Dinmica ICinemtica de Partculas culas
Prof. MSc. Valtency F. Guimares1
Dinmica IProf. MSc. Valtency F. Guimares
Bibliografia RecomendadaBibliografia Bsica: B MERIAM, J. L.
Dinmica. 2 Edio. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonalves e Jos
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos,
1989. HIBBELER, R.C. Dinmica Mecnica para Engenharia, 12 ed.
Editora Pearson. 2010. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecnica
Vetorial para Engenheiros: Dinmica, 7 ed., Mc Graw Hill, 2006.
SHAMES, I. H. Dinmica. Mecnica para Engenharia. 4 ed. Prentice
Hall, 2003. Bibliografia Complementar: GIACAGLIA, G. E. O. Mecnica
Geral. Campus, 1982. KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecnica - Dinmica. 5
Edio. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2003. 496p.
NORTON, Robert L. Projeto de Mquinas Uma abordagem integrada.
Traduzido por Joo Batista de Aguiar et al. 2 Edio. Porto Alegre:
Bookman, 2004. 887p. ARFKEN, George B. Fsica Matemtica: Mtodos
Matemticos para Engenharia e Fsica. 2 Traduzido por Arlete Simille
Marques. 1 Edio. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.
Introduo - Dinmica
Dinmica IPrincpios da Dinmica1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Introduo
Conceitos Bsicos Leis de Newton Unidades Gravitao Dimenses Descrio
de Problemas de Dinmica Atividades3
Introduo - Dinmica
1 - Introduo O fenmeno mais bvio e fundamental que observamos
nossa volta o movimento. Praticamente todos os processos imaginveis
tm como origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas
movemse em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar
em torno do centro da galxia; os eltrons, em movimento no interior
dos tomos, do lugar absoro e emisso da luz e, no interior de um
metal, produzem corrente eltrica. Nossa experincia diria nos mostra
que o movimento de um corpo influenciado pelos corpos que o
rodeiam, isto , pelas interaes com eles. A Dinmica a parte da Fsica
que estuda os movimentos e as causas que os produzem ou os
modificam. Ento, na dinmica vamos estudar os movimentos dos corpos
e suas causas, utilizando tambm os 4 conceitos de cinemtica j
estudados.
Introduo - Dinmica
Introduo A Dinmica tem duas partes distintas Cinemtica, que o
estudo do movimento, sem fazer referncia s foras que o causam, e a
Cintica, que relaciona a ao de foras sobre os corpos aos movimentos
resultantes. A perfeita compreenso da Dinmica fornece a estudantes
de Engenharia uma de suas mais teis e poderosas ferramentas para
anlise. Em termos de aplicao em Engenharia, a Dinmica uma das
cincias mais recentes. Somente depois de conseguir que as mquinas e
estruturas operassem em altas velocidades e aceleraes apreciveis
foi que o homem achou necessrio fazer clculos baseados nos
princpios da Dinmica. O rpido desenvolvimento tecnolgico sem dvida
exige a ampliao dos princpios da Mecnica. 5
Introduo - Dinmica
Introduo Aristteles elaborou uma teoria para explicar os
movimentos dos corpos, dando incio ao estudo da Dinmica. As
explicaes de Aristteles foram utilizadas at Galileu Galilei,
considerado o primeiro cientista moderno, realizar vrios
experimentos, chegando s leis matemticas que descrevem o movimento
dos corpos terrestres, impulsionando o estudo da Dinmica. As idias
de Galileu sobre a dinmica, seus estudos sobre os movimentos dos
corpos foram precursoras das Leis de Newton, que Newton conseguiu
dar um enorme salto na cincia. Conseguiu o que todos buscavam na
poca, uma teoria fsica unificada. Analisando o movimento da lua ele
chegou a uma descrio perfeita para os movimentos, uma descrio que
poderia ser utilizada tanto para os astros (lei da gravitao
universal), como para objetos menores na 6 terra.
Introduo - Dinmica
2 - Conceitos Bsicos Espao. a regio geomtrica na qual o evento
ocorre. comum relacionar linha reta ou plano como espao uni ou
bidimensional. Sistema de referncia. A posio no espao determinada
relativamente a sistemas de referncia por meio de medidas lineares
ou angulares. z rr
1 x
y
2
Tempo. a medida da sucesso de eventos e considerado uma
quantidade absoluta. 7 Fora. a ao de um corpo sobre outro.
Introduo - Dinmica
Conceitos Bsicos Inrcia. a propriedade da matria que causa
resistncia variao do movimento. Massa. a medida quantitativa da
inrcia. tambm a propriedade de rcia todo corpo que sofre sempre
atrao mtua em relao a outros corpos. Partcula. um corpo cujas
dimenses so desprezveis na situao em que vamos considerar. pois um
corpo que em uma situao especfica pode ser considerado como um
ponto geomtrico, no que diz respeito s suas dimenses. Corpo Rgido.
um sistema constitudo de partculas agregadas de um modo tal que a
distncia entre as vrias partes que constituem o corpo (ou o
sistema) no varia com o tempo (no mudam), ou seja, as distncias
entre as vrias partes que compem o corpo so rigorosamente
constantes. No apresenta nenhuma deformao relativa constantes 8
entre suas partes.
Introduo - Dinmica
Conceitos Bsicos Escalar. a quantidade com a qual somente a
grandeza est associada. Exemplos: tempo, volume, massa,
densidade... Vetor. a quantidade na qual a direo, bem como a
magnitude, est associada. Exemplos: deslocamento, velocidade,
acelerao, fora...Em dinmica, o tipo em negrito usado para
simbolizar os vetores e o tipo comum, para escalares. Assim V = V1
+ V2 representa o vetor soma de dois vetores, enquanto S = S1 + S2
representa a soma de dois escalares. Frequentemente, o uso de
derivada de vetores e escalares em relao ao tempo utilizado. Como
notao, um ponto sobre a quantidade ser usado para x indicar uma
derivada em relao ao tempo: x significa dx/dt e && para
& d2x/dt2.9
Introduo - Dinmica
3 - Leis de Newton Newton conseguiu elaborar uma teoria
unificada para a Fsica e esta teoria descrita em trs leis,
conhecidas como as leis de Newton. Primeira lei de Newton ou
Princpio da Inrcia na ausncia de foras externas, um objeto em
repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento permanece em
movimento. Segunda lei de Newton ou Princpio Fundamental da Dinmica
a fora aplicada a um objeto igual massa do objeto multiplicado por
sua acelerao. Terceira lei de Newton ou Princpio da ao e reao Se um
objeto exerce uma fora sobre outro objeto, este outro exerce uma
fora de mesma intensidade, de mesma direo e em sentido 10
oposto.
Introduo - Dinmica
Leis de Newton A segunda lei de Newton bsica para a maioria das
anlises em Mecnica. Quando aplicada a uma partcula de massa m pode
ser fixada r r como: F = ma (ou de outra forma F = ma ) Onde F a
fora resultante que atua sobre a partcula e a a acelerao
resultante. A primeira lei de Newton uma consequncia da segunda,
desde que no haja nenhuma acelerao quando a fora zero, e a partcula
esteja em repouso ou move-se a velocidade constante. A terceira lei
bsica para a compreenso de fora. Ela estabelece que as foras sempre
ocorrem em pares de igualdade e so opostas, sem observar-se a sua
origem, e permanece vlida para todo instante do 11 tempo durante o
qual as foras atuam.
Introduo - Dinmica
4 - Unidades Nos ltimos anos, todos os pases do mundo vm
adotando o Sistema Internacional de Unidade - SI - para todos os
trabalhos de Engenharia e cientficos. As tabelas resumem as
unidades que formam a bases para os clculos mecnicos e seus
prefixos mais usados:Grandeza Comprimento Massa Tempo ForaNome giga
mega quilo mili micro nano
Nome metro quilograma segundo newtonSmbolo G M k m m n
Smbolo m kg s NMultiplicador 109 106 103 10-3 10-6 10-9
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Introduo - Dinmica
5 - Gravitao A lei da Gravitao Universal diz que dois objetos
quaisquer se atraem gravitacionalmente por meio de uma fora que
depende das massas desses objetos e da distncia que h entre eles.
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distncia d entre si,
esses dois corpos se atraem mutuamente com uma fora que
proporcional massa de cada um deles e inversamente proporcional ao
quadrado da distncia que separa esses corpos. Matematicamente:
F =G
onde F a fora mtua de atrao entre os dois corpos; G constante
gravitacional universal; m1 e m2 so as massas dos corpos que se
atraem entre si; e r a distncia entre os dois corpos.
m1m2 r2
13
Introduo - Dinmica
Gravitao O peso de um corpo a fora gravitacional de atrao
exercida sobre esse corpo pela Terra e depende da posio do corpo em
relao Terra. Esta fora existe estando o corpo em repouso ou em
movimento. Todo objeto que deixado cair no vcuo numa dada posio, na
superfcie terrestre, ter a mesma acelerao g. Gm g = 2T r onde mT a
massa da Terra e r o seu raio.A acelerao devida gravidade, quando
determinada pela lei gravitacional, a acelerao de um grupo de eixos
de referncia com origem no centro da Terra, porm no girando com a
mesma. 14 g = 9,824 m/s2
Introduo - Dinmica
Gravitao A variao de g com a altitude pode ser determinada pela
lei gravitacional. Se g0 apresenta a acelerao absoluta devido
gravidade ao nvel do mar, o valor absoluto numa altitude h : r2 g =
g0 ( r + h) 2onde r o raio da Terra. A massa m de um corpo pode ser
calculada pelo resultado de uma experincia gravitacional. Se a fora
gravitacional de atrao ou peso verdadeiro de um corpo for W, para
uma acelerao absoluta g, tem-se: W = mg15
Introduo - Dinmica
6 - Dimenses Uma dada dimenso, como por exemplo o comprimento,
pode ser expresso em diferentes unidades, tais como o p, centmetro
ou metro. Assim a palavra dimenso tem um sentido distinto da
palavra unidade. As relaes fsicas devem ser sempre dimensionalmente
homogneas, isto , as dimenses de todos os termos numa equao devem
ser iguais. costume usar-se os smbolos L, F, T e M, para
representar comprimento, fora, tempo e massa, respectivamente. Na
equao da 2 Lei de Newton a fora tem a dimenso de massa multiplicada
pela ML acelerao ou F = 2 .T16
Introduo - Dinmica
Dimenses Um importante uso da teoria de dimenses encontrado na
checagem da correo dimensional derivada de alguma relao fsica. A
seguinte expresso para a velocidade v de um corpo de massa m que
movido de repouso a uma distncia horizontal x pela fora F pode ser
determinada:Fx =1
1 2 mv 2
onde um coeficiente adimensional, resultante da integrao. Esta 2
equao dimensionalmente correta, pois que a substituio de L, F, T e
M d: [MLT-2][L] = [M][LT-1]2A homogeneidade dimensional uma condio
necessria para haver exatido, mas no suficiente, pois a exatido dos
coeficientes adimensionais no pode ser checada desta forma. 17
Introduo - Dinmica
7 - Descrio de Problemas de Dinmica O estudo da Dinmica dirigido
no sentido da compreenso e da descrio das diversas quantidades
envolvidas nos movimentos dos corpos. Esta descrio, que amplamente
matemtica, habilita fazer prognsticos em relao ao comportamento da
Dinmica. Necessita-se, porm, para formular esta descrio de um duplo
processo mental. mental preciso pensar tanto em termos da situao
fsica como nos da descrio matemtica correspondente. A anlise de
cada problema requer esta contnua transio reflexiva entre aquilo
que diz respeito Fsica e Matemtica. Durante a construo do modelo
matemtico idealizado para qualquer problema de Engenharia, certas
aproximaes estaro sempre presentes. Algumas delas podem ser
matemticas, enquanto outras sero fsicas. O 18 grau da hiptese
depende da informao ou da preciso que se deseja.
Introduo - Dinmica
Descrio de Problemas de Dinmica A utilizao de mtodos eficazes
para solucionar problemas de Dinmica bem como todos os problemas de
Engenharia essencial. Cada soluo deve ser buscada atravs de uma
sequncia lgica que vai do levantamento de hipteses at a concluso. A
sistematizao da tarefa deve incluir o estabelecimento das seguintes
partes, cada uma delas claramente identificadas:1. dados
fornecidos; 2. resultados desejados; 3. diagramas necessrios; 4.
clculos; 5. respostas e concluses. Para descrever as relaes entre
as foras e os movimentos que elas produzem, essencial que o sistema
para o qual um princpio aplicado seja 19 claramente definido.
Introduo - Dinmica
Descrio de Problemas de Dinmica Para descrever as relaes entre
as foras e os movimentos que elas produzem, essencial que o sistema
para o qual um princpio aplicado seja claramente definido. Algumas
vezes uma nica partcula ou um corpo rgido o sistema a ser isolado,
enquanto que em outras vezes dois ou mais corpos considerados
juntos constituem o sistema. A definio do sistema a ser analisado
torna-se clara atravs da construo do seu diagrama de corpo
livre.
20
Introduo - Dinmica
8 - Atividades 1. Para os vetores fornecidos V1 e V2, determine
V1 + V2, V1 + V2, V1 - V2, V1 X V2 e V1 . V2. Considere os vetores
adimensionais e seus mdulos V1 = 12 e V2 = 15. V2 4 3
V130
2. Um nibus espacial est em rbita circular a uma altitude de 250
Km. Calcule o valor absoluto de g a essa altitude e determine o
peso correspondente de um passageiro do nibus, que pesa 880 N
quando em repouso sobre a superfcie da Terra (g = 9,81 m/s2). 21
Considere: G = 6,67.10-11; mT = 5,976.1024; RT = 6371 Km (S.I.)
CinemticaIntroduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
DinmicaCinemtica das Partculas1. 2. Introduo Movimento Retilneo
Exerccios Resolvidos Interpretaes Grficas Exerccios Resolvidos
Movimento Retilneo Uniforme Movimento Retilneo Uniformemente
Acelerado Atividades22
3.
4. 5. 6.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
1 - Introduo A cinemtica trata da posio no espao como funo do
tempo e geralmente refere-se geometria do movimento. O clculo de
trajetrias de vos de avies e naves e o projeto de engrenagens e
correntes para controlar ou produzir certos movimentos so exemplos
de problemas cinemticos. O movimento das partculas pode ser
descrito atravs da especificao de coordenadas lineares ou angulares
e suas derivadas em relao ao tempo. A cinemtica das partculas ser
desenvolvida progressivamente pela discusso do movimento com uma,
duas ou trs coordenadas espaciais.
23
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
2 - Movimento Retilneo de uma Partcula Consideremos uma partcula
P movendo-se apenas ao longo de uma reta. Tal movimento dito
retilneo ou unidimensional. Vamos escolher o eixo OX de nosso
referencial ao longo dessa reta. A posio de P em qualquer instante
de tempo t pode ser especificada por seu deslocamento s de algum
ponto de referncia O fixado sobre a linha. Seja x1 a posio da
partcula no instante t1 e x2 a sua posio no instante t2. A variao
de posio da partcula, do instante t1 ao instante s = x2 - x1 t2, a
diferena x2 - x1. Isto :
Obs. Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos
no sentido 24 positivo ou negativo do eixo OX.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento Retilneo de uma Partcula - vm Considere um intervalo
de tempo [t1, t2] com t2 t1; nesse caso, a durao t2 - t1 do
intervalo diferente de zero. Seja s o deslocamento da partcula no
intervalo de tempo t = t2 - t1. A razo entre o deslocamento da
partcula no intervalo de tempo gasto nesse deslocamento chamada de
velocidade mdia da partcula no intervalo x x s considerado. vm = 2
1 = t 2 t1 t
Sendo a velocidade mdia a razo entre um deslocamento e um
intervalo de tempo, a sua unidade ser a razo entre as unidades de
comprimento e de tempo que forem usadas. Se usamos o metro para os
deslocamentos e o segundo para o tempo, a 25 unidade de velocidade
mdia o metro por segundo, usualmente escrita como m/s.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento Retilneo de uma Partcula Considere agora uma partcula
em movimento e dois instantes t e t+t durante o movimento, onde t
uma quantidade de tempo que vamos considerar cada vez mais prxima
de zero sem, contudo, jamais ser igual a zero. A razo s/t pode ser
escrita: s = x( t + t ) xtt t
Quando t se aproxima indefinidamente de zero, o intervalo com
extremos em t e t+t torna-se cada vez mais prximo de um nico
instante t, e a velocidade da partcula se aproxima de um valor que
chamamos de velocidade instantnea (v) no instante t. A velocidade
instantnea v o valor do qual a frao s/t aproxima-se quando t se
aproxima de zero. Para expressar esse fato, usamos a seguinte
simbologia: ds s & v= =s v = lim ou t 0 t 26 dt
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento Retilneo de uma Partcula - am Se ao longo da trajetria
a velocidade instantnea da partcula varia de v em x1 para v +v em
x2, a acelerao mdia durante o intervalo de tempo correspondente t
am = v/t, e ser positiva ou negativa, dependendo se a velocidade
est aumentando ou diminuindo.
A acelerao instantnea (a) da partcula a variao instantnea com o
tempo da variao da velocidade, a = lim v t 0 t isto , quando o
valor t se aproxima indefinidamente de zero.
dv & a= =v dt
ou
d 2s s a = 2 = && dt
27
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 1Uma partcula executa um movimento em linha
reta dado por: s = 8 + Bt 2t2 onde B uma constante. Sabendo que a
partcula inverte o sentido de seu movimento no instante t = 5
segundos, determine o valor da constante B.
ds = B 4t ; dt v=0 B 4t = 0 B 4.5 = 0 B = 20m / s v=28
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 2Uma partcula se move ao longo do eixo OX e
seu movimento dado por s = - t2 + 6t + 16, onde est subentendida a
utilizao do Sistema Internacional de Unidades. (a) Determine a
expresso da velocidade e da acelerao da partcula.
v=
ds v = 2t + 6; dt
a=
dv a = 2 dt
(b) Em que instantes e com que velocidades a partcula passa pela
origem?
origem : s = 0;t 2 + 6t + 16 = 0 t1 = 2 s; t 2 = 8s v1 = 2.(2) +
6 = 10m / s; v2 = 2.(8) + 6 = 10m / s29
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 3A velocidade de uma partcula ao longo do
eixo x dada por v = 5 u3/2, onde v expresso em milmetros por
segundo. Determine a acelerao quando u vale 2.
dv d (5u 3 / 2 ) a= a= dt dt 1 3 2 a = 5u ; 2 1 15 2 u = 2 a = (
2) 2 a = 10,6mm / s 230
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 4Consideremos um ponto material que desloca
em linha reta, de modo que sua posio seja definida por x = 6t2 t3,
onde t expresso em segundos e x em metros. Determine (a) sua funo
velocidade, (b) sua funo acelerao e (c) um esboo dos grficos de x,
v e a em funo do tempo.
(a)
v=
ds v = 12t 3t 2 dt
(b)aa =
dv a = 12 6t dt
(c) Uma anlise dos trs diagramas do movimento pode nos mostrar
que omovimento do ponto material desde t = 0 at t = pode ser
dividido em quatro fases: . O ponto material parte da origem, x =
0, com velocidade zero, mas com acelerao positiva. Animado com esta
acelerao, o ponto adquire uma velocidade positiva no sentido
positivo. De t = 0 a t = 2 s, x, v e a 31 so todos positivos.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
. Em t = 2 s, a velocidade zero; a velocidade atinge o valor
mximo. De t= 2 s a t = 4 s, v positivo; mas a negativo; o ponto
move-se, ainda, no sentido positivo, cada vez mais lentamente; est
desacelerado. . Em t = 4 s a velocidade zero; a coordenada de posio
x alcana o valor mximo. Daqui por diante, v e a so negativos; o
ponto est acelerado e move-se no sentido negativo, com um aumento
de velocidade.
. Em t = 6 s, o ponto passa pela origem; sua coordenada x ento,
zero, enquanto a distncia total percorrida desde o incio do
movimento 64 m. Para valores de t maiores que 6 s, x, v e a sero
todos negativos. O ponto ir se movimentar no 32 sentido negativo,
afastando-se de O, cada vez mais rapidamente.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
No se deve esquecer que o ponto material no se move ao longo de
qualquer uma dessas curvas; o ponto move-se sobre uma reta. Como a
derivada de uma funo mede a inclinao da curva correspondente, a
inclinao da curva x t, para qualquer instante dado, igual ao valor
de v nesse instante, e a inclinao da curva v t igual ao valor de a.
J que a = 0 para t = 2 s, a inclinao da curva v t deve ser zero
para t = 2 s; a velocidade alcana um mximo nesse instante. Tambm,
sendo v = 0 para t = 4 s, a tangente a curva x t deve ser 33
horizontal para este valor de t.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento Retilneo de uma Partcula Comentrio: possvel determinar
o movimento de uma partcula conhecendo-se sua velocidade em
qualquer instante do movimento e a sua posio em um certo instante?
Vamos pensar o exemplo em que a velocidade de uma partcula seja
dada por vx = 5m/s e que a sua posio no instante t = 4s seja 20m.
Vamos supor, ainda, que o movimento dessa partcula esteja definido
para t 0. possvel conhecer seu movimento no decorrer do tempo?
34
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
3. Interpretaes Grficas A interpretao das equaes diferenciais
que governam o movimento retilneo consideravelmente esclarecida
atravs da representao grfica das relaes entre s, v, a e t.
Como vimos, para se determinar a velocidade de uma partcula num
instante t, podemos usar o intervalo [t1, t2]. A velocidade mdia
nesse intervalo v = x/t = (x2 - x1)/(t2 - t1), o que equivale
declividade da 35 secante r.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes Grficas
Para um valor mais aproximado podemos tomar o intervalo [t3,
t4], quando ento a velocidade mdia ser v = (x4 - x3)/(t4 - t3) que
igual declividade da secante s. Se reduzirmos o intervalo de tempo,
a secante se aproxima da tangente curva, cuja declividade
representar o valor da velocidade curva no instante t. Assim, a
velocidade no instante t a declividade da tangente curva no
instante considerado. considerado A tangente curva para algum
instante de tempo t, obtm-se a sua taxa
de variao.
36
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes Grficas Ento, construindo a tangente curva para
algum instante de tempo t, obtm-se a sua taxa de variao, que a
velocidade: v = s = ds & dtAssim, a velocidade pode ser
determinada para todos os pontos sobre a curva e representada
graficamente contra o tempo correspondente.
37
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes GrficasSupondo que desejamos determinar o espao
percorrido no intervalo de tempo t = t2 t1, representado no grfico
v x t. Podemos dividir o intervalo em intervalos menores e
considerar que em cada intervalo a mdia das velocidades inicial e
final seja a velocidade mdia (vm) no intervalo.
Em cada intervalo, a distncia percorrida ser aproximadamente
igual vm.t, o que equivale rea de um retngulo de base t e altura
vm. 38
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes GrficasA distncia total percorrida ser a soma das
reas de todos os retngulos. Se tomarmos os retngulos com t 0, a rea
ser v(ti) onde ti so os valores de t em cada um dos instantes que
constituem o intervalo de tempo. t2 Como a soma corresponde a
infinitos intervalos escrevemos : t v (t ) dt 1 Ou seja, o espao
percorrido a integral da equao da velocidade definida no intervalo
de tempo considerado.
Dizendo de uma outra forma, a rea sob a curva v x t durante o
intervalo de tempo dt v dt, que o deslocamento ds.
Consequentemente, o deslocamento da partcula durante o intervalo de
t1 at t2 a corresponde rea sob a curva, dada por: t2 s2 t2 vdt 39
ou s2 s1 = ds = vdt
s1
t1
t1
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes GrficasObservao: Na realidade, a integral no o
espao percorrido, mas sim o deslocamento. Se o grfico intercepta o
eixo horizontal, ao calcular a integral da regio abaixo do eixo
horizontal esta resultar em um valor negativo. Isto indica que o
mvel descreveu um movimento retrgrado. Ao calcular a integral, a
rea abaixo do eixo ser subtrada da rea acima do eixo. Assim, o
resultado da integral ser correspondente ao deslocamento. Para
obter a distncia efetivamente percorrida deve-se integrar a equao
da velocidade dividindo o intervalo em intervalos acima e abaixo do
eixo horizontal e somar os valores absolutos encontrados.
Podemos agora voltar questo inicial: possvel determinar o
movimento de uma partcula conhecendo-se sua velocidade em qualquer
instante do movimento e a sua posio em um certo instante?40
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes Grficas No exemplo proposto em que a velocidade de
uma partcula foi dada por vx = 5m/s e que a sua posio no instante t
= 4s seja 20m. possvel conhecer seu movimento no decorrer do tempo
utilizando o conceito de integral! A partir do que foi exposto,
podemos escrever:
s2 s1 = vdtt1
t2
x 20 = 5dt4
t2
x = 20 + 5(t 4) x = 5tNote que o conhecimento da equao da
velocidade de uma partcula no suficiente para obtermos seu
movimento. necessrio tambm fornecer a posio 41 da partcula em um
dado instante de tempo; no caso, em t = 4s.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes Grficas Do mesmo modo, construindo a tangente curva
para algum instante de tempo t, obtm-se a sua taxa de variao, que a
acelerao: a = dv = v &
dt
Logo, a taxa de variao dv/dt da curva v x t em qualquer instante
de tempo fornece a acelerao naquele instante. Assim, a acelerao
pode
ser determinada para todos os pontos e a curva a x t pode ser
ento representada.
42
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Interpretaes GrficasDe maneira similar, a rea sob a curva a x t
durante o intervalo de tempo
dt a dt, que a velocidade dv.
Assim, a variao da velocidade da partcula durante o intervalo de
t1 at t2 a corresponde rea sob a curva, dada por:
v2
v1
dv =
t2
t1
adt
ou
v2 v1 = adtt1
t2
43
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 1Considere uma partcula em queda livre,
executando um movimento retilneo, com acelerao constante a = g.
Considere, por simplicidade, que no instante inicial t = 0 a
velocidade seja v = v0. a) Escreva a velocidade em funo do
intervalo de tempo t.
a=
dv dv = a.dt a dt
v
v0
dv =
t
0
gdt
v
v0
dv = g dt v = v0 + gt0
t
b) Supondo conhecida a posio inicial s = s0, obtenha a funo do
movimento em funo do tempo t.
v=
ds ds = vdt a dt
s
s0
ds =
t
0
( v0 + at ) dt s = s 0 + v0 t +
1 2 at 2
c) Que tipo de movimento representam essas expresses? Um
movimento retilneo uniformemente variado (acelerado)!44
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 2A velocidade de uma partcula dada por vx = 2
+ 3t2. Sabe-se ainda que em t = 2 s a sua posio 16 m. (a) Encontre
a sua funo-movimento.
s = s 0 + vdt s = s 0 + ( 2 + 3t 2 ) dt s = s 0 2t + t 30 0
t
t
16 = s 0 2 .( 2 ) + ( 2 ) 3 s 0 = 20 m s = 20 2t + t 3(b)
Determine as posies da partcula nos instantes t = 0s e t = 3s.
s = 20 2t + t 3 t = 0 s s = 20m t = 3s s = 17 m45
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 3Uma partcula se move ao longo do eixo x com
uma velocidade inicial vx = 50 m/s na origem quando t = 0. Para os
primeiros 4 segundos a partcula no possui acelerao, e aps esse
intervalo de tempo ela sofre a ao de uma fora retardadora que
fornece uma acelerao constante ax = -10 m/s2. Calcule a velocidade
e a coordenada x da partcula para as condies de t = 8 s e t = 12 s,
e encontre a mxima coordenada x positiva atingida pela partcula.A
velocidade da partcula aps t = 4 s determinada a partir de:vx t
t
50
dv = adt v x 50 = 10 dt v x 50 = 10 t + 40 v x = 10 t + 904
4
Nos instantes de tempo especificados, as velocidades so:
t = 8 s v x = 90 10 .(8) = 10 m / s t = 12 s v x = 90 10 .(12 )
= 30 m / s46
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
A dependncia da velocidade com o tempo pode ser representada
graficamente:
A coordenada x da partcula em qualquer instante aps 4 s a
distncia percorrida durante os primeiros 4 s mais a distncia
percorrida aps a descontinuidade na acelerao ter ocorrido.
Assim,
x = 50 .( 4 ) + ( 10 t + 90 ) dt = 5t 2 + 90 t 804
t
Para os dois instantes especificados: t = 8 s x = 5.(8 2 ) + 90
.(8) 80 = 320 m
t = 12 s x = 5.(12 ) + 90 .(12 ) 80 = 280 m2
47
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 4De uma janela de um prdio, localizada a 20 m
acima do solo, arremessa-se, verticalmente para cima, uma bola, com
velocidade de 10 m/s. Sabendo-se que a acelerao da bola constante e
igual a 9,81 m/s2, para baixo, determinar (a) a velocidade v e
elevao y da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante t,
(b) a mxima elevao atingida pela bola e o correspondente instante t
e (c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua correspondente
velocidade. Esboar os grficos v t e y t. (a) Escolhemos o eixo y
para medir a coordenada de posio (ou elevao), com origem O no solo
e sentido positivo para cima. O valor da acelerao e os valores
iniciais de v e y esto indicados na figura ao lado. Substituindo-se
a dv = a = 9 ,81 m / s 2 em a = dv/dt = 0, v0 = +10 m/s,
tem-se:dtv
v 0 =10
dv = 9 ,81 dt0
t
v [ v ]10 = [ 9 ,81 ] t0
v 10 = 9 ,81 t v = 10 9 ,81 t
48
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Substituindo-se v em v = dy/dt e notando-se que para t = 0, y0 =
20 m, obtmse: dy = v = 10 9 ,81t dt
y
y 0 = 20
dy =
(10 9,81t ) dt0
t
y [ y ] 20 = [10 4 ,90 t 2 ]t0
y = 20 + 10 t 4 ,90 t 2
49
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
(b) A velocidade da bola anula-se quando esta atinge a elevao
mxima. Da expresso da velocidade, segue-se que: 10 9,81t = 0 t =
1,02 s Substituindo-se t = 1,02 s na expresso de y, resulta: y = 20
+ 10.(1,02) 4,90.(1,02)2 y = 25,1 m
(c) Quando a bola atinge o solo, tem-se y = 0. Fazendo-se y = 0
na expresso da posio, tem-se: 20 + 10t 4,90t2 = 0 t = -1,24 s e +
3,28 s
50
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Somente a raiz positiva corresponde a um tempo posterior ao
incio do movimento. Levando-se este valor de t para a expresso da
velocidade, temse, finalmente: v = 10 9,81.(3,28) = 22,2 m/s
51
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
4. Movimento Retilneo UniformeEste um tipo de movimento retilneo
frequentemente encontrado em aplicaes prticas. Nesse movimento, a
acelerao a do ponto material nula para qualquer valor de t. A
velocidade v , dessa forma, constante:ds = v = cons tan te dt
A coordenada de posio s obtida pela integrao desta equao.
Denotando-se por s0, o valor inicial de s, escrevemos: Esta equao
pode ser usada somente quando a velocidade do ponto s t material
for constante! ds = v dt s0 0
s s 0 = vt s = s 0 + vt52
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
5. Movimento Retilneo Uniformemente AceleradoNeste outro tipo de
movimento, a acelerao a do ponto material dv constante:dt = a =
cons tan te
A velocidade v do ponto material obtida pela integrao desta
equao:
v
v0
dv = a dt0
t
v v0 = at
Onde v0 a velocidade inicial.
v = v0 + at
ds = v 0 + at dts
0 ( v 0 + at ) dt Chamando-se de s0 o valor inicial de s e
integrando-se s a substituio da equao da velocidade, escrevemos: s
s = v t + 1 at 2 0 0 2 1 s = s 0 + v 0 t + 53at 2 2ds =0
t
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento Retilneo Uniformemente AceleradoPodemos tambm
escrever: a =dv dv dv dx = . =v dt dt dx dx
Ento: a = v
dv dv = cons tan te ; v = cons tan te dx dx
Integrando-se ambos os membros, obtemos:
v
v0
vdv = a dxx0
x
1 2 2 (v v0 ) = a ( s s0 ) 2 2 v 2 = v0 + 2a (s s0 )
54
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Comentrio: As trs equaes deduzidas acima fornecem relaes teis
entre coordenada de posio, velocidade e tempo para o caso de um
movimento uniformemente acelerado, assim que a, v0 e x0 forem
substitudos por valores apropriados. Primeiramente, deve ser
definida a origem O do movimento, escolhendo-se sentidos positivos
ao longo dos eixos; estes sentidos possibilitaro determinar os
sinais de a, v e x0. Uma aplicao importante de um movimento
uniformemente acelerado na queda livre de um corpo. A acelerao de
um corpo em queda livre (geralmente indicada por g) igual a 9,81
m/s2, valor tomado como padro (acelerao normal). Efetivamente, este
valor depende da posio considerada, sobre a superfcie da Terra, e
de sua distncia ao centro desta. importante no esquecer que as trs
equaes anteriores podem ser usadas somente quando a acelerao do
ponto material constante. Se a acelerao do ponto for varivel, seu
movimento ser determinado pelas 55 equaes de derivao.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
6. Atividades1. A coordenada de posio de uma partcula que est
confinada a se mover ao longo de uma linha reta dada por s = 2t3
24t + 6, onde s medida em metros a partir de uma origem conveniente
e t expresso em segundos. Determine (a) o tempo requerido para a
partcula atingir a velocidade de 72 m/s a partir da sua condio
inicial em t = 0, (b) a acelerao da partcula quando v = 30 m/s e
(c) o deslocamento da partcula no intervalo de tempo desde t = 1 s
at t = 4 s. R: (a) 4 s; (b) 36 m/s2; (c) 54 m
56
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
2. Uma partcula se move ao longo de uma linha reta com uma
velocidade em milmetros por segundo dada por v = 400 16t2, onde t
expresso em segundos. Calcule o deslocamento s durante os primeiros
6 segundos de movimento. R: 1,248 m
57
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
3. A acelerao de uma partcula dada por a = 4t 30, onde a
expressa em metros por segundo ao quadrado e t em segundos.
Determine a velocidade e o deslocamento como funes do tempo. O
deslocamento inicial em t = 0 s0 = -5 m, e a velocidade inicial v0
= 3 m/s.
58
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
4. (a) Um foguete lanado do repouso verticalmente para cima. Se
ele foi projetado para manter uma acelerao constante para cima de
1,5g, calcule o tempo t necessrio para o foguete atingir uma
altitude de 30 Km e a sua velocidade nessa posio. (b) Um carro
consegue parar completamente a partir de uma velocidade inicial de
80 Km/h em uma distncia de 30 m. Com a mesma acelerao constante,
qual seria a distncia de parada s a partir de uma velocidade
inicial de 110 Km/h? R: (a) 63,9 s e 940 m/s; (b) 56,7 m
59
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
5. (a) Um projtil lanado verticalmente para cima com uma
velocidade inicial de 200 m/s. Calcule a mxima altitude h atingida
pelo projtil e o tempo t aps o lanamento para ele retornar ao cho.
Despreze a resistncia do ar e tome a acelerao da gravidade como
sendo constante em 9,81 m/s2. (b) Uma bola lanada verticalmente
para cima com uma velocidade inicial de 25 m/s de um plano prximo a
um planalto de 15 m de altura. Determine a distncia h acima do
planalto atingida pela bola e o tempo t
aps o lanamento em que ela aterrissa nele.R: (a) 2040 m e 40,8
s; (b) 16,86 m e 4,4 s
60
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
6. O grfico mostra a histria do deslocamento no tempo para um
movimento retilneo de uma partcula durante um intervalo de 8
segundos. Determine a velocidade mdia vmd durante o intervalo e,
dentro de limites aceitveis de preciso, encontre a velocidade
instantnea v quando t = 4 s. R: 0,75 m/s e 1,25 m/s
61
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
7. A velocidade de uma partcula que se move ao longo do eixo x
dada por v = 2 + 5t3/2, onde t expresso em segundo e v em metros
por segundo. Avalie o deslocamento s, a velocidade v e a acelerao a
quando t = 4 s. A partcula est na origem s = 0 quando t = 0. R: 72
m; 42 m/s; 15 m/s2
62
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
8. A posio de um ponto material que se desloca em linha reta
definida pela relao x = t3 - 6t2 - 15t + 40, onde x expresso em
metros e t em segundos e t 0. Determine (a) o instante em que a
velocidade ser nula, (b) a posio e a distncia percorrida pelo ponto
at esse instante, (c) a acelerao do ponto nesse instante, (d) a
distncia percorrida pelo ponto de t = 4 s a t = 6 s. R: 5 s; 100 m;
18 m/s2; 2 m
63
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
9. Para um breve intervalo de tempo, a velocidade do carro que
se move em linha reta dada por v = (3t2 + 2t) m/s, onde t expresso
em segundos. Determine a posio e a acelerao do carro para t = 3 s.
Sabe-se que quando t = 0, s = 0. R: 36 m; 20 m/s2
64
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
10. Um avio de carga voa com uma velocidade horizontal constante
v0 a uma altura H acima no nvel do solo. No exato instante em que
passa em cima de uma pessoa que se encontra no cho deixa cair uma
caixa de massa m (sem nenhuma velocidade inicial em relao ao avio).
Desprezando as dimenses da caixa e a resistncia do ar e tomando
como instante inicial de tempo aquele em que a caixa liberada pelo
avio, como funo do tempo, escreva o vetor posio da caixa em relao
pessoa que se encontra no solo.
65
CinemticaIntroduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
DinmicaCinemtica Vetorial de Partculas1. Introduo 2. Velocidade
3. Acelerao 4. Visualizao do Movimento 5. Coordenadas Retangulares
6. Movimento de Projteis 7. Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
8. Movimento Circular 9. Coordenadas Polares (r-)66
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
1 - IntroduoO caso do movimento tridimensional mais geral aquele
que trata do movimento de uma partcula ao longo de uma trajetria
curva que pertence a um nico plano. Considere o movimento como
representado na figura abaixo. No instante t a partcula est na
posio A, que localizada pelo vetor posio r medido a partir de
alguma origem fixa conveniente O. No instante t + t, a partcula est
em A, localizada pelo vetor posio r + r.
67
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Nota-se que essa uma combinao vetorial, e no uma adio escalar. O
deslocamento da partcula durante o intervalo de tempo t o vetor r,
que representa a variao vetorial da posio. A distncia percorrida
pela partcula conforme ela se move de A para A 68 o comprimento
escalar s medido ao longo da trajetria.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
que um vetor cuja direo a de r. A velocidade escalar mdia da
partcula entre A e A o quociente escalar s/t. r A velocidade
instantnea (v) v partcula definida como valor-limite da da
velocidade mdia conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero.
r r r Assim: v = limt 0
r r r A velocidade mdia da partcula entre A e A definida como
vmd = , t
2 - Velocidade
t
A direo de r se aproxima da tangente trajetria conforme t se
aproxima de zero; assim a velocidade sempre um vetor tangente
trajetria. Ampliando a definio bsica da derivada de uma grandeza
escalar para r r dr r incluir uma grandeza vetorial, temos: v =
& =r dt A derivada de um vetor tambm um vetor que tem mdulo e
direo.69
r
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Recorrendo novamente figura, fica ento definido a velocidade da
partcula em A pelo vetor tangente v e a velocidade em A pela
tangente v. Existe uma variao vetorial na velocidade durante o
tempo t, sendo que a velocidade v em A mais (vetorialmente) a
variao v igual velocidade em A: v v = v.
70
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
3 - Acelerao A acelerao mdia da partcula entre A e A definida
como v/t, que um vetor cuja direo a de v. r A acelerao instantnea a
(a) da partcula definida como o valorlimite da acelerao mdia,
conforme o intervalo de tempo se aproxima r r v de zero. Assim: a =
t 0 lim r t r dv r & Pela definio da derivada, ento pode-se
escrever: a = =v dtObs.: medida que o intervalo t se torna menor e
se aproxima de zero, a direo da variao v se aproxima daquela da
variao diferencial dv e, assim, de a. A acelerao a inclui os
efeitos tanto da variao do mdulo de v quanto da variao da direo de
v. Ento, em geral, a direo da acelerao de uma partcula em um
movimento curvilneo no nem tangente trajetria nem normal a ela;
porm, a componente da acelerao que normal trajetria aponta sempre
para o seu centro de curvatura. 71
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
4 - Visualizao do MovimentoAbaixo temos uma interpretao grfica
da acelerao, onde os vetores posio de posies arbitrrias sobre a
trajetria da partcula so mostrados. Existe um vetor velocidade
tangente trajetria correspondentes a cada vetor posio. Os vetores
acelerao so mostrados para instantes quaisquer, escolhidos
arbitrariamente.
72
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
5 - Coordenadas Retangulares (x-y)Este sistema de coordenadas
particularmente til para a descrio do movimento quando as
componente x e y da acelerao so independentemente geradas ou
determinadas. O movimento curvilneo resultante ento obtido pela
combinao vetorial das componentes x e y dos vetores posio,
velocidade e acelerao. Na figura podemos visualizar a trajetria de
uma partcula, mostrada ao longo dos eixos x e y. O vetor posio r, a
velocidade v e a acelerao a da
partcula so representados juntamente com suas componentes.
73
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Com o auxlio dos vetores unitrios i e j, pode-se escrever os
vetores r, v e a em termos das suas coordenadas x e y. Assim, r =
xi + yj v = dr/dt = vxi + vyj a = dv/dt = axi + ayj ou
r j r = xi + y r r & & &j v = r = xi + y r & r x
yj a = v = && = &&i + &&
Como observado anteriormente, a direo da velocidade sempre
tangente trajetria, e a partir da figura, fica claro que:2 2 v = v
x + v y tg = 2 2 a = ax + a y
vy vx74
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Se as coordenadas x e y so conhecidas, pode-se em qualquer
instante de tempo combin-las para obter r. Do mesmo modo,
combinam-se & & suas primeiras derivadas x e y para obter
v, e suas segundas derivadas && && para obter a. x
y Por outro lado, se as componentes da acelerao ax e ay so dadas
como funes do tempo, pode-se integrar cada uma separadamente com
relao ao tempo, uma vez para obter vx e vy e novamente para obter x
e y. A eliminao do tempo t entre essas duas ltimas equaes
paramtricas fornece a equao da trajetria da curva y = f(x).Obs.: A
partir dessa discusso, percebe-se que a representao em coordenadas
retangulares do movimento curvilneo meramente a superposio das
componentes de dois movimentos retilneos simultneos nas direes x e
y. Desse modo, tudo que foi tratado sobre o M.R. pode ser 75
aplicado separadamente para o movimento em x e para o movimento em
y.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
6 - Movimento de Projteis A figura apresenta o movimento de uma
partcula no plano x-y.
Para os eixos mostrados, as componentes de acelerao so ax = 0 e
ay = - g. A integrao dessas aceleraes segue os resultados obtidos
para acelerao constante, e fornece: vx = vx0 ; vy = vy0 gt x = x0 +
vx0 t ; y = y0 + vy0 t gt2 76 vy2 = vy02 2g(y y0)
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Em todas essas expresses, o subscrito zero denota as condies
iniciais, frequentemente tomadas onde o lanamento ocorre, para o
caso ilustrado x0 = y0 = 0. Desprezam-se o arrasto aerodinmico, a
curvatura e a rotao da Terra e considera-se que a variao de
altitude pequena o suficiente, de tal modo que a acelerao devida
gravidade pode ser considerada constante. 77
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Observaes: Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem): de x =
v0xt temos: t = x/v0x Substituindo na equao para y encontramos a
equao da trajetria:y= v0 y v0 x x 1 g 2 x (Equao de uma parbola !)
2 2 v0 xFotografia estroboscpica do movimento parablico
O movimento na direo y no depende da velocidade vx. Na figura ao
lado, duas bolas so jogadas sob a ao da gravidade. A vermelha solta
(v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial horizontal v0x. Em cada
instante elas tm a mesma altura!78
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 1 Dispara-se um projtil, da extremidade de
uma colina de 150 m de altura, com uma velocidade inicial de 180
m/s, num ngulo de 30 com a horizontal. Desprezando-se a resistncia
do ar, determinar (a) a distncia horizontal da arma ao ponto onde o
projtil atinge o solo, (b) a altura mxima que o projtil alcana em
relao ao solo.
79
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento vertical Movimento Uniformemente Acelerado. -
Escolhendo o sentido do eixo y para cima e colocando a origem O na
arma, temos: ( v y ) 0 = 180 .sen 30 = 90 m / sa = 9 ,81 m / s
2
Substituindo-se nas equaes do movimento uniformemente acelerado,
tem-se:
v y = ( v y ) 0 + at 1 2 y = ( v y ) 0 t + at 2 2 2 v y = ( v y
) 0 + 2 ay
v y = 90 9 ,81 t y = 90 t = 4 ,90 t 22 v y = 8 ,1 . 10 3 19 , 62
y
80
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Movimento horizontal Movimento Uniforme. - Escolhendo-se o
sentido positivo do eixo x para a direita, tem-se:
( v x ) 0 = 180 . cos 30 = 155 ,9 m / s a = 0
Substituindo-se na equao do movimento uniforme, obtm-se:
{x
= (v x ) 0 t}
x = 155 ,9 t
81
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
(a) Quando o projtil atinge o solo, temos: y = -150 m Levando-se
este valor equao do movimento vertical, escrevemos: 150 = 90 t = 4
,90 t 2 t 2 18 , 4 t 30 , 6 = 0 t = 19 ,9 s
Levando-se t = 19,9 s equao do movimento horizontal, tem-se:
x = 155 ,9 . 19 ,9 x = 3 ,10 Km
(b) Quando o projtil atinge a mxima elevao, temos vy = 0;
levando-se este valor equao da velocidade para o movimento
vertical, escrevemos:
0 = 8 ,10 . 10 3 19 , 62 y y = 413 mElevao mxima acima do solo =
150 m + 413 m 563 m82
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 2O vetor posio de uma partcula se movendo no
plano x-y no tempo t = 3,60 s 2,76i 3,28j m. Em t = 3,62 s seu
vetor posio se torna
2,79i 3,33j m. Determine o mdulo v de sua velocidade mdia
durante esse intervalo e o ngulo que a velocidade mdia faz com o
eixo x.
r r r 0,03i 0,05 j v = j = = 1,5i 2,5 (m / s ) t 0,02 r v = v =
1,52 + 2,52 = 2,92m / s tg = vy vx = 2,5 5 = ; = 59,00 1,5 383
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 3Um operrio que trabalha no telhado de uma
casa lana uma pequena ferramenta para seu companheiro no cho. Qual
deve ser a mnima velocidade horizontal v0 necessria para que a
ferramenta passe, sem tocar, o ponto B? Localize o ponto de
impacto, especificando a distncia s mostrada na figura.y = y0 + v y
0 t 1 2 gt 2
1 4 = 0 + 0 9,81t 2 t B = 0,903s B 2 x = x0 + v x 0t 6 = 0 + v0
(0,903) v0 = 6,64m / s 1 2 C 8 = (9,81)t C tC = 1,277 s 2 84 s + 6
= 6,64(1.277) s = 2,49m
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Atividades1. A coordenada y de uma partcula em movimento
curvilneo dada por y = 4t3 3t, onde y expresso em metros e t em
segundos. A partcula possui uma acelerao na direo x dada por ax =
12t m/s2. Se a velocidade da partcula na direo x 4 m/s quando t =
0, calcule os mdulos dos vetores velocidade v e acelerao a da
partcula quando t = 1 s. Desenhe v e a na soluo. R: v = 13,45 m/s;
a = 26,8 m/s
85
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
2. Um atleta de salto distncia se aproxima da plataforma de
salto A com uma velocidade horizontal de 10 m/s. Determine a
componente vertical vy da velocidade de seu centro de gravidade no
ponto A para que ele realize o salto mostrado. Qual ser a elevao h
do seu centro de gravidade? R: vy = 3,68 m/s; h = 0,69 m/s
86
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
3. Um foguete encontra-se sem combustvel na posio mostrada e
continua em seu vo sem propulso acima da atmosfera. Se sua
velocidade nessa posio era de 1000 Km/h, calcule a altitude mxima
adicional h alcanada e o tempo t correspondente para atingi-la. A
acelerao gravitacional durante essa fase do seu vo 9,39 m/s2. R: t
= 25,6 s ; h = 3,0,8 Km
87
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
4. Um time de estudantes de engenharia est projetando uma
catapulta para lanar uma pequena bola em A, de tal modo que ela
atinja a caixa. Sabe-se que o vetor velocidade inicial faz um ngulo
30 com a horizontal. Determine a faixa de velocidades de lanamento
v0 para as quais a bola ir parar dentro da caixa. R: 6,15 6,68
(m/s)
88
Cinemtica Vetorial
5. Qual deve ser a mnima velocidade horizontal para que o rapaz
lance uma pedra em A e ultrapasse, sem tocar, o obstculo em B? R:
28,37 m/s
89
Cinemtica Vetorial
6. No combate a incndios em florestas, avies jogam gua para
ajudar equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lana
uma caixa com corante vermelho, na esperana de atingir um alvo no
solo. Se o avio est voando horizontalmente a uma altura H acima do
solo com velocidade V a que distncia horizontal do alvo o piloto
deve lanar a caixa? Despreze a resistncia do ar. R: V.(2H/g)
90
7. Uma pedra arremessada at um muro de altura h com velocidade
inicial de 42 m/s fazendo um ngulo 0 = 60 com a horizontal,
conforme a figura. A pedra atinge o ponto A 5,5 s aps o lanamento.
Determine (a) a altura h do muro, (b) a velocidade da pedra logo
antes do impacto em A e (c) a altura mxima H alcanada pela pedra.
R: 48,8 m; 28,05 m/s; 70,9 m
91
Cinemtica Vetorial
8. O bocal de uma mangueira de jardim despeja gua a uma taxa de
15 m/s. Se o bocal mantido no nvel do solo e inclinado de 30 em
relao horizontal, determine a altura mxima alcanada pela gua e a
distncia horizontal entre o bocal e o ponto no solo onde a gua o
atinge. R: 2.87 m; 19,9 m
92
Cinemtica Vetorial
9. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa regio a
acelerao da gravidade no bem vertical. Alm de uma componente
vertical para baixo de mdulo g, ela possui uma componente
horizontal de mdulo a. Em relao a um sistema de eixos
convenientemente escolhido, as equaes do movimento de uma partcula
lanada nessa regio so
onde v0x e v0y so constantes positivas. Determine (a) o tempo de
subida da partcula, isto , o tempo desde o lanamento at que ela
chegue ao ponto mais alto da trajetria e (b) o espao horizontal
percorrido pela partcula no movimento de subida.
93
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
7 - Coordenadas Normal e Tangencial (n-t) Uma das descries mais
comuns do movimento curvilneo usa as variveis de trajetria, que so
medidas feitas ao longo da tangente t e da normal n trajetria da
partcula. As coordenadas n e t so consideradas como se movendo ao
longo da trajetria com a partcula, como mostrado na figura abaixo,
onde a partcula avana de A para B at C. O sentido positivo de n em
qualquer posio sempre tomado para o centro de curvatura.
94
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
As coordenadas so usadas para descrever a velocidade v e a
acelerao a para um movimento curvilneo de uma partcula.
Introduzem-se os unitrios en na direo n e et na direo t, como
mostrado na figura para a posio da partcula no ponto A.
95
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Com o raio de curvatura da trajetria nesse ponto designado por ,
& podemos escrever a velocidade como o vetor: v = vet = et A
acelerao a da partcula um vetor que reflete tanto a variao no mdulo
quanto a variao na direo de v. A partir da equao da velocidade e
trabalhando com os unitrios, a equao para a acelerao 2 se torna: a
= v en + v et &
onde:
an =
v2
& & = 2 = v
& s at = v = &&2 a = an + at2
96
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
As relaes obtidas nos dizem que a componente tangencial da
acelerao igual derivada temporal da velocidade escalar do ponto
material, enquanto a componente normal igual ao quadrado da
velocidade escalar dividida pelo raio de curvatura da trajetria.
Conforme a velocidade do ponto material aumenta ou diminui, at
positiva ou negativa, e a componente vetorial at est dirigida no
sentido do movimento ou contrria ao mesmo. A componente vetorial
an, por outro lado, est sempre orientada para o centro de curvatura
C da trajetria.
97
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
importante observar que a componente normal da acelerao an est
sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetria. A
componente tangencial, por outro lado, estar no sentido positivo da
direo t do movimento se o mdulo da velocidade v estiver aumentando,
e no sentido negativo da direo t se o mdulo da velocidade estiver
diminuindo.
98
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Conclui-se, portanto, que a componente tangencial da acelerao
responsvel pela mudana da velocidade escalar do ponto material,
enquanto sua componente normal reflete a mudana na direo de seu
movimento.
A acelerao de um ponto material ser zero somente se ambas as
componentes forem zero. Assim, a acelerao de um ponto material que
se desloca com uma velocidade constante ao longo de uma curva nunca
ser zero, a no ser que o ponto material passe por um ponto de
inflexo da curva (onde o raio de curvatura infinito) ou a curva
seja uma linha reta. O fato de a componente normal da acelerao
depender do raio de curvatura da trajetria do ponto material lavado
em conta no projeto de estruturas ou mecanismo como asas de avio e
linhas frreas. Para evitar variaes repentinas na acelerao de
partculas do ar que se escoam ao redor da asa de um avio,
projetam-se perfis de asas sem qualquer mudana brusca de 99
curvatura.
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
8 - Movimento Circular O movimento circular um importante caso
especial do movimento curvilneo plano, onde o raio de curvatrura se
torna o raio r constante de um crculo e o ngulo substitudo pelo
ngulo medido a partir de alguma referncia radial conveniente. As
componentes de velocidade e acelerao para o movimento circular da
partcula se tornam: v = &v2 & & an = = r 2 = v r &
& at = v = r&
100
Cinemtica das Partculas - Dinmica
Observaes: Aqui tambm podemos usar um vetor unitrio: (note que
este vetor varia com o movimento)
r r r = r
A acelerao fica:
r v2 a= r rOu:
r r a = 2 r
(a acelerao tem a direo do vetor posio e aponta para o centro da
circunferncia. Esta a acelerao centrpeta). 101
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 1Uma partcula se move em uma trajetria
circular de 0,4 m de raio. Calcule o mdulo a da acelerao da
partcula (a) se sua velocidade constante em 0,6 m/s e (b) se sua
velocidade 0,6 m/s, mas est aumentando a uma taxa de 1,2 m/s a cada
segundo.
0,6 2 an = = = 0,9m / s 2 0,4 & (a ) a at = v = 0 a = an =
0,9m / s 2 & (b) a at = v = 1,2m / s 2 a = at + an a = 1,2 2 +
0,9 2 = 1,5m / s 2102
v2
2
2
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 2Um carro passa por uma depresso na estrada
em A com uma velocidade constante, que fornece ao seu centro de
massa G uma acelerao igual a 0,5g. Se o raio de curvatura da
estrada em A 100 m, e se a distncia da estrada ao centro de massa G
do carro 0,6 m, determine o mdulo v da velocidade do carro.
a = an =
v2
103
v = an = (100 0,6)0,5(9,81) = 22,08m / s = 79,5 Km / h
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 3Para atravessar uma depresso seguida de uma
elevao na estrada, o motorista de um carro aplica os freios para
produzir uma desacelerao uniforme. Sua velocidade de 100 Km/h no
ponto A da depresso e de 50 Km/h no ponto C no topo da elevao, que
se encontra a 120 m de A ao longo da pista. Se os passageiros do
carro experimentam uma desacelerao total de 3 m/s2 em A e se o raio
de curvatura da elevao em C 150 m, calcule (a) o raio de curvatura
em A, (b) a acelerao no ponto de inflexo B e (c) a acelerao total
em C.
104
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Encontra-se a desacelerao constante ao longo da trajetria a
partir de:
vC
vA
2 2 vdv = at ds vC = v A 2 at s 0
s
1 2 (13,89 ) 2 ( 27 ,8) 2 2 ( vC v A ) = = 2,41m / s 2 at = 2s
2(120 )2 2 ( a ) a a 2 = a n + at2 a n = 3 2 2,412 = 1,785 m / s
2
v 2 27 ,8 2 = = = 432 m an = a n 1,785 (b ) a n = 0 a = at =
2,41m / s 2 13,89 2 (c ) a n = = = 1,286 m / s 2 150 r a = 1,286 e
n 2,41e t ( m / s 2 ) r a = (1,286 ) 2 + ( 2,41) 2 = 2,73 m / s 2
v2
v2
105
Cinemtica das Partculas - Dinmica
Atividades1. Seis vetores acelerao so mostrados para um carro
cujo vetor velocidade est direcionado para a frente. Para cada
vetor acelerao descreva, em palavras, o movimento instantneo do
carro.
106
Cinemtica das Partculas - Dinmica
2. Uma partcula se move num plano com movimento uniforme, isto ,
com velocidade de mdulo constante. A figura mostra um trecho de sua
trajetria, formada por um semicrculo de raio r, uma semi-reta e
outro semicrculo de raio R = 2r. O sentido do movimento est
indicado na figura e, nela, esto marcados os pontos A e B.
Indique, com vetores, as velocidade e aceleraes da partcula nos
instantes em que ela se encontra no ponto A e no ponto B. Desenhe
as setas de modo que seus tamanhos sejam proporcionais aos seus
mdulos. Marque, ainda em seu desenho, o vetor deslocamento r[ta,
tb], onde ta o instante e que ela se encontra no ponto A e tb, o
instante em que ela se encontra no ponto B. 107
Cinemtica das Partculas - Dinmica
3. Na parte inferior A de um loop interno, o mdulo da acelerao
total de um avio 3g. Se a velocidade medida no avio de 800 Km/h e
est aumentando a uma taxa de 20 Km/h por segundo, calcule o raio de
curvatura da trajetria em A.
R: 1709 m
108
Cinemtica das Partculas - Dinmica
4. Considere o eixo polar da Terra como sendo fixo no espao e
calcule o mdulo da acelerao a de um ponto P sobre a superfcie da
Terra na latitude 40 norte. O dimetro mdio da Terra 12.742 Km e sua
velocidade angular de 0,729.10-4 rad/s.
R: 0,0259 m/s2
109
Cinemtica das Partculas - Dinmica
5. Uma partcula se move ao longo de uma trajetria circular no
plano x-y. Quando a partcula cruza o eixo x, sua acelerao ao longo
da trajetria de 1,5 m/s2 e sua velocidade de 6 m/s na direo
negativa de y. Escreva o vetor a acelerao da partcula no instante
considerado. R: 60 i 1,5 j
110
Cinemtica das Partculas - Dinmica
6. A velocidade e a acelerao de uma partcula so dadas para um
certo instante por v = i j + k m/s e a = - i + j - k m/s2.
Determine o ngulo entre v e a, e tambm a acelerao tangencial at. R:
180; -3 m/s2
111
Cinemtica das Partculas - Dinmica
7. Uma partcula P se move ao longo de uma curva espacial e
possui velocidade v = 4i -2j - k (m/s) para o instante mostrado. No
mesmo instante a partcula tem uma acelerao a cujo mdulo 8 m/s2.
Calcule o raio de curvatura da trajetria para essa posio e a taxa
com a qual o mdulo da velocidade est aumentando. R: 7,67 m; 7,52
m/s2
112
Cinemtica das Partculas - Dinmica
8. Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista
circular horizontal de raio de 300 ps, como mostrado na figura. Se
a sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 7 ps/s2,
determine o tempo necessrio para ele alcanar uma acelerao de
8ps/s2. Qual a sua velocidade escalar nesse instante? R: 4,87 s;
37,1 ps/s
113
Cinemtica das Partculas - Dinmica
9. Uma partcula executa um movimento curvilneo de raio R com uma
acelerao de componente tangencial dada por at = a0t, onde a0 e so
constantes positivas. Sabendo que no instante t0 = 0 a velocidade
escalar a v0 = 0 , represente num instante de tempo qualquer a
velocidade escalar da 2 partcula, v, e a componente centrpeta (ou
normal) de sua acelerao.
114
Cinemtica das Partculas - Dinmica
9 - Coordenadas Polares (r-) Considera-se agora a terceira
descrio do movimento curvilneo plano em que a partcula localizada
pela distncia radial r a partir de um ponto fixo e por uma medida
angular at a linha radial. radial A figura abaixo mostra as
coordenadas polares r e que localizam uma partcula se movendo sobre
uma trajetria curva. Uma linha fixa arbitrria, tal como o eixo x,
usada como referncia para as medidas de .
115
Cinemtica das Partculas - Dinmica
Vetores unitrios er e e so estabelecidos nos sentidos positivos
das direes r e , respectivamente. O vetor posio r da partcula em A
tem mdulo igual distncia radial r e uma direo especificada pelo
vetor unitrio er. Assim, a localizao da partcula em A expressa pelo
vetor: r = rerPodemos utilizar a diferenciao dessa relao e o tempo
para obter v = dr/dt 116 e a = dv/dt.
Cinemtica das Partculas - Dinmica
Fazendo tambm uso das derivadas temporais dos vetores unitrios,
encontramos para a velocidade: onde:
& vr = r & v = r v = vr2 + v2
& & v = re r + re
Diferenciando a expresso da velocidade temos para a acelerao:
onde:
& ar = && r 2 r & && a = r& + 2r
& & && a = (&& r 2 )e r + (r& + 2r
)e r
a = ar2 + a2
117
Cinemtica das Partculas - Dinmica
importante notar que ar no igual derivada em relao ao tempo de
vr e que a no igual derivada em relao ao tempo de v.
No caso de um ponto material que se desloca ao longo de uma
& r , e as circunferncia de centro O, temos r = constante, r =
&& = 0 frmulas de velocidade e de acelerao reduzem-se,
respectivamente a:
& a = r & 2 e r + r &e
118
Cinemtica das Partculas - Dinmica
Observaes: . Para descrever o MCU podemos tambm usar as
coordenadas polares! O arco sobre a trajetria que subentende um
ngulo : s = R A posio angular uma funo do tempo, (t ) . O arco
descrito em dt dado por ds = R d . Ento:ds d =v=R dt dt
(v: velocidade tangencial)d
Define-se assim a velocidade angular : d = Ento: v = R dt : d =
cte = 0 + t Se = dt
R
x
s
119
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 1O brao AO de 0,9 m de comprimento gira ao
redor de O e seu movimento est definido pela relao = 0,15 t2, onde
est expresso em radianos e t em segundos. O cursor desliza ao longo
do brao, sendo o seu deslocamento em relao a O dado por r = 0,9
0,12t2, onde r expresso em metros e t em segundos. Determinar a
velocidade e acelerao total do cursor B aps o brao AO ter girado
30.
120
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 1Primeiramente achamos t quando = 30: =
0,15t2 0,524 = 0,15t2 t = 1,87 s
Substituindo-se t = 1,87 s nas expresses para r, e suas
primeiras e segundas derivadas, temos:r = 0 ,9 0 ,12 t 2 = 0 , 481
m & r = 0 , 24 t = 0 , 449 m / s && = 0 , 24 = 0 , 240
m / s 2 r
= 0 ,15 t 2 = 0 ,524 rad & = 0 ,30 t = 0 ,561 rad / s&
& = 0 ,30 = 0 ,300 rad / s 2
121
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Para o clculo da velocidade, obtemos os valores de suas
componentes quando t = 1,87 s:& v r = r = 0 , 449 m / s v = r
& = 0 , 481 . 0 ,561 = 0 , 270 m / s
Do tringulo retngulo ilustrado na figura, obtemos o mdulo, direo
e sentido da velocidade: V = 0,524 m/s ; = 31
122
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Para o clculo da acelerao, fazemos:& a r = && r 2 a
r = 0,24 0,481(0,561) 2 = 0,391m / s 2 r & & a = r& + 2
r& a = 0,481(0,300 ) + 2( 0,449 .0,561) = 0,359 m / s 2
Encontramos: a = 0,531 m/s2 ; = 42,6
123
Cinemtica Introduo - Dinmica I das Partculas - Dinmica
Exerccio resolvido 2A posio do cursor P no brao articulado
giratrio AO controlada por um parafuso, como mostrado. No instante
representado, d/dt = 8 rad/s e d2/dt2 = - 20 rad/s2. Tambm nesse
instante, r = 200 mm,
dr/dt = - 300 mm/s, e dr2/dt2 = 0. Para esse instante, determine
as componentes r e da acelerao de P.
& ar = && r 2 = 0 200(8) 2 = 12800mm / s 2 = 12,80m
/ s 2 r & && a = r& + 2r = 200(20) + 2(300)(8) =
8800mm / s 2 = 8,80m / 124 s2
Cinemtica das Partculas - Dinmica
Atividades1. Um brinquedo de um parque de diverses consiste numa
cadeira que gira numa trajetria circular horizontal de raio r presa
a um brao OB que possui velocidade angular e acelerao angular .
Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da
acelerao do passageiro. Despreze o tamanho do passageiro.
125
Cinemtica das Partculas - Dinmica
2. O movimento curvilneo de uma partcula governado pelas
coordenadas polares r = t3/3 e = 2cos(t/6), onde r expresso em
metros, em radianos e t em segundos. Especifique a velocidade v e a
acelerao a da partcula quando t = 2 s. R: v = 4er 2,42e (m/s); a =
1,807er 7,99e (m/s2)
126
Cinemtica das Partculas - Dinmica
3. A rotao do brao pivotado radialmente governada por = 0,2t +
0,02t3 (SI). Simultaneamente, o parafuso no brao movimenta o cursor
B e controla a sua distncia a partir de O de acordo com r = 0,2 +
0,04t2 (SI). Calcule o mdulo da velocidade e da acelerao do cursor
para o instante t = 3s. R: v = 0,479 m/s; a = 0,601 m/s2
127
Cinemtica das Partculas - Dinmica
4. O brao OAB pivotado em torno do ponto O, enquanto
simultaneamente a seo AB se estende em relao seo OA. Determine a
velocidade e a acelerao do centro B da polia para as seguintes
condies: = 30, = 5 graus/s, = 2 graus/s2, l = 2 m, v = 0,5 m/s, a=
- 1,2 m/s2. As grandezas v e a so a primeira e a segunda derivada
no tempo, respectivamente, do comprimento l da seo AB. R: 0,5er +
0,785e (m / s); 1,269er + 0,401e (m / s 2 )
128
Cinemtica das Partculas - Dinmica
5. A haste AO mostrada na figura gira num plano horizontal de
modo que = (t3) rad. Ao mesmo tempo, o curso B desliza de O para A,
tendo sua coordenada r variando no tempo de acordo com r = (100t2)
mm. Considerando em ambos os casos t expresso em segundo, determine
a velocidade e a acelerao do cursor para t = 1 s. R: 361 mm/s; 1930
mm/s2
129
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Dinmica ICinemtica das Partculas Movimento Curvilneo Espacial1.
Introduo 2. Coordenadas Retangulares (x-y-z) 3. Coordenadas
Cilndricas (r--z) 4. Coordenadas Esfricas (R--) 5. Movimento
Relativo (Eixos Transladados) Representao Vetorial130
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
1 - Introduo No caso geral do movimento tridimensional de uma
partcula ao longo de uma curva espacial trs sistemas de coordenadas
so comumente usados para descrever esse movimento; coordenadas
retangulares (x-y-z), cilndricas (r--z) e esfricas (R--).
131
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
2 - Coordenadas Retangulares (x-y-z) A extenso de duas para trs
dimenses no oferece grandes dificuldades. Adiciona-se apenas a
coordenada z e suas derivadas no tempo s expresses bidimensionais j
vistas; de tal modo que o vetor posio R, a velocidade v e a
acelerao a se tornam:
r j R = xi + y + zk r r & & & & v = R = xi + y +
zk j r r r & & x yj z a = v = R = &&i + &&
+ &&kObs. Note que em trs dimenses est-se empregando R no
lugar de r para o vetor posio.132
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
3 - Coordenadas Cilndricas (r--z) No sistema de coordenadas
cilndricas um ponto P representado por uma tripla (r--z), onde (r-)
representa um ponto em coordenadas polares e z a terceira
coordenada usual do sistema cartesiano. Basta, ento, acrescentar a
coordenada z e suas duas derivadas no tempo. O vetor posio R da
partcula para coordenadas cilndrica simplesmente: R = rer + zk
133
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
r & & A velocidade pode ser escrita como: v = rer + re +
zk & & vr = r onde & v = r& vz = z v = vr2 + v2 + v
z2
Do mesmo modo, a acelerao escrita pela adio da componente z, r
& & que fornece: & & z a = (&& r 2 )e r +
(r& + 2r )e + &&k r
& onde ar = && r 2 r & && a = r& +
2r
a z = && z a = ar2 + a2 + a z2134
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Para converter do sistema de coordenadas cilndricas para o
sistema cartesiano usamos as relaes: x = r cos y = r sen z=z
Para passar do sistema de coordenadas cartesianas cilndricas
para o sistema de coordenadas cilndricas usamos as relaes: r 2 = x2
+ y 2 tan = y/x z=z 135
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
4 Coordenadas Esfricas (R--)As coordenadas esfricas so
utilizadas quando uma distncia radial e
dois ngulos so empregados para especificar a posio de uma
partcula, como no caso de medidas atravs de radares, por exemplo.
So denotadas pela tripla (R--) e localizam um ponto P no espao
dando a distncia R da origem, o ngulo projetado sobre o plano xy (o
ngulo polar) e o ngulo que o raio R faz com o eixo positivo z (o
ngulo vertical).
136
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
A derivao da expresso para a velocidade v obtida definindo-se os
vetores unitrios eR, e, e. O unitrio eR est na direo em que a
partcula P
pode-se mover se R aumenta, mas e so mantidos constantes. O
vetor unitrio e est na direo na qual P pode-se mover se aumenta,
enquanto R e so mantidos constantes. Finalmente, o unitrio e est na
direo na qual P pode-se mover se aumenta, enquanto R e so mantidos
constantes. As expresses resultantes para v e a so:
r v = vR eR + v e + v e& vR = R & v = R cos & v =
R
r a = aR e r + a e + a e& & && aR = R R 2 R 2
cos 2 & cos d ( R 2 ) && a = 2 Rsen R dt & 1 d ( R
2 ) & a = + R 2 sen cos 137 R dt
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Para converter um ponto em coordenadas esfricas P (R--) para
coordenadas cartesianas usamos as relaes: x = r sen cos y = r sen
sen z = r cos
Para converter um ponto P (x,y,z) em coordenadas cartesianas
para coordenadas polares usamos as relaes: 1/2 r2 = x2 + y2 + z2
tan = y/x cos = z/(x2 + y2 + z2)138
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Geometricamente:
139
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Exerccio resolvido 1O parafuso inicia seu movimento do repouso,
e dada uma velocidade de rotao = d/dt que aumenta uniformemente com
o tempo t de acordo com d/dt = kt, onde k uma constante. Determine
a velocidade angular do centro da esfera A quando o parafuso tiver
girado uma volta completa a partir da posio de repouso.O centro da
esfera A se move em uma helicide sobre a superfcie cilndrica de
raio b, e as coordenadas cilndricas r, e z so indicadas. 1
Integrando a relao fornecida para temos: = = &dt = kt 2 2 Para
uma volta a partir do repouso: 2 = 1 kt 22 t=2
k140
& = kt = k 2 k = 2 k
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Exerccio resolvido 2Uma partcula P se move ao longo de uma curva
espacial e possui velocidade v = 4i -2j k (m/s) para o instante
mostrado. No mesmo instante a partcula tem uma acelerao a cujo
mdulo 8 m/s2. Calcule o raio de curvatura da trajetria para essa
posio e a taxa v com a qual o & mdulo da velocidade est
aumentando.
r v = 4i 2 k j v = 4 2 + 2 2 + 12 = 4,58m / s an = asen20 =
8sen20 = 2,74m / s 2 v 2 4,582 an = ; = = = 7,67m an 2,74 & v =
at = a cos 20 = 8 cos 20 = 7,52m / s 2141
v2
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Atividades1. A velocidade e a acelerao de uma partcula so dadas
para um certo instante por v = 6i 3j + 2k m/s e a = 3i j - 5k m/s2.
Determine o ngulo entre v e a, v e o raio de curvatura no plano do
movimento. &R: = 74,6;
& v
= 1,571 m/s2; = 8,59 m
142
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
2. Durante um pequeno intervalo de tempo, o brao do rob se
estende a uma taxa constante tal que dr/dt = 1,5 m/s quando r = 3
m, z = (4t2) m e = 0,5t, onde t dado em segundos. Determine os
mdulos da velocidade e da acelerao da garra A para t = 3s. R: v =
24,1 m/s; a = 8,17 m/s2
143
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
3. O brao do rob tem um comprimento fixo de modo que r = 3 m.
Sua garra A se move ao longo da curva z = (3.sen 4) m, onde dado em
radianos. Se = (0,5t) rad, onde t dado em segundos, determine os
mdulos da velocidade e da acelerao da garra quando t = 3s. R: v =
5,95 m/s; a = 3,44 m/s2
144
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
4. O elemento giratrio em uma cmara de mistura possui um
movimento peridico axial z = z0 sen 2nt enquanto est girando com
uma velocidade angular constante & = . Determine a expresso
para a mxima acelerao do ponto A sobre a borda do mbolo de raio r.
A frequncia n da oscilao R: amx = (r24 + 16n44z0)1/2 vertical
constante.
145
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
5. Uma parte da superfcie da came pode ser representada pela
espiral logartmica r = (40.e0,05) mm, onde dado em radianos. Se a
came gira com velocidade angular constante = 4 rad/s, determine os
mdulos da velocidade e da acelerao do seguidor no instante em que =
30.R: v = 164 mm/s; a = 659 mm/s2
146 Nota: Em engenharia mecnica, o came uma parte de uma roda ou
eixo giratrio ressaltada e projetada para transmitir um movimento
alternado ou varivel a um outro mecanismo.
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
6. Resolva o problema anterior considerando que a came tem
acelerao angular = 2 rad/s2, quando sua velocidade angular = 4
rad/s e a sua coordenada angular = 30.
147
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
7. A base da escada do caminho de bombeiros gira em torno de um
eixo vertical que passa por O com uma velocidade angular constante
= 10 graus/s. No mesmo instante, a escada OB se eleva a uma taxa
constante & = 7 graus/s, e a seo AB da escada se estende em
relao a seo
OA com uma taxa constante de 0,5 m/s. No instante em considerao,
= 30, OA = 9 m, e AB = 6 m. Determine os mdulos da velocidade e da
acelerao da extremidade B da escada.R: v = 2,96 m/s ; a = 0,672
m/s2
148
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
5 - Movimento Relativo (Eixos Transladados) Vimos o movimento de
uma partcula usando coordenadas referidas a eixos de referncia
fixos. Deslocamentos, velocidades e aceleraes assim determinados so
denominados absolutos. Entretanto, no sempre possvel ou conveniente
usar um conjunto de eixos para descrever ou medir um movimento. Alm
disso, existem vrios problemas em engenharia para os quais a anlise
do movimento simplificada quando se empregam medidas feitas com
relao a um sistema de referncia mvel. Essas medidas, quando
combinadas com o movimento absoluto do sistema de referncia mvel
possibilitam determinar o movimento absoluto em questo. Essa
abordagem chamada de anlise de movimento relativo.149
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
O movimento de um sistema de coordenadas mvel especificado em
relao a um sistema de coordenadas fixo. Estritamente falando, na
mecnica newtoniana esse sistema fixo o sistema inercial primrio, o
qual considerado como no tendo movimento no espao. Para os
propsitos da engenharia, o sistema fixo pode ser tomado como
qualquer sistema cujo movimento absoluto desprezvel para o problema
em questo. Sero ento estudados os sistemas de referncia mveis que
se transladam mas no giram.
150
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Representao Vetorial Considere duas partculas A e B que podem
ter movimentos curvilneos separados em um dado plano ou em planos
paralelos. Ser definida arbitrariamente na partcula B a origem de
um conjunto de eixos x-y que se transladam, mas que no giram,
observando-se o movimento de A a partir da posio mvel em B.
151
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
O vetor posio de A medido relativamente ao referencial x-y rA/B
= xi + yj, onde a notao em subscrito A/B significa A relativo a B
ou A com relao a B. Os vetores unitrios ao longo dos eixos x e y so
i e j, e x e y so as coordenadas de A medidas no referencial x-y. A
posio absoluta de B definida pelo vetor rB medido a partir da
origem dos eixos X-Y. A posio absoluta de A vista, desse modo, como
determinada pelo vetor r r r rA = rB + rA/B ou rA = rB + rA / B
152
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Diferencia-se esta equao vetorial uma vez com relao ao tempo,
para obter as velocidades, e duas vezes para obter as aceleraes.
Assim, r r r r & r r & &
rA = rB + rA / B v A = vB + v A / B r r r r r r && =
&& + && a = a + a rA rB rA / B A B A/ B
Essas equaes estabelecem que a velocidade (ou acelerao) absoluta
de A igual velocidade (ou acelerao) absoluta de B somada,
vetorialmente, velocidade (ou acelerao) de A relativamente a B. O
termo relativo a medida da velocidade (ou da acelerao) realizada
por um observador conectado ao sistema de coordenadas x-y
mvel.Pode-se expressar os termos do movimento relativo em qualquer
sistema de coordenadas conveniente retangular, normal e tangencial,
ou polar e as formulaes vistas podem ser utilizadas para esse
propsito. 153
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Na anlise de movimento relativo importante saber que a acelerao
de uma partcula observada em um sistema x-y que se translada a
mesma observada em um sistema fixo X-Y se o sistema mvel possui
velocidade constante. Essa concluso amplia a aplicao da segunda lei
do movimento. Ento, um conjunto de eixos que possui velocidade
absoluta constante pode ser usado em lugar de um sistema fixo para
a determinao das aceleraes. Um sistema de referncia que se
translada, mas no tem acelerao, chamado de sistema
inercial.Consequentemente, qualquer que seja o movimento da
partcula considerada, a sua acelerao em relao a R, num dado
instante, exatamente igual `a sua acelerao em relao a R nesse
instante, desde que se cumpram as seguintes condies: (i) que os
eixos de R permaneam paralelos aos eixos de R; (ii) que a origem O
se mova em MRU relativamente a R. 154
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Exerccio resolvido 1Considere o movimento de um nadador que
cruza um rio de margens retilneas e paralelas entre si. Por
simplicidade, vamos supor que todas as partculas do rio se movam em
MRU com a mesma velocidade V em relao a um referencial solidrio s
margens. Relacione a velocidade do nadador em relao s margens com a
sua velocidade em relao a um referencial que se desloca com a mesma
velocidade do rio.
r vnad r vnad r vnad r vnad
r r = vrio + vnad / rio r r = V + vnad / rio = Vx i + v 'y ' ; =
' j j j = Vx i + v 'y j155
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Portanto, a velocidade do nadador em relao s margens (isto , em
relao a OXY) diferente de sua velocidade em relao ao rio (isto , em
relao a OXY). No caso em questo, no apenas as respectivas direes de
v e v, mas tambm seus respectivos mdulos so diferentes. Como v =
vyj, imediato perceber que a velocidade do nadador em relao a OXY
perpendicular s margens do rio (lembre-se de que estas so paralelas
aos eixos OX e OX), enquanto a sua velocidade relativa a OXY oblqua
em relao `as margens, ou seja, faz um ngulo menor do que 90 com o
eixo OX. Aplicando o teorema de Pitgoras, vemos que |v|2 = |v|2 +
|V|2. 156 tambm imediato perceber que vx = Vx e vy = vy.
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Exerccio resolvido 2Os passageiros de um jato de transporte A
voando para leste com uma velocidade de 800 Km/h observam um
segundo avio a jato B, que passa sob o primeiro em um vo
horizontal. Apesar de o nariz do avio B estar apontando para a
direo nordeste a 45, para os passageiros de A ele parece estar se
movendo para longe do avio A com um ngulo de 60, como mostrado.
Determine a real velocidade de B.
157
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Pode-se escrever a equao vetorial: vB = vA + vB/A Identificam-se
as incgnitas e as variveis conhecidas: A velocidade vA dada em
mdulo e direo; a direo 60 de vB/A (direo da velocidade que B parece
ter para os observadores mveis em A); a velocidade verdadeira de B
est na direo de 45 para a qual est se dirigindo. Ento as duas
incgnitas remanescentes so os mdulos de vB e vB/A.Pode-se resolver
a equao vetorial de trs formas: (I) Grfica. Inicia-se com a soma
vetorial em algum ponto P, desenhando vA em uma escala conveniente
e depois construindo uma linha atravs da ponta de vA com a direo
conhecida de vB/A. A direo conhecida vB ento desenhada atravs de P,
e a interseo C fornece a nica soluo que permite completar o
tringulo vetorial e determinar os mdulos desconhecidos de acordo
com a escala.
vB/A = 586 Km/h vB = 717 Km/h
e
158
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
(II) Trigonomtrica. Um esboo do tringulo vetorial feito para
determinar a trigonometria, que fornece
vB vA = sen60 sen75 sen60 vB = 800 = 717 Km / h sen75Deve-se
estar preparado para empregar relaes trigonomtricas apropriadas
necessrias lei dos senos. 159
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
(III) Algbrica (lgebra vetorial). Usando os vetores i e j,
pode-se expressar as velocidades na forma vetorial comovA = 800i
Km/h
vB = (vB cos 45)i + (vB sen 45)j Km/h vB/A = (- vB/A cos 60)i +
(vB/A sen 60)j Km/hsubstituindo essas relaes na equao de velocidade
relativa e resolvendo separadamente os termos i e j, tem-se (termos
i) (termos j) vB cos 45 = 800 vB/A cos 60 vB sen 45 = vB/A sen
60
Resolvendo simultaneamente conseguem-se os mdulos desconhecidos
das velocidades 160 vB/A = 586 Km/h e vB = 717 Km/h
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Exerccio resolvido 3O passageiro do avio B est voando para leste
com uma velocidade vB = 800 Km/h. Um jato militar se deslocando
para o sul com uma velocidade vA = 1200 Km/h passa sob B a uma
altitude ligeiramente menor. Que velocidade A parece ter para um
passageiro em B e qual a direo da sua velocidade aparente?
r r r v A = vB + v A / B r v A / B = (1200) 2 + (800) 2 = 1442
Km / h
= tag 1
800 = 33,7 1200
161
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Atividades1. Um carro A possui uma velocidade para frente de 18
Km/h, e est sendo acelerado a 3 m/s2. Determine a velocidade e a
acelerao do carro relativa a um observador B, que est sentado em
uma cadeira no-girante na roda gigante. A velocidade angular = 3
rpm da roda-gigante constante.R: vA/B = 3i + 2j (m/s); aA/B = 3,63i
+ 0,628j (m/s2)
162
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
2. Um trem, viajando a uma velocidade de 60 m/h, cruza uma
rodovia, como mostrado na figura. Se o automvel A trafega a 45 m/h,
determine o vetor velocidade (mdulo, direo e sentido) do trem em
relao ao automvel.R: vT/A = 42,5 m/h
163
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
3. Uma mulher anda em uma rua de leste para oeste com uma
velocidade de 6 Km/h. O vento sopra de noroeste, como mostra a
figura, com velocidade de 4 Km/h. Determine a velocidade do vento
relativa mulher se ela anda para oeste. Expresse os resultados
tanto em termos dos vetores unitrios i e j quanto dos mdulos e
direes da bssola.R: vv/m = 8,83i 2,83j (Km/h); vv/m = 9,27 (Km/h);
= 17,76
164
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
4. O carro A percorre uma curva de raio 150 m com uma velocidade
constante de 54 Km/h. No instante representado, o carro B est se
movendo a 81 Km/h, mas est diminuindo sua velocidade a uma razo de
3m/s2. Determine a velocidade e a acelerao do carro A nas
coordenadas a partir do carro B. R: vA/B = 15i - 22j (m/s); aA/B =
4,5j (m/s2)
165
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
5. O avio A mostrado na figura est voando numa trajetria
retilnea, enquanto o avio B est voando numa trajetria circular de
raio de curvatura = 400 Km. Determine a velocidade e a acelerao de
B medidas pelo piloto do avio A.R: vB/A = 100 Km/h; aB/A = 912
Km/h2
166
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
6. Num dado instante, os carros A e B deslocam-se com
velocidades de 18 m/s e 12 m/s, respectivamente. Determine a
velocidade de B em relao a A.R: vB/A = 9,69 m/s
167
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
7. Considerando o problema anterior, determine a acelerao do
carro B em relao a A, sabendo que A est desacelerando a uma taxa de
2 m/s2 e B est acelerando a uma taxa de 3 m/s2,R: aB/A = 5,32
m/s2
168
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
8. Um jogador de hquei A leva o disco com seu taco e se move na
direo mostrada com a velocidade vA = 4 m/s. Na passagem do disco
para o seu companheiro de equipe B, parado, qual deve ser a direo
do ngulo da tacada em relao linha de visada, se ele lana o disco
com uma velocidade de 7 m/s em relao a si prprio?R: 23,8
169
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Dinmica ICinemtica das Partculas Movimento Restrito de Partculas
Conectadas1. Introduo 2. Um grau de liberdade 3. Dois graus de
liberdade Atividades
170
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
1 - Introduo Algumas vezes os movimentos de partculas so
interrelacionados devido s restries impostas por membros de
interconexo. Nesses casos necessrio levar em conta essas restries,
de modo a determinar o respectivo movimento das partculas.
171
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
2 - Um grau de liberdadeConsidere inicialmente o sistema
bastante simples de duas partculas A e B interconectadas. Deve ser
evidente, por inspeo, que o movimento horizontal de A o dobro do
movimento vertical de B. Entretanto, esse exemplo ser usado para
ilustrar o mtodo de anlise que deve ser aplicado s situaes mais
complexas, em que os resultados no podem ser facilmente obtidos por
inspeo.
172
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
O movimento de B claramente o mesmo do centro da sua polia, ento
so estabelecidas as coordenadas x e y medidas a partir de uma
referncia fixa conveniente. O comprimento total do cabo
L = x+
r22
+ 2 y + r1 + b
Com L, r2, r1 e b constantes, a primeira e a segunda derivadas
do tempo da equao fornecem
& & 0 = x + 2 y 0 = v A + 2vB 0 = && + 2
&& 0 = a A + 2aB x y
173
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
As equaes de restrio da velocidade e da acelerao indicam que,
para as coordenadas selecionadas, a velocidade de A deve ter um
sinal contrrio daquele da velocidade de B, e o mesmo ocorre para as
aceleraes. A equaes de restrio so vlidas para o movimento do
sistema em & qualquer sentido. Enfatiza-se que v A = x positiva
para a esquerda e que & v A = x positiva para baixo.
importante salientar que os resultados no dependeram dos
comprimentos ou dos raios das polias. Assim, deve-se ser capaz de
analisar o movimento sem considerar esses parmetros.
174
Cinemtica das Partculas--Dinmica I Introduo Dinmica
Abaixo temos aumentada a vista do dimetro horizontal ABC para a
polia de baixo em um instante de tempo. Logicamente A e A possuem
movimentos de mesmo mdulo, assim como B e B.
![FH[1]. DINÂMICA CAPILAR. LISI](https://img.document.onl/doc/110x75/5571fc5749795991699709c0/fh1-dinamica-capilar-lisi.jpg)
