Dimensionamento de um gerador linear para o aproveitamento da

L

Dimensionamento de um gerador linear para o

aproveitamento da energia das ondas

Tiago Nuno Pedro Barroca

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em:

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri:

Presidente: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco

Orientador: Prof. Doutor Joaquim António Fraga Gonçalves Dente

Co-orientador: Prof. Doutor Gil Domingos Marques

Vogal: Prof. Doutor Elmano da Fonseca Margato

Abril 2012

i

Resumo

A energia das ondas é uma fonte de energia renovável que, actualmente, está longe de se encontrar

verdadeiramente explorada. Ao longo dos últimos anos, vários projectos têm sido desenvolvidos sem

que nenhuma tecnologia tenha a capacidade de se impor definitivamente, contribuindo para que não

se verifique uma estabilização tecnológica.

A exploração desta fonte de energia é caracterizada por condições ambientais adversas, baixas

velocidades e grandes forças resultantes. Mais especificamente, para esta dissertação, o

aproveitamento da energia das ondas contextualiza-se na análise e optimização de um gerador linear

de fluxo transverso. O funcionamento deste tipo de geradores baseia-se no mesmo princípio de

conversão de energia das máquinas eléctricas rotativas. Conceptualmente, uma máquina linear pode

ser encarada como uma máquina rotativa aplanada. No entanto, os geradores lineares apresentam

aspectos funcionais específicos que se reflectem nas suas características construtivas e de

desempenho.

Esta dissertação vem no seguimento de outros trabalhos já efectuados no IST sobre conversores de

energia das ondas e, o seu objectivo é analisar e optimizar, através de ferramentas computacionais, a

topologia monofásica do gerador linear.

Para se obter um gerador compacto e economicamente competitivo, efectuaram-se optimizações

relativas ao peso e ao custo. Foram realizados estudos relativos à dispersão magnética por serem

aspectos de notória importância, dos quais, foi possível obter restrições que foram impostas nos

programas de optimização. Efectuou-se também uma analise dos efeitos que as forças de origem

magnética e que a temperatura provocam.

Através dos resultados obtidos foi possível concluir que este gerador é viável e merece consideração

futura.

Com esta dissertação procura-se contribuir para um melhor conhecimento do gerador linear através

da implementação de metodologias de optimização aplicadas a modelos de elementos finitos. A

escrita deste documento também pretende servir de guia para novos estudos e para a construção de

futuros protótipos.

Palavras-chave: energia das ondas, gerador linear, fluxo transverso, dispersão magnética,

elementos finitos, optimização, peso, custo

ii

iii

Abstract

Energy from ocean waves is a renewable energy source which, until the present, still remains one of

the most under-exploited. Even though several projects have been developed over the past years, no

specific technology has stood out as the most reliable, contributing to what is called a non-

technological stabilization.

The exploitation of this energy source is characterized by adverse environmental conditions, a low

working speed and high resultant forces. Specifically, for this dissertation, the harnessing of ocean

wave’s energy is embodied in the analysis and optimization of a transverse flux linear generator. The

guiding principles for rotary and linear machines are identical. Conceptually, a linear machine can be

thought of as the circunference of its flattened out rotary counterpart. However, these linear machines

feature specific functional aspects that are reflected in their construction characteristics and

performance.

This dissertation follows previously developed work in IST about energy conversion from ocean waves

and it aims to analyze and optimize, through computational tools, the single-phase topology of the

linear generator.

To obtain a compact and yet economically competitive generator, optimizations were carried out on

the weight and cost. Studies were also conducted regarding the notorious importance of the magnetic

dispersion, from which it was possible to gather constraints to be implemented in the optimization

programs. An analysis has also taken place to show the effects and the influence that both the

magnetic forces and the temperature provoke on the dimensioning of the generator.

From the analysis of the obtained results it was possible to conclude that this generator is a reliable

option and deserves further consideration.

This work seeks to contribute to a better understanding of the linear generator through the

implementation of optimization methodologies applied to finite element models. The writing of this

document also intends to serve as a guide for further studies and for the construction of future

prototypes.

Keywords: wave energy, linear generator, transverse flux, magnetic dispersion, finite element

analysis, optimization, weight, cost

iv

v

Agradecimentos

Esta dissertação representa o culminar de uma etapa de grande importância na minha vida, que

exigiu muito esforço e dedicação. Embora uma tese seja, pela sua finalidade académica, um trabalho

individual, a sua realização não seria possível sem a contribuição de diversas pessoas, às quais

pretendo deixar os meus sinceros agradecimentos:

Ao Professor António Dente, pela sua atenção e disponibilidade, pelos seus ensinamentos, pelo seu

rigor, assim como pelas críticas, correcções e sugestões efectuadas durante a orientação.

Ao Professor Gil Marques, pela sua disponibilidade, acompanhamento e generosidade reveladas ao

longo de todo o período de orientação, pelo seu espírito crítico, pela sua exigência e, em especial,

pela liberdade de acção que me proporcionou.

Ao Professor Paulo Branco, pela sua disponibilidade e por me ter encaminhado para a realização

desta dissertação.

A todos os meus colegas e amigos que me acompanharam durante esta caminhada académica, pela

motivação e por todos os bons momentos. Gostaria de agradecer sobretudo àqueles que estiveram

mais presentes no período de desenvolvimento desta dissertação e que me brindaram com a sua

amizade: Amarelo, Luís, Bruno, Maduro, André, Ana, Stéphane, Edson, Sofia, Amaral, Gomez, Raúl,

Galego, Hélder e Edgar.

Um agradecimento especial à minha amiga Fátima por todo o incentivo e por todos os bons

conselhos oferecidos.

Por fim, gostaria de agradecer aos meus pais, ao Cláudio, à Mónica e à Leonor, por todo o carinho,

compreensão e incessante apoio que me transmitiram. É a vocês que dedico este trabalho, pois este,

também tem a vossa co-autoria.

A todos estes, reitero o meu muitíssimo obrigado!

vi

vii

Índice geral

Resumo ............................................................................................................................................... i

Abstract ............................................................................................................................................. iii

Agradecimentos .................................................................................................................................. v

Índice de figuras ................................................................................................................................ xi

Índice de tabelas .............................................................................................................................. xiii

Lista de acrónimos ............................................................................................................................ xv

Lista de símbolos ............................................................................................................................ xvii

1. Introdução ....................................................................................................................................1

1.1. Motivação .......................................................................................................................... 1

1.2. Sistema AWS .................................................................................................................... 2

1.3. Âmbito da dissertação ....................................................................................................... 3

1.4. Organização da dissertação .............................................................................................. 3

1.5. Conceitos fundamentais .................................................................................................... 4

1.5.1. Intensidade do campo magnético .............................................................................5

1.5.2. Campo de indução magnética ..................................................................................5

1.5.3. Fluxo magnético .......................................................................................................6

1.5.4. Magnetização ..........................................................................................................6

1.5.5. Equações fundamentais ...............................................................................................6

2. Princípio de funcionamento de um gerador linear monofásico de fluxo transverso ........................9

3. Dimensionamento de um gerador linear monofásico desprezando a dispersão magnética ......... 13

3.1. Propriedades geométricas ............................................................................................... 13

3.2. Circuito eléctrico .............................................................................................................. 16

3.3. Circuito magnético ........................................................................................................... 16

3.4. Potência de perdas e rendimento..................................................................................... 20

3.4.1. Perdas por histerese .................................................................................................. 21

3.4.2. Perdas por correntes de Foucault............................................................................... 21

3.4.3. Perdas por efeito de Joule.......................................................................................... 21

3.4.4. Rendimento ............................................................................................................... 23

3.5. Funções objectivo ............................................................................................................ 23

viii

3.5.1. Peso total ................................................................................................................... 24

3.5.2. Custo total ................................................................................................................. 25

3.5.2.1. Função de custo total ............................................................................................. 26

3.6. Limites das variáveis geométricas e valores iniciais adoptados ........................................ 27

3.7. Constantes adoptadas ..................................................................................................... 28

3.8. Restrições ....................................................................................................................... 28

3.8.1. Restrições de desigualdade ....................................................................................... 29

3.8.2. Restrições de igualdade ............................................................................................. 29

3.9. Modo de Procedimento .................................................................................................... 30

3.10. Resultados da função de peso total ................................................................................. 32

3.11. Discussão de resultados da optimização da função de peso total desprezando a

dispersão magnética ........................................................................................................ 36

3.12. Resultados da função de custo total................................................................................. 37

3.13. Discussão de resultados da optimização da função de custo total desprezando a

dispersão magnética ........................................................................................................ 41

3.14. Conclusões...................................................................................................................... 42

4. Estudo numérico do campo magnético de um gerador linear monofásico ................................... 43

4.1. Análise do circuito magnético........................................................................................... 43

4.1.1. Análise da influência da distância entre pólos............................................................. 43

4.1.2. Análise da distância entre as fiadas de magnetos do translator .................................. 47

4.1.3. Campo magnético nos entreferros de ar ..................................................................... 51

4.1.3.1. Análise do parâmetro “h” do magneto ..................................................................... 51

4.1.3.2. Análise do parâmetro “d” do magneto ..................................................................... 55

4.2. Conclusões...................................................................................................................... 58

5. Dimensionamento de um gerador linear monofásico considerando a dispersão magnética ......... 61

5.1. Implementação do estudo numérico do campo magnético do gerador monofásico ........... 61

5.2. Restrições ....................................................................................................................... 62

5.2.1. Restrições de desigualdade ....................................................................................... 63

5.3. Limites das variáveis geométricas e valores iniciais ......................................................... 63

5.4. Resultados da função de peso total ................................................................................. 64

5.5. Discussão de resultados obtidos da optimização da função de peso total considerando

a dispersão magnética ..................................................................................................... 68

ix

5.6. Resultados da função de custo total................................................................................. 69

5.7. Discussão dos resultados obtidos da optimização da função de custo total

considerando a dispersão magnética ............................................................................... 73

5.8. Conclusões...................................................................................................................... 74

6. Efeitos das forças de origem magnética e da temperatura num gerador linear monofásico ......... 75

6.1. Análise dos efeitos das forças de origem magnética no gerador monofásico .................... 75

6.1.1. Verificação analítica da influência das forças de origem magnética no sistema .......... 84

6.2. Análise dos efeitos térmicos no sistema ........................................................................... 86

6.2.1. Verificação analítica da influência da temperatura no sistema .................................... 87

6.3. Conclusões...................................................................................................................... 89

7. Conclusões ................................................................................................................................ 91

7.1. Conclusões finais ............................................................................................................ 91

7.2. Trabalhos futuros ............................................................................................................. 92

Bibliografia ........................................................................................................................................ 95

Anexos ............................................................................................................................................... I

A – Código MATLAB® da optimização da função de peso desprezando a dispersão magnética .......... I

B – Código LUA da análise da influência da distância entre pólos ..................................................... IV

C – Influência da dimensão dos entreferros no campo magnético da peça em I do estator ............... VII

D – Código MATLAB® da optimização da função de custo considerando a dispersão magnética ..... VIII

E – Código LUA da análise das forças magnéticas relativas ao MSET segundo o eixo XX ................ XI

x

xi

Índice de figuras

Figura 1.1 – Princípio de funcionamento de um dispositivo AWS .........................................................2

Figura 1.2- Intensidade magnética produzida por uma corrente transportada por um elemento

do condutor ................................................................................................................... 5

Figura 2.1 – Morfologia de um pólo do gerador monofásico e traçado do fluxo magnético (a) e

direcção da movimentação do translator (b) ....................................................................... 9

Figura 2.2 – Andamento das funções , e ............................................................................. 10

Figura 2.3 – Evolução do fluxo magnético e da força electromotriz .................................................... 11

Figura 3.1 – Dois pares de pólos da máquina monofásica de fluxo transverso ................................... 13

Figura 3.2 – Vista lateral de um período espacial da máquina monofásica de fluxo transverso .......... 17

Figura 3.3 – Circuito magnético equivalente da máquina monofásica de fluxo transverso .................. 17

Figura 3.4 - Circuito eléctrico equivalente da máquina monofásica de fluxo transverso ...................... 18

Figura 3.5 – Esquema equivalente do enrolamento de cobre para o gerador monofásico .................. 22

Figura 3.6 – Esquema simplificado do funcionamento da função de optimização fmincon ................. 31

Figura 3.7 – Gerador linear resultante da optimização da função de peso total para uma potência

nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética ................................................. 34

Figura 3.8 – Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de peso total para

uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética ........................... 34

Figura 3.9 – Variação da dimensão dos parâmetros no gerador monofásico desprezando a

dispersão magnética para um entreferro mínimo de 0.5 cm e de 1 cm ............................. 35

Figura 3.10 - Gerador linear resultante da optimização da função de custo total para uma potência

nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética ................................................. 39

Figura 3.11 - Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de custo total para

uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética ........................... 39

Figura 3.12 - Variação da dimensão dos parâmetros do gerador desprezando a dispersão

magnética para todos os casos de custos específicos...................................................... 40

Figura 4.1 - Indicação das dimensões a variar na análise da influência da distância entre pólos ........ 45

Figura 4.2 – Curvas de nível do campo ................................................................................. 45

Figura 4.3 - Polinómio adequado da variação do campo médio de indução magnética .......... 46

Figura 4.4 - Indicação das dimensões a variar na análise da distância entre as fiadas de magnetos

do translator .................................................................................................................... 48

Figura 4.5 - Curvas de nível do campo .................................................................................. 49

Figura 4.6 – Polinómio adequado da variação do campo médio de indução magnética ......... 50

Figura 4.7 – Circuito simplificado usado na análise da dimensão do entreferro para o parâmetro “ ” . 51

Figura 4.8 – Indicação das dimensões a variar na quantificação das fugas magnéticas no

entreferro de ar para o parâmetro “ ” ............................................................................... 52

Figura 4.9 – Linhas de nível do campo .................................................................................. 53

Figura 4.10 – Polinómio adequado da variação do campo médio de indução magnética ....... 54

Figura 4.11 - Circuito simplificado usado na análise da dimensão do entreferro para o parâmetro “ ”55

xii

Figura 4.12 - Indicação das dimensões a variar na quantificação das fugas magnéticas no

entreferro de ar para o parâmetro “ ” ............................................................................... 56

Figura 4.13 – Linhas de nível do campo ................................................................................ 56

Figura 4.14 – Polinómio adequado da variação do campo médio de indução magnética ....... 57

Figura 5.1 - Gerador linear resultante da optimização da função de peso total para uma potência

nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética ................................................ 66

Figura 5.2 - Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de peso total para

uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética .......................... 66

Figura 5.3 – Variação da dimensão parâmetros no gerador monofásico considerando a dispersão

magnética com entreferro mínimo de 0.5 cm e 1 cm ........................................................ 67

Figura 5.4 - Gerador linear resultante da optimização da função de custo total para uma potência

nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética ................................................ 71

Figura 5.5 - Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de custo total para

uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética .......................... 71

Figura 5.6 - Variação da dimensão parâmetros no gerador monofásico considerando a dispersão

magnética para todos os casos de custos específicos...................................................... 72

Figura 6.1 – Representação dos movimentos MSET (a) e MPET (b) ................................................. 75

Figura 6.2 – Variação da força de origem magnética incidente na peça em U do estator do gerador

monofásico em ordem ao afastamento segundo o movimento MSET ............................... 77

Figura 6.3 – Curvas de nível da força ........................................................................................ 78

Figura 6.4 - Equação de aproximação à variação da pressão .................................................... 79

Figura 6.5 – Curvas de nível da força (em módulo) ..................................................................... 80

Figura 6.6 – Curva da variação de e de .............................................................................. 81

Figura 6.7 - Equação de aproximação à variação da pressão ............................................... 82

Figura 6.8 – Representação da deformação elástica no ferro do estator do gerador monofásico ....... 83

Figura 7.1 – Sugestão da morfologia para um par de pólos do gerador linear monofásico ................. 92

Figura C.1 – Variações dos campos magnéticos na peça em U e na peça em I do estator ............... VII

xiii

Índice de tabelas

Tabela 1.1 – Especificações de design do gerador monofásico de fluxo transverso .............................3

Tabela 3.1 – Parâmetros principais do gerador monofásico de fluxo transverso ................................ 14

Tabela 3.2 – Parâmetros dependentes do gerador monofásico ......................................................... 15

Tabela 3.3 – Custos específicos e parâmetros da função de custo total ............................................ 26

Tabela 3.4 – Limites e valores iniciais dos parâmetros principais do gerador monofásico

desprezando a dispersão magnética para a optimização da função de peso total ............ 27

Tabela 3.5 - Limites e valores iniciais dos parâmetros principais do gerador monofásico

desprezando a dispersão magnética para a optimização da função de custo total ............ 27

Tabela 3.6 – Constantes adoptadas para a optimização desprezando a dispersão magnética ........... 28

Tabela 3.7 – Restrições de desigualdade da optimização desprezando a dispersão magnética......... 29

Tabela 3.8 - Restrições de igualdade da optimização desprezando a dispersão magnética ............... 30

Tabela 3.9 – Resultados obtidos para a optimização da função de peso total do gerador

monofásico para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética . 32

Tabela 3.10 - Resultados obtidos para a optimização da função de custo total do gerador

monofásico para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética . 37

Tabela 3.11 – Variações dos intervalos dos custos específicos dos materiais ................................... 38

Tabela 3.12 – Indicação do valor da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW

desprezando a dispersão magnética ................................................................................ 38

Tabela 4.1 – Limites e restrições dos parâmetros na análise da influência da distância entre pólos ... 44

Tabela 4.2 - Limites e restrições dos parâmetros na análise da distância entre as fiadas de

magnetos do translator .................................................................................................... 48

Tabela 4.3 – Limites e restrições dos parâmetros da análise da dimensão do entreferro

respectivamente ao parâmetro “ ” ................................................................................... 52

Tabela 4.4 – Limites e restrições dos parâmetros da análise da dimensão do entreferro

respectivamente ao parâmetro “ ” ................................................................................... 56

Tabela 5.1 – Restrições de desigualdade da optimização considerando a dispersão magnética ........ 63

Tabela 5.2 – Limites e valores iniciais dos parâmetros principais do gerador considerando a

dispersão magnética para a optimização das duas funções objectivo............................... 63

Tabela 5.3 – Resultados obtidos para a optimização da função de peso total do gerador para uma

potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética .................................. 64

Tabela 5.4 - Resultados obtidos para a optimização da função de custo total do gerador

monofásico para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão

magnética ........................................................................................................................ 69

Tabela 5.5 – Variações dos intervalos dos custos específicos dos materiais ..................................... 70

Tabela 5.6 – Indicação do valor da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW

considerando a dispersão magnética ............................................................................... 70

Tabela 6.1 - Limites e restrições dos parâmetros na análise das forças magnéticas no MSET........... 77

xiv

xv

Lista de acrónimos

AWS Arquimedes Wave Swing

CIEO Conferência Internacional da Energia das Ondas

FEMM Finite Element Method Magnetics

IST Instituto Superior Técnico

MFT Máquina de Fluxo Transverso

MPET Movimento Perpendicular ao Eixo de Translação

MSET Movimento Segundo o Eixo de Translação

UE União Europeia

xvi

xvii

Lista de símbolos

Área da secção transversal

Área disponível para o circuito eléctrico

Área útil para o circuito eléctrico

Área da secção na qual é exercida a tensão

Campo médio de indução magnética na peça em I do estator

Campo médio de indução magnética na peça em U do estator




Campo médio de indução magnética na peça em I do estator


Campo de indução magnética remanescente do magneto

Dimensão da largura da perna da peça em U do estator

Custo directo da função de peso total

Custo da estrutura de suporte da função de peso total

Custo específico da estrutura de suporte

Custo indirecto da função de peso total

Custo específico da energia dissipada

Dimensão da largura total do gerador

Dimensão da profundidade do pólo e do magneto

Força electromotriz

Dimensão distância entre pólos

Energia dissipada anualmente

Valor eficaz da força electromotriz

Módulo de Young

Módulo de Young do ferro

Módulo de Young do magneto

Tensão nominal

Força aplicada no material

Frequência eléctrica

Função de custo total

Força de origem magnética a que a peça em I do estator está

sujeita segundo o eixo

Força de origem magnética a que a peça em I do estator está

sujeita segundo o eixo

Força de origem magnética a que o magneto está sujeito

segundo o eixo

Força de origem magnética a que o magneto está sujeito

segundo o eixo

Força magnetomotriz do induzido

Força magnetomotriz do indutor

Função de peso total

Força de origem magnética a que a peça em U do estator está

sujeita, segundo o eixo

Força de origem magnética a que a peça em U do estator está

sujeita, segundo o eixo

Factor de segurança

xviii

Dimensão da distância entre a peça em U e em I do estator

Dimensão do entreferro

Dimensão mínima do entreferro

Dimensão da altura da peça em U do estator

Dimensão da altura do magneto

Intensidade de campo magnético coercitivo do magneto

Intensidade de corrente

Densidade de corrente

Coeficiente de enchimento

Comprimento total do gerador

Comprimento inicial

Comprimento total do cobre

Peso total de cobre

Peso total de ferro

Peso total dos magnetos

Número de espiras

Número de anos de vida do gerador

Número de par de pólos do gerador

Potência de perdas por correntes de Foucault

Potência gerada

Potência de perdas por histerese

Pressão exercida na peça em I do estator segundo o eixo

Potência de perdas por efeito de Joule

Pressão exercida no magneto segundo o eixo

Potência de perdas total

Pressão exercida na peça em U do estator segundo o eixo

Potência nominal

Resistência equivalente

Relutância magnética do entreferro

Relutância magnética do magneto

Relutância magnética total

Dimensão da largura da secção disponível para o condutor

Secção do cobre

Secção transversal do entreferro

Secção transversal da peça em I do estator

Secção transversal da peça em U do estator

Dimensão da altura da secção disponível para o condutor

Dimensão da altura da peça em I do estator

Velocidade linear

Volume do cobre

Volume da peça em I do estator

Volume total do estator

Volume da peça em U do estator

Volume do magneto

Período espacial

Eixos cartesianos

(º )-1

Coeficiente térmico de dilatação linear

Variação do comprimento

º Variação térmica

Extensão da dimensão do magneto

xix

Extensão da dimensão da peça em U do estator

Dilatação térmica do magneto

Dilatação térmica da peça em U do estator

Deformação elástica sofrida pelo material

Rendimento

Permeabilidade magnética do vácuo

Permeabilidade magnética relativa do magneto

Permeabilidade magnética relativa no ferro

Variável auxiliar relativa à razão entre os parâmetros “ ” e “ ”






Densidade relativa do cobre

Resistividade do cobre

Densidade relativa do ferro

Densidade relativa do magneto

Tensão exercida

Fluxo magnético simples

Fluxo magnético simples que atravessa a peça em U do estator

Fluxo magnético simples que atravessa a peça em I do estator

Fluxo magnético ligado

xx

Dimensionamento de um gerador linear para o aproveitamento da energia das ondas

1

1. Introdução

1.1. Motivação

Diariamente, enormes quantidades de energia são extraídas, convertidas, distribuídas e consumidas,

sendo que 81% da energia consumida mundialmente tem a sua origem em combustíveis fósseis [1].

No entanto, cientistas de todo o mundo já discutem se a exploração de petróleo atingiu o seu pico [2]

e se as emissões de dióxido de carbono estão a provocar alterações climáticas [3]. Este facto, aliado

às emergentes necessidades energéticas que se registam actualmente, converge no que se pode

considerar uma preocupação generalizada. Deste modo, é importante que se desenvolvam novas

formas de produção de energia que sejam sustentáveis e que não prejudiquem, de forma drástica, o

meio ambiente. As mais comuns são a hídrica, a eólica e a fotovoltaica. Contudo, existe ainda uma

fonte de energia renovável que está longe de se encontrar verdadeiramente explorada, a energia das

ondas.

A energia das ondas resulta do efeito do vento na superfície do oceano e pode ser considerada uma

forma concentrada de energia solar, pois é esta que, pelo aquecimento desigual da superfície

terrestre, é responsável pelos ventos [5]. Além de existir numa disponibilidade considerável, quando

comparada com outras formas de produção de energia renovável, a energia das ondas sobressai

pelo facto de ser permanente, ao contrário do vento ou do sol, embora com irregularidades temporais.

As primeiras grandes tentativas de construir um gerador para o aproveitamento da energia das ondas

tiveram lugar nos anos 70, quando se instalou a crise do petróleo que fomentou um súbito interesse

em formas complementares de produção de energia. Contudo, passaram vários anos até se ganhar

experiência para construir uma base de conhecimentos [6], uma vez que factores como a resistência

do material tornavam o investimento pouco apetecível do ponto de vista financeiro. No final da

década de 90 o interesse renasceu levando à criação de vários projectos-piloto com o apoio da UE

que, desde 1993, patrocina também a CIEO.

A tecnologia de aproveitamento da energia das ondas está longe de chegar a um ponto de

convergência. Uma parte do desafio pertence à engenharia, pois é necessário encontrar soluções

que sejam economicamente viáveis e seguras de converter este tipo de energia, tornando assim esta

tecnologia útil para a sociedade.

Introdução

2

1.2. Sistema AWS

Apesar da tecnologia de conversão de energia das ondas ser um campo ainda em estado inicial,

existem inúmeros modelos e protótipos de conversores deste tipo de energia. De acordo com a

divisão adoptada em [5], onde se consideram as características mecânicas e de integração no meio

de cada tipo de conversor, o sistema Arquimedes Wave Swing (AWS), representado na Figura 1.1, é

um desses conversores e está integrado na divisão de corpos oscilantes submersos. Como é um

sistema offshore, pode usufruir do regime de ondas de maior expressão energética [5]. O AWS é

formado por uma estrutura fixa ao fundo do oceano, chamada base, onde oscila verticalmente uma

outra estrutura oca denominada por flutuador. No interior destas duas estruturas existe ar

pressurizado a uma pressão tal que, equilibra o peso do flutuador e da coluna de água exterior que

ele sustenta. Com a passagem da onda, a pressão exterior varia, sendo mais alta nas cristas e menor

nas cavas das ondas. Por conseguinte, o flutuador move-se para baixo quando a altura de água

aumenta e, move-se para cima quando a altura de água diminui. A potência mecânica necessária

para amortecer as oscilações do sistema é convertida em energia eléctrica por meio de um gerador

eléctrico linear, que irá ser foco de estudo nesta dissertação. Este sistema é mais vantajoso do que

muitos outros na categoria de aproveitamento de energia das ondas, porque esta tecnologia permite

ultrapassar a necessidade do uso de sistemas hidráulicos que convertem o movimento linear em

rotacional, para depois accionar um gerador eléctrico rotativo [5][16].

Figura 1.1 – Princípio de funcionamento de um dispositivo AWS


3

1.3. Âmbito da dissertação

Na secção 1.2 foi descrito o sistema de aproveitamento de energia das ondas AWS. Neste sistema

está incorporado um gerador linear que permite converter a energia mecânica de oscilação em

energia eléctrica. Esta dissertação vem no seguimento de outros trabalhos efectuados no IST

[13][14][15][16][17], que realizaram estudos sobre conversores de energia das ondas. Mais

especificamente, esta dissertação tem como objectivo a optimização, através de ferramentas

computacionais, do gerador linear monofásico de fluxo transverso, cuja morfologia foi abordada em

[16]. Para tal, foram estabelecidas à partida quatro especificações de design, presentes na Tabela 1.1

e, deve garantir-se que as mesmas são cumpridas.

Tabela 1.1 – Especificações de design do gerador monofásico de fluxo transverso

Parâmetro Denominação Valor

Velocidade linear

Nº de par de pólos

Potência nominal


Com esta dissertação procura-se contribuir para um melhor conhecimento do gerador linear de fluxo

transverso através da implementação de metodologias de optimização aplicadas a modelos de

elementos finitos. Deste modo, a escolha de bons parâmetros revela-se primordial de forma a

observar o comportamento, medir a sensibilidade e analisar a relação entre os vários parâmetros que

compõem o gerador, consoante as restrições impostas. Para a modelação por elementos finitos foi

seleccionado o programa FEMM (Finite Element Method Magnetics) e, para a elaboração do

programa de optimização foi utilizado o programa comercial MATLAB®, assim como as funções de

optimização nele disponíveis.

1.4. Organização da dissertação

Esta dissertação encontra-se dividida em sete capítulos. O primeiro capítulo é referente à introdução

e o sétimo à conclusão do trabalho. Do segundo ao sexto capítulo encontra-se todo o trabalho de

desenvolvimento sobre o tema da dissertação.

No capítulo um apresenta-se o tema da dissertação, as motivações que levaram à realização do

mesmo, descreve-se o âmbito do trabalho e indica-se a sua estrutura. Por fim, são enunciados os

conceitos fundamentais do electromagnetismo necessários para a compreensão do funcionamento do

gerador.

Introdução

4

No capítulo dois aborda-se o princípio de funcionamento do gerador monofásico de fluxo transverso.

No capítulo três efectua-se toda uma análise relativa às propriedades geométricas, eléctricas e

magnéticas do gerador. Definem-se também na totalidade as duas funções objectivo a optimizar: a

função de peso total e a função de custo total. No final do capítulo apresentam-se os resultados das

optimizações das funções objectivo, assim como uma análise do comportamento e sensibilidade dos

parâmetros para um intervalo de valores registados da potência nominal. Contudo, não se considera

a existência de fugas magnéticas ao longo do circuito. Este capítulo possui um carácter introdutório

acerca da metodologia e das ferramentas necessárias à elaboração de uma optimização.

As fugas magnéticas e a sua influência no campo magnético são aspectos fundamentais que

determinam o dimensionamento e funcionamento do gerador. Assim, este estudo é efectuado no

capítulo quatro onde são consideradas três situações críticas que, posteriormente são relacionadas

com a escolha de bons parâmetros para o dimensionamento do gerador.

Com base no estudo efectuado no capítulo quatro, efectua-se no capítulo cinco uma actualização das

restrições das optimizações efectuadas no capítulo três. Ou seja, acrescentam-se às restrições já

existentes os aspectos relativos às fugas magnéticas e, as implicações que daí advêm para o

dimensionamento do gerador. À imagem do capítulo três, também no capítulo cinco se efectuam

optimizações às duas funções objectivo, atrás referidas, e se procede a uma análise dos resultados

obtidos.

No capítulo seis, abordam-se os efeitos das forças de origem magnética e da temperatura. Estes,

podem provocar uma extensão da dimensão dos materiais do gerador e, influenciar o funcionamento

e dimensionamento do mesmo. Efectuam-se também verificações analíticas de acordo com a

informação obtida e, conclui-se que para este tipo de gerador, de acordo com as dimensões obtidas

nos capítulos anteriores, quer o efeito das forças magnéticas, quer a temperatura, não são relevantes

para o bom funcionamento do gerador em questão.

Finalmente, no capítulo sete, o trabalho termina com as conclusões e propostas de trabalhos futuros

sobre o tema em foco.

1.5. Conceitos fundamentais

Para melhor se entender o funcionamento de um gerador são apresentados de seguida os conceitos

fundamentais necessários do electromagnetismo teórico.


5

1.5.1. Intensidade do campo magnético

A Figura 1.2 mostra um circuito C que transporta uma corrente que dá origem a um campo no

ponto P [1][19].

Figura 1.2- Intensidade magnética produzida por uma corrente transportada por um elemento do condutor

O campo no ponto P pode ser definido por:

(1.1)

A integração é efectuada ao longo do circuito . O vector unitário e a distância mostram,

respectivamente, a direcção e a distância da origem ao ponto de observação. A intensidade do

campo magnético é expressa em amperes por metro .

1.5.2. Campo de indução magnética

A indução magnética está relacionada com a força que se exerce sobre um condutor que transporta

uma corrente eléctrica . Esta grandeza pode ser relacionada com a intensidade do campo magnético

pela seguinte relação constitutiva do meio:

(1.2)

onde a constante é a permeabilidade magnética do meio. A indução magnética é expressa em

Tesla .

Introdução

6

1.5.3. Fluxo magnético

O fluxo magnético que atravessa uma superfície S, é definido por:

(1.3)

O fluxo magnético é a grandeza que mede o magnetismo tendo em conta a força e extensão de um

campo de indução magnética através de uma superfície . O fluxo magnético é medido em Webers

.

1.5.4. Magnetização

A magnetização é o momento magnético por unidade de volume e está associado ao movimento

dos electrões. Esta grandeza é medida nas mesmas unidades que a intensidade do campo

magnético, . A magnetização e a intensidade do campo magnético podem ser relacionadas

com a indução magnética da seguinte forma:

(1.4)

1.5.5. Equações fundamentais

Todo o electromagnetismo teórico tem como base as quatro equações fundamentais de Maxwell, que

se apresentam de seguida:

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)


7

No estudo das máquinas eléctricas no qual esta dissertação se enquadra, admite-se o regime quasi-

estacionário magnético, que resulta da simplificação da equação (1.5). Considera-se que:

(1.9)

Assim, as equações de (1.5) a (1.8) deixam de estar acopladas e separam-se em dois conjuntos:

equações relativas ao campo magnético e as equações relativas ao campo eléctrico.

As equações relativas ao campo magnético são as seguintes:

(1.10)

(1.11)

As equações (1.10) e (1.11) podem ser integradas apenas com o conhecimento da densidade de

corrente . Posteriormente, a partir do conhecimento do campo de indução magnética , pode obter-

se o campo eléctrico a partir da equação (1.6).

A equação (1.10) enuncia que o fluxo de ao longo de uma superfície fechada é igual a zero. Ou

seja, ao contrário das linhas do campo eléctrico, que começam sempre numa carga positiva e

terminam numa carga negativa, as linhas do campo magnético são sempre fechadas e nunca se

cruzam.

Usando o teorema de Stokes na equação (1.11) esta pode ser reescrita da seguinte forma:

(1.12)

A equação (1.12) é também conhecida como a lei de Ampére e, estabelece que, o integral de linha da

intensidade do campo magnético ao longo de uma curva fechada é igual à corrente que atravessa

uma superfície delimitada por . Esta lei estipula que o sentido do campo magnético é determinado

pelo sentido da corrente. Dessa forma, invertendo o sentido da corrente, o sentido do campo inverte.

A equação (1.6) relaciona o rotacional do campo eléctrico com a variação temporal do campo

magnético. Esta equação pode ser reescrita usando, uma vez mais, o teorema de Stokes no termo do

lado esquerdo e a equação (1.3) no termo do lado direito [19]. Assim sendo, tem-se:

(1.13)

Introdução

8

A equação (1.13) é a lei de Faraday da indução. A lei de Faraday enuncia que a força electromotriz

que é induzida num circuito eléctrico, é igual à variação do fluxo magnético nesse circuito. Se o

circuito eléctrico for composto por enrolamentos, o campo será vezes o campo de uma única

espira. Logo, a força electromotriz ficará vezes maior. Então, pode definir-se o fluxo ligado como

sendo:

(1.14)

E a força electromotriz será:

(1.15)


9

2. Princípio de funcionamento de um gerador linear monofásico de

fluxo transverso

O gerador pode ser designado por máquina de fluxo transverso (MFT) pois utiliza um circuito

magnético onde as linhas de fluxo se dispõem no plano transversal à direcção do movimento e

circulação da corrente [21].

O funcionamento deste tipo de geradores baseia-se no mesmo princípio de conversão das máquinas

eléctricas rotativas. No entanto, este gerador linear apresenta aspectos funcionais específicos que se

reflectem nas suas características e no seu desempenho. É de salientar a possibilidade da densidade

de fluxo magnético ser dimensionada independentemente da densidade de corrente eléctrica, ou

seja, que o seu circuito magnético seja independente do seu circuito eléctrico [7].

Na Figura 2.1 (a) está representado um pólo da máquina monofásica de fluxo transverso. Esta

máquina é composta por uma parte fixa (estator) e por uma parte móvel (translator). É possível

observar que cada pólo do estator da máquina é composto por duas peças de material

ferromagnético, uma em forma de U (à esquerda) e outra em forma de I (à direita). Entre estas duas

peças existem dois magnetos permanentes que fazem parte do translator e que produzem o fluxo

magnético que vai ser conduzido através das peças do estator. Como o translator se vai movimentar,

tal como está representado na Figura 2.1 (b), os magnetos vão sofrer alterações periódicas nas suas

polarizações e provocam uma variação de fluxo magnético nas peças do estator. Essa variação de

fluxo magnético gera uma força electromotriz aos terminais de um enrolamento com espiras em

torno da peça em forma de U [16].

Figura 2.1 – Morfologia de um pólo do gerador monofásico e traçado do fluxo magnético (a) e direcção da movimentação do translator (b)

Como os magnetos se vão movimentar com o translator, tem de existir um meio de separação entre

este e o estator. Logo, os entreferros de ar permitem essa deslocação.

Princípio de funcionamento de um gerador linear monofásico de fluxo transverso

10

Um efeito a ter em conta, tal como foi referido anteriormente, é o da polaridade espacial. Ou seja, a

alteração em cada passo polar da polaridade dos magnetos, vista pela peça polar. Para se

contabilizar este efeito, recorre-se a uma função designada por função polar que inverte a

polaridade na troca de pólos dos magnetos aquando da passagem destes pela peça polar (negativo

se for de Norte para Sul e positivo caso contrário). Por outro lado, uma vez que o translator se

movimenta, surge também a necessidade de encontrar um factor indicativo do alinhamento entre o

magneto e a peça polar. Define-se então uma função como a sobreposição entre os dois

elementos atrás referidos. A contabilização destes dois efeitos resulta na função que é o produto

da função de polaridade e da função de sobreposição, . Assim sendo, supondo que

os magnetos têm uma dimensão genérica , apresenta-se na Figura 2.2 um andamento genérico das

funções , e , para este tipo de máquina eléctrica [17]. É também de referir que a

variável , da qual as funções dependem, é referente à posição actual do magneto.

Figura 2.2 – Andamento das funções , e

Uma vez que na prática as transições entre os valores máximos e mínimos das funções em questão,

se processam de um modo relativamente lento, é de prever que a função possua um andamento

mais suavizado e, mais aproximado a uma onda sinusoidal do que a uma onda triangular [17].


11

Através da equação (1.3) é possível constatar que o fluxo magnético depende da secção transversal

da espira e de um campo de indução magnética. No entanto, esse campo também depende do

alinhamento entre o magneto e a peça polar, ou seja, da função de sobreposição . Por outro lado,

através da equação (1.13), sabe-se que a força electromotriz é dada pelo simétrico da variação

temporal do fluxo magnético. Deste modo, e mais uma vez de forma genérica considerando que os

magnetos têm dimensão , apresenta-se na Figura 2.3 a evolução do fluxo magnético e da força

electromotriz relativamente à posição do magneto [17].

Figura 2.3 – Evolução do fluxo magnético e da força electromotriz

É possível notar através da observação da Figura 2.3 que o fluxo magnético aumenta com a

aproximação do magneto à peça polar até a sobreposição ser total. Posteriormente, diminui na

mesma proporção com o afastamento do mesmo. Relativamente à força electromotriz, observa-se

que toma um valor negativo com a aproximação do magneto e outro positivo com o afastamento

deste relativamente à peça polar.

Princípio de funcionamento de um gerador linear monofásico de fluxo transverso

12


13

3. Dimensionamento de um gerador linear monofásico

desprezando a dispersão magnética

Neste capítulo, procurar-se-á efectuar um dimensionamento de um gerador monofásico de fluxo

transverso. O objectivo é encontrar um design para um gerador de pares de pólos, que produza

uma potência de para uma velocidade de . Este dimensionamento tem como objectivo

minimizar as funções de optimização que serão posteriormente definidas, satisfazendo todos os

requisitos impostos.

Considera-se um circuito magnético sem fugas.

3.1. Propriedades geométricas

A Figura 3.1 apresenta um esquema de dois pares de pólos da máquina monofásica de fluxo

transverso. Neste esquema, é também possível observar os parâmetros relacionados com as

dimensões físicas do gerador assim como a simbologia a que estão associados.

Figura 3.1 – Dois pares de pólos da máquina monofásica de fluxo transverso

Dimensionamento de um gerador linear monofásico desprezando a dispersão magnética

14

Assim sendo, pode descrever-se completamente a geometria do gerador monofásico de fluxo

transverso em 13 parâmetros. Estes encontram-se especificados na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Parâmetros principais do gerador monofásico de fluxo transverso

Variável Observações Unidades

Potência nominal

Tensão nominal



Peça em U do estator


Magneto / Peça em U do estator


Peça em I do estator

Distância entre magnetos

Entreferro

Magneto

Nº espiras

A partir das 13 variáveis descritas, é possível descrever-se todas as outras que definem o gerador.

Começando pelas variáveis da simbologia da Figura 3.1, falta designar os parâmetros

e . Assim, define-se então as variáveis em questão, em função dos parâmetros principais (Tabela

3.1). Ou seja:

Define-se , como o período espacial:

(3.1)

Define-se , como o comprimento total da máquina:

(3.2)

Define-se , como a distância total entre a peça em U e a peça em I de um pólo:

(3.3)

Define-se , como a área disponível para o circuito eléctrico:

(3.4)


15

(3.5)

(3.6)

Define-se como a área efectiva que o circuito eléctrico ocupa. Considerando como o

factor de enchimento:

(3.7)

(3.8)

Assim, existe a condição:

(3.9)

Encontra-se na Tabela 3.2 toda a informação sobre as equações acima descritas.

Tabela 3.2 – Parâmetros dependentes do gerador monofásico

Variável Observações Unidades

Período espacial


Entreferros + altura magneto

Circuito eléctrico

Circuito eléctrico

Área disponível para o circuito magnético

Área útil para o circuito magnético

Dada uma velocidade linear , em , é possível agora saber-se a frequência. Sendo que o número

de pares de pólo será dado por:

(3.10)

a frequência eléctrica, , será dada por:

(3.11)


16

3.2. Circuito eléctrico

O circuito eléctrico pode ser caracterizado através de espiras. Considerando como a

densidade de corrente, pode definir-se a força magnetomotriz do induzido, da seguinte forma:

� (3.12)

Sendo , a secção do condutor de cobre, esta será dada como:

(3.13)

Logo, a intensidade de corrente que passa pelos enrolamentos de cobre pode ser definida

como:

(3.14)

(3.15)

Deste modo, pode definir-se novamente a força magnetomotriz no induzido:

� (3.16)

3.3. Circuito magnético

A Figura 3.2 representa o esquema da vista lateral de um período espacial (por pólo) da máquina de

fluxo transverso.


17

X

v

N

Figura 3.2 – Vista lateral de um período espacial da máquina monofásica de fluxo transverso

O cálculo do fluxo magnético por pólo, , é realizado recorrendo à representação do circuito

magnético por meio de relutâncias magnéticas e forças magnetomotrizes. Na Figura 3.3, pode

observar-se o circuito magnético equivalente do sistema que compõe o gerador monofásico de fluxo

transverso.

Figura 3.3 – Circuito magnético equivalente da máquina monofásica de fluxo transverso

Usando a simbologia adoptada na Figura 3.1, define-se a força magnetomotriz do indutor da seguinte

forma:

� (3.17)

onde é a intensidade de campo magnético coercitivo do magneto e, é a dimensão da altura do

magneto.

A relutância magnética pode ser encarada como um análogo em circuitos magnéticos da

resistência em circuitos eléctricos. Assim sendo, pode ser expressa como:


18

�

(3.18)

onde é o comprimento do elemento do circuito (em metros), é a permeabilidade magnética do

vácuo que é , é a permeabilidade magnética relativa do material (adimensional) e,

por fim, é a área da secção transversal .

Pode então definir-se a relutância magnética do ferro , do entreferro e do magneto .

� (3.19)

�

(3.20)

�

(3.21)

Logo, é possível calcular o fluxo por pólo criado pelos magnetos, equação (1.3), da seguinte forma:

�

(3.22)

O fluxo ligado (1.14), de acordo com a Figura 3.2, pode ser calculado da forma:

� (3.23)

Para relacionar a força electromotriz (1.15) com o fluxo ligado, sabe-se que o sistema eléctrico do

gerador pode ser modelado como um gerador síncrono, ou seja, uma força electromotriz em série

com uma impedância síncrona. Esta impedância é constituída por uma resistência (perdas por efeito

de Joule no condutor) em série com uma reactância síncrona (Figura 3.4).

Figura 3.4 - Circuito eléctrico equivalente da máquina monofásica de fluxo transverso


19

Teoricamente, tal como foi evidenciado na Figura 2.3, a tensão gerada adopta uma forma de onda

quadrada, fruto da variação de fluxo possuir um andamento triangular. Contudo, devido à dispersão

magnética, a variação do fluxo apresentará um andamento mais semelhante a uma onda triangular

suavizada, ou seja, uma onda sinusoidal [16]. Consequentemente, e para efeitos de simplificação

desta modelação, a tensão gerada também será considerada uma onda sinusoidal.

Através da equação (1.15), sabendo que é a velocidade angular e que , apresenta-se o

valor de pico da força electromotriz da seguinte forma:

� (3.24)

Considerando a primeira harmónica da força electromotriz, o valor eficaz desta grandeza é dado por:

�

(3.25)

Contudo, uma vez que a densidade de fluxo magnético remanescente do magneto, será uma

constante dada para a resolução deste problema de optimização, existirá todo o interesse em colocar

o campo de indução do entreferro o campo de indução na peça em U do estator, e

o campo de indução na peça em I do estator, em ordem à densidade de fluxo magnético

remanescente do magneto.

Manipulando a equação do fluxo por pólo (3.22) deduzida anteriormente, tem-se:

�

(3.26)

Logo, a partir de (1.3), considerando que não existe dispersão magnética, pode calcular-se o fluxo

que atravessa o circuito magnético em ordem ao campo de indução magnética existente no

entreferro. Considerando a secção transversal, em , pela qual o fluxo percorre o entreferro:

�

(3.27)


20

Uma vez que já se encontra relacionada a densidade de fluxo magnético remanescente do magneto

com o campo de indução no entreferro, sendo e a área transversal da peça em U do estator e

em I do estator, respectivamente, pode agora efectuar-se o mesmo tipo de relação para o campo de

indução magnética nas duas peças do estator.

Primeiro para a peça em U do estator:

� (3.28)

Procedendo analogamente para a peça em I do estator, tem-se:

�

(3.29)

Definindo como o fluxo magnético que atravessa a peça em U do estator:

� (3.30)

Partindo agora de (3.25) pode redefinir-se o valor eficaz da força electromotriz usando (3.30):

� (3.31)

3.4. Potência de perdas e rendimento

As potências de perdas nos geradores em questão são criadas devido a 3 razões:

Perdas devido à alteração do campo magnético nas peças de ferro;

Perdas resistivas nos enrolamentos de cobre ou perdas por efeito de Joule;

Perdas mecânicas tais como a fricção que provocam alterações nos materiais.

As perdas relativas ao terceiro ponto não vão ser consideradas nesta dissertação.

As perdas relativas à alteração do campo magnético são referidas usualmente como perdas no ferro

pois, a maior parte destas ocorrem nos componentes de ferro do estator. Este tipo de perdas divide-

se em duas partes: perdas por histerese e perdas por correntes de Foucault.


21

3.4.1. Perdas por histerese

As perdas por histerese reflectem a energia que é consumida para inverter a magnetização de um

material. Ou seja, são perdas provocadas pela propriedade das substâncias ferromagnéticas de

apresentarem um atraso entre a intensidade do campo magnético (1.1) e o campo de indução

magnética (1.2). Estas perdas são aproximadamente proporcionais à frequência do campo magnético

e ao quadrado da indução magnética. Apresentam-se de seguida as perdas por histerese por unidade

de volume [1][19]:

� (3.32)

onde é uma constante que depende do material do núcleo.

3.4.2. Perdas por correntes de Foucault

As correntes de Foucault são as correntes induzidas num condutor através da variação do campo

magnético. Estas perdas são aproximadamente proporcionais ao quadrado da frequência e ao

quadrado da indução magnética. Apresentam-se de seguida as perdas por correntes de Foucault por

unidade de volume [19]:

�

(3.33)

onde é uma constante que depende da resistividade do material e é o tempo de duração de um

período. As correntes de Foucault verificam-se em todos os materiais condutores que são expostos a

alterações de campo magnético. A maior parte destas perdas verificam-se no estator e podem ser

minimizadas usando núcleos de chapas de ferro laminadas com alto valor de resistividade.

3.4.3. Perdas por efeito de Joule

As perdas resistivas ou perdas por efeito de Joule são referentes às perdas existentes nos

enrolamentos de cobre. As perdas por efeito de Joule que se verificam num condutor com uma

resistência eléctrica que transporta uma corrente são definidas por:

� (3.34)


22

A resistência eléctrica , é a parte real da impedância interna do sistema do circuito eléctrico

equivalente presente na Figura 3.4. Esta parte real da impedância é determinada por:

�

(3.35)

onde , é determinado tendo em conta o comprimento do condutor, como se pode observar na

Figura 3.5, que está de acordo com a simbologia adoptada no inicio deste capítulo.

Figura 3.5 – Esquema equivalente do enrolamento de cobre para o gerador monofásico

Ou seja,

� (3.36)

Por outro lado, tal como já foi definido anteriormente, é a secção de cobre do condutor e é dada

por:

�

(3.37)

Por fim, para calcular a resistência equivalente, apenas falta a resistividade do cobre, , que a

tem como valor:

Assim sendo, a resistência equivalente será dada por:

�

(3.38)

Finalmente, atendendo a (3.14), pode definir-se as perdas de Joule da seguinte forma, de acordo com

a simbologia adoptada:

� (3.39)


23

� (3.40)

3.4.4. Rendimento

Devido à baixa velocidade que se regista para este tipo de gerador, consequentemente, também se

observa uma baixa frequência eléctrica. Assim, as perdas por histerese e as perdas por correntes de

Foucault vão ser baixas e, as perdas dominantes nesta aplicação serão as perdas por efeito de Joule.

Todas as perdas são transformadas em energia térmica (calor) e dissipadas pelo material. Para este

caso, não se espera que a dissipação do calor seja causadora de problemas significativos, uma vez

que o gerador estará em contacto com uma fonte fria e, por conseguinte, será mais facilmente

arrefecido. Logo, tal facto permite utilizar um valor mais elevado da densidade de corrente do que o

normalmente utilizado para máquinas convencionais.

O rendimento é então calculado da seguinte forma:

�

(3.41)

Onde é referente ao somatório de todas as perdas descritas em cima, ou seja:

� (3.42)

3.5. Funções objectivo

A função a optimizar é a expressão que deve ser minimizada ou maximizada. Por exemplo:

As perdas por efeito de Joule, que têm influência no rendimento;

O peso total do gerador, que é importante para ser prático, de fácil transporte e instalação;

Custo total do gerador.

Neste capítulo, numa primeira fase vai procurar-se optimizar o peso total do gerador. Posteriormente,

numa segunda fase, a optimização focará o gerador de acordo com o seu custo total.


24

3.5.1. Peso total

Para esta optimização é necessário calcular a função que contabiliza o peso de todos os

componentes do gerador. Assim, usando novamente a simbologia expressa na Figura 3.1, para

calcular o peso total do gerador, efectuam-se os seguintes passos:

Volume da peça em U do estator:

� (3.43)

Volume da peça em I do estator:

� (3.44)

Volume total do ferro:

� (3.45)

Comprimento do condutor de cobre para uma espira ( ), de acordo com a expressão

(3.36):

� (3.46)

Área útil do cobre, de acordo com a expressão (3.7):

� (3.47)

Volume do cobre total:

� (3.48)

Volume total dos magnetos:

� (3.49)

Logo, sabendo que a densidade de cada material é:

A função que devolve o peso total da máquina será dada por:

� (3.50)


25

3.5.2. Custo total

Tal como referido anteriormente, um dos objectivos de uma função de optimização pode ser baseado

em encontrar um design que, garantindo todos os requisitos, encontre uma opção no que consta da

minimização do custo total do gerador. Contudo, o custo total engloba mais do que apenas comprar

os materiais necessários. Ou seja, também inclui custos directos e indirectos. Os custos directos,

além dos custos dos materiais, também agrupam os custos de produção. Por outro lado, custos

representativos das perdas, relativos à manutenção do material e até sobre a sua disponibilidade, são

custos indirectos [24].

Como os geradores em questão são lineares, requerem uma manutenção muito menos frequente em

comparação aos geradores rotativos [13]. Assim sendo, os custos relacionados com a manutenção

não vão ser contabilizados. Por outro lado, os custos relacionados com a disponibilidade dos

materiais existentes também podem ser negligenciados, uma vez que todos os materiais necessários

estão disponíveis no mercado em quantidade.

Os custos directos, tal como referido anteriormente, contabilizam o preço dos materiais e o seu

tratamento. Assim, assumindo que tanto o custo dos materiais, como da sua montagem, podem ser

expressos através de um custo específico por unidade de peso, os custos directos podem ser

definidos da seguinte forma [24]:

� (3.51)

Onde , e correspondem ao peso, em , do cobre, ferro e magnetos

permanentes, respectivamente. Sendo os custos específicos, em , dos mesmos materiais dados

por , e .

Focando agora os custos indirectos, tal como se referiu anteriormente, o único custo que aqui vai ser

contabilizado é o custo relativo às perdas do gerador. Estas diminuem a energia efectivamente

produzida e, consequentemente, reduzem a que é vendida, diminuindo assim os possíveis lucros.

Supondo que os custos relativos a estas perdas podem ser expressos através de um custo por

[8]:

� (3.52)

Onde representa o tempo de vida em anos do gerador, representa a dissipação anual de energia

no gerador em e, por fim, é relativo a um custo específico dessas mesmas perdas, em

. No entanto, o custo específico da energia de perdas depende de muitos factores, tais como o

tempo total de vida do gerador, o preço actual e futuro da electricidade e das taxas de juro.


26

Outro custo a abordar é o custo da estrutura, , que suportará o estator e também todas as forças

a que este estará sujeito [9], ou seja:

(3.53)

Onde é o comprimento total do gerador em metros e é o custo específico da estrutura que

suporta o estator, em .

3.5.2.1. Função de custo total

A função total de custo usada nesta dissertação inclui o custo directo, o custo indirecto e ainda o

custo da estrutura de suporte. Assim, o custo total pode ser expresso da seguinte forma:

(3.54)

Devido à flutuação dos preços de mercado, nomeadamente do cobre e da electricidade, juntamente

com a dificuldade em encontrar custos específicos actualizados, muito dificilmente se podem concluir

valores indiscutíveis. Assim, o melhor método para aceitar esta incerteza dos custos, será encontrar

não um valor, mas sim um intervalo de valores para cada custo. Deste modo, será possível analisar a

sensibilidade de cada parâmetro de design do gerador em função da alteração de custos.

A função de custo total tem por objectivo ser utilizada num processo de optimização e não deve ser

vista como uma função de custo real ou de construção do gerador. No entanto, os valores ou

intervalos de valores adoptados para cada variável da Tabela 3.3 foram adquiridos com a intenção de

se aproximarem o mais possível da realidade.

Apresentam-se na Tabela 3.3 os valores adoptados necessários para o cálculo do custo total. Estes

foram retirados de [8], [9] e [27], sendo posteriormente comparados e analisados.

Tabela 3.3 – Custos específicos e parâmetros da função de custo total

Parâmetro Observações Custo mínimo Custo máximo

Custo directo

Custo directo

Custo directo

Custo indirecto

Custo indirecto

Custo da estrutura


27

3.6. Limites das variáveis geométricas e valores iniciais adoptados

A Tabela 3.4 e a Tabela 3.5 apresentam 9 dos 13 parâmetros da Tabela 3.1, com os quais se podem

descrever completamente a geometria do gerador monofásico de fluxo transverso, assim como o

limite superior e inferior que cada parâmetro pode alcançar. Os 4 parâmetros que fazem parte dos 11

parâmetros principais e aqui não estão especificados, foram os parâmetros nos quais se impuseram

restrições, ou seja, têm valores fixos. Os parâmetros em falta serão apresentados posteriormente.

Tabela 3.4 – Limites e valores iniciais dos parâmetros principais do gerador monofásico desprezando a dispersão magnética para a optimização da função de peso total

Variável Observações Limite Valor inicial







Entreferro

Magneto

Nº espiras

Tabela 3.5 - Limites e valores iniciais dos parâmetros principais do gerador monofásico desprezando a dispersão magnética para a optimização da função de custo total


Peça em U do estator 34.5

Peça em U do estator 25

Magneto / Peça em U do estator 5


Peça em I do estator 1

Distância entre magnetos 1

Entreferro 1

Magneto 5.5

Nº espiras 50

Os valores iniciais adoptados para os parâmetros da Tabela 3.4 e a Tabela 3.5 foram ajustados à

medida que se iam obtendo resultados da optimização. Ou seja, como a optimização é um processo

iterativo (como se poderá verificar posteriormente na secção referente ao modo de procedimento),

existem valores iniciais dos parâmetros que conferem ao programa uma convergência mais rápida.

Nesse sentido, foi necessário ajustar os valores iniciais das variáveis de maior dimensão para os


28

aproximar, por defeito, ao valor final da optimização. Assim sendo, a única diferença entre a Tabela

3.4 e a Tabela 3.5 são os valores iniciais para efeitos de convergência.

3.7. Constantes adoptadas

As constantes usadas no processo de optimização são dadas na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 – Constantes adoptadas para a optimização desprezando a dispersão magnética

Variável Observações Valor

Potência Nominal

Tensão Nominal



Velocidade linear

Coeficiente de enchimento

Permeabilidade magnética do vácuo

Densidade de fluxo remanescente

Permeabilidade relativa do magneto

Intensidade de campo magnético coercitivo do magneto

Resistividade do cobre a 20

3.8. Restrições

Existem dois tipos de restrições: as restrições de desigualdade e as restrições de igualdade. As

restrições de desigualdade, têm como objectivo garantir que um certo parâmetro não ultrapassa um

certo limite imposto previamente. Por conseguinte, desde que esse valor esteja dentro de um limite

estabelecido, a condição é válida. Contudo, ao contrário das restrições de desigualdade, as restrições

de igualdade não visam um intervalo de valores mas sim um só valor. Ou seja, as restrições de

igualdade são usadas para garantir que certos parâmetros se aproximem de um e um só valor.


29

3.8.1. Restrições de desigualdade

As restrições de desigualdade relativas ao design e ao comportamento magnético desejado,

encontram-se na Tabela 3.7. Nesta fase da dissertação, apenas se procurou garantir que as peças do

estator não atingiriam a saturação magnética. Para tal, é necessário recorrer a uma curva de

magnetização do material do qual as peças do estator são feitas. O material escolhido foi “Carpenter

Silicon Core Iron A” e, considera-se que o ferro atinge a saturação aproximadamente quando o

campo de indução magnética atinge os Logo, o campo de indução magnética das duas peças

que formam o estator, não deve ser superior a esse valor. Procura também garantir-se que todos os

aspectos geométricos sejam respeitados, nomeadamente, nos casos do parâmetro “ ” e do

parâmetro ” ”, uma vez que estes podem ser deduzidos através de outros parâmetros, tal como foi

demonstrado nas equações (3.5) e (3.6). As restrições de desigualdade consideradas estão

apresentadas na Tabela 3.7.

Tabela 3.7 – Restrições de desigualdade da optimização desprezando a dispersão magnética

Objectivo Observações Inequação

Parâmetro s Aspectos geométricos

Parâmetro t Aspectos geométricos

Evitar saturação Campo de indução na peça em U abaixo de 1.5 T

magnética Campo de indução na peça em I abaixo de 1.5 T

3.8.2. Restrições de igualdade

Para esta optimização é necessário garantir que a tensão seja de . A segunda restrição de

igualdade é relacionada com a corrente, uma vez que se quer garantir valor de potência entregue de

500 kW.

A restrição de igualdade relacionada com a tensão é:

E como:

Sendo que e , para garantir a potência a esse valor, a corrente será de

1000 A. Logo, de acordo com (3.15):


30

As restrições de igualdade são apresentadas na Tabela 3.8.

Tabela 3.8 - Restrições de igualdade da optimização desprezando a dispersão magnética

Objectivo Observações Equação

Garantir Potência Gerada Restrição na tensão

Garantir Potência Gerada Restrição na corrente

3.9. Modo de Procedimento

Tal como foi dito anteriormente, o objectivo da optimização é minimizar o peso e o custo do gerador e

preencher todos os requisitos impostos pelas restrições acima descritas. A Figura 3.6 é um esquema

simplificado que reflecte os diferentes passos efectuados pelo programa de optimização durante o

seu funcionamento. Ou seja, desde a escolha inicial dos parâmetros a alterar até ao cálculo final da

função que reflecte o valor da função objectivo. O fluxograma também inclui a influência das

diferentes restrições de desigualdade e de igualdade, assim como a influência das propriedades

geométricas. A função de optimização usada foi a fmincon [22] incluída no software MATLAB®.


31

Figura 3.6 – Esquema simplificado do funcionamento da função de optimização fmincon


32

3.10. Resultados da função de peso total

O código MATLAB® usado neste dimensionamento encontra-se no Anexo A. Apresentam-se na

Tabela 3.9 os resultados obtidos.

Tabela 3.9 – Resultados obtidos para a optimização da função de peso total do gerador monofásico para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética

Variável Denominação Resultado Observações

Potência nominal

Tensão nominal






Magneto / Peça em U do estator Limite mínimo


Distância entre magnetos Limite mínimo

Entreferro Limite mínimo

Altura do magneto

Nº espiras

Período espacial


Circuito eléctrico

Circuito eléctrico



Densidade de fluxo magnético

Densidade de fluxo magnético Limite máximo

Secção transversal





Intensidade de corrente gerada


Perdas de Joule

Rendimento

Custo Custo total

Função a optimizar (Peso total)


33

Observando os resultados obtidos na Tabela 3.9 pode rapidamente constatar-se que, por se ter

desprezado a dispersão magnética, os parâmetros “ ”, “ ” e “ ” são iguais ao seu limite mínimo, tal

como seria de esperar pois diminuem assim o volume do gerador e consequentemente o seu peso

total.

É interessante notar que os magnetos cujo comprimento e largura são os parâmetros “ ” e “ ”,

respectivamente, são providos de uma secção transversal rectangular. Logo, deste modo é possível

existirem mais magnetos para uma mesma unidade de comprimento.

A peça em I do estator tem o seu valor do campo de indução magnética igual ao seu limite superior

de saturação. Para diminuir o campo de indução magnética ao longo desta peça seria necessário

aumentar o parâmetro “ ” mas, como se procura fazer uma optimização ao peso, este último

parâmetro deve apenas estar dimensionado para garantir que a peça em I do estator não entra em

saturação magnética.

Como se tem um período espacial bastante pequeno, para uma velocidade de obtém-se uma

frequência de , que é bastante elevada. No entanto, se esta optimização fosse efectuada com

uma velocidade de , a potência nominal do gerador seria o dobro assim como a frequência.

Consequentemente, o rendimento ainda seria superior pois apenas estão a ser consideradas as

perdas por efeito de Joule.

Esta optimização foi efectuada com uma densidade de corrente de , porém, se a

densidade de corrente fosse superior, seria possível ter para a mesma potência nominal uma

máquina com peso inferior ao registado. Contudo, aumentando a densidade de corrente também

aumentam as perdas por efeito de Joule e o rendimento diminui.

Através do software SolidWorks®, é possível apresentar na Figura 3.7 e na Figura 3.8, o gerador

linear monofásico de fluxo transverso com as dimensões obtidas da optimização referente à Tabela

3.9.

Com o objectivo de entender quais os parâmetros mais importantes para o dimensionamento do

gerador e, aqueles que mais influência possuem, fixa-se agora o valor da tensão nominal em

e varia-se a potência nominal de a . Efectuar-se-á a variação da potência

nominal referida anteriormente para dois casos distintos: com o limite mínimo do entreferro

(parâmetro “ ”) igual a , tal como está na Tabela 3.4 e, com o limite mínimo do entreferro igual

a .

Apresentam-se na Figura 3.9 os resultados obtidos.


34

Figura 3.7 – Gerador linear resultante da optimização da função de peso total para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética

Figura 3.8 – Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de peso total para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética


35

Figura 3.9 – Variação da dimensão dos parâmetros no gerador monofásico desprezando a dispersão magnética para um entreferro mínimo de 0.5 cm e de 1 cm


36

3.11. Discussão de resultados da optimização da função de peso total


Analisando a Figura 3.9 e apenas considerando o entreferro mínimo de , é possível concluir

que o rendimento vai aumentando de acordo com o aumento da potência nominal. Deste modo, é

mais favorável projectar geradores para altas potências do que para baixas potências. É importante

salientar que, com o aumento da potência nominal, o gerador mantém sempre o seu comprimento

total constante, aumentando apenas na sua largura e altura, parâmetro “ ” e “ ”, respectivamente.

Na Tabela 3.9, verificou-se que os parâmetros “ ” e “ ” convergiam para o seu limite mínimo e, o

mesmo acontece ao longo da variação da potência. Tal resultado era expectável uma vez que se

efectuou a optimização não considerando a dispersão magnética. Como foi referido anteriormente, a

tensão foi mantida a um valor fixo, se a potência nominal aumenta, tal facto resulta num aumento da

corrente nominal. Para garantir que tal se verifique, regista-se um aumento da área disponível

(parâmetros “ ” e “ ”) assim como uma diminuição do número de enrolamentos (parâmetro “ ”) à

medida que a potência aumenta. Tais factos estão de acordo com a equação (3.15), uma vez que

provocam um aumento da secção do condutor de cobre que é directamente proporcional ao aumento

da corrente gerada. Por outro lado, com a diminuição do parâmetro “ ”, pela equação (3.31), a força

electromotriz também diminui. Contudo, visto que foi imposta a restrição na tensão gerada na Tabela

3.8, a tensão não diminuirá às custas do aumento do parâmetro “ ”, ou seja, do aumento da secção

transversal da peça de ferro em U. Por outro lado, mas também com o mesmo propósito, verifica-se

que o parâmetro “ ” do magneto também aumenta ao longo do aumento da potência nominal. Através

da equação (3.27) é possível constatar que o parâmetro “ ” é proporcional ao campo de indução

magnética presente na peça de ferro em U. Recuperando novamente a equação (3.31) também se

verifica que um aumento do campo é responsável para que a tensão gerada se mantenha

constante e igual a . De modo análogo, o campo também aumenta. Assim, justifica-se o

aumento do parâmetro “ ”, para garantir que a peça em I não entra em saturação magnética, o que

está de acordo com a equação (3.29).

Comparando agora as alterações que o aumento do valor da dimensão do entreferro provoca, pode

concluir-se que o parâmetro mais sensível é a altura do magneto “ ”. Tal facto é compreensível, pois

o aumento do parâmetro “ ”, de para , provoca um aumento da relutância magnética do

entreferro e uma diminuição do campo . Logo, para manter a mesma tensão produzida e

aumentar o campo , o parâmetro “ ” também aumenta. Este é o principal factor para a diferença

entre as curvas do peso total obtidas. Por fim, é de interesse constatar que o parâmetro “ ” diminui

com o aumento do entreferro. Tal facto é justificável com o aumento do entreferro que induz um valor

do campo de indução menor e, por sua vez, a secção transversal da peça em I pode diminuir e

continuar a garantir que esta não se encontra em saturação magnética.


37

3.12. Resultados da função de custo total

Apresentam-se agora os resultados da optimização da função em causa, onde se usaram os valores

mínimos dos custos específicos da Tabela 3.3.

Tabela 3.10 - Resultados obtidos para a optimização da função de custo total do gerador monofásico para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética


Potência nominal

Tensão nominal





Magneto / Peça em U do estator Limite máximo



Distância entre magnetos Limite mínimo


Altura do magneto

Nº espiras

Período espacial


Circuito eléctrico

Circuito eléctrico












Perdas de Joule

Rendimento

Peso total

Função a optimizar (Custo total)


38

Analisando a Tabela 3.10, é possível concluir que as dimensões directamente relacionadas com as

peças do estator, ou seja, de ferro, aumentaram consideravelmente comparativamente à função de

peso total. Tal facto era esperado na medida em que o custo específico mais baixo do material era o

do ferro. Assim, a optimização tenta ajustar as dimensões tendo em conta esse facto. Constata-se

também que as perdas de Joule são menores comparadas com o seu valor da optimização relativa

ao peso. Como existe um preço específico relativo a estas e também referente à quantidade de cobre

utilizado, a optimização procurou minimizá-las, diminuindo também a área disponível para o circuito

eléctrico. É de salientar que a frequência é agora menor do que para a optimização da função de

peso total, pois a dimensão do parâmetro “ ” já não é mínima, resultando assim num maior

comprimento da máquina. Através do software SolidWorks®, é possível apresentar na Figura 3.10 e

na Figura 3.11, o gerador linear com as dimensões obtidas da optimização referente à Tabela 3.10.

Considere-se agora todos os casos da Tabela 3.11 que, são todas as combinações possíveis dos

preços da Tabela 3.3.

Tabela 3.11 – Variações dos intervalos dos custos específicos dos materiais

Caso

1

2

3

4

5

6

7

8

Através da análise da Tabela 3.12, onde se encontram definidos os preços de todos os casos de

custos considerados para o gerador de , é possível concluir que os preços mais elevados

coincidem com os casos nos quais o preço do ferro é máximo.

Tabela 3.12 – Indicação do valor da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética

16571 15094 16867

15292 17110 15623 17411

Para melhor entender a variação e sensibilidade dos parâmetros do gerador, fixa-se agora o valor da

tensão nominal em , varia-se a potência nominal de a e consideram-se

todos os casos da Tabela 3.11. Apresentam-se na Figura 3.12 os resultados obtidos.


39

Figura 3.10 - Gerador linear resultante da optimização da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética

Figura 3.11 - Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW desprezando a dispersão magnética


40

Figura 3.12 - Variação da dimensão dos parâmetros do gerador desprezando a dispersão magnética para todos os casos de custos específicos


41

3.13. Discussão de resultados da optimização da função de custo total


Considerando a Figura 3.12 é possível observar o comportamento de cada variável ao longo do

intervalo de valores da potência nominal, para cada caso considerado na Tabela 3.11. Em primeiro

lugar, é necessário constatar que a variação dos custos específicos não provoca uma variação

significativa nos parâmetros. Mais uma vez, e à semelhança da optimização realizada para a função

de peso total, o rendimento é superior para as potências mais elevadas. Ainda relativamente ao

rendimento, é possível distinguir duas zonas aproximadas de convergência (que diferem apenas em

), cada uma com quatro casos. Os quatro casos correspondentes aos rendimentos mais altos,

têm em comum o custo específico do ferro, , ser o mais baixo considerado. Tal facto é

justificável, uma vez que para o referido, utilizar-se-á mais ferro do que cobre na construção do

gerador. Assim sendo, as perdas de Joule serão mais baixas quanto menor a quantidade de cobre

utilizada. Deste facto também resulta um aumento do parâmetro “ ” para os casos onde e

são máximos.

Uma vez que o parâmetro “ ” aumenta com o aumento da potência nominal, o comprimento total da

máquina também vai aumentar. Este último, à imagem do rendimento também depende de . Ou

seja, nos casos onde é menor, para uma mesma potência nominal, o gerador atinge

comprimentos mais elevados. No entanto, a partir de aproximadamente , o parâmetro “ ”

deixa de ser mínimo, independentemente dos custos considerados. É também relevante referir que o

parâmetro “ ” é constante ao longo da variação da potência nominal e, igual ao seu limite máximo.

Pois, além do facto de possuir valores inferiores comparativamente aos restantes custos

específicos, o parâmetro “ ” é directamente proporcional à tensão gerada, tal como se pode verificar

pela equação (3.31).

No que consta da análise da variação do parâmetro “ ”, paralelamente ao que se constatou para o

rendimento, também agora se observa a existência de dois grupos de casos convergentes para

resultados distintos. Os casos do grupo referente a uma maior dimensão deste parâmetro, têm todos

em comum o ser o mínimo considerado. Tal facto é expectável uma vez que esta optimização foi

efectuada relativamente a uma função de custos e, assim, quanto menor for maior será o

volume do magneto.

Todos os restantes parâmetros têm um comportamento idêntico ao dos parâmetros analisados até

agora, ou seja, regido pelo custo do material do qual são referentes. Contudo, o parâmetro “ ” não

segue essa regra. Ou seja, este parâmetro também apresenta dois conjuntos de casos convergentes

distintos, no entanto, o grupo referente a uma maior dimensão é composto por todos os casos onde o

tem o menor custo considerado. Por conseguinte, tem um comportamento inverso ao do

parâmetro “ ”, pois existe uma restrição com o objectivo de criar uma garantia da não ocorrência de


42

saturação magnética na peça de ferro em questão. Assim, pela equação (3.29), compreende-se este

comportamento do parâmetro “ ”. Logo, a variação deste parâmetro é ditada por e não por .

3.14. Conclusões

Em primeiro lugar, foram definidas as propriedades geométricas, foi descrito o circuito eléctrico e

magnético do gerador linear monofásico de fluxo transverso. De seguida analisou-se o tipo de perdas

a que este tipo de gerador está exposto. No entanto, apenas as perdas por efeito de Joule foram

consideradas por ser um gerador de baixas velocidades.

No que consta das funções a optimizar, foram definidos dois objectivos: minimizar o peso e minimizar

o custo. Apesar de se poder relacionar minimamente o peso com o custo de forma não errónea,

devido às recentes flutuações do custo do cobre e da electricidade no mercado, a melhor forma de

retratar essas variações é efectuar optimizações independentes. Devido à dificuldade em encontrar

custos específicos de materiais tratados, ao invés de um custo por material, foram considerados

vários casos. Assim, é possível efectuar uma análise sem o valor real de cada custo. No entanto, esta

função não deve ser vista como um custo real ou um custo de construção do gerador. Foi apenas

criada para tornar possível a medição da sensibilidade de cada parâmetro para cada caso

considerado.

Como o modo de procedimento usado nas optimizações se baseia num processo iterativo, existe um

conjunto de valores iniciais que confere uma rápida convergência da função. Neste sentido também

foram apresentados os valores iniciais usados no programa de optimização para cada função, uma

vez que diferem entre si.

Posteriormente, foram analisados os resultados obtidos para a função de peso total onde se privilegia

um gerador mais compacto com mais cobre e menos ferro do que para a função de custo total. Ainda

sobre a função de peso total, também se verificaram os efeitos de um aumento da dimensão do

entreferro. Foi possível concluir que com um aumento da potência nominal, o comprimento total da

máquina permanece constante e, é a sua altura e largura que aumentam de dimensão. Relativamente

à função de custo total, observou-se que uma variação dos custos específicos não provoca uma

alteração significativa da dimensão dos parâmetros. Constatou-se ainda que cada parâmetro

directamente relacionável com um material do gerador, é sensível, quase exclusivamente, à variação

do custo desse mesmo material. Contudo, os parâmetros “ ”, “ ” e “ ” mostraram ser uma excepção.

Devido à convergência para limites mínimos dos parâmetros “ ”, “ ” e “ ”, revela-se assim necessária

uma análise à dispersão do campo magnético e à criação de restrições complementares.


43

4. Estudo numérico do campo magnético de um gerador linear

monofásico

Apesar de se considerar o campo magnético uniforme dentro das peças do estator (material

ferromagnético de elevada permeabilidade, ( ) e baixa relutância magnética ( )), o mesmo

não se pode aplicar à região dos entreferros de ar. Logo, como existe dispersão do campo magnético

nesta zona, é necessário quantificá-la em relação às dimensões do entreferro, da peça polar e do

magneto, pois as fugas do campo magnético influenciam o dimensionamento do gerador.

Assim sendo, serão agora utilizados circuitos magnéticos simplificados com o objectivo de se

determinar o comportamento das fugas do fluxo magnético.

4.1. Análise do circuito magnético

Proceder-se-á agora a uma análise das fugas magnéticas no gerador monofásico de fluxo transverso.

É também de referir que toda a simbologia usada nesta secção, referente aos parâmetros

relacionados com as dimensões físicas deste gerador, está em concordância com a simbologia

adoptada na Figura 3.1.

Consideram-se de seguida três situações críticas que irão ser objecto de estudo:

Análise da influência da distância entre pólos;

Análise da influência da distância entre as fiadas de magnetos da peça móvel;

Análise da dimensão do entreferro.

4.1.1. Análise da influência da distância entre pólos

Supondo que o magneto está perfeitamente incidente com o estator, o campo de indução magnética

na peça polar atinge o seu valor máximo. No entanto, este sofre decrementos caso o magneto se

afaste da peça polar [11]. Ou seja, nestas condições, apenas é possível concluir que os magnetos de

uma mesma fiada deveriam estar espaçados da menor distância possível. Contudo, visto que o

translator se move e que os magnetos vão trocar de polaridade periodicamente, se os magnetos de

uma mesma fiada estiverem distanciados por um valor muito baixo, podem existir linhas de campo

que se fecham entre si. Consequentemente, o campo de indução magnética no estator será menos

intenso. Será assim necessário quantificar essa distância mínima entre os magnetos de cada fiada

Estudo numérico do campo magnético de um gerador linear monofásico

44

que, analisando a Figura 3.1, corresponde à distância a que os pólos do gerador estão colocados

entre si (parâmetro “ ”).

Para esta análise utilizou-se um sistema simplificado que é composto por dois circuitos magnéticos,

onde cada circuito é independente e formado por uma peça de ferro e um magneto. Assim sendo, os

circuitos magnéticos vão ser colocados de forma simétrica entre si, tal como se pode observar na

Figura 4.1. Cada circuito baseia-se num circuito magnético com entreferro de ar onde o fluxo

magnético é produzido pelos magnetos permanentes e, posteriormente conduzido através das peças

de ferro correspondentes. As peças de ferro são de ferro silicioso, que é um material com

propriedades ferromagnéticas de elevada permeabilidade. De referir também que os magnetos aqui

usados têm as polaridades trocadas entre si, uma vez que é o que se verifica nos magnetos de uma

mesma fiada do translator. Assim, afastando um circuito magnético e calculando o campo de indução

magnética na peça de ferro que fica imóvel, é possível saber o comportamento que o campo

magnético adopta.

Um bom método para calcular a variação do campo de indução magnética no sistema acima descrito,

será calcular o fluxo que atravessa a parte central da peça de ferro (indicada pelo tracejado na Figura

4.1). Considerando que o campo de indução magnética que atravessa a peça de ferro é constante ao

longo de toda a secção transversal da peça, atendendo a (1.3), pode definir-se um campo de indução

médio ao longo de toda a peça, .

Para elaborar estas simulações recorreu-se ao software de simulação de elementos finitos FEMM

que efectua as simulações a 2 dimensões. Assim sendo, dimensionou-se a espessura de todos os

elementos deste sistema para . De acordo com a nomenclatura usada na Figura 3.1, é possível

encontrar na Tabela 4.1 os limites e restrições de cada parâmetro usado nas simulações. De salientar

que a identificação de cada parâmetro aqui utilizado está presente na Figura 4.1.

Tabela 4.1 – Limites e restrições dos parâmetros na análise da influência da distância entre pólos

Parâmetro Observações Limites Restrições

Altura do magneto

Entreferro

Peça de ferro

Distância entre pólos

Foi imposta uma restrição na dimensão do entreferro (parâmetro “ ”) uma vez que, tal como se viu na

equação (3.27), o entreferro é uma dimensão que influencia o comportamento do campo de indução

magnética. Como se pretende estudar agora a influência da distância entre pólos, procurou-se

minimizar os efeitos que o entreferro provoca, de modo a que os efeitos do parâmetro “ ” sejam mais

realçados.


45

Figura 4.1 - Indicação das dimensões a variar na análise da influência da distância entre pólos

Após todas as simulações, cujo código LUA se encontra no Anexo B, foi possível realizar a Figura 4.2

através do software MATLAB®, onde se relacionam os parâmetros “ ” e “ ” e o campo médio de

indução magnética . Este último encontra-se relacionado com as cores da barra à direita do

gráfico, pois esta indica a medição em Tesla para a grandeza em questão.

Figura 4.2 – Curvas de nível do campo


46

Pela análise da Figura 4.2, conclui-se que para uma mesma dimensão do parâmetro “ ”, o campo

é maior quanto maior for a dimensão do parâmetro “ ”. Atingido um certo valor deste último

parâmetro, nota-se que o campo adopta um andamento aproximadamente constante. Até esse

valor ser atingido, existem linhas do campo magnético que se fecham entre os dois magnetos dos

dois circuitos, pois a distância entre estes não é a ideal. Para outros valores que sejam

suficientemente elevados para que tal fenómeno não se verifique, o campo de indução magnética

estabiliza. Ou seja, entra-se na região onde as linhas de nível são verticais. É também de referir que

nessa região, o campo tem valores aproximados aos valores registados na Figura 4.9 para um

entreferro de .

Para melhor se observar a variação do campo e para posteriormente se relacionar

matematicamente as grandezas em questão, encontra-se na Figura 4.3 o andamento do campo

em ordem à razão entre os parâmetros “ ” e “ ”.

Figura 4.3 - Polinómio adequado da variação do campo médio de indução magnética

É possível observar na Figura 4.3 cinco curvas sendo cada uma delas referente a cada valor da

dimensão do parâmetro “ ” usado na simulação. No entanto, é agora de todo o interesse saber os

pontos onde cada curva estabiliza, pois é o ponto onde a influência da distância entre pólos já não é

relevante, tal como foi discutido anteriormente.


47

Através do software MATLAB® e da aplicação Ezyfit

1, foi possível encontrar uma equação aproximada

que reflecte essa região limite, tal como se pode observar na Figura 4.3. Para garantir que o efeito da

distância entre pólos é minimizado, para um dado campo , a razão entre os parâmetros “ ” e “ ”

deve estar na curva descrita pelo polinómio adequado ou, na região à direita da mesma. Assim,

supondo que:

pode então definir-se o campo de indução magnética , como uma função de :

(4.1)

Efectuando uma manipulação da equação (4.1), chega-se a:

(4.2)

4.1.2. Análise da distância entre as fiadas de magnetos do translator

Uma vez que já se analisou a influência da distância entre os pólos do estator, interessa agora saber

como se comporta o sistema variando a distância entre as fiadas de magnetos que compõem o

translator. Para esta nova simulação vai utilizar-se um sistema simplificado que procura assemelhar-

se a um pólo da máquina monofásica de fluxo transverso. Deste modo, variando a distância entre os

magnetos (parâmetro “ ”) e calculando o campo de indução magnética na peça de ferro em U, é

possível saber o comportamento que o campo adopta e posteriormente relacionar matematicamente

estas grandezas. O método de cálculo da variação do campo de indução magnética na peça de ferro

em U, , será idêntico ao da secção anterior.

Para efectuar esta simulação recorreu-se ao software de simulação de elementos finitos FEMM, que

efectua as simulações a 2 dimensões. Assim sendo, dimensionou-se a espessura de todos os

elementos deste sistema para . De acordo com a nomenclatura usada na Figura 3.1, é possível

encontrar na Tabela 4.2 os limites e restrições de cada parâmetro usado nas simulações. De referir

também que a identificação de cada parâmetro aqui utilizado está presente na Figura 4.4.

1 disponível em http://www.fast.u-psud.fr/ezyfit/

http://www.fast.u-psud.fr/ezyfit/


48

Tabela 4.2 - Limites e restrições dos parâmetros na análise da distância entre as fiadas de magnetos do translator


Altura do magneto

Entreferro

Peça de ferro em U

Peça de ferro em I

Distância entre fiadas

Novamente, à imagem da análise da influência da distância entre pólos, também agora se fixa o

entreferro com a dimensão de com o mesmo propósito. Ou seja, que os efeitos da dimensão

do entreferro sejam reduzidos para realçar o comportamento do campo magnético com a variação

com parâmetro “ ”.

Figura 4.4 - Indicação das dimensões a variar na análise da distância entre as fiadas de magnetos do translator

Após todas as simulações, foi possível realizar a Figura 4.5 através do software MATLAB®, onde se

relaciona o parâmetro “ ”, o parâmetro “ ” e o campo médio de indução magnética . Este último

encontra-se relacionado com as cores da barra à direita do gráfico, pois esta indica a medição em

Tesla para a grandeza em questão.


49

Figura 4.5 - Curvas de nível do campo

Através da Figura 4.5 verifica-se que para uma mesma dimensão do parâmetro “ ”, o campo é

maior quanto maior for o parâmetro “ ”. Contudo, após um certo valor do parâmetro “ ” o campo

permanece aproximadamente constante e sem variações. Tal fenómeno é justificável sabendo que os

dois magnetos têm polaridades trocadas e se não estiverem convenientemente distanciados, as

linhas do campo magnético que produzem fechar-se-ão entre si, ao invés de serem conduzidas para

a peça de ferro. Para valores que sejam suficientemente elevados onde tal fenómeno não se

verifique, o campo de indução magnética estabiliza, mais especificamente, entra-se na região onde

as linhas de nível são verticais. É também de referir que nessa região, o campo tem valores

aproximados aos valores registados na Figura 4.9 para um entreferro de .

Para melhor se observar a variação do campo médio de indução magnética e para

posteriormente se tentar relacionar matematicamente as grandezas em questão, encontra-se na

Figura 4.6 o andamento do campo em ordem à razão dos parâmetros “ ” e “ ”.

Pela Figura 4.6 é possível observar-se cinco curvas, sendo que cada uma delas é referente a cada

dimensão do parâmetro “ ” usada na simulação. No entanto, é agora de todo o interesse saber os

pontos onde cada curva estabiliza, pois é o ponto onde a influência da distância entre as fiadas de

magnetos já não é relevante, tal como foi discutido anteriormente.


50

Figura 4.6 – Polinómio adequado da variação do campo médio de indução magnética

Através do software MATLAB® e da aplicação Ezyfit, foi possível encontrar uma equação aproximada

que reflecte essa região limite, tal como se pode observar na Figura 4.6. Para garantir que o efeito da

distância entre as fiadas de magnetos é minimizado, para um dado campo , a razão entre os

parâmetros “ ” e “ ” deve estar na curva descrita pelo polinómio adequado ou, na região à sua direita.

Assim, supondo que:

pode então definir-se o campo de indução magnética , como uma função de :

(4.3)

Efectuando uma manipulação da equação (4.3), conclui-se que:

(4.4)


51

4.1.3. Campo magnético nos entreferros de ar

Nesta secção, far-se-á primeiramente uma análise conjunta da relação do entreferro relativamente à

altura (parâmetro “ ”) e largura (parâmetro “ ”) do magneto, na medida em que se considera como

restrição, a altura do magneto é igual à sua largura. Posteriormente, analisar-se-á a dimensão do

entreferro relativamente ao comprimento do magneto (parâmetro “ ”).

4.1.3.1. Análise do parâmetro “h” do magneto

O entreferro de ar, tal como foi referido anteriormente, permite a deslocação do translator em relação

ao estator, ou seja, é a região do espaço contida entre o translator e o estator. Como o ar tem uma

relutância magnética alta, as dimensões do entreferro de ar afectam o valor da relutância do circuito

magnético. Por conseguinte, quando um circuito magnético tem entreferros de ar muito grandes, tal

facto vai ser responsável pela dispersão das linhas do campo magnético nessa região. Logo, quanto

menor for o entreferro, mais intenso será o campo de indução magnética.

Para se analisar o comportamento do campo magnético e quantificar as fugas magnéticas existentes

entre o magneto e o estator, procedeu-se à análise das fugas do campo magnético através de um

sistema simplificado que procura assemelhar-se a um pólo da máquina monofásica de fluxo

transverso, semelhante ao da Figura 4.4. Este baseia-se num circuito magnético com entreferro de ar

onde o fluxo magnético é produzido por dois magnetos permanentes, com polaridades opostas, tal

como está representado na Figura 4.7.

Figura 4.7 – Circuito simplificado usado na análise da dimensão do entreferro para o parâmetro “ ”

Definindo o campo de indução média ao longo de toda em peça em U como , o seu método de

cálculo será idêntico ao das secções anteriores e terá como zona alvo a região indicada a tracejado

na Figura 4.7.


52

Para efectuar estas simulações recorreu-se ao software de simulação de elementos finitos FEMM e

dimensionou-se a espessura de todos os elementos deste sistema para . Adoptando novamente

a nomenclatura usada na Figura 3.1, apresenta-se na Tabela 4.3 os limites das variações dos

parâmetros em questão, assim como as restrições impostas.

Tabela 4.3 – Limites e restrições dos parâmetros da análise da dimensão do entreferro respectivamente ao parâmetro “ ”


Altura do magneto

Peça em U e Magneto

Peça em I

Entreferro

Para uma melhor concretização, a identificação de todos os parâmetros está também efectuada na

Figura 4.8.

Figura 4.8 – Indicação das dimensões a variar na quantificação das fugas magnéticas no entreferro de ar para o parâmetro “ ”

Após todas as simulações, foi possível realizar a Figura 4.9 através do software MATLAB®, onde se

relacionam os parâmetros “ ” e “ ” e o campo médio de indução magnética . Este último




53

Figura 4.9 – Linhas de nível do campo

É de referir que apenas foram contabilizados os resultados para os quais o campo era igual ou

superior a, aproximadamente, , pois é esperado que o tipo de gerador em questão tenha

valores do campo de indução magnética muito superiores durante o seu funcionamento.

Através da análise da Figura 4.9, é possível notar que de entre as variáveis em questão, a de maior

importância para a diminuição do campo é o entreferro (“ ”). O valor mais baixo que o

entreferro adoptou nesta simulação foi de e, foi para este valor que se registaram os valores

mais altos do campo . Ou seja, quanto menor a dimensão do entreferro, maior é a intensidade

do campo magnético na peça de ferro. Pode também constatar-se que o campo aumenta com o

aumento do parâmetro “ ”. É também importante notar que se considerou a secção transversal do

magneto idêntica à secção transversal de ambas as peças de ferro do estator do gerador.

Para se relacionar matematicamente o campo com os parâmetros “ ” e “ ”, efectuou-se um

novo gráfico onde um eixo é referente ao e, o outro, é referente à divisão entre a dimensão dos

parâmetros “ ” e “ ”, tal como se mostra na Figura 4.10.


54


Assim, efectuou-se um gráfico a duas dimensões e, através do software MATLAB® e da aplicação

Ezyfit, foi encontrado um polinómio adequado à curva da variação do fluxo. Ou seja, supondo que:

pode definir-se o campo , como uma função de :

(4.5)

Será agora de todo o interesse comparar a equação (3.27), que resulta de um sistema onde se

despreza a dispersão magnética, com a equação (4.5) que quantifica o campo considerando a

dispersão magnética. De referir também que ambas a equações atrás mencionadas foram

propositadamente colocadas com morfologia idêntica, de modo a permitir uma melhor análise e

comparação. Assim sendo, uma vez que para estas simulações foi considerado que os magnetos

teriam um campo magnético remanescente de , pode considerar-se que o campo

remanescente é o numerador da equação (4.5). Logo, a diferença entre a equação (4.5) e a equação

(3.27) baseia-se num aumento fictício da permeabilidade magnética relativa dos magnetos de

(valor original) para , forçando assim uma diminuição do campo magnético nas peças do

estator.


55

Para efectuar o mesmo tipo de análise para a peça do estator em forma de I, através do Anexo C

onde foi considerado que ambas as peças de ferro tinham uma secção transversal idêntica, é

possível considerar que as fugas magnéticas existentes devido aos entreferros são aproximadamente

iguais, quer para a peça em U do estator quer para a peça em I e dependem apenas de uma razão

entre as suas secções transversais.

Assim sendo, pode definir-se o campo médio de indução magnética na peça em I do estator, em

função do campo , recorrendo à equação (3.29):

(4.6)

4.1.3.2. Análise do parâmetro “d” do magneto

Em continuação da análise da dimensão do entreferro, falta agora quantificar as fugas magnéticas

existentes no entreferro relativas à variação da dimensão do parâmetro “ ”. Para tal, apresenta-se na

Figura 4.11 o circuito simplificado considerado. Este circuito, ao contrário da Figura 4.7 que retrata

uma vista frontal da Figura 3.1, procura representar uma vista lateral da mesma. À imagem da secção

anterior, também agora se utilizará o mesmo método de cálculo do campo de indução magnética do

fluxo que atravessa a peça de ferro. Define-se então, deste modo, o campo médio de indução

magnética calculado na zona central da peça de ferro (indicada a tracejado na Figura 4.11).

Figura 4.11 - Circuito simplificado usado na análise da dimensão do entreferro para o parâmetro “ ”

Para o cálculo do campo efectuaram-se simulações no software FEMM e fixou-se a espessura

de todos os elementos da Figura 4.11 em . De acordo com a nomenclatura usada na Figura 4.12,

encontram-se na Tabela 4.4 os limites das variações dos parâmetros responsáveis pelo

dimensionamento do circuito, assim como as restrições impostas.


56

Tabela 4.4 – Limites e restrições dos parâmetros da análise da dimensão do entreferro respectivamente ao parâmetro “ ”


Altura do magneto

Peça de Ferro e Magneto

Entreferro

Figura 4.12 - Indicação das dimensões a variar na quantificação das fugas magnéticas no entreferro de ar para o parâmetro “ ”

Após todas as simulações, através do software MATLAB® foi possível a concretização da Figura 4.13,

onde se relacionam os parâmetros “ ”, “ ” e o campo médio de indução magnética . Este último



Figura 4.13 – Linhas de nível do campo


57

Analisando a Figura 4.13 verifica-se que para um mesmo valor do parâmetro “ ”, o campo

diminui com o aumento da dimensão do entreferro, o que reforça o verificado na secção anterior. Por

outro lado, todas as linhas de nível do campo têm um comportamento bastante semelhante

entre si. Ou seja, em primeiro lugar verifica-se um crescimento e depois uma estabilização. Fixando

um valor de entreferro, existe um valor mínimo do parâmetro “ ” que, mesmo que este último sofra

um incremento, o campo permanece aproximadamente igual. É nesse ponto que a dimensão

do entreferro deixa de influenciar o campo relativamente à dimensão do parâmetro “ ” do

magneto. É também nesse ponto que um aumento do referido parâmetro se torna irrelevante, se esta

situação for atendida isoladamente.

Para se relacionar matematicamente o campo com o parâmetro “ ” e o parâmetro “ ”, através

do software MATLAB®

efectuou-se a Figura 4.14 que corresponde a uma relação entre a razão dos

parâmetros indicados e o campo .

Focando a Figura 4.14, observam-se várias curvas, sendo que cada uma delas é referente a cada

dimensão do parâmetro “ ” simulado. Denote-se que a variação do campo em função da razão

dos parâmetros é aproximadamente igual ao comportamento que as linhas de nível da Figura 4.13

adoptam. Nota-se um crescimento seguido de uma estabilização. Deste modo, para cada valor do

campo , o ponto aproximado onde se inicia a estabilização é o ponto que garante a influência

mínima da dimensão do entreferro para a situação em causa. Logo, é possível criar uma equação

que indique a região limite descrita pelos pontos onde cada curva estabiliza.


Através do software MATLAB®

e da aplicação Ezyfit foi possível encontrar um polinómio adequado

para definir a região limite atrás descrita (indicada também na Figura 4.14). Supondo que:


58

pode definir-se o campo médio de indução magnética , como uma função de :

(4.7)

No entanto, o propósito do polinómio adequado não é garantir que todos os pontos da razão entre os

parâmetros “ ” e “ ” lhe pertençam, mas sim que não se encontrem à sua esquerda. Ou seja, a

região à direita do polinómio adequado, é também ela válida para objectivos de dimensionamento.

Logo, para que tal seja garantido é necessário manipular a equação (4.7) da seguinte forma:

(4.8)

4.2. Conclusões

Nesta secção, foram efectuadas simulações que tentam apreender e quantificar os aspectos

apontados como situações críticas a que o gerador é exposto. Nomeadamente, para melhor

relacionar e quantificar a distância entre pólos e a distância entre as fiadas de magnetos, simulou-se

através de sistemas simplificados a influência que estes casos têm na quantificação do campo de

indução magnética (4.1)(4.3). De seguida, efectuaram-se simulações onde se estudou o

comportamento do campo de indução magnética nos entreferros de ar (4.5)(4.6)(4.8). Ao longo de

todas as simulações referidas anteriormente, efectuaram-se restrições que se entende não

traduzirem um efeito significativo nas quantificações obtidas. Ou seja, todas as simulações usando o

programa de elementos finitos a duas dimensões FEMM, foram efectuadas com a secção transversal

do magneto igual à secção transversal das peças de ferro. Contudo, acredita-se que as

quantificações obtidas possuem um grau de credibilidade elevado. Assim sendo, foi possível entender

o comportamento que o campo magnético adopta e, ter bases para uma optimização da dimensão

dos parâmetros do gerador.

Relativamente à escolha dos parâmetros usados nas simulações desta secção, o factor de decisão

prendeu-se nos parâmetros que convergiam para o seu limite mínimo, tanto na Tabela 3.9, como na

Tabela 3.10. Mais especificamente, através da equação (3.27), é possível observar que os

parâmetros em questão, “ ” e “ ”, se encontram numa razão. Deste modo, durante o

desenvolvimento da análise a que este capítulo se propôs, também foi utilizada tal metodologia para

relacionar a influência da distância entre pólos e a distância entre as fiadas de magnetos. Ou seja,

através de uma razão onde o numerador era o parâmetro directamente relacionável com o caso em

questão e, o denominador o parâmetro “ ”. No que consta da análise do campo magnético nos


59

entreferros de ar, a primeira simulação que relaciona o parâmetro “ ” e “ ” também foi dirigida para

ser morfologicamente semelhante à equação (3.27), pois, neste caso existe um interesse imediato na

sua comparação. No entanto, na formulação da equação (4.8), o método até agora evidenciado foi

preterido. Tal facto reside, em primeiro lugar, na existência de uma restrição que abrangesse o

parâmetro “ ”, caso contrário, este seria sempre equivalente ao seu limite inferior. Em segundo lugar,

é uma análise a duas dimensões, onde também é necessária a apresentação de uma representação

gráfica da variação do campo magnético correspondente, para uma posterior integração com um

polinómio adequado. Deste modo, apenas é possível estudar a variação de dois parâmetros em

simultâneo no programa de simulação. Por conseguinte, ao invés de se fixar o parâmetro “ ”, como

foi efectuado para as simulações que deram origem às equações (4.1) e (4.3), decidiu fixar-se o

parâmetro “ ” e variar o parâmetro “ ”. Pois, como é uma análise do comportamento do campo

magnético nos entreferros de ar, tem de existir uma variável referente à dimensão do entreferro.

Como tal, poder-se-ia ter efectuado uma nova simulação para o parâmetro “ ”, à imagem do que foi

efectuado para o parâmetro “ ”. No entanto, devido aos valores obtidos nas simulações da Tabela 3.9

e da Tabela 3.10, a dimensão do parâmetro “ ” é muito superior à dimensão do parâmetro “ ”, logo

consideram-se suficientes as simulações efectuadas.

Note-se que todas as simulações referentes ao software FEMM, sofreram alterações no tamanho em

comparação às apresentadas nas figuras desta secção. Como não é desejável que os magnetos

estejam muito próximos, a distância usada nas simulações é aproximadamente 20 vezes superior à

apresentada nas figuras.


60


61

5. Dimensionamento de um gerador linear monofásico

considerando a dispersão magnética

Uma vez que já se efectuou o dimensionamento do gerador desprezando a dispersão magnética,

introduzir-se-ão agora os aspectos abordados no estudo numérico do campo magnético do gerador

monofásico. Esta nova secção apenas difere da optimização desprezando a dispersão magnética no

estudo do circuito magnético. Logo, todas as equações referentes ao circuito eléctrico e às

propriedades geométricas são válidas.

De referir também que, além das diferenças atrás referidas apenas as restrições, valores iniciais dos

parâmetros e, consequentemente os resultados, diferem da optimização desprezando a dispersão

magnética. Assim, nesta secção será apenas apresentado o que não é semelhante à optimização da

secção 3, pois os objectivos são os mesmos, apenas diferem as condições.

5.1. Implementação do estudo numérico do campo magnético do gerador

monofásico

Sendo que o fluxo magnético já não é considerado uniforme ao longo de todo o circuito, relaciona-se

o campo magnético da peça em U, , e da peça em I, , com o dimensionamento do entreferro,

de acordo com as equações (4.5) e (4.6). É de referir que toda a simbologia adoptada para esta

secção é a estipulada na Figura 3.1.

(5.1)

(5.2)

Para terminar o dimensionamento do entreferro, basta agora relacionar o campo com a

dimensão do entreferro (parâmetro “ ”) e comprimento do magneto (parâmetro “ ”). Assim, pela

equação (4.7), sabe-se que:

(5.3)

Dimensionamento de um gerador linear monofásico considerando a dispersão magnética

62

Recuperando a equação (4.8), é possível enunciar a seguinte restrição:

(5.4)

Agora, para relacionar o campo com a influência da distância entre pólos, de acordo com a

equação (4.1), define-se:

(5.5)

Deste modo, pela equação (4.2) tem-se a seguinte restrição:

(5.6)

Avançando, pela equação (4.3), relaciona-se o campo de indução magnética com a distância

entre as duas fiadas de magnetos do translator, da seguinte forma:

(5.7)

Existindo assim, pela equação (4.4), a seguinte restrição:

(5.8)

5.2. Restrições

Uma vez que já se consideraram todas as situações críticas estudadas anteriormente, é agora

possível apresentar as restrições para esta optimização. É também de referir que as restrições de

igualdade são idênticas às da Tabela 3.8 e, por essa razão, não serão aqui apresentadas.


63

5.2.1. Restrições de desigualdade

As restrições de desigualdade encontram-se na Tabela 5.1.

Tabela 5.1 – Restrições de desigualdade da optimização considerando a dispersão magnética

Objectivo Observações Inequação

Parâmetro “ ” Aspectos geométricos

Parâmetro “ ” Aspectos geométricos

Evitar saturação

magnética

Máximo de na peça em U

Máximo de na peça em I

Restrição Dimensionamento do entreferro

Restrição Distância entre pólos

Restrição Distância entre as fiadas de magnetos

5.3. Limites das variáveis geométricas e valores iniciais

Tal como foi referido anteriormente, a optimização é um processo iterativo. Assim, existem valores

iniciais dos parâmetros que permitem ao programa de optimização uma melhor convergência.

Apresentam-se na Tabela 5.2, os limites e os valores iniciais adoptados para esta optimização para

as duas funções objectivo.

Tabela 5.2 – Limites e valores iniciais dos parâmetros principais do gerador considerando a dispersão

magnética para a optimização das duas funções objectivo


Peça em U do estator 40

Peça em U do estator 33.5



Peça em I do estator 1

Distância entre magnetos 1

Entreferro 1

Magneto 5.5

Nº espiras 50


64

5.4. Resultados da função de peso total

Apresentam-se na Tabela 5.3 os resultados obtidos para a optimização da função de peso total.

Tabela 5.3 – Resultados obtidos para a optimização da função de peso total do gerador para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética


Potência nominal

Tensão nominal










Altura do magneto

Nº espiras

Período espacial


Circuito eléctrico

Circuito eléctrico







Fluxo magnético simples na peça em U

Fluxo magnético simples na peça em I





Perdas de Joule

Rendimento

Custo total

Função a optimizar (Peso total)


65

Recorde-se que, na Tabela 3.9 os parâmetros “ ”, “ ” e “ ” convergiam para o seu limite inferior.

Analisando agora os resultados obtidos na Tabela 5.3, nota-se que apenas o parâmetro “ ”

permanece igual. Tal facto era expectável na medida em que agora foram introduzidas restrições

relativas à dispersão magnética. O parâmetro “ ” não pode ser equivalente ao seu limite mínimo para

assegurar que as linhas do campo magnético são efectivamente conduzidas através das peças

polares, ao invés de se fecharem entre outros magnetos. No caso do parâmetro “ ”, este também não

é equivalente ao seu limite mínimo para assegurar um certo grau de minimização das fugas do

campo magnético nos entreferros de ar. Deste modo, também o gerador vê o seu comprimento total

aumentado, aproximadamente, vezes comparativamente à mesma função de optimização mas

sem considerar a dispersão magnética. Consequentemente, a frequência também desce bastante.

Relativamente ao parâmetro “ ” (entreferro), também é esperado que este se fixe sempre no valor

mínimo permitido pelo intervalo de valores associados. Sabendo que com um aumento do entreferro

a relutância magnética do circuito aumenta (equação (3.20)), logo, se as dimensões do magneto

permanecerem inalteradas, o campo de indução magnética irá diminuir (equações (3.27), (4.5) e

(4.7)). Consequentemente, todas as dimensões associadas ao estator serão obrigadas a aumentar.

De forma geral, uma diminuição da dimensão do entreferro é bastante positiva para o rendimento do

gerador, tal como se verá na Figura 5.3. Contudo, devido à presença de forças parasitas no sistema e

do efeito que a temperatura provoca nos materiais, é necessário assegurar que existe um entreferro

mínimo que garante o bom funcionamento mecânico do gerador. Posteriormente, tais aspectos serão

objecto de estudo. É interessante também notar que os magnetos permanentes continuam providos

de uma geometria semelhante a um paralelepípedo, pois, é esta que garante a possibilidade da

presença de pares de pólos (fixados inicialmente) para uma unidade de comprimento menor.

A peça em I do estator continua com o seu valor do campo de indução magnética igual ao seu limite

superior de saturação. Tal facto também é aceitável e a sua justificação reside na garantia da peça

em I do estator não entrar em saturação magnética, uma vez que esta peça apenas tem a função de

fechar o circuito magnético.

No que consta do rendimento, comparativamente ao caso sem dispersão magnética, apenas desce

oito pontos percentuais. Assim sendo, considera-se um rendimento bastante aceitável.


linear monofásico de fluxo transverso com as dimensões obtidas da optimização referente à Tabela

5.3.

Com o objectivo de entender quais os parâmetros mais importantes e influentes para o

dimensionamento do gerador, fixa-se agora o valor da tensão nominal em e varia-se a

potência nominal de a . Contudo, efectuar-se-á a variação da potência nominal

referida anteriormente para dois casos distintos: com o limite mínimo do entreferro igual a , tal

como está na Tabela 5.2 e, com o limite mínimo do entreferro igual a . Apresentam-se na Figura

5.3 os resultados obtidos.


66

Figura 5.1 - Gerador linear resultante da optimização da função de peso total para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética

Figura 5.2 - Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de peso total para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética


67

Figura 5.3 – Variação da dimensão parâmetros no gerador monofásico considerando a dispersão magnética com entreferro mínimo de 0.5 cm e 1 cm


68

5.5. Discussão de resultados obtidos da optimização da função de peso total


Observando a Figura 5.3, está perfeitamente vincado o efeito que a variação da dimensão do

entreferro provoca nos vários parâmetros do gerador linear. Em primeiro lugar, o rendimento é

bastante afectado e cai, aproximadamente, dez pontos percentuais quando o entreferro adopta o seu

valor mais elevado, o que se pode considerar uma descida acentuada de rendimento. Para reforçar a

ideia anteriormente apresentada de que é mais favorável construir geradores de grandes potências,

mais uma vez se denota que o rendimento vai crescendo ao longo do aumento da potência nominal.

No que consta das duas rectas referentes às perdas de Joule, são também elas dotadas de maior

discrepância relativamente à diferença apresentada para a optimização da função de peso sem

considerar a dispersão magnética. Observando a equação (3.40) e focando a grandeza e

sensibilidade de cada parâmetro presente, é possível considerar que o comprimento total (variável

“ ”) é o que mais influencia o comprimento dos fios de cobre e, assim, as perdas de Joule. Ou seja,

para esta função de optimização, quanto maior for o comprimento total do gerador, maiores serão as

suas perdas de Joule, devido ao facto da disposição dos enrolamentos de cobre. Deste modo, ao

olhar para a variação do comprimento total ao longo do aumento da potência nominal, é possível

concluir que as curvas são, aproximadamente, constantes e que para o entreferro de o

comprimento total é, de grosso modo, o dobro do que para o entreferro de . Explica-se então

assim que as perdas de Joule para o maior entreferro, sejam também elas sensivelmente o dobro

relativamente às perdas para o menor entreferro. Em última análise também se justifica a variação

entre os rendimentos. Contudo, é de interesse sublinhar que para ambos os valores de entreferro,

com o aumento da potência nominal, o gerador não aumenta o seu comprimento total, mas sim a sua

largura e altura, parâmetros “ ” e “ ”, fruto dos parâmetros “ ” e “ ” permanecerem,

aproximadamente constantes.

Relativamente ao peso total do gerador, é agora mais evidente a diferença que o aumento dos

entreferros de ar provoca. Como a dimensão do entreferro aumenta, também a dimensão dos

magnetos aumenta para contrariar a descida do valor do campo de indução magnética presente nas

peças de ferro. Assim sendo, é possível apontar o aumento do parâmetro “ ” como a principal razão

da discrepância entre as duas rectas do peso total para cada entreferro mínimo, pois todos os

parâmetros relacionados com as dimensões das peças de ferro permanecem iguais ou, aumentam de

forma pouco substancial.

O comportamento dos restantes parâmetros e variáveis é semelhante ao analisado na secção relativa

à optimização da função de peso desprezando a dispersão magnética. Contudo, comparativamente, a

sua dimensão é maior, tal como seria de esperar.


69

5.6. Resultados da função de custo total

Apresentam-se na Tabela 5.3 os resultados obtidos para a optimização da função de peso total. No

Anexo D é possível encontrar o respectivo código MATLAB®.

Tabela 5.4 - Resultados obtidos para a optimização da função de custo total do gerador monofásico para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética


Potência nominal

Tensão nominal





Magneto / Peça em U do estator Limite máximo





Altura do magneto

Nº espiras

Período espacial


Circuito eléctrico

Circuito eléctrico







Fluxo magnético simples na peça em U

Fluxo magnético simples na peça em I





Perdas de Joule

Rendimento

Peso total

Função a optimizar (Custo total)


70

Analisando a Tabela 5.4, é possível concluir que os parâmetros directamente relacionáveis com as

peças do estator, ou seja, de ferro, aumentaram consideravelmente de dimensão comparativamente

à função da Tabela 5.3. No entanto, tal facto já se tinha verificado na comparação das duas funções

de optimização em causa, desprezando a dispersão magnética. Devido à introdução das restrições

estudadas na secção do cálculo numérico do campo magnético, o parâmetro “ ” deixou de convergir

para o seu limite mínimo e o parâmetro “ ” aumentou, sensivelmente, oito vezes. Tais factos resultam

num aumento acentuado do comprimento total da máquina, que provoca uma redução da frequência.


linear com as dimensões obtidas da optimização referente à Tabela 5.4.

Recuperando a Tabela 3.11, estão todas as combinações possíveis dos preços na Tabela 5.5.

Tabela 5.5 – Variações dos intervalos dos custos específicos dos materiais

Caso

1

2

3

4

5

6

7

8

Através da análise da tabela Tabela 3.12, onde se encontram definidos os preços de todos os casos

de custos considerados para o gerador de , é possível concluir que os preços mais elevados

coincidem com os casos nos quais o preço do ferro é máximo.

Tabela 5.6 – Indicação do valor da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética

108740 120030 109410 120550

112830 124260 113510 124800

Para melhor entender a variação dos parâmetros do gerador, fixa-se agora o valor da tensão nominal

em e varia-se a potência nominal de a e, consideram-se todos os casos

da Tabela 5.5. Apresentam-se na Tabela 5.6 os resultados obtidos.


71

Figura 5.4 - Gerador linear resultante da optimização da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética

Figura 5.5 - Pormenor do gerador linear resultante da optimização da função de custo total para uma potência nominal de 500 kW considerando a dispersão magnética


72

Figura 5.6 - Variação da dimensão parâmetros no gerador monofásico considerando a dispersão magnética para todos os casos de custos específicos


73

5.7. Discussão dos resultados obtidos da optimização da função de custo

total considerando a dispersão magnética

Através da análise dos vários casos presentes na Figura 5.6 é possível observar a variação e

sensibilidade dos parâmetros do gerador linear. Em primeiro lugar, é possível concluir que a variação

dos custos específicos não provoca uma alteração significativa no dimensionamento dos parâmetros.

Começando pelo rendimento, verificam-se dois grupos de resultados que convergem para dois

valores distintos. A diferença entre os dois grupos centra-se no facto de que um grupo é referente aos

casos onde o custo do ferro, , é mínimo e outro é relativo ao seu máximo, o que corresponde ao

caso do rendimento superior e ao caso do rendimento inferior, respectivamente. Contudo, a diferença

entre os rendimentos obtidos é, aproximadamente, , um valor bastante baixo. Mais uma vez se

conclui que, devido ao facto dos rendimentos serem crescentes com o aumento da potência, é mais

propícia a construção deste tipo de geradores para altas potências do que ao invés. Focando agora o

efeito que as restrições referentes à dispersão magnética provocaram no rendimento, adianta-se que

tais factos se podem traduzir numa redução de, sensivelmente, quatro pontos percentuais, o que é

um resultado melhor do que o registado para a função de peso total.

Recorda-se agora que, aquando da análise desta função desprezando a dispersão magnética, se

concluiu que cada parâmetro directamente relacionável com um material do gerador, seria regido pelo

custo desse mesmo material (à excepção dos parâmetros “ ”, “ ” e “ ”). Contudo, tal conclusão não é

possível ser evocada quando se consideram os efeitos da dispersão magnética. Nomeadamente,

todos os parâmetros, sem excepção, vão ser sensíveis apenas ao custo . Por exemplo, o

parâmetro “ ”, exclusivo da geometria descritiva dos magnetos permanentes, tem uma dimensão

maior nos quatro casos que contemplam um valor inferior de e, uma dimensão menor para os

casos contrários. Considerando o caso referente à sua maior utilização, esta coincide com a maior

dimensão dos parâmetros referentes ao dimensionamento da peça em U do estator. Assim sendo,

uma vez que o parâmetro “ ” é equivalente ao seu limite máximo e, dado que o parâmetro “ ”

aumenta, tais factos resultam num aumento da secção transversal da peça de ferro em causa, o que

em últimas instâncias evita a saturação magnética da peça. Logo, como um aumento do parâmetro

“ ” induz um aumento do campo magnético, o facto de esta situação coincidir com uma maior secção

transversal, é simplesmente para corresponder à restrição imposta na tensão gerada e aproveitar o

facto da peça de ferro não saturar tão facilmente. Todos os restantes parâmetros têm o mesmo tipo

de comportamento à excepção dos parâmetros “ ” e “ ”, onde ambos têm uma menor dimensão para

o caso onde o é o menor possível, possuindo assim um comportamento oposto aos restantes

parâmetros. No que consta do parâmetro “ ”, que decresce com o aumento da potência devido à

necessidade de aumentar a corrente, como já foi discutido anteriormente, é inferior nos casos onde a

dimensão dos parâmetros do ferro do estator (neste caso “ ” e “ ”) são superiores devido à restrição

imposta na tensão, o que está de acordo com a equação (3.31). Relativamente ao parâmetro “ ”, que

é um dos dois parâmetros que define a área disponível para o circuito eléctrico, deve ser analisado

conjuntamente com o parâmetro “ ” e não isoladamente. Como uma menor dimensão do parâmetro


74

“ ” corresponde a uma maior dimensão do parâmetro “ ” e vice-versa, é devido ao preço do cobre que

esta função de optimização tenta minimizar a sua utilização, daí o comportamento distinto do

parâmetro “ ”.

5.8. Conclusões

Nesta secção foram introduzidas e aplicadas as restrições obtidas através do estudo numérico do

campo magnético. Assim sendo, como se trata de uma optimização em diferentes condições das

efectuadas na secção 3, foi também necessário encontrar novos valores iniciais que garantissem uma

rápida convergência do programa de optimização, por se efectuarem processos iterativos.

Posteriormente, foi efectuada a optimização da função de peso total nas novas condições e, devido à

análise conjunta dos resultados obtidos para as duas dimensões do entreferro consideradas, foi

possível observar os efeitos que o aumento desta dimensão induz. Assim sendo, identificou-se o

comprimento total do gerador como principal factor para o aumento das perdas de Joule e posterior

decaimento do rendimento. De seguida efectuou-se o mesmo para a optimização da função de custo

total. Através da observação dos resultados obtidos para os vários casos dos preços específicos,

denota-se que todos os parâmetros são agora sensíveis apenas à variação do custo específico do

ferro, , o que contraria os resultados da optimização desta mesma função desprezando a

dispersão magnética. Contudo, a variação dos custos específicos continua a não oferecer uma

grande alteração ao dimensionamento dos parâmetros.

Todavia, existe agora um facto que contradiz o que foi concluído para a análise da função de peso

total desta secção. Tal como foi referido, observou-se que um aumento do comprimento total do

gerador era responsável por maiores perdas de Joule e, em última instância, o factor que faria o

rendimento ser menor, de acordo com a equação (3.40). Considerando o resultado obtido para o caso

onde o entreferro mínimo era de , a sua curva do rendimento é inferior em cerca de seis pontos

percentuais, quando comparada com a curva obtida na optimização da função de custo. De referir

apenas que foi escolhido o entreferro de da função de peso total, uma vez que a função de

custo total apenas contempla esse valor para a dimensão do entreferro. Focando agora a curva

referente ao comprimento total do gerador da função de custo, é possível observar que para a

potência inicial é superior em, aproximadamente, e para a potência final a diferença chega a,

sensivelmente, , comparativamente ao comprimento total da função de peso total. Ou seja,

e , respectivamente (do comprimento total da função de peso). Logo, através das

conclusões para a função de peso, seria de esperar que esta oferecesse rendimentos maiores do que

a função de custo pois, esta última apresentava comprimentos totais muito superiores. No entanto, a

equação (3.40) pode ter uma dupla análise. Ou seja, para a função de custo, os parâmetros que mais

influenciam as perdas de Joule e, posteriormente, o rendimento, são os parâmetros que delimitam a

área disponível para o circuito eléctrico, os parâmetros “ ” e “ ”. Assim, está justificado o maior

rendimento obtido para a optimização da função de custo total.


75

6. Efeitos das forças de origem magnética e da temperatura num

gerador linear monofásico

6.1. Análise dos efeitos das forças de origem magnética no gerador

monofásico

Para sistemas de estrutura fixa com partes móveis, existem perdas aquando da conversão de energia

mecânica para energia eléctrica. Devido à presença de entreferros entre o estator e o translator e das

não idealidades dos materiais constituintes, parte do campo magnético envolvido na conversão

dispersa-se. Quando o campo magnético se dispersa, essa dispersão leva à criação de forças

parasitas que não contribuem para o processo de conversão de energia. Essas forças de origem

magnética irão agora ser alvo de estudo com o objectivo de serem quantificadas para melhor

dimensionar os parâmetros dos materiais que formam o gerador. Este capítulo centrar-se-á sobretudo

nos efeitos que as forças de origem magnética produzem (nas peças de ferro do estator e no

translator), assim como as implicações que daí advêm.

Existem dois tipos de forças entre a estrutura móvel e a estrutura fixa: uma é a força normal

responsável pela atracção entre o magneto e o ferro e, a outra força presente é a que surge na

tendência de alinhamento entre o magneto e a peça polar. Ambas as forças referidas são

influenciadas por dois tipos de movimentos dos magnetos em relação à peça polar: o movimento

segundo o eixo de translação (Figura 6.1 (a)) e o movimento perpendicular ao eixo de translação

(Figura 6.1 (b)). Assim, deste modo, durante o movimento do translator, é expectável que este sofra

acelerações ou travagens [13][16]. É também de referir que toda a simbologia relacionada com os

parâmetros do gerador monofásico usados nesta secção, está em concordância com a Figura 3.1.

Figura 6.1 – Representação dos movimentos MSET (a) e MPET (b)

Efeitos das forças de origem magnética e da temperatura num gerador linear monofásico

76

Devido às forças de atracção entre os magnetos e as peças do estator, também ocorrem fenómenos

de elasticidade que podem ser exprimidos pela lei de Hooke aplicada a materiais [23]. Ou seja, o ferro

do estator vai sofrer deformações elásticas. Assim sendo, é de todo o interesse quantificar qual a

variação do comprimento das peças do estator uma vez que este fenómeno influenciará a dimensão

do entreferro.

O módulo de Young, , é uma propriedade intrínseca do material que indica a medida da rigidez

do mesmo. Este pode ser obtido através da razão entre a tensão exercida e a deformação

elástica sofrida pelo material (adimensional) [23]:

(6.1)

(6.2)

Onde, de modo genérico, é a força a que o material está sujeito, é a área da secção na

qual é exercida a tensão, é a variação do comprimento e, por fim, é o comprimento

inicial do material. Analisando ainda a equação (6.2) conclui-se que a variação do comprimento,

depende directamente da força exercida e do comprimento inicial do material.

De acordo com [16], o movimento MPET efectuado pelos magnetos em relação à peça polar não

provoca nenhuma variação de fluxo. Assim, a energia magnética mantém-se constante, o que resulta

numa força de origem magnética nula para este tipo de movimento.

Analisando agora o movimento MSET, é necessário saber qual o ponto crítico que provoca uma

maior força nas peças de ferro e, consequentemente uma maior extensão nas suas dimensões.

Deste modo, através do software de simulação FEMM que calcula as forças a que o sistema está

sujeito pelo tensor de Maxwell, analisou-se o comportamento das forças num sistema simplificado

semelhante ao da Figura 4.4. Para esta análise considerou-se o parâmetro “ ” fixo e igual a , o

parâmetro “ ” fixo e igual a e o parâmetro “ ” fixo e equivalente a . Contudo, considerou-

se que o magneto correspondente à fiada superior se afastaria progressivamente, num movimento

ascendente, da peça polar e que o mesmo seria efectuado pelo magneto da fiada inferior mas, num

movimento descendente, de modo a simular o movimento MSET onde os magnetos se afastam das

peças polares. Assim, considerou-se apenas as forças incidentes na peça em U, uma vez que a força

incidente na peça em I do estator do gerador, possuirá um comportamento aproximadamente

idêntico. Assim, foi possível efectuar a Figura 6.2.


77

Figura 6.2 – Variação da força de origem magnética incidente na peça em U do estator do gerador monofásico em ordem ao afastamento segundo o movimento MSET

Analisando a Figura 6.2 é possível compreender que durante o movimento MSET, as peças de ferro

do estator ficam sujeitas a uma força de origem magnética maior quando os magnetos estão

perfeitamente incidentes com as peças do estator. Ou seja, quando o campo magnético presente nas

peças do estator é mais alto.

Prosseguindo, vai agora procurar quantificar-se a dimensão das forças de origem magnética e

relacioná-las com a geometria do magneto e o entreferro, ou seja, com os parâmetros “ ” e “ ”,

respectivamente. Para estas simulações utilizar-se-á um sistema simplificado idêntico ao da Figura

4.7. Recorreu-se ao software de simulação de elementos finitos de duas dimensões FEMM, que

calcula as forças a que o sistema está sujeito através do tensor de Maxwell. Assim, dimensionou-se a

espessura de todos os elementos deste sistema para e é possível observar na Tabela 6.1 os

limites das variações dos parâmetros em questão, assim como as restrições impostas.

Tabela 6.1 - Limites e restrições dos parâmetros na análise das forças magnéticas no MSET


Altura do magneto

Entreferro

Peça de ferro em U

Peça de ferro em I

Distância entre fiadas


78

Encontra-se no Anexo E todo o código LUA script usado na simulação em questão.

De acordo com o sistema de eixos adoptado na Figura 6.1, calculou-se separadamente, segundo o

eixo e o eixo , as forças a que as duas peças do estator (em forma de U e em forma de I) estão

sujeitas. Deste modo, foi possível realizar a Figura 6.3, onde se relaciona o parâmetro “ ”, o

parâmetro “ ” e a força segundo a que a peça em forma de U do estator se encontra sujeita, .

Esta última encontra-se relacionada com as cores da barra à direita do gráfico, pois esta indica a

medição em Newtons para a grandeza em questão.

Figura 6.3 – Curvas de nível da força

Analisando a Figura 6.3 é possível constatar que a força , com que a peça polar em forma de U é

atraída pelo magneto, é inversamente proporcional à dimensão do entreferro e directamente

proporcional à dimensão do parâmetro “ ”. Ou seja, é maior quanto maior for o campo de indução

magnética nas peças do estator.

Sendo a pressão a grandeza física que mede a força por unidade de área, para se obterem

resultados uniformizados e independentes da secção transversal da peça polar, basta dividir os

resultados obtidos pelas simulações que deram origem à Figura 6.3, pela respectiva secção de área

transversal. Deste modo, vai-se relacionar a pressão da força segundo a que a peça polar em forma

de U está sujeita, , com as dimensões do parâmetro “ ” e do parâmetro “ ”. Para se relacionarem

matematicamente as grandezas atrás referidas, efectuou-se a Figura 6.4 onde um eixo é referente ao

e o outro é referente à razão entre os dois parâmetros considerados. De referir também que se

considerou que, no máximo, a dimensão do entreferro é igual à do parâmetro “ ”, daí o eixo referente


79

à divisão entre os parâmetros ter como valor máximo . Foi considerada esta restrição para se obter

uma malha mais refinada para o polinómio adequado dentro dos valores referidos.

Figura 6.4 - Equação de aproximação à variação da pressão

Efectuou-se assim através do software MATLAB® a Figura 6.4 e, pela aplicação Ezyfit, foi encontrado

um polinómio adequado à curva da variação da pressão . Supondo que:

pode definir-se a pressão como uma função de :

(6.3)

De modo análogo, também se verificaram para mesma peça e para a posição considerada crítica do

movimento MSET, as forças de origem magnética segundo o eixo , , adoptando o sistema de

eixos da Figura 6.1. Contudo, devido à ordem de grandeza dos valores de serem completamente

desprezáveis relativamente a , a força não será considerada.


80

Focando agora a peça em I do estator, pode ser feita uma análise análoga à efectuada para a peça

em U. Será assim utilizado o mesmo sistema simplificado usado nas simulações anteriores e, recorre-

se às mesmas ferramentas de cálculo, utilizando também os mesmos limites e restrições.

A primeira e a segunda lei de Newton evocam que todas as partes de um sistema em equilíbrio

também estão em equilíbrio e, que a aceleração destes sistemas é nula [18][23], respectivamente. Se

foi considerado que tinha valores positivos, então agora a força exercida na peça em I do estator

do gerador monofásico de fluxo transverso segundo o eixo para a posição considerada crítica do

movimento MSET, , terá então os seus valores negativos para o sistema ser válido perante as leis

acima enunciadas [23]. No entanto, para melhor observação e comparação das figuras obtidas,

continuar-se-á a apresentar todos os valores de positivos, ou seja, em módulo.

Apresenta-se de seguida a Figura 6.5, onde se relacionam os parâmetros “ ” e “ ” e a força . Esta

última encontra-se relacionada com as cores da barra à direita do gráfico, pois esta indica a medição

em Newtons para a grandeza em questão.

Figura 6.5 – Curvas de nível da força (em módulo)

Analisando a Figura 6.5 constata-se que a peça em I do estator do gerador está sujeita a forças de

origem magnética que têm um comportamento semelhante a .

Tal como foi efectuado anteriormente, procurar-se-á agora relacionar matematicamente a pressão da

força , , com a razão dos parâmetros “ ” e “ ”. Elaborou-se assim um gráfico, apresentado na

Figura 6.6, onde se colocou também a pressão apenas para efeitos de comparação imediata.


81

Figura 6.6 – Curva da variação de e de

Através da análise da Figura 6.6, é possível denotar que ambas as curvas têm o mesmo

comportamento, ou seja, a pressão é maior quanto menor for a dimensão do parâmetro “ ”

relativamente ao parâmetro “ ”. Por outro lado, é possível concluir que em termos de amplitude, as

curvas atingem valores bastante semelhantes. Contudo, é visível que a curva relativa à pressão é

sempre superior à pressão . Logo, como esta secção tem o objectivo de estudar as forças de

origem magnéticas a que o sistema está sujeito, visto que é superior a , para dimensionar o

entreferro deverá usar-se a equação (6.3). Assim, deverá garantir-se um entreferro mínimo para que

o gerador suporte as forças exercidas e, possua um funcionamento normal. Também será

desprezada a força segundo o eixo para a peça em I do estator, , segundo o eixo de

coordenadas da Figura 6.1, por apresentar um comportamento semelhante e uma mesma ordem de

grandeza que .

Para completar a análise do efeito das forças magnéticas do movimento MSET para todos os

elementos, basta apenas verificar os magnetos. Efectuando uma simulação idêntica às que se

realizaram para quantificar a força exercida nas peças de ferro do estator, efectuar-se-á agora de

modo análogo para os magnetos, usando todas as restrições anteriormente referidas assim como o

mesmo programa de simulações de elementos finitos. Apresenta-se na Figura 6.7 a pressão ,

da força exercida num magneto segundo o eixo , . De referir que na Figura 6.7 os resultados

são apresentados em módulo pelas razões anteriormente referidas.


82

Figura 6.7 - Equação de aproximação à variação da pressão

Assim, através do software MATLAB® e da aplicação Ezyfit, foi encontrado um polinómio adequado à

curva da variação da pressão . Ou seja, supondo que:

pode definir-se a pressão como uma função de :

(6.4)

Deste modo, é possível dimensionar o entreferro e o material de que é feito o translator, uma vez que

tem de ser capaz de suportar as forças a que os magnetos estão sujeitos. De referir também que a

força exercida num magneto segundo o eixo , , também possui valores desprezáveis em

comparação com . Deste modo também será desprezada à semelhança de todas as forças de

origem magnética orientadas segundo o eixo .

Assim sendo, já se efectuou uma análise sobre a quantificação das forças de origem magnética no

sistema do gerador monofásico para que o estator não sofra deformações mecânicas ou atinja a

tensão de ruptura, ou seja, para não sofrer deformações permanentes ou fracturas.


83

Observa-se agora a morfologia do pólo do gerador monofásico de fluxo transverso presente na Figura

2.1 mas, de uma vista superior e, considera-se que ambos os lados do estator estão fixos em

estruturas de suporte que impedem movimentações em ambas as peças, tal como está exemplificado

na Figura 6.8.

Figura 6.8 – Representação da deformação elástica no ferro do estator do gerador monofásico

Sabendo que existe uma força de atracção entre a peça de ferro em forma de U e o magneto, já

nomeada anteriormente por , e que esta vai ser responsável por uma extensão do comprimento da

peça de ferro, torna-se assim necessário quantificar essa extensão.

Adoptando a simbologia da Figura 6.8, é possível modificar a equação (6.1) de modo a calcular a

extensão da peça de ferro em U. Supondo que a área transversal de todos os elementos é

efectuada pelo produto dos parâmetros “ ” e “ ”, pode definir-se a força em função da pressão

, quantificada em (6.3), da seguinte forma:

É possível então calcular a extensão :

(6.5)

Onde é o comprimento da peça de ferro e é o módulo de Young do material em questão.

Logo, o entreferro resultante será a diferença do entre a extensão e o parâmetro “ ” original.

Contudo, considerando que existe um entreferro mínimo que garante o bom funcionamento do

gerador designado por , será necessário garantir a seguinte condição:

(6.6)

Verifica-se apenas o entreferro do lado da peça em U uma vez que, tal como se pode constatar em

(6.5), a extensão do material é directamente proporcional ao seu comprimento original e,

consequentemente, um cálculo idêntico para a peça de ferro em I resultaria numa extensão menor do

material.


84

Considerando agora a extensão do magneto no sentido da peça polar no gerador monofásico de fluxo

transverso, também existirá uma força, , de sentido contrário ao de que provocará uma

extensão nas dimensões do magneto. É possível modificar a equação (6.1) de modo a calcular a

extensão do magneto. Supondo que a área transversal de todos os elementos é efectuada pelo

produto dos parâmetros “ ” e “ ”, pode definir-se a força em função da pressão ,

quantificada em (6.4):

Assim, calcula-se a extensão da seguinte forma:

(6.7)

Onde é o comprimento inicial do magneto e é o módulo de Young do material em questão.

Considerando, para o gerador monofásico tanto uma extensão do ferro como uma extensão dos

magnetos, actualizando a equação (6.6), ficará então:

(6.8)

6.1.1. Verificação analítica da influência das forças de origem magnética no sistema

Apenas para efeitos de cálculo, vão agora adoptar-se os valores dos parâmetros “ ”, “ ” e “ ” da

Tabela 5.3, ou seja, , e , respectivamente. Considera-se que a constante de

Young do ferro do estator é [23] e a do magneto é [23].

Analisando em primeiro lugar a extensão do ferro do estator, é necessário calcular a força a que a

peça em forma de U do estator está sujeita. Assim, de acordo com (6.3):

Agora, para calcular a extensão da peça de ferro , utiliza-se a equação (6.5):

Efectuando um cálculo análogo para a extensão do magneto, através da equação (6.4) é possível

calcular a força de origem magnética a que os magnetos estão sujeitos:


85

Para calcular a extensão de um magneto usa-se a equação (6.7):

De acordo com a restrição imposta pela equação (6.8), considerando, por exemplo, um entreferro

mínimo de e impondo um factor de segurança de , tem-se:

Assim, analisando este caso, conclui-se que as forças de origem magnética não provocariam danos

na estrutura do gerador, viabilizando assim o seu correcto funcionamento. Está então justificada a

necessidade de não ser introduzida uma restrição relativa aos efeitos das forças de origem

magnética. É de referir também que apenas se efectuaram os cálculos do resultado da optimização

da função de peso total, no entanto, segundo os dados aqui obtidos e os valores dados pela

optimização da função de custo total, a conclusão seria semelhante.

Para se obter uma melhor ideia da extensão da dimensão dos materiais, apresentar-se-ão agora as

extensões e em pontos percentuais dos parâmetros “ ” e “ ”, respectivamente. Assim sendo,

tem-se:

É possível concluir que, para as dimensões do gerador em questão, este tipo de forças parasitas não

afecta o bom funcionamento mecânico.


86

6.2. Análise dos efeitos térmicos no sistema

Na secção anterior foi efectuada uma análise à extensão do ferro e dos magnetos devido a forças de

origem magnética. Contudo, as extensões do ferro do estator e dos magnetos não provêm apenas de

forças parasitas mas também da temperatura. Logo, é necessário efectuar um estudo relativo às

dilatações térmicas que o material sofre e as consequências associadas para o funcionamento do

gerador monofásico.

As características de magnetização dos materiais ferromagnéticos dependem também da

temperatura. Se a temperatura exceder um certo valor, os materiais deixam de possuir as suas

propriedades magnéticas. É a chamada temperatura de Curie. Por outro lado, a produção de energia

a partir do gerador em questão depende da intensidade do campo magnético coercitivo do magneto,

que, por sua vez, é dependente e inversamente proporcional à temperatura. Assim, temperaturas

altas não vão apenas aumentar o risco de desmagnetização dos magnetos mas também influenciam

a produção de energia [26].

Durante o funcionamento do gerador, devido às perdas existentes na conversão de energia,

especialmente nas perdas de Joule nos enrolamentos de cobre, a temperatura vai aumentar.

Contudo, devido à topologia adoptada para o gerador monofásico em questão, grande parte da

superfície do gerador está em contacto com uma fonte fria, permitindo assim uma maior dissipação

de calor. No entanto, uma grande parte do calor é transformada em energia térmica e posteriormente

dissipada no ferro do estator.

Os magnetos de neodímio-ferro-boro funcionam até temperaturas máximas de º , contudo, para

serem eficientes a temperaturas superiores a º o seu preço é muito superior [25]. Assim sendo,

considera-se que a temperatura máxima que os magnetos podem atingir é º . A temperatura de

Curie do ferro do estator é aproximadamente º [23]. Assim sendo, considerando que o ferro do

estator atinge a temperatura máxima de º , devido aos aspectos referidos anteriormente, é

possível quantificar a expansão que este sofre.

Considera-se apenas uma expansão térmica unidimensional. Observando e adoptando a simbologia

da Figura 6.8, definindo a expansão térmica com o mesmo sentido da expansão devido a forças de

origem magnética e com a nomenclatura , é possível quantificar a expansão térmica da seguinte

forma [23]:

(6.9)

Onde é o coeficiente de dilatação linear [(º )-1

],o parâmetro “ ” é o comprimento inicial e original da

peça de ferro e, por fim, é a variação de temperaturas [º ], ou seja, a diferença entre a

temperatura final e a temperatura inicial. Sabendo que para o tipo de ferro do estator em questão é

aproximadamente [(º )-1

], considerando uma temperatura ambiente de º [24], a


87

variação de temperatura será a diferença entre a temperatura máxima adoptada e a temperatura

ambiente, ou seja, º º º . Logo:

(6.10)

Assim, usando novamente a simbologia adoptada na Figura 6.8, o entreferro resultante será a

diferença entre a extensão térmica e o entreferro original. Contudo, considerando que existe um

entreferro mínimo que garante o bom funcionamento do gerador designado por , será necessário

garantir a seguinte condição:

(6.11)

Para dimensionar o entreferro, utilizou-se uma vez mais neste estudo apenas a peça do estator

monofásico em forma de U, pois, através de (6.10) é possível concluir que a expansão térmica é

directamente proporcional ao comprimento inicial da peça. Assim sendo, considerando um entreferro

de dimensões idênticas dos dois lados do magneto, despreza-se a expansão térmica que a peça em I

do estator sofre. Analogamente, para quantificar as dilatações térmicas que o magneto pode sofrer,

considera-se um coeficiente de dilatação linear [(º )-1

] [23]. Assim, através da equação

(6.9) e considerando uma variação idêntica de temperaturas, é possível quantificar a expansão das

dimensões do magneto, , da seguinte forma, usando a simbologia adoptada na Figura 6.8:

(6.12)

Actualizando agora a equação (6.11), ficará então:

(6.13)

Deste modo, é possível quantificar as expansões térmicas que o ferro do estator e que cada magneto

são sujeitos.

6.2.1. Verificação analítica da influência da temperatura no sistema

Adoptam-se, novamente, os valores dos parâmetros “ ”, “ ” e “ ” da Tabela 5.3, ou seja, ,

e , respectivamente. Considera-se, tal como se referiu anteriormente, uma temperatura

mínima de º e uma temperatura máxima de º . Logo, a partir da equação (6.9) é possível

calcular a dilatação térmica da peça em U do estator, :


88

Calcula-se agora, do mesmo modo, a dilatação térmica do magneto, , dada pela equação

(6.12):

De acordo com a restrição expressa na equação (6.13) e considerando, tal como anteriormente, um

factor de segurança de e um entreferro mínimo de , tem-se:

Desta forma, considera-se não ser necessário a introdução de uma restrição relativa à expansão

térmica. Este tipo de efeito afecta de forma mais relevante outro tipo de geradores do que o aqui em

questão. É de referir também que apenas se efectuaram os cálculos do resultado da optimização da

função de peso total, no entanto, segundo os dados aqui obtidos e os valores dados pela optimização

da função de custo total, a conclusão seria semelhante.

Para se obter uma melhor ideia da dilatação térmica dos materiais, apresentar-se-ão agora as

dilatações e em pontos percentuais dos parâmetros “ ” e “ ”, respectivamente. Assim

sendo, tem-se:

Assim, é possível concluir que, para as dimensões do gerador em questão, os efeitos térmicos apesar

de serem mais relevantes que as forças parasitas, continuam a não afectar o bom funcionamento

mecânico.


89

6.3. Conclusões

Neste capítulo foram efectuadas simulações que procuram retratar a influência que as forças de

origem magnética e que a temperatura têm no gerador e, consequentes influências relativas ao seu

funcionamento mecânico. Para tal, efectuou-se uma análise à expansão das peças do estator e dos

magnetos devido a forças parasitas (6.5)(6.7) e, por fim, uma análise à expansão térmica dos

mesmos materiais (6.10)(6.12).

No que consta das extensões quer por efeito de forças parasita quer por efeitos térmicos, o ferro

expande-se para todas as direcções, assim como os magnetos. No entanto, apenas foi considerada a

expansão numa direcção por ser a maior dimensão e a que mais influencia o funcionamento do

gerador, uma vez que interfere com o dimensionamento dos entreferros. Contudo, se for considerada

uma expansão tridimensional, tal facto provocará que o magneto não possua a mesma secção

transversal do que as peças de ferro em U do estator. Assim sendo, como se considerou como

restrição no estudo numérico do campo magnético do gerador monofásico uma igualdade entre as

suas secções transversais, uma expansão tridimensional dos materiais levaria a uma variação de

resultados na quantificação do campo de indução magnética na referida secção. No entanto, através

das verificações analíticas que se efectuaram no presente capítulo para as forças de origem

magnética e para os efeitos térmicos, foi possível concluir em ambas que a ordem de grandeza das

extensões dos materiais é muito inferior à ordem de grandeza do comprimento inicial. Assim sendo,

acredita-se que devido às razões anteriormente apresentadas, mesmo considerando a restrição de

igualar as secções transversais da peça de ferro em U e dos magnetos, os resultados obtidos na

secção do estudo numérico do campo magnético possuem um grau de veracidade elevado. Para

reforçar esta ideia, foi também feita uma análise em termos percentuais tanto para o efeito das forças

parasitas como para a temperatura e, além desta última induzir resultados mais expressivos do que a

primeira, as grandezas desses valores são muito inferiores aos valores iniciais dos parâmetros da

peça em U e dos magnetos. Assim sendo, esses valores são praticamente desprezáveis para este

tipo de gerador.

Na execução da análise dos efeitos da temperatura, foi considerado um limite inferior e superior que a

temperatura poderia atingir. Contudo, caso não fosse feita esta simplificação, esta análise térmica

seria de muito maior complexidade, pois, a temperatura estaria relacionada com as perdas de Joule

e, estas últimas são proporcionais ao quadrado da densidade de corrente .


90


91

7. Conclusões

7.1. Conclusões finais

Com esta dissertação procurou-se dar mais um contributo para o conhecimento do gerador linear de

fluxo transverso. Nomeadamente, tentou analisar-se o comportamento e medir a sensibilidade dos

parâmetros que definem o gerador. Contudo, existem ainda alguns aspectos a ter em consideração.

Ou seja, como base de todas as optimizações e como foi definido nos objectivos desta dissertação, a

velocidade linear do gerador seria de . Assim sendo, comparativamente a um gerador rotativo

convencional, o gerador linear precisa de ter uma maior dimensão física [19]. Considerando as

melhores condições possíveis e apenas as optimizações onde foram inseridas restrições

relativamente à dispersão magnética, o comprimento total do gerador era de, aproximadamente,

e , para a função de peso total e função de custo total, respectivamente. No entanto, focando os

altos rendimentos obtidos ( e , respectivamente), o seu comprimento total é bastante

aceitável. Considera-se também que a análise envolvendo os dois valores do entreferro mínimo na

optimização da função de peso total (Figura 5.3), foi bastante esclarecedora no que consta à

avaliação da sensibilidade dos parâmetros com mais influência no rendimento. Tal como foi expresso

na respectiva secção, o comprimento total é determinante para a avaliação das perdas de Joule e,

consequentemente, do rendimento. Um facto que também merece destaque é o de, na optimização

da função de peso total, existir um comprimento total mínimo, tutelado pelas restrições relativas à

dispersão magnética impingidas, especialmente, para os parâmetros “ ” e “ ” e, mesmo com o

aumento da potência nominal, esse comprimento mantém-se constante à custa do crescimento em

largura e altura do gerador. De modo contrário, no caso da optimização da função de custo total, os

parâmetros com mais importância para o comportamento do rendimento são os que delimitam a área

disponível do circuito eléctrico, ou seja, os parâmetros “s” e “t” ou, em última instância, a secção do

fio de cobre, se for adicionada a esta análise o parâmetro “ ”. Ainda para a função de peso total,

relativamente à sua definição, salienta-se a dificuldade em obter preços específicos e dados actuais

mesmo depois de contactadas algumas empresas da especialidade. Logo, para a aproximação a um

custo real, seria necessária além da introdução dos custos de manutenção e disponibilidade dos

materiais de construção, o custo do transporte, da assemblagem e instalação, um custo associado às

licenças e permissões e, por fim, o custo de todos os componentes necessários para a integração na

rede eléctrica nacional da energia produzida. Este último custo está associado com a variação da

velocidade das ondas que implica que a corrente gerada tenha de ser, primeiramente, rectificada e,

posteriormente invertida antes da sua injecção na rede. Relativamente à secção da análise das forças

de origem magnéticas e dos efeitos térmicos, conclui-se que apenas são relevantes para geradores

de muito maior dimensão do que o aqui em questão. Ainda para os efeitos térmicos, mesmo que em

condições reais os limites da temperatura sejam diferentes dos adoptados, devido ao contacto deste

Conclusões

92

gerador com uma fonte fria e também devido à disposição morfológica dos enrolamentos de cobre, a

dissipação da energia térmica concentrada no estator pode ser efectuada de forma mais eficiente.

Neste trabalho foi possível efectuar o dimensionamento de um gerador linear para que este seja

robusto e competitivo economicamente. Espera-se assim que a redacção deste documento e as

ilações dele retiradas, sirvam de guia à construção de futuros protótipos e de base a futuras

optimizações. Contudo, o estudo e concepção deste tipo de gerador deve ser entendido numa

perspectiva que integre contribuições da electrotecnia, da mecânica e também da oceanografia.

7.2. Trabalhos futuros

Dado que a morfologia dos pólos é preponderante no dimensionamento do gerador, sendo que as

linhas do campo magnético, ao contrário do que se considerou nesta dissertação, não se distribuem

uniformemente ao longo de toda a secção transversal da peça polar, é necessário encontrar a

geometria das peças polares que melhor se adapta a esse facto. Através da análise da Figura 4.7 é

possível observar o que foi anteriormente referido. Ou seja, é notório que as linhas do campo

magnético se concentram mais nos cantos interiores da peça em U e na parte central interior da peça

em I do estator. Assim sendo, nesses pontos, a secção transversal pode ser reduzida. Contudo, é

necessário garantir que não se atinge o estado de saturação magnética. Na Figura 7.1 está proposta

uma nova morfologia dos pólos do gerador que, em primeira análise, diminuirá tanto seu custo total

como o seu peso total, na medida em que menos ferro é utilizado. É de referir que esta morfologia já

foi abordada em [11]. Todavia, este novo tratamento a que as peças do estator estarão sujeitas, deve

ser inserido e contabilizado no custo específico do ferro.

Figura 7.1 – Sugestão da morfologia para um par de pólos do gerador linear monofásico


93

A função usada em todos os processos de optimização através do programa comercial MATLAB® foi

a função fmincon. Esta, tal como já foi referido na secção 3, é um processo iterativo que calcula o

mínimo de determinada função segundo as restrições impostas. No entanto, apesar de existir uma

certa gama de valores iniciais dos parâmetros da função a minimizar que garantem uma mais rápida

convergência, não é absolutamente garantido que o mínimo encontrado é o absoluto. Assim sendo, a

utilização de outras funções de optimização além da indicada anteriormente, após uma comparação

de resultados obtidos, pode garantir que o mínimo encontrado não é apenas local. Em [22] são

propostas outras rotinas com o mesmo propósito, sendo que entre elas se destaca a função fseminf.

Na Tabela 1.1 é possível encontrar as quatro especificações fixadas inicialmente e todos os

dimensionamentos desenvolvidos ao longo desta dissertação garantiram a sua verificação. Contudo,

apesar de um dimensionamento necessitar de partir de algumas condições base, a restrição e

imposição de valores às variáveis retira graus de liberdade à função de optimização. Deste modo,

analisando individualmente cada especificação inicial, pensa-se que a de maior importância é a

densidade de corrente . Através da equação (3.40), é possível observar que as perdas de Joule são

proporcionais a . Deste modo, aquando da imposição do valor fixo da densidade de corrente,

retirou-se a possibilidade ao programa de optimização de efectuar variações neste parâmetro para o

cálculo do rendimento. Para reforçar esta ideia, na análise dos efeitos térmicos, para se ter um

resultado mais realista, ao invés de se adoptarem valores, poder-se-ia ter feito um estudo da

dependência e variação que a temperatura possui relativamente ao valor de . Assim, também como

trabalho futuro, pode ser efectuado uma análise a este parâmetro, contudo, é necessário ter presente

que a complexidade computacional aumenta bastante.

Por fim, nesta dissertação apenas foi abordada a topologia monofásica do gerador linear de fluxo

transverso. Deste modo, será de todo o interesse realizar um estudo com os mesmo objectivos para a

topologia trifásica, abordada em [17], e efectuar uma análise comparativa.

Conclusões

94


95

Bibliografia

[1] International Energy Agency – World Energy Outlook 2011 Factsheet. Technical report, 2011.

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[11] MUELLER, M. A. – Electrical Generators for direct drive wave energy converters.

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Energia das Ondas. Dissertação (Mestrado), Outubro 2008.

[14] MONTEIRO, I. M. N. – Gerador Linear com Magnetos Permanentes para Aproveitamento da

Energia das Ondas. Dissertação (Mestrado), Outubro 2009.

[15] COELHO, L. M. E. – Conversores de Acção Directa no Aproveitamento de Energia das Ondas.

Dissertação (Mestrado), Outubro 2007.

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num Sistema AWS. Dissertação (Mestrado), Maio 2010.

[17] ANTÓNIO, J. M. – Gerador Linear Polifásico para o Aproveitamento da Energia das Ondas.

Dissertação (Mestrado), Outubro 2010.

[18] ALFREDO, E. M. – Protótipo de um Gerador Linear Trifásico para Aproveitamento da Energia das

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[20] LIBERT, F. – Design, Optimization and Comparison of Permanent Magnet Motors for a Low-

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96

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[25] Arnold Magnetic Technologies, “Magnets Catalogs”, http://www.arnoldmagnetics.com

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http://www.arnoldmagnetics.com/


I

Anexos

A – Código MATLAB® da optimização da função de peso


%% % file OPTIMIZATION_MqSynch.m % Dimensionamento e optimização do gerador linear de fluxo transverso % clear all; global miu0 miurm Hc kfill v p J EN IN PN rend Pjoule k=1; %for PN=200000:50000:1000000 %em Watts PN=1000000

v = 1;% m/s EN=500;% V IN=PN/EN;% A kfill = 0.65;%coeficiente de enchimento Brm = 1.2;% Wb/m^2 miurm = 1.05;

Hc = -891300;% A/m miu0 = 4*pi*10^-7; p=50;%numero de par de polos (fixo) J = 5000000;%A/m^2 % Variáveis a optimizar % Entram na subrotina fmincon em m % %da peça em U D0 = 20e-2; H0 = 15e-2; C0 = 5e-2;%c da simbologia d0 = 1e-2; u0 = 1e-2; %distancia entre polos e0 = 1e-2; %entreferro g0 = 1e-2; %altura do magneto h0 = 8e-2; %espiras N0 = 100;

x0=[D0 H0 C0 d0 u0 e0 g0 h0 N0 ]; lb=[0.5e-2 0.5e-2 0.2e-2 0.2e-2 0.2e-2 0.2e-2 0.5e-2 0.2e-2 10 ]; ub=[100e-2 100e-2 25e-2 25e-2 50e-2 50e-2 5e-2 25e-2 50000]; options=optimset('LargeScale','On','MaxFunEvals',10000,'MaxIter',1000);

[x,fval,exitflag,output] =

fmincon(@active_weight,x0,[],[],[],[],lb,ub,@confun_Mqsynch,options); % % resultados obtidos %

[c ceq]=confun_Mqsynch(x)

Anexos

II

%% function [c,ceq]=confun(x) % Introduction of the non-equality and the equality constraints % on the optimization process global miu0 miurm kfill v p J EN IN PN BfeU rend Pjoule % D = x(1); H = x(2); C = x(3); d = x(4); u = x(5); e = x(6); g = x(7); h = x(8); N = x(9);

% Evaluate fundamental variables X = 2*(d+e);%periodo espacial s = D-(2*C); t = H-C-u; L=p*X;

Adisp = s*t; Autil = s*t*kfill; Fmm = Autil*J; Scu = Autil/N; I = J*Scu; f=v/X;

Rmm=h/(miu0*miurm*C*d);%relutancia magnetica do magneto Rmg=g/(miu0*C*d);%relutancia magnetica do entreferro Brm = 1.2;%Wb/m^2 Bgap=Brm/(1+2*g*miurm/h);%Sem dispersão magnetica BfeU=Bgap;%Su = Sgap SeccaoU=C*d; FLUXOU=BfeU*SeccaoU; FLUXOLIGADO=2*p*N*FLUXOU; BfeI=Bgap*C/(u); SeccaoI=u*d; FLUXOI=BfeI*SeccaoI; %PERDAS NO COBRE cond_cu=0.0178e-6;

Pjoule = 2*cond_cu*(t+2*u+2*g+h+L)*s*t*J^2*kfill;%perdas de Joule %RENDIMENTO rend = (PN-Pjoule)/PN;

%non-linear inequality constraints %c=[]; c(1)=2*C-D;%para s ser positivo c(2)=u+C-H;%para t ser positivo c(3)=BfeU-1.5;%saturaçao no ferro da peça em U c(4)=BfeI-1.5;%saturaçao no ferro da peça em I

% non-linear equality constraints % voltage c1=sqrt(2)*pi*f*N*C*d*BfeU*p*2-EN; %current c2=J*kfill*s*t/N-IN; ceq=[c1;c2];


III

%% function f=objfun(x) global kfill p J rocu=8.920; roiron=7.750; romag=7.500;%ton/m^3 % Função que calcula o peso total do gerador % D = x(1); H = x(2); C = x(3); d = x(4); u = x(5); e = x(6); g = x(7); h = x(8); N = x(9);

% Evaluate fundamental variables X = 2*(d+e); G = (2*g)+h; s = D-(2*C); t = H-C-u; L=p*X;

% volume do cobre lcu = 2*((t+2*u+2*g+h)+L); Acu = s*kfill*t; Vcopper = Acu*lcu;

% volume do ferro (para as duas peças (em U e em I)) Viron1 = (H*D*d)-((t+u)*d*s);%C Viron2 = D*u*d;%I Viron = 2*p*(Viron1+Viron2);

% volume do magneto Vmag = p*4*(C*d*h);

% funçao objectivo f = roiron*Viron+rocu*Vcopper+romag*Vmag;

Anexos

IV

B – Código LUA da análise da influência da distância entre pólos

------------------------- -- Main Program ------------------------- --ANEXO C-- project = "flux_losses" outfile = project .. "_results.txt" start_time = date() h=openfile("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\results.txt","w");-- write over the output file closefile(h) handle = open(outfile, "w")--this overwrite old results file! showconsole() --D está definido como D = 1, sendo D a espessura for H=2,6,1 do lm=H g = 0.5 for k=0.2,15.2,0.2 do n=0 clearconsole() create(0) mi_saveas("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\temp.fem") mi_seteditmode("group") mi_getmaterial("Air"); mi_getmaterial("Carpenter Silicon Core Iron A");--it is necessary to change the name in the materials library mi_getmaterial("NdFeB 52 MGOe"); --fronteira mi_addnode(-10*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,-7*H) --A mi_addnode(10*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,-7*H) ---C mi_addnode(-10*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1, 10*H+k) --B mi_addnode(10*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,10*H+k) ----D mi_addsegment(-10*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,-7*H,10*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,-7*H)---AC mi_addsegment(-10*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,-7*H,-10*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,10*H+k)--AB mi_addsegment(-10*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1, 10*H+k,10*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,10*H+k)----BD mi_addsegment(10*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,10*H+k,10*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,-7*H)-----DC mi_addblocklabel(0,9.5*H+k) mi_selectlabel(0, 9.5*H+k) mi_setblockprop("Air",0,0.25,"",0,0,0) --MATERIAL FERROMAGNETICO 1 mi_addnode(-4*H-g-0.5*lm,-1.5*H-4*H)--A mi_addnode(-4*H-g-0.5*lm,1.5*H)---B mi_addnode(4*H+g+0.5*lm,-1.5*H-4*H)---C mi_addnode(4*H+g+0.5*lm,1.5*H)----D mi_addnode(-g-0.5*lm,0.5*H)-------E mi_addnode(-g-0.5*lm,1.5*H)-------F mi_addnode(g+0.5*lm,0.5*H)--------G mi_addnode(g+0.5*lm,1.5*H)--------H mi_addnode(-3*H-g-0.5*lm,-0.5*H-4*H)--I mi_addnode(3*H+g+0.5*lm,-0.5*H-4*H)---L


V

mi_addnode(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H)---J mi_addnode(3*H+g+0.5*lm,0.5*H)----M mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,-1.5*H-4*H, -4*H-g-0.5*lm,1.5*H)--AB mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,-1.5*H-4*H, 4*H+g+0.5*lm,-1.5*H-4*H)--AC mi_addsegment(4*H+g+0.5*lm,-1.5*H-4*H, 4*H+g+0.5*lm,1.5*H)----CD mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,1.5*H, -g-0.5*lm,1.5*H)-------BF mi_addsegment(4*H+g+0.5*lm,1.5*H, g+0.5*lm,1.5*H)---------DH mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H, -g-0.5*lm,0.5*H)-------JE mi_addsegment(g+0.5*lm,0.5*H, 3*H+g+0.5*lm,0.5*H)---------GM mi_addsegment(-g-0.5*lm,0.5*H, -g-0.5*lm,1.5*H)-----------EF mi_addsegment(g+0.5*lm,1.5*H, g+0.5*lm,0.5*H)-------------HG mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H, -3*H-g-0.5*lm,-0.5*H-4*H)--JI mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,-0.5*H-4*H, 3*H+g+0.5*lm,-0.5*H-4*H)--IL mi_addsegment(3*H+g+0.5*lm,-0.5*H-4*H,3*H+g+0.5*lm,0.5*H)-----LM mi_addblocklabel(0, -5*H) mi_selectlabel(0, -5*H) mi_setblockprop("Carpenter Silicon Core Iron A",0,0.25,"",0,1,0) --MATERIAL FERROMAGNETICO 2 mi_addnode(-g-0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--A mi_addnode(-g-0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--B mi_addnode(-4*H-g-0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--C mi_addnode(-4*H-g-0.5*lm,n+8*H+0.5*lm+k)--D mi_addnode(4*H+g+0.5*lm,n+8*H+0.5*lm+k)--E mi_addnode(4*H+g+0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--F mi_addnode(g+0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--G mi_addnode(g+0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--H mi_addnode(3*H+g+0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--I mi_addnode(3*H+g+0.5*lm,n+6*H+1.5*lm+k)--J mi_addnode(-3*H-g-0.5*lm,n+6*H+1.5*lm+k)--L mi_addnode(-3*H-g-0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--M mi_addsegment(-g-0.5*lm,n+H+1.5*lm+k,-g-0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--AB mi_addsegment(-g-0.5*lm,n+H+0.5*lm+k,-4*H-g-0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--BC mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,n+H+0.5*lm+k,-4*H-g-0.5*lm,n+8*H+0.5*lm+k)--CD mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,n+8*H+0.5*lm+k,4*H+g+0.5*lm,n+8*H+0.5*lm+k)--DE mi_addsegment(4*H+g+0.5*lm,n+8*H+0.5*lm+k,4*H+g+0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--EF mi_addsegment(4*H+g+0.5*lm,n+H+0.5*lm+k,g+0.5*lm,n+H+0.5*lm+k)--FG mi_addsegment(g+0.5*lm,n+H+0.5*lm+k,g+0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--GH mi_addsegment(g+0.5*lm,n+H+1.5*lm+k,3*H+g+0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--HI mi_addsegment(3*H+g+0.5*lm,n+H+1.5*lm+k,3*H+g+0.5*lm,n+6*H+1.5*lm+k)--IJ mi_addsegment(3*H+g+0.5*lm,n+6*H+1.5*lm+k,-3*H-g-0.5*lm,n+6*H+1.5*lm+k)--JL mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,n+6*H+1.5*lm+k,-3*H-g-0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--LM mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,n+H+1.5*lm+k,-g-0.5*lm,n+H+1.5*lm+k)--MA mat=(n+8*H+0.5*lm+k)+(n+6*H+1.5*lm+k) mi_addblocklabel(0,mat/2) mi_selectlabel(0, mat/2) mi_setblockprop("Carpenter Silicon Core Iron A",0,0.25,"",0,2,0) --MAGNETO mi_addnode(-0.5*lm, n+H-0.5*lm)--A mi_addnode(-0.5*lm, n+H+0.5*lm)--B mi_addnode(0.5*lm, n+H-0.5*lm)---C mi_addnode(0.5*lm, n+H+0.5*lm)---D mi_addsegment(-0.5*lm, n+H-0.5*lm, -0.5*lm, n+H+0.5*lm)--AB

Anexos

VI

mi_addsegment(-0.5*lm, n+H-0.5*lm, 0.5*lm, n+H-0.5*lm)---AC mi_addsegment(0.5*lm, n+H-0.5*lm, 0.5*lm, n+H+0.5*lm)----CD mi_addsegment(0.5*lm, n+H+0.5*lm, -0.5*lm, n+H+0.5*lm)---DB mi_addblocklabel(0, n+H); mi_selectlabel(0, n+H); mi_setblockprop("NdFeB 52 MGOe",0,0.25,"",0,3,0); --MAGNETO 2 mi_addnode(-0.5*lm, n+H+0.5*lm+k)--X mi_addnode(0.5*lm, n+H+0.5*lm+k)--Y mi_addnode(-0.5*lm, n+H+1.5*lm+k)--Z mi_addnode(0.5*lm, n+H+1.5*lm+k)--W mi_addsegment(-0.5*lm, n+H+0.5*lm+k,0.5*lm, n+H+0.5*lm+k)--XY mi_addsegment(0.5*lm, n+H+0.5*lm+k,0.5*lm, n+H+1.5*lm+k)--YW mi_addsegment(0.5*lm, n+H+1.5*lm+k,-0.5*lm, n+H+1.5*lm+k)--WZ mi_addsegment(-0.5*lm, n+H+1.5*lm+k,-0.5*lm, n+H+0.5*lm+k)--ZX mi_addblocklabel(0, n+H+0.75*lm+k); mi_selectlabel(0, n+H+0.75*lm+k); mi_setblockprop("NdFeB 52 MGOe",0,0.25,"",180,4,0); ------------------------------------------------- mi_saveas("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\temp.fem") mi_createmesh() mi_showmesh() mi_analyze() mi_loadsolution() --mo_showdensityplot(1,0,1.5,0,"real") --pause() --FLUXO NO MAGNETO mo_addcontour(0, n+H+0.5*lm) mo_addcontour(0, n+H-0.5*lm) magneto, magnetoav=mo_lineintegral(0) print(magneto) print(magnetoav) mo_clearcontour() --FLUXO NO MATERIAL FERROMAGNETICO mo_addcontour(0, -0.5*H-4*H) mo_addcontour(0,-1.5*H-4*H) peca, pecaav=mo_lineintegral(0) mo_clearcontour() print(peca) print(pecaav) h=openfile("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\results.txt","a") write(h,"H = ",H," ","k = ",k,"\n","FLUXO_U = ",peca,"\n","BfeU = ",pecaav,"\n","\n") closefile(h) mo_close() mi_close() end end


VII

C – Influência da dimensão dos entreferros no campo magnético da

peça em I do estator

Figura C.1 – Variações dos campos magnéticos na peça em U e na peça em I do estator

Anexos

VIII

D – Código MATLAB® da optimização da função de custo


%% % file OPTIMIZATION_MqSynch.m % Função de custo total % clear all; global miu0 miurm Hc kfill v p J EN IN PN rend Pjoule ccopper ciron cmag

cperdas Pyear cestr ccopper=20000;%€/ton ciron=6000;%€/ton cmag=30000;%€/ton cperdas=0.1;%€/kWh Pyear=5;%tempo de vida cestr=400;%€/m k=1; %for PN=200000:50000:1000000 % W PN=500000; v = 1;% m/s EN=500;% V IN=PN/EN;% A kfill = 0.65;%coeficiente de enchimento Brm = 1.2;% Wb/m^2 miurm = 1.05; Hc = -891300;% A/m miu0 = 4*pi*10^-7; p=50; J = 5000000;% A/m^2 % Variáveis a optimizar % Entram na subrotina fmincon em m % %peça em U D0 = 40e-2; H0 = 33.5e-2; C0 = 25e-2;%c da simbologia d0 = 1e-2; u0 = 1e-2; %distancia entre pólos e0 = 1e-2; %entreferro g0 = 1e-2; %altura do magneto h0 = 5.5e-2; %espiras N0 = 50;

x0=[D0 H0 C0 d0 u0 e0 g0 h0 N0 ]; lb=[0.5e-2 0.5e-2 0.2e-2 0.2e-2 0.2e-2 0.2e-2 0.5e-2 0.2e-2 10 ]; ub=[100e-2 100e-2 25e-2 25e-2 50e-2 50e-2 5e-2 25e-2 50000]; options=optimset('LargeScale','On','MaxFunEvals',10000,'MaxIter',1000);

[x,fval,exitflag,output] =

fmincon(@active_weight,x0,[],[],[],[],lb,ub,@confun_Mqsynch,options);

[c ceq]=confun_Mqsynch(x)


IX

%% function [c,ceq]=confun(x) % Introduction of the non-equality and the equality constraints % on the optimization process global miu0 miurm kfill v p J EN IN PN BfeU rend Pjoule % D = x(1); H = x(2); C = x(3); d = x(4); u = x(5); e = x(6); g = x(7); h = x(8); N = x(9); % Evaluate fundamental variables X = 2*(d+e);%periodo espacial s = D-(2*C); t = H-C-u; L=p*X; Adisp = s*t; Autil = s*t*kfill; Fmm = Autil*J; Scu = Autil/N; I = J*Scu; f=v/X;

BfeU = 1.4751/(1+2*1.2653*(g/h));% considera-se a dispersão magnética SeccaoU=C*d; FLUXOU=BfeU*SeccaoU; FLUXOLIGADO=2*p*N*FLUXOU; BfeI = BfeU*(C/u) SeccaoI=u*d FLUXOI=BfeI*SeccaoI %DISTANCIA ENTRE POLOS Dist_polos=e/h; %DISTANCIA ENTRE FIADAS Dist_fiadas=s/h;

%DIMENSAO ENTREFERRO simd = d/g; %PERDAS NO COBRE Pjoule = 2*0.0178e-6*(t+2*u+2*g+h+L)*s*t*J^2*kfill;%perdas de joule %RENDIMENTO rend = (PN-Pjoule)/PN

%non-linear inequality constraints %c=[]; c(1)=2*C-D;%para s ser positivo c(2)=u+C-H;%para t ser positivo c(3)=BfeU-1.5;%saturaçao no ferro da peça em U c(4)=BfeI-1.5;%saturaçao no ferro da peça em I c(5)=((1.1892-0.1173*BfeU)/(0.89046*BfeU))-Dist_polos; c(6)=((1.479-0.60649*BfeU)/(0.88318*BfeU))-Dist_fiadas; c(7)=(-1.4469/(BfeU-1.9464))-simd;

% non-linear equality constraints % voltage c1=sqrt(2)*pi*f*N*C*d*BfeU*p*2-EN; %current c2=J*kfill*s*t/N-IN; ceq=[c1;c2];

Anexos

X

%% function f=objfun(x) global kfill p ccopper ciron cmag cperdas Pyear cestr J kfill rocu=8.920; roiron=7.750; romag=7.500;%ton/m^3 % Função que calcula o custo total do gerador. % D = x(1); H = x(2); C = x(3); d = x(4); u = x(5); e = x(6); g = x(7); h = x(8); N = x(9); % Evaluate fundamental variables X = 2*(d+e); G = (2*g)+h; s = D-(2*C); t = H-C-u;

L=p*X;

% volume do cobre lcu = 2*(t+2*u+2*g+h+L); Acu = s*kfill*t; Vcopper = Acu*lcu;

% volume do ferro (para as duas peças (em U e em I)) Viron1 = (H*D*d)-((t+u)*d*s);%C Viron2 = D*u*d;%I Viron = 2*p*(Viron1+Viron2);

% volume do magneto Vmag = p*4*(C*d*h);

% funçao objectivo Pjoule = 2*0.0178e-6*(t+2*u+2*g+h+L)*s*t*J^2*kfill/1000;% kW Pjoule = Pjoule*8760;% kWh cdirecto=roiron*Viron*ciron+rocu*Vcopper*ccopper+romag*Vmag*cmag; cindirecto=Pyear*Pjoule*cperdas; cestrutura=L*cestr; f = cdirecto+cindirecto+cestrutura;


XI

E – Código LUA da análise das forças magnéticas relativas ao

MSET segundo o eixo XX

------------------------- -- Main Program ------------------------- project = "flux_losses" outfile = project .. "_results.txt" start_time = date() h=openfile("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\results.txt","w");-- write over the output file closefile(h) --this overwrite old results file! handle = open(outfile, "w") showconsole() --D está definido como D = 1, sendo D a espessura for H=2,6,1 do for g=0.2,5.2,0.2 do lm=H u=lm k = 15 clearconsole() create(0) mi_saveas("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\temp.fem") mi_seteditmode("group") mi_getmaterial("Air"); mi_getmaterial("Carpenter Silicon Core Iron A"); --it is necessary to change the name in the materials library mi_getmaterial("NdFeB 52 MGOe"); --fronteira mi_addnode(-5*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,-5*H-3*k) --A mi_addnode(5*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,-5*H-3*k) ---C mi_addnode(-5*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1, 5*H+3*k) --B mi_addnode(5*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,5*H+3*k) ----D mi_addsegment(-5*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,-5*H-3*k,5*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,-5*H-3*k)---AC mi_addsegment(-5*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1,-5*H-3*k,-5*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1, 5*H+3*k)--AB mi_addsegment(-5*H*1.1-g*1.1-0.5*lm*1.1, 5*H+3*k,5*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,5*H+3*k)----BD mi_addsegment(5*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,5*H+3*k,5*H*1.1+g*1.1+0.5*lm*1.1,-5*H-3*k)-----DC mi_addblocklabel(0, 4.9*H) mi_selectlabel(0,4.9*H) mi_setblockprop("Air",0,0.25,"",0,0,0) --peça fixa mi_addnode(-4*H-g-0.5*lm,-0.5*H-k)--A mi_addnode(-4*H-g-0.5*lm,1.5*H)------B mi_addnode(-g-0.5*lm,0.5*H-k)----------C mi_addnode(-g-0.5*lm,-0.5*H-k)------D mi_addnode(-g-0.5*lm,0.5*H)----------E mi_addnode(-g-0.5*lm,1.5*H)----------F mi_addnode(g+0.5*lm,-0.5*H-k)-------G mi_addnode(g+0.5*lm,1.5*H)-----------H

Anexos

XII

mi_addnode(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H-k)------I mi_addnode(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H)------J mi_addnode(g+0.5*lm+u,1.5*H)---------L mi_addnode(g+0.5*lm+u,-0.5*H-k)-----M --PEÇA EM U DO ESTATOR-- mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,-0.5*H-k,-4*H-g-0.5*lm,1.5*H)--AB mi_addsegment(-4*H-g-0.5*lm,1.5*H,-g-0.5*lm,1.5*H)----------BF mi_addsegment(-g-0.5*lm,1.5*H,-g-0.5*lm,0.5*H)--------------FE mi_addsegment(-g-0.5*lm,0.5*H,-3*H-g-0.5*lm,0.5*H)----------EJ mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H,-3*H-g-0.5*lm,0.5*H-k)------JI mi_addsegment(-3*H-g-0.5*lm,0.5*H-k,-g-0.5*lm,0.5*H-k)----------IC mi_addsegment(-g-0.5*lm,0.5*H-k,-g-0.5*lm,-0.5*H-k)----------CD mi_addsegment(-g-0.5*lm,-0.5*H-k,-4*H-g-0.5*lm,-0.5*H-k)--DA --PEÇA EM I DO ESTATOR-- mi_addsegment(g+0.5*lm,1.5*H,g+0.5*lm+u,1.5*H)--------------HL mi_addsegment(g+0.5*lm+u,1.5*H,g+0.5*lm+u,-0.5*H-k)--------LM mi_addsegment(g+0.5*lm+u,-0.5*H-k,g+0.5*lm,-0.5*H-k)------MG mi_addsegment(g+0.5*lm,-0.5*H-k,g+0.5*lm,1.5*H)------------GH prop_U=((-4*H-g-0.5*lm)+(-3*H-g-0.5*lm))/2 mi_addblocklabel(prop_U, 0) mi_selectlabel(prop_U, 0) mi_setblockprop("Carpenter Silicon Core Iron A",0,0.25,"",0,1,0) prop_I=((g+0.5*lm)+(g+0.5*lm+u))/2 mi_addblocklabel(prop_I, 0) mi_selectlabel(prop_I, 0) mi_setblockprop("Carpenter Silicon Core Iron A",0,0.25,"",0,1,0) --MAGNETO 1 mi_addnode(-0.5*lm, H-0.5*lm)--A mi_addnode(0.5*lm, H-0.5*lm)--C mi_addnode(-0.5*lm, H+0.5*lm)--B mi_addnode(0.5*lm, H+0.5*lm)--D mi_addsegment(-0.5*lm, H-0.5*lm, -0.5*lm, H+0.5*lm) mi_addsegment(-0.5*lm, H-0.5*lm, 0.5*lm, H-0.5*lm) mi_addsegment(0.5*lm, H-0.5*lm, 0.5*lm, H+0.5*lm) mi_addsegment(0.5*lm, H+0.5*lm, -0.5*lm, H+0.5*lm) mi_addblocklabel(0, H); mi_selectlabel(0, H); mi_setblockprop("NdFeB 52 MGOe",0,0.25,"",0,2,0); --MAGNETO 2 mi_addnode(-0.5*lm, -0.5*H-k)--A mi_addnode(0.5*lm, -0.5*H-k)--C mi_addnode(-0.5*lm, 0.5*H-k)--B mi_addnode(0.5*lm, 0.5*H-k)--D mi_addsegment(-0.5*lm, -0.5*H-k,0.5*lm, -0.5*H-k)--AC mi_addsegment(0.5*lm, -0.5*H-k,0.5*lm, 0.5*H-k)--CD mi_addsegment(0.5*lm, 0.5*H-k,-0.5*lm, 0.5*H-k)--DB mi_addsegment(-0.5*lm, 0.5*H-k,-0.5*lm, -0.5*H-k)--BA mi_addblocklabel(0,-k); mi_selectlabel(0, -k); mi_setblockprop("NdFeB 52 MGOe",0,0.25,"",180,2,0); ------------------------------------------------------------- mi_saveas("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\temp.fem")


XIII

--mi_createmesh() --mi_showmesh() mi_analyze(1) mi_loadsolution() --mo_showdensityplot(1,0,1.5,0,"real") --pause() mo_selectblock(prop_U,0) xU = mo_blockintegral(18) yU = mo_blockintegral(19) mo_clearblock(); mo_selectblock(prop_I, 0) xI = mo_blockintegral(18) yI = mo_blockintegral(19) mo_clearblock(); h=openfile("C:\\Program Files\\femm42\\examples\\results.txt","a") write(h,"H = ", H," g = ",g,"\n","xU = ",xU,"\n","yU = ",yU,"\n","xI = ",xI,"\n","yI = ",yI,"\n","\n") closefile(h) mo_close() mi_close() end end

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Dimensionamento de um gerador linear para o aproveitamento da