DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS E DOS CORPOS RÍGIDOS

I. Cabrita Neves Setembro de 2005

2

Índice 1 Momento linear de um sistema de partículas ............................................................... 3 2 Teorema do movimento do centro de massa ............................................................... 3 3 Princípio da Conservação do Momento Linear............................................................. 6 4 Princípio do Trabalho-Energia ou Teorema das Forças Vivas ..................................... 7 5 Princípio da conservação da energia............................................................................ 8 6 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ou Teorema da Impulsão.............. 9 7 Teorema do momento angular de um sistema de partículas em relação a um ponto

fixo O........................................................................................................................... 10 8 Teorema do momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro

de massa G................................................................................................................. 11 9 Momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa,

expresso em termos das velocidades relativas de cada partícula em relação ao centro de massa.......................................................................................................... 12

10 Princípio da conservação do momento angular ......................................................... 13 11 Princípio do impulso angular e momento angular ou teorema da impulsão para

momentos angulares................................................................................................... 13 12 Momento angular de um corpo rígido em relação a um ponto fixo O ........................ 14 13 Momento angular de um corpo rígido em relação ao seu centro de massa .............. 16 14 Energia cinética de um corpo rígido animado de movimento de rotação em torno de

um ponto fixo O........................................................................................................... 17 15 Expressão geral da energia cinética de um corpo rígido............................................ 18 16 Equações do movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo O. Equações

de Euler ....................................................................................................................... 20 17 Movimento de um corpo rígido em torno de um eixo fixo........................................... 21 18 Movimento plano de um corpo rígido.......................................................................... 22 19 Equações gerais do movimento de um sistema de partículas e de um corpo rígido . 23 ANEXO I................................................................................................................................... 24 Derivada em ordem ao tempo de um vector escrito num referencial animado de movimento de rotação ................................................................................................................................ 24 ANEXO II.................................................................................................................................. 26 CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO ........................................................................................ 26 II.1 Movimentos instantâneos de um corpo rígido ................................................................... 26 II.2 Fórmula de propagação de velocidades dos pontos de um corpo rígido.......................... 26 II.3 Fórmula de propagação de acelerações dos pontos de um corpo rígido ......................... 27

3

1 Momento linear de um sistema de partículas Considere-se uma partícula de massa m animada de uma velocidade v

r. Designa-se

por momento linear ou quantidade de movimento da partícula o vector pr

dado por vmp

rr= (1)

O momento linear de um sistema de n partículas será a soma dos momentos lineares de cada uma delas

∑∑==

==n

iii

n

ii vmpp

11

rrr (2)

sendo im a massa da partícula i e iv

r a respectiva velocidade.

Da definição de vector de posição do centro de massa de um sistema de partículas, sabe-se que

∑=

=n

i

ii OAmOGM1

(3)

sendo iOA o vector de posição da partícula i relativamente a um referencial de origem num ponto O e M a massa total do sistema. Derivando ambos os membros desta equação em ordem ao tempo, vem

∑=

=n

i

ii dt

OAdm

dtOGd

M1

(4)

∑=

=n

iiiG vmvM

1

rr (5)

pelo que o momento linear de um sistema de partículas se pode escrever

G

n

iii vMvmp

rrr== ∑

=1

(6)

2 Teorema do movimento do centro de massa A 2ª Lei de Newton, aplicada ao movimento de uma partícula de massa m sujeita à acção de um conjunto de forças de resultante R

r, é uma relação vectorial que

estabelece o paralelismo entre esta resultante Rr

e a aceleração ar

que a partícula adquire.

4

amR

rr= (7)

A aceleração a

r tem a mesma direcção e o mesmo sentido que a resultante R

r, e a sua

intensidade é proporcional à intensidade de Rr

, sendo a massa m a constante de proporcionalidade. De duas partículas com massas distintas sujeitas ao mesmo conjunto de forças adquirirá maior aceleração a que tiver menor massa, e inversamente. A que tiver maior massa oferecerá maior resistência a modificar o estado de repouso ou de movimento em que se encontre. De um sistema constituído por n partículas tomemos a partícula genérica i, de massa mi , localizada no ponto Ai . Esta partícula estará sujeita a um conjunto de forças cuja resultante designaremos por iF

r (Fig. 1).

Fig. 1 A aplicação da 2ª lei de Newton a esta partícula do sistema resulta em iii amF

rr= (8)

representando por ia

r a sua aceleração.

As forças que actuam na partícula i ou são exercidas por outras partículas do sistema, e chamam-se forças interiores, ou são exercidas por partículas exteriores ao sistema, e designam-se por forças exteriores. Designando por int

iFr

a resultante das forças

interiores que actuam na partícula i e por extiF

r a resultante das forças exteriores, temos

ii

extiii amFFF

rrrr=+= int (9)

Podemos escrever uma equação deste tipo por cada uma das n partículas que constituem o sistema, e se as somarmos todas membro a membro virá

∑ ∑ ∑= = =

=+n

i

n

i

n

iii

extii amFF

1 1 1

int rrr (10)

Mas, pelo Princípio da acção e reacção, as forças de inter-acção entre quaisquer duas partículas são iguais e opostas, pelo que

iFr

1Fr

2F

r

mFr

Ai mi

5

∑=

=n

iiF

1

int 0r

(11)

e a Eq. 10 transforma-se em

∑∑==

=n

iii

n

i

exti amF

11

rr (12)

Por outro lado, derivando ambos os membros da Eq. 5 em ordem ao tempo, vem

∑=

=n

i

ii

G

dtvd

mdtvd

M1

rr (13)

∑=

=n

iiiG amaM

1

rr (14)

em que Ga

r representa a aceleração absoluta do centro de massa do sistema de

partículas e iar

a aceleração absoluta da partícula i , se O for um ponto fixo. Substituindo a Eq. 14 na Eq. 12, fica

G

n

i

exti aMF

rr=∑

=1

(15)

Esta equação traduz a expressão vectorial do chamado Teorema do Movimento do Centro de Massa, o qual se pode enunciar da seguinte forma: O centro de massa de um sistema de partículas move-se como se moveria uma partícula onde se concentrasse a massa total do sistema e que estivesse actuada por uma força igual à soma de todas forças exteriores que actuam no sistema de partículas. É evidente que, não tendo sido dito nada quanto ao número de partículas que constituem o sistema, a Eq. 15 aplicar-se-á também aos sistemas em que a massa se distribui de forma contínua num determinado domínio, e em particular a um corpo rígido ou a um conjunto de corpos rígidos. O Teorema do Movimento do Centro de Massa mostra-nos que, alterações nas forças interiores ao sistema não têm qualquer influência no movimento do seu centro de massa. O exemplo clássico é o da granada cujo centro de massa se desloca após a explosão seguindo exactamente a mesma trajectória que seguiria se a granada não explodisse.

6

3 Princípio da Conservação do Momento Linear Derivando a Eq. 6 em ordem ao tempo obtém-se

GG aM

dtvd

Mdt

pd rrr

== (16)

E conjugando com a Eq. (15), vem

dt

pdF

n

i

exti

rv=∑

=1

(17)

Mas

constpFn

i

exti =⇒=∑

=

rv0

1

(18)

o que significa que ( ) ( )21 GG vMvM

rr= (19)

ou

2111

=

∑∑==

n

iii

n

iii vmvm

rr (20)

As Eqs. 19 e 20 traduzem o Princípio da Conservação do Momento Linear: Sempre que seja nula a soma das forças exteriores actuantes num sistema material haverá conservação da quantidade de movimento total. Repare-se que, sendo a Eq. 15 uma relação vectorial, ela é susceptível de ser decomposta em componentes, o que significa que poderá haver conservação do momento linear numa direcção e não noutra. È o caso de um corpo que é lançado com velocidade inicial com componente horizontal diferente de zero. Desprezando a resistência do ar, não há forças horizontais actuando no corpo e a componente horizontal do momento linear conservar-se-á, o que significa que o corpo irá manter a sua componente horizontal de velocidade ao longo do percurso, enquanto que na vertical, estando permanentemente sujeito à acção constante do seu peso, irá deslocar-se com aceleração constante, a aceleração da gravidade.

7

4 Princípio do Trabalho-Energia ou Teorema das Forças Vivas Considere-se a trajectória da partícula genérica i de um sistema de partículas (Fig. 2), e seja iF

r a resultante das forças que sobre ela actuam.

Fig. 2 O trabalho realizado por iF

r no deslocamento elementar ird da partícula será dado

por iii rdFd

rr⋅=τ (21)

Atendendo à 2ª lei de Newton, esta equação pode escrever-se

( )

⋅=⋅= i

iiiiii rd

dtvd

mrdamdr

rrr

τ (22)

Mas

dtvdtdtrd

rd ii

i

rr

r== (23)

pelo que

( ) ( )

=⋅=⋅= 2

21

21

iiiiiiiii vmdvvdmvvdmdrrrr

τ (24)

Ou seja ii Tdd =τ (25) em iT representa a energia cinética da partícula i . Integrando a Eq. 25 entre as posições 1 e 2, temos

iFr

ird

irr

ii rdr +r

O

x

y

z

Ai

1

2

8

∫∫ = 2

112

i

i

T

T ii Tdd τ (26)

ou seja, 1221 iii TT −=→τ (27) A Eq. 27 traduz o Princípio do Trabalho-Energia ou Teorema das Forças Vivas para uma partícula, o qual pode ser enunciado da seguinte forma: O trabalho realizado pela resultante das forças que actuam numa partícula quando esta se desloca de uma posição 1 para uma posição 2 é igual à variação da energia cinética da partícula entre esses dois instantes. A Eq. 27 aplica-se a qualquer partícula de um sistema. Se as somarmos todas, ficará

∑∑∑===

→ −=n

ii

n

ii

n

ii TT

11

12

121τ (28)

ou seja, 1221 TT −=→τ (29) A Eq. 29 traduz o Princípio do Trabalho-Energia ou Teorema das Forças Vivas para um sistema de partículas, o qual pode ser enunciado da seguinte forma: O trabalho realizado por todas as forças que actuam em todas as partículas de um sistema quando estas se deslocam de uma posição 1 para uma posição 2 é igual à variação da energia cinética do sistema entre esses dois instantes. Como se sabe do Princípio dos Trabalhos Virtuais, num corpo rígido é nulo o trabalho realizado pelas forças interiores. Assim sendo, para um corpo rígido, o Princípio do Trabalho-Energia assume a forma 1221 TText −=→τ (30)

5 Princípio da conservação da energia Como se sabe do Princípio dos Trabalhos Virtuais, quando as forças que actuam num sistema são todas conservativas, o trabalho que estas realizam é igual a menos a variação da energia potencial que lhes está associada. Assim sendo, quando as forças que actuam num sistema são todas conservativas, o Princípio do Trabalho-Energia assume a forma

9

( ) 121221 TTVVext −=−−=→τ (31) ou seja 2211 VTVT +=+ (32) que constitui o Princípio da Conservação da Energia: Um sistema actuado por forças conservativas evolui de tal forma que a soma da energia cinética com a energia potencial se mantém constante.

6 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ou Teorema da Impulsão Define-se impulso de uma força F

r num intervalo de tempo dt ao produto dtF

r.

O impulso da resultante das forças que actuam na partícula genérica i de um sistema, no intervalo de tempo dt será, recorrendo à 2ª lei de Newton

( )iiiii

iiii vmdvdmdtdtvd

mdtamdtFrr

rrr

==== (33)

Integrando ambos os membros entre dois instantes t1 e t2 fica

( ) ( ) ( )12

2

1

2

1iiii

v

v ii

t

t i vmvmvmddtF i

i

rrrr r

r −== ∫∫ (34)

A Eq. 34 traduz o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ou Teorema da Impulsão para uma partícula: O impulso das forças que actuam numa partícula num certo intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento da partícula nesse intervalo de tempo. A Eq. 33 aplica-se a qualquer partícula de um sistema. Se as somarmos todas, ficará .

( ) ( )G

n

iii

n

iii

n

ii vMdvmdvmddtF

rrrr=

== ∑∑∑

=== 111

(35)

O somatório de todas as forças que actuam em todas as partículas do sistema inclui as forças interiores e as forças exteriores. Sendo nulo, como sabemos, o somatório das forças interiores, temos

( )G

n

i

exti vMddtF

rr=∑

=1

(36)

10

E uma vez mais, se integrarmos ambos os membros da Eq. 36 entre dois instantes t1 e t2 obtemos

( ) ( )121

2

1GG

t

t

n

i

exti vMvMdtF

rrr−=∫ ∑

=

(37)

Esta equação traduz o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ou Teorema da Impulsão para um sistema de partículas: O impulso das forças exteriores a um sistema de partículas num certo intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento do sistema nesse mesmo intervalo de tempo. Se o somatório das forças exteriores ao sistema for nulo, reencontramos aqui o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.

7 Teorema do momento angular de um sistema de partículas em relação a um ponto fixo O

Define-se momento angular de uma partícula genérica i de um sistema em relação a um ponto fixo O como o momento em relação a esse ponto do vector momento linear da partícula.

iiiOi vmOALrr

×= (38) Fig. 3 O momento angular do sistema de partículas em relação ao ponto O será a soma dos momentos angulares de cada uma das partículas que o constituem.

∑∑

==

×==n

iiii

n

iOiO vmOALL

11

rrr

(39)

Derivemos ambos os membros desta equação em ordem ao tempo.

∑∑∑===

×+×=×=n

i

iiiii

n

i

in

iiii

O

dtvd

mOAvmdtOAd

vmOAdtd

dtLd

111

rrr

r

(40)

que é equivalente a

∑∑∑===

×=×+×=n

iii

n

iiiiii

n

ii

O FOAamOAvmvdtLd

111

rrrrr

(41)

O

Ai

ii vmr

OiL

r

11

Mas, tendo em atenção a Eq. 9, fica

extOO

n

i

extii

n

iii

O MMFOAFOAdtLd rrrrr

+=×+×= ∑∑==

int

11

int (42)

sendo ext

OMr

o momento em relação ao ponto O das forças exteriores ao sistema de

partículas e intOM

r o momento em relação a O das forças interiores, o qual é nulo, por

as forças interiores serem iguais e opostas duas a duas. Ficará finalmente

extO

O MdtLd rr

= (43)

expressão que representa o Teorema do Momento Angular de um sistema de partículas em relação a um ponto fixo O: A derivada em ordem ao tempo do momento angular de um sistema de partículas em relação a um ponto fixo O é igual ao momento resultante em relação a O do sistema de forças exteriores ao sistema de partículas.

8 Teorema do momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa G

O momento angular de uma partícula genérica i de um sistema em relação ao centro de massa G desse sistema será dado por iiiGi vmGAL

rr×= (44)

E o momento angular do sistema de partículas em relação a G será a soma dos momentos angulares de cada uma das partículas que o constituem.

∑∑==

×==n

iiii

n

iGiG vmGALL

11

rrr (45)

Derivando ambos os membros em ordem ao tempo, fica

∑∑==

×+×=n

i

iii

n

iii

iG

dtvd

mGAvmdtGAd

dtLd

11

rr

r (46)

O vector iGA pode decompor-se em (Fig. 4)

OGOAGA ii −= (47) sendo O um ponto fixo. Fig. 4 O

G

Ai

12

Derivando em ordem ao tempo, fica

dtOGd

dtOAd

dtGAd ii −= (48)

ou seja

Gii vv

dtGAd rr

−= (49)

E introduzindo na Eq. 46

∑∑∑===

×+×−×=n

iiii

n

iiiG

n

iiii

G amGAvmvvmvdtLd

111

rrrrrr

(50)

Esta equação pode ser simplificada

∑∑∑∑====

×+×+×=×+×=n

i

extii

n

iiiGG

n

iii

n

iiiG

G FGAFGAvMvFGAvmvdtLd

11

int

11

rrrrrrrr

(51)

ou ainda, finalmente

extG

G MdtLd rr

= (52)

expressão que representa o Teorema do Momento Angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa G, que como se vê, assume a mesma forma que em relação a um ponto fixo O: A derivada em ordem ao tempo do momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa G é igual ao momento resultante em relação a G do sistema de forças exteriores ao sistema de partículas.

9 Momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa, expresso em termos das velocidades relativas de cada partícula em relação ao centro de massa

A Eq. 45, que traduz o momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa G, faz intervir a velocidade absoluta iv

r de cada partícula em

relação a um ponto fixo O. Tomemos esta expressão, substituindo esta velocidade absoluta pela velocidade relativa iv′r da partícula i em relação ao centro de massa.

∑=

′×=′n

iiiiG vmGAL

1

rr (53)

13

A velocidade relativa iv′r da partícula i em relação ao centro de massa é dada por

dtGAd

v ii =′r (54)

e atendendo à Eq. 49, fica

∑∑∑===

×−=×−×=′n

iGiiG

n

iGii

n

iiiiG vmGALvmGAvmGAL

111

rrrrr (55)

Mas, atendendo a que

011

=×=×=× ∑∑==

G

n

iGii

n

iGii vGGMvGAmvmGA

rrr (56)

Fica GG LL

rr=′ (57)

Isto significa que o momento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa tanto pode ser calculado utilizando as velociades absolutas das partículas como as suas velocidades relativas em relação ao centro de massa.

10 Princípio da conservação do momento angular Sempre que seja nulo o momento das forças exteriores em relação a um ponto fixo O ou em relação ao centro de massa G do sistema, as Eqs. 43 e 52 fornecem 21 OO LL

rr= (58)

21 GG LL

rr= (59)

Isto traduz o Princípio da Conservação do Momento Angular: Sempre que seja nulo o momento das forças exteriores em relação a um ponto fixo O ou em relação ao centro de massa G do sistema haverá conservação do momento angular do sistema em relação a O ou a G, respectivamente.

11 Princípio do impulso angular e momento angular ou teorema da impulsão para momentos angulares

A Eq. 43 pode ser escrita na forma

14

dtMLd extOO

rr= (60)

Integrando ambos os membros entre os instantes t1 e t2 , temos

∫∫ = 2

1

2

1

t

t

extO

L

L O dtMLdO

O

rrr

r (61)

ou seja

∫=− 2

112

t

t

extOOO dtMLL

rrr (62)

O integral do segundo membro representa o impulso angular das forças exteriores ao sistema no intervalo de tempo 12 ttt −=∆ em relação ao ponto fixo O, e a Eq. 62 traduz o Princípio do Impulso Angular e Momento Angular ou Teorema da Impulsão para Momentos Angulares: O impulso angular em relação a um ponto fixo O das forças exteriores a um sistema material num intervalo de tempo 12 ttt −=∆ é igual à variação do momento angular do sistema em relação a O nesse mesmo intervalo de tempo. Quando o momento resultante das forças exteriores ao sistema em relação a O é nulo, reencontramos aqui o Princípio da Conservação do Momento Angular. O Teorema da Impulsão para Momentos Angulares é igualmente válido quando se toma o centro de massa do sistema em vez de um ponto fixo O.

∫=− 2

112

t

t

extGGG dtMLL

rrr (63)

12 Momento angular de um corpo rígido em relação a um ponto fixo O Considere-se um ponto genérico P de um corpo rígido animado de movimento de rotação em torno de um ponto fixo O (Fig. 5), ao qual se associa o elemento de massa dm. Fig. 5

O P

ωr

Pvr

dm

1x

2x

3x

15

Este ponto, que está animado de uma velocidade Pv

r, possui um momento linear dado

por dmvP

r e um momento angular em relação a O dado por dmvOP P

r× . O momento

angular do corpo rígido em relação a O obter-se-á a partir de ∫ ×=

M PO dmvOPLrr

(64)

Propagando velocidades de O para P, tem-se OPOPvv OP ×=×+= ωω

rrrr (65)

Introduzindo na Eq. 64, fica ( )∫ ××=

MO dmOPOPL ωrr

(66)

No capítulo Tensores Cartesianos provou-se que ( ) ( ) ( )CBABCACBA

rrrrrrrrr⋅−⋅=×× (67)

pelo que ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ⋅−⋅=××=

MMO dmOPOPOPOPdmOPOPL ωωωrrrr

(68)

Esta expressão pode ser escrita usando linguagem indicial. [ ] [ ]∫∫ −=−=

M ijjjijkkM ijjikkOi dmxxxxdmxxxxL ωωδωω (69)

Uma vez que as componentes da velocidade angular funcionam como constantes na integração em causa, vem [ ] ( )[ ] jM jiijkkM jijijkkOi dmxxxxdmxxxxL ωδωδ ∫∫ −=−= (70)

.Finalmente, recordando a definição de tensor de inércia, fica j

OijOi IL ω= (71)

ou, utilizando notação matricial [ ] ωOO IL = (72) em que O

ijI e [ ]OI se referem a componentes do tensor de inércia do corpo relativamente a um referencial com origem em O.

16

13 Momento angular de um corpo rígido em relação ao seu centro de massa Por analogia com a Eq. 64, o momento angular de um corpo rígido em relação ao seu centro de massa pode calcular-se a partir de ∫ ×=

M PG dmvGPLrr

(73)

Mas GPvv GP ×+= ω

rrr (74)

Substituindo atrás, fica ( )∫∫ ××+×=

MM GG dmGPGPdmvGPL ωrrr

(75)

Mas ( ) 0=×=×=× ∫∫ GGMM G vGGMvdmGPdmvGP

rrr (76)

pelo que ( )∫ ××=

MG dmGPGPL ωrr

(77)

Recorrendo de novo à Eq. 67 ter-se-á ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ⋅−⋅=××=

MMG dmGPGPGPGPdmGPGPL ωωωrrrr

(78)

Representando por ix′ as coordenadas do ponto P num referencial com origem em G, a Eq. 78 pode escrever-se, em notação indicial ( ) ( )( ) jM jiijkkM ijjikkGi dmxxxxdmxxxxL ωδωω ∫∫ ′′−′′=′′−′′= (79)

Finalmente j

GijGi IL ω= (80)

ou seja, em linguagem matricial [ ] ωGG IL = (81)

17

expressões em tudo análogas às Eqs. 71 e 72, com a diferença de que GijI e [ ]GI se

referem a componentes do tensor de inércia do corpo relativamente a um referencial com origem em G. A Eq. 81 escrita no referencial das direcções principais de inércia em G resulta particularmente simples.

=

=

IIIIII

IIII

II

III

II

I

III

II

I

G

III

II

IL

ωωω

ωωω

000000

(82)

14 Energia cinética de um corpo rígido animado de movimento de rotação em torno de um ponto fixo O

Considere-se novamente um corpo rígido animado de movimento de rotação em torno de um ponto fixo O (Fig. 5). A energia cinética deste corpo será dada por

∫=M P dmvT 2

21

(83)

Mas PPP vvv

rr⋅=2 (84)

e, atendendo à Eq. 65, fica ( ) ( )OPOPvP ×⋅×= ωω

rr2 (85) que se pode escrever em linguagem indicial qppqkjiijkP xexev ωω=2 (86) Recorrendo à identidade de permutação ( ) qpjijpiqqpjijqipqpjijpiqjqipP xxxxxxv ωωδδωωδδωωδδδδ −=−=2 (87) Simplificando, temos ippijpjiipP xxxxv ωωωωδ −=2 (88) Introduzindo na Eq. 83, ficará

18

( )dmxxxxTM ippijpjiip∫ −= ωωωωδ

21

(89)

E uma vez que as componentes da velocidade angular do corpo funcionam como constantes relativamente à integração em causa, podem ser postas para fora do integral, ficando

( )[ ] piOippM piipjji IdmxxxxT ωωωδω

21

21

=−= ∫ (90)

A expressão da energia cinética de um corpo rígido animado de movimento de rotação em torno de um ponto fixo O pode assim ser expressa em notação indicial ou matricial através de

jiOijIT ωω

21

= (91)

[ ] ωω OT IT

21

= (92)

em que O

ijI e [ ]OI se referem a componentes do tensor de inércia do corpo relativamente a um referencial com origem em O.

15 Expressão geral da energia cinética de um corpo rígido Considere-se um corpo rígido animado de um movimento genérico (Fig. 6). A energia cinética deste corpo continua a poder ser obtida através da Eq. 83. Fig. 6 Mas

P

ωr

Pvr

dm

O

1x

2x

3x

1x′

2x′ 3x′

G

19

GPvv GP ×+= ωrrr

(93) e ( ) ( ) ( )GPGPGPvvvvv GGPPP ×⋅×+×⋅+=⋅= ωωω

rrrrrr222 (94)

Introduzindo na Eq. 83, ficamos com 3 integrais

( ) ( ) ( )∫∫∫ ×⋅×+×⋅+=MM GM G dmGPGPdmGPvdmvT ωωω

rrrr21

21 2 (95)

O 2º destes integrais é nulo, visto que ( ) [ ] 0=×⋅=×⋅=×⋅ ∫∫ GGMvdmGPvdmGPv GMGM G ωωω

rrrrrr (96)

O 3º integral pode ser trabalhado, utilizando notação indicial e representando por ix′ a coordenada genérica do ponto P num referencial com origem em G

( ) ( ) ( )∫∫ ′′=×⋅×M qppqkjiijkM

dmxexedmGPGP ωωωω21

21 rr

(97)

E recorrendo à identidade de permutação teremos, após simplificação

( ) ( ) ( )[ ] piGippM piipjjiM

IdmxxxxdmGPGP ωωωδωωω21

21

21

=′′−′′=×⋅× ∫∫rr

(98)

Esta parcela corresponde à energia cinética de rotação do corpo em torno do seu centro de massa e pode ser escrita em notação matricial como

[ ] ωω GT

rot IT21

= (99)

O 1º integral da Eq. 95 transforma-se em

222

21

21

21

GMGM G vMdmvdmv == ∫∫ (100)

Esta parcela corresponde à energia cinética de translação do corpo. A expressão geral da energia cinética de um corpo rígido animado de um movimento genérico será então

[ ] ωωωω GT

GjiGijGrottransl IvMIvMTTT

21

21

21

21 22 +=+=+= (101)

20

16 Equações do movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo O. Equações de Euler

As equações do movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo O podem obter-se recorrendo ao teorema do momento angular (Eq. 43)

extO

O MdtLd rr

= (43)

Antes de mais é necessário calcular o momento angular do corpo rígido em relação ao ponto O (Eq. 72) [ ] ωOO IL = (72) O referencial para a escrita desta equação deve ter origem no ponto O. De resto, pode ser qualquer referencial. Temos fundamentalmente duas alternativas. Ou escolhemos um referencial fixo, que permaneça imóvel enquanto o corpo roda em torno de O, ou usamos um referencial que se mova solidariamente com o corpo rígido. Atendendo a que vai ser necessário derivar o momento angular em ordem ao tempo, a segunda alternativa é preferível, visto que então todas as componentes da matriz de inércia serão constantes ao longo do tempo. No entanto, será necessário ter em conta que o momento angular estará escrito num referencial animado de movimento de rotação, aplicando-se-lhe então as correspondentes regras específicas de derivação em ordem ao tempo (ver anexo I). Teremos então

O

OO Lt

LdtLd rr

rr×Ω+=

δδ

(102)

sendo Ω

r a velocidade angular do referencial.

Se além disso escolhermos o referencial coincidente com as direcções principais de inércia do corpo no ponto O, a escrita da Eq. 72 simplifica-se

[ ]

=

==

IIIIII

IIII

II

III

II

I

III

II

I

OO

III

II

IIL

ωωω

ωωω

ω00

0000

(103)

e a 1ª parcela da Eq. 102 fica

=

=

IIIIII

IIII

II

IIIIII

IIII

II

O

III

III

Lt

ααα

ωωω

δδ

&&&

(104)

sendo IIIIII ααα ,, as componentes da aceleração angular do corpo rígido no referencial das direcções principais de inércia em O.

21

Mas se o referencial se move solidariamente com o corpo a sua velocidade angular Ωr

coincide com a velocidade angular do corpo ωr

, e a 2ª parcela da Eq. 102 fica

IIIIIIIIIIII

IIIIII

IIIIII

OO

III

eeeLL

ωωωωωωω

rrrrrrr

=×=×Ω

(105)

ou seja ( ) ( ) ( ) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIO eIIeIIeIIL

rrrrrωωωωωωω −++−+−=× (106)

Finalmente, introduzindo na Eq. 43 obtém-se

( )( )( )

−−−−

−−=

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

extOz

extOy

extOx

IIIIII

III

MMM

ωωαωωα

ωωα (107)

Estas são as equações que regem o movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo O, conhecidas como Equações de Euler.

17 Movimento de um corpo rígido em torno de um eixo fixo No caso em que o movimento do corpo corresponde a uma rotação em torno de um eixo fixo (Fig. 7), em vez de um, temos uma infinidade de pontos fixos, os quais podem ser escolhidos para aplicar o teorema do momento angular. Neste caso é útil escolher o próprio eixo de rotação como um dos eixos do referencial, movendo-se os restantes solidariamente com o corpo rígido. Se escolhermos o eixo de rotação para eixo 3x , teremos Fig. 7

[ ]

−−

=

−−−−−−

==ω

ωω

ωω

z

yz

xz

zyzxz

yzyxy

xzxyx

OO

IPP

IPPPIPPPI

IL 00

(108)

O

ωr

M

1x

2x

3x

22

e

−−

=α

αα

δδ

z

yz

xz

O

IPP

Lt

(109)

sendo α a aceleração angular do corpo rígido. Será ainda

22

12

321

00 ePePIPP

eeeLL xzyz

zyzxz

OO

rrrrr

rrrrωω

ωωωωω −=

−−=×=×Ω (110)

e finalmente

−−+−

=

αωαωα

z

xzyz

yzxz

extOz

extOy

extOx

IPPPP

MMM

2

2

(111)

18 Movimento plano de um corpo rígido Como se sabe, o movimento plano de um corpo rígido é aquele em que as trajectórias de todos os seus pontos existem em planos paralelos a um plano, dito plano do movimento. O movimento contínuo corresponde a uma sucessão de movimentos instantâneos de rotação em torno de eixos que são sempre perpendiculares ao plano do movimento. Neste caso, para estudar o movimento escolhe-se um referencial solidário com o corpo, com origem no seu centro de massa, em que um dos eixos é perpendicular ao plano do movimento. A velocidade angular do corpo e a sua aceleração angular terão sempre a direcção deste eixo. Chamemos-lhe 3x (Fig. 8). Fig. 8 Neste caso teremos equações idênticas às Eqs. 108 a 111, mas escritas num referencial com origem no centro de massa G, e as equações do movimento serão

G

ωr

M

1x

2x

( 3x )

23

−−+−

=

αωαωα

z

xzyz

yzxz

extGz

extGy

extGx

IPPPP

MMM

2

2

(112)

em conjunto com as equações do movimento do centro de massa

=

Gz

Gy

Gx

extz

exty

extx

aMaMaM

FFF

(113)

19 Equações gerais do movimento de um sistema de partículas e de um corpo rígido

O movimento geral de um corpo rígido é regido pelo Teorema do Movimento do Centro de Massa em conjunto com o Teorema do Momento Angular aplicado ao centro de massa. Em cada instante, a posição do corpo ficará conhecida se se conhecer a posição do seu centro de massa e a posição que o corpo ocupa relativamente ao centro de massa. Na Estática, o sistema de forças exteriores a um corpo rígido constituía um sistema equivalente a zero 0=extF

r (114)

0=ext

GMr

(115) Na Dinâmica, as equações que regem o movimento de um sistema de partículas, e em particular de um corpo rígido são

Gext aMF

rr= (116)

dtLd

M GextG

rr

= (117)

Desde que sejam conhecidas as condições iniciais do movimento, estas equações permitirão conhecer a posição do corpo rígido em cada instante, fornecendo a posição do centro de massa e a posição do corpo em relação ao centro de massa.

24

ANEXO I

Derivada em ordem ao tempo de um vector escrito num referencial animado de movimento de rotação Como se sabe, as componentes de um dado vector V

r dependem do referencial que se

escolhe para o representar. Uma vez que as componentes de um vector se obtêm por projecção do vector sobre os eixos do referencial, em referenciais de eixos paralelos as componentes de um dado vector são as mesmas. Isto significa que se escolhermos um referencial animado de movimento de translação para representar um vector de intensidade constante as suas componentes permanecerão inalteradas ao longo do tempo. O mesmo não sucede se escolhermos um referencial animado de movimento de rotação. Um vector é constante quando não variam ao longo do tempo, nem a sua intensidade, nem a sua direcção ou sentido. A variação de qualquer um destes parâmetros faz com que o vector tenha derivada não nula em ordem ao tempo. Considere-se então um vector variável no tempo ( )tVV

rr= escrito num referencial

animado de movimento de rotação com velocidade angular Ωr

(Fig. I-1) Fig. I-1 Teremos, utilizando notação indicial ii eVV

rr= (I-1)

e a derivada em ordem ao tempo virá

iiii eVeV

dtVd r

&r&r

+= (I-2)

As derivadas em ordem ao tempo dos vectores de base do referencial justificam-se porque a sua direcção varia ao longo do tempo, embora a sua intensidade permaneça constante. Calculemos a derivada em ordem ao tempo do versor 1e

r. Para tanto,

consideremos um corpo rígido movendo-se solidariamente com o referencial e

O

Ωr

1x

2x

3x Vr

1er

2e

r

3er

25

designemos a extremidade do vector 1er

por P (Fig. I-2). Deste modo, a derivada de 1er

em ordem ao tempo coincide com a velocidade do ponto P, ou seja Fig. I-2

11 eOPvvdtOPd

e OP

rrrrrr& ×Ω=×Ω+=== (I-3)

Genericamente, teremos ii ee

rrr& ×Ω= (I-4)

e assim

VeVeVeVeVeV

dtVd

iiiiiiiiii

rrr&rrr&rrr&r

×Ω+=×Ω+=×Ω+=

(I-5)

Representando simbolicamente ii eVr& por

tV

δδ

r teremos por fim

V

tV

dtVd rr

rr×Ω+=

δδ

(I-6)

em que tV

δδ

r representa a variação do vector por unidade de tempo supondo que o

referencial não roda (variação das suas componentes) e Vrr

×Ω representa a contribuição da rotação do referencial para a variação do vector.

O

Ωr

1x

2x

3x

1er

2e

r

3er

P

26

ANEXO II

CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

II.1 Movimentos instantâneos de um corpo rígido São quatro os movimentos instantâneos possíveis para um corpo rígido: 1) Repouso instantâneo

0=ωr

velocidade angular nula

0=Pvr

para todos os pontos do corpo 2) Translação instantânea

0=ωr

velocidade angular nula

0≠Pvr

velocidade igual para todos os pontos do corpo 3) Rotação instantânea

0≠ωr

velocidade angular diferente de zero

0=⋅ Pvrr

ω velocidade nula (nos pontos do eixo instantâneo de rotação) ou perpendicular a ω

r (nos pontos fora do eixo instantâneo de rotação)

4) Rotação + translação instantâneas ou movimento helicoidal instantâneo

0≠ωr

velocidade angular diferente de zero

0=⋅ Pvrr

ω velocidade sempre diferente de zero e nunca perpendicular a ωr

(nos pontos do eixo helicoidal instantâneo é paralela a este)

II.2 Fórmula de propagação de velocidades dos pontos de um corpo rígido No caso geral, caso 4, o movimento de um corpo rígido pode considerar-se resultante de dois outros, translação na direcção do eixo helicoidal instantâneo mais rotação em torno deste (Fig. II-1), e portanto QAvv QA ×+= ω

rrr (II-1)

27

QBvv QB ×+= ωrrr

(II-2) e portanto ( )QAQBvQAQBvv AAB −×+=×−×+= ωωω

rrrrrr (II-3)

ou seja ABvv AB ×+= ω

rrr (II-4)

Fig. II-1

II.3 Fórmula de propagação de acelerações dos pontos de um corpo rígido Derivando a Eq. II-4 em ordem ao tempo, resulta

dtABd

ABaa AB ×+×+= ωαrrrr

(II-5)

sendo α

r a aceleração angular do corpo.

Sendo O for um ponto fixo OAOBAB −= (II-6) e

Q

A

B Avr

Qvr

Bvr

Qvr

Qvr

ωr

QA×ωr

Eixo helicoidal instantâneo

28

ABvvdtOAd

dtOBd

dtABd

AB ×=−=−= ωrrr

(II-7)

Substituindo na Eq. II-5, fica ( )ABABaa AB ××+×+= ωωα

rrrrr (II-8)

Esta é a fórmula de propagação de acelerações dos pontos de um corpo rígido, que pode ainda ser escrita na forma ( ) ABABABaa AB

2ωωωα −⋅+×+=rrrrr

(II-9) No caso do movimento plano é AB⊥ω

r , pelo que a equação se simplifica

ABABaa AB

2ωα −×+=rrr

(II-10)