Dinâmica de Estruturas e Engenharia Sísmica 2010

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  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS

    EENGENHARIA SSMICA

    Alfredo Campos Costa

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    ndiceI GENERALIDADES ........................................................................................................... 1

    I-1 Dinmica Da Partcula e Do Corpo Rgido ............................................................................. 1I-2 Principio D'Alembert e Equao do Movimento ................................................................... 2I-3 Formulao das Equaes do Movimento ............................................................................... 3I-4 Oscilador Linear com 1 Grau de Liberdade ............................................................................ 4

    II EQUAES DO MOVIMENTO ..................................................................................... 5II-1 Equao Geral de Movimento do SDOF................................................................................ 5II-2 Componentes Gravitacionais ..................................................................................................... 6II-3 Excitao Provocada por Movimento da Base (Sismos) .................................................... 7

    III REGIME LIVRE .............................................................................................................. 8III-1 Regime livre no Amortecido .................................................................................................. 8

    III-2 Soluo Geral da Equao do Movimento ........................................................................... 8III-3 Regime Livre Amortecido ........................................................................................................ 9III-4 Soluo Geral para Amortecimento Viscoso ..................................................................... 10Amortecimento Superior ao Crtico >1....................................................................................... 12Amortecimento Igual ao Crtico =1 ............................................................................................. 12Amortecimento Inferior ao Crtico

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    IX REGIME LIVRE NO AMORTECIDO DEMDOF................................................... 69IX-1 Regime Livre No Amortecido de 2Gls.............................................................................. 69IX-2 Definio de Frequncias Prprias e Modos de Vibrao de SistemasMDOF........ 71IX-3 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais ......................................................... 73

    X REGIME LIVRE AMORTECIDO DEMDO................................................................. 76X-1 Amortecimento Clssico ou Proporcional............................................................................ 76XI REGIME FORADO AMORTECIDO DEMDOF...................................................... 80

    XI-1 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais ......................................................... 80XI-2 Definio dos Factores de Participao............................................................................... 82

    XII RESPOSTA DEMDOFA MOVIMENTOS DA BASE. ............................................ 83XII-1 Equao do Movimento de Estruturas Sujeitas a Movimentos Rgidos da Base. ... 83XII-2 Anlise da Resposta no Tempo............................................................................................ 86XII-3 Anlise atravs de Espectros de Resposta......................................................................... 87

    XIII Anlise Ssmica de Edifcios Assimtricos. ................................................................ 91XIII-1 Matriz de Rigidez de Estruturas com 3gls/piso .............................................................. 92XIII-2 Matriz de Massa de Estruturas com 3gls/piso ................................................................ 94XIII-3 Equao do Movimento de Estruturas de 1 Piso. .......................................................... 94XIII-4 Equao do Movimento de Estruturas comNPisos. .................................................... 96

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    Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica

    Docente

    Alfredo Campos Costa

    LNEC NESDE - Ncleo de Engenharia Ssmica e Dinmica de Estruturas

    Tel.: 21 844 37 97 91 94206 07

    e-mail: [email protected]

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    I GENERALIDADES

    I-1 Dinmica Da Partcula e Do Corpo Rgido

    2 Lei de Newton: Se a resultante de foras que actuam sobre uma partculano for nula, esta ter uma acelerao cuja intensidade proporcional intensidade da resultante, com a mesma direco e o mesmo sentido.

    O movimento de uma partcula (ou de um corpo rgido) provocado pelodesequilbrio das foras que sobre ela actuam.

    Movimento da

    ( ) ( )000000

    000

    ==

    ===

    =

    zyxzyx

    iiRoi

    zizyiyxix

    i

    MMMRRR

    fRfRfR

    0rfM0fR

    0fR

    Movimento do Corpo:

    Oz

    y

    x

    Oz

    y

    x

    f1fn

    f2R

    R

    R

    oM

    RoM

    conjugadovectoraeequivalentsistema

    0

    :forasdereduodegeralaso

    +

    0R0MRM

    CRo

    Ro

    y

    z x

    f1

    m

    f2fn

    y

    zxm

    0fR = i 0R

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    Se a resultante no nula for constante ao longo do tempo a partcula (ou ocorpo) estar animada de movimento rectilneo uniformemente acelerado(rectilneo e/ou de rotao em torno de um eixo)

    I-2 Principio D'Alembert e Equao do Movimento

    se m constante ao longo do tempo

    Fora de Inrcia Fora que se ope ao movimento

    Equilbrio Dinmico no instante t:

    Diagrama de corpo livre Foras Equao de equilbrio dinmico

    Exemplo: Movimento pendular

    ( ) ( )[ ]tmdt

    d

    dt

    dm

    dt

    dt u

    up &=

    =

    ( ) ( )tmdt

    udmt up &&== 22

    ( ) ( )tmt ufi &&=

    ( )tp ( ) ( ) 0= tmt xp &&( ) ( )tmt xfi &&=

    ( )

    ( )[ ] ( )( )[ ] ( )

    ( )[ ] ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) 0tL

    gt0f

    tLtattsen

    0tTtcosmg0f

    0tmatsenmg0f

    t

    x

    x

    y

    xx

    ie

    =+=

    =

    ===+=

    =+=

    &&

    &&epara

    0ffR

    ( )tx&&

    xy

    T

    mg

    L

    m

    ax

    ( )tu&m

    r

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    I-3 Formulao das Equaes do Movimento

    Objectivo da Dinmica de Estruturas Determinstica: Determinao das

    trajectrias do movimento ao longo do tempo dos pontos que definem aestrutura quando sujeita a um conjunto de foras dinmicas cuja descriotemporal dada.

    Resultados quase exactos com um nmero limitado de graus de liberdade.

    As expresses matemticas que caracterizam os movimentos dos pontos daestrutura designam-se como equaes do movimento da estrutura

    Fases da Anlise Dinmica de Estruturas:

    1. Formulao das Equaes do Movimento

    1.1. Escolha dos graus de liberdade

    1.2. Estabelecimento das equaes de equilbrio dinmico

    2. Resoluo das Equaes do Movimento

    Objectivo da Dinmica de Estruturas Estocstica: Determinao dascaractersticas probabilsticas das variveis estocsticas associadas aosdeslocamentos sofridos por estruturas sujeitas a foras dinmicas

    caracterizadas estocasticamente.

    Excitaes Peridicas Excitaes No Peridicas

    Harmnica simples

    Harmnica Complexa

    Impulsiva

    Longa durao

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    I-4 Oscilador Linear com 1 Grau de Liberdade

    Sistema dinmico mais simples redutvel a uma rigidez k, uma massa m e aum amortecimento c.

    Estrutura redutvel a SDOF

    Exemplos:

    Formas de Representao:

    rigidez k Mola simples ou rigidez condensada a 1gl

    massa m Massas da estrutura segundo o grau de liberdade considerado

    amortecimento c Amortecedor (foras proporcionais velocidade)

    a)Distribuies de rigidez e massa.

    b)Condies de fronteira.

    c)Caractersticas dinmicas das aces.

    m

    k

    u(t)

    u(t)

    m

    kmk

    u(t)

    c

    m

    k/2

    u(t)

    c

    k/2

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    II EQUAES DO MOVIMENTO

    II-1 Equao Geral de Movimento doSDOF

    Propriedades fsicas essenciais:

    1.massa m Fora de inrcia fI(t)

    2.amortecimento c Fora amortecimento ou dissipativa fD(t)

    3. rigidez k Fora de restituio elstica fS(t)

    Equilbrio dinmico:

    1.Fora de inrcia:

    2.Foras amortecimento:

    3.Fora de restituio elstica:

    4.Fora de excitao externa:

    Equao Geral de Movimento:

    Equao diferencial linear de 2 ordem com coeficientes constantes (sistemalinear)

    Clculo Diferencial Soluo geral + condies iniciais Soluo particular

    1.Soluo da Equao no Homognea p(t)0 Regime forado

    2.Soluo da Equao Homognea excitao nulap(t)=0 Regime livre

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0=+++

    == tptftftf

    t

    SDI

    0fR

    ( ) ( )tumtfI &&=

    ( ) ( )tuktfS =

    ( ) ( )tuctfD &=

    ( )tp

    ( ) ( ) ( ) ( )tptuktuctum =++ &&&

    ( ) ( ) ( ) 0=++ tuktuctum &&&

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    II-2 Componentes Gravitacionais

    Equao Geral de Movimento:

    A equao do movimento expressa em relao posio de equilbrioesttico no afectada pela presena de foras gravitacionais (peso) ououtras foras estticas Sobreposio de efeitos para a determinao dosesforos, tenses e deformaes; resposta esttica + resposta dinmica svalido para o comportamento linear fsico e geomtrico.

    Deslocamentoesttico

    ( ) ( ) ( ) ( ) Wtptuktuctum =++ &&&

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )tptuktuctum

    tututututudt

    dtu

    tptuktuctum

    WkWtptukktuctum

    tukktftutu

    st

    stst

    stSst

    =++

    ==+=

    =++

    ==+++

    +=+=

    &&&

    &&&&&&&

    &&&

    &&&

    eainda

    como

    como

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    II-3 Excitao Provocada por Movimento da Base (Sismos)

    Equilbrio dinmico:

    1.Fora de inrcia:

    2.Foras amortecimento:

    3.Fora de restituio elstica:

    A equao do movimento de um sistema actuado por um dado movimentorgido da base (constante ao longo da base) anloga do oscilador de basefixa com excitao igual ao produto da massa m pela acelerao dessemovimento.

    Equao em coordenadas absolutas:

    Melhor para a soluo movimentos variveis ao longo da base (basedeformvel)

    ( ) ( ) ( ) 0=++ tftftfSDI

    ( ) ( )tumtf tI

    &&=

    ( ) ( )tuktfS =

    ( ) ( )tuctfD

    &= ( ) ( ) ( ) 0=++ tuktuctumt &&&

    Equao Geral do Movimento:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )tumtuktuctum

    tutututututu

    g

    g

    t

    g

    t

    &&&&&

    &&&&&&

    =++

    +=+=

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuktuctuktuctum

    tutututututu

    gg

    ttt

    g

    t

    g

    t

    +=++

    ==

    &&&&

    &&&

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    III REGIME LIVRE

    III-1 Regime livre no Amortecido

    Definio: Foras de excitao e foras de amortecimento nulas:

    p(t) = 0 e c = 0

    III-2 Soluo Geral da Equao do Movimento

    O termo n a frequncia natural angular do oscilador no amortecido com1 grau de liberdade.

    As constantesA eB so determinadas em funo das condies iniciais t=0:

    A soluo pode tambm exprimir-se como:

    ( ) ( ) ( )movimento)doequaoar(satisfazecom

    cossen

    m

    k

    tBtAtu

    n

    nn

    =

    +=

    ( ) ( ) 0=+ tuktum &&Equao do Movimento

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )tututuuBuA

    uuuu

    tutuBuA

    vuu

    tutuuBA

    uuu

    BuAuBu

    nnnn

    nnn

    n

    n

    +===

    ==

    ===

    ==

    ===

    ==

    ===

    cossene

    0e0para

    sen0e

    0e00para

    cose0

    00e0para

    0;0;0

    0000

    00

    00

    0

    00

    0

    2

    &&

    &&

    &&

    &&

    &

    &&&

    ( ) ( )

    tanfasedenguloumeamplitudeumapara

    cos

    0

    01

    2

    02

    0

    =

    +=

    +=

    u

    uuu

    ttu

    nn

    n

    &&

    Im

    Re

    u0

    0/ntn

    tn

    tn+

    -

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    A resposta do oscilador no amortecido na ausncia de excitao (regimelivre) um movimento harmnico simples com frequncia f=n/2 ouperodo T=2/n (perodo inverso da frequncia)

    Designa-se por frequncia natural no amortecidafn do oscilador linearcom 1gl de massa m e rigidez k frequncia de resposta em regime livredesse sistema dada por:

    III-3 Regime Livre Amortecido

    Foras Amortecimento: Foras responsveis dissipao de energia reduoda amplitude do movimento em regime livre.

    2

    1

    entocomo2 m

    k

    fm

    k

    f nnn

    n ===

    ( ) ( ) tane;cos0

    01

    2

    02

    0

    =

    +=+=

    u

    uuuttu

    nn

    n

    &&

    u(t)

    u0

    n

    n

    2T

    =

    0u&

    t

    n

    n

    t+

    u(t)

    m

    k

    c

    Amortecedoru(t)

    m

    k

    Regime LivreNo Amortecido

    Regime LivreAmortecido

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    Tipos Amortecimento: Modelao dos fenmenos de dissipao Forasproporcionais s grandezas cinemticas:

    1. Amortecimento Viscoso Fora velocidade

    2. Amortecimento de Coulomb Fora de atrito aodeslocamento

    3. Amortecimento Histertico Comportamento cclico no lineardos materiais (e.g. efeito de Baushinger nos aos)

    III-4 Soluo Geral para Amortecimento Viscoso

    Regime livre amortecido: Fora de excitao nula, constante deamortecimento c0

    m

    k

    u(t)

    c

    ( )tuk( )tuc & ( )tum &&

    m

    k

    u(t)

    ( )tuk ( )tum &&

    ( )

    ( ) Ntu

    Ntu

    +

    0

    0

    N

    m

    k

    u(t)

    ( )tuknl

    ( )tum &&

    SF

    u

    nlk

    Viscoso Coulomb Histertico

    Equao do Movimentom

    k

    u(t)

    c ( )tuk( )tuc & ( )tum && ( ) ( ) ( ) 0=++ tuktuctum &&&

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    11

    As constantes G1 e G2 so determinadas em funo das condies iniciais

    t=0 (soluo particular)Os aspectos qualitativos do regime livre do oscilador dependem do valor quetoma o radical na equao do 2 grau.

    Constante de Amortecimento Crtico cc: Define-se o valor crtico cc daconstante de amortecimento como sendo aquele que anula o radical da equaodo 2 grau:

    Coeficiente de Amortecimento : Define-se como a razo entre as constantesde amortecimento c e cc:

    Razes da equao do 2grau:

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) tsts

    ts

    ts

    tststs

    eGeGtum

    k

    m

    c

    m

    cs

    m

    ks

    m

    cskscsmeG

    kscsmeGtuktuctum

    eGstueGstueGtu

    +=

    =

    =++=++

    =++=++

    ===

    2121

    2

    2,1

    22

    2

    2

    22grau2doequao

    0ou0ento0como

    00&&&

    &&&

    ( )12222

    2

    2

    2,1 =

    =

    =

    ==

    n

    ncm

    k

    m

    c

    m

    cs

    m

    c

    mk

    c

    c

    c

    Soluo Geral:

    ncncmc

    m

    kmk

    m

    kmc ==== 2fazendo22 2

    1.>1c>ccs1,2 Reais, e < 0

    2.=1c=ccs1,2 Reais, = e < 0

    3.

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    Amortecimento Superior ao Crtico >1

    A resposta em regime livre do oscilador com um amortecimento superior aocrtico um movimento no oscilatrio.

    Amortecimento Igual ao Crtico =1

    A resposta em regime livre do oscilador com um amortecimento igual aocrtico tambm um movimento no oscilatrio (semelhante ao oscilador>1)

    A resposta do oscilador com =1 tende mais rapidamente para zero que aresposta do oscilador com >1

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )121

    1

    2

    2

    2

    1

    21

    22

    21

    0eReais1e1como

    +

    +=

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    13

    Amortecimento Inferior ao Crtico

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    Designa-se por frequncia natural amortecidafDdo oscilador linear com1glde massa m e rigidez ke coeficiente de amortecimento frequnciade resposta em regime livre desse sistema dada por:

    Im

    Re

    tD

    tD

    tD+

    -

    00 t

    D

    n neuu

    +

    &

    0tneu

    22

    12

    1entocomo

    2

    =

    ==

    =nDn

    D

    Df

    m

    kf

    m

    kf

    Resposta no Amortecida

    Resposta Amortecida

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    15

    III-5 Reduo da Amplitude do Movimento

    Coeficiente de Amortecimento

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    16

    A reduo de amplitude ao fim de n ciclos:

    Avaliao experimental da coeficiente de amortecimento :

    III-6 Amortecimento de Coulomb

    Soluo Geral:

    ( )( )

    2ln1

    +=

    DnTtu

    tu

    n

    =

    4

    1ln23

    1

    u

    u

    Equao do Movimento: ( ) ( ) 0=+ Ftuktum &&

    Direces do Movimento

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    Fforadevidotodeslocamen

    direitaesquerdamovimentoparacossincoscos

    esquerdadireitamovimentoparacossincoscos

    22

    11

    kFu

    utBtAtu

    utBtAtu

    F

    Fnn

    Fnn

    =

    >+=

    >++=

    Decremento Linear

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    IV RESPOSTA A EXCITAES HARMNICAS

    Excitaes Harmnicas: Excitaes cuja srie temporal uma funoharmnica (seno ou coseno) de amplitude p0 e frequncia constantes aolongo do tempo.

    Objectivo: Estudo da resposta do oscilador linear com 1gla excitaesharmnicas.

    IV-1 Resposta No Amortecida a Excitao Harmnica

    Resposta no amortecido: Fora de excitao harmnica, constante deamortecimento c=0, condies iniciais no nulas

    Equao dif. linear no homognea de 2 ordem com coeficientes constantes

    Soluo particular + Soluo complementar Soluo geral da equao

    homognea (Regime Livre)

    ( ) ( )tptp = sen0

    p0

    -p0

    T=2/

    Resposta No Amortecida

    k

    p(t)

    p(t) u(t)

    c

    k

    p(t)

    p(t) u(t)

    Resposta Amortecida

    Equao do Movimento( ) ( ) tptuktum =+ sen0&&mk

    u(t)

    m(t)ku(t) p(t)p(t)

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    Soluo Particular:

    Soluo Complementar: Soluo em regime livre no amortecido

    Soluo Completa: Soma das solues particular e complementar

    Exemplo: Resposta de um SDOF a uma excitao harmnica tal que /n=0.2e condies iniciais: u0=0 e

    Mesmo que ambas as condiesiniciais sejam nulas existesempre uma parcela transitria frequncia n

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    ( )tk

    ptu

    k

    p

    mk

    pGtptkGtGm

    tptuktum

    tGtutGtu

    n

    p

    n

    pp

    =

    =

    ==+

    =+

    ==

    sen1

    1

    1

    1sensensen

    senequilibriodeequaonadosubstituin

    senesen

    20

    20

    20

    02

    0

    2

    &&

    &&

    ( ) ( ) ( )tBtAtu nnc += sencos

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    ( )tk

    pt

    k

    pututu

    uuuut

    tk

    ptBtAtututu

    n

    nn

    n

    n

    nn

    n

    nnpc

    +

    +=

    ===

    ++=+=

    sen1

    sen1

    cos

    00;0parainiciaiscondiesimpondo

    sen1

    1sencos

    20

    200

    0

    00

    20

    &

    &&

    Regime Transitrio Regime Estacionrio

    RegimeEstacionrio

    Resposta Total

    Excitao Harmnica kpu n 00 =&

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    Anlise da Resposta Estacionria:

    O termo responsvel pela amplificao dinmica da

    resposta em relao resposta esttica.

    Se /n0 a resposta tende para o deslocamento esttico u(t)ust

    Observa-se que para n, ou seja, quando a frequncia de excitao muito prxima da frequncia natural no amortecida a resposta up(t)para n respectivamente.

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( )

    ( )( )

    ( )180para

    0parasen

    1

    1

    ousen1

    1

    amplitudedevidoestticotodeslocamendamximovalorO

    aestticarespostasenmassen1

    1

    n

    n2

    2

    00

    02

    0

    =>

    =>

    +=

    t

    ttp

    dttpt

    ttp

    ( )

    ( ) :equaodaladososambosintegrando

    constantemassapara:NewtondeLei2

    12

    2

    1 umuumpdt

    umppumdt

    d

    t

    t &&&

    &&&

    ==

    ==

    ( ) mut /1== &

    ( ) 0== ut

    ( )[ ]

    ( )

    ( )[ ]

    =

    =

    ttm

    etuth

    ttm

    tuth

    DD

    t

    nn

    n

    parasen)()(

    parasen1

    )()(

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    VI-2 Resposta a Excitao Arbitrriap(t)

    Representao de p(t): Qualquer excitao p(t), variando arbitrariamente,

    pode ser representada por uma sequncia de impulsos infinitesimais. Aresposta du(t) de um sistema dinmico linear a um impulsop()dtno instante dada por:

    Integral de Duhamel: A resposta u(t) do sistema ao fim do tempo t dadapela soma das contribuies du(t) de todos impulsos:

    substituindo pela reposta ao impulso unitrio h(t-) tem-se que:

    Soluo Analtica pelo Integral de Duhamel: Baseado na soluo analticado integral de Duhamel.

    Exemplo:

    [ ] = tthdptdu para)()()(

    == tdthptdututt para)()()()(00

    ( )

    ( )

    ( )

    0

    0

    1resposta no amortecida ( ) ( ) para

    resposta amortecida ( ) ( ) paran

    t

    n

    n

    t

    t

    D

    D

    u t p sen t d t m

    eu t p sen t d t

    m

    = >

    = >

    ( ) ( )[ ] )(

    :0paraamortecidaresposta

    0

    0

    =

    >

    tD

    t

    D

    dtsene

    m

    ptu

    t

    n

    sen1

    cos-1)(2

    0

    += tte

    k

    ptu DD

    tn

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    VI-3 Soluo Numrica para Excitao Arbitrria

    Mtodo: Baseado na soluo numrica do integral de Duhamel ao longo do

    tempo determinao da evoluo da resposta (mtodo de Iwan).1.Representao da excitao p(t) numa sucesso de n impulsosp1, p2,, pi,

    pi+1, ,pn de durao t;

    2.Determinao da resposta i+1para: condies iniciais no nulas, ii uu &e ;

    uma funo constantepi de durao te umafuno rampa (pi+1- pi)/t, ambas comcondies iniciais nulas

    :pordadas,1ntoamortecimedeecoeficientpara,constantesso

    'equeem11

    1

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    Exemplo: Para um oscilador com n = 6,283 rad/s, =5% e k=10 kN/mdeterminar a resposta para uma fora definida com o meio arco de senomostrado na figura:

    1.Clculos iniciais: Determinao das constantes

    2.Clculo da resposta: Aplicao do mtodo numrico de forma recursiva.

    Deslocamentos ui

    Velocidades ui

    =

    =

    ==

    ===

    1871.01709.0

    006352.001236.0

    7559.05795.3

    09067.08129.0

    8095.0)cos(;5871.0)sin(

    ;257.61;9691.0 2

    DC

    DC

    BA

    BA

    tt

    e

    DD

    nDtn

    .

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    VI-4 Espectro de Resposta

    Descries Espectrais de Movimentos: Representaes de movimentos(excitao ou resposta) atravs de valores representativos da amplitude dasdiferentes componentes harmnicas que os formam.

    Espectro de Fourier: Vibraes no peridicas Decomposio harmnicaatravs da transformada discretaDFT Espectro CoeficientesDFT.

    S. Fourier: ( ) ( ) ( )0 0 01 1

    cos

    = =

    = + + j jj j

    x t a a j t b sen j t em que0 0

    2= T

    relaes de Euler:( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    0 0

    0

    0 0

    0

    0

    0

    1cos

    2

    2

    =

    = + =

    =

    i j t i j t

    i j t

    ji j t i j t

    j t e e

    x t F j ei

    sen j t e e

    com ( ) ( )0 00 00

    1 = T i j t

    F j x t e dtT

    com 0, 1, 2,= Kj ou

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0 00 00 0

    1 1cos= =

    T T

    F j x t j t dt i x t sen j t dt C j iS jT T

    Espectro de Amplitude de Fourier: ( ) ( ) ( )2 2

    0 0 0 +F j C j S j

    F(-j0)

    (t)

    T0 T0T0

    F(j0)

    0

    -j0

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    Como0=(2)/T0 as frequncias do Espectro de Amplitude de Fourier dasvibraes sero sempre mltiplos de 0 para boa discretizao emfrequncia do espectro (0 pequeno) T0 elevado.

    Espectro de Resposta: Respostas mximas de osciladores lineares de massaunitria com 1gl, com coeficiente de amortecimento comum, para diferentesfrequncias naturais n, sujeitos ao mesmo movimento da base e condiesiniciais nulas.

    11 2 nc = 22 2 nc = nkkc = 2m=1

    211 nk =

    222 nk =

    2nkkk =

    )max(,1

    u

    )max( ,2 u

    )max( ,ku

    m=1 m=1

    Respostas mximas: Aceleraes absolutas ou deslocamentos relativos.

    Na representao de vibraes atravs de espectros de resposta toma-se, emgeral, o valor mximo absoluto do deslocamento relativo ou da aceleraoabsoluta.

    S em vibraes harmnicas estes espectros coincidem, caso contrrio, asrepresentaes podem diferir ligeiramente.

    Tk=2/k

    T=2/

    Aceleraes Absolutas max()

    max(k, )

    Tk=2/k

    T=2/

    Deslocamentos Relativos max(u)

    max(uk, )

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    VI-5 Representao Trilogartmica do Espectro de Resposta.

    Vibraes harmnicas em papel trilogartmico:

    Num grfico logxlog, com T=2/ nos eixos das abcissas e a velocidade

    mxima no eixo das ordenadas, movimentos harmnicos de deslocamentoconstante fazem-se representar por rectas com inclinao de -1 (135).

    Num grfico logxlog, com T=2/ nos eixos das abcissas e a velocidademxima no eixo das ordenadas, movimentos harmnicos de aceleraoconstante fazem-se representar por rectas com inclinao de 1 (45).

    1

    10D

    20D

    2

    Log da

    Velocidade

    Log do

    Perodo

    45

    Logdo

    Deslo

    camento11D

    21D

    1

    10 / A

    20 / A

    2

    Log da

    Velocidade

    Log do

    Perodo

    Logda

    Acelerao

    11 / A

    21 / A

    45

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ==

    =

    ==

    ==

    )log()2log()log();log()2log()log(

    Logsostomando;/2)max(

    frequnciaoutrapara;/2)max(

    cos;:ConstantetoDeslocamen

    20max210

    max1

    20

    21010

    11010

    TDuTDu

    TDtu

    TDDtu

    tDtutsenDtu

    &&

    &

    &

    &

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    +

    =+

    =

    =

    =

    ==

    )log()2

    log()log();log()2

    log()log(

    Logsostomando;2)max(

    frequnciaoutrapara;2

    )max(

    ;cos/

    :ConstanteAcelerao

    20max

    210max

    1

    20

    210

    10110

    TA

    uTA

    u

    T

    A

    tu

    TA

    tu

    tsenAtutAtu

    &&

    &

    &

    &&&

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    Papel trilogartmico:

    0.5

    1

    5

    10

    50

    100

    250 0.

    150 1

    0 5 1 0.5

    0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1

    500

    100

    50

    10

    5

    1

    Aceleraes [g]

    Perodo [sec.]

    Ve

    locidade[cm/s]

    Des

    locamento[cm

    ]

    Exemplo: Quais as amplitudes de velocidade e acelerao de um movimentoharmnico com uma frequncia de 0,5Hze uma amplitude de 5cm dedeslocamento.

    15,7 cm/s

    0.0504g

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    Limites de Vibraes harmnicas em papel trilogartmico:

    Efeitos das Vibraes sobre as pessoas Freq. 1-10 Hz

    amax(mm/s2)

    Freq. 10-100 Hz

    vmax(mm/s)Imperceptveis 10 0.16

    Perceptveis por alguns 40 0.64

    Claramente Perceptveis 125 2

    Incomodativas 400 6.4

    Desagradveis ou dolorosas se de longadurao 1000 16

    Prejudiciais > 1000 > 16

    0.5

    1

    5

    10

    50

    100

    250 0.

    150 1

    0 5 1 0.5

    0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1

    500

    100

    50

    10

    5

    1

    Aceleraes [g]

    Perodo [sec.]

    V

    eloc

    ida

    de

    [cm

    /s]

    Des

    locamen

    to[cm

    ]

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    Espectros de resposta trilogartmico de vibraes no peridicas:

    Acelerao do solo

    -0.3

    -0.3

    -0.2

    -0.2

    -0.1

    -0.1

    0.0

    0.1

    0.1

    0.2

    0.2

    0.3

    0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0

    tempo (seg.)

    ag

    (g)

    0.5

    1

    5

    10

    50

    100

    250 0.150 10 5 1 0.5

    0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1

    500

    100

    50

    10

    5

    1

    Deslocamen

    to[cm]

    Acelerao [g]

    Velocidade

    [cm/s]

    Perodo [s]

    Espectro de Resposta

    Acelerao

    Absoluta

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    VII OSCILADOR GENERALIZADO DE 1Gl

    Objectivo: Anlise dinmica de estruturas mais complexas que o SDOF comoas que resultam da associao de corpos rgidos ou as que possuemdistribuio de rigidez e de massa de um forma contnua.

    Associao de Corpos Rgidos: Estrutura cujos movimentos dinmicos u(x,t)resultam do produto de uma funo geomtricag(x) que descreve o movimentode corpo rgido do sistema pela funo de resposta do tempo de um SDOF

    generalizado u*(t). Em geral estruturas com distribuio de rigidez e/ou massaconcentrada em diversos pontos, ligados por um elementos muito rgidos demassa desprezvel (e.g. mquinas) u(x,t)=g(x)u*(t)

    Sistema Contnuo: Estrutura cujos movimentos dinmicos u(x,t) se descrevem,com boa aproximao, pelo produto de duas funes: (1) funo de forma (x),independente do tempo, mas compatvel com as condies de fronteira dosistema; e (2) funo de resposta de um SDOF generalizado u*(t). Em geralestruturas de geometria simples que possuem distribuio contnua de rigidez e

    massa (e.g. laje, consola) u(x,t)=(x)u*(t)

    Sistema Discreto de 1Gl Sistema Contnuop(t)

    m1

    kc

    m2

    m1

    m2

    z(t)

    u(x,t)=x.z(t)

    x

    c k

    p(t)

    EI(x),m(x)

    x

    u(x,t)=(x).z(t)

    z(t)

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    Generalizao a um 1gl: Determinao das propriedades de massa, rigidez eamortecimento relativas de uma coordenada do sistema escolhidacriteriosamente Coordenada Generalizada u*(t); Massa Generalizada m*;

    Rigidez Generalizada k* e Amortecimento Generalizado c*

    A generalizao a SDOFnas associaes de corpos rgidos com 1Glresulta,em geral, da considerao da dinmica corpos rgidos, ligados rigidamenteao exterior por todos os graus de liberdade menos um (ligao flexvel rigidez do sistema); movimentos dinmicos descritos por uma coordenadageneralizada outros movimentos do sistemaresultam da considerao da

    geometria do movimento de corpo rgido.

    A generalizao a SDOF dos sistemas contnuos resulta, em geral, daconsiderao da dinmica de corpos deformveis limitadas a uma nicaconfigurao da deformada (funo de forma); movimentos dinmicosdescritos por um SDOF outros movimentos do sistema resultam damultiplicao dos movimentos da coordenada generalizada pela funo de

    forma.

    A generalizao a SDOF de associaes de corpos rgidos com 1Gl exacta todas as configuraes possveis da deformada do corpo rgido soreproduzidas. Pelo contrrio, a generalizao a SDOF desistemas contnuos aproximada somente as configuraes da estrutura segundo a funo deforma escolhida so reproduzidas.

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    49

    VII-1 Associaes de Corpos Rgidos.

    Exemplo:

    Equao do Movimento doSDOFGeneralizado: equilbrio de momentosMem torno do apoio fixo.

    Massa Generalizada:

    m1

    kc

    L/2 L

    3L/4L/4

    L/4

    m2

    p(t)

    kc

    L/2 L

    p(t)

    (t)

    u(x,t)=x(t)

    L

    x'

    u(x',t)=x'(t)

    221

    221

    22

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    21

    2

    2

    2

    22

    2

    11

    21

    222

    22222

    2

    111

    )128

    137

    3

    1(

    )128

    137

    3

    1(

    16

    17

    128412

    1282;

    12

    I,ICGs;dostronoemdiscoumdeebarraumaderotaodeinrcias

    16

    17)

    4(;

    4

    .dogeneralizaliberdadedegraudounitriarotaodeacelerao

    umaparasequeforadevidosapoionoMomentosG.Massa

    Lmmm

    LmmLmL

    mL

    mL

    mm

    mmm

    Lm

    RmI

    LmI

    LmILL

    mImL

    mIm

    +=

    +=+++=

    +=

    ===

    +=

    ++=+=

    ( ) ( ) ( ) ( )tptktctmMMMM pcmk*=++=++ &&&&&&

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    50

    Rigidez e Amortecimento Generalizados:

    Excitao Generalizada:

    Equao do Movimento doSDOFGeneralizado: equilbrio de momentosMem torno do apoio fixo.

    4;

    2)

    2(

    do.generalizaliberdadedegraudounitriarotaodeevelocidadparatecedor

    -amornogerasequeforadevidosapoionoMomentosG.ntoAmortecime16

    9;

    4

    3)

    4

    3(

    do.generalizaliberdadedegraudounitriorotaodetodeslocamenpara

    molanagerasequeforadevidosapoionoMomentosG.Rigidez

    2

    2

    Lcc

    LLcc

    Lkk

    LLkk

    ==

    ==

    m1

    kc

    L/2 L

    3L/4L/4

    L/4

    m2

    p(t)

    kc

    L/2 L

    p(t)

    (t)

    u(x,t)=x(t)

    L

    x'

    u(x',t)=x'(t)

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )tpL

    tL

    ktL

    ctLmm

    tptktctm

    216

    9

    4)

    128

    137

    3

    1(

    222

    21

    *

    =+++

    =++

    &&&

    &&&

    )(2

    )(

    externa.foradevidosapoionoMomentosG.Excitao

    tpL

    tp =

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    51

    Mtodo de Anlise:

    1.Escolha da coordenada generalizada do sistema Identificao domovimento de corpo rgido.

    2.Determinao da massa, rigideze amortecimento generalizados do sistema foras inrcia de rigidez e de amortecimento mobilizadas pelosmovimentos de corpo rgido do sistema resultantes de movimentos unitriosda coordenada generalizada.

    3.Determinao da excitao generalizada utilizao da massageneralizada para movimentos da base; se devida a outras foras aplicadasno sistema traduzi-las em termos das foras aplicadas na coordenadageneralizada.

    4.Anlise dinmica do sistema generalizado Determinao da respostadinmica do SDOF generalizado excitao generalizada dadadefinido em2 e 3 respectivamente.

    5.Determinao dos movimentos da estrutura Por compatibilizao dosmovimentos da coordenada generalizada com os movimentos de corpo

    rgido do sistema.

    Inrcia de Rotao:

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    52

    VII-2 Sistemas Contnuos

    Exemplo: Consola de seco transversal varivel, EI(x) e m(x), sujeita amovimentos impostos na base ug(x).

    Princpio dos Trabalhos Virtuais: Se um sistema em equilbrio fica sujeito aum deslocamento virtual u(x), o trabalho virtual WE realizado pelas forasexternas sob os deslocamentos externos virtuais = Trabalho realizado pelasesforos internos sob as deformaes internas virtuais.

    Equaes do Movimento: Em termos absolutos ut(x,t)= u(x,t)+ug(t)

    1.Trabalho externo WE produzido pelas foras externas sobre osdeslocamentos virtuais u(x)

    [ ]( ) ( ) ( )dxxuxmtudxxutxuxmdxxutxfW

    tutxuxmtxuxmtxfL

    g

    LL

    IE

    g

    t

    I

    ==+==

    000)()(),()(),(

    )(),()(),()(),(AlembertD'dePrincpio&&&&

    &&&&&&

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    57/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    53

    2.Trabalho interno WIproduzidopelos momentos internos M(x,t)sobre ascurvaturas virtuais u''(x)

    3.Exprimindo os trabalhos virtuais em termos de uma funo de forma (x),compatvel com as condies de fronteira, e de uma coordenadageneralizadaz(t):

    4.Exprimindo o trabalho virtual externo e interno em termos da funo defrma adoptada

    ( ) ( ) ( )

    ( )( ) ( )[ ]

    ( ) ( )[ ] ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )dxxutxuaxEIdxxutxuxEIW

    dxxutxuatxuxEIW

    txuatxuxEItxM

    Ea

    xxuxudxxutxMW

    LL

    I

    L

    I

    L

    I

    +=

    +=

    +=

    +=

    ==

    0 10

    0 1

    1

    1

    22

    0

    ,)(,)(

    ,,)(

    ,,)(),(

    extensesdasevelocidad

    isproporcinasontoamortecimeaodevidastensesasqueAssumindo

    curvaturaqueem),(

    &

    &

    &

    &

    zxxuzxxu

    tzxtxutzxtxutzxtxutzxtxutzxtxu

    ==

    == ===

    )()(e)()(

    formadefunoacomesconsistentvirtuaistosdeslocamenAssumindo

    )()(),()()(),()()(),()()(),()()(),(

    &&&&&&

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    0 0

    2

    0 0

    10 0

    2 2

    10 0

    ( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) z

    ( ) , ( ) ,

    ( ) ( ) ( ) ( )

    L L

    E g

    L L

    E g

    L L

    I

    L L

    I

    W m x u x t u x dx u t m x u x dx

    W z t m x x dx u t m x x dx

    W EI x u x t u x dx EI x a u x t u x dx

    W z t EI x x dx a z t EI x x dx

    = = +

    = +

    = +

    && &&

    &&&&

    &

    & z

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    54

    5.Igualando as Energias e exprimindo em termos da coordenada generalizada

    Mtodo de Anlise:

    1.Escolha da coordenada generalizada do sistema Seleco da funo deforma mais apropriada, compatvel com as condies de fronteira do sistema

    e identificao de uma coordenada generalizada.

    2.Determinao da massa, rigidez e amortecimentos generalizados do sistema Integrais das foras inrcia de rigidez e amortecimento mobilizadas pelosmovimentos resultantes da aplicao da funo de forma.

    3.Determinao da excitao generalizada Integral do produto da funo deforma pela massa distribuda ao longo da estrutura (deslocamentos impostos)

    4.Anlise dinmica do sistema generalizado Determinao da respostadinmica do SDOFgeneralizado excitao generalizada.

    5.Determinao dos movimentos da estrutura Por multiplicao dosmovimentos da coordenada generalizada pela funo de forma.

    Para a determinar os esforos internos - momentos, esforos transversos, etc.- podem utilizar-se dois processos: (1) Esforos devidos imposio emcada instante da deformada esttica u''(x,t) ou (2) Esforos devidos imposio deforas externas equivalentesfs(x) que causam u(x,t) num dadoinstante.

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    2

    0 0

    2 2

    10 0

    2

    0

    2

    1 0

    ( ) ( ) ( ) ( ) z( ) ( ) ( ) ( ) z

    ( ) ( ) ( ) ( ) sendo

    ( ) massa generalizada

    ( )

    E I

    L L

    g

    L L

    g

    L

    L

    W W

    z t m x x dx u t m x x dx

    z t EI x x dx a z t EI x x kdx

    m z t c z t k z t L u t

    m m x x dx

    c a EI x x dx

    =

    + =

    = + + + =

    =

    =

    &&&&&

    &&&& &

    ( )( )

    2

    0

    0

    amortecimento generalizado

    ( ) rigidez generalizada( ) ( ) ( ) excitao generalizada

    L

    L

    g g

    k EI x x dxL u t u t m x x dx

    =

    =

    && &&

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    55

    VII-3 Sistemas de Rigidez Distribuda e Massa Concentrada.

    Definio: Estruturas com rigidez distribuda ao longo do seudesenvolvimento espacial e massas concentradas em pontos discretos damesma.Massas Concentradas >> Massa Distribuda.

    Exemplo: Edifcios em prtico parede ou mistos cuja maior parte do peso seconcentra ao nvel dos pavimentos, considerados como diafragmas rgidos paradeformaes no plano de cada piso.

    1.Edifcios em prtico: Caso rigidez das vigas >> dos pilaresIdealizao atravs de Consolas com Deformabilidade por Corte

    (Shear Building).

    2.Edifcios em Parede: Caso rigidez das vigas

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    56

    Equao do Movimento: Idealizao atravs de uma Consola por Corte

    1.Funo de forma: Deslocamento do piso superior N Coordenadageneralizadaz(t); Funo de forma j deslocamentos dos outros pisos (N=1)

    2.Deslocamento absolutos dos pisos:

    3.RelaesEsforo Transverso - Deslocamento relativo entre pisos (Consolapor Corte):

    4.Trabalho externo WE produzido pelas foras externas (foras de inrcia)sobre os deslocamentos virtuaisuj

    Princpio de DAlembert

    pisocadaem)(definequevectorumqueem

    :vectorialformatoem)()()(

    =

    =

    z(t)(t)

    tzhtu jj

    u

    )()()( tututu gjtj +=

    =

    +=

    colunas j

    jj

    jjjj

    hEIk

    ktututV

    3

    1

    12

    ))()(()( Piso

    Pisoj-

    uj(t)- uj-1(t)

    EIj

    )()()()( tutumtumtf gjjtjjIj &&&&&& +==

    j

    N

    j jgj

    N

    j jjj

    N

    j IjE umtuutumutfW == === 111 )()()(&&&&

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

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    5.Trabalho interno WI produzido pelos esforas transversos Vj sobre osdeslocamento relativos virtuais entre pisos uj

    6.Trabalhos externo WEe interno WIem termos da coordenada generalizadaz(t) e do vector de forma j

    7.Princpio dos trabalhos virtuais PTV:WI= WE

    Em termos matriciais as propriedades generalizadas de estruturas de umedifcios idealizados atravs de consolas (corte, flexo ou mista) podem serexpressas por:

    )()( 11 = = jj

    N

    jjI uutVW

    zktzW

    zmtumtzW

    N

    jjjjI

    j

    N

    jjg

    N

    jjjE

    =

    =

    =

    ==

    1

    21

    11

    2

    )()(

    )()( &&&&

    efectivamassa

    dageneralizarigidez

    dageneralizamassa

    1M

    K

    M

    =

    =

    =

    T

    T

    T

    L

    k

    m

    dageneralizaexcitao)()(

    dageneralizarigidez)(

    dageneralizamassa

    )()()(

    ou)()()()(

    )()()()(

    1

    1

    21

    1

    2

    11

    21

    1

    2

    11

    2

    1

    21

    j

    N

    jjgg

    N

    jjjj

    N

    jjj

    g

    j

    N

    j

    jg

    N

    j

    jjj

    N

    j

    jj

    j

    N

    jjg

    N

    jjj

    N

    jjjj

    mtutuL

    kk

    mm

    tuLtzktzm

    mtuktzmtz

    zmtumtzzktz

    =

    =

    =

    =+

    =+

    =

    =

    =

    =

    ==

    =

    ===

    &&&&

    &&

    &&&&

    &&&&

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    58

    sendo M a matriz de massa diagonal (de NxN elementos) com a massa mjde cada piso na diagonale Ka matriz de rigidez (de NxN elementos) daestrutura do edifcio condensada aos graus de liberdade dos deslocamentos

    horizontais de pisos que definem a consola vertical. 1 um vector de Nelementos unitrios.

    O amortecimento viscoso em geral definido em termos da coordenadageneralizadazatravs de um coeficiente .

    A resposta mxima do sistema a qualquer excitao (movimentos na base)pode ser determinada resolvendo o SDOF generalizado excitaogeneralizada determinando o deslocamento mximo da coordenadageneralizada z

    max. Por multiplicao de z

    maxpelo do vector de forma

    j

    determinam-se os deslocamentos dos pisos uj e, consequentemente, as forasestticas equivalentes mximas actuantes ao nvel de cada piso.

    A frequncia natural no amortecida do sistema generalizado dada por:

    =

    ==

    =

    =

    M

    KT

    T

    n

    N

    j

    jj

    N

    j

    jjj

    nm

    k

    m

    k

    ou

    )(

    1

    2

    1

    21

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    Exemplo : Determine a frequncia natural generalizada do edifcio (consolapor corte) para uma funo de forma linear em altura e desenvolva a equaodo movimento da coordenada generalizadaz(deslocamento no topo).

    )(355

    11

    :movimentodoequao

    35

    54321

    302.0

    5/11

    /5

    5

    11

    5

    54321

    5511111)(

    linearvariaocomlinearformadefuno

    5

    1

    2

    222225

    1

    2

    2

    222225

    1

    21

    tumz(t)k

    (t)zm

    mmmL

    m

    k

    m

    k

    m

    k

    mmmm

    kkkk

    g

    j

    j

    n

    j

    j

    j

    jj

    j

    &&&& =

    +

    =++++==

    ===

    =++++

    ==

    =++++==

    =

    =

    =

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    60

    20

    0

    0

    2

    1

    molanaelsticadeformaodeEnergia

    )4(MximaPotencialEnergia

    )cos()'(

    )sen()'(

    :livreregimeemevelocidadetodeslocamen

    ukE

    /Tt'

    tutu

    tutu

    s

    n

    nn

    n

    =

    =

    =

    =

    &

    20

    220 2

    1

    2

    1)0(MximaCinticaEnergia umumEt' nK === &

    m

    kumukEE nnKS ===

    =

    20

    220 2

    121

    MximaPotencialEnergiaMximaCinticaEnergia

    VII.4 Frequncias Naturais pelo Mtodo de Rayleigh

    Lord Rayleigh (1873): Baseado no princpio da conservao da energiadesenvolve um mtodo que permite com, boa aproximao, determinar afrequncia natural no amortecida (frequncia fundamental ou 1 frequncia

    prpria) de um sistema estrutural.

    Sistemas Massa - Mola (SDOF): Regime livre no amortecido

    Conservao da Energia (sistema no amortecido): A energia total de umsistema em vibrao em regime livre constante (no varia no tempo)

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    61

    VIII EQUAES DO MOVIMENTO DEMDOF

    Objectivo: Formulao das equaes de equilbrio dinmica de sistemasestruturais com mais de um grau de liberdade.

    Exemplos: Edifcios com muitos pisos e pontes - Edifcios de 1-3 pisos Oscilador Generalizado (SDOF).

    IX-1 Sistema simples com 2 Gls

    Seleco dos Graus de Liberdade, Gls: Nmero de movimentos

    independentes necessrios para definir as configuraes deformadas do sistemadinmico relativamente sua deformada esttica deslocamentos absolutosdas massas m1 e m2u1 e u2

    Propriedades Fsicas:

    1.Massas m1e m2 Foras de inrcia fI,1(t) e fI,2(t)

    2.Amortecimento c1e c2 Foras amortecimento fD,1(t) e fD,2(t)3.Rigidez k1e k2 Foras de restituio elstica fS,1(t) e fS,2(t)

    1.Foras de inrcia:

    2.Foras de restituio:

    3.Foras amortecimento:

    4.Foras de excitao:

    222,111, ; umfumf II &&&& ==

    )(;)( 1222,122111, uucfuucucf DD &&&&& ==

    21 ; pp

    )(;)( 1222,122111, uukfuukukf SS ==

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    62

    Equaes do Movimento: Aplicao do princpio de DAlembert a cada

    massa m Equilbrio dinmico Equilbrio esttico (+ foras de inrcia) acada instante t.

    Sistema de equaes diferenciais de 2 ordem de coeficientes constantes(sistema linear); Clculo Diferencial Soluo geral + condies iniciais

    3.Soluo da Equao Homognea excitao nulap(t)=0 Regime livre

    4.Soluo da Equao no Homognea p(t)0 Regime forado

    =++

    =++++

    212212222

    1212112121111

    )()(

    )()(

    puukuucum

    puukukuucucum

    &&&&

    &&&&&

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    =+++

    =+++==

    222,2,2,

    111,1,1,

    deEquilbrio0

    deEquilbrio0

    mtptftftf

    mtptftftft

    SDI

    SDI0fR

    =++

    =++++

    22212221222

    1221212212111 )()(

    pukukucucum

    pukukkucuccum

    &&&&

    &&&&

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    63

    Formulao Matricial das Equaes do Movimento:

    As equaes do movimento de sistema com mais de 1gl podem serexpressas sob forma matricial introduzindo a seguinte notao:

    1.Matriz de Rigidez k: Matriz de coeficientes kij que exprimem asforas derestituio que se geram no grau de liberdade j devido a umdeslocamento unitrio no grau de liberdade i, sendo nulos osdeslocamentos nos outros graus de liberdade.

    2.Matriz de Amortecimento c: Matriz de coeficientes cij (amortecimentoviscoso) que exprimem asforas de amortecimento que se geram nograude liberdade j devido a uma velocidade unitria no grau de liberdade i,sendo nulas as velocidades nos outros graus de liberdade.

    3.Matriz de Massa m: Matriz de coeficientes mij que exprimem asforas deinrcia que se geram no grau de liberdade j devido a uma aceleraounitria no grau de liberdade i, sendo nulas as aceleraes nos outros

    graus de liberdade.

    RigidezdeMatriz

    ntoAmortecimedeMatriz

    MassadeMatriz0

    0

    :sendo

    )()()()(

    )(

    )()(;

    )(

    )()(;

    )(

    )()(fazendo

    )()(

    22

    221

    22

    221

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    22212221222

    1221212212111

    +=

    +=

    =

    =++

    =

    =

    =

    =++

    =++++

    kk

    kkk

    cc

    ccc

    m

    m

    tttt

    tu

    tut

    tu

    tut

    tu

    tut

    pukukucucum

    pukukkucuccum

    k

    c

    m

    pukucum

    uuu

    &&&

    &&

    &&&&

    &

    &&

    &&&&

    &&&&

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    68/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    64

    Exemplo: Edifcios em prtico de 2 pisos idealizado como Consola comDeformabilidade por Corte (Shear Building).

    VIII-2 Equaes Gerais do Movimento de Estruturas ReticuladasPlanas.

    Equaes do Movimento: Aplicao da teoria geral de estruturas (mtodo dosdeslocamentos)

    1.Discretizao em elementos estruturais e definio degls

    =

    ++

    ++

    =++

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    0

    0ou)()()()(

    2

    1

    2

    1

    22

    221

    2

    1

    22

    221

    2

    1

    2

    1

    tp

    tp

    tu

    tu

    kk

    kkk

    tu

    tu

    cc

    ccc

    tu

    tu

    m

    mtttt

    &

    &

    &&

    &&&&& pukucum

    ElementosEstruturais

    Ns

    8 Graus de Liberdade Despreza-se adeformao axial das vigas e pilares.

    Gls

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    69/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    65

    2.Formao da matriz de rigidez k: Mtodo dos deslocamentos

    Para N graus de liberdade:

    Na formao da matriz de rigidez k pode utilizar-se qualquer mtodo daTeoria de Estruturas (deslocamentos, foras ou dos elementos finitos) desdeque kvenha expressa em termos dos graus de liberdade u escolhidos paradescrever as configuraes da deformada dinmica da estrutura.

    Foras de restituio elstica

    Termos de rigidez relativos ao gl u1 Termos de rigidez relativos ao gl u4

    =

    888281

    282221

    181211

    kkk

    kkkkkk

    L

    MMMM

    LL

    k

    ukfS =

    =

    +++=

    NNNN

    N

    N

    SN

    S

    S

    NNSi

    u

    u

    u

    kkk

    kkk

    kkk

    f

    f

    f

    ukukukfM

    L

    MMMM

    L

    L

    ML

    2

    1

    821

    22221

    11211

    2

    1

    1212111

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    66

    3.Formao da matriz de amortecimento c:

    Para N graus de liberdade:

    Considera-se o amortecimento viscoso em estruturas como uma forma desimular mecanismos muitas vezes mais complexos de dissipao de energia.Desta forma a formao dos termos cij faz-se recorrendo seguinteexpresso:

    Pode ainda considerar-se o amortecimento expresso unicamente atravs dascoordenadas modais da estrutura.

    =

    888281

    282221

    181211

    ccc

    ccc

    ccc

    L

    MMMM

    L

    L

    c

    ucf &

    &

    M

    &

    &

    L

    MMMM

    L

    L

    M&L&&

    =

    =

    +++=

    D

    NNNN

    N

    N

    DN

    D

    D

    NNDi

    u

    u

    u

    ccc

    ccc

    ccc

    f

    f

    f

    ucucucf2

    1

    821

    22221

    11211

    2

    1

    1212111

    kmc +=+= ijijij kmc

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    71/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    67

    4.Formao da matriz de massa m:

    Para N graus de liberdade:

    A massa de uma estrutura, apesar de distribuda, pode ser considerada como

    concentrada nos ns da estrutura nos quais se definem os gls de translaoda estrutura. A massa concentrada em cada uma desses ns determina-sepela proporo do peso da estrutura que pode ser atribudo a cada n.

    =

    888281

    282221

    181211

    mmm

    mmm

    mmm

    m

    L

    MMMML

    L

    umf &&

    &&

    M

    &&&&

    L

    MMMM

    LL

    M&&L&&&&

    =

    =

    +++=

    I

    NNNN

    N

    N

    IN

    I

    I

    NNIi

    u

    u

    u

    mmm

    mmm

    mmm

    f

    f

    f

    umumumf2

    1

    821

    22221

    11211

    2

    1

    1212111

    Termos de inrcia relativos a 1=1 Termos de inrcia relativos a 4=1

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    68

    Pode ainda definir-se a matriz de massa de uma estrutura de uma formaconsistente com a sua matriz de rigidez (assemblagem de matrizes doselementos). Define-se a matriz de massa do elemento estrutural atravs de:

    em que m(x) a massa distribuda ao longo do elemento de comprimento Li e j so as funes de forma utilizadas na deduo da matriz de rigidezdo elemento.

    Se a matriz de massaconsistente todos os seus elementos so 0 (matrizcheia). Se a matriz de massa concentrada ela em geral diagonal(elementos no nulos s na diagonal)

    dxxxxmm jL

    iij )()()(0 =

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    69

    IX REGIME LIVRE NO AMORTECIDO DEMDOF

    IX-1 Regime Livre No Amortecido de 2Gls

    Os movimentos das massas no so harmnicos.

    A deformada relativa (u1/u2) no constante ao longo do tempo.

    Que condies iniciais u1 e u2 de tal forma que os movimentos de ambas asmassas sejam harmnicos e que sobrepostos resultem no movimento inicial.

    =

    +

    =+

    0

    03

    0

    02

    )()(

    2

    1

    2

    1

    u

    u

    kk

    kk

    u

    u

    m

    m

    tt

    &&

    &&

    && 0ukum

    =

    =

    0

    0

    )0(

    )0(;

    2

    2/1

    )0(

    )0(

    :iniciaiscondies

    2

    1

    2

    1

    u

    u

    u

    u

    &

    &

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    70

    A deformada relativa (u1/u2) dos dois movimentos constante ao longo dotempo para cada um deles definindo uma configurao deformadacaracterstica. Essas configuraes normalizadas designam-se pormodos devibrao da estrutura e so dadas por:

    Aos perodos T1 e T2 dos movimentos harmnicos associados aos modos devibrao 1 e 2 correspondem as frequncias prprias angulares (oufrequncias naturais) do sistema dadas por:

    =

    =

    0

    0

    )0(

    )0(;

    1

    2/1

    )0(

    )0(

    :iniciaiscondies

    2

    1

    2

    1

    u

    u

    u

    u

    &

    &

    =

    =

    0

    0

    )0(

    )0(;

    1

    1

    )0(

    )0(:iniciaiscondies

    2

    1

    2

    1

    u

    u

    u

    u

    &

    &

    =

    =

    1

    1;

    1

    2/121

    22

    11

    2;

    2

    TT

    =

    =

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    71

    IX-2 Definio de Frequncias Prprias e Modos de Vibrao deSistemasMDOF

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    =+++

    =+++

    =+++

    =

    =

    =+

    =+

    =+=

    =+

    +=

    +=

    =

    +

    0)(

    0)(

    0)(

    )(Expandindo-5

    )(PrpriosVectrorese)(ValoresdeMatricialEquao

    0

    0)(

    )()()cos()(

    equilibriodeequaonadoSubstituin-4

    )()cos()(

    gl.cadaparaResposta-3

    )()cos()(

    HarmnicaSoluo-2

    )()(

    espao)(tempovariveisdeSeparao-1

    ,

    2

    ,22,11

    ,2,2222

    22,121

    ,1,212,1112

    11

    2

    22

    2

    2

    22

    NNNNnNNnNnN

    nNnnnn

    nNnnnn

    nn

    nnnnn

    nnn

    nnnn

    nnnnnnnnn

    nnnnn

    nnnnn

    nn

    mkkk

    kmkk

    kkmk

    tq

    tqtsenBtAt

    tsenBtAt

    tsenBtAtq

    tqt

    M

    L

    L

    &&

    &&

    0mk

    mk

    km

    km

    u

    0u(t)k(t)um

    u

    u

    Sistema de N equaesalgbricas lineares (2Nincgnitas)

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    76/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    72

    Soluo de problemas de Valores e Vectores Prprios:

    Ao polinmio resultante do desenvolvimento do determinante designa-seporequao caracterstica. As Nsolues n da equao caracterstica soos valores prprios as correspondentes frequncias angulares n so asfrequncias prprias (ou naturais) do sistema.

    ExistemNvectores n independentes que se designam por vectores prpriosassociados a cada frequncia prpria n. Estes vectores, definidos a menosde uma constante multiplicativa, so as solues do sistema de equaes:

    OsNvectores prprios n so os modos de vibrao do sistema possuindo asseguintes propriedades de ortogonalidade:

    A propriedade de ortogonalidade permitem desacoplar o sistema inicial deNgraus de liberdade em Nsistemas desacoplados com 1gl cuja rigidez emassa so dados por:

    =

    =

    =+++

    =+++

    =+++

    =

    0detrivialnoSoluo

    repousoemsistematrivialSoluo

    0)(

    0)(

    0)(

    )(

    2

    ,2

    ,22,11

    ,2,222222,121

    ,1,212,1112

    11

    2

    mk

    0

    0mk

    n

    n

    NNNNnNNnNnN

    nNnnnn

    nNnnnn

    nn

    mkkk

    kmkk

    kkmk

    M

    L

    L

    Polinmio de ordemNem nn =2

    =+++

    =+++

    =+++

    0)(

    0)(

    0)(

    ,2

    ,22,11

    ,2,2222

    22,121

    ,1,212,1112

    11

    NNNNnNNnNnN

    nNnnnn

    nNnnnn

    mkkk

    kmkk

    kkmk

    M

    L

    L

    0;0e0;0 == nTnn

    Tnn

    Trn

    Tr mkmk

    nnTnnn

    Tn mk == mk e

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    73

    IX-3 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais

    Ortogonalidade dos Modos de Vibrao: Os modos de vibrao de umsistema estrutural verificam certas condies de ortogonalidade.

    Definio: Define-se como a matriz modalde um sistema comNgls a matriz,

    de dimenso NxN, cujas colunas so os Nmodos de vibrao ordenados porordem crescente das respectivas frequncias prprias. A matriz diagonal cujostermos so o quadrado das frequncias prprias angulares do sistema designa-se pormatriz espectral.

    As matrizes de rigidez e massa do sistema estrutural projectadas noreferencial cuja matriz transformao a matriz modal so diagonais Ortogonalidade

    [ ]

    [ ]

    ( ) ( )( )

    rn

    rn

    tq

    tBtAttBtAtq

    tqt

    rTnr

    Tnr

    Tnrr

    Tn

    rTn

    rTnnr

    rTnnr

    Tn

    T

    nTrn

    T

    nTr

    rTnrr

    Tnn

    Trnn

    Tr

    rrrnnn

    nnnnnnn

    nnnnnnnnnn

    nn

    ===

    =

    =

    ==

    ==

    ==

    =+=+

    +=+=

    =

    para00como

    para0

    0

    como

    00)(

    )sen()cos()()sen()cos()(

    do)generaliza(osciladorvibraodemodoumparasoluo)()(

    2

    22

    22

    22

    22

    22

    kmmk

    m

    m

    mkmk

    mkmk

    mkmk

    kmkm

    u

    u

    [ ]

    =

    ==

    2

    22

    21

    2

    21

    22221

    11211

    00

    00

    00

    NNNNN

    N

    N

    jn

    L

    MOMM

    L

    L

    L

    MOMM

    L

    L

    =

    ==

    NTN

    T

    T

    N

    T

    K

    K

    K

    k

    k

    k

    kK

    LMOMM

    L

    L

    LMOMM

    L

    L

    00

    00

    00

    00

    00

    00

    22

    11

    2

    1

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    74

    A relao entre os elementos diagonais da matrizes de massa M e rigidez K dada por:

    em que Kn e Mn exprimem a rigidez e massa generalizadas do sistema

    associadas ao modo de vibrao n.

    Normalizao dos Modos de Vibrao: Se todos as componente jn do modode vibrao n forem divididas pela respectiva massa generalizada Mn o mododiz-se normalizado em relao matriz de massa do sistema.

    Coordenadas Modais: O conjunto dos vectores modais ortogonais a base deum espao vectorial de dimenso N. Todos os vectores possveis dedeslocamentos u dos gls do sistema estrutural exprimem-se atravs decombinaes lineares dos vectores daquela base atravs da expresso genrica:

    sendo qr escalares multiplicativos designados por coordenadas modais dosistema.

    A passagem das coordenadas generalizadas u relativa a cada um dos Ngraus de liberdade do sistema para as coordenadas modaisq dada por:

    =

    ==

    NTN

    T

    T

    N

    T

    M

    M

    M

    m

    m

    m

    mM

    LMOMM

    L

    L

    LMOMM

    L

    L

    00

    00

    00

    00

    00

    00

    22

    11

    2

    1

    nnnnTnnn

    Tnnnn MK ===

    222 mkmk

    qu == =

    r

    N

    r

    r q1

    2****2**** 1 ==== k1mkm TTnnT

    nnT

    n

    ( )

    mum

    mu

    mmmu

    Tnn

    nTn

    T

    nn

    nnTnr

    N

    r

    rTn

    Tn

    qq

    qq

    *

    1

    =

    =

    == =

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    79/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    75

    Decomposio modal da equao do movimento:

    A soluo da equao do movimento em regime livre no amortecido deum sistema estrutural deNgls pode ser sempre obtida atravs da soluo de

    Nequaes independentes de 1glque resultam da decomposio modal dasequaes daquele sistema.

    No caso do regime livre no amortecido para vectores iniciais u0 e asoluo passa pelas seguintes etapas:

    1. Determinao das frequncias prprias e modos e vibrao do sistema.

    2. Clculo das condies iniciais em termos de coordenadas modais.

    3. Soluo de Nsistemas SDOFpara as condies iniciais expressa emcoordenadas modais determinadas em (2).

    4. Determinao da resposta em termos dos deslocamentos u(velocidades aceleraes, etc) das coordenadas generalizadas do sistema.

    =+

    =+

    =+

    =+

    =+

    =+

    0)()(

    0)()(

    0)()(

    )()(

    )()(

    )()(

    2222

    1111

    tqKtqM

    tqKtqM

    tqKtqM

    tt

    tt

    tt

    NNNN

    TT

    &&

    M

    &&

    &&

    &&

    &&

    &&

    0qkqm

    0qkqm

    0ukum

    0*

    00

    0

    0*

    00

    0

    umm

    um

    mummu

    &&&

    & Tnnn

    Tn

    Tn

    n

    Tnn

    nTn

    Tn

    n

    qq

    qq

    =

    =

    =

    =

    0u&

    [ ]

    [ ])sen()cos()()(

    )cos()sen()()(

    )sen()cos()()(

    002

    11

    00

    11

    00

    11

    tqtqtqt

    tqtqtqt

    tq

    tqtqt

    rrrrrr

    N

    r

    rr

    N

    r

    r

    rrrrr

    N

    r

    rr

    N

    r

    r

    rr

    rrr

    N

    r

    rr

    N

    r

    r

    +==

    +==

    +==

    ==

    ==

    ==

    &&&&&

    &&&

    &

    u

    u

    u

    n

    nnnnnnnnn

    qBqAtBtAtq ==+= 00com)sen()cos()(

    &

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    80/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    76

    X REGIME LIVRE AMORTECIDO DEMDO

    X-1 Amortecimento Clssico ou Proporcional

    Condies de ortogonalidade:

    Definio: Diz-se que o amortecimento de um sistema estrutural do tipoclssico ou proporcionalse a matriz de amortecimento c possuir as mesmas

    propriedades de ortogonalidade em relao aos modos de vibrao do sistemaque as matrizes m e k

    Em geral adoptam-se coeficientes de amortecimento modais n

    associados a cada modo de vibrao de tal forma que a matriz modal deamortecimento C dada por:

    Decomposio modal da equao do movimento:

    ==

    ===

    ==

    2**** 1para

    00para

    nnT

    nnT

    n

    nnTnnn

    Tn

    rTnr

    Tn

    KMrn

    rn

    km

    km

    km

    0para0 == nTnnr

    Tn Crn cc

    =++

    =++

    =++

    =++

    =++

    =++

    =++

    =++

    =++

    0)()(2)(

    0)()(2)(

    0)()(2)(

    0)()()(

    0)()()(

    0)()()(

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    2

    2222222

    1211111

    222222

    111111

    tqtqtq

    tqtqtq

    tqtqtq

    tqKtqCtqM

    tqKtqCtqM

    tqKtqCtqM

    ttt

    ttt

    ttt

    NNNNNNNNNNNN

    TTT

    &&&M

    &&&

    &&&

    &&&M

    &&&

    &&&

    &&&

    &&&

    &&&

    0qkqcqm

    0qkqcqm

    0ukucum

    ==

    NNN

    nnnn

    M

    M

    M

    MC

    200

    020

    002

    2 222

    111

    L

    MOMM

    L

    L

    C

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    81/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    77

    Se a matriz de amortecimento c de um sistema estrutural de Ngls respeitaras condies de ortogonalidade relativamente aos modos de vibrao, entoa soluo da equao do movimento em regime livre amortecido do sistema

    pode ser obtida atravs da soluo de N equaes independentes de 1glresultantes da decomposio modal.

    No caso do regime livre amortecido para vectores iniciais u0 e u0 a soluopassa pelas seguintes etapas:

    1.Determinao das frequncias prprias e modos e vibrao do sistema.

    2.Clculo das condies iniciais em termos de coordenadas modais.

    3.Soluo de N sistemas SDOF para as condies iniciais expressa emcoordenadas modais determinadas em (2).

    4.Determinao da resposta em termos dos deslocamentos u (velocidadesaceleraes, etc) das coordenadas generalizadas dos sistema.

    0*

    00

    0

    0*

    00

    0

    umm

    um

    mum

    mu

    &&&

    & Tnnn

    Tn

    Tn

    n

    Tnn

    nTn

    Tn

    n

    qq

    qq

    =

    =

    =

    =

    +

    +==

    == )sen()cos()()( 000

    11

    tqq

    tqetqt rDrD

    rrrrrDr

    tN

    r

    rr

    N

    r

    rrr

    &u

    2

    000

    1queem

    )()cos()(

    nnnD

    nD

    nD

    nnnnnDn

    t

    n tsenqq

    tqetq nn

    =

    +

    += &

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    78

    Amortecimento de Rayleigh: A matriz de amortecimento c de um sistemaestrutural com Ngls respeitar as condies de ortogonalidade relativamenteaos modos de vibrao se resultar de uma combinao linear da matriz de

    massa m e rigidez ktal que:

    No amortecimento de Rayleigh a parcela que proporcional massadecresce medida que a frequncia do modo cresce contrariamente ao que

    sucede com a parcela proporcional rigidez.

    22222fazendo

    para

    0para

    rigidezntoamortecimemassantoamortecime

    1010

    10

    10

    10

    10

    10

    n

    nn

    nn

    n

    nn

    nnnnnn

    nnn

    nTnn

    Tnn

    Tn

    rTnr

    Tnr

    Tn

    rTnr

    Tnr

    Tn

    aa

    M

    Ka

    M

    MaMC

    KaMaC

    aarn

    aarn

    aa

    aa

    +

    =

    +

    ==

    +=

    +==

    =+=

    +=

    ++=

    kmc

    kmc

    kmc

    kmc

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    79

    Para obter o mesmo coeficiente de amortecimento em dois modos devibrao com frequncias angulares i e j deve-se adoptara0 e a1 dados

    por:

    O amortecimento clssico ou proporcional no adequado para anlisedinmica sistemas estruturais que consistem de diferentes materiais(estrutura + solo, estrutura + dissipadores, barragem + liquido, etc.) Anlise por subestruturao Sobreposio de subestruturas comamortecimento proporcional

    jiji

    jiaa

    +=

    += 22 10

    solodorigidezmassa

    estruturadarigidezmassa

    10

    10

    ++=

    ++=

    fffff aa

    aa

    kmc

    kmc

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    80

    XI REGIME FORADO AMORTECIDO DEMDOF

    XI-1 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais

    Decomposio modal da equao do movimento:

    As equaes do movimento de sistemas estruturais de vrios graus liberdade,sujeito a excitaes genricas quep1(t), p2(t), pN(t) definidas para cada umdos seus N graus de liberdade e agrupadas no vector p(t), podem serdecompostas em N equaes diferenciais independentes cujas soluesrepresentam as respostas q1(t), q2(t), qN(t) de cada um dos N modos devibrao do sistema s excitaesP1(t), P2(t), PN(t) definidas por:

    =++

    =++

    =++

    =++=++

    ===++ =

    /)()()(2)(

    /)()()(2)(

    /)()()(2)(

    )ouclssicoento(amortecime,arelaoemdedadeOrtogonali

    )()()()(esquerdaporndomultiplica)()()()(

    )()()(como)()()()(

    2

    222222222

    111211111

    1

    NNNNNNNN

    TTTT

    T

    N

    r

    rr

    MtPtqtqtq

    MtPtqtqtq

    MtPtqtqtq

    tttttttt

    ttttttt

    &&&

    M

    &&&

    &&&

    &&&&&&

    &&&

    ckm

    pqkqcqmpqkqcqm

    qqupukucum

    u5(t)

    m

    m

    m

    m

    m

    EIP

    EIP

    EIP

    EIP

    EIP EIP

    EIP

    EIP

    EIP

    EIP

    EIV

    EIV

    EIV

    EIV

    EIV

    u4(t)

    u3(t)

    u2(t)

    u1(t)

    p5(t)

    p4(t)

    p3(t)

    p2(t)

    p1(t)

    MrC

    r

    Kr

    Pr(t)

    =

    N

    r 1r

    Trr

    rTrr

    rTrr

    C

    M

    K

    =

    =

    =

    c

    m

    k

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    81

    A sobreposio das respostas de cada modo qn(t) s excitaesPn(t) permitecalcular a resposta em termos das N coordenadas u(t) do sistema. Este

    procedimento designa-se pormtodo da sobreposio modale restringe-se asistemas estruturais com comportamento linear e amortecimentoproporcional.

    Os esforos internos na estrutura a cada instante tpodem ser determinadosprocedendo a uma anlise esttica da estrutura para foras dinmicasexternas f(t) dadas por:

    Seguindo o mtodo da sobreposio modal todos os mtodos dedeterminao da resposta do SDOFpodem ser aplicados a sistemas MDOFno calculo a resposta de sistemas comNgls.

    Sendo o comportamento do sistema estrutural linear vlido o princpio dasobreposio. Solicitao em cada gl da estrutura tratado como acoindependente determinao dos efeitos de cada aco independente sobreposio dos efeitos para a determinao da resposta total.

    Sistemas com 1 gl Sistemas comNgls

    Aco Harmnica Sobreposio deAces HarmnicasAco Peridica Sobreposio deAces PeridicasAco Genrica Sobreposio deAces Genricas

    == ==N

    nnn

    N

    nn tqtt 11 )()()( uu

    ====

    ====N

    n

    nnn

    N

    n

    nn

    N

    n

    n

    N

    n

    n tqtqttt

    1

    2

    111

    )()()()()( mkukff

    [ ]

    =

    )(

    )(

    )(

    )( 1

    1

    ,,2,1

    tp

    tp

    tp

    tP

    N

    nNnnnM

    L

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    82

    XI-2 Definio dos Factores de Participao

    Decomposio modal de excitaes do tipo p(t)=sp(t)

    Os valores de n designam-se porfactores de participao modalde cadamodo n na resposta do sistema excitao do tipo p(t)=sp(t)

    Quanto mais elevado for ofactor de participao modalde um dado modo nmaior ser a sua contribuio para a resposta do sistema. Caso umdeterminado modo n seja ortogonal ao vectors a sua contribuio para aresposta do sistema nula.

    n

    T

    n

    T

    nn

    NNNNNNN

    TTTT

    T

    N

    r

    rr

    p(t)tqtqtq

    p(t)tqtqtq

    p(t)tqtqtq

    p(t)ttt

    p(t)ttt

    ttqtp(t)ttt

    m

    s

    ckm

    sqkqcqm

    sqkqcqm

    qusukucum

    queem

    )()(2)(

    )()(2)()()(2)(

    )ouclssicoento(amortecime,arelaoemdedadeOrtogonali

    )()()(

    esquerdaporndomultiplica)()()(

    )()()(como)()()(

    2

    22222222

    11211111

    1

    =

    =++

    =++=++

    =++

    =++

    ===++ =

    &&&

    M

    &&&&&&

    &&&

    &&&

    &&&

    00 == nTn s

    1

    3

    2

    4

    1

    3

    2

    400 == n

    Tn s

    >

    31

    00 nTn s 00 == nTn s

    >

    42

    00 nTn s

    Excitao Simtrica Excitao Anti-

    u1(t) u2(t) u3(t)u1(t) u2(t) u3(t)

    p(x,t)=cp(t)

    )(

    4/

    0

    4/

    )(),()(

    4/

    4/

    4/

    )(),( 21 tp

    Lc

    Lc

    tpxttp

    Lc

    Lc

    Lc

    tpxt

    =

    = spsp

    p(x,t)=cp(t)p(x,t)=-cp(t)

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    83

    XII RESPOSTA DEMDOFA MOVIMENTOS DA BASE.

    XII-1 Equao do Movimento de Estruturas Sujeitas a

    Movimentos Rgidos da Base.

    Condies de Equilbrio:

    O sistema estrutural actuado por movimentos de base rgida (e.g. sismos)pode ser estudado como um sistema de excitao tipo p(t)=sp(t). Acomponente pseudo-esttica s (independente do tempo) o produtomatricial -me a parcelap(t) relativa s variaes ao longo do tempo dada

    pela acelerao da base g(t).O vector de incidncias um vector que transforma os movimentos ug de

    base rgida em movimentos ao nvel dos graus de liberdade da estrutura. Oproduto matricial -m reflecte a parcela da inrcia total da estrutura que mobilizada pela acelerao da base g.

    O campo de deslocamentos a que a estrutura fica sujeita como resultado deda aplicao de um movimento unitrio da base define os valores do vector

    de incidncias.

    ( ) ( ) ( ) ( )tttt

    tut

    tuttt

    tttut

    gef

    g

    g

    efpukucummp

    mukucum

    0ukucum

    =++=

    =++

    =+++

    &&&

    &&

    &&&&&

    &&&&&

    )()(fazendo

    )()()()(

    ou)()()()(

    m3

    EIP3

    EIP4

    EIP3

    EIP4

    u3(t)3. uFAmort &

    3uFElstica

    0. =++ ElsticaAmortInrcia FFF

    3uFInrcia &&

    u5(t)

    m2

    m3

    m4

    m5

    m1

    EIP1

    EIV

    EIV

    EIV

    EIV

    EIV

    u4(t)

    u3(t)

    u2(t)

    u1(t)

    )(tug&&

    EIP2

    EIP3

    EIP4

    EIP5

    EIP1

    EIP2

    EIP3

    EIP4

    EIP5

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    84

    Definio do vector de incidncias :

    ( ) )(

    )()(fazendo

    1

    1

    1

    e

    00

    00

    00

    1

    1

    tu

    m

    m

    m

    t

    tut

    m

    m

    m

    g

    N

    j

    gef

    N

    j

    &&

    &&

    =

    =

    =

    =

    efp

    mp

    1m

    ( ) )(

    0

    0

    1

    1

    e

    00

    00

    00

    32

    1

    3

    32

    1

    tumm

    m

    t

    m

    mm

    m

    g&&

    +=

    =

    += efpm

    ( ) )()(e

    00

    00

    00

    33

    232

    11

    3

    2

    1

    3

    32

    1

    tu

    xm

    hmm

    hm

    t

    x

    h

    h

    m

    mm

    m

    g&&

    +=

    =

    += efpm

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    85

    Quando a estrutura sofre um movimento de base rgida ela fica sujeita a umcampo de deslocamentos de corpo rgido (deslocamentos dos seus gls semdeformaes dos elementos). Nos casos mais simples a determinao do

    vector de incidncias relativamente expedita. Nos casos mais complexosobtm-se recorrendo matriz de rigidez Kg da estrutura que inclui o grau deliberdade da base em que sero impostos os movimentos.

    Na prtica, a determinao do vector de incidnciasfaz-se impondo umafora que produza um deslocamento unitrio do grau de liberdade da base efora nulas nos outros graus de liberdade. Para se garantir um deslocamentounitrio na base deve-se adicionar uma constante de rigidez muito elevadanesse grau de liberdade tal forma que:

    =

    =

    =+

    =+

    =+

    =

    =

    =

    Nb

    jb

    NNjN

    Njjj

    Tubu

    Tububub

    uTub

    bub

    uTub

    bub

    uTub

    bubg

    NNjNbN

    Njjjbj

    Nbjbb

    g

    k

    k

    kk

    kk

    fkfkfk

    k

    kkk

    kkk

    kkk

    ,

    ,1

    ,,

    ,,

    1

    1

    ,,,

    ,,,

    ,,

    01

    11

    ou

    ML

    MOM

    L

    L

    MOMM

    L

    L

    kk

    kkk

    kk

    k

    0kk

    k

    kk

    kKK

    =

    =

    =

    =>>+=

    0K

    0K

    0K

    kkkkkk

    11111

    1se

    1

    11

    bg

    bgg

    bTububub

    Tububub

    kkf

    kfkkf

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    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    86

    XII-2 Anlise da Resposta no Tempo.

    Objectivo: Obter respostas no tempo (deslocamentos, esforos internos,reaces, etc.) de sistemas estruturais com Ngraus de liberdade actuados pormovimentos com descries temporais conhecidas impostos na base.

    Mtodo:Da sobreposio modal Determinao da resposta modais daestrutura + Passagem das respostas modais para respostas das coordenadasgeneralizadas do sistema + sobreposio das respostas generalizadascorrespondentes a cada modo.

    Equao do movimento:

    Decomposio modal da equao do movimento:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    tut

    tttt

    gef )()(com &&

    &&&

    =

    =++

    mp

    pukucum ef

    u5(t)

    m2

    m3

    m4

    m5

    m1

    EIP1

    EIV

    EIV

    EIV

    EIV

    EIV

    u4(t)

    u3(t)

    u2(t)

    u1(t)

    )(tug&&

    EIP2

    EIP3

    EIP4

    EIP5

    EIP1

    EIP2

    EIP3

    EIP4

    EIP5

    =

    =++

    =++

    =++

    =++

    =++

    ===++ =

    n

    T

    n

    T

    n

    n

    gNNNNNNN

    g

    g

    g

    TTTT

    T

    g

    N

    n

    nng

    tutqtqtq

    tutqtqtq

    tutqtqtq

    tuttt

    tuttt

    ttqttuttt

    m

    m

    ckmmqkqcqm

    mqkqcqm

    qumukucum

    sendo

    )()()(2)(

    )()()(2)(

    )()()(2)(

    )ouclssicoento(amortecime,arelaoemdedadeOrtogonali)()()()(

    esquerdaporndomultiplica)()()()(

    )()()(como)()()()(

    2

    22222222

    11211111

    1

    &&&&&

    M

    &&&&&

    &&&&&

    &&&&&

    &&&&&

    &&&&&

  • 7/27/2019 Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica 2010

    91/103

    DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA

    87

    Os valores de n designam-se porfactores de participao modalde cadamodo n na resposta do sistema excitao pef(t) = -mg(t).

    Quanto mais elevado for ofactor de participao modalde um dado modo nmaior ser a sua contribuio para a resposta do sistema. Caso umdeterminado modo n seja ortogonal ao vectorma sua contribuio para aresposta do sistema nula.

    As respostas modais qn(t) so obtidas achando a respostas para SDOFsactuados por -ng(t). Alternativamente podem determinar-se as respostasDn(t) de SDOFs actuados -g(t); os qn(t) so obtidos por multiplicaoDn(t)pelos factores de participao n.

    A contribuio do modo n para as respostas u(t) dada por:

    A resposta u(t) podem ser obtidas pela sobreposio das N respostas un(t)dos modos de vibrao:

    Os esforos internos na estrutura podem ser obtidos pela resoluo de umproblema esttico (equilbrio) em que se aplicam estrutura as forasestticas equivalentes f(t) em cada grau de liberdade dadas por:

    XII-3 Anlise atravs de Espectros de Resposta.

    Objectivo: Obter estimativas dos valores absolutos mximos (mximos e/oumnimos) da resposta (deslocamentos, esforos internos, reaces, etc.) desistemas estruturais com N graus de liberdade actuados por movimentosimpostos na base definidos atravs dosEspectros de Resposta.

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