. Use of Computing Resources. Performing

laborious calculations. Simulator.

Considerações Iniciais

Neste trabalho assumo como objetivo relatar como se deu o planejamento de uma atividade de

Modelagem Matemática, na qual o uso de Recursos Computacionais se fez presente e

necessário. Para o desenvolvimento do mesmo, elenquei algumas seções, dispostas da seguinte

forma, a se saber:

Na primeira seção apresento a Modelagem Matemática enquanto método de ensino na

perspectiva do Movimento de Educação Matemática, focando nas etapas que compõe o seu

processo e na forma como os Recursos Computacionais aparecem no mesmo, exemplificando

essa inserção por meio de algumas pesquisas; Feito esses esclarecimentos, na segunda seção,

discorro sobre como ocorreu o planejamento de uma atividade de Modelagem Matemática, e a

forma como foi inserido os Recursos Computacionais nessa atividade; E por fim, na última

seção, diante da literatura que abordei e da minha vivência ao planejar uma atividade de

Modelagem Matemática, traço algumas considerações acerca do uso de Recursos

Computacionais no planejamento dessa atividade.

O Uso de Recursos Computacionais em Atividades de Modelagem Matemática

A Modelagem Matemática surgiu no ceio da Matemática Aplicada com foco na obtenção de

um modelo que represente/solucione uma situação problemática de antemão escolhida. Com o

Movimento de Educação Matemática começa-se a pensar a Modelagem Matemática no

contexto do ensino e aprendizagem da Matemática. Onde se valoriza o processo e as

possibilidades que este pode oferecer para desenvolver competências – crítica, reflexiva,

autônoma – que possam auxiliar os alunos na aprendizagem de conteúdos matemáticos.

D’Ambrosio (1986), complementa afirmando que a Modelagem Matemática se constitui em

“um processo muito rico de encarar situações reais e culmina com a solução efetiva do problema

real e não com a simples resolução formal de um problema artificial” (p. 11). Já Bassanezi

(2004) diz que, “A Modelagem Matemática é um processo que alia teoria a prática, motiva o

usuário na procura do entendimento de realidade que o cerca na busca de meios para agir, sobre

ela e transformá-la” (p. 17).

Diante da importância associado a Modelagem Matemática, e consequentemente ao processo

que a constitui, surgiram importantes linhas de investigação como as relacionadas: à

interdisciplinaridade, Chaves e Espírito Santo (2008); ao tratamento do erro, Braga (2009); e á

indícios de contornos de equívocos na inserção de recursos computacionais no ensino de

matemática, Menezes (2012). Ressaltando assim, questões importantes – já que o processo

promove/gera ambientes possíveis para trabalharmos diferentes temáticas – para a Modelagem

Matemática enquanto campo de pesquisa e também para o uso da mesma como método de

ensino.

Diante disso, neste trabalho, o processo de Modelagem Matemática se constitui como um pano

de fundo para indicarmos situações que envolvem o uso de Recursos Computacionais por

professores e alunos nas singularidades que constituem o desenvolvimento de suas etapas.

Nesta seção apresento as etapas que constituem o processo de Modelagem Matemática na

perspectiva da Educação Matemática sob o julgo de autores como: Biembengut & Hein (2007);

Bassanezi (2011); Meyer, Caldeira & Malheiros (2011); Almeida, Silva & Vertuan (2012) entre

outros. Ressalto também a pertinência da utilização de Recursos Computacionais no

desenvolvimento dessas etapas.

Uma característica marcante da Modelagem Matemática é o uso de contextos reais a serem

investigados. Para que isso ocorra é necessário escolher um tema que seja interesse de pesquisa

dos alunos.

A esse respeito Bassanezi ( 2011) afirma que “É muito importante que os temas sejam

escolhidos pelos alunos que, desta forma, se sentirão corresponsáveis pelo processo de

aprendizagem, tornando sua participação mais efetiva.” (p. 46)

Meyer, Caldeira & Malheiros (2011) reforçam, essa participação dos alunos, exemplificando a

situação a seguir,

Inicialmente, pode-se separar a turma em grupos e pedir aos alunos que

discutam que temas gostariam de trabalhar. Os temas vão surgir. Um

grupo vai querer trabalhar com meio ambiente, outro com drogas, outro

com trânsito nas imediações da escola, saúde, jogos, esportes, entre

tantos outros. Serão os mais variados porque são temas relacionados

com o cotidiano desses alunos e da escola (p. 42).

A viabilidade da pesquisa sobre os temas que irão surgir dependerá da decisão do professor,

como ressalta Bassanezi (2011), “(...) a escolha final dependerá muito da orientação do

professor que discursará sobre a exequibilidade de cada tema, (...)” (p. 46)

Escolhido o tema, necessita-se buscar o máximo de informações a respeito do mesmo.

Biembengut & Hein (2007) classificam essa etapa como Interação, já Almeida, Silva &

Vertuan (2012) chamam-na de Inteiração. Ambas remetem ao primeiro contato do aluno com

a situação – problema, tentando assim extrair características e especificidades que possam

auxiliar na sua investigação.

Nessa etapa o uso de computadores conectados a internet é de grande importância para que os

alunos possam efetivar suas pesquisas mais rapidamente e com acesso a múltiplas informações.

Os alunos aferidos na pesquisa de Silva (2010) retratam em suas falas essa importância,

Aluno A: Muito legal porque facilita a pesquisa; Aluno B: Acho que

agente não teria feito nada se não fosse a internet, até porque na escola

não tem biblioteca ai como agente ia pesquisar o assunto; (...) Aluno D:

Numa biblioteca ia perder um tempão para conseguir esse material;

Aluno E: Sem o computador na internet fica muito difícil encontrar o

que queremos; Aluno F: Com a internet o trabalho fica muito mais fácil

e prático; Aluno G: A internet facilitou muito para fazer a pesquisa;

Aluno H: Muito importante porque sem ela a pesquisa seria complicada

(...) (p. 80).

Na fase de Iteração/Inteiração os alunos, com a mediação do professor, terão formulado um

problema e estruturado metas para solucionar o problema levantado. Até esse momento não se

recorre a nenhum conceito matemático, continua-se tratando o tema e o problema oriundo dele

por meio da língua vernácula do aluno.

Na próxima etapa introduzem-se os ferramentais matemáticos que irão auxiliar o aluno.

Biembengut & Hein (2007) e Almeida, Silva & Vertuan (2012) nomeiam essa etapa como

Matematização.

Nessa etapa os alunos buscam relacionar as características encontradas nas informações

pesquisadas, com ferramentais matemáticos, ou seja, representá-los por meio de símbolos

matemáticos. Oportunizando também, o levantamento de hipóteses explicativas e a seleção de

variáveis. Biembengut & Hein (2007) propõe ainda nessa etapa a construção do modelo. Já

Almeida, Silva & Vertuan (2012) concebem uma etapa especifica para a construção do modelo

que representará a situação – problema investigada, denominada de Resolução.

Alguns softwares podem ajudar os alunos na organização e interpretação dessas informações.

Machado Junior (2005) nessa etapa propôs aos participantes de sua atividade que tratassem os

dados coletados por meio do programa Excel. Já Rozal (2007) utilizou os dados coletados pelos

alunos, para através do MatLab plotar gráficos em 3D, permitindo aos seus alunos visualizar

suas informações concatenadas em uma única imagem.

É importante mencionar uma singularidade ocorrida nessa etapa, nos trabalhos de Machado

Junior (2005) e de Rozal (2007). No do primeiro autor, os alunos com a mediação do

professor/pesquisador, utilizaram o programa Excel e fizeram o tratamento dos seus dados. Já

na pesquisa da segunda autora, os alunos apenas coletaram, não lidaram fisicamente com o

programa MatLab, recebendo ao final um resultado, no caso o gráfico plotado.

Com o modelo construído prossegue-se para etapa final do processo de Modelagem Matemática

que consiste na verificação desse modelo. Nessa etapa os alunos irão testar esse modelo,

interpretar as respostas geradas por ele, verificar se o mesmo está adequado ao tema e ao

problema escolhido, fazer previsões, simular situações, enfim, tentando com isso encontrar

indícios da adequação do modelo ao contexto da situação investigada. Biembengut e Hein

(2007) classificam essa etapa como Modelo, enquanto que Almeida, Silva & Vertuan (2012),

classificam-na como Interpretação de Resultados e Validação.

Algo que se deve entender, em relação ao Modelo Matemático, é que diferentemente da

Modelagem Matemática sob o julgo da Matemática Aplicada onde o modelo é concebido em

forma numérico/algébrica, geralmente sob a forma de uma função ou outro ente matemático.

Na perspectiva do Movimento de Educação Matemática, isso não é característica principal da

Modelagem Matemática, já que primamos pelo processo, tornando-se comum ao ‘final’ deste

não termos um modelo numérico/algébrico e sim outras formas representativas – tabelas,

gráficos – da problemática inicial ou ainda apenas reflexões a respeito dos resultados

encontrados. Sobre essa perspectiva Chaves e Espírito Santo (2011) dizem que,

A resolução de algumas situações-problemas pelo processo de

Modelagem pode não resultar na construção de um Modelo

Matemático. Nesse caso, a ênfase é dada na utilização das teorias

matemáticas para organizar ou oferecer uma solução a

situação/problema proposta, e a validação se dá por meio de uma

análise crítica das repostas obtidas, no sentido de verificar o quanto as

mesmas são pertinentes ou não. Aqui se busca validar, ou não, um

processo de resolução de uma situação/problema oriunda do cotidiano

ou de outras áreas do conhecimento, e não de um Modelo Matemático

que a represente (p. 164).

Outro ponto a ser esclarecido é em relação a disposição das etapas. Como forma de expor

didaticamente o processo, apresentei as mesmas de forma linear, isso não significa que ocorrerá

de igual maneira quando se utiliza desse processo em sala de aula. Almeida, Silva & Vertuan

(2012) a esse respeito afirmam que,

Ainda que essas fases constituam procedimentos necessários para a

realização de uma atividade de Modelagem Matemática, elas podem

não decorrer de forma linear, e constantes movimentos de “ida e vinda”

entre essas fases caracterizam a dinamicidade da atividade (p. 17).

O uso de Recursos Computacionais tem potencialidades exploradas em todas as etapas do

processo de Modelagem Matemática, não sendo uma obrigatoriedade usá-los sempre, sendo

cada vez mais difícil deixar esses recursos de fora do processo.

(...) parece haver uma incorporação natural das TICs na Modelagem e

que, conforme novas opções tecnológicas surgem, a Modelagem ganha

outras possibilidades (MEYER, CALDEIRA & MALHEIROS, 2011,

p. 123).

A dinamicidade de inúmeros softwares livres, hoje disponíveis no

mercado, pode auxiliar alunos e professor na construção de gráficos e

na observação da influência dos parâmetros bem como na realização de

cálculos. Nesse sentido, a possibilidade de experimentar, de visualizar

e de coordenar de forma dinâmica as representações algébricas, gráficas

e tabulares, são vantagens da interação de atividades de modelagem

com as mídias informáticas (ALMEIDA, SILVA & VERTUAN, 2012,

p. 31).

Diante dessa necessidade, de utilizar Recursos Computacionais em atividades de Modelagem

Matemática, torna-se relevante pontuar características que possam surgir da relação dos sujeitos

(professor e aluno) com esses recursos no desenvolvimento de etapas do processo de

Modelagem Matemática. Por isso, relato a seguir como se deu o planejamento de uma atividade

de Modelagem Matemática e a forma como os Recursos Computacionais foram inseridos na

mesma.

Planejando uma Atividade de Modelagem Matemática

A atividade foi planejada no primeiro semestre de 2014 em uma disciplina de Modelagem

Matemática que tinha por objetivo apresentar o processo de Modelagem Matemática como

gerador de um ambiente de ensino e aprendizagem, sendo dirigida a discentes dos cursos de

Mestrado e Doutorado. Tinha assim, a tarefa de elaborar uma atividade de Modelagem

Matemática possível de ser trabalhada no Ensino Fundamental ou Médio.

A atividade foi proposta pelo professor mediador da disciplina, sendo retirada do livro de

Almeida, Silva e Vertuan (2012), e esse texto tinha como título “E eu pergunto: Tem calça de

qual tamanho? ”. Meu objetivo era desenvolver essa temática pensando em como poderia

trabalhá-la em sala de aula. Além do texto, tive acesso a uma tabela que relacionava duas

variáveis, o número de calças com as medidas de quadris, como exposto abaixo:

Quadro 1 – Número da calça e media do quadril

Quadril 88 92 96 100 104 108 112 116 120 124

Nº da calça 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012)

Desta forma, inseri os dados da tabela 1 na Planilha Eletrônica Excel, e posteriormente com o

auxílio da mesma plotei o gráfico do tipo dispersão. Com o gráfico montado tive como

encontrar por meio de um ajuste linear, também disponível na planilha, uma função do primeiro

grau, como exposto a seguir.

Gráfico 1 – Representação gráfica dos dados da tabela

Fonte: Disciplina de Modelagem Matemática (2014)

Sendo assim, inseri os valores da tabela correspondente a x, o que resultava de forma

semelhante aos valores correspondentes a y. Entretanto, quando inseri valores diferentes dos da

tabela e ainda sem serem múltiplos de 4, os valores que apareciam não correspondiam a

nenhuma numeração usualmente reconhecida no mercado têxtil.

Diante do período da disciplina e tendo a responsabilidade de apresentar resultados, optei por

parar nesse modelo, considerando que caso outras medidas, fora do padrão assumido na tabela,

aparecessem, elas poderiam ser tratadas via intervalos. Sendo assim finalizei esse início de

investigação e comecei o planejamento de como seria inserido esse processo e essa atividade

no contexto da sala de aula.

y = 0,5x - 8

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120 140

Nº

da

calç

a (y

)

Quadril (x)

Comecei então a discutir como seria apresentada aos alunos essa temática do tamanho das

calças jeans. Considerando que seria uma turma iniciante e visando sair do contexto da aula

tradicional, ou seja, almejando que o aluno participasse da aula e se tornasse ativo em sua

aprendizagem, idealizei que a aula começaria com medições dos quadris dos próprios alunos.

De posse dessas medições, seria composta uma tabela da sala de aula, que além das medidas

dos quadris, também seria requerido que os alunos informassem o número da calça jeans que

usam habitualmente.

Feito essa coleta de dados inicial, já teria a participação dos alunos e o gancho necessário para

introduzir os dados da tabela 1. Como os alunos são iniciantes, não poderia deixá-los livres para

investigarem como poderiam tratar os dados, ou ainda com qual ferramentas matemáticas iriam

utilizar. Por isso, reservei esse momento, posterior a coleta de dados, para o professor tratar do

conteúdo que pretendesse trabalhar, nesse caso pensei em função polinomial do primeiro grau

e suas ramificações.

A partir dessas explanações iniciais o professor juntamente com os alunos começariam o

processo para encontrar o modelo que representasse os dados da tabela 1. Dependendo da

didática do professor e dos recursos apresentados aos alunos, ele poderia ser encontrado de

algumas maneiras, como, por exemplo, pelo uso do coeficiente angular, ou então, por meio de

determinantes, ou ainda, pelas ferramentas disponíveis na Planilha Eletrônica Excel.

Ambos os procedimentos levariam os alunos ao modelo que encontramos, y = 0,5x – 8. Com

esse modelo, e com as ferramentas de outro software, o GraphEquation, o professor teria a

oportunidade de mostrar aos alunos como ocorre alterações no gráfico quando se altera

coeficientes ou então quando se mudam os sinais. É importante frisar nesse momento a

relevância das potencialidades dos softwares ao me oportunizar trabalhar com as características

da função mudando suas opções e variáveis, as adaptando em outros contextos.

Figura 01 – Exemplos de uso do GraphEquation

Fonte: Disciplina de Modelagem Matemática (2014)

A partir desse primeiro contato onde o professor pode manter certo domínio sobre o ambiente,

iniciaria os preparativos para a segunda parte da atividade. Nessa segunda parte os alunos iriam

trabalhar com os dados coletados sobre suas medidas, observando que medidas similares as

encontradas na tabela 1 corresponderiam aos números de suas calças e que alunos com medidas

que não se encontravam nessa tabela corresponderiam a intervalos de números, sendo o modelo

até então encontrado não apropriado para esses últimos. Oportunizando assim aos alunos e ao

professor continuar a atividade em busca de um modelo que se aproxime tanto das medidas

encontradas na tabela 1, como também as medidas que lá não se encontram.

Traçando algumas Considerações

Como se pôde perceber na segunda seção os Recursos Computacionais figuram em todas as

etapas que constituem o processo de Modelagem Matemática. Em nosso planejamento os

mesmos incidiram com o a proposta do uso da Planilha Eletrônica Excel e do Programa

GraphEquation.

Os Recursos Computacionais citados foram utilizados apoiadas em duas vertentes, a primeira

para auxiliar no manejo de cálculos laboriosos que se feitos a mão custaria maior tempo. Nesse

caso destacamos o uso da Planilha Eletrônica Excel para encontrar o modelo y = 0,5x – 8. E na

segunda vertente, quando utilizamos o Programa GraphEquation para realizar simulações

alterando os parâmetros, sendo essas alterações perceptíveis por meio do comportamento do

gráfico.

Essas vertentes no uso de Recursos Computacionais em atividades de Modelagem Matemática,

anteveem a perspectiva do Movimento de Educação Matemática, já que costumeiramente eram

utilizados para esses fins por pesquisadores de diversas áreas como menciona Araújo (2002) ao

corroborar “dois argumentos sobre a importância dos computadores na Modelagem

Matemática: efetuar cálculos e realizar simulações” (p. 42).

Desta forma acredito que alcancei meu objetivo já que relatei como se deu o planejamento de

uma atividade de Modelagem Matemática, enfocando na presença e na necessidade do uso de

Recursos Computacionais para o desenvolvimento da mesma.

Referências

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