Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Torção

5/24/2018 Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado Tor o

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DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

TORO

Resumo

Introduo

Todo conjugado que tende a torcer uma pea fazendo-a girar sobre seu prprio eixo

denominado momento torsor ou torque.

Na prtica, a toro simples, isto , sem atuao simultnea de momentos fletores e

esforos cortantes, raramente ocorre. O mais comum ocorrer toro aliada a um

momento fletor e uma fora cortante, mesmo que tais esforos sejam causados apenas

pelo peso prprio do elemento estrutural.

Em estruturas de concreto, a ligao entre vigas e as lajes e entre vigas apoiadas em

outras vigas d origem ao momento de toro, que podem ser divididos em dois tipos de

momentos, os de compatibilidade e os de equilbrio. No dimensionamento, momentosde compatibilidade podem ser desprezados, entretanto a toro de equilbrio

imprescindvel para garantir a estabilidade da estrutura.

Desde o incio do sculo passado numerosos estudos experimentais foram realizados em

vigas de concreto armado sob solicitao de toro simples. Os resultados dos estudos

justificaram o dimensionamento simplificado toro, considerando-se as vigas com

seo vazada (oca) e de parede fina, segundo as equaes clssicas da Resistncia dos

Materiais, formuladas por BREDT.



Assim como feito no dimensionamento das vigas ao esforo cortante na toro ser feita

tambm a analogia com uma trelia, espacial porm. A Trelia Generalizada, com

ngulo q varivel de inclinao das diagonais comprimidas, o modelo atualmente mais

aceito internacionalmente.

Como no dimensionamento para outros tipos de solicitao, as tenses de compresso

sero absorvidas pelo concreto e as tenses de trao pelo ao, na forma de duas

diferentes armaduras, uma longitudinal e outra transversal (estribos).

O fenmeno da toro nas vigas de concreto armado vem sendo pesquisado desde o

incio do sculo passado, com base nos conceitos fundamentais da resistncia dosmateriais e da teoria da elasticidade. Pesquisadores como Saint-Venant (Toro livre em

seo qualquer) e Prandlt (utilizao da analogia de membrana) foram os primeiros a se

destacar, quando suas pesquisas avanaram para a soluo do problema da toro.

A partir de Brendt, o fluxo de tenses foi compreendido, atravs da teoria dos tubos de

paredes finas. Na parte experimental, podem-se destacar os estudos de Mrsch,

Thrlimann e Lampert, fundamentais para o conhecimento do comportamento mecnico

de vigas submetidas toro. Com os trabalhos de Thrlimann e Lampert ocorreu a

globalizao da Trelia Generalizada fundamentados na Teoria da Plasticidade. (LIMA;

PINHEIRO, 2007; SNNCHEZ, 1999)

As prescries normativas brasileiras para o dimensionamento de estruturas de concreto

(NBR-6118) admitem o modelo da trelia espacial generalizada, em concordncia com

o modelo de trelia para analise da resistncia fora cortante. Pesquisas existentes

sobre a resistncia na ruptura de elementos estruturais submetidos solicitaes

combinadas ainda no determinaram um mtodo confivel e simples para ser aplicado

na prtica. Logo, a metodologia empregada a de calcular as solicitaes em separado e

somar seus resultados com a aplicao de coeficientes corretores, provenientes dos

ensaios e estudos realizados em peas reais. (FUSCO, 2008; SNNCHEZ, 1999)

Esse artigo expe a problemtica da atuao de esforos de toro em vigas de concreto

armado assim como seu clculo de dimensionamento das mesmas, em concordncia

com prescries da NBR-6118 e das equaes bsicas da resistncia dos materiais



Casos comuns de toro

Um caso comum de toro em vigas de concreto armado ocorre quando h uma

excentricidade entre a carga aplicada e o eixo longitudinal da viga, causando assim um

momento que tende a torcer o eixo principal do elemento (figura 1).

Figura 1 - Viga em balano com carregamento excntrico

A toro pode ocorrer tambm em vigas no formato T invertido, onde se atuam foras

em cada lado da mesa, chamando tais foras de F1 e F2, se as cargas das duas diferem,

ocorrer uma toro na mesma (figura 2).

Figura 2 - Viga tipo T invertida para apoio de estrutura de piso ou de coberta

Porm, o caso mais comum de toro apresentado nas lajes em balano, engastadas

em vigas de apoio, como em marquises. O fato de no haver continuidade entre a laje de



balano e as lajes internas construo faz com que a laje deva estar obrigatoriamente

engastada na viga de apoio, a flexo sofrida na laje causa uma toro na viga (figura 3).

Figura 3 - Toro da viga devido engastamento da laje em balano

Tipos de Toro

Para o estudo do comportamento das peas submetidas ao esforo torsor, no tocante

tenses e deformaes, costuma-se classificar dois tipos de toro:

Toro simpes ou de Saint-Venant; Toro de empenamento, flexo-torso ou toro de Vlassov.

O primeiro tipo de toro caracteriza-se por um no impedimento s deformaes

longitudinais da pea, denominado comumente de empenamento. Tal fato, no ir gerar

tenses normais longitudinais na pea, ocorrendo apenas tenses de cisalhamento

originrias do momento de toro e, eventualmente, a uma combinao com as tenses

de cisalhamento originarias do esforo cortante da pea.

A flexo-toro caracteriza-se em hastes de paredes delgadas, tais como perfis metlicos

ou de concreto protendido, quando o impedimento do empenamento gera tenses

longitudinais que ocasionam uma flexo destas paredes delgadas acompanhadas das

tenses de cisalhamento da toro simples ou de Saint Venant. (TIMOSHENKO, 1975).

Toro simples (Toro de Saint-Venant)

Em uma barra de seo circular submetida a um momento de toro, com empenamento

permitido, surgem as tenses principais a 45 e 135 com o eixo longitudinal da barra,



desenvolvendo-se assim uma trajetria de tenses segundo uma curva helicoidal em

torno da barra. A trajetria das tenses principais de trao ocorre na direo da rotao

e a compresso na direo contrria ao longo do permetro da seo (figura 4).

Figura 4 - Trajetrias das Tenses principais em uma seo circular

Considerando um estado de tenso segundo a direo dos eixos longitudinal e

transversal da seo, o momento de toro provoca o surgimento de tenses de

cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra e em planos longitudinais

(figura 5).

Figura 5 - Tenses devidas toro: a) tenses de cisalhamento; b) tenses principais de trao e

compresso; c) trajetria helicoidal das fissuras (MACGREGOR, 1997)



A distribuio das tenses de cisalhamento em sees transversais circulares e

quadradas dada da seguinte forma: tenses de cisalhamento mximas nas superfcies

externas da seo e zero nos vrtices e no eixo que passa pelo centro de gravidade

(figura 6). Por tal fato, as vigas de concreto armado sob momento de toro so

dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina.

Figura 6 - Variao de tenses de cisalhamento na seo transversal

Comportamento de vigas de concreto armado toro

H trs estgios distintos onde as vigas de concreto armado submetidas ao esforo de

toro demonstram seu comportamento em funo da carga de toro aplicada mesma

(LEONHARDT; MONNIG, 1977).

1 estgio Nvel de solicitao baixo, caracterizando uma toro praticamente nula; A seo transversal considerada de forma completa; Considera-se a pea homognea, isotrpica e trabalhando no regime elstico-

linear.

2 estgio Solicitaes medianas, existindo dificuldade de se determinar quando ocorre o

incio e o trmino deste estgio de solicitao;

Mesmo com o surgimento das primeiras fissuras, as teorias elsticas aindapodem ser utilizadas.



3 estgio Nvel de solicitao alto, havendo desenvolvimento da fissurao ao longo da

viga;

No h mais possibilidade de se trabalhar no regime elstico, pois a viga passase comportar de forma inelstica;

H a necessidade de se elaborar modelos mais sofisticados, baseados na teoriada plasticidade.

A nvel de deformaes, importante salientar que em peas de concreto armado h de

se considerar o grau de fissurao da pea para os critrios de dimensionamento, sendo

necessrio estudar a pea no fissurada (1 estgio) e com certo grau de fissurao (2

estgio). Vale ressaltar ainda que quando uma viga solicitada toro, as fissuras

ocorrem para desprezveis valores de solicitao, dificultando o estabelecimento do

inicio e trmino de cada estgio.

Comportamento das vigas de concreto armado submetidas toro simples

LEONHARDT & MONNIG (1982) fizeram a descrio dos resultados de ensaios

realizados por MORSCH entre 1904 e 1921, onde foram realizados estudos com

cilindros ocos sujeitos toro simples nas formas:

Sem armadura; Com armadura longitudinal; Com armadura transversal; Com armadura longitudinal e transversal; Com armadura em forma de hlice.

Da analise dos ensaios, foi confirmado que, nas sees de concreto armado, as tenses

principais de trao e compresso so inclinadas de 45 e com traado helicoidal. Aps

o surgimento das fissuras devido a toro, apenas uma casca externa e com pequena

espessura colabora na resistncia da seo toro.



Isso ficou evidente em ensaios de sees ocas ou cheias com armaduras idnticas, que

apresentaram mesmas deformaes e tenses nas armaduras. A tabela 1 apresenta os

resultados experimentais obtidos para o momento de fissurao

Tabela 1 - Momentos torsores de primeira fissura e de ruptura (kN.cm) de sees ocasensaiadas po MORSCH

Seo Momento Torsor de

primeira fissura (kN.cm)

Momento torsor de

ruptura (kN.cm)

Sem armaduras 2330 2330

Com armadura

longitudinal

2330 2380

Com armaduratransversal

2500 2500

Com armadura

longitudinal e transversal

2470 3780

Com armadura helicoidal 2700 >7000*

* A mquina de ensaio no levou a seo ruptura

Os ensaios demonstraram que na seo oca sem armadura, as fissuras so inclinadas a

45 e em forma de hlice. Em sees com armadura ou longitudinal ou transversal, o

aumento da resistncia foi desprezvel. Em sees com armadura longitudinal e

transversal a resistncia ruptura aumentou. Com armadura helicoidal, seguindo a

trajetria das tenses principais de trao, o aumento da resistncia foi mais efetivo que

nas outras sees.

Trelia espacial generalizada

A analogia da trelia espacial um modelo proposto por Ernest Rausch em 1929, sendo

utilizada para o dimensionamento das armaduras transversais de vigas de concreto

armado desde o incio do sculo XX.

Tal analogia baseia-se na hiptese de a trelia espacial ser formada por bielas de

concreto comprimidas a 45 e por barras de ao longitudinais e transversais conectadas

por ns. O elemento diagonal carregado somente com compresso axial, sendo a



resistncia ao cisalhamento desprezada e as barras de ao transversais e longitudinais

so solicitadas somente trao (FUSCO, 2008).

O modelo da Trelia Espacial Generalizada que adotado para os estudos de toro tem

origem clssica idealizada por Ritter e Mrschpara cisalhamento e foram Lampert eThrlimann (1971) que generalizaram o modelo da trelia espacial para elementos de

concreto estrutural sujeito toro.

Para a simplicidade nas dedues, admite-se que as vigas de concreto armado

solicitadas toro tm uma seo retangular macia, cujo comportamento face toro

pode ser assimilado a uma seo vazada (Teoria de Bredt) com espessura fictcia he.

As armaduras longitudinais so constitudas por tirantes e localizadas nos vrtices da

seo. J a armadura transversal ser constituda por estribos fechados e normais ao eixo

longitudinal. (FUSCO, 2008)

Observa-se que na idealizao da Trelia espacial generalizada considerada uma seo

quadrada (ABCD), como mostra a figura 01, com armadura longitudinal e transversal,

apenas para apresentao das expresses que regem o dimensionamento.



A fissurao da viga de concreto armado apresenta um aspecto helicoidal, com a

inclinao da fissurao variando em cada face da seo. Essas faces so analisadas

separadamente constituindo 4 (quatro) painis fissurados submetido a um fluxo detenses tangenciais (TIMOSHENKO, 1975).

Resumindo o modelo da Trelia Espacial Generalizada uma associao da teoria de

Bredt ao modelo do painel fissurado, ou seja, ao modelo da trelia plana para anlise da

fora cortante.

Dimensionamento toro segundo a NBR-6118

Os itens 17.5, 17.6 e 17.7 da NBR 6118 tratam do dimensionamento de estruturas de

concreto sujeitas toro. A norma considera o modelo resistente constitudo por uma

trelia espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seo vazada equivalente

ao elemento estrutural a dimensionar. A norma tambm permite ao projetista trabalhar

com inclinao das bielas variando de 30 a 45 tanto na toro quanto no

dimensionamento ao cisalhamento.

H a denominao de dois tipos de toro: toro de equilbrio e toro de

compatibilidade. A toro de compatibilidade surge como consequncia do

impedimento ao giro das vigas (ARAJO, J.M, 2013). Um caso comum o das vigas

de borda, ligadas monoliticamente s lajes de piso. Enquanto a ligao se encontra no

estdio I, a laje est engastada elasticamente na viga, o momento fletor negativo da

borda da laje transmitido viga com um momento torsor por unidade de

comprimento. No geral, essa toro no essencial ao equilbrio, desaparecendo outornando-se insignificante aps a fissurao do concreto. Por tal motivo, no se

considera a toro de compatibilidade no projeto de vigas de concreto armado.

Em outros casos, a toro essencial ao equilbrio, como ocorre em vigas de

sustentao de marquises e de escadas em balano. Nesses casos, a viga deve ser

dimensionada flexo com toro, obrigatoriamente. A esta toro, denominamos

toro de equilbrio.

A NBR 6118 admite trs modos de ruptura de uma viga submetida toro:



Ruptura por esmagamento das bielas; Ruptura por escoamento dos estribos; Ruptura por escoamento das barras longitudinais.

A cada modo de ruptura corresponde um momento torsor de clculo .

6.1 Toro de compatibilidade

Como j foi dito anteriormente, s a toro de equilbrio precisa ser considerada no

dimensionamento das vigas. A toro de compatibilidade pode ser desprezada, desde que se

observe a condio seguinte:

Vsd 0,7 VRd,2

VRd,2 = 0,27 . v . fcd. bw. d .sen 2

Em que:

Vsd = fora cortante solicitante de clculo;

VRd,2 = fora cortante resistente de calculo, relativa runa das diagonais comprimidas de

concreto;

= coeficiente em funo do tipo da seo transversal analisada;

fcd = resistncia de clculo compresso do concreto;

bw = largura da alma de uma viga;

d = altura til;

= ngulo de inclinao.



6.2 Transformao da seo cheia em seo vazada

As sees cheias sero calculadas como sees vazadas, com parede fictcia de espessura h1.

Para seo retangular com: h > b:

C1

bse hs distncia entre os eixos das barras da armadura longitudinal dos cantos

A rea total da seo cheia

u permetro da seo cheia

c1 distancia do centro da barra de canto at as bordas

6.3 Inclinao da biela comprimida

Com a seo resistente equivalente, admite-se o modelo de trelia generalizada, com

bielas inclinadas de 30 a 45 em relao ao eixo da pea.

6.4 Seo Composta de Retngulos Alongados

Para as sees compostas de retngulos o momento de toro deve ser distribudo pelos

retngulos levando-se em conta a rigidez de cada um desses elementos, admitindo-se,

hhs

bs

b

h1



aproximadamente, J = a b representa a rigidez individual, a parcela resistida por este

escreve-se:

em que:

a o menor lado do retngulo;

b o maior lado do retngulo;

Tsd = Momento de toro solicitante de clculo;

Tsdi = Parcela de Tsd a ser resistida por cada retngulo constituinte da seo composta

por retngulos.

6.5 Tenso tangencial

A2

T1,4

e e

tdh

Em que:

td = tenso tangencial de clculo;

Ae= rea limitada pela linha mdia da parede, incluindo a parte vazada;

he= espessura da parede no ponto considerado;

T = momento de toro

Para que a pea submetida ao isolada de um momento de toro T Sd seja

considerada segura, devem ser verificadas as seguintes condies:

TSd TRd,2 = resistncia limite em funo da compresso das diagonais de concreto;

i3i

i3i

ba

baTsdTsdi



TSd TRd,3 = resistncia limite em funo da trao nos estribos perpendiculares ao eixo

da pea;

TSd TRd,4 = resistncia em funo da trao nas barras longitudinais paralelas ao eixo

da pea.

Onde TSd a tenso de toro atuante na viga e TRd,2 o momento toror que pode ser

resistido pela biela, sendo que o clculo dessa biela na diagonal efetuado seguindo a

seguinte frmula:

TRd,2 = 0,50 v2fcdAehesen 2

Em que:

Ae= rea limitada pela linha mdia da parede;

he= espessura equivalente da parede da seo vazada;

v2= 1-fck /250, com o fck em megapascal;


6.6 Dimensionamento das Armaduras

6.6.1 Toro simples:

Os estribos so verificados conforme a seguinte expresso:

fywd = fywk/ s 435 MPa (CA-50);

A90= rea da seo transversal de um estribo;

Ae= rea limitada pela linha mdia da parede;

s = espaamento dos estribos;


A resistncia decorrente da armadura longitudinal deve atender seguinte expresso:

gcotA2f

s

AT

eywd

90

3,Rd



Em que:

Asl= soma das reas das sees das barras longitudinais.

ue= permetro de Ae

6.6.2 Toro e Flexo:

Nos casos em que se pode considerar a existncia simultnea tanto de toro uniforme

quanto de flexo-toro, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas

parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de toro, ou ento, uma dessas

formas pode ser desprezada quando se admite uma capacidade adequada de

acomodao plstica da estrutura, e que o mecanismo desprezado no tenha rigidez

superior ao mecanismo considerado como resistente.

6.6.3 Armadura mnima:

Na toro de equilbrio, as taxas mnimas de armadura transversal e longitudinal devem

respeitar os limites mnimos:

ywk

ctmswsl f

f*2,0

Em que:

sl= taxa geomtrica mnima de armadura longitudinal;

sw= taxa geomtrica mnima da armadura transversal;

fctm = tenso de trao media no concreto;

fywk = tenso de escoamento do ao.

tgAfue

AT eywd

slRd 24,



Em cada canto da armadura transversal, quando no houver barras longitudinais

previstas pelo clculo, devem-se colocar barras de armao com dimetro maior que

10 mm ou do dimetro do estribo.

6.6.4 Toro e fora cortante:

A resistncia compresso diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo

expresso:

Em que VSd e TSd so os esforos de clculo que agem concomitantemente na seo. A

armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente.

1T

T

V

V

Rd2

Sd

Rd2

Sd

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