Dimensionamento de Eixos

7/28/2019 Dimensionamento de Eixos

1/31

CAPTULO 5 - EIXOS E RVORES DE TRANSMISSO

5.1 - Introduo

Eixo um elemento mecnico rotativo ou estacionrio (condio esttica) de seco

usualmente circular onde so montados outros elementos mecnicos de transmisso taiscomo: engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos so

suportados (apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo seco quase

sempre mssica e varivel, com rasgos de chavetas para fixao de componentes. A FIG. 1

mostra uma iluminao de um eixo.

FIGURA 1 Eixo.

Os eixos so elementos solicitados a esforos de flexo, trao/compresso ou toro, que

atuam individualmente de forma combinada. Para a segurana do sistema em que o eixo estinserido, este deve ser dimensionado para cargas estticas (parado ou com rotao muito

baixa) ou dinmica (altas rotaes). Este dimensionamento leva em conta a resistncia do

material de que foi confeccionado, comparam-se as tenses que atuam no mesmo com os

limites de resistncia do material, estticos (Sy ou Su) ou dinmicos (Se fadiga).

Em certos sistemas mecnicos, o nvel de deflexo do eixo pode constituir um parmetro

crtico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexo. Em outras palavras, a

geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitveis de deflexo, antes da anlisedas tenses/resistncias.

5.2 - Materiais para eixos e rvores

H uma grande variedade de materiais possveis para a fabricao de eixos e rvores. De

acordo com o servio devem ter alta resistncia e baixa sensibilidade aos efeitos da

concentrao de tenso.

Para se obter, em um clculo, dimetros menores e grandes resistncias, pode-se usar aos-

liga, em geral tratados termicamente. Estes aos, porm, tm a desvantagem de serem caros e

de maior sensibilidade s concentraes de tenses. Alm disso, o dimetro muitas vezes


2/31

subordinado a certas deformaes admissveis, tornando o ao-liga contra-indicado, j que o

problema no mais de resistncia.

Os aos-carbono, de baixo e mdio teor, so muito usados na fabricao de eixos e rvores.

Aos muito empregados so os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 2340,

2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140.Como vemos, uma grande variedade de material existe para a confeco de eixos e rvores. A

seleo depender sempre das condies de servio, custo, usinabilidade e caractersticas

especiais por ventura exigidas. um campo muito aberto em que o projetista deve procurar

sempre maiores conhecimentos, pois, praticamente qualquer material ferroso, no-ferroso ou

no metlico pode ser usado, por uma razo qualquer, na execuo de um eixo ou uma

rvore.

TABELA 1

Caractersticas dos materiais para eixos

Nmero

SAE/AISI

Condio Temperatura

C

Tenso de

escoamento

MPa

Tenso de

ruptura

MPa

Alongamento

%

Reduo de

rea

%

Dureza

Brinell

1030 T&R

T&R

T&R

T&R

T&R

Normalizado

Recozido

205

315

425

540

650

925

870

848

800

731

669

586

521

430

648

621

579

517

441

345

317

17

19

23

28

32

32

35

47

53

60

65

70

61

64

495

401

302

255

207

149

137

1040

T&R

T&R

Q&T

Normalizado

Recozido

205

425

650

900

790

779

758

634

590

519

593

552

434

374

353

19

21

29

28

30

48

54

65

55

57

262

241

192

170

149

1050

T&R

T&R

T&R

Normalizado

Recozido

205

425

650

900

790

1120

1090

717

748

636

807

793

538

427

365

9

13

28

20

24

27

36

65

39

40

514

444

235

217

1871060 T&R

T&R

T&R

Normalizado

Recozido

425

540

650

900

790

1080

965

800

776

626

765

669

524

421

372

14

17

23

18

22

41

45

54

37

38

311

277

229

229

1791095 T&R 315 1260 813 10 30 375


3/31

T&R

T&R

T&R

Normalizado

Recozido

425

540

650

900

790

1210

1090

896

1010

658

772

676

552

500

380

12

15

21

9

13

32

37

47

13

21

363

321

269

293

192

1141 T&R T&R

315540

1460896

1280765

918

3257

415262

4130 T&R

T&R

T&R

T&R

T&R

Normalizado

Recozido

205

315

425

540

650

870

865

1630

1500

1280

1030

814

670

560

1460

1380

1190

910

703

436

361

10

11

13

17

22

25

28

41

43

49

57

64

59

56

467

435

380

315

245

197

1564140

4140

T&R

T&R

T&R

T&R

T&R

Normalizado

Recozido

205

315

425

540

650

870

815

1770

1550

1250

951

758

1020

655

1640

1430

1140

834

655

655

417

8

9

13

18

22

18

26

38

43

49

58

63

47

57

510

445

370

285

230

302

1974340 T&R

T&R

T&RT&R

315

425

540650

1720

1470

1170965

1590

1360

1080855

10

10

1319

40

44

5160

486

430

360280

Observao: T&R significa Temperado e Revenido.

Fonte: SAE Handbook, Society of Automotive Engineers, Warrendale,,2000.

5.3 - Carregamento esttico

A determinao das dimenses de uma rvore muito simples quando sujeita somente a

carregamento esttico, principalmente se comparado a quando se tem carregamento

dinmico. E mesmo com carregamento dinmico, muitas vezes necessrio se ter uma boanoo das dimenses das peas para se ter um bom comeo dos problemas e por isto faz-se

antes uma anlise como se o carregamento fosse esttico.

5.3.1 - Carregamento esttico sujeito flexo, toro e esforo axial

As tenses em um ponto na superfcie de uma rvore de dimetro (d), sujeita a flexo, toro

e carregamento axial, so:

23

432

d

F

d

Mx

+

= (1)


4/31

3

16

d

Txy

=

(2)

Onde a componente axial (F) de x pode ser positiva ou negativa. Ns observamos que h trs

carregamentos. Momento (M), fora (F) e torque (T) aparecem na seo, contendo o ponto

especfico na superfcie.Usando o crculo de Mohr, podemos mostrar que as 2 principais tenses no nulas so:

( )2

1

2

2

2

+

= xy

xxba

(3)

Estas tenses podem ser combinadas de forma a obter a mxima tenso de cisalhamento (max)

e a tenso de Von Mises (); dando em:

=

=

2

max

ba ( )2

1

2

2

2

+

xy

x

(4)

( ) ( ) 21

222

1

223' xyxbbaa +=+= (5)

Substituindo as equaes (1) e (2) em (4) e (5) teremos:

( ) ( )[ ] 21

22

3max88

2TDFM

d++

=

(6)

( )[ ] 21

22

3488

4' TdFM

d

++

=

(7)

Estas equaes nos permitem determinar max ou quando o dimetro (d) dado ou

determinar o dimetro quando tivermos posse das tenses.

Se a anlise ou projeto da rvore for baseada na teoria da mxima tenso de cisalhamento,

ento max :

n

S

n

S ySyall

==2

(8)

As equaes (6) e (8) so teis para a determinao do fator de segurana (n), se o dimetro

for conhecido, ou para determinar o dimetro se o coeficiente de segurana for conhecido.

Uma anlise similar pode ser feita levando-se em conta a teoria da energia de distoro para

falhas, onde a tenso de Von Mises :

n

Syall =' (9)

5.3.2 - Carregamento esttico sujeito flexo e toro

Em vrias aplicaes, a componente axial (F) das equaes (6) e (7) prxima de zero ou to

pequena em relao s outras que pode ser desconsiderada. Da tero:


5/31

2

1

22

3max)(

16TM

d+

=

(10)

( )

+

= 2

122

334

16' TM

d (11)

mais fcil resolver estas equaes para se encontrar o dimetro. Substituindo as equaes(8) e (9) temos:

( )3

1

2

12232

+

= TMS

nd

y(12)

Usando a teoria de mxima tenso de cisalhamento, se o dimetro for conhecido, calcula-se n

da seguinte forma:

( )2

122

3

321

TMSdn y+

=

(13)

Se usarmos como base a teoria de energia de distoro, teremos:

( )3

1

2

122 34

16

+

= TMS

nd

y(14)

( ) 21

22

334

161TM

Sdn y+

=

(15)

Onde:n = fator de segurana. n = 1,5 a 2,0

Sy = limite de escoamento do material

M = momento Mximo no eixo

T = torque mximo

5.4 Exerccios resolvidos - carregamento esttico sujeito flexo e toro

1. Qual o dimetro de um eixo mostrado na FIG. 2, feito de um ao AISI 1035

laminado?

FIGURA 2 Engrenagem no eixo.


6/31

=

=

rpmn

kWMotor

NF

1750

73,3

700

I) Torque:

n

HT

.

.1030 3

=, onde H=> Potncia em KW, tem-se:

mNT

T

.35,20

1750.

73,3.1030 3

=

=

II) Momento:

mNM

LFM

.5,52

2

3,0.

2

700

2.

2

=

==

III) Material:

Pela Tabela =>MPaSy 462=

IV) Segurana:

Usar n=2.

V) Dimetro:

( )

( )mmd

d

TMSynd

54,13

35,205,5210462.

2.32

.32

31

21

22

6

3

1

2122

=

+

=

+=

2. Do exerccio anterior visto, tem-se:

mmd 47,13

2n

462MPaS

20,35N.mT

52,5N.mM

y

=

=

=

==

MPa5,551S

462MPaS

20,35N.mT

52,5N.mM

u

y

=

=

=

=

'd.Ke.Kf.SeKa.Kb.Kc.KSe =


7/31

170,1MPaSe

)10551,5.,5041)(1)(1)(05)(0,923)((0,78)(0,8Se

1,0Kf

1,0Ke

1,0Kd

1520MPa)0,923(SKc

0,85Kb

0,78Ka

6

u

==

===


8/31

=xy tenso de toro (MPa)

=M momento de flexo (N.mm)

T = momento de toro (N.mm)

d = dimetro dp eixo (mm)

Segundo o critrio da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de

correo devido a choques e fadiga.

22

3.

.

.16TM

d

Td +=

( ) ( )223 ...

.16TCMC

d

Ttmd +=

Frmula da ASME

(19)

para dimetro de eixos baseado na teoria da mxima tenso cisalhante. Fatores Cm e Ct dados

na tabela.

5.6 - Eixos e rvores sujeitos fadiga

Qualquer rvore girante que sofre momento de flexo e toro fixas est sujeita a uma

inverso, reverso completa da tenso causada pelo giro da rvore, mas a tenso de

cisalhamento permanecer a mesma.

3

32

d

Maxa

=

(20)3

16

d

Tmxym

=

(21)

onde:

xa = Tenso de Amplitude Alternada

xym = Tenso de Cisalhamento Constante

Estas duas tenses podem ser manipuladas usando dois crculos de Mohr.

Se estivermos usando a teoria de mxima teno de cisalhamento, teremos:

aa = 2 (22) mm = 2 (23)

Se estivermos usando a teoria da energia de distoro, teremos:xaa = (24) xymm = 3 (25)

5.6.1 - Critrio de fadiga Goodman

Para qualquer eixo carregado com um momento de flexo e toro fixa, estar submetido a

uma flexo reversa provocando tenses alternadas e toro estacionria, provocando tenses

mdias. Assim, tem-se:

332

dMaax

= 316d

Tmmxy

= (26)


9/31

Usando estas expresses e a equao da linha de Goodman:

1=+u

m

e

a

SS

(27)

Pode-se obter, aps desenvolvimento analtico:

3

1

2122

32

+

=

u

m

e

a

S

T

S

Mnd

(28)

5.6.2 Critrio de fadiga - Soderberg

Utilizando o teorema da mxima tenso cisalhante:

3.

.16

d

Txy

=3.

.32

d

Mx

=

Para qualquer plano fazendo um ngulo com o plano horizontal, tem-se:

.2cos..

.163d

Tm = valor mdio

.2..

.163

send

Ma = (amplitude da componente alternativa)

Por meio da geometria analtica, tem-se que:

22

3

.16

.

+

=

sesy S

M

S

T

dn

(29)

3

1

2

1

22

..16

+

=

sesy S

M

S

Tnd

(30)

Para o critrio da mxima tenso cisalhante (usada):

3

1

2

1

22

..32

+

=

eyS

M

S

Tnd

(31)

sendo que: xsx SS .5,0=

=n Fator de segurana.

=yS Tenso de escoamento.

=eS Limite de resistncia fadiga.

Para casos mais gerais usar equao:

3

1

2

1

2222

..32

+

+

+

=

y

am

e

a

y

m

e

a

S

M

S

M

S

M

S

Tnd

(32)

onde:


10/31

=aT Torque (amplitude)

=mT Torque mdio

=aM Momento (amplitude)

=amM Momento mdio

5.7 - Exerccios resolvidos - critrio de fadiga por Soderberg

1. Um eixo usinado fabricado de um ao com Sut = 550 MPa. Calcular n.

Dado: T = 6,0 KN

500

.1751

FR =

500

.3251

FR =

=a tenso alternada

2

minmax =a = max

a

eSn

=

MPa

c

I

Ma 100==

mmNF

LRM .420200.

500

.175.1 ===

64

. 4dI

= onde:

32

. 3d

c

I = e

2

dc =

c

I

MKFa .=

eedcbae SKKKKKS .....=

ue SS .504,0 =

bua SaK .= a = 4,51 e b = -0,265

847,0550.51,4 265,0 == aK

841,062,7

1133,0

=

=

d

Kb

1== dc KK

f

eK

K1

=

=f

K 0857,0=d

r 72,1=tK 428,1=d

D


11/31

( ) 80,058,1)1.1 ==+= qKqK tf

logo, 633,058,1

1==eK

logo,

MPaSe 4,124=

25,108,99

4,124 ===a

eSn

2. A transmisso representada na figura movida por um motor eltrico, assncrono, de

induo, trifsico, com potncia P= 3,7 kW e rotao n= 1140 rpm. Dimensionar o

dimetro da rvore 2, sabendo-se que a rvore macia e o material utilizado possui

Su = 700 MPa, Sy = 630 MPa e o fator de projeto 1,8, com as engrenagensenchavetadas no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens so cilndricas (ECDR) e

possuem as seguintes caractersticas geomtricas:

Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 dentes; m= 2,5 mm e ngulo de presso 20.

FIGURA 3 - Exerccio resolvido 1.

Calculemos o torque na rvore 1

1

22

..3000

Z

Z

n

PMT

=

A potncia do motor - P = 3700 W

Portanto,

23

49.

1140

3700.

30002

=TM mmNMT .030.662 =

Esforos na transmisso:

Fora tangencial (FT)

Fora tangencial (no primeiro par)

Dimetro primitivo


12/31

2

2

0

.2

d

MF

T

T =

49.5,2. 202 == Zmd mmd 5,12220 =

5,122

660302xFT = NFT 078.1=

Dimetro primitivo:

28.5,2. 303 == Zmd mmd 7030 =

70

660302xFT = NFT 887.1=

Fora radial no primeiro par

20.tgFF TR =

20.1078 tgFR = NFR 392

=

Fora radial no segundo par

20.tgFF TR =

20.1887 tgFR = NFR 687=

Momento fletor

Plano vertical

100.392500.687.600

0

+==

VB

A

R

M

NRVB

638=

687392

0

+=+

=

BVVA

y

RR

F

NRVA

441=

FIGURA 4 Foras cisalhantes, diagrama

de momento fletor no plano vertical.

400.392500.max = AVRM

mmNM .700.63max =

Plano Horizontal

500.1887100.1078.600

0

==

HB

A

R

M


13/31


14/31

8,2=fK 357,0=eK

'..... eedcbae SKKKKKS =

8,352357,01191,0784,0 xxxxxSe=

Clculo do dimetro pelo critrio de Goodman:

3

1

2

1

22

..32

+

=

Su

Tm

Se

Mand

3

1

2

1

22

700

66030

86,84

3,155215.

8,1.32

+

=

d mmd 15,32=

5.8 Chavetas / pinos

Chavetas e pinos so dispositivos mecnicos usados para fixar no eixo engrenagens, polias eoutros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido atravs dele. Os pinos so

usados com duplo propsito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do

componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos.

FIGURA 6 Chavetas e Pinos.

5.9 - Unio de eixos com cubosO cubo a parte central do elemento (polia, engrenagem etc.) onde realizado um rasgo para

a fixao da chaveta.


15/31

FIGURA 7 Unio de eixos com chavetas cbicas.

A chaveta uma pea que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente, fazendo a

unio dos mesmos.

Os principais tipos de chavetas, as mais usadas, so definidas por normas (padres). Estas

chavetas so do tipo:

Chaveta meia-lua (woodruff);

Chaveta plana;

Chaveta inclinada.

A FIG. 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do rasgo.

Observar que os rasgos das chavetas meia-lua so usinados com fresa circular; e as chavetas

planas e inclinadas, com fresa circular e de topo.Para exemplificar os padres de chavetas, tem-se:

Unies por adaptao de forma.

Unies por adaptao de forma com pretenso.

Unies por atrito.

Chaveta meia-lua.

Chavetas planas e inclinadas.


16/31

FIGURA 8 Tipos de Chavetas.

5.10 - Dimensionamento de chavetasComo j foi visto anteriormente, as chavetas so tabeladas quanto sua seco. O

dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mnimo (L), como

o caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas).

FIGURA 9 Dimensionamento das chavetas.

As tenses que atuam nas chavetas so determinadas da seguinte forma:


17/31

FIGURA 10 Tenses atuantes nas chavetas.

Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmisso de potncia do eixo para a

polia fora a chaveta de forma inclinada. Esta fora (F) tende a cisalhar (rasgar) a seo AA

da chaveta. Logo:

Lt

F

A

F

.== Modelo Matemtico (33)

Comparando-se com o limite de resistncia cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator de

segurana n, tem-se:

n

S

Lt

F

n

S sysy

== . (34)

5.11 Exerccios resolvidos chavetas

1. Um eixo de ao AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta

quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40 mm e uma engrenagem, que

transmitiro 22,38 KW a uma rotao de 1100 rpm. Usar fator de segurana n = 3,0.

2d

T

F = => Fora na chaveta

mmRd

R 202

40

2===

Como:n

HT

.

.1030 3

= , onde H=> Potncia em KW, tem-se:


18/31

FIGURA 11 Aplicao de chaveta.

mNTT .2,1941100.

38,22.1030 3=

=

Logo:

NFF 97131020

2,1943

=

=

Para a chaveta, temos:

mmL

L

S

n

t

FL

n

S

Lt

F

sy

sy

7,1910185

3.

008,0

9713

..

.

6

=

=

=

=

Observar que o comprimento mnimo L = 19,7 mm como a geometria do cubo

maior do que o dimetro do eixo, e como as chavetas tm o comprimento do cubo,

pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada :

mmL 40

5.12 - Vibrao de eixos

A FIG. 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em um

eixo, na metade da distncia entre os mancais. A massa do eixo ser considerada desprezvel

se comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de preciso h, contudo,

uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relao ao eixo de rotao.

Por causa da excentricidade, a fora centrfuga ocasionada pela rotao do eixo faz com que

este sofra uma deflexo r. Visto pela extremidade do eixo como na FIG. 12, o centro O do

disco parece estar girando em torno do eixo de rotao sobre uma circunferncia de raio r. A

fora de inrcia causada por este movimento forado Fo = M(r + e) w2. Pela equao do

equilbrio esttico,tem-se:


19/31

2

0

( ) 0

F

M r e w kr

=

+ =

(35)

FIGURA 12 - Rotor com disco,Fonte: H.H.Mabie,Dinmica das Mquinas, p.547

Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equao (35) da seguinte forma:

( )

2

2

ewr

k wM

=

(36)

Quando a velocidade do eixo for igual a /k M , o denominador da equao (36) se anular

e r atingir valores intoleravelmente grandes. A rotao do eixo assim defletido parece com

uma viga em vibrao quando vista do lado onde somente se pode observar a projeo do

movimento. Portanto, pode-se considerar /k M do eixo rotativo como a freqncia circular

natural n da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibrao.

Pode-se escrever a equao (36) na forma adimensional:

2

2

( / )

1 ( / )

n

n

w wr

e w w=

(37)

Quando for igual a n = /k M ,tem-se a condio crtica de rotao, devido s amplitudes

muito grandes da vibrao do eixo. Na condio crtica, chama-se de c e a velocidade de

rotao do eixo em rotaes por minuto ser


20/31

60 60

2 2c c nn w w

= =

(38)

onde n = /k M normalmente expresso em rad/s. Assim, nc a velocidade crtica em

rotao por minuto, k est em Newtons por metro e M em quilogramas. Pode-se calcular a

constante k da mola atravs da deflexo esttica est do eixo devido ao peso do rotor. Assim, k

= Mg/est e quando substitudo na equao (38) a velocidade crtica ser expressa pela

seguinte equao:

130

c

est

n

=

(39)

.A velocidade crtica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga pode ser

calculada em termos das dimenses do eixo e do mdulo de elasticidade E do material do

eixo.

4

346c

Edn

Pl=

(40)

De acordo com a equao (40), pode-se alterar o material e as dimenses do eixo, assim

como o peso, de modo que a velocidade crtica n c seja superior ou inferior velocidade de

projeto n na qual se deseja operar. Caso n/nc for menor do que 0,707 ou maior do que 1,414, r

ser menor do que o dobro da excentricidade e. interessante observar que em velocidades

muito acima da crtica (/n>>1,0), o valor de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de

massa de M estar no eixo de rotao. Neste caso a massa no estar oscilando, porm o eixo

oscilar em torno do centro de massa de M.

No caso da massa do eixo ser grande o bastante para no ser desprezada, e o eixo ter dimetro

constante, deve-se somar massa M 50 por cento da massa m do eixo,determinando-se a

freqncia circular natural.

( 0,5 )n

k

w M m=

+ (41)

Conforme mostra a FIG. 12, supe-se que os mancais do eixo sejam rgidos. Em certos casos,

pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o est da equao

(39) dever incluir a deflexo esttica dos apoios assim como a deflexo do eixo.

5.13 - Freqncia natural e velocidade crtica

Pode-se ter uma variedade muito grande de configuraes de rotores desde que sejam usadas

diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de dimetros variveis. Embora as

curvas do fator de amplificao sejam difceis de serem obtidas matematicamente, as


21/31

velocidades crticas dos eixos so determinadas com relativa facilidade atravs de clculos de

freqncia natural.

5.14 - Freqncia natural de eixos com diversas massas

Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a FIG. 13a, pode-se determinar afreqncia circular natural n do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem amortecimento,

aps uma deflexo inicial no primeiro modo de vibrao.

Considerando que o sistema vibratrio conservativo, a soma da energia potencial e da

cintica constante em qualquer fase da vibrao. Na fase em que todas as massas esto

simultaneamente nos mximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente no eixo

igual energia potencial FY/2. Nesta fase, a energia cintica zero porque todos os

pontos do sistema esto com velocidade zero. A energia potencial ser ento:1 1 2 2 ...2 2 2

n nF YF Y F YEP= + + +(42)

As foras F so as necessrias para a deflexo do eixo, como se fosse uma mola, at ficar

com a conformao mostrada nesta fase. O produto fora-deslocamento determina energia

potencial.

Durante a vibrao, o eixo passa pela fase de repouso (no deformada) na qual a energia

potencial zero, mas a energia cintica mxima porque as velocidades das massas somximas. Considerando que as massas tm movimento harmnico simples, a energia cintica

do sistema ser ento dada pela equao (43).

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2... ...

2 2

n n

n n n n

w wEC M Y M Y M Y PY P Y P Y

g = + + + = + + +

(43)

(a) Flexo dinmica

d1

d2

d3

W1 W2W3

(b) Flexo esttica


22/31

FIGURA 13 Flexo,conforme Mabie, Dinmica das Mquinas, pg.550

Considerando que os deslocamentos Y da vibrao so proporcionais s deflexes da

deformao esttica, ento

1 2

1 2

... n

n

YY Y

= = =(44)

A equao resultante que d a freqncia circular natural ser:

[ ]1 1 2 222 2 2

1 1 2 2

...

...

n n

n

n n

P P Pw g

P P P

+ + +=

+ + +

2

2n

Pw g

P

=

(45)e a velocidade crtica pode-se determinar de nc = 60 n /2.

A equao de Rayleigh, equao (45), uma expresso utilizada para determinar a freqncia

natural fundamental de muitos tipos de rotores. As frmulas de deflexo de vigas, para

inmeros casos, esto disponveis em livros-texto de resistncia dos materiais e em manuais.

Pode-se aplicar o mtodo da rea do diagrama de momento fletor e outros, em casos gerais.

Dispe tambm de mtodos grficos, para a determinao das deflexes estticas de rotores

com eixos de dimetros variveis.Para incluso da massa do eixo nos clculos, deve-se dividi-lo em diversos comprimentos,

cada um tratado como se fosse uma massa adicional.

A equao (45) no estritamente uma avaliao exata da freqncia natural porque a curva

das deflexes estticas no proporcional curva deflexes dinmicas, como foi

considerado. Entretanto, o resultado obtido na equao somente um ou dois por cento

superior freqncia natural verdadeira.. A deflexo dos apoios pode ter uma influncia

maior sobre as velocidades crticas e devem ser acrescidas as deflexes do eixo.A freqncia natural dada pela equao (45) a fundamental, ou a mais baixa freqncia do

sistema de massas. desejvel, portanto, se possvel, projetarem-se as dimenses de um eixo

de tal modo que a velocidade crtica mais baixa seja superior velocidade de projeto.

Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na FIG. 14a, deve-se inverter os

sentidos dos pesos como indica a FIG. 14b na determinao das deflexes estticas.


23/31

(b)

FIGURA 14 Freqncia natural da estrutura

5.15 Exerccios resolvidos vibraes em eixos- Fonte: Mabie,H. Dinmica das

Mquinas.

1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina de 15 kg so montados em um

eixo de ao conforme mostra a FIG. 13a. O eixo deve operar velocidade prevista de

10.000 rpm. Empregando a equao de Rayleigh (47), determine o dimetro do eixo

mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade crtica fundamental de

12.000 rpm, com uma margem de segurana de 2.000 rpm.

(d)

FIGURA 15 Aplicao de vibraes em um eixo.Fonte: H.H.Mabie,Dinmica das Mquinas, p553.

(a)

(a)

(b)

(c)


24/31

Conforme a FIG. 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de deflexo

com o formato do uma meia-onda simples. As FIG. 15c e 15d mostram a forma da viga

deformada sob a ao de cada carga atuando independentemente, conduzindo assim a dois

casos cuja frmula deflexo esttica mostrada a seguir encontra-se em livros-texto de

resistncia dos materiais. Pelo mtodo da superposio, pode-se determinar as deflexes 1 e2:

3 2

1 21 1 1

3 2

48 16

1 25 0, 50 15 0, 50 0, 25 0,12369

48 16

A A

A A

Pl P l a

EI EI

EI EI

= + = + =

= + =

2 2

1 22 2 2

( ) 0,322

16 3A A A

Pl a P a l a

EI EI EI

+ = + = + =

Usando-se a equao (47),

2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

25 0,12369 15 0,332

25 0,12369 15 0,332n A

P Pw g gEI

P P

+ + = = + +

Para g= 9,81m/s e E= 2,1 x 1010 kg/m

2 10

10 2

81,678 10

0,012243 10

n A

A n

w I

I w

=

=

Para nc= 12.000 rpm

21260 rad/s

60

cn

nw

= =

Portanto, o momento de inrcia necessrio do eixo :

10 20, 012243 10 1260AI=

Como IA= d4/64,

4 -1064

395973,4762 10Ad I= = 0,0793 79,9d m mm= =

Deve-se usar um dimetro de 80 mm.

2. Os apoios do rotor do exemplo 1, FIG. 15a, foram considerados como rgidos.

Determine a velocidade crtica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer

uma deflexo de 0,14/EIA sob um carregamento esttico. Use IA = 1,84 x 10-6 m4 e E =

2,1 x 1010 kg/m2.


25/31

Devido flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 tero uma deflexo adicional.

Conforme indica a FIG. 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para

baixo e o da direita para cima. Como se pode ver, no h influncia sobre a deflexo

da carga P1, porm o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexes

estticas totais so:

1

0,12369

AEI = 2

0,332 0, 28 0,612

A A AEI EI EI = + =

.

Substituindo estes valores na equao (47),

2 774602

880,1 rad/s

60 60(880) 8404 rpm

2 2

n

n

c n

w

w

n w

=

=

= = =

5.16 - Eixos escalonados

A equao (45) para velocidade crtica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na FIG.

15a, no qual o dimetro varia em degraus Entretanto, como IA varivel em tais casos, no

se derivam com facilidade para as deflexes estticas. Pode-se usar um dos diversos mtodos

grficos, tal como o seguinte:

FIGURA 16 Eixos escalonados.

Deve-se recordar da resistncia dos materiais, que para se determinar a deflexo esttica

deve-se resolver a equao diferencial bsica:

2

2

d

dx A

y M

EI=

(46)

Nesta equao y a deflexo, M o momento fletor como funo de x, e IA o momento deinrcia da seo reta do eixo, como funo de x. Integrando-se duas vezes a equao (46),

0,14

AEI

0,14

AEI

0,28AEI


26/31

obtm-se a deflexo da viga. A primeira integrao conduz a dy/dx, inclinao da curva

elstica da viga deformada. Alm disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de

duas integraes para a obteno do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de

quatro integraes para se obterem as deflexes a partir do carregamento conhecido.

Como o processo de integrao o somatrio de reas sob as curvas, pode-se empregar ummtodo grfico para um somatrio para vigas complexas que tm funes com numerosas

descontinuidades. O mtodo grfico exige que as curvas sejam traadas em escala a fim de

que as reas sob as curvas possam ser avaliadas atravs da medio de quadrados.

A FIG. 17a mostra um rotor de ao com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de trs

dimetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte

no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A FIG. 17a um

diagrama de carregamento a partir do qual se pode determinar o diagrama de esforo cortantemostrado na FIG. 17b atravs de mtodos convencionais (a primeira integrao). Obtm-se o

diagrama de momento fletor da FIG. 17c atravs das reas do diagrama de esforo cortante (a

segunda integrao). Deve-se levar em conta o sinal de cada rea. Deve-se multiplicar as

reas em milmetros quadrados pelo fator de converso apropriado obtido das escalas do

diagrama de esforo cortante, afim de que

as ordenadas do diagrama de momento

fletor sejam em N/mm.

(a)

(b)

(c)

(d)


27/31

(e)

(f)

FIGURA 17 Deflexes em um eixo de carregamento conhecido.,Fonte: Mabie,H. Dinmica das

Mquinas,p.556.

Aps as integraes ,transforma-se o diagrama de momento fletor no diagrama M/EIA,

conforme exigido pela equao (46). Divide-se cada ordenada do diagrama de momento

fletor pelo valor adequado de EIApara obteno das ordenadas M/EIA da FIG. 17d. Obtm-se

as ordenadas da FIG. 17 e representando a inclinao dy/dx da elstica (terceira integrao)

atravs das reas do diagrama M/EIA. As ordenadas traadas a partir do eixo x' so todas

positivas. Entretanto, sabe-se do formato esperado da elstica que as inclinaes so

negativas perto da extremidade da esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas

proximidades do meio da viga h uma inclinao nula. Assim, traa-se o eixo x escolhido

arbitrariamente de tal modo que as reas negativas sejam aproximadamente iguais s

positivas, na FIG. 17e. Faz-se a quarta integrao usando-se as reas da FIG. 17e para

obteno das ordenadas da deflexo esttica y na FIG. 17f. As ordenadas da deflexo esttica

so negativas porque as reas da curva dy/dx so negativas na extremidade da esquerda, onde

se inicia a integrao.

Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores:

2

2 6

2

c

2,94 0,0385

0,794 10

865 rad/s

60(865)n 8260 rpm

2

n

n

Py N mm Py mm

Pyw g

Py

w

= =

= =

=

= =

5.17 - Velocidades crticas de ordem superior

Para rotores que tm eixos de dimetros variveis, como no item precedente, a determinaoda segunda velocidade crtica e das velocidades de ordem superior quanto flexo


28/31

relativamente mais complexa do que o clculo da velocidade crtica fundamental da equao

(45). O livro-texto de Timoshenko apresenta mtodos para rotores com tais eixos e para um

nmero de rotores com eixos uniformes com e sem massas concentradas. No caso de vigas

uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes em balano para as quais a frmula

seguinte (47) calcula as diversas freqncias naturais:

3

An n

EI gw C

Pl=

(47)

onde Cn o coeficiente que indica a n-sima freqncia natural P e o peso total da viga em

kg, e / e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmisso do automvel e eixo de

bobina so exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de

compressores e de turbinas so exemplos aproximados de vigas uniformes em balano.

5.18 - Eixos escalonados

Quando o eixo tem os dimetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados na

FIG. 18, a constante da mola torcional varivel. Pode-se determinar uma constante

equivalente kt em funo das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em srie, o

torque instantneo T em cada seo do eixo o mesmo. Entretanto, os ngulos de toro so

diferentes. O ngulo total de toro t a soma de todos os ngulos individuais de toro.

1 1 2 3

1 2 3

1 2 3

...

...

1 1 1 1 1...

1 1

n

t n

t n

t

T T T T T

k k k k k

k k k k k

k k

= + + + += + + + +

= + + + +

= (48)

Para o rotor com dois discos e com eixos de dimetro varivel, pode-se substituir kt,

determinado pela equao (48).

FIGURA 18 - Eixo e mancais. Fonte: Mabie, Dinmica das Mquinas, p.568.

5.19 Exerccios propostos - dimensionamento de eixos


29/31

1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilndrica de dentes retos para uma rotao

de 315 rpm. O dimetro primitivo da engrenagem de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm,

t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem

enchavetada no eixo. A carga total atuando no eixo de 15 KN.

FIGURA 19 - Exerccio proposto 1.

2. Um eixo fabricado com ao AISI 1137, laminado a frio, e usado em um cortador

de grama. A potncia suprida ao eixo por uma correia plana polia A. Em B, uma

corrente de rolos exerce uma fora vertical e em C uma correia trapezoidal tambmexerce uma fora vertical. Nas condies de operao a correia transmite 35 HP a 425

rpm, das quais 25 HP so transmitidas ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas

sees do eixo so unidas por um acoplamento flexvel em D e as polias so todas

enchavetadas no eixo. Decida qual sero os dimetros dos eixos, utilizando a teoria de

falhas de Von Mises e o critrio de Goodman.


30/31


3. Um eixo S de ao AISI 1137, laminado a frio, transmite potncia que recebe de um

eixo W, que gira a 2000 rpm atravs de uma engrenagem E de 125 mm de dimetro

engrenagem A de 375 mm de dimetro. A potncia transmitida de uma engrenagemC para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante

uma rotao de do eixo S. O projeto leva em conta as tenses variveis e a teoria da

mxima tenso cisalhante TMT|C e o critrio de Goodman. Para um fator de projeto

n=1,8, calcule o dimetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras.


4. Idntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem

tambm ser consideradas, todas as engrenagens com ngulo de presso 20o.

5. Idntico ao exerccio 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da

engrenagem C.

6. Um pequeno eixo fabricado com ao SAE1035, laminado a quente, recebe potncia de

30 HP a 300 rpm, atravs de uma engrenagem de 300 mm de dimetro, sendo esta

potncia transmitida a outro eixo atravs de um acoplamento flexvel. A engrenagem

enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ngulo de presso 20 o, fator de

segurana n=1,5.

(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o dimetro do

eixo.


31/31

(b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o dimetro do

eixo.


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Dimensionamento de Eixos