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DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO - Dissertação de Mestrado Francesco Mayer Sias
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL
FRANCESCO MAYER SIAS
DIMENSIONAMENTO TIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO
VITRIA 2014
FRANCESCO MAYER SIAS
DIMENSIONAMENTO TIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO
Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de Mestrado em Estruturas do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da Universidade Federal do Esprito Santo, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil. Orientador: lcio Cassimiro Alves.
VITRIA 2014
FRANCESCO MAYER SIAS
DIMENSIONAMENTO TIMO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO
Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de Mestrado em Estruturas do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da Universidade Federal do Esprito Santo, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil.
COMISSO EXAMINADORA
Prof. Dr. lcio Cassimiro Alves Universidade Federal do Esprito Santo Orientador
Prof. Dr. Walnrio Graa Ferreira Universidade Federal do Esprito Santo Examinador interno
Prof. Dr. Luiz Herkenhoff Coelho Universidade Federal do Esprito Santo Examinador interno
Prof. Dr. Francisco de Assis das Neves Universidade Federal de Ouro Preto Examinador externo
RESUMO
A rea da engenharia responsvel pelo dimensionamento de estruturas vive em
busca da soluo que melhor atender a vrios parmetros simultneos como
esttica, custo, qualidade, peso entre outros. Na prtica, no se pode afirmar que o
melhor projeto foi de fato executado, pois os projetos so feitos principalmente
baseados na experincia do executor, sem se esgotar todas as hipteses possveis.
neste sentido que os processos de otimizao se fazem necessrios na rea de
dimensionamento de estruturas. possvel obter a partir de um objetivo dado, como
o custo, o dimensionamento que melhor atender a este parmetro. Existem alguns
estudos nesta rea, porm ainda necessrio mais pesquisas. Uma rea que vem
avanando no estudo de otimizao estrutural o dimensionamento de pilares de
acordo com a ABNT NBR 6118:2014 que atenda a uma gama maior de geometrias
possveis. Deve-se tambm estudar o melhor mtodo de otimizao para este tipo
de problema dentro dos vrios existentes na atualidade. Assim o presente trabalho
contempla o embasamento conceitual nos temas de dimensionamento de pilares e
mtodos de otimizao na reviso bibliogrfica indicando as referncias e mtodos
utilizados no software de dimensionamento otimizado de pilares, programado com
auxlio do software MathLab e seus pacotes, utilizando mtodos determinsticos de
otimizao. Esta pesquisa foi realizada para obteno do Ttulo de Mestre em
Engenharia de Estruturas na Universidade Federal do Esprito Santo.
Palavras Chave: Dimensionamento, Concreto armado, Otimizao, Modelagem e
Simulao.
ABSTRACT
The engineering`s area responsible for the design of structures is always in search
of solutions that best find the multiple simultaneous parameters like aesthetics, cost,
quality, weight and others. In practice, it`s not possible to say that the best design
was actually executed, because designs are made mainly based on the experience
of the performer, without exhausting all possible hypotheses. It is in this way that the
optimization processes are necessary in the area of design of structures. You can
get from a given goal, as the cost, the design that will best find this parameter. There
are some studies in this area, however, still need further researches. One area that
still lacks an optimization process is the design of pillars according to ABNT NBR
6118:2014 that meets a wider range of possible geometries. One should also study
the best optimization method for this type of problem within the various existing
today. Thus the present work describes the conceptual background in the areas of
design of columns and optimization methods in the literature review indicating the
references and methods used in the optimal design of columns, programmed with
the help of MathLab software packages, using deterministic optimization methods.
This survey was conducted to obtain the title of Master in Structural Engineering at
the Universidade Federal do Esprito Santo.
Keywords: Optimizing, Reinforced Concrete, Optimization, Computational Modeling
and Simulation.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - DOMNIOS DE ESTADO LIMITE LTIMO DE UMA SEO TRANSVERSAL ............... 23
FIGURA 2 - DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO IDEALIZADO DO CONCRETO ....................... 25
FIGURA 3 - DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO PARA AOS DE ARMADURA PASSIVA ........... 26
FIGURA 4 - PILAR ENGASTADO NA BASE E SOLTO NA EXTREMIDADE SUPERIOR, EQUIVALENTE
A UM PILAR BI ROTULADO COM O DOBRO DO COMPRIMENTO, SOLICITADO POR CARGA
VERTICAL EXCNTRICA. ......................................................................................... 29
FIGURA 5 - PROBABILIDADE DE OCORRNCIA POR INDIVDUO. ESQUEMA RODA ROLETA ..... 58
FIGURA 6 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR RETANGULAR NOS DOMNIOS 3, 4 E 4A
........................................................................................................................... 70
FIGURA 7 - DEFINIO DA ALTURA HI DE CADA BARRA ..................................................... 72
FIGURA 8 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR CIRCULAR NOS DOMNIOS 3, 4 E 4A ... 74
FIGURA 9 - COORDENADAS DAS BARRAS DE AO DA SEO CIRCULAR ............................ 75
FIGURA 10 - DEFINIO DAS ALTURAS DAS BARRAS DE AO DA SEO CIRCULAR ............. 76
FIGURA 11 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO RETANGULAR NOS DOMNIOS 3,
4 E 4A ................................................................................................................. 77
FIGURA 12 - REPRESENTAO DAS COORDENADAS DOS ELEMENTOS DE CONCRETO DA
SEO RETANGULAR ............................................................................................. 78
FIGURA 13 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO CIRCULAR NOS DOMNIOS 3, 4 E
4A ....................................................................................................................... 80
FIGURA 14 - REPRESENTAO DAS COORDENADAS DOS ELEMENTOS DE CONCRETO DA
SEO CIRCULAR ................................................................................................. 81
FIGURA 15 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES NO PILAR RETANGULAR ......... 83
FIGURA 16 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES NO PILAR CIRCULAR .............. 84
FIGURA 17 - ENVOLTRIA MNIMA COM SEGUNDA ORDEM ABNT NBR 6118:2014 ........ 87
FIGURA 18 - VERIFICAO DA ENVOLTRIA DE MOMENTOS MNIMOS PARA FLEXO OBLQUA
........................................................................................................................... 88
FIGURA 19 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR RETANGULAR NO DOMNIO 5 ........... 91
FIGURA 20 - TENSES NAS BARRAS DE AO DO PILAR CIRCULAR NO DOMNIO 5 ................ 93
FIGURA 21 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO RETANGULAR NO DOMNIO 5 .. 94
FIGURA 22 - TENSES ATUANTES NO CONCRETO DA SEO CIRCULAR NO DOMNIO 5. ...... 96
FIGURA 23 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES DO PILAR RETANGULAR NO
DOMNIO 5 ........................................................................................................... 97
FIGURA 24 - DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES NO PILAR CIRCULAR NO DOMNIO
5 ......................................................................................................................... 98
FIGURA 25 - ARRANJOS DE ARMADURA UTILIZADOS ..................................................... 103
FIGURA 26 - VARIVEIS DA SEO TRANSVERSAL DO PILAR RETANGULAR .................... 117
FIGURA 27 - VARIVEIS DA SEO TRANSVERSAL DOS PILARES CIRCULARES ............... 117
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - CDIGO BINRIO E CDIGO DE GRAY ........................................................... 54
TABELA 2 - SELEO PROPORCIONAL APTIDO FT = 330, FTI = SOMA PARCIAL DAS
APTIDES ACUMULADAS, FRI = APTIDO RELATIVA ................................................... 58
TABELA 3 - NMERO ALEATRIO N E INDIVDUO SELECIONADO ........................................ 58
TABELA 4 - RESULTADOS OBTIDOS NO CYPECAD ....................................................... 105
TABELA 5 - RESULTADOS OBTIDOS COM A PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL .... 110
TABELA 6 - RESULTADOS OBTIDOS COM O MTODO DOS PONTOS INTERIORES .............. 111
TABELA 7 - RESULTADOS OBTIDOS COM ALGORITMOS GENTICOS ................................. 112
TABELA 8 - COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS ......................................... 113
TABELA 9VALORES DAS SEES TRANSVERSAIS OBTIDAS NOS MTODOS .................... 114
TABELA 10 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 1........... 129
TABELA 11 -COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 1 ............. 130
TABELA 12 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 2........... 133
TABELA 13 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 2 ............ 134
TABELA 14 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 3........... 137
TABELA 15 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 3 ............ 138
TABELA 16- RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 4 ........... 140
TABELA 17 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 4 ............ 141
TABELA 18 - RESULTADOS OBTIDOS PARA A SOLUO DO PROBLEMA EXEMPLO 5........... 142
TABELA 19 - COMPARAO DE CUSTOS DOS RESULTADOS OBTIDOS EXEMPLO 5 ............ 143
SUMRIO
1. INTRODUO ................................................................................ 11
1.1 JUSTIFICATIVAS ..................................................................................................................... 12
1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................................. 13
1.2.1 OBJETIVO GERAL ........................................................................................................... 13
1.2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS ................................................................................................ 13
2. ESTADO DA ARTE REVISO BIBLIOGRFICA ....................... 14
2.1. DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ................................................................. 22
2.1.1. HIPTESES ACEITAS NO DIMENSIONAMENTO ............................................................. 22
2.1.2. DOMNIOS DO E.L.U. ..................................................................................................... 23
2.1.3. DIAGRAMAS TENSO x DEFORMAO NO E.L.U. ......................................................... 25
2.1.4. EXCENTRICIDADES ......................................................................................................... 26
2.1.5. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM ..................................................................................... 27
2.1.5.1. MTODO DO PILAR-PADRO ................................................................................ 28
2.1.5.2. MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA .......................... 31
2.2. PROCESSOS DE OTIMIZAO ................................................................................................ 32
2.2.1. TIPOS DE OTIMIZAO .................................................................................................. 33
2.2.2. PROGRAMAO MATEMTICA .................................................................................... 34
2.2.2.1. TIPOS DE ALGORITMOS DA PROGRAMAO MATEMTICA ................................ 36
2.2.2.2. MTODO DE NEWTON .......................................................................................... 37
2.2.2.3. BUSCA LINEAR ....................................................................................................... 39
2.2.2.4. PROGRAMAO QUADRTICA ............................................................................. 40
2.2.2.5. PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL ........................................................ 41
2.2.2.6. ALGORITMO DE HAN-POWEL (PQS) ...................................................................... 42
2.2.2.7. MTODO DOS PONTOS INTERIORES ..................................................................... 44
2.2.2.8. ALGORITMO DE PONTOS INTERIORES .................................................................. 47
2.2.3. ALGORITMOS GENTICOS ............................................................................................. 48
2.2.3.1. CODIFICAO DAS VARIVEIS GENTICAS ........................................................... 52
2.2.3.2. INICIALIZAO DA POPULAO ............................................................................ 55
2.2.3.3. FUNO APTIDO ................................................................................................. 56
2.2.3.4. SELEO ................................................................................................................ 57
2.2.3.5. ESQUEMAS DE REPRODUO ............................................................................... 60
2.2.3.6. OPERADORES GENTICOS ..................................................................................... 62
2.2.3.7. TAMANHO DA POPULAO .................................................................................. 65
2.2.3.8. CONSIDERAES SOBRE OS PARMETROS DOS ALGORITMOS GENTICOS ........ 66
2.2.3.9. TRATAMENTO DAS RESTRIES EM ALGORITMOS GENTICOS ........................... 66
2.2.3.10. PROBLEMAS DE CONVERGNCIA .......................................................................... 67
2.2.3.11. CRITRIOS DE PARADA .......................................................................................... 68
3. CRITRIOS DE CLCULO ............................................................ 69
3.1 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO OS DOMNIOS 3, 4 E 4a. ................................................... 70
3.1.1 TENSES NAS BARRAS DE AO ..................................................................................... 70
3.1.2 TENSES NO CONCRETO ............................................................................................... 77
3.1.3 ESFOROS RESISTENTES ................................................................................................ 83
3.1.4 VERIFICAO DOS ESFOROS MNIMOS ABNT NBR 6118:2014 ........................ 85
3.2 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO O DOMNIO 5. ................................................................... 90
3.2.1 TENSES NAS BARRAS DE AO ..................................................................................... 91
3.2.2 TENSES NO CONCRETO ............................................................................................... 94
3.2.3 ESFOROS RESISTENTES ................................................................................................ 97
3.2.4 VERIFICAO DOS ESFOROS MNIMOS ABNT NBR 6118:2014 ........................ 99
4. DEFINIO DO ALGORITMO DE OTIMIZAO ........................ 101
4.1 DESCRIO DO EXEMPLO TESTE ......................................................................................... 102
4.2 FORMULAO E RESULTADOS DA PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL E DO
MTODO DOS PONTOS INTERIORES ............................................................................................... 105
4.3 FORMULAO E RESULTADOS DOS ALGORITMOS GENTICOS ......................................... 111
4.4 ANLISE DOS RESULTADOS ................................................................................................. 113
5. FORMULAES DO PROBLEMA ............................................... 116
5.1 VARIVEIS DO PROBLEMA .................................................................................................. 116
5.2 FUNO OBJETIVO .............................................................................................................. 118
5.3 FUNES DE RESTRIO ..................................................................................................... 120
5.4 DEFINIO DO PROBLEMA FINAL ....................................................................................... 123
5.5 EXEMPLOS DE APLICAO .................................................................................................. 126
5.5.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................. 127
5.5.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................. 132
5.5.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................. 135
5.5.4 EXEMPLO 4 .................................................................................................................. 139
5.5.5 EXEMPLO 5 .................................................................................................................. 142
6. CONCLUSES E SUGESTOES PARA TRABALHOS FUTUROS
145
6.1 CONCLUSES....................................................................................................................... 145
6.2 SUGESTES .................................................................................................................... 146
7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................. 148
11
1. INTRODUO
O dimensionamento de estruturas em geral, e neste caso as de concreto armado, se
d usualmente por meio de processos iterativos a partir de uma geometria pr-
definida pelo projetista. Baseado na sua experincia obtm-se um projeto inicial das
sees de concreto e ao. Em seguida so feitas as verificaes de resistncia e
comparadas com as solicitaes atuantes para decidir se uma nova tentativa deve
ser feita com a finalidade de reduo dos custos do projeto ou se o resultado
encontrado j satisfatrio. Este processo realizado sucessivamente pelo prprio
executor at que julgue ter encontrado a melhor soluo dentre as j testadas. Com
isto, o tempo de projeto se torna muito longo alm de no ser possvel a garantia de
que o dimensionamento timo tenha sido realizado uma vez que no foi feita uma
anlise sistemtica do problema.
Levando em conta as quantidades de variveis relacionadas ao processo de
dimensionamento, dificilmente a melhor soluo para o projeto ser encontrada
desta forma sem que seja feito um estudo detalhado da situao. Para tanto deveria
se obter uma expresso que relacionasse como cada varivel de projeto influencia
no objetivo que se pretende melhorar no projeto, que normalmente o custo final
deste. Analisando esta expresso em funo destas variveis, seria possvel
comparar os projetos entre si e ento, a partir de estudos, caminhar-se-ia para o
projeto mais adequado a cada situao.
neste sentido que entra a pesquisa de tcnicas de otimizao aliadas
programao computacional para resolver os problemas relacionados ao
dimensionamento estrutural. Esta tcnica trabalhada por meio de uma funo
objetivo em que se pretende encontrar a soluo tima (como o custo, o peso, a
rea da seo transversal ou qualquer outro parmetro desejado), podendo as
variveis relacionadas a esta funo terem restries ou no. A otimizao pode ser
aplicada em vrias situaes ou problemas que se deseja melhorar e obter o
desempenho mximo. Por isto estes mtodos aplicados no dimensionamento de
12
estruturas tambm so vlidos e trazem benefcio comprovado na busca de
melhores resultados.
A partir de algoritmos determinsticos ou probabilsticos, escolhidos de acordo com
as funes com as quais se est trabalhando, pode-se encontrar o ponto timo da
funo. Ou seja, o conjunto de variveis utilizadas que geram o valor mnimo da
funo em estudo. Neste caso a funo estudada ser o custo da estrutura que est
sendo projetada, na qual se deseja obter o valor mnimo, e as variveis sero os
fatores que influenciam significativamente no custo desta, como por exemplo, a rea
de forma, volume de concreto, peso de ao entre outros. Deve-se criar uma funo
nica descrevendo como todos estes fatores inferem no resultado buscado para em
seguida aplicar as tcnicas de otimizao. A qualidade do resultado final de
otimizao estar diretamente relacionada fidelidade desta funo com a situao
real, por isto deve se ter em mos o maior nmero possvel de dados para uma boa
calibrao do modelo.
Entretanto esta no uma tarefa simples, pois o dimensionamento ir demandar
vrias outras funes para se chegar aos valores aos quais a funo principal est
relacionada. Sabe-se que para dimensionar estruturas de concreto so necessrias
inmeras verificaes envolvendo uma quantidade significativa de variveis, o que
torna o processo de otimizao mais complexo. Dessa forma, cada tcnica de
otimizao ser melhor para algum tipo de problema, que dever levar em
considerao a quantidade e o tipo de varivel, alm dos tipos de funes de
restries.
1.1 JUSTIFICATIVAS
A literatura vem se aprofundando no tema de otimizao de pilares de concreto
armado que tratem de casos mais sofisticados utilizados na atualidade.
Alguns trabalhos de otimizao de pilares, como VIANNA (2003), BASTOS (2004),
CHAVES (2004), JNIOR (2005), BANDEIRA E MIRANDA (2006), entre outros,
trazem simplificaes nos modelos de pilares estudados como limitaes nos
ndices de esbeltez dos elementos, ou restries nos valores da seo geomtrica
com o objetivo de reduzir o nmero de equaes e facilitar o dimensionamento e por
13
consequncia a otimizao. Mas, consequentemente, tambm limitam a sua
utilizao, o que no desejvel.
Desta forma, possvel concluir que este trabalho poder contribuir para o
dimensionamento de pilares de concreto armado de forma que possam ser
dimensionados elementos com menores custos possveis.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GERAL
Este trabalho tem como objetivo geral estudar os processos de otimizao mais
apropriados para o dimensionamento estrutural, bem como aprofundar o estudo da
anlise e dimensionamento de pilares de concreto armado conforme orientaes da
ABNT NBR 6118:2014.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS
E ainda, podem ser destacados os objetivos especficos deste trabalho que so:
Fazer um estudo sobre o dimensionamento de estruturas de concreto, em
especial de pilares, verificando os possveis estados limites em suas
diferentes caractersticas de esbeltez;
Fazer um estudo dos diferentes mtodos de otimizao conhecidos para
poder aplicar e verificar dentre ele qual o mais adequado ao problema
estudado;
Definir e apresentar exemplos de otimizao de sees de pilares em
concreto armado;
Desenvolver um software de otimizao de pilares de concreto armado que
possa ser utilizado em uma quantidade significativa de casos, aumentando a
abrangncia do tema em relao aos trabalhos j publicados.
14
2. ESTADO DA ARTE REVISO BIBLIOGRFICA
As tcnicas de otimizao, como j destacadas, so processos de grande
importncia na busca pela melhor soluo de uma imensa variedade de problemas.
Quando relacionada ao dimensionamento estrutural, esta busca sempre esbarra nos
conflitos entre esforos atuantes e resistentes, sendo importante alcanar os
parmetros que melhor atendem a relao entre estes conceitos.
Existem, no entanto, diferentes tcnicas para se encontrar a soluo tima de um
determinado problema, dependendo das variveis que esto sendo estudadas, do
tipo de restries e das caractersticas do problema em si. Podem-se destacar
basicamente duas vertentes dos processos de otimizao conhecidos atualmente.
So eles: os mtodos heursticos e a programao matemtica.
Para melhor compreenso do assunto, vlido citar alguns exemplos de algoritmos
conhecidos para os mtodos probabilsticos (ou heursticos) e para os
determinsticos (ou de programao matemtica). Os mtodos mais importantes
para este trabalho sero melhores explicados na seo 2.2 deste captulo.
Os mtodos mais populares de otimizao heurstica so: Algoritmos Genticos,
Recozimento Simulado, Busca Tabu, Colnia de Formigas, Colnia de Abelhas,
Enxame de Partculas e Busca Harmnica. Estes mtodos normalmente so
inspirados em fenmenos que ocorrem na natureza e fundamentam seu
funcionamento em regras probabilsticas, trabalhando apenas com os valores da
funo e com os parmetros caractersticos de cada mtodo.
J os mtodos de programao matemtica mais conhecidos so: Mtodo de
Newton, Mtodo Quase-Newton, Mtodo da Mxima Descida, Mtodo do Gradiente
Conjugado, Mtodo das Penalidades e o Mtodo do Lagrangiano Aumentado. Cada
um com suas particularidades e maneiras determinsticas de encontrar a soluo
tima. So conhecidos ainda vrios algoritmos implementados baseados em cada
mtodo visando resoluo dos diversos problemas. Dentre eles destacam-se: a
Busca Linear, a Programao Quadrtica, a Programao Quadrtica Sequencial e
o Mtodo dos Pontos Interiores.
15
VIANNA (2003) explica que a programao matemtica composta por funes
objetivo e funes de restrio que so funes das variveis de projeto. Esta
programao pode ser linear caso tanto a funo objetivo quanto as funes de
restries sejam lineares, ou ento no lineares quando alguma destas seja no
linear. O autor ainda destaca que foram criados alguns mtodos de programao
para serem aplicados na otimizao especificamente nos casos de programao
no linear para melhor resolv-los em funo das suas particularidades.
Por sua vez, os mtodos heursticos consistem em tcnicas probabilsticas de
procura da soluo ideal com base nos princpios da gentica de sobrevivncia dos
indivduos mais adaptados situao desejada. Dentre estes mtodos, vale
destacar o mtodo dos Algoritmos Genticos que tem sido bastante utilizado em
trabalhos acadmicos recentes sobre otimizao aplicada ao dimensionamento de
estruturas porque se adapta bem a estes problemas, j que no possui restries
quanto ao tipo de funo, se ela ou no derivvel, linear ou no linear, contnua ou
no, entre outras caractersticas.
MEDEIROS e KRIPKA (2012) trataram das diferenas entre as tcnicas
determinsticas e probabilsticas de otimizao, e ainda realizaram um amplo estudo
acerca dos trabalhos atuais que utilizam mtodos heursticos na otimizao de
estruturas. A partir da comparao destes trabalhos que trataram de vrios mtodos
probabilsticos como o Colnia de Formigas, Colnia de Abelhas, Enxame de
Partculas, Busca Tabu, Busca Harmnica, Anlise do Recozimento Simulado e
Algoritmos Genticos, concluram que os mais consolidados so os dois ltimos,
aplicados em diversos trabalhos acadmicos. Alertam ainda que a eficincia do
mtodo diretamente dependente da calibrao feita, portanto deve ser dada
especial ateno a esta etapa.
PEREA ET AL. (2007) utilizaram dois mtodos heursticos de otimizao para
resolver problemas relacionados a estruturas de pontes de concreto armado.
Utilizou para tanto as normas e os cdigos Espanhis relacionados rea de estudo
no desenvolvimento do estudo de esforos e estados limites. Dentre os mtodos
abordados, um deles o Mtodo dos Algoritmos Genticos. As solues
encontradas foram julgadas eficientes e o produto do seu trabalho foi utilizado na
construo de um metr na cidade de Valncia.
16
CASTILHO (2003) tratou da otimizao de elementos pr-moldados por meio do
mtodo heurstico dos Algoritmos Genticos e comparou os resultados com a
soluo dos mesmos problemas utilizando o mtodo determinstico do Lagrangiano
aumentado. Foram estudados cinco problemas envolvendo o custo de painis
alveolares e vigotas protendidas e ento foi possvel comprovar a eficincia e
robustez dos AG`s. Ao comparar com o mtodo determinstico, este obteve melhor
desempenho na maior parte das situaes. destacado ainda neste trabalho que
os mtodos tradicionais, como o Lagrangiano Aumentado, so dependentes do
ponto de partida adotado, diferente dos AG`s. Desta forma, o autor julgou que este
ltimo o mais adequado para este tipo de problema.
CORTS (2010) utilizou o Mtodo dos Algoritmos Genticos para otimizar o custo
de construo de pontes de concreto armado e protendido constitudas de
longarinas pr-fabricadas e lajes de tabuleiros pr-fabricados de concreto
convencionalmente armado. Concluiu com o resultado final do seu trabalho que
apesar do grande esforo computacional demandado por este mtodo, ele ainda o
mais indicado para este tipo de situao devido sua rpida convergncia em
comparao com os mtodos determinsticos. Para validar seu estudo, utilizou o
algoritmo desenvolvido para comparar resultados de pontes dimensionadas pelo
modo tradicional e comprovou que houve redues nos respectivos custos.
SILVA (2011) desenvolveu um estudo de otimizao estrutural de estruturas
reticuladas, sobretudo de trelias, que busca encontrar o peso timo destas,
levando em considerao as no linearidades geomtricas. Tambm utilizou para
tanto o mtodo estocstico dos Algoritmos Genticos, pois as funes
desenvolvidas para o problema so descontnuas e este mtodo apresenta melhor
resultado. Incluiu ainda exemplos de problemas de otimizao em geral e, neste
caso especfico, aplicada ao dimensionamento estrutural de trelias, domos e
prticos para melhor compreenso. Foi destacado ainda no trabalho que, devido s
anlises no lineares, houve um custo computacional elevado.
ARGOLO (2000), por meio da tcnica dos Algoritmos Genticos, analisou o
dimensionamento timo de sees retangulares de concreto armado, solicitadas
flexo-compresso reta. Ele comparou os resultados obtidos utilizando este mtodo
com os mtodos tradicionais de dimensionamento, os bacos de interao. A partir
17
da anlise feita, concluiu dentre outros pontos que a utilizao dos bacos no
recomendada quando se deseja obter reduo nos custos do projeto por verificar
que a rea de ao obtida nos bacos foi ligeiramente maior que a do processo de
otimizao utilizado, quando fixada a seo transversal, gerando um custo pouco
maior. Esta situao ainda foi agravada quando a seo transversal foi deixada
livre, e pode ser otimizada junto com a rea de ao, chegando a economias da
ordem de 30%. Verificou ainda que o mtodo dos AG`s foi mais eficaz e robusto ao
ser comparado com outros mtodos de otimizao. Seu algoritmo utilizou
parmetros de penalizao durante o processo de desenvolvimento. Seu trabalho,
no entanto deixou de abordar alguns parmetros como otimizao especfica de
elementos como pilares, vigas e lajes.
BASTOS (2004) aprofundou o trabalho feito por ARGOLO (2000) ao considerar as
solicitaes de flexo-compresso oblquas em sees retangulares de concreto
armado, tambm utilizando o mtodo dos algoritmos genticos. Trata tambm das
diferenas, vantagens e desvantagens dos algoritmos genticos comparados s
programaes matemticas clssicas em relao otimizao no dimensionamento
de estruturas. Conclui que os algoritmos genticos foram os mais apropriados por
no exigirem que a funo seja diferencivel e nem que seja contnua, alm de
chegar muito mais prximo de um resultado global, situao que os mtodos
clssicos no podem garantir. Desenvolve ainda um programa em linguagem Visual
Basic que utiliza os conceitos de Algoritmos Genticos para dimensionar estruturas
de concreto submetidas flexo-compresso oblqua
SMANIOTTO (2005) desenvolveu um software em linguagem Visual Basic para
dimensionamento de pilares que, baseado no clculo apenas da rea de ao de um
pilar mantendo a seo transversal e o fck constantes, retorna um detalhamento da
disposio da armadura que gera o menor custo por unidade de comprimento. Para
tanto o autor no utilizou funes de otimizao, como estudados nos demais
trabalhos, e a soluo encontrada por meio de processo iterativo de clculo da
configurao armaduras longitudinais e transversais que resistem mais
adequadamente aos esforos impostos. O autor utilizou um software com ampla
utilizao no mercado e outro desenvolvido para fins acadmicos com objetivo de
comparar os resultados obtidos no seu software e validar sua pesquisa.
18
CHAVES (2004) tratou em seu trabalho da otimizao do custo por unidade de
comprimento de pilares de concreto armado por meio do mtodo determinstico
padro. O estudo teve a limitao de trabalhar com os pilares com solicitaes
somente no domnio 5 da ABNT NBR 6118:2007, ou seja, pilares submetidos
apenas a esforos de compresso, seja pela fora normal ou pelo momento fletor
solicitante. Tambm tem a limitao de no calcular a excentricidade de acordo com
os procedimentos da norma, utilizando para tanto valores fixos desta excentricidade
no clculo final e comparando os resultados dos custos. Alm da otimizao, o autor
tambm tratou do ndice de confiabilidade dos resultados obtidos.
JNIOR (2005) formulou um projeto timo para sees de pilares em relao ao
custo por unidade de comprimento. Seu estudo trata da otimizao de vrios
parmetros em conjunto como as variveis geomtricas, o fck do concreto e a rea
de ao para se chegar soluo da funo objetivo. O autor subdividiu o problema
de otimizao a um nvel global e local. Para isto ele estipulou que o fck seja varivel
global e a rea de ao varivel local, transformando ento em vrios problemas
locais de otimizao da rea de ao, dentro de um problema global de otimizao
da geometria e fck do pilar. No seu desenvolvimento utilizou o mtodo determinstico
de otimizao por meio do algoritmo de Han-Powell. O autor ainda destaca no seu
trabalho que os valores timos da seo transversal so praticamente insensveis
considerao do ao como varivel discreta, ou seja, a descrio desta como um
conjunto entre o nmero de barras, dimetro e distribuio. Por no produzirem
melhoras significativas, trata o ao como varivel simples, considerando apenas a
sua rea total.
SILVA (2000) desenvolve formulaes que otimizam estruturas de grande porte
submetidas a carregamento dinmico. O estudo envolve a anlise conjunta de
elementos da superestrutura e da fundao, permitindo que se obtenham resultados
globais da estrutura e por consequncia menores esforos e custo final. Utiliza no
seu trabalho o mtodo dos elementos finitos e o do Lagrangiano aumentado.
CORTEZ (2011) formulou em seu trabalho uma tcnica de aproximao de
derivadas para ser utilizada nos mtodos tradicionais de otimizao com restries.
Utilizou para tanto algoritmos da famlia do de direes viveis, entre eles o mtodo
de Quase-Newton e o do Ponto Interior. Devido s aproximaes feitas, o autor
19
indica o modelo apenas para problemas de engenharia de menor porte. Ao
comparar o modelo desenvolvido com outros mtodos de otimizao como os
Algoritmos Genticos e o mtodo dos elementos finitos, o autor classificou seu
algoritmo como robusto e eficiente.
CHRISTOFORO ET AL (2007) criaram um software que com base no mtodo dos
elementos finitos e aliado ao mtodo dos mnimos quadrados dimensiona a rea
tima da seo transversal de elementos reticulados, especialmente as trelias. O
resultado timo procurado pelo software desenvolvido a partir de uma equao
que os autores desenvolveram pelos mtodos citados deixando como varivel
independente a rea da seo. A partir deste ponto, minimizam a equao pelo
mtodo de Newton.
RIGO (1999) estudou os mtodos de otimizao, especialmente o mtodo do
Gradiente, o mtodo de Newton e o mtodo Quase-Newton para aplic-los na
analise do comportamento no linear de estruturas. O autor aplicou estes mtodos
em exemplos de estruturas reticulares como vigas, prticos e trelias para validar
sua analise. Concluiu ento aps comparar os resultados e outros fatores como
tempo de processamento e eficcia dos algoritmos que o mais apropriado para as
situaes demonstradas foi o mtodo de Newton.
BANDEIRA E MIRANDA (2006) criaram um software em linguagem C++ que otimiza
o custo de um pilar, buscando a seo tima do mesmo ao manipular a geometria e
rea de ao deste. Utilizaram em seu software a programao matemtica e o
mtodo do Lagrangiano Aumentado. Possui como limitao o fato de no
dimensionar pilares como sugere a norma, calculando valores de excentricidade
inicial, acidental, de segunda ordem e de fluncia, por exemplo. Ao invs disto os
autores propem uma equao bsica que torna o resultado simplificado.
E SILVA ET AL (2010) desenvolvem um modelo computacional que otimiza uma
viga de concreto armado de seo T submetidas flexo simples apenas. Utilizam
a programao matemtica e em particular o mtodo de Programao Quadrtica
Sequencial para chegarem ao resultado desejado. Os autores consideram que o
elemento esteja entre os domnios 3 e 4 do Estado Limite ltimo tratados na norma
ABNT NBR 6118:2007 e modelam seu programa para que atenda a esta
20
expectativa. O software criado retorna valores para as dimenses da viga, bem
como para a rea de ao que produziram o menor custo do elemento.
SILVA, JUNIOR, E NEVES (2010) desenvolveram um modelo de otimizao de
vigas mistas de ao-concreto com perfis I, capaz de definir a seo transversal da
do perfil com menor rea capaz de resistir aos esforos e atender todas as
restries impostas nas normas. Os autores utilizaram em seu trabalho o mtodo
Simplex para definir o ponto timo, cujo processo consiste em determinar pontos
bsicos viveis do problema a cada iterao e parar quando as condies de Kuhn
Tucker forem atendidas conforme explicado no prprio trabalho. Com isto, foram
obtidos resultados satisfatrios para o problema estudado pelos autores.
SOARES (1997) tratou em seu estudo da otimizao de sees transversais de
concreto armado sujeitas a flexo com o foco em aplicao a pavimentos. Utilizou
para isto o mtodo dos multiplicadores de Lagrange, que est includo na
programao matemtica. Os parmetros que foram otimizados no final do processo
foram a altura da viga e a rea de ao necessria. O modelo apresentou restries
por no estudar os esforos cortantes e momentos de toro. Depois de concludo o
trabalho e comparado com outros trabalhos feitos, o autor chegou concluso de
que o modelo atendeu a expectativa e trouxe economia para o projeto final.
TELES E GOMES (2010) realizaram um estudo comparativo entre duas tcnicas de
otimizao, sendo uma probabilstica e outra determinstica. A tcnica determinstica
utilizada no trabalho foi o algoritmo de Programao Quadrtica Sequencial e para a
tcnica probabilstica foi utilizado o mtodo dos Algoritmos Genticos. Esta escolha
foi baseada nos mtodos mais utilizados na literatura. Para realizar a comparao
os autores escolheram trs modelos de problemas frequentes na literatura sobre
trelias metlicas com resultados conhecidos, e por meio do software MatLab
modelaram estes problemas em cada tcnica citada. Em seguida compararam os
resultados obtidos com os conhecidos da literatura. Concluram que o algoritmo
probabilstico obteve melhor desempenho em comparao ao determinstico por ser
mais robusto e chegar mais prximo da soluo tima global. No entanto
destacaram a necessidade de se estudar melhor os dados de entrada do algoritmo
gentico que ir gerar os melhores resultados.
21
VIANNA (2003) desenvolveu um programa para otimizar elementos de um edifcio
tratado no trabalho como um prtico plano. Para isto o autor otimizou em separado
vigas e pilares, e a partir da nova condio tima, recalculou esforos e novamente
modelou estes elementos at que se encontrasse a soluo julgada tima. Ainda foi
destacado que a soluo global da estrutura poderia trazer maiores benefcios na
otimizao desta, porm a alta complexidade de materiais e elementos diferentes
fez que com a otimizao local fosse escolhida. A funo objetivo foi a de menor
custo dos elementos por unidade de comprimento e a tcnica utilizada foi o mtodo
de Lagrange, ou seja, um mtodo determinstico. No estudo de pilares o autor
limitou seu estudo aos pilares sujeitos apenas a compresso pura ou flexo-
compresso com linha neutra fora da seo transversal, gerando apenas esforos
de compresso. Ou seja, pilares no domnio 5 do Estado Limite ltimo da ABNT
NBR 6118:2007. Segundo FUSCO (1995), Isto limita o estudo de pilares sujeitos
apenas a pequenas excentricidades. No foi tratado tambm dos efeitos de
excentricidade prescritos pela referida norma. Alm disto, os pilares foram
considerados trabalhando apenas a flexo normal que restringe sua utilizao por
no trazer os efeitos da flexo oblqua.
Pode-se observar que a otimizao vem sendo bastante discutida no meio
acadmico nos ltimos tempos pois um tema bastante relevante para a
engenharia sobretudo na questo dos custos e tempo de execuo de projetos. Em
vrios trabalhos como em TELES E GOMES (2010), BASTOS (2004) ,ARGOLO
(2000), entre outros so tratadas as diferenas, vantagens e desvantagens entre os
mtodos probabilsticos e determinsticos de otimizao. O que tem sido abordado
que os modelos probabilsticos consomem um esforo computacional maior que os
determinsticos, no entanto so mais robustos e em geral chegam mais prximos da
soluo tima global quando comparados a estes, nos casos especficos dos
trabalhos desenvolvidos. Os mtodos determinsticos ainda possuem a
desvantagem de no conseguirem trabalhar com funes no diferenciveis sendo
necessrio fazer algumas adaptaes como no caso da Programao Quadrtica
Sequencial para aproximar os resultados fazendo com que se perca um pouco da
preciso do problema. No entanto, mesmo com a possvel perda da preciso, este
tipo de programao ainda aconselhada quando as funes so diferenciveis em
virtude do esforo computacional requerido.
22
Este trabalho pretende abordar um tema que vem sendo estudado, que a
otimizao da seo transversal de elementos sujeitos flexo-compresso oblqua,
como o caso de pilares, porm com ampliao de alguns parmetros que devem
ser verificados, como por exemplo excentricidades de segunda ordem, prescritos
pela ABNT NBR 6118:2014. Para determinao do mtodo de otimizao a ser
utilizado, ser estudado um caso da literatura parecido com o desejado, com
soluo conhecida, que ser modelado para ambos os mtodos e verificado qual
apresentar melhor resposta.
2.1. DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO
Ser tratado de forma sucinta neste trabalho sobre como a ABNT NBR 6118:2014 e
alguns autores renomados como CARVALHO & PINHEIRO (2009), FUSCO (1995)
entre outros, tratam do dimensionamento de estruturas de concreto armado, em
especial de pilares, no sentido de explicar conceitos e hipteses e metodologias
utilizadas no dimensionamento.
2.1.1. HIPTESES ACEITAS NO DIMENSIONAMENTO
SMANIOTTO (2005) explica que ao dimensionar os elementos sujeitos a flexo-
compresso so aceitas algumas hipteses bsicas tratadas pela ABNT NBR
6118:2014 para poder validar toda a metodologia de clculo que ser abordada em
seguida:
As sees planas permanecem planas aps aplicao das tenses normais
at o estado limite ltimo (ELU). Esta hiptese possui a restrio de que a
relao entre os pontos onde o momento fletor se anula e a altura
considerada til da seo transversal no pode ser maior que dois. Este p
caso, por exemplo, de uma viga biapoiada com carregamento constante, em
que a distncia entre os apoios (distncia entre momentos fletores nulos)
deve ser maior que duas vezes a sua altura til (altura da seo transversal
menos a distncia da borda mais solicitada at o centro de gravidade da
camada de armao.
23
O ao e o concreto deformam-se do mesmo modo, ou seja, sua deformao
especfica idntica. Para tanto se deve admitir que a aderncia entre estes
materiais seja completa.
BASTOS (2004) ainda acrescenta mais duas hipteses importantes citadas na
norma. Pode-se assim descrev-las:
No ELU, o concreto, o ao, ou ambos so supostos plastificados. Ou seja,
algum destes materiais atinge o estado de ruptura de acordo com a
deformao solicitada e os diagramas de tenso por deformao do concreto
e do ao trazidos pela ABNT NBR 6118:2014. Desta forma, as deformaes
desta seo devero pertencer a um dos domnios que a norma cita e que
sero tratados adiante neste artigo.
As tenses de trao s qual o concreto est submetido na seo transversal
podem ser desprezadas j que sua resistncia possui valores muito
pequenos e estando o material sujeito a fissurao, esta resistncia ser
muito prejudicada. Desta forma estes esforos sero considerados
inteiramente absorvidos pelo ao.
2.1.2. DOMNIOS DO E.L.U.
A ABNT NBR 6118:2014 tambm define o estado de ruptura como de dois possveis
tipos. A ruptura convencional por deformao plstica excessiva (do ao) e a ruptura
por encurtamento limite do concreto. Estes estados so tais que a condio
deformada plana do elemento considerado esteja em uma das condies (A, B ou
C) do grfico apresentado no escopo da referida norma. Conforme pode-se
perceber na Figura 1, o esquema ainda subdivide os estados limite ltimos em oito
domnios reta a, domnios 1, 2, 3, 4, 4a, 5 e reta b de acordo com seu estado de
tenses.
Figura 1 - Domnios de estado limite ltimo de uma seo transversal
24
Fonte: item 17.2.2 da ABNT NBR 6118 (2014)
Onde:
- Para concretos de classe at C50:
c2 = 2,0%
cu = 3,5%
- Para concretos de classe maior que C50:
c2 = 2,0% + 0,085%.(fck-50)0,53;
cu = 2,6% + 35%.[(90-fck)/100]4;
E podem-se definir os tipos de ruptura como:
Ruptura convencional por deformao plstica excessiva:
- reta a: trao uniforme;
- domnio 1: trao no uniforme, sem compresso;
- domnio 2: flexo simples ou composta sem ruptura compresso do
concreto (c
25
- domnio 3: flexo simples ou composta com ruptura compresso do
concreto e com escoamento do ao (s fyd);
- domnio 4: flexo simples ou composta com ruptura compresso do
concreto e ao tracionado sem escoamento(s< fyd);
- domnio 4a: flexo composta com armaduras comprimidas;
- domnio 5: compresso no uniforme, sem trao;
- reta b: compresso uniforme;
Para melhor compreenso do dimensionamento das estruturas de concreto armado,
pode-se explicar sobre os diagramas de tenso x deformao do concreto e do ao
recomendados pela norma brasileira (ABNT NBR 6118:2014).
2.1.3. DIAGRAMAS TENSO x DEFORMAO NO E.L.U.
Para o estado limite ultimo do concreto, recomenda-se a utilizao do diagrama
parbola-retngulo na distribuio de tenses do concreto como mostra a Figura 2.
Onde fcd o valor de clculo da resistncia do concreto descrito na norma.
Figura 2 - Diagrama tenso-deformao idealizado do concreto
Fonte: item 8.10.1 da ABNT NBR 6118 (2014)
26
Onde c2 e cu so conforme definidos na seo 2.1.2.
J para o estado limite ltimo do ao, a ABNT NBR 6118:2014 recomenda a
utilizao de um diagrama simplificado tanto para aos com patamar de escoamento
ou sem, vlido para temperaturas entre -20 a 150 graus Celsius.
Figura 3 - Diagrama tenso-deformao para aos de armadura passiva
Fonte: item 8.3.6 da ABNT NBR 6118 (2014)
2.1.4. EXCENTRICIDADES
No dimensionamento de elementos de concreto, a ABNT NBR 6118:2014 indica que
devem ser consideradas excentricidades em todos os casos. Essa excentricidade
pode ser dividida em dois grupos: de primeira e de segunda ordem. Este ltimo caso
ser considerado somente em algumas situaes.
Nas excentricidades de primeira ordem esto includas a excentricidade inicial e a
acidental. A primeira ocorre quando existe realmente uma distncia do centro
geomtrico da seo ao ponto de aplicao da fora ou quando se substitui o
momento aplicado no pilar por uma fora normal, somada a uma excentricidade
fictcia. O segundo tipo de excentricidade de primeira ordem, a acidental, ocorre
pelo fato de se considerar a incerteza na posio exata do ponto de aplicao da
fora e tambm pela possibilidade de imperfeies globais e locais na execuo dos
elementos.
27
J nas excentricidades de segunda ordem, esto englobadas as excentricidades
devido aos efeitos de segunda ordem de fato e as devido fluncia do concreto. As
primeiras ocorrem devido aos esforos provenientes da posio deformada da
estrutura. Para tanto, se considera um aumento na excentricidade total, incluindo a
de segunda ordem. A segunda ocorre devido propriedade do concreto de se
deformar ao longo do tempo. A ABNT NBR 6118:2014 exige que seja considerado
este tipo quando a esbeltez dos pilares estiver acima de 90.
2.1.5. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM
Os efeitos de segunda ordem so aqueles oriundos da posio deformada da
estrutura, a qual estar sujeita a esforos diferentes dos inicialmente impostos
devido aos momentos gerados pelas foras iniciais aplicadas s deformaes ou
excentricidades geradas por estas.
A ABNT NBR 6118:2014 trata destes efeitos em um item especial, considerando
excentricidades adicionais de acordo com o ndice de esbeltez do pilar. Para pilares
com 90, a referida norma permite que sejam utilizados mtodos aproximados
para determinao destes efeitos. J para pilares com > 90 deve-se utilizar
mtodos mais refinados, e para tanto sugerido nesta norma o mtodo geral e para
pilares com
28
3. Pilares com 90, seo constante, armadura simtrica e constante ao longo
de seu eixo, submetidos flexo composta normal:
Pode ser utilizado o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (item
15.8.3.3.2 da ABNT NBR 6118:2014);
4. Pilares com 90, seo retangular constante, armadura simtrica e constante
ao longo de seu eixo, submetidos flexo composta normal:
Podem ser utilizados o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (item
15.8.3.3.2 da ABNT NBR 6118:2014) ou o mtodo do pilar-padro com rigidez
aproximada (item 15.8.3.3.3 da ABNT NBR 6118:2014);
5. Pilares com 90, seo retangular constante, armadura simtrica e constante
ao longo de seu eixo, submetidos flexo composta oblqua:
Pode ser utilizado o mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada admitindo
que os momentos totais atuem simultaneamente nas duas direes principais x e y
(item 15.8.3.3.3 e 15.8.3.3.5 da ABNT NBR6118:2014);
6. Pilares com 1(Pilares Curtos):
Os esforos locais de 2a ordem podem ser desprezados. (item 15.8.2 da ABNT NBR
6118:2014);
O presente trabalho tem como objetivo estudar pilares com ndice de esbeltez
menores que 90, por ser o tipo de pilar mais utilizados na prtica. Desta forma, ser
tratado apenas o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada sugerido pela
ABNT NBR 6118:2014, j que este mtodo fornece valores mais prximos da
realidade conforme apresentado por JUNIOR E KIMURA (2013).
2.1.5.1. MTODO DO PILAR-PADRO
Os mtodos utilizados no dimensionamento de pilares, especialmente os
aproximados, basicamente procuram identificar a regio mais solicitada do elemento
e, a partir de algumas aproximaes e consideraes, determinar os esforos
atuantes de segunda ordem. O mtodo do pilar-padro consiste em estudar a forma
de curvatura de um pilar engastado na base e livre no topo, submetido a uma fora
29
normal e uma excentricidade inicial, para determinar ento o efeito de segunda
ordem baseado nesta curvatura.
CARVALHO & PINHEIRO (2009) demonstram esta exemplificao a partir da figura
seguinte:
Figura 4 - Pilar engastado na base e solto na extremidade superior, equivalente a um pilar bi rotulado com o dobro do comprimento, solicitado por carga vertical
excntrica.
Fonte: CARVALHO & PINHEIRO (2009)
Na determinao da excentricidade de segunda ordem so pressupostas as
hipteses:
A flecha mxima (a) funo da curvatura da barra;
A linha elstica da barra deformada dada por uma funo senoidal;
A curvatura dada pela derivada segunda da equao da linha elstica;
Ser desconsiderada a no-linearidade fsica do material;
Assim, considera-se que a linha elstica y(x) do eixo da barra seja expressa:
( ) (
) (2.1.1)
30
Conforme a Figura 4, o comprimento equivalente do pilar (le) equivale a 2l, e
portanto tm-se:
( ) (
) (2.1.2)
Pode-se verificar que esta expresso atendo as condies de contorno y(x=0)=0 e
y(x=l)=a. Para deslocamentos pequenos, a expresso da curvatura dada por:
( )
(2.1.3)
Ao derivar duas vezes a expresso (2.1.2), obtm-se:
( )
(
) (2.1.4)
( )
(
) (
) (2.1.5)
Aplicando a expresso (2.1.5) em (2.1.3), tm-se:
(
) (
) (2.1.6)
Seja , ento em a curvatura ser:
(
)
(
)
(2.1.7)
Desta forma o valor da curvatura mxima ser expresso por:
(
)
(2.1.8)
E aproximando , o valor da excentricidade de segunda ordem ser:
(
)
(2.1.9)
e
(
)
(2.1.10)
31
Onde:
M2= Momento causado pelo efeito de segunda ordem;
= Excentricidade causada pelo efeito de segunda ordem;
= Comprimento efetivo do pilar;
(
)
= Curvatura do pilar-padro considerado.
2.1.5.2. MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA
O mtodo aqui descrito prescrito na ABNT NBR 6118:2014, baseado no pilar-
padro, e apresentam algumas aproximaes para os valores da curvatura.
A norma apresenta em seu item 15.8.3.3.2 o mtodo de clculo para obteno do
momento total mximo no pilar.
A curvatura do pilar-padro para efeito de clculo aproximada em funo da altura
da seo transversal e da fora adimensional por:
(
)
( )
(Curvatura na seo crtica) (2.1.11)
E a fora adimensional dada por:
(2.1.12)
Onde:
= fora normal solicitante;
= rea de concreto da seo transversal;
= fora resistente de clculo do concreto;
Desta forma, o momento total seria calculado como sendo o momento total de
primeira ordem acrescido do momento de segunda ordem. A ABNT NBR 6118:2014
prescreve a frmula para o clculo deste momento solicitante:
32
(2.1.13)
Onde
= coeficiente de ponderao do momento de primeira ordem em funo do
diagrama de momento solicitante;
= momento de primeira ordem atuante na seo crtica do pilar;
Com isto, possvel calcular o momento total para os pilares medianamente
esbeltos. Ou seja, aqueles cujo ndice de esbeltez maior que o mnimo e menor
que 90.
2.2. PROCESSOS DE OTIMIZAO
A otimizao um processo para determinar a melhor soluo para um problema
dado. Este problema chamado de objetivo e pode representar alguma quantidade,
qualidade ou qualquer outro fator que pode ser apresentado como um nmero. Nos
problemas de otimizao so utilizados alguns conceitos importantes de serem
destacados.
BASTOS (2004) cita, entre outros, as variveis de projeto, restries, funo
objetivo, soluo tima e espao de busca.
As variveis de projeto so todas aquelas caractersticas que tm seu
valor modificado de acordo com a modelagem do processo de
otimizao;
As restries so as situaes limites na qual o problema estudado
no pode infringi-las. Ou seja, os valores da soluo devem estar
contidos num espao limitado pelas restries;
A funo objetivo o resultado da modelagem do problema. a
funo na qual so sintetizadas todas as variveis do projeto para
chegar num valor para o objetivo do processo;
A soluo tima aquela que, dentre todo o conjunto possvel de
solues, possui o melhor valor para a funo objetivo em estudo.
33
Este pode ser o maior ou menor dentre todos, dependendo do tipo de
anlise que est sendo feita;
O espao de busca o conjunto de todas as solues viveis para o
problema, delimitados pelas restries impostas.
2.2.1. TIPOS DE OTIMIZAO
CHAVES (2004) descreve alguns tipos de modelos de otimizao podendo destac-
los em:
Discreta e Contnua
A otimizao discreta consiste numa funo objetivo em que o nmero de solues
possveis determinado. Ou seja, existe um nmero finito de solues no espao
de busca. J a contnua definida por possuir um conjunto infinito de solues, j
que a funo objetivo ser contnua no espao de busca especificado.
Restrita e No-Restrita
Quando as variveis de projeto possuem algum tipo de restrio, em que um
conjunto de valores destas variveis no pode ser assumido na funo ela
chamada de restrita. J no caso em que as variveis podem assumir quaisquer
valores num conjunto indeterminado, ou seja, no possuem restrio, este tipo de
otimizao chamado de no restrito.
Ainda quando for restrita, e todas as funes de restrio e tambm a funo
objetivo for linear, ser feita uma programao linear. J no caso em que qualquer
uma destas funes for no linear, a programao ser da mesma forma no linear.
Local e Global
Uma soluo chamada de local, quando ela a menor ou maior dependendo da
anlise que est sendo feita dentro de uma vizinhana definida ao redor desta.
Esta soluo no necessariamente a menor ou maior dentre todas as possveis. A
soluo que atende o objetivo para todas as solues existentes em todo o espao
de busca ser chamada de soluo global.
34
A soluo global no fcil de ser encontrada ou garantida. A maioria dos
algoritmos capaz apenas de achar a soluo local de um problema que ser
determinado principalmente pelo ponto de partida dado. Neste caso deve-se fazer
um estudo sobre a melhor soluo ou ponto de partida para o problema.
Probabilstico e Determinstico
Processos de otimizao em que a soluo encontrada por meio de soluo
matemtica exata, baseado em formulaes e mtodos matemticos de trabalho da
funo objetivo so chamados de determinsticos. Estes mtodos so indicados
para funes mais simples com poucas variveis, devido ao fato de se tornarem
menos eficientes em termos de esforo computacional e procura da soluo global.
Os processos de otimizao que se baseiam em probabilidades de eventos e
refinamento dos possveis conjuntos de soluo so chamados de estocsticos, ou
probabilsticos. Um processo estocstico que tem sido bastante utilizado na atual
literatura para o dimensionamento de estruturas como em SILVA (2011), BASTOS
(2004), e vrios outros citados em MEDEIROS E KRIPKA (2012) o mtodo dos
algoritmos genticos.
2.2.2. PROGRAMAO MATEMTICA
O problema de otimizao, conforme j explicado, possui uma funo objetivo que
pode ser chamada de f que descrita em funo do vetor das variveis que pode
ser chamado de x e ainda est sujeito ao vetor de restries que pode ser
chamado de c que tambm funo de x. Desta forma a estrutura deste
problema ficaria conforme abaixo:
Minimizar f(x) x (2.2.1)
Sujeito a ci(x) 0 i = 1...l
ci(x) = 0 i = l+1... m
xil xi xi
u i = 1 ... n
As funes f e ci so escalares consideradas em funo da varivel x.
35
JNIOR (2005) cita que existem algumas condies que definem se a soluo x*
encontrada um mnimo local. Estas condies so chamadas de Kuhn-Tucker, ou
tambm conhecidas como condies de primeira ordem, e podem ser descritas
como:
( )
( )
( ) (2.2.2)
(
)
Onde ( ) dada pela seguinte expresso:
( ) ( ) (
) (2.2.3)
( ) a funo Lagrangiana, so os multiplicadores de Lagrange vinculados a
( ), que so as funes de restries, no ponto timo chamado de x*.
Essas condies de Kuhn-Tucker so suficientes na determinao do ponto timo
local somente para os problemas em que todas as funes (funo objetivo e
funes de restrio) so convexas. Para o caso em que alguma das funes no
seja convexa, devem-se verificar tambm as chamadas condies de segunda
ordem, descritas conforme a seguir:
(2.2.4)
36
Onde a derivada primeira dos vetores (
) e a derivada segunda da
funo Lagrangiana, chamada de matriz Hessiana. Desse modo, esta matriz ser
sempre positiva no ponto timo para qualquer direo d.
Nos processos determinsticos de programao matemtica, so realizadas
operaes nas funes que utilizam na maioria das vezes pelo menos a derivada
primeira desta funo. Isto exige que a funo em questo seja contnua e
diferencivel.
BASTOS (2004) explica que existe uma grande diversidade de mtodos que
empregam este tipo de programao matemtica. Dentre alguns, ele destaca o
Mtodo de Newton, Mtodo Quase-Newton, Mtodo da Mxima Descida, Mtodo do
Gradiente Conjugado, Mtodo das Penalidades e o Mtodo do Lagrangiano
Aumentado.
2.2.2.1. TIPOS DE ALGORITMOS DA PROGRAMAO MATEMTICA
PEREIRA (2002) cita em seu trabalho que existem inmero tipos de algoritmos,
baseados na programao matemtica, criados para cada caracterstica das
funes-objetivo e das restries.
Para problemas cujas funes objetivo sejam lineares assim como as funes de
restrio, so utilizados os algoritmos do tipo lineares. J para o caso em que a
funo objetivo no seja linear, mas sim quadrtica, e as restries sejam lineares,
utilizam-se algoritmos quadrticos para resolverem estes problemas. E no caso de
ambas as funes objetivo e de restries serem no lineares, utilizam-se os
algoritmos no lineares.
Quando as funes so lineares ou quadrticas, o processo se torna mais simples
para utilizar os algoritmos, visto que estes possuiro um nmero determinado de
passos para se chegar soluo procurada. Os algoritmos no lineares, no entanto,
podem no ter um nmero definido de passos. O que se espera destes a
convergncia para um ponto timo local depois de uma sequncia de iteraes.
37
Desta forma, os algoritmos no lineares de programao matemtica, com ou sem
restrio so gerados por processos iterativos de busca da soluo tima, onde
dado um ponto inicial x0 e uma direo de busca d, so gerados novos pontos x,
mais prximos do ponto timo local. Esta expresso pode ser demonstrada
conforme a seguir:
(2.2.5)
Os algoritmos possuiro duas principais etapas. A determinao da direo d,
anteriormente citada, e o valor da constante t que definir o tamanho do passo dado
naquela direo. baseado nesta expresso que muitos algoritmos so escritos de
vrios mtodos diferentes, de acordo com as funes estudadas.
Alm disto, os algoritmos sero chamados de primeira ordem, quando utilizarem
apenas as primeiras derivadas das funes, e as condies de Kuhn Tucker, aqui
descritas, forem suficientes para se encontrar os mnimos locais do problema.
Quando estes algoritmos necessitarem utilizar as derivadas segundas, e as
condies de segunda ordem bem como a matriz Hessiana, sero chamados de
algoritmos de segunda ordem.
2.2.2.2. MTODO DE NEWTON
Este mtodo, elaborado conforme descrito a seguir, pode ser utilizado para funes
sem restries. JNIOR (2005) destaca que a principal caracterstica deste mtodo
consiste em aproximar funes f(x) para funes do tipo quadrtica para que
possam ento ser minimizadas. Para tanto, utiliza expanso por srie de Taylor at
o termo de segunda ordem para a funo f(x). Ou seja:
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) (2.2.6)
Se
( ) (2.2.7)
e
38
( ) ( ) (2.2.8)
Substituindo (2.2.7) e (2.2.8) em (2.2.6), tem-se:
( ) ( )
(2.2.9)
Em que d a direo de busca que se pretende introduzir na funo, g o vetor
gradiente da funo f, e H a matriz das derivadas segundas da funo f, ou
tambm chamada de matriz Hessiana no ponto x0. Esta matriz ser positiva,
definida e simtrica. A equao (1.3.9) encontrada ser quadrtica com a varivel d
em estudo. Assim, o problema da minimizao consistir em determinar uma
direo d, que quando aplicada funo objetivo, trar um valor menor que o
anterior, sendo este passo reproduzido at que se encontre o ponto timo. Ou seja,
( ) ( ). Desta forma tem-se:
( ) (
) (2.2.10)
Para se achar um ponto mnimo, deve-se encontrar o ponto onde a tangente da
funo seja nula, ou seja, ( ) . E ento se tem:
(2.2.11)
Desta forma, encontra-se o ponto global da funo quadrtica que foi aproximada
da funo f(x). Para melhorar a preciso, pode-se partir deste novo ponto, e
aproximar novamente a funo inicial para uma funo quadrtica, e realizar as
mesmas etapas at que se obtenha o resultado dentro de uma faixa de erro
desejada. Vale ressaltar, que se a funo f(x) for originalmente quadrtica, ento
este mtodo obtm o ponto timo em um nico passo. A desvantagem deste
mtodo o custo computacional elevado que se gasta na elaborao da matriz
Hessiana, sobretudo quando se trabalha com um nmero elevado de variveis.
Para tanto foram surgindo os mtodos Quase-Newton com a finalidade de
aproximar a Hessiana, construindo-a a partir de valores dos gradientes da funo f
encontrados no decorrer das iteraes sem perder a eficincia de convergncia do
mtodo de Newton. Pode-se destacar nestes mtodos a convergncia super linear,
39
com destaque para o mtodo BFGS (o mtodo possui este nome por ter sido criado
pelos autores Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno).
2.2.2.3. BUSCA LINEAR
Determinada a direo d que ir minimizar a funo f(x), necessrio ento que se
saiba o tamanho do passo t dado nesta direo em busca do ponto timo. Para
tanto necessrio que se minimize a funo p(t) que pode ser definida conforme a
seguir:
( ) ( ) (2.2.12)
Ao analisar esta equao verifica-se que:
( ) ( ) (2.2.13)
e
( ) ( )
|
(2.2.14)
Em que p(0) a derivada da funo p em funo de t, no ponto t=0.
Dependendo do mtodo que se utiliza para a otimizao do problema, esta busca
linear pode ser feita de forma exata ou aproximada. Est ltima uma tcnica mais
recente que possui como objetivo determinar um t, de modo que a funo f tenha
um decrscimo pr-determinado como:
( ) ( ) ( ) (2.2.15)
Onde responsvel por definir o tamanho do passo que ser dado. Quando for
um valor pequeno, o passo dado ser inversamente proporcional a este, ou seja,
ser dado um passo grande. Da mesma forma, se for escolhido um valor grande
para , o passo dado ser pequeno.
Outra forma de se realizar a busca linear realizando uma aproximao quadrtica
para a funo p, e a partir da calcular o ponto t que ser o mnimo para esta
40
equao, verificando sempre se a equao (2.2.12) ser satisfeita. Caso no seja, a
equao atualizada e feita uma nova iterao com um novo ponto.
2.2.2.4. PROGRAMAO QUADRTICA
A programao quadrtica consiste num esquema um pouco diferente para se obter
o mnimo da funo objetivo. Este tipo de programao pode ser utilizado em
problemas com restries. Seu objetivo procurar o vetor soluo, chamado de x*,
dentro de um problema com a seguinte estrutura:
(2.2.16)
Onde a a matriz com os coeficientes das derivadas das funes de restrio e b
o vetor dos termos independentes destas funes. E ainda se Q for uma matriz
positiva definida, poder ser garantida a existncia de somente um ponto mnimo
local, j que o problema se tratar de uma funo convexa.
Segundo PEREIRA (2002), este tipo de problema pode ser resolvido em trs etapas
definidas a seguir:
1. Eliminar as restries de igualdade do problema, e com isso diminuir o
nmero das variveis independentes para n-1, obtendo-se um problema
de programao quadrtica (reduzida), que contenha somente as
restries de desigualdade. Este problema chamado de problema
padro de PQ.
2. Transformar o problema reduzido de programao quadrtica num
Problema Linear Complementar (PLC), que pode ser resolvido por meio
de mtodos de pivoteamento como o de Lemke.
3. Recupera-se a soluo para o espao original com o clculo das variveis
eliminadas na primeira etapa, obtendo-se os valores de x e .
41
2.2.2.5. PROGRAMAO QUADRTICA SEQUENCIAL
A Programao Quadrtica Sequencial PQS consiste num mtodo de
otimizao que se baseia na resoluo das condies necessrias de primeira
ordem. Possui como ideia principal se aproximar do Mtodo de Newton pelo fato de
este possuir uma convergncia quadrtica muito boa. No entanto o Mtodo de
Newton s pode ser utilizado em problemas sem restrio. E neste ponto que se
desenvolve a tcnica da PQS.
Ela pode ser considerada o resultado da aplicao do Mtodo de Newton
otimizao de uma aproximao quadrtica da funo Lagrangiana do problema. A
PQS ir fornecer a cada nova etapa os passos d, que devem ser aplicados ao vetor
das variveis x, e o , que ir corrigir os multiplicadores de Lagrange. Estes sero
aproximaes dos resultados x* e * procurados. JNIOR (2005) demonstra melhor
esta situao conforme o esquema seguinte:
( ) (2.2.17)
( )
Cuja funo Lagrangiana ser:
( ) ( ) ( ) (2.2.18)
Desenvolvendo ( ) em sries de Taylor em torno de (xk, k) at a primeira
ordem obtm-se:
( ) ( ) [ ( )] (
) (2.2.19)
Considerando e e aplicando a equao (2.2.19)
no ponto ( ), tem-se:
[ ( )] (
) ( ) (2.2.20)
Que pode ser expresso matricialmente como:
[
] (
) (
) (2.2.21)
42
Substituindo por , tem-se:
[
] (
) (
) (2.2.22)
Em que Ak a matriz dos gradientes das restries, Wk a matriz Hessiana da
Lagrangiana e gk o gradiente de f(x), todos avaliados no ponto xk. A soluo de
(2.2.22) equivale soluo do subproblema de PQ (JNIOR, 2005):
(2.2.23)
Onde cada nova etapa k da soluo pode ser aproximada pelo problema de PQ
resultante da linearizao das funes de restrio e da expanso quadrtica da
funo f em torno do ponto x0.
Este tipo de soluo das direes d e dos multiplicadores de Lagrange s podem
ser obtidos pela soluo do sistema de equaes lineares por meio da utilizao do
mtodo de Newton aplicado a Lagrangiana do problema, como no caso da equao
(2.2.23), devido ao fato de haver somente restries de igualdade.
Para o caso em que haja tambm restries de desigualdade, possvel resolver o
problema conforme a equao (2.2.1) definindo uma direo de busca d, e uma
estimativa dos multiplicadores de Lagrange , por meio da soluo do PQ:
(2.2.24)
Em que o mtodo de soluo foi explicado na seo anterior.
2.2.2.6. ALGORITMO DE HAN-POWEL (PQS)
43
Esta seo tem como objetivo definir as etapas do algoritmo mais popular dentre os
que utilizam as tcnicas da programao quadrtica sequencial, chamado de
algoritmo de Han-Powel.
PEREIRA (2002) define como etapas do algoritmo de Han-Powel as seguintes:
1. Dado um ponto inicial x0 e uma aproximao da Hessiana da funo
Lagrangiana B0, fazer k=0. B0 dada pela seguinte funo:
(2.2.25)
Em que b0 um parmetro definido pelo usurio do algoritmo. O nmero de
reincios da matriz B controlado pelo parmetro nr definido pelo usurio. O reincio
de B serve para descartar a influncia de pontos muito distantes do ponto atual.
2. Para , montar e resolver o problema de programao quadrtica
definido pela equao (2.2.24) determinando os vetores dk e k:
(2.2.26)
Em que cik+1 o vetor com as restries, ai
k-1t uma matriz com o gradiente das
restries e Bk-1 uma aproximao da Hessiana no ponto xk-1.
3. Verificar os critrios de convergncia do algoritmo:
{|
|
( )
(2.2.27)
Onde o primeiro critrio representa a variao da funo objetivo na direo dk e o
segundo critrio verifica experimentalmente o valor da restrio mais violada.
Verificar tambm os critrios de parada tais como: nmero de avaliaes da funo
objetivo e nmero de iteraes.
44
4. Se os critrios de convergncia e/ou os de parada no so atendidos faz-
se ento uma busca linear unidimensional para determinar o tamanho do
passo tk, na direo dk de forma que o novo estimador da soluo xk = xk1
+ tkdk seja um ponto que contribua para o decrscimo da funo objetivo.
A busca feita sobre a funo de penalidade (p), construda no intuito de
impor um alto custo violao das restries.Esta funo definida pela
expresso:
( ) ( ) ( ) | ( )| [ ( ) ]
(2.2.28)
onde os ri so os fatores de penalidades. A busca aproximada, isto a soluo t*
no o mnimo de p(t), mas atende a certo decrscimo pr-estipulado em p(t)
considerado satisfatrio. O coeficiente de decrscimo da funo dado pelo
parmetro definido pelo usurio.
5. Atualizao da matriz Bk do subproblema quadrtico atravs do mtodo
BFGS.
6. Retorno etapa 2.
2.2.2.7. MTODO DOS PONTOS INTERIORES
O mtodo dos pontos interiores trabalha especificamente com a regio vivel do
problema. Ou seja, aquela na qual est delimitada pela funo objetivo e pelas
funes de restrio, podendo estas ser de igualdade ou de desigualdade. Ele
consiste basicamente em determinar alguns pontos no interior desta regio vivel e,
a partir destes, continuar a procura pelo ponto timo que pertencer da mesma
forma a esta regio.
Todos os pontos obtidos em sequncia possuiro sempre valores decrescentes.
Ento, mesmo que a convergncia para o ponto timo no seja garantida, o ltimo
ponto encontrado ser sempre menor ou igual aos demais, portanto ser vivel.
45
JNIOR (2005) construiu um esquema deste mtodo que permite chegar s
expresses gerais de seu desenvolvimento. Este esquema descrito conforme a
seguir:
Considere o problema de minimizao dado:
( ) (2.2.29)
( )
E as condies de Kuhn-Tucker para este tipo de problema sero:
(
)
( ) (2.2.30)
Seja ento A uma matriz que contenha os gradientes das restries, e C uma matriz
diagonal que contenha os valores destas restries. Assim, as duas primeiras
equaes podem ser reescritas da seguinte forma:
(2.2.31)
Utilizando o Mtodo de Newton para se resolver este problema tem-se:
[
] (
) (
) (2.2.32)
Onde uma matriz diagonal em que , d0 a direo de busca e a
estimativa dos multiplicadores de Lagrange. possvel demonstrar que a direo de
busca ser sempre de decrscimo, a no ser no caso em que o ponto x no mude
mais de valor. Neste caso a direo de busca d0 = 0.
46
Esta direo de busca descrita na equao (2.2.32) nem sempre ser vivel. Pode-
se expandir uma equao deste sistema e apresenta-la da seguinte maneira:
(2.2.33)
Esta equao implica que para todo i tal que ci=0. Geometricamente isto
quer dizer que d0 seria tangente s restries ativas, indicando ento uma direo
de busca apontando para o exterior da regio vivel.
Para solucionar este problema, adiciona-se uma constante negativa do lado direito
desta equao, conforme a seguir:
(2.2.34)
Em que a nova estimativa de .
Procedendo desta maneira, a direo de busca original ser defletida de um valor
proporcional , apontando para o interior da regio vivel. Devido esta
proporcionalidade e a d0 ser uma direo de decrscimo de f, podem-se encontrar
os limites de para que d ainda seja uma regio de decrscimo. Para isto, impe-
se:
(2.2.35)
Onde ( ). De forma geral, a taxa de decrscimo de f ao longo de d ser
menor que ao longo de d0. Porm isto se faz necessrio para garantir a correta
aplicao do mtodo.
Ao considerar o sistema auxiliar:
[
] (
) (
) (2.2.36)
Pode-se demonstrar que:
(2.2.37)
e
47
(2.2.38)
Substituindo (2.2.38) em (2.2.36), obtm-se:
( )
(2.2.39)
Aps a direo de busca d ter sido definida, deve se realizar uma busca linear
restrita nesta direo, com objetivo de se garantir que o ponto procurado esteja no
interior da direo vivel. Deve-se tambm atualizar os valores dos multiplicadores
de Lagrange, de forma que a convergncia para soluo tima seja garantida.
2.2.2.8. ALGORITMO DE PONTOS INTERIORES
Esta seo possui como objetivo definir um algoritmo para implementao do
mtodo dos pontos interiores descrito na seo anterior. Para que seja
implementado este algoritmo, deve-se possuir um ponto inicial x0 pertencente
regio vivel, uma estimativa inicial para os multiplicadores de Lagrange de modo
que estes sejam maiores que zero e uma matriz aproximada da matriz W, simtrica,
positiva definida, chamada de B.
PEREIRA (2002) define como etapas deste algoritmo as seguintes:
1. Obter a direo de busca d:
1.1. Determinar os vetores (d0,0) atravs da soluo do sistema linear definido
em (2.2.32).
1.2. Verificar o critrio de convergncia:
(2.2.40)
1.3. Determinar os valores (d1, 1) por meio da soluo do sistema linear definido
em (2.2.36).
1.4. Calcular o valor de :
{ [
( )
]
(2.2.41)
Sendo kf>0.
48
1.5. Calcular a direo de busca d conforme as equaes (2.2.37) e (2.2.38)
2. Fazer uma busca linear sobre d, determinando o tamanho do passo t que
satisfaa um critrio sobre o decrscimo da funo objetivo e para o qual:
{ ( )
( ) ( ) (2.2.42)
E o novo ponto x ser:
(2.2.43)
3. Atualizar a matriz B, que uma aproximao da Hessiana da funo
Lagrangiana, atravs do mtodo BFGS.
4. Definir uma nova estimativa para os multiplicadores de Lagrange:
[ ] (2.2.44)
Sendo ke>0.
5. Fazer x igual a x0 e retornar ao passo 1.
A aproximao inicial e o reincio da Hessiana da funo Lagrangiana so
controlados pelos mesmos parmetros utilizados pelo algoritmo de Programao
Quadrtica Sequencial.
2.2.3. ALGORITMOS GENTICOS
BASTOS (2004) descreve que os Algoritmos Genticos foram criados baseados na
ideia de evoluo das espcies segundo os princpios darwinianos onde somente os
indivduos mais aptos sobrevivem no processo de reproduo. Para isto o algoritmo
trabalha com uma populao de elementos, realizando operaes de mutao, de
cruzamento entre eles e de seleo, gerando desta forma indivduos novos criados
a partir da prioridade de seleo dos indivduos reprodutores mais aptos para
realizarem as mesmas operaes e desta forma prosseguir no processo de busca
da soluo ideal.
Como os algoritmos genticos baseiam-se na teoria da evoluo de Darwin, sero
relacionados os termos desta, mais usuais, para melhor compreenso do tema.
BASTOS (2004) os define da seguinte maneira:
49
Cromossomo: Cadeia de caracteres (genes) que codifica alguma
informao relativa s variveis do problema. Cada cromossomo
representa uma possvel soluo no espao de busca do problema.
Indivduo: um membro da populao, sendo que nos algoritmos
genticos formado pelo cromossomo e sua aptido.
Gene: Na biologia, a unidade de hereditariedade que transmitida
pelo cromossomo e que controla as caractersticas do organismo. Nos
algoritmos genticos, um parmetro codificado no cromossomo, ou
seja, um elemento do vetor que representa o cromossomo.
Gentipo: Na biologia, representa a composio gentica contida no
genoma. Nos algoritmos genticos, representa a informao contida
no cromossomo ou genoma.
Fentipo: Na biologia, representa as caractersticas produzidas pela
interao dos genes e o ambiente. Nos algoritmos genticos, expressa
um conjunto de parmetros ou a soluo alternativa do problema, ou
seja, o cromossomo codificado.
Populao: Conjunto de cromossomos ou solues do problema.
Gerao: O nmero da iterao que o algoritmo gentico executa.
Operaes Genticas: Conjunto de operao que o algoritmo gentico
realiza sobre cada um dos cromossomos.
MEDEIROS E KRIPKA (2012) explicam que cada indivduo da populao
denominado cromossomo e os genes sero a soluo codificada em forma de
ordem de smbolos. A elaborao do algoritmo dever avaliar tambm a aptido dos
indivduos para escolha daqueles que sero reproduzidos e iro criar a nova
gerao. Estes so alterados por dois operadores principais: a mutao e a
recombinao. O primeiro modifica os genes do indivduo. Ocorre com menos
frequncia do que a recombinao. J esta segunda trabalha na construo de um
novo resultado com base em dois indivduos selecionados ao acaso para esta
operao. De acordo com a classificao de aptido j realizada, aqueles com
menos potencial tero tambm menor probabilidade de serem selecionados para
esta operao.
50
Existem dois processos de reproduo mais utilizados nos algoritmos genticos. O
Geracional e o chamado Steady-state. SILVA (2011) os diferencia da seguinte
maneira: o geracional substitui a populao integralmente a cada reproduo, o que
possui a desvantagem de se perder material gentico de boa qualidade. J o
Steady-state insere somente indivduos na populao que tenham a aptido maior
que um parmetro pr-estabelecido, por exemplo, a mediana da aptido da
populao, ou a menor aptido dentre todas entre outros, e descarta aqueles que
possurem valores inferiores a este parmetro. Desta forma a populao mantm
sempre os indivduos com melhores materiais genticos.
SILVA (2011) divide os algoritmos genticos em cinco caractersticas principais ao
serem manipulados para encontrar a soluo:
Codificao gentica dos resultados para a questo;
Criao da populao inicial de resultados;
Anlise de aptido dos resultados encontrados;
Operadores genticos que manipularo os resultados para obter novos
indivduos;
Parmetros definidos no processo de mutao e reproduo dos
resultados;
A manipulao destes parmetros permitiu que se criassem codificaes baseadas
nos algoritmos genticos, que so capazes de resolver uma infinidade de problemas
relacionados otimizao de forma robusta e com uma eficincia j comprovada na
literatura.
Um pseudocdigo de um algoritmo gentico pode ser formulado com as
caractersticas bsicas dos algoritmos. Ele ser apresentado a seguir para melhor
ilustrao do assunto:
Algoritmo Gentico
Inicialize a populao
Avalie indivduos na populao
Repita
Selecione indivduos para reproduo
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Aplique operadores de recombinao e mutao
Avalie indivduos na populao
Selecione indivduos para sobreviver
At critrio de parada satisfeito
Fim
No mtodo estocstico aqui tratado, a exigncia de se trabalhar com funes
contnuas e diferenciveis no necessria por no se utilizarem derivadas ou
operaes determinsticas na funo.
Alm disto, o processo de busca no parte de um ponto especfico