Digital V1 2

SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

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1

CONTROLE DIGITAL v1.2


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2

CONTROLE DIGITAL ................................................................................................................................. 1 1 Introduo ao Controle Digital ........................................................................................................ 3

1.1 Introduo................................................................................................................................... 4 1.2 Amostragem e Quantizao ........................................................................................................ 6 1.3 Modelagem dos Elementos de Amostragem e Reteno ............................................................ 7 1.4 Efeitos da Amostragem............................................................................................................... 9 1.5 Algoritmo de Controle .............................................................................................................. 13 1.6 Funo de Transferncia Discreta............................................................................................. 15 1.7 Problemas Propostos:................................................................................................................ 17 1.8 Bibliografia ............................................................................................................................... 18

2 Anlise de Sistemas Discretos....................................................................................................... 19 2.1 Introduo................................................................................................................................. 20 2.2 Transformada Z ........................................................................................................................ 20 2.3 Regio de Convergncia .......................................................................................................... 21 2.4 Sinais ........................................................................................................................................ 24 2.5 Propriedades da Transformada Z.............................................................................................. 26 2.6 Convoluo............................................................................................................................... 27 2.7 Transformada Z Inversa............................................................................................................ 28 2.8 Problemas Propostos................................................................................................................. 29 2.9 Bibliografia ............................................................................................................................... 30

3 Sistemas Discretos Equivalentes ................................................................................................... 31 3.1 Introduo................................................................................................................................. 32 3.2 Equivalncia Por Integrao Numrica .................................................................................... 32 3.3 Estabilidade de Sistemas Discretos........................................................................................... 38 3.4 Equivalncia por Mapeamento de Zeros e Plos ...................................................................... 39 3.5 Equivalncia por Reteno de Ordem Zero .............................................................................. 41 3.6 Problemas ................................................................................................................................. 43 3.7 Bibliografia ............................................................................................................................... 46

4 Projeto de Controladores Discretos ............................................................................................... 47 4.1 Introduo................................................................................................................................. 48 4.2 Projeto do Compensador Discreto ............................................................................................ 48 4.3 Bibliografia ............................................................................................................................... 53

5 Anlise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada ....................................................................... 54 5.1 Introduo................................................................................................................................. 55 5.2 Reduo de Diagramas de Blocos ............................................................................................ 55 5.3 Estabilidade de Sistemas Discretos........................................................................................... 57 5.4 Erro em regime permanente...................................................................................................... 60 5.5 Exerccios ................................................................................................................................. 62 5.6 Bibliografia ............................................................................................................................... 63

6 Lugar Geomtrico das Razes com Controle Digital ..................................................................... 64 6.1 Introduo................................................................................................................................. 65 6.2 O LGR ...................................................................................................................................... 65 6.3 Correspondncia com Sinais Contnuos ................................................................................... 69 6.4 Implementao do Compensador Digital.................................................................................. 72 6.5 Exerccios ................................................................................................................................. 72 6.6 Bibliografia ............................................................................................................................... 72


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1 Introduo ao Controle Digital

Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira

Alterao e adaptao por: Pablo Alberto Spiller

Captulo 1 - Introduo ao Controle Digital 4

1.1 Introduo Pode-se dizer que utilizao de Sistemas de Controle est inserida na base de qualquer

dispositivo ou equipamento automatizado. Diariamente nos deparamos com uma srie de equipamentos que possuem algum elemento de controle, desde eletrodomsticos como geladeira, ferro eltrico e mquinas de lavar at sistemas robotizados empregados, por exemplo, na indstria automobilstica. Observa-se o emprego de ferramentas de modelagem, anlise e o posterior projeto de sistemas de controladores em vrias reas Engenharia. Pode-se citar por exemplo, o controle de PH em processos qumicos relacionado diretamente a Engenharia Qumica ou a anlise de modos de vibrao estrutural relacionado s Engenharias Mecnica e/ou Civil. Encontra-se tambm exemplos de sistemas de controle nas reas da Biologia. Um exemplo que pode ser citado o sistema de controle de equilbrio do corpo humano, que utiliza informaes oriundas do ouvido interno e dos olhos para realizao de tal tarefa. De forma geral, todos os exemplos citados anteriormente tem em comum uma estrutura peculiar, bastante conhecida no cenrio dos sistemas de controle, que pode ser sintetizada atravs da representao apresentada na Figura 1.1,

Figura 1.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado.

onde r(t) definido como sendo o sinal de referncia a ser seguido pelo sinal de sada do processo y(t). A informao do sinal de sada do processo obtida, para efeito de comparao com a varivel de referncia, atravs da utilizao de elemento sensor que da origem ao sinal b(t).

O diagrama de blocos apresentados na Figura 1.1 esquematiza as partes principais e o conjunto de sinais normalmente apresentados junto descrio de um sistema de controle do tipo SISO Single Input Single Output, sendo todas as variveis representadas por sinais em tempo contnuo. At o final da dcada de 50, tal diagrama indicava tambm a nica forma de representao de um sistema de controle do tipo SISO operando em malha-fechada. De acordo com Astrn [1], em 12 de maio de 1959, a empresa Thomson Ramo Woolridge (TRW), em parceria com a empresa Texaco, colocaram em operao junto a um processo de polimerizao, o primeiro sistema de controle em malha-fechada baseado em computador. O exemplo bem sucedido da TRW, despertou em outras indstrias o interesse em aplicar em seus processos computadores para exercer a tarefa de controle, que com o crescente evoluo tecnolgica passaram a ter maior capacidade de processamento e confiabilidade aliados a reduo de custo. Outras vantagens de se utilizar computadores em malhas de controle passaram tambm a serem primordiais. Diferentemente dos controladores analgicos, os sistemas de controle baseados em computador poderiam exercer as funes de armazenamento de dados e superviso de todas as variveis do processo em um nico local, facilitando as tarefas relacionadas ao gerenciamento e a operao dos processos. Outra vantagem a possibilidade de utilizao de diferentes tcnicas de controle, independente do grau de complexidade associada a cada uma delas, atravs da insero de novos algoritmos de controle e sem a necessidade de qualquer alterao no hardware do controlador. Mais comum a necessidade de ajuste de parmetros dos controladores que, da mesma forma, constitui-se uma tarefa facilmente realizvel em um sistema de controle baseado em computador.

Em um sistema de controle baseado em computador a parte relacionada ao controle, at ento realizado com componentes eletrnicos analgicos, foi substituda por um computador


digital, sendo o diagrama de blocos da Figura 1.1 adaptado para a incluso deste novo componente, conforme apresentado na Figura 1.2.

Figura 1.2: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado por computador.

Comparando-se os dois diagramas, pode se observar que os sinais de entrada e de sada do computador so os sinais em tempo contnuo b(t) e u(t), agora representados internamente no computador pelos seus equivalentes em tempo discreto, respectivamente b(KT) e u(KT). Observa-se que na Figura 1.2, os blocos que constituem o computador, sob o ponto de vista de execuo das tarefas de controle, so o bloco A/D (conversor Analgico/Digital), D/A (conversor Analgico/Digital), Algoritmo de Controle e Clock, descritos a seguir:

Conversor A/D o dispositivo de hardware utilizado para aquisio de um sinal analgico externo ao computador, convertendo-o em um sinal digital equivalente ao sinal externamente lido. No exemplo da Figura 1.2, o sinal analgico externo o sinal de sada do sensor b(t) que aps a converso A/D ser representado pela varivel b(KT);

Conversor D/A o dispositivo de hardware utilizado para converso de um sinal internamente representado no computador, para um sinal analgico externo ao computador. No exemplo da Figura 1.2, o sinal internamente representado no computador o sinal u(KT) que aps a converso D/A ser representado pela varivel u(t) utilizada para tarefa de controle do processo;

Algoritmo de Controle Este bloco contm os cdigos responsveis pelo processamento do sinal b(KT) de forma a gerar o sinal u(KT), empregado no controle do processo. Na Figura 1.1 observa-se que o sinal de entrada do bloco Controlador dado pela diferena entre os sinais r(t) e b(t), anteriormente definido como sinal de erro e(t). Na Figura 1.2, o Algoritmo de Controle utiliza apenas a informao do sinal b(KT), pois as variveis de referncia r(KT) e o sinal de erro e(KT) so internamente gerados neste bloco;

Clock Este o bloco responsvel pela manuteno do sincronismo entre os demais blocos que constituem o bloco Computador representado na Figura 1.2.

Considere como exemplo o sistema de controle de temperatura de um processo de mistura apresentado na Figura 1.3 e compeare-o com o da Figura 1.2. Nota-se na representao, a diferenciao entre o subsistema computacional e a representao dos subsistemas processo e sensor e a interligao entre os subsistemas dois sistemas realizada pelos sinais u(t) e b(t).

Figura 1.3: Sistema de controle de temperatura de um tanque.


1.2 Amostragem e Quantizao As operaes externas realizadas pelo computador, tanto de leitura do conversor A/D

quanto de escrita no conversor D/A, sero realizadas em instantes de tempo mltiplos inteiros de uma varivel denominada de perodo de amostragem T. 1 Portanto, o sinal b(KT) representa o sinal b(t) amostrado no instante de tempo t=KT e, diferentemente das variveis de tempo contnuo, tais variveis sero consideradas variveis ou sinais de tempo discreto.

O sinal discreto no tempo, produzido pela operao de amostragem do sinal ser reproduzido internamente no computador por um nmero finito mais prximo dentre todos os nmeros de amplitude discreta representveis pelo computador. Conforme definido em [2], esta operao chamada de quantizao.

Exemplo: Considere um sinal de tempo contnuo 2)( tty = Volts, aplicado a entrada de um conversor A/D de 4 bits, cujo valor mximo admissvel na entrada de 16 Volts. Considere tambm que a varivel [ ]4,0t segundos e que o perodo de amostragem T=0.5 segundos. A representao grfica das variveis f(t) e f(KT) em funo do tempo apresentada na Figura 1.4.

Figura 1.4: Exemplo de amostragem e quantizao de um sinal 2)( tty = Volts.

O conversor de sinal analgico retm, a cada T segundos o valor analgico, , denominada sinal amostrado. Esta ento quantizada, ou seja, convertido numa amplituda representvel pelo computador. No caso anterior:

Em y(1,5)=2,25 Volts.

Assim, como o conversor A/D de 4 bits (ou 16 nveis) e sua amplitude mxima de 16 Volts, para cada nvel tem-se uma amplitude entre nveis de 1 Volt. Admita que os valores assumidos na quantizao do sinal so sempre iguais ao valor mais prximo da varivel y(t) no instante em que ela amostrada. Atravs desta hiptese, o erro associado operao de quantizao deste sinal no instante t= 1,5 de 0,25 Volts.

Podemos considerar de modo geral, o erro de quantizao mximo (E) como:

12 +=

NmximaAmplitudeE

Onde N o nmero de bits do conversor A/D. 1 A referncia [1] utiliza a letra h como perodo de amostragem.


Realizada as operaes de amostragem e de quantizao, o sinal apresentar uma representao discreta em tempo e em amplitude, e ser representado internamente no computador por um cdigo a ele associado, composto por smbolos 1s e 0s, e tambm ser denominado de sinal digital.

Para o efeito de utilizao do sinal lido, j na forma digital, para gerao de um sinal de controle, ser realizada a comparao deste sinal com um valor de referncia que tambm j dever estar representado como um sinal digital. Tal comparao da origem ao sinal de erro, utilizado pelo Algoritmo de Controle para a determinao de um sinal de controle digital. Este sinal ser aplicado ao processo atravs da utilizao de conversores A/Ds, e ser mantido constante durante todo o intervalo de tempo T. Esta operao denominada de reteno.

1.3 Modelagem dos Elementos de Amostragem e Reteno

Enquanto o conversor A/D o responsvel pela leitura dos sinais em tempo contnuo externos ao computador em instantes de tempo discretos KT, o conversor D/A o responsvel pela operao de escrita de dados digitais existentes internamente no computador na forma digital, em um sinal analgico equivalente, atualizando-o nos instantes de tempo discreto KT. A operao conjunta destes dois elementos denominada de amostragem (leitura do A/D) e reteno (escrita no D/A).

A caracterstica ideal de um dispositivo amostrador que ele consiga realizar cada uma das amostras de um sinal em tempo contnuo de forma instantnea, tal que os valores amostrados apresentem um valor nico em cada instante de amostragem. Os dispositivos de amostragem so representados de acordo com a Figura 1.5. Nesta figura o sinal de tempo contnuo )(tf aplicado a entrada de uma amostrador ideal que realiza as amostras em

intervalos regulares de T segundos, resultando no sinal amostrado )(* tf .

Figura 1.5: Representao do dispositivo amostrador ideal.

A caracterstica ideal de um dispositivo de reteno que ele consiga manter um determinado valor inalterado durante um tempo previamente determinado. Pode-se entender melhor o efeito da reteno, fazendo-se uma analogia a um capacitor que carregado em um dado instante de tempo. Idealmente, at que haja um caminho eltrico entre seus terminais que possa descarreg-lo, a tenso do capacitor manter-se- constante. Seguindo este exemplo, os dispositivos de reteno sero representados de acordo com a Figura 1.6. Nesta figura o sinal de sinal amostrado )(* tf ser convertido em um pulso retangular de amplitude igual a do sinal amostrado com durao de T segundos.

Figura 1.6: Representao do dispositivo retentor ideal.


Entendido o efeito dos elementos de amostragem e reteno, pode-se agora descrever a funo de transferncia deste elemento, a fim de incluir o efeito destes elementos no comportamento dinmico do sistema. Para isto, h de se observar que a funo de transferncia de um sistema linear igual a transformada de Laplace da resposta ao impulso deste sistema. Pela anlise da Figura 1.5, percebe-se que o amostrador o responsvel pela gerao de um sinal do tipo impulso em sua sada, i.e.

)().()(* ttftf = (1.1) Este sinal aplicado ao elemento de reteno, que o transforma em um pulso retangular

de mesma amplitude do sinal de entrada, com largura igual ao perodo que realizada cada amostra T segundos, ou seja

( ))()().()( * Ttututftfh = (1.2)

onde o ndice h significa o sinal aps a operao de reteno hold. O diagrama de blocos completo do conjunto amostrador-retentor, cujo comportamento dos componentes individuais j foi descrito, apresentado na Figura 1.7.

Figura 1.7: Diagrama esquemtico com os sinais envolvidos na operao de amostragem e reteno.

O conjunto apresentado da Figura 1.7 conhecido como Amostrador-Retentor de Ordem Zero (Zero Order Hold), cuja representao no domnio da freqncia dada pela seguinte funo de transferncia

s

esG

sF

sF sTh

h== 1)(

)(

)( (1.3)

Demonstrao:

{ } ( ){ }{ } )(.1).()(

))()().().()(

sGsFtfL

TtututtfLtfL

hh

h

===

{ }{ } { }

dteTtudtetusG

TtuLtuLsG

TtutuLsG

ststh

h

h

..)(..)()(

)()()(

)()()(

00

==

=


Analisando apenas a primeira parcela:

dtetu st ..)(0

= sses 1

0

=

(1.4)

Analisando a segunda parcela:

Se =Tt , deu Ts

T..)( )( +

Como 0)( =u para 0


Demonstrao:

1.)()(

.)()(

).()(

2

2

sFsF

esFsF

esFsF

aprox

Tj

aprox

sT

aprox

=

=

=

2)()(

)()(

).()(

2

2

TsFsF

esFsF

esFsF

aprox

Tj

aprox

sT

aprox

=+=

=

O efeito de um elemento constitudo por um atraso de transporte em uma malha de controle , por vezes, prejudicial no desempenho global do sistema. Percebe-se que h um decrscimo de fase proporcional a freqncia do sinal de entrada - , e tambm proporcional ao perodo de amostragem T. Pode-se concluir ento que quanto maior forem a frequncias dos sinais apresentados a entrada do ZOH, menor dever ser o perodo de amostragem - T utilizado, de forma a minimizar os efeitos da amostragem no sistema.

Exemplo 1.1: Com objetivo de ilustrar o efeito da amostragem em um sistema de controle, considere o diagrama de blocos apresentado na Figura 1.10.

Figura 1.10: Diagrama de blocos do sistema empregado no exemplo 1.1.

Ser apresentada a resposta ao degrau deste sistema, admitindo dois valores distintos de amostragem, T = 0.05 seg. e T = 0.1 seg. As respostas do sistema considerando estas duas situaes so comparadas a resposta do sistema funcionando em malha-fechada sem a utilizao do elemento amostrador-retentor, conforme pode-se observar na Figura 1.11.

Figura 1.11: Resposta do sistema em malha-fechada considerando diferentes taxas de amostragem.


A anlise visual da Figura 1.11 leva a concluso que o efeito de perodos de amostragem maiores em um sistema de controle em malha-fechada conforme o apresentado na Figura 1.10, implica em maiores oscilaes do sinal de sada do sistema. Tal fenmeno se explica, porque a incluso do elemento de amostragem e reteno com perodo de amostragem igual a T segundos,

traz consigo somente o acrscimo de 2

T radianos na fase da funo de transferncia do sistema de malha-aberta na freqncia de rad/s, mantendo inalterada sua magnitude, isto :

2)()(

TsGsG ZOH

=

)()( sGsG ZOH = (1.7) A implicao nas equaes de magnitude e de fase da funo de transferncia do

processo em malha-aberta operando com a incluso do ZOH - ZOHsG )( , est relacionada

diretamente a alterao da margem de fase do sistema, conforme pode ser visto nos diagramas de Bode apresentados na Figura 1.12. Nesta figura, a curva de fase superior representa a fase do processo operando em malha-aberta sem a incluso do elemento amostrador-retentor, a curva de fase intermediria representa a fase do processo operando com o ZOH com perodo de amostragem igual a 0.05 segundos e a curva de fase mais abaixo representa a fase do processo operando com o ZOH com perodo de amostragem igual a 0.1 segundos.

Figura 1.12: Variao das margens de fase do sistema para diferentes perodos de amostragem.

A obteno dos diagramas de Bode de sistemas que incluem atraso de transporte no diretamente obtida atravs das funes disponveis no Matlab, sendo necessrio adaptar os comandos existentes de forma a obter os diagramas de Bode apresentados na Figura 1.12. Apresenta-se na Tabela 1.1 as linhas de comando utilizadas para obteno dos diagramas de Bode da Figura 1.12.


Tabela 1.1. Insero do Atraso de Transporte no Diagrama de Bode

% clear all % close all num=[100]; % definicao do numerador e denominador do sistema den=[1 10 0]; % sistema com G(s)=100/s(s+10) w=logspace(-1,1,100); [mag,fase,w]=bode(num,den,w); T1=0.05; % atraso de transporte - T=0.05 segundos T2=0.1; % atraso de transporte - T=0.1 segundos fase_T1=(-w*T1/2)*180/pi; % fase inserida pelo atraso T1 em graus fase_T2=(-w*T2/2)*180/pi; % fase inserida pelo atraso T2 em graus fase_final_T1=fase + fase_T1; % fase final para sistema com atraso T1 fase_final_T2=fase + fase_T2; % fase final para sistema com atraso T2 magdB=20*log10(mag); % magnitude em dB hold on; subplot(2,1,1); % grafico de magnitude semilogx(w,magdB); grid on; subplot(2,1,2); % grafico de fase semilogx(w,fase); semilogx(w,fase_final_T1,'r'); semilogx(w,fase_final_T2,'g'); grid on; % Para o entendimento de cada uma das funcoes utilize o comando help do % Matlab

1.5 Algoritmo de Controle

Seguindo o diagrama de blocos apresentados na Figura 1.2, j tendo sido apresentado nas sees anteriores a modelagem dos elementos de amostragem e reteno e tambm o efeito da amostragem na dinmica do sistema a ser controlado, ainda resta apresentar a forma com que o algoritmo de controle implementado em um sistema de controle por computador. Considera-se ento, como exemplo, que se deseja obter o equivalente discreto de um compensador de avano de fase apresentado em (1.8).


1.6 Funo de Transferncia Discreta De forma anloga a utilizada para obteno de funes racionais, que estabelecem a

relao entre as variveis existentes nas equaes diferenciais lineares e de coeficientes

constantes do tipo apresentado em (1.9), onde a operao de derivada temporal - dtd (.)

substituda pelo operador equivalente no domnio freqncia 3- s, nas equaes de diferenas os sinais atrasados de T, 2T, 3T, ..., kT segundos sero substitudos por termos na forma

kzzzz ,...,,, 321 , que representaro o atraso de cada um dos termos da equao por mltiplos inteiros do perodo de amostragem. Sendo assim, a equao (1.13), pode ser rescrita na forma

( )( ))z(Uz)z(EzK)z(ETKT

)z(U cc111

1

1 +++= (1.14) Multiplicando ambos os lados da equao por z, possvel estabelecer uma funo

racional que expressa a relao entre as variveis U(z) e E(z), conforme apresentado na equao (1.15).

++

++=

Tz

Tz

T

TK

)z(E

)z(Uc

1

11

1

1

1 (1.15)

A equao (1.15) representa a funo de transferncia discreta do controlador de avano de fase proposto em (1.8), considerando a aproximao do tipo backward, conhecida tambm como aproximao retangular regressiva.

1.6.1 Exemplo de Projeto: Para avaliar a equivalncia entre as funes de transferncia representadas nos domnios

contnuo (1.8) e discreto (1.13), ser apresentado o projeto do controlador de avano de fase que faa com que a resposta da varivel de sada do sistema de malha-fechada quando submetido a um sinal de entrada do tipo degrau seja duas vezes mais rpida que a apresentada na Figura 1.11, com sobrepasso percentual de 10%. Pela anlise do diagrama de Bode apresentado na Figura 1.12, para o sistema ser duas vezes mais rpido a nova freqncia de zero dB dever ser de aproximadamente 16.0 rad/s. Sendo assim, o perodo de amostragem escolhido para o controlador discreto ser de ( )dBT 0*30/*2 = , que de aproximadamente 0.013 segundos. O compensador de avano de fase obtido apresentado na funo de transferncia discreta (1.16). A resposta ao degrau do processo operando sem compensao e com o compensador de avano de fase apresenta na Figura 1.12. A Figura 1.13 apresenta o diagrama de simulao utilizado para obteno das curvas de resposta do sistema. Na Tabela 1.3 apresentado o cdigo do arquivo utilizado para o projeto do compensador de avano de fase.

=

720

890454

.z

.z.

)z(E

)z(U (1.16)

3 Equivalncia vlida considerando nulas as condies iniciais das variveis envolvidas e de suas derivadas

temporais de ordens sucessivas.


Figura 1.13: Resposta ao degrau do sistema.

Figura 1.14: Diagrama de simulao para validao do compensador projetado.

Tabela 1.3. Projeto do Controlador de Avano de Fase.

% Projeto do Compensador de Avanco de Fase Mp=0.1; % Mp desejado de 10% tp=0.17; % tp desejado - duas vezes mais rapido que o atual qsi=sqrt((log(Mp))^2/(1+pi^2)); % Dados do Processo num=[100]; den=[1 10 0]; [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den); grid on; % Dados do Projeto Controlador Continuo Wpmax=2*Wcp; % Frequencia de maxima fase do compensador Pmd=90-(180/pi)*atan(sqrt(-2*qsi^2+sqrt(4*qsi^4+1))/(2*qsi)); % Margem de fase desejada Pmax=Pmd-32; % Fase incluida pelo compensador de avanco na frequencia Wpmax Rzp=(1-sin(pi*Pmax/180))/(1+sin(pi*Pmax/180)); % Razao zero polo do compensador z=Wpmax*sqrt(Rzp); % zero do compensador de avanco p=z/Rzp; % polo do compensador de avanco Kc=3.0*(1/sqrt(Rzp)); % ganho do compensador de avanco


numc=100*Kc*[1 z]; denc=conv(den,[1 p]); margin(numc,denc); grid on; % Dados do Projeto Controlador Discreto T=(2*pi)/(30*Wpmax); % Frequencia de amostragem igual a 30*w0dB alfa=z; beta=p; Kcd=Kc*((1+alfa*T)/(1+beta*T)); % ganho do compensador discreto zd=1/(1+alfa*T); % zero do compensado discreto pd=1/(1+beta*T); % polo do compensado discreto % Para o entendimento de cada uma das funcoes utilize o comando help do Matlab

1.7 Problemas Propostos: 1. De acordo com [3], ao incluir na malha de controle do sistema um controlador baseado

em computador, recomendvel utilizar-se frequncias de amostragens iguais ou superiores a 30 vezes a frequncia de corte do sistema (frequncia em que o processo apresenta magnitude igual a zero dB - dB0 ). Baseado no que foi anteriormente exposto, explicar o porque desta escolha.

2. Utilizando o Matlab - O termo que representa um atraso de transporte T segundos no domnio da freqncia dado por sTe , que tambm pode ser aproximado pelo quociente de funes racionais de complexidade varivel com o grau que se deseja aproximar o termo sTe , denominado aproximao de Pad. Considerando a aproximao de Pad de primeira ordem, dada pela equao

sTe sT +

1

1 (1.17)

Verifique o grau de aproximao obtido para o exemplo apresentando anteriormente, considerando os mesmos perodos de amostragem utilizados. Obtenha a resposta temporal ao degrau e os diagramas de Bode para os dois casos. Repita o procedimento considerando as aproximaes de Pad de segunda e de terceira ordem, apresentadas respectivamente nas equaes (1.17) e (1.18).

( )22

11

1

sT!

sTe sT

++ (1.17)

( ) ( )323

1

2

11

1

sT!

sT!

sTe sT

+++ (1.18)


1.8 Bibliografia [1] K. J. Astrn and B. Wittenmark, Computer Controlled System Theory and Design, Prentice Hall, New

Jersey, 1984. [2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Artmed Editora Ltda, 1999. [3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley,

Third Edition, 1997. [4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley,

1991. [5] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Terceira Edio.


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2 Anlise de Sistemas Discretos



Captulo 2 - Anlise de Sistemas Discretos 20

2.1 Introduo Sistemas dinmicos se caracterizam por ter seu comportamento descrito por um conjunto

de equaes diferenciais, estabelecendo por meio destas equaes as conexes entre as variveis fsicas que compe os modelos destes sistemas. Se o conjunto de equaes diferenciais que descrevem a dinmica de um dado sistema for de natureza linear e seus coeficientes no apresentarem variao temporal, comum a utilizao da transformada de Laplace, e o emprego da transformao de domnios (tempo freqncia), para anlise e auxlio na soluo de problemas relacionados a tais sistemas. Na representao de sistemas dinmicos em tempo discreto, tambm conveniente o emprego de uma ferramenta anloga a transformada de Laplace, denominada de transformada Z.

2.2 Transformada Z Uma vez que a transformada Z uma ferramenta que apresenta o mesma funcionalidade

para sistemas dinmicos representados em tempo discreto que a transformada de Laplace apresenta para sistemas dinmicos representados em tempo contnuo, ser considerado inicialmente a representao de um sinal de tempo contnuo f(t), amostrado em intervalos regulares de T segundos, conforme mostrado na Figura 2.1 e apresentado na equao (2.1).

Figura 2.1: (a) Representao de um amostrador ideal, (b) funo de entrada do amostrador, (c) funo amostrada.

=

=0

* )()()(K

KTtKTftf (2.1) Tal equao representa a seqncia de valores que a funo f(t) apresenta em cada um

dos instantes de tempo em que ela amostrada. Uma vez que a cada um dos instantes em que f(t) amostrada o valor da funo nico, pode-se obter por inspeo a transformada de Laplace da funo amostrada, conforme o apresentado na equao (2.2).

=

=0

* )()(K

KTseKTfsF (2.2)


Na equao (2.2), a funo que representa o intervalo de T segundos existente entre cada uma das amostras, empregada para representar a seqncia de impulsos descrita em (2.1), a funo KTse . A partir desta funo definido o operador Tsez = . Empregando este operador na equao (2.1), define-se a transformada Z da seqncia descrita por (2.3), i.e.,

=

=0

)()(K

KzKTfzF (2.3)

2.3 Regio de Convergncia [6] Uma srie de potncia kk xc somente convergir para certos valores de x . No caso,

=0k kx converge se 11


Figura 2.4: Regio de convergncia de )z(F - seqncia unilateral esquerda.

De forma anloga aquela observada para as seqncias unilaterais direitas, a regio de convergncia das seqncias unilaterais esquerdas caracterizam-se por serem internas a um circulo de raio R , menor que o mdulo de todos os plos de )z(F .

Expandindo F(z):

K+= 3322)( zazazazF TTT (2.9) Multiplicando-se (2.9) pelo termo 1zaT e, em seguida subtraindo-se do resultado a

prpria )z(F , determina-se a transformada Z da seqncia )KT(f , conforme a equao (2.10).

( )TT

T

TTTT

az

z

za)z(Fza)z(F

zazaza)z(Fza

===

+=

11

33221

1

111

1 K Taz < (2.10)

Observe que as transformadas Z obtidas em (2.7) e (2.10) so iguais, no sendo possvel definir a qual das seqncias cada uma delas est relacionada.

Somente atravs da informao da regio de convergncia de cada uma delas que se torna possvel a determinao da seqncia discreta associada a )z(F .

2.3.3 Sequencia Bilateral Para finalizar a apresentao dos conceitos associados a regio de convergncia das

transformadas Z, ser considerado um exemplo da determinao da transformada Z de uma

seqncia bilateral, dada pela expresso )TKT(u)KT(u)KT(fKTKT

+

=2

1

3

1 . Com base nos

exemplos das duas sequncias apresentadas anteriormente conclui-se que

444 3444 214434421esquerdaunilateralseqncia

KT

direitaunilateralseqncia

KT

)TKT(u)KT(u)KT(f

+

=21

31

(2.11)

Determina-se ento, de forma independente, as transformadas Z de cada um dos termos de (2.11) com suas respectivas regies de convergncia, conforme apresentado nas equaes (2.12) e (2.13). Considere T=1.


3

1

3

1)(

3

1 >

=

zz

zKTuZ

KT

(2.12)

2

1

21

)(2

1 0.

Aps, realize o mesmo procedimento para os sistemas no domnio discreto, mapeados de diferentes maneiras: T=1.

a) pelo Equivalente por Reteno de Ordem Zero;

b) pelo Mtodo de Tustin;

c) por Mapeamento de Plos e Zeros;

Observe a estabilidade nos modelos.

Considere o seguinte sistema:

1.1 )10(

10)( += sssG ; 1.2 2)1(

1)( += sssG ; 1.3 s

ssG

)10()(

+=

Captulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes 44

Resposta de 1.1:

LGR do sistema contnuo.

No Matlab:

>> G=tf(10,[1 10 0]);

>> rlocus(G)

Ou

>> G=tf(10,[1 10 0]);

>> rltool(G)

a) 52 10.54,4

09995,09,0)( +

+=zz

zzGZOH

b) 667,0333.0

04167833,04167,0)(

2

2

++=

zz

zzzGTustin

c) 52 10.54,4

5466,05466,0)( +

+=zz

zzGzp


No Matlab:

>> G=tf(10,[1 10 0]);

>> Gzoh=c2d(G,1,'zoh');

>> rltool(Gzoh)

No Matlab:

>> G=tf(10,[1 10 0]);

>> Gdt=c2d(G,1,'tustin');

>> rltool(Gdt)

No Matlab:

>> G=tf(10,[1 10 0]);

>> Gpz=c2d(G,1,'matched');

>> rltool(Gpz)


2. Considere o sistema apresentado com um Amostrador-Retentor de Ordem Zero Go(s), e um processo Gp(s).

a) Utilize fraes parciais e encontre a Tranformada Z do sistema. Considere o perodo de amostragem T=1.

b) A resposta ao impulso pode ser obtida dividindo o numerador da transformada pelo denominador. Utilize o mtodo da Diviso Longa para obter essa resposta.

Resposta: a) ( ) ( ) 3678,03678,1 2644,03678,011.1)( 221 + +=

+=

zz

z

ez

z

z

z

z

zTzzG

T

b) ...)5(9884.0)4(.9685.0)3(.9145.0)2(.7675.0)(.3678.0)(* +++++= TtTtTtTtTtty

No Matlab: >> G=tf(1,[1 1 0]); >> Gzoh=c2d(G,1,'zoh')

3. Considere o sistema de controle abaixo. A funo G(z) foi obtida com amostragem T-

=1. Determine a resposta y(KT) quando aplicado na entrada um degrau unitrio: 1

)( = zz

zR .

Resposta:

...)9(.994.0)8(.868.0)7(.8.0)6(.89.0

)5(147.1)4(.4.1)3(.4.1)2(.1)(.3678.0)(

+++++++++=

TtTtTtTt

TtTtTtTtTtKTy

No Matlab: >> Gmf=feedback(Gzoh,1); >> step(Gmf)

3.7 Bibliografia [1] K. J. Astrn and B. Wittenmark, Computer Controlled System Theory and Design, Prentice Hall, New

Jersey, 1984. [2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Artmed Editora Ltda, 1999. [3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley,

Third Edition, 1997. [4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley,

1991. [5] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Terceira Edio. [6] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition.


PUCRS

4 Projeto de Controladores Discretos



Captulo 4 - Projeto de Controladores Discretos 48

4.1 Introduo Projetos de controladores baseados em dispositivos microprocessados so cada vez mais

comuns. A opo pela utilizao destes dispositivos se d, principalmente, pela sua funcionalidade que possibilita a realizao de diferentes tarefas. Em aplicaes simples com um microcontrolador pode-se, por exemplo, receber dados externos de sensores, apresentar estes dados em um display, monitorar valores mximos e mnimos de variveis, acionar alarmes para o usurio e ainda controlar um ou mais processos. Em aplicaes mais complexas pode-se utilizar Controladores Lgicos Programveis CLPs ou, at mesmo, os Sistemas de Digitais de Controle Distribudos SDCDs. Independente do caso, a quantidade de tarefas a serem realizadas em um processo cujo controle baseado em dispositivos microprocessados pode ser aumentada se houver tempo para que todas as tarefas sejam executadas satisfatoriamente. No caso especfico das malhas de controle, este tempo influencia na determinao dos perodos de amostragem empregados para o projeto dos controladores de cada uma das malhas. Neste captulo ser apresentado uma metodologia de projeto de compensadores. Como exemplo, apresentado um compensador de atraso de fase baseado em mtodos de resposta em freqncia, juntamente com os procedimentos para obteno do controlador discreto equivalente.

4.2 Projeto do Compensador Discreto De forma a apresentar o procedimento para a obteno do compensador discreto, ser

considerado o sistema de controle conforme ilustrado no diagrama de blocos na figura 4.1, considerando a incluso do computador na malha de controle. Os requisitos pretendidos para o sistema de malha-fechada so %5.9Mp e 160vK .

Figura 4.1: Exemplo de um servo posicionador utilizado para o projeto de compensadores discretos.

Na obteno do equivalente discreto do compensador deve ser considerado o efeito das operaes de amostragem e reteno, introduzidas pelos conversores A/D e D/A presentes na malha de controle de um sistema baseado em dispositivos microprocessados. Naturalmente, os efeitos dinmicos destes componentes tendem a ser diminudos, ou at mesmo desprezados, quando os perodos de amostragem envolvidos so muito pequenos. A forma com que ser realizada a obteno do controlador bastante simples:

4.2.1 Discretizao do Processo Em primeiro lugar, dever ser obtida a funo de transferncia discreta do processo a ser

controlado, empregando o equivalente por reteno de ordem zero. A equao (4.1) inclui a dinmica do dispositivo ZOH.

( ) = s )s(GZz)z(GG PPZOH 11 (4.1)


De forma a ilustrar com clareza o efeito da incluso da dinmica dos elementos de amostragem e reteno, o perodo de amostragem utilizado ser igual a 050.T = segundos.

Utilizando o mtodo das fraes parciais, juntamente com a tabela de transformadas Z, pode-se encontrar a funo no domnio discreto. No exemplo a equao (4.2) foi empregada a funo c2d (continuous to discrete) do software Matlab, empregando-se a seguinte seqncia de comandos:

Tabela 4.1: Linhas de cdigo em Matlab para obteno do equivalente discreto de Gp(s).

>> K=1.0; % ganho admitido para o estgio pr-amplificador >> T=0.05; % define o perodo de amostragem utilizado >> Gp = zpk([ ], [0 -36 -100], 100*K); % gera um processo com funo igual a Gp(s) >> Gd = c2d(Gp, T, zoh); % gera o equivalente discreto incluindo o efeito do ZOH

Para o caso do exemplo apresentado na figura 4.1, foi admitido o ganho K do estgio pr-amplificador como unitrio, resultando na funo de transferncia equivalente discreta apresentada em (4.2).

0.006738)-(z 0.1653)-(z 1)-(z

0.03556)(z 1.068)(z 0.00053774 ++=)z(GG PZOH (4.2) A funo de transferncia (4.2) j leva em considerao a dinmica dos elementos de

amostragem e reteno.

4.2.2 Projeto do Controlador Os requisitos pretendidos para o sistema de malha-fechada so %5.9Mp e 160vK .

Ser que um simples ajuste de ganho no resolveria? Podemos analisar a caracterstica da resposta temporal diretamente pelas caractersticas da resposta em frequencia do processo.

Para isso, as curvas de resposta em frequncia da funo de transferncia contnua, equivalente a (4.2), devem ser obtidas. Para esta tarefa ser empregado mtodo de Tustin, que emprega a relao de equivalncia entre as variveis z e s dada em (4.3).

21

1

Tss

Tsz

+ (4.3)

A funo de transferncia contnua equivalente apresentada em (4.4). A Figura 4.2 apresenta as curvas de resposta em freqncia do sistema contnuo e do sistema contnuo equivalente considerando o efeito do elemento de amostragem e reteno.

39.46)(s 28.65)(s s

)95.42(s 40)-(s 1220)-(s 0.000015)()( ++

+== sGGsG PZOHeq (4.4) De forma anloga a realizada para a obteno da funo de transferncia discreta

apresentada em (4.2), a funo de transferncia contnua que leva em conta o efeito dinmico do ZOH obtida pela linha comando do software Matlab apresentada na Tabela 4.2.

Tabela 4.2: Linha de cdigo em Matlab para obteno do equivalente contnuo.

>> Geq = d2c( Gd , tustin ) % funo de transferncia contnua equivalente


Figura 4.2: Diagrama de Bode do processo e de seu equivalente com ZOH.

De posse dos diagramas de Bode do sistema equivalente, verifica-se a necessidade da incluso de um compensador no sistema de controle, pois o ganho necessrio para obter o Kv mnimo de 150 instabilizaria o sistema. (verificar o Nyquist do sistema).

Aumentando o ganho K do processo, pode-se ajustar o sobressinal para 9,5%. Fazendo uma relao direta com a margem de fase do processo, o sistema deve ter aproximadamente 59.

Na Figura 4.3, est representado o Diagrama de Bode do processo com um ajuste de ganho (K=330). Observa-se: Margem fase= 58.7. 90 =dB rad/s. Kv= 9.

Figura 4.3: Diagrama de Bode do processo equivalente com ajuste de ganho

Desta forma, pode-se atender somente o requisito de sobressinal. Assim, sugere-se um compensador para atender a constante de erro Kv. A seguir, apresentado o projeto de um compensador de atraso de fase,

ps

zsKsC C +

+= .)( , onde zp <

cuja principal caracterstica de atender os requisitos de erro em regime permanente baseado em mtodos de resposta em frequncia.


A margem de fase que satisfaz o requisito de %.Mp 59 , de o.259 . Admitindo que a incluso do compensador de atraso de fase, com o zero do compensador localizado uma dcada abaixo de dB0 , ir apresentar nesta freqncia uma contribuio de fase de o.135 , deve-se ajustar inicialmente o ganho do controlador proporcional para que dB0 coincida com a freqncia em que o sistema equivalente apresente fase igual a

oooPZOH ..)j(GG 135259180 ++= (4.5)

Utilizando a ajuda do Matlab, obtm-se a freqncia em que (4.5) satisfeita: aproximadamente 7.18 rad/s. A Figura 4.4 mostra o Diagrama de Bode do processo com um ganho K ajustado para 263.

Figura 4.4: Diagrama de Bode do processo equivalente com ajuste de ganho K=263.

Este valor de frequncia pode ser extrado diretamente do diagrama de Bode da Figura 4.2, ou numericamente atravs da equao de fase de (4.4). Nesta frequncia, a magnitude do sistema equivalente, tambm observada no diagrama de Bode ou calculada analiticamente pela equao de magnitude de (4.4) de aproximadamente -48.4 dB. Desta forma, o ganho a ser inserido para tornar s/rad.dB 1870 = dever ser de

26310 20448 = .K (4.6)

Tambm pelo diagrama de Bode pode-se extrair o valor do vK do sistema aps a incluso do ganho K , calculado em (4.6), que aproximadamente

0.7vK (4.7) De posse destas informaes j se pode definir o valor de todos os elementos do

compensador de atraso de fase. O zero do compensador ser localizado uma dcada abaixo da frequncia de zero dB, ou seja:

sradz dB /718.010

0 = (4.8) O plo do compensador, ser localizado de tal forma que em baixas freqncias o ganho

do sistema seja aumentado, satisfazendo o vK desejado, ou seja

sradsradzK

Kp

desejadov

atualv /0314.0/718.0160

0.7 == (4.9)


Concluindo o projeto do compensador contnuo, a funo de transferncia (4.10) dever ser empregada para satisfao dos requisitos de desempenho do sistema, considerando a influncia dinmica dos elementos de amostragem e reteno, i.e:

{43421

AtrasoK

c .s

.s)s(G

03140

7180263 +

+= (4.10)

Uma vez que a proposta a obteno do controlador de atraso de fase discreto, pode-se empregar novamente o mtodo de Tustin para obteno da funo de transferncia equivalente discreta de (4.10), ou seja, considerando

1

12

+

z

z

Ts (4.11)

obtm-se

43421321Atraso

Kc .z

.z.)z(G

99840

964605267

= (4.12)

As curvas de resposta em freqncia do sistema contnuo incluindo a dinmica do ZOH equao (4.4), considerando o compensador de atraso de fase (4.10), so apresentadas na Figura 4.6.

Figura 4.5: Diagrama de blocos do sistema de controle simulado.

Figura 4.6: Diagrama de Bode do sistema incluindo a dinmica do ZOH em conjunto com o compensador de atraso de fase.

Na Figura 4.7 apresentada a resposta ao degrau do sistema de controle em malha-fechada considerando o compensador (4.12), projetado incluindo a dinmica do ZOH na malha de controle.


Fig. 4.7: Respostas ao degrau do sistema com compensador, considerando a dinmica do ZOH.

4.3 Bibliografia [1] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Terceira Edio. [2] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition. [3] R. C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Oitava Edio.


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5 Anlise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

Texto Original: Pablo Alberto Spiller

Captulo 5 - Anlise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada 55

5.1 Introduo At este captulo, pode-se ter uma dimenso de sistemas de controle discreto desde a

transformada z at o projeto de um sistema de controle. Basicamente, fez-se aqui uma apresentao da metodologia de projeto de um sistema de controle quando implementado num sistema digital, tal como um microcontrolador, computador, controlador programvel, etc. A partir deste captulo, sero apresentados os conceitos relacionados com a parte conceitual, matemtica e ferramental da prtica de projetos de controladores discretos, sempre fazendo um paralelo entre os conceitos j conhecidos de sistemas contnuos, como LGR, anlise de estabilidade, erro em regime permanente, realimentao de estados, etc.

5.2 Reduo de Diagramas de Blocos O objetivo aqui ser capaz de encontrar a funo de transferncia de malha fechada de

um sistema com dados amostrados na malha.

Ao manipular o diagrama de blocos, deve-se ter o cuidado para evitar erros na simplificao da malha. Por exemplo, { } )().()().( 2121 zGzGsGsGz , onde { })().( 21 sGsGz a transformada z. As funes no domnio s devem ser multiplicadas antes da aplicao da transformada. Utilizaremos a notao )(21 sGG para designar uma funo )().( 21 sGsG aps o produto.

Vejamos os sistemas amostrados apresentados na Tabela 5.1 abaixo. Os sistemas com dados amostrados so apresentados na coluna s e suas transformadas z na coluna marcada como z. Um sistema padro mostrado na parte (a).

Tabela 5.1: Reduo de blocos amostrados

s z

(a)

(b)

(c)

(d)


Na representao (b), no existe o elemento amostrador entre os blocos )(1 sG e )(2 sG .

Pode-se ento simplific-la como um nico bloco )(12 sGG .

Na representao (c), havendo o elemento amostrador entre os blocos )(1 sG e )(2 sG , no se pode simplific-la como um nico bloco. As transformadas de cada bloco deve ser realizadas, produzindo )().( 12 zGzG .

Na representao (d), o sinal contnuo que entra no amostrador )(1 sRG .

5.2.1 Exemplo 1 Determine a transformada z do sistema de controle abaixo.

Soluo: Uma operao que sempre pode ser realizada a colocao de um amostrador imaginrio na sada de cada subsistema que tenha uma entrada amostrada. Outra operao colocar um amostrador numa juno somadora cuja sada amostrada. Assim pode-se reescrever o sistema em blocos como mostrado abaixo.

Pode-se reescrever o sistema com o bloco G(s) deslocado.

Substituindo o sistema amostrado pelas suas transformadas, tem-se o sistema

representado em z.

Simplificando a malha-fechada chega-se ao resultado abaixo.


5.3 Estabilidade de Sistemas Discretos Como j abordado anteriormente, sabemos da teoria de controle que um sistema com

realimentao e contnuo estvel se todos os plos da funo de transferncia da malha fechada estiverem no semiplano s da esquerda. Uma vez que TjsT eez )( +== , pode-se escrever esta relao como:

Tez = e Tz = Para localizar pontos no semiplano esquerdo, 0na (5.1) A anlise dada segundo a tabela a seguir:

0z 1z 2z ... knz ... 1nz nz 0a 1a 2a

... kna

... 1na na

na 1na 2na ...

ka ...

1a 0a

0b 1b 2b ...

knb ...

1nb

1nb 2nb 3nb ...

1kb ...

0b

0c 1c 2c ...

knc ...

2nc 3nc 4nc ...

2kc ...

M M M M M 0l 1l 2l 3l

3l 2l 1l 0l

0m 1m 2m


Note que cada linha repetida em ordem inversa e os elementos so definidos da seguinte forma:

kn

knk aa

aab = 0 ,

kn

knk bb

bbc

1

10

= , kn

knk cc

ccd

2

20

= , ...

A condio necessria para que o polinmio Q(z) possua razes no interior do crculo unitrio :

20

30

20

10

0

0)1()1(

0)1(

mm

dd

cc

bb

aa

Q

Q

n

n

n

n

n

>

>>>>

M

5.3.2 Exemplo 2 Suponha que a equao caracterstica do sistema em malha fechada de um sistema

amostrado :

02.005.18.1)( 23 =+= zzzzQ Verifique a estabilidade do sistema.

Soluo:

Primeiras condies do teste:

n

n

aa

Q

Q

>

0

0)1()1(

0)1(

,

12.0

005.4]2.005.18.11[)1()1(

005.02.005.18.11)1(

0 ===

>=+=

n

n

aa

Q

Q

A tabela ento montada:

0z 1z 2z 3z -0.2 1.05 -1.8 1 1 -1.8 1.05 -0.2

0b 1b 2b

96.02.01

12.00 =

=b , 59.105.11

8.12.01 ==b , 69.08.11

05.12.02 =

=b

Uma vez que a condio:

69.096.0 20 =>= bb tambm satisfeita, o sistema estvel.


5.3.3 Exemplo 3 Suponha que o sistema de controle tenha o seguinte diagrama de blocos.

Verifique qual a faixa de valores do tempo de amostragem que garanta a estabilidade do sistema.

Soluo:

A funo de transferncia de malha fechada: )(1

)()(

zG

zGzT +=

++=+

=

1

111)1(10

)1(

)1(10)(

22 ssse

ss

esG Ts

Ts

Aplicando a transformada:

( )( )( )( )( )TT

TT

T ezez

TezeT

ez

z

z

z

z

Tz

z

zzG

++

+++=

+

=1

)1(1110

11

)1(10)(

22

( ) ( )TTT TeezeTzzGzQ ++=+= 1091091110)(1)( 2 Primeiras condies do teste:

n

n

aa

Q

Q

>

0

0)1()1(

0)1(

,

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )21.00)109(10

110910

00110

010910911101)1()1(

42.1010221018

010910911101)1(

0

+++=

++>++=

TTe

aTeea

TeT

TeeeTQ

TTeT

TeeeTQ

T

nTT

T

TTTn

T

TTT

A tabela no necessria por ser de segunda ordem.

Assim: T


Uma vez que sTez = , o teorema do valor final para sistemas discretos definido como: Se E(z) converge para 1>z e todos os plos de )()1( zFz esto dentro do crculo

unitrio do plano z, ento;

)().(1

)()1(lim)(

)()1(lim)(

1

1

zGzD

zRze

zEze

z

z

+==

(5.4)

5.4.1 Erro ao degrau

Para entrada degrau: 1

)( = zz

zR , logo:

)1().1(1

1)(

GDe += (5.5)

Note que se DG tem um plo em z=1, ento o erro tende a zero.

5.4.2 Erro a rampa

Para entrada rampa: 2)1(

)( = zz

TzR , logo )().(1

1

)1()1(lim)(

21 zGzDz

zTze

z +=

))().(1).(1(

.lim)(

1 zGzDz

zTe

z += (5.6)

Note que se DG no tiver plo em Z=1, o erro tender ao infinito. Com um plo em Z=1, o erro tender a um valor constante.

5.4.3 Exemplo 4 Determine o erro em regime permanente do sistema de controle do sistema apresentado

na Figura 5.3. Considere D(s)=1 e )1(

10)( += sssG .

Soluo: Obtenha a G(z) pela equivalncia por reteno de ordem zero.

+=

++=

+=

Tesz

z

TzG

sssZ

z

z

ssZ

z

zzG

11

110)(

1

111.

110

)1(

10.

110)(

22

Para uma entrada degrau: 01

1

)1(1

1)( =+=+= Ge

Para uma entrada em rampa: ))().(1).(1(

.lim)(

1 zGzDz

zTe

z +=

1.01

11

101).1(

.lim)(

1=

++

=

T

z

es

z

z

Tz

zTe


5.5 Exerccios

5.5.1 Simplificao de blocos: 1. Simplifique os diagramas de controle amostrados e encontre a funo que relaciona a

entrada com a sada.

Resposta:)().()(1

)().(

)(

)(

212

21

zGzGzHG

zGzG

sR

sC

++=

Resposta:)().().()()().()().().(1

)().().(

)(

)(

4321432432

4321

zGzGGzGzGzHzGGzHzGzGG

zGzGGzG

sR

sC

++++=

5.5.2 Estabilidade 2. Determine a faixa de valores de K, que torna o sistema abaixo estvel.

Resposta: 1.110


5.5.3 Erro em regime permanente 3. Admitindo os sistemas estveis, determine o erro em regime permanente dos sistemas abaixo, para as seguintes entradas:

a) )(tu

b) )(. tut

c) )(.2

1 2 tut

Sistema 3.1

Sistema 3.2

Sistema 3.3

Sistema 3.4

Resposta: Sistema 3.1 Sistema 3.2 Sistema 3.3 Sistema 3.4

(a) 0.66 0 0.33 0 (b) 0.1 0.1 (c)

5.6 Bibliografia [1] E.I.Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Huntington, NY: R.E. Krieger Publishing

Co. , 1973. [2] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Terceira Edio. [3] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition. [4] R. C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Oitava Edio.


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6 Lugar Geomtrico das Razes com Controle Digital

Texto Original: Pablo Alberto Spiller

Captulo 6 - Lugar Geomtrico das Razes com Controle Digital 65

6.1 Introduo O mtodo do Lugar Geomtrico das Razes (LGR) para sistemas digitais idntico LGR

de sistemas contnuos. Aqui faremos algumas observaes de forma resumida, apresentando exemplos de sistemas discretos e suas particularidades.

6.2 O LGR Considerando o sistema de controle apresentado abaixo na Figura 6.1, a funo de

transferncia de malha fechada :

)().(.1

)().(.

)(

)(

zDzGK

zDzGK

zR

zC

+=

A equao caracterstica 0)().(.1 =+ zDzGK , Que anloga equao caracterstica para anlise de KD(s)G(s), no plano s. Em

consequncia se pode traar o lugar das razes da equao caracterstica do sistema amostrado em funo da variao de K.

Figura 6.1: Sistema de controle.

As regras para obter o LGR discreto esto resumidas na Tabela 6.1.

Tabela 6.1: Regras para construo do LGR no plano z.

1 O lugar das razes inicia nos plos e prossegue em direo aos zeros. Um plo para cada zero finito ou no infinito.

2 O lugar das razes existe nos trechos do eixo real esquerda de um nmero mpar de plos ou zeros. (singularidades)

3 O lugar das razes simtrico em relao ao eixo real.

4 O lugar das razes pode deixar o eixo real e reentrar no eixo real. Os pontos de entrada e/ou de sada so determinados a partir da equao: [ ]

0)().( =

dz

zGzDd

5 O nmero de retas assintticas equivalente a diferena entre o nmero de plos ( pn ) e nmero de zeros ( zn ) de )().( zGzD .

Cada reta intercepta o eixo real no ponto:zp nn

zerospolos

= )Re()Re(

Formando um ngulo com o eixo real: zp

o

h nn

h

+= 180).1.2( , sendo h = 0,1,2,...


6.2.1 Exemplo 1:

Considere o sistema da Figura 6.1 com D(z)=1 e 2

1)(

ssG =

Obtm-se ento o equivalente discreto pelo zoh.

2

2

)1(

)1(

2)(.

+=z

zKTzGK

Se a amostragem 2=T , o LGR ficar como apresentado na Figura 6.2.

1- Defina os plos e os zeros da malha aberta.

2- Trace a localizao possvel dos plos no eixo real. (regra 2)

3- Calcule os pontos de entrada e/ou sada: (regra 4)

[ ] [ ]0

)22).(1()1()(2

2

=+=den

zzz

dz

zGd

0322 =+ zz , assim 11 =z e 32 =z . Como os pontos pertencem a regio de localizao de plos, so pontos de entrada e/ou sada. No caso, 11 =z sada e

32 =z entrada. 4- Nesse caso, no necessrio calcular o ngulo da nica assinttica pois ser sobre

o eixo real tendendo a .

Figura 6.2: LGR do exemplo 1.


6.2.2 Exemplo 2:

Considere o sistema da Figura 6.1 com D(z)=1 e ss

sG2

1)(

2 += e T=1. Obtm-se ento o equivalente discreto pelo zoh.

)13.0)(1(

)52.0(28.0)(.

+=zz

zKzGK

O LGR ficar como apresentado na Figura 6.3.




[ ] [ ]0

)52.0).(13.12()13.0)(1()(2

=+=den

zzzz

dz

zGd

072.004.12 =+ zz , assim 51.11 =z e 47.02 =z . Como os pontos pertencem a regio de localizao de plos, so pontos de entrada e/ou sada. No caso, 47.01 =z sada e 51.12 =z entrada. 4- Nesse caso, no necessrio calcular o ngulo da nica assinttica pois ser sobre

o eixo real tendendo a .



6.2.3 Exemplo 3:

Considere o sistema da Figura 6.1 com s

ssD

1)(

+= e 1

1)( += ssG e T=1.

Obtm-se ento o equivalente discreto pelo zoh.

)1(

5.05.1)(.

=z

zKzDK ,

)36.0(

63.0)( = zzG





4- Nesse caso, no necessrio calcular o ngulo da nica assinttica pois ser sobre o eixo real tendendo a .



6.2.4 Exemplo 4:

Considere o sistema da Figura 6.1 com 1)( =sD e sss

sG100

1)(

23 ++= e T=1. Obtm-se ento o equivalente discreto pelo zoh.

368.0658.0026.0

004.00096.001.0)(

23

2

+++=zzz

zzzG





4- Nesse caso, no necessrio calcular o ngulo da nica assinttica pois ser sobre o eixo real tendendo a .


6.3 Correspondncia com Sinais Contnuos Durante o projeto utilizando o LGR, necessrio ao projetista, o entendimento da

relao entre o posicionamento dos plos e sua influncia na resposta temporal. Este conhecimento permite ao projetista um maior entendimento do sistema a ser controlado bem como as aes que podem ser realizadas para melhoria das caractersticas de resposta e robustez do sistema quanto a estabilidade.


Fazendo um paralelo entre os sistemas de controle digitais com os de sinais contnuos, podemos identificar o comportamento da resposta temporal de sistemas digitais diretamente no plano z.

Sabe-se que o posicionamento dos plos influencia diretamente na dinmica do sistema. A Figura 6.6 faz um paralelo entre a posio do plo (real ou complexo conjugado) com a resposta impulsiva (resposta natural devido a posio do plo no plano s).

Figura 6.6: Resposta impulsiva para diversas localizaes de plos no plano s (a raiz conjugada no est representada).

A parte real do plo est relacionada com o tempo de estabilizao da resposta temporal ( )te . , onde refere-se ao valor da parte real do plo. Assim, quanto mais prximo do eixo imaginrio, mais lento ser o sistema. Claro que respeitando a estabilidade do sistema, ou seja, plos devem estar localizados na esquerda do plano, fazendo com que sua resposta natural tenda a zero.

A parte imaginria do plo influencia numa oscilao na resposta natural. Quanto maior este valor maior sua frequencia natural amortecida ( d ), geralmente maior seu sobressinal, associado ao coeficiente de amortecimento ( ).

Figura 6.7: Resposta ao degrau de um sistema para diferentes valores de .


Para extrair concluses a respeito do plano z, necessrio mapear estas caractersticas atravs de Tsez .= .

A parte real do plano s caracterizado por djs += definida como influencia diretamente no mdulo de z, pois z pode ser reescrito como:

TjTjT dd ereez ... . == (6.1) A equao 6.1 designa crculos concntricos com raio r. Quanto maior o r, mais

prximo de zero estar , e assim, mais lento estar o sistema. Respeitando o interior do crculo unitrio, r < 1, para ser estvel.

O valor de no plano z pode ser obtido pela relao:

21

=d

Portanto,

ddd jjs +=+= 21. (6.2)

Transformando a equao 6.2 para o plano z, resulta

Teeez dT

TjT d

d

d

==

22 1..1.

(6.3)

Assim, podem ser traadas curvas de constante no plano z.

Figura 6.8: Curvas de constante no plano z. Esta anlise pode ser importante no momento que o projetista se depara com o sistema de

controle descrito em z. Observar as alteraes causadas pelo controlador, reposicionar plos e zeros ou alterar o ganho do sistema diretamente pela anlise do LGR no plano z.


6.4 Implementao do Compensador Digital J observamos diversos tipos de controladores ao longo do curso e nos captulos

anteriores foi mostrado a forma de obteno do controlador em z, por exemplo, na Figura 6.1, suponha a seguinte funo:

012

2

012

23

3

)(

)()(

bzbzb

azazaza

zE

zUzD ++

+++== (6.4) Multiplicando em cruz,

)().()().( 012

23

3012

2 zEazazazazUbzbzb +++=++ )().()().()(. 0101

22

33

22 zUbzbzEazazazazUzb ++++=

)().()().()( 1

2

01

2

12

2

01

2

1

2

2

2

3 zUzb

bz

b

bzEz

b

az

b

a

b

az

b

azU ++++= (6.5)

Finalmente aplicando a transformada Z inversa, obtemos a equao:

)2()()2()()()()( *

2

0*

2

1*

2

0*

2

1*

2

2*

2

3* Ttub

bTtu

b

bTte

b

aTte

b

ate

b

aTte

b

atu ++++=

(6.6)

Pode-se notar que na equao 6.6 o valor presente de sada do controlador, )(* tu , uma

funo dos valores da amostra futura )(* Tte + , da amostra presente do erro )(* te e das amostras passadas do erro e do sinal de controle. Obviamente, se desejarmos implementar fisicamente (em microprocessador) o compensador, a sada no poder ser calculada. Para ser realizvel,

3a deveria ser zero. Conclui-se assim que o compensador no pode ter um nmero de zeros maior que o nmero de plos.

6.5 Exerccios 1. Implemente no rltool do Matlab os exerccios 2, 3 e 4 e verifique a resposta ao degrau

do sistema variando o ganho K do sistema.

6.6 Bibliografia [1] E.I.Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Huntington, NY: R.E. Krieger Publishing

Co. , 1973. [2] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Terceira Edio. [3] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition. [4] R. C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Oitava Edio.

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