Dimensionamento Pilar de uma Ponte

8/9/2019 Dimensionamento Pilar de uma Ponte

1/28

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRACURSO DE ENGENHARIA CIVIL

DIMENSIONAMENTO DE PILAR DE PONTE DE CONCRETO ARMADO

Isadora De Souza Cardoso

Marco Aurélio Borgeo

Elton de Carvalho

Barra do Garças/MT, novembro de 2014.


2/28

Exercício: Dimensionamento de um pilar P4, em uma ponte de classe 45 com tabuleirocontínuo. Dados: fck = 20 Mpa; 0,1=φ m.

Figura 1-Esquema longitudinal da ponte

• Características dos Pilares e dos aparelhos de apoio

Segundo as peças adotadas pra pré-dimensionamento temos as seguintes

características para as peças adotadas Pilares

- m0,1=φ

-Fck=20 Mpa

- 85,0560085,0 ××=×= fck Eci Ecs

85,0205600 ××=

37,21287= Mpa

Portanto, adotaremos 21000= Ec Mpa 7101,2 ×= KN/m²

-Área dos pilares

2785,04

²14

²m

d A =

×=

×=

π π

-Inércia dos pilares

424 109,464

²164

md

I −×=×

=×

= π π


3/28

Aparelho de Neoprene Fretado (P1 e P4)

Constituído por 2 chapas de aço externas= 2mm e 1 interna= 3mm. Comdimensões: 250x900x37 mm³.

Figura 2-Aparelho de apoio

O aparelho é revertido com camadas de neoprene com 3mm de espessura, logoas medidas úteis serão:

Área de apoio: Aa=24,4 x 89,4=2181,36 cm² =2181,4 x²10 4 m−

Altura útil: ha= 2x12=24 cm= 0,024m

Módulo de elasticidade transversal do neoprene= G=1000 KN/m²

Aparelho de apoio Freyssinet (P2 e P3)

A rigidez é infinita já que esse apoio não deforma na horizontal.

• Cálculo dos esforços horizontais longitudinais

Adotando um modelo que considera como apoio elástico os conjutos pilar-neoprene que recebem as cargas dos tabuleiros, podemos determinar a parcela de cargaabsorvida por cada apoio.

Um esquema do modelo é mostrado a seguir.


4/28

Figura 3-Modelo de cálculo da distribuição de forças longitudinais entre os apoios elásticos

Primeiro é preciso calcular as rigezas. Calculando as rigezas dos apoios elásticos

Lembrando que rigidez é o esforço que deve ser aplicado para se produzir umdeslocamento unitário.

Figura 4- Rigidez do apoio elástico

Cálculo da rigidez do pilar, do aparelho de apoio e do conjunto

Temos que piFi

Kpiδ

= , também se sabe pelo Método das Cargas Unitárias

(MCU- Teoria das estruturas) que para uma força horizontal aplicada no topo de umpilar engastado - livre, o deslocamento é:

Ipi Ec

lpiFi pi

×

×=

3

3

δ , logo 333

3lpiFi

Ipi EcFi

Ipi EclpiFi

FiKpi

×

××=

××

=


5/28

33

lpi Ipi Ec

Kpi ×

=

Onde: Ec= Módulo de elasticidade do material

Ipi= Inércia do pilar iLpi= comprimento do pilar i

De forma análoga para o aparelho de neoprene temos:

Figura 5-Rigidez do aparelho de Neoprene

Temos,

haiai

tg δ γ = , e que

haiaiδ γ = (para ângulos que tendem a zero)

Além disso, temos que: AaiGai

Fi×

=γ

Igualando-as temos: AaiGaihaiFi

ai AaiGai

Fihai

ai×

×=⇒

×= δ

δ

Pela definição de rigidez:hai

AaiGaiKai

AaiGaihaiFi

Fiai

FiKai

×=⇒

×

×==

δ

Onde: Gai=Módulo de elasticidade transversal do material do aparelho de apoio.Aai=Área (útil)

hai=Altura (útil)

Como era de se esperar a rigidez depende apenas da geometria e do material.

Observe agora que o apoio existente é um conjunto pilar – neoprene, paraassociá-los faremos o seguinte:


6/28

Figura 6-Rigidez do apoio elástico (pilar+aparelho de apoio)

Assim,

+×=+=+=∆

KpiKaiFiKpiFiKaiFi piai 11δ δ

Considerando

+=

KpiKaiKi111 , temos: FiKi =×∆

Onde: ∆ = Deslocamento total

Ki= Rigidez do conjunto dado por

+

=

KpiKai

Ki 111

Fi= Força aplicada.

Agora, de posse da rigidez do conjunto podemos calcular a parcela de forçaabsorvida pelo apoio.

Da figura 2, temos:

∑ ∑ ∆×== KiFiF , logo ∑=∆

KiF , como ∆×= KiFi

F Ki

KiFi

KiF

KiFi

×=⇒= ∑∑

Sendo: Ki=Rigidez do apoio elástico iFi=Força absorvida pelo conjunto iF=Força longitudinal aplicada no tabuleiro


7/28

Com as informações estabelecidas até aqui, vamos calcular as rigezas dosapoios da ponte em estudo.

A tabela abaixo apresenta as rigezas dos pilares, dos neoprenes e do conjunto:

Lembrando que 33

lpi Ipi Ec

Kpi ×

= ehai

AaiGaiKai

×=

Figura 7-Tabela das rigezas

Obs: Nessa análise considerou-se que há apenas um pilar no apoio i, caso haja mais queum (na direção transversal), nesse caso existem dois, a força aplicada a cada um seráigual à Fi/n. Onde n é o número de pilares, logo a força em cada apoio será dividida pordois.

Cálculo das forças horizontais Frenagem ou aceleração de veículos (Ff)

A NBR 7187 diz que o efeito pode ser estimado da seguinte maneira:Ff ≥ 5% da carga móvel total

30% do peso do veículo-tipo

Ff ≥ 0,05 x (L ponte x B ponte x q – Lvt x Bvt x q) + Pvt0,30 x (Pvt)

Ff ≥ 0,05 x [(75 x 12,8 x 5- 6 x 3 x 5) +450]=258 KN0,30 x (450)=135 KN

Logo, Ff= 258 KN Onde: L ponte=comprimento da ponteB ponte=largura da ponteq=carga móvel distribuída no tabuleiroLvt e Bvt=comp. e largura do veículo tipoPvt=Peso do veículo tipoFf=Força de frenagem

Conjunto

Ec (kN/m²) Ip (m^4) Lp (m) Kp (N/m) Ga (kN/m²) Aa (m²) ha (m) Ka (kN/m) Kpa (kN/m)

1 21000000 0,0491 5,00 24746,40 1000 0,21814 0,024 9089,17 6647,572 21000000 0,0491 10,00 3093,30 Infinita 3093,303 21000000 0,0491 10,00 3093,30 Infinita 3093,304 21000000 0,0491 5,00 24746,40 1000 0,21814 0,024 9089,17 6647,57

ApoioElástico i

Pila Apa !lho "! Apoio

Apoio Freyssinet


8/28

Como a força de vento que atua longitudinalmente no tabuleiro é estimadacomo sendo uma parcela da força de vento que atua horizontalmente, aqui serácalculado a força de vento horizontal transversal e na sequência horizontal longitudinal.

Força horizontal transversal devido ao vento ( t Fv )

a. Situações descarregadas ( td Fv )Para está situação, utilizamos w=1,5 KN/m²

A área de incidência pode ser calculada através de:A tabuleiro=h tabuleiro x L tabuleiro

Portanto, A tabuleiro=(2,25+0,8)x75=228,75 m²

Logo, KN Fvtd

13,34375,2285,1 =×=

b. Situação carregada ( tcFv )Neste caso w=1,0 KN/m² e considera-se altura adicional ao tabuleiro de 2,0m

(altura média dos veículos), logo:Atabuleiro= (2,25+0,8+2)x75=378,75 m²

Sendo assim: KN Fvtc

75,37875,3780,1 =×= Portanto a força de vento considerada será de 378,75 KN

Força horizontal longitudinal devido ao vento ( LFv )

Segundo a norma americana AASHTO, considera-se atuante na ponte,simultaneamente, à força transversal do vento, uma força longitudinal composta pelasseguintes parcelas:

- vento na superestrutura= 25% da força do vento transversal- vento na carga móvel = 40% do vento transversal

a. Situação descarregada

KN FvFv td Ld 78,8513,34325,025,0 =×=×= Área do veículo=0m²

b. Situação carregada

( )4,025,0 ×+××= Aveic AtabwFv Lc


9/28

( )KN Fv

Fv Lc

Lc

19,1174,075*225,07505,30,1

=

×+×××=

Onde: Atab=Área do tabuleiroAveic=Área do veículow= pressão do vento

Portanto a força do vento LFv considerada será de 117,19 KN.

Força horizontal longitudinal devido ao empuxo da carga móvel (Fe )

Considerações para Cálculo:

-Carga móvel distribuída no tabuleiro: 5 kN/m²;-Três eixos com 150 kN a cada 1,5 metros, com comprimento total de 6 metros e3 metros de largura;-Peso Específico do solo: 318 m

KN =γ ;

-Largura da ponte (lp) = 13,60 m;-Ângulo de atrito do solo: 30=φ .

Figura 8-Coeficiente de empuxo ativo e passivo de acordo comφ

Portanto, para o cálculo do empuxo, será considerada a teoria de Rankine que éestudada na disciplina de mecânica dos solos, onde se determina a distribuição do

empuxo junto ao elemento de contenção.

Figura 9-Esquema do empuxo de terra provocada por cargas móveisq


10/28

A Passagem de um veículo sobre um aterro produz na superfície vertical deencontros e cortinas, uma pressão lateral uniforme, conforme a figura abaixo:

Figura 10-Esquema para cálculo da cargaq

Onde o empuxo provocado por carga móvel, é dado pela equação:

hbqKa Eq ×××=

Sendo: ( )lp

lpqqvq

0,30,3 −×+×=

qv= Carga Uniformemente distribuída, resultante da divisão do peso total do veículo-

tipo pela área de atuação do veiculo;q= Carga móvel distribuída sobre o tabuleiro da ponte;

lp= Largura da ponte;

h= Altura da cortina.

Então, adotando a teoria demonstrada acima se calcula o empuxo a seguir:

( ) ²25

²63450

mKN

mKN

qv =×

=

Como, q = 5KN/m² (classe 45)

Logo,

( )

KN Eqm

mmmKN

mmKN

Eq

hbqKa Eq

00,96

25,26,136,13

0,36,13²

50,3²

2533,0

=

××

−×+×

×=

×××=

Força horizontal longitudinal devido à retração e temperatura ( T Fi )


11/28

Se todos os apoios forem elásticos (Pilar + Aparelho de apoio), onde ocorrerão

movimentos de retração e alongamento, ou seja, podendo ocorrer deslocamentos nasduas direções. Com isso, ao se introduzir um apoio em uma extremidade dasuperestrutura, resultara em um deslocamento nulo devido ao apoio. Com essaconsideração, o deslocamento a determinar no apoio elástico é função da sua distânciaaté o plano com deslocamento nulo.

Para resolver o problema, é feito uma superposição de efeitos com duassoluções:

-1º aplica-se efeito de temperatura e retração (∆ Teq) a superestrutura com uma

extremidade fixa, ou seja, introduzindo o apoio onde o deslocamento é nulo.-2º devolve-se a superestrutura à reação de apoio encontrada.

Segue abaixo a imagem explicando o processo:

Figura 11-Força nos apoios elásticos devido a Teq∆

a. Efeito de∆ Teq, com extremidade fixa (Apoio)

Sabendo que o deslocamento é nulo no apoio, então o deslocamento no apoio“i”devido à variação de temperatura, é dado pela equação a seguir:

xiTeqoi ××∆×= α δ

Pois, em resistência dos materiais: L L L L

×=⇒= ε δ δ

ε e Teq∆×= α ε .

Onde:


12/28

=α Coeficiente de dilatação térmica (usaremos o coeficiente do concreto para ocálculo).

∆ Teq= variação de temperatura equivalente á retração e temperatura.

xi= Distância entre a extremidade fixa até o apoio i.

Portanto, obtido o deslocamentoδ oi, o esforço correspondente a essedeslocamento será dado por:

oiKiFi δ ×=

Substituindoδ oi nesta equação, temos:

xiTeqKiFoi ×∆××= α

Sendo:

Ki= Rigidez do apoio elástico. (calculado anteriormente)

Foi= Força no topo do apoio “i” devido ao deslocamentooiδ produzido por Teq∆ .

Por equilibro da estrutura, tem-se:

∑= FoiFo Substituindo na equação anterior, temos:

∑ ×∆××= xiTeqKiFo α

b. Efeito da devolução de Fo na estrutura

A força no apoio “i”, devido ao Fo, é dada por:

( ) ( ) xiTeqKi

KiKi xiTeqKi

KiKi

Fi

FoKi

KiFi

×∆×××

=×∆×××=∆

×=∆

∑∑∑∑

∑α α

c. Superposição de efeitos

Devido à superposição de efeitos, temos que:


13/28

∆ Substituindo, as equações seguintes:

* xiTeqKiFoi ×∆××= α

*( ) xiTeq

Ki

KiKiFi ×∆××

×=∆

∑∑

α

Temos:

×−×∆××=

∑∑

Ki

xiKi

xiTeqKiFi α

Onde:

Fi= Força correspondente a cada aparelho de apoio devido ao efeito de temperatura;

Ki= Rigidez do conjunto (Aparelho de apoio + pilar);

xi= Distância da origem “o”, que está colocado na extremidade da viga comdeslocamento nulo, até o apoio “i”.

Segue a aplicação dos cálculos desenvolvidos a cima, da ponte em estudo.

A força absorvida por cada pilar é dado pela equação acima, onde seráadotada a extremidade esquerda da viga principal como a origem do sistema decoordenada oxy, conforme a figura abaixo:

Figura 12-Esquema de cálculo para o primeiro caso

Para facilitar o cálculo, montamos uma tabela com os dados necessários.


14/28

Sabe-se que:

∆ Teq =± 25℃ e ∝ 10℃ Portanto, a tabela abaixo indica os valores das forças aplicadas em cada pilar

devido ao modelo adotado.

Figura 13-Tabela de Forças nos pilares devido à retração e temperatura

Exemplo de demonstração: Pilar 4Conforme a dedução da fórmula, a força que atua no topo do pilar elástico é dada pelaequação:

×−×∆××=

∑∑

Ki

xiKi xiTeqKiFi α

KN

mKN

KN mC C

m

KN Fi 46,42

92,19411

70,86289970251054,6647 15 =

−

×°×°×= −−

Cálculo da distribuição das forças transversais horizontais entre ospilares

A distribuição dos esforços horizontais de vento é feito por uma analogia entreduas equações que se assemelham, onde, é comparado um problema de vento soprandocontra o tabuleiro e a equação de RESMAT para flexão simples.

1º caso – Distribuição das forças sobre a ponte: quando atuam ações,referenciadas a um ponto “o” do plano horizontal, surgem esforços resultantes Fres eMres. Considerando-se, inicialmente, apenas ação do momento Mres, o tabuleiro giraem torno do ponto “o”, de um ânguloα , provocando em cada pilar um deslocamentoα .xi, ou seja, com um momento, o pilar se deslocaα .xi, e consequêntemente como vistoanteriormente que Fi = ki.∆ , logo:

.αxi A explicação acima é resumida na figura abaixo:

Pila #i Ki Ki$#I1 5 3629,38 18146,9 -35,802 25 3093 77325 -15,043 50 6042 302100 8,384 70 6647,54 465327,8 42,46Σ 19411,92 862899,7

)( KN Fi T


15/28

Fazendo o equilíbrio do tabuleiro, (lembrando que Fres ainda não esta sendoconsiderada) temos:

∑ 0 ∑ ∑ .αxi α∑ . 0

∑ 0 ∑ . ∑ .α.xiα∑ . ²

2º caso – Equação de flexão simples da RESMAT

Figura 14-Flexão simples

Dos conceitos de RESMAT para flexão simples, temos:

∑ 0 !".#$ %. ".#$ 0

∑ 0 !".#$." %. "².#$. Portanto, fazendo á analogia, temos:

$ ∑& ∑ . ²

" Considerando na estrutura que há um CG das rigezas, se a força de vento

resultante, for aplicada nesse centro, haveria uma translação. Portanto, se essa resultante


16/28

for referenciada á esse CG das rigezas, o problema é semelhante a uma situação deflexão composta reta, que é desenvolvida em RESMAT, logo, temos:

! '( ±)* . e A = Ki para o apoio “i”Como:

! $ !.$ . +1 $ ±∑ .., -

Segue a aplicação dos cálculos desenvolvidos a cima, da ponte em estudo.

A única força transversal horizontal a considerar é a força de vento,Fvt=378,75 kN, o efeito dessas cargas nos pilares são calculados em relação ao CG dasrigezas dos mesmos, segue abaixo a imagem para facilitar o entendimento:

Figura 15-Rigezas dos pilares para o cálculo do centro de gravidade das rigezas

Agora, vamos calcular o CG das rigezas, conforme a tabela abaixo:

Pilar Ki (Kn/m)

xi = OrigemAté as Rigezas(m) Ki*xi (kn) Ki*x² (kn.m)

XI = DistanciaRigezas até oCGr

1 6647,57 0 0,00 0,00 32,502 3093,3 20 61.866,00 1.237.320,00 12,503 3093,3 45 139.198,50 6.263.932,50 12,504 6647,57 65 432.092,05 28.085.983,25 32,50

Somatorio 19481,74 633.156,55 35.587.235,75

Para determinar o CG. Das rigezas, temos que fazer:

∑ / ∑ .∑ ∑ / .15 35514 6137 ∑ / 2350 8

Calculado o CGR, as distancias dos apoios fica de imediato nas cotas do cortelongitudinal.


17/28

Figura 16-CG rigeza

Nesse caso, como a estrutura e as forças são simétricas, não temosexcentricidade, ou seja, e = 0.

Devemos encontrar a inércia das rigezas em relação ao ponto de origem. Deforma análoga a resistência dos materiais, o momento de inércia das rigezas em relaçãoao CGr, é dada por:

&" &"9$.#² Sendo que,

& ∑ .9∑ .# & 5.567.2 53759 14 613715004 73675 :;. Como e = 0, logo a segunda parcela da equação é 0.

. =1 $>

Apoio Força(Kn)A=Somatório

Ki e XiSomatório

Ki*x² KiForças(Kn)

1 378,75 19481,74 0 32,50 35.587.235,75 6647,57 129,242 378,75 19481,74 0 12,50 35.587.235,75 3093,3 60,143 378,75 19481,74 0 12,50 35.587.235,75 3093,3 60,144 378,75 19481,74 0 32,50 35.587.235,75 6647,57 129,24


18/28

Exemplo de calculo:

Apoio P4

7357 . 76375 .?@AB 3CA

D = 129,24KnComo estamos olhando o apoio, ou seja, na seção longitudinal, logo temos dois

pilares na seção transversal, ou seja, Fi/2, que resulta em uma força aplicada no top decada pilar Fi = 64,62 KN.

• Cálculo dos esforços horizontais transversais

Força transversal devido ao vento

Conforme calculado no item anteriort Fv =378,75 KN

Ação das águas

Os pilares e blocos das pontes ficam sujeitos a esforços horizontais devido àatuação dinâmica das águas.

A pressão da corrente água é dada pela seguinte expressão:

2vK P ×=

Sendo: P=pressão da água (Kgf/m²)K=coeficiente dimensional determinado experimentalmente.v=velocidade da correnteza (m/seg)

Os valores de K dependem da forma da superfície da incidência da água nopilar. Para uma seção transversal circular, tem-se K=35.

E a velocidade da correnteza será adotada igual: 3m/seg.

mtf

m f Kg

Q

vK Q

315,0.3150,1335 2

2

==××=

××= φ

tf aC

QaC

315,00,1315,0argarg

=×=

×= φ

Com a ação da água calculada e com a rigidez dos pilares, é possível distribuir

o esforço pelos pilares da ponte. Como segue:


19/28

• Cálculo dos esforços verticais Carga permanente

A carga permanente em cada pilar consiste da reação de cada apoio, que levaem conta a ação de todo o peso próprio da superestrutura (dada no exercício).

Carga Permanente= 1707,42 KN

Peso próprio dos pilares

Seguem em tabela os valores do peso próprio de cada pilar:

Lembrando que o peso específico é³

25mKN

=γ

Carga móvelNormal acidental máxima=1391,33 KNNormal acidental mínima= -138,74 KN

• Resumo dos esforços atuantes no pilar P4Resumo dos esforços horizontais:

Pila Ki Ki/%ki &!i (kN)1 6647,57 0,341 1,072 3093,3 0,159 0,50

3 3093,3 0,159 0,504 6647,57 0,341 1,07Σ 19481,73 1 3,15

Pilar Se !o"#$ %o#pri#ento"#$Peso Proprio"&'$

1 1 5 98,17

2 1 10 196,343 1 10 196,344 ' ( )*+',

&-.! (kN) & L (kN) & t (kN) & 0 (kN)177 117,19 42,46 64,62 1,07

1!sumo "os !s-o 2os

(otal ) 218,06 (otal ) 65,69

3o i ontal Lon5itu"inal 3o i ontal 0 ans ! sal

&! a5ua (kN)


20/28

OBS: Lembrando que as cargas (Ff+e) e (FvL) foram divididas por 2, número de pilaresde cada apoio. O mesmo acontece para a carga FvT, pelo mesmo motivo. Conformeteoria desenvolvida ao longo do trabalho.

Resumo dos esforços verticais:Carga de peso próprio= Peso próprio do pilar + Carga permanenteCarga de peso próprio= 98,17 (KN) + 1707,42 (KN) = 1805,59 KN

Carga móvel- Nmáx= 1391,33 KNNmin= -138,74 KN

• Dimensionamento do Pilar- (P4)

Seção de dimensionamentoA seção de dimensionamento do pilar P4 será em sua base, pois é a seção que

possui os esforços mais desfavoráveis (Fig.14). Como o aparelho de apoio é deNeoprene, o pilar é engastado na base e livre no topo.

Figura 17-Seção de dimensionamento

Características geométricas

- O pilar é circular-L= 5m-φ = 1m

- ²r A ×= π = 0,785 m²

- 64.4

d I π = = 0,049 4m


21/28

Cálculo dos esforços de dimensionamento

Como o pilar é circular, deve ser calculado submetido à flexão composta reta,visto que somente pilares de seção transversal retangular podem ser calculados como

submetidos à flexão composta oblíqua. Isso se explica pelo fato de que os esforçoshorizontais longitudinais e transversais podem ser resumidos a uma resultante atuanteno topo do pilar, caindo no caso de flexão composta reta.

a. Cargas atuantesConforme exposto anteriormente, as forças são os seguintes:

N P.próprio= 1805,59 KNN C.móveis: Nmáx= 1391,33 KN; Nmín = -138,74 KNH longitudinal = 218,06 KNH transversal = 65,69 KN

b. Solicitação de projeto

Cálculo da força horizontal resultante:

KN F

H H F

H

allongitudinltransversa H

74,22706,21869,65 22

22

=+=

+=

Cálculo do momento na base devido a carga horizontal:

mKN mKN M

hpF M

A

H A

.7,1138574,227 =×=×=

Cálculo da normal máxima:

( ) ( )KN N

N

PP N

máx

máx

pCmmáx

688,447559,18054,133,13914,1

)(

=

×+×=

×+×=

me

N M

emáx

A

35,0688,4475

7,11384,10

0

=×

=

×=

γ

Cálculo da normal mínima:

( ) KN N 062,272259,18054,1)74,1384,1(min =×+×=


22/28

me 58,0062,2722

7,11384,10 =

×=

Onde:γ =coeficiente de majoração

PcP =Força devido às cargas móveis

pP =Força devido ao peso próprio.

Excentricidade acidental ( Lae )

Todo pilar deve ser calculado levando em conta a excentricidade acidental,

pois existem incertezas da localização da força normal aplicada e do eixo não estarposicionado no ponto determinado em projeto, devido à construção.

cmle La 5,25002001

=×=×= θ

Onde:θ =Desaprumol= altura do pilar

Hipóteses de dimensionamento

Hipótese 1

N=4775,68 KN

( )( )( )( )

kNm M

M

ee N M M amáx A

58,2929025,035,068,47757,1138

0

=

+×+=

+×+=


23/28

Hipótese 2

N=2722,062 KN

( )( )

kNm M

M

55,2785

025,058,0062,27227,1138

=

+×+=

Portanto, a favor da segurança, no dimensionamento do pilar utilizaremos osvalores dahipótese 1:

N=4775,68 KN e M=2929,58 kNm

Classificação do Pilar

Os pilares das pontes são dimensionados à flexão composta reta ou oblíqua,

levando-se em conta os esforços de primeira ordem (esforços iniciais), asexcentricidades acidentais e os esforços de segunda ordem devido ao efeito de

flambagem nos casos de índice de esbeltez 1λ λ > . Ou seja, 1λ é o valor limite.

Portanto, antes de ser calculado se o pilar sofre efeito de flambagem, deve-se

calcular o 1λ , ou seja, o Limλ . De acordo com a NBR 6118, temos:

9035 1 ≤≤ λ

25,369,0

161,05,12255,12251

1 =

×+

=

×+

=b

he

α λ

Onde:

bα (para pilares em balanço) é:

85,02,08,0 ≥×+= A

C b M

M α 85,090,0

58,29292

58,2929

2,08,0 ≥=×+=bα

Mc=Momento de primeira ordem no meio do pilar em balançoMa=Momento de primeira ordem no engaste


24/28

1e =excentricidade de primeira ordem, onde ocorre o maior momento de primeiraordem no pilar, no nosso caso, na base. Será dada por:

m N M

e 61,068,477558,2929

1 ===

a) Índice de Esbeltez

i Le=λ

Sendo:λ = índice de esbeltezLe= comprimento de flambagem

i= raio de giração

Para esse tipo de peça engastada e livre, o comprimento de flambagem é odobro do comprimento da peça. Ou seja, Le= 2.L

Figura 18- Comprimento de Flambagem

Logo:

A I

i = 25,0785,0049,0

==i #

25,3625,0

52≤

×=λ lim40 λ λ ≥=


25/28

Portanto, de acordo com a NBR 6118, devemos calcular os efeitos de segunda ordem.

Será utilizado o método do pilar padrão com curvatura aproximada. Nesse método omomento total máximo no pilar é dado pela seguinte expressão:

d M r

Le Nd d M total Md b 12

1 110, ≥××+×= α

Onde:

bα e Le foram definidos anteriormente.

d M 1 = momento de primeira ordem calculado.

Nd= força normal que atua na seção.

r 1 é igual a curvatura dada por:

3104,55,0

71,14285785,068,47750,1

005,0

5,0)(

005,01 −×=+

×

=

+

×

=

fcd Ac Nd r

φ

Portanto o momento máximo atuante é:

kNmtotal Md

r Le

Nd d M total Md b

51,2894104,5101068,477558,292990,0,

110

,

32

2

1

=×××+×=

××+×=

−

α

Como o Md,total é menor que o d M 1 para dimensionamento do pilar será adotado o

maior valor, ou seja d M 1 .

Cálculo da área de aço

Para o cálculo das áreas de aço foram utilizados os ábacos de dimensionamentode seções circulares submetidas à flexão composta reta.

Pelo ábaco temos: 042,0%2,4 == ρ , pois


26/28

427,01000

4,120

4

68,4775=

××

=×

=π

ν fcd Ac

Nd

261,010004,1

2014

58,2929=

×××=××= π µ fcd h Ac

Md

Armadura Longitudinal

²330²1030,31000

15,1500

10004,1

204

28,12 cmm

fyd fcd Ac

As =×=

×

×××

=××

= −

π ω

28,1

4,12015,1

500

42,0 =×=×= fcd fyd

ρ ω

Então, para umφ =25mm

Temos: ²91,45,12 2 cm As =×= π φ

Numero de barras=φ As

As =67 barras

Armadura Transversal (Estribos)

≥

al Longitudinbarra

mm

φ φ

415

mm25,6min =φ

Bitola escolhida=10mm

Espaçamento Mínimo

Smín≤φ 12

20cm

Smín=12 cm


27/28


28/28

Documents

Dimensionamento Pilar de uma Ponte