Dimensionamento e Avaliação sísmica de um edifício ... · Dimensionamento e Avaliação sísmica de um edifício metálico irregular contraventado de 3 pisos ... Professora Doutora

Dimensionamento e Avaliação sísmica de um edifício

metálico irregular contraventado de 3 pisos

Nuno Gonçalo Matos Pereira Esteves da Cruz

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadora: Professora Doutora Rita Maria do Pranto Nogueira Leite Pereira Bento

Júri

Presidente: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Orientadora: Professora Doutora Rita Maria do Pranto Nogueira Leite Pereira Bento

Vogal: Professor Doutor José Miguel de Freitas Castro

Abril 2015

i

Agradecimentos

Começo por expressar os meus sinceros e profundos agradecimentos à minha orientadora,

Professora Rita Bento pelo incansável apoio, disponibilidade, ensinamentos e incentivo ao longo

destes meses. Obrigado por sempre acreditar em mim qualquer que fosse o obstáculo enfrentado e

pela oportunidade de trabalhar neste desafiante e entusiasmante projeto. Revelou-se ser uma

experiência muito enriquecedora do ponto de vista profissional.

À Engenheira Rita Peres reservo uma enorme e sincera gratidão por tudo aquilo que me

ensinou, pela sua sabedoria, motivação, disponibilidade, dedicação e persistência desde o primeiro

dia de trabalho, que se revelaram preponderantes na realização desta dissertação.

Ao Professor José Miguel Castro da FEUP tenho a agradecer bastante pela sabedoria,

ensinamentos e sugestões partilhadas nos últimos meses.

Ao Engenheiro Filipe Ribeiro da FCT pela ajuda na compreensão de certas vertentes do

programa de elementos finitos OpenSees.

Em geral agradeço a todos os colegas e amigos com os quais me tornei mais próximo estes

últimos anos, pelo seu apoio e amizade incondicional demonstrados e pelos bons momentos

proporcionados. Em particular, e relativamente ao presente trabalho, tenho a agradecer ao Emanuel

Freitas pelas discussões construtivas, sugestões e motivação.

A minha mais profunda gratidão destina-se aos meus pais por todo o apoio, compreensão e

felicidade, o que sou hoje devo-o sobretudo a eles. Por esta razão e muitas mais, lhes dedico esta

dissertação.

iii

Resumo

As tipologias de pórticos metálicos mais utilizadas em regiões sísmicas são pórticos simples

constituídos por ligações rígidas (Moment Resisting Frames, MRFs), pórticos contraventados

concêntricos (Concentric Brace Frames, CBFs) e pórticos com contraventamento excêntrico

(Eccentrically Braced Frames, EBFs). Esta dissertação tem como objectivo o estudo de estruturas

metálicas restringidas lateralmente por pórticos contraventados concêntricos com diagonais em X

localizados em zonas sísmicas. É realizado o dimensionamento gravítico segundo o Eurocódigo 3

(EC3) e é aplicada a metodologia Improved Force Based Design (IFBD) proposta por (Villani et al.

2009), compatível com a metodologia prevista no Eurocódigo 8 (EC8), para o dimensionamento

sísmico. O EC8, de forma a garantir o comportamento dissipativo do pórtico CBF preconiza o

dimensionamento por capacidade resistente (capacity design principles) através de regras específicas

para os elementos dissipativos (contraventamentos) e não-dissipativos (colunas e vigas) com o

objetivo de obter um modo de colapso da estrutura por plastificação uniforme em altura dos

contraventamentos, mantendo vigas e colunas em regime elástico. Ambas as metodologias de

dimensionamento (IFBD e EC8) são aqui discutidas com especial foco às consequências que as

disposições do EC8 têm no dimensionamento sísmico de estruturas contraventadas. Nomeadamente

a dificuldade em garantir em paralelo níveis adequados de sobre-resistência e o limite de esbelteza

dos elementos dissipativos e de como este processo leva geralmente a soluções estruturais

sobredimensionadas e pesadas.

Duas estruturas, uma regular e outra irregular restringidas lateralmente por pórticos contraventados

concêntricos no seu perímetro, são dimensionadas segundo a metodologia IFBD complementada

com as prescrições regulamentares presentes no EC8 para o dimensionamento sísmico de pórticos

contraventados concêntricos. Recorre-se em ambas as estruturas a análises estáticas não lineares

(pushover) que permitem obter curvas de capacidade (resistência) em cada direção principal e em

seguida feita uma avaliação do desempenho sísmico de ambas as estruturas dimensionadas

recorrendo ao método N2 proposto pelo EC8.

Tentou-se ainda que as mesmas estruturas, submetidas a análises dinâmicas não-lineares, fossem

avaliadas quanto à resposta histerética dos contraventamentos em altura. Alguns problemas

numéricos não permitiram realizar o número de análises dinâmicas não lineares necessárias para

uma avaliação sísmica adequada.

A modelação realizada no âmbito da avaliação sísmica foi feita com recurso ao software de

elementos finitos direcionado para a análise não-linear, OpenSees (PEER, 2006). O código

concebido foi pioneiro na modelação não linear de estruturas metálicas contraventadas num ambiente

tridimensional.

Palavras-Chave: Estruturas contraventadas centradas; Improved Force Based Design; Análise

estática não-linear; Avaliação sísmica; OpenSees

v

Abstract

The most common seismic-resistant steel frames built in areas of high seismicity are Moment

Resisting Frames (MRFs), Concentric Brace Frames (CBFs) and Eccentrically Braced Frames

(EBFs). This thesis aims at designing and evaluating the seismic response of X-Bracing CBFs steel

structures in particular. The design for the vertical loads is accomplished according to European code

EC3 while for seismic design an improved design procedure identified as Improved Force Based

Design (IFBD) proposed by Villani et al. (2009) was carried out in complete accordance with the

design criteria and detailing rules for frames with concentric braces prescribed by European code

EC8.

The IFBD procedure incorporates a proposal for an enhanced selection of the behaviour factor

resulting in an improvement of the force-based procedure implemented in EC8 and consequently aims

at the achievement of more optimised and economical solutions. A detailed comparison between IFBD

and EC8 design steps is carried out. The code procedure regarding the capacity design approach of

CBFs, which involves simultaneously ensuring overstrenght requirements and diagonal slenderness

limitations, is subjected to a critical assessment by the author concerning its consequences on the

design of CBFs, generally leading to oversized structural solutions.

A regular and irregular in plan three storey CBF structures are studied and they are both laterally

restrained, i.e. with concentrically braced frames all along its perimeter. These structures are designed

according to IFBD procedure in accordance with EC8´s design criteria and detailing rules and in

accordance with EC3’s rules regarding the resistance of cross-sections and buckling resistance of

members.

Afterwards, the capacity of both structures is defined through a non-linear static analysis, commonly

referred to as Pushover Analysis. Seismic performance evaluation is carried out through the N2

method, adopted by EC8, which takes into account the inelastic deformation and structural strength

demands imposed by the design ground motion on both structures.

The same set of structures is evaluated through a non-linear dynamic time history analysis, which

performance is only evaluated in terms of hysteretic response distribution along the height of the

structures.

The non-linear modelling of CBF structures in this study, accomplished throughout the finite-element

software OpenSees (PEER, 2006), was precursor at seismic evaluation in a tridimensional

environment for structures of this nature.

Key Words: Concentric Braced Frames; Improved Force Based Design; Non-linear static analysis;

Seismic assessment; OpenSees;

Índice

vii

Índice Geral

AGRADECIMENTOS I

RESUMO III

ABSTRACT V

ÍNDICE GERAL VII

ÍNDICE FIGURAS XI

ÍNDICE TABELAS XVII

LISTA DE ABREVIATURAS XIX

1 Introdução 1

1.1 Enquadramento 1

1.2 Objetivo 2

1.3 Estrutura da Dissertação 3

2 Pórticos Contraventados 5

2.1 Evolução 5

2.2 Tipologias 6

2.3 Métodos de Análise 8

2.3.1 Dimensionamento 8

2.3.2 Avaliação Desempenho Sísmico 10

2.4 Comportamento não-linear dos contraventamentos e dimensionamento por capacidade resistente

(capacity design) 14

3 Dimensionamento para cargas verticais 19

3.1 Introdução 19

3.1.1 Apresentação das estruturas 19

3.1.2 Modelação das Estruturas 23

3.2 Ação Gravítica 25

3.3 Efeitos 2ª ordem 29

3.4 Verificação ELD 30

Índice

viii

3.5 Verificação ELU 31

3.5.1 Resistência da Secção 31

3.5.2 Resistência dos elementos à encurvadura 32

3.6 Soluções estruturais obtidas 34

4 Dimensionamento Sísmico 35

4.1 Introdução 35

4.1.1 Prescrições do EC8: Coeficiente de Comportamento e Tipos de Estrutura 35

4.1.2 Regras específicas do EC8 para pórticos com contraventamentos centrado 37

4.2 Ação Sísmica 39

4.3 Descrição Metodologia IFBD 40

4.3.1 Sistema lateral de restrição e dimensionamento dos perfis para as cargas verticais. 42

4.3.2 Corte basal elástico segundo o período fundamental da estrutura. 42

4.3.3 Limitação do deslocamento relativo entre pisos 42

4.3.4 Estimativa do coeficiente de comportamento 43

4.3.5 Corte basal de cálculo 48

4.3.6 Quantificação do coeficiente de sensibilidade. 48

4.3.7 Verificação aos Estados Limites Últimos (ELU) para a força de corte basal de cálculo.

Prescrições do EC8 50

4.3.8 Comentário aos critérios de dimensionamento por capacidade resistente do EC8 52

4.3.9 Resultados 54

4.3.10 Configuração Final dos Pórticos 56

4.3.11 Massas e Momentos de Inércia 57

4.3.12 Períodos e Modos de Vibração da configuração final das estruturas 58

5 Avaliação do Desempenho Sísmico 61

5.1 Introdução 61

5.2 Modelação Não-Linear das Estruturas 62

5.2.1 Introdução 62

5.2.2 Representação do comportamento não-linear 65

5.2.3 Elementos 66

5.2.4 Relação tensão-deformação dos materiais 68

5.2.5 Rigidez Torsional dos elementos estruturais 69

5.2.6 Massa 69

5.2.7 Laje 70

5.2.8 Transformações geométricas do sistema de coordenadas local para global 70

5.2.9 Ligações articuladas 71

5.2.10 Amortecimento Viscoso 77

5.2.11 Modos de Vibração OpenSees vs. SAP2000 78

5.3 Análise Estática Não Linear ( Análise Pushover ) 79

Índice

ix

5.3.1 Método N2 – método proposto pelo EC8 80

5.4 Análise Dinâmica não-linear 86

5.4.1 Definição da Ação Sísmica - Acelerogramas 87

5.5 Resultados - Método N2 89

5.5.1 Estrutura REG 89

5.5.2 Estrutura IRREG 102

5.6 Resultados - Análise Dinâmica não-linear 116

5.7 Comparação entre análises 118

5.7.1 Estrutura REG 118

5.7.2 Estrutura IRREG 120

6 Considerações Finais 123

6.1 Conclusões Finais 123

6.2 Recomendações para Desenvolvimentos Futuros 124

7 Bibliografia 127

Índice Figuras

xi

Índice Figuras

FIGURA 2.1: DIFERENTES CONFIGURAÇÕES DE PÓRTICOS CONTRAVENTADOS CENTRADOS (SABELLI, ROEDER & HAJJAR,

2013) ................................................................................................................................................................................................... 6

FIGURA 2.2: CONFIGURAÇÃO PORTICADA EM K (UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN 2006) .......................................................... 7

FIGURA 2.3: CONFIGURAÇÕES TÍPICAS DE PÓRTICOS COM CONTRAVENTAMENTO EXCÊNTRICO (POPOV & ENGELHARDT

1988) ................................................................................................................................................................................................... 7

FIGURA 2.4: COMPORTAMENTO ELÁSTICO-PERFEITAMENTE PLÁSTICO DO MATERIAL (LOPES 2008) ........................................ 8

FIGURA 2.5: DIFERENÇA DO DIMENSIONAMENTO ENTRE MRF E CBF, (URIZ & PARK 2008) .................................................... 10

FIGURA 2.6: RESPOSTA HISTERÉTICA DOS CONTRAVENTAMENTOS COM RÓTULAS NA EXTREMIDADE, (MAHMOUDI & ZAREE

2010) ................................................................................................................................................................................................. 15

FIGURA 2.7: PÓRTICOS CONTRAVENTADOS CENTRADOS EM X: (A) MECANISMO PLÁSTICO GLOBAL EXPECTÁVEL. (B)

MECANISMO SOFT-STOREY (ARCELORMITTAL 2009) .............................................................................................................. 16

FIGURA 2.8: PÓRTICO DE LIGAÇÕES RÍGIDAS: (A) COMPORTAMENTO PLÁSTICO UNIFORME. (B) MECANISMO SOFT-STOREY

(LOPES 2008) ................................................................................................................................................................................... 17

FIGURA 3.1: ESTRUTURA REGULAR EM PLANTA (REG) E RESPETIVAS BANDAS DE INFLUÊNCIA (DIMENSÕES EM M) ............. 20

FIGURA 3.2: ESTRUTURA IRREGULAR EM PLANTA (IRREG) E RESPETIVAS BANDAS DE INFLUÊNCIA (DIMENSÕES EM M) ..... 20

FIGURA 3.3: ID CORTES ESTRUTURA REG ............................................................................................................................................ 21

FIGURA 3.4: ID CORTES ESTRUTURA IRREG ........................................................................................................................................ 21

FIGURA 3.5: CORTE BB’ E CC’ (DIMENSÕES EM M ; ÂNGULOS EM GRAUS), DIREÇÃO Y ................................................................. 22

FIGURA 3.6: CORTE AA’ (DIMENSÕES EM M ; ÂNGULOS EM GRAUS), DIREÇÃO X ............................................................................ 22

FIGURA 3.7: MODELO T/O DOS CONTRAVENTAMENTOS (BRANDONISIO ET AL. 2012) ............................................................... 24

FIGURA 3.8: MODELO NO SAP2000 DO PÓRTICO RESISTENTE ......................................................................................................... 24

FIGURA 3.9: DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS GRAVÍTICAS NOS PÓRTICOS RESISTENTES EM Y (DIMENSÕES EM M).......................... 26

FIGURA 3.10: DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS GRAVÍTICAS NOS PÓRTICOS RESISTENTES EM X (DIMENSÕES EM M) ....................... 26

FIGURA 3.11: ID PÓRTICOS RESISTENTES E GRAVÍTICOS NA ESTRUTURA REG .............................................................................. 27

FIGURA 3.12: ID PÓRTICOS RESISTENTES E GRAVÍTICOS NA ESTRUTURA IRREG .......................................................................... 27

FIGURA 4.1: PÓRTICOS COM CONTRAVENTAMENTOS DIAGONAIS CENTRADOS (CEN 2004) ....................................................... 36

FIGURA 4.2: PÓRTICOS COM CONTRAVENTAMENTOS EM V CENTRADOS (CEN 2004) ................................................................. 37

FIGURA 4.3: PÓRTICOS COM CONTRAVENTAMENTOS EXCÊNTRICOS (CEN 2004) ......................................................................... 37

FIGURA 4.4: CÁLCULO DAS ÁREAS DAS PROJEÇÕES HORIZONTAIS DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS (CEN 2004) ......................... 38

Índice Figuras

xii

FIGURA 4.5: REPRESENTAÇÃO DO ESPECTRO DE RESPOSTA ELÁSTICO, SISMO TIPO1, SOLO TIPO B ............................................. 40

FIGURA 4.6: DIAGRAMA QUALITATIVO DE ESFORÇO AXIAL PARA A AÇÃO SÍSMICA NOS PÓRTICOS PLANOS SEGUNDO DIREÇÃO Y

.............................................................................................................................................................................................................. 45

FIGURA 4.7: DIAGRAMA QUALITATIVO DE ESFORÇO AXIAL PARA A AÇÃO GRAVÍTICA NOS PÓRTICOS PLANOS SEGUNDO DIREÇÃO

Y ........................................................................................................................................................................................................... 46

FIGURA 4.8: RESPOSTA PADRÃO DE UM PÓRTICO METÁLICO DE LIGAÇÕES RÍGIDAS (VILLANI ET AL. 2009) ............................ 46

FIGURA 4.9: MODELO T/O (TENSION ONLY) DAS DIAGONAIS (BRANDONISIO ET AL. 2012) ...................................................... 50

FIGURA 4.10: MODELO T/C DAS DIAGONAIS (BRANDONISIO ET AL. 2012) ................................................................................... 51

FIGURA 5.1: MODELO TRIDIMENSIONAL OPENSEES DA REG ............................................................................................................. 62

FIGURA 5.2: MODELO TRIDIMENSIONAL OPENSEES DA IRREG ........................................................................................................ 63

FIGURA 5.3: PÓRTICO 1, MODELO OPENSEES ....................................................................................................................................... 64





FIGURA 5.8: DISPOSIÇÃO TIPO DAS FIBRAS NA DUPLA DOS PERFIS HEB E IPE E PERFIS CHS (URIZ & PARK 2008) ............. 65

FIGURA 5.9: MODELAÇÃO CONTRAVENTAMENTO SEGUNDO (URIZ & PARK 2008), (A) IMPERFEIÇÃO INICIAL, (B) PONTOS

DE INTEGRAÇÃO DE GAUSS, (C) EXEMPLO DE TIPOS SECÇÃO TRANSVERSAL DISCRETIZADAS EM FIBRAS, (D) RELAÇÃO

CONSTITUTIVA UNIAXIAL TENSÃO-DEFORMAÇÃO PARA A FIBRA ............................................................................................... 66

FIGURA 5.10 EFEITO DA IMPERFEIÇÃO INICIAL NA RESPOSTA LOCAL DO CONTRAVENTAMENTO À COMPRESSÃO (URIZ ET AL.

2008) ................................................................................................................................................................................................. 67

FIGURA 5.11: EFEITO DA IMPERFEIÇÃO INICIAL NO COMPORTAMENTO HISTERÉTICO DO CONTRAVENTAMENTOS (URIZ ET AL.

2008) ................................................................................................................................................................................................. 67

FIGURA 5.12: COMPORTAMENTO DO COMANDO UNIAXIALMATERIAL HARDENING (MAZZONI ET AL. 2007) .......................... 68

FIGURA 5.13: VARIÁVEIS (EM CIMA) E COMPORTAMENTO (EM BAIXO) DO COMANDO UNIAXIALMATERIAL STEEL02

(MAZZONI ET AL. 2007) ................................................................................................................................................................. 69

FIGURA 5.14: ILUSTRAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS LOCAIS PARA GLOBAIS (MAZZONI ET AL.

2007) ................................................................................................................................................................................................. 70

FIGURA 5.15: MODELO OPENSEES DO PÓRTICO NA DIR. Z (FORA DE ESCALA) E REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA DE

COORDENADAS GLOBAIS ................................................................................................................................................................... 71

Índice Figuras

xiii

FIGURA 5.16: COMPORTAMENTO DO CONTRAVENTAMENTOS COMPRIMIDO, COM IMPERFEIÇÃO INICIAL FORA DO PLANO,

DOTADO DE LIBERTAÇÃO DA ROTAÇÃO FORA-DO-PLANO NAS EXTREMIDADES (UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN 2006)

.............................................................................................................................................................................................................. 71

FIGURA 5.17: PORMENOR CONSTRUTIVO DA LIGAÇÃO 'GUSSET PLATE'(UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN 2006) ................. 72

FIGURA 5.18: ESQUEMA LIBERTAÇÃO DE BASE DA COLUNA (FORA DE ESCALA) .............................................................................. 72

FIGURA 5.19: ESQUEMA DA LIGAÇÃO ‘GUSSET-PLATE’ AO NÍVEL DOS PISOS (FORA DE ESCALA) E RESPETIVO SISTEMA GLOBAL

DE COORDENADAS.............................................................................................................................................................................. 73

FIGURA 5.20: PROCEDIMENTO ‘ROTSPRING3D’ PARA A RÓTULA DO CONTRAVENTAMENTO ......................................................... 73

FIGURA 5.21: COMPORTAMENTO UNIAXIALMATERIAL ELASTIC (MAZZONI ET AL. 2007) .......................................................... 74

FIGURA 5.22: MODELO FÍSICO ENCURVADURA 'FORA DO PLANO' DOS CONTRAVENTAMENTOS (UNIVERSITY OF TEXAS AT

AUSTIN 2006)................................................................................................................................................................................... 74

FIGURA 5.23: PÓRTICO 1, SECÇÃO DE EXTREMIDADE DA DIAGONAL COMPRIMIDA DO PISO 1, MOMENTOS FLETORES EM Z E Y

NORMALIZADOS VS DESLOCAMENTO NÓ DE CONTROLO .............................................................................................................. 75

FIGURA 5.24: PÓRTICO 1, SECÇÃO DE MEIO-VÃO DA DIAGONAL COMPRIMIDA DO PISO 1, MOMENTOS FLETORES EM Z E Y

NORMALIZADOS VS DESLOCAMENTO NÓ DE CONTROLO .............................................................................................................. 76

FIGURA 5.25: PÓRTICO 1, MODELO 2, CONTRAVENTAMENTOS, ESFORÇO AXIAL NORMALIZADO VS DEFORMAÇÃO AXIAL

NORMALIZADA .................................................................................................................................................................................... 76

FIGURA 5.26: COMANDO RAYLEIGH E RESPETIVAS VARIÁVEIS, (MAZZONI ET AL. 2007) ............................................................. 78

FIGURA 5.27: CURVA DE CAPACIDADE DE UMA ESTRUTURA METÁLICA DE LIGAÇÕES RÍGIDAS (LOPES 2008) ......................... 79

FIGURA 5.28: ESPECTRO DE RESPOSTA ELÁSTICO NO FORMATO ADRS ........................................................................................... 81

FIGURA 5.29: DISTRIBUIÇÃO MODAL DIR. Z ......................................................................................................................................... 81

FIGURA 5.30: DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DIR. Z ................................................................................................................................... 81

FIGURA 5.31: DISTRIBUIÇÃO MODAL DIR. X ......................................................................................................................................... 82

FIGURA 5.32: DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DIR. X ................................................................................................................................... 82

FIGURA 5.33: SISTEMA DE 1 GDL EQUIVALENTE PARA A CURVA DE CAPACIDADE (NOGUEIRO ET AL. 2006) .......................... 84

FIGURA 5.34: DETERMINAÇÃO CURVA IDEALIZADA ELASTO-PERFEITAMENTE PLÁSTICA (CEN 2004) .................................... 84

FIGURA 5.35: DETERMINAÇÃO DO DESLOCAMENTO OBJETIVO DO SISTEMA DE 1GL EQUIVALENTE PARA PERÍODOS BAIXOS

(NOGUEIRO ET AL. 2006) ............................................................................................................................................................... 85

FIGURA 5.36: DETERMINAÇÃO DO DESLOCAMENTO OBJETIVO DO SISTEMA DE 1GL EQUIVALENTE PARA PERÍODOS MÉDIOS OU

LONGOS (NOGUEIRO ET AL. 2006) ................................................................................................................................................ 85

FIGURA 5.37: CORRESPONDÊNCIA DOS REGISTOS COM O ESPECTRO RESPOSTA ELÁSTICO AG=0.3G, SISMO TIPO 1 SOLO B ... 88

FIGURA 5.38: ESTRUTURA REG, CURVA CAPACIDADE DIREÇÃO X ................................................................................................... 89

Índice Figuras

xiv

FIGURA 5.39: ESTRUTURA REG, PADRÃO MODAL DIR. X, CONTRAVENTAMENTOS PÓRTICOS 3, ESFORÇO AXIAL VS

DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE PISOS ...................................................................................................................................... 90

FIGURA 5.40: ESTRUTURA REG, PADRÃO MODAL DIR. X, CONTRAVENTAMENTOS PÓRTICO 3, ESFORÇO AXIAL VS

DESLOCAMENTO DE TOPO ............................................................................................................................................................... 90

FIGURA 5.41: ESTRUTURA REG, PADRÃO MODAL DIR. X, COMPARAÇÃO ENTRE CURVA DE CAPACIDADE DA CONTRIBUIÇÃO

DE CONTRAVENTAMENTOS DOS PÓRTICOS NA DIR. X E CURVA DE CAPACIDADE DO CORTE BASAL TOTAL ........................ 91

FIGURA 5.42: ESTRUTURA REG PÓRTICO 3, PADRÃO MODAL DIR. X, ESFORÇO AXIAL COMPRESSÃO NORMALIZADO VS

DESLOCAMENTO RELATIVO NORMALIZADO ................................................................................................................................... 92

FIGURA 5.43: ESTRUTURA REG, PÓRTICO 1, PADRÃO MODAL DIR. X, DRIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO TOPO ........ 93

FIGURA 5.44: ESTRUTURA REG, PÓRTICO 1, PADRÃO UNIFORME DIR. X, DRIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO TOPO .. 93

FIGURA 5.45: ESTRUTURA REG, CURVA DE CAPACIDADE DIR.Z ....................................................................................................... 94

FIGURA 5.46: ESTRUTURA REG, PADRÃO MODAL, PÓRTICO 1, DRIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO DE TOPO .............. 95

FIGURA 5.47: PADRÃO MODAL, DRIFTS ENTRE PISOS PARA UM VALOR DE DESLOCAMENTO DE TOPO 0,16M E 0,18 M ........ 95

FIGURA 5.48: ESTRUTURA REG, PADRÃO UNIFORME DIR. Z, PÓRTICO 1 DRIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO DE TOPO

.............................................................................................................................................................................................................. 95

FIGURA 5.49: ESTRUTURA REG, COMPARAÇÃO ENTRE CURVA DE CAPACIDADE DA CONTRIBUIÇÃO PARA O CORTE BASAL DOS

CONTRAVENTAMENTOS DOS PÓRTICOS NA DIR. Z E CURVA DE CAPACIDADE DE TODOS OS PÓRTICOS DA ESTRUTURA

(CORTE BASAL TOTAL) ...................................................................................................................................................................... 96

FIGURA 5.50: PADRÃO MODAL DIR.Z, CONTRAVENTAMENTOS PÓRTICO 1, ESFORÇO AXIAL VS DESLOCAMENTO DE TOPO .. 97

FIGURA 5.51: PADRÃO MODAL DIR. Z, CONTRAVENTAMENTOS PÓRTICO 1, ESFORÇO AXIAL VS DESLOCAMENTO RELATIVO

ENTRE PISOS ....................................................................................................................................................................................... 97

FIGURA 5.52: ESTRUTURA REG, PÓRTICO 1, PADRÃO MODAL, ESFORÇO DE COMPRESSÃO NORMALIZADO VS DESLOC.

RELATIVO NORMALIZADO ................................................................................................................................................................. 97

FIGURA 5.53: ESTRUTURA REG, DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO DESLOCAMENTO-ALVO DIR. X, SISTEMA 1GDL ...................... 98

FIGURA 5.54: ESTRUTURA REG, CURVA DE CAPACIDADE DIR. X ATÉ AO DESLOCAMENTO-ALVO, SISTEMA MGDL ................ 98

FIGURA 5.55: ESTRUTURA REG, DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO DESLOCAMENTO-ALVO DIR. Z, SISTEMA 1GDL ...................... 98

FIGURA 5.56: ESTRUTURA REG, CURVA DE CAPACIDADE DIR. Z ATÉ AO DESLOCAMENTO-ALVO, SISTEMA MGDL ................ 98

FIGURA 5.57: ESTRUTURA REG, PÓRTICO 3 ,DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS MÁXIMOS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM CIMA,

E DRIFTS ENTRE PISOS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM BAIXO. ................................................................................................... 99

FIGURA 5.58: ESTRUTURA REG PÓRTICO 1, DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS MÁXIMOS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM CIMA,

E DRIFTS ENTRE PISOS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM BAIXO ................................................................................................. 100

FIGURA 5.59: ESTRUTURA REG, RESPOSTA CONTRAVENTAMENTOS DO PÓRTICO 3 PARA O DESLOCAMENTO-ALVO .......... 101

Índice Figuras

xv

FIGURA 5.60: ESTRUTURA REG, RESPOSTA CONTRAVENTAMENTOS DO PÓRTICO 1 PARA O DESLOCAMENTO-ALVO .......... 101

FIGURA 5.61: ESTRUTURA IRREG, CURVA CAPACIDADE DIR. X .................................................................................................... 102

FIGURA 5.62: ESTRUTURA IRREG PÓRTICO 4, ESFORÇO AXIAL CONTRAVENTAMENTOS VS DESLOCAMENTO DE TOPO ..... 103

FIGURA 5.63: ESTRUTURA IRREG PÓRTICO 4, DRIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO TOPO ............................................. 103

FIGURA 5.64: ESTRUTURA IRREG PÓRTICO 4, ESFORÇO AXIAL COMPRESSÃO DA DIAGONAL NORMALIZADO VS

DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE PISOS NORMALIZADO ........................................................................................................ 104

FIGURA 5.65: ESTRUTURA IRREG, CURVA DE CAPACIDADE DIR. Z ............................................................................................... 104

FIGURA 5.66: ESTRUTURA IRREG, PÓRTICO 1 (CONTRAVENTAMENTOS), ESFORÇO AXIAL VS DESLOCAMENTO TOPO DO

PÓRTICO 1 ....................................................................................................................................................................................... 105

FIGURA 5.67: ESTRUTURA IRREG, PÓRTICO 2 (CONTRAVENTAMENTOS), ESFORÇO AXIAL VS DESLOCAMENTO TOPO DO

PÓRTICO 2 ....................................................................................................................................................................................... 105

FIGURA 5.68: ESTRUTURA IRREG, PADRÃO MODAL, DRIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO TOPO DO PÓRTICO 1 ....... 106

FIGURA 5.69: ESTRUTURA IRREG, PADRÃO MODAL, DIFTS ENTRE PISOS VS DESLOCAMENTO TOPO DO PÓRTICO 2 .......... 106

FIGURA 5.70: ESTRUTURA IRREG, PADRÃO MODAL, DESLOCAMENTO DE TOPO PÓRTICO I NORMALIZADO VS

DESLOCAMENTO NÓ DE CONTROLO ............................................................................................................................................ 107

FIGURA 5.71: ESTRUTURA IRREG , PÓRTICO 1, ESFORÇO AXIAL COMPRESSÃO NORMALIZADO VS DESLOC. RELATIVO ENTRE

PISOS NORMALIZADO ...................................................................................................................................................................... 108

FIGURA 5.72: ESTRUTURA IRREG, PÓRTICO 2, ESFORÇO AXIAL COMPRESSÃO NORMALIZADO VS DESLOC. RELATIVO ENTRE

PISOS NORMALIZADO ...................................................................................................................................................................... 108

FIGURA 5.73: ESTRUTURA IRREG, DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO DESLOCAMENTO-ALVO DIR. X, SISTEMA 1GDL .............. 109

FIGURA 5.74: ESTRUTURA IRREG, CURVA DE CAPACIDADE DIR. X ATÉ AO DESLOCAMENTO ALVO, SISTEMA MGDL.......... 109

FIGURA 5.75: ESTRUTURA IRREG, DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO DESLOCAMENTO-ALVO DIR. Z, SISTEMA 1GDL .............. 109

FIGURA 5.76: ESTRUTURA IRREG, CURVA DE CAPACIDADE DIR. Z ATÉ AO DESLOCAMENTO-ALVO NO CM, SISTEMA MGDL

........................................................................................................................................................................................................... 109

FIGURA 5.77: ESTRUTURA IRREG PÓRTICO 4, DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM CIMA, E

DRIFTS ENTRE PISOS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM BAIXO .................................................................................................... 110

FIGURA 5.78: ESTRUTURA IRREG, TODOS PÓRTICOS DIR. Z, DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM

CIMA, E DRIFTS ENTRE PISOS NO DESLOCAMENTO-ALVO, EM BAIXO ...................................................................................... 111

FIGURA 5.79: ESTRUTURA IRREG, DIR. Z, DESLOCAMENTO DE TOPO NORMALIZADO .............................................................. 112

FIGURA 5.80: ESTRUTURA IRREG, RESPOSTA CONTRAVENTAMENTOS PÓRTICO 4 PARA O DESLOCAMENTO-ALVO ........... 112

FIGURA 5.81: ESTRUTURA IRREG, RESPOSTA CONTRAVENTAMENTOS PARA O RESPETIVO DESLOCAMENTO-ALVO NO

PÓRTICO 1 (EM CIMA) , PÓRTICO 3 (NO MEIO) E PÓRTICO 2 (EM BAIXO) ........................................................................... 113

Índice Figuras

xvi

FIGURA 5.82: ESTRUTURA IRREG, PÓRTICO 1, ESFORÇO AXIAL NORMALIZADO COLUNAS VS DESLOCAMENTO TOPO DO

PÓRTICO ........................................................................................................................................................................................... 114

FIGURA 5.83: ESTRUTURA IRREG, PÓRTICO 2, ESFORÇO AXIAL NORMALIZADO COLUNAS VS DESLOCAMENTO DE TOPO DO

PÓRTICO ........................................................................................................................................................................................... 114

FIGURA 5.84: ESTRUTURA IRREG, COMPARAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTO-ALVO E DESLOCAMENTO DE TOPO NORMALIZADO

VS DESLOCAMENTO NÓ DE CONTROLO ....................................................................................................................................... 115

FIGURA 5.85: PAR DE ACELEROGRAMAS COALINGA-01 .................................................................................................................... 116

FIGURA 5.86: ESTRUTURA REG DIREÇÃO Z, RESPOSTA HISTERÉTICA DOS CONTRAVENTAMENTOS. PISO 3 (EM CIMA, A

VERMELHO), PISO 2 (NO MEIO, A PRETO) E PISO 1 (EM BAIXO, A AZUL). ............................................................................. 117

FIGURA 5.87: ESTRUTURA REG DIREÇÃO X, RESPOSTA HISTERÉTICA DOS CONTRAVENTAMENTOS. PISO 3 (EM CIMA, A

VERMELHO), PISO 2 (NO MEIO, A PRETO) E PISO 1 (EM BAIXO, A AZUL). ............................................................................. 117

FIGURA 5.88: ESTRUTURA REG, CURVAS DE CAPACIDADE DIR. X ................................................................................................. 119

FIGURA 5.89: ESTRUTURA REG, CURVAS DE CAPACIDADE DIR. Z ................................................................................................. 119

FIGURA 5.90: ESTRUTURA IRREG, CURVAS DE CAPACIDADE DIR. X ............................................................................................. 121

FIGURA 5.91: ESTRUTURA IRREG, CURVAS DE CAPACIDADE DIR. Z ............................................................................................. 121

FIGURA 5.92: ESTRUTURA IRREG, PADRÃO MODAL DIR. Z, DISTRIBUIÇÃO DO CORTE BASAL EM PLANTA ENTRE

DTOPONÓDECONTROLO = 0,01M E 0,1M ................................................................................................................................................ 122

FIGURA 6.1: DETALHE DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS OFFSETS E GUSSET PLATE INCLUINDO A LOCALIZAÇÃO DA

RÓTULA COM RIGIDEZ ROTACIONAL (HSIAO ET AL. 2012) ..................................................................................................... 125

FIGURA 6.2: RELAÇÃO MOMENTO-ROTAÇÃO DA MOLA NÃO-LINEAR COM RIGIDEZ ROTACIONAL (HSIAO ET AL. 2012) ...... 125

Índice Tabelas

xvii

Índice Tabelas

TABELA 3.1: PROPRIEDADES AÇO ESTRUTURAL DAS VIGAS E COLUNAS ........................................................................................... 23

TABELA 3.2: PROPRIEDADES AÇO ESTRUTURAL DOS CONTRAVENTAMENTOS ................................................................................. 23

TABELA 3.3: PROPRIEDADES DA LAJE MISTA ......................................................................................................................................... 23

TABELA 3.4: VALORES CARACTERÍSTICOS DAS CARGAS GRAVÍTICAS ................................................................................................. 25

TABELA 3.5: CARGAS GRAVÍTICAS CARACTERÍSTICAS DA PÓRTICO 1 E 2 NA IRREG ..................................................................... 28

TABELA 3.6: CARGAS GRAVÍTICAS CARACTERÍSTICAS DA PÓRTICO 3 NA IRREG ........................................................................... 28

TABELA 3.7: CARGAS GRAVÍTICAS CARACTERÍSTICAS DA PÓRTICO A ............................................................................................... 28

TABELA 3.8: CARGAS GRAVÍTICAS CARACTERÍSTICAS DA PÓRTICO 4 E 5 DA IRREG ..................................................................... 28

TABELA 3.9: CONFIGURAÇÃO DOS PÓRTICOS 1, 2 E 3 DA IRREG - DIMENSIONAMENTO GRAVÍTICO ......................................... 34

TABELA 3.10: CONFIGURAÇÃO DOS PÓRTICOS 4 E 5 DA IRREG - DIMENSIONAMENTO GRAVÍTICO........................................... 34

TABELA 4.1: LIMITE SUPERIOR DOS VALORES DE REFERÊNCIA DE COEFICIENTE DE COMPORTAMENTO EM ESTRUTURAS

METÁLICAS PARA SISTEMAS REGULARES EM ALTURA (CEN 2004) ......................................................................................... 35

TABELA 4.2: REQUISITOS RELATIVOS À CLASSE DE SECÇÃO TRANSVERSAL (CEN 2004) ............................................................. 38

TABELA 4.3: PARÂMETROS PARA DEFINIR ESPECTRO DE RESPOSTA - SISMO TIPO 1, SOLO TIPO B ............................................. 39

TABELA 4.4: PARÂMETROS DE DIMENSIONAMENTO PÓRTICO 1 E 2 ................................................................................................. 54

TABELA 4.5: PARÂMETROS DE DIMENSIONAMENTO PÓRTICO 3 E 4 ................................................................................................. 54

TABELA 4.6: PARÂMETROS DE DIMENSIONAMENTO DAS PÓRTICO 1, 2 E 3 ..................................................................................... 55

TABELA 4.7: PARÂMETROS DE DIMENSIONAMENTO DA PÓRTICO 4 E 5 ........................................................................................... 55

TABELA 4.8: ESTRUTURA REG ; CONFIGURAÇÃO FINAL SÍSMICA PÓRTICO 1, 2, 3 E 4 .................................................................. 56

TABELA 4.9: ESTRUTURA IRREG ; CONFIGURAÇÃO FINAL SÍSMICA PÓRTICO 1, 2, 3, 4 E 5......................................................... 56

TABELA 4.10: PESO DAS PAREDES EM CADA DIREÇÃO ......................................................................................................................... 57

TABELA 4.11: PESO DA LAJE POR PISO .................................................................................................................................................... 57

TABELA 4.12: MASSA TOTAL NAS DUAS DIREÇÕES ............................................................................................................................... 57

TABELA 4.13: MOMENTO POLAR DE INÉRCIA POR PISO ...................................................................................................................... 58

TABELA 4.14: RESUMO DAS MASSAS E MOMENTO POLAR DE INÉRCIA POR PISO ............................................................................. 58

TABELA 4.15: PERÍODOS E MODOS VIBRAÇÃO REG ............................................................................................................................. 58

TABELA 4.16: PERÍODOS E MODOS VIBRAÇÃO IRREG ........................................................................................................................ 59

TABELA 5.1: DIVISÃO DAS FIBRAS NAS SECÇÕES HEB, IPE E CHS.................................................................................................... 65

Índice Tabelas

xviii

TABELA 5.2: MÓDULO DE ELASTICIDADE, E [KPA] DOS MATERIAIS PRESENTES NO MODELO 1 E MODELO 2........................... 75

TABELA 5.3: VALORES DO COEFICIENTE Β PARA A ESTRUTURA REG E IRREG .............................................................................. 78

TABELA 5.4: COMPARAÇÃO MODOS VIBRAÇÃO ENTRE MODELOS T+C OPENSEES E SAP ............................................................. 79

TABELA 5.5: CÁLCULO DO FACTOR DE TRANSFORMAÇÃO EM AMBAS AS ESTRUTURAS PARA CADA DIREÇÃO ............................. 83

TABELA 5.6: CONJUNTO DOS ACELEROGRAMAS ADOTADOS ................................................................................................................ 88

TABELA 5.7: CONFIGURAÇÃO PÓRTICOS DIR. X ESTRUTURA REG.................................................................................................... 91

TABELA 5.8: ESTRUTURA REG, CONFIGURAÇÃO PÓRTICOS DIR. Z ................................................................................................... 97

TABELA 5.9: ESTRUTURA REG, VALORES DO FACTOR DE TRANSFORMAÇÃO EM CADA DIREÇÃO ................................................. 99

TABELA 5.10: ESTRUTURA REG, DESLOCAMENTOS-ALVO ................................................................................................................. 99

TABELA 5.11: CONFIGURAÇÃO PÓRTICOS DIR. X ESTRUTURA REG E ESTRUTURA IRREG ...................................................... 103

TABELA 5.12: CONFIGURAÇÃO PÓRTICOS DIR. Z PARA ESTRUTURA REG E ESTRUTURA IRREG ........................................... 107

TABELA 5.13: ESTRUTURA IRREG, VALORES DOS FACTOR DE TRANSFORMAÇÃO EM CADA DIREÇÃO ..................................... 109

TABELA 5.14: ESTRUTURA IRREG, DESLOCAMENTOS-ALVO ......................................................................................................... 110

TABELA 5.15: ESTRUTURA REG, COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE ANÁLISES ......................................................................... 118

TABELA 5.16: ESTRUTURA IRREG, COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE ANÁLISE ...................................................................... 120

TABELA 5.17: ESTRUTURA IRREG, DISTRIBUIÇÃO CORTE BASAL (%) DOS PÓRTICOS DA DIR. Z EM PLANTA ....................... 122

xix

Lista de Abreviaturas

1GDL 1 grau de liberdade

ACSM Adaptive Capacity Spectrum Method

CBF Concentric Braced Frame, Pórticos metálicos com contraventamentos centrados

CEN Comité Européen de Normalisation

CQC Combinação Quadrática Completa

DCH Ductility Class High, Classe de ductilidade alta

DCM Ductility Class Medium, Classe de ductilidade média

EBF Eccentrically Braced Frame, Pórticos com contraventamentos excêntrico

EC3 EN 1993-1-1, Eurocódigo 3: Projeto de estruturas de aço – Parte 1-1: Regras gerais e

regras para edifícios

EC8 EN 1998-1, Eurocódigo 8: Projeto de estruturas para resistência aos sismos – Parte 1:

Regras gerais, ações sísmicas e regras para edifícios

ELD Estado de Limitação de Danos

ELU Estado Limite Último

IFBD Improved Force Based Design

IRREG Estrutura metálica porticada Irregular em planta

MGDL Múltiplos graus de liberdade

MPA Modal Pushover Analysis

MRF Moment Resisting Frames, Pórticos metálicos de ligações rígidas viga-coluna

NSP Nonlinear Static Procedures

OpenSees Open System for Earthquake Engineering Simulation

PEER Pacific Earthquake Engineering Research Center

PP Performance Point, deslocamento-alvo

RCP Restantes cargas permanentes

REG Estrutura metálica porticada Regular em planta

T/O Tension Only Model, Modelo com diagonais só à tração

T+C Tension and Compression Model, Modelo com diagonais à compressão e tração

Capítulo 1. Introdução

1

1 Introdução

1.1 Enquadramento

O desempenho sísmico de estruturas metálicas foi avaliado durante o sismo de Northridge

(Califórnia) em 1994 e Kobe (Japão) em 1995 – verificou-se que estas apresentaram um

comportamento inadequado para a intensidade de ação sísmica ocorrida. Verificou-se a acumulação

de elevados prejuízos económicos resultantes da necessidade de reparação de estruturas metálicas

profundamente danificadas. Estes sismos afetaram em particular as estruturas metálicas porticadas

de ligações rígidas (Moment Resisting Frame, MRF) onde se verificou a rotura frágil das ligações

viga-coluna cujo comportamento contribuiu para a aprendizagem sobre este tipo de estruturas.

Segundo (Uriz & Park 2008) os projetistas previam que as ligações rígidas coluna-viga deste tipo de

edifícios tivessem capacidade de suportar rotações plásticas na ordem de pelo menos 2%. Porém

foram observadas roturas frágeis neste tipo de ligações. Os danos observados nestas estruturas

mostraram as limitações das abordagens de dimensionamento estipuladas nos regulamentos que

tinham estado em vigor até àquela data. Com o intuito de prevenir danos semelhantes no futuro,

foram levadas a cabo campanhas de investigação desde então. Apesar do menor número de

ocorrências em estruturas contraventadas no sismo de Northridge, estas também foram alvo de forte

investigação decorrente do fraco desempenho sísmico observado.

Hoje em dia os requisitos que se impõem ao projetista são muito mais exigentes, de tal forma que o

dimensionamento sísmico tem por base não apenas o critério de não colapso, tendo em vista a

salvaguarda da vida humana, mas também o critério de limitação de danos sob um sismo menos

severo mas mais frequente. Como tal o desempenho sísmico tem que estar aliado a uma reparação

fácil e de baixo custo da estrutura afetada. Este é o ponto essencial do presente e do futuro do

dimensionamento da engenharia sísmica, e que tem também relevo em Portugal sabendo-se que no

contexto da tectónica de placas, o território português constitui uma zona de sismicidade importante.

Os regulamentos atuais, em particular o Eurocódigo 8 (CEN 2004) especifica o critério de limitação

dos danos impostos a uma estrutura sujeita a uma ação sísmica para além do critério de não colapso.

A sua importância centra-se no intuito de manter o edifício com a mesma finalidade de uso para que

foi dimensionado. Outro ponto fulcral são que os custos associados à reparação/reabilitação do

edifício não sejam elevados em contraposto com o custo inicial da sua construção.


2

O presente trabalho tem como objetivo o dimensionamento e a avaliação do comportamento sísmico

das estruturas metálicas com pórticos contraventados diagonais centrados. Estas estruturas, que se

inserem no tipo de estruturas denominadas Concentric Brace Frames (CBF), têm sido muito usadas

para resistir à ação sísmica e onde os contraventamentos vão ser os elementos sísmicos principais

para o desempenho sísmico destas estruturas (elementos considerados como fazendo parte do

sistema estrutural resistente à ação sísmica).

Num enquadramento histórico, em Portugal, as estruturas pioneiras com disposições construtivas

pensadas para resistir à ação sísmica, soluções contraventadas, tiveram lugar no pós-sismo de

Lisboa de 1755. Estas soluções estão presentes nos edifícios pombalinos que subsistem até aos dias

de hoje. Estes edifícios são essencialmente compostos por uma estrutura denominada Gaiola

Pombalina que consiste num conjunto de pórticos de madeira tridimensionais contraventados e

perpendiculares entre si.

1.2 Objetivo

Nesta dissertação pretende-se dimensionar e avaliar, face à ação sísmica, estruturas metálicas

tridimensionais constituídas por pórticos contraventados centrados. Assim, no âmbito do

dimensionamento é feito o estudo dos prós e contras associados à escolha de uma solução estrutural

CBF e é realizada uma abordagem crítica às prescrições do EC8 respeitantes à solução CBF.

Procede-se primeiro ao dimensionamento gravítico e sísmico de duas estruturas metálicas

tridimensionais de pórticos contraventados, uma regular e outra irregular em planta. O

dimensionamento gravítico é realizado de acordo com o EC3 (CEN 2005), enquanto que o

dimensionamento sísmico é feito com base na metodologia proposta por (Villani et al. 2009)

denominada Improved Force Based Design (IFBD) sendo esta compatível com o EC8 (CEN 2004).

Metodologia essa que foi aplicada em estruturas MRF na dissertação (Villani 2009) e aplicada em

estruturas CBF nesta dissertação.

Por forma a estimar a exigência realista de deformações e esforços, ambas as estruturas

dimensionadas são avaliadas quanto ao seu desempenho sísmico a partir do método de análise

baseado em deslocamentos, o método N2, que recorre a análises estáticas não lineares. . Pretende-

se ainda que as mesmas estruturas, sejam avaliadas quanto à resposta histerética dos

contraventamentos em altura, a partir da realização de análises dinâmicas não-lineares. A modelação

realizada no âmbito da avaliação sísmica é feita com recurso ao software de elementos finitos

direcionado para a análise não-linear, OpenSees (PEER, 2006), mas alguns problemas numéricos

não permitem realizar as análises dinâmicas não lineares necessárias para uma avaliação sísmica

adequada.

Este trabalho tem também como objetivo desenvolver código percursor na modelação tridimensional

de estruturas metálicas contraventadas, no âmbito da avaliação do desempenho sísmico, por via do

software de elementos finitos direcionado para a análise não-linear, OpenSees.


3

1.3 Estrutura da Dissertação

A presente dissertação encontra-se dividida em seis capítulos, referencias bibliográficas e anexos.

No primeiro capítulo faz-se um enquadramento do tema e definem-se os objetivos desta dissertação.

No segundo capítulo apresenta-se a evolução histórica e diferentes tipologias de pórticos metálicos

contraventados e é descrito em detalhe o comportamento em regime não-linear dos

contraventamentos pertencentes a pórticos com contraventamento centrado (CBF) e o

dimensionamento por capacidade resistente deste tipo de pórticos. É feita a descrição e distinção dos

métodos de análise utilizados no dimensionamento sísmico e na avaliação sísmica.

No terceiro capítulo é descrito o dimensionamento para cargas verticais e apresentada a solução

estrutural obtida.

O quarto capítulo inicia-se com a descrição das regras de dimensionamento sísmico estabelecidas

pelo EC8, seguindo-se a definição da ação sísmica e a descrição do método de dimensionamento

IFBD devidamente descrito e comparado com a metodologia proposta no EC8. Também neste

capítulo se discute a avaliação do coeficiente de comportamento feita nesta dissertação e é feita uma

crítica construtiva relativamente às disposições preconizadas no EC8 alusivas a estruturas CBF.

O capítulo cinco começa com a descrição do modelo tridimensional desenvolvido no programa de

cálculo não linear OpenSees e com a definição dos passos do método de análise estática não-linear

aplicado nas estruturas dimensionadas. Os resultados da aplicação do método são apresentados e

discutidos. Uma comparação entre a análise dinâmica linear e a análise estática não-linear é feita

neste capítulo.

No sexto capítulo destina-se à apresentação das principais conclusões a reter desta investigação e

referidos os principais obstáculos enfrentados. Seguidamente um conjunto de recomendações para

investigações futuras no âmbito da avaliação sísmica são apresentadas.


4

Capítulo 2. Pórticos com contraventamentos centrado

5

2 Pórticos Contraventados

2.1 Evolução

Nesta dissertação vamos abordar estruturas com pórticos com contraventamentos diagonais

centrados, inseridas no tipo de estrutura CBF.

A configuração estrutural CBF surgiu no passado da necessidade dos projetistas em obter pórticos

que garantissem as exigências de resistência e rigidez com soluções económicas (menor quantidade

de aço, mais leves, menores custos diretos). O processo construtivo era simplificado com a adoção

de ligações viga-coluna menos complexas.

As estruturas CBF, pela natureza dos seus contraventamentos são estruturas mais económicas em

termos de resistência face à ação lateral de um sismo em contraposto com as soluções MRF

(Moment Resisting Frame), ligação rígida viga-coluna, ou seja, com seções menos robustas é

possível garantir a mesma resistência sísmica. Para além de resistência, a geometria dos

contraventamentos nos pórticos resistentes dotam as estruturas de uma maior rigidez lateral, que se

revela decisiva na limitação do deslocamento relativo entre pisos. Por seu turno as estruturas MRF,

quando sujeitas a uma ação sísmica severa, são estruturas muito susceptíveis a grandes

deslocamentos relativos entre pisos o que aumenta muito a susceptibilidade destas aos efeitos

geometricamente não lineares i.e. aos efeitos de 2ª ordem. Como tal, em muitos casos de projeto, é

apenas lógico e natural que a escolha da solução estrutural recaia nas estruturas contraventadas em

detrimento das MRF.

Apesar das vantagens enunciadas, segundo Robert Tremblay (2000) o recurso a uma configuração

CBF em zonas de elevada sismicidade começou a ser muito contestado no passado devido à fraca

resposta em regime não linear. As razões tinham origem na limitada capacidade de dissipação de

energia, aparecimento de fendas prematuras nos contraventamentos sob ação cíclica, rotura frágil

das ligações dos contraventamentos e, em estruturas de vários pisos, ser uma solução estrutural

que estava sujeita a um mecanismo soft-storey devido à limitada capacidade de redistribuição de

esforços em altura. O comportamento deste tipo de pórticos é devidamente explicitado no subcapítulo

2.4.

Contudo os regulamentos modernos, onde se inclui o EC8, preveem medidas que torna possível

pórticos CBF apresentarem comportamento dúctil mantendo as exigências de resistência e rigidez a

baixo custo.


6

2.2 Tipologias

As diferentes tipologias plausíveis para pórticos de contraventamentos centrados estão

representadas na Figura 2.1. O comportamento dos contraventamentos sob ação cíclica (que está

devidamente explicitado no subcapítulo 2.4) é resumidamente caracterizado por sofrerem

encurvadura local e global quando sujeitos à compressão e por plastificarem sob tração. A resistência

inicial à compressão é inferior à resistência inicial de tração e com o aumento do número de ciclos de

carga a que os contraventamentos estão sujeitos sob a ação de um sismo, a resistência à

compressão tende a diminuir. Como tal para haver equilíbrio, ou seja, resistência lateral semelhante

em ambos os sentidos é essencial que um pórtico com contraventamentos diagonais, Diagonal

Bracing, tenha uma diagonal simétrica adjacente. Pela natureza simétrica das restantes tipologias o

referido equilíbrio é satisfeito.

A configuração resistente adotada nesta dissertação são os pórticos com contraventamentos

diagonais centrados em X, X-Bracing, cujo comprimento de encurvadura (𝐿𝑒𝑓𝑓) considerado neste

trabalho é o comprimento total da diagonal. Existe a variante de ser executada uma conexão a meio

vão que resulta num 𝐿𝑒𝑓𝑓 metade do comprimento total da diagonal.

Figura 2.1: Diferentes configurações de pórticos contraventados centrados (Sabelli, Roeder & Hajjar, 2013)

Segundo Sabelli et al. (2013) num pórtico contraventado centrado a resposta em regime não-linear

dos contraventamentos concentra-se num número limitado de pisos. Para fazer face a tal limitação

surge a configuração Multistory X-Bracing que permite a transferência de esforços para os pisos

superiores mesmo depois da encurvadura de certos contraventamentos pois aqueles que se

encontram traccionados são capazes de transmitir esse esforço para o piso de cima.

Nos pórticos com contraventamentos em V centrados, em que existe a variante Chevron e a variante

V-Bracing, os contraventamentos estão conectados a meio-vão das vigas como representado na

Figura 2.1. Significa que a viga está sujeita a momento fletor devido à ação vertical originária do

desequilíbrio criado pelos contraventamentos, em V ou V invertido, à compressão e tração. Com o

decréscimo de resistência à compressão do contraventamentos, aumenta o momento fletor presente

na viga. Para pórticos desta natureza o EC8 estipula que as vigas sejam dimensionadas para estes

momentos fletores e que as zonas dissipativas sejam tanto nas diagonais traccionadas como nas

comprimidas.


7

A característica inerente à configuração porticada em K é que a ação horizontal causada pelo

desequilíbrio dos contraventamentos (ação da mesma natureza da ação vertical presente nos

pórticos Chevron e V-Bracing) origina neste tipo de pórticos, momentos fletores e deformação não-

linear nas colunas que leva ao colapso prematuro da estrutura como está representado na Figura 2.2.

Por essa razão o EC8 não permite o uso de pórticos desta natureza.

Figura 2.2: Configuração porticada em K (University of Texas at Austin 2006)

As prescrições do EC8 referentes aos pórticos contraventados centrados ilustrados na Figura 2.1 e

aos pórticos contraventados excêntricos estão presentes no subcapítulo 4.1.

Os pórticos com contraventamento excêntrico (Figura 2.3) surgem como intermédio entre MRF e CBF

com o objetivo de combinar as vantagens inerentes a cada configuração. Segundo (Popov &

Engelhardt 1988) a característica mais atrativa no dimensionamento sísmico nestes pórticos é que

combinam a elevada rigidez elástica inerente aos pórticos CBF (permitindo satisfazer os requisitos de

drifts com uma escolha mais económica de perfis) com a elevada ductilidade e capacidade de

dissipação de energia, sob ação sísmica severa, associada aos pórticos MRF.

Figura 2.3: Configurações típicas de pórticos com contraventamento excêntrico (Popov & Engelhardt 1988)


8

2.3 Métodos de Análise

2.3.1 Dimensionamento

Para o dimensionamento gravítico e sísmico é habitual o recurso a modelos tridimensionais (3D)

elásticos lineares das estruturas. No dimensionamento sísmico recorre-se normalmente a análises

dinâmicas modais por espectro de resposta, com ação sísmica caracterizada pelo espectro de

resposta de cálculo (i.e. de dimensionamento).

Neste trabalho, para ambas as estruturas estudadas, definiu-se modelos lineares 3D. A análise modal

desenvolvida permitiu constatar que nas duas estruturas os três primeiros modos de vibração são os

que contribuem significativamente para a resposta global (cerca de 90%), como demonstrado no

subcapítulo 4.3.12.

No entanto, para a ação sísmica intensa as estruturas devem ser dimensionadas tendo em conta que

entram em regime não linear e que estão sujeitas a deformações plásticas. De facto, se assim não

fossem dimensionadas, as soluções projetadas seriam demasiado dispendiosas e

sobredimensionadas. Para ter em conta o comportamento não linear das estruturas o regulamento

(EC8) tem previsto a redução dos esforços e tensões sísmicas a partir de um coeficiente de

comportamento q, equação (2.1). O coeficiente de comportamento q, abrange a reserva de

resistência (overstrenght) e a capacidade de dissipação de energia (ductilidade) inerentes ao

comportamento não-linear das estruturas metálicas.

Para ilustrar o conceito de coeficiente de comportamento definido na equação (2.1), a Figura 2.4

representa o comportamento idealizado de uma estrutura dúctil sob ação sísmica, definido por um

modelo simplificado elástico perfeitamente plástico. Devido à capacidade de dissipação de energia, a

força máxima resistente está limitada a 𝐹𝑦, não chegando a atingir-se a resistência máxima elástica

(𝐹𝑒). A equação (2.2) exprime o fator de ductilidade 𝜇 obtido pela deformação não linear da estrutura.

Figura 2.4: Comportamento elástico-perfeitamente plástico do material (Lopes 2008)


9

𝑞 =𝐹𝑒𝑙𝐹𝑦; (2.1)

𝜇 =𝑥𝑚𝑎𝑥𝑥𝑦

; (2.2)

Na análise dinâmica modal por espectro de resposta, o comportamento dissipativo da estrutura é tido

em conta afetando de forma direta a ação sísmica, que resulta num espectro de resposta de cálculo.

O espectro de resposta de cálculo, é obtido por redução do espectro de resposta elástico, definido no

subcapítulo 4.2. Na prática, significa afetar, simplificadamente, os valores da aceleração espectral

elástica (SE(T)) pelo coeficiente de comportamento q, equação (2.3).

𝑆𝐷(𝑇) =𝑆𝐸(𝑇)

𝑞 (2.3)

2.3.1.1 MRF vs CBF

Pretende-se neste subcapítulo identificar as diferenças, a nível de projeto, entre dimensionar uma

estrutura porticada de ligações rígidas (MRF), e uma estrutura porticadas com contraventamentos

centrados (CBF), segundo o EC8.

É prática em projeto que o dimensionamento sísmico seja baseado em forças (Force-Based Design).

Dois critérios têm que ser verificados segundo o EC8, correspondentes a dois estados limites:

1. Critério do não colapso, em que para o Estado Limite Último (ELU) a capacidade resistente

lateral da estrutura tem que ser superior ao efeito da ação sísmica de cálculo;

2. Critério da limitação de danos, em que para o Estado de Limitação de Danos (ELD) os

deslocamentos relativos entre pisos (drifts) têm que ser limitados.

Nas estruturas MRF o segundo critério é usualmente o mais condicionante na configuração final de

vigas e colunas levando ao dimensionamento de pórticos mais rígidos para que seja possível

satisfazer o critério de limitação de danos. Como uma escolha de elementos mais rígidos é

normalmente sinónimo de maior resistência, a solução final em estruturas MRF é dotada de uma

capacidade resistente muito superior à exigida pelo regulamento.

A título de exemplo, ilustra-se na Figura 2.5 a curva de capacidade resistente da solução A, referente

a uma solução MRF cuja capacidade resistente satisfaz o limite da força basal de cálculo definida

pelo regulamento (MRF Design Shear) mas não satisfaz o nível de deformação limite estipulado no

ELD. A solução B, também MRF, corresponde a uma solução mais rígida que A que já verifica

simultaneamente ambos os critérios, porém a custo de se atingir uma capacidade resistente muito

superior ao valor de cálculo exigido no EC8 e sendo por isso uma solução sobredimensionada.


10

Figura 2.5: Diferença do dimensionamento entre MRF e CBF, (Uriz & Park 2008)

A frequência de vibração fundamental de um pórtico CBF é superior à frequência de uma

configuração MRF, considerando os dois pórticos com as mesmas dimensões em alçado e planta (i.e.

o período do pórtico CBF é inferior ao período do pórtico MRF correspondente). Este facto, em

conjunto com a atribuição pelo regulamento de um menor coeficiente de comportamento à solução

CBF, conduz a que os pórticos CBF estão geralmente sujeitos a valores de corte basal superiores

aos valores das soluções MRF. A curva de capacidade resistente C ilustrada na Figura 2.5, relativa a

uma solução CBF da mesma altura que as soluções A e B, demonstra que a maior rigidez inerente a

estruturas CBF (maior frequência, menor período) por comparação com as soluções MRF permite

satisfazer os dois critérios acima mencionados (para ELU e ELD), sem necessidade de aumentar

quer a rigidez quer a resistência dos elementos estruturais do pórtico.

Como a solução CBF não necessita de ter perfis tão robustos como uma solução MRF para verificar o

limite estipulado para os valores de drift , geralmente vai ter um nível inferior de sobre-resistência

(overstrenght) em relação às MRF e assim mais susceptíveis a maiores danos que as soluções MRF.

2.3.2 Avaliação Desempenho Sísmico

Como já referido existe hoje em dia um grau de exigência muito elevado em relação ao impacto

económico provocados pelos sismos. Segundo Lopes (2008) na perspectiva económica, o

desempenho sísmico depende dos danos causados, quantificados pelos custos de reparação (custos

diretos) como dos custos derivados da inoperacionalidade após o sismo (custos indiretos).

Indicadores relevantes dos danos causados são:

Deslocamentos entre pisos, como indicador de danos em elementos não estruturais;

Aceleração horizontal dos pisos, como indicador de danos em equipamentos elétricos e

mecânicos ou na queda ou deslizamento de objetos;

Deformações não lineares de todos os elementos.

Os métodos de análise não linear visam avaliar o potencial desempenho sísmico das estruturas já

dimensionadas, por via da monitorização dos parâmetros acima descritos, verificando se estes não


11

excedem os limites estipulados. Como o dimensionamento é realizado com base na análise elástica,

e a não linearidade considerada simplificadamente a partir do coeficiente de comportamento, q, existe

incerteza da real contribuição do regime não linear na deformação da estrutura. Os procedimentos de

análise não linear permitem reduzir a incerteza envolta no comportamento não linear das estruturas e

chegar à conclusão se de facto o dimensionamento concebeu uma solução eficaz quer em resistência

quer na mitigação de danos.

Se as análises não lineares permitem conhecer o comportamento da estrutura mais próximo do real

então porque não são usadas hoje em dia em larga escala nos gabinetes de projeto ? E porque não

são os projetos de estrutura concebidos segundo métodos de análise baseados em deslocamentos

em vez dos métodos de análise usados pelos regulamentos baseados em forças?

Os métodos de análise não linear têm um uso mais alargado no seio da comunidade científica

(investigação) dado que do ponto de vista do projetista os referidos métodos, são muito mais

trabalhosos e/ou morosos, como tal pouco vantajosos no dimensionamento de edifícios. Isto deve-se

às incertezas e limitações do conhecimento atual associadas à modelação não linear de todos os

elementos importantes da estrutura (relação carga-deformação monotónica ou cíclica dos

contraventamentos p.e.), a dificuldade na aplicação de uma análise não linear à generalidade das

situações de projeto associada à falta de formação nesta área na generalidade do mercado de

trabalho atual. Todas as razões anteriormente enunciadas justificam o facto da implementação dos

métodos de análise não linear ser ainda incompatível com as restrições de tempo e orçamento

inerentes a qualquer gabinete de projeto. Como tal, a necessidade da rapidez de execução do projeto

abona em favor da prática corrente presente nos regulamentos baseada em métodos de análise

linear. Que apesar de ser uma análise que se afasta do real comportamento da estrutura, oferece

uma boa aproximação a este comportamento mas que vai resultar numa solução estrutural

geralmente sobredimensionada.

2.3.2.1 Análise Estática Não-Linear

Uma análise estática não-linear, denominada no seio da comunidade científica como análise

Pushover, em que se controlam os deslocamentos impostos por via do aumento monotónico do

padrão de cargas laterais, que permite assim obter a capacidade resistente da estrutura. Feita a

caracterização de cada estrutura, a partir da curva de capacidade resistente, a avaliação do

desempenho das estruturas dimensionadas pode ser feito com base em diferentes métodos

propostos na literatura e alguns já preconizados em regulamentos sísmicos. Os métodos (Nonlinear

Static Procedures, NSP) dividem-se em:

1. NSP Avançado: O método ACSM (Adaptive Capacity Spectrum Method) tem em conta a

contribuição de modos superiores na % de massa mobilizada e acumulação de deformações

na resposta da estrutura.


12

2. NSP Padrão: Métodos sem a consideração da acumulação de deformações, que têm em

conta a contribuição do modo fundamental ou contribuição do modo fundamental em conjunto

com modos superiores na % de massa mobilizada.

Neste trabalho vai-se recorrer ao método N2 simplificado, proposto no EC8 (CEN 2004) e pertencente

a uma análise pushover convencional (NSP padrão).

O nível de exigência a que a estrutura está sujeita, para a ação sísmica definida, traduz-se pela

obtenção do deslocamento objetivo (performance point, PP) através do método N2. A obtenção do

deslocamento objetivo, para determinada ação sísmica, permite recolher os seguintes dados

relevantes que permitem avaliar convenientemente a resposta da estrutura:

Deslocamentos totais;

Deslocamentos laterais relativos entre pisos;

Deformações não lineares de todos os elementos.

Se o nível de exigência de esforços e deformações resultantes da ação sísmica for superior à

capacidade disponível da estrutura, o dimensionamento terá que ser alterado, por via da alteração de

perfis na estrutura e/ou maior pormenorização de certos elementos e ligações.

Dada a complexidade que pode estar associada a um modelo de elementos finitos, uma correta

avaliação sísmica passa por adotar um modelo físico simplificado mas que abrange as características

essenciais da estrutura que fortemente afetam o comportamento desta. Neste trabalho de dissertação

recorre-se ao programa de cálculo OpenSees (PEER, 2006) e a modelação não linear efetuada é

discretizada no subcapítulo 5.2

A descrição da análise pushover e a sequência de passos do método N2 é feita no subcapítulo 5.3

Segundo (Krawinkler & Seneviratna 1998) e (Nogueiro et al. 2006) as principais vantagens recorrendo

a uma análise pushover em contraposto com o recurso a uma análise elástica e uma análise não-

linear dinâmica são:

permitir controlar os deslocamentos impostos à estrutura;

evitar a utilização do coeficiente de comportamento q;

conduzir à determinação de esforços realistas em elementos estruturais com potencial de

serem frágeis (por exemplo o esforço axial nas colunas e os esforços nas ligações dos

contraventamentos);

permitir estimar a exigência de deformação não linear dos elementos estruturais, sendo

possível identificar a sequência da cedência até ao colapso nos elementos;

Identificar as consequências da deterioração da resistência de determinados elementos no

comportamento global da estrutura;

Reconhecer as zonas críticas onde grandes deformações são espectáveis e têm de ser

objecto de uma melhor e maior pormenorização no projeto;


13

Identificar as descontinuidades de resistência em planta e em altura que levam a alterações

nas características do comportamento não linear;

Estimar os deslocamentos relativos entre pisos, tendo em conta a deterioração da rigidez e

resistência, que podem ser usados no controlo de danos e na avaliação dos efeitos P-delta;

Verificar a redistribuição de esforços como resultado do comportamento não linear dos

elementos.

Também segundo (Krawinkler & Seneviratna 1998) são referidos prós e contras na avaliação por

aplicação do método N2:

Prós:

Para estruturas cujo modo fundamental representa a maior parte da resposta total da

estrutura, acima de 80% da massa total mobilizada, a análise pushover convencional simplificada

(método N2 simplificado) fornece uma boa estimativa das deformações não lineares locais e globais.

Ou seja, para uma estrutura que vibre predominantemente num só modo. Pela análise da

contribuição modal em cada direção da estrutura REG (Tabela 4.15) e estrutura IRREG (Tabela 4.16)

no subcapítulo 4.3.12, conclui-se que aplicar o método N2 simplificado nas estruturas dimensionadas

REG e IRREG é válido e apresenta resultados fidedignos.

Esta avaliação expõe debilidades na estrutura que usualmente não se registam na análise

elástica. A título de exemplo contam-se as deformações excessivas, mecanismos locais em pisos,

esforços excessivos em elementos que tenham um potencial comportamento frágil (p.e. colunas e

ligações dos contraventamentos)

Contras:

Em estruturas cujos modos superiores têm uma grande influência na resposta total da

estrutura, como é exemplo um edifício de grande altura e/ou torsionalmente flexível derivado da

assimetria em planta, os resultados do método N2 simplificado podem não ser fidedignos.

Nesse sentido há diferentes propostas na literatura, dentro de uma análise NSP Padrão, para ter em

conta a contribuição dos modos superiores:

O Modal Pushover Analysis (MPA) proposto por Chopra e Goel (2002). O MPA considera

uma análise convencional pushover para todos os modos de vibração considerados

relevantes. Para cada pushover é considerado um padrão de carga proporcional ao diferente

modo de vibração da estrutura, e os resultados calculados a partir de cada análise estática

não linear são combinados (p.e. a partir de uma combinação modal completa CQC) a fim de

obter os resultados finais.

O método Extended N2 faz uso de factores de correção, baseados nos resultados da análise

dinâmica modal por espectro de resposta. Com recurso a este método, uma abordagem que

tem em conta o efeito da assimetria em planta das estruturas nos modos de vibração foi

proposta por Fajfar et al. (2005).


14

2.3.2.2 Análise Dinâmica Não-linear

A análise dinâmica não linear consiste em avaliar a resposta não linear das estruturas sujeitando-as a

um conjunto de registos de acelerações reais do solo (acelerogramas) escalados de forma a

corresponder ao espectro de resposta elástico para o qual ambas as estruturas nesta dissertação

foram previamente dimensionadas.

A resposta da estrutura é sensível, não só ao modelo não linear adotado para a estrutura, mas

também às características de cada acelerograma e como tal torna-se indispensável uma escolha

cuidada do número e das características dos diferentes tipos de acelerogramas. Os acelerogramas

escolhidos podem ser registos de eventos reais de diferentes magnitudes e intensidades que

sucederam no passado com o objetivo de simular cenários distintos. Em alternativa podem ser

acelerogramas artificiais, gerados de forma a serem representativos de acelerogramas reais.

As análises dinâmicas não lineares são consideradas as análises que melhor representam o

comportamento real das estruturas e os seus resultados são adotados normalmente para validar

outras análises. Por exemplo, frequentemente, para avaliar os resultados obtidos a partir de

diferentes métodos que recorrem a análises não lineares, comparam-se os resultados destas análises

com os das análises dinâmicas não lineares.

Neste trabalho de dissertação, os passos essenciais para a realização das análises dinâmicas não

lineares são apresentados no subcapítulo 5.4.

2.4 Comportamento não-linear dos contraventamentos e dimensionamento

por capacidade resistente (capacity design)

Era prática corrente em códigos antigos dimensionar as estruturas CBF como sendo menos dúcteis

que as estruturas MRF, dada a sua maior rigidez, conferindo um valor do coeficiente de

comportamento a adotar nas CBF mais baixo do que para as MRF. Este facto correspondia à única

prática exigida ao projeto sísmico para estruturas CBF.

Contudo as conclusões tiradas dos danos de sismos passados e de importantes campanhas de

investigação levadas a cabo demonstraram que o dimensionamento única e exclusivamente segundo

o critério anterior levava a um comportamento frágil da estrutura e a danos severos (Brandonisio et al.

2012). Segundo (Tremblay et al. 2003) as investigações referentes à resposta não linear cíclica de

contraventamentos, em diagonais com rótulas na extremidade, expostos a uma ação cíclica resulta

num comportamento histerético assimétrico (Figura 2.6) descrito por:

Em fase de compressão, há redução da resistência de compressão quando a carga crítica é

atingida devido à plastificação a meio vão. Nos ciclos seguintes a resistência de compressão

decresce exponencialmente devido à deformação residual fora do plano originária de ciclos

anteriores e com possível ocorrência de encurvadura local a meio vão;


15

Revertendo o sentido do carregamento, nas fases de tração, uma recuperação elástica

sucede seguida do aumento da resistência do elemento sob tração (endurecimento) ciclo

após ciclo de carga com deterioração da rigidez, acompanhada de aumento e acumulação de

deformação axial plástica, alongamento. O aumento de alongamento resulta numa maior

deformação fora do plano. Como tal para um certo nível de alongamento a resistência à

tração tende a decrescer.

Figura 2.6: Resposta histerética dos contraventamentos com rótulas na extremidade, (Mahmoudi & Zaree 2010)

Mahmoudi & Zaree (2010) definem resumidamente que as variáveis físicas presentes no

comportamento cíclico não linear instável são a encurvadura em compressão, o decréscimo da

resistência à compressão no pós-encurvadura, o aumento da tensão de cedência em tração, o

decréscimo da rigidez axial, fadiga em zonas críticas e o efeito de Bauschinger. O efeito de

Bauschinger caracteriza-se pelo aumento do valor da tensão à tração após atingida a tensão de

cedência (strain hardening); no entanto quando o sentido da carga se inverte, o valor da tensão de

cedência à compressão diminui.

O comportamento histerético, que corresponde à resposta cíclica a uma ação também ela cíclica que

no caso de estruturas MRF caracteriza-se por uma resposta estável, enquanto nas estruturas CBF

caracteriza-se por uma resposta instável.

Com a presença de todas as variáveis que definem este comportamento dinâmico (cíclico) não linear

dos contraventamentos, surge o desafio em criar um modelo o mais realista e eficiente possível que

simule eficazmente o comportamento não linear destes elementos estruturais. No capítulo da

avaliação sísmica das estruturas em estudo na presente dissertação modela-se no programa de

elementos finitos OpenSees um comportamento histerético instável dos contraventamentos de acordo

com experiências passadas e avalia-se o comportamento global das estruturas porticadas

contraventadas centradas.

A resposta lateral nas estruturas CBF é caracterizada pela resposta em regime não-linear dos

elementos de contraventamento. É através do comportamento histerético (resposta cíclica) de pós

encurvadura devido à ação cíclica que as diagonais plastificam e dissipam energia. A capacidade de

dissipação de energia é quantificada pela área sob os ciclos histeréticos de carga e descarga. Outra

importante conclusão das investigações é o aumento da capacidade de dissipação de energia com a


16

redução da esbelteza da diagonal. Segundo Tremblay (2000) para a mesma força lateral imposta, os

drifts entre pisos e ductilidade das diagonais são inferiores se no dimensionamento sísmico forem

escolhidas diagonais com maiores esbeltezas normalizadas.

Hoje em dia para garantir ductilidade e capacidade de dissipação na estrutura é prática corrente nos

regulamentos, para além de atribuir um coeficiente de comportamento às estruturas CBF inferior do

que o das MRF, incluir critérios de dimensionamento por capacidade resistente (capacity design).

A prática do EC8 relativa ao capacity design nas estruturas metálicas com pórticos contraventados

centrados consiste em forçar que a plastificação ocorra nos elementos diagonais enquanto que vigas

e colunas e ligações se mantenham em regime linear. Como a energia dissipada é limitada pela

encurvadura não linear das diagonais, é importante controlar a encurvadura estes elementos de

forma a obter um comportamento histerético o mais estável possível, grande ductilidade e grande

capacidade de dissipação de energia. Dado que na resposta à ação lateral, também as colunas e as

vigas estão sujeitos a esforço axial, é importante garantir que tais elementos tenham resistência

suficiente para se manterem em regime linear enquanto ocorre a resposta não linear nos

contraventamentos.

Pelas razões enunciadas acima surge no EC8 como critério de capacity design, a limitação do

intervalo da esbelteza normalizada nos elementos dissipativos (cujo intervalo de valores se encontra

definido no subcapítulo 4.3.7.1.) e a exigência de certos níveis de sobre-resistência nos elementos

não-dissipativos.

Da aplicação dos critérios de capacity design é espectável que se previna a formação de um

mecanismo de soft-storey, ou seja, impede-se que a estrutura forme um mecanismo plástico de rotura

global instável que prematuramente não tire proveito da resistência global disponível. A diferença

entre um mecanismo plástico global espectável e um mecanismo soft-storey na estruturas em estudo

está representada na Figura 2.7

Figura 2.7: Pórticos contraventados centrados em X: (a) Mecanismo plástico global expectável. (b) Mecanismo Soft-

Storey (ArcelorMittal 2009)

(a

)

(b)


17

Figura 2.8: Pórtico de ligações rígidas: (a) Comportamento plástico uniforme. (b) Mecanismo Soft-Storey (Lopes 2008)

A título comparativo com estruturas MRF, um mecanismo de soft-storey neste tipo de estruturas

consiste na plastificação das colunas antes das vigas como se representa na Figura 2.8 (b).Para

impedir a formação de um mecanismo global do tipo soft-storey em estruturas MRF é aplicado o

princípio viga fraca-pilar forte em que se impõe a plastificação das vigas antes das colunas.

(a (b)


18

Capítulo 3. Dimensionamento para cargas verticais

19

3 Dimensionamento para cargas verticais

3.1 Introdução

O EC3 (CEN 2005) inclui as prescrições referentes ao dimensionamento gravítico de estruturas

metálicas

É deste dimensionamento que vão ser escolhidos os perfis a ser usados em definitivo no

dimensionamento sísmico. Os perfis standard europeus usados são o HEB para colunas, IPE para as

vigas e CHS para contraventamentos.

3.1.1 Apresentação das estruturas

São selecionadas duas estruturas metálicas de três pisos, uma regular outra irregular. As estruturas

regular e irregular vão doravante ter a designação de estrutura REG e estrutura IRREG,

respetivamente.

A configuração em planta das estruturas REG e IRREG encontram-se representadas nas Figura 3.1 e

Figura 3.2, respetivamente. Tanto na direção X como na direção Y os pórticos resistentes à ação

sísmica consistem em pórticos com contraventamentos diagonais centrados. De referir que a zona

central (6 ∗ 4 𝑚2) é aberta em toda a altura do edifício com o propósito de incorporar elevadores e

caixa de escadas.


20

Figura 3.1: Estrutura Regular em planta (REG) e respetivas bandas de influência (dimensões em m)

Figura 3.2: Estrutura Irregular em Planta (IRREG) e respetivas bandas de influência (dimensões em m)


21

Os pórticos identificados (Pórtico i ) na Figura 3.1 e Figura 3.2 são os pórticos resistentes à ação

sísmica na estrutura REG e IRREG, respectivamente. Enquanto que os restantes pórticos não

identificados são pórticos gravíticos.

A configuração dos pórticos resistentes em ambas as direções, resistentes à ação lateral por via de

contraventamentos em diagonal cruzada em X (X-Bracing) estão representados pelos cortes da

Figura 3.5 e Figura 3.6. A identificação e localização dos cortes na estrutura REG e estrutura IRREG

estão representados na Figura 3.3 e Figura 3.4, respetivamente.

Figura 3.3: ID Cortes Estrutura REG

Figura 3.4: ID Cortes Estrutura IRREG


22

Figura 3.5: Corte BB’ e CC’ (dimensões em m ; ângulos em graus), Direção Y

Figura 3.6: Corte AA’ (dimensões em m ; ângulos em graus), Direção X

O modelo foi elaborado no software de análise estrutural SAP2000v17 (Inc. 2014) . As hipóteses

simplificativas tidas em conta tanto para a análise tridimensional gravítica como para a sísmica

encontram-se justificadas no subcapítulo 3.1.2,

Admitiu-se que a laje descarrega diretamente nas vigas dos pórticos segundo Y e em vigas

secundárias segundo X que descarregam com cargas pontuais nos pilares dos pórticos segundo Y.

Nos vãos das vigas dos pórticos resistentes segundo X atuam cargas pontuais resultantes das

bandas de influência de 2m da laje.

As áreas de influência da laje representadas na Figura 3.1 e Figura 3.2, são bandas de 2 m interiores

e bandas de 1m para os pórticos contraventados em Y no perímetro da estrutura (Pórtico 1 e 2 da

REG e Pórtico 1 e 3 da IRREG).


23

3.1.2 Modelação das Estruturas

O modelo efetuado no SAP2000 cujos materiais e considerações são detalhados no presente

subcapítulo, é válido tanto para o dimensionamento gravítico como para o sísmico.

3.1.2.1 Materiais

As características dos materiais usados estão definidas em seguida. A Tabela 3.1 representa as

propriedades do aço usado nas vigas e colunas.

Tabela 3.1: Propriedades aço estrutural das Vigas e Colunas

A Tabela 3.2 representa as propriedades do aço usado nos contraventamentos.

Tabela 3.2: Propriedades aço estrutural dos Contraventamentos

As propriedades da laje mista do tipo Holorib S280 -0,9 GAUGE- Normal estão representadas na

Tabela 3.3.

Tabela 3.3: Propriedades da laje mista

3.1.2.2 Pilares, Vigas e Contraventamentos

Como vigas e pilares resistem somente às ações gravíticas, as vigas bi-rotuladas, sujeitas apenas a

momentos fletores positivos M+ a meio-vão, e as colunas têm libertação de momento flector na

extremidade inicial do elemento barra no piso 1. A libertação de base sem qualquer alteração das

secções das colunas origina uma pequena alteração da rigidez do pórtico resistente em relação à

ausência desta libertação.

Módulo de Elasticidade, E [GPa] 210

Tensão de cedência, fy [MPa] 275

Tensão última, fu [MPa] 430

Coeficiente Poisson, ν 0,3

Módulo de Elasticidade, E[GPa] 210

Tensão de cedência, fy[MPa] 355

Tensão última, fu[MPa] 510

Coeficiente Poisson , ν 0,3

Módulo de Elasticidade, E [GPa] 30

RCP [kN/m2] 1,0

Peso Laje + RCP [kN/m2] 3,93

Espessura Laje [mm] 120


24

As diagonais dos contraventamentos são bi-rotuladas dado que apenas estão sujeitos a esforços

axiais. A configuração dos contraventamentos são em X de forma a que a estrutura exiba a mesma

capacidade resistente quando ocorre a inversão de esforços.

Como se trata de um pórtico com contraventamento centrado com diagonais em X, segundo a Cl.

6.7.2 (2) do EC8, numa análise elástica da estrutura sob a ação sísmica apenas devem-se modelar

as diagonais à tração como os únicos elementos dissipativos dos pórticos (T/O – Tension Only

model). Nesse sentido apenas se modela uma das diagonais em X por piso como demonstrado na

Figura 3.7.

Figura 3.7: Modelo T/O dos contraventamentos (Brandonisio et al. 2012)

Ora, esta opção é do lado da segurança porque as diagonais comprimidas na realidade têm a sua

contribuição na rigidez da estrutura (as diagonais comprimidas são verificadas no dimensionamento

gravítico). Portanto a exclusão das diagonais comprimidas para além de resultar em menor rigidez do

modelo do pórtico resistente, dispensa a necessidade de verificar a instabilidade das diagonais

comprimidas no dimensionamento sísmico. Contudo realiza-se verificação da instabilidade à

encurvadura das colunas comprimidas. A Figura 3.8 representa o corte de um pórtico resistente

segundo Y ilustrando as libertações já descritas e aplicadas em todo o modelo tridimensional nas

extremidades de colunas, vigas e contraventamentos.

A adopção deste modelo permite modelar adequadamente o comportamento real de um CBF, em que

a rigidez da estrutura às ações horizontais é em grande parte fornecida pelas diagonais do

contraventamentos (elementos sujeitos unicamente a esforços axiais). O resto do pórtico resistente

(vigas e pilares) pouco contribuem para a rigidez lateral da estrutura.

Figura 3.8: Modelo no SAP2000 do pórtico resistente


25

3.1.2.3 Pavimentos

De forma a modelar o comportamento rígido no plano dos pisos,, no plano XY, considerou-se um

diafragma (Joint Constraint >> Diaphragm) específico para cada piso. Ao nível do modelo significa

afectar todos os nós de um determinado piso com este comando.

Segundo EC8 4.3.1(4) a operação de diafragma considera que os pisos são rígidos no seu plano e as

massas e momentos de inércia podem estar concentradas no centro de gravidade (CG) do piso. A

opção por um diafragma rígido para além de evitar a modelação da laje do piso simula a elevada

rigidez axial inerente às lajes e, como tal, compatibiliza os deslocamentos relativos ao nível de cada

piso.

3.2 Ação Gravítica

As cargas gravíticas características estão resumidas na Tabela 3.4.

Tabela 3.4: Valores característicos das cargas gravíticas

As cargas gravíticas nos pórticos em Y (Figura 3.9) são transferidas por cargas distribuídas no vão (q)

e cargas pontuais (Q), nos pilares que advêm das vigas dos pórticos em X.

As cargas gravíticas nos pórticos em X (Figura 3.10) são cargas distribuídas (p) de natureza de

cargas de faca da parede no contorno da estrutura. Também existem cargas pontuais (F) nos pilares

resultante estas das vigas em Y e cargas pontuais no vão devido às bandas de influência da laje.

As sobrecargas de vento e neve não foram incluídas por não serem consideradas condicionantes.

ID Piso

1 e 2

Cargas Permanentes (𝐺𝑘)

Peso próprio laje [kN/m2] 2,93

RCP [kN/m2] 1

Paredes (Carga de Faca) [kN/m] 13,3

Sobrecarga (𝑄𝑘) [kN/m2] 2

3

Cargas Permanentes (𝐺𝑘)

Peso próprio laje [kN/m2] 2,93

RCP [kN/m2] 1

Paredes (Carga de Faca) [kN/m] 0

Sobrecarga (𝑄𝑘) [kN/m2] 1


26

Figura 3.9: Distribuição das cargas gravíticas nos pórticos resistentes em Y (dimensões em m)

Figura 3.10: Distribuição das cargas gravíticas nos pórticos resistentes em X (dimensões em m)


27

Para além dos pórticos resistentes já identificados, acrescentam-se à Estrutura REG (Figura 3.11) e

Estrutura IRREG (Figura 3.12) a localização dos pórticos gravíticos, Pórtico A e Pórtico B,

designações necessárias ao nível do pré-dimensionamento e dimensionamento gravítico.

Figura 3.11: ID Pórticos resistentes e gravíticos na Estrutura REG

Figura 3.12: ID pórticos resistentes e gravíticos na Estrutura IRREG


28

A Tabela 3.5, Tabela 3.6, Tabela 3.7 e Tabela 3.8 apresentam os valores característicos das cargas

gravíticas nos pórticos devidamente identificados. Existem pórticos idênticos entre as estruturas REG

e IRREG, como já ilustrado na Figura 3.11 e Figura 3.12 .

Tabela 3.5: Cargas gravíticas características da Pórtico 1 e 2 na IRREG

Tabela 3.6: Cargas gravíticas características da Pórtico 3 na IRREG

Tabela 3.7: Cargas gravíticas características da Pórtico A

Tabela 3.8: Cargas gravíticas características da Pórtico 4 e 5 da IRREG

Pórtico 1 e 2

Nível Carga Grav. 𝑄1 [𝑘𝑁] 𝑄2 [𝑘𝑁] 𝑞1 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑞2 [𝑘𝑁/𝑚]

Piso 3 𝐺𝑘 27,51 43,23 3,93 3,93

𝑄𝑘 7 11 1 1

Piso 1 e 2 𝐺𝑘 27,51 43,23 17,23 17,23

𝑄𝑘 14 22 2 2

Pórtico 3

Nível Carga Grav. Q1 [kN] Q2 [kN] q1 [kN/m] q2 [kN/m]

Piso 3 Gk 55,02 86,46 7,85 7,85

Qk 14 22 2 2

Piso 1 e 2 Gk 55,02 86,46 7,85 7,85

Qk 28 44 4 4

Pórtico A

Nível Carga Grav. 𝑄1 [𝑘𝑁] 𝑄2 [𝑘𝑁] 𝑞1 [𝑘𝑁/𝑚] 𝑞2 [𝑘𝑁/𝑚]

Piso 3 𝐺𝑘 55,02 86,46 7,85 3,93

𝑄𝑘 14 22 2 1

Piso 1 e 2 𝐺𝑘 55,02 70,74 7,85 17,23

𝑄𝑘 28 36 4 2

Pórtico 4 e 5

Nível Carga Grav. 𝐹1 [𝑘𝑁] 𝐹2 [𝑘𝑁] 𝑝1 [𝑘𝑁/𝑚]

Piso 3 𝐺𝑘 13,76 27,51 -

𝑄𝑘 3,5 7 -

Piso 1 e 2 𝐺𝑘 13,76 27,51 13,3

𝑄𝑘 7 14 -


29

3.3 Efeitos 2ª ordem

Uma análise de 1ª ordem pode ser levada a cabo se forem considerados desprezáveis os efeitos da

deformada da estrutura no valor final dos esforços ou no comportamento da estrutura. Tal acontece

se o critério da expressão (3.1) for satisfeito.

𝛼𝑐𝑟 =𝑁𝑐𝑟𝑁𝐸𝑑

≥ 10 (𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑒 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) (3.1)

em que,

𝑁𝑐𝑟 , valor crítico do carregamento associado à instabilidade elástica num modo global com

deslocamentos laterais

𝑁𝐸𝑑, é o valor de cálculo de carregamento da estrutura

Se 𝛼𝑐𝑟 < 10 os efeitos geometricamente não lineares, i.e. efeitos de 2ª ordem 𝑃 − Δ têm que ser

considerados na análise.

Para o modelo em questão foi realizada uma análise de 1ª ordem amplificada (𝑠𝑒 𝛼𝑐𝑟 ≥ 3,0), ou seja,

uma análise de 1ª ordem que vai considerar os efeitos de 2º ordem simplificadamente, amplificando

os resultados obtidos com a análise de 1ª ordem, a partir de um factor de amplificação dado pela

expressão (3.2).

(3.2)

O parâmetro 𝛼𝑐𝑟 é calculado a partir expressão (3.3).

(3.3)

em que:

𝐻𝐸𝑑 é a reação na base do piso (todos os pisos acima do piso avaliado contam para a carga

vertical total) devido às ações horizontais aplicadas na estrutura (“estrutura” - quaisquer pisos

acima do piso em questão);

𝑉𝐸𝑑 é a carga vertical total a atuar na estrutura, a começar acima do piso i;

𝛿𝐻,𝐸𝑑 é o deslocamento relativo horizontal entre pisos devido às forças horizontais aplicadas

na estrutura;

ℎ é a altura do piso.

cr

11

1

EdHEd

Ed

cr

h

V

H

,


30

A força horizontal equivalente devido às imperfeições geométricas, 𝐻𝐸𝑑 , é dada pelo produto do total

da carga vertical total, 𝑉𝐸𝑑 , a atuar na estrutura pela “amplitude” da inclinação inicial, ∅, como se

encontra na equação (3.4). 𝐻𝐸𝑑 é amplificada pelo factor de amplificação presente na equação (3.2)

(3.4)

∅, que origina deslocamentos laterais conduzindo aos efeitos de 2ª ordem, é calculada segundo a

expressão (3.5) em acordo com o EC3.

(3.5)

Onde:

∅0 = 1/200;

𝛼ℎ = 2/√ℎ é o coeficiente de redução associado à altura do piso. (2

3≤ 𝛼ℎ ≤ 1,0) ;

𝛼𝑚 = √0,5 ∗ (1 +1

𝑚) é o coeficiente de redução associado ao nº de colunas por piso. Onde m

é o nº de colunas num piso que estão sujeitas a um esforço axial NEd superior ou igual a 50%

do valor médio dos esforços normais atuantes em todas as colunas do pórtico.

Segundo a Cl. 5.3.4(1) do EC3, desde que os pórticos não sejam susceptíveis aos efeitos de segunda

ordem, os efeitos das imperfeições locais dos elementos estão incluídos nas expressões da

verificação da resistência dos elementos à encurvadura para os ELU, presentes no capítulo 6.3 do

EC3.

3.4 Verificação Estados de Limitação de Danos (ELD)

Para a combinação de ações de ELD presente na equação (3.6), a verificação da flecha dos perfis

das vigas tem que verificar a equação (3.7) em acordo com o Anexo A1.4/Secção 3.4 do EC0(CEN

2009).

𝐹𝑑 = 𝐺𝑘 + 𝑄𝑘 (3.6)

(3.7)

Onde 𝛿𝑚𝑎𝑥 é a flecha total e 𝐿 sendo o vão da viga.

EdEd VH

mh 0

250max

L


31

3.5 Verificação Estados Limites Últimos (ELU)

A 𝐻𝐸𝑑 (forças horizontais devido às imperfeições geométricas) em conjunto com as cargas gravíticas

são sujeitas à combinação persistente para ELU presente na expressão (3.8).

𝐹𝑑 = 𝛾𝐺 ∗ 𝐺𝑘 + 𝛾𝑄 ∗ 𝑄𝑘 (3.8)

com 𝛾𝐺 = 1,35 e 𝛾𝑄 = 1,5

Os elementos têm que verificar as exigências de ELU em termos de resistência da secção e

resistência dos elementos à encurvadura (capítulos 6.2 e 6.3 do EC3, respectivamente).

Na configuração estrutural de ambas as estruturas adotaram-se apenas secções de classe 1 e 2

(secções em que se pode atingir resistência plástica) que resulta no cálculo de valores resistentes

plásticos. Por forma a garantir que todos os perfis selecionados são de classe 1 e 2, estes foram

classificados segundo a Tabela 5.2 presente na Cl. 5.6 do EC3 Parte 1-1 (CEN 2005).

3.5.1 Resistência da Secção

𝑁𝐸𝑑𝑁𝑐,𝑅𝑑

≤ 1,0 (3.9)

𝑉𝐸𝑑𝑉𝑐,𝑅𝑑

≤ 1,0 (3.10)

𝑀𝐸𝑑

𝑀𝑐,𝑅𝑑

≤ 1,0

𝑀𝐸𝑑 ≤ 𝑀𝑁,𝑅𝑑

(3.11)

onde , e são o esforço axial, momento flector e esforço transverso de cálculo,

respectivamente;

, , e são os valores resistentes dados pela expressão (3.12), (3.13), (3.14) e

(3.15), respetivamente.

𝑁𝑐,𝑅𝑑 =𝐴 ∗ 𝑓𝑦

𝛾𝑀0 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 1, 2 𝑜𝑢 3 (3.12)

𝑉𝑐,𝑅𝑑 = 𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑 =𝐴𝑣 ∗ 𝑓𝑦/√3

𝛾𝑀0 (3.13)

𝑀𝑐,𝑅𝑑 = 𝑀𝑝𝑙,𝑅𝑑 =𝑊𝑝𝑙 ∗ 𝑓𝑦

𝛾𝑀0 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 1 𝑜𝑢 2 (3.14)

EdN EdM EdV

RdcN , RdcV , RdcM , RdNM ,


32

𝑀𝑁,𝑦,𝑅𝑑 = 𝑀𝑝𝑙,𝑦,𝑅𝑑 ∗1 − 𝑛

1 − 0,5 ∗ 𝑎 ; 𝑀𝑁,𝑦,𝑅𝑑 ≤ 𝑀𝑝𝑙,𝑦,𝑅𝑑

𝑛 ≤ 𝑎 ∶ 𝑀𝑁,𝑧,𝑅𝑑 = 𝑀𝑝𝑙,𝑧,𝑅𝑑

𝑛 > 𝑎 ∶ 𝑀𝑁,𝑧,𝑅𝑑 = 𝑀𝑝𝑙,𝑧,𝑅𝑑 ∗ [1 − (𝑛 − 𝑎

1 − 𝑎)2

]

𝐶𝑜𝑚 𝑛 =𝑁𝐸𝑑

𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑⁄ ; 𝑎 =

(𝐴 − 2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑡𝑓)𝐴⁄ 𝑚𝑎𝑠 𝑎 ≤ 0,5 ; 𝛾𝑀0 = 1,0

(3.15)

Em todos os perfis de ambas as estruturas deste trabalho, 𝑀𝑁,𝑧,𝑅𝑑 = 𝑀𝑝𝑙,𝑧,𝑅𝑑 𝑒 𝑀𝑁,𝑦,𝑅𝑑 = 𝑀𝑝𝑙,𝑦,𝑅𝑑

3.5.2 Resistência dos elementos à encurvadura

Elementos sujeitos a compressão devem satisfazer a equação (3.16).

𝑁𝐸𝑑𝑁𝑏,𝑅𝑑

≤ 1,0 (3.16)

Em que 𝑁𝐸𝑑 e 𝑁𝑏,𝑅𝑑 são o esforço axial de cálculo e a resistência à encurvadura, respectivamente.

𝑁𝑏,𝑅𝑑 é obtido segundo o conjunto de equações (3.17)

(para secções transversais de classes 1,2 e 3)

𝜒 =1

Φ +√Φ2 − 𝜆2̅̅̅ , (𝜒 ≤ 1,0)

Φ = 0,5[1 + 𝛼(𝜆̅ − 0,2) + 𝜆2̅̅̅]

𝜆̅ = 𝜆/𝜆1

𝜆 = 𝐿𝑒/𝑖

𝜆1 = 𝜋 ∗ √𝐸

𝑓𝑦

𝛾𝑀1 = 1,0

(3.17)

De referir que na verificação à encurvadura de todas as colunas, estas foram definidas como

Apoiada-Apoiada, correspondente a um comprimento de encurvadura de 𝐿𝑒 = 𝐿 , com L o

comprimento do elemento. Elementos sujeitos a momento flector têm que satisfazer a equação (3.18)

(em que no modelo em estudo tem-se apenas os momentos flectores positivos nas vigas, a ½ vão)

𝑀𝐸𝑑

𝑀𝑏,𝑅𝑑

≤ 1,0 (3.18)

1

,

M

y

Rdb

fAN


33

Onde e correspondem ao momento flector de cálculo e ao momento resistente de

encurvadura, respectivamente.

O momento resistente de encurvadura para secções de classe 1 e 2 é dado pela equação (3.19).

(3.19)

As características das paredes de contorno e da laje são tais que permitem afirmar que tanto colunas

como vigas não estão sujeitos a encurvadura por instabilidade lateral, ou seja, estes elementos estão

lateralmente restringidos (𝜒𝐿𝑇 = 1,0).

Se, nas estruturas houvesse elementos estruturais sujeitos a esforço axial combinado com momento

fletor (flexão composta), as equações (3.20) e (3.21) teriam que ser verificadas.

(3.20)

(3.21)

Em que:

, e são o esforço axial e momentos flectores de cálculo ;

, e são os valores característicos de esforço normal e momento flector

resistentes;

, são os coeficientes de redução devido a encurvadura por compressão;

é o coeficiente de redução devido à encurvadura lateral;

, , , são os factores de interação que traduzem o comportamento misto coluna-

viga do elemento, segundo o indicado no Anexo B do EC3.

Porém, dadas as libertações impostas aos elementos nos modelos de cálculo definidos para as

estruturas REG e IRREG em estudo, estruturas CBF, não existe necessidade de efetuar a verificação

das equações (3.20) e (3.21).

EdM RdbM ,

1

,

M

yplLT

Rdb

fWM

0.1

1

,

,

1

,

,

1

M

Rkz

Edz

yz

M

Rky

Edy

yy

M

Rky

Ed

M

Mk

M

Mk

N

N

LT

0.1

1

,

,

1

,

,

1

M

Rkz

Edz

zz

M

Rky

Edy

yz

M

Rkz

Ed

M

Mk

M

Mk

N

N

LT

EdN EdyM , EdzM ,

RkN RkyM , RkzM ,

y z

LT

yyk yzk zzkzyk


34

3.6 Soluções estruturais obtidas

Na configuração final dos pórticos, por razões de simplificação construtiva, decidiu-se adoptar o

mesmo perfil para todas as vigas do mesmo piso. A configuração da estrutura IRREG é em tudo

idêntica à estrutura REG, para os pórticos correspondentes, devidamente identificados no subcapítulo

3.1.1. A Tabela 3.9 e Tabela 3.10 apresentam a configuração final, resultante do dimensionamento

gravítico, dos pórticos da estrutura IRREG.

Tabela 3.9: Configuração dos Pórticos 1, 2 e 3 da IRREG - Dimensionamento Gravítico

Pórtico 1 e 2 Pórtico 3

Piso Pilar Ext. Pilar Int. Contrav. Viga Pilar Ext. Pilar Int. Contrav. Viga

3 HEB 100 HEB 120 CHS 139,7x3,2 IPE 300 HEB 120 HEB 120 CHS 139,7x3,2 IPE 270



Tabela 3.10: Configuração dos Pórticos 4 e 5 da IRREG - Dimensionamento Gravítico

Pórtico 4 e 5

Piso Pilar Ext. Pilar Int. Contrav. Viga

3 HEB 100 HEB 120 CHS 139,7x3,2 IPE 330

2 HEB 140 HEB 160 CHS 139,7x3,2 IPE 360

1 HEB 160 HEB 180 CHS 139,7x3,2 IPE 360

Capítulo 4. Dimensionamento sísmico

35

4 Dimensionamento Sísmico

4.1 Introdução

Como já referido, o dimensionamento sísmico seguiu a metodologia Improved Force Base Design

(IFBD) proposta por (Villani et al. 2009), que consiste numa escolha racional do coeficiente de

comportamento, q. Com exceção da escolha do coeficiente de comportamento, as verificações

regulamentares do EC8, relativas a estruturas CBF, vão ser seguidas (Verificações e regras

específicas para estruturas CBF estão descritas neste capítulo). A aplicação da metodologia resulta

numa avaliação mais cuidada do coeficiente de comportamento (q), espelhando um comportamento

da estrutura mais próximo da realidade. O objectivo final da aplicação desta metodologia consiste em

obter soluções mais eficientes e económicas, que permite dimensionar adequadamente uma

estrutura CBF para resistir às ações laterais, sem comprometer a segurança da estrutura, mas

usando menos material.

4.1.1 Prescrições do EC8: Coeficiente de Comportamento e Tipos de Estrutura

Ao contrário do procedimento IFBD, o método de dimensionamento preconizado no EC8 conduz o

projetista a escolher um valor tabelado de coeficiente de comportamento q em estruturas metálicas e

para sistemas estruturais regulares em altura. Estes valores são valores de referência dependentes

do tipo de configuração estrutural e da classe de ductilidade. Os limites superiores dos valores de

referência encontram-se listados na Tabela 4.1.

O EC8 estabelece três classes de ductilidade: baixa (DCL), média (DCM) e alta (DCH) e dependente

da configuração estrutural definem-se diferentes valores de q.

Tabela 4.1: Limite superior dos valores de referência de coeficiente de comportamento em estruturas metálicas para

sistemas regulares em altura (CEN 2004)

Tipo de Estrutura

Classe de Ductilidade

DCM DCH

a) Pórtico Simples 4

b) Pórtico com contraventamentos centrados Contraventamentos Diagonais Contraventamentos em V

4 2

4 2,5

c) Pórtico com contraventamentos excêntricos 4

d) Pêndulo Invertido 2

e) Estruturas com núcleos ou paredes de betão Ver secção 5

f) Pórticos simples com contraventamentos centrado 4

g) Pórticos simples Enchimentos de betão ou de alvenaria não ligados em contacto com o pórtico--------------------------------------> Enchimentos de betão armado ligados-----------------------> Enchimentos isolados de pórticos simples (ver pórticos simples) -------------------------------------------->

2

2

Ver secção 7

4

1/5 u

1/5 u

1/2 u

1/4 u

1/5 u


36

O valor de 𝛼𝑢 𝛼1⁄ (reserva de capacidade fornecido pela sobre-resistência) corresponde à relação

entre o valor da intensidade da ação horizontal sísmica de cálculo que conduz a estrutura à

instabilidade/colapso global (𝛼𝑢) e o valor da intensidade dessa ação que conduz à plastificação do

primeiro elemento na estrutura (𝛼1). Para edifícios regulares em planta, o EC8 dispõe valores por

defeito de sobre-resistência (relação 𝛼𝑢 𝛼1⁄ ) para algumas estruturas metálicas. Para pórticos com

contraventamentos diagonais centrados não existem valores por defeito de 𝛼𝑢 𝛼1⁄ . Valores realistas

de sobre-resistência podem ser calculados por via de uma análise estática não linear (pushover)

global, no entanto é definido o limite superior 1,6, mesmo que da análise pushover resultem valores

superiores a 1,6

Transcrevem-se no subcapítulo 4.1.2 as regras e prescrições impostas ao projetista no

dimensionamento de uma estrutura CBF para a ação sísmica, de acordo com as normas europeias

presentes no EC8

O EC8 considera dois tipos de pórticos contraventados, os pórticos com contraventamentos

centrados (Figura 4.1 e Figura 4.2) e pórticos com contraventamentos excêntricos (Figura 4.3), já

descritos no subcapítulo 2.2.

O primeiro tipo de pórtico contraventados subdivide-se em pórticos com contraventamentos diagonais

centrados, com alguns exemplos representados na Figura 4.1, e pórticos com contraventamentos em

V centrados, presentes na Figura 4.2. O pórtico com contraventamentos em X presente na Figura 4.1

será o tipo de pórtico resistente em foco nesta dissertação. Como já referido no subcapítulo 3.1.2, o

regulamento define que apenas se devem considerar as diagonais à tração como resistentes à ação

lateral. Os pórticos da Figura 4.2 têm a particularidade de as zonas dissipativas ocorrerem em ambas

as diagonais, as comprimidas e as traccionadas. Os pórticos da Figura 4.3 são caracterizados pela

localização das zonas dissipativas serem nos ligadores de corte ou de flexão.

Figura 4.1: Pórticos com contraventamentos diagonais centrados (CEN 2004)


37

Figura 4.2: Pórticos com contraventamentos em V centrados (CEN 2004)

Figura 4.3: Pórticos com contraventamentos excêntricos (CEN 2004)

4.1.2 Regras específicas do EC8 para pórticos com contraventamentos centrado

Segundo Cl. 6.7.1 do EC8 para pórticos com contraventamentos centrado têm que ser satisfeitos os

seguintes critérios de projeto:

Dimensionar de forma a que as diagonais em tração sejam os elementos que entrem num

regime plástico cíclico antes da rotura das ligações e antes da plastificação ou da

encurvadura das vigas ou colunas, ou seja, os pilares e vigas devem permanecer em regime

elástico. Que é resultado de aplicar o dimensionamento por capacidade resistente (capacity

design) cujas regras específicas referentes aos elementos dissipativos e não dissipativos,

serão aprofundadas nos subcapítulos 4.3.7.1 e 4.3.7.2, respetivamente.

Garantir que as diagonais sejam dispostas de tal forma que no caso de inversão de cargas a

estrutura apresente relações carga-deslocamento semelhantes em cada piso. Em ambas as

estruturas REG e IRREG este critério é satisfeito com a adoção da mesma secção CHS nas

duas diagonais em X do mesmo piso por pórtico. Esta opção satisfaz em cada piso a

equação (4.1).

|𝐴+ − 𝐴−|

𝐴+ + 𝐴−≤ 0,05 (4.1)


38

Onde 𝐴+ e 𝐴− são as áreas das projeções horizontais das secções transversais das diagonais em

tração, para a ação sísmica com sentido positivo e negativo, respetivamente. O cálculo associado às

áreas das projeções horizontais encontra-se ilustrado na Figura 4.4 .

Figura 4.4: Cálculo das áreas das projeções horizontais das secções transversais (CEN 2004)

Para se garantir um determinado nível de dissipação de energia histerética da estrutura, tendo em

conta a sua classe de ductilidade e o valor de coeficiente de comportamento, o regulamento estipula

a classe de secções metálicas a utilizar (Tabela 4.2).

Tabela 4.2: Requisitos relativos à classe de secção transversal (CEN 2004)

Classe de ductilidade

Valor de referência do coeficiente de

comportamento q

Classe de secção transversal necessária

DCM 1,5 < q ≤ 2 classe 1, 2 ou 3

2 < q ≤ 4 classe 1 ou 2

DCH q > 4 classe 1


39

4.2 Ação Sísmica

Como referido no EC8 e no Anexo Nacional correspondente, a ação sísmica pode ser definida a partir

de um espectro de resposta elástico, definido a partir de acelerações impostas à superfície do

terreno. Para a componente horizontal da ação sísmica, o espectro de resposta elástico é definido

segundo as expressões (4.2) a (4.5), de acordo com Cl. 3.2.2.2 do EC8.

0 ≤ T ≤ TB : Se(T) = ag. S. [1 +T

TB. η. (2,5 − 1)] (4.2)

TB ≤ T ≤ TC : Se(T) = ag. S. η. 2,5 (4.3)

TC ≤ T ≤ TD : Se(T) = ag. S. η. 2,5. [TCT] (4.4)

TD ≤ T ≤ 4s ∶ Se(T) = ag. S. 2,5. η. [TC. TDT2

] (4.5)

Onde:

Se(T) - espectro de resposta elástico de aceleração;

T – período de vibração do sistema linear com um grau de liberdade;

ag - valor de cálculo da aceleração à superfície para um terreno do tipo A ( ag = 𝛾𝐼 ∗ 0,3 ∗ 𝑔); 𝛾𝐼 =

1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑑𝑎𝑠;

TB – limite inferior do período no patamar de aceleração espectral constante;

TC - limite superior do período no patamar de aceleração espectral constante;

TD - valor que define no espectro o inicio do ramo de deslocamento constante;

S – coeficiente de solo;

η – coeficiente de correção do amortecimento com valor de η = 1 para um amortecimento viscoso de

5%.

Foi admitido um espectro de resposta elástico com as características definidas na Tabela 4.3,

considerando um solo do tipo B e sismo tipo 1 (condicionante para as estruturas estudadas)

Tabela 4.3: Parâmetros para definir espectro de resposta - sismo tipo 1, solo tipo B

S 𝐚𝐠 = 𝟎, 𝟑𝒈

(𝒎/𝒔𝟐) 𝐓𝐁(𝒔) 𝐓𝐂(𝒔) 𝐓𝐃(𝒔)

Sismo Tipo 1 1,2 2,943 0,15 0,5 2,0


40

Figura 4.5: Representação do espectro de resposta elástico, sismo tipo1, solo tipo B

Como já referido no subcapítulo 2.3.1, o espectro de resposta de cálculo é obtido por redução do

espectro de resposta elástico (Figura 4.5) recorrendo ao coeficiente de comportamento.

O valor do q difere quer se esteja a realizar o dimensionamento sísmico pelo EC8 (CEN 2004) na

íntegra ou pelo procedimento IFBD (Villani et al. 2009) .

A combinação sísmica para as ações verticais (ações gravíticas e sobrecarga) é a descrita na

equação (4.6).

𝐹𝑑 = 𝐺𝑘 +𝜓𝐸 ∗ 𝑄𝑘 (4.6)

com 𝜓𝐸 = 𝜑 ∗ 𝜓2 = 0,3 para todos os pisos. Os valores característicos 𝐺𝑘 e 𝑄𝑘 foram presentes no

subcapítulo 3.2, definidos da Tabela 3.5 à Tabela 3.8, e dispostos pelos pórticos segundo a Figura

3.9 e Figura 3.10.

4.3 Descrição Metodologia IFBD

O procedimento IFBD, que também inclui as verificações e imposições regulamentares do EC8,

diferencia-se do EC8 em dois pontos cruciais:

Determinação do coeficiente de comportamento é adaptada ao comportamento real de cada

estrutura, ou seja, vai depender do tipo de pórtico metálico e configuração estrutural;

A verificação dos drifts entre pisos, para o ELD, ser realizada antes das verificações para o

ELU.

A sequência de passos mais racional da abordagem de dimensionamento IFBD por comparação

direta com os passos do EC8 é apresentado de seguida:


41

IFBD Eurocódigo 8

1. Seleção da solução estrutural resultante do dimensionamento para cargas verticais

2. Determinação do corte basal elástico, VE, em

função do período fundamental, T1.

2. Seleção do coeficiente de comportamento, q,

em função da tipologia e classe de ductilidade

das estruturas (Tabela 4.1).

3. Verificação dos drifts entre pisos, para o

Estado de Limitação de Danos (ELD), i.e. para

o sismo frequente (Cl. 4.3.3 do EC8). Este

passo pode ser iterativo.

3. Determinação do corte basal de

dimensionamento, VD, em função do período

fundamental, T1.

4. Avaliação do coeficiente de comportamento, q,

obtido da relação entre o corte basal elástico do

pórtico, Vel e o corte basal correspondente à

entrada em cedência do primeiro elemento do

pórtico, V1Y.

4. Verificação dos efeitos geometricamente não

lineares, i.e. efeitos de 2ª ordem, a partir da

avaliação do coeficiente de sensibilidade, 𝜃. Este


5. Determinação do corte basal de

dimensionamento, VD, para posterior

determinação das forças/esforços e

deslocamentos/deformações de cálculo

5. Verificação de segurança aos Estados Limites

Últimos (ELU) dos elementos estruturais

dissipativos e não-dissipativos.

6. Verificação dos efeitos geometricamente não

lineares, i.e. efeitos de 2ª ordem, a partir da

avaliação do coeficiente de sensibilidade, 𝜃. Este


6. Determinação do corte basal elástico, VE, em

função do período fundamental, T1.

7. Verificação da segurança aos Estados Limites

Últimos (ELU) dos elementos estruturais

dissipativos e não-dissipativos.

7. Verificação dos drifts entre pisos, para o

Estado de Limitação de Danos (ELD), i.e. para o

sismo frequente (Cl. 4.3.3 do EC8). Este passo

pode ser iterativo.

A sequência dos passos do procedimento IFBD aqui exibida é definida em detalhe e aplicada nos

subcapítulos seguintes.


42

4.3.1 Sistema lateral de restrição e dimensionamento dos perfis para as cargas

verticais.

Tanto a estrutura REG como a IRREG estão lateralmente restringidas, o que significa existirem

pórticos resistentes contraventados em todo o perímetro das estruturas, como ilustrado na Figura 3.1

e Figura 3.2. Os perfis foram selecionados segundo o dimensionamento realizado no capítulo 1 e a

configuração dos pórticos está sintetizada no subcapítulo 3.6.

4.3.2 Corte basal elástico segundo o período fundamental da estrutura.

A força de corte na base em cada direção horizontal é determinada segundo a equação (4.7), de

acordo com a Cl. 4.3.3.2.2 do EC8(CEN 2004).

𝐹𝑏 = 𝜆 ∗ 𝑚 ∗ 𝑆𝑒(𝑇1) (4.7)

em que 𝜆 é o factor de participação (𝜆 = 0,85 se 𝑇1 < 2 ∗ 𝑇𝐶 e se a estrutura tem mais que 2 pisos), 𝑚

é a massa total numa dada direção, 𝑇1 (ou 𝑇2 , conforme a direção considerada) é o período

fundamental de vibração da estrutura nessa direção e 𝑆𝑒(𝑇1) é a respetiva ordenada do espectro de

resposta elástico (aceleração espectral elástica).

O T, para cada direção, foi obtido a partir da análise modal desenvolvida para as estruturas REG e

IRREG, em SAP2000. Como o procedimento IFBD é um processo iterativo, o período do modo

fundamental, para cada direção, terá de ser atualizado de cada vez que a configuração estrutural

mudar em cada iteração.

4.3.3 Limitação do deslocamento relativo entre pisos

No âmbito da limitação de danos, para a verificação aos estados limitação de danos (ELD) é

necessário assegurar que os limites descritos em 4.4.3.2 do EC8 sejam respeitados. É portanto

preciso definir um valor limite ao deslocamento relativo entre pisos, considerando que os elementos

não estruturais não interferem com as deformações estruturais:

𝑑𝑟 ∗ 𝜈 ≤ 0,01 ∗ ℎ (4.8)

Em que, 𝑑𝑟 é o valor do deslocamento entre pisos (drifts) obtido da atuação do corte basal elástico, h

a altura entre pisos e 𝜈 o coeficiente de redução que tem em conta o mais baixo período de retorno

da ação sísmica associada ao requisito de limitação de danos (segundo o Anexo Nacional, é

recomendado 0,5 para edifícios de classe de importância I e II).

A verificação dos deslocamentos entre pisos não é condicionada pelo coeficiente de comportamento

pois em ELD esta verificação do deslocamento horizontal é feita para o corte basal elástico, ou seja,

q=1.

Até satisfazer esta condição pode-se ocorrer um processo iterativo na escolha de novos perfis CHS.


43

4.3.4 Estimativa do coeficiente de comportamento

Como demonstrado por Villani et al. (2009), por via de uma análise elástica linear e um processo

iterativo, estima-se o coeficiente de comportamento real da estrutura admitindo que a força basal de

cálculo (𝑉𝑑) iguala a força lateral quando ocorre a plastificação do primeiro elemento na estrutura

(𝑉1𝑦), como demonstrado na equação (4.9).

𝑞 =𝑉𝑒𝑙𝑉𝑑

=𝑉𝑒𝑙𝑉𝑦∗𝑉𝑦

𝑉𝑑=𝑉𝑒𝑙𝑉1𝑦

(4.9)

em que,

𝑉𝑒𝑙 é a força basal elástica;

𝑉𝑦 é a resistência/capacidade lateral da estrutura, ou seja, a força lateral necessária para ocorrer a

plastificação no último elemento que torna a estrutura hipostática;

𝑉1𝑦 é a força lateral aplicada/corte basal necessário para a plastificação da primeira diagonal ;

𝑉𝑑 é a força lateral de cálculo/corte basal de dimensionamento.

A abordagem proposta por Villani propõe um procedimento mais adequado para a definição do

coeficiente de comportamento porque a estimativa do coeficiente se adapta à solução estrutural (i.e.,

a determinada escolha de perfis) ao invés de selecionar valores definidos à priori pelo regulamento

(Tabela 4.1). Ou seja, a cada solução estrutural está associado um coeficiente de comportamento

único.

Tanto 𝑉𝑒𝑙 como 𝑉1𝑦 em cada pórtico foram calculados a partir do respetivo modelo plano. Ou seja, foi

avaliado o coeficiente de comportamento em cada pórtico, em cada direção da estrutura em estudo, e

depois feita uma decisão do valor global do coeficiente a adotar na análise elástica tridimensional,

tendo em conta todos os valores mínimos de q correspondentes a cada pórtico.

Cálculo de 𝑽𝒆𝒍 por pórtico

Para uma dada configuração dos perfis, a rigidez K foi calculada a partir de uma análise plana do

pórtico, aplicando uma força F de 1000kN no topo do pórtico, retirando o respectivo deslocamento no

topo d. A rigidez de cada pórtico na direção X e direção Y é dada pela equação (4.10) e (4.11),

respetivamente.

𝐾𝑥 =𝐹𝑥𝑑𝑥 (4.10)

𝐾𝑦 =

𝐹𝑦

𝑑𝑦

(4.11)


44

O corte basal elástico em cada direção, para a análise linear do modelo tridimensional, 3D, distribui-

se pelos diferentes pórticos, proporcionalmente à rigidez de cada pórtico e ao efeito de torção

inerente da distribuição em planta destes pórticos. Exemplificando, a equação (4.12) define a força de

corte basal elástica em cada pórtico i na direção Y, em função da força de corte basal da estrutura

segundo Y.

𝐹𝑦𝑖 =𝐾𝑦𝑖∑ 𝐾𝑦𝑗𝑗

∗ 𝐹𝐸𝑦 +𝐾𝑦𝑖 ∗ 𝑥𝑖

∑ (𝐾𝑦𝑗 ∗ 𝑥𝑗2 + 𝐾𝑥𝑗 ∗ 𝑦𝑗

2)𝑗

∗ 𝐹𝐸𝑦 ∗ 𝑒𝑥 (4.12)

em que,

𝐾𝑦𝑖 [kN/m] é a rigidez na direção Y do pórtico i;

𝐾𝑥𝑖 [kN/m] é a rigidez na direção X do pórtico i;

𝑥𝑖 𝑒 𝑦𝑖 [m] são as coordenadas dos pórticos na direção Y e X, respectivamente;

𝐹𝐸𝑦[kN] é a força de corte basal elástica na direção Y calculada no subcapítulo 4.3.2 ;

𝑒𝑥[m] é a excentricidade em X do CR em relação ao Centro de Massa

Expressão equivalente é obtida para cada pórtico na direção X

Cálculo de 𝑽𝟏𝒚𝒊𝒆𝒍𝒅 por pórtico

Segundo Cl. 4.3.3.2.3 (3) do EC8, admitindo que os deslocamentos horizontais crescem linearmente

em altura, segundo uma distribuição aproximadamente triangular, pode-se calcular o efeito da

atuação da ação sísmica recorrendo a uma análise estática equivalente. Analisa-se o comportamento

em todos os pórticos, determinando os efeitos da aplicação de uma distribuição de forças horizontas

em altura 𝐹𝑖, definidas pela expressão (4.13).

𝐹𝑖 = 𝐹𝑏 ∗𝑧𝑖 ∗ 𝑚𝑖

∑𝑧𝑗 ∗ 𝑚𝑗 (4.13)

Em que,

𝐹𝑏 é a força de corte basal elástica, no respetivo pórtico em estudo;

𝑚𝑖 , 𝑚𝑗 são as massas dos pisos, calculadas segundo a combinação sísmica definida no

subcapítulo 3.3. Este cálculo está resumido no subcapítulo 4.3.11. Dado que a massa na

direção X é diferente da massa na direção Y, a distribuição em altura vai ser diferente nas

duas direções;

𝑧𝑖 , 𝑧𝑗 são as alturas das massas 𝑚𝑖 , 𝑚𝑗, medidas a partir da fundação.

Este método (Forças laterais equivalentes) só poderá ser aplicado se forem satisfeitas as condições

da expressão (4.14).

𝑇1 < {4 ∗ 𝑇𝐶2𝑠

(4.14)


45

Para o modelo plano (pórtico) a ação sísmica é traduzida por forças laterais equivalentes

normalizadas em altura segundo a expressão (4.15), aplicadas no pórtico ao nível de cada piso, cuja

distribuição está ilustrada qualitativamente na Figura 4.6.

𝐹�̅� =𝐹𝑖

max 𝐹𝑖 (4.15)

Tendo em conta que foi considerado o modelo T/O para as diagonais, a plastificação da diagonal

ocorre quando o esforço axial devido à ação sísmica, somando o esforço axial devido à ação gravítica

iguala o esforço axial resistente plástico 𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 nesse elemento como definido na equação (4.16) :

𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 = 𝜆𝑖 ∗ 𝑁𝐸𝑑,𝐸 + 𝑁𝐸𝑑,𝐺+0.3𝑄 (4.16)

em que,

𝑁𝐸𝑑,𝐸 é o esforço axial devido a uma ação sísmica (i.e. devido ao efeito da atuação das forças

horizontais Fi, atuando no piso i, e pretendendo representar as forças de inércia que se geram

aquando da atuação de um sismo).;

𝜆𝑖 é o factor de carga do Piso i;

𝑁𝐸𝑑,𝐺+0.3𝑄 é o esforço axial devido à ação gravítica, representação qualitativa na Figura 4.7.

Dada a natureza da distribuição das forças equivalentes à ação sísmica, os esforços resultantes 𝑁𝐸𝑑,𝐸

são tais que o valor de 𝜆𝑖 é superior à unidade e como tal o elemento traccionado mais condicionante

vai ser aquele que apresentar o menor factor de carga, ou seja, 𝜆 = 𝑚𝑖𝑛{𝜆𝑖}.

O corte basal elástico necessário para provocar a plastificação da primeira diagonal é definido

segundo a equação (4.17).

𝑉1𝑦 = (�̅�1 + �̅�2 + �̅�3) ∗ 𝑚𝑖𝑛{𝜆𝑖} (4.17)

Figura 4.6: Diagrama qualitativo de esforço axial para a ação sísmica nos pórticos planos segundo direção Y

𝐹3̅̅̅

𝐹2̅̅̅

𝐹1̅


46

Figura 4.7: Diagrama qualitativo de esforço axial para a ação gravítica nos pórticos planos segundo direção Y

Feita a estimativa do coeficiente de comportamento em cada pórtico, escolhe-se o valor de

coeficiente de comportamento a adotar para o modelo tridimensional (coeficiente de comportamento

global) que tem como limite inferior o máximo coeficiente de comportamento das duas direções

horizontais.

O coeficiente de comportamento global escolhido para cada estrutura é usado na análise dinâmica

modal por espectro de resposta no SAP2000 em ambas as direções, para definir o espectro de

resposta de cálculo.

4.3.4.1 Considerações do comportamento dissipativo

Para melhor compreensão do procedimento representa-se na Figura 4.8 a curva de capacidade

(relação entre corte basal e deslocamento de topo) para um pórtico metálico de ligações rígidas.

Figura 4.8: Resposta padrão de um pórtico metálico de ligações rígidas (Villani et al. 2009)


47

Para os diferentes valores de esforço transverso usados na equação (4.9), definem-se os

correspondentes valores de deslocamentos, ilustrados na Figura 4.8.

∆𝑚𝑎𝑥 é o deslocamento máximo da curva de capacidade;

∆𝑒𝑙 é o máximo deslocamento elástico;

∆1𝑦 é o deslocamento correspondente à entrada em cedência do primeiro elemento do pórtico;

∆𝑦 é o deslocamento de cedência correspondente à curva bi-linear.

A ação sísmica consiste em deslocamentos impostos à estrutura. O factor de amplificação de

deslocamentos, 𝑞𝑑, traduz a relação entre o deslocamento máximo da estrutura em regime não-linear

(∆𝑚𝑎𝑥) e o deslocamento elástico linear desta quando sujeita ao corte basal de dimensionamento

(∆𝑑). Segundo o EC8, se uma estrutura apresenta um período fundamental (𝑇1) igual ou superior a 𝑇𝐶

o factor 𝑞𝑑 deve adoptar um valor igual ao valor do coeficiente de comportamento. Ou seja, para este

tipo de estruturas, admite-se que os deslocamentos em regime não linear são iguais aos

deslocamentos em regime linear.

𝑞𝜇 é a componente de ductilidade que tem em conta toda a capacidade que a estrutura tem para

dissipar energia através do comportamento histerético dos contraventamentos. É admitido que estes

elementos conseguem acomodar deformações plásticas 𝑞𝜇 =𝑉𝑒𝑙

𝑉𝑦.

Ω é a componente de sobre-resistência da estrutura, definida no EC8 pela relação 𝛼𝑢 𝛼1⁄ . Tem em

conta todas as fontes de sobre-resistência (reserva de resistência) presentes na estrutura como a

redistribuição de esforços internos na estrutura, o aumento de resistência do material devido a

deformações plásticas (Strain Hardening), comportamento real do material ser mais resistente que o

calculado. De uma forma geral, Ω representa a maior resistência da estrutura sujeita a ações

superiores às ações para qual foi dimensionada. Ω =𝑉𝑦

𝑉𝑑.

Ambas as componentes do coeficiente de comportamento descritas estão representadas na equação

(4.18).

𝑞 =𝑉𝑒𝑙𝑉𝑑

=𝑉𝑒𝑙𝑉𝑦∗𝑉𝑦

𝑉𝑑= 𝑞𝜇 ∗ Ω =

𝑉𝑒𝑙𝑉1𝑦

(4.18)

Seguindo o procedimento IFBD, admitindo que a força basal de cálculo (𝑉𝑑) iguala a força lateral

quando o 1º elemento plastifica na estrutura (𝑉1𝑦) , resulta na diminuição do factor de sobre-

resistência, Ω. Ou seja, resulta na diminuição do coeficiente de comportamento da estrutura e uma

aproximação mais real do comportamento da estrutura. O que leva a que o comportamento se

aproxime das expectativas do dimensionamento. Os valores sugeridos pelo EC8 para o coeficiente de

comportamento estão presentes na Tabela 4.1, no subcapítulo 4.1.1 desta dissertação.


48

Investigações foram levadas a cabo com o intuito de concluir que fatores contribuem para essa

reserva de resistência (Mitchell & Paultre, 1994; Nassar and Krawinkler, 1991). Os factores

associados a um grau de incerteza são:

A diferença entre a resistência real do material e a resistência dimensionada.

Porque o valor nominal de resistência é um valor inferior à resistência média que o material

suporta. Para além disso o regulamento estipula em ELU a redução do valor nominal da

resistência. A filosofia prende-se em minimizar o risco da resistência ser ultrapassada. É claro

que na maioria dos projetos a capacidade da estrutura vai muito para além do valor estimado.

Segundo Humar & Rahgozar (1996) existe a discussão que em casos onde existe maior risco

associado em dimensionar a estrutura ao sismo do que dimensionar uma sobrecarga de

natureza diferente (p.e. dimensionar ao vento) a prática correta devia ser adoptar um valor

nominal mais próximo da média de valores em ensaio e/ou o uso de um coeficiente de

minoração da resistência do material próximo de 1,0. Em estruturas de betão esta medida é

condicionante ao contrário das estruturas metálicas.

Dimensões racionais de perfis para os elementos, p.e. seleção de perfis que estejam dentro

do critério de dimensionamento por capacidade resistente (capacity design).

Factores que não podem ser tidos em conta devido à sua falta de conhecimento ou complexidade

do comportamento.

Uso de modelos conservativos para simular a resposta;

Efeito de elementos-não estruturais, como sejam, as paredes de alvenaria.

4.3.5 Corte basal de cálculo

O valor de corte basal de cálculo na direção Y, 𝑉𝐷,𝑌, é obtido do esforço axial atuante nas diagonais

traccionadas do Piso 1 de todos os pórticos em Y segundo a equação (4.19), e seguindo o mesmo

raciocínio para a direção X, 𝑉𝐷,𝑋 é obtido segundo a equação (4.20).

4.3.6 Quantificação do coeficiente de sensibilidade.

Segundo a Cl. 4.4.2.2(2) do EC8, não é necessário ter em conta os efeitos de segunda ordem se a

expressão (4.21) for satisfeita em todos os pisos:

𝑉𝐷,𝑌 =∑𝑉𝑌,𝑃𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑖 ; 𝑉𝑌,𝑃ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑖 = 𝑁𝐸𝑑,𝑑𝑖𝑎𝑔𝑃𝑖𝑠𝑜1 ∗ cos 48,37° 𝑃ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑎 𝐷𝑖𝑟. 𝑌 (4.19)

𝑉𝐷,𝑋 =∑𝑉𝑋,𝑃𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑖 ; 𝑉𝑋,𝑃𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑖 = 𝑁𝐸𝑑,𝑑𝑖𝑎𝑔𝑃𝑖𝑠𝑜1 ∗ cos 36,87° 𝑃ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑎 𝐷𝑖𝑟. 𝑋 (4.20)


49

𝜃𝑖 =𝑃𝑡𝑜𝑡,𝑖 ∗ 𝑑𝑠𝑉𝑡𝑜𝑡,𝑖 ∗ ℎ𝑖

≤ 0,1 (4.21)

em que,

𝜃𝑖 é o índice de sensibilidade do piso i

ℎ𝑖 é a altura do piso i;

𝑃𝑡𝑜𝑡,𝑖 valor da carga vertical total de todos os pisos acima do piso i, incluindo o piso i, para

a combinação sísmica de ações;

𝑉𝑡𝑜𝑡,𝑖 força de corte total no piso i devido à ação sísmica de cálculo;

𝑑𝑠 é o valor amplificado do deslocamento relativo entre pisos expresso pela equação

(4.22), em acordo com a Cl. 4.3.4 do EC8 (CEN 2004).

Em que, 𝑑𝑠 é dado pelo produto entre o deslocamento de cálculo relativo entre pisos, 𝑑𝑒, pelo

factor de amplificação de deslocamentos 𝑞𝑑 (cujo valor se admite ser igual ao valor de

coeficiente de comportamento global adotado, 𝑞, desde que para uma dada direção 𝑇1 ≥ 𝑇𝐶 )

𝑑𝑠 = 𝑑𝑒 ∗ 𝑞𝑑 (4.22)

Não sendo o caso das estruturas CBF, segundo 4.4.2.2(3) do EC8, se 0,1 ≤ 𝜃 ≤ 0,2 os efeitos de

segunda ordem podem ser avaliados de forma aproximada multiplicando os esforços sísmicos pelo

factor 1 (1 − 𝜃)⁄ .

Reescrevendo a equação (4.21) tendo em conta a equação (4.22), resulta a expressão (4.23) :

𝜃𝑖 =𝑃𝑡𝑜𝑡,𝑖 ∗ (𝑑𝑒 ∗ 𝑞)

𝑉𝑡𝑜𝑡,𝑖 ∗ ℎ𝑖=𝑃𝑡𝑜𝑡,𝑖ℎ𝑖

∗1

𝐾𝑖∗ 𝑞 ≤ 0,1 ; (𝑠𝑒 𝑞𝑑 = 𝑞) (4.23)

Em que 𝐾𝑖 [𝑘𝑁 𝑚⁄ ] representa a rigidez lateral no piso i

Por análise da equação (4.23) retiram-se as seguintes ilações :

Para satisfazer o limite de 𝜃, a escolha de um coeficiente de comportamento elevado exige

um pórtico com maior rigidez;

Em estruturas muito flexíveis às quais estão associados elevados valores de coeficientes de

comportamento, o coeficiente de sensibilidade é o critério mais condicionante do projeto

sísmico;

Dado que 𝜃 é diretamente proporcional ao valor de q, a escolha de um valor elevado de

coeficiente de comportamento superior ao real comportamento da estrutura traduz-se em

valores elevados e irrealistas de 𝜃, levando à necessidade em adotar soluções estruturais

mais rígidas (sobredimensionadas e mais dispendiosas) para se cumprir o limite de 𝜃 .

Esta conclusão reforça a vantagem do recurso à metodologia IFBD que, por via da avaliação

cuidada do coeficiente de comportamento (avaliação que resulta em valores de q mais

realistas e inferiores aos valores propostos pelo EC8, presentes na Tabela 4.1), permite que

o limite de 𝜃 seja satisfeito com soluções menos rígidas.


50

4.3.7 Verificação aos Estados Limites Últimos (ELU) para a força de corte basal de

cálculo. Prescrições do EC8

Os perfis dimensionados para a estrutura REG foram sujeitos aos efeitos acidentais de torção de

acordo com a Cl. 4.3.2 do EC8. A excentricidade acidental na direção X e Y da estrutura REG é

definida pela equação (4.24).

𝑒𝑎𝑖 = ±0,05 ∗ 𝐿𝑖

𝑒𝑎𝑋 = ±1,5𝑚 ; 𝑒𝑎𝑌 = ±0,9𝑚 (4.24)

4.3.7.1 Contraventamentos

Como recomendado no EC8, os contraventamentos têm que satisfazer a condição de resistência da

equação (4.25) e a limitação da esbelteza normalizada definida na equação (4.26).

𝑁𝐸𝑑 ≤ 𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 (4.25)

1,3 ≤ 𝜆̅ ≤ 2,0 (4.26)

em que,

𝑁𝐸𝑑 esforço normal de cálculo;

𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 esforço normal resistente obtido em acordo com o definido no subcapítulo 3.5.1;

𝜆̅ =𝐿𝑐𝑟

𝑖∗1

𝜆1 esbelteza normalizada.

em que, 𝑖 = √𝐼

𝐴 é o raio de giração, 𝜆1 = 𝜋√

𝐸

𝑓𝑦

𝑁𝐸𝑑 foi avaliado como já referido, admitindo um modelo de diagonais só à tração (modelo T/O)

representado na Figura 4.9 (nota que as diagonais à tração correspondem aos elementos estruturais

com capacidade de dissipação de energia estável)

Figura 4.9: Modelo T/O (Tension Only) das diagonais (Brandonisio et al. 2012)


51

O limite inferior 𝜆̅ ≥ 1,3 – equação (4.26) - tem como objectivo evitar esforços elevados nas colunas

dos pórticos para a situação em que as diagonais comprimidas ainda se encontram numa fase pré-

encurvadura, uma vez que na realidade ocorre o modelo tensão/compressão das diagonais (T/C

model), como representado na Figura 4.10 .

Figura 4.10: Modelo T/C das diagonais (Brandonisio et al. 2012)

O limite superior 𝜆̅ ≤ 2,0 tem o intuito de garantir um comportamento aceitável das diagonais sob

ação cíclica, comportamento descrito no subcapítulo 2.4, onde também se refere que o aumento da

capacidade de dissipação de energia está associado à redução da esbelteza da diagonal.

É necessário verificar que os valores da sobre-resistência definida na equação (4.29), satisfazem o

critério expresso na equação (4.27). Este critério enuncia que o valor máximo da relação Ω𝑖 nos três

pisos, Ω𝑚𝑎𝑥, (regra geral vai ser a diagonal do último piso) não deverá ser superior a 125% do valor

mínimo, Ω𝑚𝑖𝑛.

Ω𝑚𝑎𝑥Ω𝑚𝑖𝑛

≤ 1,25 (4.27)

O objectivo da equação (4.27) é de garantir um comportamento dissipativo uniforme em altura

reduzindo a probabilidade de concentração dos danos e assim evitar a formação de um mecanismo

soft-storey.

4.3.7.2 Vigas e Colunas

Para um pórtico contraventado centrado os critérios de dimensionamento por capacidade resistente

(capacity design), relativos aos elementos não-dissipativos, consistem em conferir a estes elementos

mais resistência para garantir que se mantenham em regime linear enquanto ocorre a resposta não

linear nos contraventamentos.


52

Nesse sentido, a condição que consiste no aumento de resistência nas colunas, enunciada na

equação (4.28), deve ser respeitada (segundo a Cl. 6.7.4 do EC8).

𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 ≥ 𝑁𝐸𝑑,𝐺𝑘+0.3𝑄𝑘 + 1,1 ∗ 𝛾𝑜𝑣 ∗ Ω ∗ 𝑁𝐸𝑑,𝐸 (4.28)

em que,

𝑁𝐸𝑑,𝐺𝑘+0.3𝑄𝑘 esforço normal na coluna devido às cargas verticais incluídas na combinação de

ações para a situação de projeto sísmica;

𝑁𝐸𝑑,𝐸 esforço normal na coluna devido à ação sísmica de cálculo;

𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 esforço normal de resistência à encurvadura da coluna;

𝛾𝑜𝑣 = 1,25 coeficiente de sobre-resistência do material, que tem em consideração a

possibilidade da tensão de cedência real do aço ser superior ao valor nominal da tensão de cedência;

Ω = minΩ𝑖 valor mínimo da relação Ω𝑖 dos três pisos. A relação Ω𝑖 é traduzida pela equação

(4.29), relativa à diagonal do Piso i.

Ω𝑖 = (𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑,𝑖

𝑁𝐸𝑑,𝑖) (4.29)

em que,

𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑,𝑖 resistência de cálculo da diagonal no piso i;

𝑁𝐸𝑑,𝑖 valor de cálculo da mesma diagonal i para a situação de projeto sísmica.

Apesar de não serem condicionantes, o momento fletor resistente, 𝑀𝑅𝑑 , e o esforço transverso

resistente,𝑉𝑅𝑑 , nas vigas e colunas vão ser calculados segundo o mesmo raciocínio, presente na

expressão (4.30) :

𝐸𝑑 = 𝐸𝑑,𝐺𝑘+0.3𝑄𝑘 + 1,1 ∗ 𝛾𝑜𝑣 ∗ Ω ∗ 𝐸𝑑,𝐸 (4.30)

A aplicação da sobre-resistência garante que vigas e colunas aumentem a sua resistência e se

mantenham em regime elástico enquanto ocorre a plastificação cíclica das zonas dissipativas, os

contraventamentos.

4.3.8 Comentário aos critérios de dimensionamento por capacidade resistente do

EC8

Como já referido, com o objectivo de garantir ductilidade nas estruturas contraventadas centradas, o

EC8 impõe que os contraventamentos plastifiquem antes da cedência prematura de vigas, colunas e

ligações metálicas através da exigência de intervalos de sobre-resistência e limitação da esbelteza

normalizada das diagonais. Apesar das vantagens já enunciadas, relacionadas com a aplicação dos

critérios, estes afetam também a escolha dos perfis das diagonais no dimensionamento levando a


53

que grande maioria dos projetos resultem em soluções sobredimensionadas e pesadas. A natureza

mais rígida da solução sobredimensionada, para a mesma ação sísmica prevista no regulamento,

resulta numa solução estrutural sujeita a esforços sísmicos superiores.

Nesse sentido, Tremblay (2007) critica os critérios do dimensionamento por capacidade resistentes

(capacity design) definidos no EC8 para as estruturas CBF, referindo que, apesar do impacto positivo

que a adoção destes critérios tiveram no dimensionamento sísmico, estes afetam as vantagens

económicas associadas à tradicional escolha de estruturas CBF em detrimento de estruturas MRF.

Ou seja, que estes critérios têm também um importante contributo para tornar este tipo de estruturas

menos atrativas do ponto de vista económico.

Brandonisio et al. (2012) numa crítica a esta prática do EC8, salienta a contribuição da

interdependência entre o intervalo de esbelteza normalizada, 𝜆̅, e o intervalo de sobre-resistência, Ω,

na escolha de uma solução sobredimensionada, expondo as consequências da presente abordagem:

Quando o esforço axial atuante na diagonal é reduzido, em que apenas se requer perfis mais

reduzidos, o limite superior da esbelteza normalizada (𝜆̅ < 2,0) é o critério preponderante na

escolha de um perfil CHS mais robusto, levando a valores elevados da relação Ω𝑖, equação

(4.29), valores muito superiores à unidade. Esta situação ocorre nas estruturas em estudo

neste trabalho nos pisos 2 e 3, tipicamente sujeitos a valores reduzidos de esforço axial

atuante;

Por outro lado, nas diagonais em que o esforço axial atuante é elevado, sendo necessário

secções transversais mais robustas, o limite inferior da esbelteza normalizada (𝜆̅ > 1,3) reduz

muito as opções de escolha dos perfis disponíveis. Em certos projetos pode ocorrer o caso

extremo de não existirem soluções de contraventamentos disponíveis;

A necessidade de manter a relação Ω𝑖 dentro do intervalo prescrito na equação (4.27) leva ao

aumento do valor mínimo de Ω𝑖 e por conseguinte aumentando a sobre-resistência global da

estrutura;

De facto neste trabalho, a necessidade de satisfazer simultaneamente ambos os critérios enunciados,

obrigou a um longo e demorado processo iterativo na procura de uma solução estrutural adequada.

De acordo com o enunciado no subcapítulo 4.3.6, o recurso à metodologia IFBD oferece um grande

vantagem numa estrutura em que os efeitos de 2ª ordem são o critério mais condicionante. As

estruturas MRF são casos práticos desta afirmação, que sendo estruturas mais flexíveis e dúcteis que

os pórticos contraventados (logo mais sensíveis a efeitos de 2ª ordem) a adoção de um coeficiente de

comportamento inferior aos valores elevados sugerido pelo EC8, presentes na Tabela 4.1, leva ao

cumprimento dos limites de coeficiente de sensibilidade, 𝜃, com uma configuração estrutural menos

rígida e mais leve. Nesta perspetiva, sendo as estruturas CBF menos susceptíveis a efeitos de 2ª

ordem, a aplicação da metodologia IFBD revela-se menos vantajosa.


54

4.3.9 Resultados

Nas tabelas seguintes apresentam-se os resultados obtidos para a estrutura REG (Tabelas 4.4 e 4.5) e para a estrutura IRREG (Tabelas 4.6 e 4.7).

Estrutura REG

Tabela 4.4: Parâmetros de dimensionamento Pórtico 1 e 2

ID Pórtico Piso Contravent. Colunas

Int. Colunas

Ext. T [s]

Vel

[kN] Limite Drift

(0,01h) Vd

[kN] q / qadopt3D θ

Ωmin Ωmax

Pórtico 1

3 CHS 139,7x3,2 HEB 300 HEB 200

0,84

1826,4

0,0239

692,6 2,36 / 3,5

0,0156 1,30

1,14 1,34 2 CHS 139,7x6,3 HEB 300 HEB 200 0,0220 0,0255 1,47

1 CHS 139,7x8,0 HEB 300 HEB 200 0,0235 0,0273 1,69

Pórtico 2

3 CHS 139,7x3,2 HEB 300 HEB 200

1826,4

0,0239

570,4 2,36 / 3,5

0,0156 1,30

1,38 1,63 2 CHS 139,7x6,3 HEB 300 HEB 200 0,0220 0,0255 1,47

1 CHS 139,7x8,0 HEB 300 HEB 200 0,0235 0,0273 1,69

Tabela 4.5: Parâmetros de dimensionamento Pórtico 3 e 4


Int. Colunas

Ext. T [s] Vel [kN]

Limite Drift (0,01h)

Vd [kN]

q / qadopt3D θ

Ωmin Ωmax

Pórtico 3

3 CHS 139,7x3,2 HEB 300 HEB 200

0,88

1883,8

0,0161

554,1 3,15 / 3,5

0,0174 1,88

1,11 1,73 2 CHS 139,7x4,0 HEB 300 HEB 200 0,0222 0,0451 1,89

1 CHS 139,7x5,0 HEB 300 HEB 200 0,0281 0,0545 2,06

Pórtico 4

3 CHS 139,7x3,2 HEB 300 HEB 200

1883,8

0,0161

585,7 3,15 / 3,5

0,0174 1,88

1,05 1,61 2 CHS 139,7x4,0 HEB 300 HEB 200 0,0222 0,0451 1,89

1 CHS 139,7x5,0 HEB 300 HEB 200 0,0281 0,0545 2,06


55

Estrutura IRREG

Tabela 4.6: Parâmetros de dimensionamento das Pórtico 1, 2 e 3


Int. Colunas

Ext. T [s]

Vel [kN]

dr.ν (Limite =0,01h)

Vd [kN]

q / qadopt3D θ

Ωmin Ωmax

Pórtico 1

3 CHS 114,3x3,2 HEB 300 HEB 200

0,72

1756,4

0,013

757,5 2,40 / 3,0

0,007 1,77

1,02 1,18 2 CHS 139,7x6,3 HEB 300 HEB 200 0,018 0,013 1,47

1 CHS 139,7x8,0 HEB 300 HEB 200 0,024 0,017 1,69

Pórtico 3

3 CHS 114,3x3,2 HEB 300 HEB 200

1308,6

-

498,2 1,81 / 3,0

- 1,77

1,51 1,84 2 CHS 139,7x6,3 HEB 300 HEB 200 - - 1,47

1 CHS 139,7x8,0 HEB 300 HEB 200 - - 1,69

Pórtico 2

3 CHS 114,3x3,2 HEB 300 HEB 200

1196,6

-

437,4 1,65 / 3,0

- 1,77

1,69 2,09 2 CHS 139,7x6,3 HEB 300 HEB 200 - - 1,47

1 CHS 139,7x8,0 HEB 300 HEB 200 - - 1,69

Tabela 4.7: Parâmetros de dimensionamento da Pórtico 4 e 5


Int. Colunas

Ext. T [s]

Vel

[kN] dr.ν (Limite

=0,01h) Vd

[kN] q / qadopt3D θ

Ωmin Ωmax

Pórtico 4

3 CHS 139,7x3,2 HEB 300 HEB 200

0,83

2020,0

0,017

703,6 3,0 / 3,0

0,015 1,88

1,05 1,32 2 CHS 139,7x4,0 HEB 300 HEB 200 0,023 0,039 1,89

1 CHS 168,3x5,0 HEB 300 HEB 200 0,024 0,038 1,70

Pórtico 5

3 CHS 139,7x3,2 HEB 300 HEB 200

2020,0

0,017

703,6 3,0 / 3,0

0,015 1,88

1,05 1,32 2 CHS 139,7x4,0 HEB 300 HEB 200 0,023 0,039 1,89

1 CHS 168,3x5,0 HEB 300 HEB 200 0,024 0,038 1,70


56

4.3.10 Configuração Final dos Pórticos

Ao nível do dimensionamento sísmico como não foram feitas alterações na escolha dos perfis das

vigas, em relação ao dimensionamento para cargas verticais, estes perfis não foram apresentados

neste subcapítulo. A configuração final sísmica dos pórticos da estrutura REG e IRREG é a que se

apresenta na Tabela 4.8 e Tabela 4.9, respetivamente.

Estrutura REG

Tabela 4.8: Estrutura REG ; Configuração final sísmica Pórtico 1, 2, 3 e 4

Pórtico 1 e 2 Pórtico 3 e 4

Piso Pilar Ext. Pilar Int. Contrav. Pilar Ext. Pilar Int. Contrav.

3 HEB 200 HEB 300 CHS 139,7x3,2 HEB 200 HEB 300 CHS 139,7x3,2



Estrutura IRREG

Tabela 4.9: Estrutura IRREG ; Configuração final sísmica Pórtico 1, 2, 3, 4 e 5

Pórtico 1, 2 e 3 Pórtico 4 e 5

Piso Pilar Ext. Pilar Int. Contrav. Pilar Ext. Pilar Int. Contrav.





57

4.3.11 Massas e Momentos de Inércia

Para a combinação sísmica já definida no subcapítulo 4.2, o peso das paredes no piso 1 e 2 está

representada na Tabela 4.10, tendo em consideração que o pé direito do piso onde as paredes não

estruturais estão presentes, é 3,5m. Para a mesma combinação, o peso por piso, NED, encontra-se na

Tabela 4.11.

Peso das paredes [kN] L total paredes

[m]

Dir. y 585 = 3,93*3,5*44 44

Dir. x 957= 3,93*3,5*72 72

Total 1542,8

Área total [m2] 516 = (30*18)-(6*4)

Gk [kN] Piso 1, 2 e 3

2025,8

Qk [kN] Piso 1 e 2 Piso 3

1032,0 516

𝑵𝑬𝒅 = 𝑮𝒌 + 𝟎, 𝟑 𝑸𝒌 [kN] Piso 1 e 2 Piso 3

2335,4 2180,6

Na Tabela 4.12 encontra-se o cálculo da massa nas duas direções:

Tabela 4.12: Massa total nas duas direções

Piso 1 e 2 + Parede Paredes (Piso 1 e 2) Piso 3

Massa y [ton] 297,7 59,7 222,3

Massa x [ton] 335,7 97,6 222,3

O momento polar de inércia, 𝑀𝜃, é definido pela equação seguinte,

𝑀𝜃 = 𝜌 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏3

12+𝑎3 ∗ 𝑏

12) +𝑀𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. ∗ 𝑑

2 = 𝜌 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏2

12+𝑎2 ∗ 𝑏

12+ 𝑑2) =

= 𝑀𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣. ∗ [𝑎 ∗ 𝑏2

12+𝑎2 ∗ 𝑏

12+ 𝑑2]

(4.31)

Tabela 4.10: Peso das paredes em cada direção

Tabela 4.11: Peso da laje por piso


58

Tanto na estrutura REG como na estrutura IRREG, a parcela d (distância ao CG) relativa à laje dos

edifícios, é nula. Na Tabela 4.13 está discretizado o 𝑀𝜃 por laje de cada piso e as respetivas variáveis

presentes na equação (4.31).

Tabela 4.13: Momento polar de inércia por Piso

Piso Mequiv. [ton] a [m] b [m] 𝑴𝜽 [𝒕𝒐𝒏.𝒎𝟐]

1 e 2 395,3 24=30-6 14=18-4 25433,1

3 222,3 24 14 14300,3

Em resumo apresenta-se na Tabela 4.14 a massa na direção X, na direção Y e o 𝑀𝜃, para cada piso,

presentes no CG do modelo tridimensional de ambas as estruturas.

Tabela 4.14: Resumo das massas e momento polar de inércia por piso

Piso Massa y [ton] Massa x [ton] 𝑴𝜽 [𝒕𝒐𝒏.𝒎𝟐]

1 e 2 297,7 335,7 25433,1

3 222,3 222,3 14300,3

4.3.12 Períodos e Modos de Vibração da configuração final das estruturas

Na Tabela 4.15 e Tabela 4.16 encontram-se os primeiros 6 modos de vibração das estruturas REG e

IRREG, respectivamente, com definição das frequências, períodos, % da participação da massa e o

movimento predominante em cada modo.

Estrutura REG

Tabela 4.15: Períodos e modos vibração REG

Translação em X Translação em Y Rotação em Z Mov. Pref.

Modo Período [s] % % Acum. % % Acum. % % Acum

1 0,878 0,899 0,899 0,004 0,004 0,001 0,001 Transl. X

2 0,845 0,004 0,903 0,878 0,882 0,003 0,004 Transl. Y

3 0,418 0,001 0,904 0,002 0,884 0,894 0,897 Rot. Z

4 0,316 0,011 0,915 0,087 0,971 0,0 0,897 Transl. Y

5 0,313 0,073 0,988 0,014 0,985 0,0 0,897 Transl. X

6 0,182 0,012 1,0 0,0 0,985 0,0 0,897 Transl. X


59

Estrutura IRREG

Tabela 4.16: Períodos e modos vibração IRREG

Translação em X Translação em Y Rotação em Z Mov. Pref.

Modo Período [s] % % Acum. % % Acum. % % Acum.

1 0,837 0,883 0,883 0,0 0,0 0,0 0,0 Transl. X

2 0,716 0,0 0,883 0,851 0,851 0,021 0,021 Transl. Y

3 0,390 0,0 0,883 0,020 0,871 0,864 0,885 Rot. Z

4 0,303 0,101 0,984 0,0 0,871 0,0 0,885 -

5 0,279 0,000 0,984 0,110 0,981 0,001 0,886 -

6 0,178 0,016 1,0 0,0 0,981 0,0 0,886 -

Tanto a REG como IRREG têm menos rigidez para o modo de translação segundo X, correspondente

ao 1º modo de vibração de ambas as estruturas. De notar que os três primeiros modos afectam o

principal comportamento de ambas as estruturas, contribuindo em quase 90% da resposta total da

estrutura.

As tabelas acima comprovam a validade em aplicar o método N2 simplificado na avaliação sísmica de

ambas as estruturas, como explicado no subcapítulo 2.3.2.1.


60

Capítulo 5. Avaliação do Desempenho Sísmico

61

5 Avaliação do Desempenho Sísmico

5.1 Introdução

Neste capítulo procede-se à avaliação do desempenho sísmico das estruturas dimensionadas no

capítulo anterior, através da elaboração de modelos numéricos que permitem modelar o

comportamento não linear das estruturas. Recorreu-se a análises estáticas não lineares (Pushover

Analyses) e a análises dinâmicas não-lineares (Time-History Analyses). Ambos os tipos de análises

foram definidas no software de elementos finitos de análise não linear, OpenSees (PEER, 2006)

O presente capítulo inicia-se com a descrição dos comandos relevantes para a definição dos modelos

não lineares com o programa de cálculo OpenSees. Posteriormente, os dois subcapítulos seguintes

focam-se na descrição das análises pushover e das análises dinâmicas não lineares. Para finalizar,

os resultados da avaliação sísmica de ambas as estruturas são apresentados e discutidos.

É importante referir que, apesar de se ter desenvolvido os modelos numéricos e a ação sísmica para

se desenvolver as análises dinâmicas não lineares, não foi possível obter os resultados finais das

análises dinâmicas não lineares, correspondentes à duração total de todos os acelerogramas, devido

a problemas numéricos. Assim, a avaliação das estruturas dimensionadas é feita, neste capítulo,

apenas com os resultados obtidos a partir das análises estáticas não lineares. A resposta histerética

dos contraventamentos relativa ao único acelerograma que correu na totalidade é aqui discutida

sendo que os resultados relativos ao deslocamentos horizontais máximos e mínimos atingidos e drifts

entre pisos não podem ser comparáveis com os resultados da análise estática não-linear.


62

5.2 Modelação Não-Linear das Estruturas

5.2.1 Introdução

Na Figura 5.1 e Figura 5.2 está ilustrada a distinção entre a orientação e posicionamento do sistema

global de coordenadas admitidos no OpenSees (referencial de coordenadas globais a azul) e do

sistema global de coordenadas admitidos no programa de cálculo SAP2000 (referencial de

coordenadas globais a preto) para a estrutura REG e IRREG, respectivamente. A principal diferença

reside que os pórticos da direção Y no dimensionamento (SAP2000) são os pórticos da direção Z na

avaliação sísmica (OpenSees), em ambas as estruturas.

Em todos os pórticos modelou-se apenas os elementos resistentes às ações laterais em ambas as

estruturas como se ilustra na Figura 5.1 e Figura 5.2, porque o resto do pórtico tem uma contribuição

muito pequena na rigidez do pórtico e por este ser computacionalmente um modelo mais “leve”.

Inclusivamente, os efeitos P-Delta não são condicionantes em pórticos com contraventamentos

centrados pelo que a hipótese em não definir o resto do pórtico não é contra a segurança.

Figura 5.1: Modelo tridimensional OpenSees da REG

Z X

Y


63

Figura 5.2: Modelo tridimensional OpenSees da IRREG

O código criado para o modelo tridimensional da IRREG (Figura 5.2) encontra-se no Anexo A .

Da Figura 5.3 à Figura 5.7 encontra-se a identificação de todos os nós e elementos respeitantes a

cada pórtico onde se inclui a representação das condições de fronteira. A identificação de nós e

elementos nos pórticos da estrutura REG (Figura 5.1) é coincidente com a identificação dos

respetivos pórticos no perímetro da IRREG.

Z X

Y


64

Figura 5.3: Pórtico 1, Modelo

OpenSees


OpenSees


OpenSees

Figura 5.6: Pórtico 4, Modelo OpenSees

Figura 5.7: Pórtico 5, Modelo OpenSees


65

5.2.2 Representação do comportamento não-linear

Duas filosofias/abordagens são usualmente usadas para representar a resposta não-linear dos

elementos estruturais à ação sísmica. Pode-se recorrer a modelos de “Plasticidade concentrada” e a

“plasticidade distribuída”. A primeira abordagem assume que as zonas que vão entrar em cedência

estão localizadas nas extremidades dos elementos. Porém os resultados desta abordagem podem

ser postos em causa se o utilizador não tiver a experiência necessária na correta calibração do

comportamento destas zonas. A segunda abordagem consiste em admitir plastificação ao longo do

elemento, exigindo a geometria e as características do material como valores de input. A relação

constitutiva tensão-deformação da secção transversal é obtida por via da integração da relação

tensão-deformação uniaxial de todas fibras em que a secção foi dividida. No modelo foi adoptado o

modelo de plasticidade distribuída, com as seções transversais discretizadas em fibras (fibre

modelling approach) permitindo assim ter em consideração a plasticidade quer ao nível longitudinal,

quer ao nível transversal do elemento.

Nos perfis comerciais IPE, HEB e CHS a configuração-tipo da divisão da seção em fibras é a ilustrada

na Figura 5.8.

Figura 5.8: Disposição tipo das fibras na dupla dos perfis HEB e IPE e perfis CHS (Uriz & Park 2008)

Segundo Uriz & Park (2008) o maior refinamento de fibras da secção não é importante para a

resposta global do contraventamentos mas é decisivo na obtenção das deformações em regime não

linear nas secções críticas. O número de divisões de fibras adotados nas diferentes seções são as

dispostas na Tabela 5.1. Nessa tabela nfdw representa o número de fibras no comprimento da alma,

nftw o número de fibras na espessura da alma, nfbf o número de fibras na largura do banzo, nftf o

número de fibras na espessura do banzo, nfR o número de divisões radiais (número de ‘anéis’) e nfT

o número de segmentos que compõem os ‘anéis’.

Tabela 5.1: Divisão das fibras nas secções HEB, IPE e CHS

HEB e IPE

nfdw 50

nftw 3

nfbf 50

nftf 9

CHS

nfR 4

nfT 8


66

5.2.3 Elementos

O OpenSees disponibiliza duas opções de modelar os elementos, Force Based Element (FBE) e

Displacement Based Element (DBE). Ambas as formulações consideram o efeito de Bauschinger,

descrito no subcapítulo 2.4, e têm em conta a curva de interação esforço axial-momento fletor.

A FBE é uma formulação exata em que os elementos finitos são formulados em forças. Nesta

formulação, uma melhor aproximação da solução é conseguida com o aumento do número de

secções de controlo ao longo do elemento (pontos de integração de Gauss) sem necessidade de

aumentar o número de elementos. Pontos de integração de Gauss são seções de controlo ao longo

do elemento que recorrem à regra de integração Gauss-Lobatto. Na sua forma mais simples, um

elemento pode ser constituído por um só elemento FBE com pelo menos quatro pontos de Gauss.

Nesta dissertação foi adoptada a formulação FBE com dez pontos de Gauss recorrendo ao elemento

nonlinearBeamColumn em vigas, colunas e contraventamentos.

Os elementos nonlinearBeamColumn têm em conta apenas as pequenas deformações, contudo por

aplicação da transformação geométrica corotational nos contraventamentos, a relação força

deslocamento é transformada para as grandes deformações do sistema global de coordenadas.

A Figura 5.9 representa o modelo-tipo do contraventamento com imperfeição inicial, onde se ilustra os

níveis de hierarquia da plasticidade distribuída (fibra -> seção -> elemento) que se inicia com a

integração da relação uniaxial tensão-deformação de cada fibra.

Figura 5.9: Modelação Contraventamento segundo (Uriz & Park 2008), (A) Imperfeição inicial, (B) Pontos de integração

de Gauss, (C) Exemplo de tipos secção transversal discretizadas em fibras, (D) Relação constitutiva uniaxial tensão-

deformação para a fibra


67

Nas vigas e colunas foi considerado um só elemento FBE. Dado que a resposta das estruturas CBF

depende em grande parte do comportamento dos contraventamentos, é crucial refinar o modelo

numérico nestas diagonais, de forma a obter uma resposta o mais realista possível do

comportamento pós-encurvadura, comportamento histerético e deformação fora do plano. Como tal:

Cada contraventamento é constituído por 10 elementos FBE.

A disposição dos 10 FBE pelo contraventamento origina uma imperfeição inicial a meio-vão

de valor 0,1% do comprimento efetivo das diagonais (𝐿𝑒𝑓𝑓);

Não existe ligação a meio vão unindo os dois contraventamentos, ou seja, 𝐿𝑒𝑓𝑓 = 𝐿.

A imperfeição inicial é consequência das tensões residuais provenientes do processo construtivo dos

perfis tubulares. Em (Uriz et al. 2008) é feita uma avaliação da influência do valor de imperfeição

inicial a meio-vão (variando o valor de imperfeição entre 0,01% e 3,0% do comprimento do

contraventamento de secção tubular), concluindo-se que a mudança do valor de imperfeição inicial

tem influência no valor inicial de carga crítica de encurvadura e na encurvadura local da secção

(Figura 5.10), mas que o comportamento histerético do contraventamento não sofre alterações

significativas por variação do valor de imperfeição inicial, como observado na Figura 5.11 .

Figura 5.10 Efeito da imperfeição inicial na resposta local do contraventamento à compressão (Uriz et al. 2008)

Figura 5.11: Efeito da imperfeição inicial no comportamento histerético do contraventamentos (Uriz et al. 2008)


68

5.2.4 Relação tensão-deformação dos materiais

Colunas e vigas não têm um comportamento histerético instável como os contraventamentos e como

tal colunas e vigas foram definidas com um comportamento bi-linear com um parâmetro de

endurecimento de 1% (strain hardening). Este parâmetro significa que após a entrada em cedência

do aço, o módulo de elasticidade toma um valor de 1% do valor inicial. Para este efeito foi

selecionado o comando unixaxialMaterial Hardening. A Figura 5.12 ilustra o comportamento e

parâmetros do aço das colunas e vigas.

Figura 5.12: Comportamento do comando uniaxialMaterial Hardening (Mazzoni et al. 2007)

O parâmetro de endurecimento depende do módulo de elasticidade, Isotropic hardening e Kinematic

hardening:

Isotropic hardening corresponde ao acréscimo do valor absoluto de tensão de

cedência por endurecimento do material sob tração;

Kinematic hardening retrata o comportamento do material sob ação cíclica em que se

verifica o efeito de Bauschinger, como descrito no subcapítulo 2.4.

O aço dos contraventamentos foi definido através do comando uniaxialMaterial Steel02 que simula o

modelo uniaxial Giuffre-Menegotto-Pinto. Este modelo tem em conta a acumulação de deformação

plástica decorrente de uma ação cíclica. Para considerar o parâmetro de endurecimento isotrópico os

parâmetros são: R0=20; cR1=0,925; cR2=0,15; a1=-0,0005; a2=0,01; a3=0,0005; a4=0,01. O

parâmetro de endurecimento cinemático, b, tem o valor 0,01 (1,0%). O comportamento deste

comando, ilustrado na Figura 5.13, é aproximado ao comportamento dos contraventamentos

rotulados na extremidade sob ação cíclica como descrito no subcapítulo 2.4


69

Figura 5.13: Variáveis (em cima) e Comportamento (em baixo) do comando uniaxialMaterial Steel02 (Mazzoni et al.

2007)

5.2.5 Rigidez Torsional dos elementos estruturais

A rigidez torsional de cada seção, 𝐾𝑡𝑖, foi definida de acordo com a equação (5.1) e foi associada à

respectiva seção por via do comando section aggregator:

𝐾𝑡𝑖 = 𝐺 ∗ 𝐽 (5.1)

em que,

𝐾𝑡𝑖 [𝑘𝑁.𝑚2] é a rigidez de torção da seção;

𝐺 [𝑘𝑃𝑎] é o módulo de distorção;

𝐽 [𝑚4] é a fator de torção da seção para o tipo de seção considerada, dado por

𝐽 =1

3∗ ∑ 𝑡𝑖

3 ∗ 𝑠𝑖 , onde t e s são a espessura e o comprimento da alma e dos banzos,

respetivamente.

5.2.6 Massa

Massa da laje de cada piso é concentrada no nó do respectivo centro de massa, definida no

subcapítulo 4.3.11 e resumida na Tabela 4.14. A massa dos pórticos, apesar de distribuída pelos

elementos, foi modelada como concentrada em alguns nós. A massa num determinado nó é a soma


70

da contribuição de todos os elementos estruturais ligado a esse nó. A massa é obtida a partir das

cargas verticais definidas segundo a combinação sísmica, (𝐺𝑘 + 𝜓2 ∗ 𝑄𝑘 ).

5.2.7 Laje

A rigidez no plano da laje em cada piso é representada por um diafragma rígido – comportamento

rígido no plano - constituído pelo conjunto de nós ao nível de cada piso, que tem no CM o nó principal

(master node) e os nós secundários nos pórticos (slave nodes), comando denominado no OpenSees

por rigid diaphragm.

5.2.8 Transformações geométricas do sistema de coordenadas local para global

De forma a modelar corretamente a rigidez tridimensional é necessário proceder a uma

transformação da rigidez e esforços das coordenadas locais para coordenadas globais como ilustrado

na Figura 5.14. Uma das vantagens do uso do OpenSees é que possibilita ter em conta os efeitos de

2ª ordem nas colunas nesta transformação linear da rigidez e esforços, por via do uso do comando

geomTransf PDelta nestes elementos. Para as vigas é suficiente a transformação linear denominada

geomTransf Linear. Para os contraventamentos recorreu-se ao comando geomTransf Corotational.

Para definir a orientação dos elementos, a transformação tem que ser complementada por um vector

que define essa orientação. O vector define o plano x-z do sistema de coordenadas locais no sistema

de coordenadas globais. O eixo y é definido pelo produtos do eixo x pelo vector enunciado.

Figura 5.14: Ilustração da transformação do sistema de coordenadas locais para globais (Mazzoni et al. 2007)


71

5.2.9 Ligações articuladas

O modelo da Figura 5.15 ilustra o conjunto resistente do pórtico cujas ligações são compostas por

offsets, ou seja, por elementos de comportamento elástico linear e em que cada offset tem

propriedades físicas 10 vezes superiores às mesmas propriedades do elemento com comportamento

não-linear adjacente. Foi admitido um comprimento de 0,1m para todos os offsets. Estes offsets

foram criados com o intuito de simular as placas de ligação gusset plates (placas de aço soldadas ou

aparafusadas que possibilitam a ligação entre elementos metálicos) dotadas de maior rigidez que os

perfis adjacentes. A opção pela modelação de offsets resulta num pórtico ligeiramente mais rígido em

relação à total ausência dos offsets.

Figura 5.15: Modelo OpenSees do pórtico na Dir. Z (fora de escala) e representação do sistema de coordenadas

globais

As colunas do piso 1 são rotuladas na base e todos os contraventamentos foram modelados como

sendo rotulados nas extremidades (pinned end braces) permitindo a rotação fora do plano. Implica

que os contraventamentos comprimidos não vão impor momentos fletores nos elementos adjacentes

e que a plastificação vai ocorrer a meio vão do contraventamentos, como ilustrado pela Figura 5.16.

Figura 5.16: Comportamento do contraventamentos comprimido, com imperfeição inicial fora do plano, dotado de

libertação da rotação fora-do-plano nas extremidades (Wood, S. 2006)

Y

Z

X


72

Na prática, a ligação articulada na extremidade dos contraventamentos que permite a rotação fora-

do-plano é conseguidas através da folga 2t executada na gusset plate cujo pormenor construtivo está

ilustrado na Figura 5.17 .

Figura 5.17: Pormenor construtivo da ligação 'gusset plate'(Wood, S. 2006)

A libertação de base das colunas e extremidade de vigas foi efetuada por via do comando equalDOF

(equal degrees of freedom), que define que os nós com as mesmas coordenadas tridimensionais

tenham os mesmos deslocamentos e rotações segundo determinados graus de liberdade.

Por exemplo, para libertar a base da coluna do Piso 1, Figura 5.18, utiliza-se “equalDOF 9 9000 1 2 3

5 “, que consiste em o nó 9000 ter os mesmos deslocamentos nos graus de liberdade 1, 2, 3 e 5 (as

três translações e rotação de torção) do nó 9 (nó do offset) o que origina uma rótula no nó 9000 com

libertação no grau de liberdade 4 e 6 (rotações segundo os eixos maior e menor de inércia da secção

transversal HEB da coluna).

Figura 5.18: Esquema libertação de base da coluna (fora de escala)


73

Na Figura 5.19 estão representadas as rótulas de extremidade dos contraventamentos, nó 53000 e

26000, que permitem as rotações de flexão fora-do-plano, conseguidas recorrendo ao procedimento

rotspring3D, como exemplificado para a rótula 53000 na Figura 5.20. O nó 25 da Figura 5.19 é um

slave node do CM do piso (restrição criada pelo comando rigidDiaphragm, já referida anteriormente).

Figura 5.19: Esquema da ligação ‘gusset-plate’ ao nível dos pisos (fora de escala) e respetivo sistema global de

coordenadas

Figura 5.20: Procedimento ‘rotspring3D’ para a rótula do contraventamento

O procedimento ilustrado na Figura 5.20 gera a rótula no contraventamento ilustrado na Figura 5.19.

O comando equalDOF define em termos das coordenadas globais (sistema de coordenadas

representado na Figura 5.15 e Figura 5.19) que o nó 53000 tem as mesmas três translações e

rotação no plano (𝜃𝑋) que o nó 53, nó pertencente ao offset. Como tal, encontram-se libertas ambas

as rotações fora do plano ( 𝜃𝑌 e 𝜃𝑍) no nó 53000. O elemento zerolength gerado em coordenadas

locais (elemento de comprimento nulo definido a partir de dois nós coincidentes) liga o nó 53 e 53000

nos graus de liberdade que foram libertados pelo comando equalDOF, através de uma relação

tensão-deformação definida pelo utilizador. De forma a orientar corretamente no espaço a direção de

rotação fora-do-plano, este comando permite definir a orientação do sistema de coordenadas locais

em relação ao sistema de coordenadas globais.

Y

Z

X


74

O elemento zerolenght restringe a rotação de torção do contraventamento, grau de liberdade local 4,

por atribuição do “matID_Torção” (que simula um material rígido na rotação de torção). O material do

grau de liberdade local 5, rotação fora-do-plano, é o “matID_Pin y” (que simula um material de rigidez

muito reduzida para esta rotação).

Ambos os materiais identificados criados são de natureza uniaxialMaterial Elastic (comportamento

elástico linear, representado na Figura 5.21 ).

Figura 5.21: Comportamento uniaxialMaterial Elastic (Mazzoni et al. 2007)

A rotação fora do plano permitida pelo procedimento rotspring3D em conjunto com a imperfeição

inicial a meio-vão do contraventamento induz a deformação fora do plano, ou seja, deformação

perpendicular à gusset plate como representado na Figura 5.22 .

Na Figura 5.22 estão representadas as designações da rotação fora do plano (𝜃𝑦), rotação no plano

(𝜃𝑧) e rotação de torção (𝜃𝑥). As rotações estão designadas segundo o sistema local de coordenadas

dos contraventamentos. Por aplicação do procedimento da Figura 5.20, 𝜃𝑧 é igual à rotação do offset.

Figura 5.22: Modelo físico encurvadura 'fora do plano' dos contraventamentos (University of Texas at Austin 2006)

𝜽𝒚

𝜽𝒛

𝜽𝒙


75

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Str7 3St PO Modal ZZ

Momento Fletor normalizado na Extremidade

Deslocamento No de Controlo (m)

Mo

men

to f

leto

r n

orm

aliz

ad

o

Modelo 1: My/Mpl,Rd

Modelo 1: Mz/Mpl,Rd

Modelo 2: My/Mpl,Rd

Modelo 2: Mz/Mpl,Rd

Foi comparado o Modelo 1 (rotação fora-do-plano, 𝜃𝑦, permitida) com o Modelo 2 (rotação fora-do-

plano, 𝜃𝑦, parcialmente restringida). A partir de uma análise pushover avalia-se ambos os modelos,

analisando a evolução dos momentos fletores normalizados, em relação ao momento resistente da

seção, em função do deslocamento do CM do Piso 3 (nó de controlo). A Tabela 5.2 sintetiza o módulo

de elasticidade dos materiais utilizados para a rotação de torção e rotação fora-do-plano em cada

modelo avaliado, por aplicação do procedimento rotspring3D.

Tabela 5.2: Módulo de elasticidade, E [kPa] dos materiais presentes no Modelo 1 e Modelo 2

Coordenada local Rotação Material Elástico linear Modelo 1 Modelo 2

𝜃𝑥 matID _ Torção 1,0*1011

1,0*1011

𝜃𝑦 matID _ Pin y 1,0*10-3

1,0*105

𝜃𝑧 (Rotação igual ao Offset adjacente)

A Figura 5.23 demonstra que para o Modelo 2 a secção de extremidade exibe 𝑀𝑦 chegando a atingir

a resistência plástica o que significa que plastificação vai ocorrer nas extremidades das diagonais.

Pelo contrário, o Modelo 1 exibe valores muito reduzidos de 𝑀𝑦 e 𝑀𝑧 . Como tal o Modelo 1 é o

escolhido na avaliação sísmica pois as diagonais estão sujeitas unicamente a esforço axial e apenas

há plastificação a meio-vão. A Figura 5.24 demonstra que a plastificação ocorreu a meio vão para um

valor de momento fletor atuante inferior ao momento fletor resistente plástico no Modelo 1 e que a

deformação fora do plano é maior no Modelo 1 por relação com o Modelo 2. As conclusões obtidas

para os pórticos nesta direção são as mesmas às obtidas para os pórticos na Dir. X

Figura 5.23: Pórtico 1, Secção de extremidade da diagonal comprimida do Piso 1, Momentos fletores em z e y

normalizados vs Deslocamento nó de controlo


76

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Momento Fletor normalizado a Meio V?o


Mo

men

to f

leto

r n

orm

aliz

ad

o

Modelo 1: My/Mpl,Rd

Modelo 1: Mz/Mpl,Rd

Modelo 2: My/Mpl,Rd

Modelo 2: Mz/Mpl,Rd

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0


Compression Brace ratios

N/Pcr vs D/D

crit

D/Dcrit

(m)

N/P

cr (

kN

)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

Figura 5.24: Pórtico 1, Secção de meio-vão da diagonal comprimida do Piso 1, Momentos fletores em z e y

normalizados vs Deslocamento nó de controlo

A Figura 5.25 representa, para o Modelo 2 e para os três pisos, a evolução do esforço axial,

normalizado à carga crítica das diagonais do Modelo 1 (rotuladas na extremidade), com a deformação

axial, também normalizada ao valor da deformação axial crítica do Modelo 1. Verifica-se que no

Modelo 2, o esforço axial máximo normalizado alcançado nos contraventamentos é superior à

unidade o que revela o nível de restrição da rotação fora-do-plano em altura no Modelo 2, o que não

é representativo do comportamento (ilustrado na Figura 5.13) do modelo de diagonais rotuladas na

extremidade adapto nesta dissertação.

Figura 5.25: Pórtico 1, Modelo 2, Contraventamentos, Esforço axial normalizado vs deformação axial normalizada


77

O objetivo desta comparação é mostrar que o Modelo 2 não simula o comportamento de estruturas

contraventadas rotuladas na extremidade, objetivo desta dissertação, e é por isso inadequado. Refira-

se, no entanto, que foi só com o Modelo 2 tridimensional que foi possível realizar análises dinâmicas

não lineares em todos os acelerogramas selecionados. Mas, como o Modelo 2 não representa a

estrutura dimensionada, a avaliação sísmica dos pórticos REG e IRREG vai ser realizada apenas

com recurso a análises estáticas não lineares e ao modelo tridimensional Modelo 1. Não se faz a

comparação dos resultados da análise pushover com os resultados das análises dinâmicas não-

lineares porque aplicando a time-history analysis com o Modelo 1 apenas foi possível realizar esta

análise num só acelerograma.

5.2.10 Amortecimento Viscoso

O amortecimento viscoso dos materiais, relacionado com a sua capacidade de dissipar energia, é

modelado a partir do valor do coeficiente de amortecimento, 𝜉 (damping ratio). Num sistema de um

grau de liberdade (um GDL) apenas é necessário o damping ratio ; Porém para um sistema de

múltiplos GDL precisa-se da matriz de amortecimento, [𝐶].

As equações de movimento para vibrações em regime livre (sem forças aplicadas) de um sistema

com múltiplos graus de liberdade, podem ser escritas na forma matricial de acordo com a expressão

(5.2):

[𝑀]{�̈�} + [𝐶]{�̇�} + [𝐾]{𝑑} = {0} (5.2)

em que [𝑀] é a matriz de massa, [𝐶] a matriz de amortecimento, [𝐾] a matriz de rigidez e {𝑑} o vetor

de deslocamentos, {�̇�} o vetor de velocidades e {�̈�} o vetor de acelerações.

O método de definir a matriz de amortecimento de uma estrutura a partir das taxas de amortecimento

modal é feito com recurso à formulação de amortecimento de Rayleigh expressa na equação (5.3) :

[𝐶] = 𝛼 ∗ [𝑀] + 𝛽 ∗ [𝐾] (5.3)

Segundo (Chopra 2012) o coeficiente de amortecimento (damping ratio) pode ser determinado para o

modo i segundo a equação (5.4):

𝜉𝑖 =𝛼

2∗1

𝜔𝑖+ 𝛽

2∗ 𝜔𝑖 (5.4)

Em que 𝜔𝑖 é a frequência da estrutura para o modo de vibração i. Os coeficientes 𝛼 [𝑠𝑒𝑐−1] e 𝛽 [𝑠𝑒𝑐]

são obtidos a partir dos coeficiente de amortecimento, 𝜉𝑖 𝑒 𝜉𝑗 , para a frequência dos modos i e j,

𝜔𝑖 𝑒 𝜔𝑗. Formulando a (5.4) para estes dois modos de vibração obtém-se a equação (5.5) na forma

matricial:

1

2[1/𝜔𝑖 𝜔𝑖1/𝜔𝑗 𝜔𝑗

] [𝛼𝛽] = [

𝜉𝑖𝜉𝑖] (5.5)


78

A equação matricial (5.5) é resolvida de forma a obter os coeficientes 𝛼 e 𝛽 resultando nas equações

algébricas (5.6), assumindo que ambos os modos têm o mesmo valor de coeficiente de

amortecimento (𝜉𝑖 = 𝜉𝑗 = 𝜉), o que segundo dados experimentais é um suposição fidedigna de acordo

com (Chopra 2012).

𝛼 = 𝜉𝜔𝑖𝜔𝑗

𝜔𝑖 +𝜔𝑗 ; 𝛽 = 𝜉

2

𝜔𝑖 + 𝜔𝑗 (5.6)

Neste trabalho o amortecimento foi definido segundo esta formulação considerando o coeficiente de

amortecimento (damping ratio) proporcional à rigidez tangente com uma redução artificial do

amortecimento, de valor 2,5% (𝜉1 = 𝜉 = 0,025) para o primeiro modo de vibração, i.e. para a primeira

frequência da estrutura (𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙, 𝜔1) , sem a consideração dos restantes modos de

vibração. Esta hipótese resulta no coeficiente 𝛽 no formato da equação (5.7) cujo valor respeitante à

estrutura REG e estrutura IRREG se encontra definido na Tabela 5.3.

𝛽 = 𝜉2

𝜔1 (5.7)

Tabela 5.3: Valores do coeficiente 𝜷 para a Estrutura REG e IRREG

Ao nível modelação OpenSees recorre-se ao comando rayleigh identificado na Figura 5.26. De notar

que o comando abrange o coeficiente betaK (aplicado à matriz de rigidez corrente/atualizada dos

elementos), o coeficiente betaKinit (aplicado à matriz de rigidez inicial dos elementos) e o coeficiente

betaKcomm (aplicado à matriz de rigidez dos elementos no último passo da análise).

Figura 5.26: Comando rayleigh e respetivas variáveis, (Mazzoni et al. 2007)

5.2.11 Modos de Vibração OpenSees vs. SAP2000

De modo a confrontar a modelação em OpenSees com a modelação definida em SAP2000,

compararam-se os modos de vibração e valores dos períodos entre os modelos tridimensionais T+C

(diagonais à compressão e tração) do OpenSees e SAP2000, para ambas as estruturas REG e

IRREG. Os períodos e os modos de vibração correspondentes (e por conseguinte o movimento

Estrutura REG Estrutura IRREG

𝛽 0,00517 0,00494


79

preferencial de vibração) são idênticos nos dois programas de cálculo para cada estrutura (Tabela

5.4).

Tabela 5.4: Comparação modos vibração entre modelos T+C OpenSees e SAP


Modo/Mov. em Coord. OpenSees

OpenSees, T [s]

SAP, T [s]

Modo/Mov. em Coord. OpenSees

OpenSees, T [s]

SAP, T [s]

1/ Translação Dir.X 0,646 0,653 1/ Translação Dir.X 0,618 0,624

2 / Translação Dir.Z 0,612 0,618 2 / Translação Dir.Z 0,521 0,526

3 / Torção 0,304 0,307 3 / Torção 0,283 0,285

5.3 Análise Estática Não Linear ( Análise Pushover )

Esta análise permite a avaliação sísmica de uma estrutura tendo em conta o comportamento não

linear da estrutura. Este comportamento é caraterizado a partir de uma curva de capacidade

resistente (curva pushover), obtida registando a resposta não-linear da estrutura sujeita à ação

incremental de forças laterais (que simulam as forças de inércia) em termos de força de corte basal

em função do deslocamento de um nó de controlo, e permanecendo as cargas gravíticas constantes.

O padrão de forças laterais aplicado na estrutura pode variar entre linear uniforme ou proporcional ao

1º modo de vibração, na sua forma mais básica. Para monitorizar os deslocamentos laterais totais é

escolhido um nó de controlo, usualmente o nó do centro de massa do piso de topo. Assim, e como

representado na Figura 5.27, obtém-se uma curva pushover a partir do valor de esforço transverso na

base da estrutura, corte basal (V), em função do deslocamento de topo do edifício (D). A partir da

análise estática não-linear, aplica-se progressivamente uma distribuição de cargas laterais até a

estrutura atingir o mecanismo plástico (associado a um valor máximo de deslocamento de topo 𝐷𝑚𝑎𝑥).

A Figura 5.27 ilustra como se desenvolve uma curva de capacidade inerente a um pórtico metálico de

ligações rígidas.

Figura 5.27: Curva de capacidade de uma estrutura metálica de ligações rígidas (Lopes 2008)

A curva pushover possibilita, para o respectivo padrão e valor de forças laterais, saber a sequência

de plastificação dos mecanismos locais da estrutura até ao mecanismo total, que se prevê ser um

mecanismo afastado de um mecanismo soft-storey.


80

5.3.1 Método N2 – método proposto pelo EC8

O método utilizado para a avaliação sísmica das estruturas dimensionadas é o método N2, proposto

no EC8, originalmente desenvolvido para estruturas bidimensionais mas também sendo válido

quando aplicado a estruturas tridimensionais. O método aqui descrito tem como objetivo a

comparação direta entre a exigência da ação sísmica com a capacidade resistente da estrutura.

A curva de capacidade resistente da estrutura, é transformada do formato força-deslocamento para o

formato aceleração-deslocamento (A-D. Neste formato a curva de capacidade (resposta da estrutura)

pode ser diretamente comparada com a ação sísmica, definida a partir do espectro de resposta.

Como as estruturas a ser avaliadas são estruturas de múltiplos graus de liberdade (MGLD), a força

de corte basal tem que ser transformada em acelerações espectrais e o deslocamentos de topo em

deslocamentos espectrais, i.e. em acelerações e deslocamentos para um sistema equivalente a um

sistema de um grau de liberdade.

A interseção da curva de capacidade resistente da estrutura de 1 GDL equivalente com o espectro de

resposta elástico (no formato aceleração-deslocamento espectral, como definido de seguida) resulta

na obtenção do ponto de desempenho sísmico (performance point) ou deslocamento sísmico (target

displacement) cuja determinação pode ser dependente de um processo iterativo. O deslocamento

sísmico é obtido para cada direção horizontal do modelo tridimensional.

A descrição dos passos do método N2 é a que segue:

Passo 1 – Ação Sísmica

Na forma do espectro de resposta elástica já definido no subcapítulo 4.2.

Passo 2 – Espectro de Resposta no formato Aceleração-Deslocamento

O espectro de resposta no formato aceleração-deslocamentos espectrais (ADRS – Acceleration-

Displacement Response Spectrum), válido apenas para sistemas de um GDL, é definido a partir da

equação (5.8):

em que, 𝑆𝑑𝑒 e 𝑆𝑎𝑒 são o deslocamento e a aceleração espectral elástico.

𝑆𝑑𝑒 =𝑇2

4𝜋2∗ 𝑆𝑎𝑒 (5.8)


81

Figura 5.28: Espectro de resposta elástico no formato ADRS

Passo 3 – Análise Pushover

Como exposto na Cl. 4.3.3.4.2.2(1) do EC8 devem ser consideradas duas distribuições horizontais

das forças laterais normalizadas. Um padrão “uniforme” é proporcional à distribuição da massa de

toda a estrutura pelos pisos sem consideração da elevação em altura destes. O padrão “modal” é

proporcional ao modo de vibração relevante na direção em estudo, proveniente da análise dinâmica

modal. As forças laterais normalizadas de ambos os padrões são aplicadas no centro de massa do

respetivo piso.

Simplificadamente, para a obtenção da distribuição modal, é admitido que os deslocamentos modais

crescem linearmente em altura, segundo a Cl. 4.3.3.2.3(3) do EC8, sendo as forças horizontais,

normalizadas em altura, dadas pela equação (5.9).

Figura 5.29: Distribuição Modal Dir. Z

Figura 5.30: Distribuição Uniforme Dir. Z

𝐹𝑖 =𝑧𝑖 ∗ 𝑚𝑖

∑𝑧𝑗 ∗ 𝑚𝑗 (5.9)


82

Os valores do padrão de forças laterais normalizadas crescem ao longo da análise sendo a sua soma

sempre igual ao corte basal a que a estrutura está sujeita. Neste estudo, o nó de controlo da análise

pushover é o nó do centro de massa do Piso 3. Para a direção Z a distribuição modal e uniforme

estão ilustradas na Figura 5.29 e Figura 5.30, respetivamente. Para a direção X a distribuição modal e

uniforme estão representadas na Figura 5.31 e Figura 5.32, respetivamente.

Neste trabalho ambos os padrões de cargas laterais, para cada direção, foram considerados para a

definição de curvas de capacidade resistente. Porém, para a definição do ponto de desempenho, com

recurso ao método N2, apenas se utilizou o padrão de forças laterais modal, uma vez que a respetiva

curva de capacidade apresenta menor capacidade resistente.

Passo 4 – Transformação da curva de capacidade de um sistema de múltiplos graus de

liberdade (MDOF) num sistema de um grau de liberdade equivalente (SDOF).

A massa do sistema de 1 GDL equivalente, 𝑚∗ é determinado a partir da equação (5.10),

em que 𝑚𝑖 é a massa no Piso i numa determinada direção, ∅𝑖 os deslocamentos normalizados e 𝐹𝑖 a

força de inércia no Piso i. Os deslocamentos são normalizados admitindo que ∅𝑛 = 1,0, ou seja,

𝐹�̅� = 𝑚𝑛 . A distribuição modal dos deslocamentos normalizados foi calculada segundo a equação

(5.9).

Figura 5.31: Distribuição Modal Dir. X

Figura 5.32: Distribuição Uniforme Dir. X

𝑚∗ = 𝑚𝑖 ∗ ∅𝑖 =∑𝐹�̅� (5.10)


83

O fator de transformação Γ, dado pela equação (5.11), é calculado na Tabela 5.5.

Tabela 5.5: Cálculo do factor de transformação em ambas as estruturas para cada direção

Direção Z Direção X

Piso 𝑚𝑖 ∅𝑖 𝑚∗ ∑𝑚𝑖 ∗ ∅𝑖2 𝚪 𝑚𝑖 ∅𝑖 𝑚∗ ∑𝑚𝑖 ∗ ∅𝑖

2 𝚪

3 222,3 0,41

267,0 93,3 2,86

222,3 0,38

292,8 101,8 2,88 2 297,7 0,38 335,7 0,40

1 297,7 0,21 335,7 0,22

A força 𝐹∗e o deslocamento 𝑑∗do sistema equivalente a um GDL são obtidos da equação (5.12) e

(5.13), respetivamente.

em que 𝐹𝑏 e 𝑑𝑛 são, respetivamente, a força de corte basal e o deslocamento no nó de controlo do

sistema de múltiplos graus de liberdade (sistema MGDL).

Com esta transformação obtém-se a curva de capacidade resistente para o sistema 1 GDL

equivalente, no formato Aceleração-Deslocamento, cujo valor de aceleração é dado pela equação

(5.14).

Passo 5 – Determinação da relação idealizada força/deslocamento elasto-perfeitamente

plástica

Como definido no Anexo B do EC8, a obtenção da relação idealizada bi-linear segue o princípio que a

energia dissipada é idêntica na curva de capacidade e na curva bi-linear num sistema de 1 GDL

equivalente representado na Figura 5.33. Como tal, a rigidez inicial da curva idealizada é determinada

de tal forma que sejam iguais as áreas sob as curvas real e idealizada como ilustrado na Figura 5.34.

A rigidez pós-cedência é nula (devido ao fator de redução, 𝑞𝜇, já definido, ser nulo).

𝚪 = 𝑚∗

∑𝑚𝑖 ∗ ∅𝑖2 ; (5.11)

𝐹∗ =𝐹𝑏Γ

(5.12)

𝑑∗ =𝑑𝑛Γ

(5.13)

𝑆𝑎 =𝐹∗

𝑚∗ (5.14)


84

Figura 5.33: Sistema de 1 GDL equivalente para a curva de capacidade (Nogueiro et al. 2006)

Figura 5.34: Determinação curva idealizada elasto-perfeitamente plástica (CEN 2004)

Como tal, o deslocamento de cedência da curva bi-linear no sistema 1GDL equivalente é dado pela

equação (5.15).

em que 𝐹𝑦∗ é a força de cedência que representa, também, a resistência última do sistema idealizado,

é igual à força de corte basal na formação do mecanismo plástico A. 𝑑𝑚∗ é o deslocamento último do

sistema idealizado e 𝐸𝑚∗ a energia dissipada até à formação do mecanismo plástico A.

A curva bi-linear determinada permite obter o valor do período elástico do sistema equivalente (𝑇∗)

segundo a equação (5.16).

𝑑𝑦∗ = 2(𝑑𝑚

∗ −𝐸𝑚∗

𝐹𝑦∗) (5.15)

𝑇∗ = 2𝜋√𝑚∗𝑑𝑦

∗

𝐹𝑦∗

(5.16)


85

Passo 6 – Determinação do deslocamento sísmico para o sistema 1 GDL equivalente

O deslocamento-alvo da estrutura, 𝑑𝑡∗ é determinado através do procedimento gráfico ilustrado na

Figura 5.35, para estruturas com períodos baixos e na Figura 5.36 para períodos médios ou longos.

Figura 5.35: Determinação do deslocamento objetivo do sistema de 1GL equivalente para períodos baixos (Nogueiro et

al. 2006)

Figura 5.36: Determinação do deslocamento objetivo do sistema de 1GL equivalente para períodos médios ou longos

(Nogueiro et al. 2006)

Como ilustrado, ambas as curvas do espectros de resposta de deslocamentos e a curva de

capacidade idealizada são representados no mesmo gráfico. A interseção entre a recta de

comportamento elástico ilimitado, correspondente ao período elástico do sistema equivalente, com o

espectro de resposta elástico de deslocamentos, 𝑆𝑎𝑒(𝑇∗), resulta na obtenção um deslocamento-alvo

para estruturas com um período 𝑇∗médio ou longo, correspondente ao deslocamento elástico, 𝑑𝑒∗ ,

obtido através da equação (5.17).

Como indicado na equação (5.20) para estruturas com períodos médios ou longos. A determinação

do deslocamento-alvo do sistema equivalente, 𝑑𝑡∗, para as estruturas de baixo período é calculado

segundo o conjunto de equações (5.18). O período de transição entre o período curto e médio, já

definido no subcapítulo 4.2, é 𝑇𝐶 = 0,5 𝑠.

𝑑𝑒∗ = 𝑆𝑎𝑒(𝑇

∗) [𝑇∗

2𝜋]2

(5.17)


86

a) 𝑇∗ < 𝑇𝐶 (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠)

Em que 𝑞𝑢 , dado pela equação (5.19), é o quociente entre as acelerações em regime elástico e

acelerações em regime inelástico.

b) 𝑇∗ > 𝑇𝐶 (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜𝑠)

Passo 7 – Determinação do deslocamento sísmico para o sistema com múltiplos graus de

liberdade

O deslocamento-alvo do sistema de múltiplos graus de liberdade é determinado segundo a equação

(5.21).

Para o valor de deslocamento-alvo obtido é feita a avaliação sísmica da estrutura, a partir, por

exemplo, da análise do deslocamento relativo entre pisos, da resposta dos contraventamentos e dos

valores deslocamentos máximos horizontais ao nível de cada piso. Esta avaliação sísmica permite

quantificar o nível de danos a que ambas as estruturas estão sujeitas para a ação sísmica

regulamentar, definida no subcapítulo 4.2.

5.4 Análise Dinâmica não-linear

As hipóteses admitidas na modelação da estrutura para as análises estáticas não lineares mantêm-se

agora para as análises dinâmicas não lineares. A maior diferença, enquanto utilizador, para preparar

as análises dinâmicas não lineares está na definição da ação sísmica; deixa de ser definida por

espectros de resposta (análises pushover) e passa a ser por um conjunto de registo de acelerações

do solo (acelerogramas).

Listam-se de seguida os resultados relevantes das análises dinâmicas não lineares, e que são

normalmente usados para avaliar o desempenho sísmico das estruturas. Alguns deles seriam os

analisados e comparados com os resultados correspondentes das análises estáticas não lineares

para este tipo de estruturas (ponto 1 e 4).

{

𝐹𝑦∗

𝑚∗> 𝑆𝑎𝑒(𝑇

∗) ⇒ 𝑑𝑡∗ = 𝑑𝑒

∗ , 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝐹𝑦∗

𝑚∗< 𝑆𝑎𝑒(𝑇

∗) ⇒ 𝑑𝑡∗ =

𝑑𝑒∗

𝑞𝑢(1 + (𝑞𝑢 − 1)

𝑇𝐶𝑇∗) ≥ 𝑑𝑒

∗ , 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑛ã𝑜 − 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟

(5.18)

𝑞𝑢 =𝑆𝑎𝑒(𝑇

∗)

𝐹𝑦∗

𝑚∗⁄ (5.19)

𝑑𝑡∗ = 𝑑𝑒

∗ (5.20)

𝑑𝑡 = Γ𝑑𝑡∗ (5.21)


87

1. Deslocamentos relativos entre pisos (média dos valores máximos determinados para cada

acelerograma), a serem comparados com os resultados da análise pushover;

2. A aceleração ao nível dos pisos (Importante para a verificação de segurança dos

equipamentos);

3. Resposta à ação cíclica dos contraventamentos em altura no formato força-deslocamento,

por forma a avaliar capacidade de dissipação de energia histerética local e global;

4. Média do deslocamento máximo e mínimo ocorrido para um ponto de controlo da estrutura e

para o conjunto dos acelerogramas considerados, a serem comparados com os

deslocamento-alvo obtido da análise pushover.

Como referido anteriormente, no subcapítulo 5.2.9, só o Modelo 2 permitiu realizar as análises

dinâmicas não-lineares na íntegra (todos os registos de acelerogramas selecionados correram com

sucesso). Porém este modelo não representa as estruturas dimensionadas (com este modelo as

diagonais não são articuladas na extremidade) e, consequentemente os resultados correspondentes

não são admissíveis. Assim, decidiu-se: (i) não apresentar os resultados obtidos com as análises

dinâmicas não lineares para o Modelo 2, por não representarem as estruturas dimensionadas, mas

(ii) manter todos os passos essenciais para desenvolver este tipo de análises no OpenSees, por se

considerar informação importante para quem pretender usar, no futuro, este programa de cálculo e as

análises dinâmicas não-lineares.

5.4.1 Definição da Ação Sísmica - Acelerogramas

O conjunto de registos das acelerações reais de solo (ocorridas a nível mundial) a que as estruturas

são sujeitas são disponibilizadas pelo PEER(Pacific Earthquake Engineering Research Centre) sob a

forma de uma base de dados intitulada PEER Ground Motion Database.

Existem duas abordagens na escolha dos acelerogramas. Uma escolha baseada nas características

geofísicas do local (scenario-based selection) e a segunda escolha é baseada nos parâmetros que

definem o movimento do sismo, ou seja, de forma a corresponder ao espectro de resposta elástico

(selection according to spectrum matching and duration). De acordo com a scenario-based selection a

escolha é feita segundo a magnitude do sismo, distância entre origem do sismo e localização da

estrutura, e tipo de solo. A segunda abordagem consiste na seleção do conjunto de registos, que

sujeitos a um fator de escala, a média do conjunto seja compatível com a ação sísmica atuante na

estrutura sísmica prevista em determinado local e definida nos regulamentos, em termos de

aceleração à superfície do terreno e duração. Como neste trabalho a ação sísmica é definida pelo

EC8 a segunda abordagem é de mais fácil aplicação por o espectro de resposta objetivo estar

devidamente estabelecido. Porém as equações que geram a duração dos acelerogramas estão

dependentes da magnitude e distância origem-estrutura e como tal se esta informação não estiver

disponível, esta segunda abordagem torna-se tão inviável como a primeira. Neste trabalho a escolha

de acelerogramas baseou-se na junção das duas abordagens descritas: Primeiro uma pré-seleção

baseada nas características geofísicas do local seguido da seleção de acelerogramas cujos registos

são manipulados de forma a serem compatíveis com o espectro de resposta elástico definido

anteriormente (subcapítulo 4.2).


88

De acordo EC8 devem ser corridos pelo menos 7 conjuntos de acelerogramas para que a média dos

resultados seja fidedigna. Neste trabalho ambas as componentes horizontais de um conjunto de 15

acelerogramas (listados na Tabela 5.6), i.e. 30 registos, foram utilizados nesta análise. A

correspondência com o espectro de resposta elástico é feito da seguinte forma: cada uma das

componentes horizontais dos 15 acelerogramas é sujeita ao respetivo factor de escala definido na

Tabela 5.6 tal que a média dos 30 registos para cada direção seja correspondente com o espectro de

resposta elástico previsto no regulamento, como ilustrado na Figura 5.37, ou seja, existem 30

resultados diferentes a serem processados para cada direção de cada estrutura avaliada.

Tabela 5.6: Conjunto dos Acelerogramas adotados

Nome do Evento ID Sismo Nome da Estação Fator Escala (ag = 0,3𝑔)

Tabas, Iran 0046 Dayhook 1,28 Imperial Valley-06 0050 Superstition Mtn Camera 6,17 Victoria, Mexico 0064 SAHOP Casa Flores 5,79 Irpinia, Italy-01 0068 Torre Del Greco 7,86

Coalinga-01 0076 Parkfield - Stone Corral 3E 4,33 N. Palm Springs 0101 Anza Fire Station 7,00

Chalfant Valley-02 0103 Tinemaha Res. Free Field 9,00 Whittier Narrows-01 0113 La Habra - Briarcliff 8,00

Loma Prieta 0118 Woodside 4.00 Northridge-01 0127 LA - N Westmoreland 2,83

Kocaeli, Turkey 0136 Mecidiyekoy 8,58 Chi-Chi, Taiwain 0137 HWA038 7,69

Chi-Chi, Taiwain-03 0172 TCU053 10,0

Chi-Chi, Taiwain-05 0174 CHY087 5,63

Chi-Chi, Taiwain-06 0175 TCU068 6,00

Figura 5.37: Correspondência dos registos com o espectro resposta elástico ag=0.3g, Sismo Tipo 1 Solo B


89

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

STR7 POCurve XX MDOF

Uniform vs Modal Load

Total Shear

Disp = 0.05H

Deslocamento Topo (m)

Cort

e B

asal D

ir.

X (

kN

)

Uniforme

Modal

5.5 Resultados - Método N2

Como referido anteriormente, só os resultados das análises estáticas não lineares serão

apresentados e serão os únicos, consequentemente, que vão permitir avaliar o desempenho sísmico

das estruturas dimensionadas, REG e IRREG.

5.5.1 Estrutura REG

5.5.1.1 Curvas de Capacidade

Ambas as análises pushover segundo a direção X e Z (Dir. X e Dir. Z) foram efetuadas até a um

deslocamento de topo igual a 5% da altura total.

DIREÇÃO X

Na curva de capacidade da Dir. X (representada para uma distribuição de forças laterais uniforme e

modal, Figura 5.38) é notório a rigidez elástica elevada associada aos pórticos CBF. Salienta-se a

maior capacidade resistente associada ao padrão de forças laterais uniforme, cujo comportamento

também se verifica na Dir. Z e para a estrutura IRREG. Como tal na obtenção do deslocamento

objetivo pelo método N2 foi selecionada a curva de capacidade associada ao padrão modal de forças

laterais normalizadas.

Figura 5.38: Estrutura REG, Curva capacidade Direção X

Na Figura 5.39 está representado o comportamento das diagonais comprimidas e traccionadas, (para

os pisos 1, 2 e 3) função do deslocamento relativo entre pisos e para a distribuição de forças modal.

Nas diagonais comprimidas atingido o valor máximo segue-se uma gradual perda de resistência axial.

As diagonais traccionadas atingem a resistência plástica seguindo-se posteriormente a fase de

endurecimento.


90

Figura 5.39: Estrutura REG, Padrão Modal Dir. X, Contraventamentos Pórticos 3, Esforço axial vs Deslocamento relativo entre pisos

A Figura 5.40 ilustra o andamento do esforço axial dos contraventamentos em relação ao

deslocamento de topo para a distribuição de forças modal. Destaca-se na Figura 5.40 que a

plastificação da última diagonal do pórtico (que ocorre no Piso 3) corresponde a ser atingida a

máxima resistência no andamento de corte basal total nesta direção (Figura 5.38) seguindo-se um

decréscimo gradual de resistência. É evidente também na Figura 5.40 que a plastificação da diagonal

traccionada do Piso 1 resulta na mudança de rigidez das diagonais traccionadas do Piso 2 e 3.

Figura 5.40: Estrutura REG, Padrão Modal Dir. X, Contraventamentos Pórtico 3, Esforço axial vs Deslocamento de Topo

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35−200

0

200

400

600

800

1000

Str7 3St Frame 3

Modal XX

BRACES N vs Desloc.RelativoPisos

DispTopo=0.05H

Deslocamento Relativo entre Pisos (m)

Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−200

0

200

400

600

800

1000

Str7 3St Frame 3

Modal XX

BRACES N vs Desloc. Topo

DispTopo=0.05H


Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3


91

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800


Modal Load

Total Shear vs Braces Shear

Disp = 0.05H


Cort

e B

asal D

ir.

X (

kN

)

Contrav Porticos Dir.X

Porticos Dir.X e Dir.Z

Como a análise pushover foi desenvolvida num modelo tridimensional, a contribuição para o corte

basal total na Dir. X advém de todas as reações na Dir. X dos pórticos de ambas as direções (curva

azul da Figura 5.41). Na Figura 5.41 está também representado apenas a contribuição das diagonais

dos pórticos resistentes na Dir. X (curva a preto) para a capacidade resistente na Dir. X. Nesta figura

é visível que após entrada em regime não-linear de todas as diagonais da Dir. X, o endurecimento

dos contraventamentos em regime não-linear, não tem qualquer contribuição para a capacidade

resistente total nesta direção.

Figura 5.41: Estrutura REG, Padrão Modal Dir. X, Comparação entre curva de capacidade da contribuição de

contraventamentos dos pórticos na Dir. X e curva de capacidade do corte basal total

A Figura 5.42, esforço axial compressão normalizado em função deslocamento relativo normalizado,

mostra que o esforço axial normalizado máximo é semelhante em todos os pisos. O facto de a carga

crítica não ser atingida na mesma proporção em altura deve-se à consideração do mesmo valor de

imperfeição inicial de 0,1%, comportamento referido no subcapítulo 5.2.3. Também na Figura 5.42

verifica-se que a maior dissipação de energia ocorre para a diagonal comprimida do Piso 1 associado

ao maior esforço que o Piso 1 está sujeito e igualmente à maior esbelteza normalizada deste piso

(Tabela 5.7) em comparação com o Piso 2 e Piso 3. É notório a decrescente dissipação de energia do

Piso 1 para o Piso 3 o que revela a distribuição do gradual do esforço em altura demonstrada na

Figura 5.40.

Tabela 5.7: Configuração Pórticos Dir. X Estrutura REG

Pórtico Dir. X A (m2) PCrit (kN)

Piso 3 139,7x3,2 13,7 1,88 137,5

Piso 2 139,7x4,0 17,1 1,89 168,8

Piso 1 139,7x5,0 21,2 2,06 177,2


92

−140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Str7 3St PO Modal XX

Ned− vs Interstorey Brace ratios

N/Pcr vs D/D

crit

dr/drcrit

(m)

N/P

crit (

kN

)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

Figura 5.42: Estrutura REG Pórtico 3, Padrão Modal Dir. X, Esforço axial compressão normalizado vs deslocamento relativo normalizado


93

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

6STR7_ Modal XX __ FRAME 3 __ InterStory Drifts vs Top Displacement


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (

%)

Piso 3

Piso 2

Piso 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

6STR7_ Uniform XX __ FRAME 3 __ InterStory Drifts vs Top Displacement


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (

%)

Piso 3

Piso 2

Piso 1

A Figura 5.43 representa a variação dos deslocamentos relativos entre pisos com o deslocamento de

topo e mostra que, após plastificação da diagonal do Piso 1, os drifts nesse piso têm um crescimento

mais acentuado. Quando todo o pórtico resistente se encontra em regime não-linear (para o

deslocamento de topo em que ocorre a plastificação da diagonal traccionada do Piso 3) os drifts do

pórtico crescem exatamente na mesma proporção, resultado do mesmo endurecimento linear das

diagonais traccionadas dos três pisos. A Figura 5.44 representa a mesma variação para o padrão

uniforme de cargas laterais; os resultados obtidos diferem dos representados na Figura 5.43 porque a

plastificação da última diagonal do pórtico é atingida, para o padrão uniforme, para um maior valor de

deslocamento de topo.

Figura 5.43: Estrutura REG, Pórtico 1, Padrão Modal Dir. X, Drifts entre pisos vs Deslocamento topo

Figura 5.44: Estrutura REG, Pórtico 1, Padrão Uniforme Dir. X, Drifts entre pisos vs Deslocamento topo


94

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

500

1000

1500

2000

2500

STR7 POCurve ZZ MDOF

Uniform vs Modal Load

Total Shear

Disp = 0.05H


Co

rte

Basa

l D

ir.Z

(kN

)

Uniforme

Modal

DIREÇÃO Z

A curva de capacidade nesta direção (Figura 5.45) difere da Dir. X pelo comportamento que

apresenta quando todas as diagonais do pórtico atingem o regime não-linear. Comportamento

caracterizado por uma variação repentina do valor do corte basal até ser atingido novamente o

equilíbrio. Este comportamento é devidamente explicitado de seguida.

Figura 5.45: Estrutura REG, Curva de capacidade Dir.Z

Como sucedido na Dir. X, após plastificação da diagonal do Piso 1 na Dir. Z o crescimento dos

valores de drift representado na Figura 5.46, difere de piso para piso. Também nesta figura é evidente

que, quando todas a s diagonais do pórtico atingem o regime não-linear, os valores dos drifts no Piso

3 sofrem um crescimento mais acentuado em comparação com o ténue crescimento dos valores de

drifts do Piso 1 e Piso 2 até todo o pórtico em regime não-linear atingir uma nova posição de

equilíbrio. Atingida a nova posição de equilíbrio, o crescimento dos drifts ocorre na mesma proporção

em altura devido ao facto de o endurecimento linear das diagonais traccionadas dos três pisos ser

idêntico.

Antes de atingida a nova posição de equilíbrio, para a zona em que ocorre esta instabilidade

(variação repentina do valor de corte basal) é representado na Figura 5.47, os valores dos drifts para

valor de deslocamento de topo 0,16m (azul cyan) e 0,18m (magenta), identificados na Figura 5.46,

em que é evidente o aumento mais acentuado de valores de drift no Piso 3 por comparação com os

valores de drift do Piso 2 e Piso 1.


95

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

6STR7_ Uniform ZZ __ FRAME 1 __ InterStory Drifts vs Top Displacement


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (

%)

Piso 3

Piso 2

Piso 1

Figura 5.46: Estrutura REG, Padrão Modal, Pórtico 1, Drifts entre pisos vs Deslocamento de Topo

Figura 5.47: Padrão Modal, Drifts entre pisos para um valor de Deslocamento de Topo 0,16m e 0,18 m

Verifica-se um comportamento semelhante para a distribuição uniforme de forças lateral (Figura

5.48), mas correspondendo a um maior valor de deslocamento de topo.

Figura 5.48: Estrutura REG, Padrão Uniforme Dir. Z, Pórtico 1 Drifts entre pisos vs Deslocamento de Topo

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

6STR7_ MOdal ZZ __ FRAME 1 __ InterStory Drifts vs Top Displacement


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (%

)

Piso 3

Piso 2

Piso 1

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

10

12

Str7 Modal ZZ

Drifts entre pisos entre Desloc. Topo = 0,16m e 0,18m

Drift entre Pisos (%)

Altura

(m

)

Drift para dTOPO

=0,16m

Drift para dTOPO

=0,18m


96

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

500

1000

1500

2000

2500


Modal Load

Total Shear vs Braces Shear

Disp = 0.05H


Co

rte

Basa

l D

ir.Z

(kN

)

Contrav Porticos Dir.Z

Todos Porticos Dir.Z e Dir.X

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Str7 3St Frame 1

Modal ZZ

BRACES N vs Top Displacement

DispTopo=0.05H


Esfo

rco A

xia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

Tal como acontece na Dir. X, é evidente na Figura 5.49 que após entrada em regime não-linear de

todas as diagonais presentes nos pórticos da Dir. Z (curva a preto), o endurecimento dos

contraventamentos traccionados em regime não-linear não tem qualquer contribuição para o corte

basal total na Dir. Z (curva a azul).

Figura 5.49: Estrutura REG, Comparação entre curva de capacidade da contribuição para o corte basal dos

contraventamentos dos pórticos na Dir. Z e curva de capacidade de todos os pórticos da estrutura (corte basal total)

A Figura 5.50, que representa a evolução do esforço normal com o valor de deslocamento de topo

para todos os contraventamentos traccionados e comprimidos, demonstra que a entrada em regime

não-linear da diagonal do Piso 3 (todas as diagonais em regime não-linear) conduz a um aumento

repentino de endurecimento da diagonal traccionada do Piso 1 (Figura 5.51), o que explica a variação

repentina de corte basal total na curva de capacidade analisada na Figura 5.49. Tal como acontece

na Dir. X, nota-se na Figura 5.50 que a plastificação é gradual em altura.


97

−140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0



N/Pcr vs dr/dr

crit

dr/drcrit

(m)

N/P

crit (

kN

)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Str7 3St Frame 1

Modal ZZ

BRACES N vs Desloc.RelativoPisos

DispTopo=0.05H

Deslocamento Relativo entre Pisos (m)

Esfo

rco A

xia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

Figura 5.50: Padrão Modal Dir.Z, Contraventamentos Pórtico 1, Esforço axial vs Deslocamento de Topo

Figura 5.51: Padrão Modal Dir. Z, Contraventamentos Pórtico 1, Esforço axial vs Deslocamento relativo entre pisos

O comportamento das diagonais comprimidas em altura está representado na Figura 5.52. Também

nesta direção a maior dissipação de energia ocorre para a diagonal comprimida do Piso 1 associado

ao maior esforço que o Piso 1 está sujeito e igualmente à maior esbelteza normalizada deste piso

(Tabela 5.8) em comparação com o Piso 2 e Piso 3.

Figura 5.52: Estrutura REG, Pórtico 1, Padrão Modal, Esforço de compressão normalizado vs Desloc. relativo

normalizado

Tabela 5.8: Estrutura REG, Configuração Pórticos Dir. Z

Pórtico Dir. Z A (m2)

PCrit (kN)

Piso 3 139,7x3,2 13,7 1,44 234,8

Piso 2 139,7x6,3 26,4 1,47 432,1

Piso 1 139,7x8,0 33,1 1,69 411,7


98

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Str7 Modal XX MDOF

POCurve Last Target Displacement vs V1y


Co

rte

Basa

l D

ir.X

(kN

)

V1Y

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Str7 ModalX SDOF

Target Displacement

Sd [m]

Sa [

m/s

2]

T* = 0,59s

Espectro EC8 ag = 0,3g

Bilinear

dT = 0.0664m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Str7 ModalZ SDOF

Target Displacement

Sd [m]

Sa [

m/s

2]

T* = 0,46s


Bilinear

dT = 0.0507m

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

500

1000

1500

2000

2500

Str7 Modal ZZ MDOF



Co

rte

Basa

l D

ir.Z

(kN

)

V1Y

5.5.1.2 Método N2

A Figura 5.53 e Figura 5.55 representam o procedimento para a determinação gráfica do

deslocamento-alvo da estrutura REG para a direção X e direção Z, respetivamente. Nestas figuras a

curva bi-linear está representada até ao deslocamento-alvo no sistema de um GDL. As curvas de

capacidade no sistema MGDL até ao deslocamento-alvo são apresentadas para a Dir. X na Figura

5.54 e para a Dir. Z na Figura 5.56. Para cada curva identifica-se o ponto que corresponde à

plastificação da primeira diagonal, V1Y. Na Tabela 5.9 encontram-se resumidos os valores de factor

de transformação.

Figura 5.53: Estrutura REG, Determinação gráfica do

deslocamento-alvo Dir. X, sistema 1GDL

Figura 5.54: Estrutura REG, Curva de capacidade Dir. X

até ao deslocamento-alvo, sistema MGDL

Figura 5.55: Estrutura REG, Determinação gráfica do

deslocamento-alvo Dir. Z, sistema 1GDL

Figura 5.56: Estrutura REG, Curva de capacidade Dir. Z

até ao deslocamento-alvo, sistema MGDL


99

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Str7 Modal XX

Storey Total Disp CM

para Target Disp = 0.191m

Deslocamento Horizontal (m)

Altu

ra (

m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

Str7 Modal XX

Drifts entre pisos no CM para Target Disp = 0.191m


Altu

ra (

m)

Tabela 5.9: Estrutura REG, Valores do factor de transformação em cada direção

𝚪

Dir. X 2,88

Dir. Z 2,86

Na Tabela 5.10 são apresentados os valores de deslocamento-alvo para o sistema de MGDL por

aplicação do método N2. Os valores obtidos encontram-se dentro do limite estipulado (última coluna

da tabela), valor de deslocamento horizontal de topo correspondente a 2,5% de drift entre pisos

(valor indicado por Nogueiro et al. (2006) para o qual se admite chegar à resistência última do pórtico

metálico). Foi realizado um processo iterativo na obtenção do deslocamento-alvo, sendo a primeira

iteração considerada neste processo o limite estipulado (2,5%H).

Tabela 5.10: Estrutura REG, Deslocamentos-alvo

Deslocamento-alvo (m) Deslocamento limite (m) [0,025*H]

Estrutura REG Dir. X 0,191

0,288 Dir. Z 0,145

Para os correspondentes valores de deslocamento-alvo, os deslocamentos horizontais dos pisos (no

centro de massa de cada piso) e os drifts entre pisos estão representados na Figura 5.57 para a Dir.

X e na Figura 5.58 para a Dir. Z, respetivamente.

Figura 5.57: Estrutura REG, Pórtico 3 ,Deslocamentos horizontais máximos no deslocamento-alvo, em cima, e Drifts

entre pisos no deslocamento-alvo, em baixo.


100

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

2

4

6

8

10

12

Str7 Modal ZZ

Storey total Disp



Altu

ra (

m)

Relativamente à Dir. X, apesar do deslocamento-alvo estar abaixo do limite estipulado (Tabela 5.10),

o drift entre pisos é superior a 2,5% no Piso 1. A solução encontrada para garantir que o nível de

exigência sísmica esteja abaixo da capacidade da estrutura nesta direção, é discutida no subcapítulo

6.1 Conclusões Finais. De notar que o valor dos drifts descem gradualmente em altura em ambas as

direções significando que na estrutura REG o Piso 1 é o mais condicionante na verificação dos drifts

entre pisos.

Em relação à Dir. Z, o deslocamento-alvo encontram-se dentro do limite estipulado. Inclusivamente, o

nível de exigência sísmica está abaixo da capacidade da estrutura como demonstrado na Figura 5.58.

Figura 5.58: Estrutura REG Pórtico 1, Deslocamentos horizontais máximos no deslocamento-alvo, em cima, e Drifts

entre pisos no deslocamento-alvo, em baixo


101

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−200

0

200

400

600

800

1000

Str7 3St Frame 3

Modal X

BRACES N vs Desloc. Topo vs PP

DispTopo=0.05H


Esfo

rco A

xia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.191m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Str7 3St Frame 1

Modal Z


DispTopo=0.05H


Esfo

rco A

xia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.145m

A resposta dos contraventamentos nos pórticos da Dir. X e Dir. Z para os correspondentes

deslocamento-alvo (Performance Point, PP) encontra-se na Figura 5.59 e Figura 5.60,

respetivamente. Nota-se que para os respetivos deslocamento-alvo em ambas as direções, todas as

diagonais encontram-se em regime não-linear, excepto a diagonal traccionada do Piso 3 (que se

encontra perto de atingir a resistência plástica), o que demonstra uma boa exploração da ductilidade

dos contraventamentos.

Figura 5.59: Estrutura REG, Resposta Contraventamentos do Pórtico 3 para o deslocamento-alvo

Figura 5.60: Estrutura REG, Resposta Contraventamentos do Pórtico 1 para o deslocamento-alvo


102

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000


UNIFORM vs MODAL Load

Total Shear

Disp = 0.05H


Co

rte

Basa

l D

ir.X

(kN

)

Uniforme

Modal

5.5.2 Estrutura IRREG

5.5.2.1 Curvas de Capacidade

Nesta seção apenas se apresentam os resultados correspondente à distribuição modal das cargas

laterais, por ser a que conduz a uma menor capacidade resistente da estrutura. Ambas as análises

pushover, na Dir. X e na Dir. Z foram efetuadas até a um deslocamento de topo igual a 5% da altura

total.

Apresenta-se para a estrutura IRREG os mesmos resultados que se apresentaram para a estrutura

REG, e ainda o andamento de esforço axial nas colunas. O comportamento das colunas nesta

estrutura é semelhante à estrutura REG.

DIREÇÃO X

A curva de capacidade da estrutura IRREG está representada na Figura 5.61. Relativamente ao

comportamento dos perfis em altura, as diagonais traccionadas do Piso 1 e Piso 2 plastificam para o

mesmo nível de deslocamento de topo e a diagonal comprimida do Piso 2 plastifica antes da diagonal

do Piso 1, como se verifica na Figura 5.62. Este comportamento deve-se ao facto de as secções

tubulares terem maior esbelteza no Piso 2 e 3 por comparação com o Piso 1 (Tabela 5.11), o que

conduz também num maior drift entre pisos no Piso 2 até à plastificação simultânea das diagonais

traccionadas do Piso 1 e 2, como demonstrado na Figura 5.63.

Figura 5.61: Estrutura IRREG, Curva capacidade Dir. X


103

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

Str8 3St Frame 3

Modal XX


DispTopo=0.05H


Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1

1.5

2

2.5STR8_ MOdal XX __ FRAME 3 __ InterStory Drifts vs Top Displacement


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (

%)

Piso 3

Piso 2

Piso 1


Pórtico Dir. X A (m2) PCrit (kN) Pórtico Dir. X A (m

2) PCrit (kN)

Piso 3 139,7x3,2 13,7 1,88 137,5 139,7x3,2 13,7 1,88 137,5

Piso 2 139,7x4,0 17,1 1,89 168,8 139,7x4,0 17,1 1,89 168,8

Piso 1 139,7x5,0 21,2 2,06 177,2 168,3x5,0 25,7 1,70 315,4

Figura 5.62: Estrutura IRREG Pórtico 4, Esforço axial Contraventamentos vs Deslocamento de Topo

Figura 5.63: Estrutura IRREG Pórtico 4, Drifts entre pisos vs Deslocamento topo

Da Figura 5.62 é possível concluir que a plastificação de todas as diagonais do pórtico conduz à

perda gradual de resistência da curva de capacidade resistente representada na Figura 5.61

O comportamento das diagonais comprimidas em altura está apresentado na Figura 5.64. De realçar

que a menor esbelteza associada à diagonal do Piso 1, em relação ao Piso 2 e 3, traduz-se numa

menor dissipação de energia da diagonal do Piso 1.

Tabela 5.11: Configuração pórticos Dir. X Estrutura REG e Estrutura IRREG


104

−100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Str7 3St PO Modal XX


N/Pcr vs dr/dr

crit

dr/drcrit

(m)

N/P

crit (

kN

)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500


UNIFORM vs MODAL Load

Total Shear

Disp = 0.05H


Co

rte

Basa

l D

ir.Z

(kN

)

Uniforme

Modal

Figura 5.64: Estrutura IRREG Pórtico 4, Esforço axial compressão da diagonal normalizado vs

Deslocamento relativo entre pisos normalizado

DIREÇÃO Z

Nesta direção, cuja curva de capacidade está representada na Figura 5.65, como a estrutura é

irregular em planta e como o nó de controlo da análise pushover está localizado no CM do Piso 3,

foram analisados em maior detalhe os pórticos mais condicionantes, i.e. o pórtico 1 e 2.

Figura 5.65: Estrutura IRREG, Curva de capacidade Dir. Z


105

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Str8 3St Frame 1

Modal ZZ


DispTopo=0.05H

Deslocamento Topo Portico 1 (m)

Esfo

rco A

xia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Str8 3St Frame 2

Modal ZZ


DispTopo=0.05H


Esfo

rco A

xia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

A Figura 5.66 e Figura 5.67 mostra que as diagonais dos piso 1 e 3 plastificam para um nível

semelhante de deslocamento de topo, antes das diagonais do piso 2.

Figura 5.66: Estrutura IRREG, Pórtico 1 (Contraventamentos), Esforço axial vs Deslocamento topo do Pórtico 1

Figura 5.67: Estrutura IRREG, Pórtico 2 (Contraventamentos), Esforço axial vs Deslocamento topo do Pórtico 2

O pórtico 1 (Figura 5.68) atinge regime não-linear para um maior deslocamento de topo do pórtico,

por comparação com o pórtico 2 (Figura 5.69), devendo-se tal facto ao efeito de torção que origina

deslocamentos de topo do pórtico 1 superiores aos deslocamento do nó de controlo como

demonstrado na Figura 5.70. Nesta figura o deslocamento do topo de cada pórtico está normalizado

ao deslocamento do nó de controlo nesta direção.


106

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1

1.5

2

2.5STR8_ MOdal ZZ __ FRAME 2 __ InterStory Drifts vs Top Displacement


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (

%)

Piso 3

Piso 2

Piso 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.5

1

1.5

2

2.5STR8_ MOdal ZZ __ FRAME 1 __ InterStory Drifts vs Top Displacement Frame 1


Dri

ft e

ntr

e P

iso

s (

%)

Piso 3

Piso 2

Piso 1

Figura 5.68: Estrutura IRREG, Padrão Modal, Drifts entre pisos vs Deslocamento topo do Pórtico 1

Figura 5.69: Estrutura IRREG, Padrão Modal, Difts entre pisos vs Deslocamento topo do Pórtico 2

A entrada em regime não-linear está associada ao crescimento acentuado da distância entre o

deslocamento de topo do CM e deslocamento de topo dos pórticos (Figura 5.70). No instante que

todas as diagonais atingem o regime não-linear essa distância tende a diminuir.


107

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4STR8_ MOdal ZZ __ Top Displacement in relation to CM Disp


Deslo

ca

men

to t

op

o P

ort

ico

i / D

eslo

ca

men

to N

o d

e C

on

tro

lo

Portico 1

Portico 3

Portico 2

Figura 5.70: Estrutura IRREG, Padrão Modal, Deslocamento de topo Pórtico i normalizado vs Deslocamento Nó de Controlo

Tanto a Figura 5.68 como a Figura 5.69 mostram que o drift entre pisos no Piso 3 é superior ao drift

entre pisos no Piso 2 em toda a análise e que o drift entre pisos no Piso 3 é superior aos drift entre

pisos do Piso 1 até à entrada em regime não-linear do pórtico. Tal comportamento advém da adoção

de um perfil menos robusto e dotado da maior esbelteza do pórtico, no Piso 3, como demonstrado na

Tabela 5.12.

Tabela 5.12: Configuração Pórticos Dir. Z para Estrutura REG e Estrutura IRREG

A Figura 5.71 e Figura 5.72 representam a variação do esforço axial de compressão normalizado em

função do deslocamento relativo entre pisos normalizado, para os pórticos 1 e 2, respetivamente. A

partir dos resultados obtidos na Figura 5.71 e Figura 5.72 conclui-se que a dissipação de energia em

ambos os pórticos de extremidade é idêntica. A diagonal do Piso 3 tem dissipação de energia

aproximada à diagonal do Piso 1, consequência de a diagonal do Piso 3 possuir a maior esbelteza do

pórtico. Por conseguinte a diagonal comprimida do Piso 2 tem a menor dissipação de energia do

pórtico, que também resulta de a diagonal traccionada do Piso 2 ser a última diagonal a plastificar de

todo o pórtico, como visto na Figura 5.67. Este comportamento revela uma distribuição de esforços

não uniforme em altura.


Pórtico Dir. Z A (m2) PCrit (kN)

Pórtico Dir. Z

A (m2)

PCrit

(kN)

Piso 3 139,7x3,2 13,7 1,44 234,8 114,3x3,2 11,2 1,77 126,2

Piso 2 139,7x6,3 26,4 1,47 432,1 139,7x6,3 26,4 1,47 432,1

Piso 1 139,7x8,0 33,1 1,69 411,7 139,7x8,0 33,1 1,69 411,7


108

−100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0



N/Pcr vs dr/dr

crit

dr/drcrit

(m)

N/P

cri

t (kN

)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

−100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0


FRAME 2


N/Pcr vs dr/dr

crit

dr/drcrit

(m)

N/P

crit (

kN

)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

Figura 5.71: Estrutura IRREG , Pórtico 1, Esforço axial compressão normalizado vs Desloc. relativo entre pisos

normalizado

Figura 5.72: Estrutura IRREG, Pórtico 2, Esforço axial compressão normalizado vs Desloc. relativo entre pisos

normalizado

5.5.2.2 Método N2

A Figura 5.73 e Figura 5.75 ilustram a determinação gráfica do deslocamento-alvo para a direção X e

direção Z, respetivamente. Nestas figuras a curva bi-linear está representada até ao deslocamento-

alvo no sistema de um GDL

As curvas de capacidade no sistema MGDL até ao deslocamento-alvo são apresentadas para a Dir. X

(Figura 5.74) e para a Dir. Z (Figura 5.76). Para cada curva identifica-se o ponto que corresponde à

plastificação da primeira diagonal, V1Y.


109

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Str8 Modal XX MDOF



Co

rte

Basa

l D

ir.X

(kN

)

V1Y

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

500

1000

1500

2000

2500

3000

Str8 Modal ZZ MDOF



Co

rte

Basa

l D

ir.Z

(kN

)

V1Y

Figura 5.73: Estrutura IRREG, Determinação gráfica do

deslocamento-alvo Dir. X, sistema 1GDL

Figura 5.74: Estrutura IRREG, Curva de capacidade Dir. X

até ao deslocamento alvo, sistema MGDL

Figura 5.75: Estrutura IRREG, Determinação gráfica do

deslocamento-alvo Dir. Z, sistema 1GDL

Figura 5.76: Estrutura IRREG, Curva de capacidade Dir.

Z até ao deslocamento-alvo no CM, sistema MGDL

Tabela 5.13: Estrutura IRREG, Valores dos factor de transformação em cada direção

𝚪

Dir. X 2,88

Dir. Z 2,86

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Str8 ModalX SDOF

Target Displacement

Sd [m]

Sa [

m/s

2]

T* = 0,49s


Bilinear

dT = 0.0542m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Str8 ModalZ SDOF

Target Displacement

Sd [m]

Sa [m

/s2]

T* = 0,41s


Bilinear

dT = 0.0427m


110

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

10

12

Str8 Modal XX

Drifts entre pisos no CM para Target Disp = 0.156m


Altu

ra (

m)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

2

4

6

8

10

12

Str8 Modal XX

Storey Total Disp CM



Altura

(m

)

Na Tabela 5.14 estão representados os valores de deslocamento-alvo para o sistema de MGDL por

aplicação do método N2. Os valores obtidos encontram-se dentro do limite estipulado (última coluna

da tabela), valor de deslocamento horizontal de topo correspondente a 2,5% de drift entre pisos (valor

indicado por Nogueiro et al. (2006) para o qual se admite chegar à resistência última do pórtico

metálico). Foi realizado um processo iterativo na obtenção do deslocamento-alvo, sendo a primeira

iteração deste processo, o limite estipulado.

Tabela 5.14: Estrutura IRREG, Deslocamentos-alvo

Para o deslocamento-alvo obtido, apresenta-se na Figura 5.77 para o pórtico condicionante da Dir. X,

os resultados em termos de deslocamentos horizontais e drift entre pisos onde se verifica que a

maior deformação ocorre no Piso 1 e que o drift neste piso se encontra dentro do limite.

Figura 5.77: Estrutura IRREG Pórtico 4, Deslocamentos horizontais no deslocamento-alvo, em cima, e Drifts entre pisos no deslocamento-alvo, em baixo

Deslocamento-alvo (m) Deslocamento limite

(m) [0,025*h]

Estrutura IRREG

Dir. X 0,156

0,288 Dir. Z 0,122 [CM]

Pórtico 1 0,157

Pórtico 3 0,103

Pórtico 2 0,089


111

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

2

4

6

8

10

12

Str8 Modal ZZ

InterStorey Drifts

Frame 1 vs Frame 2 vs Frame X



Altura

(m

)

Portico 1

Portico 2

Portico 3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

2

4

6

8

10

12

Str8 Modal ZZ

Storey Total Disp CM vs Frame 1 vs Frame 2 vs Frame 3



Altura

(m

)

Portico 1

Portico 2

Portico 3

CM

Pela análise dos resultados da Figura 5.78, onde se representa a evolução em altura dos

deslocamentos dos pisos e dos valores de drift, correspondentes ao deslocamento-alvo dos pórticos

na Dir. Z, conclui-se que a exigência sísmica está abaixo da capacidade resistente dos pórticos e que

o Pórtico 1 é o pórtico mais solicitado, sendo portanto o mais condicionante.

Os drifts entre pisos estão abaixo do limite estipulado. Nota-se que o drift é superior no Piso 3 por

comparação com o Piso 2, que como já referido no subcapítulo 5.5.2.1, se deve às diagonais do Piso

3 terem a maior esbelteza normalizada do pórtico.

Figura 5.78: Estrutura IRREG, Todos Pórticos Dir. Z, Deslocamentos horizontais no deslocamento-alvo, em cima, e

Drifts entre pisos no deslocamento-alvo, em baixo


112

0 5 10 15 20 25 300.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Str8 Modal ZZ

Top Disp Comparison Between Frames


Posicao Portico (m)

De

slo

c.

To

po

No

rma

liza

do

CM

Portico 1

Portico 3

Portico 2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

Str8 3St Frame 3

Modal X


DispTopo=0.05H


Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.156m

A Figura 5.79 representa o valor do deslocamento de topo por pórtico, normalizado ao deslocamento

do nó de controlo, para o correspondente valor de deslocamento-alvo obtido com o método N2.

Realça-se a diferença dos deslocamentos dos pórticos de extremidade, pórtico 1 e 2, relativamente

ao centro de massa é igual.

Figura 5.79: Estrutura IRREG, Dir. Z, Deslocamento de topo normalizado

A resposta dos contraventamentos, em termos de esforço axial, nos pórticos da Dir. X e Dir. Z para os

correspondentes valores do deslocamento-alvo encontra-se representada na Figura 5.80 e Figura

5.81 respetivamente. Nos pórticos da Dir. X apenas a diagonal traccionada do piso 3 não se encontra

em regime não-linear. Na Dir. Z, apenas a diagonal do piso 2 do pórtico 2 não atingiu o regime não-

linear. Também nesta estrutura se verifica que a capacidade de ductilidade foi bem explorada para a

exigência da ação sísmica.

Figura 5.80: Estrutura IRREG, Resposta Contraventamentos Pórtico 4 para o deslocamento-alvo


113

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Str8 3St Frame 2

Modal Z


DispTopo=0.05H


Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.089m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Str8 3St Frame EXTRA

Modal Z


DispTopo=0.05H


Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.103m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Str8 3St Frame 1

Modal Z


DispTopo=0.05H


Esfo

rco

Axia

l (k

N)

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.157m

Figura 5.81: Estrutura IRREG, Resposta Contraventamentos para o respetivo deslocamento-alvo no Pórtico 1 (em

cima) , Pórtico 3 (no meio) e Pórtico 2 (em baixo)


114

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Str8 3St PO Dir ZZ Columns

Naxial vs Desloc Topo


Esfo

rco

axia

l N

orm

aliz

ad

o

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.156m

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Str8 3St PO Dir ZZ Columns

Portico 2

Naxial vs Desloc Topo


Esfo

rco

axia

l N

orm

aliz

ad

o

Piso 1

Piso 2

Piso 3

PP = 0.089m

O esforço axial normalizado relativamente à resistência última das colunas traccionadas e

relativamente ao esforço axial resistente reduzido nas colunas comprimidas está representado na

Figura 5.82 e na Figura 5.83 para o pórtico 1 e pórtico 2, respetivamente.

Ambas as figuras demonstram que a partir da altura em que todas as diagonais do pórtico se

encontram plastificadas, o esforço axial atuante em todas colunas tende para um valor constante, ou

seja, o encaminhamento de cargas está concentrado nas diagonais, que se encontram todas em

regime não-linear. Como se demonstra pela análise das mesmas figuras, como a resistência não foi

atingida em todas as colunas, significa que estas mantêm-se em regime elástico durante toda a

análise, e como tal não é atingido o mecanismo global de soft-storey descrito no subcapítulo 2.4,

sucedendo o mesmo nas colunas dos pórticos da Dir. Z e na estrutura REG.

Figura 5.82: Estrutura IRREG, Pórtico 1, Esforço axial normalizado colunas vs Deslocamento Topo do Pórtico

Figura 5.83: Estrutura IRREG, Pórtico 2, Esforço axial normalizado Colunas vs Deslocamento de Topo do Pórtico


115

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Str8 3St PO Dir ZZ Deslocamento de Topo Normalizado

Deslocamento No de Controlo

De

slo

cam

en

to T

op

o P

ort

ico n

orm

aliz

ad

o

dT

opo/d

No

de

Co

ntr

olo

Portico 1

Portico 3

Portico 2

0.08m

PP = 0.122m

A Figura 5.84 representa a variação do deslocamento de topo de cada pórtico, normalizado, com o

valor do deslocamento de topo. Verifica-se que a distância máxima entre o valor do deslocamento de

topo de cada pórtico e o CM não ocorre para o deslocamento-alvo. O desvio é máximo para os

seguintes deslocamentos de topo: dTopoNódeControlo = 0,08m ; dTopoPórtico1 = 0,1m ; dTopoPórtico3 = 0,06m ;

dTopoPórtico2 = 0,05m).

Figura 5.84: Estrutura IRREG, Comparação entre Deslocamento-alvo e Deslocamento de topo normalizado vs

Deslocamento Nó de controlo


116

5.6 Resultados - Análise Dinâmica não-linear

Foi possível obter os resultados finais desta análise, correspondente à duração total do

acelerograma, apenas para o par de acelerogramas manipulados Coalinga-01 – Figura 5.85 (Tabela

5.6, subcapítulo 5.4.1). Como já referido, apenas a média dos resultados provenientes de cada um

dos 15 pares de acelerogramas escalados seria possível comparar com os resultados do método N2

presentes no subcapítulo 5.5. Como tal os resultados aqui apresentados, referentes à resposta

histerética dos contraventamentos para o par de acelerogramas ilustrado na Figura 5.85, não são

representativos do desempenho sísmico dos contraventamentos, dimensionados para a ação sísmica

regulamentar.

Figura 5.85: Par de acelerogramas Coalinga-01

Na Figura 5.86 (direção Z) e Figura 5.87 (direção X) da estrutura REG está representado o valor de

esforço axial atuante normalizado ao esforço axial resistente de tração no respetivo piso em função

da deformação axial normalizada à deformação axial resistente de tração no respetivo piso. É notório

a maior dissipação de energia presente no Piso 1 em relação aos pisos superiores, em ambas as

direções.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Acelerograma EQ5

Ace

lera

ca

o S

up

erf

icie

Te

rre

no

, a G

(m

.s−

2)

Tempo (s)

Dir. Z

Dir. X


117

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Str7 3St TH EQ5A Frame 3 Brace 1505

N vs DefAxial

D/DY

N/N

pl,R

d

Figura 5.86: Estrutura REG Direção Z, Resposta

histerética dos contraventamentos. Piso 3 (em cima, a

vermelho), Piso 2 (no meio, a preto) e Piso 1 (em baixo, a

azul).

Figura 5.87: Estrutura REG Direção X, Resposta

histerética dos contraventamentos. Piso 3 (em cima, a

vermelho), Piso 2 (no meio, a preto) e Piso 1 (em baixo, a

azul).

−1 0 1 2 3 4 5−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


N vs DefAxial

D/DY

N/N

pl,R

d

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


N vs DefAxial

D/DY

N/N

pl,R

d

−1 0 1 2 3 4 5−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


N vs DefAxial

D/DY

N/N

pl,R

d

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


N vs DefAxial

D/DY

N/N

pl,R

d

−1 0 1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


N vs DefAxial

D/DY

N/N

pl,R

d


118

5.7 Comparação entre análises

Neste subcapítulo faz-se a comparação entre resultados obtidos a partir das análises dinâmicas

lineares por espectro de resposta e as análises estáticas não lineares para ambas as estruturas: REG

e IRREG. Para este efeito foi realizada uma análise pushover, em ambas as estruturas, considerando

o modelo de diagonais só à tração (modelo T/O).

5.7.1 Estrutura REG

Para o modelo de diagonais só à tração (modelo T/O) apresenta-se na Tabela 5.15 a comparação de

alguns valores globais obtidos a partir do método de dimensionamento (análise dinâmica linear por

espectro de resposta) e método usado para a avaliação sísmica (método N2) para a estrutura REG.

O valor de corte basal da resistência última, VY, é correspondente a um deslocamento de topo de

2,5% da altura total.

Tabela 5.15: Estrutura REG, Comparação entre métodos de análises

Análise linear (Modelo ‘Diagonais só à Tração’)

Análise estática não-linear (Modelo ‘Diagonais só à Tração’)

q2D q3DAdopt T [s] VEL [kN] VD [kN] T [s] V1Y [kN] q qμ Ω VY [kN]

REG

Dir. X 3,15

3,5

0,88 3767,7 1186,1 0,86 1204,5 3,13 2,65 1,18 1421,0

Dir. Z 2,36 0,84 3652,8 1176,0 0,82 1569,2 2,33 2,17 1,07 1683,9

Os valores de Ω e qμ e por conseguinte o valor de q da análise pushover são avaliados através da

equação (4.18), presente no subcapítulo 4.3.4.1., com q a ser comparado com o valor estimado de

coeficiente de comportamento (q2D) da análise linear na correspondente direção. Verifica-se que os

valores de q2D estimados pela abordagem IFBD e os valores de q provenientes da avaliação sísmica

são semelhantes. Nota-se o valor de sobre-resistência, Ω, pouco superior à unidade em ambas as

direções.

Note-se que o coeficiente de comportamento global adotado (q3DAdopt), sendo mais próximo do

coeficiente de comportamento estimado (q2D) na direção X, o valor de VD e V1Y são mais próximos

nessa direção do que na direção Z.

A comparação direta das curvas pushover do modelo T/O e do modelo com diagonais à tração e

compressão (T+C) estão ilustradas para a direção X (Figura 5.88) e para a direção Z (Figura 5.89) até

a um deslocamento de topo de 2,0% da altura total do edifício. Para cada curva representa-se o

ponto correspondente à plastificação da primeira diagonal (V1Y) e o corte basal de dimensionamento

(VD).


119

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800Str7 POCurve Modal XX vs Vd _ MDOF _ Sem EA T+C vs T/O Model __ Vd _ MASSA CORRETA

Deslocamento Horizontal No de Controlo (m)

Co

rte

Ba

sa

l D

ir.

X (

kN

)

VD Modelo T/O

C.Capacidade Modelo T+C

C.Capacidade Modelo T/O

V1Y

Modelo T+C

V1Y

Modelo T/O

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

500

1000

1500

2000

2500Str7 POCurve Modal ZZ vs Vd _ MDOF _ Sem EA T+C vs T/O Model __ Vd _ MASSA Correta


Cort

e B

asal D

ir.

Z (

kN

)

VD Modelo T/O



V1Y

Modelo T+C

V1Y

Modelo T/O

Figura 5.88: Estrutura REG, Curvas de capacidade Dir. X

Figura 5.89: Estrutura REG, Curvas de capacidade Dir. Z

Para o modelo T+C, o início da análise pushover tem um incremento de resistência proveniente das

diagonais comprimidas. Após V1Y ser atingido para deslocamentos reduzidos do pórtico, em ambas

as estruturas, as curvas do modelo T+C e T/O apresentam a mesma inclinação em regime elástico.


120

5.7.2 Estrutura IRREG

Para o modelo de diagonais só à tração (T/O) apresenta-se na Tabela 5.16 a comparação entre os

valores globais obtidos com os métodos de dimensionamento e de avaliação sísmica para a estrutura

IRREG. O valor de corte basal da resistência última, VY, é correspondente a um deslocamento de

topo de 2,5% da altura total.

Tabela 5.16: Estrutura IRREG, Comparação entre métodos de análise

Análise linear (Modelo ‘Diagonais só à Tração’)

Análise estática não-linear (Modelo Diagonais só à Tração)

q2D q3DAdopt T [s] VEL [kN] VD [kN] T [s] V1Y [kN] q qμ Ω VY [kN]

IRREG

Dir. X 3

3

0,83 4040,0 1472,1 0,82 1424,2 2,84 2,62 1,08 1544,8

Dir. Z 2,4 0,72 4261,6 1575,7 0,70 1937,8 2,20 1,74 1,26 2450,8

Os valores de Ω e qμ e por conseguinte o valor de q da análise pushover são avaliados através da

equação (4.18), presente no subcapítulo 4.3.4.1., com q a ser comparado com o valor de q2D da

análise linear na correspondente direção.

Apesar de não serem coincidentes, os valores de q2D estimados pela abordagem IFBD e os valores

de q oriundos da avaliação sísmica apenas diferem em 5%, em ambas as direções, fruto da

irregularidade em planta. Note-se o valor de sobre-resistência, Ω, é pouco superior à unidade em

ambas as direções.

Note-se que o coeficiente de comportamento global adotado (q3DAdopt), sendo coincidente com o

coeficiente de comportamento estimado (q2D) na direção X, temos que VD ≈ V1Y nessa direção.

A comparação direta das curvas pushover do modelo T/O e do modelo com diagonais à tração e

compressão (T+C) estão ilustradas para a direção X (Figura 5.90) e para a direção Z (Figura 5.91) até

a um deslocamento de topo de 2,0% da altura total. Para cada curva representa-se o ponto

correspondente à plastificação da primeira diagonal (V1Y) e o corte basal de dimensionamento (VD).

Como acontece na estrutura REG, nota-se na estrutura IRREG que o coeficiente de comportamento

global adotado (q3DAdopt), é mais próximo do coeficiente de comportamento estimado (q2D) na direção

X e o VD é mais próximo de V1Y nessa direção.


121

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800Str8 POCurve Modal XX vs Vd _ MDOF _ Sem EA T+C vs T/O Model __ Vd _ MASSA CORRETA


Cort

e B

asal D

ir.

X (

kN)

VD Modelo T/O



V1Y

Modelo T+C

V1Y

Modelo T/O

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

500

1000

1500

2000

2500

3000Str8 POCurve Modal ZZ vs Vd _ MDOF _ Sem EA T+C vs T/O Model __ Vd _ MASSA Correta


Co

rte

Ba

sa

l D

ir.

Z (

kN

)

VD Modelo T/O



V1Y

Modelo T+C

V1Y

Modelo T/O

Figura 5.90: Estrutura IRREG, Curvas de capacidade Dir. X

Figura 5.91: Estrutura IRREG, Curvas de capacidade Dir. Z

Na Tabela 5.17 representam-se a distribuição, em percentagem, do valor do corte basal pelos 3

pórticos da Dir. Z, para a análise estática não linear e a análise dinâmica linear por espectro de

resposta. Pela análise da Tabela 5.17 conclui-se que, para a estrutura IRREG, a distribuição do corte

basal em planta que se obtém a partir da análise dinâmica linear por espectro de resposta e da

análise estática não linear é idêntica para a situação em que todos os pórticos se encontram em

regime linear (dTopo = 0,01m) variando pouco até à entrada em regime não-linear (dTopo=0,04m). De

realçar na Tabela 5.17 que quando o pórtico entra em regime não-linear (dTopo=0,04m) a distribuição

do corte basal pelos pórticos tende progressivamente para uma distribuição igualmente repartida


122

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11

28

30

32

34

36

38

40

42


Frames Force Distribution MODAL Load Disp = 0.05H


% C

ort

e b

asa

l p

/ P

ort

ico

Portico 1

Portico 3

Portico 2

pelos diferentes pórticos, como representado na Figura 5.92. Apensar da estrutura IRREG ser

irregular em planta a aplicação do método N2 simplificado é válida nesta estrutura como explicitado

no subcapítulo 2.3.2.1.

Tabela 5.17: Estrutura IRREG, distribuição corte basal (%) dos pórticos da Dir. Z em planta

Método de análise Comportamento Pórtico 1 Pórtico 3 Pórtico 2

Análise dinâmica linear Linear 41,2 30,7 28,1

Análise estática não linear

Linear (dtopo = 0,01m) 41,3 30,7 28,0

Não-linear (dtopo = 0,04m) 39,7 31,3 29,5

Não-linear (dtopo = 0,1m) 33,0 33,4 33,6

Figura 5.92: Estrutura IRREG, Padrão Modal Dir. Z, Distribuição do corte basal em planta entre dTopoNódeControlo = 0,01m e

0,1m

Capítulo 6. Considerações Finais

123

6 Considerações Finais

6.1 Conclusões Finais

Neste trabalho, duas estruturas metálicas tridimensionais, uma regular e outra irregular, restringidas

lateralmente por pórticos contraventados concêntricos no seu perímetro, são dimensionadas segundo

a metodologia IFBD, complementada com as prescrições regulamentares presentes no EC8. A

aplicação do procedimento IFBD permitiu dimensionar ambas as estruturas para um valor de

coeficiente de comportamento inferior a 4 (valor estipulado pelo EC8 para estruturas de

contraventamentos concêntrico), conduzindo assim a estruturas mais económicas do que se obteria

se se tivesse recorrido ao procedimento proposto no EC8. O coeficiente de comportamento inferior a

4 significa que as estruturas dimensionadas têm um comportamento dissipativo inferior ao sugerido

pelo EC8.

Os resultados da avaliação sísmica das duas estruturas dimensionadas segundo a metodologia IFBD

permitem concluir que apenas na direção X da estrutura REG se obteve um drift no Piso 1, superior

ao limite de estipulado de 2,5%. Verificou-se que a razão de se ter atingido um valor de drift acima do

limite definido, neste piso, deve-se ao valor da esbelteza normalizada das diagonais se encontrar no

limite superior estipulado pelo EC8 no âmbito dos critérios de dimensionamento por capacidade

resistente (capacity design) relativos aos contraventamentos. De forma a mitigar os danos neste piso

sugere-se uma cuidada pormenorização da ligação gusset plate das diagonais deste piso, no sentido

de diminuir ligeiramente o seu comprimento efetivo, levando à diminuição da esbelteza. Podemos tirar

diversas conclusões desta avaliação, relativamente à estrutura REG:

A avaliação sísmica permite a análise cuidada da distribuição de danos e o posterior controle

de danos na estrutura através de uma atempada intervenção no dimensionamento, o que

prova a vantagem inerente no uso de métodos de análise não linear;

Ao adotar o limite superior de esbelteza normalizada estipulado pelo EC8 resultou nos danos

apresentados na direção X da estrutura REG, ou seja, a avaliação sísmica revela-se

fundamental para a verificação do dimensionamento desenvolvido e, consequentemente, na

prevenção de danos. Verifica-se que especial atenção é necessária se se adotar o limite

superior da esbelteza normalizada estipulada pelo regulamento;

Não adotar, ao nível do dimensionamento, o limite superior de esbelteza estipulada pelo

regulamento. Esta é a recomendação sugerida, com base nos resultados obtidos neste

estudo.

O nível de danos é admissível nos pórticos da direção Z da estrutura REG e na estrutura IRREG.

Para o nível de deformação a que a estrutura está sujeita em ambas as estruturas, a capacidade

resistente foi bem explorada nos pórticos, uma vez que esteve associada a uma boa exploração da

capacidade de dissipação da energia histerética dos contraventamentos.

Para o passo da análise pushover em que a primeira diagonal, de todos os pórticos na direção Z da

estrutura IRREG, entra em regime não-linear, destacam-se duas situações:


124

A distribuição de corte basal pelos pórticos tende para uma % igualmente repartida pelos

pórticos a partir deste passo. No passo da análise incremental estática não linear perto do

limite da resistência global, o pórtico 2 exibe uma distribuição maior, fruto de ser o único dos

três ainda não atingiu a resistência plástica, e o pórtico 1 a menor distribuição (apesar de

serem valores aproximados);

A partir deste passo da análise, acentua-se a distância entre deslocamentos de topo de cada

pórtico e o deslocamento do nó de controlo. A deformação do pórtico 1 chega a um máximo

de 137% do deslocamento do nó de controlo e a deformação do pórtico 2 chega a um mínimo

de 63% da deformação do nó de controlo.

Note-se que a distribuição da esbelteza em altura dos pórticos da direção Z da estrutura IRREG

(menor esbelteza do pórtico no Piso 2, Tabela 5.12) resulta na deformação não uniforme em altura do

pórtico demonstrado pelos drifts entre pisos da Figura 5.78. Para prevenir tal situação, sugere-se que

os valores de esbelteza das diagonais adotados ao nível do dimensionamento serem decrescentes

em altura e não adjudicar a maior esbelteza do pórtico ao último piso (dentro dos limites estipulados

pelo EC8 mas sem igualar o limite superior). Esta é, portanto, outra recomendação de hipótese de

projeto a ser seguida, e que resultou dos resultados obtidos nesta dissertação.

6.2 Recomendações para Desenvolvimentos Futuros

Realizar uma avaliação sísmica com recurso a análises dinâmicas não lineares para as estruturas

dimensionadas. Com um período de tempo mais alargado, teria sido criado um modelo tridimensional

que permitisse correr uma análise dinâmica não linear na íntegra (para todos os acelerogramas

selecionados). Nesse sentido, e fruto da investigação realizada, merece destaque em investigações

futuras adotar a hipótese de modelação descrita de seguida. Esta modelação é possível ser incluída

no modelo tridimensional criado nesta dissertação.

Hsiao et al. (2012) recomenda que se empregue uma rigidez incremental localizada na zona da

ligação gusset plate. Esta recomendação, em complemento aos offsets e rótulas existentes no

modelo desta dissertação, implica modelar a rotação fora do plano da rótula do contraventamento

como uma mola dotada de um material não linear cuja rigidez rotacional seja dependente das

características da gusset plate e offset (Figura 6.1). A relação momento-rotação para rotação

restringida fora do plano apresenta-se na Figura 6.2 .

Como a adoção deste modelo significa que as ligações articuladas não estão totalmente libertas,

ocorre plastificação nas extremidades e meio vão do contraventamento. Esta hipótese difere de uma

das hipóteses tida em conta na modelação desta dissertação de que a plastificação apenas se

desenvolve a meio-vão. Adotar esta modelação proposta por Hsiao et al. (2012) exige o

dimensionamento prévio e detalhado de todas as ligações gusset plate e offsets, que se fosse levado


125

a cabo, o prazo disponível para realização da presente dissertação seria ultrapassado em larga

medida.

Figura 6.1: Detalhe das características geométricas dos

Offsets e Gusset Plate incluindo a localização da rótula

com rigidez rotacional (Hsiao et al. 2012)

Figura 6.2: Relação momento-rotação da mola não-linear

com rigidez rotacional (Hsiao et al. 2012)

O código de natureza OpenSees concebido foi pioneiro na modelação não linear de estruturas

metálicas contraventadas num ambiente tridimensional e como tal, foi gerada uma base para

avaliações sísmicas futuras serem realizadas noutras configurações estruturais em estruturas CBF

e/ou em estruturas tridimensionais de diferentes tipologias.


126

Capítulo 7. Bibliografia

127

7 Bibliografia

ArcelorMittal, 2009. Earthquake Resistant Steel Structures.

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Anexo A Cálculos Dimensionamento Sísmico

129


A.1 Estrutura REG c/ Excentricidade Acidental

Para a configuração estrutural final, a rigidez de cada pórtico resistente encontra-se na Tabela A.1:

Tabela A.1: Estrutura REG, Rigidez p/ Pórtico

Pórtico 1 e 2 Pórtico 4 e 5

dY [m] 0,0969 dX [m] 0,09727

FY [kN] 1000,0 FX [kN] 1000,0

KYi [kN/m] 10319,9 KX [kN/m] 10280,7

Sendo uma estrutura regular, a distribuição da rigidez é igualmente distribuída em planta como

demonstra a Tabela A.2:

Tabela A.2: Estrutura REG, Distribuição da rigidez em planta

Pórtico 1 Pórtico 2 Pórtico 3 Pórtico 4

𝑲𝒀𝒊𝑲𝒀⁄ 0,5 0,5 - -

𝑲𝑿𝒊𝑲𝑿⁄ - - 0,5 0,5

A distribuição de forças sísmicas horizontais normalizada em altura para os pórticos na Dir. Y e para

os pórticos na Dir. X, encontram-se na Tabela A.3 e Tabela A.4 respectivamente.

Tabela A.3: Estrutura REG, Distribuição forças horizontais em altura, Pórticos na direção Y

Piso zi [m] mi [ton] zi*mi Σzjmj 𝑭�̅�

1 4,5 148,86 670

3139

0,52

2 8,0 148,86 1191 0,93

3 11,5 111,14 1278 1,00

Total 2,46

Tabela A.4: Estrutura REG, Distribuição forças horizontais em altura, Pórticos na direção X

Piso zi [m] mi [ton] zi*mi Σzjmj 𝑭�̅�

1 4,5 167,84 755

3376

0,56

2 8,0 167,84 1343 1,00

3 11,5 111,14 1278 0,95

Total 2,51


130

A.1.1 Corte Basal Elástico e Verificação ELD

Tabela A.5: Estrutura REG, Corte basal elástico

Direção Y Direção X

𝑇 [𝑠] 0,84 0,88

𝑆𝐸[𝑚. 𝑠−2] 5,26 4,96

M [ton] 817,72 893,64

𝑉𝑒 [𝑘𝑁] 3652,81 3767,69

Tabela A.6: Estrutura REG, Verificação deslocamento relativo entre pisos para o ELD (q=1,0)

Piso h [m] 𝑑𝑟 [𝑚] 𝑑𝑟 ∗ 𝜐 Limite

Direção Y

3 3,5 0,048 0,024 0,035

2 3,5 0,044 0,022 0,035

1 4,5 0,047 0,023 0,045

Direção X

3 3,5 0,032 0,016 0,035

2 3,5 0,044 0,022 0,035

1 4,5 0,056 0,028 0,045

A.1.2 Estimativa do Coeficiente de Comportamento e Corte Basal de

Cálculo

Tabela A.7: Estrutura REG, Cálculo fator de carga pórticos direção Y

Pórtico 1 e 2

Piso 𝑁𝐸𝑑,𝐸 𝑁𝐸𝑑,G+0,3Q Npl,Rd λ Secção

3 1,34 1,08 486,35 363,50 139,7x3,2

2 2,54 4,05 937,20 367,38 139,7x6,3

1 3,70 9,47 1175,05 314,68 139,7x8,0

Tabela A.8: Estrutura REG, Cálculo fator de carga pórticos direção X

Pórtico 3 e 4

Piso 𝑁𝐸𝑑,𝐸 𝑁𝐸𝑑,G+0,3Q Npl,Rd λ Secção

3 1,11 1,63 486,35 436,69 139,7x3,2

2 2,24 6,12 607,05 268,03 139,7x4,0

1 3,11 12,84 752,60 237,64 139,7x5,0


131

Tabela A.9: Estrutura REG, Estimativa coeficiente de comportamento p/ pórtico e corte basal de cálculo


Pórtico 1 Pórtico 2 Pórtico 3 Pórtico 4

𝑇1 [𝑠] 0,84 0,88

𝑆𝐸[𝑚. 𝑠−2] 5,26 4,96

𝑉𝑒𝑙 [𝑘𝑁] 3652,8 3767,7

𝑉𝑒𝑙,𝑖 [𝑘𝑁] 1826,4 1826,4 1883,8 1883,8

λ 314,7 314,7 237,6 237,6

𝑉1𝑌,𝑖 [𝑘𝑁] 772,8 772,8 597,5 597,5

q2D 2,36 2,36 3,15 3,15

q3D_Adopt 3,5

𝑉𝐷 [𝑘𝑁] 1176,0 1186,1

O máximos de ambos os valores estimados por pórtico (Tabela A.9) é o valor mínimo de coeficiente

de comportamento a adotar (3,15) na escolha do coeficiente de comportamento global, i.e., para o

modelo tridimensional.

A.1.3 Coeficiente de sensibilidade

Tabela A.10: Estrutura REG, Cálculo coeficiente de sensibilidade

Piso 𝑑𝑟,𝑌 ∗ 𝑞3𝐷𝐴𝑑𝑜𝑝𝑡 𝜽𝒀 𝑑𝑟,𝑋 ∗ 𝑞3𝐷𝑎𝑑𝑜𝑝𝑡 𝜽𝑿

3 0,0558 0,0156 0,0322 0,0174

2 0,0514 0,0255 0,0445 0,0451

1 0,0548 0,0273 0,0562 0,0545

A.1.4 Verificação ELU

A.1.4.1 Vigas

Tabela A.11: Estrutura REG, verificação vigas ao ELU

Pórticos 1 e 2 3 e 4

Perfis IPE 330 IPE 360

𝜒𝐿𝑇 1 1

Mc,Rd 221,2 280,2

MEd 112,2 125,8


132

A.1.4.2 Contraventamentos

Tabela A.12: Estrutura REG, Verificação contraventamentos aos ELU nos pórticos da direção Y

Piso 𝑵𝑬𝒅 𝑵𝒑𝒍,𝑹𝒅 Ω �̅� Secção 𝜴𝒎𝒊𝒏 𝜴𝒎𝒂𝒙

Limite

𝜴𝒎𝒂𝒙

Pórtico 1

3 371,3 486,4 1,31 1,30 139,7x3,2

1,14 1,34 1,42 2 701,2 937,2 1,34 1,47 139,7x6,3

1 1032,7 1175,1 1,14 1,69 139,7x8,0

Pórtico 2

3 310,3 486,4 1,57 1,30 139,7x3,2

1,38 1,63 1,73 2 575,8 937,2 1,63 1,47 139,7x6,3

1 848,6 1175,1 1,38 1,69 139,7x8,0

Tabela A.13: Estrutura REG, Verificação contraventamentos aos ELU nos pórticos da direção X


Limite

𝜴𝒎𝒂𝒙

Pórtico 3

3 281,1 486,4 1,73 1,88 139,7x3,2

1,11 1,73 1,39 2 464,7 607,1 1,31 1,89 139,7x4,0

1 679,0 752,6 1,11 2,06 139,7x5,0

Pórtico 4

3 302,1 486,4 1,61 1,88 139,7x3,2

1,05 1,61 1,31 2 491,9 607,1 1,23 1,89 139,7x4,0

1 718,5 752,6 1,05 2,06 139,7x5,0

A.1.4.3 Colunas

Tabela A.14: Estrutura REG, Verificação colunas do pórtico 1 aos ELU

Piso1 Piso 2 PISO 3

Perfil HEB 300 HEB 300 HEB 300

Eixo de Inércia yy’ zz’ yy’ zz’ yy’ zz’

𝜒 0,93 0,73 0,96 0,82 0,96 0,82

𝑁𝑏,𝑅𝑑 [kN] 3798,2 3011,9 3936,9 3382,3 3936,9 3382,3

𝑁𝐸𝑑 [kN] 2641,5 1316,5 454,5

Tabela A. 15: Estrutura REG, Verificação colunas pórtico 4 aos ELU

Piso 1 Piso 2 Piso 3


Eixo de Inércia yy zz yy zz yy zz

𝜒 0,93 0,73 0,96 0,82 0,96 0,82

𝑁𝑏,𝑅𝑑 [kN] 3798,2 3011,9 3936,9 3382,3 3936,9 3382,3

𝑁𝐸𝑑 [kN] 1704,8 879,5 324,3


133

A.2 Estrutura IRREG

Para a configuração estrutural final, a rigidez de cada pórtico resistente encontra-se na Tabela A.16:

Tabela A.16: Estrutura IRREG, Rigidez p/ pórtico

Pórtico 1, 2 e 3 Pórtico 4 e 5

dY [m] 0,1034 dX [m] 0,0925

FY [kN] 1000,0 FX [kN] 1000,0

KYi [kN/m] 9671,2 KXi [kN/m] 10813,2

A rigidez de cada pórtico tem a distribuição em planta representada na Tabela A.17:

Tabela A.17: Estrutura IRREG, Distribuição da rigidez em planta

Pórtico 1 Pórtico 3 Pórtico 2 Pórtico 5 Pórtico 4

𝑲𝒀𝒊𝑲𝒀⁄ 0,41 0,31 0,28 - -

𝑲𝑿𝒊𝑲𝑿⁄ - - - 0,5 0,5

A irregularidade da distribuição dos pórticos resulta na excentricidade em relação ao CM de

coordenadas presentes na Tabela A.18.

Tabela A.18: Estrutura IRREG, Coordenadas da excentricidade

𝐶𝑅𝑋 [m] 3,0

𝐶𝑅𝑌 [m] 0,0

A distribuição de forças sísmicas horizontais normalizada em altura para os pórticos na Dir. Y e para

os pórticos na Dir. X, encontram-se na Tabela A.19 e Tabela A.20, respectivamente.

Tabela A.19: Estrutura IRREG, Distribuição forças horizontais em altura, Pórticos na direção Y

Piso 𝒛𝒊 [𝒎] 𝒎𝒊 [𝒕𝒐𝒏] zi*mi Σzjmj 𝑭�̅�

1 4,5 122,70 552

2587

0,52

2 8,0 122,70 982 0,93

3 11,5 91,61 1054 1,00

Total 2,46

Tabela A.20: Estrutura IRREG, Distribuição forças horizontais em altura, Pórticos na direção X

Piso 𝒛𝒊 [𝒎] 𝒎𝒊 [𝒕𝒐𝒏] zi*mi Σzjmj 𝑭�̅�

1 4,5 167,84 755

3376

0,56

2 8,0 167,84 1343 1,00

3 11,5 111,14 1278 0,95

Total 2,51


134

A.2.1 Corte Basal Elástico e Verificação ELD

Tabela A.21: Estrutura IRREG, Corte basal elástico


𝑇 [𝑠] 0,72 0,83

𝑆𝐸 [𝑚. 𝑠−2] 6,13 5,32

M [ton] 817,7 893,6

𝑉𝑒 [𝑘𝑁] 4261,6 4040,1

Tabela A.22: Estrutura IRREG, Verificação deslocamento relativo entre pisos para o ELD (q=1,0)

Piso h [m] 𝑑𝑟 [𝑚] 𝑑𝑟 ∗ 𝜐 Limite

Direção Y (Pórtico 1)

3 3,5 0,027 0,013 0,035

2 3,5 0,035 0,018 0,035

1 4,5 0,047 0,024 0,045

Direção X

3 3,5 0,035 0,017 0,035

2 3,5 0,046 0,023 0,035

1 4,5 0,048 0,024 0,045

A.2.2 Estimativa do Coeficiente de Comportamento e Corte Basal de

Cálculo

Tabela A.23: Estrutura IRREG, Cálculo fator de carga pórticos direção Y

Pórtico 1

Piso 𝑁𝐸𝑑,𝐸 𝑁𝐸𝑑,G+0,3Q 𝑁𝑝𝑙,𝑅𝑑 λ Secção

3 1,33 1,14 397,60 298,09 114,3x3,2

2 2,56 3,78 937,20 364,33 139,7x6,3

1 3,69 9,69 1175,05 315,90 139,7x8,0

Pórtico 3


3 1,34 1,87 397,60 294,88 114,3x3,2

2 2,54 5,18 937,20 367,37 139,7x6,3

1 3,70 11,39 1175,05 314,42 139,7x8,0

Pórtico 2


3 1,35 1,14 397,60 294,77 114,3x3,2

2 2,53 3,88 937,20 368,90 139,7x6,3

1 3,70 9,45 1175,05 314,69 139,7x8,0

+


135

Tabela A.24: Estrutura IRREG, Cálculo fator de carga pórticos direção X

Pórtico 4 e 5


3 1,11 1,7 486,35 435,48 139,7x3,2

2 2,24 6,0 607,05 268,58 139,7x4,0

1 3,12 13,1 912,35 288,70 168,3x5,0

Tabela A.25: Estrutura IRREG, Estimativa coeficiente de comportamento p/ pórtico e corte basal de cálculo


Pórtico 1 Pórtico 3 Pórtico 2 Pórtico 4 Pórtico 5

𝑇 [𝑠] 0,72 0,83

𝑆𝐸 [𝑚. 𝑠−2] 6,13 5,32

𝑉𝑒𝑙 [𝑘𝑁] 4261,6 4040,1

𝑉𝑒𝑙,𝑖 [𝑘𝑁] 1756,4 1308,6 1196,6 2020,0 2020,0

λmin [kN] 298,1 294,9 294,77 268,6 268,6

V1Y,i [kN] 732,1 724,2 723,9 675,3 675,3

q2D 2,4 1,81 1,65 3,0 3,0

q Adopt. 3D 3,0

𝐾𝑖𝐾⁄ 0,412 0,307 0,281 0,5 0,5

𝑉𝐷 [𝑘𝑁] 1575,7 1472,1

O máximos de ambos os valores estimados por pórtico (Tabela A.25) é o valor mínimo de coeficiente

de comportamento a adotar (3,0) na escolha do coeficiente de comportamento global, i.e., para o

modelo tridimensional.

A.2.3 Coeficiente de sensibilidade

Tabela A.26: Estrutura IRREG, Cálculo coeficiente de sensibilidade

Piso 𝑑𝑟,𝑌 ∗ 𝑞3𝐷 𝐴𝑑𝑜𝑝𝑡 𝜽𝒀 𝑑𝑟,𝑋 ∗ 𝑞3𝐷 𝐴𝑑𝑜𝑝𝑡 𝜽𝑿

3 0,0229 0,007 0,0347 0,015

2 0,0302 0,013 0,0460 0,039

1 0,0405 0,017 0,0479 0,038


136

A.2.4 Verificação ELU

A.2.4.1 Vigas

Na estrutura IRREG a verificação para as vigas é em tudo semelhante ao feito para a estrutura REG

A.2.4.2 Contraventamentos

Tabela A.27: Estrutura IRREG, Verificação dos contraventamentos aos ELU nos pórticos da direção Y


Limite

𝜴𝒎𝒂𝒙

Pórtico 1

3 389,5 397,6 1,02 1,770 114,3x3,2

1,02 1,18 1,276 2 793,3 937,2 1,18 1,474 139,7x6,3

1 1131,5 1175,1 1,04 1,691 139,7x8,0

Pórtico 3

3 263,9 397,6 1,51 1,770 114,3x3,2

1,51 1,84 1,88 2 509,4 937,2 1,84 1,474 139,7x6,3

1 734,6 1175,1 1,60 1,691 139,7x8,0

Pórtico 2

3 235,9 397,6 1,69 1,474 114,3x3,2

1,69 2,09 2,11 2 447,7 937,2 2,09 1,474 139,7x6,3

1 651,3 1175,1 1,80 1,691 139,7x8,0

Tabela A.28: Estrutura IRREG, Verificação dos contraventamentos aos ELU nos pórticos da direção X


Limite

𝜴𝒎𝒂𝒙

Pórtico 4

3 368,0 486,4 1,32 1,894 139,7x3,2

1,05 1,32 1,32 2 573,8 607,1 1,06 1,894 139,7x4,0

1 865,4 912,4 1,05 1,698 168,3x5,0

Pórtico 5

3 368,1 486,4 1,32 1,894 139,7x3,2

1,05 1,32 1,32 2 574,1 607,1 1,06 1,894 139,7x4,0

1 866,2 912,4 1,05 1,698 168,3x5,0


137

A.2.4.3 Colunas

Tabela A. 29: Estrutura IRREG, Verificação colunas do pórtico 3 (mais condicionante da direção Y) aos ELU



Eixo de Inércia yy' zz' yy' zz' yy' zz'

𝜒 0,93 0,73 0,96 0,82 0,96 0,82

𝑁𝑏,𝑅𝑑 [kN] 3798,2 3011,9 3936,9 3382,3 3936,9 3382,3

𝑁𝐸𝑑 [kN] 2623,8 1348,7 506,5

Tabela A. 30: Estrutura IRREG, Verificação colunas pórticos na direção X aos ELU



Eixo de Inércia yy' zz' yy' zz' yy' zz'

𝜒 0,93 0,73 0,96 0,82 0,96 0,82

𝑁𝑏,𝑅𝑑 [kN] 3798,2 3011,9 3936,9 3382,3 3936,9 3382,3

𝑁𝐸𝑑 [kN] 1872,9 960,5 365,2


138

Anexo B Ficheiro OpenSees para a IRREG

139

Anexo B Código OpenSees da estrutura IRREG para a análise Pushover e Time-History

Dado o vasto número de linhas do código, decidiu-se apresentar aqui uma versão sucinta do código, i.e. com nós e elementos apenas respeitantes ao

Pórtico 1.

# --------------------------------------------------------------------------------------------------

# 3D model of 3-Story Concentric Braced Frame - Estrutura IRREG – Static, Pushover and Time-History analysis

#---------------------------------------------------------------------------------------------------

# Braces are defined with 10 force-based beam-column elements (with 10 IPs)

# Geometric imperfection of braces is parabolic in shape, out-of-plane, with the inital imperfection in the middle of the brace

of Leff/1000.

# Beams and columns are modeled with force-based beam-column elements

wipe; # clear memory of past model definitions

model BasicBuilder -ndm 3 -ndf 6; # Define the model builder, ndm = #dimension, ndf = #dofs

source WSection3D.tcl; # procedure for creating standard steel W section

source CHS3D.tcl; # procedure for creating CHS section --- Braces Section

source RotSpring3D.tcl; # procedure for creating Pins at Braces

source Enodes_FrX.tcl; # procedure for creating nodes to simulate initial imperfection of Braces at

Frames in Direction X

source Enodes_FrZ.tcl; # procedure for creating nodes to simulate initial imperfection of Braces at

Frames in Direction Z

###################################################################################################

# Define Building Geometry, Nodes, and Constraints

###################################################################################################

# #define structure-geometry parameters

set H_Piso1 4.5;

set H_Piso23 3.5;

set X_6m 6.;

set Z_7m 7.;

set Z_4m 4.;

# brace effective length, number of elements per brace, and initial imperfection

#puts pi

set pi [expr 2.0*asin(1.0)];

#Frame1&2 angles of braces----> Alpha for Floor 1 _ Beta for Floor 2&3

set alpha_FR12 [expr {48.37*$pi/180}]; set beta_FR12 [ expr {41.19*$pi/180}];


140

#Frame3&4 angles of braces----> Alpha for Floor 1 _ Beta for Floor 2&3

set alpha_FR34 [expr {36.87*$pi/180}]; set beta_FR34 [ expr {30.26*$pi/180}];

set noEle 10; # number of elements per brace

set p_ratio 1000.; #corresponds to 0.1% of the effective length

# ## Frame 1 & Frame 2

# Storey 1

#effective length of brace in Z direction at Floor 1

set Leff1_FrameZ [expr {sqrt( pow($Z_4m,2) + pow($H_Piso1,2))} ];

puts "Length of Storey 1 Braces in Z Direction is $Leff1_FrameZ"

set p1_Z [expr 1./$p_ratio]; #imperfection of the brace

# Storey 2 & Storey 3

#effective length of brace in Z direction at Storey 2 & Storey 3

set Leff23_FrameZ [expr {sqrt( pow($Z_4m,2) + pow($H_Piso23,2))} ];

puts "Length at Storey 2 & 3 Braces in Z Direction is $Leff23_FrameZ\n"

set p23_Z [expr 1./$p_ratio]; #imperfection of the brace

#Frame 4 & Frame 5

# Storey 1

#effective length of brace in X direction at Floor 1

set Leff1_FrameX [expr {sqrt( pow($X_6m,2) + pow($H_Piso1,2))} ];

puts "Length of Storey 1 Braces in X Direction is $Leff1_FrameX"

set p1_X [expr {1./$p_ratio} ]; #imperfection of the brace

# Storey 2 & Storey 3

#effective length of brace in X direction at Storey 2 & Storey 3

set Leff23_FrameX [expr {sqrt( pow($X_6m,2) + pow($H_Piso23,2))} ];

puts "Length at Storeys 2 & 3 Braces in X Direction is $Leff23_FrameX\n"

set p23_X [expr {1./$p_ratio} ]; #imperfection of the brace

# floor masses ( to be considered in the CM)

set g 9.81; # acceleration due to gravity

# ----------------------------------------------------------------------------------------

# Define nodes and assign masses to beam-column intersections of frame

# command: node nodeID X_Coord Y_Coord Z_Coord

# ### FRAME 1 ###

# ###GroundFloor

# LEFT

node 1 0.0 0.0 $Z_7m;


141

node 9 0.0 0.0747 $Z_7m;

node 9000 0.0 0.0747 $Z_7m;

node 10 0.0 0.0747 [ expr {$Z_7m + 0.0664} ];

node 10000 0.0 0.0747 [ expr {$Z_7m + 0.0664} ]

# RIGHT

node 2 0.0 0.0 [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 12 0.0 0.0747 [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 12000 0.0 0.0747 [expr {$Z_7m + $Z_4m}]

node 11 0.0 0.0747 [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0664}];

node 11000 0.0 0.0747 [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0664}];

# ### Storey 1

#LEFT

node 25 0.0 $H_Piso1 $Z_7m;

node 27 0.0 $H_Piso1 [ expr {$Z_7m + 0.1}];

node 27000 0.0 $H_Piso1 [ expr {$Z_7m + 0.1}];

node 53 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ] ;

node 53000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ]

node 26 0.0 [ expr {$H_Piso1 - 0.0747}] [ expr {$Z_7m + 0.0664} ];

node 26000 0.0 [ expr {$H_Piso1 - 0.0747}] [ expr {$Z_7m + 0.0664} ];

#RIGHT

node 30 0.0 $H_Piso1 [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 28 0.0 $H_Piso1 [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.1}];

node 28000 0.0 $H_Piso1 [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.1}];

node 29 0.0 [ expr {$H_Piso1 - 0.0747}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0664}];

node 29000 0.0 [ expr {$H_Piso1 - 0.0747}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0664}];

node 54 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753} ] ;

node 54000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753} ]

# ### Storey 2

#LEFT

node 55 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] $Z_7m;

node 57 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] [ expr {$Z_7m + 0.1}];

node 57000 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] [ expr {$Z_7m + 0.1}];

node 56 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ] ;

node 56000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ]

node 58 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 - 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ];

node 58000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 - 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ];

#RIGHT


142

node 59 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 261 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.1}];

node 261000 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.1}];

node 260 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753} ] ;

node 260000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753} ]

node 262 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 - 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753}];

node 262000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 - 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753}];

# ### Storey 3

#Left

node 93 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] $Z_7m;

node 94 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] [ expr {$Z_7m + 0.1}];

node 94000 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] [ expr {$Z_7m + 0.1}];

node 95 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23 - 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ];

node 95000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23 - 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ];

#RIGHT

node 98 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 96 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.1}];

node 96000 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.1}];

node 97 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23 - 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753}];

node 97000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23 - 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753}];

# --------------------------

# (...) Other Frames' Nodes

# ---------------------------------------------------------------------

# ############## Nodes to Build Offsets at Columns ###############

# Frame 1

node 25001 0.0 [expr {$H_Piso1 - 0.0747}] $Z_7m;

node 25002 0.0 [expr {$H_Piso1 + 0.0747}] $Z_7m;

node 30001 0.0 [ expr {$H_Piso1 - 0.0747}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 30002 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0747}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 55001 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 - 0.0659}] $Z_7m;

node 55002 0.0 [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] $Z_7m;

node 59001 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 - 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}];

node 59002 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}];


143

node 93001 0.0 [expr {$H_Piso1 + 2.*$H_Piso23 - 0.0659}] $Z_7m;

node 98001 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 2.*$H_Piso23 - 0.0659}] [expr {$Z_7m + $Z_4m}]

# ----------

# (...) Other Frames' Nodes

# ---------------------------------------------------------------------

puts "General Nodes defined";

# CM's Node : Master Node for Rigid Diaphragm

node 100000 [expr {$X_6m*2 + $X_6m/2}] $H_Piso1 [expr {$Z_7m + $Z_4m/2}]

node 200000 [expr {$X_6m*2 + $X_6m/2}] [expr {$H_Piso1 + $H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m/2}]

node 300000 [expr {$X_6m*2 + $X_6m/2}] [expr {$H_Piso1 + 2*$H_Piso23}] [expr {$Z_7m + $Z_4m/2}]

puts "CM Nodes defined";

# ---------------------------------------------------------------------

# ###### Define EXTRA Nodes along the braces to simulate initial imperfection

# ### Extra Nodes Procedure Convention ###

# proc Enodes_FrZZ { orient shift Xi Yi Zi Leff p noEle alpha}

# ####################################################################

# ############################ FRAME 1 ##############################

# ####################################################################

# ### Storey 1

# LEFT

set Node1000 1000

#Coordinates of the initial node ! Node 10

Enodes_FrZZ "Left" $Node1000 0.0 0.0747 [ expr {$Z_7m + 0.0664} ] [ expr {$Leff1_FrameZ - 0.2}] $p1_Z $noEle $alpha_FR12

# RIGHT

set Node1100 1100


Enodes_FrZZ "Right" $Node1100 0.0 0.0747 [expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0664}] [ expr {$Leff1_FrameZ - 0.2}] $p1_Z $noEle $alpha_FR12

# -------------------------

# #### Storey 2

# LEFT


144

set Node2000 2000


Enodes_FrZZ "Left" $Node2000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ] [ expr {$Leff23_FrameZ - 0.2}] $p23_Z

$noEle $beta_FR12

# RIGHT

set Node2100 2100


Enodes_FrZZ "Right" $Node2100 0.0 [ expr {$H_Piso1 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753} ] [ expr {$Leff23_FrameZ - 0.2}]

$p23_Z $noEle $beta_FR12

# ------------------------

# #### Storey 3

# LEFT

set Node3000 3000


Enodes_FrZZ "Left" $Node3000 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + 0.0753} ] [ expr {$Leff23_FrameZ - 0.2}]

$p23_Z $noEle $beta_FR12

# RIGHT

set Node3100 3100


Enodes_FrZZ "Right" $Node3100 0.0 [ expr {$H_Piso1 + $H_Piso23 + 0.0659}] [ expr {$Z_7m + $Z_4m - 0.0753} ] [ expr

{$Leff23_FrameZ - 0.2}] $p23_Z $noEle $beta_FR12

# -------------------------------

# (...) Other Frames' Nodes at Braces

# ------------------ DONE !!! ------------------

puts "Extra NODES along all the Braces Defined ..."

# assign boundary conditions

# ---------------------------------------------------------------

# GroundFloor Nodes All Fixed

fix 1 1 1 1 1 1 1

fix 2 1 1 1 1 1 1

fix 3 1 1 1 1 1 1


145

fix 4 1 1 1 1 1 1

fix 5 1 1 1 1 1 1

fix 6 1 1 1 1 1 1

fix 7 1 1 1 1 1 1

fix 8 1 1 1 1 1 1

fix 121 1 1 1 1 1 1

fix 126 1 1 1 1 1 1

# define Rigid Floor Diaphragm

set RigidDiaphragm ON ;

#Constraints for rigid diaphragm master nodes

# tag Dx Dy Dz Rx Ry Rz

fix 100000 0 1 0 1 0 1

fix 200000 0 1 0 1 0 1

fix 300000 0 1 0 1 0 1

#Define rigid diaphragm multi-point constrains

# NormalDir master slaves

rigidDiaphragm 2 100000 25 30 31 36 37 44 45 52 127 134 ;

rigidDiaphragm 2 200000 55 59 62 69 72 80 83 92 135 142 ;

rigidDiaphragm 2 300000 93 98 99 104 105 112 113 120 143 148 ;

# Definition of constraints for pinned beam-to-column connection & brace-to-column connection

# ### Columns _ Pins @ GroundFloor

equalDOF 9 9000 1 2 3 5; # Frame 1

equalDOF 12 12000 1 2 3 5

equalDOF 13 13000 1 2 3 5; # Frame 2

equalDOF 16 16000 1 2 3 5

equalDOF 122 122000 1 2 3 5; # Frame 3

equalDOF 124 124000 1 2 3 5

equalDOF 17 17000 1 2 3 5; # Frame 4

equalDOF 20 20000 1 2 3 5

equalDOF 21 21000 1 2 3 5; # Frame 5

equalDOF 24 24000 1 2 3 5

# -----------------------------------------------------------------------------------

# -----------------------------------------------------------------------------------

# ### Braces _ Pins @ GroundFloor Level

equalDOF 10 10000 1 2 3 4 ; # Frame 1

equalDOF 11 11000 1 2 3 4


146

equalDOF 14 14000 1 2 3 4; # Frame 2

equalDOF 15 15000 1 2 3 4

equalDOF 123 123000 1 2 3 4; # Frame 3

equalDOF 125 125000 1 2 3 4

equalDOF 18 18000 1 2 3 6; # Frame 4

equalDOF 19 19000 1 2 3 6

equalDOF 22 22000 1 2 3 6; # Frame 5

equalDOF 23 23000 1 2 3 6

# ### Braces _ Pins @ Each Floor LEVEL

equalDOF 26 26000 1 2 3 4; # Storey 1 # Frame 1

equalDOF 29 29000 1 2 3 4

equalDOF 53 53000 1 2 3 4

equalDOF 54 54000 1 2 3 4

equalDOF 58 58000 1 2 3 4; # Storey 2

equalDOF 262 262000 1 2 3 4

equalDOF 56 56000 1 2 3 4

equalDOF 260 260000 1 2 3 4

equalDOF 95 95000 1 2 3 4; # Storey 3

equalDOF 97 97000 1 2 3 4

# ----


equalDOF 35 35000 1 2 3 4

equalDOF 60 60000 1 2 3 4

equalDOF 61 61000 1 2 3 4

equalDOF 65 65000 1 2 3 4; # Storey 2

equalDOF 68 68000 1 2 3 4

equalDOF 63 63000 1 2 3 4

equalDOF 66 66000 1 2 3 4

equalDOF 101 101000 1 2 3 4; # Storey 3

equalDOF 103 103000 1 2 3 4

# ----


equalDOF 133 133000 1 2 3 4

equalDOF 128 128000 1 2 3 4

equalDOF 131 131000 1 2 3 4

equalDOF 138 138000 1 2 3 4; # Storey 2

equalDOF 141 141000 1 2 3 4


147

equalDOF 136 136000 1 2 3 4

equalDOF 139 139000 1 2 3 4

equalDOF 145 145000 1 2 3 4; # Storey 3

equalDOF 147 147000 1 2 3 4

# -------------------


equalDOF 43 43000 1 2 3 6

equalDOF 70 70000 1 2 3 6

equalDOF 71 71000 1 2 3 6

equalDOF 75 75000 1 2 3 6; # Storey 2

equalDOF 79 79000 1 2 3 6

equalDOF 73 73000 1 2 3 6

equalDOF 77 77000 1 2 3 6

equalDOF 107 107000 1 2 3 6; # Storey 3

equalDOF 111 111000 1 2 3 6

# ----


equalDOF 51 51000 1 2 3 6

equalDOF 81 81000 1 2 3 6

equalDOF 82 82000 1 2 3 6

equalDOF 86 86000 1 2 3 6; # Storey 2

equalDOF 91 91000 1 2 3 6

equalDOF 84 84000 1 2 3 6

equalDOF 89 89000 1 2 3 6

equalDOF 115 115000 1 2 3 6; # Storey 3

equalDOF 119 119000 1 2 3 6

# -----------------------------------------------------------------------------------

# -----------------------------------------------------------------------------------

# ### Beams _ Pins @ First Floor

equalDOF 27 27000 1 2 3 5 6; # Storey 1 # Frame 1

equalDOF 28 28000 1 2 3 5 6

equalDOF 57 57000 1 2 3 5 6; # Storey 2

equalDOF 261 261000 1 2 3 5 6

equalDOF 94 94000 1 2 3 5 6; # Storey 3

equalDOF 96 96000 1 2 3 5 6


equalDOF 34 34000 1 2 3 5 6


148

equalDOF 64 64000 1 2 3 5 6; # Storey 2

equalDOF 67 67000 1 2 3 5 6

equalDOF 100 1000000 1 2 3 5 6; # Storey 3

equalDOF 102 102000 1 2 3 5 6


equalDOF 132 132000 1 2 3 5 6

equalDOF 137 137000 1 2 3 5 6; # Storey 2

equalDOF 140 140000 1 2 3 5 6

equalDOF 144 144000 1 2 3 5 6; # Storey 3

equalDOF 146 146000 1 2 3 5 6

# ---------------------------


equalDOF 42 42000 1 2 3 4 5

equalDOF 74 74000 1 2 3 4 5; # Storey 2

equalDOF 78 78000 1 2 3 4 5

equalDOF 106 106000 1 2 3 4 5; # Storey 3

equalDOF 110 110000 1 2 3 4 5


equalDOF 50 50000 1 2 3 4 5

equalDOF 85 85000 1 2 3 4 5; # Storey 2

equalDOF 90 90000 1 2 3 4 5

equalDOF 114 114000 1 2 3 4 5; # Storey 3

equalDOF 118 118000 1 2 3 4 5

# -----------------------------------------------------------------------------------

# -----------------------------------------------------------------------------------

puts "Constraints( equalDOF's ) Defined!\n"

# ##################################################################################################

# Define Materials & Sections

# ##################################################################################################

# Define Material for BEAMS and COLUMNS ------> I'm trying here Steel02 also instead of Hardening

set matID_BC 1

set Fy 275000.; # Yield Stress

set Es_nonlinear 210000000. ; # Steel Young's Modulus for element nonlinearBeamColumn

set Es 210000000. ; # Steel Young's Modulus for element LinearBeamColumn

set nu 0.3; # Poisson's ratio

set Gs_nonlinear [expr {$Es_nonlinear/2./( 1.+$nu )} ]]; # Torsional stiffness Modulus for


149

NonLinearBeamColumn

set Gs [expr $Es/2./[expr 1.+$nu]]; # Torsional stiffness Modulus for

LinearBeamColumn

set Hiso 0; # Isotropic hardening Modulus

set niuh 0.01; # Strain Hardning Parameter

set Hkin [expr ($Es*$niuh)/(1-$niuh)]; # Kinematic hardening Modulus

# tag

uniaxialMaterial Hardening $matID_BC $Es_nonlinear $Fy $Hiso $Hkin;

# Define Material for BRACES

set matID_Brace 3

set matID_fatBrace 4

set Fy_b 355000.; # Yield Stress

set nu_b 0.3; # Poisson's ratio

set Gs_b [expr $Es_nonlinear/2./[expr 1.+$nu_b]]; # Torsional stiffness Modulus

# R0 cR1 cR2 a1

a2 a3 a4

uniaxialMaterial Steel02 $matID_Brace $Fy_b $Es_nonlinear $niuh 20 0.925 0.15 -0.0005 0.01 0.0005 0.01;

uniaxialMaterial Fatigue $matID_fatBrace $matID_Brace -E0 0.095 -m -0.5 -min -1.0 -max 0.04

# --------------------------------------------------------

# Offsets Multiplication in relation to the nonLinear elements characteristics

set mult [ expr {10.}];

# ---------- BRACES ------------------

set E_Torsion_Brace [ expr { 7.e11 } ]

set E_PinY_Brace [ expr { 7.e-3 } ] ; # Rotation Around LOCAL y axis _ Out of plan Rotation

# Define Material for simulating torsion restricted @ dir 4 (local axis) ___ @ FRAMES Direction ZZ

set matID_Rot_ZZ 5

set E_ROT_ZZ [expr {$E_Torsion_Brace}];

uniaxialMaterial Elastic $matID_Rot_ZZ $E_ROT_ZZ

# Define Material for simulating torsion restricted @ dir 4 (local axis) ___ @ FRAMES Direction XX

set matID_Rot_XX 6

set E_ROT_XX [expr {$E_Torsion_Brace}];

uniaxialMaterial Elastic $matID_Rot_XX $E_ROT_XX

# ----


150

# Define Material for simulating pins in direction 5 (local axis) ___ @ FRAMES Direction ZZ

set matID_HINGEY_ZZ 7

set E_HINGEY_ZZ [expr {$E_PinY_Brace}];

uniaxialMaterial Elastic $matID_HINGEY_ZZ $E_HINGEY_ZZ

# Define Material for simulating pins in direction 5 (local axis) ___ @ FRAMES Direction XX

set matID_HINGEY_XX 8

set E_HINGEY_XX [expr {$E_PinY_Brace}];

uniaxialMaterial Elastic $matID_HINGEY_XX $E_HINGEY_XX

# ----

puts "Braces' Hinges have been defined\n"

# --------------------------------------

# ######### BRACES ###########

# ######### All Hinges of Frame 1

# Storey 1

rotspring3D_azul_ZZ 420 10 10000 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ; # Left Brace

rotspring3D_azul_ZZ 421 29000 29 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ;

rotspring3D_mola_ZZ 422 11 11000 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ; # Right Brace

rotspring3D_mola_ZZ 423 26000 26 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ;

# Storey 2

rotspring3D_red_ZZ 424 53 53000 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ; # Left Brace

rotspring3D_red_ZZ 425 262000 262 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ;

rotspring3D_black_ZZ 426 54 54000 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ; # Right Brace

rotspring3D_black_ZZ 427 58000 58 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ;

# Storey 3

rotspring3D_red_ZZ 428 56 56000 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ; # Left Brace

rotspring3D_red_ZZ 429 97000 97 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ;

rotspring3D_black_ZZ 430 260 260000 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ; # Right Brace

rotspring3D_black_ZZ 431 95000 95 $matID_HINGEY_ZZ $matID_Rot_ZZ ;

# ---

# (...) All Hinges of the other Frames


151

puts "Pins on Braces have been defined\n"

# ----------------------------------------------------------------------------------------------------

# #######################################################

# ########## DEFINE ELEMENTS AND SECTIONS #########

# #######################################################

# Definition of the brace parameters

set gamma 77.; # [kN/m3] Steel's Unit Weight

#Brace CHS139.7x3.2

set BraceSecTag1 10

set ri_1 0.06665; # inner radius of the section, only for hollow sections

set ro_1 0.06985; # overall (outer) radius of the section

set A_Brace1 13.7e-4

set W_Brace1 [ expr {$gamma*$A_Brace1} ]; # Weight per unit length

#Brace CHS139.7x4.0

set BraceSecTag2 20

set ri_2 0.06585

set ro_2 0.06985



#Brace CHS139.7x5.0

set BraceSecTag3 30

set ri_3 0.06485

set ro_3 0.06985


set W_Brace3 [ expr {$gamma*$A_Brace2} ]

#Brace CHS139.7x6.3

set BraceSecTag4 40

set ri_4 0.06355

set ro_4 0.06985



#Brace CHS139.7x8.0

set BraceSecTag5 50

set ri_5 0.06185

set ro_5 0.06985



152


#Brace CHS114.3x3.2

set BraceSecTag6 60

set ri_6 0.05395

set ro_6 0.05715



#Brace CHS168.3x5.0

set BraceSecTag7 51

set ri_7 0.07915

set ro_7 0.08415



set jbrace1 6.40E-06 ; # braces' section torsional factor

set jbrace2 7.86E-06






set nfR 4; # number of radial divisions (number of "rings")

set nfT 8; # number of theta divisions in the core (number of "wedges")

# Defining CHS139.7x3.2

CHS3D $BraceSecTag1 $matID_fatBrace $BraceSecTag1 $ri_1 $ro_1 $jbrace1 $nfR $nfT













puts "Braces are defined\n"


153

# ### WSection3D { secID matID matTorsion d bf tf tw nfdw nftw nfbf nftf J}

set nfdw 50; # number of fibers along dw

set nftw 3; # number of fibers along tw

set nfbf 50; # number of fibers along bf

set nftf 9; # number of fibers along tf

# Definition of the column parameters

set ColSecTagHEB200 61

set dc200 0.20

set bfc200 0.20

set tfc200 0.015

set twc200 0.009

set A_HEB200 78.08e-4

set W_HEB200 [ expr {$gamma*$A_HEB200} ]; # Weight per lenght

set ColSecTagHEB300 70

set dc300 0.30

set bfc300 0.30

set tfc300 0.019

set twc300 0.011

set A_HEB300 149.08e-4

set W_HEB300 [ expr {$gamma*$A_HEB300} ]; # Weight per lenght

# Definition of the beams parameters _ Assign a tag number to the beam section tag

set BeamSecTagIPE270 75

set db270 0.270

set bfb270 0.135

set tfb270 0.0102

set twb270 0.0066

set A_IPE270 45.95e-4

set W_IPE270 [ expr {$gamma*$A_IPE270} ]; # Weight per lenght


set db300 0.300

set bfb300 0.150

set tfb300 0.0107

set twb300 0.0071

set A_IPE300 53.81e-4



154


set db330 0.330

set bfb330 0.160

set tfb330 0.0115

set twb330 0.0075

set A_IPE330 62.61e-4



set db360 0.360

set bfb360 0.170

set tfb360 0.0127

set twb360 0.008

set A_IPE360 72.73e-4


set jHEB200 5.928E-07 ; # column section torsional factor

set jHEB300 1.85E-06

set jIPE270 1.343E-07; # beam section torsional factor

set jIPE300 2.012E-07;

set jIPE330 2.815E-07

set jIPE360 3.732E-07;

WSection3D $ColSecTagHEB200 $matID_BC $ColSecTagHEB200 $dc200 $bfc200 $tfc200 $twc200 $nfdw $nftw $nfbf $nftf $jHEB200; #

HEB200

WSection3D $ColSecTagHEB300 $matID_BC $ColSecTagHEB300 $dc300 $bfc300 $tfc300 $twc300 $nfdw $nftw $nfbf $nftf $jHEB300; #

HEB300

WSection3D $BeamSecTagIPE270 $matID_BC $BeamSecTagIPE270 $db270 $bfb270 $tfb270 $twb270 $nfdw $nftw $nfbf $nftf $jIPE270; #

IPE270


IPE300


IPE330


IPE360

puts "All SECTIONS have been DEFINED"

# ##########################################################


155

# ################# Transformation ################

# ##########################################################

# set up geometric transformations of element

# associate a tag to column

transformation _ We´ve got columns positioned differently in the structure

set ColTransfTagXX 1; # XX is the GLOBAL AXIS parallel to the weak axis

set ColTransfTagZZ 2; # ZZ is the GLOBAL AXIS parallel to the weak axis

set BeamXXTransfTag 3; # associate a tag to Beams at Frames in X

Direction

set BeamZZTransfTag 4; # associate a tag to Beams at Frames in Z

Direction

set LEFTBraceBXXTransfTag 5; # associate a tag to LEFT braces at Frames in X

Direction

set LEFTBraceBZZTransfTag 6; # associate a tag to LEFT braces at Frames in Z

Direction - equal do Right side braces

# #################### Transf options, Linear or PDelta or Corotational

set ColTransfType PDelta ; ## Considers second-order P-Delta Effects.

set BraceTransfType Corotational; ## Corotational can be used in large displacement - small

strain __ BRACES ONLY

geomTransf $ColTransfType $ColTransfTagXX 0 0 1 ; # only columns can have PDelta effects (gravity effects)

geomTransf $ColTransfType $ColTransfTagZZ -1 0 0 ;

geomTransf Linear $BeamXXTransfTag 0 0 1;

geomTransf Linear $BeamZZTransfTag 1 0 0;

# ###### LEFT Braces of the X-Bracing diagonals have the same geometric transformation as the RIGHT Braces ######

geomTransf $BraceTransfType $LEFTBraceBXXTransfTag 0 0 -1; ### Braces in FRAME X Direction

geomTransf $BraceTransfType $LEFTBraceBZZTransfTag 1 0 0; ### Braces in FRAME Z Direction

puts "Transformations have been defined"

# ############################################

# ########## Connectivity ##############

# ############################################

set np 10;

# #####################

# ###### COLUMNS ######

# #####################

# eleID convention: "1ij", 1 = COLUMN, i=floor, j=left or right side


156

# eleTag iNode jNode np secTag transfTag

element nonlinearBeamColumn 110 9000 25001 $np $ColSecTagHEB300 $ColTransfTagZZ; # LEFT column Frame 1 ;

Storey 1

element nonlinearBeamColumn 111 12000 30001 $np $ColSecTagHEB300 $ColTransfTagZZ; # RIGHT column Frame 1


Storey 2



Storey 3


# ---

# (...)

puts "Columns Defined"

# ###################

# ###### BEAMS ######

# ###################

# eleID convention: "5ij", 5 = BEAM, i=floor, j=left or right

# eleTag iNode jNode np secTag transfTag

element nonlinearBeamColumn 510 27 28 $np $BeamSecTagIPE330 $BeamZZTransfTag; # Beam Frame 1 _ Floor 1



# (...)

puts "Beams Defined"

# ####################

# ###### BRACES ######

# ####################

set np 10

set tol 1.e-05

set maxIter 10

# ##################

# ### FRAME 1 ###

# ##################


157

# ### Storey 1 ###

# ## LEFT Brace ###

set shift_1 1000

element nonlinearBeamColumn [expr {$shift_1 + 1}] 10000 [expr {$shift_1 + 1}] $np $BraceSecTag5 $LEFTBraceBZZTransfTag -iter

$maxIter $tol; # First Element

for { set i 2 } {$i <= 9 } { incr i } {

element nonlinearBeamColumn [expr {$shift_1 + $i}] [expr {$shift_1 + $i - 1}] [expr {$shift_1 + $i}] $np $BraceSecTag5

$LEFTBraceBZZTransfTag -iter $maxIter $tol; # LEFT BRACE _ Floor 1

}

element nonlinearBeamColumn [expr {$shift_1 + 10}] [expr {$shift_1 + 9}] 29000 $np $BraceSecTag5 $LEFTBraceBZZTransfTag -iter

$maxIter $tol; # Last Element

# ## RIGHT Brace ###

set shift_2 1100



for { set i 2 } {$i <= 9 } { incr i } {



}



# ------------------------------------------------------

# ### Storey 2 ###

# ## LEFT Brace ###

set shift_1 2000



for { set i 2 } {$i <= 9 } { incr i } {




158

}




set shift_2 2100



for { set i 2 } {$i <= 9 } { incr i } {



}



# ------------------------------------------------------

# ### Storey 3 ###

# ## LEFT Brace ###

set shift_1 3000



for { set i 2 } {$i <= 9 } { incr i } {

element nonlinearBeamColumn [expr {$shift_1 + $i}] [expr {$shift_1 + $i - 1}] [expr {$shift_1 + $i}] $np

$BraceSecTag6 $LEFTBraceBZZTransfTag -iter $maxIter $tol; # LEFT BRACE _ Floor 1

}




set shift_2 3100



159


for { set i 2 } {$i <= 9 } { incr i } {



}



# ------------------------------------------------------

# (...)

# Offsets' Properties

# ###### Braces

# ### Dir ZZ

# Storey 3

set Arigid_Brace6 [ expr {$A_Brace6 * $mult}];

set Irigid_Brace6 [ expr {1.72e-06 * $mult}]

set Jrigid_Brace6 [ expr {$jbrace6 * $mult}]

# Storey 2




# Storey 1




# ### Dir XX

# Storey 3




# Storey 2




# Storey 1


160




# -------

# For Beams and Columns, local Z axis is the axis of major moment of Inertia

# ## Beams

set Arigid_IPE270 [ expr {$A_IPE270 * $mult}];

set IrigidZ_IPE270 [ expr {5.790e-05 * $mult}];

set IrigidY_IPE270 [ expr {4.199e-06 * $mult}]

set Jrigid_IPE270 [ expr {$jIPE270 * $mult}];

set IZ_IPE300 8.36e-05

set IY_IPE300 6.04e-06


set IrigidZ_IPE300 [ expr {8.36e-05 * $mult}]; # Local Z axis is the axis of major moment of Inertia

set IrigidY_IPE300 [ expr {6.04e-06 * $mult}];


set IZ_IPE330 1.177e-04 ; # Local Z axis is the axis of major moment of Inertia

set IY_IPE330 7.881e-06 ;





set IZ_IPE360 1.627e-04 ; # Local Z axis is the axis of major moment of Inertia

set IY_IPE360 1.04e-05





# -------

# ## Columns

set Arigid_HEB300 [ expr {$A_HEB300 * $mult}];

set IrigidZ_HEB300 [ expr {2.517e-04 * $mult}]; # Local Z axis is the axis of major moment of Inertia

set IrigidY_HEB300 [ expr {8.563e-05 * $mult}]

set Jrigid_HEB300 [ expr {$jHEB300 * $mult}];

# --------------------------------------------------------


161

# --------------------------------------------------------

# ########################### RIGID BRACES #####################################

# #### Frame 1

# Storey 1

# command arguments: $eleTag $iNode $jNode $A $E $G $J $Iy $Iz

$transfTag

element elasticBeamColumn 1 1 10 $Arigid_Brace5 $Es $Gs $Jrigid_Brace5 $Irigid_Brace5

$Irigid_Brace5 $LEFTBraceBZZTransfTag







# Storey 2









# Storey 3









# --------

# (...)

# ########################### RIGID BEAMS #####################################


162

# #### Frame 1

# Storey 1

# command arguments: $eleTag $iNode $jNode $A $E $G $J $Iy $Iz

$transfTag

element elasticBeamColumn 800 25 27000 $Arigid_IPE330 $Es $Gs $Jrigid_IPE330 $IrigidY_IPE330

$IrigidZ_IPE330 $BeamZZTransfTag



# Storey 2





# Storey 3





# --------

# (...)

# ########################### RIGID COLUMNS #####################################

# Frame 1

# comand arguments: $eleTag $iNode $jNode $A $E $G $J $Iy

$Iz $transfTag

element elasticBeamColumn 864 1 9 $Arigid_HEB300 $Es $Gs $Jrigid_HEB300 $IrigidY_HEB300

$IrigidZ_HEB300 $ColTransfTagZZ












163













# (...)

# #######################################################################################################

# ######################################## Slab mass #########################################

# #######################################################################################################

# ### SLAB Mass ---> At THE MASTER ode (From Rigid Diaphragm) _ CM of the Structure!

# @ Floor Level 3

set mX3 222.3

set mZ3 222.3

set mIy3 14300.3

# @ Floor Level 1 & 2

set mX12 335.7

set mZ12 297.7

set mIy12 25433.1

# ### @ All Slave Nodes (From Rigid Diaphragm) @ Each Storey

# ### Storey 3

set mF12XS3 [ expr { ( $W_Brace6*$Leff23_FrameZ/2 + $W_HEB300*($H_Piso23/2) + $W_IPE300*$Z_4m/2)/$g } ]

set mF34S3 [ expr { ( $W_Brace1*$Leff23_FrameX/2 + $W_HEB300*($H_Piso23/2) + $W_IPE330*$X_6m/2)/$g } ]

puts "Each Nodal Mass @Storey3 @Frame12X is $mF12XS3 ton"

puts "Each Nodal Mass @Storey3 @Frame34 is $mF34S3 ton\n"

# ### Storey 2


164

set mF12XS2 [ expr { ($W_Brace4*$Leff23_FrameZ/2 + $W_Brace6*$Leff23_FrameZ/2 + $W_HEB300*($H_Piso23/2 + $H_Piso23/2) +

$W_IPE330*$Z_4m/2)/$g } ]

set mF34S2 [ expr { ($W_Brace2*$Leff23_FrameX/2 + $W_Brace1*$Leff23_FrameX/2 + $W_HEB300*($H_Piso23/2 + $H_Piso23/2) +

$W_IPE360*$X_6m/2)/$g } ]



# ### Storey 1

set mF12XS1 [ expr { ($W_Brace5*$Leff1_FrameZ/2 + $W_Brace4*$Leff23_FrameZ/2 + $W_HEB300*($H_Piso1/2 + $H_Piso23/2) +

$W_IPE330*$Z_4m/2)/$g } ]

set mF34S1 [ expr { ($W_Brace7*$Leff1_FrameX/2 + $W_Brace2*$Leff23_FrameX/2 + $W_HEB300*($H_Piso1/2 + $H_Piso23/2) +

$W_IPE360*$X_6m/2)/$g } ]



#masses node tx ty tz mIx mIy mIz

mass 300000 $mX3 0 $mZ3 0 $mIy3 0

mass 200000 $mX12 0 $mZ12 0 $mIy12 0

mass 100000 $mX12 0 $mZ12 0 $mIy12 0

# Frame 1

mass 93 $mF12XS3 0 $mF12XS3 0 0 0

mass 98 $mF12XS3 0 $mF12XS3 0 0 0

mass 55 $mF12XS2 0 $mF12XS2 0 0 0

mass 59 $mF12XS2 0 $mF12XS2 0 0 0

mass 25 $mF12XS1 0 $mF12XS1 0 0 0

mass 30 $mF12XS1 0 $mF12XS1 0 0 0

# -------

# (...)

# -------

# Frame 5

mass 120 $mF34S3 0 $mF34S3 0 0 0

mass 113 $mF34S3 0 $mF34S3 0 0 0

mass 92 $mF34S2 0 $mF34S2 0 0 0

mass 83 $mF34S2 0 $mF34S2 0 0 0

mass 52 $mF34S1 0 $mF34S1 0 0 0

mass 45 $mF34S1 0 $mF34S1 0 0 0

puts "Mass Has been applied\n"


165

# #######################################################################################################

# ############################### Gravity Loads & Gravity Analysis #########################

# #######################################################################################################

puts "Load Definition Started"

# #### Frame 1 & 2 -> Point Loads @ Columns

# Storey 1 & 2

set G_Floor12_int12 -43.23

set Q_Floor12_int12 -22.0

set ED_Floor12_int12 [expr {$G_Floor12_int12*1.0+$Q_Floor12_int12*0.3} ]

# Storey 3



set ED_Floor3_int12 [expr {$G_Floor3_int12*1.0+$Q_Floor3_int12*0.3} ]

# #### Frame 3 -> Point Loads @ Columns

# Storey 1 & 2

set G_Floor12_intExtra -86.46

set Q_Floor12_intExtra -44.0

set ED_Floor12_intExtra [expr {$G_Floor12_intExtra*1.0+$Q_Floor12_intExtra*0.3} ]

# Storey 3

set G_Floor3_intExtra -86.46

set Q_Floor3_intExtra -22.0

set ED_Floor3_intExtra [expr {$G_Floor3_intExtra*1.0+$Q_Floor3_intExtra*0.3} ]

# #### Frame 4 & 5 -> Point Loads @ Columns

# Storey 1 & 2



set ED_Floor12_int34 [expr { $G_Floor12_int34*1.0+$Q_Floor12_int34*0.3} ]

# Storey 3



set ED_Floor3_int34 [expr { $G_Floor3_int34*1.0+$Q_Floor3_int34*0.3} ]

# ------------------------------

# #### Frames 4 & 5 -> Point Loads ALONG Beam Span

# Storey 1 & 2

set G_Floor12_span34 -27.51


166

set Q_Floor12_span34 -14.0

set ED_Floor12_span34 [expr {$G_Floor12_span34*1.0+$Q_Floor12_span34*0.3} ]

# Storey 3

set G_Floor3_span34 -27.51

set Q_Floor3_span34 -7.0

set ED_Floor3_span34 [expr {$G_Floor3_span34*1.0+$Q_Floor3_span34*0.3} ]

# -----------------------------------

# #### Frame 1 & 2 -> Distributed Loads Along the BEAMS

# Storey 1 & 2

set G_Floor12_dist12 -17.23

set Q_Floor12_dist12 -2.0

set ED_Floor12_dist12 [expr {$G_Floor12_dist12*1.0 + $Q_Floor12_dist12*0.3} ]

# Storey 3

set G_Floor3_dist12 -3.93

set Q_Floor3_dist12 -1.0

set ED_Floor3_dist12 [expr {$G_Floor3_dist12*1.0 + $Q_Floor3_dist12*0.3 } ]

# #### Frame 3 -> Distributed Loads along the BEAMS

# Storey 1 & 2

set G_Floor12_distExtra -7.86

set Q_Floor12_distExtra -4.0

set ED_Floor12_distExtra [expr {$G_Floor12_distExtra*1.0 + $Q_Floor12_distExtra*0.3} ]

# Storey 3

set G_Floor3_distExtra -7.86

set Q_Floor3_distExtra -2.0

set ED_Floor3_distExtra [expr {$G_Floor3_distExtra*1.0 + $Q_Floor3_distExtra*0.3 } ]

# #### Frame 4 & 5 -> Distributed Loads along the BEAMS

# Storey 1 & 2

set G_Floor12_wall34 -13.3

# Storey 3 __ There ain't no Distributed Loads @ Storey 3 !!!

#set G_Floor3_dist34 -3.93

#set Q_Floor3_dist34 -1.0

#set ED_Floor3_dist34 [expr {$G_Floor3_dist34*1.0 + $Q_Floor3_dist34*0.3 }]

set PL_Gravity 1


167

set F 1000.; #F=1000kN a ser aplicada no CM!!!

pattern Plain $PL_Gravity Linear { ;

# ###################################

# #### Point Loads @ Slave Nodes ####

# ###################################

# FRAME 1

load 93 0 $ED_Floor3_int12 0 0 0 0;

load 98 0 $ED_Floor3_int12 0 0 0 0;

load 55 0 $ED_Floor12_int12 0 0 0 0;

load 59 0 $ED_Floor12_int12 0 0 0 0;

load 25 0 $ED_Floor12_int12 0 0 0 0;

load 30 0 $ED_Floor12_int12 0 0 0 0;

# (...)

# Frame 5

load 120 0 $ED_Floor3_int34 0 0 0 0;

load 113 0 $ED_Floor3_int34 0 0 0 0;

load 92 0 $ED_Floor12_int34 0 0 0 0;

load 83 0 $ED_Floor12_int34 0 0 0 0;

load 52 0 $ED_Floor12_int34 0 0 0 0;

load 45 0 $ED_Floor12_int34 0 0 0 0;

# load 300000 $F 0 $F 0 0 0;

# ###############

# #### BEAMS ####

# ###############

# #### Frame 4 & 4 ####

# Point Loads

eleLoad -range 532 533 -type -beamPoint [ expr {$ED_Floor3_span34}] 0.0 [ expr {1./3.} ];







168

# Walls Load

eleLoad -ele 522 -type -beamUniform [ expr {$G_Floor12_wall34}] 0.0;




# #### FRAME 1 & 2 & Extra #####

eleLoad -ele 530 -type -beamUniform [ expr {-$ED_Floor3_dist12}] 0.0;


eleLoad -ele 534 -type -beamUniform [ expr {-$ED_Floor3_distExtra}] 0.0;







# #########################

# ###### Self Weight ######

# #########################

# ### BEAMS _ kN/m

# Frame 1 & 2

for {set ielement 530} {$ielement<=531} {incr ielement 1} {

eleLoad -ele $ielement -type -beamUniform [expr $W_IPE300] 0.0 }





# Frame 3

eleLoad -ele 534 -type -beamUniform [expr $W_IPE270] 0.0



# ---

# Frame 4 & 4


eleLoad -ele $ielement -type -beamUniform [expr -$W_IPE330] 0.0 }





169


# -------------

# #### COLUMNS _ kN/m


eleLoad -ele $ielement -type -beamUniform 0.0 0.0 [expr -$W_HEB300] }





# -------

# #### BRACES _ kN/m

# FRAME 1

for {set ielement 3001} {$ielement<=3010} {incr ielement 1} {eleLoad -ele $ielement -type -beamUniform 0.0 0.0 [expr -

$W_Brace6] };


$W_Brace6] }


$W_Brace4] };


$W_Brace4] }


$W_Brace5] };


$W_Brace5] }

}

puts "Load Definition Success ! \n"

# -------------------------------------------------------------------------------------------

# #######################################################################################################

# ################################## Eigenvalue Analysis #################################

# #######################################################################################################

set pi [expr 2.0*asin(1.0)]


170

set nModes 3;

set lambdaN [eigen -fullGenLapack 3]

set lambdaI [lindex $lambdaN [expr 0]]

set lambdaJ [lindex $lambdaN [expr $nModes - 2]]

set lambdaK [lindex $lambdaN [expr $nModes - 1]]

set sqroot1 [expr { pow( $lambdaI,0.5) }]

set sqroot2 [expr { pow( $lambdaJ,0.5) }]

set sqroot3 [expr { pow( $lambdaK,0.5) }]

set T1 [expr {2.0*$pi/$sqroot1} ];



puts "T1 = $T1 s\n"

puts "T2 = $T2 s\n"

puts "T3 = $T3 s\n"

set period "FINAL__modes_Periods_IRREG_3St.txt"

set Periods [ open $period "w" ]

puts $Periods "T1 is $T1 sec\n"



close $Periods

# #######################################################################################

# ############################### MODEL DISPLAY #########################

# #######################################################################################

recorder display "Str8 Model 3D View" 10 10 500 500 -wipe

prp 0 0 50; #prp [expr {2*$X_6m + $X_6m/2}] [expr {$H_Piso1}] [expr {$Z_7m + $Z_4m/2}]

vup 0 1 0

vpn 2 -1 1

viewWindow -13 13 -13 13

display 1 2 3 ;# display 1 2 10

puts "Model is displayed\n"

# Display Graphical 1st Mode Shape

recorder display "Mode Shape 1 " 510 10 500 500 -wipe

prp 0 0 50

vup 0 1 0

vpn 2 -1 1


display -1 2 3

puts "1st mode Shape is displayed\n"


171

# Display Graphical 2nd Mode Shape

recorder display "Mode Shape 2" 1010 10 500 500 -wipe

prp 0 0 50

vup 0 1 0

vpn 2 -1 1


display -2 2 3

puts "2nd mode Shape is displayed\n"

# ----------------------------------------------------

set Tol 1.0e-05;

# STATIC analysis commands

constraints Penalty 1.0e15 1.0e15

numberer RCM; # renumber dof´s as to minimize band-width

system BandGeneral;

test NormDispIncr $Tol 10;

algorithm Newton;

set NstepGravity 10;

set DGravity [expr {1.0/$NstepGravity}];

integrator LoadControl $DGravity;

analysis Static; # Static or Transient analysis

analyze $NstepGravity;

loadConst -time 0.0

puts "Model Built\n"

# ---------------------------------------------------------------------------------------------------

# ####### HERE we decide whether it's a PushOver[PO] or TimeHistory[TH] analysis #######

#set analysisType "pushover"

set analysisType "dynamic"

# ---------------------------------

# ###########################################################################

# ############ Pushover Analysis ###############

# ###########################################################################


172

if {$analysisType == "pushover"} {

puts "Running Pushover...\n"

# assign lateral loads and create load pattern: use ASCE 7-10 distribution

set PL_LateralForces 2

# Distribution is the same in both directions. ### First we're testing ZZ direction

set LoadPattern ModalZZ ; # Here WE CHOOSE THE TYPE OF LOAD PATTERN !!!

if {$LoadPattern == "UniformXX"} {

pattern Plain $PL_LateralForces Linear {

# MODAL LOAD ZZ # UNIFORM LOAD ZZ # MODAL LOAD XX

# UNIFORM LOAD XX

load 300000 0.25 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ; # 0.41 # 0.27 # 0.38

# 0.25

load 200000 0.38 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ; # 0.38 # 0.36 # 0.40

# 0.38

load 100000 0.38 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ; # 0.21 # 0.36 # 0.22

# 0.38

set DataDir1 IRREG_3Storey_PO_UniformXX ;

}

}

if {$LoadPattern == "ModalXX"} {



# UNIFORM LOAD XX

load 300000 0.38 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ; # 0.41 # 0.27 # 0.38

# 0.25

load 200000 0.40 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ; # 0.38 # 0.36 # 0.40

# 0.38

load 100000 0.22 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ; # 0.21 # 0.36 # 0.22

# 0.38


173

set DataDir1 IRREG_3Storey_PO_ModalXX ;

}

}

if {$LoadPattern == "UniformZZ"} {



# UNIFORM LOAD XX

load 300000 0.0 0.0 0.27 0.0 0.0 0.0 ; # 0.41 # 0.27 # 0.38

# 0.25

load 200000 0.0 0.0 0.36 0.0 0.0 0.0 ; # 0.38 # 0.36 # 0.40

# 0.38

load 100000 0.0 0.0 0.36 0.0 0.0 0.0 ; # 0.21 # 0.36 # 0.22

# 0.38

set DataDir1 IRREG_3Storey_PO_UniformZZ ;

}

}

if {$LoadPattern == "ModalZZ"} {



# UNIFORM LOAD XX

load 300000 0.0 0.0 0.41 0.0 0.0 0.0 ; # 0.41 # 0.27 # 0.38

# 0.25

load 200000 0.0 0.0 0.38 0.0 0.0 0.0 ; # 0.38 # 0.36 # 0.40

# 0.38

load 100000 0.0 0.0 0.21 0.0 0.0 0.0 ; # 0.21 # 0.36 # 0.22

# 0.38

set DataDir1 IRREG_3Storey_PO_ModalZZ ;

}

}

# displacement parameters

set IDctrlNode 300000; # node where disp is read for disp control


174

set IDctrlDOF 3; # degree of freedom read for disp control ( 1 = x displacement

; 3 = z displacement )

set Drift 0.05; # 5% of structure's Total Height is EC8 limit ...

(Where's that written @ EC8 ?)

set Dmax1 [ expr { $Drift * ($H_Piso1 + 2*$H_Piso23) }]

# set Dmax2 0.5; # maximum displacement of pushover ;

About 0.6m is a reasonable

puts "Displacement at the top is $Dmax1 m \n"

# puts "Displacement at the top is $Dmax2 m\n"

set NstepPushover 1000

set DPushover [expr {$Dmax1/$NstepPushover} ]; # displacement increment

# set DPushover [ expr {$Dmax2/$NstepPushover} ]

puts "Dincr is $DPushover m\n";

# ###### Pushover analysis commands ##########

constraints Penalty 1.0e15 1.0e15

numberer RCM;

system ProfileSPD;

test NormDispIncr 1.0e-05 50 ;

algorithm Newton;

integrator DisplacementControl $IDctrlNode $IDctrlDOF $DPushover ;

analysis Static;

analyze $NstepPushover

puts "$LoadPattern just run\n"

puts "Top Displacement = [nodeDisp 300000 3] m \n"

puts "Target Displacement(0.05H) = $Dmax1\n"

puts "Pushover complete\n"; # display this message in the command window

}

# ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

# ###########################################################################

# ############## Time-History Analysis ###############

# ###########################################################################

if {$analysisType == "dynamic"} {


175

puts "Running Transient Analysis...\n"

# Define Damping -------------------- Damping assign only to elements ???

set pi [expr {2.0*asin(1.0)} ];

set xDamp 0.025; # damping ratio (0.02-0.05-typical) _ Specified for the First Mode only in this paper

set alphaM 0.0; # stiffness-prop. RAYLEIGH damping parameter; D = alphaM*M ;

M - Mass Matrix

set betaK [ expr {2.0*$xDamp*$T1/(2.*$pi)} ] ; # stiffness proportional damping; +beatK*KCurrent ; sqroot1 is w1, the

natural (1st Mode) frequency of the structure

set betaKinit [ expr {2.0*$xDamp*$T1/(2.*$pi)} ]; # initial-stiffness proportional

damping; +beatKinit*Kini ; Kinit - stiffness matrix at initial state

set betaKcomm [ expr {2.0*$xDamp*$T1/(2.*$pi)} ]; # mass-prop. RAYLEIGH damping

parameter; +betaKcomm*KlastCommitt ; KlastCommitt - stiffness matrix at last-committed state

# On this paper Damping Matrix is only proportional to Stiffness Matrix !!!

#assign Stiffness proportional damping to columns, beams, braces and gusset plate of a braced frame

# ###### Columns ######

region 1 -eleRange 110 119 -rayleigh $alphaM $betaK $betaKinit $betaKcomm;



# ###### Beams ######




# ####### Braces ######

# #### Frame 1

# Storey 1

region 10 -eleRange 1001 1010 -rayleigh $alphaM $betaK $betaKinit $betaKcomm; #LEFT

region 11 -eleRange 1101 1110 -rayleigh $alphaM $betaK $betaKinit $betaKcomm; #RIGHT

# Storey 2




176

# Storey 3



# (...)

# EQ15 Parameters

set NumSteps 5001;

set dt 0.005;

set Scalefact 6.00;

set GMtime [ expr { $dt * $NumSteps} ]; # total time of ground motion

# TimeSeries

timeSeries Path 150 -dt $dt -filePath EQ15_TCU068_E.txt -factor [ expr { $Scalefact * $g}];

timeSeries Path 151 -dt $dt -filePath EQ15_TCU068_N.txt -factor [ expr { $Scalefact * $g}];

# Define load pattern

# --------------------

# Pattern_ID Direction of Excitation

pattern UniformExcitation 2 1 -accel 150; # Dir. XX

pattern UniformExcitation 3 3 -accel 151; # Dir. ZZ

# ##### Dynamic commands #####

set dt_analysis [ expr { $dt }]

set NumSteps_analysis [ expr { round($GMtime/$dt_analysis) }];

set Tol 1.0e-05

constraints Penalty 1.0e15 1.0e15;

numberer RCM

system BandGeneral

test NormDispIncr $Tol 50

algorithm Newton

integrator Newmark 0.5 0.25

analysis Transient;


177

set ok 0

set currentTime [getTime]

while {$ok == 0 && $currentTime < $GMtime} {

set ok [analyze 1 $dt_analysis]

set dt_analysis_2 [expr {$dt/5} ];

set Tol_2 [expr $Tol*10];

if {$ok != 0} {

puts " ---> trying with a smaller time-step\n";

algorithm Newton;

test NormDispIncr $Tol 100 0;

set ok [analyze 20 $dt_analysis_2];

}

if {$ok != 0} {

puts " ---> trying with a larger tolerance\n";

algorithm Newton;

test NormDispIncr $Tol_2 100 0;

set ok [analyze 1 $dt_analysis_2]

}

if {$ok != 0} {

puts " ---> Newton failed... Let's try Newton -initial\n"

algorithm Newton -initial

test NormDispIncr $Tol_2 100 0


}

if {$ok != 0} {

puts " ---> Newton failed... Let's try NewtonLineSearch \n"

algorithm NewtonLineSearch



}

if {$ok != 0} {

puts " ---> Newton failed... Let's try Newton -initialThenCurrent \n"

algorithm Newton -initialThenCurrent




178

}

if {$ok != 0} {

puts "Newton failed... Let's try ModifiedNewton \n"

algorithm ModifiedNewton



}

set currentTime [getTime]

puts " $ID_EQ --> Current Time is $currentTime\n"

}

# Print a message to indicate if analysis successful or not

if {$ok == 0} {

puts "Transient analysis completed SUCCESSFULLY. $ID_EQ Ended @ Time: [getTime] s. GMtime: $GMtime s ";

} else {

puts "Transient analysis completed FAILED. $ID_EQ Ended @ Time: [getTime] s. GMtime: $GMtime s ";

}

}

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Dimensionamento e Avaliação sísmica de um edifício ... · Dimensionamento e Avaliação sísmica de um edifício metálico irregular contraventado de 3 pisos ... Professora Doutora