Dinmica de EstruturasCarlos A. Silva Rebelo 2004-2005

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Contedo1 Introduo 1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Fontes de vibrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Comportamento dinmico das estruturas . . . . . . 1.1.3 Consequncias da vibrao estrutural e seu controle 1.2 Formulao da equao diferencial de movimento . . . . . . 1.2.1 Segunda lei de Newton e princpio dAlembert . . . 1.2.2 Princpio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 5 . 5 . 6 . 7 . 8 . 8 . 10 . 11 15 15 15 17 18 18 22 22 25 27 33 35 36 36 37 39 39 46 48 48 51 54 57 61 61 61 62 63 64 64 64 67 68 72 73 77 77 79 79 82 843

2 Oscilador Linear de 1 Grau de Liberdade 2.1 Vibrao livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Oscilador com amortecimento nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Oscilador com amortecimento crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Oscilador com amortecimento sub-crtico . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Determinao experimental dos parmetros dinmicos . . . . . . . . 2.2 Resposta a excitao harmnica simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Oscilador sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Oscilador com amortecimento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Representao complexa - Funo de Transferncia . . . . . . . . . . 2.2.4 Identicao das caractersticas dinmicas do oscilador . . . . . . . . 2.2.5 Aparelhos de medida - acelermetros e sismgrafos . . . . . . . . . . 2.3 Resposta do oscilador a um impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Resposta a impulsos de durao innitesimal . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Resposta a impulsos de durao nita . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Resposta do oscilador a excitao geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Anlise no domnio da frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Anlise no domnio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Clculo numrico da resposta do OL1GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Clculo no domnio da frequncia - Transformada discreta de Fourier 2.5.2 Clculo no domnio do tempo - Integral de Duhamel . . . . . . . . . 2.5.3 Clculo no domnio do tempo - Integrao directa passo-a-passo . . 2.5.4 Exemplo de aplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Sistemas dinmicos contnuos 3.1 Formulao da equao de movimento . . . . 3.1.1 Barra prismtica em exo . . . . . . 3.1.2 Barra prismtica em vibrao axial . . 3.1.3 Amortecimento em Barras prismticas 3.1.4 Lajes nas em exo . . . . . . . . . . 3.2 Vibrao livre sem amortecimento . . . . . . 3.2.1 Barras prismticas em exo . . . . . 3.2.2 Lajes nas em exo . . . . . . . . . . 3.2.3 Mtodo de Rayleigh . . . . . . . . . . 3.2.4 Propriedades dos modos de vibrao . 3.3 Resposta dinmica de barras prismticas . . .

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4 Controlo de Vibraes em Estruturas 4.1 OL2GL - Soluo por Transformada de Laplace 4.2 Sistemas Auxiliares de Controlo de Vibraes . 4.2.1 Sistema auxiliar sem amortecimento . . 4.2.2 Sistema auxiliar com amortecimento . . 4.3 Isolamento da Base . . . . . . . . . . . . . . . .CONTEDO

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5 Sistemas dinmicos discretos lineares 5.1 Equaes diferenciais do movimento . . . . . . . . . . . 5.2 Clculo dos coecientes de inuncia para barras . . . . 5.2.1 Matriz de rigidez do elemento de barra . . . . . . 5.2.2 Matriz de massa do elemento de barra . . . . . . 5.2.3 Matriz dos amortecimentos do elemento de barra 5.2.4 Vector da excitao . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Escolha da formulao adequada . . . . . . . . . 5.3 Vibrao livre no amortecida . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Ortogonalidade dos modos de vibrao . . . . . . 5.3.2 Normalizao dos modos de vibrao . . . . . . . 5.4 Clculo numrico de valores e vectores prprios . . . . . 5.4.1 Mtodo de Stodola . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Mtodo de Holzer . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Mtodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . 5.5 Clculo da resposta por sobreposio modal . . . . . . .

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87 87 88 88 89 90 90 90 90 91 92 93 93 98 99 102 105 105 105 107 107 108 110 111 111 115 118 122 125 125 127 130 130 135 138 141

6 Caracterizao da Aco Ssmica 6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Risco Ssmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Quanticao da aco ssmica . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Caractersticas gerais da aco ssmica . . . . . . . 6.3.2 Escalas de magnitude e Intensidade ssmica . . . . 6.4 Modelos Descritivos da aco ssmica . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Quanticao atravs dos valores mximos . . . . 6.4.2 Quanticao com base em Espectros de Resposta 6.4.3 Quanticao com base em Espectros de Potncia 6.4.4 Quanticao com base em Acelerogramas . . . . . 6.4.5 Construo de Espectros de Resposta . . . . . . .

7 Resposta Estrutural Aco Ssmica 7.1 Clculo ssmico com base em espectros de resposta . . . . . . 7.1.1 Mtodo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Modelos estruturais de edifcios para anlise dinmica . . . . 7.2.1 Modelo de trs Graus de Liberdade por Piso (3GL/P) 7.2.2 Exemplo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Modelo simplicado plano 1GL/Piso . . . . . . . . 7.2.4 Modelo Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CONTEDO

Captulo 1 Introduo1.1 Generalidades objectivo da Dinmica das Estruturas estudar os efeitos produzidos nas estruturas (tenses, deformaes, esforos ...) por aces dinmicas, ou seja, aces cuja magnitude, direco ou posio dependem do parmetro tempo. A anlise dinmica pode ser vista, de forma simplista, como uma anlise estrutural que inclui, nas equaes de equilibrio da esttica, as foras geradas pela existncia de acelerao e velocidade das massas do sistema. No entanto, os mtodos usados para a anlise esttica so por vezes diferentes dos usados numa correspondente anlise dinmica, sendo, por isso, recomendvel separar o valor esttico do valor dinmico das aces ao proceder-se anlise das estruturas, desde que se possa considerar vlido o princpio da sobreposio de efeitos. Os problemas de vibraes podem surgir em qualquer tipo de estruturas de engenharia civil sendo, no entanto, mais comuns no caso de estruturas suportando mquinas que, durante o seu funcionamento, desenvolvem foras dinmicas ou estruturas que, pela sua concepo, so sensveis s utuaes da velocidade do vento, como por exemplo pontes atirantadas ou edifcios altos, ou ainda em estruturas suportando trafego de pessoas ou veculos, como por exemplo pontes ou parques de estacionamento. As vibraes ssmicas constituem, porm, o tipo de aco dinmica que pode originar os mais graves problemas de segurana em estruturas de engenharia civil. Podemos agrupar os problemas que surgem na anlise de vibraes em estruturas em trs tipos: 1. identicao dos fenmenos fsicos e idealizao de modelos matemticos das fontes de vibrao por forma a caracterizar as respectivas aces dinmicas; 2. construo de modelos fsicos e matemticos que traduzam com abilidade o comportamento dinmico das estruturas, incluindo a identicao dos parmetros do modelo com base em ensaios; 3. anlise da segurana e abilidade estrutural com base nos valores de resposta correspondentes aos estados limites, e tomadas de deciso relativamente segurana estrutural. O primeiro ponto indicado acima est relacionado com a denio do valor das aces a utilizar em projecto, enquanto que no segundo ponto se incluem os problemas de vericao da segurana de estruturas existentes atravs de modelos numricos e de testes in situ. No terceiro ponto h que realar o problema da denio dos valores de comparao a tomar para a vericao dos estados limites. Embora apenas o segundo ponto seja aqui tratado com alguma profundidade, importante conhecer alguns conceitos relacionados com os outros dois tipos de problemas. 1.1.1 Fontes de vibrao

A identicao e quanticao das fontes de vibrao obtendo, como resultado, modelos de aces dinmicas podem ser realizadas, sob um ponto de vista da sua variabilidade no tempo, com base determinstica ou estocstica. O tipo de modelo de aco mais indicado depende das caractersticas dessas aces sendo no entanto os modelos determinsticos os mais usados no clculo por se adaptarem razovelmente aos mtodos semi-probabilsticos de vericao da segurana e por necessitarem de um menor back-ground terico por parte do Engenheiro projectista. Nos modelos determinsticos das aces, pressupe-se o conhecimento do valor da aco para qualquer valor do parmetro tempo. Este tipo de modelos dividem as aces em: Peridicas, as quais apresentam um padro de variao que se repete exactamente ao m de um perodo de tempo T. So exemplo deste tipo as aces originadas por maquinaria industrial. No peridicas, as quais apresentam um padro de variao com caractersticas nicas num certo perodo de tempo T. Como exemplo podem ser indicadas as aces transientes originadas por exploses ou impactos. Nos modelos estocsticos o valor da aco em cada instante no conhecido a priori. A modelao feita considerando que esse valor dado por uma varivel aleatria possuindo uma determinada densidade de probabilidade. Tem-se assim que, num modelo estocstico, no existe apenas um padro de histrias de cargaGeneralidades 5

Xn(t)Realizao n

X3(t)Realizao 3

t t t t

X2(t)Realizao 2

X1(t)Realizao 1

t1

t2

Figura 1 Representao de realizaes de um campo estocstico mas sim um conjunto innito de histrias de carga que formam o campo estocstico e designadas realizaes do campo estocstico (gura 1). Sob certas condies possvel obter uma estimativa das caractersticas da aco analisando apenas um troo nito de uma qualquer daquelas realizaes. Neste caso, a funo mais importante na caracterizao das aces estocsticas - funo de autocorrelao R( ) - denida da seguinte forma: 1 R( ) = lim T T Z2T

xi (t) xi (t + )dt

(1.1)

T 2

em que xi (t) e xi (t + ) representam o valor da aco na realizao i e nos instantes de tempo (t) e (t + ). Podem ser obtidas estimativas de R( ) calculando o integral para perodos nitos T da histria de carga. A equao (1.1) apresentada, frequentemente, sob a forma de um espectro de potncia S() obtido pela transformao de Fourier da funo de autocorrelao: S() = Z

R( )ei d

(1.2)

O Regulamento de Segurana e Aces (RSA), que quantica algumas das aces mais comuns em estruturas, considera a aco ssmica como aco dinmica fornecendo, no Anexo III, informao para o seu tratamento como aco estocstica. Tambm o Eurocdigo 8 [10, EC8], mais recente, contm informao relativa quanticao da aco ssmica. Informao adicional cerca das aces dinmicas no clculo de estruturas, nomeadamente no que respeita aco do vento, trfego, maquinaria, impacto de veculos ou aeronaves, trnsito de veculos ou pessoas, trabalhos realizados em obras de construo civil como sejam exploses, martelos hidrulicos, cravao de estacas, peneiros de crivagem podem ser encontradas em [8],[9]. 1.1.2 Comportamento dinmico das estruturas

A anlise dinmica de estruturas envolve a sua modelao com vista obteno dos valores da resposta em termos de deslocamentos que, por sua vez, se podero transformar em esforos internos, tenses ou extenses. Como j foi referido, esta anlise feita considerando foras adicionais dependentes da velocidade e acelerao tornando assim o problema mais geral que o mesmo problema esttico e, por isso, tambm de maior complexidade. , porm, possvel, em certos casos, obter bons resultados prticos usando modelos de anlise dinmica que, do ponto de vista de anlise esttica poderiam parecer grosseiros. Vejamos dois exemplos: 1. Uma estrutura como a indicada na gura 2 pode ser modelada atravs de elementos de barra, viga e pilares sujeitas aco dinmica p(t), ou mais simplesmente por uma massa correspondente concentrao de6 Introduo

Figura 2 Exemplo de modelao estrutural para clculo esttico ou dinmico

Figura 3 Exemplo de modelao de laje espessa sujeita a carga de impacto massas ao nvel do piso, por uma mola elstica correspondente rigidez transversal dos pilares e por um elemento de amortecimento viscoso, proporcional velocidade de deformao, e que traduz a dissipao de energia no sistema. Denida e resolvida a equao de equilbrio dinmico deste sistema podemos transferir os deslocamentos mximos para o modelo de anlise esttica e obter assim a distribuio de esforos. 2. No exemplo da g.3, representando uma laje de beto armado sujeita a uma aco de impacto ou exploso, mostra-se o modelo utilizado para cculo esttico e os modelos simplicados que podem ser usados em cculo dinmico (g.6-c) e que so constituidos por massas correspondentes s massas do sistema (g.6-a) e por molas elsticas que ligam as partes do sistema. Tambm aqui o modelo de anlise dinmica pode ser simplicado relativamente ao modelo habitual de anlise esttica. Como se poder concluir dos exemplos apresentados as simplicaes mais usadas so relativas, por um lado, discretizao das massas do sistema, as quais se consideram concentradas em determinados pontos da estrutura e, por outro lado, a admitir-se que partes da estrutura se comportam como corpos rgidos interligados por molas elsticas e amortecedores viscosos. 1.1.3 Consequncias da vibrao estrutural e seu controle

As consequncias das vibraes nas estruturas podem ir desde o incmodo provocado em pessoas utentes, condicionamentos utilizao como por exemplo na fabricao de material de preciso ou estragos ligeiros em estruturas, at rotura por esforos ou deformaes excessivas, fadiga ou estragos irreparveis em equipamento. De acordo com as regras de vericao da segurana pressupostos no R.S.A. podemos identicar as primeiras com os Estados Limites de Utilizao e as segundas com Estados Limites ltimos. Em algumas situaes possvel reduzir ou mesmo evitar a vibrao das estruturas partindo de solues estruturais ou acabamento de superfcies pensadas de acordo com as possveis aces dinmicas como por exemplo:Generalidades 7

Edifcios sujeitos a aco ssmica possuem um melhor comportamento se a distribuio de massas e regidezes, tanto em planta como em altura, no possuir variaes bruscas e os elementos de construo estruturais possuirem um comportamento ductil. Neste caso as aces ssmicas podem ser consideravelmente diminudas bem assim como o risco de rotura catastrca durante sismos mais intensos que o sismo de projecto. As estruturas sujeitas a aces harmnicas que no possuem as suas frequncias naturais na zona do espectro em que as aces surgem com maior intensidade so menos sensveis a essas aces, podendo mesmo, em certos casos, ser dispensadas da respectiva vericao da segurana. Evitar irregularidades em pisos sujeitos a aces rolantes, como por exemplo as faixas de rodagem em pontes rodovirias ou os pisos de edifcios sujeitos ao trnsito de veculos, conduz a menores cargas dinmicas.

1.21.2.1

Formulao da equao diferencial de movimentoSegunda lei de Newton e princpio dAlembert

A segunda lei de Newton establece que a variao da quantidade de movimento de um corpo igual fora aplicada e tem a direco dessa fora, ou seja: y F (t) = m (1.3) t t ou, admitindo que a massa se mantm constante F (t) m(t) = 0 y (1.4)

em que F (t) representa o conjunto de foras exteriores aplicadas e y (t) a segunda derivada do deslocamento em ordem ao tempo. As foras aplicadas incluem no s foras exteriores independentes do sistema mas tambm foras interiores tal como impedimentos elsticos opostos ao deslocamento e impedimentos viscosos opostos velocidade das massas do sistema. O conceito de que uma massa em movimento desenvolve uma fora de inrcia proporcional e oposta acelerao designado por Princpio dAlembert. As equaes (1.3) e (1.4) traduzem o equilbrio dinmico do sistema, ou seja, a soma das foras conservativas e no conservativas do sistema igual fora de inrcia. Tome-se como exemplo a formulao da equao diferencial de movimento de uma massa rgida restringida por uma mola elstica e um amortecedor viscoso. Este sistema elementar conhecido por oscilador linear de um grau de liberdade OL1GL. Considerando o peso prprio da massa W e uma aco exterior p(t) a equao de equilibrio do sistema de acordo com a 2a lei de Newton vem dada por: X Fy = m y (1.5) p + W fs fc = m y (1.6) em que o deslocamento y medido a partir da situao de fs = 0. As foras na mola elstica e no amortecedor viscoso so representadas, respectivamente, por fs = ky e fc = cy. Da equao (1.5) resulta ento uma equao diferencial linear no homognea de segunda ordem, ky + cy + m = p(t) + W y (1.7)

O valor do deslocamento total dado pela soma de duas parcelas correspondentes ao deslocamento devido ao peso prprio e ao deslocamento dinmico: W (1.8) + yd (t) k Tendo em conta que o valor W independente do tempo, o deslocamento esttico por ele provocado pode ser subtrado ao valor total, obtendo-se assim: y = yest + yd (t) =8 Introduo

Figura 4 Oscilador em vibrao de translao

Figura 5 Oscilador em vibrao de rotao

md + cyd + kyd = p(t) y

(1.9)

Note-se que na expresso anterior foi possvel eliminar a parte esttica das aces. Isto possvel desde que o comportamento do oscilador seja elstico linear. Essa parte esttica corresponde mdia temporal da aco dinmica se essa mdia for independente do tempo. Por este motivo no sero considerados os valores estticos das foras presentes nos diversos exemplos que aqui trataremos, incluindo os valores de peso prprio das massas envolvidas no clculo, exceptuando os casos em que a geometria da estrutura e o tipo de graus de liberdade considerados obriguem a essa considerao. Outro exemplo de um oscilador linear de um grau de liberdade o de um disco (g.5) em rotao livre. A equao do movimento obtida da equao de equilbrio de momentos dada por M = IG (1.10)

em que M o momento de toro na haste, IG o momento de inrcia das massas e a acelerao angular do disco Tendo em conta as seguintes relaes GI M = Lp (1.11) IG = .Ip = 1 mR2 2 e considerando que o momento polar de Inrcia dado por: Ip = Ixx + Iyy = 4 32 (1.12)

resulta nalmente a seguinte equao diferencial que rege o movimento: 4 G 1 2 mR + =0 2 32L | {z } | {z }fora de inrcia fora elstica

(1.13)

Na gura 6 encontram-se, a titulo de exemplo, momentos de Inrcia de massa de vrias guras geomtricas constituidas por material de massa volmica .9

Formulao da equao diferencial de movimento

Figura 6 Momento de Inrcia da massa de vrias guras

Figura 7 Barra rgida com um grau de liberdade

1.2.2

Princpio dos trabalhos virtuais

A aplicao do princpio dos trabalhos virtuais para a obteno da equao do movimento a mais indicada no caso em que o sistema dinmico seja constituido por corpos rgidos ligados entre si. Este princpio aplicado dinmica das estruturas pode ser enunciado do seguinte modo: para qualquer conjunto de deslocamentos virtuais consistentes com as condies de fronteira do sistema, a soma do trabalho realizado pelas foras aplicadas e pelas foras de inrcia deve ser nulo. Este princpio traduzido pela seguinte equao: Wp + WI = 0 (1.14)

em que Wp e WI representam o trabalho virtual, respectivamente, das foras aplicadas e das foras de inrcia. O trabalho virtual de uma qualquer fora Qi denido pelo produto da fora pelo deslocamento virtual na sua direco qi , ou seja, W = Qi . qi Como exemplo de aplicao considere-se a estrutura da gura 7 constituda por uma barra rgida com uma das extremidades xa e ligada ao exterior por uma mola elstica e um amortecedor viscoso. Para a aplicao do teorema dos trabalhos virtuais considere-se que a barra, numa qualquer posio deformada sofre uma rotao adicional virtual (g.8). Admitindo que o ngulo pequeno podem escrever-se as seguintes relaes: y(x, t) = x(t) (1.15) y = x O conjunto de foras que, na posio deformada se encontra em equilbrio constitudo por uma fora de inrcia e um momento de inrcia da massa, ambos aplicados no centro de gravidade, por uma fora elstica na mola, por uma fora de amortecimento no amortecedor e pela resultante da aco aplicada. O valor de cada uma10 Introduo

Figura 8 Deslocamentos virtuais (a) e foras existentes (b) no sistema em estudo destas foras calculado com base nos deslocamentos, velocidades e aceleraes da massa da seguinte forma: fk = k a f = cL c fp = p0 L f (t) (1.16) 2 fi = R L m y dx = R L m xdx = mL (inrcia de translaco) 2 0 L 0 L 2 Mi = IG = m L (inrcia de rotao) 12 A equao dos trabalhos virtuais vem dada por: 2L fk a fc L + fp 3 {z } |trabalho das foras exteriores

trabalho das foras de inrcia

Simplicando e tendo em ateno que pode tomar qualquer valor obtem-se a equao do movimento: mL2 {z | 3 } + cL2 | {z } + ka2 = | {z }fora elstica

L Mi fi {z 2 } |

=0

(1.17)

fora de inrcia

fora de amortecimento

aco aplicada

1.2.3 1.2.3.1

Exemplos

p0 L2 f (t) | 3 {z }

(1.18)

Sistema de dois graus de liberdade com deslocamentos da base

Deduzir as equaes de movimento de um sistema de duas massas , duas molas e um amortecedor que se desloca com velocidade constante sobre uma trajetria sinusoidal (gura 9). Sendo a velocidade constante a distncia percorrida depende linearmente do tempo x = vt e obtem-se para deslocamento vertical da base do sistema: 2x 2vt y(t) = h0 sin = h0 sin (2f t) L vT Establecendo as equaes de equilbrio vertical, usando a 2a lei de Newton, para cada uma das massas obtem-se: k1 (y1 y2 ) c1 (y1 y2 ) = m1 y1 k1 (y1 y2 ) + c1 (y1 y2 ) k2 (y2 y) = m2 y2 y(x) = h0 sin Em notao matricial o sistema de equaes de moviemnto o seguinte y1 c1 c1 y1 k1 0 k1 y1 m1 0 + + = k2 h0 sin (2f t) 0 m2 y2 c1 c1 y2 k1 (k1 + k2 ) y2

Formulao da equao diferencial de movimento

11

Figura 9 Sistema de dois graus de liberdade com deslocamentos da base

x 2a k1 m c f3 s(t)Figura 10 Edifcio sujeito a deslocamentos na fundao. Foras actuantes nos corpos 1 e 2. ou, de forma mais compacta M + Cy + Ky = p(t) y 1.2.3.2 Sistema de 2GL composto por edifcio e fundao

M, IG k2

y

f1 Mg f2 f4 f5

f2 f1 f3

Deduzir as equaes de movimento de um sistema composto por um edifcio de massa M fundado em fundao de massa m (gura 10), considerando que as rotaes do edifcio so pequenas. A excitao provm de deslocamentos horizontais s(t) ao nvel da fundao. Trata-se tambm de um sistema de dois graus de liberdade: translaco do conjunto edifcio-fundao e rotao do edifcio. As foras actuantes em cada corpo rgido esto representadas na gura 10 As equaes de equilibrio dinmico para o corpo 1, de acordo com a 2a lei de Newton escrevem-se da seguinte forma: P P M = IG V = Mx P H = M ( + a y ) k2 f1 a cos + f3 a sin = IG ' f3 M g = M x 0 f1 = M y + a 12 Introduo

O corpo 2 s tem movimento horizontal, pelo que a nica equao de equilbrio se escreve da seguinte forma:

k1

c1 p1 m1 f1 m2 f2 m3 p1 f2 f1

y1 k2 c2 p2 k3 c3 p3

y2

y3

Figura 11 Oscilador linear de trs graus de liberdade X

H = My

y f4 f5 f1 = m O clculo das foras elsticas e de amortecimento feito de acordo com o deslocamento imposto na base, s(t), e o deslocamento da fundao y(t): f4 = (y s)c f5 = (y s)k1

Das equaes atrs expostas resulta o sistema de duas equaes diferenciais que descreve o movimento do oscilador: M y + M a + m + cy + k1 y = cs + k1 s y M a + M a2 + IG + (k2 M ga) = 0 y Usando notao matricial obtemos nalmente: y y (M + m) Ma c 0 k1 + + 0 0 Ma (M a2 + IG ) 0 0 (k2 M ga) y cs + k1 s 0

=

1.2.3.3

Sistema de trs graus de liberdade

Determinar as equaes de movimento do sistema de 3GL da gura 11. Do diagrama de foras indicado na gura 11 podemos escrever a primeira das equaes de equilbrio que se seguem, obtendo-se as restantes de forma semelhante: 0 0 f1 f1 + f2 + f2 + p1 = m1 y1 0 0 f2 f2 + f3 + f3 + p2 = m2 y2 0 f3 f3 + p3 = m3 y3 As foras relacionam-se com as rigidezes e amortecimentos da seguinte forma: f1 = k1 y1 f2 = k2 (y2 y1 ) f3 = k3 (y3 y2 ) ; ; 0 0 0 f2 = c2 (y2 y1 ) f3 = c3 (y3 y2 ) f1 = c1 y1

pelo que, substituindo nas equaes de equilbrio dinmico tem-se: k1 y1 k2 (y2 y1 ) + c1 y1 c2 (y2 y1 ) + m1 y1 = p1 k2 (y2 y1 ) k3 (y3 y2 ) + c2 (y2 y1 ) c3 (y3 y2 ) + m2 y2 = p2 k3 (y3 y2 ) + c3 (y3 y2 ) + m3 y3 = p3 Formulao da equao diferencial de movimento

13

y3

m3 k3, c3

Eixo de Referncia

y2

m2 k2, c2

y1

m1 k1, c1

fi+1 mi

fi yG deslocamentos

Figura 12 Prtico com trs graus de liberdade Este sistema de equaes escrito em forma matricial da seguinte maneira: (c1 + c2 ) 0 c2 0 m1 0 y1 y1 0 m2 0 c2 y2 (c2 + c3 ) c3 y2 + + 0 0 m3 y3 0 c3 c3 y3 (k1 + k2 ) k2 0 y1 p1 k2 (k2 + k3 ) k3 y2 p2 = + 0 k3 k3 y3 p3 1.2.3.4 Prtico de Edifcio sujeito a aceleraes ssmicas yG Determinar as equaes de movimento do sistema de 3GL da gura 12. Do diagrama de foras indicado na gura 12 podemos escrever a seguinte equao de equilbrio genrica: fi + fi+1 = mi (i + yG ) y As foras exteriores envolvidas so dadas por: fi = ki (yi yi1 ) + ci (yi yi1 ) fi+1 = ki+1 (yi+1 yi ) + ci+1 (yi+1 yi ) Para um prtico de trs pisos o sistema de equaes escreve-se em forma matricial da seguinte maneira: m1 0 (c1 + c2 ) 0 c2 0 y1 y1 0 m2 0 c2 y2 (c2 + c3 ) c3 y2 + + 0 0 m3 y3 0 c3 c3 y3 y (k1 + k2 ) k2 0 y1 G m1 k2 (k2 + k3 ) k3 y2 G m2 y = + 0 k3 k3 y3 G m3 y M + Cy + Ky = y aco do ssmo

ou, em notao mais compacta:

14

G M1 y | {z }

Introduo

Captulo 2 Oscilador Linear de 1 Grau de LiberdadeO sistema dinmico elementar constituido por uma massa e uma mola elstica a que se pode associar ainda um elemento de amortecimento viscoso, e designa-se por oscilador linear de um grau de liberdade OL1GL. A equao de movimento deste sistema dinmico foi deduzida no captulo anterior e a seguinte: m + cy + ky = p(t) y A soluo desta equao diferencial da seguinte forma: y(t) = yp (t) + yc (t) (2.2) (2.1)

em que yp (t) e yc (t) representam respectivamente a soluo particular e a soluo complementar da equao. A primeira traduz a vibrao forada, dependente de p(t), e a segunda a vibrao livre, calculada para p(t) = 0.

2.1

Vibrao livre y(t) = G1 es1 t + G2 es2 t

A soluo da equao diferencial homognea, m + cy + ky = 0, correspondente a vibrao livre do tipo: y (2.3)

excepto no caso de existirem razes mltiplas em que a soluo passa a ser y(t) = G1 + G2 t est

(2.4)

Dividindo seguidamente por mGest e utilizando a notao 2 = nk m

podendo as constantes G e s tomar valores complexos. A determinao daquelas constantes feita substituindo st na equao diferencial para obter a seguinte equao: a soluo geral y(t) = Ge 2 s (2.5) m + c + k Gest = 0 s ; =c 2m n

(2.6)

em que n designada por frequncia prpria, por factor de amortecimento viscoso, obtem-se uma equao algbrica do segundo grau em s (2.7) s2 + 2 n s + 2 = 0 n a que se convencionou chamar equao caracterstica ou equao de frequncias do sistema, e cujas razes so dadas por: q s = n n 2 1 (2.8)

Na gura 1 esto representadas,no plano complexo, as solues possveis para a eq.(2.8). No caso de = 0 as solues so imaginrias, no caso de > 1 a soluo real e dupla e no caso intermdio as solues so complexas. 2.1.1 Oscilador com amortecimento nulo

No caso de no existir amortecimento a eq.(2.8) vir: s = n 1 = i n e substituindo este valor na soluo geral (2.3) teremos: y(t) = G1 ein t + G2 ein tVibrao livre

(2.9)

(2.10)15

Figura 1 Representao das razes da equao caracterstica no plano complexo.

Figura 2 Resposta livre no amortecida de um OL1GL. Tendo em conta a equao de Euler ein t = cos( n t) isin( n t) a eq.(2.10)pode ser escrita na seguinte forma: y(t) = (G1 + G2 ) cos n t + i(G1 G2 ) sin n t (2.12) (2.11)

Tendo em conta que o deslocamento y(t) um valor real podemos escrever esta equao usando constantes reais A1 e A2 , y(t) = A1 cos n t + A2 sin n t (2.13) ou, escrita em termos de amplitude A e ngulo de fase : y(t) = A cos( n t ) As constantes A1 e A2 so determinadas pelas condies iniciais da equao de movimento, ou seja, y(0) y0 = A1 y(0) y0 = A2 n A eq.(2.13) vir ento: y0 sin n t (2.15) n A determinao dos valores da amplitude e do ngulo de fase imediata se utilizarmos a representao vectorial no plano complexo (g3). Assim A a amplitude do vector resultante dos vectores ortogonais cuja componente y no eixo dos reais , respectivamente, y0 cos n t e 0 sin n t, enquanto que ( n t ) representa o ngulo que n esse mesmo vector resultante faz com o eixo dos reais. Assim, tem-se: q ( y2 2 A = y0 + 0 2 n (2.16) tan = y0 0 ny y(t) = y0 cos n t +16 Oscilador Linear de 1GL

(2.14)

(deslocamento inicial) (velocidade inicial)

Imagy0

ny0 A

nt

RealFigura 3 Representao alternativa no plano complexo para a resposta livre no amortecida de um OL1GL

Figura 4 Resposta do OL1GL com amortecimento crtico Por vezes, conveniente usar notao mais condensada pelo que se pode apresentar a resposta na forma complexa, (2.17) y (t) = Aei(n t) = A [cos ( n t )) + i sin ( n t )] identicando-se o sinal de y(t) com a parte real ou com a parte imaginria da eq.(2.17) 2.1.2 Oscilador com amortecimento crtico

Dene-se amortecimento crtico ccr = 2m n , aquele que conduz ao factor de amortecimento unitrio = 1, obtendo-se assim uma raz dupla na eq.(2.7) com valor real dado pela frequncia prpria do oscilador, s1 = s2 = n . Como j tinha sido indicado nas equaes (2.6), a resposta vem dada, neste caso, por: y(t) = (G1 + G2 .t)en t As constantes so calculadas a partir de condies iniciais y(0) = G1 y(0) = n G1 + G2 de deslocamento e velocidade: G1 = y0 2 = y0 + n y0 G (2.19) (2.18)

Usando estas constantes obtem-se nalmente a resposta no domnio do tempo, do oscilador com amortecimento crtico em vibrao livre: y(t) = [y0 (1 + n t) + y0 t] en t (2.20) e que se encontra representada na gura4. Note-se que um sistema com amortecimento crtico ou sobre-crtico ( > 1) no chega a oscilar em torno da posio de equilibrio esttica. O estudo deste tipo de sistemas no tem interesse prtico, pois envolve coecientes de amortecimento muito mais elevados do que aqueles que se encontram na prtica nas estruturas de Engenharia Civil.Vibrao livre 17

Figura 5 Relao entre 2.1.3

D n

e o factor de amortecimento

Oscilador com amortecimento sub-crtico

Se o coeciente de amortecimento c for inferior ao crtico, c < ccr = 2m n , a eq.(2.8) pode ser escrita da seguinte forma: s = . n i. D (2.21) em que D denida como frequncia prpria amortecida para o sistema e dada por: q D = n 1 2

(2.22)

Repare-se que a eq.(2.22) fornece uma relao circular entre o quociente D e o factor de amortecimento n (ver gura5). Para factores de amortecimento usuais em estruturas de Engenharia Civil, ou seja, < 0.2, tem-se prticamente D ' n , sendo, por isso, muitas vezes usadas indiscriminadamente as frequncias prprias amortecidas e no amortecidas. A resposta livre do oscilador calculada, neste caso, pela seguinte equao: (2.23) y(t) = G1 eiD t + G2 eiD t en t em que a parte contida dentro dos parntises idntica eq.(2.10)1 . A resposta do oscilador pode, por isso, ser escrita recorrendo eq.(2.13): y(t) = (A1 cos D t + A2 sin D t) en t Introduzindo as condies iniciais nesta equao, y(0) y0 y(0) y0 obtem-se nalmente y(t) = Aen t cos( D t ) em que ( A= q p 2 A2 + A2 = y0 + ( y0 +n y0 )2 1 2 Dy0 + n y0 D y0

(2.24)

(deslocamento inicial) (velocidade inicial)

A1 = y0 A2 = y0 +n y0 D

(2.25)

(2.26)

tan =

(2.27)

Note-se que as equaes (2.24) e (2.25) so semelhantes s equaes (2.13) e (2.14), com a nica diferena do factor dado pela exponencial en t que dene uma envolvente da resposta do oscilador amortecido em vibrao livre (g.6). 2.1.4 Determinao experimental dos parmetros dinmicos

Os parmetros que interessa identicar so o amorteciemento e a frequncia prpria. O amortecimento deve-se perda de energia, durante a oscilao da estrutura, fundamentalmente atravs de histerese interna, comportamento no linear dos materiais, atrito interno ou nas juntas ou apoios, termoelasticidade, etc. O amortecimento viscoso, embora pouco importante, uma boa aproximao terica para o amortecimento global das estruturas.1 caso

em que o amortecimento nulo

18

Oscilador Linear de 1GL

Figura 6 Vibrao amortecida do OL1GL Tabela 2.1 Valores mdios do coeciente de amortecimento em percentagem(%) Materiais/estruturas (%) Ao 0.03 - 0.15 Beto 0.15 - 1.0 Pontes de ao 0.2 - 1.0 Pontes de ao-beto 0.3 - 1.6 Pontes de beto armado ou pr-esforado 0.3 - 1.6 Chamins de ao 0.3 - 0.8 Chamins de beto 0.5 - 1.0 Torres de ao 0.3 - 2.9 Edifcios de vrios andares 0.7 - 2.9 Edifcios de um ou dois andares 1.0 - 5.0

Devido grande variedade de mecanismos de dissipao de energia nas estruturas, principalmente em edifcios onde a presena de elementos no estruturais signicativa, torna-se difcil fornecer valores precisos do amortecimento viscoso equivalente. Na tabela 2.1 encontram-se alguns valores mdios do coeciente de amortecimento . Um mtodo frequentemente utilizado para a determinao experimental das caractersticas dinmicas dos sistemas, frequncias prprias e factores de amortecimento, baseia-se na sua resposta livre a um deslocamento ou/e velocidade inicial. Da gura 6 e da equao (2.24) pode concluir-se que a equao da curva envolvente da resposta de deslocamentos en t . Admitindo que a frequncia prpria pode ser determinada de forma sucientemente exacta medindo o perodo T e calculando n = 2 , o valor do coeciente de amortecimento T pode ser calculado de forma aproximada calculando o expoente da funo exponencial que passa pelos pontos mximos da resposta medida. 2.1.4.1 Mtodo do decremento logartmico

possvel simplicar o processo de determinao do coeciente de amortecimento calculando os valores mximos sucessivos da resposta no caso de se introduzir no sistema um deslocamento inicial admitindo velocidade inicial nula. Para o efeito comece-se por calcular os valores de t para os quais se tem valores mximos da resposta e que so dados pelo anulamento da derivada do deslocamento em ordem ao tempo: dy d n t cos( D t ) = 0 =0 Ae dt dt (2.28)

em que A = y0

r

1+

2 2 n 2 D

. Daqui se obtm a seguinte equao:

Aen t [ n cos( D t ) D sin( D t )] = 0

(2.29)

que admite como razes os seguintes valores: t = (soluo trivial)Vibrao livre 19

soluo no trivial dada por: n cos( D t ) + D sin( D t ) = 0 (2.30) Nesta equao podem ser calculados os valores de t que a anulam e a que simultaneamente correspondem valores y(t) positivos. Estes valores so dados pela seguinte equao: 1 n + 2 com = 1, 2, 3, . . . (2.31) arctan t = D D Usando o resultado expresso na segunda das equaes (2.27) considerando que apenas existe deslocamento inicial, ou seja, = arctan n , a eq.(2.31) simplica-se para dar: D t = 2 1 = D fD (2.32)

Se denirmos um decremento de amplitude dado pelo logaritmo da razo entre dois mximos consecutivos: = ln e fazendo a substituio t =2 D

y y+1

= ln

en t+1

en t cos ( D t ) cos( D t+1 )

(2.33)

na funo cosseno, podemos obter, por simplicao, 2 D (2.34)

= ln en (t t+1 ) = n (t+1 t ) = n

O coeciente de amortecimento pode assim ser obtido em funo dos deslocamentos mximos consecutivos atravs da seguinte expresso: D y = ln (2.35) 2 n y+1 Repare-se que, no caso de termos pequenos amortecimentos, o valor D ' n , o que, introduzido na eq.(2.35), permite obter: y 1 = = ln (2.36) 2 y+1 2 A determinao da frequncia prpria imediata, se tivermos em conta que a distncia entre dois picos consecutivos denida como o perodo prprio do sistema TD = 2/ D o que fornece imediatamente a frequcia prpria amortecida: D 1 [Hz] (2.37) fD = = 2 TD 2.1.4.2 Exemplo

1. Deduzir uma expresso para o nmero de ciclos necessrio reduo de 50% de amplitude de oscilao livre de um OL1GL. 2. Um prtico constituido por dois pilares ligados na parte superior por um elemento rgido com a massa de 5000Kg e encastrado na base foi testado da seguinte maneira: Utilizando uma estrutura de apoio foi introduzido um deslocamento de 1cm na extremidade superior do prtico e foi registada a histria de deslocamentos quando se cortou a ligao. Ao m de 5 ciclos completos o tempo decorrido foi de t = 6.0seg e o deslocamento medido foi de y(t ) = 0.44cm Calcule os seguintes elementos relativos estrutura: a) a frequncia prpria amortecida do sistema. b) o factor de amortecimento . c) mdulo de elasticidade do material, sabendo que a altura do prtico de 8 metros e a seco dos pilares 0.20 0.20m2 .

d) a lei do movimento. Resoluo:20

Oscilador Linear de 1GL

Figura 7 Correco do factor de amortecimento [Clough] 1. Considere-se a relao entre a amplitude da curva envolvente em dois pontos de tempo p e r tal que: yp yr = 2 . A curva dada pela eq.(2.26), em que as condies iniciais nas equaes(2.27) so denidas por uma deformao imposta y0 e velocidade inicial nula. Assim sendo, a relao entre as ordenadas yp e yr da envolvente da resposta calculada da seguinte forma: en tp yp = n tr = en (tr tp ) = 2 yr e ou seja, = ln 2 n (tr tp ) (2.39) (2.38)

em que a frequncia no amortecida n pode ser considerada aproximadamente igual frequncia amortecida D = 2fD . Desta forma obtem-se, para factor de amortecimento, = em que ln 2 0.11 = 2fD (tr tp ) = 2. tr tp TD (2.40)

(2.41)

a) fD = T1 = 5 = 0.833 Hz 6 D b) No caso de valores baixos de amortecimento tem-se D ' n , o que, introduzido na eq.(2.35), permite obter: y = e2aprox (2.42) y+1 Esta expresso que pode ser expandida em srie da qual iremos reter apenas os dois primeiros termos: y y+1 = 1 + 2 aprox + (2 aprox )2 + ... 2! (2.43)

por forma a obter-se nalmente uma expresso aproximada que permite, de forma prtica, estimar o factor de amortecimento: y y+1 aprox = (2.44) 2y+1 Na gura 7 indica-se a relo em funo de aprox . O erro cometido pode ser signicativo para aprox valores de amortecimento alto. No entanto, deve ser tido em ateno que as variaes no amortecimento medido em estruturas reais , em muitos casos, superior ao erro cometido por utilizao da equao (2.44).No caso de sistemas com fraco amortecimento o erro de leitura dos valores y e y+1 pode ser importante, sendo, por isso conveniente fazer a leitura, no de mximos sucessivos, mas de mximos mais afastados, realizando, se possvel, vrias leituras. Obtem-se assim a seguinte expresso para o clculo do factor de amortecimento no caso dos valores mximos y e y+n corresponderem respectivamente a t e t+n aprox =Vibrao livre

y y+n 1.0 0.44 = = 0.0405 2ny+n 2 5 0.44

(2.45)21

Usando a correco dada pela gura 7, ou seja, amortecimento. c) Partindo da denio de frequncia prpria n = k=

aprox

= 0.91, tem-se cerca de 3.7% para valor do = D tem-se:

q

k m

1 2

m 2 (2 0.833)2 D 2 = 5000 1 0.04052 = 137193N/m (1 )

A rigidez de translao no topo do prtico dada por k = 2 12EI , donde resulta: L3 k = 137193 = 24 0.24 E E =22 109 N/m2 = 22GP a 12 83

d) A equao do movimento dada pela eq.(2.26) com as seguintes constantes: s 2 p y0 + n y0 2 A = y0 + ' 1 + 0.04052 ' 1.0 D = arctan y0 + n y0 ' 0.0405rad ' 0 D y0

D ' n ' 2fD = 2 0.833 = 5.23rad pelo que se obtm: y(t) = e0.212t cos(5.23t)[cm]

y(t)

1

0.5

0 0 1.25 2.5 3.75 5

-0.5

-1

Vibrao livre do oscilador amortecido e respectiva envolvente

2.2

Resposta a excitao harmnica simples

Tal como j foi indicado no incio do captulo a soluo da equao diferencial de movimento composta pela soma da soluo geral, correspondente vibrao livre, e da soluo particular, correspondente vibrao forada pela aco exterior p(t). esta soluo que iremos estudar seguidamente para uma aco harmnica simples. 2.2.1 Oscilador sem amortecimento

A equao diferencial escreve-se, neste caso, da seguinte forma: m + ky = p0 cos t y22

(2.46)Oscilador Linear de 1GL

cuja soluo particular da forma: yp (t) = Ap cos t A amplitude do movimento Ap calculada substituindo (2.47) em (2.46) obtendo-se: Ap = p0 k m2 (2.48) (2.47)

Este resultado s possvel desde que o denominador se no anule, ou seja, k m2 6= 0. Note-se que a situao de se ter um denominador nulo corresponde ressonncia no sistema, k m2 = 0 2 = 2 n

o que, tericamente, em sistemas no amortecidos leva a deslocamentos innitos, ou seja, Ap = . Usando as seguintes notaes: A0 = p0 k = n A 1 D = Ap = 1 2 para: 6= 1 0

(2.49)

em que A0 corresponde ao deslocamento esttico correspondente aco p0 , a relao de frequncias e D o factor de amplicao dinmica das amplitudes de vibrao. A eq.(2.47) pode ento ser reescrita da seguinte forma: yp (t) = DA0 cos t A soluo da equao diferencial vem dada pela soma das solues (2.13) e (2.50): y(t) = yp + yc = DA0 cos t + (A1 cos n t + A2 sin n t) A determinao das constantes A1 e A2 feita introduzindo as condies iniciais do movimento. 2.2.1.1 Exemplo Aco directa (2.51) (2.50)

Um OL1GL sujeito a uma aco de p(t) = 45 cos(10t) [N ]. Considerando que a massa de m = 17.5Kg, a constante elstica da mola de k = 7KN/m, o amortecimento nulo e que o oscilador se encontra em repouso para t = 0 determinar a equao de movimento do sistema. Resoluo: A equao de movimento dada pela eq.(2.51) para a qual se devem calcular as constantes de integrao A1 e A2 considerando as condies iniciais do movimento dadas por y(0) = 0 e y(0) = 0. Da resultam os seguintes valores: A1 = DA0 e a seguinte equao: A2 = 0

y(t) = DA0 (cos t cos n t) =

45 1 2 7000 (cos 10t cos n t) 1

Calculando a frequncia prpria e a relao entre frequncias, n = r 10 7000 = = 20rad/s = = 0.5 17.5 n 20

obtem-se o valor da equao do movimento, y(t) = 8.6 103 [cos(10t) cos(20t)]Excitao harmnica simples 23

a qual se encontra representada na gura seguinte, conjuntamente com cada uma das duas componentes harmnicas que a constituem.y

0.005

0 0 0.25 0.5 0.75 x -0.005 1

-0.01

-0.015

Resposta de deslocamento (a cheio) e das respectivas componenetes harmnicas (a tracejado) . 2.2.1.2 Exemplo Aco indirecta por movimento do apoio

Considerando o oscilador do exemplo 2.2.1.1 sujeito a deslocamentos do ponto de apoio dados por yG (t) = y0 cos t sendo y0 = 0.01metros e = 10rad/s, pretende-se determinar a equao de movimento do sistema, bem como a eauqo dos deslocamentos totais do oscilador. Resoluo: A equao diferencial escreve-se, neste caso, da seguinte forma: m + ky = ky0 cos t y em que y(t) o deslocamento total da massa. A soluo particular da forma: yp (t) = Ap cos t A amplitude do movimento Ap calculada substituindo (2.47) em (2.46) obtendo-se: ky0 = Dy0 k m2 A soluo da equao diferencial vem dada pela soma das solues particular e complementar: Ap = y(t) = yp + yc = Dy0 cos t + A1 cos n t + A2 sin n t Considerando as condies iniciais dadas por y(0) = 0 e y(0) = 0 obtem-se, para valores das constantes de integrao A1 e A2 , os seguintes valores: A1 = Dy0 A2 = 0 pelo que a equao do movimento dada por: y(t) = Dy0 (cos t cos n t) = 1. 33 102 (cos 10t cos 20t) a qual se encontra representada na gura seguinte, conjuntamente com cada uma das duas componentes harmnicas que a constituem.y 0.01

(2.52)

(2.53)

(2.54)

0 0 0.25 0.5 0.75 x 1

-0.01

-0.02

Resposta de deslocamento (a cheio) e das respectivas componenetes harmnicas (a tracejado) .24 Oscilador Linear de 1GL

ImagcA p kA p

m 2 A p P0

t

RealFigura 8 Diagrama de Argand (vectores circulantes) para as componentes das foras presentes na equao de movimento 2.2.2 Oscilador com amortecimento viscoso

A equao do movimento dada por: m + cy + ky = p0 cos t y (2.55)

cuja soluo complementar dada por (2.26) e podendo a soluo particular ser escrita na seguinte forma: yp (t) = Ap cos(t ) (2.56)

As constantes Ap e so determinadas substituindo (2.56) em (2.55). Assim, obtem-se a seguinte equao: m.2 .Ap cos(t ) c..Ap sin(t ) +k.Ap cos(t ) = {z }| {z }| {z } |comp onente real da fora de inrcia comp onente real da fora de amortecimento comp onente real da fora elstica

comp onente real do vector de excitao

P0 cos(t) | {z }

(2.57)

em que as diversas parcelas podem ser identicadas como as projeces num mesmo eixo dos vectores correspondentes s foras envolvidas no equilbrio. Utilizando o plano complexo denido pelo eixo dos reais e pelo eixo dos imaginrios (gura 8), para a representao da eq.(2.57) pode identicar-se o eixo de projeco com o eixo dos reais, j que o resultado ter que ser um valor real. Assim, fcilmente se chega s seguintes relaes: 2 p2 = kAp m2 Ap + (cAp )2 0 tan =c km2

=

q p2 0 Ap = (km2 )2 +(c)2 tan =c km2 n

(2.58)

Utilizando a relao entre a frequncia de excitao e a frequncia prpria = c = 2mn , a primeira das equaes (2.58) pode ser escrita na seguinte forma: Ap = D p0 k

e o factor de amortecimento

(2.59)

1/2 o factor de amplicao dinmica. O ngulo de fase vem dado em que D = (1 2 )2 + (2)2 2 por tan = 1 2 . Tanto o factor de amplicao dinmica como o ngulo de fase podem ser representados em funo da relao de frequncia para diversos valores do factor de amortecimento (ver gura). Para sistemas com fraco amortecimento o factor de amplicao toma valores elevados nas proximidades de = 1 traduzindo assim a situao crtica de ressonncia no sistema. A variao do ngulo de fase , para o caso de fraco amortecimento bastante brusca nas proximidades da frequncia prpria do sistema.Excitao harmnica simples 25

y(t)

D

20.095

7.3890 0 25 50 75

2.718

-5

1 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 beta 1.5

= 0.05 ; = 1; = 1

Amplicao dinmica: = [0.01 ; 0.05; 0.1; 0.2]

Note-se que tanto o factor de amplicao como o ngulo de fase podem ser usados para detectar experimentalmente a frequncia prpria do sistema, desde que seja possvel variar a frequncia da excitao. A soluo da eq.(2.55) ento dada pela soma de (2.26) com (2.56), y(t) = Ac en t cos( D t ) + D ou, o que o mesmo, y(t) = Ac en t cos( D t ) + D2 p0 1 2 cos t + 2 sin t k (2.61) p0 cos(t ) k (2.60)

Nestas equaes as constantes Ac e so calculadas de acordo com as condies iniciais do movimento. Note-se que a primeira parcela, correspondente ao efeito dessas condies inicias, tende para zero com valores crescentes de tempo.A sua importncia depende do tempo decorrido e do amortecimento do sistema, cando apenas a segunda parcela com valores signicativos depois de decorridos alguns ciclos. Esta traduz a resposta estacionria do sistema2 . 2.2.2.1 Exemplo

Considere-se o OL1GL do exemplo em 2.2.1.1 admitindo um factor de amortecimento = 0.02. A equao de movimento dada pela eq.(2.61): y(t) = Ac en t cos( D t ) + em que: r n = 2 )2 1 45 cos (10t ) 2 7000 + (2) q 2 1 2 = 19.996

(1

7000 = 0.5 ; = tan1 = 20rad/s ; = 17.5 n

2 1 2

= 0.02666 ; D = n

obtendo-se a equao: y(t) = Ac e0.4t cos (19. 996t + ) + 0.011 42 cos (10t 0.026 66)

Considerando as condies iniciais dadas por y(0) = 0 e y(0) = 0 obtem-se, para valores das constantes de integrao e Ac , os seguintes valores: 3 = tan1 7. 610 610 = 3.3328 102 0.22827 conduzindo seguinte equao do movimento,2 Nas condies de amortecimento usuais das estruturas de beto armado pode considerar-se que depois de cinco ciclos apenas a parte estacionria da resposta signicativa.

Ac =

1. 141 6102 cos

= 1.1422 102

26

Oscilador Linear de 1GL

a qual se encontra representada na gura seguinte, conjuntamente com cada uma das duas componentes harmnicas que a constituem.y 0.01 0.005 0 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 1.25 2.5 3.75 5 x

y(t) = 1.142 2 102 e0.4t cos 19.996t 3.3328 102 + 0.01142 cos (10t 0.02666)

Resposta de deslocamento (a cheio) e das respectivas componentes harmnicas (a tracejado).

2.2.3

Representao complexa - Funo de Transferncia

A funo de excitao foi considerada no ponto anterior como dada por um cosseno. Adoptando a funo seno para excitao apenas teramos que substituir em (2.56), o cosseno pelo seno. Podemos, por isso, utilizar uma notao mais geral para a equao diferencial de movimento, se considerarmos que a excitao vem dada por uma exponencial complexa, p(t) = p0 (cos t + i sin t) = p0 eit podendo assim tomar apenas a parte real ou a parte imaginria da resposta estacionria dada por: y (t) = yRe + iyIm = Ap cos (t ) + iAp sin (t ) = Ap eit (2.63) (2.62)

com o consequente valor para a constante complexa dado por Ap = Ap ei . Tendo em conta a equao (2.59) esta constante toma a forma Ap = p0 |H(i)| ei = p0 H(i) A funo H(i) designada por Funo de Transferncia3 e pode ser posta na seguinte forma, 1 1/k = m2 + c(i) + k (1 2 ) + i(2) (2.64)

H(i) =

(2.65)

tendo em conta que o ngulo de fase continua a ser dado por: = arctan 2 1 2 (2.66)

3 Esta funo, tal como se encontra aqui denida, relaciona foras e deslocamentos. Na literatura so denidas funes de transferncia que relacionam diversos tipos de quantidades, tais como fora-acelerao, deslocamento da base-acelerao, etc. Para alm da dada no texto a relao mais importante relaciona deslocamentos, velocidades e aceleraes na base com os respectivos

valores totais da massa, e designa-se por transmissibilidade H(i) =

1 T (, ) m2 +c(i)+k

=

(2)2 +1

(1 2 )2 +(2)2

Excitao harmnica simples

27

y

10

7.5

5

2.5

0 0 0.5 1 1.5 x 2

Amplitude (a preto) e ngulo de Fase (a tracejado) da Funo de Transferncia ( = 0.05)

y

10

7.5

5

2.5

0 0 0.5 1 1.5 x -2.5 2

Partes Real (a preto) e Imaginria (a vermelho) da Funo de Transferncia ( = 0.05) A demonstrao da equao (2.65) pode ser feita usando-a para obter a resposta a uma excitao harmnica dada por um cosseno (eq.2.56). Substituindo (2.65) em (2.64) e o resultado em (2.63) podemos pr a soluo da equao de movimento na seguinte forma: y (t) = p0 (1 2 ) i(2) [cos(t) + i sin(t)] k (1 2 )2 + (2)2 (2.67)

Considerando apenas a parte real obtem-se a seguinte equao: p0 2 1 2 yRe (t) = cos(t) + sin(t) k (1 2 )2 + (2)2 (1 2 )2 + (2)2 que pode ser escrita na forma que aparece na equao (2.60), p0 yRe (t) = k " 1 #1 2 cos(t )

(2.68)

ou na forma em que aparece na equao (2.61), yRe (t) =

2 2 1 2 + (2)

(2.69)

(??) encontram-se representados os valores de amplitude k |H(i)| e de fase para um oscilador com 5% de28 Oscilador Linear de 1GL

Pode ainda concluir-se, que o factor de amplicao dinmica atrs denido se encontra relacionado com q 1 a funo de transferncia aqui exposta pela seguinte relao: D = k |H(i)| = . Na gura (1 2 )2 +(2)2

p0 1 1 2 cos(t) + 2 sin(t) k (1 2 )2 + (2)2

(2.70)

m y k c yG ( x) = 0.01sin yG(x)

x3 x

Figura 91 amortecimento. Verica-se que o valor mximo da amplitude de aproximadamente 2 = 10, para = 1, valor este cuja preciso varia com o factor de amortecimento. A funo de transferncia, tal como se encontra denida acima (equao 2.65), relaciona foras e deslocamentos. Podem ser denidas funes de transferncia que relacionam diversos tipos de quantidades, tais como fora-acelerao, deslocamento da base-acelerao, etc. Para alm da dada acima, a funo de transferncia mais importante relaciona deslocamentos, velocidades e aceleraes na base com os respectivos valores totais da massa, e designa-se por transmissibilidade. No quadro seguinte apresentam-se as funes de transferncia 2 complexas (H(i) ou H(i)) bem como o respectivo valor em mdulo (|H(i)| ) para as transformaes de fora exterior aplicada em resposta total (deslocamento, velocidade ou acelerao) do osclilador.

Transformao py py py

H(i)1 m2 +c(i)+k i m2 +c(i)+k 2 m2 +c(i)+k

H(i)1 1 k 1 2 +i2 i n k 1 2 +i2 2 2 n k 1 2 +i2

1 1 k2 (1 2 )2 +(2)2 2 n 2 k2 (1 2 )2 +(2)2 4 4 n k2 (1 2 )2 +(2)2

|H(i)|

2

As transformaes de movimentos na base (yG , yG , yG ), em movimentos da massa, totais (y, y, y ) e relativos base (yR , yR , yR ) esto transcritas nos quadros que se seguem, em termos do respectivo valor em mdulo (|H(i)|2 ). Valores de Resposta Total y y 2 2 2 4 3 2 1+(2)2 2 +(2 ) 4 +(2 ) n (1 2 )2 +(2)2 n (1 2 )2 +(2)2 2 )2 +(2)2 (1 2 2 2 +(2 2 ) 1+(2)2 2 2 (1 2 )+(2) 2 (1 2 )2 +(2)2 2 (1 2 )2 +(2)2 2 +(2) n n 4 2 2 2 +(2)2 1+(2)2 4 +(2 ) 2 n (1 2 )2 +(2)2 n (1 2 )2 +(2)2 (1 2 )2 +(2)2 y Valores de Resposta Relativos base yR yR yR 6 8 4 2 (1 2 )+(2)2 4 (1 2 )+(2)2 2 2 n n (1 2 )2 +(2)2 2 (1 2 )+(2)2 2 n 4 (1 2 )21+(2)2 n2

yG yG yG

yG yG yG 2.2.3.1

4 (1 2 )2 +(2)2 2 2 (1 2 )+(2)2 2 n

2 (1 2 )+(2)2 2 n4 (1 2 )2 +(2)2

6

Exemplo - OL1GL com deslocamentos na base

Considere-se um veculo modelado por um OL1GL (m = 1ton; k = 400KN/m; c = 20KN s/m) que se desloca a velocidade constante num piso inicialmente plano e, seguidamente, ondulado (yG (x) = 0.01 sin x ). Calcular o 3 valor mximo de deslocamento vertical do veculo em funo da velocidade, bem como a resposta do oscilador quando transita da superfcie plana para a superfcie ondulada velocidade de 60km/h. Para que valores de velocidade o deslocamento vertical estacionrio total mximo do veculo inferior a 5 103 m? Resoluo:Excitao harmnica simples 29

As caractersticas do Oscilador so as seguintes: = f = 3.18Hz n = 400 = 20rad/seg = 0.5 Ao se deslocar a velocidade constante o percurso varia linearmente com o tempo pelo que se tem: yG (t) = h sin t = 0.01 sin vt 3 A equao diferencial do movimento dada por: m + c(y yG ) + k(y yG ) = 0 y ou seja, m + cy + ky = cyG + kyG y ou ainda, m + cy + ky = hc cos (t) + hk sin (t) y A acco dinmica que integra a equao anterior pode ser representada num diagrama de Argand semelhante ao da gura 3, do qual se pode facilmente concluir a seguinte representao alternativa da referida aco dinmica, tendo em conta a projeco das foras no eixo real do referido diagrama: q m + cy + ky = (hc)2 + (hk)2 cos (t ) y

A resposta estacionria do oscilador vem dada directamente pela equao 2.69 que, para o presente exemplo, se escreve da seguinte forma: v v u u 2 2 2 u hu (c) + (k) (2) + 1 t y(t) = cos(t ) = ht cos(t ) 2 2 2 2 k 1 2 + (2) 1 2 + (2)2 1 em que arctan = hc = 2 e arctan = 1 2 . hk Para valor mximo de deslocamento em fase estacioria do movimento tem-se, ento, v s u 2 u (2) + 1 2.742 103 v 2 + 1 = 0.01 ymax (v) = ht 2 2 (1 2.742 103 v 2 )2 + 2.742 103 v 2 1 2 + (2)Ymax

equao esta que se encontra representada no grco da gura.

0.0125

0.01

0.0075

0.005 0 12.5 25 37.5 V (m/s) 50

Deslocamento mximo em funo da velocidade q (2)2 +1 , tambm se designa por A parte da equao correspondente ao factor de amplicao, (1 2 )2 +(2)2 Factor de Transmissibilidade, T (, ) e representa a relao entre a amplitude do deslocamento na base e a amplitude do deslocamento vertical total da massa. Note-se, ainda, que esta relao a mesma se em30 Oscilador Linear de 1GL

vez de deslocamentos considerarmos velocidades ou aceleraes totais, j que as amplitudes destas se obtm multiplicando as amplitudes dos deslocamentos por, respectivamente ou 2 . O clculo da resposta do oscilador a partir do momento (t = 0) em que entra na zona ondulada feito a partir da equao (2.60), tendo em conta a no existncia anterior de movimentos verticais do oscilador. Tem-se, ento, para resposta do oscilador, y(t) = Ac en t cos( D t ) + ymax |v=16.7 cos(t 1 2 ) 2 1 2

cujas constantes Ac e so calculadas a partir das condies iniciais de movimento, ( 2 2 2 (deslocamento inicial) y(0) Ac cos() + ymax |v=16.7 cos( 1 +4 2 ) = 0 2(1 ) y(0) Ac [ n cos D sin ] + ymax |v=16.7 sin 1 +4 2 = 0 2(1 ) Ac = 9.4 103 = 1.42532 2 2

(velocidade inicial)

obtendo-se

A equao de movimento incluindo a parte transiente e estacionria , ento a seguinte: y(t) = 0.009e10t cos (17.321t 1.425) + 1.467 102 cos (17.453t 4.805)y

0.01

0.005

0 0 0.25 0.5 0.75 x -0.005 1

-0.01

Respostas transiente (verde), estacionria (azul) e total (preto) Para limitar os deslocamentos estacionrios verticais a 5 mm tem-se a seguinte equao s 2.742 103 v 2 + 1 ymax (v) = 0.01 0.005 2 (1 2.742 103 v 2 ) + 2.742 103 v 2 ou seja, v 45m/s (162km/h). 2.2.3.2 Exemplo - Prtico com aceleraes na base

Considere-se um prtico simples, em que a massa se encontra concentrada ao nvel da travessa com rigidez muito superior aos montantes, sujeito a aceleraes nas fundaes dadas por yG (t) = y0 sin(t), em que y0 = 250cm/s2 . Este sistema estrutural pode ser modelado por um OL1GL (m = 1ton; k = 400KN/m; c = 2KN s/m). Calcular o valor mximo de deslocamento horizontal da travessa do prtico. Qual seria esse valor para um amortecimento c = 10KN s/m Resoluo: As caractersticas do Oscilador so : n = 20rad/s e = 0.05(0.25). A equao diferencial do movimento dada por: m ( + yG ) + cy + ky = 0 y ou seja, m + cy + ky = mG y yExcitao harmnica simples 31

y

Eixo de Referncia

m

k, c yG G t

Figura 10 em que a varivel y representa os deslocamentos relativos e yG (t) = y0 sin(t) as aceleraes na base. A resposta estacionria do oscilador vem dada directamente pela equao 2.69 que, para o presente exemplo, se escreve da seguinte forma: m0 y y(t) = k2

s

2 1 em que arctan = 2n = 2 e arctan = 1 2 . Tendo em conta os valores numricos da acelerao na base n e da frequncia prpria do oscilador tem-se, para deslocamento mximo em funo da relao de frequncias e do amortecimento a seguinte equao:

y0 sin(t ) = 2 2 2 2 n + (2) 1

1

s

1 sin(t ) 2 2 + (2)2 1

ymax (, ) = 6.25 10

4

s

cuja representao grca para os dois valores de amortecimento = 0.05 e = 0.25 feita na gura seguinte.beta 0.006738 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

1

1 2 2

+ (2)2

0.004087

0.002479

0.001503

0.0009119

0.0005531 Ymax

Deslocamento mximo da travessa do prtico para = 0.05 e = 0.25.

Os valores mximos de deslocamento so dados por 32

ymax ()|=0.05 = 6.3 103 m ymax ()|=0.25 = 1.3 103 m

para para

= 0.998 = 0.935Oscilador Linear de 1GL

Atente-se a que os valores mximos no se atingem para = 1. Neste exemplo ter-se-ia, para valores mximos calculados com base em = 1 os seguintes valores e respectivo erro: 2.2.4 ymax ( = 1)|=0.05 = ymax ( = 1)|=0.25 =1 2 6.25 1 2 6.25

104 = 6.25 103 m 104 = 1.25 103 m

erro de 0.8% erro de 0.4%

Identicao das caractersticas dinmicas do oscilador

O uso da vibrao livre dos sistemas vibratrios para a identicao das caractersticas dinmicas frequncia natural e amortecimento foi j abordada aquando do estudo da vibrao livre. tambm possivel utilizar a resposta a uma excitao harmnica para proceder a essa identicao. Um dos mtodos mais frequentemente usados consiste na excitao da estrutura atravs de uma mquina rotativa excntrica, a qual capaz de produzir uma excitao harmnica em vrias frequncias, sendo registadas as amplitudes da excitao e da resposta estacionria. Como se pode deduzir das eq.(2.63) e (2.64) a razo entre a amplitude da excitao e da resposta dada pela funo de frequncia H(i). Da anlise da representao grca da parte imaginria e parte real, ou em alternativa, da amplitude e da fase possvel estimar o valor da frequncia prpria e do amortecimento viscoso (guras ?? e ??). Para o clculo do factor de amortecimento a partir da funo de transferncia pode ser usado o mtodo da meia-potncia. Este mtodo baseia-se no facto de a largura do pico no diagrama das amplitudes |H(i)| se poder relacionar directamente com o factor de amortecimento . Para o efeito calcula-se o factor de amortecimento usando a largura do pico espectral nos pontos correspondentes ao valor mximo da resposta dividido por 2, ou seja, o valor dado por: max[y()] p0 |H(i)|=1 1 p0 1 ' = 2 2 2 k 2 (2.71)

Aos pontos do espectro de resposta cujo valor dado por esta expresso correspondem dois valores de , 1 e 2 , cujos valores so calculados resolvendo a seguinte equao: 1 2 1 p 1 p0 1 0 = 2 2 k (1 ) + (2)2 2 k 2 (2.72)

Elevando ao quadrado ambos os membros e desprezando os termos em 2 obtm-se os quadrados das razes dados por: 2 1 = 1 2 (2.73) 2 = 1 + 2 2 Tendo em conta a expanso em srie binomial dada por:1 1 i = (1 2) 2 = 1 (2) . . . 2

(2.74)

e considerando apenas os dois primeiros termos, fcilmente se conclui que: 2 1 ' (1 + ) (1 ) = 2 o que nos permite calcular o factor de amortecimento viscoso pela expresso ' 2 1 2 (2.76) (2.75)

Esta uma expresso simples para o clculo do amortecimento mas que envolve a determinao, com elevado grau de preciso, da curva de resposta em frequncia na zona de ressonncia, o que se revela normalmente bastante moroso. Este procedimento ilustrado na gura seguinte.Excitao harmnica simples 33

10

ymax

8

6 D 4ymax 2

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

2

1.2

1.4

Figura 11

Figura 12 Congurao tpica de Acelermetros frequentemente usados.

m y(t) k c yG(t)Figura 13 Modelo de 1GL para o acelermetro.

34

Oscilador Linear de 1GL

2.2.5

Aparelhos de medida - acelermetros e sismgrafos

Os sensores usados para medir vibraes baseiam-se no OL1GL. A medio efectua-se atravs da converso em sinal elctrico da vibrao de uma massa relativamente ao invlucro do sensor. Essa converso feita, nos sistemas recentes, por um cristal piezoelctrico que funciona como uma mola elstica e emite um sinal elctrico proporcional deformao sofrida (ver gura ) .. . A equao diferencial que rege a vibrao relativa da massa, y(t); y(t); y(t) , quando, ao invlucro do sensor .. solidrio com a estrutura a medir, imposta uma acelerao harmnica dada por y G (t) = y0 sin(t) escreve-se da seguinte forma: m + cy + ky = mG y y em que as caractersticas do sensor [m, c, k] so estabelecidas pelo fabricante. A resposta em frequncia do sensor, ou seja, o valor mximo relativo de deslocamento da massa a vibraes harmnicas de frequncia do invlucro, vem dado por k D ymax = m |H(i)| y0 = 2 |H(i)| y0 = 2 y0 n n Conclui-se, assim, que, a menos de uma constante prpria do sensor, os deslocamentos, e por conseguinte o sinal elctrico do sensor, fornecem directamente a acelerao do ponto da estrutura em que este colocado. Da gura seguinte, que representa a amplicao dinmica de um acelermetro para vrios amortecimentos, pode concluir-se que, se a frequncia prpria do sensor for sucientemente alta a sua resposta linear, ou seja, a amplicao unitria. Nessa gama de frequncias, a acelerao medida dada por yG (t) = 2 y(t), sendo y(t) n o sinal medido pelo cristal piezoelctrico.

1

0.8825 y

0.7788

0.6873

0.6065

0.5353 0.01832 0.04979 0.1353 x 0.3679 1

Tericamente seria possvel medir aceleraes at frequncias muito prximas de zero. Na prtica isso depende da sensibilidade do acelermetro e da cadeia de medio, dado que o sinal emitido pelo acelermetro tem de ser amplicado. Sinais muito fracos so, no entanto, sensveis ao rudo elctrico inerente aos aparelhos de medida, o que diculta a sua posterior anlise. A principal vantagem dos medidores de aceleraes a sua pequena massa e dimenses, o que os torna muito versteis para utilizao tanto em pequenos modelos estruturais como em grandes prottipos. Os sismmetros ou sismgrafos so aparelhos de medida semelhantes aos acelermetros, mas em que o objectivo medir deslocamentos em vez de aceleraes. Se tivermos em considerao o deslocamento yG (t) = .. y0 sin(t) e, por conseguinte a segunda derivada y G (t) = 2 y0 sin(t), podemos concluir que a amplitude de .. acelerao vem dada por y 0 = 2 y0 . Substituindo na equao anterior obtem-se: v u 2 u 4 k ymax = 2 |H(i)| 2 y0 = 2 Dy0 = y0 t 2 n n 1 2 + (2)2 A relao ymax /y0 encontra-se representada na gura seguinte, podendo concluir-se que toma valores pratica mente constantes e iguais unidade para relaes de frequncia = n altas. Pode pois concluir-se que os 1 acelermetros com frequncia prpria inferior a cerca de 10 da frequncia do sinal a medir funcionam como sismmetros. este tipo de transdutores apresenta massa bastante elevada, o que os impede de serem usados emExcitao harmnica simples 35

situaes em que seja difcil de os ligar estrutura ou em que a sua massa possa inuenciar os resultados, como o caso de pequenas estruturas ou modelos estruturais.

1

0.8825

0.7788

0.6873

0.6065

0.5353 1 1.649 2.718 4.482 7.389 12.18 20.09 Beta 33.12

Relao ymax /y0 de um acelermetro para diferentes amortecimentos ( = 0.6; = 0.67; = 0.7; = 1.0)

2.32.3.1

Resposta do oscilador a um impulsoResposta a impulsos de durao innitesimal

A resposta de um OL1GL sujeito a uma excitao de impulso de durao td , cuja intensidade dada por Rt I = 0 d p(t)dt, regido pela seguinte equao diferencial de movimento p(t) para 0 t td m + cy + ky == y 0 para t > td (2.77)

td 0

No caso da durao do impulso tender para zero admitindo que o impulso mantem um valor nito, I = Rt lim 0 d p(t)dt, a funo p(t) pode ser relacionada com a funo de Dirac (t), escrevendo-se p(t) = I(t). A soluo da equao diferencial de movimento, m + cy + ky = I(t) y (2.78)

continua a ser dada, tal como no caso da excitao harmnica, pela soma das solues complementar e particular: y(t) = Bc en t cos( D t ) + yp (t) (2.79)

em que a primeira parte, correspondente vibrao livre, tem a mesma forma da eq.(2.60). Supondo que o sistema est em repouso imediatamente antes da aplicao do impulso, a constante Bc pode ser considerada nula. Imediatamente a seguir ao impulso a massa adequire um valor de quantidade de movimento igual ao impulso, no havendo no entanto ainda tempo para que possa haver deslocamento. Em seguida o sistema permanece sem excitao, ou seja, a resposta do oscilador livre obedecendo s condies iniciais seguintes: yp (0) = 0 De acordo com as consideraes feitas a resposta forada yp (t) ter a mesma forma que a resposta livre yp (t) = Bp en t cos( D t )36

m

dyp dt

(2.80)

t=0

=I

(2.81)Oscilador Linear de 1GL

P(t)

P0

P(t ) = p 0 sin t

tFigura 14 Impulso sinusoidal com as condies de fronteira dadas por (2.80), ou seja, yp (0) = Bp cos = 0 = (2 1) com = 1, 2, 3, . . . 2 dyp I I =m Bp = (1)(+1) mD dt t=0

(2.82)

Para resposta total, e tendo em conta que o sistema est em repouso antes da introduo do impulso, obtem-se: h i I y(t) = (1)(+1) en t cos D t (2 1) com = 1, 2, . . . (2.83) m D 2 ou, simplicando, I en t sin D t m D

y(t) = Para o caso de impulso unitrio a funo h(t) =

(2.84)

1 n t e sin D t m D

(2.85)

caracterstica do OL1GL representando a sua resposta ao impulso unitrio no domnio do tempo. Esta representao contrape-se representao da resposta no domnio da frequncia representada pela funo H(i) em (2.65). Demonstra-se que H(i) a transformada de Fourier de h(t), Z 1 h(t)eit dt (2.86) H(i) = 2 2.3.2 Resposta a impulsos de durao nita

As aces do tipo transiente aplicadas aos sistemas podem ser modeladas, em geral, atravs de funes de carga com valores no nulos num perodo de tempo nito. A resposta do sistema tem necessriamente que reectir a forma do impulso, o que no acontece na eq.(2.84) j que a foi considerado um impulso de durao innitesimal. Por outro lado o amortecimento tem, em geral, muito menor importncia no controle da resposta mxima do sistema a este tipo de excitao transiente, j que o valor mximo se atinge num tempo muito curto, antes das foras de amortecimento poderem absorver quantidades apreciveis de energia. Para ilustrar a aplicao ao clculo da resposta do oscilador a impulsos de durao nita vamos seguidamente estudar o caso do impulso ter uma forma sinusoidal. A resposta pode ser apresentada para dois perodos distintos (g.14): Resposta excitao dada por p(t) = p0 sint para o perodo de tempo 0 t t1 Resposta livre do sistema para t > t1Resposta a um impulso 37

Na resposta forada necessrio considerar tanto a parte transiente como a estacionria. Supondo que o amortecimento nulo obtem-se da eq.(2.51) a resposta total do sistema: y(t) = p0 1 sin t + A1 cos n t + A2 sin n t k 1 2 (2.87)

Utilizando as condies iniciais correspondentes ao repouso para t = 0 teremos para valores das constantes: A1 = 0 (2.88) 1 A2 = p0 1 2 k Substituindo (2.88) em (2.87) obtem-se nalmente a resposta do sistema para o perodo de tempo 0 t t1 : y(t) = p0 1 (sin t sin n t) k 1 2 (2.89)

Os valores da eq.(2.89) e da sua derivada calculados para t = t1 fornecem as condies iniciais, y(t1 ) e y(t1 ), para a resposta livre do sistema para o perodo de tempo t t1 . Esta resposta dada pela eq.(2.15), ou seja, y(t) = y(t1 ) cos n (t t1 ) + y(t1 ) sin n (t t1 ) n (2.90)

Em geral, apenas o valor mximo da resposta pretendido, o qual, ocorrendo para t t1 , pode ser calculado pela seguinte expresso: dy p0 1 ( cos t cos n t) (2.91) =0= dt k 1 2 donde se obtem: (2.92) t = n t 2 com = 0, 1, 2, 3, . . . O valor de t daqui decorrente vlido apenas no caso de 0 t t1 , em que a eq.(2.89) vlida, ou seja para t como a seguir se demonstra: t t1 t t1 t De (2.92) tem-se que t n t = 2 t = 2 1 1 (2.94) 2 t1 t 2t1 (2.93)

Para o caso de nos aproximarmos da ressonncia com 1 teremos de usar o sinal positivo do denominador 2 e = 1 para podermos cumprir a eq.(2.93). Substituindo ento t = 1+ 1 na eq.(2.89) teremos: " ! !# p0 1 2 1 2 ymax = sin sin (2.95) 1 1 k 1 2 1+ 1+ Particularizando esta expresso para o caso de t1 . n = 3 , o valor da amplio dinmica D = 4 ser calculado da seguinte maneira): 2 n 2 = 3 = 3 = n 2t1 3 4T 4 .2 p0 2 2 1 3 2 = sin sin k 1 ( 2 )2 3 21+ 3 1+ 3 3 2 2 ymax D= = 1.77 p0 /k =ymax (t) p0 /k

pode

ymax

Deste exemplo pode-se concluir que, para a actuao de um impulso sinusoidal de durao igual a 3 do 4 perodo prprio do oscilador, o deslocamento mximo pode ser obtido multiplicando o deslocamento esttico gerado pelo valor mximo da aco ( P0 ) pelo factor de amplicao dinmica D. k Naturalmente, possvel construir grcos, designados por espectros de resposta, que relacionem o factor D com a durao do impulso t1 t1 n para diversos tipos de impulsos (sinusoidal, triangular, trapezoidal, T rectangular, etc.). Para informao adicional consultar [1].38 Oscilador Linear de 1GL

2.4

Resposta do oscilador a excitao geral

Tal como foi j sugerido anteriormente, possivel caracterizar o oscilador atravs de uma das funes h(t) ou H(i), respectivamente, no domnio do tempo ou no domnio da frequncia. Estas funes podem ser vistas como a resposta do oscilador a excitaes elementares constitudas, respectivamente, por um impulso de valor unitrio e por uma funo harmnica simples de amplitude unitria. Admitindo vlido o princpio da sobreposio de efeitos, possvel calcular a resposta do oscilador a uma excitao qualquer, p(t), dada atravs de uma soma daquelas funes elementares. De facto, dada uma funo de excitao p(t) sempre possvel reproduzi-la atravs de uma soma de impulsos, Z + p(t) = p( )(t)d (2.96)

em que (t) a funo Dirac, ou atravs de uma soma de funes harmnicas, p(t) =+ X

Cj eij t2j Tp

(2.97) e os coecientes complexos Cj (2.98)

j=

em que j um multiplo do inverso do perodo da funo de carga, j = so dados por, Z + 1 Cj = p(t)eij t dt Tp

A equao (2.97) representa uma Srie de Fourier complexa e os coecientes Cj os respectivos coecientes complexos de Fourier. Note-se que s possvel fazer uma representao atravs de srie de Fourier de funes peridicas. Para contornar o problema, tratando-se de funes de carga transientes de durao T , pode admitirse cticiamente que a funo se repete em cada perodo Tp 2T . Estas duas formas de decompor qualquer funo de excitao conduzem respectivamente anlise no domnio da frequncia e anlise no domnio do tempo. 2.4.1 2.4.1.1 Anlise no domnio da frequncia Expanso em srie de Fourier real

A resposta no domnio da frequncia pode ser calculada, no caso da histria de carga ser peridica, ou seja, se se vericar que p(t + Tp ) = p(t), em que Tp o perodo da excitao, expandindo a histria de carga em srie de Fourier dada pela eq. (2.97). Recordando que eij t = cos j t + i sin j t e tendo em conta4 que Cj o j , a aco pode ser dada pela seguinte equao: complexo conjugado de C p(t) = a0 + X j=1

[aj cos (j t) + bj sin (j t)]

(2.99)

em que os respectivos coecientes de Fourier, a0 , aj , bj , so calculados da seguinte forma: R a0 = 1 Tp p(t)dt Tp 0 RT 2 aj = Tp 0 p p(t) cos (j t) dt bj = 2 R Tp p(t) sin (j t) dtTp 0

(2.100)

Note-se que, embora a expanso em srie seja feita com um nmero innito de termos, na prtica conseguemse muito boas aproximaes com relativamente poucos termos da srie. A resposta estacionria do OL1GL dada pela sobreposio do deslocamento esttico a0 e das respostas a k cada um dos termos do somatrio da equao (2.99):4A

prova ser dada no ponto seguinte, aquando da anlise da forma complexa das sries de Fourier.

Resposta a excitao geral

39

P(t)

P(t) P0

P0 a0tp Tp 2T p

t

T p 2

t p 2

tp 2

Tp 2

t

Figura 15 Sequncia de impulsos triangulares

y(t) =

O mdulo da funo de transferncia |H(ij )| e o ngulo de fase so, respectivamente, q 1 |H(ij )| = k (1 2 )21 +(2 )2j j

X a0 X |H(ij )|aj cos(j t j ) + |H(ij )|bj sin(j t j ) + k j=1 j=1

(2.101)

(2.102)

tan j =

2 j 1 2 j

Tendo em conta estas expresses e a equao (2.70), a eq.(2.101) pode ser posta na seguinte forma alternativa (ver tambm eq.2.68): P y(t) = a0 + k|H(ij )|2 aj (1 2 ) bj (2 j ) cos(j t)+ j j=1 k (2.103) + bj (1 2 ) aj (2 j ) sin(j t) j 2.4.1.2 Exemplo - Resposta do OL1GL a uma sequncia de impulsos triangulares Para exemplicar a aplicao da expanso em srie de Fourier real considere-se a sequncia de impulsos triangulares da gura 15. O clculo dos coecientes de Fourier relativos a esta excitao pode ser simplicado se considerarmos um sistema de eixos tal que possa haver simetria da funo de excitao relativamente a t = 0. Neste caso os coecientes bj so nulos, pois seriam dados pelo integral do produto de uma funo simtrica com uma antisimtrica. Assim teremos apenas de calcular o valor dos coecientes aj da seguinte forma: Z Tp /2 1 p0 tp a0 = p(t)dt = Tp Tp /2 2Tp Z Tp /2 2 aj = p(t) cos(j t)dt Tp Tp /2 Z 0 Z tp /2 2 2p0 2 2p0 aj = t cos (j t) dt + t cos (j t) dt p0 + p0 Tp tp /2 tp Tp 0 tp 4 aj = Tp em que j =t j Tp . p

ou, simplicando,

Z

tp /2

0

2p0 cos j 1 t cos(j t)dt = 2p0 p0 tp jj

40

A funo de carga ento dada por (2.99): t X 1 cos j p p(t) = p0 + 2 cos j t 2Tp jj j=1

Oscilador Linear de 1GL

mostrando-se, na gura seguinte, o andamento dos coecientesy 0.2

1cos j jj

com

tp Tp .

0.15

0.1

0.05

0 0 0.25 0.5 0.75 x 1

Variao dos primeiros trs coecientes de Fourier com No caso particular de Tp = 2tp podemos obter a seguinte equao, 1 X 1 cos 1 j t 2 p(t) = p0 + 4 cos 2j 4 j=1 2 j 2 Tp

tp Tp .

Na gura seguinte mostra-se o andamento de p(t) em funo de Ttp para as trs primeiras harmnicas, bem p0 assim como o aspecto da funo dada por trs harmnicas e por 50 harmnicas:

Note-se que com trs harmnicas j se tem uma boa aproximao.Na gura seguinte mostra-se o andamento5 1cos 1 j 2 dos coecientes de Fourier aj = 4 2 j 2 em funo de j:

Para o clculo da resposta do OL1GL utilizada a eq.(2.103) donde se obtem a seguinte equao: y(t) = a0 X k|H(ij )|2 aj (1 2 ) cos(j t) (2 j ) sin(j t) + j k j=1

e, substituindo os valores de a0 e aj , tem-se a resposta do oscilador. Particularizando para o caso de = 0.05, Tp = 2tp = 0.5s, n = 4 tem-se, para o deslocamento esttico e para as trs primeiras harmnicas: j j j j =0 =1 =2 =3k p0 y0 (t) k p0 y1 (t) k p0 y2 (t) k p0 y3 (t)

= .25 = 4.0528 sin 12.566t = 2.2416 102 (3.0 cos 25.133t .2 sin 25.133t) = 7.0262 104 (8.0 cos 37.699t .3 sin 37.699t)

No grco seguinte, em que se mostram as harmnicas calculadas, pode vericar-se que, dado a frequncia de excitao na primeira harmnica ser semelhante frequncia prpria do oscilador, a resposta correspondente a essa harmnica muito superior correspondente s harmnicas superiores. Por esse motivo poder-se-ia usar, com boa aproximao, apenas a primeira harmnica.5 Note-se que os valores de a s so denidos para valores inteiros de j, pelo que, no grco apresentado, s esses valores j interessam.

Resposta a excitao geral

41

y

4

2

0 0 0.5 1 1.5 x 2

-2

-4

Trs primeiras harmnicas da resposta de deslocamento do exemplo. 2.4.1.3 Expanso em srie de Fourier complexa

Substituindo estas relaes nas expresses (2.99) e (2.100) e tendo em conta que Cj = seguinte resultado: X p(t) = Cj eij tj= Tp

expanso em srie de Fourier pode ser dada uma forma exponencial se forem utilizadas as seguintes relaes obtidas a partir da equao de Euler: sin x = 1 i eix eix 2 (2.104) cos x = 1 eix + eix 2(aj ibj ) , 2

obtem-se o

(2.105)

em que

1 Cj = Tp

Z

p(t)eij t dt

(2.106)

0

A resposta do OL1GL vem ento dada atravs da eq.(2.64): y (t) = X

Cj H(ij )eij t

(2.107)

j=

Tome-se como exemplo de aplicao a representao complexa da excitao do exemplo do ponto anterior e a respectiva resposta do OL1GL. Os coecientes complexos de Fourier so dados pela equao Z tp /2 Z tp /2 Z tp /2 1 1 1 Cj = p(t)eij t dt = p(t) cos(j t) i p(t) sin(j t)dt Tp tp /2 Tp tp /2 Tp tp /2 {z } |=0

que se pode tambm escrever na seguinte forma: ( a cos j 1 Cj = 2j = p0 jj para j 6= 0 p0 tp C0 = a0 = 2Tp

Usando a eq.(2.107), a resposta do OL1GL pode ento escrever-se sucessivamente da seguinte forma: y (t) = 421 X 1 X1 a0 + aj H(ij )eij t + aj H(ij )eij t k 2 2 j= j=1

Oscilador Linear de 1GL

Utilizando a denio dada anteriormente (2.65) para a funo de transferncia conjuntamente com a igualdade de Euler (2.11), obtem-se: H(ij ).eij t =1 2 2 j j cos(j t) + (1 2 )2 +(2 )2 sin(j t) + (1 2 )2 +(2 j )2 j j j i h 1 2 2 j j 1 +i k (1 2 )2 +(2 )2 sin(j t) (1 2 )2 +(2 )2 cos(j t) j j j j 1 k

X X a0 1 y (t) = aj H(ij )eij t + aj H(ij )eij t + k 2 j=1 j=1 h

(2.108)

i

(2.109)

A equao anterior pode, tambm ser escrita na seguinte forma: H(ij ).eij t = |H(ij )|2 (1 2 ) cos j t + 2 j sin j t + j +i (1 2 ) sin j t 2 j cos j t j

(2.110)

em que o asterisco representa o complexo conjugado. Substituindo a eq.(2.111) em (2.108) obtem-se a resposta do oscilador: y(t) yRe (t) = 2.4.1.4

Fcilmente se conclui da eq.(2.110), substituindo j por j e tendo em conta que aj = aj e j = j , a seguinte relao: H(ij ).eij t = H(ij )eij t (2.111) a0 X aj |H(ij )|2 (1 2 ) cos(j t) + (2 j ) sin(j t) + j k j=1

Excitao no peridica - Integral de Fourier

Nos casos analizados anteriormente admitiu-se que a excitao era peridica. Da que no espectro da excitao (representao no eixo das frequncias) se obtenham valores apenas em determinadas frequncias correspondentes aos mltiplos do perodo da excitao, ou seja, periodicidade da funo no domnio do tempo corresponde uma discretizao no domnio da frequncia. O contrrio tambm vlido, ou seja, discretizao no domnio do tempo corresponde uma periodizao no domnio da frequncia. No caso da excitao no ser peridica ainda possvel fazer a sua representao no domnio da frequncia. Para isso utiliza-se a transformada de Fourier ou integral de Fourier que se obtem da srie de Fourier considerando que a funo a transformar possui um perodo innito. Partindo das equaes (2.105) e (2.106) podemos reescrever a primeira delas da seguinte maneira, p(t) = para o que se utilizou a seguinte notao: 2 C(ij ) = Tp .Cj = Cj Desta forma, a segunda das equaes pode ser reescrita da seguinte maneira: C(ij ) = ZTp /2 1 X C(ij )eij t 2 j=

(2.112)

(2.113)

p(t).eij t dt

(2.114)

Tp /2

Resposta a excitao geral

Fazendo o perodo Tp tender para innito verica-se que tender para d, o somatrio em (2.112) passa a integral e a varivel j passa a ser uma varivel contnua . O par de equaes (2.112) e (2.113)pode, ento, escrever-se da seguinte forma: R 1 p(t) = 2 C(i)eit d (2.115) R C(i) = p(t)eit dt43

Ao par de equaes (2.115) d-se o nome de Transformao de Fourier. C(i) a transformada de Fourier da funo p(t), e esta a transformada inversa de C(i). Prova-se que a representao de uma funo pela sua transformada de Fourier s possvel se Z |p(t)|dt < (2.116)

Para se obter a resposta do OL1GL a uma excitao qualquer p(t) pode calcular-se em primeiro lugar a transformada de Fourier C(f ) da excitao, utilizando seguidamente a expresso (2.64) para calcular a resposta, Z y(t) = (2.118) H(f ).C(f ).ei2f t df

e se p(t) satiszer as condies de Dirichlet, as quais so vericadas pela maior parte das funes sicamente realizveis tais como aces, deslocamentos, esforos, etc. frequente substituir-se a frequncia angular, , pela frequncia f = 2 . Neste caso as equaes(??) podem ser escritas na seguinte forma: R p(t) = C(f )ei2f t df (2.117) R C(f ) = p(t)ei2f t dt

ou seja de forma mais abreviada, y(t) =

1 em que Y (f ) = k H(f ).C(f ) a resposta estacionria no domnio da frequncia6 e

Z

Y (f ).ei2f t df

(2.119)

H(f ) =

1/k (1 ) + i(2)2

(2.120)

Como exemplo de aplicao calcule-se a resposta do OL1GL a um impulso rectangular de valor p0 e durao tp . A transformada de Fourier da excitao dada por C(f ) = Z

p0 ei2f t dt =

Z

tp 0

p0 ei2f t dt =

Na gura seguinte mostra-se a parte imaginria (linha a tracejado) e a parte real (linha a cheio) para tp = 1seg e p0 = 1kNy 1

ip0 i2f tp 1 e 2f

(2.121)

0.75

0.5

0.25 0 -5 -2.5 -0.25 0 2.5 x 5

-0.5

Componentes real e imaginria da transformao de Fourier de uma funo constante unitria para 0 t 1seg. No caso de se diminuir o tempo de actuao e aumentar o valor da carga aumenta-se a banda de frequncias R em que se tem uma energia importante. No limite, quando se tem um impulso I = p0 dt concentrado

6 A equao que permite calcular a resposta estacionria no domnio da frequncia aparece mais frequentemente como o produto da funo de transferncia pela transformada de Fourier da aco, Y (f ) = H(f ).C(f ). O facto de neste caso aquele produto ser dividido pela rigidez k advem da forma adimensional como foi denida a funo de transferncia no ponto 2.2

44

Oscilador Linear de 1GL

em t = 0, a parte imaginria anula-se e a parte real toma um valor constante igual a p0 em toda a banda de frequncias f . A este tipo de excitao d-se o nome de rudo branco por conter todas as frequncias com igual energia. Na gura seguinte mostra-se a parte imaginria (linha a tracejado) e a parte real (linha a cheio) para tp = 0.1seg e p0 = 10kN

y

1

0.75

0.5

0.25 0 -5 -2.5 -0.25 0 2.5 x 5

-0.5

Componentes real e imaginria da transformao de Fourier de uma funo constante para 0 t 0.1seg. No caso de se aumentar o tempo de actuao e diminuir o valor da carga diminuise a banda de frequncias em que se tem uma energia importante. Na gura seguinte mostra-se a parte imaginria (linha a tracejado) e a parte real (linha a cheio) para tp = 10seg e p0 = 0.1kN

y

1

0.75

0.5

0.25 0 -2 -1 -0.25 0 1 x 2

-0.5

Componentes real e imaginria da transformao de Fourier de uma funo constante para 0 t 10seg. Para o clculo da resposta estacionria no domnio da frequncia usa-se o produto da funo de transferncia pela transformada de Fourier da excitao, 1 ip0 i2f tp 1 Y (f ) = H(f )C(f ) = 1 e 2 k (1 ) + i(2) 2f (2.122)

Esta propriedade multiplicativa das funes no domnio da frequncia tem sido explorada com o advento de mtodos rpidos de tranformao numrica de Fourier, e que veremos mais adiante. Note-se que, se a excitao fr um impulso a resposta do mesmo tipo da funo de transferncia. A transformada inversa de Fourier da equao (2.122) pode ser feita analiticamente para se obter a resposta no domnio do tempo [1]. A resposta total do sistema, transiente e estacionria, dada pela seguite equao: y(t) = Ac en t cos ( D t ) + Z

Y (f )ei2f t df

(2.123)

em que as constantes Ac e so calculadas para as condies iniciais do movimento.Resposta a excitao geral 45

Figura 16 a)excitao qualquer;b)resposta do OL1GL ao impulso innitesimal 2.4.2 Anlise no domnio do tempo

A resposta do OL1GL a um impulso unitrio dada pela eq.(2.84): h(t) = 1 n t e sin D t m D (2.124)

Tendo em ateno que qualquer excitao pode ser idealizada como uma sequncia de impulsos innitesimais (gura 16), a resposta innitesimal correspondente ao impulso dI = P ( )d que actua no instante t = ser dada por P ( )d n (t ) e sin [ D (t )] p