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DIMENSIONAMENTO DE LAJES ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES EXEMPLO DE APLICAÇÃO Carlos Moutinho FEUP, Maio de 2002

Dimensionamento de Lajes

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Page 1: Dimensionamento de Lajes

DIMENSIONAMENTO DE LAJES ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Carlos Moutinho

FEUP, Maio de 2002

Page 2: Dimensionamento de Lajes

1. Dados Gerais - Laje destinada a zona comercial (Q = 4 kN/m2) - Peso de revestimentos e paredes divisórias: 3 kN/m2 - Materiais: C20/25; A400 2. Geometria

0.30 0.30 0.306.70 4.70

0.30

0.30

0.30

4.70

4.70

P1VIGA 1

L1

L2

L3

L4

P2 P1

P1

P1 P1

VIGA 2

VIGA 1

VIG

A 3

VIG

A 4

PAR

EDE

1

1-2y

1-2y 3-4y

3-4y

1-3x 1-3x

2-4x 2-4x

Planta estrutural 3. Pré-dimensionamento da laje Critério utilizado: Verificação do estado limite de deformação sem cálculo directo

λ≤dl

; slT KKK σλλ ×××= 0

λ = 32 × 1 × 1 × 1.25 = 40 → =≥405d 0.125 m

com 0λ = 32 (caso 2 do quadro 4.14 do EC2 para todas as lajes)

TK =1 (laje maciça)

LK =1 (vão < 7m)

cals

effs

yks A

Af

K,

,400 ⋅=σ =1×1.25=1.25(ter em conta o factor αdef = 1.25 na atribuição de armaduras)

Dimensões adoptadas para todas as lajes: h = 0.17 m ; d = 0.14 m

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 2

Page 3: Dimensionamento de Lajes

4. Acções Acções permanentes: Peso próprio (0.17 × 25) 4.25 kN/m2 Rev. + P. divisórias 3.00 kN/m2 G = 7.25 kN/mk

2 Acções variáveis: Sobrecarga Q = 4 kN/mk

2

dS = 1.35 + 1.5 = 1.35 × 7.25 + 1.5 × 4 = 15.79 kN/mkG kQ 2 5. Cálculo dos momentos flectores máximos 5.1 Cálculo dos momentos iniciais Utilização do método do Regulamento Britânico (Norma BS8110) cujos coeficientes sxβ e syβ já incluem a influência da alternância de sobrecargas e da redistribuição de esforços (ver tabelas em anexo). Lajes L1 e L2:

Painel tipo 3

xl = 5.00 m; l = 7.00 m y

x

y

ll

= 1.4

3M4M 4M

xl

2M

yl

Lajes L3 e L4:

7M8M

5M xl

6M

yl

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcçõ

=1M 0.047 × 15.79 × 52 = 18.55 kN×m/m 2

1M

=2M 0.063 × 15.79 × 5 = 24.87 kN×m/m =3M 0.028 × 15.79 × 52 = 11.05 kN×m/m =4M 0.037 × 15.79 × 52 = 14.60 kN×m/m

Painel tipo 4

xl = = 5.00 m yl

x

y

ll

= 1.0

== 75 MM 0.035 × 15.79 × 52 =13.82 kN×m/m == 86 MM 0.047 × 15.79 × 52 =18.55 kN×m/m

es – exemplo de aplicação 3

Page 4: Dimensionamento de Lajes

5.2 Equilíbrio de momentos flectores sobre os apoios de painéis adjacentes Regras para o equilíbrio de momentos: a) Tratar os valores obtidos pela utilização das tabelas como momentos iniciais e equilibrar os momentos negativos sobre os apoios de acordo com a rigidez relativa dos vãos adjacentes; b) Em cada tramo, a soma dos módulos dos momentos negativos e positivo mantém-se constante antes e após o equilíbrio; c) Caso o momento positivo diminua, devido à aplicação da regra enunciada na alínea anterior, é conveniente manter o valor inicial. Neste exemplo é necessário equilibrar os momentos flectores negativos sobre os apoios dos painéis 1 e 3 (direcção 1-3x) e dos painéis 2 e 4 (direcção 2-4x). Direcção 1-3x = 2-4x:

CdM

CeM

Mo Mo

ke

M

M Mo 1º 2º

Dim

AM

BM

mentos negativos:

mento a distribuir: = |14.60 –|| CdCe MMM −=∆

744 EI

lEI

e== ;

533 EI

lEI

dd ==k

kkk

MMkk

kM

de

dCd

de

eCefinalC ×

+−=∆×

++=,

finalC , = 14.60 + 0.488 × 3.95 = 18.55 – 0.512 × 3.

mentos positivos:

tramo: manter o inicial → = 11.05BfinalB MM =,

tramo: ⇔ finalDfinalCDCd MMMM ,, +=+ DM ,

finalDM 13.82 + (18.55 –=,

ensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de a

DM

18.55| = 3.95 kN×

M∆

95 = 16.53 kN×m/m

kN×m/m

( CdDfinal MM +=

16.53) = 15.84 kN

plicação

m/m

)finalCM ,−

×m/m

4

Page 5: Dimensionamento de Lajes

5.3 Diagramas finais de momentos flectores Direcção 1-3x = 2-4x:

14.60 16.53

11.05

15.84

Direcção 1-2y :

24.87

18.55 18.55

Direcção 3-4y :

18.55

13.82 13.82

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 5

Page 6: Dimensionamento de Lajes

6. Cálculo das armaduras principais Armadura mínima:

min,sA = 0.0015 = 0.0015 × 100 × 14 = 2.10 cmdbw ×× 2/m Armadura para momentos flectores máximos:

Direcção Msd (kN×m/m)

As (cm2/m)

As,cal = As × αdef (*) (cm2/m)

Armadura Adoptada

As,eff (cm2/m)

14.60 3.14 3.93 φ8//0.10 5.03 11.05 2.36 2.95 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92 16.53 3.57 4.46 φ8//0.10 5.03

1-3x 2-4x

15.84 3.41 4.26 φ8//0.10 5.03 24.87 5.47 6.84 φ10//0.10 7.85 1-2y 18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 3-4y 13.82 2.97 3.71 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92

(*) Eventualmente agravar apenas armadura inferior 7. Verificação ao esforço transverso Utilização do método do Regulamento Britânico para a determinação dos esforços transversos máximos nos apoios, sendo os coeficientes vxβ e vyβ retirados das tabelas em anexo. Corte no apoio intermédio das lajes L1 e L2: Painel tipo 3

xl = 5.00 m; l = 7.00 m y

x

y

ll

= 1.4; vxβ =0.49

sxv = 0.49 × 15.79 × 5 = 38.68 kN/m Corte no apoios interiores das lajes L3 e L4: Painel tipo 4

xl = l = 5.00 m y

x

y

ll

= 1.0; vxβ = vyβ = 0.40

sxv = 0.40 × 15.79 × 5 = 31.58 kN/m ∴ v = 38.68 kN/m sd

dkv lRdRd ×+××= )402.1(1 ρτ =260 × (1.6 – 0.14) × (1.2 + 40 × 0.0036) × 0.14 = 71.42 kN/m

sdv ≤ v ∴ dispensa armadura de esforço transverso 1Rd

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 6

Page 7: Dimensionamento de Lajes

8. Verificação dos estados limites de utilização Estado limite de deformação: Verificação implícita no pré-dimensionamento da espessura da laje (ver ponto 3). Estado limite de fendilhação: De acordo com o parágrafo 4.4.2.3(1) do EC2, as lajes cuja espessura total não exceda 200mm não necessitam de medidas específicas para controlar a fendilhação, desde que se respeite as disposições construtivas indicadas na secção 5.4.3. Por outro lado, tendo-se utilizado um diâmetro máximo de varões de 10mm, facilmente se verifica que a tensão na armadura na combinação quase permanente não excede o valor de 360MPa (visto que em estado limite último a tensão na armadura é de 348MPa), valor limite indicado no quadro 4.11 do EC2 para que seja verificado o estado limite de fendilhação. 9. Desenhos (Ver páginas seguintes) BIBLIOGRAFIA - Apontamentos da disciplina de Estruturas de Betão “Cálculo de esforços em lajes armadas em

duas direcções” do Prof. Joaquim Figueiras; - Pré-norma Europeia Eurocódigo 2, 1991; - Norma Britânica BS8110, parte 1, 1985.

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 7

Page 8: Dimensionamento de Lajes

ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO X (Esc. 1/100)

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 8

Page 9: Dimensionamento de Lajes

ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO Y (Esc. 1/100)

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 9

Page 10: Dimensionamento de Lajes

ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO X (Esc. 1/100)

0.30 6.70 0.30 0.304.70

4.70

0.30

0.30

0.30

4.70

Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 10

Page 11: Dimensionamento de Lajes

ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO Y (Esc. 1/100)

0.30 6.70 0.30 4.70 0.30

0.30

4.70

0.30

4.70

0.30

Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20 armadura de distribuição para φ10//0.10 e φ10//0.20: φ8//0.20

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 11

Page 12: Dimensionamento de Lajes

ARMADURAS SUPLEMENTARES – AMBAS AS DIRECÇÕES

(A ADICIONAR ÀS ARMADURAS PRINCIPAIS) (Esc. 1/100)

0.30 0.306.70 4.70

4.70

0.30

0.30

4.70

0.30

0.30

CORTE NUM APOIO DESCONTÍNUO (Esc. 1/20)

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 12

0.17

0.33

0.50

armadura superior

armadura inferior

0.30

0.35

da laje

da laje

estribos da viga

da vigaarmadura longitudinal

Page 13: Dimensionamento de Lajes

Tipo de painel e

momentos considerados

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.01 Quatro lados contínuos

Momento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

2 Um lado menor descontínuoMomento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

3 Um lado maior descontínuoMomento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

4 Dois lados adjacentesdescontínuosMomento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

5 Dois lados menoresdescontínuosMomento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

6 Dois lados maioresdescontínuosMomento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

7 Três lados descontínuos(um lado maior contínuo)Momento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

8 Três lados descontínuos(um lado menor contínuo)Momento negativo sobreo lado contínuo

Momento positivoa meio vão

9 Quatro lados descontínuosMomento positivoa meio vão

0.024

0.065 0.032

0.024 0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.045 0.049

0.047 0.051 0.053 0.0600.032 0.037 0.043

Relação l y/ l x

Coeficientes para o menor vão, βsx

Coe

f. pa

ra o

m

aior

vão

, βsy

, pa

ra to

dos

os

valo

res

de l y

/l x

Cas

o

0.037 0.043 0.048 0.051 0.055 0.057 0.064 0.068 0.037

0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.044 0.048 0.052 0.028

0.037 0.044 0.052 0.057 0.063 0.067 0.077 0.085 0.037

0.028 0.033 0.039 0.044 0.047 0.051 0.059 0.065 0.028

0.047 0.053 0.060 0.065 0.071 0.075 0.084 0.091 0.047

0.035 0.040 0.045 0.049 0.053 0.056 0.063 0.069 0.035

0.045 0.049 0.052 0.056 0.059 0.060 0.065 0.069 -

0.035 0.037 0.040 0.043 0.044 0.045 0.049 0.052 0.035

- - - - - - - - 0.04

0.035 0.043 0.051 0.057 0.063 0.068 0.080 0.088 0.035

0.057 0.064 0.071 0.076 0.080 0.084 0.091 0.097 -

0.043 0.048 0.053 0.057 0.060 0.064 0.069 0.073 0.043

- - - - - - - - 0.05

0.043 0.051 0.059 0.065 0.071 0.076 0.087 0.096 0.043

0.056 0.064 0.072 0.079 0.085 0.089 0.100 0.107 0.056

5

7

yx ll ≤ 2

xdsxsx lSM ××= β 2

xdsysy lSM ××= β

l

x

syM

sxMl

y

Quadro 1

Dimensionamento

– Coeficientes dec

de lajes armadas em du

momento para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, om armadura de torção nos cantos

as direcções – exemplo de aplicação 13

Page 14: Dimensionamento de Lajes

Tipo de painel e

lados considerados

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.01 Quatro lados contínuos

Lado contínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33

2 Um lado menor descontínuoLado contínuo 0.36 0.39 0.42 0.44 0.45 0.47 0.50 0.52 0.36Lado descontínuo - - - - - - - - 0.24

3 Um lado maior descontínuoLado contínuo 0.36 0.40 0.44 0.47 0.49 0.51 0.55 0.59 0.36Lado descontínuo 0.24 0.27 0.29 0.31 0.32 0.34 0.36 0.38 -

4 Dois lados adjacentesdescontínuosLado contínuo 0.40 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.57 0.60 0.40Lado descontínuo 0.26 0.29 0.31 0.33 0.34 0.35 0.38 0.40 0.26

5 Dois lados menoresdescontínuosLado contínuo 0.40 0.43 0.45 0.47 0.48 0.49 0.52 0.54 -Lado descontínuo - - - - - - - - 0.26

6 Dois lados maioresdescontínuosLado contínuo - - - - - - - - 0.40Lado descontínuo 0.26 0.30 0.33 0.36 0.38 0.40 0.44 0.47 -

7 Três lados descontínuos(um lado maior contínuo)Lado contínuo 0.45 0.48 0.51 0.53 0.55 0.57 0.60 0.63 -Lado descontínuo 0.30 0.32 0.34 0.35 0.36 0.37 0.39 0.41 0.29

8 Três lados descontínuos(um lado menor contínuo)Lado contínuo - - - - - - - - 0.45Lado descontínuo 0.29 0.33 0.36 0.38 0.40 0.42 0.45 0.48 0.30

9 Quatro lados descontínuos

Lado descontínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33

Coeficientes para o lado maior, βvx

Coe

f. pa

ra o

lado

m

enor

, βvy

, par

a to

dos

os v

alor

es

de l y

/l x

Cas

o

Relação l y/ l x

yx ll ≤

xdvxsx lSv ××= β

xdvysy lSv ××= β

syvl x

sxv

yl

Quadro 2

Dimensionamento d

l

sv

0.75 l

– Coeficientes de co

e lajes armadas em duas

reacção para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, m armadura de torção nos cantos

direcções – exemplo de aplicação 14

Page 15: Dimensionamento de Lajes

REGRAS SIMPLIFICADAS PARA DISPENSA DE ARMADURAS EM LAJES

100%

40%

0.2 l

100%

50% armadura paramomentos negativos

eixo do apoio

vão efectivo l

face do apoio

l0.15> 0.45

l0.3

momentos positivosarmadura para

φ

a) Apoio interior

No

Dim

b) Extremidade simplesmente apoiada

100%

vão efectivo

eixo do apoioface do apoio

0.1 l

40% momentos positivosarmadura para

l

vão efectivo

> 0.45

eixo do apoioface do apoio

l / 2

100%

50%momentos negativosarmadura para

l

d / 2

φ

c) Consola

ta: d - altura útil Válido para: l - vão efectivo Cargas distribuídas φ - diâmetro dos varões Vãos aproximadamente iguais

ensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 15

Page 16: Dimensionamento de Lajes

DIVISÃO DA ARMADURA INFERIOR EM FAIXAS

lx/8 Faixa lateral

Faix

a ce

ntra

l

Faix

a la

tera

l

Faix

a la

tera

l

lx

x l 3/4lx

Faixa central

lx/8

ly/8

3/4ly

ly/8

ly

- Nas faixas centrais colocar a armadura para os momentos máximos - Nas faixas laterais colocar a armadura mínima

ARMADURAS DE CANT

0.3lx

0.3lx

0.3lx

As,vão

0.3lx

0.3lx

0.3lx

0.3lx

ly

- A armadura principal existente na zona dos cantos pode ser contabilizada

Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação

Faixa lateral

ly

O

lx

1/2As,vão face superior

3/4As,vão ambas as faces

1/2As,vão face superior

0.3lx

como armadura de canto

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