DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO DE GASODUTOSroncada.synthasite.com/resources/DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO … · 3.1. Equação Geral do Escoamento de Gás em Dutos No desenvolvimento

Abastecimento – Logística

DIMENSIONAMENTO TERMO-HIDRÁULICO DE GASODUTOS

Março 2007

Pedro Roncada Borges Consultor de Negócio

AB-LO

Publicação autorizada pela Petrobras - Gerência Executiva de Abastecimento-Logística - Documento AB-LO 08/2009, 29/09/2009


ÍNDICE

1. OBJETIVO 12. BASES DO MÉTODO DE CÁLCULO 13. EQUAÇÕES BÁSICAS 1

3.1. Equação Geral do Escoamento de Gás em Dutos 13.2. Equação da Variação da Temperatura com a Distância 33.3. Solução Conjunta das Equações 5

4. EQUAÇÕES COMPLEMENTARES 84.1. Densidade específica em relação ao ar – G 84.2. Lei dos Gases Reais 84.3. Massa específica do gás nas condições base - ρb 94.4. Massa específica do gás - ρ 94.5. Viscosidade dinâmica do gás - μ 94.6. Número de Reynolds – Re 104.7. Pressão Absoluta Média – Pm 104.8. Fator de atrito – f 104.9. Velocidade do gás – v 144.10. Conversão entre condições 144.11. Velocidade do som – c 144.12. Empacotamento do gasoduto 154.13. Propriedades Termodinâmicas do Gás Natural 164.14. Espessuras e Massa de Aço 164.15. Área Interna e Externa 174.16. Diâmetro Interno Médio Estimado 184.17. Diâmetro Externo Estimado 184.18. Estimativa da Temperatura do Solo – Ts 194.19. Temperatura do Solo ao Redor de um Duto Aquecido 21

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 24ANEXO I: NÚMERO DE REYNOLDS DE TRANSIÇÃO 26ANEXO II: COMPARAÇÃO EQUAÇÕES COLEBROOK-WHITE E AGA 28


1


1. OBJETIVO

Este documento tem por objetivo consolidar o método de cálculo para o dimensionamento termo-hidráulico de gasodutos de transporte de gás natural operando com fluxo monofásico subsônico em regime permanente.

2. BASES DO MÉTODO DE CÁLCULO

Por serem baseadas em princípios físicos e termodinâmicos e verificadas com dados obtidos de gasodutos reais em operação, serão adotadas a equação de fluxo desenvolvida pelo Projeto NB-13 da American Gas Association (AGA) 1 para fluxo isotérmico e a equação desenvolvida por King 2 para a variação de temperatura do gás ao longo do gasoduto. 3. EQUAÇÕES BÁSICAS

3.1. Equação Geral do Escoamento de Gás em Dutos No desenvolvimento da equação de fluxo da AGA, a partir dos princípios de conservação da quantidade de movimento e da conservação da massa, além de ser admitido fluxo monofásico subsônico e regime permanente, foram adotadas as seguintes premissas simplificadoras relacionadas a seguir:

a) O fluxo é assumido como isotérmico, ou tão próximo de condições

isotérmicas que a temperatura de fluxo possa ser caracterizada com precisão por um valor médio na qual se comportaria como realmente o faz;

b) A compressibilidade do gás é assumida como constante ou que tenha

variação tal que possa ser caracterizada com precisão por um valor médio considerado constante ao longo do gasoduto, determinado considerando-se valores médios corretamente estabelecidos para a pressão e temperatura;

c) As variações de energia cinética do gás ao longo do gasoduto são

assumidas como negligíveis, sendo desconsideradas;

d) A relação de Darcy-Weisbach para as perdas de fricção é suposta como válida ao longo de todo o gasoduto;

e) É assumido que a velocidade média aparente represente com precisão

a velocidade de fluxo em uma secção transversal do duto;

f) O coeficiente de fricção por unidade de comprimento do gasoduto é assumido constante ao longo da linha, isto é, assumido como independente da pressão, do perfil e do comprimento;


2

g) A variação da pressão com as mudanças de elevação do perfil é assumida como caracterizada com precisão como uma função da massa específica média constante determinada com valores médios corretamente estabelecidos da pressão e temperatura;

h) É assumido que a aceleração da gravidade tenha valor numérico igual

ao da constante dimensional da segunda lei de Newton, isto é, g/gc=1,0. A equação da AGA foi transformada para permitir o uso de unidades mais utilizadas na prática, o uso do fator de atrito de Darcy-Weisbach em substituição do fator de atrito de Fanning utilizado pela AGA, a condição base de referência de volume adotada no país (20 °C e 1 atmosfera absoluta) e o uso de uma eficiência obtida da prática.

A equação geral de fluxo resultante é:

5.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−=

LTz)H(HPc

LzT GPP

fDecQ 2

m2

122m2

m

22

21

2.5

f1b [1]

onde: Qb = Vazão volumétrica nas condições base (20 °C e 1 atm), m3/dia ef = Eficiência (gás seco = 1), adimensional D = Diâmetro interno do duto, in L = Comprimento do duto, km f = Fator de atrito de Darcy-Weisbach, adimensional P1 = Pressão absoluta inicial, kgf/cm2 abs. P2 = Pressão absoluta final, kgf/cm2 abs. Pm = Pressão absoluta média, kgf/cm2 abs. G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional H1 = Elevação inicial, m H2 = Elevação final, m z = Fator de compressibilidade do gás @ Pm e Tm, adimensional Tm = Temperatura absoluta média do gás, °K c1 = Constante = 1060,7356425 c2 = Constante = 0,06835

O segundo termo entre colchetes, que compensa as variações de pressão com as mudanças de elevação do perfil, pode ser desprezado quando estas forem negligíveis e se anula em gasodutos horizontais.

Deve ser notado que a premissa adotada de que o efeito das mudanças de elevação possa ser caracterizado por uma massa específica média pode gerar erros se o perfil for muito acidentado, uma vez que a massa específica do gás está variando ao longo do gasoduto. Assim, mudanças iguais de elevação no início ou no final do gasoduto provocam diferentes variações de pressão em virtude da diferença de massa específica do gás. Também, mesmo que as elevações inicial e final coincidam, a variação de pressão será diferente


3

daquela observada em um gasoduto horizontal. Nesses casos, deve-se analisar o gasoduto em trechos para se determinar a variação de pressão com precisão. 3.2. Equação da Variação da Temperatura com a Distância No desenvolvimento da equação da variação da temperatura com a distância, a partir do princípio de conservação de energia, além de ser admitido fluxo monofásico subsônico e regime permanente, foi assumido que:

a) As variações de energia cinética do gás ao longo do gasoduto são

assumidas como negligíveis, sendo desconsideradas;

b) A resistência ao fluxo de calor da película interna de gás, da parede de aço da tubulação e do revestimento anticorrosivo externo ao tubo foram consideradas desprezíveis em relação à resistência do solo, e foram desconsideradas;

c) Não ocorre a aplicação de trabalho sobre o gás nem este realiza

trabalho, o que é típico em trechos de gasoduto entre estações de compressão;

d) As propriedades termodinâmicas do gás, calor específico a pressão

constante e coeficiente de Joule-Thomson, e os gradientes de pressão e de elevação são considerados constantes ao longo do gasoduto;

e) É assumido que a temperatura de uma secção transversal do duto seja

a temperatura média aparente da secção;

f) A aceleração da gravidade tenha valor numérico igual ao da constante dimensional da segunda lei de Newton, isto é, g/gc=1,0.

As equações propostas por King foram transformadas para permitir o uso de unidades mais utilizadas na prática e a condição base de referência de volume adotada no país (20 °C e 1 atmosfera absoluta). A equação resultante da variação da temperatura com a distância é:

( )

aTx-La).eaT2(TaTax).eaT1(TxT +−=+−−= [2]

Portanto: aTaL).eaT1(T2T +−−= e aTaL).eaT2(T1T +−=

O parâmetro a, em km-1, que é a razão entre o fluxo de calor trocado entre o solo e o gasoduto, por unidade de comprimento do gasoduto, e o fluxo de calor carreado pela massa de gás que flui é dado por:

)1b(b ln c GQsk c

=a2

pb

3

−+


4

O parâmetro b, adimensional, que é a razão entre a profundidade de enterramento do centro do duto e o raio externo do gasoduto, é dado por:

Deyc=b b4

A temperatura absoluta assintótica do gás Ta, em °K , é dada por:

( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−−+= 1H2H

pc 5c

1P2P JTCL a

1sTaT

onde: Tx = Temperatura absoluta do gás na distância x, °K T1 = Temperatura absoluta inicial do gás, °K T2 = Temperatura absoluta final do gás, °K Ts = Temperatura absoluta do solo, °K CJT = Coeficiente de Joule-Thomson, °K / kgf/cm2 P2 = Pressão absoluta final, kgf/cm2 P1 = Pressão absoluta inicial, kgf/cm2 H2 = Elevação final, m H1 = Elevação inicial,m L = comprimento, km x = Distância da origem, km cp = Calor específico à pressão constante, kcal / kg.°K ks = Condutividade térmica do solo, kcal/(h.m.°K) Qb = Vazão volumétrica nas condições base (20 °C e 1 atm), m3/dia G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional yb = Profundidade do centro do duto, m De = Diâmetro externo do duto, in c3 = Constante = 125277,434 c4 = Constante = 78,74016 c5 = Constante = 0,0023423

Deve-se notar que a equação de King situa-se em um meio termo entre as equações de Coulter 4, que não despreza a variação de energia cinética, e de Coulter-Bardon 5, que desconsidera a variação de energia cinética e de energia potencial. Também, deve-se notar que, para gasodutos horizontais, o segundo termo entre colchetes da equação da temperatura absoluta assintótica do gás Ta se anula e a equação de King se reduz à equação de Coulter-Bardon. Em estudos de validação, King 3 comparou as perdas de temperatura calculadas por sua equação e as observadas em todos os meses do ano em 2 gasodutos reais de 30” e 36”, em secções que variaram em comprimento entre 37 e 175 milhas e vazões que variaram entre 600 e 1000 milhões ft3/dia. As propriedades do gás, tais como o coeficiente de Joule-Thomson e calor específico a pressão constante, foram avaliadas na pressão e temperatura médias para cada secção usando-se uma equação de estado. A condutividade térmica do solo adotada em todos os cálculos foi de 0,8 BTU/ft.°F.h.


5

Cerca de 70% das predições de perda de temperatura ficaram dentro de ± 10% dos valores medidos. Como a precisão da predição da condutividade térmica do solo dificilmente é melhor que 10 a 20% e como a temperatura do solo ao longo do gasoduto somente pode ser estimada com uma precisão de 5 °F, King concluiu que a perda de temperatura ao longo de um gasoduto somente pode ser estimada com uma precisão de 10%. Afirma que a precisão da equação excede a precisão com que os parâmetros geotérmicos podem ser estimados e, portanto, é suficientemente precisa para cálculos de engenharia. A partir da equação da variação da temperatura com a distância pode-se obter a equação da temperatura absoluta média do gás – Tm:

( ) ( ) aaLa2

aaLa1

L

0xm Te1-

aLT-TT1e

aLT-TdxT

L1T +=+−== −∫ [3]

A tabela a seguir mostra valores típicos para a condutividade térmica do solo:

Tipo de Terreno

Condutividade Térmica

kcal/(h.m.°K)

Natural seco Saibroso seco Saibroso úmido Saibroso molhado Argiloso úmido Rochoso granítico Rochoso quartzífero

0,7 a 1,0 0,26 a 0,28 2,5 a 3,0 5,0 a 6,5 2,0 a 3,0 2,7 a 3,6 6,3 a 8,8

3.3. Solução Conjunta das Equações Além do cálculo da variável Qb, a equação [1] pode ser transformada para o cálculo das variáveis P1, P2, L e D, conhecidas as demais. Nas equações [2] e [3] é necessário conhecer-se ou T1 ou T2 para que o problema possa ser resolvido. As propriedades médias do gás z, ρ, μ, cp e CJT devem ser calculadas na pressão Pm e temperatura Tm. Na equação [1] a variável f é dependente de Pm e Tm, pois depende de Re que depende de μ. Nas equações [2] e [3] o parâmetro a depende de cp e o parâmetro Ta depende de cp e CJT e, portanto são dependentes de Pm e Tm. Na equação [15] tem-se que conhecer ou estimar as pressões P1 e P2 para o cálculo de Pm. O parâmetro Ta também depende de P1 e P2.

Assim, a solução conjunta das equações tem que ser feita por um processo iterativo sempre se usando os valores obtidos no último cálculo. O diagrama a seguir, exemplifica o processo para o cálculo de P1 e T2 dados T1 e as demais variáveis básicas:


6

Para o cálculo de P2 pode-se seguir um processo semelhante, porém antecedido do cálculo da vazão com a pressão P1 dada e P2 = 0, conforme o diagrama que se segue. O problema é insolúvel se a vazão dada é maior que essa vazão calculada com a pressão de saída igual a zero. O diagrama a seguir, exemplifica o processo para o cálculo de Qb e T2 dados T1 e as demais variáveis básicas, que pode ser adaptado para o cálculo das variáveis L e D:

Estima-se Qb e Tm Calcula-se Pm

Calcula-se cp, CJT, a, Ta, T2 e Tm

|ΔTm| < Tol T?

Calcula-se z, ρ, μ, Re, f e Qb

Fim

Início

S

N

Estima-se P1 e Tm Calcula-se Pm

Calcula-se cp, CJT, a, Ta, T2 e Tm

|ΔTm| < Tol T?

Calcula-se z, ρ, μ, Re, f, P1 e Pm

|ΔPm| < Tol P?

Fim

Início

S

N

S

N


7

As propriedades do gás z, μ, cp e CJT variam ao longo do gasoduto. Para maior precisão no cálculo deve-se dividir o gasoduto em trechos. A figura a seguir ilustra a variação dessas propriedades e do fator de atrito para um duto de 16” de diâmetro, 160 km de extensão, relação P1 /P2 de 1,6 entre a pressão inicial e final do gasoduto, com 100 kgf/cm2 abs. e 55°C no início:

Valores Médios nos 20 segmentos de 8 km

Diâmetro 16" , 160 km, P1 =100 kgf/cm2 e P1/P2 = 1,6

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distãncia da Origem, km

z, c

p e

Cjt

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

f e v

isco

sida

de

z cp, kcal/kg°K Cjt, °K/kgf/cm2 viscosidade, cpoise f Entretanto, para relações P1/P2 menores que 2, o erro cometido no cálculo da pressão e temperatura finais não é grande, como mostra a figura a seguir para dutos de 16” e 26” de diâmetro, de 160 km de extensão com 100 kgf/cm2 abs. e 55°C no início:

Erro na Pressão e Temperatura Finais

Cálculo em 1 Segmento de 160 km em vez de 20 de 8 km

-0,50%

-0,25%

0,00%

0,25%

0,50%

0,75%

1,00%

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

P1/P2

erro

per

cent

ual

erro p2 -16" erro t2 - 16" erro p2 - 26" erro t2 - 26"


8

Notar que na equação [1] o diâmetro é interno e nas equações [2] e [3] o diâmetro é externo, que é padronizado pelas normas de fabricação de tubos. Este pode ser estimado em função do diâmetro interno, para fins de realização dos cálculos térmicos, conforme o item 4.17.

4. EQUAÇÕES COMPLEMENTARES

4.1. Densidade específica em relação ao ar – G A densidade específica do gás em relação ao ar é calculada por:

28,9644M

MMG

ar

== [4]

onde:

4.2. Lei dos Gases Reais

O comportamento do gás natural pode ser representado pelas seguintes equações derivadas da lei dos gases ideais, aplicando-se o fator de compressibilidade z para ajustar o desvio em relação ao modelo de gás ideal:

T Rn zPV = [5] Mmn = M

T R m zPV = [6]

G 28,9644 R

G M R

M R R

ar

===

T Rm zPV = [7] G 28,9644T R m zPV = [8]

Vmρ =

T R ρ zP = [9] G 28,9644T R ρ zP = [10]

onde: P = Pressão absoluta do gás, kgf/cm2 abs. V = Volume ocupado pelo gás, m3

M = Peso molecular do gás, kg /kg mol Mar = Peso molecular do ar =28,9644 kg / kg mol


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z = Fator de compressibilidade do gás @ P e T, adimensional n = Número de moles, kg mol R = Constante universal dos gases = 0,0848 kgf/cm2.m3 / kg mol.°K T = Temperatura absoluta do gás, °K m = Massa do gás, kg M = Peso molecular do gás, kg / kg mol R = Constante individual do gás, kgf/cm2.m3 / kg.°K Mar = Peso molecular do ar =28,9644 kg / kg mol G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional ρ = Massa especifica do gás, kg/m3

4.3. Massa específica do gás nas condições base - ρb Utilizando a equação [10], substituindo os valores da pressão e temperatura base (1,033 kgf/cm2 abs e 293,15 °K), o valor da constante universal dos gases (0,0848 kgf/cm2.m3 / kg mol.°K) e considerando que nestas condições o fator de compressibilidade z é 1,0 tem-se:

G 1,2037ρb = [11] onde: ρb = massa específica nas condições base, kg/m3 G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional

4.4. Massa específica do gás - ρ

Utilizando a equação [10] e substituindo o valor da constante universal dos gases (0,0848 kgf/cm2.m3 / kg mol.°K) tem-se:

z TG P341,592ρ = [12]

onde: ρ = Massa especifica do gás, kg/m3 P = Pressão absoluta do gás, kgf/cm2 abs. G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional T = Temperatura absoluta do gás, °K z = Fator de compressibilidade do gás @ P e T, adimensional

4.5. Viscosidade dinâmica do gás - μ

A viscosidade dinâmica do gás pode ser calculada com precisão razoável pela seguinte equação, adaptada de correlação proposta por Lee 6 para o API Research Project 65 – Institute of Gas Technology:

Y

1000ρX

4 e A 10μ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= [13]


10

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

=G*208,468,02TG*0,243910,4245*TA 1,5 G*0,276

T1063,582,576X ++=

X*0,0404 1,108Y +=

onde: μ = Viscosidade dinâmica do gás, centipoise ρ = Massa especifica do gás, kg/m3 G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional T = Temperatura absoluta do gás, °K

4.6. Número de Reynolds – Re

O Número de Reynolds é calculado pela seguinte equação:

μ DG Q

0,6984 Re b= [14]

onde: Re = Número de Reynolds, adimensional Qb = Vazão volumétrica nas condições base (20 °C e 1 atm), m3/dia G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional D = Diâmetro interno, in μ = Viscosidade dinâmica do gás, centipoise

4.7. Pressão Absoluta Média – Pm

A seguinte equação, desenvolvida assumindo-se que a variação do fator de compressibilidade do gás em fluxo isotérmico com a pressão é linear, o que acontece praticamente nas faixas de temperatura e pressão observadas nos gasodutos de transporte, permite calcular a pressão absoluta média:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=21

21212

22

1

32

31

m PPPPPP

32

PPPP

32P [15]

onde: Pm = Pressão absoluta média, kgf/cm2 abs. P1 = Pressão absoluta inicial, kgf/cm2 abs. P2 = Pressão absoluta final, kgf/cm2 abs.

4.8. Fator de atrito – f O fator de atrito, ou fator de fricção, está fundamentalmente relacionado à energia perdida por fricção das moléculas de gás entre si e entre o gás e as paredes do gasoduto. No desenvolvimento da equação geral de fluxo a AGA considerou que o fator de atrito engloba todas as irreversibilidades e desvios de modelos ideais, exceto o desvio do modelo de gás ideal coberto pelo fator de compressibilidade z.


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O estudo estatístico de 370 testes de campo em gasodutos reais de 12” a 36” de diâmetro, operando em condições estáveis, realizados sob o patrocínio da AGA pelo Institute of Gas Technology segundo procedimentos padronizados, mostrou que no regime turbulento (Número de Reynolds maior que 4000) existem dois subregimes perfeitamente caracterizados, sendo que a transição entre eles é pontual:

• Parcialmente turbulento: neste subregime o fator de atrito depende

somente do Número de Reynolds, independendo da rugosidade da parede interna do gasoduto;

• Totalmente turbulento: neste subregime o fator de atrito depende

somente da rugosidade da parede interna do gasoduto, independendo do Número de Reynolds.

Tais comportamentos podem ser explicados pela teoria da camada limite, camada de fluido aderente à superfície interna do tubo, com velocidade nula junto a parede, mesmo que no restante da secção exista turbulência.Em baixos Números de Reynolds a espessura desta camada é suficiente para encobrir a rugosidade da parede interna que deixa então de influir no fator de fricção. Em altos Números de Reynolds a espessura da camada limite diminui descobrindo a rugosidade da parede interna que passa então a influir diretamente no fator de fricção. O Número de Reynolds de transição Ret, correspondente ao ponto em que um subregime muda para o outro, pode ser calculado pela seguinte equação, cuja dedução é mostrada no Anexo I:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

ff F1

10

F1

t ε3,7Dlog

ε3,7D5,6504Re [16]

Deve-se notar que esta equação difere da equação correspondente da referência [1], equação C-71 que não possue o segundo expoente 1/Ff. Cordero 7 apresenta equação idêntica à equação acima, mencionando que provavelmente tenha havido erro de imprensa por parte da AGA. Com o Número de Reynolds efetivo e o de transição pode-se determinar o regime de fluxo e, portanto, qual equação deve ser utilizada no cálculo do fator de atrito f:

a) Parcialmente turbulento (tubo liso)

splf

pt f1F

f1

= [17]

onde: fpt = fator de atrito parcialmente turbulento, adimensional Ff = Fator de arraste, adimensional fspl = fator de atrito para tubo liso, adimensional


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O fator de atrito fspl é calculado pela lei dos tubos lisos (“smooth pipe law”), que por sua natureza tem que ser resolvida por um processo iterativo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

spl10

spl fRe2,82522log

f1

[18]

onde: fspl = fator de atrito para tubo liso, adimensional Re = Número de Reynolds, adimensional

O fator de arraste Ff ajusta o desvio observado em gasodutos reais em relação a lei dos tubos lisos, englobando o efeito de arraste de todos os elementos perturbadores de fluxo, tais como, soldas, conexões, curvatura de tubos (planta e perfil), bem como o tipo de superfície interna do tubo. De maneira geral, os gasodutos de transmissão apresentam características construtivas similares (uma solda circunferencial a cada 12 m, uma válvula de bloqueio a cada 15 km e 90% das curvas com ângulo de curvatura abaixo de 10 graus) e assim o fator de arraste está basicamente relacionado com o tipo de terreno atravessado. Quanto mais irregular o perfil do gasoduto menor o fator de arraste, ou seja, maior o afastamento da lei dos tubos lisos. A AGA define o índice de curvatura BI (”bending index”) de um gasoduto como sendo a relação entre o somatório dos ângulos de curvatura de todas as curvas de um gasoduto e o seu comprimento total. A tabela a seguir mostra a classificação do índice de curvatura BI e os valores do fator de arraste correspondentes para gasodutos com uma solda circunferencial a cada 12 m e uma válvula de bloqueio a cada 15 km, sem depósitos internos e sem tratamento da superfície interna (aço nu):

Classe do BI Índice de Curvatura BI graus/milha

Fator de Arraste Ff Aço Nu

Extremamente baixo 5 a 10 0,975 a 0,973 Muito baixo 10 a 20 0,973 a 0,97

Baixo 20 a 40 0,97 a 0,964 Médio baixo 40 a 60 0,964 a 0,96

Médio 60 a 80 0,96 a 0,956 Médio alto 80 a 100 0,956 a 0,9525

Alto 100 a 150 0,9525 a 0,942 Muito alto 150 a 200 0,942 a 0,93

Extremamente alto 200 a 300 0,93 a 0,9

O fator de arraste pode ser estimado, em função da condição da parede interna do gasoduto e do índice de curvatura BI, pela correlação a seguir, desenvolvida a partir da figura D-5 da referência [1]:


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∑=

⋅=4

0j

jjf BIaF [19]

A tabela a seguir mostra os coeficientes aj para diversos tipos de superfície interna do gasoduto limpo, ou seja, sem depósitos internos, construído com uma solda circunferencial a cada 12 m e uma válvula de bloqueio a cada 15 km:

Coeficiente Aço nu

Revestido com plástico

Polido com pig

Jateado com areia

a0 0,976768 0,980513 0,983728 0,985823 a1 - 3,89468x10-4 - 3,69792x10-4 - 3,60698x10-4 - 2,64026x10-4 a2 2,44222x10-6 1,94959x10-6 2,38318x10-6 9,25680x10-7 a3 - 1,16977x10-8 - 8,07321x10-9 - 1,14303x10-8 - 2,74010x10-9 a4 1,68046x10-11 1,02408x10-11 1,71138x10-11 1,73635x10-12

b) Totalmente turbulento (tubo rugoso)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=3,7Dε2log

f1

10tt

[20]

onde: ftt = fator de atrito no subregime totalmente turbulento, adimensional Re = Número de Reynolds, adimensional D = diâmetro interno, in ε = rugosidade absoluta efetiva ou operacional do duto, in

A rugosidade absoluta efetiva ou operacional do tubo engloba, além do efeito de fricção da rugosidade da parede interna do duto, o efeito de arraste de todos os elementos perturbadores de fluxo, a exemplo do fator de arraste Ff. A tabela a seguir permite estimar a rugosidade absoluta efetiva para gasodutos típicos com uma solda circunferencial a cada 12 m e uma válvula de bloqueio a cada 15 km, com índice de curvatura médio e sem depósitos internos:

Tubo de aço e sua condição Rugosidade absoluta efetiva (in)

Nu novo Nu exposto à atmosfera (condições típicas): 6 meses

12 meses 24 meses

0,0005 a 0,00075

0,001 a 0,00125 0,0015 0,00175

Revestido com material plástico 0,0002 a 0,0003

Após jateamento de areia 0,0002 a 0,0003

Polido com diversos “pigs” em seqüência 0,0003 a 0,0005


14

Uma outra equação muito usada para a determinação do fator de atrito é a proposta por Colebrook-White. O ANEXO II compara esta equação com as equações propostas pela AGA. 4.9. Velocidade do gás – v A seguinte equação permite calcular a velocidade do gás em qualquer ponto do gasoduto em função da condição real do gás:

2b4

PDzTQ

100,8049v −⋅= [21] onde: v = Velocidade do gás, m/s

Qb = Vazão volumétrica nas condições base (20°C e 1 atm), m3/dia P = Pressão absoluta do gás, kgf/cm2 abs. T = Temperatura absoluta do gás, °K z = Fator de compressibilidade do gás @ P e T, adimensional D = Diâmetro interno do gasoduto, in

4.10. Conversão entre condições A seguinte equação, deduzida da lei dos gases reais, permite converter da condição real para a condição base (20°C e 1 atm), ou vice-versa, o volume ocupado pelo gás, a vazão volumétrica e a massa específica do gás:

zTP283,785

zTP

PTz

ρρ

QQ

VV

b

bb

b

bb =⋅=== [22]

onde: Vb = Volume na condição base, m3

Qb = Vazão volumétrica na condição base, m3/dia ρb = Massa específica na condição base, kg/m3

Pb = Pressão absoluta base = 1,033 kgf/cm2 abs. Tb = Temperatura absoluta base = 293,15 °K zb = Fator de compressibilidade na condição base = 1,0 V = Volume na condição real, m3

Q = Vazão volumétrica na condição real, m3/dia ρ = Massa específica na condição real, kg/m3

P = Pressão absoluta real, kgf/cm2 abs. T = Temperatura absoluta real, °K z = Fator de compressibilidade @ a P e T, adimensional

4.11. Velocidade do som - c

Para uma perturbação infinitesimal isoentrópica quando da passagem de uma onda sonora tem-se 8, 9:


15

sc

2

ρPgc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= , ρPn

ρP

ss

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

e constantePV sn =

Com estas equações e a equação [10] tem-se:

a) Para um gás no estado de gás ideal ns=k:

Gk T z 16,9435c = [23]

b) Para um gás no estado de gás real:

Gn T z 16,9435c s= [24]

onde: c = Velocidade do som no gás, m/s

z = Fator de compressibilidade do gás, adimensional T = Temperatura absoluta do gás, °K G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional k = Relação entre calores específicos cp / cv, adimensional ns = Expoente de V de um gás em um processo isoentrópico ideal

4.12. Empacotamento do gasoduto

As seguintes equações permitem estimar o empacotamento do gasoduto, ou seja, estimar o volume contido de gás nas condições base de referência, e a massa de gás contida em seu interior:

m

m2

b T zP L D 143,783V = [25]

m

m2

bbe T zP L G D 173,0716VρM == [26]

onde: Vb = Volume de gás contido nas condições base, m3

D = Diâmetro interno do gasoduto, in L = Comprimento do gasoduto, km Pm = Pressão absoluta média do gás, kgf/cm2 abs. z = Fator de compressibilidade do gás @ Pm e Tm, adimensional Tm = Temperatura absoluta média do gás, °K Me = Massa de gás contida, kg ρb = Massa especifica do gás nas condições base, kg/m3 G = Densidade específica do gás (ar = 1), adimensional


16

4.13. Propriedades Termodinâmicas do Gás Natural O fator de compressibilidade z, o calor específico a pressão constante cp, o coeficiente de Joule-Thomson CJT, a relação k entre os calores específicos, a pressão e a volume constantes, e o expoente isoentrópico ns do gás natural devem ser calculados a partir da uma mesma equação de estado e da composição do gás. Borges 10 desenvolveu expressões analíticas para permitir o cálculo dessas propriedades, além de outras propriedades, com base apenas da densidade do gás em relação ao ar, da temperatura e da pressão. No estado de gás ideal, a partir das correlações do API Technical Data Book – Refining. No estado de gás real, a partir do princípio dos estados correspondentes e da equação generalizada de Starling, ajustada por Dranchuck e Abou-Kassem à correlação gráfica de Standing-Katz para o fator de compressibilidade, assumindo o gás natural como uma substância pseudopura. Também, desenvolveu correlações para a estimativa do poder calorífico do gás natural, no estado de gás ideal, da temperatura e pressão pseudocríticas definidas por Kay e do fator acêntrico proposto por Pitzer.

4.14. Espessuras e Massa de Aço

A norma ASME/ANSI B-31.8, referente ao dimensionamento e construção de gasodutos de transporte, utiliza a Fórmula de Barlow para o cálculo da espessura de parede do duto:

yFSDe MAOP 7,1116715t =

onde: t = Espessura do duto, in De = Diâmetro externo do duto, in MAOP = Pressão manométrica máxima operacional, kgf/cm2 Sy = Tensão de escoamento do aço do tubo, psi F = Fator da classe de locação ASME/ANSI B-31.8, adimensional

Normalmente, para gasodutos não são usadas as espessuras ditas comerciais, pois o custo do duto é parte expressiva do investimento. As espessuras são arredondadas para o décimo de milímetro superior. Sendo a espessura calculada menor que a espessura mínima estipulada para o diâmetro do duto na especificação API 5L, para evitar a deformação do duto quando do seu manuseio durante a construção, é adotada a espessura mínima. A norma ASME/ANSI B-31.8 estabelece classes de locação para o gasoduto em função da densidade populacional do trecho atravessado. Quanto maior a densidade populacional prevista menor o fator F e consequentemente maior o


17

coeficiente de segurança CS do cálculo da espessura de parede, como mostra a tabela a seguir:

Classe 1 div 1 1 div 2 2 3 4 Fator F 0,80 0,72 0,60 0,50 0,40

CS 1,25 1,39 1,67 2,00 2,50 Normalmente, os gasodutos são dimensionados para uma pressão manométrica máxima operacional MAOP válida para todo o duto, de modo a permitir a acumulação de gás no seu interior para fazer frente a variações de demanda de curta duração. Também, normalmente os gasodutos são construídos com tubos de aço de mesma especificação para simplificar os procedimentos de construção. Dessa forma, como o diâmetro externo é padronizado e, portanto constante, normalmente as espessuras e consequentemente o diâmetro interno do duto variam ao longo do gasoduto. Como a espessura do duto varia com a classe de locação deve-se considerar a possibilidade de alteração da classe de locação com o tempo, principalmente em zonas com crescimento demográfico previsto em curto e médio prazo. Havendo uma mudança da classe para uma de maior fator de segurança, a alternativa que se tem é a redução da pressão máxima de operação do trecho afetado, o que implica na redução da vazão do gasoduto. Isto pode ter sérias conseqüências econômicas para o transportador por penalidades contratuais até que se possa corrigir a situação. A massa total de aço, variável de grande importância para a estimativa do investimento do gasoduto, considerando-se uma massa específica de 7850 kg/m3 para o aço, é calculada por:

( ) ∑∑==

=−=ncl

1iii

ncl

1iiiaço 1%LC , %LC tDetL 15,910615M

onde: Maço = Massa total de aço, t L = Comprimento do gasoduto, km t i = Espessura do duto na classe de locação i, in De = Diâmetro externo do duto, in ncl = Número de classes de locação, adimensional %LC i = Percentual do comprimento na classe de locação i

4.15. Área Interna e Externa

A área interna do gasoduto, necessária para estimar o custo de revestimento interno para diminuição da rugosidade ou para a proteção da parede interna do tubo, é dada por:


18

( ) i

ncl

1iiint %LC 2tDeL 79,7964534A ∑

=

−=

onde: Aint = Área interna do gasoduto, m2

L = Comprimento do gasoduto, km t i = Espessura do duto na classe de locação i, in De = Diâmetro externo do duto, in ncl = Número de classes de locação, adimensional %LC i = Percentual do comprimento na classe de locação i

A área externa do gasoduto, necessária para estimar o custo do revestimento externo anticorrosivo, é dada por:

L De 79,7964534Aext = onde: Aext = Área externa do gasoduto, m2

L = Comprimento do gasoduto, km De = Diâmetro externo do duto, in

4.16. Diâmetro Interno Médio Estimado Usando-se a equação [1] e considerando-se constantes as propriedades e temperatura do gás em todos os trechos, pode ser deduzida a equação que permite estimar o diâmetro interno médio equivalente de gasodutos horizontais para a realização dos cálculos hidráulicos na fase de planejamento:

( )5

ncl

1i5

i

i

2t-De%LC1D

∑=

=

onde: D = Diâmetro interno estimado do duto, in

t i = Espessura do duto na classe de locação i, in De = Diâmetro externo do duto, in ncl = Número de classes de locação, adimensional %LC i = Percentual do comprimento na classe de locação i

4.17. Diâmetro Externo Estimado

Quando o diâmetro interno é a variável que está sendo calculada, o diâmetro externo pode ser estimado em função do diâmetro interno, para fins de realização dos cálculos térmicos, adotando-se uma espessura padrão de 0,5”:

1D De +=

onde: De = Diâmetro externo do duto, in D = Diâmetro interno do duto, in


19

4.18. Estimativa da Temperatura do Solo - Ts

Williams 11 cita que as propriedades do solo que determinam sua resposta às variações de temperatura na superfície são a massa específica, o calor específico e a condutividade térmica, que combinadas dão a difusividade térmica, que é importante no cálculo do fluxo de calor no interior do solo:

ss

ss cρ

kα⋅

=

onde:

αs = Difusividade térmica do solo, m2/s ks = Condutividade térmica do solo, kcal / s.m.°K ρs = Massa específica do solo, kg/m3 cs = Calor específico do solo, kcal / kg.°K

Quanto maior o teor de umidade do solo maior a difusividade térmica pela influencia que tem nestas três propriedades. A tabela abaixo mostra valores típicos para a difusividade térmica:

Terreno Difusividade Térmica

m2/s Rocha Argila molhada Areia molhada Argila seca Areia seca

2,0 x10-6

1,5 x10-6

1,0 x10-6

0,2 x10-6

0,1 x10-6

As principais características das variações cíclicas de temperatura do ambiente e da superfície do solo podem ser descritas por uma equação do tipo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

00t t

t 2cosATT π

onde:

Tt = Temperatura do ambiente ou da superfície no tempo t T0 = Temperatura média do ambiente ou superfície = (Tmax+Tmin)/2 t = Tempo t0 = Período de um ciclo completo A = Amplitude =(Tmax-Tmin)/2 Tmax = Temperatura máxima anual do ambiente ou superfície Tmin = Temperatura mínima anual do ambiente ou superfície

A temperatura da superfície do solo normalmente está em fase com a temperatura do ambiente. A amplitude de variação da temperatura da


20

superfície do solo é praticamente igual à que ocorre no ambiente, sofrendo alguma atenuação em climas frios. À medida que a profundidade do solo cresce ocorre uma atenuação exponencial da amplitude de variação da temperatura do solo e abaixo de 5 a 6 metros a temperatura do solo é praticamente constante ao longo do ano. Entretanto, a temperatura média anual do solo é praticamente constante com a profundidade, crescendo cerca de 1 °C para cada 50 m de profundidade devido ao fluxo de calor geotérmico do centro da Terra para a superfície. Em climas quentes e moderados a temperatura média anual do solo é praticamente igual à temperatura média anual do ambiente. Em climas frios, com inverno rigoroso e com precipitação de neve, a temperatura média anual do ambiente pode ser até 5°C menor que a temperatura média anual do solo, principalmente pela característica de isolante térmico da camada de neve.

Em climas quentes e moderados, a temperatura induzida em um solo com propriedades térmicas constantes por uma variação cíclica anual de temperatura em sua superfície pode ser estimada 11 por um modelo unidimensional condutivo em meio homogêneo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=

−

α 8760x

8760t 2coseATt)T(x,

s

α 8760x

0s ππ

π

[26]

onde: T(x,t) = Temperatura do solo na profundidade x e no tempo t, °C T0 = Temperatura média do ambiente = (Tmax+Tmin)/2, °C A = Amplitude =(Tmax-Tmin)/2, °C x = Profundidade, m αs = Difusividade térmica do solo, m2/h t = Tempo, h Tmax = Temperatura máxima anual do ambiente, °C Tmin = Temperatura mínima anual do ambiente, °C

As temperaturas anuais máxima e mínima do solo em uma profundidade x são dadas por:

sα 8760x

0max s eATTπ

−

⋅+= [27]

sα 8760x

0min s eATTπ

−

⋅−= [28] onde:

Smerdon et al. 12 analisaram dados diários obtidos ao longo de 7 a 8 anos em 4 diferentes locações com características diferentes de condições metereológicas e de tipo de solo, em profundidades de até 3 m em duas delas

Ts max = Temperatura anual máxima do solo, °C Ts min = Temperatura anual mínima do solo, °C


21

e até 8 m nas outras duas, com o objetivo de examinar o transporte de calor sub-superficial no solo. Verificaram que os sinais anuais de temperatura sub-superficial no solo das 4 locações exibiam características dependentes da profundidade que são descritas de forma simples e efetiva pelo uso do modelo unidimensional condutivo em meio homogêneo dado pela equação [26].

4.19. Temperatura do Solo ao Redor de um Duto Aquecido

As equações anteriores permitem estimar a temperatura do solo em um terreno “não perturbado”, ou seja, sem outras fontes de calor no seu interior, tais como uma linha aquecida na descarga de uma estação de compressão ou uma linha resfriada a uma temperatura menor que a do solo pelo efeito Joule-Thomson, por exemplo. Para a análise da distribuição de temperatura e das linhas de fluxo de calor nesses casos, King 2 utiliza o modelo da imagem especular de Carslaw 13 que considera o fluxo de calor em regime permanente de uma fonte quente pontual para uma fonte fria pontual, ilustrado pela figura a seguir:

Ao inserir-se no solo não perturbado um tubo de raio R, com temperatura de parede Tp

em toda a circunferência, cujo centro está a uma profundidade h abaixo da superfície do solo, em um meio condutor infinito de condutividade ks e com uma temperatura Ts, o fluxo de calor e distribuição de temperatura no solo são associados aos que ocorrem ao redor de uma fonte quente de

Superfície do solo

R

θ

b

b

-θ

h

x

y

Tp

t

ϕ Ts, ks

(xϕ , yϕ)

(xt , yt)

rϕ

rt

Z=x + i y

T

Duto IsotermaEquipotencial


22

intensidade θ enterrada a uma profundidade b abaixo da superfície do solo (em z= -ib) e de uma fonte fria de intensidade -θ situada a uma distância b acima da superfície do solo (em z= +ib), que são dados pela seguinte equação complexa:

sTibzibzln θiφ T +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=+ [29]

onde: T = Temperatura do solo no ponto (x,y), °C i = 1− ϕ = Função potencial do fluxo de calor, conjugada de T no plano

complexo xy com valor entre 0 e 2π θ = Intensidade da fonte pontual, °C z = Variável complexa x + iy x = Distância ao plano vertical que contem as fontes, m y = Distância ao plano horizontal da superfície do solo, m b = Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m Ts = Temperatura do solo não perturbado, °C

A partir da equação [29] e da condição de contorno da temperatura da parede pode-se deduzir as equações da intensidade da fonte e de sua distância à superfície do solo que garantam a temperatura Tp em toda a circunferência do tubo:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− ==−

1Rh

Rhln

TT

Rhcosh

TT

2

2

sp

1

spθ

22 Rhb −=

onde: θ = Intensidade da fonte pontual, °C Tp = Temperatura da parede do tubo, °C Ts = Temperatura do solo não perturbado, °C b = Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m h = Distância vertical entre o centro do tubo e a superfície do solo, m R = Raio do tubo, m

Nesse modelo as isotermas são círculos com centro no plano vertical que passa pelo centro do tubo e as linhas de fluxo equipotenciais são círculos ortogonais às isotermas, com centro no plano horizontal da superfície do solo. Com os valores de θ e b e a parte real da equação [29] pode-se deduzir que o raio rt e a locação do centro (xt , yt) das isotermas circulares com uma determinada temperatura t são dados por:

2a

a

e-1e b 2

tr = 0=tx ( )

2a

2a

e-1 e1b -

ty += [30]


23

onde:

θT-t sa =

rt = Raio da isoterma, m b = Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m xt = Distância do centro da isoterma ao plano vertical que contem as

fontes, m yt = Distância do centro da isoterma ao plano horizontal da superfície do

solo, m t = Temperatura da isoterma, °C Ts = Temperatura do solo não perturbado, °C θ = Intensidade da fonte pontual, °C

Com os valores de θ e b e a parte imaginária da equação [29] pode-se deduzir que o raio rϕ e a locação do centro (xϕ , yϕ) das linhas de fluxo equipotenciais circulares com um determinado potencial ϕ, entre 0 e 2π, são dados por:

φ senb

φr = φ tanbxφ

−= 0yφ = [31]

onde: rϕ = Raio da equipotencial, m b = Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m ϕ = Função potencial do fluxo de calor entre 0 e 2π xϕ = Distância do centro da equipotencial ao plano vertical que contem

as fontes, m yϕ = Distância do centro da equipotencial ao plano horizontal da

superfície do solo, m

O calor cedido pelo tubo, por unidade de comprimento e de tempo, é dado por:

sk θ 2Q π= [32] onde: Q = Calor cedido pelo tubo, kcal / h.m θ = Intensidade da fonte pontual, °C ks = Condutividade térmica do solo, kcal / (h.m.°C)

A figura a seguir mostra as isotermas e linhas de fluxo de calor para um tubo de 50 cm de diâmetro, temperatura de parede de 50°C, enterrado a 1,5 m de profundidade (centro) em um solo não perturbado de temperatura 20°C :


24

Distribuição de Temperaturas e Linhas de Fluxo Térmico ao redor de um tubo aquecido enterrado

-4,0

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Distância ao plano vertical central, m

Prof

undi

dade

, m30 °C

40 °C50°C

25 °C

θ = 12,11 °C

b = 1,479 m

Tp = 50°CTs = 20 °C

h = 1,5 m

D = 0,5 mDUTO

ISOTERMA

LINHA FLUXO

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1 Institute of Gas Technology Technical Report nº 10 - “Steady Flow in Gas Pipelines”, AGA Project NB-13, 1965.

2 King, G.G, “Geothermal Design of Buried Pipelines”, ASME 80-Pet-15, Energy Technology Conference, New Orleans, Fevereiro 1980.

3 King, G.G., “Equation Predicts Buried Pipelines Temperatures”, Oil & Gas Journal, 16 Março 1981.

4 Coulter D.M., “New Equation Accurately Predicts Flowing Gas Temperatures”, Pipe Line Industry, Maio 1979.

5 Coulter D.M. e Bardon, M.F.,“Revised Equation improves Flowing Gas Temperature Prediction”, Oil & Gas Journal, 26 Fevereiro 1979.

6 Lee et al., “Viscosity Correlation for Light Hydrocarbon Systems”, AICHE Journal, 694 a 697, Setembro 1964.

7 Cordero, G.D., “Un Analisis Critico de los Metodos de la American Gas Association y de Colebrook para el Calculo de la Friccion en Gasoductos”, 1º Congresso Latino-Americano del Gas, San Martin de Los Andes, Argentina, 1984.


25

8 Van Wylen, G.J. e Sonntag, R.E., “Fundamentos da Termodinâmica Clássica”, 2ª Edição, Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1976.

9 Schultz, J.M., “The Polytropic Analysis of Centrifugal Compressors”, Transactions of ASME, Janeiro 1962

10 Borges, P.R., “Propriedades Termodinâmicas do Gás Natural”, Publicação interna da Petróleo Brasileiro S.A. - Petrobras, Rio de Janeiro, Abril 2002.

11 Williams, G.P. e Gold, L.W., “Ground Temperatures”, Canadian Building Digest CBD-180, Julho 1976.

12 Smerdon, J. E. et al., “Air-Ground Temperature Coupling and Subsurface Propagation of Annual Temperature Signals”, Relatório de Pesquisa, University of Michigan, Ann Arbor, Mi, USA, 27 Agosto 2004.

13 Carslaw, H.S., Jaeger, J. C., “Conduction of Heat in Solids”, 2ª Edição, Oxford, 1959.


26

ANEXO I

NÚMERO DE REYNOLDS DE TRANSIÇÃO

Segundo a AGA a transição entre os subregimes parcialmente e totalmente turbulento é pontual e, portanto, os fatores de atrito calculados para os dois regimes devem ser iguais. A seguir é apresentada a dedução da equação que permitirá o cálculo do Número de Reynolds Ret correspondente a este ponto: Para o subregime parcialmente turbulento:

splf

pt f1F

f1

= [1]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

spl10

spl fRe2,82522log

f1

[2]

Para o subregime totalmente turbulento:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=3,7D

2logf1

10tt

ε [3]

No ponto de transição: pttt f

1f1

= e tReRe =

Da equação [1]: spl

ftt f

1Ff1

= portanto

ttfspl fF1

f1

= [4] e ttfspl fFf = [5]

Substituindo [4] e [5] em [2]:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ttft10

ttf fF Re2,82522log

fF1

[6]

Substituindo [3] no primeiro membro de [6]:


27

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

ttft1010

f fF Re2,82522log

3,7D2log

F1 ε

Portanto:

ttft

F1

fF Re2,8252

3,7Dε f

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Donde:

fF1

ttft ε

3,7DfF

2,8252Re ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= [7]

Substituindo [3] em [7]:

fF1

10f

t ε3,7D

3,7D2log

F 2,8252Re ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ε

Portanto:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

ff F1

10

F1

t ε3,7Dlog

ε3,7D5,6504Re

Esta equação difere da equação C-71 da AGA que não possue o segundo expoente 1/Ff.


28

ANEXO II COMPARAÇÃO EQUAÇÕES COLEBROOK-WHITE E AGA

Uma equação muito usada para a determinação do fator de atrito é a proposta por Colebrook-White. Em altos valores do Número de Reynolds tende assintóticamente à equação de Von Kárman para o regime totalmente turbulento. Em baixos valores do Número de Reynolds tende assintóticamente à equação de tubos lisos proposta por Prandtl para o regime parcialmente turbulento. A equação de Colebrook-White sempre dá resultados maiores que os calculados por essas equações o que significa, de forma implícita, superdimensionar o diâmetro na fase de planejamento. A equação de Colebrook-White é:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=fRe

2,513,7D

2logf

110

ε [II-1]

Os resultados dos testes de campo da AGA no subregime totalmente turbulento confirmaram a equação de Von Kárman, enquanto os do subregime parcialmente turbulento levaram a uma alteração da equação de Prandtl, com o fator 2,51 modificado para 2,8252. Muitos autores propõem o uso da equação de Colebrook-White modificada, em função dos resultados dos testes de campo da AGA, com o valor 2,51 alterado para 2,8252, obtendo:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=fRe

2,82523,7D

2logf

110

ε [II-2]

Entretanto, para que a equação de Colebrook-White tenda para os valores calculados pelas equações da AGA para baixos valores do Número de Reynolds é necessário usar a definição do fator de atrito para o subregime parcialmente turbulento o que significa introduzir o fator de arraste Ff. Assim:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−=fF

10 fRe2,8252

3,7Dε2log

f1

[II-3]

Notar que a equação [II-3] se converte na equação [II-2] para fator de arraste igual a 1. A figura a seguir, para um duto de 24” de diâmetro interno, rugosidade de 0,0018” e fator de arraste de 0,958 (BI médio), compara os valores dos fatores de atrito calculado pela equação de Colebrook-White, pela equação de Colebrook-White modificada, pela equação [II-3], pela equação de Prandtl e pelas equações da AGA:


29

Comparação de Valores do Fator de Atritode Colebrook-White e da AGA

2193165

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

10000 100000 1000000 10000000 100000000

Número de Reynolds

Fato

r de

Atr

ito

AGA Colebrook-White Colebrook-White Modificada Equação [II-3] Prandtl Re transição

Rugosidade: 0,0018" - Ff: 0,958 - Diâmetro: 24"

A figura a seguir, para um duto de 24” de diâmetro interno, rugosidade de 0,0018” e fator de arraste de 0,958, compara os valores da vazão calculada com os fatores de atrito calculado pela equação de Colebrook-White, pela equação de Colebrook-White modificada e pela equação [II-3] com a vazão calculada pelas equações da AGA:

Diferença na Vazão Calculadaf Collebrook-White X f AGA

2193165

-10

-7,5

-5

-2,5

0

2,5

5

7,5

10

10000 100000 1000000 10000000 100000000

Número de Reynolds

Dife

renç

a Pe

rcen

tual

Colebrook-White Colebrook-White Modificada Equação [II-3] Re transição



30

Pode ser visto que, para baixos Números de Reynolds, as vazões calculadas com o uso da equação de Colebrook-White, com ou sem modificação, para o cálculo do fator de atrito são maiores que as calculadas com o uso da equação da AGA, enquanto que o uso da equação [II-3] permite obter valores bem próximos dos obtidos pelo uso da equação da AGA. As diferenças se ampliam com a diminuição do fator de arraste, como pode ser visto na figura a seguir que, para um duto de 24” de diâmetro interno, rugosidade de 0,0018” e fator de arraste de 0,9 (BI extremamente alto), compara os valores da vazão calculada com os fatores de atrito calculado pela equação de Colebrook-White, pela equação de Colebrook-White modificada e pela equação [II-3] com a vazão calculada pelas equações da AGA:

Diferença na Vazão Calculadaf Collebrook-White X f AGA

4829484

-10

-7,5

-5

-2,5

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

10000 100000 1000000 10000000 100000000

Número de Reynolds

Dife

renç

a Pe

rcen

tual

Colebrook-White Colebrook-White Modificada Equação [II-3] Re transição


Desse modo, caso se opte por usar a equação de Colebrook-White na fase de planejamento, é recomendado que se use a equação [II-3] com um fator Ff em torno de 0,96 para minimizar o risco de subdimensionamento do diâmetro do duto.


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