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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL FRANCESCO MAYER SIAS DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO VITÓRIA 2014

DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

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DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO - Dissertação de Mestrado Francesco Mayer Sias

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL

    FRANCESCO MAYER SIAS

    DIMENSIONAMENTO TIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

    VITRIA 2014

  • FRANCESCO MAYER SIAS

    DIMENSIONAMENTO TIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

    Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de Mestrado em Estruturas do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da Universidade Federal do Esprito Santo, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil. Orientador: lcio Cassimiro Alves.

    VITRIA 2014

  • FRANCESCO MAYER SIAS

    DIMENSIONAMENTO TIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

    Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de Mestrado em Estruturas do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da Universidade Federal do Esprito Santo, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil.

    COMISSO EXAMINADORA

    Prof. Dr. lcio Cassimiro Alves Universidade Federal do Esprito Santo Orientador

    Prof. Dr. Walnrio Graa Ferreira Universidade Federal do Esprito Santo Examinador interno

    Prof. Dr. Luiz Herkenhoff Coelho Universidade Federal do Esprito Santo Examinador interno

    Prof. Dr. Francisco de Assis das Neves Universidade Federal de Ouro Preto Examinador externo

  • RESUMO

    A rea da engenharia responsvel pelo dimensionamento de estruturas vive em

    busca da soluo que melhor atender a vrios parmetros simultneos como

    esttica, custo, qualidade, peso entre outros. Na prtica, no se pode afirmar que o

    melhor projeto foi de fato executado, pois os projetos so feitos principalmente

    baseados na experincia do executor, sem se esgotar todas as hipteses possveis.

    neste sentido que os processos de otimizao se fazem necessrios na rea de

    dimensionamento de estruturas. possvel obter a partir de um objetivo dado, como

    o custo, o dimensionamento que melhor atender a este parmetro. Existem alguns

    estudos nesta rea, porm ainda necessrio mais pesquisas. Uma rea que vem

    avanando no estudo de otimizao estrutural o dimensionamento de pilares de

    acordo com a ABNT NBR 6118:2014 que atenda a uma gama maior de geometrias

    possveis. Deve-se tambm estudar o melhor mtodo de otimizao para este tipo

    de problema dentro dos vrios existentes na atualidade. Assim o presente trabalho

    contempla o embasamento conceitual nos temas de dimensionamento de pilares e

    mtodos de otimizao na reviso bibliogrfica indicando as referncias e mtodos

    utilizados no software de dimensionamento otimizado de pilares, programado com

    auxlio do software MathLab e seus pacotes, utilizando mtodos determinsticos de

    otimizao. Esta pesquisa foi realizada para obteno do Ttulo de Mestre em

    Engenharia de Estruturas na Universidade Federal do Esprito Santo.

    Palavras Chave: Dimensionamento, Concreto armado, Otimizao, Modelagem e

    Simulao.

  • ABSTRACT

    The engineering`s area responsible for the design of structures is always in search

    of solutions that best find the multiple simultaneous parameters like aesthetics, cost,

    quality, weight and others. In practice, it`s not possible to say that the best design

    was actually executed, because designs are made mainly based on the experience

    of the performer, without exhausting all possible hypotheses. It is in this way that the

    optimization processes are necessary in the area of design of structures. You can

    get from a given goal, as the cost, the design that will best find this parameter. There

    are some studies in this area, however, still need further researches. One area that

    still lacks an optimization process is the design of pillars according to ABNT NBR

    6118:2014 that meets a wider range of possible geometries. One should also study

    the best optimization method for this type of problem within the various existing

    today. Thus the present work describes the conceptual background in the areas of

    design of columns and optimization methods in the literature review indicating the

    references and methods used in the optimal design of columns, programmed with

    the help of MathLab software packages, using deterministic optimization methods.

    This survey was conducted to obtain the title of Master in Structural Engineering at

    the Universidade Federal do Esprito Santo.

    Keywords: Optimizing, Reinforced Concrete, Optimization, Computational Modeling

    and Simulation.

  • LISTA DE FIGURAS

    FIGURA 1 - DOMNIOS DE ESTADO LIMITE LTIMO DE UMA SEO TRANSVERSAL ............... 23

    FIGURA 2 - DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO IDEALIZADO DO CONCRETO ....................... 25

    FIGURA 3 - DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO PARA AOS DE ARMADURA PASSIVA ........... 26

    FIGURA 4 - PILAR ENGASTADO NA BASE E SOLTO NA EXTREMIDADE SUPERIOR, EQUIVALENTE

    A UM PILAR BI ROTULADO COM O DOBRO DO COMPRIMENTO, SOLICITADO POR CARGA

    VERTICAL EXCNTRICA. ......................................................................................... 29

    FIGURA 5 - PROBABILIDADE DE OCORRNCIA POR INDIVDUO. ESQUEMA RODA ROLETA ..... 58

    FIGURA 6 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR RETANGULAR NOS DOMNIOS 3, 4 E 4A

    ........................................................................................................................... 70

    FIGURA 7 - DEFINIO DA ALTURA HI DE CADA BARRA ..................................................... 72

    FIGURA 8 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR CIRCULAR NOS DOMNIOS 3, 4 E 4A ... 74

    FIGURA 9 - COORDENADAS DAS BARRAS DE AO DA SEO CIRCULAR ............................ 75

    FIGURA 10 - DEFINIO DAS ALTURAS DAS BARRAS DE AO DA SEO CIRCULAR ............. 76

    FIGURA 11 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO RETANGULAR NOS DOMNIOS 3,

    4 E 4A ................................................................................................................. 77

    FIGURA 12 - REPRESENTAO DAS COORDENADAS DOS ELEMENTOS DE CONCRETO DA

    SEO RETANGULAR ............................................................................................. 78

    FIGURA 13 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO CIRCULAR NOS DOMNIOS 3, 4 E

    4A ....................................................................................................................... 80

    FIGURA 14 - REPRESENTAO DAS COORDENADAS DOS ELEMENTOS DE CONCRETO DA

    SEO CIRCULAR ................................................................................................. 81

    FIGURA 15 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES NO PILAR RETANGULAR ......... 83

    FIGURA 16 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES NO PILAR CIRCULAR .............. 84

    FIGURA 17 - ENVOLTRIA MNIMA COM SEGUNDA ORDEM ABNT NBR 6118:2014 ........ 87

    FIGURA 18 - VERIFICAO DA ENVOLTRIA DE MOMENTOS MNIMOS PARA FLEXO OBLQUA

    ........................................................................................................................... 88

    FIGURA 19 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR RETANGULAR NO DOMNIO 5 ........... 91

    FIGURA 20 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR CIRCULAR NO DOMNIO 5 ................ 93

    FIGURA 21 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO RETANGULAR NO DOMNIO 5 .. 94

    FIGURA 22 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO CIRCULAR NO DOMNIO 5. ...... 96

    FIGURA 23 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES DO PILAR RETANGULAR NO

    DOMNIO 5 ........................................................................................................... 97

    FIGURA 24 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES NO PILAR CIRCULAR NO DOMNIO

    5 ......................................................................................................................... 98

    FIGURA 25 - ARRANJOS DE ARMADURA UTILIZADOS ..................................................... 103

    FIGURA 26 - VARIVEIS DA SEO TRANSVERSAL DO PILAR RETANGULAR .................... 117

    FIGURA 27 - VARIVEIS DA SEO TRANSVERSAL DOS PILARES CIRCULARES ............... 117

  • LISTA DE TABELAS

    TABELA 1 - CDIGO BINRIO E CDIGO DE GRAY ........................................................... 54

    TABELA 2 - SELEO PROPORCIONAL APTIDO FT = 330, FTI = SOMA PARCIAL DAS

    APTIDES ACUMULADAS, FRI = APTIDO RELATIVA ................................................... 58

    TABELA 3 - NMERO ALEATRIO N E INDIVDUO SELECIONADO ........................................ 58

    TABELA 4 - RESULTADOS OBTIDOS NO CYPECAD ....................................................... 105

    TABELA 5 - RESULTADOS OBTIDOS COM A PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL .... 110

    TABELA 6 - RESULTADOS OBTIDOS COM O MTODO DOS PONTOS INTERIORES .............. 111

    TABELA 7 - RESULTADOS OBTIDOS COM ALGORITMOS GENTICOS ................................. 112

    TABELA 8 - COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS ......................................... 113

    TABELA 9VALORES DAS SEES TRANSVERSAIS OBTIDAS NOS MTODOS .................... 114

    TABELA 10 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 1........... 129

    TABELA 11 -COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 1 ............. 130

    TABELA 12 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 2........... 133

    TABELA 13 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 2 ............ 134

    TABELA 14 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 3........... 137

    TABELA 15 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 3 ............ 138

    TABELA 16- RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 4 ........... 140

    TABELA 17 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 4 ............ 141

    TABELA 18 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 5........... 142

    TABELA 19 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 5 ............ 143

  • SUMRIO

    1. INTRODUO ................................................................................ 11

    1.1 JUSTIFICATIVAS ..................................................................................................................... 12

    1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................................. 13

    1.2.1 OBJETIVO GERAL ........................................................................................................... 13

    1.2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS ................................................................................................ 13

    2. ESTADO DA ARTE REVISO BIBLIOGRFICA ....................... 14

    2.1. DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ................................................................. 22

    2.1.1. HIPTESES ACEITAS NO DIMENSIONAMENTO ............................................................. 22

    2.1.2. DOMNIOS DO E.L.U. ..................................................................................................... 23

    2.1.3. DIAGRAMAS TENSO x DEFORMAO NO E.L.U. ......................................................... 25

    2.1.4. EXCENTRICIDADES ......................................................................................................... 26

    2.1.5. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM ..................................................................................... 27

    2.1.5.1. MTODO DO PILAR-PADRO ................................................................................ 28

    2.1.5.2. MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA .......................... 31

    2.2. PROCESSOS DE OTIMIZAO ................................................................................................ 32

    2.2.1. TIPOS DE OTIMIZAO .................................................................................................. 33

    2.2.2. PROGRAMAO MATEMTICA .................................................................................... 34

    2.2.2.1. TIPOS DE ALGORITMOS DA PROGRAMAO MATEMTICA ................................ 36

    2.2.2.2. MTODO DE NEWTON .......................................................................................... 37

    2.2.2.3. BUSCA LINEAR ....................................................................................................... 39

    2.2.2.4. PROGRAMAO QUADRTICA ............................................................................. 40

    2.2.2.5. PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL ........................................................ 41

    2.2.2.6. ALGORITMO DE HAN-POWEL (PQS) ...................................................................... 42

    2.2.2.7. MTODO DOS PONTOS INTERIORES ..................................................................... 44

    2.2.2.8. ALGORITMO DE PONTOS INTERIORES .................................................................. 47

    2.2.3. ALGORITMOS GENTICOS ............................................................................................. 48

    2.2.3.1. CODIFICAO DAS VARIVEIS GENTICAS ........................................................... 52

    2.2.3.2. INICIALIZAO DA POPULAO ............................................................................ 55

    2.2.3.3. FUNO APTIDO ................................................................................................. 56

    2.2.3.4. SELEO ................................................................................................................ 57

    2.2.3.5. ESQUEMAS DE REPRODUO ............................................................................... 60

    2.2.3.6. OPERADORES GENTICOS ..................................................................................... 62

    2.2.3.7. TAMANHO DA POPULAO .................................................................................. 65

  • 2.2.3.8. CONSIDERAES SOBRE OS PARMETROS DOS ALGORITMOS GENTICOS ........ 66

    2.2.3.9. TRATAMENTO DAS RESTRIES EM ALGORITMOS GENTICOS ........................... 66

    2.2.3.10. PROBLEMAS DE CONVERGNCIA .......................................................................... 67

    2.2.3.11. CRITRIOS DE PARADA .......................................................................................... 68

    3. CRITRIOS DE CLCULO ............................................................ 69

    3.1 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO OS DOMNIOS 3, 4 E 4a. ................................................... 70

    3.1.1 TENSES NAS BARRAS DE AO ..................................................................................... 70

    3.1.2 TENSES NO CONCRETO ............................................................................................... 77

    3.1.3 ESFOROS RESISTENTES ................................................................................................ 83

    3.1.4 VERIFICAO DOS ESFOROS MNIMOS ABNT NBR 6118:2014 ........................ 85

    3.2 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO O DOMNIO 5. ................................................................... 90

    3.2.1 TENSES NAS BARRAS DE AO ..................................................................................... 91

    3.2.2 TENSES NO CONCRETO ............................................................................................... 94

    3.2.3 ESFOROS RESISTENTES ................................................................................................ 97

    3.2.4 VERIFICAO DOS ESFOROS MNIMOS ABNT NBR 6118:2014 ........................ 99

    4. DEFINIO DO ALGORITMO DE OTIMIZAO ........................ 101

    4.1 DESCRIO DO EXEMPLO TESTE ......................................................................................... 102

    4.2 FORMULAO E RESULTADOS DA PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL E DO

    MTODO DOS PONTOS INTERIORES ............................................................................................... 105

    4.3 FORMULAO E RESULTADOS DOS ALGORITMOS GENTICOS ......................................... 111

    4.4 ANLISE DOS RESULTADOS ................................................................................................. 113

    5. FORMULAES DO PROBLEMA ............................................... 116

    5.1 VARIVEIS DO PROBLEMA .................................................................................................. 116

    5.2 FUNO OBJETIVO .............................................................................................................. 118

    5.3 FUNES DE RESTRIO ..................................................................................................... 120

    5.4 DEFINIO DO PROBLEMA FINAL ....................................................................................... 123

    5.5 EXEMPLOS DE APLICAO .................................................................................................. 126

    5.5.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................. 127

    5.5.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................. 132

    5.5.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................. 135

    5.5.4 EXEMPLO 4 .................................................................................................................. 139

    5.5.5 EXEMPLO 5 .................................................................................................................. 142

    6. CONCLUSES E SUGESTOES PARA TRABALHOS FUTUROS

    145

  • 6.1 CONCLUSES....................................................................................................................... 145

    6.2 SUGESTES .................................................................................................................... 146

    7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................. 148

  • 11

    1. INTRODUO

    O dimensionamento de estruturas em geral, e neste caso as de concreto armado, se

    d usualmente por meio de processos iterativos a partir de uma geometria pr-

    definida pelo projetista. Baseado na sua experincia obtm-se um projeto inicial das

    sees de concreto e ao. Em seguida so feitas as verificaes de resistncia e

    comparadas com as solicitaes atuantes para decidir se uma nova tentativa deve

    ser feita com a finalidade de reduo dos custos do projeto ou se o resultado

    encontrado j satisfatrio. Este processo realizado sucessivamente pelo prprio

    executor at que julgue ter encontrado a melhor soluo dentre as j testadas. Com

    isto, o tempo de projeto se torna muito longo alm de no ser possvel a garantia de

    que o dimensionamento timo tenha sido realizado uma vez que no foi feita uma

    anlise sistemtica do problema.

    Levando em conta as quantidades de variveis relacionadas ao processo de

    dimensionamento, dificilmente a melhor soluo para o projeto ser encontrada

    desta forma sem que seja feito um estudo detalhado da situao. Para tanto deveria

    se obter uma expresso que relacionasse como cada varivel de projeto influencia

    no objetivo que se pretende melhorar no projeto, que normalmente o custo final

    deste. Analisando esta expresso em funo destas variveis, seria possvel

    comparar os projetos entre si e ento, a partir de estudos, caminhar-se-ia para o

    projeto mais adequado a cada situao.

    neste sentido que entra a pesquisa de tcnicas de otimizao aliadas

    programao computacional para resolver os problemas relacionados ao

    dimensionamento estrutural. Esta tcnica trabalhada por meio de uma funo

    objetivo em que se pretende encontrar a soluo tima (como o custo, o peso, a

    rea da seo transversal ou qualquer outro parmetro desejado), podendo as

    variveis relacionadas a esta funo terem restries ou no. A otimizao pode ser

    aplicada em vrias situaes ou problemas que se deseja melhorar e obter o

    desempenho mximo. Por isto estes mtodos aplicados no dimensionamento de

  • 12

    estruturas tambm so vlidos e trazem benefcio comprovado na busca de

    melhores resultados.

    A partir de algoritmos determinsticos ou probabilsticos, escolhidos de acordo com

    as funes com as quais se est trabalhando, pode-se encontrar o ponto timo da

    funo. Ou seja, o conjunto de variveis utilizadas que geram o valor mnimo da

    funo em estudo. Neste caso a funo estudada ser o custo da estrutura que est

    sendo projetada, na qual se deseja obter o valor mnimo, e as variveis sero os

    fatores que influenciam significativamente no custo desta, como por exemplo, a rea

    de forma, volume de concreto, peso de ao entre outros. Deve-se criar uma funo

    nica descrevendo como todos estes fatores inferem no resultado buscado para em

    seguida aplicar as tcnicas de otimizao. A qualidade do resultado final de

    otimizao estar diretamente relacionada fidelidade desta funo com a situao

    real, por isto deve se ter em mos o maior nmero possvel de dados para uma boa

    calibrao do modelo.

    Entretanto esta no uma tarefa simples, pois o dimensionamento ir demandar

    vrias outras funes para se chegar aos valores aos quais a funo principal est

    relacionada. Sabe-se que para dimensionar estruturas de concreto so necessrias

    inmeras verificaes envolvendo uma quantidade significativa de variveis, o que

    torna o processo de otimizao mais complexo. Dessa forma, cada tcnica de

    otimizao ser melhor para algum tipo de problema, que dever levar em

    considerao a quantidade e o tipo de varivel, alm dos tipos de funes de

    restries.

    1.1 JUSTIFICATIVAS

    A literatura vem se aprofundando no tema de otimizao de pilares de concreto

    armado que tratem de casos mais sofisticados utilizados na atualidade.

    Alguns trabalhos de otimizao de pilares, como VIANNA (2003), BASTOS (2004),

    CHAVES (2004), JNIOR (2005), BANDEIRA E MIRANDA (2006), entre outros,

    trazem simplificaes nos modelos de pilares estudados como limitaes nos

    ndices de esbeltez dos elementos, ou restries nos valores da seo geomtrica

    com o objetivo de reduzir o nmero de equaes e facilitar o dimensionamento e por

  • 13

    consequncia a otimizao. Mas, consequentemente, tambm limitam a sua

    utilizao, o que no desejvel.

    Desta forma, possvel concluir que este trabalho poder contribuir para o

    dimensionamento de pilares de concreto armado de forma que possam ser

    dimensionados elementos com menores custos possveis.

    1.2 OBJETIVOS

    1.2.1 OBJETIVO GERAL

    Este trabalho tem como objetivo geral estudar os processos de otimizao mais

    apropriados para o dimensionamento estrutural, bem como aprofundar o estudo da

    anlise e dimensionamento de pilares de concreto armado conforme orientaes da

    ABNT NBR 6118:2014.

    1.2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

    E ainda, podem ser destacados os objetivos especficos deste trabalho que so:

    Fazer um estudo sobre o dimensionamento de estruturas de concreto, em

    especial de pilares, verificando os possveis estados limites em suas

    diferentes caractersticas de esbeltez;

    Fazer um estudo dos diferentes mtodos de otimizao conhecidos para

    poder aplicar e verificar dentre ele qual o mais adequado ao problema

    estudado;

    Definir e apresentar exemplos de otimizao de sees de pilares em

    concreto armado;

    Desenvolver um software de otimizao de pilares de concreto armado que

    possa ser utilizado em uma quantidade significativa de casos, aumentando a

    abrangncia do tema em relao aos trabalhos j publicados.

  • 14

    2. ESTADO DA ARTE REVISO BIBLIOGRFICA

    As tcnicas de otimizao, como j destacadas, so processos de grande

    importncia na busca pela melhor soluo de uma imensa variedade de problemas.

    Quando relacionada ao dimensionamento estrutural, esta busca sempre esbarra nos

    conflitos entre esforos atuantes e resistentes, sendo importante alcanar os

    parmetros que melhor atendem a relao entre estes conceitos.

    Existem, no entanto, diferentes tcnicas para se encontrar a soluo tima de um

    determinado problema, dependendo das variveis que esto sendo estudadas, do

    tipo de restries e das caractersticas do problema em si. Podem-se destacar

    basicamente duas vertentes dos processos de otimizao conhecidos atualmente.

    So eles: os mtodos heursticos e a programao matemtica.

    Para melhor compreenso do assunto, vlido citar alguns exemplos de algoritmos

    conhecidos para os mtodos probabilsticos (ou heursticos) e para os

    determinsticos (ou de programao matemtica). Os mtodos mais importantes

    para este trabalho sero melhores explicados na seo 2.2 deste captulo.

    Os mtodos mais populares de otimizao heurstica so: Algoritmos Genticos,

    Recozimento Simulado, Busca Tabu, Colnia de Formigas, Colnia de Abelhas,

    Enxame de Partculas e Busca Harmnica. Estes mtodos normalmente so

    inspirados em fenmenos que ocorrem na natureza e fundamentam seu

    funcionamento em regras probabilsticas, trabalhando apenas com os valores da

    funo e com os parmetros caractersticos de cada mtodo.

    J os mtodos de programao matemtica mais conhecidos so: Mtodo de

    Newton, Mtodo Quase-Newton, Mtodo da Mxima Descida, Mtodo do Gradiente

    Conjugado, Mtodo das Penalidades e o Mtodo do Lagrangiano Aumentado. Cada

    um com suas particularidades e maneiras determinsticas de encontrar a soluo

    tima. So conhecidos ainda vrios algoritmos implementados baseados em cada

    mtodo visando resoluo dos diversos problemas. Dentre eles destacam-se: a

    Busca Linear, a Programao Quadrtica, a Programao Quadrtica Sequencial e

    o Mtodo dos Pontos Interiores.

  • 15

    VIANNA (2003) explica que a programao matemtica composta por funes

    objetivo e funes de restrio que so funes das variveis de projeto. Esta

    programao pode ser linear caso tanto a funo objetivo quanto as funes de

    restries sejam lineares, ou ento no lineares quando alguma destas seja no

    linear. O autor ainda destaca que foram criados alguns mtodos de programao

    para serem aplicados na otimizao especificamente nos casos de programao

    no linear para melhor resolv-los em funo das suas particularidades.

    Por sua vez, os mtodos heursticos consistem em tcnicas probabilsticas de

    procura da soluo ideal com base nos princpios da gentica de sobrevivncia dos

    indivduos mais adaptados situao desejada. Dentre estes mtodos, vale

    destacar o mtodo dos Algoritmos Genticos que tem sido bastante utilizado em

    trabalhos acadmicos recentes sobre otimizao aplicada ao dimensionamento de

    estruturas porque se adapta bem a estes problemas, j que no possui restries

    quanto ao tipo de funo, se ela ou no derivvel, linear ou no linear, contnua ou

    no, entre outras caractersticas.

    MEDEIROS e KRIPKA (2012) trataram das diferenas entre as tcnicas

    determinsticas e probabilsticas de otimizao, e ainda realizaram um amplo estudo

    acerca dos trabalhos atuais que utilizam mtodos heursticos na otimizao de

    estruturas. A partir da comparao destes trabalhos que trataram de vrios mtodos

    probabilsticos como o Colnia de Formigas, Colnia de Abelhas, Enxame de

    Partculas, Busca Tabu, Busca Harmnica, Anlise do Recozimento Simulado e

    Algoritmos Genticos, concluram que os mais consolidados so os dois ltimos,

    aplicados em diversos trabalhos acadmicos. Alertam ainda que a eficincia do

    mtodo diretamente dependente da calibrao feita, portanto deve ser dada

    especial ateno a esta etapa.

    PEREA ET AL. (2007) utilizaram dois mtodos heursticos de otimizao para

    resolver problemas relacionados a estruturas de pontes de concreto armado.

    Utilizou para tanto as normas e os cdigos Espanhis relacionados rea de estudo

    no desenvolvimento do estudo de esforos e estados limites. Dentre os mtodos

    abordados, um deles o Mtodo dos Algoritmos Genticos. As solues

    encontradas foram julgadas eficientes e o produto do seu trabalho foi utilizado na

    construo de um metr na cidade de Valncia.

  • 16

    CASTILHO (2003) tratou da otimizao de elementos pr-moldados por meio do

    mtodo heurstico dos Algoritmos Genticos e comparou os resultados com a

    soluo dos mesmos problemas utilizando o mtodo determinstico do Lagrangiano

    aumentado. Foram estudados cinco problemas envolvendo o custo de painis

    alveolares e vigotas protendidas e ento foi possvel comprovar a eficincia e

    robustez dos AG`s. Ao comparar com o mtodo determinstico, este obteve melhor

    desempenho na maior parte das situaes. destacado ainda neste trabalho que

    os mtodos tradicionais, como o Lagrangiano Aumentado, so dependentes do

    ponto de partida adotado, diferente dos AG`s. Desta forma, o autor julgou que este

    ltimo o mais adequado para este tipo de problema.

    CORTS (2010) utilizou o Mtodo dos Algoritmos Genticos para otimizar o custo

    de construo de pontes de concreto armado e protendido constitudas de

    longarinas pr-fabricadas e lajes de tabuleiros pr-fabricados de concreto

    convencionalmente armado. Concluiu com o resultado final do seu trabalho que

    apesar do grande esforo computacional demandado por este mtodo, ele ainda o

    mais indicado para este tipo de situao devido sua rpida convergncia em

    comparao com os mtodos determinsticos. Para validar seu estudo, utilizou o

    algoritmo desenvolvido para comparar resultados de pontes dimensionadas pelo

    modo tradicional e comprovou que houve redues nos respectivos custos.

    SILVA (2011) desenvolveu um estudo de otimizao estrutural de estruturas

    reticuladas, sobretudo de trelias, que busca encontrar o peso timo destas,

    levando em considerao as no linearidades geomtricas. Tambm utilizou para

    tanto o mtodo estocstico dos Algoritmos Genticos, pois as funes

    desenvolvidas para o problema so descontnuas e este mtodo apresenta melhor

    resultado. Incluiu ainda exemplos de problemas de otimizao em geral e, neste

    caso especfico, aplicada ao dimensionamento estrutural de trelias, domos e

    prticos para melhor compreenso. Foi destacado ainda no trabalho que, devido s

    anlises no lineares, houve um custo computacional elevado.

    ARGOLO (2000), por meio da tcnica dos Algoritmos Genticos, analisou o

    dimensionamento timo de sees retangulares de concreto armado, solicitadas

    flexo-compresso reta. Ele comparou os resultados obtidos utilizando este mtodo

    com os mtodos tradicionais de dimensionamento, os bacos de interao. A partir

  • 17

    da anlise feita, concluiu dentre outros pontos que a utilizao dos bacos no

    recomendada quando se deseja obter reduo nos custos do projeto por verificar

    que a rea de ao obtida nos bacos foi ligeiramente maior que a do processo de

    otimizao utilizado, quando fixada a seo transversal, gerando um custo pouco

    maior. Esta situao ainda foi agravada quando a seo transversal foi deixada

    livre, e pode ser otimizada junto com a rea de ao, chegando a economias da

    ordem de 30%. Verificou ainda que o mtodo dos AG`s foi mais eficaz e robusto ao

    ser comparado com outros mtodos de otimizao. Seu algoritmo utilizou

    parmetros de penalizao durante o processo de desenvolvimento. Seu trabalho,

    no entanto deixou de abordar alguns parmetros como otimizao especfica de

    elementos como pilares, vigas e lajes.

    BASTOS (2004) aprofundou o trabalho feito por ARGOLO (2000) ao considerar as

    solicitaes de flexo-compresso oblquas em sees retangulares de concreto

    armado, tambm utilizando o mtodo dos algoritmos genticos. Trata tambm das

    diferenas, vantagens e desvantagens dos algoritmos genticos comparados s

    programaes matemticas clssicas em relao otimizao no dimensionamento

    de estruturas. Conclui que os algoritmos genticos foram os mais apropriados por

    no exigirem que a funo seja diferencivel e nem que seja contnua, alm de

    chegar muito mais prximo de um resultado global, situao que os mtodos

    clssicos no podem garantir. Desenvolve ainda um programa em linguagem Visual

    Basic que utiliza os conceitos de Algoritmos Genticos para dimensionar estruturas

    de concreto submetidas flexo-compresso oblqua

    SMANIOTTO (2005) desenvolveu um software em linguagem Visual Basic para

    dimensionamento de pilares que, baseado no clculo apenas da rea de ao de um

    pilar mantendo a seo transversal e o fck constantes, retorna um detalhamento da

    disposio da armadura que gera o menor custo por unidade de comprimento. Para

    tanto o autor no utilizou funes de otimizao, como estudados nos demais

    trabalhos, e a soluo encontrada por meio de processo iterativo de clculo da

    configurao armaduras longitudinais e transversais que resistem mais

    adequadamente aos esforos impostos. O autor utilizou um software com ampla

    utilizao no mercado e outro desenvolvido para fins acadmicos com objetivo de

    comparar os resultados obtidos no seu software e validar sua pesquisa.

  • 18

    CHAVES (2004) tratou em seu trabalho da otimizao do custo por unidade de

    comprimento de pilares de concreto armado por meio do mtodo determinstico

    padro. O estudo teve a limitao de trabalhar com os pilares com solicitaes

    somente no domnio 5 da ABNT NBR 6118:2007, ou seja, pilares submetidos

    apenas a esforos de compresso, seja pela fora normal ou pelo momento fletor

    solicitante. Tambm tem a limitao de no calcular a excentricidade de acordo com

    os procedimentos da norma, utilizando para tanto valores fixos desta excentricidade

    no clculo final e comparando os resultados dos custos. Alm da otimizao, o autor

    tambm tratou do ndice de confiabilidade dos resultados obtidos.

    JNIOR (2005) formulou um projeto timo para sees de pilares em relao ao

    custo por unidade de comprimento. Seu estudo trata da otimizao de vrios

    parmetros em conjunto como as variveis geomtricas, o fck do concreto e a rea

    de ao para se chegar soluo da funo objetivo. O autor subdividiu o problema

    de otimizao a um nvel global e local. Para isto ele estipulou que o fck seja varivel

    global e a rea de ao varivel local, transformando ento em vrios problemas

    locais de otimizao da rea de ao, dentro de um problema global de otimizao

    da geometria e fck do pilar. No seu desenvolvimento utilizou o mtodo determinstico

    de otimizao por meio do algoritmo de Han-Powell. O autor ainda destaca no seu

    trabalho que os valores timos da seo transversal so praticamente insensveis

    considerao do ao como varivel discreta, ou seja, a descrio desta como um

    conjunto entre o nmero de barras, dimetro e distribuio. Por no produzirem

    melhoras significativas, trata o ao como varivel simples, considerando apenas a

    sua rea total.

    SILVA (2000) desenvolve formulaes que otimizam estruturas de grande porte

    submetidas a carregamento dinmico. O estudo envolve a anlise conjunta de

    elementos da superestrutura e da fundao, permitindo que se obtenham resultados

    globais da estrutura e por consequncia menores esforos e custo final. Utiliza no

    seu trabalho o mtodo dos elementos finitos e o do Lagrangiano aumentado.

    CORTEZ (2011) formulou em seu trabalho uma tcnica de aproximao de

    derivadas para ser utilizada nos mtodos tradicionais de otimizao com restries.

    Utilizou para tanto algoritmos da famlia do de direes viveis, entre eles o mtodo

    de Quase-Newton e o do Ponto Interior. Devido s aproximaes feitas, o autor

  • 19

    indica o modelo apenas para problemas de engenharia de menor porte. Ao

    comparar o modelo desenvolvido com outros mtodos de otimizao como os

    Algoritmos Genticos e o mtodo dos elementos finitos, o autor classificou seu

    algoritmo como robusto e eficiente.

    CHRISTOFORO ET AL (2007) criaram um software que com base no mtodo dos

    elementos finitos e aliado ao mtodo dos mnimos quadrados dimensiona a rea

    tima da seo transversal de elementos reticulados, especialmente as trelias. O

    resultado timo procurado pelo software desenvolvido a partir de uma equao

    que os autores desenvolveram pelos mtodos citados deixando como varivel

    independente a rea da seo. A partir deste ponto, minimizam a equao pelo

    mtodo de Newton.

    RIGO (1999) estudou os mtodos de otimizao, especialmente o mtodo do

    Gradiente, o mtodo de Newton e o mtodo Quase-Newton para aplic-los na

    analise do comportamento no linear de estruturas. O autor aplicou estes mtodos

    em exemplos de estruturas reticulares como vigas, prticos e trelias para validar

    sua analise. Concluiu ento aps comparar os resultados e outros fatores como

    tempo de processamento e eficcia dos algoritmos que o mais apropriado para as

    situaes demonstradas foi o mtodo de Newton.

    BANDEIRA E MIRANDA (2006) criaram um software em linguagem C++ que otimiza

    o custo de um pilar, buscando a seo tima do mesmo ao manipular a geometria e

    rea de ao deste. Utilizaram em seu software a programao matemtica e o

    mtodo do Lagrangiano Aumentado. Possui como limitao o fato de no

    dimensionar pilares como sugere a norma, calculando valores de excentricidade

    inicial, acidental, de segunda ordem e de fluncia, por exemplo. Ao invs disto os

    autores propem uma equao bsica que torna o resultado simplificado.

    E SILVA ET AL (2010) desenvolvem um modelo computacional que otimiza uma

    viga de concreto armado de seo T submetidas flexo simples apenas. Utilizam

    a programao matemtica e em particular o mtodo de Programao Quadrtica

    Sequencial para chegarem ao resultado desejado. Os autores consideram que o

    elemento esteja entre os domnios 3 e 4 do Estado Limite ltimo tratados na norma

    ABNT NBR 6118:2007 e modelam seu programa para que atenda a esta

  • 20

    expectativa. O software criado retorna valores para as dimenses da viga, bem

    como para a rea de ao que produziram o menor custo do elemento.

    SILVA, JUNIOR, E NEVES (2010) desenvolveram um modelo de otimizao de

    vigas mistas de ao-concreto com perfis I, capaz de definir a seo transversal da

    do perfil com menor rea capaz de resistir aos esforos e atender todas as

    restries impostas nas normas. Os autores utilizaram em seu trabalho o mtodo

    Simplex para definir o ponto timo, cujo processo consiste em determinar pontos

    bsicos viveis do problema a cada iterao e parar quando as condies de Kuhn

    Tucker forem atendidas conforme explicado no prprio trabalho. Com isto, foram

    obtidos resultados satisfatrios para o problema estudado pelos autores.

    SOARES (1997) tratou em seu estudo da otimizao de sees transversais de

    concreto armado sujeitas a flexo com o foco em aplicao a pavimentos. Utilizou

    para isto o mtodo dos multiplicadores de Lagrange, que est includo na

    programao matemtica. Os parmetros que foram otimizados no final do processo

    foram a altura da viga e a rea de ao necessria. O modelo apresentou restries

    por no estudar os esforos cortantes e momentos de toro. Depois de concludo o

    trabalho e comparado com outros trabalhos feitos, o autor chegou concluso de

    que o modelo atendeu a expectativa e trouxe economia para o projeto final.

    TELES E GOMES (2010) realizaram um estudo comparativo entre duas tcnicas de

    otimizao, sendo uma probabilstica e outra determinstica. A tcnica determinstica

    utilizada no trabalho foi o algoritmo de Programao Quadrtica Sequencial e para a

    tcnica probabilstica foi utilizado o mtodo dos Algoritmos Genticos. Esta escolha

    foi baseada nos mtodos mais utilizados na literatura. Para realizar a comparao

    os autores escolheram trs modelos de problemas frequentes na literatura sobre

    trelias metlicas com resultados conhecidos, e por meio do software MatLab

    modelaram estes problemas em cada tcnica citada. Em seguida compararam os

    resultados obtidos com os conhecidos da literatura. Concluram que o algoritmo

    probabilstico obteve melhor desempenho em comparao ao determinstico por ser

    mais robusto e chegar mais prximo da soluo tima global. No entanto

    destacaram a necessidade de se estudar melhor os dados de entrada do algoritmo

    gentico que ir gerar os melhores resultados.

  • 21

    VIANNA (2003) desenvolveu um programa para otimizar elementos de um edifcio

    tratado no trabalho como um prtico plano. Para isto o autor otimizou em separado

    vigas e pilares, e a partir da nova condio tima, recalculou esforos e novamente

    modelou estes elementos at que se encontrasse a soluo julgada tima. Ainda foi

    destacado que a soluo global da estrutura poderia trazer maiores benefcios na

    otimizao desta, porm a alta complexidade de materiais e elementos diferentes

    fez que com a otimizao local fosse escolhida. A funo objetivo foi a de menor

    custo dos elementos por unidade de comprimento e a tcnica utilizada foi o mtodo

    de Lagrange, ou seja, um mtodo determinstico. No estudo de pilares o autor

    limitou seu estudo aos pilares sujeitos apenas a compresso pura ou flexo-

    compresso com linha neutra fora da seo transversal, gerando apenas esforos

    de compresso. Ou seja, pilares no domnio 5 do Estado Limite ltimo da ABNT

    NBR 6118:2007. Segundo FUSCO (1995), Isto limita o estudo de pilares sujeitos

    apenas a pequenas excentricidades. No foi tratado tambm dos efeitos de

    excentricidade prescritos pela referida norma. Alm disto, os pilares foram

    considerados trabalhando apenas a flexo normal que restringe sua utilizao por

    no trazer os efeitos da flexo oblqua.

    Pode-se observar que a otimizao vem sendo bastante discutida no meio

    acadmico nos ltimos tempos pois um tema bastante relevante para a

    engenharia sobretudo na questo dos custos e tempo de execuo de projetos. Em

    vrios trabalhos como em TELES E GOMES (2010), BASTOS (2004) ,ARGOLO

    (2000), entre outros so tratadas as diferenas, vantagens e desvantagens entre os

    mtodos probabilsticos e determinsticos de otimizao. O que tem sido abordado

    que os modelos probabilsticos consomem um esforo computacional maior que os

    determinsticos, no entanto so mais robustos e em geral chegam mais prximos da

    soluo tima global quando comparados a estes, nos casos especficos dos

    trabalhos desenvolvidos. Os mtodos determinsticos ainda possuem a

    desvantagem de no conseguirem trabalhar com funes no diferenciveis sendo

    necessrio fazer algumas adaptaes como no caso da Programao Quadrtica

    Sequencial para aproximar os resultados fazendo com que se perca um pouco da

    preciso do problema. No entanto, mesmo com a possvel perda da preciso, este

    tipo de programao ainda aconselhada quando as funes so diferenciveis em

    virtude do esforo computacional requerido.

  • 22

    Este trabalho pretende abordar um tema que vem sendo estudado, que a

    otimizao da seo transversal de elementos sujeitos flexo-compresso oblqua,

    como o caso de pilares, porm com ampliao de alguns parmetros que devem

    ser verificados, como por exemplo excentricidades de segunda ordem, prescritos

    pela ABNT NBR 6118:2014. Para determinao do mtodo de otimizao a ser

    utilizado, ser estudado um caso da literatura parecido com o desejado, com

    soluo conhecida, que ser modelado para ambos os mtodos e verificado qual

    apresentar melhor resposta.

    2.1. DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO

    Ser tratado de forma sucinta neste trabalho sobre como a ABNT NBR 6118:2014 e

    alguns autores renomados como CARVALHO & PINHEIRO (2009), FUSCO (1995)

    entre outros, tratam do dimensionamento de estruturas de concreto armado, em

    especial de pilares, no sentido de explicar conceitos e hipteses e metodologias

    utilizadas no dimensionamento.

    2.1.1. HIPTESES ACEITAS NO DIMENSIONAMENTO

    SMANIOTTO (2005) explica que ao dimensionar os elementos sujeitos a flexo-

    compresso so aceitas algumas hipteses bsicas tratadas pela ABNT NBR

    6118:2014 para poder validar toda a metodologia de clculo que ser abordada em

    seguida:

    As sees planas permanecem planas aps aplicao das tenses normais

    at o estado limite ltimo (ELU). Esta hiptese possui a restrio de que a

    relao entre os pontos onde o momento fletor se anula e a altura

    considerada til da seo transversal no pode ser maior que dois. Este p

    caso, por exemplo, de uma viga biapoiada com carregamento constante, em

    que a distncia entre os apoios (distncia entre momentos fletores nulos)

    deve ser maior que duas vezes a sua altura til (altura da seo transversal

    menos a distncia da borda mais solicitada at o centro de gravidade da

    camada de armao.

  • 23

    O ao e o concreto deformam-se do mesmo modo, ou seja, sua deformao

    especfica idntica. Para tanto se deve admitir que a aderncia entre estes

    materiais seja completa.

    BASTOS (2004) ainda acrescenta mais duas hipteses importantes citadas na

    norma. Pode-se assim descrev-las:

    No ELU, o concreto, o ao, ou ambos so supostos plastificados. Ou seja,

    algum destes materiais atinge o estado de ruptura de acordo com a

    deformao solicitada e os diagramas de tenso por deformao do concreto

    e do ao trazidos pela ABNT NBR 6118:2014. Desta forma, as deformaes

    desta seo devero pertencer a um dos domnios que a norma cita e que

    sero tratados adiante neste artigo.

    As tenses de trao s qual o concreto est submetido na seo transversal

    podem ser desprezadas j que sua resistncia possui valores muito

    pequenos e estando o material sujeito a fissurao, esta resistncia ser

    muito prejudicada. Desta forma estes esforos sero considerados

    inteiramente absorvidos pelo ao.

    2.1.2. DOMNIOS DO E.L.U.

    A ABNT NBR 6118:2014 tambm define o estado de ruptura como de dois possveis

    tipos. A ruptura convencional por deformao plstica excessiva (do ao) e a ruptura

    por encurtamento limite do concreto. Estes estados so tais que a condio

    deformada plana do elemento considerado esteja em uma das condies (A, B ou

    C) do grfico apresentado no escopo da referida norma. Conforme pode-se

    perceber na Figura 1, o esquema ainda subdivide os estados limite ltimos em oito

    domnios reta a, domnios 1, 2, 3, 4, 4a, 5 e reta b de acordo com seu estado de

    tenses.

    Figura 1 - Domnios de estado limite ltimo de uma seo transversal

  • 24

    Fonte: item 17.2.2 da ABNT NBR 6118 (2014)

    Onde:

    - Para concretos de classe at C50:

    c2 = 2,0%

    cu = 3,5%

    - Para concretos de classe maior que C50:

    c2 = 2,0% + 0,085%.(fck-50)0,53;

    cu = 2,6% + 35%.[(90-fck)/100]4;

    E podem-se definir os tipos de ruptura como:

    Ruptura convencional por deformao plstica excessiva:

    - reta a: trao uniforme;

    - domnio 1: trao no uniforme, sem compresso;

    - domnio 2: flexo simples ou composta sem ruptura compresso do

    concreto (c

  • 25

    - domnio 3: flexo simples ou composta com ruptura compresso do

    concreto e com escoamento do ao (s fyd);

    - domnio 4: flexo simples ou composta com ruptura compresso do

    concreto e ao tracionado sem escoamento(s< fyd);

    - domnio 4a: flexo composta com armaduras comprimidas;

    - domnio 5: compresso no uniforme, sem trao;

    - reta b: compresso uniforme;

    Para melhor compreenso do dimensionamento das estruturas de concreto armado,

    pode-se explicar sobre os diagramas de tenso x deformao do concreto e do ao

    recomendados pela norma brasileira (ABNT NBR 6118:2014).

    2.1.3. DIAGRAMAS TENSO x DEFORMAO NO E.L.U.

    Para o estado limite ultimo do concreto, recomenda-se a utilizao do diagrama

    parbola-retngulo na distribuio de tenses do concreto como mostra a Figura 2.

    Onde fcd o valor de clculo da resistncia do concreto descrito na norma.

    Figura 2 - Diagrama tenso-deformao idealizado do concreto

    Fonte: item 8.10.1 da ABNT NBR 6118 (2014)

  • 26

    Onde c2 e cu so conforme definidos na seo 2.1.2.

    J para o estado limite ltimo do ao, a ABNT NBR 6118:2014 recomenda a

    utilizao de um diagrama simplificado tanto para aos com patamar de escoamento

    ou sem, vlido para temperaturas entre -20 a 150 graus Celsius.

    Figura 3 - Diagrama tenso-deformao para aos de armadura passiva

    Fonte: item 8.3.6 da ABNT NBR 6118 (2014)

    2.1.4. EXCENTRICIDADES

    No dimensionamento de elementos de concreto, a ABNT NBR 6118:2014 indica que

    devem ser consideradas excentricidades em todos os casos. Essa excentricidade

    pode ser dividida em dois grupos: de primeira e de segunda ordem. Este ltimo caso

    ser considerado somente em algumas situaes.

    Nas excentricidades de primeira ordem esto includas a excentricidade inicial e a

    acidental. A primeira ocorre quando existe realmente uma distncia do centro

    geomtrico da seo ao ponto de aplicao da fora ou quando se substitui o

    momento aplicado no pilar por uma fora normal, somada a uma excentricidade

    fictcia. O segundo tipo de excentricidade de primeira ordem, a acidental, ocorre

    pelo fato de se considerar a incerteza na posio exata do ponto de aplicao da

    fora e tambm pela possibilidade de imperfeies globais e locais na execuo dos

    elementos.

  • 27

    J nas excentricidades de segunda ordem, esto englobadas as excentricidades

    devido aos efeitos de segunda ordem de fato e as devido fluncia do concreto. As

    primeiras ocorrem devido aos esforos provenientes da posio deformada da

    estrutura. Para tanto, se considera um aumento na excentricidade total, incluindo a

    de segunda ordem. A segunda ocorre devido propriedade do concreto de se

    deformar ao longo do tempo. A ABNT NBR 6118:2014 exige que seja considerado

    este tipo quando a esbeltez dos pilares estiver acima de 90.

    2.1.5. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM

    Os efeitos de segunda ordem so aqueles oriundos da posio deformada da

    estrutura, a qual estar sujeita a esforos diferentes dos inicialmente impostos

    devido aos momentos gerados pelas foras iniciais aplicadas s deformaes ou

    excentricidades geradas por estas.

    A ABNT NBR 6118:2014 trata destes efeitos em um item especial, considerando

    excentricidades adicionais de acordo com o ndice de esbeltez do pilar. Para pilares

    com 90, a referida norma permite que sejam utilizados mtodos aproximados

    para determinao destes efeitos. J para pilares com > 90 deve-se utilizar

    mtodos mais refinados, e para tanto sugerido nesta norma o mtodo geral e para

    pilares com

  • 28

    3. Pilares com 90, seo constante, armadura simtrica e constante ao longo

    de seu eixo, submetidos flexo composta normal:

    Pode ser utilizado o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (item

    15.8.3.3.2 da ABNT NBR 6118:2014);

    4. Pilares com 90, seo retangular constante, armadura simtrica e constante

    ao longo de seu eixo, submetidos flexo composta normal:

    Podem ser utilizados o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (item

    15.8.3.3.2 da ABNT NBR 6118:2014) ou o mtodo do pilar-padro com rigidez

    aproximada (item 15.8.3.3.3 da ABNT NBR 6118:2014);

    5. Pilares com 90, seo retangular constante, armadura simtrica e constante

    ao longo de seu eixo, submetidos flexo composta oblqua:

    Pode ser utilizado o mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada admitindo

    que os momentos totais atuem simultaneamente nas duas direes principais x e y

    (item 15.8.3.3.3 e 15.8.3.3.5 da ABNT NBR6118:2014);

    6. Pilares com 1(Pilares Curtos):

    Os esforos locais de 2a ordem podem ser desprezados. (item 15.8.2 da ABNT NBR

    6118:2014);

    O presente trabalho tem como objetivo estudar pilares com ndice de esbeltez

    menores que 90, por ser o tipo de pilar mais utilizados na prtica. Desta forma, ser

    tratado apenas o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada sugerido pela

    ABNT NBR 6118:2014, j que este mtodo fornece valores mais prximos da

    realidade conforme apresentado por JUNIOR E KIMURA (2013).

    2.1.5.1. MTODO DO PILAR-PADRO

    Os mtodos utilizados no dimensionamento de pilares, especialmente os

    aproximados, basicamente procuram identificar a regio mais solicitada do elemento

    e, a partir de algumas aproximaes e consideraes, determinar os esforos

    atuantes de segunda ordem. O mtodo do pilar-padro consiste em estudar a forma

    de curvatura de um pilar engastado na base e livre no topo, submetido a uma fora

  • 29

    normal e uma excentricidade inicial, para determinar ento o efeito de segunda

    ordem baseado nesta curvatura.

    CARVALHO & PINHEIRO (2009) demonstram esta exemplificao a partir da figura

    seguinte:

    Figura 4 - Pilar engastado na base e solto na extremidade superior, equivalente a um pilar bi rotulado com o dobro do comprimento, solicitado por carga vertical

    excntrica.

    Fonte: CARVALHO & PINHEIRO (2009)

    Na determinao da excentricidade de segunda ordem so pressupostas as

    hipteses:

    A flecha mxima (a) funo da curvatura da barra;

    A linha elstica da barra deformada dada por uma funo senoidal;

    A curvatura dada pela derivada segunda da equao da linha elstica;

    Ser desconsiderada a no-linearidade fsica do material;

    Assim, considera-se que a linha elstica y(x) do eixo da barra seja expressa:

    ( ) (

    ) (2.1.1)

  • 30

    Conforme a Figura 4, o comprimento equivalente do pilar (le) equivale a 2l, e

    portanto tm-se:

    ( ) (

    ) (2.1.2)

    Pode-se verificar que esta expresso atendo as condies de contorno y(x=0)=0 e

    y(x=l)=a. Para deslocamentos pequenos, a expresso da curvatura dada por:

    ( )

    (2.1.3)

    Ao derivar duas vezes a expresso (2.1.2), obtm-se:

    ( )

    (

    ) (2.1.4)

    ( )

    (

    ) (

    ) (2.1.5)

    Aplicando a expresso (2.1.5) em (2.1.3), tm-se:

    (

    ) (

    ) (2.1.6)

    Seja , ento em a curvatura ser:

    (

    )

    (

    )

    (2.1.7)

    Desta forma o valor da curvatura mxima ser expresso por:

    (

    )

    (2.1.8)

    E aproximando , o valor da excentricidade de segunda ordem ser:

    (

    )

    (2.1.9)

    e

    (

    )

    (2.1.10)

  • 31

    Onde:

    M2= Momento causado pelo efeito de segunda ordem;

    = Excentricidade causada pelo efeito de segunda ordem;

    = Comprimento efetivo do pilar;

    (

    )

    = Curvatura do pilar-padro considerado.

    2.1.5.2. MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA

    O mtodo aqui descrito prescrito na ABNT NBR 6118:2014, baseado no pilar-

    padro, e apresentam algumas aproximaes para os valores da curvatura.

    A norma apresenta em seu item 15.8.3.3.2 o mtodo de clculo para obteno do

    momento total mximo no pilar.

    A curvatura do pilar-padro para efeito de clculo aproximada em funo da altura

    da seo transversal e da fora adimensional por:

    (

    )

    ( )

    (Curvatura na seo crtica) (2.1.11)

    E a fora adimensional dada por:

    (2.1.12)

    Onde:

    = fora normal solicitante;

    = rea de concreto da seo transversal;

    = fora resistente de clculo do concreto;

    Desta forma, o momento total seria calculado como sendo o momento total de

    primeira ordem acrescido do momento de segunda ordem. A ABNT NBR 6118:2014

    prescreve a frmula para o clculo deste momento solicitante:

  • 32

    (2.1.13)

    Onde

    = coeficiente de ponderao do momento de primeira ordem em funo do

    diagrama de momento solicitante;

    = momento de primeira ordem atuante na seo crtica do pilar;

    Com isto, possvel calcular o momento total para os pilares medianamente

    esbeltos. Ou seja, aqueles cujo ndice de esbeltez maior que o mnimo e menor

    que 90.

    2.2. PROCESSOS DE OTIMIZAO

    A otimizao um processo para determinar a melhor soluo para um problema

    dado. Este problema chamado de objetivo e pode representar alguma quantidade,

    qualidade ou qualquer outro fator que pode ser apresentado como um nmero. Nos

    problemas de otimizao so utilizados alguns conceitos importantes de serem

    destacados.

    BASTOS (2004) cita, entre outros, as variveis de projeto, restries, funo

    objetivo, soluo tima e espao de busca.

    As variveis de projeto so todas aquelas caractersticas que tm seu

    valor modificado de acordo com a modelagem do processo de

    otimizao;

    As restries so as situaes limites na qual o problema estudado

    no pode infringi-las. Ou seja, os valores da soluo devem estar

    contidos num espao limitado pelas restries;

    A funo objetivo o resultado da modelagem do problema. a

    funo na qual so sintetizadas todas as variveis do projeto para

    chegar num valor para o objetivo do processo;

    A soluo tima aquela que, dentre todo o conjunto possvel de

    solues, possui o melhor valor para a funo objetivo em estudo.

  • 33

    Este pode ser o maior ou menor dentre todos, dependendo do tipo de

    anlise que est sendo feita;

    O espao de busca o conjunto de todas as solues viveis para o

    problema, delimitados pelas restries impostas.

    2.2.1. TIPOS DE OTIMIZAO

    CHAVES (2004) descreve alguns tipos de modelos de otimizao podendo destac-

    los em:

    Discreta e Contnua

    A otimizao discreta consiste numa funo objetivo em que o nmero de solues

    possveis determinado. Ou seja, existe um nmero finito de solues no espao

    de busca. J a contnua definida por possuir um conjunto infinito de solues, j

    que a funo objetivo ser contnua no espao de busca especificado.

    Restrita e No-Restrita

    Quando as variveis de projeto possuem algum tipo de restrio, em que um

    conjunto de valores destas variveis no pode ser assumido na funo ela

    chamada de restrita. J no caso em que as variveis podem assumir quaisquer

    valores num conjunto indeterminado, ou seja, no possuem restrio, este tipo de

    otimizao chamado de no restrito.

    Ainda quando for restrita, e todas as funes de restrio e tambm a funo

    objetivo for linear, ser feita uma programao linear. J no caso em que qualquer

    uma destas funes for no linear, a programao ser da mesma forma no linear.

    Local e Global

    Uma soluo chamada de local, quando ela a menor ou maior dependendo da

    anlise que est sendo feita dentro de uma vizinhana definida ao redor desta.

    Esta soluo no necessariamente a menor ou maior dentre todas as possveis. A

    soluo que atende o objetivo para todas as solues existentes em todo o espao

    de busca ser chamada de soluo global.

  • 34

    A soluo global no fcil de ser encontrada ou garantida. A maioria dos

    algoritmos capaz apenas de achar a soluo local de um problema que ser

    determinado principalmente pelo ponto de partida dado. Neste caso deve-se fazer

    um estudo sobre a melhor soluo ou ponto de partida para o problema.

    Probabilstico e Determinstico

    Processos de otimizao em que a soluo encontrada por meio de soluo

    matemtica exata, baseado em formulaes e mtodos matemticos de trabalho da

    funo objetivo so chamados de determinsticos. Estes mtodos so indicados

    para funes mais simples com poucas variveis, devido ao fato de se tornarem

    menos eficientes em termos de esforo computacional e procura da soluo global.

    Os processos de otimizao que se baseiam em probabilidades de eventos e

    refinamento dos possveis conjuntos de soluo so chamados de estocsticos, ou

    probabilsticos. Um processo estocstico que tem sido bastante utilizado na atual

    literatura para o dimensionamento de estruturas como em SILVA (2011), BASTOS

    (2004), e vrios outros citados em MEDEIROS E KRIPKA (2012) o mtodo dos

    algoritmos genticos.

    2.2.2. PROGRAMAO MATEMTICA

    O problema de otimizao, conforme j explicado, possui uma funo objetivo que

    pode ser chamada de f que descrita em funo do vetor das variveis que pode

    ser chamado de x e ainda est sujeito ao vetor de restries que pode ser

    chamado de c que tambm funo de x. Desta forma a estrutura deste

    problema ficaria conforme abaixo:

    Minimizar f(x) x (2.2.1)

    Sujeito a ci(x) 0 i = 1...l

    ci(x) = 0 i = l+1... m

    xil xi xi

    u i = 1 ... n

    As funes f e ci so escalares consideradas em funo da varivel x.

  • 35

    JNIOR (2005) cita que existem algumas condies que definem se a soluo x*

    encontrada um mnimo local. Estas condies so chamadas de Kuhn-Tucker, ou

    tambm conhecidas como condies de primeira ordem, e podem ser descritas

    como:

    ( )

    ( )

    ( ) (2.2.2)

    (

    )

    Onde ( ) dada pela seguinte expresso:

    ( ) ( ) (

    ) (2.2.3)

    ( ) a funo Lagrangiana, so os multiplicadores de Lagrange vinculados a

    ( ), que so as funes de restries, no ponto timo chamado de x*.

    Essas condies de Kuhn-Tucker so suficientes na determinao do ponto timo

    local somente para os problemas em que todas as funes (funo objetivo e

    funes de restrio) so convexas. Para o caso em que alguma das funes no

    seja convexa, devem-se verificar tambm as chamadas condies de segunda

    ordem, descritas conforme a seguir:

    (2.2.4)

  • 36

    Onde a derivada primeira dos vetores (

    ) e a derivada segunda da

    funo Lagrangiana, chamada de matriz Hessiana. Desse modo, esta matriz ser

    sempre positiva no ponto timo para qualquer direo d.

    Nos processos determinsticos de programao matemtica, so realizadas

    operaes nas funes que utilizam na maioria das vezes pelo menos a derivada

    primeira desta funo. Isto exige que a funo em questo seja contnua e

    diferencivel.

    BASTOS (2004) explica que existe uma grande diversidade de mtodos que

    empregam este tipo de programao matemtica. Dentre alguns, ele destaca o

    Mtodo de Newton, Mtodo Quase-Newton, Mtodo da Mxima Descida, Mtodo do

    Gradiente Conjugado, Mtodo das Penalidades e o Mtodo do Lagrangiano

    Aumentado.

    2.2.2.1. TIPOS DE ALGORITMOS DA PROGRAMAO MATEMTICA

    PEREIRA (2002) cita em seu trabalho que existem inmero tipos de algoritmos,

    baseados na programao matemtica, criados para cada caracterstica das

    funes-objetivo e das restries.

    Para problemas cujas funes objetivo sejam lineares assim como as funes de

    restrio, so utilizados os algoritmos do tipo lineares. J para o caso em que a

    funo objetivo no seja linear, mas sim quadrtica, e as restries sejam lineares,

    utilizam-se algoritmos quadrticos para resolverem estes problemas. E no caso de

    ambas as funes objetivo e de restries serem no lineares, utilizam-se os

    algoritmos no lineares.

    Quando as funes so lineares ou quadrticas, o processo se torna mais simples

    para utilizar os algoritmos, visto que estes possuiro um nmero determinado de

    passos para se chegar soluo procurada. Os algoritmos no lineares, no entanto,

    podem no ter um nmero definido de passos. O que se espera destes a

    convergncia para um ponto timo local depois de uma sequncia de iteraes.

  • 37

    Desta forma, os algoritmos no lineares de programao matemtica, com ou sem

    restrio so gerados por processos iterativos de busca da soluo tima, onde

    dado um ponto inicial x0 e uma direo de busca d, so gerados novos pontos x,

    mais prximos do ponto timo local. Esta expresso pode ser demonstrada

    conforme a seguir:

    (2.2.5)

    Os algoritmos possuiro duas principais etapas. A determinao da direo d,

    anteriormente citada, e o valor da constante t que definir o tamanho do passo dado

    naquela direo. baseado nesta expresso que muitos algoritmos so escritos de

    vrios mtodos diferentes, de acordo com as funes estudadas.

    Alm disto, os algoritmos sero chamados de primeira ordem, quando utilizarem

    apenas as primeiras derivadas das funes, e as condies de Kuhn Tucker, aqui

    descritas, forem suficientes para se encontrar os mnimos locais do problema.

    Quando estes algoritmos necessitarem utilizar as derivadas segundas, e as

    condies de segunda ordem bem como a matriz Hessiana, sero chamados de

    algoritmos de segunda ordem.

    2.2.2.2. MTODO DE NEWTON

    Este mtodo, elaborado conforme descrito a seguir, pode ser utilizado para funes

    sem restries. JNIOR (2005) destaca que a principal caracterstica deste mtodo

    consiste em aproximar funes f(x) para funes do tipo quadrtica para que

    possam ento ser minimizadas. Para tanto, utiliza expanso por srie de Taylor at

    o termo de segunda ordem para a funo f(x). Ou seja:

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )( ) (2.2.6)

    Se

    ( ) (2.2.7)

    e

  • 38

    ( ) ( ) (2.2.8)

    Substituindo (2.2.7) e (2.2.8) em (2.2.6), tem-se:

    ( ) ( )

    (2.2.9)

    Em que d a direo de busca que se pretende introduzir na funo, g o vetor

    gradiente da funo f, e H a matriz das derivadas segundas da funo f, ou

    tambm chamada de matriz Hessiana no ponto x0. Esta matriz ser positiva,

    definida e simtrica. A equao (1.3.9) encontrada ser quadrtica com a varivel d

    em estudo. Assim, o problema da minimizao consistir em determinar uma

    direo d, que quando aplicada funo objetivo, trar um valor menor que o

    anterior, sendo este passo reproduzido at que se encontre o ponto timo. Ou seja,

    ( ) ( ). Desta forma tem-se:

    ( ) (

    ) (2.2.10)

    Para se achar um ponto mnimo, deve-se encontrar o ponto onde a tangente da

    funo seja nula, ou seja, ( ) . E ento se tem:

    (2.2.11)

    Desta forma, encontra-se o ponto global da funo quadrtica que foi aproximada

    da funo f(x). Para melhorar a preciso, pode-se partir deste novo ponto, e

    aproximar novamente a funo inicial para uma funo quadrtica, e realizar as

    mesmas etapas at que se obtenha o resultado dentro de uma faixa de erro

    desejada. Vale ressaltar, que se a funo f(x) for originalmente quadrtica, ento

    este mtodo obtm o ponto timo em um nico passo. A desvantagem deste

    mtodo o custo computacional elevado que se gasta na elaborao da matriz

    Hessiana, sobretudo quando se trabalha com um nmero elevado de variveis.

    Para tanto foram surgindo os mtodos Quase-Newton com a finalidade de

    aproximar a Hessiana, construindo-a a partir de valores dos gradientes da funo f

    encontrados no decorrer das iteraes sem perder a eficincia de convergncia do

    mtodo de Newton. Pode-se destacar nestes mtodos a convergncia super linear,

  • 39

    com destaque para o mtodo BFGS (o mtodo possui este nome por ter sido criado

    pelos autores Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno).

    2.2.2.3. BUSCA LINEAR

    Determinada a direo d que ir minimizar a funo f(x), necessrio ento que se

    saiba o tamanho do passo t dado nesta direo em busca do ponto timo. Para

    tanto necessrio que se minimize a funo p(t) que pode ser definida conforme a

    seguir:

    ( ) ( ) (2.2.12)

    Ao analisar esta equao verifica-se que:

    ( ) ( ) (2.2.13)

    e

    ( ) ( )

    |

    (2.2.14)

    Em que p(0) a derivada da funo p em funo de t, no ponto t=0.

    Dependendo do mtodo que se utiliza para a otimizao do problema, esta busca

    linear pode ser feita de forma exata ou aproximada. Est ltima uma tcnica mais

    recente que possui como objetivo determinar um t, de modo que a funo f tenha

    um decrscimo pr-determinado como:

    ( ) ( ) ( ) (2.2.15)

    Onde responsvel por definir o tamanho do passo que ser dado. Quando for

    um valor pequeno, o passo dado ser inversamente proporcional a este, ou seja,

    ser dado um passo grande. Da mesma forma, se for escolhido um valor grande

    para , o passo dado ser pequeno.

    Outra forma de se realizar a busca linear realizando uma aproximao quadrtica

    para a funo p, e a partir da calcular o ponto t que ser o mnimo para esta

  • 40

    equao, verificando sempre se a equao (2.2.12) ser satisfeita. Caso no seja, a

    equao atualizada e feita uma nova iterao com um novo ponto.

    2.2.2.4. PROGRAMAO QUADRTICA

    A programao quadrtica consiste num esquema um pouco diferente para se obter

    o mnimo da funo objetivo. Este tipo de programao pode ser utilizado em

    problemas com restries. Seu objetivo procurar o vetor soluo, chamado de x*,

    dentro de um problema com a seguinte estrutura:

    (2.2.16)

    Onde a a matriz com os coeficientes das derivadas das funes de restrio e b

    o vetor dos termos independentes destas funes. E ainda se Q for uma matriz

    positiva definida, poder ser garantida a existncia de somente um ponto mnimo

    local, j que o problema se tratar de uma funo convexa.

    Segundo PEREIRA (2002), este tipo de problema pode ser resolvido em trs etapas

    definidas a seguir:

    1. Eliminar as restries de igualdade do problema, e com isso diminuir o

    nmero das variveis independentes para n-1, obtendo-se um problema

    de programao quadrtica (reduzida), que contenha somente as

    restries de desigualdade. Este problema chamado de problema

    padro de PQ.

    2. Transformar o problema reduzido de programao quadrtica num

    Problema Linear Complementar (PLC), que pode ser resolvido por meio

    de mtodos de pivoteamento como o de Lemke.

    3. Recupera-se a soluo para o espao original com o clculo das variveis

    eliminadas na primeira etapa, obtendo-se os valores de x e .

  • 41

    2.2.2.5. PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL

    A Programao Quadrtica Sequencial PQS consiste num mtodo de

    otimizao que se baseia na resoluo das condies necessrias de primeira

    ordem. Possui como ideia principal se aproximar do Mtodo de Newton pelo fato de

    este possuir uma convergncia quadrtica muito boa. No entanto o Mtodo de

    Newton s pode ser utilizado em problemas sem restrio. E neste ponto que se

    desenvolve a tcnica da PQS.

    Ela pode ser considerada o resultado da aplicao do Mtodo de Newton

    otimizao de uma aproximao quadrtica da funo Lagrangiana do problema. A

    PQS ir fornecer a cada nova etapa os passos d, que devem ser aplicados ao vetor

    das variveis x, e o , que ir corrigir os multiplicadores de Lagrange. Estes sero

    aproximaes dos resultados x* e * procurados. JNIOR (2005) demonstra melhor

    esta situao conforme o esquema seguinte:

    ( ) (2.2.17)

    ( )

    Cuja funo Lagrangiana ser:

    ( ) ( ) ( ) (2.2.18)

    Desenvolvendo ( ) em sries de Taylor em torno de (xk, k) at a primeira

    ordem obtm-se:

    ( ) ( ) [ ( )] (

    ) (2.2.19)

    Considerando e e aplicando a equao (2.2.19)

    no ponto ( ), tem-se:

    [ ( )] (

    ) ( ) (2.2.20)

    Que pode ser expresso matricialmente como:

    [

    ] (

    ) (

    ) (2.2.21)

  • 42

    Substituindo por , tem-se:

    [

    ] (

    ) (

    ) (2.2.22)

    Em que Ak a matriz dos gradientes das restries, Wk a matriz Hessiana da

    Lagrangiana e gk o gradiente de f(x), todos avaliados no ponto xk. A soluo de

    (2.2.22) equivale soluo do subproblema de PQ (JNIOR, 2005):

    (2.2.23)

    Onde cada nova etapa k da soluo pode ser aproximada pelo problema de PQ

    resultante da linearizao das funes de restrio e da expanso quadrtica da

    funo f em torno do ponto x0.

    Este tipo de soluo das direes d e dos multiplicadores de Lagrange s podem

    ser obtidos pela soluo do sistema de equaes lineares por meio da utilizao do

    mtodo de Newton aplicado a Lagrangiana do problema, como no caso da equao

    (2.2.23), devido ao fato de haver somente restries de igualdade.

    Para o caso em que haja tambm restries de desigualdade, possvel resolver o

    problema conforme a equao (2.2.1) definindo uma direo de busca d, e uma

    estimativa dos multiplicadores de Lagrange , por meio da soluo do PQ:

    (2.2.24)

    Em que o mtodo de soluo foi explicado na seo anterior.

    2.2.2.6. ALGORITMO DE HAN-POWEL (PQS)

  • 43

    Esta seo tem como objetivo definir as etapas do algoritmo mais popular dentre os

    que utilizam as tcnicas da programao quadrtica sequencial, chamado de

    algoritmo de Han-Powel.

    PEREIRA (2002) define como etapas do algoritmo de Han-Powel as seguintes:

    1. Dado um ponto inicial x0 e uma aproximao da Hessiana da funo

    Lagrangiana B0, fazer k=0. B0 dada pela seguinte funo:

    (2.2.25)

    Em que b0 um parmetro definido pelo usurio do algoritmo. O nmero de

    reincios da matriz B controlado pelo parmetro nr definido pelo usurio. O reincio

    de B serve para descartar a influncia de pontos muito distantes do ponto atual.

    2. Para , montar e resolver o problema de programao quadrtica

    definido pela equao (2.2.24) determinando os vetores dk e k:

    (2.2.26)

    Em que cik+1 o vetor com as restries, ai

    k-1t uma matriz com o gradiente das

    restries e Bk-1 uma aproximao da Hessiana no ponto xk-1.

    3. Verificar os critrios de convergncia do algoritmo:

    {|

    |

    ( )

    (2.2.27)

    Onde o primeiro critrio representa a variao da funo objetivo na direo dk e o

    segundo critrio verifica experimentalmente o valor da restrio mais violada.

    Verificar tambm os critrios de parada tais como: nmero de avaliaes da funo

    objetivo e nmero de iteraes.

  • 44

    4. Se os critrios de convergncia e/ou os de parada no so atendidos faz-

    se ento uma busca linear unidimensional para determinar o tamanho do

    passo tk, na direo dk de forma que o novo estimador da soluo xk = xk1

    + tkdk seja um ponto que contribua para o decrscimo da funo objetivo.

    A busca feita sobre a funo de penalidade (p), construda no intuito de

    impor um alto custo violao das restries.Esta funo definida pela

    expresso:

    ( ) ( ) ( ) | ( )| [ ( ) ]

    (2.2.28)

    onde os ri so os fatores de penalidades. A busca aproximada, isto a soluo t*

    no o mnimo de p(t), mas atende a certo decrscimo pr-estipulado em p(t)

    considerado satisfatrio. O coeficiente de decrscimo da funo dado pelo

    parmetro definido pelo usurio.

    5. Atualizao da matriz Bk do subproblema quadrtico atravs do mtodo

    BFGS.

    6. Retorno etapa 2.

    2.2.2.7. MTODO DOS PONTOS INTERIORES

    O mtodo dos pontos interiores trabalha especificamente com a regio vivel do

    problema. Ou seja, aquela na qual est delimitada pela funo objetivo e pelas

    funes de restrio, podendo estas ser de igualdade ou de desigualdade. Ele

    consiste basicamente em determinar alguns pontos no interior desta regio vivel e,

    a partir destes, continuar a procura pelo ponto timo que pertencer da mesma

    forma a esta regio.

    Todos os pontos obtidos em sequncia possuiro sempre valores decrescentes.

    Ento, mesmo que a convergncia para o ponto timo no seja garantida, o ltimo

    ponto encontrado ser sempre menor ou igual aos demais, portanto ser vivel.

  • 45

    JNIOR (2005) construiu um esquema deste mtodo que permite chegar s

    expresses gerais de seu desenvolvimento. Este esquema descrito conforme a

    seguir:

    Considere o problema de minimizao dado:

    ( ) (2.2.29)

    ( )

    E as condies de Kuhn-Tucker para este tipo de problema sero:

    (

    )

    ( ) (2.2.30)

    Seja ento A uma matriz que contenha os gradientes das restries, e C uma matriz

    diagonal que contenha os valores destas restries. Assim, as duas primeiras

    equaes podem ser reescritas da seguinte forma:

    (2.2.31)

    Utilizando o Mtodo de Newton para se resolver este problema tem-se:

    [

    ] (

    ) (

    ) (2.2.32)

    Onde uma matriz diagonal em que , d0 a direo de busca e a

    estimativa dos multiplicadores de Lagrange. possvel demonstrar que a direo de

    busca ser sempre de decrscimo, a no ser no caso em que o ponto x no mude

    mais de valor. Neste caso a direo de busca d0 = 0.

  • 46

    Esta direo de busca descrita na equao (2.2.32) nem sempre ser vivel. Pode-

    se expandir uma equao deste sistema e apresenta-la da seguinte maneira:

    (2.2.33)

    Esta equao implica que para todo i tal que ci=0. Geometricamente isto

    quer dizer que d0 seria tangente s restries ativas, indicando ento uma direo

    de busca apontando para o exterior da regio vivel.

    Para solucionar este problema, adiciona-se uma constante negativa do lado direito

    desta equao, conforme a seguir:

    (2.2.34)

    Em que a nova estimativa de .

    Procedendo desta maneira, a direo de busca original ser defletida de um valor

    proporcional , apontando para o interior da regio vivel. Devido esta

    proporcionalidade e a d0 ser uma direo de decrscimo de f, podem-se encontrar

    os limites de para que d ainda seja uma regio de decrscimo. Para isto, impe-

    se:

    (2.2.35)

    Onde ( ). De forma geral, a taxa de decrscimo de f ao longo de d ser

    menor que ao longo de d0. Porm isto se faz necessrio para garantir a correta

    aplicao do mtodo.

    Ao considerar o sistema auxiliar:

    [

    ] (

    ) (

    ) (2.2.36)

    Pode-se demonstrar que:

    (2.2.37)

    e

  • 47

    (2.2.38)

    Substituindo (2.2.38) em (2.2.36), obtm-se:

    ( )

    (2.2.39)

    Aps a direo de busca d ter sido definida, deve se realizar uma busca linear

    restrita nesta direo, com objetivo de se garantir que o ponto procurado esteja no

    interior da direo vivel. Deve-se tambm atualizar os valores dos multiplicadores

    de Lagrange, de forma que a convergncia para soluo tima seja garantida.

    2.2.2.8. ALGORITMO DE PONTOS INTERIORES

    Esta seo possui como objetivo definir um algoritmo para implementao do

    mtodo dos pontos interiores descrito na seo anterior. Para que seja

    implementado este algoritmo, deve-se possuir um ponto inicial x0 pertencente

    regio vivel, uma estimativa inicial para os multiplicadores de Lagrange de modo

    que estes sejam maiores que zero e uma matriz aproximada da matriz W, simtrica,

    positiva definida, chamada de B.

    PEREIRA (2002) define como etapas deste algoritmo as seguintes:

    1. Obter a direo de busca d:

    1.1. Determinar os vetores (d0,0) atravs da soluo do sistema linear definido

    em (2.2.32).

    1.2. Verificar o critrio de convergncia:

    (2.2.40)

    1.3. Determinar os valores (d1, 1) por meio da soluo do sistema linear definido

    em (2.2.36).

    1.4. Calcular o valor de :

    { [

    ( )

    ]

    (2.2.41)

    Sendo kf>0.

  • 48

    1.5. Calcular a direo de busca d conforme as equaes (2.2.37) e (2.2.38)

    2. Fazer uma busca linear sobre d, determinando o tamanho do passo t que

    satisfaa um critrio sobre o decrscimo da funo objetivo e para o qual:

    { ( )

    ( ) ( ) (2.2.42)

    E o novo ponto x ser:

    (2.2.43)

    3. Atualizar a matriz B, que uma aproximao da Hessiana da funo

    Lagrangiana, atravs do mtodo BFGS.

    4. Definir uma nova estimativa para os multiplicadores de Lagrange:

    [ ] (2.2.44)

    Sendo ke>0.

    5. Fazer x igual a x0 e retornar ao passo 1.

    A aproximao inicial e o reincio da Hessiana da funo Lagrangiana so

    controlados pelos mesmos parmetros utilizados pelo algoritmo de Programao

    Quadrtica Sequencial.

    2.2.3. ALGORITMOS GENTICOS

    BASTOS (2004) descreve que os Algoritmos Genticos foram criados baseados na

    ideia de evoluo das espcies segundo os princpios darwinianos onde somente os

    indivduos mais aptos sobrevivem no processo de reproduo. Para isto o algoritmo

    trabalha com uma populao de elementos, realizando operaes de mutao, de

    cruzamento entre eles e de seleo, gerando desta forma indivduos novos criados

    a partir da prioridade de seleo dos indivduos reprodutores mais aptos para

    realizarem as mesmas operaes e desta forma prosseguir no processo de busca

    da soluo ideal.

    Como os algoritmos genticos baseiam-se na teoria da evoluo de Darwin, sero

    relacionados os termos desta, mais usuais, para melhor compreenso do tema.

    BASTOS (2004) os define da seguinte maneira:

  • 49

    Cromossomo: Cadeia de caracteres (genes) que codifica alguma

    informao relativa s variveis do problema. Cada cromossomo

    representa uma possvel soluo no espao de busca do problema.

    Indivduo: um membro da populao, sendo que nos algoritmos

    genticos formado pelo cromossomo e sua aptido.

    Gene: Na biologia, a unidade de hereditariedade que transmitida

    pelo cromossomo e que controla as caractersticas do organismo. Nos

    algoritmos genticos, um parmetro codificado no cromossomo, ou

    seja, um elemento do vetor que representa o cromossomo.

    Gentipo: Na biologia, representa a composio gentica contida no

    genoma. Nos algoritmos genticos, representa a informao contida

    no cromossomo ou genoma.

    Fentipo: Na biologia, representa as caractersticas produzidas pela

    interao dos genes e o ambiente. Nos algoritmos genticos, expressa

    um conjunto de parmetros ou a soluo alternativa do problema, ou

    seja, o cromossomo codificado.

    Populao: Conjunto de cromossomos ou solues do problema.

    Gerao: O nmero da iterao que o algoritmo gentico executa.

    Operaes Genticas: Conjunto de operao que o algoritmo gentico

    realiza sobre cada um dos cromossomos.

    MEDEIROS E KRIPKA (2012) explicam que cada indivduo da populao

    denominado cromossomo e os genes sero a soluo codificada em forma de

    ordem de smbolos. A elaborao do algoritmo dever avaliar tambm a aptido dos

    indivduos para escolha daqueles que sero reproduzidos e iro criar a nova

    gerao. Estes so alterados por dois operadores principais: a mutao e a

    recombinao. O primeiro modifica os genes do indivduo. Ocorre com menos

    frequncia do que a recombinao. J esta segunda trabalha na construo de um

    novo resultado com base em dois indivduos selecionados ao acaso para esta

    operao. De acordo com a classificao de aptido j realizada, aqueles com

    menos potencial tero tambm menor probabilidade de serem selecionados para

    esta operao.

  • 50

    Existem dois processos de reproduo mais utilizados nos algoritmos genticos. O

    Geracional e o chamado Steady-state. SILVA (2011) os diferencia da seguinte

    maneira: o geracional substitui a populao integralmente a cada reproduo, o que

    possui a desvantagem de se perder material gentico de boa qualidade. J o

    Steady-state insere somente indivduos na populao que tenham a aptido maior

    que um parmetro pr-estabelecido, por exemplo, a mediana da aptido da

    populao, ou a menor aptido dentre todas entre outros, e descarta aqueles que

    possurem valores inferiores a este parmetro. Desta forma a populao mantm

    sempre os indivduos com melhores materiais genticos.

    SILVA (2011) divide os algoritmos genticos em cinco caractersticas principais ao

    serem manipulados para encontrar a soluo:

    Codificao gentica dos resultados para a questo;

    Criao da populao inicial de resultados;

    Anlise de aptido dos resultados encontrados;

    Operadores genticos que manipularo os resultados para obter novos

    indivduos;

    Parmetros definidos no processo de mutao e reproduo dos

    resultados;

    A manipulao destes parmetros permitiu que se criassem codificaes baseadas

    nos algoritmos genticos, que so capazes de resolver uma infinidade de problemas

    relacionados otimizao de forma robusta e com uma eficincia j comprovada na

    literatura.

    Um pseudocdigo de um algoritmo gentico pode ser formulado com as

    caractersticas bsicas dos algoritmos. Ele ser apresentado a seguir para melhor

    ilustrao do assunto:

    Algoritmo Gentico

    Inicialize a populao

    Avalie indivduos na populao

    Repita

    Selecione indivduos para reproduo

  • 51

    Aplique operadores de recombinao e mutao

    Avalie indivduos na populao

    Selecione indivduos para sobreviver

    At critrio de parada satisfeito

    Fim

    No mtodo estocstico aqui tratado, a exigncia de se trabalhar com funes

    contnuas e diferenciveis no necessria por no se utilizarem derivadas ou

    operaes determinsticas na funo.

    Alm disto, o processo de busca no parte de um ponto especfico