DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO SIMPLIFICADO DE TREM DE

POUSO POR PROBABILIDADE DE FALHA

Gustavo Schiappacassa de Almeida

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Fernando Pereira Duda

Rio de Janeiro

Marco de 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecnica

DEM/POLI/UFRJ

DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO SIMPLIFICADO DE TREM DE

POUSO POR PROBABILIDADE DE FALHA

Gustavo Schiappacassa de Almeida

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Aprovada por:

Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

Prof. Fabio da Costa Figueiredo, D.Sc.

Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARCO DE 2018

Schiappacassa de Almeida, Gustavo

Dimensionamento de um modelo simplificado de trem de

pouso por probabilidade de falha/ Gustavo Schiappacassa

de Almeida. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica,

2018.

XI, 47 p. 29, 7cm.

Orientador: Fernando Pereira Duda

Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2018.

Referencias Bibliograficas: p. 38 – 39.

1. Probabilidade de Falha. 2. Dimensionamento.

3. Trem de Pouso. I. Pereira Duda, Fernando. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso

de Engenharia Mecanica. III. Dimensionamento de um

modelo simplificado de trem de pouso por probabilidade

de falha.

iii

Pecam, e receberao; procurem, e

acharao; batam, e a porta sera

aberta.

Mateus 7-7

iv

Agradecimentos

Agradeco primeiramente a Deus pelo dom da vida. Agradeco a minha mae pelo

zelo com que me instruiu em minha criacao. Agradeco a minha esposa pelo seu

amor e pela paciencia em diversas noites perdidas em prol deste trabalho. Agradeco

tambem aos meus padrinhos pois as suas experiencias e contribuicoes foram fun-

damentais para revelar o quanto conhecimento eu hoje possuo. Agradeco tambem

ao departamento da engenharia mecanica pela determinacao em transmitir todo o

conhecimento disponıvel e ao secretariado do departamento e da Escola Politecnica

pois sempre se prontificaram a ajudar em qualquer momento de duvidas. E por

fim, mas nao por ultimo, agradeco todas as amizades que desenvolvi nessa jornada.

De certa forma voces tambem foram responsaveis pelo meu sucesso mantendo a

determinacao frente os desafios que enfrentamos. Obrigado!

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico

DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO SIMPLIFICADO DE TREM DE

POUSO POR PROBABILIDADE DE FALHA

Gustavo Schiappacassa de Almeida

Marco/2018

Orientador: Fernando Pereira Duda

Programa: Engenharia Mecanica

Usualmente na area de projeto mecanico nao se conhece com plenitude o carre-

gamento que sera imposto sobre a estrutura e conceitos como Fator de Seguranca

sao utilizados para dimensionar a resistencia de forma conservadora e sempre aten-

der o pior caso possıvel de solicitacao mecanica. Conforme sao adquiridas novas

informacoes sobre a natureza do carregamento, pode-se chegar a um nıvel de con-

fianca suficiente para que os projetos se tornem mais agressivos e, em vez de assumir

que o esforco sempre estara em seu estado maximo, considera-se todo o espectro

estatıstico de o carregamento chegar a esse ponto. Analises como essa se tornam

importantes em areas que a massa ou as dimensoes do projeto devem ser as mınimas

possıveis tal que atendam a esforco imposto e o tempo de vida previsto.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

PROBABILISTIC DESIGN OF A SIMPLIFIED LANDING GEAR

Gustavo Schiappacassa de Almeida

March/2018

Advisor: Fernando Pereira Duda

Department: Mechanical Engineering

At mechanical design is not usual to have all the information about the imposing

structural loading and, to bypass that issue, safety factors are used to design a

conservative resistance due to the uncertainty on the loading side. As knowledge

accumulates, the projects tend to become more aggressive and instead using one

most critical point of loading they pass to consider all the statistical spectrum of that

variable. Such analysis have main applicability in scenarios that require maximum

optimization of dimensions and weight while still attending to its mission.

vii

Sumario

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

1 Introducao 1

1.1 Organizacao da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Metodologia 7

2.1 Falha Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Carga Estatica Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Segundo Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Flambagem Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Distibuicao Estocastica de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 FORM - First Order Reliability Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Resultados e Discussoes 26

3.1 Caso Unidimensional: Velocidade Estocastica . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Caso Geral: Espaco de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Analise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Consideracoes Finais 37

4.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Referencias Bibliograficas 38

A Codigo Fonte 40

viii

Lista de Figuras

1.1 Parque Eolico de 150MW em Osorio/RS . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Trem de Pouso Principal - Boeing 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Modelo de Trem de Pouso Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Representacao do Trem de Pouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Fluxo da Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Limites entre as regioes Segura e de Falha . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Espaco de Estados de Falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 (a) corresponde ao estado nulo, (b) e (c) sao configuracoes inter-

mediarias, (c) estado de maxima deformacao, (e) configuracao final . 11

2.5 Diagrama de corpo livre para metade do trem de pouso . . . . . . . . 14

2.6 Diagrama de momento fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Fator de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Tensoes Normais devido a esforcos de flexao . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9 Tensao equivalente maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.10 Flambagem lateral, retirada de [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.11 Comparacao - Carga Crıtica de Flambagem x Carga Estatica Equi-

valente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.12 Distribuicao Estatıstica de Velocidades de Pouso . . . . . . . . . . . . 21

2.13 Espaco Probabilıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.14 Transformacao de Nataf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.15 Fluxo de determinacao do MPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Distribuicao de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Grafico de Velocidade Crıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Espessura de Projeto - Fibra de Carbono . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ix

3.4 Espessura de Projeto - AISI 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Espessura de Projeto - AISI 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Espessura de Projeto - Alumınio 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7 Funcao G - Exemplo (E = 90 GPa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.8 Distribuicao Esperada para o Limite de Escoamento . . . . . . . . . . 33

3.9 Reducao Percentual de Espessura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

x

Lista de Tabelas

1.1 Tabela de Propriedades Mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Tabela de coeficientes de flambagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Tabela de Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% - Unidimensional 31

3.3 Ajuste do Limite de Escoamento Fabril . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% - Multidimensi-

onal (FORM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Comparacao entre os Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 Tabela de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

xi

Capıtulo 1

Introducao

Os sistemas mecanicos reais normalmente estao sujeitos esforcos que mudam de

intensidade e direcao em alguma escala de tempo e a violencia com que isso ocorre

depende principalmente do cenario ao qual o sistema faz parte. Como exemplo do

amplo espectro de cargas variaveis, existem dois casos tıpicos: Rotores de Turbinas

Eolicas e Trens de Pouso Aeronauticos.

Figura 1.1: Parque Eolico de 150MW em Osorio/RS

Como apresentado por [2], no primeiro caso, as variacoes esperadas de carga

acontecem em perıodos de horas, podendo existir eventualmente alguma variacao

mais abrupta por condicoes climaticas adversas. E, dessa forma, pode-se considerar

que a carga e aplicada de maneira quasi-estatica, i.e., ao se observar apenas uma

pequena janela de tempo, a carga parece nao variar.

Enquanto o segundo caso, devido a sua natureza agressiva do pouso, exige que o

1

Figura 1.2: Trem de Pouso Principal - Boeing 787

trem de pouso resista a inercia do aviao se aproximando da pista a uma velocidade

vertical em torno de 2 m/s e o leve ao equilıbrio estatico em poucos segundos.

Essa variacao abrupta de esforco se caracteriza como um sistema de cargas

dinamicas em que outros fatores devem ser levados em conta, por exemplo a inercia

de todos os corpos envolvidos. Como a solucao dinamica passa por uma serie de

complexidades, usualmente o projeto de estruturas contorna esse problema definindo

Cargas Estaticas Equivalentes, i.e., cargas que, quando aplicadas estaticamente, le-

variam o corpo resistivo a mesma configuracao obtida quando sujeito ao impacto.

2

1.1 Organizacao da Tese

No capıtulo 1 estao presentes o objetivo geral do trabalho e o contexto de forma a

identificar o ponto de partida e os resultados esperados.

Para o capıtulo 2, foi descrita toda a metodologia empregada para atingir os

objivos identificados. Este comeca com uma breve revisao sobre falha estrutural,

apresenta uma forma de dimensionar a carga de impacto atraves do conceito de

carga estatica equivalente, descreve o segundo teorema de Castigliano para obter

alguns parametros importantes para a analise e logo depois introduz o conceito

de flambagem lateral como requisito de projeto. Ainda dentro do capıtulo 2 sao

encontradas duas metodologias estatısticas para definir a probabilidade de falha de

um sistema especıfico.

Ja no capıtulo 3, sao apresentados os resultados para as duas metodologias iden-

tificadas fazendo uma avaliacao tambem da espessura resistiva necessaria para cada

material selecionado.

Por fim, no capıtudo 4 podem ser encontradas sugestoes para trabalhos futuros

com o objetivo de ajustar o metodo proposto atraves de coleta de dados de telemetria

e realizacao de ensaios fısicos.

Um programa em Python foi desenvolvido para levantar os resultados nos diver-

sos cenarios possıveis e seu codigo fonte se encontra no anexo deste trabalho.

3

1.2 Objetivo

Com esse trabalho deseja-se realizar o dimensionamento de um modelo simplificado

de trem de pouso nao pelo metodo comum com a utilizacao de fatores de seguranca

mas sim utilizando todo o conhecimento disponıvel sobre o intervalo de possıveis

velocidades verticais de pouso de um aviao para entao definir a probabilidade do

trem de pouso falhar em cada pouso. Esse metodo permitiria tanto o projeto de uma

estrutura arriscada (probabilidade de 1 falha a cada 5 voos) quanto de estruturas

conservadoras (probabilidade de falha ≈ 1× 10−2).

4

1.3 Contexto

Como forma de demonstrar a metodologia, sera realizado um estudo de caso baseado

no modelo de trem de pouso utilizado pela equipe Aerodesign da UFRJ na com-

peticao de 2015 mostrado na figura 1.3. Tal aplicacao requer um projeto arriscado

e, sendo assim, os algoritmos que serao descritos no proximo capıtulo terao como

alvo a probabilidade de falha de 20%.

Figura 1.3: Modelo de Trem de Pouso Principal

A massa total tıpica da aeronave varia em torno de 14kg e esse sera o valor

considerado para avaliar o carregamento de impacto imposto durante o pouso. Para

efeitos praticos, as rodas serao consideradas elementos rıgidos que irao transmitir

integralmente as cargas do solo para a estrutura e diversos materiais serao utilizados

para estudo de caso com propriedades segundo a tabela 1.1 obtido de [3] e [4].

5

Para comparar a aplicacao dos diversos materiais, sera determinada a espessura

resistiva adequada para cada um destes de modo a resultar em uma probabilidade

de falha de 20% e assim a massa total da estrutura estara determinada atraves do

volume total de material e sua massa especıfica.

Tabela 1.1: Tabela de Propriedades Mecanicas

MaterialLimite de

Escoamento (MPa)

Modulo de

Elasticidade (GPa)

Modulo de

Cisalhamento (GPa)

Massa

Especıfica (g/cm3)

Aco AISI 1020 350 186 72 7.87

Aco AISI 1045 450 206 80 7.87

Alumınio 3005-H18 225 69 26 2.73

Fibra de Carbono +

Resina Epoxi600 70 5 1.60

Com o objetivo de simplificacao, a estrutura do trem de pouso sera considerada

conforme figura 1.4 como sendo uma barra esbelta de secao transversal retangular

com dimensoes b e h e simetria em s.

Figura 1.4: Representacao do Trem de Pouso

6

Capıtulo 2

Metodologia

Para atacar o problema proposto, serao combinados conceitos de Carga Estatica

Equivalente − para simplificar o problema de impacto considerando a solicitacao de

carga imposta equivalente a maxima deflexao do corpo − e de Estatıstica − para

descrever a velocidade nao como um valor limıtrofe mas sim como uma regiao de

probabilidades assim como alguns outros parametros que podem ter variabilidade

decorrente da fabricacao do componente.

Figura 2.1: Fluxo da Metodologia

7

2.1 Falha Estrutural

Em engenharia de estruturas, existem diversos tipos de falha porem dois desses sao

mais importantes no contexto do problema: o colapso e a falha de servicibilidade.

O primeiro exige que as cargas no corpo atinjam valores superiores aos toleraveis,

desencadeando o seu colapso total. Ja o segundo tipo de falha e mais sutil quando,

apesar de as cargas estarem dentro do aceitavel pela estrutura, o sistema nao atende

requisitos de usabilidade, como por exemplo o balanco excessivo de um predio co-

mercial.

Como o objetivo e definir a geometria resistiva de um trem de pouso, seus requi-

sitos sao:

1. Nao ocorrer plastificacao durante o pouso.

2. Restricao de maxima deformacao elastica.

Caracterizando portanto dois modos de falha admissıveis. Pode-se definir limites

e uma funcao de falha hipotetica G(X) para cada um dos requisitos que e positiva

se os valores estao dentro do aceitavel e negativa caso contrario.

G = LimiteAdmissivel − V alorAtual

Dessa maneira, em um caso multidimensional, poderiam existir regioes de falha

e regioes seguras, i.e., quando a funcao G e maior do que zero e o comportamento

esta dentro do aceitavel. A figura 2.2 ilustra este conceito.

8

Figura 2.2: Limites entre as regioes Segura e de Falha

De forma geral, se houverem mais de um criterio de falha, a probabilidade de

falha global poderia ser avaliada como uma uniao das regioes de falha para cada um

dos criterios. Assumir que as regioes sao independentes leva ao calculo superesti-

mado da probabilidade de falha que depende do grau de intersecao entre elas.

Figura 2.3: Espaco de Estados de Falha

9

Para julgar os dois requisitos de projeto, poderiam ser definidas duas funcoes

de falha, G1 e G2, que correspondem as falhas de plastificacao e de deformacao

excessiva respectivamente. Porem, para efeitos de simplificacao no contexto deste

trabalho, apenas a falha por plastificacao sera analisada considerando uma funcao de

falha. Apos determinacao da espessura resistiva, e verificado se a deflexao admitida

pela estrutura e superior ao limite definido em 8mm de deflexao maxima. Caso esse

limite seja excedido, uma nova espessura sera definida de forma a atender o requisito

de deflexao maxima.

10

2.2 Carga Estatica Equivalente

Durante o projeto de sistemas que estao sujeitos a cargas que variam rapidamente

com o tempo deve-se levar em consideracao ondas de tensao que se propagam pelo

corpo e o efeito da interacao entre a frequencia de aplicacao da carga e a frequencia

natural do sistema. Porem, em projetos usuais, existe a opcao de calcular uma carga

estatica equivalente que emula a configuracao em que o corpo e mais solicitado. Para

esse estudo, a carga nao tem variacao com o tempo, porem a sua aplicacao e repen-

tina e isso gera tensoes maiores do que caso a carga fosse aplicada estaticamente.

Esse efeito e explorado na figura 2.4.

Para um corpo elastico, a aplicacao repentina da carga P (por exemplo a queda de

uma massa) causara deformacoes alem da que seria alcancada na aplicacao estatica

de P ate que a energia de movimento seja dissipada e o corpo assuma sua con-

figuracao final. Para obter a tensao maxima que ocorre durante esse movimento,

deve-se encontrar as cargas que aplicadas quasi-estaticamente produziriam a mesma

configuracao do corpo em sua deflecao maxima (momento em que todos os elementos

diferenciais de massa estarao com velocidade nula).

Figura 2.4: (a) corresponde ao estado nulo, (b) e (c) sao configuracoes

intermediarias, (c) estado de maxima deformacao, (e) configuracao final

11

Pode-se assumir que existe um fator multiplicativo φ que permite relacionar a

deflexao δ′

obtida durante a aplicacao repentina da carga com a deflexao estatica e,

por consequencia, relaciona tambem a carga estatica equivalente PEE com a carga

P original [5].

δ′= φ δest (2.1)

PEE = φ P (2.2)

Para que as relacoes 2.1 e 2.2 sejam verdadeiras e importante que o sistema

atenda as seguintes hipoteses durante a aplicacao dinamica de P :

(1) A carga P acompanha a deflexao δ′

(2) O material continua atendendo a lei de elasticidade de Hooke durante todo o

movimento.

(3) A transmissao internas das cargas e instantanea.

Durante a aplicacao estatica, o trabalho realizado sobre o corpo e obtido por:

West =P δest

2(2.3)

Porem, com a aplicacao repentina, na deflexao maxima, o corpo tera absorvido

o trabalho WP realizado pela carga P enquanto o corpo se deforma ate a deflexao δ′

maior que a deflexao estatica, somado a energia cinetica Wcin da massa que impoe

a carga:

Wtotal = WP +Wcin

Wtotal = P δ′+Wcin

12

Como deseja-se obter a carga PEE que, aplicada estaticamente, produziria a

mesma deflexao δ′, o trabalho total absorvido pode ser substituido por um trabalho

estatico equivalente:

PEE δ′

2= Pδ

′+Wcin

Utilizando as relacoes 2.7 e 2.2 e tendo em mente a equacao 2.3, pode-se resolver

o sistema para φ:

PEE δ′

2= Pδ

′+Wcin

φ2 P δest2

= φ Pδest +Wcin

φ2 West = 2φ West +Wcin

φ2 − 2φ− Wcin

West

= 0 (2.4)

A equacao 2.4 teria duas solucoes reais porem uma delas levaria a valores absur-

dos de φ, i.e., conforme a energia cinetica no impacto aumentasse, o fator multipli-

cativo se reduziria podendo chegar a valores negativos. Desse modo, a unica solucao

possıvel para φ e:

φ = 1 +

√1 +

Wcin

West

(2.5)

Em posse da equacao 2.5, pode-se relacionar o valor da carga estatica equivalente

PEE com a carga estatica original P e, por consequencia, obter a tensao estatica

equivalente na secao mais solicitada do corpo, bastando apenas descrever o trabalho

estatico West.

13

2.3 Segundo Teorema de Castigliano

Considerando a simetria inerente ao problema, o corpo em questao pode ser apro-

ximado por uma viga conforme figura 2.5, tal que a carga P aplicada na sua ex-

tremidade e equivalente a forca Peso de metade da massa da aeronave. Existe um

apoio no ponto a que e referente a forma que e feita a fixacao do trem de pouso,

restringindo movimentos relativos de translacao e permitindo a passagem de esforcos

de flexao.

Figura 2.5: Diagrama de corpo livre para metade do trem de pouso

O segundo teorema de castigliano [6] permite avaliar a deflexao estatica δest do

ponto C (ponto de aplicacao da carga P) que tambem sera o local onde se dara a

maxima deflexao do corpo e este valor pode entao ser definido como um requisito

de projeto.

qi =∂U

∂Qi

West =

∫ L

0

M2

2EIdx = UAB + UBC

West =P 2

2EI

[ ∫ l

0

(L− l)2dx+

∫ L

l

(L− x)2dx]

West =P 2

2EI

[2l3

3− Ll2 +

L3

3

](2.6)

14

Figura 2.6: Diagrama de momento fletor

δest =∂West

∂P=

P

EI

[2l3

3− Ll2 +

L3

3

](2.7)

A equacao 2.7 permite avaliar a maxima deflexao admitida na aplicacao estatica

da carga P considerando a posicao do apoio B. Porem, como descrito na secao

2.2, para encontrar a deflexao obtida na aplicacao repentina da carga P, esse valor

deve ser multiplicado pelo fator dinamico φ. Fator este que ja pode ser calculado

utilizando o valor de energia absorvida pela estrutura a partir da equacao 2.6 e

energia cinetica da massa m calculada por 2.8, onde v e a sua velocidade de impacto.

A figura 2.7 apresenta o resultado de φ variando a espessura h considerando dois

valores de modulo de elasticidade.

Wcin =mv2

2(2.8)

De posse dos valores calculados de φ, e possıvel encontrar os valores de tensao

assumidos ao longo da estrutura com a aplicacao repentina da carga P , porem a

secao mais solicitada deve ser determinada para comparacao com o valor limitante

de tensao maxima, nesse caso o limite de escoamento do material.

15

Figura 2.7: Fator de impacto

Conforme demostrado por [7], para uma determinada secao da estrutura, a tensao

em um elemento de area dA e maior quanto mais afastado o elemento estiver da linha

neutra, assumindo o maior valor possıvel nas extremidades da secao, obtido atraves

da equacao 2.9, onde M e o momento fletor da secao e Iz e o momento de inercia

de area ao redor do eixo z.

σx =M h

2 Iz(2.9)

Figura 2.8: Tensoes Normais devido a esforcos de flexao

16

Combinado com o esforco cortante, a tensao equivalente no ponto B (regiao mais

solicitada) pode ser calculada pelo criterio de maxima energia de distorcao (Mises)

segundo a equacao 2.10, que descreve a tensao obtida na aplicacao estatica da carga

P .

σ2eq = σ2

x + 3 τ 2yz

σx =

√(M h

2 Iz

)2

+ 3

(P

A

)2

(2.10)

Atraves da multiplicacao com o fator dinamico detalhado na figura 2.7, a tensao

equivalente assumida com a aplicacao repentina da carga e encontrada e pode enfim

ser comparada com o valor de limite de escoamento do material em questao. A

figura 2.9 apresenta a variacao da tensao maxima com o aumento da espessura h

para tres casos: 1) estatico, 2) dinamico com modulo de Young de 90 GPa e 3)

dinamico com modulo de Young de 180 GPa.

Figura 2.9: Tensao equivalente maxima

17

2.4 Flambagem Lateral

A otimizacao deliberada da secao transversal da estrutura poderia levar ao extremo

de valores de h muito superiores a dimensao de b com o objetivo de aumentar a

resistencia ao esforco de flexao.

Uma esbeltez acentuada acarretaria problemas com flambagem lateral da barra

devido a instabilidade entre os momentos de inercia da secao e um pequeno momento

de inercia polar. E importante notar que somente a regiao BC da viga 2.5 estaria

propensa a flambagem lateral, pois o apoio limitaria o deslocamento do ponto B nas

tres direcoes cartesianas.

Figura 2.10: Flambagem lateral, retirada de [1]

O conceito de flambagem lateral foi estudado por [1] que deduziu o metodo para

calcular a forca crıtica Fcrit que, aplicada na extremidade da viga, desencadearia a

instabilidade.

Fcrit =4.013

(L− l)2√EIyC (2.11)

Iy =h b3

12

18

C = Gβ a c3

A equacao 2.11 considera uma secao transversal retangular e depende de

parametros geometricos e da rigidez torcional da secao (C) que pode ser calculada

utilizando os fatores tabelados em 2.1 retirados de [1], onde a e c sao as dimensoes

maior e menor respectivamente da area resistiva.

Tabela 2.1: Tabela de coeficientes de flambagem

ac

1.0 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞

α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

Para minimizar os efeitos de instabilidade no problema, a dimensao de b foi

fixada em 10mm. A dimensao de h foi mantida variavel para efetivamente definir a

area resistiva que levaria ao valor de probabilidade de falha (PF) escolhido e, apos

sua determinacao, e verificado se FEE (phi× Fest) e inferior a Fcrit.

O grafico 2.11 ilustra a evolucao da Fcrit e FEE conforme a dimensao h e au-

mentada mostrando que os efeitos de flambagem so sao releventes com espessuras

suficientemente pequenas quando comparadas com a dimensao da largura b fixada

em 10 mm. As curvas foram geradas considerando um modulo de elasticidade de

90GPa, modulo de cisalhamento de 20GPa e velocidade de impacto de 3m/s.

19

Figura 2.11: Comparacao - Carga Crıtica de Flambagem x Carga Estatica

Equivalente

20

2.5 Distibuicao Estocastica de Velocidade

Para o procedimento de pouso, a velocidade vertical pode variar dependendo de

diversos fatores como a carga total da aeronave, as condicoes climaticas da regiao,

entre outros.

Porem ela usualmente respeita uma faixa aceitavel de tolerancia e, caso fosse

possıvel conhecer as frequencias com que cada velocidade de pouso ocorre, pode-se

inferir a hipotese de que a velocidade vertical segue uma distribuicao estatıstica, por

exemplo uma distribuicao Normal com media (v) e desvio-padrao (sv) estimados a

partir da amostra de dados.

No caso em que somente a velocidade e uma variavel estocastica e todos os

outros parametros de entrada sao determinısticos, definir a probabilidade de falha

do sistema assume o seguinte procedimento:

(1) Encontrar a velocidade crıtica Vcrit tal que a probabilidade de a velocidade

assumir um valor acima deste seja igual ao alvo de probabilidade de falha do

projeto: Vcrit = V tal que P (v >= V ) = Pf−alvo.

(2) Definir a espessura h tal que qualquer qualquer valor acima de Vcrit levaria a

falha por plastificacao.

Figura 2.12: Distribuicao Estatıstica de Velocidades de Pouso

Conhecida a probabilidade de a velocidade assumir valores maiores que o valor

crıtico atraves da funcao de distribuicao acumulada, fica tambem determinado a

probabilidade de o sistema atingir um modo de falha.

21

Como a funcao de falha G e caracterizada pela diferenca entre resistencia e

carregamento, a velocidade crıtica pode ser ajustada para alcancar o valor desejado

da confiabilidade de projeto.

22

2.6 FORM - First Order Reliability Model

Alguns casos reais de engenharia permitem assumir aleatoriedade apenas em uma

variavel mais relevante. Porem, existem situacoes onde essa abordagem pode nao

ser recomendada por acarretar perda na precisao de estimativa de confiabilidade.

Diversos metodos estatısticos permitem avaliar a confiabilidade de sistemas con-

siderando aleatoriedade multilinear, como exemplo simulacoes de MonteCarlo [8],

Hipercubo Latino [9] e o Metodo de Confibilidade de Primeira Ordem (em ingles,

FORM) [10], [11]. Somente este ultimo sera detalhado no contexto do trabalho.

O metodo FORM define que existem uma regiao de falha delimitada por uma

funcao F(X) tal que qualquer valor em F(X) retorna um valor nulo na funcao de

falha G(X), i.e., o sistema estaria na iminencia de falha.

Somente quando essas consideracoes sao levadas para o espaco probabilıstico

que se pode avaliar a expectativa ocorrer uma falha baseado nas distribuicoes de

probabilidade das variaveis aleatorias.

Figura 2.13: Espaco Probabilıstico

Baseado nesse espaco probabilıstico, existe um ponto mais provavel (MPP) onde

23

F(X) esta mais proxima do valor medio das variaveis. Entao para simplificacao essa

funcao F(X) e aproximada por uma funcao linear L(X) no ponto MPP que, por

estar mais proximo ao valor medio, e o ponto que tem maior significancia para a

linearizacao e gera menor erro na estimativa da confiabilidade por aproximacao.

Figura 2.14: Transformacao de Nataf

Para encontrar o ponto mais provavel, e preciso recorrer ao metodo iterativo.

Como seria complicado avaliar a inclinacao da reta no espaco de estado original,

e feita uma transformacao segundo equacao 2.12 para o espaco de distribuicoes

normais padrao, i.e., com media nula e desvio padrao igual a unidade, chamada de

Transformacao de Nataf [12]. Dessa forma os cortes de isoprobabilidade se tornam

cırculos (ou esferas para maiores dimensoes) concentricos como a figura 2.14.

U =X − µσ

(2.12)

F (U) ≈ L(U) = G(up) +∇G(up)(u∗ − up)

24

Como o MPP e o ponto mais proximo da origem no espaco U, o procedimento

para determinar sua localizacao e encontrar o ponto pertencente a reta L(U) que

minimiza a distancia β = ‖up‖, onde up denota o vetor do ponto mais provavel.

E, ao final, a probabilidade de falha pode ser determinada por Φ(−β), onde Φ e a

funcao cumulativa de probabilidade.

Para favorecer a otimizacao, o vetor u∗ e atualizado baseado no impacto que

cada variavel tem no gradiente de G(u∗) — atraves da variavel a — ate que o erro

definido esteja seja suficientemente baixo. O fluxo completo esta demonstrado na

figura 2.15.

Figura 2.15: Fluxo de determinacao do MPP

25

Capıtulo 3

Resultados e Discussoes

3.1 Caso Unidimensional: Velocidade Estocastica

Assumindo que o limite de escoamento e completamente determinado para cada

material avaliado e somente a velocidade de impacto e uma variavel estatıstica,

o metodo para obter a espessura tal que a probabilidade de falha atinja o valor

desejado e o mesmo descrito na secao 2.5. Considerando uma distribuicao normal

para a velocidade com media igual a 1 m/s e desvio padrao a 0.2 m/s, seu grafico

de densidade de probabilidade assume a forma descrita pela figura 3.1. Ja o grafico

3.2 apresenta a probabilidade de falha alvo para cada velocidade de projeto.

Figura 3.1: Distribuicao de Velocidade

26

Figura 3.2: Grafico de Velocidade Crıtica

Foram levantados graficos para cada material listado representando a espessura

h necessaria para garantir a probabilidade de falha definida. A massa final (m)

do trem de pouso pode ser calculada utilizando o volume de material e sua massa

especıfica (ρ). Como a geometria do trem de pouso e de um retangulo de secao bxh

extrudado em 2L = 300mm seguindo a equacao 3.1.

m = 2L.b.h.ρ (3.1)

27

Tabela 3.1: Tabela de Materiais

MaterialLimite de

Escoamento (MPa)

Modulo de

Elasticidade (GPa)

Modulo de

Cisalhamento (GPa)

Massa

Especıfica (g/cc)

Fibra de

Carbono600 70 5 1.6

Aco AISI 1045 450 206 80 7.87

Aco AISI 1020 350 186 72 7.87

Alumınio

3005-H18225 69 26 2.73

Figura 3.3: Espessura de Projeto - Fibra de Carbono

28

Figura 3.4: Espessura de Projeto - AISI 1045

Figura 3.5: Espessura de Projeto - AISI 1020

29

Figura 3.6: Espessura de Projeto - Alumınio 3005

Para comparacao entre os materiais, foi definido uma probabilidade de falha

especificada em 20%, porem atendendendo ainda aos requisitos de deflexao maxima

em 8mm e flambagem lateral. Por exemplo, o material de fibra de carbono nao pode

ser completamente otimizado pela restricao de deformacao plastica pois antes disso

atingiu o limite da deflexao maxima e a espessura passou a ser determinada apenas

pelo ultimo requisito, resultando em uma probabilidade de falha por plasticidade

menor do que 20%.

30

Tabela 3.2: Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% - Unidimensional

MaterialEspessura

h (mm)

Probabilidade de

Falha Plastica

Deflexao Estatica

(mm)

Fator de Impacto

Maximo (phi max)

Deflexao

Dinamica Maxima

(deflexao*phi max)

Massa

Total (g)

Fibra de

Carbono12.7 0.03% 0.292 27.36 8.000 60.9

Aco AISI 1045 29.1 20% 0.008 157.86 1.302 687.1

Aco AISI 1020 43.9 20% 0.003 277.43 0.737 1036.5

Alumınio

3005-H1839.5 20% 0.010 144.63 1.422 323.5

31

3.2 Caso Geral: Espaco de Estado

A metodologia FORM descrita na secao 2.6 permite considerar mais de uma variavel

aleatoria para avaliacao da probabilidade de falha de um sistema atraves da funcao

G(X) que delimita regioes seguras (G > 0) e regioes de falha (G < 0). Como

exemplo, a figura 3.7 apresenta a funcao avaliada variando o limite de escoamento

e velocidade considerando um modulo de elasticidade de 90 GPa.

Figura 3.7: Funcao G - Exemplo (E = 90 GPa)

A principal vantagem de empregar esse metodo ocorre em casos que a resistencia

(limite de escoamento) nao pode ser determinado e seria necessario utilizar o infor-

mado pelo fabricante do material. Os fabricantes, por sua vez, definem um valor de

resistencia que pode ser garantido com certa seguranca pois existe uma certa varia-

bilidade devido o proprio processo produtivo. A forma de definir esse valor garantido

pode passar por um levantamento dos dados historicos de producao e encontrar um

valor tal que apenas α% dos resultados estejam abaixo desse valor.

Dessa forma, para demonstrar o efeito que essas hipoteses tem no valor final

da espessura de projeto, foi considerado que os valores de limite de escoamento

informados na tabela 3.1 na verdade sao os valores tal que para uma distribuicao

normal com desvio-padrao de 10 MPa, haveria uma chance de 2% dos resultados

assumirem um valor abaixo deste. A tabela 3.3 apresenta como fica o resultado

medio para o limite de escoamento de cada produto.

32

Figura 3.8: Distribuicao Esperada para o Limite de Escoamento

Tabela 3.3: Ajuste do Limite de Escoamento Fabril

MaterialFy Inferior (MPa)

(α = 2%)

Fy Medio

(MPa)

Fy Superior (MPa)

(α = 98%)

Fibra de Carbono 600 621 641

Aco AISI 1045 450 471 491

Aco AISI 1020 350 371 391

Alumınio 3005-H18 225 246 266

Para comparacao entre os materiais, foi utilizada um alvo de probabilidade de

falha em 20%. Assim como no caso de apenas a velocidade como variavel estatıstica,

o material composto de fibra de carbono atingiu primeiramente o requisito de de-

flexao maxima, por conta de seu baixo modulo de escoamento em comparacao com

os outros materiais.

Tabela 3.4: Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% -

Multidimensional (FORM)

MaterialEspessura h

(mm)

Probabilidade de

Falha Plastica

Deflexao Estatica

(mm)

Fator de Impacto

Maximo (phi max)

Deflexao

Dinamica Maxima

(deflexao*phi max)

Massa

Total (g)

Fibra de

Carbono12.7 0.004% 0.292 27.36 8.000 60.9

Aco AISI 1045 26.6 20% 0.011 138.64 1.485 629.0

Aco AISI 1020 39.1 20% 0.004 233.51 0.876 923.1

Alumınio

3005-H1833.3 20% 0.016 112.45 1.837 273.0

33

De posse dos valores da tabela 3.4, e possıvel compara-los com os resultados

obtidos na ultima secao. Para todos os materiais avaliados a espessura necesaria

foi reduzida com o uso do FORM. Isso pode ser explicado pela consideracao que o

limite de escoamento nao ser mais limitado a um unico valor seguro pelo lado do

fabricante do material, mas sim uma faixa dos valores reais obtidos historicamente.

Aquele que apresentou maior variacao foi o Alumınio 3005, de certa forma explicado

pelo impacto do criterio de ajuste de limite de escoamento fabril, onde este obteve

o maior aumento percentual em relacao ao seu valor original.

Tabela 3.5: Comparacao entre os Resultados Obtidos

MaterialFORM:

Espessura h (mm)

Unidimensional:

Espessura h (mm)

Diferenca

Percentual

Fibra de Carbono 12.7 12.7 0%

Aco AISI 1045 26.6 29.1 -8%

Aco AISI 1020 39.1 43.9 -11%

Alumınio 3005-H18 33.3 39.5 -16%

Figura 3.9: Reducao Percentual de Espessura

34

3.3 Analise de Sensibilidade

Uma das possibilidades da metodologia e verificar o nıvel de importancia de cada

variavel aleatoria para o valor final da probabilidade de falha. Essa analise pode ser

conduzida para os parametros da distribuicao estatıstica. No caso de uma distri-

buicao normal, os seus dois parametros descritivos (media e desvio padrao) podem

ser avaliados por um metodo detalhado em [13].

O objetivo e encontrar a sensibilidade sp da probabilidade de falha com relacao

a cada parametro p de cada variavel aleatoria Xi, como descrito na equacao 3.2.

sp =∂pf∂p

(3.2)

Para o caso especıfico de que as variaveis aleatorias assumam distribuicao nor-

mal, a sensibilidade para o valor medio e desvio padrao da variavel sao 3.3 e 3.4

respectivamente, onde u∗i e a projecao do vetor u do MPP na dimensao da variavel

Xi.

sµi = Φ(−β)u∗iσi β

(3.3)

sσi = Φ(−β)(u∗i )

2

σi β(3.4)

Tabela 3.6: Tabela de Sensibilidade

Sensibilidade fy

(1/MPa)

Sensibilidade v

(1/(m.s−1))

Valor Medio -5.09E-03 9.67E-01

Desvio Padrao 1.09E-03 7.87E-01

35

A partir da tabela 3.6, gerada considerando o modulo de elasticidade em 70 GPa

e limite de escoamento medio em 225 MPa, e possıvel identificar tres caracterısticas:

1. O resultado negativo da sensibilidade do valor medio de limite de escoamento

indica que com o aumento desse valor medio, a probabilidade de falha seria

reduzida; o que e condizente com o comportamento esperado.

2. Para uma cada variavel aleatoria, as sensibilidades com respeito ao seu valor

medio e ao seu desvio padrao tem a mesma ordem de grandeza.

3. A sensibilidade com relacao ao valor medio de velocidade tem ordem de gran-

deza duas vezes maior (valor aproximadamente 200 vezes maior) do que em

relacao ao valor medio do limite de escoamento no sistema de unidades ado-

tado.

Essa diferenca de ordem de grandeza pode ser ajustado atraves da re-

ferencia/sistema de unidades utilizado para calculo da sensibilidade. Entao, de

forma aproximada, e possıvel afirmar que a diminuicao da media de velocidade em

0.1 m/s seria equivalente a aumentar o limite de escoamento do material em 20

MPa.

36

Capıtulo 4

Consideracoes Finais

4.1 Trabalhos Futuros

A teoria de Carga Estatica Equivalente possibilitou a determinacao da relacao en-

tre velocidade de impacto e todas as restricoes de um projeto de trem de pouso.

Porem, ela e por natureza conservadora, uma vez que nao e admitida dissipacao

de energia enquanto a carga esta sendo aplicada dinamicamente. Uma alternativa

para quantificar a dissipacao de energia seria atraves de experimentos fısicos reais

com o impacto de uma massa calibrada na extremidade do trem de pouso, afericao

da deflexao maxima admitida no teste e posterior comparacao com o esperado pela

teoria de Carga Estatica Equivalente.

A propria velocidade de impacto se mostrou um fator importante (atraves da

analise de sensibilidade) para definir com precisao a probabilidade de falha de um

projeto. Existem duas propriedades a se verificar: (1) A forma da distribuicao es-

tatıstica (i.e., se o historico de velocidade realmente segue uma distribuicao normal

ou pode se adequar a outra distribuicao — gama, por exemplo) e (2) Os parametros

descritivos dessa distribuicao estatıstica. Para esse trabalho foram utilizados uma

referencia historica de velocidades porem dada a alta sensibilidade da probabilidade

de falha com relacao ao valor da velocidade, e recomendado que esses valores se-

jam validados atraves de telemetria, por exemplo; contribuindo efetivamente para a

definicao precisa da probabilidade de falha real.

37

Referencias Bibliograficas

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bility . International student edition, second edition ed. McGraw-Hill Interna-

tional Book Company, 1963.

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performance-composites.com/carbonfibre/mechanicalproperties_2.

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sado: 20-12-2017.

[5] DE LIMA, L. R. O., “Notas de Aula - Resistencia dos Materiais IV”, http:

//www.labciv.eng.uerj.br/rm4/files/cap_4.pdf.

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Part 1. D. Van Nostrand, 1948.

[8] KROESE, D. P., RUBINSTEIN, R. Y., “Monte Carlo methods”, Wiley Inter-

disciplinary Reviews: Computational Statistics , v. 4, n. 1, pp. 48–58, 2 2012.

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Structural Design. 1st ed. Springer, 2006.

38

[10] AM, H., LIND, N., “An Exact and Invariant First Order Reliability Format”,

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[11] AYYUB, BILAL M.; MCCUEN, R. H., Probability, Statistics, and Reliability

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[12] ROSENBLATT, M., “Remarks on a Multivariate Transformation”, Ann. Math.

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[13] XIAOPING, D., “First Order and Second Reliability Methods”, In: Probabilis-

tic Engineering Design, chap. 7, pp. 1–14, University of Missouri, 2005.

[14] SEUNG-KYUM CHOI, R. V. G., CANFIELD, R. A., Reliability-based Struc-

tural Design. v. 1. Springer, 2006.

39

Apendice A

Codigo Fonte

import numpy as np

from scipy import stats

import scipy as scy

import xlwings as xw

#X = [fy, v]

material_base = {"carbon":[600., 70.E3, 5.E3, 1.6],

"steel1020":[350., 186.E3, 72.E3, 7.87],

"aluminium3005":[225., 69.E3, 26.E3, 2.73],

"steel1045":[450., 206.E3, 80.E3, 7.87]}↪→

#material = [Mpa fy, E, G, rho g/cc]

max_deflex = 8 #mm

#g = 9.81 #m/s2

M_total = 14. #kg

m = M_total / 2

P = 9.81 * m

L = 150. #mm

l = 80. #mm

b = 10. #mm

40

pf = 0.2

n_gus=3

a = ['carbon', 'steel1045', 'steel1020', 'aluminium3005']

material_x = a[n_gus]

E = material_base[material_x][1]

G = material_base[material_x][2]

rho = material_base[material_x][3]

fy = np.array([material_base[material_x][0], 10.]) #MPa

v = np.array([1., 0.2]) #m/s

def mass(h):

#grams

return A(h)*L*2*rho/1000

def A(h):

return h*b

def I(h):

#I_x

return b*h**3 / 12

def C(h):

#rigidez torcional

#tabela: [ b/c, alpha, beta]

41

table = [[1.00, 1.50, 1.75, 2.00, 2.50, 3.00, 4.00,

6.00, 8.00, 10.00, 100],

[0.208, 0.231, 0.239, 0.246, 0.258, 0.267,

0.282, 0.299, 0.307, 0.313, 0.333],

[0.141, 0.196, 0.214, 0.229, 0.249, 0.263,

0.281, 0.299, 0.307, 0.313, 0.333]]

ratio = max([b, h]) / min([b, h])

beta = np.interp(ratio, table[0], table[2])

return G*beta*max([b, h])*min([b, h])**3

def F_buckling(h, E=E):

#forca critica para buckling -> N

I_y = h*b**3 / 12

return (4.013/(L-l)**2) * (E*I_y*C(h))**0.5

def sig_max(h):

#sigmax**2 = sig_flexao**2 + 3 * sig_cisalh**2

return ((P*(L-l)*(h/2.)/I(h))**2+3*(P/A(h))**2)**0.5

def W_cin(v):

return m*v**2/2 #N.m

def W_est(h, E=E):

return P**2/(2*E*I(h)) * (2./3*l**3 - L*l**2 + L**3 / 3)

* 1E-3 #N.m

42

def phi(h, v, E=E):

return 1 + (1 + W_cin(v) / W_est(h, E) )**0.5

def dphi_dWcin(h, v):

return 1 / ( 2*W_est(h) * (phi(h, v)-1) )

def dphi_dWest(h, v):

return (W_cin(v) / W_est(h)) * dphi_dWcin(h, v)

def dWest_dl(h):

return P**2/(2*E*I(h)) * (2*l**2 - 2*L*l) * 1E-3 #N.m

def deflex(h):

return (P/(E*I(h)) * (2*l**3/3 - L*l**2 + L**3/3))

fy_form = np.array([material_base[material_x][0] -

stats.norm.ppf(0.02)*10, 10.])↪→

X = np.array([fy_form, v])

x_med, x_dp = X[:,0] , X[:,1]

def g(h, X):

return (X[0] - phi(h, X[1]) * sig_max(h))

43

def g_grad_X(h, X):

return np.array([1,

-sig_max(h) * dphi_dWcin(h, X[1]) * (m*X[1])])

def Pf(h):

n=0

x = x_med

u = (x - x_med)/x_dp

beta = np.linalg.norm(u)

error = 1

n_list = []

u_list = []

error_list = []

beta_list = []

while error > 1E-5 and n < 100:

a = (g_grad_X(h, x) * x_dp) /

np.linalg.norm(g_grad_X(h, x) * x_dp)

beta_new = beta + g(h, x) /

np.linalg.norm(g_grad_X(h, x) * x_dp)

44

u_new = -a * beta_new

x_new = x_med + x_dp * u_new

p_failure = stats.norm.cdf(-beta_new)

#error = np.linalg.norm(u_new - u)

error = abs(beta_new - beta)

beta_list.append(beta)

x = x_new

u = u_new

beta = beta_new

n+=1

n_list.append(n)

error_list.append(error)

u_list.append(u_new)

u_list = np.array(u_list)

return p_failure, u_new#, n, a, a**2, x_new

45

def sensibility(h):

#X = [fy, v]

pf, u_actual = Pf(h)

beta_actual = np.linalg.norm(u_actual)

return (np.ndarray.tolist(pf/beta_actual * u_actual / x_dp)+

np.ndarray.tolist(pf/beta_actual * u_actual**2 / x_dp))

def Pf_v(h):

def scr(v, h_t):

return g(h_t, [fy[0], v])

v_actual = scy.optimize.root(scr, x0 = 1.0, args = (h,)).x[0]

return 1 - stats.norm.cdf((v_actual-v[0])/v[1])

def score_v(h, X):

return g(h, X)**2

def h_from_v(pf_target):

V_crit = v[0] + v[1]*stats.norm.ppf(1-pf_target)

f1 = lambda h_t: F_buckling(h_t) - P * phi(h_t, v[0])

c1 = {"type":"ineq", "fun": f1}

f2 = lambda h_t: max_deflex - deflex(h_t) *

phi(h_t, v[0] + v[1]*stats.norm.ppf(0.98))

c2 = {"type":"ineq", "fun": f2}

res = scy.optimize.minimize(score_v, x0 = 5.,

method="SLSQP", bounds = [[2., 50.]],

46

args = [fy[0], V_crit], constraints=(c1,c2))

return res.x[0]

def score_form(h, pf_target):

return 1E3*(Pf(h)[0] - pf_target)**2

def h_optimize(pf_target):

f1 = lambda h_t: F_buckling(h_t) - P * phi(h_t, v[0])

c1 = {"type":"ineq", "fun": f1}

f2 = lambda h_t: max_deflex - deflex(h_t) * phi(h_t, v[0] +

v[1]*stats.norm.ppf(0.98))↪→

c2 = {"type":"ineq", "fun": f2}

result = scy.optimize.minimize(score_form, x0 = 30.,

method="SLSQP", args = (pf_target),

constraints=(c1,c2))

return result.x[0]

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