Dinâmica de Estruturas Carlos A. Silva Rebelo

Dinâmica de Estruturas

Carlos A. Silva Rebelo

2004-2005

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Conteúdo

1 Introdução 51.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Fontes de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Comportamento dinâmico das estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Consequências da vibração estrutural e seu controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Formulação da equação diferencial de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Segunda lei de Newton e princípio d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Princípio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Oscilador Linear de 1 Grau de Liberdade 152.1 Vibração livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Oscilador com amortecimento nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Oscilador com amortecimento crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Oscilador com amortecimento sub-crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Determinação experimental dos parâmetros dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Resposta a excitação harmónica simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Oscilador sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Oscilador com amortecimento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3 Representação complexa - Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4 Identificação das características dinâmicas do oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.5 Aparelhos de medida - acelerómetros e sismógrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Resposta do oscilador a um impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1 Resposta a impulsos de duração infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2 Resposta a impulsos de duração finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Resposta do oscilador a excitação geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.1 Análise no domínio da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Análise no domínio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Cálculo numérico da resposta do OL1GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5.1 Cálculo no domínio da frequência - Transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . 482.5.2 Cálculo no domínio do tempo - Integral de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.3 Cálculo no domínio do tempo - Integração directa passo-a-passo . . . . . . . . . . . . . . 542.5.4 Exemplo de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Sistemas dinâmicos contínuos 613.1 Formulação da equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1 Barra prismática em flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.2 Barra prismática em vibração axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3 Amortecimento em Barras prismáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.4 Lajes finas em flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Vibração livre sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.1 Barras prismáticas em flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 Lajes finas em flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.3 Método de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.4 Propriedades dos modos de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Resposta dinâmica de barras prismáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Controlo de Vibrações em Estruturas 774.1 OL2GL - Solução por Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Sistemas Auxiliares de Controlo de Vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.1 Sistema auxiliar sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.2 Sistema auxiliar com amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Isolamento da Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CONTEÚDO 3

5 Sistemas dinâmicos discretos lineares 875.1 Equações diferenciais do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Cálculo dos coeficientes de influência para barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 Matriz de rigidez do elemento de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.2 Matriz de massa do elemento de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.3 Matriz dos amortecimentos do elemento de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.4 Vector da excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.5 Escolha da formulação adequada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3 Vibração livre não amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.1 Ortogonalidade dos modos de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3.2 Normalização dos modos de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Cálculo numérico de valores e vectores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.1 Método de Stodola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.2 Método de Holzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.3 Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5 Cálculo da resposta por sobreposição modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Caracterização da Acção Sísmica 1056.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Risco Sísmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3 Quantificação da acção sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3.1 Características gerais da acção sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3.2 Escalas de magnitude e Intensidade sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4 Modelos Descritivos da acção sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.1 Quantificação através dos valores máximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4.2 Quantificação com base em Espectros de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4.3 Quantificação com base em Espectros de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4.4 Quantificação com base em Acelerogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.4.5 Construção de Espectros de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Resposta Estrutural à Acção Sísmica 1257.1 Cálculo sísmico com base em espectros de resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1.1 Método de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2 Modelos estruturais de edifícios para análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.2.1 Modelo de três Graus de Liberdade por Piso (3GL/P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.2.2 Exemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2.3 Modelo simplificado plano – 1GL/Piso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.2.4 Modelo Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4 CONTEÚDO

Capítulo 1 Introdução

1.1 Generalidades

É objectivo da Dinâmica das Estruturas estudar os efeitos produzidos nas estruturas (tensões, deformações,esforços ...) por acções dinâmicas, ou seja, acções cuja magnitude, direcção ou posição dependem do parâmetrotempo.A análise dinâmica pode ser vista, de forma simplista, como uma análise estrutural que inclui, nas equações

de equilibrio da estática, as forças geradas pela existência de aceleração e velocidade das massas do sistema.No entanto, os métodos usados para a análise estática são por vezes diferentes dos usados numa correspondenteanálise dinâmica, sendo, por isso, recomendável separar o valor estático do valor dinâmico das acções aoproceder-se à análise das estruturas, desde que se possa considerar válido o princípio da sobreposição de efeitos.Os problemas de vibrações podem surgir em qualquer tipo de estruturas de engenharia civil sendo, no entanto,

mais comuns no caso de estruturas suportando máquinas que, durante o seu funcionamento, desenvolvem forçasdinâmicas ou estruturas que, pela sua concepção, são sensíveis às flutuações da velocidade do vento, como porexemplo pontes atirantadas ou edifícios altos, ou ainda em estruturas suportando trafego de pessoas ou veículos,como por exemplo pontes ou parques de estacionamento. As vibrações sísmicas constituem, porém, o tipo deacção dinâmica que pode originar os mais graves problemas de segurança em estruturas de engenharia civil.Podemos agrupar os problemas que surgem na análise de vibrações em estruturas em três tipos:

1. identificação dos fenómenos físicos e idealização de modelos matemáticos das fontes de vibração por formaa caracterizar as respectivas acções dinâmicas;

2. construção de modelos físicos e matemáticos que traduzam com fiabilidade o comportamento dinâmicodas estruturas, incluindo a identificação dos parâmetros do modelo com base em ensaios;

3. análise da segurança e fiabilidade estrutural com base nos valores de resposta correspondentes aos estadoslimites, e tomadas de decisão relativamente à segurança estrutural.

O primeiro ponto indicado acima está relacionado com a definição do valor das acções a utilizar em projecto,enquanto que no segundo ponto se incluem os problemas de verificação da segurança de estruturas existentesatravés de modelos numéricos e de testes in situ. No terceiro ponto há que realçar o problema da definição dosvalores de comparação a tomar para a verificação dos estados limites. Embora apenas o segundo ponto sejaaqui tratado com alguma profundidade, é importante conhecer alguns conceitos relacionados com os outros doistipos de problemas.

1.1.1 Fontes de vibração

A identificação e quantificação das fontes de vibração obtendo, como resultado, modelos de acções dinâmicas po-dem ser realizadas, sob um ponto de vista da sua variabilidade no tempo, com base determinística ou estocástica.O tipo de modelo de acção mais indicado depende das características dessas acções sendo no entanto os modelosdeterminísticos os mais usados no cálculo por se adaptarem razoávelmente aos métodos semi-probabilísticosde verificação da segurança e por necessitarem de um menor ”back-ground” teórico por parte do Engenheiroprojectista.Nos modelos determinísticos das acções, pressupõe-se o conhecimento do valor da acção para qualquer

valor do parâmetro tempo. Este tipo de modelos dividem as acções em:

• Periódicas, as quais apresentam um padrão de variação que se repete exactamente ao fim de um períodode tempo T. São exemplo deste tipo as acções originadas por maquinaria industrial.

• Não periódicas, as quais apresentam um padrão de variação com características únicas num certo períodode tempo T. Como exemplo podem ser indicadas as acções transientes originadas por explosões ou im-pactos.

Nos modelos estocásticos o valor da acção em cada instante não é conhecido a priori. A modelação éfeita considerando que esse valor é dado por uma variável aleatória possuindo uma determinada densidade deprobabilidade. Tem-se assim que, num modelo estocástico, não existe apenas um padrão de histórias de carga

Generalidades 5

t

Xn(t)

t

X3(t)

t

X2(t)

t

X1(t)

t1 t2

Realização 1

Realização 2

Realização 3

Realização n

t

Xn(t)

t

X3(t)

t

X2(t)

t

X1(t)

t1 t2

Realização 1

Realização 2

Realização 3

Realização n

Figura 1 Representação de realizações de um campo estocástico

mas sim um conjunto infinito de histórias de carga que formam o campo estocástico e designadas realizações docampo estocástico (figura 1).Sob certas condições é possível obter uma estimativa das características da acção analisando apenas um

troço finito de uma qualquer daquelas realizações. Neste caso, a função mais importante na caracterização dasacções estocásticas - função de autocorrelação R(τ) - é definida da seguinte forma:

R(τ) = limT→∞

1

T

T2Z

−T2

xi(t) · xi(t+ τ)dt (1.1)

em que xi(t) e xi(t + τ) representam o valor da acção na realização i e nos instantes de tempo (t) e (t + τ).Podem ser obtidas estimativas de R(τ) calculando o integral para períodos finitos T da história de carga. Aequação (1.1) é apresentada, frequentemente, sob a forma de um espectro de potência S(ω) obtido pelatransformação de Fourier da função de autocorrelação:

S(ω) =

∞Z−∞

R(τ)e−iωτdτ (1.2)

O Regulamento de Segurança e Acções (RSA), que quantifica algumas das acções mais comuns em estruturas,considera a acção sísmica como acção dinâmica fornecendo, no Anexo III, informação para o seu tratamento comoacção estocástica. Também o Eurocódigo 8 [10, EC8], mais recente, contém informação relativa à quantificaçãoda acção sísmica.Informação adicional àcerca das acções dinâmicas no cálculo de estruturas, nomeadamente no que respeita à

acção do vento, tráfego, maquinaria, impacto de veículos ou aeronaves, trânsito de veículos ou pessoas, trabalhosrealizados em obras de construção civil como sejam explosões, martelos hidráulicos, cravação de estacas, peneirosde crivagem podem ser encontradas em [8],[9].

1.1.2 Comportamento dinâmico das estruturas

A análise dinâmica de estruturas envolve a sua modelação com vista à obtenção dos valores da resposta em termosde deslocamentos que, por sua vez, se poderão transformar em esforços internos, tensões ou extensões. Como jáfoi referido, esta análise é feita considerando forças adicionais dependentes da velocidade e aceleração tornandoassim o problema mais geral que o mesmo problema estático e, por isso, também de maior complexidade. É,porém, possível, em certos casos, obter bons resultados práticos usando modelos de análise dinâmica que, doponto de vista de análise estática poderiam parecer grosseiros. Vejamos dois exemplos:

1. Uma estrutura como a indicada na figura 2 pode ser modelada através de elementos de barra, viga e pilaressujeitas à acção dinâmica p(t), ou mais simplesmente por uma massa correspondente à concentração de

6 Introdução

Figura 2 Exemplo de modelação estrutural para cálculo estático ou dinâmico

Figura 3 Exemplo de modelação de laje espessa sujeita a carga de impacto

massas ao nível do piso, por uma mola elástica correspondente à rigidez transversal dos pilares e por umelemento de amortecimento viscoso, proporcional à velocidade de deformação, e que traduz a dissipação deenergia no sistema. Definida e resolvida a equação de equilíbrio dinâmico deste sistema podemos transferiros deslocamentos máximos para o modelo de análise estática e obter assim a distribuição de esforços.

2. No exemplo da fig.3, representando uma laje de betão armado sujeita a uma acção de impacto ou explosão,mostra-se o modelo utilizado para cáculo estático e os modelos simplificados que podem ser usados emcáculo dinâmico (fig.6-c) e que são constituidos por massas correspondentes às massas do sistema (fig.6-a)e por molas elásticas que ligam as partes do sistema. Também aqui o modelo de análise dinâmica podeser simplificado relativamente ao modelo habitual de análise estática.

Como se poderá concluir dos exemplos apresentados as simplificações mais usadas são relativas, por umlado, à discretização das massas do sistema, as quais se consideram concentradas em determinados pontos daestrutura e, por outro lado, a admitir-se que partes da estrutura se comportam como corpos rígidos interligadospor molas elásticas e amortecedores viscosos.

1.1.3 Consequências da vibração estrutural e seu controle

As consequências das vibrações nas estruturas podem ir desde o incómodo provocado em pessoas utentes,condicionamentos à utilização como por exemplo na fabricação de material de precisão ou estragos ligeiros emestruturas, até à rotura por esforços ou deformações excessivas, fadiga ou estragos irreparáveis em equipamento.De acordo com as regras de verificação da segurança pressupostos no R.S.A. podemos identificar as primeirascom os Estados Limites de Utilização e as segundas com Estados Limites Últimos.Em algumas situações é possível reduzir ou mesmo evitar a vibração das estruturas partindo de soluções

estruturais ou acabamento de superfícies pensadas de acordo com as possíveis acções dinâmicas como porexemplo:

Generalidades 7

• Edifícios sujeitos a acção sísmica possuem um melhor comportamento se a distribuição de massas eregidezes, tanto em planta como em altura, não possuir variações bruscas e os elementos de construçãoestruturais possuirem um comportamento ductil. Neste caso as acções sísmicas podem ser consideravel-mente diminuídas bem assim como o risco de rotura catastrófica durante sismos mais intensos que o sismode projecto.

• As estruturas sujeitas a acções harmónicas que não possuem as suas frequências naturais na zona doespectro em que as acções surgem com maior intensidade são menos sensíveis a essas acções, podendomesmo, em certos casos, ser dispensadas da respectiva verificação da segurança.

• Evitar irregularidades em pisos sujeitos a acções rolantes, como por exemplo as faixas de rodagem empontes rodoviárias ou os pisos de edifícios sujeitos ao trânsito de veículos, conduz a menores cargasdinâmicas.

1.2 Formulação da equação diferencial de movimento

1.2.1 Segunda lei de Newton e princípio d’Alembert

A segunda lei de Newton establece que a variação da quantidade de movimento de um corpo é igual àforça aplicada e tem a direcção dessa força, ou seja:

F (t) =∂

∂t

µm∂y

∂t

¶(1.3)

ou, admitindo que a massa se mantém constante

F (t)−my(t) = 0 (1.4)

em que F (t) representa o conjunto de forças exteriores aplicadas e y(t) é a segunda derivada do deslocamento emordem ao tempo. As forças aplicadas incluem não só forças exteriores independentes do sistema mas tambémforças interiores tal como impedimentos elásticos opostos ao deslocamento e impedimentos viscosos opostos àvelocidade das massas do sistema.O conceito de que uma massa em movimento desenvolve uma força de inércia proporcional e oposta à

aceleração é designado por Princípio d’Alembert. As equações (1.3) e (1.4) traduzem o equilíbrio dinâmico dosistema, ou seja, a soma das forças conservativas e não conservativas do sistema é igual à força de inércia.Tome-se como exemplo a formulação da equação diferencial de movimento de uma massa rígida restringida

por uma mola elástica e um amortecedor viscoso. Este sistema elementar é conhecido por oscilador linear deum grau de liberdade – OL1GL. Considerando o peso próprio da massa W e uma acção exterior p(t) a equaçãode equilibrio do sistema de acordo com a 2a lei de Newton vem dada por:X

Fy = my (1.5)

p+W − fs − fc = my (1.6)

em que o deslocamento y é medido a partir da situação de fs = 0. As forças na mola elástica e no amortecedorviscoso são representadas, respectivamente, por fs = ky e fc = cy. Da equação (1.5) resulta então uma equaçãodiferencial linear não homogénea de segunda ordem,

ky + cy +my = p(t) +W (1.7)

O valor do deslocamento total é dado pela soma de duas parcelas correspondentes ao deslocamento devidoao peso próprio e ao deslocamento dinâmico:

y = yest + yd(t) =W

k+ yd(t) (1.8)

Tendo em conta que o valor W é independente do tempo, o deslocamento estático por ele provocado podeser subtraído ao valor total, obtendo-se assim:

8 Introdução

Figura 4 Oscilador em vibração de translação

Figura 5 Oscilador em vibração de rotação

myd + cyd + kyd = p(t) (1.9)

Note-se que na expressão anterior foi possível eliminar a parte estática das acções. Isto é possível desde queo comportamento do oscilador seja elástico linear. Essa parte estática corresponde à média temporal da acçãodinâmica se essa média for independente do tempo. Por este motivo não serão considerados os valores estáticosdas forças presentes nos diversos exemplos que aqui trataremos, incluindo os valores de peso próprio das massasenvolvidas no cálculo, exceptuando os casos em que a geometria da estrutura e o tipo de graus de liberdadeconsiderados obriguem a essa consideração.Outro exemplo de um oscilador linear de um grau de liberdade é o de um disco (fig.5) em rotação livre. A

equação do movimento é obtida da equação de equilíbrio de momentos dada por

M = IGθ (1.10)

em que M é o momento de torção na haste, IG o momento de inércia das massas e θ a aceleração angular dodiscoTendo em conta as seguintes relações ½

M = −GIpL θ

IG = γ.Ip =12mR2

(1.11)

e considerando que o momento polar de Inércia é dado por:

Ip = Ixx + Iyy =πφ4

32(1.12)

resulta finalmente a seguinte equação diferencial que rege o movimento:µ1

2mR2θ

¶| z força de inércia

+

µπφ4G

32Lθ

¶| z força elástica

= 0 (1.13)

Na figura 6 encontram-se, a titulo de exemplo, momentos de Inércia de massa de várias figuras geométricasconstituidas por material de massa volúmica γ.

Formulação da equação diferencial de movimento 9

Figura 6 Momento de Inércia da massa de várias figuras

Figura 7 Barra rígida com um grau de liberdade

1.2.2 Princípio dos trabalhos virtuais

A aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para a obtenção da equação do movimento é a mais indicada nocaso em que o sistema dinâmico seja constituido por corpos rígidos ligados entre si. Este princípio aplicado àdinâmica das estruturas pode ser enunciado do seguinte modo: para qualquer conjunto de deslocamentosvirtuais consistentes com as condições de fronteira do sistema, a soma do trabalho realizado pelasforças aplicadas e pelas forças de inércia deve ser nulo.Este princípio é traduzido pela seguinte equação:

Wp +WI = 0 (1.14)

em que Wp e WI representam o trabalho virtual, respectivamente, das forças aplicadas e das forças de inércia.

O trabalho virtual de uma qualquer força Qi é definido pelo produto da força pelo deslocamento virtual nasua direcção δqi, ou seja, W = Qi.δqiComo exemplo de aplicação considere-se a estrutura da figura 7 constituída por uma barra rígida com uma

das extremidades fixa e ligada ao exterior por uma mola elástica e um amortecedor viscoso.

Para a aplicação do teorema dos trabalhos virtuais considere-se que a barra, numa qualquer posição defor-mada sofre uma rotação adicional virtual δθ (fig.8). Admitindo que o ângulo θ é pequeno podem escrever-se asseguintes relações: ½

y(x, t) = xθ(t)δy = x · δθ (1.15)

O conjunto de forças que, na posição deformada se encontra em equilíbrio é constituído por uma força deinércia e um momento de inércia da massa, ambos aplicados no centro de gravidade, por uma força elástica namola, por uma força de amortecimento no amortecedor e pela resultante da acção aplicada. O valor de cada uma

10 Introdução

Figura 8 Deslocamentos virtuais (a) e forças existentes (b) no sistema em estudo

destas forças é calculado com base nos deslocamentos, velocidades e acelerações da massa da seguinte forma:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

fk = k · a · θ

fc = c · L · θ

fp =p0L2 f(t)

fi =R L0

mL ydx =

R L0

mL θxdx =

mL2 θ (inércia de translacção)

Mi = IGθ = mL2

12 θ (inércia de rotação)

(1.16)

A equação dos trabalhos virtuais vem dada por:

−fkaδθ − fcLδθ + fp

µ2L

3δθ

¶| z

trabalho das forças exteriores

−Miδθ − fiL

2δθ| z

trabalho das forças de inércia

= 0 (1.17)

Simplificando e tendo em atenção que δθ pode tomar qualquer valor obtem-se a equação do movimento:

mL2

3θ| z

força de inércia

+ cL2θ|zforça de

amortecimento

+ ka2θ|zforçaelástica

=p0L

2

3f(t)| z

acção aplicada

(1.18)

1.2.3 Exemplos

1.2.3.1 Sistema de dois graus de liberdade com deslocamentos da base

Deduzir as equações de movimento de um sistema de duas massas , duas molas e um amortecedor que se deslocacom velocidade constante sobre uma trajetória sinusoidal (figura 9).Sendo a velocidade constante a distância percorrida depende linearmente do tempo x = vt e obtem-se para

deslocamento vertical da base do sistema:

y(x) = h0 sin2πx

L⇒ y(t) = h0 sin

2πvt

vT= h0 sin (2πft)

Establecendo as equações de equilíbrio vertical, usando a 2a lei de Newton, para cada uma das massasobtem-se: ½

−k1(y1 − y2)− c1(y1 − y2) = m1y1k1(y1 − y2) + c1(y1 − y2)− k2(y2 − y) = m2y2

Em notação matricial o sistema de equações de moviemnto é o seguinte∙m1 00 m2

¸½y1y2

¾+

∙c1 −c1−c1 c1

¸½y1y2

¾+

∙k1 −k1−k1 (k1 + k2)

¸½y1y2

¾=

½0

k2h0 sin (2πft)

¾Formulação da equação diferencial de movimento 11

Figura 9 Sistema de dois graus de liberdade com deslocamentos da base

k1

c

y

x

m

M, IG 2a

s(t)

k2 f1 f3

f2

f4

f5

θ

Mg

f1

f3 f2

Figura 10 Edifício sujeito a deslocamentos na fundação. Forças actuantes nos corpos 1 e 2.

ou, de forma mais compactaMy +Cy +Ky = p(t)

1.2.3.2 Sistema de 2GL composto por edifício e fundação

Deduzir as equações de movimento de um sistema composto por um edifício de massa M fundado em fun-dação de massa m (figura 10), considerando que as rotações do edifício são pequenas. A excitação provém dedeslocamentos horizontais s(t) ao nível da fundação.Trata-se também de um sistema de dois graus de liberdade: translacção do conjunto edifício-fundação e

rotação do edifício. As forças actuantes em cada corpo rígido estão representadas na figura 10As equações de equilibrio dinâmico para o corpo 1, de acordo com a 2a lei de Newton escrevem-se da seguinte

forma: ⎧⎨⎩P

M = IGθPV =MxPH =M(y + aθ)⎧⎪⎨⎪⎩

−k2θ − f1a cos θ + f3a sin θ = IGθf3 −Mg =Mx ' 0f1 =M

³y + aθ

Ó corpo 2 só tem movimento horizontal, pelo que a única equação de equilíbrio se escreve da seguinte forma:

12 Introdução

k1

k2

k3

c1

c2

c3

m1

m2

m3

p1

p2

p3

y1

y2

y3

p1

f1 f’1

f2 f’2

Figura 11 Oscilador linear de três graus de liberdade

XH =My

−f4 − f5 − f1 = my

O cálculo das forças elásticas e de amortecimento é feito de acordo com o deslocamento imposto na base,s(t), e o deslocamento da fundação y(t): ½

f4 = (y − s)cf5 = (y − s)k1

Das equações atrás expostas resulta o sistema de duas equações diferenciais que descreve o movimento dooscilador: ½

My +Maθ +my + cy + k1y = cs+ k1s

May +Ma2θ + IGθ + (k2 −Mga)θ = 0

Usando notação matricial obtemos finalmente:∙(M +m) Ma

Ma (Ma2 + IG)

¸½y

θ

¾+

∙c 00 0

¸½y

θ

¾+

∙k1 00 (k2 −Mga)

¸½yθ

¾=

½cs+ k1s

0

¾1.2.3.3 Sistema de três graus de liberdade

Determinar as equações de movimento do sistema de 3GL da figura 11.Do diagrama de forças indicado na figura 11 podemos escrever a primeira das equações de equilíbrio que se

seguem, obtendo-se as restantes de forma semelhante:⎧⎨⎩ −f1 − f 01 + f2 + f 02 + p1 = m1y1−f2 − f 02 + f3 + f 03 + p2 = m2y2−f3 − f 03 + p3 = m3y3

As forças relacionam-se com as rigidezes e amortecimentos da seguinte forma:½f1 = k1y1f 01 = c1y1

;½

f2 = k2(y2 − y1)f 02 = c2(y2 − y1)

;½

f3 = k3(y3 − y2)f 03 = c3(y3 − y2)

pelo que, substituindo nas equações de equilíbrio dinâmico tem-se:⎧⎨⎩ k1y1 − k2(y2 − y1) + c1y1 − c2(y2 − y1) +m1y1 = p1k2(y2 − y1)− k3(y3 − y2) + c2(y2 − y1)− c3(y3 − y2) +m2y2 = p2k3(y3 − y2) + c3(y3 − y2) +m3y3 = p3

Formulação da equação diferencial de movimento 13

y1

y2

y3

m1

m2

m3

k1, c1

k2, c2

k3, c3

Eixo

de

Ref

erên

cia

yG deslocamentos

mi

fi+1

fi

Figura 12 Pórtico com três graus de liberdade

Este sistema de equações é escrito em forma matricial da seguinte maneira:⎡⎣ m1 0 00 m2 00 0 m3

⎤⎦⎧⎨⎩ y1y2y3

⎫⎬⎭+⎡⎣ (c1 + c2) −c2 0

−c2 (c2 + c3) −c30 −c3 c3

⎤⎦⎧⎨⎩ y1y2y3

⎫⎬⎭++

⎡⎣ (k1 + k2) −k2 0−k2 (k2 + k3) −k30 −k3 k3

⎤⎦⎧⎨⎩ y1y2y3

⎫⎬⎭ =

⎧⎨⎩ p1p2p3

⎫⎬⎭1.2.3.4 Pórtico de Edifício sujeito a acelerações sísmicas yG

Determinar as equações de movimento do sistema de 3GL da figura 12.Do diagrama de forças indicado na figura 12 podemos escrever a seguinte equação de equilíbrio genérica:

−fi + fi+1 = mi (yi + yG)

As forças exteriores envolvidas são dadas por:½fi = ki(yi − yi−1) + ci(yi − yi−1)fi+1 = ki+1(yi+1 − yi) + ci+1(yi+1 − yi)

Para um pórtico de três pisos o sistema de equações escreve-se em forma matricial da seguinte maneira:⎡⎣ m1 0 00 m2 00 0 m3

⎤⎦⎧⎨⎩ y1y2y3

⎫⎬⎭+⎡⎣ (c1 + c2) −c2 0

−c2 (c2 + c3) −c30 −c3 c3

⎤⎦⎧⎨⎩ y1y2y3

⎫⎬⎭++

⎡⎣ (k1 + k2) −k2 0−k2 (k2 + k3) −k30 −k3 k3

⎤⎦⎧⎨⎩ y1y2y3

⎫⎬⎭ =

⎧⎨⎩ −yGm1

−yGm2

−yGm3

⎫⎬⎭ou, em notação mais compacta:

My +Cy +Ky = −yGM1| z acção do sísmo

14 Introdução

Capítulo 2 Oscilador Linear de 1 Grau de LiberdadeO sistema dinâmico elementar é constituido por uma massa e uma mola elástica a que se pode associar aindaum elemento de amortecimento viscoso, e designa-se por oscilador linear de um grau de liberdade – OL1GL.A equação de movimento deste sistema dinâmico foi deduzida no capítulo anterior e é a seguinte:

my + cy + ky = p(t) (2.1)

A solução desta equação diferencial é da seguinte forma:

y(t) = yp(t) + yc(t) (2.2)

em que yp(t) e yc(t) representam respectivamente a solução particular e a solução complementar da equação.A primeira traduz a vibração forçada, dependente de p(t), e a segunda a vibração livre, calculada para p(t) = 0.

2.1 Vibração livre

A solução da equação diferencial homogénea, my + cy + ky = 0, correspondente a vibração livre é do tipo:

y(t) = G1es1t + G2e

s2t (2.3)

excepto no caso de existirem raízes múltiplas em que a solução passa a ser

y(t) =¡G1 + G2t

¢est (2.4)

podendo as constantes G e s tomar valores complexos. A determinação daquelas constantes é feita substituindoa solução geral y(t) = Gest na equação diferencial para obter a seguinte equação:¡

ms2 + cs+ k¢Gest = 0 (2.5)

Dividindo seguidamente por mGest e utilizando a notação

ω2n =km ; ξ = c

2mωn(2.6)

em que ωn é designada por frequência própria, ξ por factor de amortecimento viscoso, obtem-se umaequação algébrica do segundo grau em s

s2 + 2ξωns+ ω2n = 0 (2.7)

a que se convencionou chamar equação característica ou equação de frequências do sistema, e cujasraízes são dadas por:

s = −ξωn ± ωn

qξ2 − 1 (2.8)

Na figura 1 estão representadas,no plano complexo, as soluções possíveis para a eq.(2.8). No caso de ξ = 0as soluções são imaginárias, no caso de ξ > 1 a solução é real e dupla e no caso intermédio as soluções sãocomplexas.

2.1.1 Oscilador com amortecimento nulo

No caso de não existir amortecimento a eq.(2.8) virá:

s = ±ωn√−1 = ±iωn (2.9)

e substituindo este valor na solução geral (2.3) teremos:

y(t) = G1eiωnt + G2e

−iωnt (2.10)

Vibração livre 15

Figura 1 Representação das raízes da equação característica no plano complexo.

Figura 2 Resposta livre não amortecida de um OL1GL.

Tendo em conta a equação de Euler

e±iωnt = cos(ωnt)± isin(ωnt) (2.11)

a eq.(2.10)pode ser escrita na seguinte forma:

y(t) = (G1 + G2) cosωnt+ i(G1 − G2) sinωnt (2.12)

Tendo em conta que o deslocamento y(t) é um valor real podemos escrever esta equação usando constantes reaisA1 e A2,

y(t) = A1 cosωnt+A2 sinωnt (2.13)

ou, escrita em termos de amplitude A e ângulo de fase φ:

y(t) = A cos(ωnt− φ) (2.14)

As constantes A1 e A2 são determinadas pelas condições iniciais da equação de movimento, ou seja,

y(0) ≡ y0 = A1 (deslocamento inicial)y(0) ≡ y0 = A2ωn (velocidade inicial)

A eq.(2.13) virá então:

y(t) = y0 cosωnt+y0ωnsinωnt (2.15)

A determinação dos valores da amplitude e do ângulo de fase é imediata se utilizarmos a representação vectorialno plano complexo (fig3). Assim A é a amplitude do vector resultante dos vectores ortogonais cuja componenteno eixo dos reais é, respectivamente, y0 cosωnt e

y0ωnsinωnt, enquanto que (ωnt − φ) representa o ângulo que

esse mesmo vector resultante faz com o eixo dos reais. Assim, tem-se:(A =

qy20 +

y20ω2n

tanφ = y0ωny0

(2.16)

16 Oscilador Linear de 1GL

Imag

Real

n

yω

0

0yA

tnω

Figura 3 Representação alternativa no plano complexo para a resposta livre não amortecida de um OL1GL

Figura 4 Resposta do OL1GL com amortecimento crítico

Por vezes, é conveniente usar notação mais condensada pelo que se pode apresentar a resposta na formacomplexa,

y(t) = Aei(ωnt−φ) = A [cos (ωnt− φ)) + i sin (ωnt− φ)] (2.17)

identificando-se o sinal de y(t) com a parte real ou com a parte imaginária da eq.(2.17)

2.1.2 Oscilador com amortecimento crítico

Define-se amortecimento crítico ccr = 2mωn, aquele que conduz ao factor de amortecimento unitário ξ = 1,obtendo-se assim uma raíz dupla na eq.(2.7) com valor real dado pela frequência própria do oscilador, s1 = s2 =−ωn.Como já tinha sido indicado nas equações (2.6), a resposta vem dada, neste caso, por:

y(t) = (G1 + G2.t)e−ωnt (2.18)

As constantes são calculadas a partir de condições iniciais de deslocamento e velocidade:½y(0) = G1y(0) = −ωnG1 + G2

⇒½

G1 = y0G2 = y0 + ωny0

(2.19)

Usando estas constantes obtem-se finalmente a resposta no domínio do tempo, do oscilador com amorteci-mento crítico em vibração livre:

y(t) = [y0(1 + ωnt) + y0t] e−ωnt (2.20)

e que se encontra representada na figura4.Note-se que um sistema com amortecimento crítico ou sobre-crítico (ξ > 1) não chega a oscilar em

torno da posição de equilibrio estática. O estudo deste tipo de sistemas não tem interesse prático, pois envolvecoeficientes de amortecimento muito mais elevados do que aqueles que se encontram na prática nas estruturasde Engenharia Civil.

Vibração livre 17

Figura 5 Relação entre ωDωn

e o factor de amortecimento ξ

2.1.3 Oscilador com amortecimento sub-crítico

Se o coeficiente de amortecimento c for inferior ao crítico, c < ccr = 2mωn, a eq.(2.8) pode ser escrita daseguinte forma:

s = −ξ.ωn ± i.ωD (2.21)

em que ωD é definida como frequência própria amortecida para o sistema e é dada por:

ωD = ωn

q1− ξ2 (2.22)

Repare-se que a eq.(2.22) fornece uma relação circular entre o quociente ωDωn

e o factor de amortecimento ξ(ver figura5).Para factores de amortecimento usuais em estruturas de Engenharia Civil, ou seja, ξ < 0.2, tem-se prática-

mente ωD ' ωn, sendo, por isso, muitas vezes usadas indiscriminadamente as frequências próprias amortecidase não amortecidas.A resposta livre do oscilador é calculada, neste caso, pela seguinte equação:

y(t) =¡G1e

iωDt + G2e−iωDt¢ e−ξωnt (2.23)

em que a parte contida dentro dos parêntises é idêntica à eq.(2.10)1. A resposta do oscilador pode, por isso, serescrita recorrendo à eq.(2.13):

y(t) = (A1 cosωDt+A2 sinωDt) e−ξωnt (2.24)

Introduzindo as condições iniciais nesta equação,

y(0) ≡ y0 (deslocamento inicial)y(0) ≡ y0 (velocidade inicial)

⇒½

A1 = y0A2 =

y0+ξωny0ωD

(2.25)

obtem-se finalmentey(t) = Ae−ξωnt cos(ωDt− φ) (2.26)

em que (A =

pA21 +A22 =

qy20 + (

y0+ξωny0ωD

)2

tanφ = y0+ξωny0ωDy0

(2.27)

Note-se que as equações (2.24) e (2.25) são semelhantes às equações (2.13) e (2.14), com a única diferença dofactor dado pela exponencial e−ξωnt que define uma envolvente da resposta do oscilador amortecido em vibraçãolivre (fig.6).

2.1.4 Determinação experimental dos parâmetros dinâmicos

Os parâmetros que interessa identificar são o amorteciemento e a frequência própria. O amortecimento deve-seà perda de energia, durante a oscilação da estrutura, fundamentalmente através de histerese interna, comporta-mento não linear dos materiais, atrito interno ou nas juntas ou apoios, termoelasticidade, etc. O amortecimentoviscoso, embora pouco importante, é uma boa aproximação teórica para o amortecimento global das estruturas.

1 caso em que o amortecimento é nulo


Figura 6 Vibração amortecida do OL1GL

Tabela 2.1 Valores médios do coeficiente de amortecimento em percentagem(%)Materiais/estruturas ξ(%)Aço 0.03 - 0.15Betão 0.15 - 1.0Pontes de aço 0.2 - 1.0Pontes de aço-betão 0.3 - 1.6Pontes de betão armado ou pré-esforçado 0.3 - 1.6Chaminés de aço 0.3 - 0.8Chaminés de betão 0.5 - 1.0Torres de aço 0.3 - 2.9Edifícios de vários andares 0.7 - 2.9Edifícios de um ou dois andares 1.0 - 5.0

Devido à grande variedade de mecanismos de dissipação de energia nas estruturas, principalmente em ed-ifícios onde a presença de elementos não estruturais é significativa, torna-se difícil fornecer valores precisosdo amortecimento viscoso equivalente. Na tabela 2.1 encontram-se alguns valores médios do coeficiente deamortecimento ξ.Um método frequentemente utilizado para a determinação experimental das características dinâmicas dos

sistemas, frequências próprias e factores de amortecimento, baseia-se na sua resposta livre a um deslocamentoou/e velocidade inicial. Da figura 6 e da equação (2.24) pode concluir-se que a equação da curva envolventeda resposta de deslocamentos é e−ξωnt. Admitindo que a frequência própria pode ser determinada de formasuficientemente exacta medindo o período T e calculando ωn =

2πT , o valor do coeficiente de amortecimento

pode ser calculado de forma aproximada calculando o expoente da função exponencial que passa pelos pontosmáximos da resposta medida.

2.1.4.1 Método do decremento logarítmico

É possível simplificar o processo de determinação do coeficiente de amortecimento calculando os valores máximossucessivos da resposta no caso de se introduzir no sistema um deslocamento inicial admitindo velocidade inicialnula. Para o efeito comece-se por calcular os valores de t para os quais se tem valores máximos da resposta eque são dados pelo anulamento da derivada do deslocamento em ordem ao tempo:

dy

dt= 0⇒ d

dt

£Ae−ξωntcos(ωDt− φ)

¤= 0 (2.28)

em que A = y0

r³1 +

ξ2ω2nω2D

´. Daqui se obtém a seguinte equação:

Ae−ξωnt [−ξωn cos(ωDt− φ)− ωD sin(ωDt− φ)] = 0 (2.29)

que admite como raízes os seguintes valores:

t =∞ (solução trivial)

Vibração livre 19

solução não trivial dada por:ξωn cos(ωDt− φ) + ωD sin(ωDt− φ) = 0 (2.30)

Nesta equação podem ser calculados os valores de t que a anulam e a que simultaneamente correspondemvalores y(t) positivos. Estes valores são dados pela seguinte equação:

tα =1

ωD

µ− arctan ξωn

ωD+ φ± 2απ

¶com α = 1, 2, 3, . . . (2.31)

Usando o resultado expresso na segunda das equações (2.27) considerando que apenas existe deslocamentoinicial, ou seja, φ = arctan ξωn

ωD, a eq.(2.31) simplifica-se para dar:

tα =2απ

ωD= α

1

fD(2.32)

Se definirmos um decremento de amplitude δ dado pelo logaritmo da razão entre dois máximos consecutivos:

δ = lnyαyα+1

= lne−ξωntα cos (ωDtα − φ)

e−ξωntα+1 cos(ωDtα+1 − φ)(2.33)

e fazendo a substituição tα = 2απωD

na função cosseno, podemos obter, por simplificação,

δ = ln e−ξωn(tα−tα+1) = ξωn(tα+1 − tα) = ξωn2π

ωD(2.34)

O coeficiente de amortecimento pode assim ser obtido em função dos deslocamentos máximos consecutivosatravés da seguinte expressão:

ξ =ωD2πωn

ln

µyαyα+1

¶(2.35)

Repare-se que, no caso de termos pequenos amortecimentos, o valor ωD ' ωn, o que, introduzido na eq.(2.35),permite obter:

ξ =1

2πln

µyαyα+1

¶=

δ

2π(2.36)

A determinação da frequência própria é imediata, se tivermos em conta que a distância entre dois picosconsecutivos é definida como o período próprio do sistema TD = 2π/ωD o que fornece imediatamente a frequêciaprópria amortecida:

fD =ωD2π

=1

TD[Hz] (2.37)

2.1.4.2 Exemplo

1. Deduzir uma expressão para o número de ciclos necessário à redução de 50% de amplitude de oscilaçãolivre de um OL1GL.

2. Um pórtico constituido por dois pilares ligados na parte superior por um elemento rígido com a massade 5000Kg e encastrado na base foi testado da seguinte maneira: Utilizando uma estrutura de apoiofoi introduzido um deslocamento de 1cm na extremidade superior do pórtico e foi registada a históriade deslocamentos quando se cortou a ligação. Ao fim de 5 ciclos completos o tempo decorrido foi det∆ = 6.0seg e o deslocamento medido foi de y(t∆) = 0.44cm

Calcule os seguintes elementos relativos à estrutura:

a) a frequência própria amortecida do sistema.

b) o factor de amortecimento ξ.

c) módulo de elasticidade do material, sabendo que a altura do pórtico é de 8 metros e a secção dospilares é 0.20× 0.20m2.

d) a lei do movimento.

Resolução:


Figura 7 Correcção do factor de amortecimento [Clough]

1. Considere-se a relação entre a amplitude da curva envolvente em dois pontos de tempo p e r tal que:yr =

yp2 . A curva é dada pela eq.(2.26), em que as condições iniciais nas equações(2.27) são definidas por

uma deformação imposta y0 e velocidade inicial nula. Assim sendo, a relação entre as ordenadas yp e yrda envolvente da resposta é calculada da seguinte forma:

ypyr=

e−ξωntp

e−ξωntr= eξωn(tr−tp) = 2 (2.38)

ou seja,

ξ =ln 2

ωn(tr − tp)(2.39)

em que a frequência não amortecida ωn pode ser considerada aproximadamente igual à frequência amorte-cida ωD = 2πfD. Desta forma obtem-se, para factor de amortecimento,

ξ =ln 2

2πfD(tr − tp)=0.11

∆(2.40)

em que

∆ =tr − tpTD

(2.41)

2. a) fD =1TD= 5

6 = 0.833 Hz

b) No caso de valores baixos de amortecimento tem-se ωD ' ωn, o que, introduzido na eq.(2.35), permiteobter:

yαyα+1

= e2πξaprox (2.42)

Esta expressão que pode ser expandida em série da qual iremos reter apenas os dois primeiros termos:

yαyα+1

= 1 + 2πξaprox +(2πξaprox)

2

2!+ . . . (2.43)

por forma a obter-se finalmente uma expressão aproximada que permite, de forma prática, estimaro factor de amortecimento:

ξaprox =yα − yα+12πyα+1

(2.44)

Na figura 7 indica-se a relção ξξaprox

em função de ξaprox. O erro cometido pode ser significativo paravalores de amortecimento alto. No entanto, deve ser tido em atenção que as variações no amortec-imento medido em estruturas reais é, em muitos casos, superior ao erro cometido por utilização daequação (2.44).No caso de sistemas com fraco amortecimento o erro de leitura dos valores yα e yα+1pode ser importante, sendo, por isso conveniente fazer a leitura, não de máximos sucessivos, mas demáximos mais afastados, realizando, se possível, várias leituras. Obtem-se assim a seguinte expressãopara o cálculo do factor de amortecimento no caso dos valores máximos yα e yα+n corresponderemrespectivamente a tα e tα+n

ξaprox =yα − yα+n2nπyα+n

=1.0− 0.44

2× 5π × 0.44 = 0.0405 (2.45)

Vibração livre 21

Usando a correcção dada pela figura 7, ou seja, ξξaprox

= 0.91, tem-se cerca de 3.7% para valor doamortecimento.

c) Partindo da definição de frequência própria ωn =q

km = ωD√

1−ξ2tem-se:

k =mω2D(1− ξ2)

= 5000(2π × 0.833)21− 0.04052 = 137193N/m

A rigidez de translação no topo do pórtico é dada por k = 212EIL3 , donde resulta:

k = 137193 =24× 0.2412× 83 E ⇒ E =22× 109N/m2 = 22GPa

d) A equação do movimento é dada pela eq.(2.26) com as seguintes constantes:

A =

sy20 +

µy0 + ξωny0

ωD

¶2'p1 + 0.04052 ' 1.0

φ = arctany0 + ξωny0

ωDy0' 0.0405rad ' 0

ωD ' ωn ' 2πfD = 2π × 0.833 = 5.23rad

pelo que se obtém:y(t) = e−0.212t cos(5.23t)[cm]

53.752.51.250

1

0.5

0

-0.5

-1

y(t)y(t)

Vibração livre do oscilador amortecido e respectiva envolvente

2.2 Resposta a excitação harmónica simples

Tal como já foi indicado no início do capítulo a solução da equação diferencial de movimento é composta pelasoma da solução geral, correspondente à vibração livre, e da solução particular, correspondente à vibraçãoforçada pela acção exterior p(t). É esta solução que iremos estudar seguidamente para uma acção harmónicasimples.

2.2.1 Oscilador sem amortecimento

A equação diferencial escreve-se, neste caso, da seguinte forma:

my + ky = p0 cosΩt (2.46)


cuja solução particular é da forma:

yp(t) = Ap cosΩt (2.47)

A amplitude do movimento Ap é calculada substituindo (2.47) em (2.46) obtendo-se:

Ap =p0

k −mΩ2(2.48)

Este resultado só é possível desde que o denominador se não anule, ou seja, k −mΩ2 6= 0. Note-se que asituação de se ter um denominador nulo corresponde à ressonância no sistema,

k −mΩ2 = 0 ⇒ Ω2 = ω2n

o que, teóricamente, em sistemas não amortecidos leva a deslocamentos infinitos, ou seja, Ap =∞.Usando as seguintes notações:

A0 =p0k

β = Ωωn

D =ApA0= 1

1−β2 para: β 6= 1(2.49)

em que A0 corresponde ao deslocamento estático correspondente à acção p0, β é a relação de frequências e D éo factor de amplificação dinâmica das amplitudes de vibração.A eq.(2.47) pode então ser reescrita da seguinte forma:

yp(t) = DA0 cosΩt (2.50)

A solução da equação diferencial vem dada pela soma das soluções (2.13) e (2.50):

y(t) = yp + yc = DA0 cosΩt+ (A1 cosωnt+A2 sinωnt) (2.51)

A determinação das constantes A1 e A2 é feita introduzindo as condições iniciais do movimento.

2.2.1.1 Exemplo – Acção directa

Um OL1GL é sujeito a uma acção de p(t) = 45 cos(10t) [N ]. Considerando que a massa é de m = 17.5Kg, aconstante elástica da mola é de k = 7KN/m, o amortecimento é nulo e que o oscilador se encontra em repousopara t = 0 determinar a equação de movimento do sistema.Resolução:A equação de movimento é dada pela eq.(2.51) para a qual se devem calcular as constantes de integração A1

e A2 considerando as condições iniciais do movimento dadas por y(0) = 0 e y(0) = 0. Daí resultam os seguintesvalores: ⎧⎨⎩ A1 = −DA0

A2 = 0

e a seguinte equação:

y(t) = DA0 (cosΩt− cosωnt) =1

1− β245

7000(cos 10t− cosωnt)

Calculando a frequência própria e a relação entre frequências,

ωn =

r7000

17.5= 20rad/s→ β =

Ω

ωn=10

20= 0.5

obtem-se o valor da equação do movimento,

y(t) = 8.6× 10−3 [cos(10t)− cos(20t)]

Excitação harmónica simples 23

a qual se encontra representada na figura seguinte, conjuntamente com cada uma das duas componentes har-mónicas que a constituem.

10.750.50.250

0.005

0

-0.005

-0.01

-0.015

x

y

x

y

Resposta de deslocamento (a cheio) e das respectivas componenetes harmónicas (a tracejado) .

2.2.1.2 Exemplo – Acção indirecta por movimento do apoio

Considerando o oscilador do exemplo 2.2.1.1 sujeito a deslocamentos do ponto de apoio dados por yG(t) =y0 cosΩt sendo y0 = 0.01metros e Ω = 10rad/s, pretende-se determinar a equação de movimento do sistema,bem como a eauqção dos deslocamentos totais do oscilador.Resolução:A equação diferencial escreve-se, neste caso, da seguinte forma:

my + ky = ky0 cosΩt (2.52)

em que y(t) é o deslocamento total da massa. A solução particular é da forma:

yp(t) = Ap cosΩt (2.53)

A amplitude do movimento Ap é calculada substituindo (2.47) em (2.46) obtendo-se:

Ap =ky0

k −mΩ2= Dy0 (2.54)

A solução da equação diferencial vem dada pela soma das soluções particular e complementar:

y(t) = yp + yc = Dy0 cosΩt+A1 cosωnt+A2 sinωnt

Considerando as condições iniciais dadas por y(0) = 0 e y(0) = 0 obtem-se, para valores das constantes deintegração A1 e A2, os seguintes valores: ½

A1 = −Dy0A2 = 0

pelo que a equação do movimento é dada por:

y(t) = Dy0 (cosΩt− cosωnt) = 1. 33× 10−2 (cos 10t− cos 20t)a qual se encontra representada na figura seguinte, conjuntamente com cada uma das duas componentes har-mónicas que a constituem.

10.750.50.250

0.01

0

-0.01

-0.02

x

y

x

y

Resposta de deslocamento (a cheio) e das respectivas componenetes harmónicas (a tracejado) .


Imag

Real

0P

pkA

pAcΩ

pAm 2Ω

tΩ

α

Figura 8 Diagrama de Argand (vectores circulantes) para as componentes das forças presentes na equação demovimento

2.2.2 Oscilador com amortecimento viscoso

A equação do movimento é dada por:

my + cy + ky = p0 cosΩt (2.55)

cuja solução complementar é dada por (2.26) e podendo a solução particular ser escrita na seguinte forma:

yp(t) = Ap cos(Ωt− α) (2.56)

As constantes Ap e α são determinadas substituindo (2.56) em (2.55). Assim, obtem-se a seguinte equação:

−m.Ω2.Ap cos(Ωt− α)| z componente realda força de inércia

−c.Ω.Ap sin(Ωt− α)| z componente real

da força de amortecimento

+k.Ap cos(Ωt− α)| z componente realda força elástica

= P0 cos(Ωt)| z componente real

do vector de excitação

(2.57)

em que as diversas parcelas podem ser identificadas como as projecções num mesmo eixo dos vectores corre-spondentes às forças envolvidas no equilíbrio. Utilizando o plano complexo definido pelo eixo dos reais e peloeixo dos imaginários (figura 8), para a representação da eq.(2.57) pode identificar-se o eixo de projecção com oeixo dos reais, já que o resultado terá que ser um valor real. Assim, fácilmente se chega às seguintes relações:

⎧⎨⎩ p20 =¡kAp −mΩ2Ap

¢2+ (cΩAp)

2

tanα = cΩk−mΩ2

=⇒

⎧⎪⎨⎪⎩Ap =

qp20

(k−mΩ2)2+(cΩ)2

tanα = cΩk−mΩ2

(2.58)

Utilizando a relação entre a frequência de excitação e a frequência própria β = Ωωne o factor de amortecimento

ξ = c2mωn

, a primeira das equações (2.58) pode ser escrita na seguinte forma:

Ap = Dp0k

(2.59)

em que D =£(1− β2)2 + (2ξβ)2

¤−1/2é o factor de amplificação dinâmica. O ângulo de fase vem dado

por tanα = 2ξβ1−β2 .

Tanto o factor de amplificação dinâmica como o ângulo de fase podem ser representados em função darelação de frequência β para diversos valores do factor de amortecimento ξ (ver figura). Para sistemas comfraco amortecimento o factor de amplificação toma valores elevados nas proximidades de β = 1 traduzindoassim a situação crítica de ressonância no sistema. A variação do ângulo de fase é, para o caso de fracoamortecimento bastante brusca nas proximidades da frequência própria do sistema.


7550250

5

0

-5

y(t)y(t)

ξ = 0.05 ; Ω = 1; β = 1

1.51.2510.750.50.250

20.09

7.389

2.718

1

beta

D

beta

D

Amplificação dinâmica: ξ = [0.01 ; 0.05; 0.1; 0.2]

Note-se que tanto o factor de amplificação como o ângulo de fase podem ser usados para detectar experi-mentalmente a frequência própria do sistema, desde que seja possível variar a frequência Ω da excitação.A solução da eq.(2.55) é então dada pela soma de (2.26) com (2.56),

y(t) = Ace−ξωnt cos(ωDt− φ) +D

p0kcos(Ωt− α) (2.60)

ou, o que é o mesmo,

y(t) = Ace−ξωnt cos(ωDt− φ) +D2 p0

k

£¡1− β2

¢cosΩt+ 2ξβ sinΩt

¤(2.61)

Nestas equações as constantes Ac e φ são calculadas de acordo com as condições iniciais do movimento.Note-se que a primeira parcela, correspondente ao efeito dessas condições inicias, tende para zero com valorescrescentes de tempo.A sua importância depende do tempo decorrido e do amortecimento do sistema, ficandoapenas a segunda parcela com valores significativos depois de decorridos alguns ciclos. Esta traduz a respostaestacionária do sistema2.

2.2.2.1 Exemplo

Considere-se o OL1GL do exemplo em 2.2.1.1 admitindo um factor de amortecimento ξ = 0.02. A equação demovimento é dada pela eq.(2.61):

y(t) = Ace−ξωnt cos(ωDt− φ) +

1

(1− β2)2 + (2ξβ)245

7000cos (10t− α)

em que:

ωn =

r7000

17.5= 20rad/s ; β =

Ω

ωn= 0.5 ; α = tan−1

µ2ξβ

1− β2

¶= 0.02666 ; ωD = ωn

2

q¡1− ξ2

¢= 19.996

obtendo-se a equação:

y(t) = Ace−0.4t cos (−19. 996t+ φ) + 0.011 42 cos (10t− 0.026 66)

Considerando as condições iniciais dadas por y(0) = 0 e y(0) = 0 obtem-se, para valores das constantes deintegração φ e Ac, os seguintes valores:⎧⎪⎨⎪⎩

φ = tan−1³7. 610 6×10−3

0.22827

´= 3.3328× 10−2

Ac =−1. 141 6×10−2

cosφ = −1.1422× 10−2

conduzindo à seguinte equação do movimento,

2Nas condições de amortecimento usuais das estruturas de betão armado pode considerar-se que depois de cinco ciclos apenasa parte estacionária da resposta é significativa.


y(t) = −1.142 2× 10−2e−0.4t cos¡19.996t− 3.3328× 10−2

¢+ 0.01142 cos (10t− 0.02666)

a qual se encontra representada na figura seguinte, conjuntamente com cada uma das duas componentes har-mónicas que a constituem.

53.752.51.250

0.01

0.005

0

-0.005

-0.01

-0.015

-0.02

x

y

x

y

Resposta de deslocamento (a cheio) e das respectivas componentes harmónicas (a tracejado).

2.2.3 Representação complexa - Função de Transferência

A função de excitação foi considerada no ponto anterior como dada por um cosseno. Adoptando a função senopara excitação apenas teríamos que substituir em (2.56), o cosseno pelo seno. Podemos, por isso, utilizar umanotação mais geral para a equação diferencial de movimento, se considerarmos que a excitação vem dada poruma exponencial complexa,

p(t) = p0(cosΩt+ i sinΩt) = p0eiΩt (2.62)

podendo assim tomar apenas a parte real ou a parte imaginária da resposta estacionária dada por:

y(t) = yRe + iyIm = Ap cos (Ωt− α) + iAp sin (Ωt− α) = ApeiΩt (2.63)

com o consequente valor para a constante complexa dado por Ap = Ape−iα. Tendo em conta a equação (2.59)

esta constante toma a forma

Ap = p0 |H(iΩ)| e−iα = p0H(iΩ) (2.64)

A função H(iΩ) é designada por Função de Transferência3 e pode ser posta na seguinte forma,

H(iΩ) =1

−mΩ2 + c(iΩ) + k=

1/k

(1− β2) + i(2ξβ)(2.65)

tendo em conta que o ângulo de fase continua a ser dado por:

α = arctan2ξβ

1− β2(2.66)

3Esta função, tal como se encontra aqui definida, relaciona forças e deslocamentos. Na literatura são definidas funções detransferência que relacionam diversos tipos de quantidades, tais como força-aceleração, deslocamento da base-aceleração, etc. Paraalém da dada no texto a relação mais importante relaciona deslocamentos, velocidades e acelerações na base com os respectivos

valores totais da massa, e designa-se por transmissibilidade H(iΩ) = 1−mΩ2+c(iΩ)+k

T (ξ, β) = (2ξβ)2+1

(1−β2)2+(2ξβ)2


21.510.50

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

Amplitude (a preto) e Ângulo de Fase (a tracejado) da Função de Transferência (ξ = 0.05)

21.510.50

10

7.5

5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

Partes Real (a preto) e Imaginária (a vermelho) da Função de Transferência (ξ = 0.05)

A demonstração da equação (2.65) pode ser feita usando-a para obter a resposta a uma excitação harmónicadada por um cosseno (eq.2.56). Substituindo (2.65) em (2.64) e o resultado em (2.63) podemos pôr a soluçãoda equação de movimento na seguinte forma:

y(t) =p0k

(1− β2)− i(2ξβ)

(1− β2)2 + (2ξβ)2[cos(Ωt) + i sin(Ωt)] (2.67)

Considerando apenas a parte real obtem-se a seguinte equação:

yRe(t) =p0k

∙1− β2

(1− β2)2 + (2ξβ)2cos(Ωt) +

2ξβ

(1− β2)2 + (2ξβ)2sin(Ωt)

¸(2.68)

que pode ser escrita na forma que aparece na equação (2.60),

yRe(t) =p0k

"1¡

1− β2¢2+ (2ξβ)

2

# 12

cos(Ωt− α) (2.69)

ou na forma em que aparece na equação (2.61),

yRe(t) =p0k

1

(1− β2)2 + (2ξβ)2

£¡1− β2

¢cos(Ωt) + 2ξβ sin(Ωt)

¤(2.70)

Pode ainda concluir-se, que o factor de amplificação dinâmica atrás definido se encontra relacionado coma função de transferência aqui exposta pela seguinte relação: D = k |H(iΩ)| =

q1

(1−β2)2+(2ξβ)2 . Na figura

(??) encontram-se representados os valores de amplitude k |H(iΩ)| e de fase α para um oscilador com 5% de


k c

m

y

3sin01.0)(

xxyG

π=

x yG(x)

Figura 9

amortecimento. Verifica-se que o valor máximo da amplitude é de aproximadamente 12ξ = 10, para β = 1, valor

este cuja precisão varia com o factor de amortecimento.A função de transferência, tal como se encontra definida acima (equação 2.65), relaciona forças e desloca-

mentos. Podem ser definidas funções de transferência que relacionam diversos tipos de quantidades, tais comoforça-aceleração, deslocamento da base-aceleração, etc. Para além da dada acima, a função de transferênciamais importante relaciona deslocamentos, velocidades e acelerações na base com os respectivos valores totaisda massa, e designa-se por transmissibilidade. No quadro seguinte apresentam-se as funções de transferênciacomplexas (H(iΩ) ou H(iβ)) bem como o respectivo valor em módulo (|H(iΩ)|2) para as transformações deforça exterior aplicada em resposta total (deslocamento, velocidade ou aceleração) do osclilador.

Transformação H(iΩ) H(iβ) |H(iΩ)|2

p→ y 1−mΩ2+c(iΩ)+k

1k

11−β2+i2ξβ

1k2

1(1−β2)2+(2ξβ)2

p→ y iΩ−mΩ2+c(iΩ)+k

ωnk

iβ1−β2+i2ξβ

ω2nk2

β2

(1−β2)2+(2ξβ)2

p→ y −Ω2−mΩ2+c(iΩ)+k

ω2nk

−β21−β2+i2ξβ

ω4nk2

β4

(1−β2)2+(2ξβ)2

As transformações de movimentos na base (yG, yG, yG), em movimentos da massa, totais (y, y, y) e relativosà base (yR, yR, yR) estão transcritas nos quadros que se seguem, em termos do respectivo valor em módulo(|H(iΩ)|2).

Valores de Resposta Totaly y y

yG1+(2ξβ)2

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω2nβ2+(2ξβ2)2

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω4nβ4+(2ξβ3)2

(1−β2)2+(2ξβ)2

yG ω−2nβ−2+(2ξ)2

(1−β2)2+(2ξβ)21+(2ξβ)2

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω2nβ2+(2ξβ2)

2

(1−β2)2+(2ξβ)2

yG ω−4nβ−4+(2ξβ−2)

2

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω−2nβ−2+(2ξ)2

(1−β2)2+(2ξβ)21+(2ξβ)2

(1−β2)2+(2ξβ)2

Valores de Resposta Relativos à baseyR yR yR

yGβ4

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω2nβ6

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω4nβ8

(1−β2)2+(2ξβ)2

yG ω−2nβ2

(1−β2)2+(2ξβ)2β4

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω2nβ6

(1−β2)2+(2ξβ)2

yG ω−4n1

(1−β2)2+(2ξβ)2 ω−2nβ2

(1−β2)2+(2ξβ)2β4

(1−β2)2+(2ξβ)2

2.2.3.1 Exemplo - OL1GL com deslocamentos na base

Considere-se um veículo modelado por um OL1GL (m = 1ton; k = 400KN/m; c = 20KNs/m) que se desloca avelocidade constante num piso inicialmente plano e, seguidamente, ondulado (yG(x) = 0.01 sin πx

3 ). Calcular ovalor máximo de deslocamento vertical do veículo em função da velocidade, bem como a resposta do osciladorquando transita da superfície plana para a superfície ondulada à velocidade de 60km/h. Para que valores develocidade o deslocamento vertical estacionário total máximo do veículo é inferior a 5× 10−3m?Resolução:


As características do Oscilador são as seguintes:ωn =

√400 = 20rad/seg =⇒ f = 3.18Hz

ξ = 0.5Ao se deslocar a velocidade constante o percurso varia linearmente com o tempo pelo que se tem: yG(t) =

h sinΩt = 0.01 sin π3 vt

A equação diferencial do movimento é dada por:

my + c(y − yG) + k(y − yG) = 0

ou seja,my + cy + ky = cyG + kyG

ou ainda,my + cy + ky = hcΩ cos (Ωt) + hk sin (Ωt)

A accção dinâmica que integra a equação anterior pode ser representada num diagrama de Argand semelhanteao da figura 3, do qual se pode facilmente concluir a seguinte representação alternativa da referida acçãodinâmica, tendo em conta a projecção das forças no eixo real do referido diagrama:

my + cy + ky =

q(hcΩ)2 + (hk)2 cos (Ωt− θ)

A resposta estacionária do oscilador vem dada directamente pela equação 2.69 que, para o presente exemplo,se escreve da seguinte forma:

y(t) =h

k

vuut (cΩ)2+ (k)

2¡1− β2

¢2+ (2ξβ)

2cos(Ωt− θ − α) = h

vuut (2ξβ)2+ 1¡

1− β2¢2+ (2ξβ)

2cos(Ωt− θ − α)

em que arctan θ = hcΩhk = 1

2ξβ e arctanα =2ξβ1−β2 .

Para valor máximo de deslocamento em fase estacioária do movimento tem-se, então,

ymax(v) = h

vuut (2ξβ)2+ 1¡

1− β2¢2+ (2ξβ)

2= 0.01

s2.742× 10−3v2 + 1

(1− 2.742× 10−3v2)2 + 2.742× 10−3v2

equação esta que se encontra representada no gráfico da figura.

5037.52512.50

0.0125

0.01

0.0075

0.005

V (m/s)

Ymax

V (m/s)

Ymax

Deslocamento máximo em função da velocidade

A parte da equação correspondente ao factor de amplificação,q

(2ξβ)2+1

(1−β2)2+(2ξβ)2 , também se designa por

Factor de Transmissibilidade, T (ξ, β) e representa a relação entre a amplitude do deslocamento na basee a amplitude do deslocamento vertical total da massa. Note-se, ainda, que esta relação é a mesma se em


vez de deslocamentos considerarmos velocidades ou acelerações totais, já que as amplitudes destas se obtêmmultiplicando as amplitudes dos deslocamentos por, respectivamente Ω ou Ω2.O cálculo da resposta do oscilador a partir do momento (t = 0) em que entra na zona ondulada é feito a

partir da equação (2.60), tendo em conta a não existência anterior de movimentos verticais do oscilador. Tem-se,então, para resposta do oscilador,

y(t) = Ace−ξωnt cos(ωDt− φ) + ymax|v=16.7 cos(Ωt−

1

2ξβ− 2ξβ

1− β2)

cujas constantes Ac e φ são calculadas a partir das condições iniciais de movimento,(y(0) ≡ Ac cos(φ) + ymax|v=16.7 cos(

1−β2+4ξ2β22ξβ(1−β2) ) = 0 (deslocamento inicial)

y(0) ≡ −Ac [ξωn cosφ− ωD sinφ] +Ω ymax|v=16.7 sin1−β2+4ξ2β22ξβ(1−β2) = 0 (velocidade inicial)

obtendo-seAc = 9.4× 10−3φ = 1.4253

A equação de movimento incluindo a parte transiente e estacionária é, então a seguinte:

y(t) = 0.009e−10t cos (17.321t− 1.425) + 1.467× 10−2 cos (17.453t− 4.805)

10.750.50.250

0.01

0.005

0

-0.005

-0.01

x

y

x

y

Respostas transiente (verde), estacionária (azul) e total (preto)

Para limitar os deslocamentos estacionários verticais a 5 mm tem-se a seguinte equação

ymax(v) = 0.01

s2.742× 10−3v2 + 1

(1− 2.742× 10−3v2)2 + 2.742× 10−3v2≤ 0.005

ou seja, v ≥ 45m/s (162km/h).

2.2.3.2 Exemplo - Pórtico com acelerações na base

Considere-se um pórtico simples, em que a massa se encontra concentrada ao nível da travessa com rigidez muitosuperior aos montantes, sujeito a acelerações nas fundações dadas por yG(t) = y0 sin(Ωt), em que y0 = 250cm/s2.Este sistema estrutural pode ser modelado por um OL1GL (m = 1ton; k = 400KN/m; c = 2KNs/m). Calcularo valor máximo de deslocamento horizontal da travessa do pórtico. Qual seria esse valor para um amortecimentoc = 10KNs/mResolução:As características do Oscilador são : ωn = 20rad/s e ξ = 0.05(0.25). A equação diferencial do movimento é

dada por:m (y + yG) + cy + ky = 0

ou seja,my + cy + ky = −myG


m

k, c

y

Eixo

de

Ref

erên

cia

yG

ÿG

t

Figura 10

em que a variável y representa os deslocamentos relativos e yG(t) = y0 sin(Ωt) as acelerações na base.A resposta estacionária do oscilador vem dada directamente pela equação 2.69 que, para o presente exemplo,

se escreve da seguinte forma:

y(t) =−my0k

s1¡

1− β2¢2+ (2ξβ)2

sin(Ωt− α) = − y0ω2n

s1¡

1− β2¢2+ (2ξβ)2

sin(Ωt− α)

em que arctan θ = ω2n2ξωnΩ

= 12ξβ e arctanα =

2ξβ1−β2 . Tendo em conta os valores numéricos da aceleração na base

e da frequência própria do oscilador tem-se, para deslocamento máximo em função da relação de frequências βe do amortecimento ξ a seguinte equação:

ymax(β, ξ) = 6.25× 10−4s

1¡1− β2

¢2+ (2ξβ)2

cuja representação gráfica para os dois valores de amortecimento ξ = 0.05 e ξ = 0.25 é feita na figura seguinte.

1.2510.750.50.2500.006738

0.004087

0.002479

0.001503

0.0009119

0.0005531

beta

Ymax

beta

Ymax

Deslocamento máximo da travessa do pórtico para ξ = 0.05 e ξ = 0.25.

Os valores máximos de deslocamento são dados por½ymax(β)|ξ=0.05 = 6.3× 10−3m para β = 0.998

ymax(β)|ξ=0.25 = 1.3× 10−3m para β = 0.935


Atente-se a que os valores máximos não se atingem para β = 1. Neste exemplo ter-se-ia, para valoresmáximos calculados com base em β = 1 os seguintes valores e respectivo erro:½

ymax(β = 1)|ξ=0.05 = 12ξ6.25× 10−4 = 6.25× 10−3m erro de 0.8%

ymax(β = 1)|ξ=0.25 = 12ξ6.25× 10−4 = 1.25× 10−3m erro de 0.4%

2.2.4 Identificação das características dinâmicas do oscilador

O uso da vibração livre dos sistemas vibratórios para a identificação das características dinâmicas – frequêncianatural e amortecimento – foi já abordada aquando do estudo da vibração livre. É também possivel utilizar aresposta a uma excitação harmónica para proceder a essa identificação. Um dos métodos mais frequentementeusados consiste na excitação da estrutura através de uma máquina rotativa excêntrica, a qual é capaz deproduzir uma excitação harmónica em várias frequências, sendo registadas as amplitudes da excitação e daresposta estacionária.Como se pode deduzir das eq.(2.63) e (2.64) a razão entre a amplitude da excitação e da resposta é dada

pela função de frequência H(iΩ). Da análise da representação gráfica da parte imaginária e parte real, ouem alternativa, da amplitude e da fase é possível estimar o valor da frequência própria e do amortecimentoviscoso (figuras ?? e ??).Para o cálculo do factor de amortecimento a partir da função de transferência pode ser usado o método da

meia-potência. Este método baseia-se no facto de a largura do pico no diagrama das amplitudes |H(iΩ)| sepoder relacionar directamente com o factor de amortecimento ξ. Para o efeito calcula-se o factor de amorteci-mento usando a largura do pico espectral nos pontos correspondentes ao valor máximo da resposta dividido por√2, ou seja, o valor dado por:

max[y(Ω)]√2

' p0|H(iΩ)|β=1√2

=1√2

p0k

1

2ξ(2.71)

Aos pontos do espectro de resposta cujo valor é dado por esta expressão correspondem dois valores de β, β1 eβ2, cujos valores são calculados resolvendo a seguinte equação:

1√2

p0k

1

2ξ=

p0k

∙1

(1− β2)2 + (2ξβ)2

¸ 12

(2.72)

Elevando ao quadrado ambos os membros e desprezando os termos em ξ2 obtêm-se os quadrados das raízesdados por: ½

β21 = 1− 2ξβ22 = 1 + 2ξ

(2.73)

Tendo em conta a expansão em série binomial dada por:

βi = (1± 2ξ)12 = 1± 1

2(2ξ)± . . . (2.74)

e considerando apenas os dois primeiros termos, fácilmente se conclui que:

β2 − β1 ' (1 + ξ)− (1− ξ) = 2ξ (2.75)

o que nos permite calcular o factor de amortecimento viscoso pela expressão

ξ ' β2 − β12

(2.76)

Esta é uma expressão simples para o cálculo do amortecimento mas que envolve a determinação, com elevadograu de precisão, da curva de resposta em frequência na zona de ressonância, o que se revela normalmentebastante moroso. Este procedimento é ilustrado na figura seguinte.


2

4

6

8

10

D

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2maxy

maxy

1β 2β

Figura 11

Figura 12 Configuração típica de Acelerómetros frequentemente usados.

m

k c y(t)

yG(t)

Figura 13 Modelo de 1GL para o acelerómetro.


2.2.5 Aparelhos de medida - acelerómetros e sismógrafos

Os sensores usados para medir vibrações baseiam-se no OL1GL. A medição efectua-se através da conversãoem sinal eléctrico da vibração de uma massa relativamente ao invólucro do sensor. Essa conversão é feita, nossistemas recentes, por um cristal piezoeléctrico que funciona como uma mola elástica e emite um sinal eléctricoproporcional à deformação sofrida (ver figura )A equação diferencial que rege a vibração relativa da massa,

£..y(t);

.y(t); y(t)

¤, quando, ao invólucro do sensor

solidário com a estrutura a medir, é imposta uma aceleração harmónica dada por..yG(t) = y0 sin(Ωt) escreve-se

da seguinte forma:my + cy + ky = −myG

em que as características do sensor [m, c, k] são estabelecidas pelo fabricante. A resposta em frequência dosensor, ou seja, o valor máximo relativo de deslocamento da massa a vibrações harmónicas de frequência Ω doinvólucro, vem dado por

ymax = m |H(iΩ)| y0 =k

ω2n|H(iΩ)| y0 =

D

ω2ny0

Conclui-se, assim, que, a menos de uma constante própria do sensor, os deslocamentos, e por conseguinte osinal eléctrico do sensor, fornecem directamente a aceleração do ponto da estrutura em que este é colocado. Dafigura seguinte, que representa a amplificação dinâmica de um acelerómetro para vários amortecimentos, podeconcluir-se que, se a frequência própria do sensor for suficientemente alta a sua resposta é linear, ou seja, aamplificação é unitária. Nessa gama de frequências, a aceleração medida é dada por yG(t) = ω2ny(t), sendo y(t)o sinal medido pelo cristal piezoeléctrico.

10.36790.13530.049790.01832

1

0.8825

0.7788

0.6873

0.6065

0.5353

x

y

Teóricamente seria possível medir acelerações até frequências muito próximas de zero. Na prática issodepende da sensibilidade do acelerómetro e da cadeia de medição, dado que o sinal emitido pelo acelerómetrotem de ser amplificado. Sinais muito fracos são, no entanto, sensíveis ao ruído eléctrico inerente aos aparelhosde medida, o que dificulta a sua posterior análise. A principal vantagem dos medidores de acelerações é asua pequena massa e dimensões, o que os torna muito versáteis para utilização tanto em pequenos modelosestruturais como em grandes protótipos.Os sismómetros ou sismógrafos são aparelhos de medida semelhantes aos acelerómetros, mas em que o

objectivo é medir deslocamentos em vez de acelerações. Se tivermos em consideração o deslocamento yG(t) =y0 sin(Ωt) e, por conseguinte a segunda derivada

..yG(t) = Ω

2y0 sin(Ωt), podemos concluir que a amplitude deaceleração vem dada por

..y0 = Ω

2y0. Substituindo na equação anterior obtem-se:

ymax =k

ω2n|H(iΩ)|Ω2y0 =

Ω2

ω2nDy0 = y0

vuut β4¡1− β2

¢2+ (2ξβ)2

A relação ymax/y0 encontra-se representada na figura seguinte, podendo concluir-se que toma valores pratica-mente constantes e iguais à unidade para relações de frequência β = Ω

ωnaltas. Pode pois concluir-se que os

acelerómetros com frequência própria inferior a cerca de 110 da frequência do sinal a medir funcionam como

sismómetros. este tipo de transdutores apresenta massa bastante elevada, o que os impede de serem usados em


situações em que seja difícil de os ligar à estrutura ou em que a sua massa possa influenciar os resultados, comoé o caso de pequenas estruturas ou modelos estruturais.

33.1220.0912.187.3894.4822.7181.6491

1

0.8825

0.7788

0.6873

0.6065

0.5353

Beta

Relação ymax/y0 de um acelerómetro para diferentes amortecimentos (ξ = 0.6; ξ = 0.67; ξ = 0.7; ξ = 1.0)

2.3 Resposta do oscilador a um impulso

2.3.1 Resposta a impulsos de duração infinitesimal

A resposta de um OL1GL sujeito a uma excitação de impulso de duração td, cuja intensidade é dada porI =

R td0

p(t)dt, é regido pela seguinte equação diferencial de movimento

my + cy + ky ==

½p(t) para 0 ≤ t ≤ td0 para t > td

(2.77)

No caso da duração do impulso tender para zero admitindo que o impulso mantem um valor finito, I =limtd→0

R td0

p(t)dt, a função p(t) pode ser relacionada com a função de Dirac δ(t), escrevendo-se p(t) = Iδ(t).

A solução da equação diferencial de movimento,

my + cy + ky = Iδ(t) (2.78)

continua a ser dada, tal como no caso da excitação harmónica, pela soma das soluções complementar e particular:

y(t) = Bce−ξωnt cos(ωDt− φ) + yp(t) (2.79)

em que a primeira parte, correspondente à vibração livre, tem a mesma forma da eq.(2.60).Supondo que o sistema está em repouso imediatamente antes da aplicação do impulso, a constante Bc pode

ser considerada nula. Imediatamente a seguir ao impulso a massa adequire um valor de quantidade demovimento igual ao impulso, não havendo no entanto ainda tempo para que possa haver deslocamento. Emseguida o sistema permanece sem excitação, ou seja, a resposta do oscilador é livre obedecendo às condiçõesiniciais seguintes: ⎧⎪⎨⎪⎩

yp(0) = 0

mdypdt

¯t=0

= I(2.80)

De acordo com as considerações feitas a resposta forçada yp(t) terá a mesma forma que a resposta livre

yp(t) = Bpe−ξωntcos(ωDt− φ) (2.81)


P(t)

t

P0 tptP Ω= sin)( 0

Figura 14 Impulso sinusoidal

com as condições de fronteira dadas por (2.80), ou seja,⎧⎪⎨⎪⎩yp(0) = Bp cosφ = 0 ⇒ φ = (2α− 1)π2 com α = 1, 2, 3, . . .

dypdt

¯t=0

= Im ⇒ Bp = (−1)(α+1) I

mωD

(2.82)

Para resposta total, e tendo em conta que o sistema está em repouso antes da introdução do impulso,obtem-se:

y(t) = (−1)(α+1) I

mωDe−ξωnt cos

hωDt− (2α− 1)

π

2

icom α = 1, 2, . . . (2.83)

ou, simplificando,

y(t) =I

mωDe−ξωnt sinωDt (2.84)

Para o caso de impulso unitário a função

h(t) =1


é característica do OL1GL representando a sua resposta ao impulso unitário no domínio do tempo. Estarepresentação contrapõe-se à representação da resposta no domínio da frequência representada pela funçãoH(iΩ) em (2.65). Demonstra-se que H(iΩ) é a transformada de Fourier de h(t),

H(iΩ) =1

2π

Z ∞−∞

h(t)e−iΩtdt (2.86)

2.3.2 Resposta a impulsos de duração finita

As acções do tipo transiente aplicadas aos sistemas podem ser modeladas, em geral, através de funções de cargacom valores não nulos num período de tempo finito. A resposta do sistema tem necessáriamente que reflectir aforma do impulso, o que não acontece na eq.(2.84) já que aí foi considerado um impulso de duração infinitesimal.Por outro lado o amortecimento tem, em geral, muito menor importância no controle da resposta máxima dosistema a este tipo de excitação transiente, já que o valor máximo se atinge num tempo muito curto, antesdas forças de amortecimento poderem absorver quantidades apreciáveis de energia. Para ilustrar a aplicação aocálculo da resposta do oscilador a impulsos de duração finita vamos seguidamente estudar o caso do impulso teruma forma sinusoidal.A resposta pode ser apresentada para dois períodos distintos (fig.14):

• Resposta à excitação dada por p(t) = p0sinΩt para o período de tempo 0 ≤ t ≤ t1

• Resposta livre do sistema para t > t1

Resposta a um impulso 37

Na resposta forçada é necessário considerar tanto a parte transiente como a estacionária. Supondo que oamortecimento é nulo obtem-se da eq.(2.51) a resposta total do sistema:

y(t) =p0k

1

1− β2sinΩt+A1 cosωnt+A2 sinωnt (2.87)

Utilizando as condições iniciais correspondentes ao repouso para t = 0 teremos para valores das constantes:½A1 = 0A2 = −β p0

k1

1−β2(2.88)

Substituindo (2.88) em (2.87) obtem-se finalmente a resposta do sistema para o período de tempo 0 ≤ t ≤ t1:

y(t) =p0k

1

1− β2(sinΩt− β sinωnt) (2.89)

Os valores da eq.(2.89) e da sua derivada calculados para t = t1 fornecem as condições iniciais, y(t1) e y(t1),para a resposta livre do sistema para o período de tempo t ≥ t1. Esta resposta é dada pela eq.(2.15), ou seja,

y(t) = y(t1) cosωn(t− t1) +y(t1)

ωnsinωn(t− t1) (2.90)

Em geral, apenas o valor máximo da resposta é pretendido, o qual, ocorrendo para t ≤ t1, pode ser calculadopela seguinte expressão:

dy

dt= 0 =

p0k

1

1− β2(Ω cosΩt− Ω cosωnt) (2.91)

donde se obtem:Ωt = ωnt± 2απ com α = 0,±1,±2,±3, . . . (2.92)

O valor de t daqui decorrente é válido apenas no caso de 0 ≤ t ≤ t1, em que a eq.(2.89) é válida, ou sejapara Ωt ≤ π como a seguir se demonstra:

t ≤ t1 ⇒ Ωt ≤ Ωt1 ⇒ Ωt ≤2π

2t1t1 ⇒ Ωt ≤ π (2.93)

De (2.92) tem-se que

Ωt± ωnt = 2απ ⇒ Ωt =2απ

1± 1β

(2.94)

Para o caso de nos aproximarmos da ressonância com β → 1 teremos de usar o sinal positivo do denominadore α = 1 para podermos cumprir a eq.(2.93). Substituindo então Ωt = 2π

1+ 1β

na eq.(2.89) teremos:

ymax =p0k

1

1− β2

"sin

Ã2π

1 + 1β

!− β sin

Ã1

β

2π

1 + 1β

!#(2.95)

Particularizando esta expressão para o caso de t1.ωn = 34 , o valor da amplifição dinâmica D = ymax(t)

p0/kpode

ser calculado da seguinte maneira):

Ω =2π

2t1=

π34T

=πωn34 .2π

=2

3ωn

ymax =p0k

1

1− ( 23)2

∙sin

µ2π

1 + 32

¶− 23sin

µ3

2

2π

1 + 32

¶¸D =

ymax

p0/k= 1.77

Deste exemplo pode-se concluir que, para a actuação de um impulso sinusoidal de duração igual a 34 do

período próprio do oscilador, o deslocamento máximo pode ser obtido multiplicando o deslocamento estáticogerado pelo valor máximo da acção (P0k ) pelo factor de amplificação dinâmica D.Naturalmente, é possível construir gráficos, designados por espectros de resposta, que relacionem o factor

D com a duração do impulso t1T ≡ t1ωn para diversos tipos de impulsos (sinusoidal, triangular, trapezoidal,

rectangular, etc.). Para informação adicional consultar [1].


2.4 Resposta do oscilador a excitação geral

Tal como foi já sugerido anteriormente, é possivel caracterizar o oscilador através de uma das funções h(t) ouH(iΩ), respectivamente, no domínio do tempo ou no domínio da frequência. Estas funções podem servistas como a resposta do oscilador a excitações elementares constituídas, respectivamente, por um impulso devalor unitário e por uma função harmónica simples de amplitude unitária. Admitindo válido o princípio dasobreposição de efeitos, é possível calcular a resposta do oscilador a uma excitação qualquer, p(t), dada atravésde uma soma daquelas funções elementares. De facto, dada uma função de excitação p(t) é sempre possívelreproduzi-la através de uma soma de impulsos,

p(t) =

Z +∞

−∞p(τ)δ(t)dτ (2.96)

em que δ(t) é a função Dirac, ou através de uma soma de funções harmónicas,

p(t) =+∞X

j=−∞Cje

iΩjt (2.97)

em que Ωj é um multiplo do inverso do período da função de carga, Ωj =2πjTp

e os coeficientes complexos Cj

são dados por,

Cj =1

Tp

Z +∞

−∞p(t)e−iΩjtdt (2.98)

A equação (2.97) representa uma Série de Fourier complexa e os coeficientes Cj os respectivos coeficientescomplexos de Fourier. Note-se que só é possível fazer uma representação através de série de Fourier de funçõesperiódicas. Para contornar o problema, tratando-se de funções de carga transientes de duração T , pode admitir-se ficticiamente que a função se repete em cada período Tp ≥ 2T .Estas duas formas de decompor qualquer função de excitação conduzem respectivamente à análise no

domínio da frequência e à análise no domínio do tempo.

2.4.1 Análise no domínio da frequência

2.4.1.1 Expansão em série de Fourier real

A resposta no domínio da frequência pode ser calculada, no caso da história de carga ser periódica, ou seja, sese verificar que p(t + Tp) = p(t), em que Tp é o período da excitação, expandindo a história de carga em sériede Fourier dada pela eq. (2.97). Recordando que eiΩjt = cosΩjt + i sinΩjt e tendo em conta4 que C−j é ocomplexo conjugado de Cj , a acção pode ser dada pela seguinte equação:

p(t) = a0 +∞Xj=1

[aj cos (Ωjt) + bj sin (Ωjt)] (2.99)

em que os respectivos coeficientes de Fourier, a0, aj , bj , são calculados da seguinte forma:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a0 =1Tp

R Tp0

p(t)dt

aj =2Tp

R Tp0

p(t) cos (Ωjt) dt

bj =2Tp

R Tp0

p(t) sin (Ωjt) dt

(2.100)

Note-se que, embora a expansão em série seja feita com um número infinito de termos, na prática conseguem-se muito boas aproximações com relativamente poucos termos da série.A resposta estacionária do OL1GL é dada pela sobreposição do deslocamento estático a0

k e das respostas acada um dos termos do somatório da equação (2.99):

4A prova será dada no ponto seguinte, aquando da análise da forma complexa das séries de Fourier.

Resposta a excitação geral 39

P(t)

t

P0

P(t)

t

P0

pTpt pT22

pT2

pt2

pt−2

pT−

a0

Figura 15 Sequência de impulsos triangulares

y(t) =a0k+∞Xj=1

|H(iΩj)|aj cos(Ωjt− αj) +∞Xj=1

|H(iΩj)|bj sin(Ωjt− αj) (2.101)

O módulo da função de transferência |H(iΩj)| e o ângulo de fase α são, respectivamente,

|H(iΩj)| = 1k

q1

(1−β2j )2+(2ξβj)2

tanαj =2ξβj1−β2j

(2.102)

Tendo em conta estas expressões e a equação (2.70), a eq.(2.101) pode ser posta na seguinte forma alternativa(ver também eq.2.68):

y(t) = a0k +

P∞j=1 k|H(iΩj)|2

©£aj(1− β2j )− bj(2ξβj)

¤cos(Ωjt)+

+£bj(1− β2j )− aj(2ξβj)

¤sin(Ωjt)

ª (2.103)

2.4.1.2 Exemplo - Resposta do OL1GL a uma sequência de impulsos triangulares

Para exemplificar a aplicação da expansão em série de Fourier real considere-se a sequência de impulsos trian-gulares da figura 15.O cálculo dos coeficientes de Fourier relativos a esta excitação pode ser simplificado se considerarmos um

sistema de eixos tal que possa haver simetria da função de excitação relativamente a t = 0. Neste caso oscoeficientes bj são nulos, pois seriam dados pelo integral do produto de uma função simétrica com uma anti-simétrica. Assim teremos apenas de calcular o valor dos coeficientes aj da seguinte forma:

a0 =1

Tp

Z Tp/2

−Tp/2p(t)dt =

p0tp2Tp

aj =2

Tp

Z Tp/2

−Tp/2p(t) cos(Ωjt)dt

aj =2

Tp

Z 0

−tp/2

µp0 +

2p0tp

t

¶cos (Ωjt) dt+

2

Tp

Z tp/2

0

µp0 −

2p0tp

t

¶cos (Ωjt) dt

ou, simplificando,

aj =4

Tp

Z tp/2

0

µp0 −

2p0tp

t

¶cos(Ωjt)dt = −2p0

cosαj − 1πjαj

em que αj = πjtpTp. A função de carga é então dada por (2.99):

p(t) = p0

⎧⎨⎩ tp2Tp

+∞Xj=1

21− cosαjπjαj

cosΩjt

⎫⎬⎭40 Oscilador Linear de 1GL

mostrando-se, na figura seguinte, o andamento dos coeficientes 1−cosαjπjαjcom tp

Tp.

10.750.50.250

0.2

0.15

0.1

0.05

0

x

y

x

y

Variação dos primeiros três coeficientes de Fourier com tpTp.

No caso particular de Tp = 2tp podemos obter a seguinte equação,

p(t) = p0

⎛⎝14+∞Xj=1

41− cos 12πj

π2j2cos 2πj

t

Tp

⎞⎠Na figura seguinte mostra-se o andamento de p(t)

p0em função de t

Tppara as três primeiras harmónicas, bem

assim como o aspecto da função dada por três harmónicas e por 50 harmónicas:

Note-se que com três harmónicas já se tem uma boa aproximação.Na figura seguinte mostra-se o andamento5

dos coeficientes de Fourier aj = 41−cos 12πj

π2j2 em função de j:

Para o cálculo da resposta do OL1GL é utilizada a eq.(2.103) donde se obtem a seguinte equação:

y(t) =a0k+∞Xj=1

k|H(iΩj)|2aj£(1− β2j ) cos(Ωjt)− (2ξβj) sin(Ωjt)

¤e, substituindo os valores de a0 e aj , tem-se a resposta do oscilador. Particularizando para o caso de ξ = 0.05,Tp = 2tp = 0.5s, ωn = 4π tem-se, para o deslocamento estático e para as três primeiras harmónicas:

j = 0 kp0y0(t) = .25

j = 1 kp0y1(t) = −4.0528 sin 12.566t

j = 2 kp0y2(t) = 2.2416× 10−2 (−3.0 cos 25.133t− .2 sin 25.133t)

j = 3 kp0y3(t) = 7.0262× 10−4 (−8.0 cos 37.699t− .3 sin 37.699t)

No gráfico seguinte, em que se mostram as harmónicas calculadas, pode verificar-se que, dado a frequência deexcitação na primeira harmónica ser semelhante à frequência própria do oscilador, a resposta correspondente aessa harmónica é muito superior à correspondente às harmónicas superiores. Por esse motivo poder-se-ia usar,com boa aproximação, apenas a primeira harmónica.

5Note-se que os valores de aj só são definidos para valores inteiros de j, pelo que, no gráfico apresentado, só esses valoresinteressam.


21.510.50

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

Três primeiras harmónicas da resposta de deslocamento do exemplo.

2.4.1.3 Expansão em série de Fourier complexa

À expansão em série de Fourier pode ser dada uma forma exponencial se forem utilizadas as seguintes relaçõesobtidas a partir da equação de Euler: ½

sinx = 12 i¡e−ix − eix

¢cosx = 1

2

¡e−ix + eix

¢ (2.104)

Substituindo estas relações nas expressões (2.99) e (2.100) e tendo em conta que Cj =(aj−ibj)

2 , obtem-se oseguinte resultado:

p(t) =∞X

j=−∞Cje

iΩjt (2.105)

em que

Cj =1

Tp

Z Tp

0

p(t)e−iΩjtdt (2.106)

A resposta do OL1GL vem então dada através da eq.(2.64):

y(t) =∞X

j=−∞CjH(iΩj)e

iΩjt (2.107)

Tome-se como exemplo de aplicação a representação complexa da excitação do exemplo do ponto anterior ea respectiva resposta do OL1GL. Os coeficientes complexos de Fourier são dados pela equação

Cj =1

Tp

Z tp/2

−tp/2p(t)eiΩjtdt =

1

Tp

Z tp/2

−tp/2p(t) cos(Ωjt)− i

1

Tp

Z tp/2

−tp/2p(t) sin(Ωjt)dt| z =0

que se pode também escrever na seguinte forma:(Cj =

aj2 = −p0

cosαj−1πjαj

para j 6= 0C0 = a0 =

p0tp2Tp

Usando a eq.(2.107), a resposta do OL1GL pode então escrever-se sucessivamente da seguinte forma:

y(t) =a0k+

−1Xj=−∞

1

2ajH(iΩj)e

iΩjt +∞Xj=1

1

2ajH(iΩj)e

iΩjt


y(t) =a0k+1

2

⎡⎣ ∞Xj=1

a−jH(iΩ−j)eiΩ−jt +

∞Xj=1

ajH(iΩj)eiΩjt

⎤⎦ (2.108)

Utilizando a definição dada anteriormente (2.65) para a função de transferência conjuntamente com a igualdadede Euler (2.11), obtem-se:

H(iΩj).eiΩjt = 1

k

h1−β2j

(1−β2j )2+(2ξβj)2cos(Ωjt) +

2ξβj(1−β2j )2+(2ξβj)2

sin(Ωjt)i+

+i 1k

h1−β2j

(1−β2j )2+(2ξβj)2sin(Ωjt)−

2ξβj(1−β2j )2+(2ξβj)2

cos(Ωjt)i (2.109)

A equação anterior pode, também ser escrita na seguinte forma:

H(iΩj).eiΩjt = |H(iΩj)|2

©£(1− β2j) cosΩjt+ 2ξβj sinΩjt

¤+

+i£(1− β2j) sinΩjt− 2ξβj cosΩjt

¤ª (2.110)

Fácilmente se conclui da eq.(2.110), substituindo j por −j e tendo em conta que a−j = aj e Ω−j = −Ωj , aseguinte relação:

H(iΩ−j).eiΩ−jt =

£H(iΩj)e

iΩjt¤∗

(2.111)

em que o asterisco representa o complexo conjugado.Substituindo a eq.(2.111) em (2.108) obtem-se a resposta do oscilador:

y(t) ≡ yRe(t) =a0k+∞Xj=1

aj |H(iΩj)|2£(1− β2j ) cos(Ωjt) + (2ξβj) sin(Ωjt)

¤2.4.1.4 Excitação não periódica - Integral de Fourier

Nos casos analizados anteriormente admitiu-se que a excitação era periódica. Daí que no espectro da excitação(representação no eixo das frequências) se obtenham valores apenas em determinadas frequências correspon-dentes aos múltiplos do período da excitação, ou seja, à periodicidade da função no domínio do tempo corre-sponde uma discretização no domínio da frequência. O contrário também é válido, ou seja, à discretização nodomínio do tempo corresponde uma periodização no domínio da frequência.No caso da excitação não ser periódica é ainda possível fazer a sua representação no domínio da frequência.

Para isso utiliza-se a transformada de Fourier ou integral de Fourier que se obtem da série de Fourierconsiderando que a função a transformar possui um período infinito.Partindo das equações (2.105) e (2.106) podemos reescrever a primeira delas da seguinte maneira,

p(t) =1

2π

∞Xj=−∞

C(iΩj)eiΩjt∆Ω (2.112)

para o que se utilizou a seguinte notação:

C(iΩj) = Tp.Cj =2π

∆ΩCj (2.113)

Desta forma, a segunda das equações pode ser reescrita da seguinte maneira:

C(iΩj) =

Z Tp/2

−Tp/2p(t).e−iΩjtdt (2.114)

Fazendo o período Tp tender para infinito verifica-se que ∆Ω tenderá para dΩ, o somatório em (2.112) passaa integral e a variável Ωj passa a ser uma variável contínua Ω. O par de equações (2.112) e (2.113)pode, então,escrever-se da seguinte forma: ⎧⎨⎩

p(t) = 12π

R∞−∞C(iΩ)eiΩtdΩ

C(iΩ) =R∞−∞ p(t)e−iΩtdt

(2.115)


Ao par de equações (2.115) dá-se o nome de Transformação de Fourier. C(iΩ) é a transformada deFourier da função p(t), e esta a transformada inversa de C(iΩ). Prova-se que a representação de uma funçãopela sua transformada de Fourier só é possível seZ ∞

−∞|p(t)|dt <∞ (2.116)

e se p(t) satisfizer as condições de Dirichlet, as quais são verificadas pela maior parte das funções fisicamenterealizáveis tais como acções, deslocamentos, esforços, etc.É frequente substituir-se a frequência angular, Ω, pela frequência f = Ω

2π . Neste caso as equações(??) podemser escritas na seguinte forma: ⎧⎨⎩

p(t) =R∞−∞ C(f)ei2πftdf

C(f) =R∞−∞ p(t)e−i2πftdt

(2.117)

Para se obter a resposta do OL1GL a uma excitação qualquer p(t) pode calcular-se em primeiro lugar atransformada de Fourier C(f) da excitação, utilizando seguidamente a expressão (2.64) para calcular a resposta,

y(t) =

Z ∞−∞

H(f).C(f).ei2πftdf (2.118)

ou seja de forma mais abreviada,

y(t) =

Z ∞−∞

Y (f).ei2πftdf (2.119)

em que Y (f) = 1k H(f).C(f) é a resposta estacionária no domínio da frequência

6 e

H(f) =1/k

(1− β2) + i(2ξβ)(2.120)

Como exemplo de aplicação calcule-se a resposta do OL1GL a um impulso rectangular de valor p0 e duraçãotp. A transformada de Fourier da excitação é dada por

C(f) =

Z ∞−∞

p0e−i2πftdt =

Z tp

0

p0e−i2πftdt =

ip02πf

£e−i2πftp − 1

¤(2.121)

Na figura seguinte mostra-se a parte imaginária (linha a tracejado) e a parte real (linha a cheio) para tp = 1sege p0 = 1kN

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

Componentes real e imaginária da transformação de Fourier de uma função constante unitária para0 ≤ t ≤ 1seg.

No caso de se diminuir o tempo de actuação e aumentar o valor da carga aumenta-se a banda de frequênciasem que se tem uma energia importante. No limite, quando se tem um impulso I =

R∞−∞ p0dt concentrado

6A equação que permite calcular a resposta estacionária no domínio da frequência aparece mais frequentemente como o produtoda função de transferência pela transformada de Fourier da acção, Y (f) = H(f).C(f). O facto de neste caso aquele produto serdividido pela rigidez k advem da forma adimensional como foi definida a função de transferência no ponto 2.2


em t = 0, a parte imaginária anula-se e a parte real toma um valor constante igual a p0 em toda a bandade frequências −∞ ≤ f ≤ ∞. A este tipo de excitação dá-se o nome de ruído branco por conter todas asfrequências com igual energia. Na figura seguinte mostra-se a parte imaginária (linha a tracejado) e a parte real(linha a cheio) para tp = 0.1seg e p0 = 10kN

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

Componentes real e imaginária da transformação de Fourier de uma função constante para 0 ≤ t ≤0.1seg.

No caso de se aumentar o tempo de actuação e diminuir o valor da carga diminui—se a banda de frequênciasem que se tem uma energia importante. Na figura seguinte mostra-se a parte imaginária (linha a tracejado) ea parte real (linha a cheio) para tp = 10seg e p0 = 0.1kN

210-1-2

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

Componentes real e imaginária da transformação de Fourier de uma função constante para 0 ≤ t ≤10seg.

Para o cálculo da resposta estacionária no domínio da frequência usa-se o produto da função de transferênciapela transformada de Fourier da excitação,

Y (f) = H(f)C(f) =1

k

1

(1− β2) + i(2ξβ)

ip02πf

¡e−i2πftp − 1

¢(2.122)

Esta propriedade multiplicativa das funções no domínio da frequência tem sido explorada com o advento demétodos rápidos de tranformação numérica de Fourier, e que veremos mais adiante. Note-se que, se a excitaçãofôr um impulso a resposta é do mesmo tipo da função de transferência.A transformada inversa de Fourier da equação (2.122) pode ser feita analiticamente para se obter a resposta

no domínio do tempo [1]. A resposta total do sistema, transiente e estacionária, é dada pela seguite equação:

y(t) = Ace−ξωnt cos (ωDt− φ) +

Z ∞−∞

Y (f)ei2πftdf (2.123)

em que as constantes Ac e φ são calculadas para as condições iniciais do movimento.


Figura 16 a)excitação qualquer;b)resposta do OL1GL ao impulso infinitesimal

2.4.2 Análise no domínio do tempo

A resposta do OL1GL a um impulso unitário é dada pela eq.(2.84):

h(t) =1


Tendo em atenção que qualquer excitação pode ser idealizada como uma sequência de impulsos infinitesimais(figura 16), a resposta infinitesimal correspondente ao impulso dI = P (τ)dτ que actua no instante t = τ serádada por

dy(t) =P (τ)dτ

mωDe−ξωn(t−τ) sin [ωD(t− τ)] para t > τ (2.125)

A resposta do OL1GL no instante genérico t, supondo que se encontrava em repouso para t = 0, vem dadapelo seguinte integral:

y(t) =

Z t

0

p(τ)

mωDe−ξωn(t−τ) sin [ωD(t− τ)] dτ (2.126)

em que o impulso infinitesimal foi substituído pelo seu valor dI = p(τ)dτ . Este integral é designado Integralde Duhamel e é habitualmente escrito na seguinte forma:

y(t) =

Z t

0

p(τ)h(t− τ)dτ (2.127)

No caso do sistema se não encontrar em repouso para t = 0 é necessário considerar a solução complementarda equação diferencial (eq.2.79), podendo a resposta total ser escrita na seguinte forma:

y(t) = Ace−ξωnt cos (ωDt− φ) +

1

mωD

Z t

0

p(τ)e−ξωn(t−τ) sin [ωD(t− τ)] dτ

ou, tendo em conta o deslocamento inicial y0 e a velocidade inicial y0:

y(t) = y0e−ξωnt cosωDt+

1ωD(y0 + ξωny0) e

−ξωnt sinωDt+

+ 1mωD

R t0p(τ)e−ξωn(t−τ) sin [ωD(t− τ)] dτ

(2.128)

2.4.2.1 Exemplo - Resposta do OL1GL a acção com variação linear

Para exemplificar a aplicação do integral de Duhamel, considere-se um OL1GL sujeito a uma acção com vari-ação linear dada por p(τ) = p0 + ατ , tendo ainda em conta as condições iniciais de movimento para t = 0:


M=10 ton

k=9 MN/m c≅0

P(t)

0.4 s

P0

P(t)

t

Figura 17 Sistema e excitação do exemplo.

deslocamento y0 e velocidade y0. O cálculo do deslocamento durante a actuação da acção p(t) é feito com basena equação (2.128) :

y(t) = y0e−ξωnt cosωDt+

1ωD(y0 + ξωny0) e

−ξωnt sinωDt+

+p0m

ω2n− 2ξ

αm

ω3n| z C1

+αm

ω2n|zC2

t+

⎛⎜⎜⎜⎝µ2ξ

αm

ω3n−

p0m

ω2n

¶| z

−C1

(cosωDt) +1ωD

³− ξ

p0m

ωn− ω2D

αm

ω4n

´(sinωDt)

⎞⎟⎟⎟⎠ e−ξωnt

(2.129)que, simplificando, pode ser escrito da seguinte forma:

y(t) = C1 + C2τ + (y0 − C1)| z A1

e−ξωnt cos (ωDt)+

+1

ωD

⎛⎜⎜⎜⎝y0 + ξωn

µy0 −

p0m

ω2n+2ξ α

m

ω3n

¶| z

A1

−¡1 + ξ4

¢αm

ω2n

⎞⎟⎟⎟⎠| z

A2

e−ξωnt sin (ωDt)(2.130)

A velocidade é calculada derivando a expressão do deslocamento

.y(t) =

∂

∂τ

¡C1 + C2τ +A1e

−ξωnt cos (ωDτ) +A2e−ξωnt sin (ωDt)

¢(2.131)

obtendo-se a seguinte expressão:

.y(t) = C2 + (A2ωD −A1ξωn) e

−ξωnt cosωDt− (A1ωD +A2ξωn) e−ξωnt sinωDt (2.132)

Considerando agora o pórtico da figura 17 sujeito a uma acção transiente triangular, pretende-se calcularo valor máximo de p0 para o caso em que se limitam os deslocamentos horizontais a um máximo de 5mm esupondo td = 0.4seg .Considerando o pórtico em repouso no início do carregamento, a resposta vem dada pela equação (2.130)

com os seguintes valores das constantes (ω2n = 9× 102; ξ ' 0;α = −2.5p0):

C1 =p0m

ω2n= 9× 10−3p0

C2 =αm

ω2n= −2.25× 10−2p0

A1 = −C1 = −9× 10−3p0A2 = −

αm

ω3n= 7.5× 10−4p0

O deslocamento durante o carregamento é dado por:

y(t) = 9× 10−3p0 − 2.25× 10−2p0t− 9× 10−3p0 cos (30t) + 7.5× 10−4p0 sin (30t)


0.40.30.20.10

0.015

0.01

0.005

0

-0.005

x

y

x

y

O valor máximo é y(t) = 1.6× 10−2p0 = 0.005, obtendo-se, assim, o valor p0 = 31.25kN .

2.5 Cálculo numérico da resposta do OL1GL

2.5.1 Cálculo no domínio da frequência - Transformada discreta de Fourier

O cálculo da resposta no domínio da frequência envolve o cálculo da transformada de Fourier da função deexcitação o que nem sempre é possível realizar de forma analítica. Torna-se por isso necessário desenvolvertécnicas numéricas para o cálculo das transformadas de Fourier.O primeiro passo terá de ser o de discretizar a função de excitação p(t) em N intervalos constantes ∆t, o

que levará a escrever a segunda das equações (2.117) da seguinte forma:

p(f) =N−1Xm=0

p(tm).e−i2πfm∆t∆t (2.133)

Tendo em atenção que tm = m∆t.Note-se que os limites do somatório em (2.133) foram adaptados à característica finita da excitação. Se

suposermos uma função periódica com período coincidente com a duração da função finita p(t) teremos quefn = n∆f = n

Tpem que Tp = N∆t. A eq.(2.133) pode então simplificar-se para:

p(fn) =N−1Xm=1

p(tm)e−i2π n.mN ∆t (2.134)

O par de transformadas discretas de Fourier, correspondentes às eq.(2.117) será então:⎧⎨⎩ p(tm) = ∆fPN−1

r=0 p(fr)ei2πrmN para m = 0, 1, 2, . . . , (N − 1)

p(fn) = ∆tPN−1

s=0 p(ts)e−i2πs nN para n = 0, 1, 2, . . . , (N − 1)

(2.135)

Note-se que, substituindo a segunda das eq.(2.135) na primeira se obtem sucessivamente,

p(tm) =1

N∆t

N−1Xr=0

"∆t

N−1Xs=0

p(ts)e−i2πs r

N

#ei2πr

mN (2.136)

p(tm) =1

N

N−1Xr=0

N−1Xs=0

p(ts)e−i2π r

N (s−m) (2.137)


Figura 18 Exemplo para (s−m) = 1 .

Figura 19 Representação dos coeficientes de Fourier a) Parte real; b) Parte imaginária

p(tm) =1

N

N−1Xs=0

(N−1Xr=0

e−i2πrN (s−m)

)p(ts) (2.138)

Note-se que (s−m) representa o número de períodos das funções harmónicas que compõem a função exponencial.Sendo m, r, s inteiros fácilmente se verifica que o somatório dentro de chavetas se anula para s 6= m e é igual aN para s = m, ou seja(ver fig.18):

N−1Xr=0

e−i2πrN (s−m) =

½0 para s 6= mN para s = m

(2.139)

vindo a equação (2.138) como uma identidade p(tm) ≡ p(tm). Daqui se pode concluir que existe dualidade nasequações (2.135).A segunda equação de (2.135) representa o espectro da excitação em N pontos, sendo cada um dos valores

um número complexo. Assim, a discretização das transformadas de Fourier conduz imediatamente às séries deFourier (ver eq.2.105 e 2.106). A representação gráfica de p(fn) é feita genéricamente na figura 19.À representação no domínio da frequência corresponde a representação no domínio do tempo dada por uma

função periódica de período Tp como é indicado na figura 20.

Cálculo numérico da resposta 49

Figura 20 Representação da história de carga (linha a cheio) e periodização introduzida pela discretização datransformada de Fourier

Figura 21 Discretização de um sinal

2.5.1.1 Erros de discretização

A discretização (digitalização) das funções introduz dois tipos de erro na análise numérica feita posteriormente,a saber,

1. Erro na amplitude, cujo valor depende do maior número inteiro possível de ser tratado pelo microproces-sador que faz a digitalização(ver figura 21).

Este tipo de erro não é normalmente, importante e pode ser minorado usando processadores que permitamtrabalhar com maiores numeros inteiros.

2. Erro no cálculo do valor espectral da função discretizada ou aliasing. Este erro provém do facto de,pelos valores discretizados ser possível fazer passar sinusoides com frequências diferentes. Este facto estátambém relacionado com a periodização do espectro por efeito da discretização no domínio do tempo.Assim, quando se olha para o espectro de uma função já discretizada obtem-se uma função periódicae não o espectro real da função contínua. Se a função inicial contiver frequências superiores àquelasque é possível discernir no espectro periódico, a energia correspondente a essas frequências aparece emfrequências mais baixas, alterando assim o espectro real nas frequências visíveis. A discretização introduzpor isso erros no cálculo da transformada de Fourier da função, os quais podem ser evitados discretizandoa função p(t) de forma a que o passo de digitalização ∆t seja dado por:

∆t <1

2fmax(2.140)

em que fmax é o valor da máxima frequência existente na função p(t). Para este efeito é necessário usarfiltros analógicos que permitam eliminar todas as frequências superiores a fmax na função contínua antesda digitalização. Estes filtros são normalmente designados por filtros anti-aliasing.


• Deve ainda usar-se uma função modificada p(t) com período T 0p = 2Tp em que p(t) = 0 para Tp < t ≤ 2Tp.Esta medida permite que se possam calcular M = N valores do espectro. Não sendo tomada esta medidaapenas se obtêm M = N/2 valores no espectro, que não são repetição de si mesmos.

1.51.2510.750.50.250

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

A frequência da função sinusoidal definida pelos pontos de intersecção não é única.

2.5.2 Cálculo no domínio do tempo - Integral de Duhamel

A utilização de métodos de integração no domínio do tempo apresenta vantagens relativamente aos métodos nodomínio da frequência quando a excitação é relativamente curta (acções de impacto, explosões, etc.). O cálculoda resposta de um sistema sujeito a uma excitação qualquer pode ser feito, numéricamente, com recurso aointegral de Duhamel, usando uma de duas técnicas distintas:

1. interpolação do integrando no integral de Duhamel da equação (2.128)

2. interpolação da excitação e cálculo exacto do integral de Duhamel para cada intervalo de tempo, admitindouma determinada lei de variação da excitação nesse intervalo de tempo, seguindo-se um processo de cálculopasso-a-passo.

2.5.2.1 Interpolação do integrando no integral de Duhamel

A interpolação do integrando no integral de Duhamel pode ser feita discretizando as variáveis t e τ . A eq.(2.126)pode ser posta na seguinte forma:

y(t) = A(t) sinωDt−B(t) cosωDt (2.141)

em que:A(t) = 1

mωD

R t0p(τ)e−ξωn(t−τ) cos (ωDτ) dτ

B(t) = 1mωD

R t0p(τ)e−ξωn(t−τ) sin (ωDτ) dτ

(2.142)

Os integrais em (2.142) podem ser calculados numéricamente usando as seguintes expressões:⎧⎪⎨⎪⎩A(t) ' ∆τ

mωD1η

PAη (t)

B(t) ' ∆τmωD

1η

PBη (t)

(2.143)

Nestas equações, 1ηPA

η (t) representa o tipo de integração numérica que é utilizado. Para a simples soma devalores da função dentro do integral tem-se η = 1 e obtem-se a seguinte expressão para o somatório da primeiradas equações (2.143):

AX1

(t) =

"AX1

(t−∆τ) + p(t−∆τ) cosWD(t−∆τ)#e−ξWn∆τ (2.144)

Note-se que para a segunda das equações (2.143) a única alteração corresponde à mudança do cosseno paraseno. Fácilmente se chega a estas expressões se se tiver em conta que a resposta do oscilador é calculada aintervalos ∆τ e que pode ser baseada no resultado obtido para o passo anterior.


Figura 22 Discretização da fun ção p(t) em intervalos constantes ∆τ

Para melhor ilustrar este procedimento considere-se a função de excitação discretizada nos instantes t =t0, t1, t2, t3, . . . , tn−1. Calculando as expressões (2.142) para esta sequência de valores de t (figura 22) teríamosa seguinte sequência de valores de A(t):

t0 = 0 A(0) = 0 (admitindo oscilador em repouso inicial)

t1 = ∆τ A(∆τ) = ∆τmωD

p(0)e−ξωn∆τ cos(0) = ∆τmωD

PA1 (0)e

−ξωn∆τ

= ∆τmωD

PA1 (∆τ)

t2 = 2∆τ A(2∆τ) = ∆τmωD

©p(0)e−ξωn.2∆τ cos(0) + p(∆τ)e−ξωn∆τ cos(ωD∆τ)

ª= ∆τ

mωD

nPA1 (∆τ) + p(∆τ) cos(ωD∆τ)

oe−ξωn.∆τ = ∆τ

mωD

PA1 (2∆τ)

t3 = 3∆τ A(3∆τ) = ∆τmωD

©p(0)e−ξωn.3∆τ cos(0) + p(∆τ)e−ξωn.2∆τ cos(ωD∆τ)+

+p(2∆τ)e−ξωn∆τ cos(ωD.2∆τ)ª

= ∆τmωD

nPA1 (2∆τ) + p(2∆τ) cos(ωD.2∆τ)

oe−ξωn.∆τ = ∆τ

mωD

PA1 (3∆τ)

......

tn−1 = (n− 1)∆τ A(t) = ∆τmωD

nPA1 [(n− 1)∆τ ] + p [(n− 1)∆τ ]

cos [ωD(n− 1)∆τ ] e−ξωn.∆τ

As equações indicadas traduzem uma soma simples de valores da resposta elementar a impulsos correspon-dentes à descritização da função de excitação. Este procedimento pode ser melhorado se for utilizada a regraTrapezoidal (η = 2) ou a regra Simpson (η = 3). Estas regras de integração podem ser escritas na seguinteforma:

• Regra trapezoidal (η = 2), que integra exactamente funções com andamento linear no intervalo de tempoescolhido: R n∆τ

0y(τ)dτ = y0+y1

2 ∆τ + y1+y22 ∆τ + . . .+ yn−1+yn

2 ∆τ

= 12 [y0 + 2y1 + 2y2 + . . .+ 2yn−1 + yn]∆τ =

12

P2(n.∆τ)

AX2

(t) =

"AX2

(t−∆τ) + p(t−∆τ) cosωD(t−∆τ)#e−ξωn∆τ + p(t) cosωDt (2.145)

• Regra de Simpson (η = 3), que integra exactamente funções com andamento do tipo polinomial do segundograu no intervalo de tempo escolhido:R n∆τ

0y(τ)dτ = y0+4y1+y2

6 2∆τ + y2+4y3+y46 2∆τ + . . .

= 13 [y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . .+ 4yn−1 + yn]∆τ =

13

P3(n∆τ)PA

3 (t) =hPA

3 (t− 2∆τ) + p(t− 2∆τ) cosωD(t− 2∆τ)ie−ξωn2∆τ+

+4p(t−∆τ) cosωD(t−∆τ)e−ξωn∆τ + p(t) cosωDt

(2.146)


É possível derivar regras de integração para polinómios de maior grau à custa, no entanto, de maior com-plexidade de cálculo devido à existência de maior número de coeficientes diferentes nas expressões.

2.5.2.2 Interpolação linear da excitação

Um procedimento directo e muito eficiente para calcular a resposta do oscilador baseia-se em admitir umavariação linear da excitação no intervalo de digitalização ∆t. A equação de equilibrio dinâmico entre os instantest e t+∆t, uma vez admitida a representação poligonal da excitação, pode ser escrita na seguinte forma:

y(τ) + 2ξωny(τ) + ω2ny(τ) =1

m

∙p(t) +

p(t+∆t)− p(t)

∆tτ

¸(2.147)

em que p(t) e p(t+∆t) são os valores da excitação, respectivamente, no inicio e no fim do intervalo de tempo eτ é variável do tempo no interior do intervalo.

Usando o resultado do integral de Duhamel expresso nas equações (2.130, 2.132) em que α = p(t+∆t)−p(t)∆t , a

equação (2.147) pode ser escrita em forma matricial, por forma a poder ser calculada a posição e velocidade dooscilador no fim do intervalo de tempo, conhecidos aqueles valores para o inicio do mesmo intervalo. A fórmulade recorrência que se obtém é a seguinte:½

y(t+∆t)y(t+∆t)

¾=

∙a11 a12a21 a22

¸½y(t)y(t)

¾+

∙b11 b12b21 b22

¸( p(t)mp(t+∆t)

m

)(2.148)

em que os coeficientes das matrizes A e B apenas dependem das características dinâmicas do oscilador e dointervalo de tempo ∆t, como a seguir se indica,

a11 =

∙ξ√1−ξ2

sin(ωD∆t) + cos(ωD∆t)

¸e−ξωn∆t

a12 =h1ωDsin(ωD∆t)

ie−ξωn∆t

a21 =

∙− ωn√

1−ξ2sin(ωD∆t)

¸e−ξωn∆t

a22 =

∙− ξ√

1−ξ2sin(ωD∆t) + cos(ωD∆t)

¸e−ξωn∆t

b11 =1ω2n

½2ξ

ωn∆t+

∙µ1−2ξ2ωD∆t

− ξ√1−ξ2

¶sin(ωD∆t)−

³2ξ

ωn∆t+ 1ćos(ωD∆t)

¸e−ξωn∆t

¾

b12 =1ω2n

n1− 2ξ

ωn∆t+h2ξ2−1ωD∆t

sin(ωD∆t) +2ξ

ωn∆tcos(ωD∆t)

ie−ξωn∆t

ob21 =

1ω2n

½− 1∆t +

∙µωn√1−ξ2

+ ξ

∆t√1−ξ2

¶sin(ωD∆t) +

1∆t cos(ωD∆t)

¸e−ξωn∆t

¾

b22 =1

ω2n∆t

½1−

∙ξ√1−ξ2

sin(ωD∆t) + cos(ωD∆t)

¸e−ξωn∆t

¾

Obtidos os valores de deslocamento e velocidade da equação (2.148) podem ser calculadas as aceleraçõesatravés da equação de equilibrio,

y(t) =p(t)

m− 2ξωny(t)− ω2ny(t) (2.149)

Este processo de integração é de grande eficácia e a sua precisão só depende da dimensão do intervalo detempo ∆t, na medida em que a excitação se considera a variar linearmente nesse mesmo intervalo de tempo.Nos casos correntes de engenharia sísmica é-se conduzido a valores de ∆t que variam entre 0.02 seg e 0.001seg. Quando se tem em conta apenas o critério de Nyquist para a digitalização da função de excitação (ver


eq.(2.140), e considerando que a excitação sísmica não contém energia significativa em frequências superiores a20Hz, o passo de discretização pode ser definido por:

∆t ≤ 12

1

20= 0.025 seg (2.150)

No entanto, quando se pretendem determinar valores máximos de resposta, é conveniente conhecer a respostaem intervalos de tempo inferiores a um décimo do período do oscilador, pelo que, para frequências própriassuperiores a 4Hz o critério para escolher ∆t deverá ser ∆t ≤ 1

10fn= π

5ωn.

2.5.3 Cálculo no domínio do tempo - Integração directa passo-a-passo

Os métodos anteriormente expostos para o cálculo numérico da resposta do OL1GL baseiam-se no princípio dasobreposição dos efeitos, impossibilitando o seu uso no caso de osciladores não-lineares. O uso do integral deDuhamel no método anteriormente exposto tem, por isso, um interesse reduzido, na medida em que têm sidodesenvolvidos métodos de cálculo por integração directa da equação de movimento que apresentam a vantagemde poderem ser aplicados indiferentemente a osciladores lineares e não-lineares e de serem, mesmo para osprimeiros, mais eficazes que aquele método atrás exposto.Uma técnica de integração passo-a-passo da equação de movimento que dá origem a vários métodos consiste

em calcular a posição e velocidade do oscilador num certo instante, t + ∆t desde que conhecidos a posição evelocidade num instante anterior, t e a lei de variação, no intervalo ∆t, das derivadas que aparecem na equaçãode movimento. Aplicando sucessivamente esta técnica é possível calcular, passo-a-passo, a resposta do osciladora qualquer excitação e para qualquer intervalo de tempo.Os métodos de integração passo-a-passo podem ser explícitos ou implícitos. Nos primeiros, as expressões de

cálculo dos valores no fim do intervalo de tempo dependem unicamente dos valores do inicio do mesmo, podendo,por isso, ser aplicados sequencialmente, evoluindo directamente de um intervalo de tempo para o seguinte. Nummétodo implícito a situação é diferente, na medida em que o cálculo dos valores para o fim do intervalo de tempodepende também de parâmetros pertencentes a esse, mesmo intervalo, obrigando a fazer iterações a partir devalores arbitrados para esses parâmetros.Os métodos que permitem implementar o processo de integração passo-a-passo podem ser divididos, de

acordo com a sua estabilidade numérica, em:

• métodos condicionalmente estáveis, nos quais a estabilidade numérica é condicionada pela dimensão dointervalo de tempo ∆t; nestes métodos o valor de ∆t deve ser escolhido por forma a ter-se estabilidade,ou seja, a que os erros numéricos de arredondamento ou truncagem não sejam amplificados em passosseguintes;

• métodos incondicionalmente estáveis, nos quais a estabilidade numérica é sempre garantida, qualquer queseja o intervalo de tempo usado; é sempre possível aumentar a estabilidade de um método diminuindo ∆t;nestes métodos, embora a sua estabilidade não dependa de ∆t, este parâmetro tem que ser criteriosamenteescolhido, uma vez que dele depende a precisão do algoritmo, a fidelidade da representação da excitaçãobem como a precisão no cálculo dos valores maximos da resposta.

A integração da equação de movimento pode ser feita com base na definição da lei de variação dasacelerações durante o intervalo de tempo ∆t. Um exemplo deste processo é a familia de métodos baseadosno algoritmo de Newmark. Este algoritmo, que tem uma formulação implícita passível de se transformar emexplícita, baseia-se no establecimento de uma lei de variação da aceleração f (τ) no intervalo de tempo ∆t, ouseja,

y(t+ τ) = y(t) + f (τ) [y (t+∆t)− y (t)] (2.151)

Primitivando sucessivamente a equação (2.151) obtem-se a velocidade e o deslocamento do oscilador:⎧⎨⎩y(t+ τ) =

Ry(t+ τ)dτ + y(t) = y(t) + y (t) τ + g (τ) [y (t+∆t)− y (t)]

y(t+ τ) =Ry(t+ τ)dτ + y(t) = y(t) + y (t) τ + y (t) τ

2

2 + h (τ) [y (t+∆t)− y (t)]

(2.152)

Nestas expressões g (τ) e h (τ) representam a primitivação sucessivada função f (τ). Calculando as equações(2.152) para τ = ∆t e definindo g (∆t) = γ∆t e h (∆t) = β∆t2 tem-se:⎧⎨⎩ y(t+∆t) = y(t) +∆t (1− γ) y (t) + γ∆ty (t+∆t)

y(t+∆t) = y(t) + y (t)∆t+∆t2¡12 − β

¢y (t) + β∆t2y (t+∆t)

(2.153)


Note-se que este procedimento não implica o conhecimento da função f (τ), apenas nos interessando o seuintegral no intervalo de tempo. Isto tem implicações na estabilidade numérica do método, demonstrando-se[Argyris] ser o algoritmo incondicionalmente estável para β ≥ 1

4 (γ + 0.5)2 e γ ≥ 1

2 . As duas variantes estudadasmais adiante, no presente capítulo, correspondem a valores particulares do parâmetro β, conservando-se sempreγ = 1

2 por se demonstrar ser este um valor ideal.Resolvendo a segunda das equações (2.153) para obter a aceleração no fim do intervalo de tempo e substi-

tuindo na primeira equação obtem-se:⎧⎪⎨⎪⎩y (t+∆t) = 1

β∆t2 [y(t+∆t)− y(t)]− 1β∆t y(t)−

0.5−ββ y (t)

y (t+∆t) = γβ∆t [y(t+∆t)− y(t)] +

³1− γ

β

ý(t) +∆t

³1− γ

2β

ý (t)

(2.154)

Substituindo seguidamente os valores de aceleração e velocidade dados por estas duas equações na equação deequilíbrio dinâmico escrita para o fim do intervalo de tempo obtem-se

mn

1β∆t2 [y(t+∆t)− y(t)]− 1

β∆t y(t)−0.5−ββ y (t)

o+

+cn

γβ∆t [y(t+∆t)− y(t)] +

³1− γ

β

ý(t) +∆t

³1− γ

2β

ý (t)

o+ ky (t+∆t) = p (t+∆t)

(2.155)

Nesta equação, o deslocamento y (t+∆t) é calculado com base na velocidade e aceleração no início dointervalo de tempo, pelo que é lícito escrevê-la na forma mais compacta

y (t+∆t) = K−1P (t+∆t) (2.156)

em que a rigidez equivalente é calculada por uma das seguintes equações:

K = k +γ

β∆tc+

1

β∆t2m (2.157)

K

m= ω2n + 2ξωn

γ

β∆t+

1

β∆t2(2.158)

e a acção exterior equivalente, á semelhança da rigidez, vem dada por uma das seguintes equações:

P (t+∆t) = p (t+∆t) +mh

1β∆t2 y(t) +

1β∆t y(t) +

0.5−ββ y (t)

i+

+ch

γβ∆ty(t) +

³γβ − 1

ý(t) +∆t

³γ2β − 1

ý (t)

i (2.159)

P (t+∆t)m = p(t+∆t)

m +h

1β∆t2 y(t) +

1β∆t y(t) +

0.5−ββ y (t)

i+

+2ξωn

hγ

β∆ty(t) +³γβ − 1

ý(t) +∆t

³γ2β − 1

ý (t)

i (2.160)

Calculado o deslocamento no fim do intervalo de tempo, a velocidade e a eceleração são obtidas das equações(2.154)

2.5.3.1 Método de Newmark com aceleração constante no intervalo de tempo

Este método baseia-se num valor constante de aceleração no intervalo ∆t e corresponde à aplicação das equações(2.153) a (2.159) para γ = 1

2 e β =14 . Neste caso as equações tomam os seguintes valores:⎧⎨⎩ y (t+∆t) = 4

∆t2 [y(t+∆t)− y(t)]− 4∆t y(t)− y (t)

y (t+∆t) = 2∆t [y(t+∆t)− y(t)]− y(t)

(2.161)

Os valores da rigidez e da excitação fictícias a serem consideradas na equação (2.156) são dadas, respectiva-mente, por

K = k +2

∆tc+

4

∆t2m (2.162)

e

P (t+∆t) = p (t+∆t) +m

∙4

∆t2y(t) +

4

∆ty(t) + y (t)

¸+ c

∙2

∆ty(t) + y(t)

¸(2.163)


2.5.3.2 Método de Newmark com variação linear da acelera ção

Esta variante do método de Newmark baseia-se na hipótese simplificativa de que a aceleração varia linearmentedurante o intervalo de tempo ∆t, o que corresponde a ter-se γ = 1

2 e β =16 . Neste caso as equações (2.153) a

(2.159) tomam os seguintes valores⎧⎨⎩ y (t+∆t) = 6∆t2 [y(t+∆t)− y(t)]− 6

∆t y(t)− 2y (t)

y (t+∆t) = 3∆t [y(t+∆t)− y(t)]− 2y(t)− ∆t2 y (t)

(2.164)

Os valores da rigidez e da excitação fictícias a serem consideradas na equação (2.156) são dadas, respectivamente,por

K = k +3

∆tc+

6

∆t2m (2.165)

eP (t+∆t) = p (t+∆t) +m

£6∆t2 y(t) +

6∆t y(t) + 2y (t)

¤+

+c£3∆ty(t) + 2y(t) +

∆t2 y (t)

¤ (2.166)

2.5.3.3 Método de Wilson-θ

O Método de Wilson-θ constitui uma generalização do método de Newmark com variação linear da aceleração.Este método admite uma variação linear da aceleração no intervalo [t, t+ θ∆t], e corresponde ao método deNewmark no caso de θ = 1. Admitindo que θ > 1, a aceleração num instante qualquer τ ∈ [t, t+∆t] vem dadapor

y (τ) = y (t) +τ

θ∆t[y (t+ θ∆t)− y (t)] (2.167)

O valor mais usual para θ é 1.4.Integrando sucessivamente esta equação obtem-se a velocidade e o deslocamento durante o intervalo de

tempo, ⎧⎨⎩ y (t+ τ) = y (t) + y (t) τ + 1θ∆t

τ2

2 [y (t+ θ∆t)− y (t)]

y (t+ τ) = y (t) + y (t) τ + y (t) τ2

2 +1

θ∆tτ3

6 [y (t+ θ∆t)− y (t)]

(2.168)

Calculando estas expressões para o instante τ = θ∆t, explicitando y (t+Θ∆t) da segunda equação e substi-tuindo na primeira obtem-se⎧⎨⎩

y (t+ θ∆t) = 6(θ∆t)2

[y(t+ θ∆t)− y(t)]− 6θ∆t y(t)− 2y (t)

y (t+ θ∆t) = 3Θ∆t [y(t+ θ∆t)− y(t)]− 2y(t)− θ∆t

2 y (t)

(2.169)

Substituindo a aceleração e a velocidade assim calculadas na equação de equilibrio dinâmico obtem-se aequação de equilíbrio em termos de deslocamentos:

y (t+ θ∆t) = K−1P (t+ θ∆t) (2.170)

na qual a rigidez e a excitação fictícias são dadas, respectivamente, por:

K = k +3

θ∆tc+

6

(θ∆t)2m (2.171)

e

P (t+∆t) = p (t+ θ∆t) +mh

6(θ∆t)2

y(t) + 6θ∆t y(t) + 2y (t)

i+

+c£3

θ∆ty(t) + 2y(t) +θ∆t2 y (t)

¤ (2.172)


-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.00 0.09 0.18 0.27 0.36 0.45 0.54

Figura 23 Deslocamento pseudo-estático (a preto) e deslocamento dinâmico calculado pelos métodos de Newmarke Duhamel.

2.5.4 Exemplo de aplicação

Pretende-se calcular a resposta de um pórtico simples com as seguintes características: ξ = 0.05 e ωn = 0.36π.A excitação é constituída por uma carga horizontal aplicada ao nível da travessa do pórtico e dada por:

p(t)

m=

½32 sin(0.36πt) para 0 ≤ t ≤ 0.270 para t > 0.27

tal como se encontra representada na figura 23 através do valor de deslocamento pseudo-estático p(t)k , em que m

é a massa concentrada na travessa do pórtico e k a rigidez dos pilares a deslocamentos transversais sem rotaçãodos nós (considera-se que a rigidez da travessa é muito superior à rigidez dos pilares). Nesta figura encontram-seainda representadas as respostas de deslocamento calculadas com base num intervalo de tempo ∆t = 0.0075seg,pelo método de integração de Newmark (α = 1

2 e β =16) e pelo integral de Duhamel – equações (2.130) e

(2.132) por um lado e equações (2.148) por outro. Na figura 24 representam-se as acelerações impostas (p(t)m ) eas acelerações relativas à base do pórtico calculadas pelos mesmos métodos.

Para a resolução deste exercício foram usados os seguintes programas de cálculo em FORTRAN:

• Integração de acordo com o método de Newmark:

SUBROUTINE NEWMARK (BETA,GAMA,N,PSOBREM,CSI,OMEGAN,DELTAT,& Y,VEL,ACELR,ACELT,Y0,VEL0,ACEL0)IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)INTEGER*4 NREAL*8 BETA, GAMAREAL*8 CSI, OMEGAN, DELTAT, Y0,VEL0, ACEL0REAL*8 PSOBREM(N), Y(N), VEL(N), ACELR(N), ACELT(N)REAL*8 RIGIDEZ, CARGAREAL*8 V1,V2,V3,V4,V5V1=1/BETA/DELTATV2=1/BETA/DELTAT/DELTATRIGIDEZ=OMEGAN*OMEGAN+2*CSI*OMEGAN*GAMA*V1+V2


-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0.00 0.09 0.18 0.27 0.36 0.45 0.54

Figura 24 Aceleração imposta (p(t)m ) (a preto) e acelerações relativas calculadas pelos m étodos de Newmark eDuhamel.

V3=(0.5-BETA)/BETAV4=GAMA/BETA-1V5=DELTAT*(GAMA/2/BETA-1)Y(1)=Y0VEL(1)=VEL0ACELR(1)=ACEL0ACELT(1)=ACELR(1)-PSOBREM(1)DO I=2,N

CARGA=PSOBREM(I)+(V2*Y(I-1)+V1*VEL(I-1)+V3*ACELR(I-1))+2*CSI*OMEGAN*(GAMA*V1*Y(I-1)+V4*VEL(I-1)+V5*ACELR(I-1))

Y(I)=CARGA/RIGIDEZVEL(I)=GAMA*V1*(Y(I)-Y(I-1))-V4*VEL(I-1)-V5*ACELR(I-1)ACELR(I)=V2*(Y(I)-Y(I-1))-V1*VEL(I-1)-V3*ACELR(I-1)ACELT(I)=ACELR(I)+PSOBREM(I)

END DORETURNEND

• Integração de acordo com as equações (2.148):

SUBROUTINE DUHAMEL3(N,PSOBREM,CSI,OMEGAN,DELTAT,Y,VEL,ACELR,ACELT,Y0,VEL0,ACEL0)IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)INTEGER*4 NREAL*8 PSOBREM(N), Y(N), CSI, OMEGAN, DELTAT, OMEGAD,Y0,VEL0REAL*8 VEL(N), ACELR(N), ACELT(N)REAL*8 V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8,A11,A12,A21,A22,B11,B12,B21,B22OMEGAD=OMEGAN*SQRT(1-CSI*CSI)V1=EXP(-CSI*OMEGAN*DELTAT)V2=DSIN(OMEGAD*DELTAT)V3=DCOS(OMEGAD*DELTAT)V4=CSI/(sqrt(1-csi*csi))V5=2*CSI/omegan/deltat


V6=1/OMEGADV7=OMEGAN/(sqrt(1-csi*csi))V8=1/OMEGAN/OMEGANA11=(V4*V2+V3)*V1A12=V6*V2*V1A21=-V7*V2*V1A22=(-V4*V2+V3)*V1B11=V8*(V5+(((1-2*CSI*CSI)/OMEGAD/DELTAT-V4)*V2-(V5+1)*V3)*V1)B12=V8*(1-V5+((2*CSI*CSI-1)/OMEGAD/DELTAT*V2+V5*V3)*V1)B21=V8*(1/DELTAT+((V7+V4/deltat)*V2+1/deltat*V3)*V1)B22=V8/deltat*(1-(V4*V2+V3)*V1)Y(1)=Y0VEL(1)=VEL0ACELR(1)=ACEL0ACELT(1)=PSOBREM(1)-ACELR(1)DO I=2,N

Y(I)=A11*Y(I-1)+A12*VEL(I-1)+B11*PSOBREM(I-1)+B12*PSOBREM(I)VEL(I)=A21*Y(I-1)+A22*VEL(I-1)+B21*PSOBREM(I-1)+B22*PSOBREM(I)ACELT(I)=2*CSI*OMEGAN*VEL(I)+OMEGAN*OMEGAN*Y(I)ACELR(I)=PSOBREM(I)-ACELT(I)

END DORETURNEND



Capítulo 3 Sistemas dinâmicos contínuos

3.1 Formulação da equação de movimento

3.1.1 Barra prismática em flexão

Usando o Princípio de D’Alembert e desprezando a inércia rotacional pode formular-se, de forma simples, aequação de movimento de uma barra prismática em flexão. Considere-se, para o efeito, o elemento de barra decomprimento dx da figura 1.O equilibrio de forças verticais permite escrever a seguinte equação:

V + pdx−µV +

∂V

∂xdx

¶− fIdx = 0 (3.1)

em que as forças de inércia fIdx podem ser calculadas pelo produto da massa pela aceleração:

fIdx = mdx∂2y

dt2(3.2)

em que m é a massa por unidade de comprimento da barra.Substituindo (3.2) em (3.1) e simplificando obtem-se:

pdx− ∂V

∂xdx−mdx

∂2y

dt2= 0 (3.3)

em que se reconhece a relação entre esforço transverso e a acção aplicada, esta agora com forças de inérciaincluidas:

∂V

∂x= p−m

∂2y

dt2(3.4)

Escrevendo agora a equação de equilibrio de momentos em torno do ponto O (figura 1) e desprezando ostermos infinitésimais de 2a¯ ordem obtem-se:

M + V dx−µM +

∂M

∂xdx

¶= 0 (3.5)

ou seja,∂M

∂x= V (3.6)

Note-se que a contribuição das forças de inércia nesta equação seria apenas de segunda ordem.Derivando (3.6) e substituindo em (3.4) tem-se:

∂2M

∂x2+m

∂2y

∂t2= p (3.7)

M dx

xMM∂∂+

dxxVV

∂∂

+

V

fI

p(x,t)

dx

x

y(t)

dx

p(x,t)

Figura 1 Barra prismática e for ças actuantes num elemento dx

Equação de movimento 61

dxxMM∂∂+

dxxVV

∂∂

+

V

x

M N

N

y

Figura 2 Forças actuantes num elemento de barra dx sujeito a momento flector e esforço normal.

ou, usando a relação conhecida entre momento flector e curvatura,

∂2

∂x2

µEI

∂2y

∂x2

¶+m

∂2y

∂t2= p (3.8)

A introdução de esforços axiais na barra altera a equação de equilibrio de momentos que passaria a ser aseguinte ( ver figura 2):

M + V dx−µM +

∂M

∂xdx

¶−N

∂y

∂xdx = 0 (3.9)

obtendo-se a equação do movimento incluindo o efeito do esforço axial:

∂2

∂x2

µEI

∂2y

∂x2

¶+N

∂2y

∂x2+m

∂2y

∂t2= p (3.10)

Note-se que as forças V (x, t) não são equivalentes ao esforço transverso, já que para obter (3.9) se considerouserem aquelas forças verticais e não perpendiculares ao eixo deformado da peça.Embora as equações (3.8) e (3.10) se possam aplicar na generalidade dos casos, ao não incluirem a inércia

rotacional e a deformação por esforço transverso podem fornecer resultados pouco satisfatórios no caso de peçasde grande espessura, em que a deformação por esforço transverso é importante. Neste caso pode demonstrar-se[Clough & Penzien] que a equação diferencial de movimento, no caso das propriedades geométricas e materiaisse manterem constantes ao longo da barra, se pode escrever da seguinte forma:

EI∂4y

∂x4−µp−m

∂2y

∂t2

¶| z

Eq.(3.8)

− mr2∂4y

∂x2∂t2| z Contribuição dainércia rotacional

+EI

k0AG

∂2

∂x2

µp−m

∂2y

∂t2

¶| z Contribuição da distorção

−

− mr2

k0AG

∂

∂t2

µp−m

∂2y

∂t2

¶| z

Contribuição da inércia rotacionalassociada ao esforço transverso

= 0 (3.11)

Nesta equação k0A representa a área efectiva de cisalhamento, G o módulo de torção e r o raio de giração.Na eq.(3.11) distinguem-se os termos correspondentes à eq.(3.8), à inercia rotacional, à distorção por esforçotransverso e à inércia rotacional provocada por essa distorção.

3.1.2 Barra prismática em vibração axial

No caso de uma barra em que a excitação seja unicamente axial ( Fig. 3) a equação de equilibrio das forçassegundo o eixo da peça é dado por:

N + fIdx−µN +

∂N

∂xdx

¶= 0 (3.12)

62 Sistemas contínuos

dx

A(x); E(x); m(x) p(t) u(x,t)

Ndx

xNN

∂∂

+fI

dx

Figura 3 Barra prismática em vibra ção axial

dx

p(x,t)

x

dx

c(x)

tyxcxf D ∂

∂= )()(

tcsD ∂

∂=

εσ

ζ

Figura 4 Forças de amortecimento externas e internas.

Tendo em conta que N = σA = εEA = ∂u∂xEA e que as forças de inércia são, neste caso, dadas por

fI = m∂2u∂t2 , tem-se, para equação diferencial de movimento,

m∂2u

∂t2− ∂

∂x

µEA

∂u

∂x

¶= 0 (3.13)

3.1.3 Amortecimento em Barras prismáticas

As forças de amortecimento numa barra podem ser do tipo externo (figura 4) originando assim uma força deamortecimento dada por:

fD(x) = c(x)∂y

∂t(3.14)

Ao ser incluida esta força no equilibrio vertical dado pela equação (3.1) obtem-se a seguinte equação de movi-mento:

∂2

∂x2

µEI

∂2y

∂x2

¶+m

∂2y

∂t2+ c

∂y

∂t= p (3.15)

Sendo o amortecimento do tipo interno cs, ou seja, um amortecimento proporcional à velocidade de defor-mação axial ε(t), o resultado será a existência de um momento flector de amortecimento dado pela seguinteequação (fig.4):

MD(x) =

ZA

σDζdA =

ZA

cs∂ε

∂tζdA (3.16)

que pode ser posta na seguinte forma:

MD(x) =

ZA

cs∂3y

∂x2∂tζ2dA = csI(x)

∂3y

∂x3∂t(3.17)

Equação de movimento 63

Tendo em conta estes dois tipos de amortecimento a equação diferencial de movimento pode ser finalmenteposta na seguinte forma:

∂

∂x2

µEI

∂2y

∂x2+ csI

∂3y

∂x2∂t

¶+m

∂2y

∂t2+ c

∂y

∂t= p(x, t) (3.18)

3.1.4 Lajes finas em flexão

Por analogia com as peças prismáticas, e tendo em conta que o campo de deslocamentos w(x, y) de uma lajefina em flexão é dado pela equação de Lagrange, pode concluir-se que a equação do movimento não amortecidoserá dada por

m∂2w

∂t2+D

∙∂4w

∂x4+ 2

∂4w

∂x2∂y2+

∂4w

∂y4

¸= q (x, y, t) (3.19)

em que D = Eh3

12(1−ν2) , sendo h a espessura da laje, E o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson.

3.2 Vibração livre sem amortecimento

3.2.1 Barras prismáticas em flexão

A equação diferencial de movimento é a correspondente equação homogénea de (3.8), ou seja,

m∂2y

∂t2+

∂2

∂x2

µEI

∂2y

∂x2

¶= 0 (3.20)

cuja solução se pode pôr na formay(x, t) = φ(x)υ(t) (3.21)

Substituindo esta solução na equação diferencial (3.20) e considerando secção e material constantes ao longoda barra obtem-se a equação:

φ0000(x)υ(t) +

m

EIφ(x)υ(t) = 0 (3.22)

que, dividida por y(x, t), permite separar as variáveis obtendo-se:

φ0000

φ(x)+

m

EI

υ(t)

υ(t)= 0 (3.23)

Sendo nula a soma das duas parcelas da equação diferencial ordinária e envolvendo cada uma das parcelasapenas uma das variáveis, então terá de se verificar a seguinte relação:

φ0000

φ(x)= − m

EI

υ(t)

υ(t)= constante (3.24)

Para constante, na equação(3.24), pode usar-se λ4, pelo que se obtem o seguinte sistema de duas equaçõesdiferenciais ½

φ0000(x)− λ4φ(x) = 0

υ(t) + ω2υ(t) = 0(3.25)

em que se usou a notação ω2 = λ4EIm

A segunda das equações (3.25) corresponde à vibração livre de um OL1GL não amortecido, cuja solução foiestudada no capítulo 2. A primeira destas equações pode ser resolvida adoptando uma solução da forma:

φ(x) = cesx (3.26)

que, substituída em (3.25), permite escrever a equação característica do sistema

(s4 − λ4) = 0 (3.27)


cujas raízes são: s1,2 = ±λ e s3,4 = ±iλ. A equação (3.26) é então escrita na seguinte forma:

φ(x) = c1eλx + c2e

−λx + c3eiλx + c4e

−iλx (3.28)

ou, em alternativa,φ(x) = A1e

λx +A2e−λx +A3 sinλx+A4 cosλx (3.29)

ou ainda, usando as funções hiperbólicas sinhα = eα−e−α2 e coshα = eα+e−α

2 ,

φ(x) = B1 sinhλx+B2 coshλx+B3 sinλx+B4 cosλx (3.30)

As quatro constantes de integração e a constante λ necessários à determinação da deformada da barra emvibração livre – modo de vibração – e da frequência de vibração – frequência própria – são obtidas de acordocom as condições de fronteira do sistema.

3.2.1.1 Exemplo – Aplicação a uma viga em consola

Como exemplo de aplicação calculem-se as frequências próprias e os modos de vibração de uma barra em consolade comprimento L. Usando a equação (3.30), a determinação das constantes B1, B2, B3 e B4 é feita, de acordocom as condições de fronteira estáticas e cinemáticas:

• Deslocamento nulo para x = 0:

φ(0) = 0⇒ B2 +B4 = 0⇒ B4 = −B2

• Tangente horizontal nula para x = 0:

φ0(0) = 0⇒ λ [B1 coshλx+B2 sinhλx+B3 cosλx−B4 sinλx]x=0 = 0

B1 +B3 = 0⇒ B3 = −B1

• Momento nulo na extremidade livre, M(L) = EIφ00(L) = 0 :

φ00(L) = 0 = λ2 [B1 sinhλx+B2 coshλx−B3 sinλx−B4 cosλx]x=L

0 = B1 sinhλL+B2 coshλL−B3 sinλL−B4 cosλL

• Esforço transverso nulo na extremidade livre: V (L) = EIφ000(L) = 0

φ000 = 0 = λ3 [B1 coshλx+B2 sinhλx−B3 cosλx+B4 sinλx]x=L = 0

0 = B1 coshλL+B2 sinhλL−B3 cosλL+B4 sinλL

Daqui se conclui o seguinte sistema de equações escrito em forma matricial:∙(sinhλL+ sinλL) (coshλL+ cosλL)(coshλL+ cosλL) (sinhλL− sinλL)

¸½B1B2

¾=

½00

¾Para se obter uma solução não trivial do sistema, o determinante da matriz terá que ser nulo. Desta condição

obtém-se a seguinte equação de frequências do sistema:

(sinh2 λL− sin2 λL)− (coshλL+ cosλL)2 = 0

Calculando o quadrado da soma e simplificando obtem-se:

1 + coshλL cosλL = 0

Obtendo uma expressão para as raízes desta equação, em número infinito, podem ser calculadas as frequênciaspróprias do sistema através da seguinte equação

ωn = (λnL)2

rEI

mL4

Vibração livre sem amortecimento 65

Raízes da equação λnL frequências próprias ωn

λ1L = 1.8751 ω1 = (1.8751)2q

EImL4

λ2L = 4.6941 ω2 = (4.6941)2q

EImL4

λ3L = 7.8548 ω3 = (7.8548)2q

EImL4

λ4L = 10.9955 ω4 = (10.9955)2q

EImL4

Os modos de vibração são determinados em função de uma das constantes. Substituindo, por exemplo,

B2 = −sinhλL+ sinλL

coshλL+ cosλLB1

na equação da deformada e usando os valores das constantes calculados atrás obtem-se a seguinte equação dosmodos de vibração:

φ(x) = B1

∙sinhλx− sinλx+ sinhλL+ sinλL

coshλL+ cosλL(cosλx− coshλx)

¸cuja representação é feita na figura seguinte, para os quatro primeiros modos

x

y

x

y

3.2.1.2 Exemplo – Aplicação a uma viga simplesmente apoiada

No caso de uma viga simplesmente apoiada a equação de frequências do sistema é da seguinte forma:

sinλL = 0

que é satisfeita para λL = nπ. As frequências próprias são obtidas da expressão

ωn = (nπ)2

rEI

mL4

Na figura seguinte mostram-se os quatro primeiros modos de vibração obtidos da expressão

φ(x) = B1 sinnπx

L

x

y

x

y


No quadro seguinte apresentam-se os valores da constante A que permitem o cálculo das frequências própriasde barras com secção constante e vários tipos de condições de fronteira, de acordo com a expressão fn =A2π

qEImL4 :

Condições de Fronteira 1a Freq. 2a Freq. 3a Freq. 4a Freq.escastrada livre 3.52 22.4 61.7 121apoiada apoiada 9.87 39.5 88.9 158encastrada encastrada 22.4 61.7 121 200encastrada apoiada 15.4 50.0 104 178

3.2.2 Lajes finas em flexão

A solução da equação diferencial (3.70) obtem-se, tal como para as barras, através de funções separadas noespaço e no tempo

w(x, t) = φ(x, y)υ(t) (3.31)

permitindo obter as duas equações diferenciais que regem o sistema

(∂4φ(x,y)∂x4 + 2∂

4φ(x,y)∂x2∂y2 +

∂4φ(x,y)∂y4 − λ4φ(x, y) = 0

υ(t) + ω2υ(t) = 0(3.32)

em que se usou a notação ω2 = λ4Dm .

3.2.2.1 Exemplo – Aplicação a uma laje quadrada simplesmente apoiada no contorno

Como exemplo apresenta-se a função dos modos de vibração no caso de uma laje fectangular de dimensões a · bsimplesmente apoiada no contorno

φ(x, y) = sinrπx

asin

sπy

b

Nesta equação r e s são inteiros. As frequências naturais são obtidas de

ω = π2µr2

a2+

s2

b2

¶rD

m

r = 1 ; s = 1 r = 2 ; s = 1


r = 1 ; s = 2 r = 2 ; s = 2No quadro seguinte apresentam-se os valores da constante A que permitem o cálculo das frequências próprias

de lajes quadradas com secção constante e vários tipos de condições de fronteira, de acordo com a expressão

fn =A2π

qD

mL4 :

Condições de Fronteira 1a Freq. 2a Freq. 3a Freq. 4a Freq.

3.494 8.547 21.44 27.46

35.99 73.41 108.27 131.64

6.958 24.08 26.80 48.05

3.2.3 Método de Rayleigh

Em muitas aplicações de dinâmica de estruturas, nomeadamente em cálculo sísmico, a primeira frequênciaprópria e o respectivo modo de vibração são, muitas vezes, os elementos mais importantes para o cálculo daresposta da estrutura. Tem, pois, interesse prático o método proposto por Rayleigh para o cálculo da primeirafrequência própria de vibração, o qual se baseia no princípio da conservação da energia e pode ser enunciadoda seguinte forma: num sistema em vibração livre não amortecida a energia total, potencial mais cinética,mantêm-se constante.Como exemplo de aplicação deste princípio considere-se o caso do OL1GL em vibração livre não amortecida.

A energia potencial do sistema e a sua energia cinética são dadas, respectivamente, por V e T sendo:⎧⎨⎩ V = 12ky

2

T = 12my2

(3.33)

A amplitude de vibração do sistema segue uma lei sinusoidal e, se se escolher o inicio do tempo t de maneiraapropriada tem-se (figura 5)

y(t) =y0ωnsinωnt (3.34)

Assim sendo, é possível calcular a soma (V + T ) para t = 0 e para t = 2π4ωn

vindo, respectivamente,

[V + T ]t=0 =1

2my20 (3.35)

[V + T ]t= 2π4ωn

=1

2k

µy0ωn

¶2(3.36)


m

k

y(t)

y

t

t

y

nωπ2

Figura 5 Deslocamento e velocidade de um OL1GL não amortecido.

Usando o teorema da conservação da energia enunciado anteriormente, os valores de (T + V ) calculados emtempos diferentes terão de ser iguais, ou seja,

1

2my20 =

1

2ky20ω2n⇒ ωn =

rk

m(3.37)

o que corresponde à frequência própria definida para o OL1GL.A aplicação do método no caso de sistemas contínuos pode fornecer o valor exacto da frequência própria

desde que se conheça a função φ(x). No entanto, apesar de não ser conhecida à partida a expressão exactadaquela função, este método pode constituir uma forma aproximada de cálculo, pelo que a sua a aplicação écondicionada pela exactidão da estimativa φ(x) que se vier a adoptar para o modo de vibração.Repare-se que, constituindo a expressão (3.21) uma solução para a equação diferencial de movimento, isto

significa que a forma da deformada não depende do tempo, sendo esta dependência atribuida ao factor quemultiplica os valores de amplitude da deformada. As energias potencial e cinética de uma barra em flexão vêm,então, dadas por, respectivamente,⎧⎪⎨⎪⎩

V =R L0

12M2

EI dx =12

R L0EI³∂2y∂x2

´2dx

T = 12

R L0my2(x)dx

(3.38)

Tendo em atenção a separação de variáveis preconizada na eq.(3.24) a resposta é do tipo da obtida para oOL1GL

y(x, t) = φ(x)y0ωsinωt (3.39)

o que conduz à situação obtida nas equações (3.35) e (3.36) que neste caso se escreveriam da seguinte forma:

• Energia total para t = 0

[V + T ]t=0 = [0 + Tmax] =1

2

Z L

0

my20φ2dx (3.40)

• Energia total para t = 2π4ω

t =2π

4ω[V + T ]t= 2π

4ω= [Vmax + 0] =

1

2

Z L

0

EI

µy0ω

¶2 ¡φ00¢2dx

Aplicando a igualdade estabelecida pelo princípio da conservação da energia obtem-se o valor da frequênciaprópria fundamental

ω2 =

R L0EI¡φ00¢2dxR L

0mφ2dx

(3.41)


3.2.3.1 Método de Rayleigh melhorado – Aplicação a estruturas recticuladas.

A determinação da frequência própria fundamental pelo método de Rayleigh envolve o arbítrio de uma formapara o modo de vibração. A partir desta forma inicial pode calcular-se uma primeira aproximação da frequênciaprópria pela expressão (3.41). O método pode ser melhorado usando seguidamente o valor da frequência própriacalculada e a função φ0(x) arbitrada, para obter o valor das forças de inércia. Estas forças, aplicadas à barra,permitem obter uma nova deformada φ1(x) e novos valores de energia potencial e cinética, os quais permitemo cálculo de nova aproximação para a frequência própria.As forças de inércia máximas são calculadas, tendo em conta (3.39) de acordo com a seguinte expressão:

fI,0(x) = my0,max = mφ0

µy0ω

¶ω2 = A0ω

2φ0(x) (3.42)

em que y0,max é o valor máximo da aceleração em cada ponto da barra correspondente à primeira aproximaçãodo modo de vibração. Calculando a deformada introduzida na barra por estas forças, aquela pode sempre serposta, por conveniência, na seguinte forma:

y1(x) = A1ω2φ1(x) sinωt (3.43)

Os valores de energia potencial máxima e energia cinética máxima calculados para as forças fI,0(x) são entãodados, respectivamente, por:

Vmax =1

2

Z L

0

fI,0y1,max(x)dx =1

2

Z L

0

A0A1ω4mφ0φ1dx (3.44)

e

Tmax =1

2

Z L

0

m (y1,max)2dx =

1

2

Z L

0

m³ω3A1φ1

´2dx (3.45)

ou seja,

Vmax =A0A12

ω4Z L

0

mφ0φ1dx (3.46)

Tmax =A212ω6Z L

0

mφ2

1dx (3.47)

Igualando agora as equações (3.46) e (3.47), de acordo com o método de Rayleigh, obtem-se, para aproximaçãomelhorada da primeira frequência própria,

ω21 =A0A1

R L0mφ0φ1dxR L0mφ

2

1dx(3.48)

Prova-se [Clough & Penzien] que a aplicação sucesiva do método converge para a frequência própria maisbaixa da barra.A expressão (3.48) pode ser utilizada no cálculo da frequência própria de estruturas recticuladas1, as quais

deverão ser convenientemente discretizadas em massas concentradas mi. As forças de inércia dadas por:fI,0(x) = mig, são utilizadas para calcular os deslocamentos di da estrutura, em que g é a aceleração dagravidade. O valor das energias potencial e cinética máximas corresponde ao somatório, estendido ao númerototal de massas M, das respectivas energias, dado por, respectivamente,

Vmax =1

2

MXi=1

migdi (3.49)

e

Tmax =1

2

MXi=1

mi

³di (t)

¯max

´2=1

2

MXi=1

mi (ω1di)2 (3.50)

Igualando as equações (3.49) e (3.50) obtem-se, para primeira frequência própria,

ω21 = g

PMi=1midiPMi=1mid2i

(3.51)

1Tanto o Regulamento de Segurança e Acções como o Eurocódigo 8 sugerem expressões baseadas nesta expressão.


5mL

5mL

5mL

5mL

10mL

y1 y2 y3 y4 y5

Figura 6 Discretização da massa e cálculo dos deslocamentos para aceleração vertical unitária.

ou, considerando a frequência em ciclos por segundo,

f =1

2π

vuutg

PMi=1midiPMi=1mid2i

≡ 1

2π

vuutg

PMi=1 FidiPMi=1 Fid

2i

[Hz] (3.52)

3.2.3.2 Exemplo – Aplicação a uma viga em consola

Como exemplo de aplicação calculemos a primeira frequência própria da viga em consola do exemplo do pontoanterior, usando a seguinte equação para aproximar o modo de vibração φ(x):

φ(x) =3x2L− x3

2L3

x

y

x

yComparaço da fun ço aproximada com a funço exacta do primeiro modo e com os deslocamentosobtidos por aplicaço das acçes concentradas.

Efectuado o cálculo obtem-se, como estimativa ω1 = (1.889)2q

EImL4 , que se situa muito próximo do valor

exacto calculado anteriormente.Alternativamente podemos calcular aproximadamente a frequência própria usando a equação (3.52). Para o

feito discretize-se a massa em cinco pontos, calculando seguidamente o deslocamento devido a uma aceleraçãovertical unitária aplicada às massas.O vector de deslocamentos assim calculado é o seguinte:

y =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩0.0440.1530.3000.4640.633

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭mL4

5EI.

Por aplicação da equação (3.52) e considerando a aceleração unitária (g = 1), obtem-se a respectiva frequênciaprópria

ω =

vuutg

PMi=1midiPMi=1mid2i

=

r5

0.044 + 0.153 + 0.3 + 0.464 + 0.5× 0.6330.0442 + 0.1532 + 0.32 + 0.4642 + 0.5× 0.6332

rEI

mL4= (1.862)

2

rEI

mL4


3.2.4 Propriedades dos modos de vibração

3.2.4.1 Normalização

A amplitude de vibração nos modos naturais é um valor arbitrário e pode, por isso ser fixado para um pontoqualquer da estrutura, considerando-se frequentemente unitária a amplitude do ponto de amplitude máxima. Éhabitual, também, fazer-se a normalização do modo de vibração de maneira a obter-se um valor unitário paraa massa modal.Tome-se como exemplo o caso de uma barra prismática de massa por unidade de comprimento m(x). Define-

se massa modal Mn, associada ao modo n, o valor

Mn =

Z L

0

m(x)φ2n(x)dx (3.53)

Do mesmo modo se define também a rigidez modal Kn, associada ao modo n, como o valor

Kn =

Z L

0

EI(x)£φ00n(x)

¤2dx (3.54)

Usando a equação diferencial homogénea (3.20) multiplicada por φn(x) e integrada ao longo da barra obtem-se Z L

0

∂2

∂x2

µEI

∂2y

∂x2

¶φn(x)dx+

Z L

0

m∂2y

∂t2φn(x)dx = 0Z L

0

£EIφ00n

¤00φndx−

Z L

0

ω2nmφ2ndx = 0 (3.55)

No cálculo desta expressão teve-se ainda em conta que y(x, t) = φn(x) cos(ωnt−α). Calculando o primeiro dosintegrais por partes2 obtem-seh¡

EIφ00n¢0φn

iL0−£EIφ00nφ

0n

¤L0+

Z L

0

EI¡φ00n¢2dx− ω2n

Z L

0

mφ2ndx = 0 (3.56)

Pode demonstrar-se que o primeiro e segundo termo de (3.56) se anulam para todas as condições de fronteiraque sejam combinação de encastramentos, apoios simples ou extremidades livres. A eq.(3.56) fornece, então,o valor da n-ésima frequência própria do sistema de forma de forma semelhante ao que já acontecia para oOL1GL,

ω2n =

R L0EI¡φ00n¢2dxR L

0mφ2ndx

=Kn

Mn(3.57)

O processo de normalização referido à massa modal consiste em calcular o modo de vibração por forma ater-se

R L0mφ

2ndx = 1. Para isso basta que se normalize a forma modal através de φn(x) =

φn(x)√Mn

, em que

Mn =R L0mφ2ndx

3.2.4.2 Ortogonalidade

Para deduzir a condição de ortogonalidade dos modos de vibração basta multiplicar por φr a equação diferencialde vibração livre escrita para o modo φs e integrar ao longo do comprimento da barra. Tem-se, assim,Z L

0

φr

h¡EIφ00s

¢00 −mω2sφsφr

idx = 0 (3.58)

Tal como anteriormente, da integração por partes e das considerações acerca das condições de fronteira possíveisobtem-se: Z L

0

EIφ00sφ00rdx− ω2s

Z L

0

mφsφrdx = 0 (3.59)

2 Integração por partes: Zf 0gdx = fg −

Zf 0g0dx


Trocando os indices r e s e subtraindo a equação resultante da eq.(3.59) tem-se

(ω2s − ω2r)

Z L

0

mφsφrdx = 0 (3.60)

o que implica, para ωr 6= ωs, a seguinte condição de ortogonalidade envolvendo a massa do sistemaZ L

0

mφsφrdx = 0 (3.61)

Substituindo (3.61) em (3.59) obtem-se a condição de ortogonalidade dos modos de vibração envolvendo arigidez do sistema Z L

0

EIφ00sφ00rdx = 0 (3.62)

3.3 Resposta dinâmica de barras prismáticas

3.3.0.3 Vibração não amortecida

Considere-se a equação diferencial de movimento dada por (3.20) em que se inclui no segundo membro a acçãop(x, t) :

m∂2y

∂t2+

∂2

∂x2

µEI

∂2y

∂x2

¶= p(x, t) (3.63)

Esta acção excita várias frequências e modos naturais simultâneamente, vindo a resposta da estrutura dada pelacombinação linear de todos os modos possíveis desde que se possa aplicar o princípio da sobreposiçãodos efeitos. Dado que, no caso de estruturas contínuas se tem um número infinito de modos e tendo em contaa separação de variáveis no espaço—tempo, a resposta pode ser posta na seguinte forma:

y(x, t) =∞Xn=1

φn(x)yn(t) (3.64)

Substituindo a solução (3.64) na equação diferencial de movimento obtem-se

∞Xn=1

φn(x)yn(t)m(x) +∞Xn=1

£EIφ00n(x)

¤00yn(t) = p(x, t) (3.65)

Multiplicando cada um dos termos por φr(x) e integrando ao longo do comprimento tem-se

∞Xn=1

yn

Z L

0

φnφrmdx+∞Xn=1

yn

Z L

0

φn£EIφ00r

¤00dx =

Z L

0

φrp(x, t)dx (3.66)

Se tivermos em conta as condições de ortogonalidade definidas por (3.61) e (3.62) ter-se-á que a parteesquerda de (3.66) só não é nula para r = n, obtendo-se assim,

yn

Z L

0

mφ2ndx+ yn

Z t

0

φn£EIφ00n

¤00dx =

Z L

0

φnp(x, t)dx (3.67)

Tendo em atenção as definições de massa modal,Mn (3.53), rigidez modal, Kn (3.54), e ainda a relação existenteentre estes dois parâmetros ω2n =

Kn

Mn, podemos escrever a equação (3.67) de forma abreviada,

Mnyn(t) + ω2nMnyn(t) = pn(t) (3.68)

Nesta equação introduziu-se também um novo parâmetro modal, relativo à excitação, dado por

pn(t) =

Z L

0

φn(x)p(x, t)dx (3.69)

Resposta dinâmica de barras prismáticas 73

e que se designa por excitação modal associada ao modo n.O problema de se determinar a resposta de uma estrutura a uma excitação qualquer p(x, t) passa pela

determinação dos modos e frequências próprias de vibração usando a equação diferencial homogénea, seguindo-sea determinação dos parâmetros modais, massa e excitação, para seguidamente se resolver cada uma das equaçõesdiferenciais preconizadas em (3.68). Note-se ainda, que a solução de cada uma destas equações diferenciais nãoé mais do que a solução preconizada para o OL1GL, sendo por isso possível aplicar qualquer um dos métodosestudados para aquele caso.A solução final do problema é dada pela equação (3.64), ou seja, a sobreposição de todas as respostas modais

y(x, t) = φr(x)yr(t). A este método se chama, por isso, método da sobreposição modal.Como aproximação podem ser usadas apenas as respostas modais que contribuem significativamente para a

resposta. A decisão em torno do número de modos a serem utilizados depende fundamentalmente do conteúdoem frequência da excitação e da maneira como ela se distribui na estrutura.

3.3.0.4 Vibração amortecida

Tendo em conta os dois tipos de amortecimento incluídos na eq. (3.18), utilizando a decomposição em co-ordenadas modais preconizadas pela eq.(3.64) e realizando o mesmo processo de cálculo usado no caso nãoamortecido pode chegar-se à seguinte equação de movimento:

Mnyn(t) +∞Xr=1

yr(t)

Z L

0

φn(x)nc(x)φr(x) +

£csI(x)φ

00r (x)

¤00odx+ ω2nMnyn(t) = pn(t) (3.70)

Nesta equação de movimento, contráriamente ao que acontecia em (3.67), aparecem os modos r e n acopladosatravés das funções de amortecimento c(x) e cs(x). Este impedimento à decomposição da eq.(3.18) segundo ascoordenadas generalizadas pode ser levantado se aquelas funções de amortecimento satisfizerem as condições deortogonalidade equivalentes às definidas para a massa e para a rigidez. A forma de satisfazer aquelas condiçõesé considerar que c(x) é proporcional à massa do sistema e cs proporcional ao módulo de elasticidade, ou seja:½

c(x) = a0m(x)cs = a1E(x)

(3.71)

Substituindo (3.71)em (3.70) obtem-se

Mnyn(t) +¡a0Mn + a1ω

2nMn

¢yn(t) + ω2nMnyn(t) = pn(t) (3.72)

Dividindo por Mn e considerando o factor de amortecimento modal dado por

ξn =a02ωn

+a1ωn2

(3.73)

chega-se à forma da equação diferencial de movimento escrita em coordenadas modais

yn(t) + 2ξnωnyn(t) + ω2nyn(t) =pn(t)

Mn(3.74)

Note-se que o factor de amortecimento preconizado na expressão (3.74) depende de dois parâmetros, a0 ea1, os quais podem ser determinados se forem conhecidos os factores de amortecimento para dois modos devibração. Frequentemente apenas se tem informação acerca do amortecimento no primeiro modo, caso em quese considera a0 = 0.

3.3.0.5 Exemplo - Viga sujeita a duas cargas pontuais

Tome-se como exemplo uma viga simplesmente apoiada com rigidez EI e comprimento L sujeita a duas cargassinusoidais concentradas nos terços do vão, p(t) = p0 sinΩt.Admita-se ainda que a frequência de excitação é igualà primeira frequência própria, Ω = ω1 e que o factor de amortecimento nos dois primeiros modos é ξ1 = 0.01 eξ2 = 0.015 . Pretende-se calcular a resposta

a) no caso do ângulo de fase entre ambas as cargas ser 0;

b) no caso do ângulo de fase entre ambas as cargas ser π.


Resolução:Cálculo dos parâmetros modais:

Frequências próprias Modos de vibração Coeficientes de amortecimento

ωn = (nπ)2q

EImL4 = n2ω1 φ(x) = sin nπx

L a0 =175ω1 =

π2

75

qEImL4 a1 =

1150

1ω1= 1

150π2

qmL4

EI

Os valores modais de massa, rigidez e amortecimento são calculados da seguinte forma:

Mn = m

Z L

0

³sin

nπx

L

´2dx =

1

2mL− cosnπ sinnπ + nπ

nπ=1

2mL =M1

Kn = EI

Z L

0

µ∂2

∂x2sin

nπx

L

¶2dx =

1

2EIn3π3

− cosnπ sinnπ + nπ

L3=1

2n4π4

EI

L3= n4K1

ξn =a0

2n2ω1+

a1n2ω12

=1

150n2+

n2

300

a) No caso do ângulo de fase entre ambas as cargas ser 0, tem-se a seguinte função para a excitação modal:

pn(t) =

Z L

0

φn(x)p(x, t)dx =2X

k=1

p0 (sinΩt)

µsin

nπk

3

¶= p0 (sinΩt)

µsin

1

3nπ + sin

2

3nπ

¶com valores não nulos para:

n = 1, 7, . . . =⇒ pn(t) = p0,n sinΩt =√3p0 sinω1t

n = 5, 11, . . . =⇒ pn(t) = p0,n sinΩt = −√3p0 sinω1t

Estes valores compreendem-se se tivermos em conta a posição das cargas relativamente a cada um dosmodos de vibração, como se representa na figura ??.

1º modo

2º modo

3º modo

4º modo

5º modo

Cálculo da excitação modal para acções em fase

º modo

1º modo

2º modo

3º modo

4º modo

5

Cálculo da excitação modal para acções desfasadas.

A equação de movimento em coordenadas generalizadas obtida da equação (3.74) vem dada por:

yn(t) +1

150

¡1 + 2ω2n

¢yn(t) + ω2nyn(t) =

p0,nMn

sinω1t

cuja solução foi estudada no capítulo anterior e fornece a seguinte resposta estacionária de deslocamentogeneralizado no modo n:

yn(t) =p0,n

KnMn|Hn| sin(ω1t− αn) = y0,n

p0,nK1M1

sin(ω1t− αn)

Resposta dinâmica de barras prismáticas 75

em que Kn = n4K1, ωn = n2ω1, βn =1n2 , |Hn| =

q1

(1−β2n)2+(2ξnβn)

2 , αn = arctan 1150

2+n4

n4−1 e y0,n =150√

(22 501n8−44 996n4+22 504).No quadro seguinte indicam-se os valores destes parâmetros para diversos valores

de n:n Kn

K1

ωnω1

ξn βn |Hn| αn y0,n1 1 1 1.0× 10−2 1.00 50 1.57 502 16 4 1.5× 10−2 0.25 1.067 8× 10−3 6.64× 10−23 81 9 3.1× 10−2 0.11 1.013 6.9× 10−3 1.27× 10−24 256 16 5.4× 10−2 0.06 1.004 6.7× 10−3 3.92× 10−35 625 25 8.4× 10−2 0.04 1.002 6.7× 10−3 1.61× 10−3

Na figura seguinte mostra-se o traçado das funções de transferência em cada um dos cinco primeiros modosde vibração, considerando para eixo das abcissas o valor βn =

Ωn2ω1

= 1n2β1

.

302520151050

12.18

1

0.08208

0.006738

Beta n

Y0,n

Função de transferência correspondentes aos primeiros 5 modos de vibração em função de β1.

A resposta vem dada praticamente pelo primeiro modo, já que a contribuição dos modos superiores éinsignificante:

y1(t) =50√3

M1K1p0 sin(ω1t−

π

2) = 3.56

L2

mEIp0 sin(ω1t−

π

2)

A variação da deformada da viga com o tempo vem dada pela equação (3.64) em que o somatório se reduza um único termo:

y(x, t) = φ1(x)y1(t) = 3.56L2

mEIp0

³sin

πx

L

´sin³ω1t−

π

2

´b) No caso do ângulo de fase entre ambas as cargas ser π, tem-se a seguinte função para a excitação modal:

pn(t) =

Z L

0

φn(x)p(x, t)dx = p0 (sinΩt)

∙µsin

1

3nπ

¶−µsin

2

3nπ

¶¸com valores não nulos para:

n = 2, 8, . . . =⇒ pn(t) = p0 (sinΩt)√3

n = 4, 10, . . . =⇒ pn(t) = −p0 (sinΩt)√3

como se pode comprovar pela figura ?? para os primeiros cinco modos de vibração. Dado que a exci-tação apenas contém uma harmónica de frequência igual à primeira frequência própria e não havendocontribuição do primeiro modo para a resposta, o deslocamento dinâmico estacionário vem dado, pratica-mente, pela resposta no segundo modo de vibração:

y(x, t) ' φ2(x)y2(t) = 4.7× 10−3L2

mEIp0

µsin

2πx

L

¶sin¡ω1t+ 8× 10−3

¢.


Capítulo 4 Controlo de Vibrações em EstruturasNeste capítulo pretende-se abordar alguns casos de controlo de vibrações em estruturas, tanto através de dispos-itivos especiais que vibram conjuntamente com a estrutura como através de dispositivos que isolam a estruturaou equipamento a proteger, dos efeitos de acções dinâmicas directas ou indirectas. Os primeiros, aqui desig-nados de Sistemas Auxiliares de Controlo de Vibrações, podem ser constituídos apenas por uma massa e umamola elástica, ou incluirem também um dispositivo de amortecimento viscoso, passando a ser designados porAmortecedores de Massa Sintonizada. Os segundos inserem-se no grupo dos Sistemas de Apoio Especiais e sãomodelados através de molas elásticas e amortecedores viscosos.Para o estudo do primeiro tipo de dispositivos é necessário introduzir alguma teoria relacionada com o cálculo

da resposta do O¯scilador L

¯inear de dois G

¯raus de L

¯iberdade – OL2GL.

4.1 OL2GL - Solução por Transformada de Laplace

O estudo do oscilador de dois graus de liberdade tem um especial interesse para o controlo de vibrações emestruturas, nomeadamente para o dimensionamento de dispositivos usados para reduzir a amplitude de vi-brações provocadas por ressonância. A formulação das equações de movimento de um oscilador deste tipo foijá exemplificada no capítulo 1, pelo que aqui será apenas feito o estudo da resposta em cada um dos graus deliberdade.As duas equações de movimento do OL2GL da figura 1 podem ser escritas na seguinte forma matricial:∙

Me

ma

¸½yeya

¾+

∙c −c−c c

¸½ .ye.ya

¾+

∙Ke + ka −ka−ka ka

¸½yeya

¾=

½p(t)0

¾em que a acção exterior p(t) pode ser qualquer tipo de acção aplicada à massa Me. Usando a notação habitualpode escrever-se este sistema de equações na seguinte forma:

My +C.y +Ky = P (t)

Aplicando a transformação de Laplace L em ambos os lados da equação, obtém-se, sucessivamente1:

ML¡y¢+CL

¡y¢+KL

¡y¢= L [P (t)]

Mhs2L

¡y¢− sy

0− y

0

i+C

hsL¡y¢− y

0

i+KL

¡y¢= L [P (t)]£

s2M+ sC+K¤L¡y¢= L [P (t)] + (sM+C) y

0+My

0

Z (s)L¡y¢= L [P (t)] + (sM+C) y

0+My

0(4.1)

em que Z (s) = s2M+ sC+K se designa por matriz de impedância.Note-se que nesta equação se encontram as condições iniciais do movimento dadas pela velocidade inicial

y0= y

0(0) e pelo deslocamento inicial y

0= y(0). No caso particular destes valores serem nulos tem-se:

L¡y¢=

1

Z (s)L [P (t)] (4.2)

1A transformada de Laplace de uma função f (t) é definida da seguinte forma: f (s) = L [f (t)] =R∞0 f (t) e−stdt, em que

s = sr + isi é uma variável complexa.No cálculo usam-se as seguintes propriedades da Transformada:

Lµdnf

dtn

¶= snL [f (t)]− sn−1f (0)− sn−2

.f (0)− · · · sf(n−2) (0)− f (n−1) (0)

bem como:L (sinωt) = ω

s2 + ω2e L (cosωt) = s

s2 + ω2

OL2GL - Solução por Transformada de Laplace 77

Ke

Me

ka c

ma

ye

ya

Sistema Principal(Estrutura)

Sistema Auxiliar (de massa sintonizada)

Figura 1 Oscilador linear de 2 graus de liberdade

No caso em análise do OL2GL a matriz de impedância escreve-se:

Z (s) =

∙Mes

2 + cs+Ke + ka −cs− ka−cs− ka mas

2 + cs+ ka

¸(4.3)

e o Laplaciano do vector de excitação, no caso de esta ser harmónica, será:

L [P (t)] = L½

p0 sinΩt0

¾=

½p0Ω

s2+Ω2

0

¾(4.4)

A solução do sistema de duas equações (4.2) pode ser obtida pela regra de Cramer2 de que resulta:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

L [ye] =

¯¯ p0Ω

s2+Ω2 −cs− ka0 mas

2 + cs+ ka

¯¯¯

¯ Mes2 + cs+Ke + ka −cs− ka−cs− ka mas

2 + cs+ ka

¯¯= p0

Ωs2+Ω2

mas2+cs+kaD(s)

L [ya] =

¯¯ Mes

2 + cs+Ke + kap0Ω

s2+Ω2

−cs− ka 0

¯¯¯

¯ Mes2 + cs+Ke + ka −cs− ka−cs− ka mas

2 + cs+ ka

¯¯= p0

Ωs2+Ω2

cs+kaD(s)

(4.5)

em que o determinante da matriz de impedância é dado por

D(s) =Memas4 + (Mec+ cma) s

3 + (Meka +Kema + kama) s2 +Kecs+Keka (4.6)

As fracções nas equações (4.5) podem ser decompostas por forma a ter-se⎧⎪⎨⎪⎩L [ye] = Ues+Ve

s2+Ω2 +Qe(s)D(s)

L [ya] = Uas+Vas2+Ω2 +

Qa(s)D(s)

(4.7)

em que

⎧⎨⎩ Ue = p0AcΩ−B(ka−maΩ

2)A2+B2

Ve = p0ΩBcΩ+A(ka−maΩ

2)A2+B2

e½

Ua = p0Aka−BcΩA2+B2

Va = p0ΩAcΩ+BkaA2+B2

(4.8)

sendo, por sua vez ½A =MemaΩ

4 − (Meka +Kema + kama)Ω2 +Keka

B = − (Me +ma) cΩ3 +KecΩ

(4.9)

Pode mostrar-se que as fracções Q(s)D(s) nas equações (4.7) correspondem à resposta não estacionária, sendo a

respectiva resposta estacionária dada pela restante parte das equações e podendo ser posta na seguinte forma:½ye = |He| p0 sin (Ωt− φe)ya = |Ha| p0 sin (Ωt− φa)

(4.10)

2A solução do sistema Ax = P é obtido por xi =|Bi||A| em que |A| é o determinante da matriz e |Bi| é o determinante da mesma

matriz em que se substitui a coluna i pelo vector P .

78 Controlo de Vibrações em Estruturas

em que as funções de transferência, |He| e |Ha|, e os ângulos de fase φee φa,são dados por:⎧⎨⎩ |He| =q

(cΩ)2+(ka−maΩ2)2

A2+B2

φe =AcΩ−B(ka−maΩ

2)BcΩ−A(ka−maΩ2)

(|Ha| =

qk2a+(cΩ

2)2

A2+B2

φa =Aka−BcΩAcΩ+Bka

(4.11)

Tomando a resposta em frequência dada pelo módulo das funções de transferência de cada um dos sistemas,

multiplicadas no numerador e no denominador por³

Me

K2ema

´2, obtêm-se as seguintes expressões :

|He| =1

Ke

vuut (2ξβeρ)2+¡β2e − ρ2

¢2©β4e − [1 + (1 + μ) ρ2]β2e + ρ2

ª2+ (2ξβeρ)

2 £1− β2e (1 + μ)¤2 (4.12a)

|Ha| =1

Ke

vuut ρ4 + (2ξρ)2©β4e − [1 + (1 + μ) ρ2]β2e + ρ2

ª2+ (2ξβeρ)

2 £1− β2e (1 + μ)¤2 (4.12b)

em que se usaram as seguintes notações:

βe =Ω

ωe=

ΩqKe

Me

; βa =Ω

ωa=

Ωqkama

; ρ =ωaωe

; ξ =c

2maωa; μ =

ma

Me(4.13)

4.2 Sistemas Auxiliares de Controlo de Vibrações

Em condições de ressonância as estruturas podem apresentar amplitudes de vibração indesejáveis. Uma formade obviar a este problema é afastar a frequência própria do sistema da zona de frequências da excitação, o quese consegue, habitualmente, através da alteração da rigidez da estrutura modificando as condições de apoio, ouintroduzindo amortecimento na estrutura por forma a que a amplificação na ressonância seja suficientementebaixa. Uma forma alternativa de resolver o problema consiste em acoplar à estrutura, num ponto estratégico,um sistema auxiliar de controlo da amplitude de vibração constituido por uma massa, uma mola elásticae, eventualmente, um amortecedor viscoso. Considerando que as características dinâmicas da estrutura seassemelham às de um OL1GL3, o sistema resultante é um OL2GL tal como o representado na figura 1.

4.2.1 Sistema auxiliar sem amortecimento

No caso do sistema vibratório auxiliar não incluir elementos de amortecimento é possível sintonizá-lo4 por formae eliminar completamente as vibrações para a frequência de excitação igual à frequência própria da estruturaoriginal. Neste caso, a resposta em frequência dada pelas funções de transferência de cada um dos sistemas(equações 4.12a) pode ser posta na seguinte forma:

|He| =1

Ke

vuut ¡1− β2a

¢2£β2eβ

2a − β2a − (1 + μ)β2e + 1

¤2 = 1

KeDe (4.14a)

|Ha| =1

Ke

s1£

β2eβ2a − β2a − (1 + μ)β2e + 1

¤2 = 1

KeDa (4.14b)

Como se pode constatar da figura seguinte, a adição de um sistema auxiliar composto por uma massa euma mola linear separa o pico de ressonância em dois picos, tanto mais afastados quanto maior for a massado sistema auxiliar em relação à massa da estrutura. Verifica-se também que, para βe = 1, a amplitude davibração é nula, pelo que este tipo de sistema auxiliar é bastante eficiente na redução da amplitude de vibração

3Dado que o problema se põe apenas para uma das frequências próprias da estrutura, pode-se considerar que o OL1GL equivalenteterá aquele valor de frequência própria

4Ajuste da relação entre massa e rigidez da mola.

Sistemas Auxiliares de Controlo de Vibrações 79

quando a excitação é uma harmónica com frequência constante, ou aproximadamente constante, e próxima dafrequência própria da estrutura, Ω ' ωe.

21.510.50

50

37.5

25

12.5

0

beta

De

beta

De

Factor de amplificação do sistema estrutural para βe = βa e μ = 0.05 (preto) e μ = 0.5 (tracejado). A azulfino representa-se a mesma função para o sistema estrutural isolado.

A construção (sintonização) de um sistema auxiliar deste tipo exige que se fixe o valor da respectiva massa,suficiente para que a separação dos picos comporte eventuais oscilações da frequência de excitação, fixando-seseguidamente o valor de rigidez da mola por forma a ter-se ρ = ωa

ωe= 1.0. Como se pode observar no gráfico

que se segue, a amplitude de vibração do sistema auxiliar não é nula e será tanto maior quanto menor for a suamassa, pelo que, em regra, se deverá prever o espaço necessário à amplitude de vibração da massa auxiliar.

21.510.50

50

37.5

25

12.5

Beta

Da

Beta

Da

Factor de amplificação do Sistema Auxiliar para βe = βa e μ = 0.05 (preto) e μ = 0.5 (tracejado). A azul finorepresenta-se a mesma função para o sistema auxiliar isolado.

4.2.1.1 Exemplo de cálculo

Considere-se uma viga simplesmente apoiada com vão de 2.0m e rigidez de flexão de EI = 4.41 × 105, aqual suporta a meio-vão uma máquina com a massa de 150kg que gera uma força harmónica de 8kN a 20Hz.Pretende-se dimensionar um sistema auxiliar de massa sintonizada que permita reduzir a amplitude de vibraçãoda viga ao máximo de 5mm quando a máquina se encontra em funcionamento. Pretende-se ainda saber quala banda de frequências em que aquele requesito é verificado. Deve ter-se, ainda, em conta que a amplitude devibração do sistema auxiliar não deve ultrapassar 20mm.Resolução:

Parâmetros do sistema principal:

Ke =48EI

l3= 2.65× 103kN/m ; ωe =

rKe

Me=

r2.65× 1030.15

= 132. 92rad/s = 21.1Hz


2.00

Figura 2 Estrutura com controlo de vibrações por meio de sistema auxiliar sem amortecimento.

A frequência de operação da máquina é muito próxima da frequência própria, pelo que se desenvolvemamplitudes de vibração excessivas:

ymax =p0

Ke −MeΩ2=

8000

2.65× 106 − 150× (40π)2= 2. 84× 10−2m

Considerando que a frequência própria do sistema auxiliar deverá ser igual à frequência de excitaçãoβa = 1, a limitação da amplitude de vibração da massa auxiliar implica a seguinte desigualdade:

ya ≤1

Ke

1

μβ2e× 8000 =⇒ maΩ

2 ≤ 400 =⇒ β2a ka ≤ 400 kN/m

Adoptando um valor de rigidez da mola do sistema auxiliar igual a 400 kN/m a massa respectiva é dadapor

βa =Ω

ωa=√ma

Ω√ka= 1 =⇒ ma =

kaΩ2

=400

(40π)2 = 0.0253ton

Tendo em conta que βa =βeρ = 132.92

40π βe = 1. 057 7βe : e que μ = 0.02530.15 = 0.168 87 os deslocamentos

máximos de cada uma das massas são os seguintes:

ye,max =8

2.65× 103

vuuuut³1− (1. 057 7βe)

2´2

h(1. 057 7βe)

2β2e − (1. 057 7βe)

2 − 1.168 87β2e + 1i2

ya,max =8

2.65× 103

vuut 1h(1. 057 7βe)

2β2e − (1. 057 7βe)

2 − 1.168 87β2e + 1i2 (4.15)

e encontram-se representados na figura seguinte em função de βe :

21.510.50

0.02

0.015

0.01

0.005

0

Beta

Ymax

Beta

Ymax

Deslocamento máximo da viga (preto) e da massa auxiliar (azul) em função de βe. Limite de 5mm (vermelho).


Os limites de operação da máquina situam-se entre 0.864 ≤ βe ≤ 1.043, a que correspondem as seguintesvelocidades de rotação: 114.7 ≤ Ω ≤ 138.5rad/s. Contudo, estes limites não têm em conta a amplitude devibração do sistema auxiliar, a qual limita aqueles valores a 126.27 ≤ Ω ≤ 142.22rad/s.

4.2.2 Sistema auxiliar com amortecimento

No caso do sistema vibratório auxiliar incluir amortecimento viscoso designa-se geralmente por Amortecedorde Massa Sintonizado – Tuned Mass Damper (TMD). Um sistema deste tipo pode ser sintonizado por formaa reduzir, mas não a eliminar completamente, as vibrações da estrutura e apresenta a vantagem de reduzir asamplitudes não só na zona da frequência própria da estrutura original, mas sim numa banda mais alargada defrequâncias, evitando os picos pronunciados típicos do sistema sem amorteciemnto.

A resposta em frequência do OL2GL com amortecimento é dada pelas equações (4.12a), sendo a representaçãoda primeira dessas equações feita seguidamente em função de βe e ξ, e considerando ρ = 1 e μ = 0.25

21.510.50

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

Factor de amplificação dinâmica do sistema principal para ρ = 1, μ = 0.25 e 0.1 ≤ ξ ≤ 0.7. A traço maisgrosso ξ =∞.

Deste gráfico pode concluir-se que a variação do amortecimento do sistema auxiliar provoca alterações nacurva de resposta em frequência, havendo, no entanto, dois pontos fixos pelos quais passam todas as curvas.Calculando o limite da primeira das equações (4.12a) quando ξ →∞ tem-se o factor de amplificação dinâmica

11−β2e(1+μ)

, que se encontra representado a traço mais grosso no gráfico. Os pontos fixos são dados pela seguinteequação:

βe1,2 =

vuut1 + (1 + μ) ρ2 ±q1− 2ρ2 + (1 + μ)2 ρ4

2 + μ(4.16)

Por outro lado, do gráfico seguinte, que representa várias curvas para valores crescentes de ρ, conclui-se que,para determinados valores deste parâmetro, se obtêm curvas com baixa amplificação em todo o domínio defrequências, sendo portanto esses valores de ρ = ωa

ωeos mais indicados para o controlo das vibrações do sistema

principal.


2.00

Figura 3 Estrutura com controlo de vibra ções por meio de sistema auxiliar sem amortecimento.

21.510.50

20

15

10

5

x

y

x

y

Factor de amplificação dinâmica do sistema principal para ξ = 0.20, μ = 0.25 e valores de ρ entre 0.5 e 1.3. Atraço mais grosso ρ = 0.8.

Impondo a condição dos pontos fixos das curvas corresponderem a igual amplificação e de coincidirem comos pontos máximos da curva de amplificação dinâmica, podem deduzir-se duas condições que relacionam ρ, μ eξ, e que são as seguintes5:

ρ =1

1 + μξ =

s3μ

8 (1 + μ)(4.17a)

Estas são as relações a que deve obedecer o sistema de dois graus de liberdade para que as amplitudes devibração do sistema principal sejam mínimas em toda a banda de frequências.

4.2.2.1 Exemplo de cálculo

Considere-se o exemplo do ponto anterior, em que se introduz um elemento de amortecimento. Pretende-sedimensionar um sistema auxiliar de massa sintonizada amortecida em condições idênticas às atrás impostas.Resolução:

Considerando uma massa auxiliar igual à que se calculou naquele exemplo (ma = 25kg), chega-se aosseguintes valores:

μ =1

6; ρ =

1

1 + 16

=6

7; ωa =

7

6× 132.92 = 155. 07rad/s ; ξ = 2

s36

8¡1 + 1

6

¢ = 0.23A curva de resposta de deslocamentos em frequência de cada uma das massas é dada por:

5Na equação do factor de amortecimento o denominador da fracção aperece elevado ao cubo – (1 + μ)3 – em alguma bibliografiabaseada no livro de Den Hartog, Mechanische Schwingungen (Springer-Verlag, 1952). Verifica-se que, nesse caso, os máximos dafunção não são iguais, pelo que não nos parece ser essa a solução correcta quando se impõem as condições referidas no texto. Adiferença entre as duas expressões é, na prática, diminuta, já que se tem habitualmente μ << 1.


ye,max = 3.018 9× 10−3vuutÃ 0.155 46β2e +

¡β2e − 36

49

¢2¡β4e − 13

7 β2e +

3649

¢2+ 0.155 46β2e

¡1− 7

6β2e

¢2!

ya,max = 2.517 2× 10−3vuutÃ 1¡

β4e − 137 β

2e +

3649

¢2+ 0.155 46β2e

¡1− 7

6β2e

¢2!

(4.18)

e encontra-se representada no gráfico seguinte em comparação com a resposta da viga com a massa auxiliarrigidamente ligada a ela (ξ =∞):

21.510.50

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0

x

y

x

y

Curva de resposta em frequência dos deslocamentos da viga a meio-vão (vermelho) e da massa auxiliar (azul),em comparação com a resposta da viga com a massa rigidamente ligada (ξ =∞).

Como se pode constatar da figura, embora a redução da amplitude de vibração conseguida seja mais uniformeque no caso do sistema sem amortecimento, não é posível reduzir essa amplitude para os valores desejados, ouseja, abaixo de 5mm. Mesmo no caso de se aumentar o valor da massa auxiliar para 100kg têm-se amplitudesde vibração ligeiramente acima do limite fixado, como se pode observar na figura seguinte:

21.510.50

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0

x

y

x

y

Curva de resposta em frequência dos deslocamentos da viga a meio-vão (vermelho) e da massa auxiliar (azul),em comparação com a resposta da viga com a massa rigidamente ligada (ξ =∞).

4.3 Isolamento da Base

O isolamento da base de um sistema – estrutura ou máquina – pode surgir como solução para limitar asvibrações que lhe são comunicadas por vibração exterior, ou para limitar a propagação ao exterior das vibrações


m

k c

y

yG

Conjunto Estrutura(Equipamento)+Isolamento

Fundação

p(t)

Figura 4 Estrutura/Equipamento e isolamento de base modelados como um OL1GL

ou forças dinâmicas por ele geradas.Um exemplo do primeiro caso é o do isolamento das fundações de máquinas de alta precisão cujas condições

de funcionamento exigem que sejam limitadas as amplitudes das vibrações que eventualmente lhe sejam transmi-tidas através dos apoios. O modelo de 1GL pode ser usado, considerando os valores relativos de deslocamentosyr e suas derivadas, yr e yr, em relação à base, sujeita a acelerações yG:

yr + 2ξωnyr + ω2nyr = −yG (4.19)

A aceleração total transmitida à massa que se pretende isolar, dada pela soma das acelerações relativas e dabase, y = yG + yr = −FT (t)

m , conjuntamente com o deslocamento relativo yr, constituem os parâmetros decontrolo mais importantes. FT (t) representa a força transmitida à fundação e é dada pela soma da força deamortecimento e força elástica.No caso de serem considerados os valores totais de deslocamentos y e suas derivadas, y e y, tem-se a seguinte

equação:y + 2ξωn (y − yG) + ω2n (y − yG) = 0 (4.20)

sendo a força transmitida à fundação dada por FT (t)m = 2ξωn (y − yG) + ω2n (y − yG) = −y.

No segundo caso insere-se o isolamento de fundações de máquinas que geram forças de impacto ou forçasperiódicas durante o seu funcionamento, as quais necessitam de ser amortecidas antes de chegarem à estruturada fundação. O uso do modelo de 1GL baseia-se na equação:

y + 2ξωny + ω2ny =p(t)

m(4.21)

em que m é a massa que gera a força p(t). A força transmitida à fundação é dada pela soma da força elásticae de amortecimento ou pela diferença da força de inércia e da força gerada pelo próprio oscilador, FT (t) =ky + cy = p(t)−my.Em qualquer dos casos expostos gera-se uma força de transmissibilidade FT (t) nos elementos de ligação à

fundação, mola e amortecedor, cuja variação em frequência e com o factor de amortecimento foi já introduzida

no capítulo 2 e é dada por T (ξ, β) =q

(2ξβ)2+1

(1−β2)2+(2ξβ)2 , sendo representada no gráfico seguinte para vários valoresde amortecimento:

21.510.50

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

Representação do Factor de Transmissibilidade variando em frequência e para valores do factor deamortecimento entre ξ = 0.01 (vermelho) e ξ = 1.0 (preto).

Isolamento da Base 85

Como se pode verificar do gráfico, a transmissibilidade é inferior à unidade (isolamento) para valores β >√2,

e é tanto maior quanto menor for o amortecimento. Refira-se, no entanto, que, na prática, o isolamento a usarpode ser também condicionado por valores limite a verificar para β <

√2, e que correspondem, por exemplo,

a fases transitórias do início de movimento de máquinas. Por esta razão a existência de amortecimento énecessária, por forma a limitar as amplitudes nessas fases transitórias, em especial quando a frequência passapela zona de ressonância.


Capítulo 5 Sistemas dinâmicos discretos lineares

5.1 Equações diferenciais do movimento

Os sistemas dinâmicos discretos também designados por osciladores de vários graus de liberdade (OVGL),resultam da discretização das funções de rigidez, massa, amortecimento e excitação correspondentes ao respectivosistema contínuo.Tomando como exemplo o caso de uma barra prismática (figura 1) discretizada em elementos,o movimento da barra pode ser aproximado através dos deslocamentos nos nós criteriosamente introduzidos nabarra.A equação de movimento pode ser formulada através da 2a¯ lei de Newton que preconiza o equilibrio das

forças, incluindo a força de inércia em qualquer instante e em qualquer ponto da estrutura. Limitando-nosaos pontos de discretização teríamos, no caso do exemplo da figura 1, um sistema de N equações de equilibriocorrespondentes aos graus de liberdade adoptados,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

fI,1 + fc,1 + fk,1 = p1(t)fI,2 + fc,2 + fk,2 = p2(t)...fI,N + fc,N + fk,N = pN (t)

(5.1)

Cada um dos vectores representativos das forças pode ser relacionado com os deslocamentos ou suas derivadas.No caso das forças elásticas teríamos o vector de forças elásticas f

krelacionado com o vector de deslocamentos

y através da matriz K,

fk=Ky (5.2)

em que o elemento kij da matriz k representa a força gerada na coordenada i devida a um único deslocamentounitário na coordenada j. A matriz k é assim amatriz dos coeficientes de influência da rigidez do sistemapara as coordenadas consideradas. Da mesma forma se poderá formular o vector de forças de inércia f

Ie de

amortecimento fc, pelo que se obtem, respectivamente,

fI=My (5.3)

fc= Cy (5.4)

em que as matrizes dos coeficientes de influência da massam e do amortecimento c contêm elementosmij e cij cujo significado físico é o de representarem, respectivamente, a força gerada em i devido a umaaceleração unitária em j e a força gerada em i devido a uma velocidade unitária em j. Usando as matrizes decoeficientes de influência assim definidos, a equação (5.1) pode, então, ser escrita em forma matricial:

My +Cy +Ky = p(t) (5.5)

Barra contínua

P(x,t)

f1, p1 f2, p2 fn, pn

1 2 nBarra discretizada

Figura 1 Discretização de uma barra prismática

Equações diferenciais do movimento 87

1

3

2

4

L 1 ψ2(x)

1 ψ1(x)

Figura 2 Elemento finito de barra com quatro graus de liberdade e respectivas funções de forma.

5.2 Cálculo dos coeficientes de influência para barras

O cálculo dos elementos das matrizes de coeficientes de influência da eq.(5.5) pode ser feito de forma geralpara o elemento finito de barra. A formulação em termos de método dos elementos finitos, que traduz umageneralização do método dos deslocamentos, é de preferir, já que introduz uma sistematização do problema quepode ser mais facilmente implementada em cálculo automático.O conceito de elemento finito permite-nos definir as matrizes em causa para esse mesmo elemento –neste

caso o elemento barra–, sendo as propriedades do sistema global calculadas por assemblagem das propriedadesde cada um dos elementos.

5.2.1 Matriz de rigidez do elemento de barra

O elemento de barra é definido pela sua rigidez, EI, comprimento, L, e coordenadas nodais com um máximode seis em cada extremidade ou nó.Os coeficientes da matriz k podem ser calculados a partir do princípio dos trabalhos virtuais. Considere-se

por exemplo a barra da figura 2, em que os graus de liberdade relevantes são reduzidos a 2 em cada extremidade.Para se determinar a força existente segundo 1 quando o deslocamento segundo 2 é unitário, k12, podemosrecorrer ao princípio dos trabalhos virtuais admitindo que a barra deformada com a forma ψ2(x) sofre umdeslocamento virtual δy1 na direcção da coordenada 1. O trabalho realizado pelas forças exteriores We virá,então, dado por

We = δy1k12 (5.6)

O trabalho virtual das forças internas é dado pelo produto dos momentos associados à deformada ψ2(x)pelas curvaturas virtuais originadas pelo deslocamento virtual segundo 1, ou seja

Wi =

Z L

0

EIψ002ψ001δy1dx (5.7)

Igualando o trabalho exterior ao interior teremos

k12 =

Z L

0

EIψ002ψ001dx (5.8)

Esta equação pode ser escrita de maneira geral para quaisquer graus de liberdade i e j da seguinte forma:

kij =

Z L

0

EI(x)ψ00j (x)ψ00i (x)dx (5.9)

Nométodo dos elementos finitos as funções ψ(x) são denominadas funções interpoladoras ou funçõesde forma e podem ser quaisquer funções que satisfaçam a continuidade no interior da barra e nas ligações aoutras barras. No caso da barra prismática, e se forem utilizadas as funções de forma correspondentes a secçãoconstante dadas por ⎧⎪⎨⎪⎩

ψ1(x) = 1− 3¡xL

¢2+ 2

¡xL

¢3ψ2(x) = x

¡1− x

L

¢2 (5.10)

88 Sistemas dinâmicos discretos lineares

a matriz k pode ser escrita na seguinte forma, de resto já conhecida do método dos deslocamentos,

k =2EI

L3

⎡⎢⎢⎣6 3L −6 3L3L 2L2 −3L L2

−6 −3L 6 −3L3L L2 −3L 2L2

⎤⎥⎥⎦ (5.11)

Como seria de esperar a matriz de rigidez apresentada é exacta para o caso da barra ter secção constante eé apenas aproximada no caso da secção ser variável. Neste caso pode optar-se por uma discretização mais finapara melhorar a aproximação, ou, em alternativa, deduzir os coeficientes de rigidez tendo em conta a variaçãoI(x).

5.2.2 Matriz de massa do elemento de barra

A matriz de coeficientes de influência das forças de massa m pode ser determinada usando os mesmos conceitosde elementos finitos já utilizados para a determinação dos elementos da matriz de rigidez. Suponha-se que sepretende determinar o coeficientem12 relativo à figura 2. Tal como foi já defenido anteriormente, m12 representaa força que é necessário aplicar em 1 quando se introduz uma aceleração unitária em 2 por forma a que todosos restantes graus de liberdadetenham acelerações nulas. Admitindo as mesmas funções interpoladoras usadasanteriormente, as acelerações de qualquer ponto da barra serão dadas por

y(x) = ψ2(x)y2 (5.12)

ou seja, as forças de inércia desenvolvidas ao longo da barra serão

fI(x) = m(x)y(x) = m(x)ψ2(x)y2 (5.13)

Para obter o valor do coeficiente m12 basta recorrer novamente ao princípio dos trabalhos virtuais, ou seja,dar um deslocamento virtual na coordenada 1 e igualar o trabalho virtual da força exterior nesta coordenadaao trabalho das forças de inércia, tendo ainda em conta que y2 = 1,

m12δy1 =

Z L

0

fI(x)δy(x)dx =

Z L

0

m(x)ψ2(x)ψ1(x)δy1dx (5.14)

Também neste caso se pode generalizar o cálculo dos coeficientes mij para a seguinte expressão:

mij =

Z L

0

m(x)ψj(x)ψi(x)dx (5.15)

Utilizando as funções de forma (5.10) obtem-se a seguinte matriz dos coeficientes das forças de massa

m =mL

420

⎡⎢⎢⎣156 22L 54 −13L22L 4L2 13L −3L254 13L 156 −22L−13L −3L2 −22L 4L2

⎤⎥⎥⎦ (5.16)

à qual é usual chamar-se matriz consistente das massas ou de inércia.Um procedimento mais simples para a determinação da matriz m baseia-se em admitir que as massas estão

concentradas nas extremidades do elemento, não possuindo qualquer inércia rotacional. Neste caso só existemcoeficientes não nulos na diagonal da matriz, a que correspondem os graus de liberdade de translacção. Nascoordenadas de rotação o valor dos coeficientes mij é nulo já que se considera que as massas concentradas nãotêm inércia rotacional.A matriz m da barra da figura 2, considerando massa constante, seria dada por

m =mL

2

⎡⎢⎢⎣1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ (5.17)

À matrizm assim definida é dado o nome de matriz de massas concentradas (Lumped-mass matrix ). Note-se que, sendo esta matriz sempre diagonal, o cálculo da equação de movimento é mais simples do que utilizandoa matriz anteriormente definida.A matriz de massas concentradas definida por (5.17) pode ser generalizada para barras com massa não

uniforme, calculando o valor da massa concentrada em cada nó através de equações da estática.

Coeficientes de influência para barras 89

5.2.3 Matriz dos amortecimentos do elemento de barra

Da mesma maneira que para a matriz de rigidez ou para a matriz consistente das massas também para oamortecimento se pode definir o coeficiente de influência cij da seguinte forma

cij =

Z L

0

c(x)ψi(x)ψj(x)dx (5.18)

Note-se, no entanto, que a determinação da função c(x) é normalmente impraticável, já que implicaria conhecero amortecimento associado a cada elemento em que se divide a estrutura. Os amortecimentos são, por isso,estabelecidos através dos coeficientes de amortecimento relacionados com as coordenadas modais de formasemelhante àquela que se introduziu para os sistemas contínuos e que se estudará mais adiante.

5.2.4 Vector da excitação

Os elementos do vector de cargas p(t) são calculados através do integral do produto da carga pela respectivafunção de forma

pi(t) =

Z L

0

p(x, t)ψi(x)dx (5.19)

5.2.5 Escolha da formulação adequada

A formulação em termos da matriz consistente de massa traduz um modelo mais exacto, embora à custa deum aumento significativo de complexidade dos cálculos a efectuar, quando comparada com a formulação emtermos de massas concentradas. A aplicação feita do método de Rayleigh melhorado para a determinação daprimeira frequência própria de estruturas contínuas baseia-se na formulação de massas concentradas e revela-se,em geral, suficientemente exacta quando comparada com a formulação baseada na matriz consistente de massa.

5.3 Vibração livre não amortecida

A equação de movimento é escrita na sua forma homogénea,

My(t) +Ky(t) = 0 (5.20)

Por analogia com o OL1GL teremos para solução desta equação diferencial,

y(t) = a sin(ωnt+ θ) (5.21)

que, substituinda em (5.20) fornece

−ω2nMa sin(ωnt+ θ) +Ka sin(ωnt+ θ) = 0 (5.22)

ou seja, ¡K− ω2nM

¢a = 0 (5.23)

Esta equação representa um sistema de equações em a cuja solução, pela regra de Cramer, pode ser posta naseguinte forma:

a =0

kK− ω2nMk(5.24)

em que o denominador representa o determinante da matriz¡K− ω2nM

¢. Para que o sistema possa ter soluções

não triviais, ou seja, a 6= 0, é necessário que o denominador seja nulo,°°K− ω2nM°° = 0 (5.25)

À equação assim obtida dá-se o nome de equação de frequências do sistema.


A equação (5.25) tem a forma de um polinómio em ω2n de grau igual ao número de graus de liberdade, N ,do sistema. Cada uma das N raízes da equação representam uma frequência própria do sistema. Sendo asmatrizes de massa e rigidez simétricas e positivas definidas, todas as soluções são reais e positivas e constituemos N valores próprios da matriz

¡K− ω2nM

¢.

Conhecidos os valores das raízes, estas podem ser substituidas na eq.(5.23). A cada valor de ω2n irá cor-responder um vector an, o qual só poderá estar completamente definido se fôr fixado um dos seus elementos.Note-se que o sistema de equações (5.23) é identicamente satisfeito sempre que se substitua a frequência própriapor um dos valores possíveis, permanecendo no entanto indeterminado, já que o determinante correspondenteé nulo. Para levantar a indeterminação basta fixar um dos valores do vector an. O novo vector assim definidopoderá ser da seguinte forma:

an =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1

an,2an,1...

an,Nan,1

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ =

½1a0n

¾

A equação (5.23) pode, então, ser escrita na seguinte forma

E(n)an = 0 (5.26)

em que E(n) = K−ω2nM e o vector an contém um valor unitário, a1,n = 1. A matriz E(n) pode ser decompostaem sub-matrizes da seguinte maneira:"

e(n)11 E

(n)T

10

E(n)01 E

(n)00

#½1a0n

¾=

½00

¾(5.27)

O sistema de equações representado matricialmente em (5.27) é constituido por dois grupos de equações,(e(n)11 + E

(n)T

10 a0n = 0

E(n)01 +E

(n)00 a0n = 0

(5.28)

Destes, o primeiro grupo contém apenas uma equação que é identicamente satisfeita, e constitui uma maneirade verificar a exactidão do vector a0n calculado do segundo grupo de equações,

a0n = −E(n)01

E(n)00

= −E(n)01

³E(n)00

´−1(5.29)

O vector an assim obtido é um vector próprio associado ao respectivo valor próprio e constitui o modo devibração n. Dependente da numeração feita para os graus de liberdade e do modo de vibração em estudo, ovector an pode conter valores muito grandes ou muito pequenos que introduzam dificuldades numéricas. É,pois, habitual fazer-se uma normalização dividindo todos os seus elementos pelo maior valor an,max, obtendo-seassim um vector normalizado φn

φn=

anan,max

⎧⎪⎨⎪⎩1

an,max

a0nan,max

⎫⎪⎬⎪⎭ (5.30)

Considerando que cada um dos vectores φné uma coluna da matriz Φ dos modos de vibração tem-se

Φ =hφ1φ2· · ·φ

N

i(5.31)

5.3.1 Ortogonalidade dos modos de vibração

Tal como no caso de sistemas contínuos, também aqui podemos deduzir as condições de ortogonalidade dosmodos de vibração partindo da equação de frequências do sistema. Substituindo a na equação (5.23), sepa-radamente, pelos vectores φ

re φ

s, correspondentes aos modos de vibração r e s, podemos escrever o seguinte

conjunto de equações:⎧⎨⎩¡K− ω2rM

¢φr= 0¡

K− ω2sM¢φs= 0

⇒

⎧⎨⎩Kφ

r= ω2rMφ

r

Kφs= ω2sMφ

s

⇒

⎧⎨⎩qr= ω2rMφ

r

qs= ω2sMφ

s

(5.32)

Vibração livre não amortecida 91

em que qre q

srepresentam os vectores de carga correspondentesao produto da matriz de rigidez do sistema

pelo conjunto de deslocamentos constituído por cada um dos modos de vibração.Note-se que a parte direita daseq.(5.32) representam as forças de inércia correspondentes a cada um dos modos de vibraçãoDe acordo com a lei de Betti, o trabalho realizado por um conjunto de acções que se movem através do

conjunto de deslocamentos produzido por outro conjunto de acções é constante, pelo que

φTrqs= φT

sqr= constante (5.33)

Substituindo qre q

spelos seus valores dados por(5.32) e usando a equação Kφ

s= ω2sMφ

smultiplicada à

esquerda por φTrobtem-se ⎧⎨⎩

φTrω2sMφ

s= φT

sω2rMφ

r

φTrKφ

s= ω2sφ

T

rMφ

s

(5.34)

Tendo em atenção que φTrMφ

s= φT

sMφ

r, este sistema de equações pode ser posto na seguinte forma

⎧⎨⎩¡ω2s − ω2r

¢φTrMφ

s= 0

φTrKφ

s= ω2sφ

T

rMφ

s

(5.35)

No caso das frequências próprias dos modos de vibração s e r serem diferentes, ω2s 6= ω2r, a primeira dasequações conduz à condição de ortogonalidade em termos da matriz de massa

φTrMφ

s= 0 (5.36)

o que, introduzido na segunda equação, conduz à condição de ortogonalidade em termos da matriz de rigidez

φTrKφ

s= 0 (5.37)

5.3.2 Normalização dos modos de vibração

Como foi apontado anteriormente, as amplitudes dos modos de vibração são indeterminadas, sendo, por isso,necessário fixar o valor em uma das coordenadas por forma a que possam ser determinados os valores em todasas restantes. O processo de normalização pode ser feito da forma já atrás proposta, dividindo todos os valorespelo maior deles e tendo assim valores entre zero e um. Uma outra forma de normalizar o vector de amplitudesé ajustar cada uma das amplitudes no vector an por forma a ser satisfeita a seguinte condição:

φTnMφ

n= 1 (5.38)

Para que esta condição se verifique basta impôr φn=

an√Mn

em que Mn é calculado substituindo o valor de

φnna equação (5.38),

aTnpMn

ManpMn

= 1 (5.39)

ou seja,

Mn = aTnMan (5.40)

Tendo em conta esta condição de normalização e as condições de ortogonalidade podemos escrever

ΦTMΦ = I (5.41)

em que I é a matriz identidade.


5.4 Cálculo numérico de valores e vectores próprios

O cálculo das frequências próprias e modos de vibração constitui, como se viu, um problema de cálculo devalores e vectores próprios de matrizes. O cálculo directo, tal como é preconizado na equação (5.25), é, emgeral, impraticável, dado o numero de graus de liberdade necessário à discretização das estruturas reais. Poroutro lado, e dependente do tipo de acções dinâmicas impostas às estruturas, não é normalmente necessáriocalcular todos os valores próprios. No caso de acções sísmicas em edifícios regulares, por exemplo, têem-se muitoboas aproximações usando apenas um a três modos de vibração.Pelas razões indicadas apresentam-se com especial interesse os métodos numéricos de cálculo de valores

próprios que permitam, com relativamente pequeno esforço de cálculo obter boas aproximações nas frequênciaspróprias mais baixas.

5.4.1 Método de Stodola

Este método começa por arbitrar uma forma para o primeiro modo de vibração, a qual vai sendo sucessivamentealterada até se atingir a forma real com uma precisão considerada suficiente. Obtido o primeiro modo é possívelfazer-se convergir o processo para a forma do segundo modo de vibração desde que a forma arbitrada sejaortogonal relativamente ao primeiro modo. Da mesma maneira se podem obter quaisquer outros modos deforma incremental embora sempre com perda de precisão, ou seja, para obter o modo n deveremos arbitrar umaforma que seja ortogonal a todos os modos anteriores, pelo que estes terão que ter sido calculados com precisãosuficiente.Partindo da equação (5.23) podemos escrever o equilibrio dinâmico do sistema não amortecido, para o

primeiro modo de vibração, da seguinte maneira:

1

ω21a1 =K

−1Ma1 (5.42)

Se o vector a1 não corresponder ao primeiro modo de vibração então a equação (5.42) não é identicamentesatisfeita. No entanto, pode ser calculado um novo vector a(1)1 a partir do vector inicialmente arbitrado a(0)1 ,

1

ω21a(1)1 =K−1Ma

(0)1 (5.43)

Na realidade este vector a(1)1 sá poderia ser calculado se fosse conhecida a frequência própria ω1, pelo que,na prática, o vector que é possível de ser calculado é o vector a(1)1 = 1

ω21a(1)1 . Note-se, no entanto, que, se o

vector a(0)1 fôr o correcto então a(1)1 = a(0)1 , o que significa que ω

21 =

a(0)1

a(1)1

.

Qualquer que seja o vector arbitrado inicialmente, a forma calculada a(1)1 será sempre uma melhor aproxi-

mação para o primeiro modo de vibração. Repetindo o processo um número s de vezes tem-se então,

a(s)1 =K−1Ma

(s−1)1 (5.44)

Admitindo que a aproximação conseguida é suficiente, ou seja, a(s)1 ' a(s−1)1 , ter-se-á, então,

ω21 =a(s−1)1

a(s)1

(5.45)

Note-se que da operação em (5.45) deveria resultar sempre o mesmo valor para ω21 qualquer que fosse oelemento dos vectores utilizado para o cálculo. Isto só acontecerá se a aproximação conseguida para a forma domodo de vibração a(s−1)1 for suficientemente exacta.Demonstra-se [Clough] que, se o vector inicialmente arbitrado não for ortogonal relativamente ao primeiro

modo, este método converge para a primeira frequência própria e para o correspondente modo de vibração.O cálculo de um valor aproximado para a frequência própria pode ser feito à segunda iteração usando o

quociente de Rayleigh dado pela equação (3.48), e que pode ser posta em forma matricial,

ω21 =a(1)T

1 Ma(0)1

a(1)T

1 Ma(1)1

(5.46)

Cálculo numérico de valores e vectores próprios 93

A determinação do segundo modo de vibração e seguintes pode ser feita eliminando sistemáticamente osmodos de vibração mais baixos do vector a(s)n . Isto pode ser feito se tivermos em consideração que qualquerdeformada pode ser expressa como combinação linear dos modos de vibração. Para o segundo modo teríamos

a(s)2 = α1φ1 + α2φ2 + α3φ3 + . . . (5.47)

Se multiplicarmos à esquerda ambos os membros da equação por φT1M obtem-se:

φT1Ma

(s)2 = α1φ

T

1Mφ

1+ α2φ

T

2Mφ

2+ . . . (5.48)

Na parte direita desta equação todos os elementos são nulos à excepção do primeiro, devido à ortogonalidadedos modos de vibração. O coeficiente α1 aparece assim como a amplitude do primeiro modo de vibração contidano vector a(s)2 e pode ser calculado de acordo com a seguinte expressão

α1 =φT1Ma

(s)2

M1(5.49)

em que M1 = φT1Mφ

1é a massa modal do primeiro modo. Definindo um novo vector a, ortogonal ao primeiro

modo, não contendo, por isso, componentes no primeiro modo de vibração, ele pode ser escrito da seguinteforma:

a(s)2 = a

(s)2 − α1φ1 (5.50)

ou, tendo em conta a definição de α1,

a(s)2 = a

(s)2 −

1

M1φ1φT1Ma

(s)2 (5.51)

Introduzindo a matriz de transformação S2 tem-se:

a(s)2 = S2a

(s)2 (5.52)

em que:

S2 = I−1

M1φ1φT1M (5.53)

sendo I a matriz identidade.A matriz S2 possui a propriedade de retirar do vector pela qual é multiplicada, a componente relativa ao

primeiro modo de vibração. Assim sendo, o método iterativo exposto atrás para a determinação do primeiromodo de vibração pode continuar a ser usado para o segundo modo. Para isso basta que o vector a(s)2 sejamultiplicado por S2, pelo que a equação (5.44) pode ser escrita na seguinte forma:

a(s)2 =K−1MS2a

(s−1)2 (5.54)

A equação de iteração é basicamente a mesma, apenas sendo introduzida a matriz S2 que se mantémconstante durante a iteração.Este método pode ser generalizado [Clough] usando a matriz de transformação Sn definida com base na

matriz S(n−1) da seguinte forma:

Sn = Sn−1 −1

MnφnφTnM (5.55)

A multiplicação de um vector an por Sn ortogonaliza-o relativamente aos (n− 1) primeiros modos de vi-bração, fazendo convergir a equação de iteração para o modo n. A equação de iteração escreve-se então daseguinte maneira:

a(s)n =K−1MSna(s−1)n = Dna

(s−1)n (5.56)


m1

m2

m3

3,0

3,0

3,0

5,0

3

2

1

Figura 3 Pórtico plano - Modelo de massas concentradas e travessas rígidas.

5.4.1.1 Exemplo – Modos de vibração de um pórtico plano

Como exemplo de aplicação calculem-se as frequências próprias e os modos de vibração da estrutura representadana figura 3. Considere-se para o efeito que as travessas têm rigidez muito superior aos pilares.Segundo o R.S.A. a massa m1 corresponde à soma das acções permanentes e valor quase permanente das

acções variáveis, no caso de se pretender proceder a um cálculo sísmico. Suponha-sem1 = 15000Kg. Considerou-se o seguinte módulo de flexão para os pilares

(EI)pilares = 30× 1090.44

12= 64× 106Nm2

OModelo utilizado para o cálculo dinâmico admite que as travessas são infinitamente rígidas, pelo que se têmapenas três graus de liberdade. Para construir a matriz de rigidez vamos considerar cada um dos deslocamentosunitários com os restantes nulos:

1. • Deslocamento ∆1 = 1 ; ∆2 = 0 ; ∆3 = 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩k11 = 2

12EIL3 = 56.9× 103KN/m

k12 = −28.4× 103KN/m

k13 = 0

• Deslocamento ∆1 = 0 ; ∆2 = 1 ; ∆3 = 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩k21 = −28.4× 103KN/m

k22 = 56.9× 103KN/m

k23 = −28.4× 103KN/m

• Deslocamento ∆1 = 0 ; ∆2 = 0 ; ∆3 = 1⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩k31 = 0

k32 = −28.4× 103KN/m

k33 = 28.4× 103KN/m

A matriz de rigidez é então formada com os seguintes valores:

K =

⎡⎣ 56.9 −28.4 0.0−28.4 56.9 −28.40.0 −28.4 28.4

⎤⎦× 106N/m


Para a matriz de massas, de acordo com os graus de liberdade de translação, tem-se a seguinte matrizdiagonal

M =

⎡⎣ 15 0 00 15 00 0 15

⎤⎦× 103Ns2m−1

O cálculo do 1o modo de vibração é feito com base na expressão iterativa (5.44). Note-se que o cálculoiterativo envolve a resolução sistemática do sistema de equações indicado, para o que é normalmente vantajosocalcular a inversa da matriz k e usá-la nos cálculos. Tem-se então,

K−1 =

⎡⎣ 0.0350 0.0348 0.03480.0348 0.0698 0.06980.0348 0.0698 0.1050

⎤⎦× 10−6Usando o um vector inicial unitário tem-se

a(1)1 =K−1M

⎧⎨⎩ 111

⎫⎬⎭ = D1

⎧⎨⎩ 111

⎫⎬⎭A sistematização do cálculo iterativo pode ser feita calculando inicialmente a matriz

D1 =

⎡⎣ 0.525 0.522 0.5220.522 1.047 1.0470.522 1.047 1.575

⎤⎦× 10−3O cálculo pode ser esquematizado da seguinte maneira:

D1

a(0)1z | ⎡⎣ 111

⎤⎦ =a(1)1z | ⎡⎣ 1.572.623.15

⎤⎦ 0.50 1.22 .387 1.07 .433 1.16 .443 1.170.83 2.09 .669 1.94 .785 2.09 .798 2.111.00 3.15 1.00 2.47 1.00 2.62 1.00 2.64

× 10−3

O 1o modo de vibração será, então,

φ1= a

(4)1 =

⎧⎨⎩ .443.7981.00

⎫⎬⎭O cálculo da primeira frequência própria pode ser feito usando a equação (5.45),

ω21 =a(4)1

a(5)1

=1.0

2.64× 10−3 = 378.02 rad/seg⇒ f1 =ω12π= 3.1 Hz

Pelo método de Rayleigh o cálculo é feito de acordo com a equação (5.46), teríamos:

ω21 =a(1)T

1 Ma(0)1

a(1)T

1 Ma(1)1

=

£1.57 2.62 3.15

¤⎡⎣ 15 0 00 15 00 0 15

⎤⎦⎧⎨⎩ 111

⎫⎬⎭£1.57 2.62 3.15

¤⎡⎣ 15 0 00 15 00 0 15

⎤⎦⎧⎨⎩ 1.572.623.15

⎫⎬⎭× 10−3ω21 =

7.34

19.25× 10−3 = 381.30 rad/seg⇒ f1 =ω12π= 3.1 Hz

Note-se que o método de Rayleigh fornece uma estimativa muito boa para a frequência própria usando apenasuma iteração no cálculo do modo de vibração.O cálculo do segundo modo de vibração é feito usando a matriz S2 definida pela eq.(5.53). Para o seu cálculo

é necessário conhecer a massa modal M1, a qual se calcula seguidamente:

M1 = φT1Mφ

1


M1 =£0.443 0.798 1.000

¤⎡⎣ 15000 0 00 15000 00 0 15000

⎤⎦⎡⎣ 0.4430.7981.000

⎤⎦ = 27564.1Tem-se então,

S2 =

⎡⎣ 1 0 00 1 00 0 1

⎤⎦− 1

M1

⎡⎣ 0.4430.7981.000

⎤⎦ £ 0.443 0.798 1.0¤⎡⎣ 15000 0 0

0 15000 00 0 15000

⎤⎦ou seja,

S2 =

⎡⎣ 0.893 −0.193 −0.242−0.193 0.651 −0.436−0.242 −0.436 0.456

⎤⎦A matriz D2 vem agora dada por

D2 = D1S2 =

⎡⎣ 24.1 1.14 −11.61.14 12.5 −10.5−11.6 −10.5 13.6

⎤⎦× 10−5e a aplicação do método iteractivo será feito da seguinte forma, em tudo idêntica ao cálculo do primeiro modode vibração,

D2

a(0)2z | ⎧⎨⎩ 111

⎫⎬⎭ =

a(1)2z | ⎡⎣ 1.3640.314−0.850

⎤⎦ 1.00 3.17 1.00 3.33 1.00 3.38 1.000.23 1.06 0.39 1.40 0.43 1.49 0.44−0.63 2.26 −0.76 −2.60 −0.79 −2.70 −0.80

× 10−4

O valor da segunda frequência própria será então

ω22 =1.0

3.38× 10−4 = 2958.6⇒ f2 = 8.65 Hz

e o correspondente modo de vibração,

φ2=

⎧⎨⎩ 1.000.44−0.79

⎫⎬⎭O cálculo do terceiro modo de vibração não apresenta dificuldades adicionais e processa-se da forma seguinte:

M2 = φT2Mφ

2= 27202.24

S3 = S2 −1

M2φ2φT2M =

⎡⎣ 0.341 −0.432 −0.195−0.432 0.548 −0.247−0.195 −0.247 0.111

⎤⎦A matriz D3 vem agora dada por:

D3 = D2S3 =

⎡⎣ 5.51 −6.91 3.10−6.99 8.97 −4.073.29 −4.06 1.77

⎤⎦× 10−5Note-se que a precisão dos valores calculados não é suficiente para obter uma matriz D3 simétrica. Da aplicaçãodo algoritmo semelhante ao usado anteriormente obtem-se ω23 = 6152.94 e f = 12.48 Hz. O vector obtido parao modo de vibração é

φ2=

⎧⎨⎩ −0.781.00−0.46

⎫⎬⎭O cálculo das frequências próprias e modos de vibração fazendo nulo o determinante da matriz daria os

seguintes resultados para as frequências próprias:

°°K− ω2nM°° =

¯¯¡56.9× 103 − 15ω2n

¢−28.4× 103 0

−28.4× 103¡56.9× 103 − 15ω2n

¢−28.4× 103

0 −28.4× 103¡28.4× 103 − 15ω2n

¢¯¯ = 0


1º modo 2º modo 3º modo

Figura 4 Representação dos modos de vibração

ω6n − 9.48× 103ω4n + 21.584× 106ω2n − 6.859× 109 = 0

⎧⎨⎩ ω21 = 378.05ω22 = 2948.36ω23 = 6153.59

⇒

⎧⎨⎩ f1 = 3.09 Hzf2 = 8.64 Hzf3 = 12.48 Hz

Os modos de vibração são calculados substituindo o valor das frequências próprias na seguinte equação¡K− ω2nM

¢a = 0

Para o primeiro modo tem-se ω21 = 378.05 e, fazendo a31 = 1 obtem-se⎛⎝⎡⎣ 56.9 −28.4 0−28.4 56.9 −28.40 −28.4 28.4

⎤⎦× 103 −⎡⎣ 5670.75 0 0

0 5670.75 00 0 5670.75

⎤⎦⎞⎠⎧⎨⎩ a11a21a31

⎫⎬⎭ =

⎧⎨⎩ 000

⎫⎬⎭⎧⎨⎩ a11 = 0.444

a21 = 0.800a31 = 1.000

⎫⎬⎭⇒ φ1=

⎧⎨⎩ 0.440.801.00

⎫⎬⎭O segundo e terceiros modos são calculados de maneira idêntica:ω22 = 2948.36 ⎧⎨⎩ a12 = −1.249

a22 = −0.557a32 = 1.000

⎫⎬⎭⇒ φ2=

⎧⎨⎩ 1.000.45−0.80

⎫⎬⎭ω23 = 6153.59 ⎧⎨⎩ a13 = −1.805

a23 = −2.250a33 = 1.000

⎫⎬⎭⇒ φ3=

⎧⎨⎩ −0.801.00−0.44

⎫⎬⎭5.4.2 Método de Holzer

Este método, contráriamente ao método de Stodola, começa por arbitrar um valor para a frequência própriada estrutura, com base na qual se calcula uma posição deformada correspondente que, no caso de respeitar ascondições de fronteira, constitui o modo de vibração associado.O método de Holzer é especialmente adaptado a estruturas cujos elementos estejam dispostos ao longo de

um eixo comum, como é o caso dos modelos de edifícios em que se adopta rigidez de flexão infinita nas travessas.Neste caso, vão sendo arbitrados sucessivos valores para a frequência de vibração ω. Para cada um dos valorespode ser calculada uma posição deformada correspondente à aplicação, em cada andar do pórtico, da força deinércia dada por fI,i = ω2mivi. O método de cálculo pode, então, ser esquematizado da seguinte maneira:


• começar por arbitrar o deslocamento na extremidade livre, v1, e calcular a respectiva força de inércia,fI,1 = ω2m1v1;

• a esta força de inércia fI,1 corresponde um deslocamento entre pisos dado por ∆v1 =fI,1k1, sendo k1 a

rigidez dos elementos verticais do piso, ou seja, a força necessária para produzir um deslocamento unitárioentre pisos;

• o deslocamento a que está sujeito o piso imediatamente abaixo será então v2 = v1−∆v1, e o procedimentorepete-se para o cálculo de nova força de inércia, que somada à anterior, produzirá o deslocamento relativodo piso imediatamente abaixo até se atingir a base;

• tratando-se de uma qualquer frequência própria ω = ωn, a condição de fronteira na base, correspondentea deslocamento nulo, é automáticamente satisfeita. Caso contrário, esta condição não é respeitada edever-se-á repetir o procedimento para novo valor da frequência.

Como fácilmente se poderá intuir, este método corresponde à determinação numérica, por aproximaçõessucessivas, das raízes do determinante dado pela equação (5.25).Como exemplo faz-se seguidamente a aplicação do método à estrutura analizada no ponto anterior, chegando

aos valores dados no quadro seguinte:fn[Hz] G.L. Desl. υ Massa Força fI Rigidez k Desl. rel. ∆υ Modo φ

3.082 3 1 15000 5624945 2.84E+07 0.198 1.002 0.801938549 15000 10135805 2.84E+07 0.356894563 0.801 0.445043986 15000 12639153 2.84E+07 0.445040621 0.45enc. 3.36565E-06 0.00

8.64 3 1 15000 44205927 2.84E+07 1.55654676 -0.802 -0.55654676 15000 19603261 2.84E+07 0.690255704 0.451 -1.246802464 15000 -35512797 2.84E+07 -1.250450632 1.00enc. 0.003648168 0.00

12.48 3 1 15000 92232121 2.84E+07 3.247609907 -0.442 -2.247609907 15000 -115069708 2.84E+07 -4.051750293 1.001 1.804140387 15000 51329986 2.84E+07 1.807393899 -0.80enc. -0.003253513 0.00

Este método pode ser generalizado a outros tipos de estrutura e, nomeadamente a estruturas ticoidais comdois graus de liberdade por nó [Clough].

5.4.3 Método de Rayleigh-Ritz

No método de Rayleigh apresentado anteriormente foi possível determinar um valor aproximado para a primeirafrequência própria de um sistema contínuo usando uma forma inicial, arbitrária para o modo de vibração. Numsistema discretizado em N graus de liberdade pode ser usada a mesma técnica. Suponhamos então que o vectordos deslocamentos é dado pela seguinte equação

y(t) = z0ψ sinωnt (5.57)

O vector de velocidades obtem-se por derivação em ordem ao tempo da equação anterior,

y(t) = ψz0ωn cosωnt (5.58)

Calculando seguidamente o valor da energia potencial e cinética máximas,⎧⎨⎩Vmax =

12y

Tmax

Kymax

Tmax =12 y

Tmax

Mymax

(5.59)

podemos usar o princípio de Rayleigh fazendo Vmax = Tmax para obter a equação da primeira frequência própria,

ω21 =ψTKψ

ψTMψ(5.60)


Usando o melhoramento do método indicado no caso de sistemas contínuos obtem-se a equação (5.46) que podeser posta na seguinte forma

ω21 =ψTMFMψ

ψTMFMFMψ(5.61)

em que F = K−1.Este método tem o inconveniente de apenas permitir obter a primeira frequência própria. Ritz introduziu

uma extensão no método baseando-se no desenvolvimento da deformada y numa soma de funções ψncom am-plitudes zn,

y = ψ1z1 + ψ

2z2 + ψ

3z3 + . . . = Ψz (5.62)

Para se obter os melhores resultados os vectores ψndeverão ser, tanto quanto possível, semelhantes aos

modos de vibração φn. Usando as equações (5.59) com o vector deslocamentos definido por (5.62) obtem-se,

para a equação de frequências, a seguinte expressão:

ω2 =zTΨTKΨz

zTΨTMΨz=eK(z)fM(z) (5.63)

Desta equação não é possível determinar as frequências próprias já que o vector z não é conhecido. Noentanto, sabe-se que o método de Rayleigh, em que a expressão se baseia, fornece um limite superior para ovalor da frequência própria, o que significa que a escolha da melhor forma minimizará a frequência. Comosuposemos de início que a forma é dada por uma soma de funções ψ

ncada qual com um peso na forma final zn,

a escolha do vector z pode ser condicionada à melhor aproximação de y com aquele conjunto de funções peloque z deve ser escolhido de forma a minimizar a frequência, ou seja,

∂ω2

∂zn=fM ∂ eK

∂zn− eK∂fM

∂znfM2= 0 (5.64)

Utilizando a relação ω2 =eK(z)fM(z)

e substituindo em (5.64) tem-se

∂ eK∂zn− ω2n

∂fM∂zn

= 0 (5.65)

Usando as definições de eK e fM incluidas na equação (5.63) pode obter-se a seguinte equação:

ψTnKΨz − ω2nψ

T

nMΨz = 0 (5.66)

Note-se que a minimização em relação a cada um dos coeficientes (zn, n = 1, 2, . . .) leva a um sistema deequações do tipo da apresentada em (5.66), que, em notação matricial teria a seguinte forma:

ΨTKΨz − ω2nΨTMΨz = 0 (5.67)

ou, de forma simplificada, ¡K∗ − ω2nM

∗¢ z = 0 (5.68)

em que o vector z contém as contribuições normalizadas de cada função ψnpara o vector de deslocamentos.

Note-se a semelhança entre a eq.(5.68) e a eq.(5.23), e o facto de em (5.68) estarem representados o númerode graus de liberdade generalizados correspondente ao número de funções utilizadas para descrever y enquantoque em (5.23) está representada a totalidade dos graus de liberdade considerados na estrutura.O facto de se terem escolhido funções ψ

nque não obedecem a condições de ortogonalidade leva a que as

matrizes k∗ e m∗ tenham elementos fora da diagonal, o que não aconteceria no caso daquelas equações seremos próprios modos de vibração.A eq.(5.68) pode ser resolvida, para as soluções não triviais de z, igualando o determinante da matriz a zero°°K∗ − ω2nM

∗°° = 0 (5.69)

Da resolução deste sistema de equações obtém-se um conjunto de valores próprios que são aproximações dasfrequências próprias da estrutura, obtendo-se uma boa aproximação para as frequências em número de ordeminferior a cerca de metade do número total de graus de liberdade da estrutura. Obtém-se, ainda, e um conjunto


m1m2m3m4

1234

Figura 5 Oscilador de 4 graus de liberdade.

de vectores próprios que, sendo normalizados, passam a ser representados por φZn. Os modos de vibração são

obtidos multiplicando estes vectores pelos vectores de Ritz:

φn= ΨφZ

n

Como exemplo de aplicação calculem-se os dois primeiros modos de vibração e respectivas frequênciaspróprias do oscilador representado na figura 5, usando as duas funções de Ritz seguintes:

Ψ1 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1.000.750.500.25

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ Ψ2 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−1.00.01.00.5

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭m1 = 1000 Kg K1 = 800 KN/mm2 = 2000 Kg K2 = 1600 KN/mm3 = 2000 Kg K3 = 2400 KN/mm4 = 3000 Kg K4 = 3200 KN/m

As matrizes de rigidez e de massa são as seguintes:

K =

⎡⎢⎢⎣0.8 −0.8 0 0−0.8 2.4 −1.6 00 −1.6 4.0 −2.40 0 −2.4 5.6

⎤⎥⎥⎦× 106 N/m

M =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 3

⎤⎥⎥⎦× 103 KgObtem-se para K∗ e M∗ os seguintes resultados:

K∗ = ΨTKΨ =

∙0.5 0.10.1 3.8

¸× 106 N/m

M∗ = ΨTMΨ =

∙2.81 0.380.38 3.75

¸× 103 Kg

Substituindo na equação (5.69) e determinando os valores próprios obtem-se:½ω21 = 177.65ω22 = 1022.5

⇒½

f1 = 2.1 Hzf2 = 5.1 Hz

Os valores próprios são obtidos da equação (5.26) e seguintes, fornecendo os seguintes valores:

E∗(1) = K∗ − ω21M∗=

∙0.5 0.10.1 3.8

¸× 106 − 177.65×

∙2.81 0.380.38 3.75

¸× 103 =

∙0.008 0.3250.325 31.34

¸× 105

E∗(2) =K∗ − ω22M∗=

∙0.5 0.10.1 3.8

¸× 106 − 1022.5×

∙2.81 0.380.38 3.75

¸× 103 = −

∙23.73 2.8862.886 0.344

¸× 105


z01 = −E(n)01

E(n)00

= −0.32531.34

= −0.01037

z02 = −E(n)01

E(n)00

=2.886

0.344= 8.39

z =

∙1.0 1.0

−0.0104 8.39

¸Φ(z) =

∙1.0 0.12

−0.0104 1.0

¸Os modos de vibração são obtidos da seguinte forma:

Φ = ΨΦ(z) =

⎡⎢⎢⎣1.00 −1.00.75 0.00.50 1.00.25 0.5

⎤⎥⎥⎦∙ 1.0 0.12−0.0104 1.0

¸∝

⎡⎢⎢⎣1.0 −0.830.74 0.080.48 1.00.24 0.5

⎤⎥⎥⎦Usando o método de Holzer teríamos o seguinte quadro, à semelhança daquilo que foi feito no exemplo

anterior,Freq. [Hz] Desl. Massa Força Rigidez Desl. rel. Modo

2.12 1 1000 177432 8.00E+05 0.2218 1.000.778 2000 453592 1.60E+06 0.2835 0.780.494 2000 629148 2.40E+06 0.2621 0.490.232 3000 752944 3.20E+06 0.2353 0.23-0.003 0.00

4.73 1 1000 883250 8.00E+05 1.1041 1.00-0.104 2000 699422 1.60E+06 0.4371 -0.10-0.541 2000 -256612 2.40E+06 -0.1069 -0.54-0.434 3000 -1407348 3.20E+06 -0.4398 -0.430.006 0.00

5.5 Cálculo da resposta por sobreposição modal

O método da sobreposição modal consiste, tal como foi referido no caso de sistemas contínuos, em escrever ovector da resposta de deslocamentos como uma combinação linear dos modos de vibração. Tem-se, assim, aseguinte equação:

v(t) = Φy(t) (5.70)

em que v(t) é o vector de deslocamentos no sistema, Φ é a matriz dos modos de vibração e y(t) é o vector dedeslocamentos modais. Este último vector traduz o peso relativo de cada um dos modos de vibração na respostatotal bem assim como a sua variação no tempo.Substituindo (5.70) na equação de movimento (5.5) e multiplicando à esquerda por ΦT obtem-se a seguinte

equação:ΦTMΦy(t) +ΦTCΦy(t) +ΦTKΦy(t) = ΦT p(t) (5.71)

Das características de ortogonalidade dos modos de vibração relativamente às matrizes de massa e de rigidez,podemos concluir, para o primeiro e terceiro termos da equação (5.71),⎧⎪⎨⎪⎩

ΦTMΦy(t)Ortogonalidade

= φTnMφny(t) =Mny(t)

ΦTKΦy(t)Ortogonalidade

= φTnKφny(t) = Kny(t)

(5.72)

em queMn é uma matriz diagonal contendo os valores das massas modais, Mn = φTnmφn e Kn é uma matrizdiagonal contendo os valores das rigidezes modais, Kn = φTnkφn. A P (t) = ΦTp(t) dá-se o nome de vector de


excitação modal. Supondo amortecimento de Rayleigh podemos escrever a matriz de amortecimentos comouma combinação linear da matriz de massa e da matriz de rigidez,

C = a0M+ a1K (5.73)

Dado que, neste caso, também a matriz de amortecimento respeita as condições de ortogonalidade1, podemosdefinir um amortecimento modal dado por

Cn = φTnCφn = φTn2ξnωnMφn = 2ξnωnMn (5.74)

pelo que a equação (5.71) se poderá reescrever da seguinte forma:

Mny(t) +Cny(t) +Kny(t) = P (t) (5.75)

a qual representa um sistema de equações em numero igual ao dos modos de vibração e em que C é uma matrizdiagonal contendo os amortecimentos modais. Cada uma das equações pode ser posta na seguinte forma:

Mnyn(t) + 2ξnωnMnyn(t) +Knyn(t) = Pn(t) (5.76)

ou, na forma alternativa

yn(t) + 2ξnωnyn(t) + ω2nyn(t) =Pn(t)

Mn(5.77)

sendo n o modo de vibração em estudo.Note-se que esta equação representa o movimento de um OL1GL com as características dinâmicas iguais às

do modo de vibração n da estrutura. Para se proceder à integração desta equação para uma excitação qualquerpode, por isso, ser utilizado qualquer dos métodos estudados para o OL1GL, nomeadamente as séries de Fourier,o integral de Duhamel e os algoritmos de integração no tempo pelo método de Newmark ou de Wilson-Θ.Calculados os valores da contribuição de cada um dos modos de vibração para a resposta de deslocamentos daestrutura, esta vem dada pela aplicação da equação (5.70). O cálculo das forças que, aplicadas nos respectivosgraus de liberdade da estrutura, conduziriam à deformada v(t) podem ser calculadas com base nos deslocamentosmodais através da seguinte equação:

fk(t) =Kv(t) =KΦy(t) (5.78)

1Para o demonstrar basta multiplicar a equação à esquerda e à direita por modos de vibração diferentes,

φTr Cφs = a0φTrMφs + a1φ

Tr Kφs = 0 se r 6= s

Cálculo da resposta por sobreposição modal 103


Capítulo 6 Caracterização da Acção Sísmica

6.1 Introdução

As acções sísmicas são acções dinâmicas muito importantes na análise da segurança de estruturas de engenhariacivil, já que os seus efeitos são muitas vezes catastróficos. Alguns sismos famosos como o de Lisboa em 1755 emais recentemente o de S.Francisco em 1906, de Tokyo em 1923 e do México em 1985, entre outros, provocaramcentenas de milhares de mortos e a destruição quase completa de algumas aglomerações urbanas.Um dos problemas relacionados com os sismos, e que se coloca com maior acuidade é o da previsão da

ocorrêrncia dos grandes sismos. Apesar da grande evolução nos conhecimentos acerca dos mecanismos quelevam à libertação de energia sísmica é hoje ainda impossível fazer previsões com grau de confiança aceitável.No entanto, é possível definir zonas do globo em que o risco sísmico é elevado, e nas quais a acção sísmica éuma das acções mais importantes para o cálculo das estruturas de Engenharia Civil.

6.2 Risco Sísmico

Para a definição das acções sísmicas, o Regulamento de Segurança e Acções em Estruturas de Edificios e Pontes(R.S.A.), bem como o Eurocódigo 8 (EC8), indicam um zonamento do Território Português, definindo quatrozonas sísmicas com diferentes riscos sísmicos ou graus de sismicidade. A delimitação destas zonas pode serencontrada no Anexo III do RSA ou no documento de aplicação nacional (DNA) do EC8 e reflecte a cartade isocistas actualizada periodicamente pelo Instituto de Meteorologia, representada na figura seguinte para oterritório do continente.

Isocistas (I.M.) Sismicidade histrica (LNEC)

O risco sísmico do território continental resulta principalmente da sismicidade originada na zona de interfaceentre as placas tectónicas Europeia e Africana, na zona denominada de Banco de Göringer a sul do território(ver figura anterior), bem como da sismicidade originada no interior da placa tectónica em zonas de falhasactivas, como é o caso da zona do Baixo Tejo. A divisão do território nas quatro zonas sísmicas encontra-se

Risco Sísmico 105

representada na figura. Para cada uma das zonas é indicado um coeficiente de sismicidade α, o qual traduz ovalor máximo da caeleração sísmica em percentagem do valor a adoptar para a zona de maior sismicidade, zonaA, Estes valores são: αB = 0.7, αC = 0.5, αD = 0.3. As ilhas do arquipélago dos Açores são incluídas na zonaA à excepção de Flores e Corvo que, com as ilhas do arquipélago da Madeira se incluem na zona D.

Carta de acelerações m áximas (cm/s2) Zonamento sísmico segundo RSA e EC8(DAN)

O risco sísmico de que depende a definição das acções sísmicas de projecto, está ainda relacionado com otipo de estrutura e com a sua importância para a comunidade.O tipo de estrutura é fundamentalmente definido de acordo com as características de ductilidade dos materi-

ais utilizados e com a própria geometria da estrutura. No RSA é considerado um coeficiente de comportamentoη no cálculo da acção sísmica, o qual depende não só da ductilidade e geometria da estrutura mas também dograu admitido na exploração dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a corrigir os efeitos da acção dossismos obtidos através de uma análise linear-elástica das estruturas, com vista a transformá-los em valores quese obteríam por uma análise não-linear.No caso particular das estruturas de betão armado ou pré-esforçado o regulamento nacional aplicável é o

REBAP, o qual distingue dois tipos de estruturas de acordo com a sua ductilidade:

• Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer às disposições de projecto e dis-posições construtivas mínimas definidas nos capítulos X e XI daquele regulamento.

• Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposições de projecto e construtivasadicionais definidas no capítulo XII do mesmo regulamento.

O REBAP apresenta valores do coeficiente η de acordo com o tipo de estrutura resistente e com a ductilidadenos seus artos33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos no quadro 6.1.No que respeita à importância das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadas de acordo

com os danos permitidos em caso de catástrofe sísmica. Um exemplo de classificação poderia ser a seguinte:

• Estruturas críticas: Hospitais, esquadras de policia e quarteis de bombeiros, sistemas de comunicaçõese rádio, fornecimento de água, electricidade e gás, centros de protecção civil, grandes barragens ou centraistérmicas, pontes em itenerários fundamentais.

106 Acção Sísmica

Tabela 6.1 Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de betão armado e pré-esforçado.Coeficiente η relativo a esforços

Tipo de Estrutura resistente Ductilidade normal/Ductil.melhoradaEstruturas críticas Outras estruturas

Edifícios correntes com estrutura de:• Pórticos resistentes 1.75 / 2.45 2.5 / 3.5• Pórticos e paredes resistentes 1.4 / 1.75 2.0 / 2.5• Paredes resistentes 1.05 / 1.4 1.5 / 2.0Pontes correntes em que a energia éfundamentalmente dissipada por:• Deformação de flexão dos pilares 1.4 / 2.1 2.0 / 3.0• deformação de esf. transv. dos pilares 1.0 / 1.2 1.4 / 1.7• encontros 1.0 1.2Coeficientes η relativos a:• Esforços gerados pela vibração vertical• Deformaçõesdevem ser tomados iguais a 1.0

• Estruturas importantes: Hoteis e edificios de escritórios, edificios públicos, igrejas, escolas e grandescomplexos industriais e comerciais.

• Estruturas comuns: Armazéns, edificios agrícolas, moradias unifamiliares.

Este tipo de classificação deve ser tido em conta quando da verificação da segurança estrutural, permitindopor exemplo, que as estruturas consideradas críticas ou importantes tenham mais reservas de resistência etenham comportamento dúctil na rotura, de forma a poderem dissipar grandes quantidades de energia duranteo sismo.A titulo de exemplo, no quadro 6.1 são dados valores de η relativos a esforços em estruturas críticas segundo o

REBAP. Neste domínio o EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, para além de fornecer valorespara outros tipos de materiais. Um estudo mais aprofundado dessa matéria é feita em capítulo separado.

6.3 Quantificação da acção sísmica

6.3.1 Características gerais da acção sísmica

Os sismos são movimentos vibratórios da crosta terrestre, sendo os mais importantes devidos à libertaçãorápida de energia de deformação acumulada por movimentos tectónicos das placas geológicas. Quando se atingea rotura num ponto da crosta terrestre (Foco ou hipocentro do sismo), esta propaga-se com uma velocidade daordem dos 3Km/s, numa zona mais ou menos extensa, originando movimentos vibratórios (ondas sísmicas) epor vezes deslocamentos relativos das faces da fenda detectáveis à superfície(ver figura 1).Durante o sismo são originados dois tipos de ondas que se propagam no interior da crosta terrestre de forma

diferente. As ondas de compressão ou ondas p propagam-se, de forma análoga à do som, como uma esfera deperturbação em expansão. As ondas de corte ou ondas S são ondas caracterizadas por distorção transversalsem qualquer modificação volumétrica.As velocidades de propagação α e β respectivamente das ondas p e S são também diferentes, sendo dadas

pelas seguintes expressões para o caso de um meio sólido infinito e elástico:

α =

s2(1− ν)G

(1− 2ν)ρ (6.1)

β =

sG

ρ(6.2)

Quantificação da acção sísmica 107

Figura 1 Rotura numa falha geológica (a) e tipo de ondas sísmicas libertadas (b).

Figura 2 Histórias de aceleração , velocidade e deslocamentos registadas durante os sismos de Port Hueneme(1957) (a) e de San Fernando (1971)(b)

Nestas expressões ν é o coeficiente de Poisson, ρ é a densidade do meio e G é o módulo de distorção. Avelocidade das ondas p é superior à das ondas S (α > β), pelo que a primeira indicação da ocorrência de umsismo é dada pelo registo das ondas p. O intervalo de tempo que decorre entre a chegada das ondas p e o dasondas S é utilizado para fazer a localização do Foco.As ondas de profundidade S e p modificam-se ao atingirem a superfície, originando dois tipos de ondas

superficiais:

1. Ondas Love, horizontais e transversais relativamente à direcção de propagação.

2. Ondas Rayleigh nas quais as particulas se movem em órbitas elípticas verticais.

6.3.2 Escalas de magnitude e Intensidade sísmica

A magnitude de um sismo está relacionada com a quantidade de energia libertada pela rotura geológica que lhedeu origem. A definição de magnitude (M) proposta por Richter (1958) é a seguinte:

M = log10 (δmax,100) (6.3)

em que δmax,100 é o deslocamento máximo de um sismógrafo standardizado situado a 100Km do Foco.

108 Acção Sísmica e resposta estrutural

Devido à definição com base no logaritmo decimal, à diferença de um grau na escala de Magnitude corre-sponde uma diferença de 10 na amplitude do sismógrafo. Não obstante, a magnitude calculada em estaçõessísmicas diferentes pode diferir significativamente1.Uma relação aproximada entre o valor da energia E libertada por um sismo, medida em joules, e o valor

da Magnitude M é dada por:log10E = 4.8 + 1.5M (6.4)

A maior magnitude registada até hoje foi de 8.9 durante um sismo ocorrido na Colombia em 1906. O sismodo México em 1985 teve magnitude 8.1 e provocou 20000 mortos na Cidade do México.A Intensidade de um sismo é uma medida da destruição observável numa determinada região afectada.A

escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificada subsequentementepor Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas de Mercalli, ou simplesmente Escala de Mercallimodificada.Esta escala é baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibração no comportamento das pessoas

e no grau de destruição provocado. Uma versão desta escala é apresentada seguidamente, exemplificando, paracada grau, o tipo de danos observáveis:

I - A vibração não é perceptível por pessoas.

II - Vibração perceptível por pessoas situadas em pisos elevados de edifícios.

III - Vibração perceptível dentro dos edifícios (semelhante à produzida pela passagem de camiões leves) podendonão ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balançam.

IV - Vibração semelhante à provocada pela passagem de camiões pesados; Sensação de sacudidela como a provo-cadapela pancada de uma bola contra uma parede; Automóveis estacionados balançam; Portas e janelas rangem.Os vidros vibram;

V - Vibração perceptível fora dos edifícios; Acorda pessoas, agita líquidos dentro dos recipientes podendo provocarextravasamento; Objectos menos estáveis podem ser derrubados ou arrastados; As portas oscilam; Os quadrosnas paredes movem-se; Os pendulos dos relógios param.

VI - Vibração sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reacções de pânico; Pessoas a andarcambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das parteleiras e quadros das paredes. Mobiliário éarrastado ou virado; Árvores e arbustosagitam-se visivelmente; O reboco das paredes e tectos estala;

VII - Dificuldade das pessoas se manterem em pé; Vibração sentida por condutores de automóveis; Mobiliáriopartido e danos em cantaria fraca; Ruína de chaminés pequenas; Ruína de ornamentos de arquitectura; Quedade cornijas, floreiras, tijolos e telhas; Ondulação em lagos e deslocamento de areias em dunas.

VIII - A condução de automóveis é perturbada pelas vibrações; Danos em alvenaria, com colapso parcial dealvenaria ordinária e danos leves em alvenaria armada; Ruína de chaminés, monumentos, torres e depósitoselevados; Deslocamentos nas fundações dos edifícios e eventualmente assentamentos por compactação do solo;Quebram-se ramos de árvores.

IX - Pânico geral; Alvenaria fraca é destruida e a alvenaria de boa qualidade é sériamente danificada; As fundaçõessão sériamente danificadas; Fendilhação generalizada do solo.

X - A maior parte das construções em alvenaria são destruidas juntamente com as suas fundações; Estruturas demadeira e algumas pontes são destruídas; Danos sérios em barragens, diques e taludes; Grandes movimentos dosolo; Linhas de caminho de ferro levemente encurvadas; Àgua de rios e lagos projectada para fora das margens.

XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e pipe-lines destruídos.

XII - Destruição práticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do horizonte distorcida; Objectosprojectados pelo ar.

1Acontece frequentemente haver diferenças de 1 grau na Magnitude.

Quantificação da acção sísmica 109

Tabela 6.2 Valores das constantes b1, b2 e b3Movimento Aceleração Velocidade Deslocamento

bi y(cm/s2) y(cm/s) y(cm)b1 2000 16 7b2 0.8 1.0 1.2b3 2.0 1.7 1.6

A noção de Intensidade em Engenharia Civil é de pouca utilidade devido à subjectividade e consequentefalta de rigor desta noção.Apesar desta dificuldade em relacionar Magnitude com Intensidade sísmicas pode ser usada a seguinte relação

sugerida por Esteva(1968):I = 1.45M − 5.7 lnR+ 7.9 (6.5)

Este tipo de relação Intensidade-Magnitude não tem aplicação directa nos problemas de Engenharia civil,pelo que têm sido propostas outros tipos de relação, como seja a relação Intensidade-aceleração do solo propostapor Richter(1958):

ln a = −0.5 + 0.33I (6.6)

em que a é a aceleração em cm/s2.Uma outra expressão, devida a Esteva e Resenblueth(1969) e baseada em sismos no México, relaciona o

movimento(aceleração, velocidade ou deslocamento) máximo horizontal de um ponto no solo y(cm, cm/s, cm/s2)com a magnitude M e a distância focal R(Km):

y = b1eb2MR−b3 (6.7)

O valor das constantes b1, b2 e b3 proposto pelos autores encontram-se no quadro 6.2.O cálculo da distância focal R em Km, deve ser feito, segundo os autores com base na expressão seguinte,

em que r é a distância ao epicentro e h a profundidade do foco:

R =pr2 + h2 + 202 (Km) (6.8)

6.4 Modelos Descritivos da acção sísmica

A descrição das vibrações sísmicas num determinado ponto compreeende a descrição de cada uma das seis com-ponentes, três translações e três rotações, do movimento do ponto. No entanto a importância das componenteshorizontais de translação é muito maior que a das outras componentes, o que justifica que na maioria dos casosse façam estudos apenas para aquelas componentes.Na análise dos efeitos de uma acção dinâmica os parâmetros mais importantes dessa acção são os valores

máximos da aceleração, velocidade e deslocamento, e o seu conteúdo harmónico, ou seja, a maneira como aenergia dinâmica da acção se distribui no eixo das frequências (espectro).Os valores máximos, por si só, são em geral insuficientes para caracterizar um sismo. O caso do sismo

do México(1985) é um exemplo da importância da forma do espectro. Neste sismo, cujo epicentro se situouquatrocentos quilómetros a Oeste da Cidade do México, próximo da costa do Pacífico, o espectro das aceleraçõespróximo do Foco era formado por uma larga banda de frequências. No seu trajecto até à Cidade do México asfrequências mais altas foram atenuadas e o material que constitui o solo naquela Cidade, fundada num antigolago, amplificou as amplitudes com frequências de cerca de 0.5Hz. Este efeito levou a que estruturas comfrequências próprias próximas daquela2 fossem sériamente danificadas.A forma mais geral de definir a acção sísmica é, de maneira probabilística, através de espectros de potên-

cia. Para o território português as densidades espectrais de potência da aceleração encontram-se definidos noR.S.A.. A forma mais usual de caracterizar a acção sísmica é através de valores máximos da amplitude devibração de um OL1GL de referência. Seguidamente abordaremos cada um destes métodos.

2A maior parte dos edificios de seis a vinte andares possui frequências da ordem de grandeza de 0.5 Hz.


6.4.1 Quantificação através dos valores máximos

O método tradicional de quantificação de uma qualquer componente de vibração da acção sísmica usa o valor deaceleração máxima, yG,max ≡ a, obtida directamente dos registos sismométricos3. Por integração sucessiva dashistórias de aceleração podem ser determinadas as histórias de velocidade e deslocamento e delas os valores develocidade máxima, yG,max ≡ v, e deslocamento máximo, yG,max ≡ d. Note-se que estes valores, conjuntamentecom a aceleração máxima, permitem uma melhor descrição da vibração sísmica, já que o deslocamento é par-ticularmente sensível nos movimentos de baixa frequência, a velocidade nos de média frequência e a aceleraçãonos de alta frequência.O conhecimento dos parâmetros, a, v e d, dá-nos uma indicação do conteúdo de frequências da vibração.

Para o efeito basta que se associe a cada um dos valores, em módulo, um movimento do tipo sinusoidal:⎧⎨⎩ |yG(t)| = vω cosωt|yG(t)| = v sinωt|yG(t)| = v

ω cosωt(6.9)

Os valores maximos de cada um dos parâmetros, embora dados para valores de tempo diferentes, podem serrelacionados entre si de forma a obterem-se dois valores de frequência:⎧⎨⎩

a = vω1

d = vω2

⇒

⎧⎨⎩ f1 =a2πv

f2 =v2πd

(6.10)

Obtém-se, assim, dois outros parâmetros, f1 e f2, com dimensão de frequência [Hz] e que são muitas vezesreferidos na literatura como a

v evd . O primeiro destes parâmetros representa a frequência de um movimento

sinusoidal cuja amplitude máxima de aceleração é igual ao correspondente valor obtido do registo do sismo.O segundo dos parâmetros representa a frequência de um movimento sinusoidal cuja amplitude máxima dedeslocamento é igual ao respectivo valor obtido do registo sísmico. A relação entre estas duas frequências,

bm =f1f2=

a · dv2

(6.11)

dá uma indicação da largura de banda4 do movimento sísmico.Na referência [4] encontram-se representados os valores das acelerações e velocidades máximas das compo-

nentes horizontais para cerca de duzentos registos feitos na costa Ocidental dos Estados Unidos. Da análisedesses registos se concluiram os seguintes valores médios f1 = 1.5 Hz ;f2 = 0.33 Hz; bm = 4.0. Dos resultadosé ainda possível estabelecer uma correlação entre os valores máximos de aceleração, velocidade e deslocamentodas componentes horizontais (aH , vH , dH) e verticais (aV , vV , dV :) para uma mesma intensidade do sismo(intensidades de 4 a 9 na escala de Mercalli modificada):

⎧⎨⎩ aV = 0.66aHvV = 0.40v

1.2H

dV = 0.37d1.2H

(6.12)

6.4.2 Quantificação com base em Espectros de Resposta

O método mais vulgarizado para modelar a acção sísmica é o método dos espectros de resposta devido a G. W.Housner. Estes espectros são definidos a partir do valor máximo da resposta de um OL1GL com amortecimentoviscoso, quando submetido a uma excitação constituída por uma história de deslocamentos ou acelerações nasua base (figura ??).

3O indíce G refere-se a movimentos do solo.4 largura de banda tem aqui o significado de extensão, no eixo das frequências, em que aparecem amplitudes significativas de

movimento.

Modelos descritivos da acção sísmica 111

Eixo

de

refe

rênc

ia

yG

yR

ÿG

t

ξnωn

OL1GL sujeito a acelerações na base.

As curvas no espectro são calculadas para vários valores de amortecimento, sendo usado o eixo das frequênciaspara representar as frequências próprias do oscilador. Os valores em ordenadas podem ser qualquer uma dasgrandezas: aceleração, velocidade ou deslocamento, sejam eles valores totais ou valores relativos à base dooscilador.

A equação de movimento do OL1GL quando sujeita a deslocamentos na base pode ser posta na seguinteforma:

yR + 2ξnωnyR + ω2nyR = −yG (6.13)

em que o deslocamento da massa relativamente à base é dado por yR = y − yG, sendo y o deslocamentorelativamente a um eixo de referência fixo e yG o deslocamento do solo.

Usando o integral de Duhamel, esta equação pode ser integrada para uma história de aceleração prescritayG(t), para diferentes valores de ωn e ξn. Assim, obtém-se para deslocamento relativo yR(t) a seguinte expressão,na qual se desprezou a diferença entre frequência própria amortecida e não amortecida,

yR(t) =1

ωn

Z t

0

yG(τ)e[−ξωn(t−τ)] sin[ωn(t− τ)]dτ (6.14)

Se, para uma determinada história de excitação apenas nos interessar o valor máximo do deslocamento relativoyR,max, esse valor pode ser expresso da seguinte forma:

yr,max =1

ωn

∙Z t

0

yG(τ)e[−ξωn(t−τ)] sin[ωn(t− τ)]dτ

¸max| z

pseudo-velocidade espectral de resposta

=1

ωnSpv(ξn, ωn) '

1

ωnSyR(ξn, ωn) (6.15)

em que Spv(ξn, ωn) é a pseudo-velocidade espectral de resposta, dependente da aceleração do solo e das car-acterísticas dinâmicas do oscilador, e SyR(ξn, ωn) é o valor máximo da resposta em velocidade relativa que seobteria derivando a função de deslocamentos (eq. 6.14). Embora a diferença entre estes dois valores, SyR e Spv,seja tanto maior quanto maior for o amortecimento, diferindo em cerca de 20% para ξn = 0.2, pode considerar-se, para os valores de amortecimento usuais nas estruturas de engenharia civil, que eles são aproximadamenteiguais. Os valores de SyR(ξn, ωn) podem assim ser calculados para um determinado amortecimento e em funçãoda frequência do oscilador, constituindo uma curva do espectro de resposta de velocidade relativa, tal como serepresenta na figura ?? para o sismo de El Centro (1940).


Espectro de Pseudo-velocidades. Sismo de El Centro (1940).

Para efeitos de caracterização sismica com vista à análise das estruturas sujeitas a sismos, o espectro daspseudo-velocidades não é o mais cómodo. Por isso se definem, a partir dele, os espectros de aceleração absolutaSy(ξn, ωn), e o espectro de deslocamento relativo SyR(ξn, ωn). Estes espectros podem ser relacionados entre sida seguinte forma:

SyR(ξn, ωn) ≡ yr,max =1

ωnSpv(ξn, ωn) (6.16)

Sy(ξn, ωn) ' Spa(ξn, ωn) = ωnSpv(ξn, ωn)| z Espectro de pseudo-aceleração

(6.17)

A aproximação feita para os valores máximos absolutos da aceleração da massa, Sy(ξn, ωn), com base no espectrode pseudo-aceleração verifica-se ser válida para frequências entre 0.5 Hz e 5 Hz.Tendo em conta que o valor da força elástica desenvolvida no oscilador pelo movimento da base, fk, é

proporcional ao deslocamento relativo do oscilador, tem-se

fk,max = kSyR(ξn, ωn) = ω2nmSyR(ξn, ωn) ' mSy(ξn, ωn) (6.18)

Dado existirem relações simples entre SyR , Spv e Spa é possível fazer a representação destes três espectrosnum único gráfico usando a representação trilogaritmica exemplificada na figura 3.

Figura 3 Representação trilogaritmica dos espectros de resposta do sismo de El Centro (1940).


Log Sv

Log T

Acelera

ção Con

stante

Deslocamento Constante

Figura 4 Representação trilogarítmica esquemática

Considerando as referidas relações tem-se:

SyR =1

ωnSpv =⇒ Spv =

2π

TnSyR =⇒ logSpv = logSyR − log Tn + log (2π)

Spa = ωnSpv =⇒ Spv =Tn2π

Spa =⇒ logSpv = logSpa + log Tn − log (2π)

pelo que, num gráfico com ordenadas logSpv e abcissas log Tn, estas equações são representadas através derectas.

O espectro de resposta em diagrama trilogaritmico, obtido directamente de um registo sísmico, não é omais conveniente para a definição da acção sísmica, já que existem variações demasiado bruscas dos valores doespectro. Torna-se necessário regularizar o andamento dos espectros, o que pode ser feito através de métodosestocásticos calculando valores médios do espectro para vários sismos.

Considerando o andamento geral do espectro trilogaritmico, é patente que, para altas frequências, o espectrosegue aproximadamente as linhas de aceleração constante e para baixas frequências segue as linhas de deslo-camento constante. Numa zona intermédia de frequências, entre 0.5 e 2 Hz pode considerar-se que o espectrosegue aproximadamente a linha de velocidades constantes.

O RSA indica espectros de resposta de acelerações absolutas ('pseudo-acelerações) a serem usados naverificação da segurança de estruturas sujeitas a sismos, os quais se encontram aqui reproduzidos na figura.Neste regulamento consideram-se dois tipos de sismos (Tipo I e Tipo II) que pretendem modelar sismos intensosde grande distância focal (interplacas tectónicas) e sismos de intensidade moderada a pequena distância focal(falhas activas intraplacas). Consideram-se ainda três tipos de terreno de fundação.

Na pré-norma de eurocódigo 8, conjuntamente com o documento de aplicação nacional (DAN) a acção sísmicaé modelada por espectros de resposta cuja aplicação resulta em esforços semelhantes aos obtidos pelo RSA, àexcepção das estruturas fundadas em argilas brandas e areias soltas para as quais o EC8 fornece valores maisaltos da acção (figuras 5 e 6). A versão definitiva do Eurocódigo 8, ainda em fase de aprovação pelos diversospaíses, vai alterar substancialmente os espectros de resposta a utilizar no cálculo de estruturas, dividindo ostipos de solos de fundação em cinco tipos e alterando alguns dos parâmetros definidores das curvas dos espectros.


0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10Frequência [Hz]

Ace

lera

ção

[cm

/s2]

Sismo 1 - EC8Sismo 2 - EC8Sismo 1 - RSASismo 2 - RSA

Figura 5 Comparação de E.R. para solo tipo I

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10Frequência [Hz]

Ace

lera

ção

[cm

/s2]

Sismo 1 - EC8Sismo 2 - EC8Sismo 1 - RSASismo 2 - RSA

Figura 6 Comparação de E.R. para solo tipo III

6.4.3 Quantificação com base em Espectros de Potência

Uma metodologia geral de caracterização da acção sísmica assenta na teoria dos processos estocásticos enquantoconjunto de funções aleatórias com determinadas características probabilisticas. Para que se possa compreendermelhor este tipo de quantificação dos sismos, é importante conhecer alguns conceitos utilizados por aquela teoriae que são sucintamente expostos nos pontos que se seguem.

6.4.3.1 Processos Estocásticos

Um Campo Estocástico pode ser definido como uma ou várias famílias de variáveis aleatórias que são função deum ou vários parâmetros. Tome-se como exemplo o conjunto de vibrações sísmicas na base de um edifício, o qual


t

Xn(t)

t

X3(t)

t

X2(t)

t

X1(t)

t1 t2

Realização 1

Realização 2

Realização 3

Realização n

t

Xn(t)

t

X3(t)

t

X2(t)

t

X1(t)

t1 t2

Realização 1

Realização 2

Realização 3

Realização n

Figura 7 Representação esquemática de um processo estocástico.

constitui um campo estocástico multidimensional e plurivariado. Multidimensional porque a vibração sísmicavaria com o parâmetro tempo (t) e com a localização no terreno (x,y). Plurivariado porque a caracterizaçãocompleta da vibração sísmica necessita de seis componentes (3 translacções e 3 rotações)No caso de se considerar apenas o parâmetro de tempo (t) designa-se por processo estocástico vectorial. Se se

tiver apenas uma única componente designa-se por processo estocástico. Uma realização do processo estocásticoconstitui o conjunto de valores que tomam as variáveis aleatórias durante a ocorrência do evento. Por exemplo, aocorrência de um sismo conduz, num ponto à superfície do terreno, a um conjunto de deslocamentos horizontaisdependentes do parâmetro tempo e constitui, por isso, uma realização do processo estocástico a que pertence.Para caracterizar completamente um processo estocástico seria necessário estudar um número infinito de

realizações, o que é manifestamente impossível em termos práticos. No entanto, as características gerais doprocesso estocástico podem, sob certas condições, ser estimadas a partir de um número finito de realizações oumesmo de uma única realização.Assim, um processo diz-se estacionário se a sua estrutura probabilística não depender da origem de t, pelo que

qualquer troço da realização do processo é apropriada para calcular essa estrutura. Um processo diz-se ergódicose a sua estrutura probabilística puder ser obtida de uma única realização, ou seja, fazendo estatísticas no eixodo parâmetro tempo em vez de as fazer com várias realizações do processo. Um processo diz-se gaussiano sepuder ser completamente caracterizado por funções densidade de probabilidade de Gauss. Neste caso só existemmomentos estatísticos até ordem 2 ( média e desvio padrão). Um processo estocástico, estacionário, ergódico egaussiano de média nula é completamente caracterizado pela função de Autocorrelação ou, o que é o mesmo,pela sua função Densidade Espectral de Potência.No caso do processoX(t) ser estacionário e ergódico pode analisar-se apenas um troço finito de uma qualquer

daquelas realizações xi(t), pelo que a função de autocorrelação R(τ) é estimada da seguinte forma:

R(τ) =1

T

T2Z

−T2

xi(t) · xi(t+ τ)dt (6.19)

em que xi(t) e xi(t + τ) representam o valor da acção na realização i e nos instantes de tempo (t) e (t + τ).A equação (6.19) pode ser apresentada sob a forma de uma Densidade Espectral de Potência (DEP), tambémdesignada de forma simplificada por espectro de potência, S(ω), e que se obtém pela transformação de Fourierda função de autocorrelação:

S(ω) =1

2π

∞Z−∞

R(τ)e−iωτdτ (6.20)

A função DEP traduz a forma como a variância (comparável a energia) do processo se distribui no eixodas frequências5. Observando este espectro podemos identificar as frequências em que a acção contém maior

5Note-se que neste tipo de modelo estocástico não aparecem características da estrutura ou do OL1GL, contrariamente aoque acontece na definição dos espectros de resposta. Assim, o eixo de frequências a que nos referimos aqui não tem relação comas frequências próprias da estrutura ou do OL1GL. A estas frequências é usual denominar de frequências de Fourier por seremcaracterizadas pela transformação de Fourier explicitada no texto.


0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Frequência [Hz]

cm2s

-3

Sismo 1 - Terreno Tipo ISismo 1 - Terreno Tipo IISismo 1 - Terreno Tipo IIISismo 2 - Terreno Tipo ISismo 2 - Terreno Tipo IISismo 2 - Terreno Tipo III

Figura 8 Densidades Espectrais de Potência do RSA

t

x(t)Nível α

Máximo absoluto

Período de Tempo θ

Máximo relativo

Nível 0

Passagem ascendente

Figura 9 Representação esquemática de uma realização de processo estocástico.

energia, como é o caso das DEP fornecidas pelo RSA e reproduzidas na figura (8). Podemos constatar quepara baixas frequências o sismo tipo 2 contém maior energia que o tipo 1, passando-se o contrário para valoreselevados da frequência.

6.4.3.2 Propriedades dos Processos Estocásticos Estacionários Gaussianos

Tendo em atenção que uma realização do processo é suficiente para o caracterizar, considere-se a representaçãoesquemática dessa realização representada na figura (9). De acordo com essa representação é possível váriasestatísticas:

• Frequência média de passagens ascendentes por um nível α:

f↑α =1

2π

rλ2λ0

e−α22λ0 (6.21)

em que λk =R∞−∞Ω

kSx(Ω)dΩ representam o momento espectral de ordem k.

• Frequência média de passagens ascendentes por zero

f↑0 =1

2π

rλ2λ0

(6.22)


• Frequência média de ocorrência de máximos relativos

fmax,rel =1

2π

rλ4λ2

(6.23)

• Valor médio dos máximos absolutos num intervalo de tempo θ admitindo que estes ocorrem em grupos

xmax,θ =

⎛⎝q2θf↑e ln 2 + 0.577216q2θf↑e ln 2

⎞⎠σx (6.24)

em que

f↑e =

⎧⎨⎩¡1.63δ0.45 − 0.38

¢f↑0

f↑0

para δ =

s1− λ21

λ0λ2

⎧⎨⎩ < 0.69

≥ 0.69(6.25)

Esta expressão tem os seguintes limites de validade:½10 < 2f↑0 θ < 10000.11 < δ < 1.0

(6.26)

• Desvio padrão dos máximos absolutos num intervalo de tempo θ admitindo que estes ocorrem em grupos

σxmax,θ =1.2q2θf↑e ln 2

+5.4

13 +

µq2θf↑e ln 2

¶3.2 (6.27)

em que os limites de validade são os indicados atrás.

Tendo em conta que a resposta de uma estrutura de comportamento linear a uma acção caracterizadacomo processo estocástico estacionário e gaussiano é, também ela, um processo estocástico do mesmo tipo,a realização representada na figura (9) pode representar o processo estocástico da resposta. Desta forma,as estatísticas apresentadas caracterizam a resposta da estrutura em termos probabilísticos. Em particular,o valor médio e o desvio padrão dos máximos absolutos num intervalo de tempo θ são os instrumentos decaracterização da resposta sísmica da estrutura, podendo também ser usados para a definição de espectros deresposta probabilísticos.

6.4.3.3 Resposta do OL1GL a Processos Estacionários Gaussianos de média nula

A resposta, no domínio da frequência, de um OL1GL a escitação estocástica caracterizada pela função DEPde um Processo Estacionário Gaussiano de média nula é dada pelo produto desta pelo quadrado da função detransferência, de forma análoga àquela que se usou no capítulo 2 para obter a resposta a excitação harmónica.Tem-se, então, que, se a DEP da excitação é dada por SF (Ω) a DEP da resposta de deslocamento vem dadapor Sy(Ω) sendo:

Sy(Ω) = |H(iΩ)|2 SF (Ω)Sendo o valor médio da excitação nulo, também o é o valor médio da resposta. A variância vem dada pelo

integral da DEP da resposta:

σ2y =

Z ∞−∞

Sy(Ω)

pelo que o valor médio dos máximos da resposta num período de tempo θ é dado pela expressão (7.5).

6.4.4 Quantificação com base em Acelerogramas

A existência de acelerogramas registados durante sismos intensos é uma forma de quantificar a acção sísmica,desde que se garanta a sua adequabilidade à sismigénese local bem como ao tipo de solo de fundação. Noentanto, para o território português, e dada a característica de acção acidental com fraca probabilidade deocorrência, não existem registos passíveis de serem usados nesta forma de quantificação da acção, pelo que,sempre que se verifica a necessidade de usar acelerogramas, se recorre à sua simulação numérica a partir dasdensidades espectrias de potência ou dos espectros de resposta.


6.4.4.1 Acelerogramas gerados a partir das DEP’s

Para gerar um acelerograma compatível com um dado espectro de potência podemos usar uma sobreposição defunções harmónicas cuja amplitude seja obtida da DEP e em que o ângulo de fase entre cada harmónica seja umvalor aleatório com igual probabilidade no intervalo [0, 2π]. Desta forma podemos gerar um conjunto infinito deacelerogramas, para o que basta gerar valores aleatórios estatísticamente independentes para o ângulo de fase.A expressão para um dado acelerograma yGj

(t)é definida da seguinte forma:

yGj(t) =

NXi=1

Ai cos(Ωit− αi)

em que αi é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

pαi =

12π

0para

0 ≤ αi ≤ 2π

αi < 0 ∪ αi > 2π

Note-se que cada uma das séries temporais yGj (t) deve constituir uma realização do processo estocásticocaracterizado pela DEP S(Ω). Dado tratar-se de um processo ergódico cada uma daquelas séries temporaisdeverá satisfazer as condições de estacionaridade definidas para o processo estocástico de média nula, pelo queo valor médio quadrático (variância) do processo virá dado por:

σ2 =NXi=1

A2i2

S (Ω)

Ω

ΔΩ

Ωi

S (Ω)

Ω

ΔΩ

Ωi

Densidade Espectral de Potência

f(t)

tt1 t2

1

f(t)

tt1 t2

1

Função de intensidade de Amin-Ang

Esta variância, por seu lado, é dada pelo integral da função DEP que, calculado numericamente, correspondea um somatório idêntico ao da expressão anterior (figura ??):

NXi=1

A2i2=

NXi=1

2S(Ωi)∆Ω

ou seja, considerando que G(Ωi) = 2S(Ωi) corresponde à densidade espectral de potência habitualmentefornecida (p.e. no Anexo III do RSA), tem-se:

Ai =p2G(Ωi)∆Ω

Note-se que a função DEP não depende das unidades em que é representada a frequência, pelo que, G(Ωi)∆Ω =G(fi)∆f . Tendo em conta que Ω = 2πf , a expressão final para o acelerograma será:

yGj (t) =NXi=1

p2G(fi)∆f cos(2πft− αi)

As séries temporais assim obtidas têm características estacionárias, pelo que representam apenas a parte dosismo designada habitualmente por strong motion. A representação da parte inicial do acelerograma e da sua


parte final pode ser obtida pela multiplicação pela função de intensidade de Amin-Ang representada na figura?? e dada pelas seguintes expressões:

f(t) =

tt211

e−c(t−t2)para

0 ≤ t ≤ t1t1 ≤ t ≤ t2t > t2

Na simulação dos sismogramas das figuras 10 e 11 de acordo com as DEP do RSA foram usados os seguintesparâmetros:

t1 t2 cSismo tipo 1 2 12 0.25Sismo tipo 2 6 36 0.0833

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Tempo

Ace

lera

ção

(m/s

2)

Figura 10 Sismograma tipo 1

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Tempo

Ace

lera

ção

(m/s

2)

Figura 11 Sismograma tipo 2

6.4.4.2 Acelerogramas compatíveis com um dado Espectro de Resposta

A simulação de acelerogramas compatíveis com um espectro de resposta pode ser conseguida por aproximaçõessucessivas, partindo de um acelerograma como, por exemplo, os dados nas figuras anteriores, e ajustandosucessivamente o espectro de potência de que se parte por forma a que o espectro de resposta que se obtémdesse acelerograma seja próximo do espectro de resposta pretendido. O procedimento segue, então, os seguintespassos:


1. Partir dos espectros de potência do RSA para gerar um primeiro acelerograma, seguindo a metodologiaindicada anteriormente

2. Calcular o espectro de resposta correspondente utilizando, para o efeito, o valor máximo da resposta totalem aceleração de um oscilador de 1 GL

3. Comparar este espectro com o espectro de resposta a que se pretende ajustar o acelerograma; calcular umparâmetro dado pela relação entre ambos, para cada valor de frequência, que será, em geral, diferente de1.0

4. Gerar novo acelerograma da forma indicada em 1. usando os mesmos ângulos de fase e com base noespectro de potência anterior multiplicado pelo parâmetro calculado em 3.

5. Repetir os pontos 2. a 4. por forma a aproximar o espectro de resposta calculado do espectro a que sepretende ajustar o acelerograma.

Nas figuras 12, 13 e 14 mostram-se, respectivamente, os espectros de resposta pretendido (EC8), inicial efinal, o espectro de potência de partida e final e o acelerograma obtido depois de aplicado o procedimento atrásdescrito.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Espectro de resposta inicial

Espectro de resposta final

Espectro de resposta do EC8

Figura 12 Espectros de resposta

0.0

1000.0

2000.0

3000.0

4000.0

5000.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Espectro de potência inicial

Espectro de potência final

Figura 13 Densidades Espectrais de Potência inicial e final


-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0

Figura 14 Acelerograma compatível com espectro de resposta

6.4.5 Construção de Espectros de Resposta

6.4.5.1 Construção com base em Acelerogramas

A construção de espectros de resposta para dimensionamento com base em acelerogramas reais é conseguidaescalando os espectros calculados com base nesses acelerogramas por forma a terem-se os valores de aceleração,velocidade e deslocamento máximos definidos pelo risco sísmico do local.Na figura (15) apresentam-se espectros de resposta calculados com base em simulações de acelerogramas

de acordo com os espectros de potência do RSA. A traço mais carregado é possível constatar a evolução doespectro suavizado correspondente ao valor médio dos espectros calculados para cada frequência (traço preto)e o valor médio calculado com base nos valores do espectro em janelas espectrais de 1Hz.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Frequência [Hz]

Ace

lera

ção

[cm

/s2 ]

Figura 15 Espectros de Resposta simulados (RSA: Zona A; Terreno tipo I; ξ=5%)

6.4.5.2 Construção com base em DEP’s

Dada uma função densidade espectral de potência, o espectro de resposta correspondente pode ser obtidopelas expressões caracterizadoras dos processos estocásticos, nomeadamente tendo em conta que um valor doespectro de resposta é calculado como o valor médio máximo da resposta de um OL1GL à excitação aleatóriacaracterizada pela DEP dada.Assim, para o cálculo de espectros de resposta, a exemplo do RSA, tem-se:


1. Cálculo da resposta do OL1GL a acelerações aleatórias na base caracterizadas pela DEP S(f).

A DEP da resposta é dada por Sy(f) = |H(iΩ)|2 S(f) = β4+(2ξβ)2

(1−β2)2+(2ξβ)2S(f)=f2+4ξ2f2n

f4n−2f2nf2+f4+4ξ2f2f2nf2S(f)

2. cálculo dos momentos espectrais:

λ0 =R∞−∞

f2+4ξ2f2nf4n−2f2nf2+f4+4ξ2f2f2n

f2S(f)df

λ1 = 2πR∞−∞


f3S(f)df

λ2 = (2π)2 R∞−∞


f4S(f)df

3. cálculo do valor médio dos máximos absolutos no intervalo de tempo θ = 10seg ou θ = 30seg admitindoque estes ocorrem em grupos

xmax,θ =

⎛⎝q2θf↑e ln 2 + 0.577216q2θf↑e ln 2

⎞⎠pλ0 (6.28)

em que

f↑e =

⎧⎨⎩¡1.63δ0.45 − 0.38

¢f↑0

f↑0

para δ =

s1− λ21

λ0λ2

⎧⎨⎩ < 0.69

≥ 0.69(6.29)



Capítulo 7 Resposta Estrutural à Acção Sísmica

7.1 Cálculo sísmico com base em espectros de resposta

Um sistema de vários graus de liberdade solicitado por uma história de aceleração yG nos apoios é regido pelaseguinte equação diferencial:

MyR+Cy

R+Ky

R= −M1yG (7.1)

em que o índice R representa valores relativos da variável em relação aos apoios1.Nesta equação, o segundo membro representa a força de inércia desenvolvida em cada grau de liberdade

pela aceleração introduzida nos apoios e traduz a carga sísmica efectiva. Esta força, para uma modelação damatriz de massa do tipo de massas concentradas é dada pela respectiva massa multiplicada pela aceleração yG,

−M1yG =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩−m1yG−m2yG...

−mnyG

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ (7.2)

Para integração do sistema de equações diferenciais em (7.1) e cálculo dos deslocamentos yR(t) em cada um

dos graus de libertdade da estrutura, pode ser usado o método da sobreposição modal traduzido pela soma das

respostas modais, yR(t) =

NPn=1

φnyn(t), em que φ

né o vector correspondente ao modo de vibração n e yn(t) é a

resposta modal obtida pela integração no tempo da seguinte equação de equilíbrio modal,

yn(t) + 2ξnωnyn(t) + ω2nyn(t) =Pn(t)

Mn(7.3)

Para o efeito, define-se a acção modal Pn(t) como sendo o produto do modo de vibração n transposto pelovector de carga sísmica efectiva,

Pn(t) = φTnM1yG = LnyG (7.4)

em que 1 é um vector unitário e Ln é designado por factor modal da excitação sísmica A equação deequilibrio modal (7.3)escreve-se, então,

yn + 2ξnωnyn + ω2nyn =LnMn

yG (7.5)

e pode ser integrada por um dos métodos habitualmente usados em integração no tempo – integral de Duhamel,método de Newmark, método de Wilson-θ, etc.A equação (7.5), aparte o factor de participação modal Ln

Mn, é em tudo idêntica à equação do OL1GL

que permite calcular os espectros de resposta, pelo que, para o cálculo dos valores modais máximos dosdeslocamentos, se pode utilizar o espectro de deslocamentos relativos SyR(ξn, ωn), ou o de acelerações absolutasSy(ξn, ωn) ' Spa(ξn, ωn) da seguinte forma:

yn,max =LnMn

SyR(ξn, ωn) 'LnMn

Spa(ξn, ωn)

ω2n(7.6)

Os valores máximos dos deslocamentos relativos da estrutura, devidos apenas à contribuição do modo n, sãoobtidos da multiplicação do modo de vibração pelo valor modal,

yRn,max

= φnyn,max (7.7)

Este vector yRn,max

representa a configuração deformada da estrutura, para deslocamentos máximos devidos aosismo, e tendo em conta apenas a contribuição do modo n.

1Na exposição que se segue, por simplicidade de apresentação, suprimiu-se o indice R que afecta os deslocamentos e suasderivadas. Assim, todos os valores referentes aos deslocamentos, velocidades e acelerações em cada um dos graus de liberdadedevem ser considerados como valores relativos aos apoios.

Cálculo Sísmico com base em espectros de resposta 125

No caso de se pretender incluir mais do que um modo de vibração no cálculo da resposta devemos terem consideração que os valores máximos calculados para cada modo se não verificam simultâneamente, peloque apenas poderemos estimar o valor máximo da resposta através de um dos métodos que se apresentamseguidamente.Se adoptarmos a simples soma de valores máximos em cada modo de vibração, o método da sobreposição

modal fornece a resposta total máxima,

yRmax

=NXn=1

¯φnyn,max

¯(7.8)

em que a contribuição de cada modo de vibração deve ser tomada em módulo. Esta expressão constitui um limitesuperior para os deslocamentos máximos na estrutura sendo, na maioria dos casos, demasiado conservadora,já que os valores máximos em cada modo de vibração não são alcançados simultâneamente. Recorre-se, poreste motivo, a expressões alternativas para estimar os valores máximos da resposta da estrutura, sendo o maisutilizado o da ponderação quadrática,

yRmax

=

vuut NXn=1

³φnyn,max

´2(7.9)

A expressão 7.9 pode conduzir a estimativas sub-avaliadoras no caso das frequências próprias estarem muitopróximas, ou seja, no caso de ωn+1

ωn< 1.5. Neste caso, não é possível admitir a independência estatística dos

valores máximos modais, a qual está na base desta equação. Para obviar a este problema podem usar-se as duasexpressões, (7.8) e (7.9), por forma a aplicar a primeira aos modos que não satisfaçam a condição ωn+1

ωn≥ 1.5 e

a segunda aos restantes. Em alternativa pode ser usada a combinação quadrática completa traduzida pelaseguinte expressão

yRmax

=

vuut NXn=1

NXm=1

ρmn

³φnyn,max

´³φmym,max

´(7.10)

em que o parâmetro ρmn é o coeficiente de correlação dos valores modais máximos correspondentes aos modosn e m e pode ser calculado da seguinte forma

ρmn =1

1 +³ωD,m−ωD,nξ0mωm+ξ

0nωn

´2 (7.11)

Nesta expressão ωD,m e ωD,n são as frequências próprias amortecidas e ξ0

m = ξm +2

ωms sendo s a duração daacção sísmica.Análogamente ao cálculo dos deslocamentos máximos, para o cálculo dos esforços máximos na estrutura

pode ser usada a seguinte equação

Fmax =

vuut NXn=1

³Kφ

nyn,max

´2(7.12)

ou, de preferência, tendo em conta que Kφn= ω2nMφ

n:

Fmax =

vuut NXn=1

³Mφ

nω2nyn,max

´2(7.13)

Esta segunda expressão é mais exacta do que a anterior quando os modos de vibração são calculados de formaaproximada.Um parâmetro frequentemente usado em engenharia sísmica é o designado Corte Basal, e representa a

reacção horizontal total nos apoios à acção sísmica. O seu valor modal pode ser obtido somando todas as forçasde andar em cada um dos modos de vibração

Vn =X

Fi,n =Mφn1ω2nyn,max =Mφ

n1Spa(ξn, ωn) =

L2nMn

Spa(ξn, ωn).

126 Resposta Estrutural à Acção Sísmica

Figura 1 (a) Pórtico plano; (b) Viga contínua discretizada em massas concentradas

A quantidade L2nMn

é designada por massa modal efectiva. No caso de estruturas de edifícios ou similares2,a soma das massas modais efectivas de todos os modos de vibração é igual à massa total da estrutura. Para seobter o carte basal total máximo deve aplicar-se uma das equações de combinação acima descritas, ponderaçãoquadrática ou combinação quadrática completa.

7.1.1 Método de Rayleigh

Como foi já anteriormente abordado, a primeira frequência própria obtida pelo método de Rayleigh baseia-seno cálculo dos deslocamentos d obtidos pela aplicação de forças Fi = mig na estrutura, correspondentes àsforças gravíticas, e aplicadas separadamente segundo cada uma das direcções dos graus de liberdade. O valorda frequência própria, sendo NGL o numero de graus de liberdade, é dado por

f =1

2π

vuutg

PNGL

i=1 FidiPNGL

i=1 Fid2i(7.14)

A partir da frequência calculada podem ser usados os espectros de resposta para se obterem os valoresmáximos de resposta. Usando a mesma simbologia da equação (7.14) para o factor modal de excitação sísmica,L1, e considerando que o primeiro modo de vibração tem a configuração dada pelos valores dos deslocamentosd, tem-se, para factor de participação modal,

L1M1

=dTM1

dTMd(7.15)

Tendo em conta que a massa modal é dada por

M1 = dTMd =

NGLXi=1

mid2i =

PNGL

i=1 Fid2i

g(7.16)

e que o factor modal de excitação sísmica é dado por

L1 = dTM1 =

NGLXi=1

midi =

PNGL

i=1 Fidig

tem-seL1M1

=

PNGL

i=1 FidiPNGL

i=1 Fid2i=

ω21g

(7.17)

Utilizando as expressões (7.6), (7.7), (7.8), (7.13) e as expressões que relacionam os espectros de resposta dedeslocamentos relativos, SyR(ξn, ωn), e acelerações absolutas Sy(ξn, ωn), os valores máximos dos deslocamentose das forças de andar são dados pelas seguintes expressões:

2Estruturas em que as massas se distribuam ao longo de um eixo.


(yRmax

= d L1M1

Sy(ω1,ξ1)ω21

= dSy(ω1,ξ1)

g

Fmax =Mdω21L1M1

SyR(ξn, ωn) =Mdω21Sy(ω1,ξ1)

g

(7.18)

Note-se que os deslocamentos máximos são proporcionais aos deslocamentos inicialmente calculados, d, comum coeficiente de proporcionalidade Sy(ω,ξ)

g .As forças máximas de andar são também proporcionais às forças inicialmente utilizadas F . Cada uma das

forças de andar Fi,max é obtida de Fi,max = Fidiω21Sy(ω1,ξ1)

g2 . Os esforços na estrutura devem ser calculados paraas forças de andar Fmax.O valor do corte basal pode ser calculado somando todas as forças de andar

Vmax =X

Fi,max =Md1L1M1

Sy(ω1, ξ1) =L21M1

Sy(ω1, ξ1).

7.1.1.1 Exemplo

Considere-se um edifício de três pisos, o qual é modelado por um oscilador linear de três graus de liberdadecorrespondentes ao deslocamento dos pisos. A massa de cada piso é de 50 toneladas e a rigidez do conjunto dospilares ao nível de cada piso é de 150x103 kN/m.

a) Calcule a primeira frequência própria e modo de vibração usando o método de Rayleigh.

b) Use o método de Holzer para calcular o segundo modo de vibração e respectiva frequência própria.

c) Admitindo que a estrutura se situa em Coimbra num terreno tipo I, sendo o coeficiente de amortecimentoem todos os modos dado por ξ=0.05 e o coeficiente de comportamento relativo a esforços η=2.5, calculeo valor máximo do corte basal tendo em conta os resultados das alíneas anteriores e usando os espectrosde resposta regulamentares.

Resoluçãoa) Para o cálculo da frequência própria pelo método de Rayleigh usa-se a expressão

f =1

2π

vuutg

PNi=1midiPNi=1mid2i

em que os deslocamentos di são calculados para forças horizontais iguais aos pesos das massas em cada andar.Para o efeito calcula-se a matriz de flexibilidade:

f = k−1 =

⎡⎣ 150 −150 0−150 300 −1500 −150 300

⎤⎦−1 × 103 =⎡⎣ 1

50175

1150

175

175

1150

1150

1150

1150

⎤⎦× 10−3vindo o vector deslocamentos dado por

d = 9.8fm1 = 9.8× 10−3 ×

⎡⎣ 150

175

1150

175

175

1150

1150

1150

1150

⎤⎦⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ 111

⎫⎬⎭ =

⎧⎨⎩ 0.01960.01630.0098

⎫⎬⎭Para calcular a frequência própria tem-se:

f =1

2π

vuuuuuuuuuut9.8

©1 1 1

ª⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ 0.01960.01630.0098

⎫⎬⎭©1 1 1

ª⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ 0.01960.01630.0098

⎫⎬⎭2

f =1

2π

r9.8

2.285

3.7295× 10−2 =24.504

2π= 3.9Hz


Para modo de vibração normalizado tem-se:

φ =

⎧⎨⎩ 1.000.830.50

⎫⎬⎭b) Cálculo da segunda frequência própria pelo Método de Holzer:

Freq. [Hz] Desl. Massa Força Rigidez Desl. rel. Modo10.87 1 50000 233233462.9 1.50E+08 1.555 -0.80

-0.555 50000 103814604.4 1.50E+08 0.692 0.44-1.247 50000 -187024518.6 1.50E+08 -1.247 1.000.000 0.00

c) O corte basal Vb,n no modo de vibração n vem dado pela soma de todas as forças de andar

Vb,n =Xi=1,3

Fi =L2nMn

Sy(ωn, ξn)

em que φné o modo de vibração, e 1 é um vector unitário. O valor do espectro de resposta, considerando sismo

tipo I ou tipo II, calculado para o valor de frequência ωn está representado por Sa,n. O valor do corte basalmáximo considerando dois modos de vibração pode ser estimado pela equação

Vb,max =qV 2b,1 + V 2

b,2

Do R.S.A. são calculados os valores de Sy(ωn, ξn) tendo em conta que o coeficiente de sismicidade para azona geográfica em questão é de α = 0.5:

Sy(ω1, ξ1) Sy(ω2, ξ2)

sismo tipo I 210 cm/s2 235 cm/s2

sismo tipo II 125 cm/s2 125 cm/s2

O cálculo das massas modais e do factor modal de excitação sísmica é imediato:

M1 =©1.0 0.83 0.5

ª⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ 1.00.830.5

⎫⎬⎭ = 96.95

M2 =©−0.8 0.44 1.0

ª⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ −0.800.441.0

⎫⎬⎭ = 91.68

L1 =©1.0 0.83 0.5

ª⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ 1.01.01.0

⎫⎬⎭ = 116.5

L2 =©−0.8 0.44 1.0

ª⎡⎣ 50 0 00 50 00 0 50

⎤⎦⎧⎨⎩ 1.01.01.0

⎫⎬⎭ = 32.0

Substituindo nas expressões anteriores:

Vb,1 =116.52

96.952.1 = 294 kN

Vb,2 =32.02

91.682.35 = 26.25 kN

Vb,max =p2942 + 26.252 = 295 kN

Note-se que o coeficiente de comportamento relativo a esforços só se aplica aos esforços dos elementosresistentes e não ao cálculo das reacções de apoio, pelo que se não entra aqui com o referido coeficiente.A massa modal efectiva do primeiro modo é de 116.52

96.95 = 140ton, o que corresponde a cerca de 93% da massatotal do edifício.


Figura 2 Representação dos elementos estruturais de um edifício e modelo de 3GL/piso

7.2 Modelos estruturais de edifícios para análise dinâmica

7.2.1 Modelo de três Graus de Liberdade por Piso (3GL/P)

A análise dinâmica de edificios pode ser feita, de forma geral, com base numa discretização espacial em elementosfinitos de barra e de laje. Este tipo de modelo pode conduzir a um grande número de graus de liberdade e ,consequentemente, a tempos longos de cálculo.Uma das técnicas que permite a simplificação daquele modelo mantendo, no entanto, as propriedades espa-

ciais da estrutura, é o modelo de três graus de liberdade por piso (3GL/P). Este modelo pode ser usado nasestruturas de edifícios, desde que os pisos se possam considerar indeformáveis no seu plano, o que deverá sergarantido pelo tipo de lajes a utilizar (por exemplo lajes de betão armado). Este modelo pode não ser correctose o edifício tiver pequena altura e possuir elementos verticais de grande rigidez (paredes resistentes).O cálculo sísmico por espectros de resposta, de um edifício modelado com 3GL/P, é ilustrado no exemplo

que se apresenta a seguir. Refira-se que, devido à pequena altura do edifício e à existência de paredes resistentes,poder-se-ia pôr em dúvida a exactidão do modelo usado. No entanto, trata-se aqui, apenas, de ilustrar o processode cálculo, pelo que se não fazem considerações sobre a adequação do modelo.O referencial natural centra-se, em geral, num ponto da base do edifício situado na vertical do seu centro de

massa. O plano XOY é paralelo aos planos dos pisos e o eixo Z é vertical.

7.2.1.1 Matriz de Inércia

Para o piso arbitrário i tem-se a seguinte matriz de inércia:


[M ](i) =

⎡⎣ mi 0 −miYgi0 mi miXgi

−miYgi miXgi Igi

⎤⎦ (7.19)

em que Ygi e Xgi são as coordenadas do centro de massa do piso i no referencial natural. Note-se que o centrode massa pode variar de posição de piso para piso, pelo que aquelas coordenadas não serão necessáriamentenulas. Para distribuição uniforme de massa γ no piso i tem-se, para momento de inércia da massa Igi o seguintevalor (caso de piso rectangular de dimensões a× b):

Igi = mi

µa2 + b2

12

¶(7.20)

em que Ixi e Iyi representam os momentos de inércia da figura geométrica correspondente à forma do piso.A matriz de inércia total do edificio é formada à custa das matrizes de inércia de cada piso, colocadas em

diagonal:

[M ] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣[M ](1) [0] [0] . . . [0]

[0] [M ](2)

[0] . . . [0]

[0] [0] [M ](3) . . . [0]...

......

...[0] [0] [0] . . . [M ](N)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (7.21)

Note-se que o vector de deslocamentos a que corresponde esta matriz de inércia escreve-se da seguinte forma:

v =©x1 y1 θ1 | x2 y2 θ2 | . . . | xN yN θN

ªT(7.22)

7.2.1.2 Matriz de rigidez

Considera-se que a estrutura é formada por estruturas ticoidais, ou seja, estruturas planas do tipo pórticoplano ou parede. A matriz de rigidez [k]t de cada uma dessas estruturas ticoidais pode ser calculada, comohabitualmente, para cada um dos deslocamentos unitários de andar por condensação da matriz de rigidez globalda estrutura ticoidal para os graus de liberdade correspondentes à translação dos andares (ver figura 3). Estamatriz terá uma dimensão N ×N , em que N é o número de andares.

Figura 3 Deformada típica dos elementos estruturais

A construção da matriz de rigidez da estrutura ticoidal nas coordenadas naturais é feita supondo que o planoque contém a estrutura corta o referencial natural nas ordenadas xt e yt. Assim, para se obter a matriz de rigidezda estrutura global nas coordenadas naturais deverão os coeficientes de rigidez na matriz [k]t ser multiplicadospor cosα, sinα ou xt sinα conforme se estejam a calcular os coeficientes de rigidez para deslocamentos unitáriossegundo x, y ou θ respectivamente. Para além disso, deverão ser calculados os seus valores, nas coordenadasnaturais, decompondo vectorialmente os coeficientes de rigidez assim obtidos .

Modelos de edifícios 131

A título de exemplo, considere-se o cálculo dos coeficientes de rigidez para o deslocamento unitário segundoy ( dy = 1). Ter-se-iam, então, os seguintes coeficientes de rigidez no referencial natural:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

[Fy] = [k]t sin2 α

[Fx] = − [k]t cosα sinα

[Fxy] = [k]t xt sin2 α

(7.23)

ou seja: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

[Fy] = [k]ty2t

x2t+y2t

[Fx] = − [k]txt·ytx2t+y

2t

[Fxy] = [k]ty2t ·xtx2t+y

2t

(7.24)

Da mesma forma se poderiam escrever as equações dos coeficientes de rigidez para um deslocamento unitáriodx = 1 e uma rotação unitária θ = 1, permitindo assim construir a matriz de rigidez da estrutura nas coordenadasnaturais para os três graus de liberdade por piso:

dx = 1↓

dy = 1↓

θ = 1↓

[Fx]→ [k]t cos2 α − [k]t sinα cosα − [k]t yt cos2 α

[Fy]→ − [k]t sinα cosα [k]t sin2 α [k]t xt sin

2 α[Fxy]→ − [k]t yt cos2 α [k]t xt sin

2 α [k]t x2t sin

2 α

(7.25)

ou, em alternativa:

1.

1

x2t + y2t

⎡⎣ x2t [k]t −xtyt [k]t −x2tyt [k]t−xtyt [k]t y2t [k]t xty

2t [k]t

−x2tyt [k]t xty2t [k]t x2ty

2t [k]t

⎤⎦ (7.26)

A matriz de rigidez [k]∗, correspondente à estrutura definida por 3GL/P pode ser , então, escrita naseguinte forma esquemática:

[k]∗ =

⎡⎣ [k]xx [k]xy [k]xθ[k]yx [k]yy [k]yθ[k]θx [k]θy [k]θθ

⎤⎦ (7.27)

Figura 4 Construção da matriz de Rigidez com 3GL/piso

Note-se que a forma como a matriz de rigidez é aqui escrita não corresponde à forma como a matriz deinércia se encontra escrita na equação (7.21), pelo que será, em geral, necessário trocar linhas e colunas numadas referidas matrizes para que os graus de liberdade apareçam na mesma sequência em ambas as matrizes.


Nos casos em que os pórticos sejam ortogonais entre si, a matriz de rigidez nas coordenadas naturais podeser escrita separadamente para os pórticos na direcção x, para os quais se define a matriz de rigidez [k]t,x

⎡⎣ [k]t,x [0] −yt [k]t,x[0] [0] [0]

−yt [k]t,x [0] y2t [k]t,x

⎤⎦ (7.28)

e para os pórticos na direcção y , para os quais se define a matriz de rigidez [k]t,y

⎡⎣ [0] [0] [0][0] [k]t,y xt [k]t,y[0] xt [k]t,y x2t [k]t,y

⎤⎦ (7.29)

A matriz de rigidez global será então a soma das duas matrizes de rigidez anteriores:

[k]∗ =

⎡⎣ [k]t,x [0] −yt [k]t,x[0] [k]t,y xt [k]t,y

−yt [k]t,x xt [k]t,y x2t [k]t,y + y2t [k]t,x

⎤⎦Nos casos em que exista simetria na direcção x e/ou na direcção y a matriz de rigidez simplifica-se:

simetria relativamente a x simetria relativamente a y

[k]∗=

⎡⎣ [k]xx [0] [0][0] [k]yy [k]yθ[0] [k]θy [k]θθ

⎤⎦ ⎡⎣ [k]xx [0] [k]xθ[0] [k]yy [0]

[k]θx [0] [k]θθ

⎤⎦

7.2.1.3 Análise modal

O cálculo dos modos de vibração e respectivas frequências próprias é feito com base nas matrizes de inércia ede rigidez apresentadas acima. A matriz de inércia deve ser rearranjada de modo a agruparem-se os graus deliberdade de todos os pisos em cada uma das direcções, x, y e θ. Nos casos em que existe simetria na distribuiçãode rigidez em alguma das direcções preferenciais, os modos de vibração nessa direcção são independentes daoutra direcção e da rotação, pelo que devem ser calculados separadamente, por forma a que o algoritmo decálculo dos valores/vectores próprios não apresente dificuldades numéricas.

O vactor do modo de vibração n apresenta a seguinte aspecto:

φnT =

©φx1,n φx2,n . . . φxN ,n φy1,n φy2,n . . . φyN ,n φθ1,n φθ2,n . . . φθN ,n

ªou, de forma condensada,

φn =

⎧⎨⎩φx,nφy,nφθ,n

⎫⎬⎭7.2.1.4 Análise sísmica com base em espectros de resposta

A análise de um sistema de 3GL/P sujeito a acelerações na base com três componentes, (xG, yG, θG), é feitousando o seguinte sistema de equações diferenciais em coordenadas modais:

[Φ]T[M ] [Φ] q+ [Φ]T [C] [Φ] q+ [Φ]T [K] [Φ] q = [Φ]T

³Mx xG + My yG + Mθ θG

´(7.30)


em que q é o vector dos deslocamentos modais por forma a ter-se v = [Φ] q. Cada um dos vectores Mx,My, e Mθ é calculado da seguinte forma :

Mx = [M ]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

11...100...000...0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

; My = [M ]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

00...011...100...0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

; Mθ = [M ]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

00...000...011...1

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

sendo v =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1x2...xNy1y2...yNθ1θ2...θn

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(7.31)

Usando as propriedades de ortogonalidade dos modos de vibração, o sistema de equações pode ser escritogenéricamente em termos do deslocamento, velocidade e aceleração modal do modo n, ou seja:

qn + 2ξnωnqn + ω2nq = μx,nxG + μy,nyG + μθ,nθG (7.32)

Para o cálculo dos valores máximos da resposta com base em espectros de resposta definem-se os coeficientesde participação modal do n-ésimo modo de vibração segundo cada uma das direcções globais, μx,n, μy,n e μθ,n,os quais são calculados da seguinte forma:

μx,n =Lx,nMx,n

=φn

T Mxφn

T[M ] φn

μy,n =Ly,nMy,n

=φn

T Myφn

T[M ] φn

μθ,n =Lθ,nMθ,n

=φn

T Mθφn

T[M ] φn

(7.33)Os valores do espectro de resposta correspondentes a deslocamentos relativos nas direcções x e y (SxR e SyR)

são iguais e obtem-se directamente dos espectros de resposta de aceleração:

SxR(fn, ξn) = SyR(fn, ξn) =Sy(fn, ξn)

(2πf)2

O cálculo dos valores do espectro de resposta de rotações relativas, SθR , é feito a partir do espectro deacelerações aplicando a seguinte relação:

SθR(fn, ξn) =

√2

2c

Sy(fn, ξn)

2πf(7.34)

em que c = 1000m/s é o valor habitualmente adoptado para a velocidade de propagação das ondas sísmicas.O valor máximo de deslocamento, numa dada direcção, é calculado separadamente para cada uma das

direcções de actuação da acção sísmica, x, y e θ, e para cada modo de vibração n. Assim, ter-se-ia, por exemplo,para o deslocamento segundo x e para o modo de vibração n os seguintes valores de deslocamento máximo paracada direcção de actuação da acção sísmica:

Acção segundo x ⇒ maxnv(x)x,n

o=©φx,n

ªμx,n

Sy(fn,ξn)(2πf)2

Acção segundo y ⇒ maxnv(x)y,n

o=©φx,n

ªμy,n

Sx(fn,ξn)(2πf)2

Acção segundo θ ⇒ maxnv(x)θ,n

o=©φx,n

ªμθ,n

√22c

Sy(fn,ξn)2πf

(7.35)

Nesta expressões, o vector©φx,n

ªcontém apenas os elementos do vector modo de vibração n que correspondem

à direcção x. O valor máximo de deslocamento em cada piso, nesta direcção, pode ser obtido por uma dasregras de combinação conhecidas, como por exemplo a regra da ponderação quadrática:

maxnv(x)

o=

sXn

µnv(x)x,n

o2+nv(x)y,n

o2+nv(x)θ,n

o2¶(7.36)


Note-se que o deslocamento assim calculado corresponde ao deslocamento (ou rotação) do centro de massa dopiso. No caso de se pretender calcular os deslocamentos máximos sofridos por uma qualquer estrutura ticoidalt, cada um dos modos de vibração calculados no sistema de coordenadas naturais deverá ser transformado nomodo de vibração dessa estrutura ticoidal, da seguinte forma:©

φt,nª= −

©φx,n

ªcosαt +

©φy,n

ªsinαt +

©φθ,n

ªdt (7.37)

Usando os espectros de resposta pode ser calculada a resposta máxima em cada uma das estruturas. Para aactuação separada da acção em cada uma das direcções, e considerando apenas o modo n, ter-se-iam os seguintesvalores de deslocamento máximo na estrutura ticoidal (t) originados pelos deslocamentos globais do edifício:

Acção segundo x ⇒ maxnv(t)x,n

o=©φt,n

ªμx,n

Sy(fn,ξn)(2πf)2

Acção segundo y ⇒ maxnv(t)y,n

o=©φt,n

ªμy,n

Sx(fn,ξn)(2πf)2

Acção segundo θ ⇒ maxnv(t)θ,n

o=©φt,n

ªμθ,n

√22c

Sy(fn,ξn)2πf

(7.38)

O valor máximo de deslocamento de andar da estrutura ticoidal em estudo pode ser estimada através deponderação quadrática relativa a cada direcção de excitação e a cada modo:

maxnv(t)o=

sXn

µnv(t)x,n

o2+nv(t)y,n

o2+nv(t)θ,n

o2¶(7.39)

Para o cálculo de esforços o raciocinio a seguir é semelhante ao exposto para os deslocamentos

7.2.2 Exemplo numérico

Para o caso particular do exemplo proposto na figura 2 as matrizes de rigidez das várias estruturas ticoidaisescrevem-se da seguinte forma:

1. • Pórticos 2,3 e 4:

[k]t,y =

⎡⎣ 27.353 −24.061 2.481−24.061 43.089 −22.6022.481 −22.602 19.457

⎤⎦× 103KN/m

• Pórticos 5,6 e 7:

[k]t,x =

⎡⎣ 36.618 −32.375 3.054−33.375 60.640 −30.6783.054 −30.678 27.742

⎤⎦× 103KN/m

• Parede:

[k]t,y =

⎡⎣ 14900 −12980 3880−12980 15770 −60703880 −6070 2730

⎤⎦× 103KN/m

Refira-se que os pórticos 5,6 e 7 foram considerados todos iguais, por simplificação, e a contribuição daparede nesses mesmos pórticos foi considerada com rigidez igual à dos pilares.Para a construção da matriz de rigidez global teremos os seguintes valores de xt e yt:

Portico 1 2 3 4 5 6 7xt -7.5 -2.5 2.5 7.5 ∞ ∞ ∞yt ∞ ∞ ∞ ∞ 5.0 0.0 -5.0

Por o plano XOZ ser de simetria pode concluir-se que os modos de vibração com componente segundo x terãoas componentes y e θ nulas, ou seja,os modos de vibração na direcção x, bem assim como a componente daresposta nessa direcção, não dependem das outras duas coordenadas. A matriz de rigidez [k]∗ terá, então, aseguinte forma:

[k]∗=

⎡⎣ [k]xx [0] [0][0] [k]yy [k]yθ[0] [k]θy [k]θθ

⎤⎦Modelos de edifícios 135

i) Cálculo das frequências próprias e modos de vibração na direcção x

A matriz de rigidez nesta coordenada é dada pela sub-matriz superior esquerda da matriz global e é obtidapela soma das matrizes [k]t,x correspondentes aos pórticos 5, 6 e 7, ou seja:

[k]xx =

⎡⎣ 109.85 −97.13 9.16−97.13 181.92 −92.039.16 −92.03 83.23

⎤⎦× 103kN/m

Para o cálculo da matriz de inércia na coordenada x tem-se em conta que Ygi = Xgi = 0, pelo que a matrizde inércia será diagonal:

[M ]xx =

⎡⎣ 150 0 00 150 00 0 150

⎤⎦TonAs frequências próprias calculadas com base nestas matrizes são as seguintes:

ωx =

⎧⎨⎩ 5.0824.1743.47

⎫⎬⎭ fx =

⎧⎨⎩ 0.813.856.92

⎫⎬⎭Hz

e os vectores próprios que lhes correspondem são os seguintes:

[Φ]x =

⎡⎣ φx1,1 φx1,2 φx1,3φx2,1 φx2,2 φx2,3φx3,1 φx3,2 φx3,3

⎤⎦ =⎡⎣ 0.77 1.0 −0.590.94 0.14 1.01.0 −0.91 −0.49

⎤⎦ii) Cálculo das frequências próprias e modos de vibração nas direcções y e θ

A matriz de rigidez correspondente a estas duas coordenadas é dada pelo conjunto das quatro sub-matrizesinferiores direitas da matriz global [k]∗, ou seja:

∙[k]yy [k]yθ[k]θy [k]θθ

¸=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣14982 −13052 3887 −111545 97170 −29081

15899 −6138 97170 −118598 453552788 −29081 45355 −20329

841836 −733398 218573Simetria 893057 −344525

156287

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦× 103kN/m

A matriz de inércia vai ser reagrupada por forma a terem-se os deslocamentos na seguinte forma:

vyθ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1y2y3θ1θ2θ3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭[M ]yθ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣150 0

150 zero150

4062.5zero 4062.5

4062.5

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ton

O cálculo das frequências próprias, modos de vibração e massas modais, bem como dos factores de partici-pação modal é feita em computador (DOS/WINDOWS) com o programa EIGENVAL. Os ficheiros de introduçãode dados e de saída de resultados representam-se em Anexo. Os vectores de frequências próprias e modos devibração calculados são os seguintes:

fyθ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0.374.216.077.6440.83125.3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭[Φ]xθ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0.735 1.000 0.451 −0.594 1.000 −0.9410.932 0.129 0.674 1.000 0.687 1.0001.000 −0.984 1.000 −0.473 −0.701 −0.3550.097 0.141 −0.067 −0.081 −0.278 0.2610.123 0.035 −0.192 0.129 −0.192 −0.2780.131 −0.101 −0.323 −0.068 0.197 0.099

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦verificando-se existirem deslocamentos na direcção y associados a rotações θ dos pisos para todos os valores defrequência.


iii) Cálculo da resposta máxima através dos espectros de resposta

De acordo com os cálculos realizados podemos escrever o vector de frequências e a matriz dos três modos devibração ordenados da forma que se indica no vector dos deslocamentos v:

f =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0.370.813.854.216.076.927.6440.83125.3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭v =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1x2x3y1y2y3θ1θ2θ3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

[Φ] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0.774 1.000 0 0 −0.585 0 0 00 0.939 0.143 0 0 1.000 0 0 00 1.000 −0.909 0 0 −0.486 0 0 0

0.735 0 0 1.000 0.451 0 −0.594 1.000 −0.9410.932 0 0 0.129 0.674 0 1.000 0.687 1.0001.000 0 0 −0.984 1.000 0 −0.473 −0.701 −0.3550.097 0 0 0.141 −0.067 0 −0.081 −0.278 0.2610.123 0 0 0.035 −0.192 0 0.129 −0.192 −0.2780.131 0 0 −0.101 −0.323 0 −0.068 0.197 0.099

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Para o cálculo da resposta dos pórticos orientados segundo x apenas há a considerar os segundo, terceiro e

sexto modos. Para o cálculo dos pórticos na direcção y serão considerados os restantes modos.Tome-se, como exemplo, o cálculo do deslocamento máximo no pórtico 4. Dada a sua posição na estrutura

apenas será afectado pelos modos que incluem deslocamentos y e rotações θ. Os valores do espectro de rotaçãopodem ser obtidos dos espectros de aceleração usando a equação 7.34 e para velocidade de propagação das ondassísmicas c = 1000m/s. Considerando apenas o primeiro e quarto modos de vibração no cálculo da resposta, bemassim como um amortecimento de ξ = 5% obtem-se, no caso de terreno tipo I e de zona sísmica A, os seguintesvalores do espectro de resposta do deslocamento relativo para os dois tipos de acção sísmica (comparação RSAe EC8):

RSA EC8

SyR(0.37; 0.05) =

½6.48cm12.95cm

14.1cm16.0cm

Sismo 1Sismo 2

SyR(4.21; 0.05) =

½0.64cm0.37cm

0.67cm0.37cm

Sismo 1Sismo 2

SθR(0.37; 0.05) =

½6.90× 10−4rad13.8× 10−4rad

2.4× 10−4rad2.6× 10−4rad

Sismo 1Sismo 2

SθR(4.21; 0.05) =

½1.20× 10−4rad0.69× 10−4rad

1.25× 10−4rad0.68× 10−4rad

Sismo 1Sismo 2

Para o cálculo dos deslocamentos usa-se a equação (7.37) para definir os modos de vibração do pórtico emestudo (pórtico 4): £

φ4,1¯φ4,4

¤=£φy,1

¯φy,4

¤sin

π

2+ 7.5

£φθ,1

¯φθ,4

¤=

=

⎡⎣ 0.7350.9321.000

¯¯ 1.0000.129−0.984

⎤⎦+ 7.5⎡⎣ 0.0970.1230.131

¯¯ 0.1410.035−0.101

⎤⎦ =⎡⎣ 1.4631.8551.983

¯¯ 2.0580.392−1.742

⎤⎦A acção segundo x não provoca deslocamentos no pórtico. Os coeficientes de participação modal μy e μθ

são os seguintes, para cada um dos modos de vibração:

μy,1 =φ1

T [M ] 000111000T

M1=400

1825= 0.219


μy,4 =φ4

T[M ] 000111000T

M4=21.8

324.8= 0.0671

μθ,1 =φ1

T[M ] 000000111T

M1=1425

1825= 0.781cm/rad

μθ,4 =φ4

T [M ] 000000111T

M4=

303

324.8= 0.933cm/rad

Para a resposta de deslocamento do Pórtico 4 à acção sísmica actuando separadamente na direcção y e narotação θ tem-se, para os modos 1 e 4 (RSA):

max vy,1(4) =©φ4,1

ªμy,1SyR =

⎧⎨⎩ 1.4631.8551.983

⎫⎬⎭ 0.219× 6.48 =⎧⎨⎩ 2.0762.6322.814

⎫⎬⎭ (cm) (sismo 1)max vy,1(4) =

©φ4,1

ªμy,1SyR =

⎧⎨⎩ 1.4631.8551.983

⎫⎬⎭ 0.219× 12.95 =⎧⎨⎩ 4.1495.2615.624

⎫⎬⎭ (cm) (sismo 2)max vy,4(4) =

©φ4,4

ªμy,4SyR =

⎧⎨⎩ 2.0580.392−1.742

⎫⎬⎭ 0.0671× 0.64 =⎧⎨⎩ 0.088

0.017−0.075

⎫⎬⎭ (cm) (sismo 1)max vy,4(4) =

©φ4,4

ªμy,4SyR =

⎧⎨⎩ 2.0580.392−1.742

⎫⎬⎭ 0.0671× 0.37 =⎧⎨⎩ 0.051

0.010−0.043

⎫⎬⎭ (cm) (sismo 2)max vθ,1(4) =

©φθ,1

ªμθ,1SyR =

⎧⎨⎩ 1.4631.8551.983

⎫⎬⎭ 0.781× 6.90× 10−4 =⎧⎨⎩ 0.788

1.000−0.757

⎫⎬⎭× 10−3(cm) (sismo 1)max vθ,1(4) =

©φθ,1

ªμθ,1SθR =

⎧⎨⎩ 1.4631.8551.983

⎫⎬⎭ 0.781× 13.8× 10−4 =⎧⎨⎩ 1.577

2.000−2.137

⎫⎬⎭× 10−3(cm) (sismo 2)max vθ,4(4) =

©φθ,4

ªμθ,4SθR =

⎧⎨⎩ 2.0580.392−1.742

⎫⎬⎭ 0.933× 1.20× 10−4 =⎧⎨⎩ 0.230

0.044−0.195

⎫⎬⎭× 10−3(cm) (sismo 1)max vθ,4(4) =

©φθ,4

ªμθ,4SθR =

⎧⎨⎩ 2.0580.392−1.742

⎫⎬⎭ 0.933× 0.69× 10−4 =⎧⎨⎩ 0.133

0.025−0.112

⎫⎬⎭× 10−3(cm) (sismo 2)O valor máximo do deslocamento no pórtico 4 dá-se no piso mais elevado e pode ser obtido por ponderação

quadrática dos valores vy e vθ para os modos considerados:

max v(4) =p(2.814)2 + (−0.075)2 + (−0.757× 10−3)2 + (−0.195× 10−3)2 = 2.82cm (sismo 1)

max v(4) =p(5.624)2 + (−0.043)2 + (−2.137× 10−3)2 + (−0.112× 10−3)2 = 5.62cm (sismo 2)

7.2.3 Modelo simplificado plano – 1GL/Piso

A análise dinâmica de edificios pode ser simplificada tendo como base a indeformabilidade dos pisos no seuplano e a separação da análise em duas direcções ortogonais. Assim, para edifícios com planta de forma regularpodemos simplificar a análise feita no ponto anterior considerando que os modos de vibração são independentesem cada uma das direcções e não envolvem torções. Estas são consideradas à posteriori através da correcçãoda resposta obtida, a qual é multiplicada por um coeficiente que tem em conta a excentricidade do centro demassa relativamente ao centro de torção.Este método é frequentemente usado em conjugação com o método de Rayleigh e os espectros de resposta,

pois permite partir da análise das estruturas planas (pórticos/paredes) em cada uma das direcções preferenciais,calculando um conjunto de forças de piso que são depois distribuidas pelas estruturas ticoidais de acordo com


a sua rigidez relativa e a respectiva distância ao centro de rigidez. O cálculo das frequências próprias em cadauma das direcções é feita pelo método de Rayleigh associando todas as estruturas ticoidais existentes numamesma direcção, por forma a ter-se uma única estrutura plana (pórticos em comboio).Tomando como exemplo o edifício analizado no ponto anterior, e mais exactamente o cálculo dos deslocamen-

tos máximos no pórtico 4, ter-se-ia então o esquema de cálculo em cada uma das direcções x e y representadona figura5.

Figura 5 Associação de pórticos e paredes para análise plana. a) direcção x; b) direcç ão y

O cálculo da primeira frequência própria na direcção x, correspondente a três pórticos iguais, pelo métodode Rayleigh pode ser efectuado calculando os deslocamentos sofridos pelo conjunto de pórticos quando actuadopor forças horizontais correspondentes às massas dos pisos. Tendo presentes a matriz de rigidez já estabelecidaanteriormente, bem como a matriz de massa, ter-se-ia, para vector de deslocamentos dx (g é a aceleração dagravidade):

dx = ([k]xx)−1 g [M ] 1

dx =

⎡⎣ 109.85 −97.13 9.16−97.13 181.92 −92.039.16 −92.03 83.23

⎤⎦−1 9.8103

⎡⎣ 150 0 00 150 00 0 150

⎤⎦⎧⎨⎩ 111

⎫⎬⎭ =

⎧⎨⎩ 0.3240.3900.413

⎫⎬⎭A frequência própria é dada pela equação(7.14), obtendo-se fx = 0.81Hz. Na direcção y a frequência é

f = 3.54 Hz e é obtida com base no seguinte vector de deslocamentos:

dy =³[k]yy

´−1g [M ] 1

dy =

⎡⎣ 14982 −13052 3887−13052 15899 −61383887 −6138 2788

⎤⎦−1 9.8103

⎡⎣ 150 0 00 150 00 0 150

⎤⎦ 111=

⎧⎨⎩ 7.56× 10−31.62× 10−22.57× 10−2

⎫⎬⎭A análise sísmica por espectros de resposta é feita nas duas direcções em separado, pelo que os deslocamentos

máximos do pórtico 4 serão condicionados pela acção sísmica segundo y. O valor espectral da aceleração paraos dois tipos de sismos otem-se directamente dos espectros de resposta (R.S.A. ou EC8),

RSA EC8

Sa(3.54; 0.05) =

½405cm/s2

254cm/s2468cm/s2

256cm/s2Sismo 1Sismo 2

e o valor das forças máximas de andar obtem-se da segunda das equações (7.18) para o sismo tipo 1 (RSA):

F y,max =Md(2πf)2Sa980

=

⎡⎣ 150 0 00 150 00 0 150

⎤⎦⎧⎨⎩ 7.56× 10−31.62× 10−22.57× 10−2

⎫⎬⎭ (2π × 3.54)2 405980 =⎧⎨⎩ 232497788

⎫⎬⎭ kNModelos de edifícios 139

A massa modal efectiva (m1 = 375ton) corresponde a cerca de 82% da massa total da estrutura, apontandopara a necessidade de realizar uma análise multimodal. Por seu lado, o Anexo A do Eurocódigo 8 aponta paraque, na estrutura presente se deva usar um modelo espacial de análise.

7.2.3.1 Distribuição da força horizontal pelas estruturas de contraventamento — exemplo doPórtico 4

As forças acima calculadas devem ser consideradas a actuar com uma excentricidade relativamente ao centrode massa definida no artigo 32o do R.S.A.. A definição dessa excentricidade depende da posição do centro derigidez de cada piso. A posição do centro de rigidez do piso relativamente ao centro do referencial (centro demassa do edifício) pode ser determinada, de forma simplificada, com base nas inércias das secções transversaisdos elementos verticais de contraventamento na direcção considerada, ou seja,

xR =

Pi IxixiPi Ixi

e yR =

Pi IyiyiPi Iyi

Neste exemplo tem-se a excentricidade

xR =

Pi IxixiPi Ixi

=0.33 × 7.5− 43 × 7.5

9× 0.33 + 43 = −7.47

que corresponde práticamente à posição da parede resistente. A posição mais desfavorável da resultante relati-vamente ao pórtico 4 será tal que a sua distancia ao centro de torção é de t = |xR|+ (0.5 |xR|+ 0.05a) em quea é a dimensão dos pisos na direcção x. Obtem-se, assim, o valor t = 11.96m.De acordo com o modelo temos assim forças de piso F y,max , as quais podemos considerar aplicadas a uma

distancia t do centro de torção. A distribuição das forças F y,max pelas estruturas ticoidais resistentes pode serfeita de forma simplificada tendo em conta apenas a relação entre a soma das inércias dos n elementos verticaisdessa estrutura e a soma das inércias de todos os m elementos verticais no piso,

F(t)Ty,max =

Pn IxiPm Ixi

F y,max = γ(t)TyF y,max

A existência do momento de torção em torno do centro de rigidez, Mt = F y,maxt, implica a participação doselementos verticais na resistencia a este momento, a qual pode ser determinada através dos seguintes factoresde participação:

γxi =Iyi (yi − yR)Pm

k=1

³Ixk (xk − xR)

2+ Iyk (yk − yR)

2´

γyi =Ixi (xi − xR)Pm

k=1

³Ixk (xk − xR)

2+ Iyk (yk − yR)

2´

No caso de uma dada estrutura ticoidal ter um numero n de elementos verticais, a sua contribuição naresistencia ao momento de torção será dada pela soma dos factores de participação de todos os seus elementos:

γ(t)Rx =

nXi=1

γxi

γ(t)Ry =

nXi=1

γyi

Assim, as forças de piso a considerar na estrutura (t) quando sujeita a sismo na direcção y obtem-se da seguinteforma:

F (t)y,max = γ(t)TyF y,max + γ

(t)RyF y,maxt =

Ã1 + t

γ(t)Ry

γ(t)Ty

!γ(t)TyF y,max = ξγ

(t)TyF y,max

que ξ deve ser sempre tomado com valor igual ou superior a¡1 + 0.6x

a

¢, em que a representa a dimensão do

piso perpendicularmente à direcção em análise, e x representa a distancia da estrutura de contraventamento aocentro de massa.


No exemplo em estudo tem-se os seguintes valores:

γ(4)Ty =

Pn IxiPm Ixi

=3× 0.34

9× 0.34 + 43 × 0.3 = 1.26× 10−3

γ(4)Ry =

nXi=1

Ixi (xi − xR)Pmk=1

³Ixk (xk − xR)

2 + Iyk (yk − yR)2´ =

=3× 0.33 × (7.5 + 7.47)

3× 0.33h(7.5 + 7.47)2 + (2.5 + 7.47)2 + (−2.5 + 7.47)2

i+ 8× 0.33 × 52

= 3.61× 10−2

Ã1 + t

γ(4)Ry

γ(4)Ty

!γ(4)Ty =

µ1 + 11.96

3.61× 10−21.26× 10−3

¶1.26× 10−3 = 343.7× 1.26× 10−3 = 0.433

F (4)y,max = 0.433×

⎧⎨⎩ 232497788

⎫⎬⎭=⎧⎨⎩ 100.5215.2341.2

⎫⎬⎭ kN

7.2.4 Modelo Tridimensional

O método dos elementos finitos permite calcular em computador modelos tridimensionais das estruturas, uti-lizando elementos de barra para as vigas e pilares, e elementos de laje para os pisos. A modelação pode sertambém feita apenas com os elementos de barra, tendo-se, neste caso, em atenção, que é fundamental modelara grande rigidez dos pisos no seu plano. Isto pode ser conseguido através de várias estratégias, uma delas sendoa ligação em diagonal dos nós do piso com elementos de grande rigidez axial e rigidez de flexão semelhante à dalaje. É ainda importante que a concentração das massas se faça ao nível do piso com a sua correcta distribuiçãoem planta.

Dada a grande variedade de programas comerciais que permitem fazer este tipo de cálculos, não se faz aquia descrição de um programa tipo, no que respeita à sua utilização. Apresentam-se, no entanto, nas figurasseguintes os modos de vibração calculados para o exemplo dos pontos anteriores com um desses programas.Neste cálculo consideraram-se duas modelações. O tipo de elementos usados em ambas é o mesmo, elementosde barra e de laje, variando apenas o numero de elementos em que se discretizou a estrutura. Os resultados sãomuito semelhantes. O valor das frequências é o seguinte:

Características do modo de vibraçãoTorção com deslocamentos segundo y

Deslocamentos segundo xDeslocamentos segundo x

Torção com deslocamentos segundo y

3 GL/p0.370.813.854.21

An. Plana–0.81–3.54

Modelo 11.101.034.204.43

Modelo 21.141.034.154.57

Quando comparados os resultados desta análise com os obtidos anteriormente, verifica-se ser este modelobastante mais rígido, o que se deve à introdução das lajes, cuja rigidez de flexão se adiciona às das vigastornando os pórticos menos deformáveis. Constata-se também que no modelo 3D a primeira frequência própriaé significativamente diferente, na medida em que neste modelo não é considerada a inércia de rotação da massados pisos devido ao tipo de formulação da matriz de inércia usada pelo programa de cálculo utilizado (lumped-mass matrix). Nas figuras seguintes mostram-se os modos de vibração calculados.



Usando um espectro de resposta correspondente a 5% de amortecimento, num terreno tipo I (RSA) e paraa acção sísmica 1 na zona A tem-se os seguintes valores máximos de deslocamento e momentos flectores nospilares:

X Y

Z

0.04729 0.03974 0.04589

0.04729 0.03974

0.03805 0.04589

0.04729 0.03974

0.04729

0.04589

0.04729

0.05645 0.05645

0.06112

0.05645

0.05476

0.05645 0.0474

0.05645

0.05476

0.04537

0.0474

0.047290.0344 0.03805

0.03974 0.0344

0.03974

0.0474

0.04589

0.05476

0.04589

0.03805

0.03974

0.03805 0.03244

0.0344 0.04589

0.04729

0.04589

0.04729

0.03974

0.03805

0.03974

0.03805

0.06112

0.05928

0.04912

0.05132 0.06112

0.05928

0.06112 0.05132

0.0474 0.04102

0.0474

0.04537 0.03866

0.04102 0.0474

0.05132

0.05476

0.04537 0.05476

0.05645

0.0474

0.04537 0.05476

0.05645

0.0474

0.04537 0.05476

0.05928

0.039740.03244 0.03242 0.0344

0.03244 0.03033

0.03242 0.03805

0.03974

0.04729

0.05645

0.0344

0.04102

0.03805

0.03974

0.0344

0.03244

0.0344

0.03244

0.0344 0.03242

0.03805 0.03244

0.04729

0.03974

0.03805

0.04537

0.05928

0.06112

0.05132

0.04912 0.05928

0.06112

0.05132 0.04445

0.05928

0.04912

0.05132

0.04912 0.04189

0.04445 0.05132

0.04912

0.04102

0.03866 0.03615

0.03866 0.04537

0.03866 0.04537

0.0474

0.04102

0.03866

0.04102

0.03866 0.04537

0.04912

0.05645

0.06112

0.04102

0.04445

0.04537

0.0474

0.04102 0.03866

0.05645

0.0474

0.03033 0.0344

0.03244

0.03866

0.03242

0.03866

0.03974

0.0474

0.03244

0.0344 0.03242

0.03033 0.03244

0.0344 0.03974

0.0344

0.03242

0.03033 0.03244

0.03033

0.04912 0.04189

0.04912

0.05132

0.04445

0.04189

0.04445

0.04189 0.03922

0.04195 0.04445

0.04195 0.04912

0.05132

0.04445

0.04189 0.06112

0.05132

0.03866 0.03615

0.0474

0.05132

0.03866

0.04195

0.03866

0.04189

0.03866

0.04102 0.03866

0.03615 0.0474

0.04102

0.03866

0.03615 0.03866

0.04102

0.03242

0.03033

0.03242

0.03033

0.03615

0.0344 0.03242

0.0344

0.04102

0.04189 0.03922

0.05132

0.04445

0.04189

0.04445

0.04195

0.03922 0.04189

0.04445 0.04195

0.03922

0.03615

0.03866

0.04102 0.03866

0.03615

0.03922

0.04102

0.04445

0.03242

0.03866

0.03922

0.04195

0.04445 0.04195

0.03866

0.04195

X Y

Z

154.8

135.6

116.4

97.25

78.06

58.88

39.69

20.51

1.324

-17.86

-37.05

-56.23

-75.42

-94.6

-113.8

-133.

-152.2

Contour: Beam End A Moment3



Bibliografia[1] Clough, R.W.; Penzien, J. - Dynamics of Structures, Mcgraw-Hill, 1982

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[10] EUROCÓDIGO 8 - Estruturas em regiões sísmicas


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Dinâmica de Estruturas Carlos A. Silva Rebelo