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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
THALITA CRISTINA DI MASIRONI ANDRADE
DIRETRIZES PARA O DIMENSIONAMENTO DA SUPERESTRUTURA DE PONTES
DE CONCRETOS ARMADO COM TABULEIRO APOIADO EM DUAS VIGAS
CURITIBA 2010
THALITA CRISTINA DI MASIRONI ANDRADE
DIRETRIZES PARA O DIMENSIONAMENTO DA SUPERESTRUTURA DE PONTES
DE CONCRETOS ARMADO COM TABULEIRO APOIADO EM DUAS VIGAS
Trabalho apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia Civil, Setor de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal do Paraná, como requisito parcial à obtenção do título de Graduado em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Jorge Luiz Ceccon
CURITIBA 2010
i
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 1
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 2
2.1. DEFINIÇÕES ..................................................................................................... 2
2.2. APRESENTAÇÃO DA SUPERESTRUTURA .............................................................. 3
2.2.1. TIPOS DE PONTES ............................................................................... 4
2.2.2. VIGAS ................................................................................................. 9
2.3. SOLICITAÇÕES ................................................................................................ 11
2.3.1. CARGAS PERMANENTES ..................................................................... 12
2.3.2. CARGAS VARIÁVEIS ........................................................................... 14
2.3.3. CARGAS EXCEPCIONAIS ..................................................................... 19
2.4. ARMADURA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO .................................................. 19
2.4.1. LIMITES PARA ARMADURA LONGITUDINAL ............................................. 19
2.4.2. LIMITES PARA ARMADURA TRANSVERSAL ............................................. 20
2.5. ARMADURA DE LAJES DE CONCRETO ARMADO .................................................. 21
2.5.1. LIMITES MÍNIMOS ............................................................................... 21
2.5.2. LIMITES PARA ARMADURA DE FLEXÃO .................................................. 21
2.5.3. LIMITES PARA ARMADURA DE FLEXÃO .................................................. 22
2.5.4. LIMITES PARA ARMADURA DE CISALHAMENTO ...................................... 22
3. METODOLOGIA E RESULTADOS .............................................................................. 23
3.1. LANÇAMENTO DA ESTRUTURA .......................................................................... 23
3.1.1. CRITÉRIOS INICIAIS ............................................................................ 23
3.1.2. DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DA ESTRUTURA .............................. 24
3.1.3. DEFINIÇÃO DA ALTURA CONSTRUTIVA DISPONÍVEL ............................... 26
3.1.4. DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL ........................................... 27
3.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA – DETERMINAÇÃO DAS DIMENSÕES
ESTRUTURAIS .......................................................................................................... 31
3.2.1. DISCRETIZAÇÃO DAS VIGAS ................................................................ 32
3.2.2. DISCRETIZAÇÃO DAS TRANSVERSINAS ................................................. 36
3.2.3. DISCRETIZAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE EXTREMIDADE ........................... 38
3.2.4. DISCRETIZAÇÃO DAS ESTRUTURAS DO TABULEIRO ............................... 42
3.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA – DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS SOLICITANTES 45
3.3.1. CARGAS PERMANENTES NA SUPERESTRUTURA – 1ª ETAPA ................... 45
3.3.2. CARGAS PERMANENTES NA SUPERESTRUTURA – 2ª ETAPA ................... 55
ii
3.3.3. CARGAS MÓVEIS ............................................................................... 58
3.3.4. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA VIGA – 1ª ETAPA: CARGAS
PERMANENTES ...................................................................................................... 69
3.3.5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA VIGA – 2ª ETAPA: CARGAS DA LAJE DE
TRANSIÇÃO, BARREIRA E PAVIMENTO. .................................................................... 75
3.3.6. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA VIGA – CARGAS MÓVEIS ......................... 79
3.4. DIMENSIONAMENTO DA VIGA À FLEXÃO ............................................................. 86
3.4.1. EMBASAMENTO TEÓRICO ................................................................... 86
3.4.2. CÁLCULO DAS ARMADURAS (AS; AS’) .................................................. 88
3.5. DIMENSIONAMENTO DA VIGA AO CISALHAMENTO ............................................... 96
3.6. VERIFICAÇÕES ................................................................................................ 97
3.7. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE – DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS SOLICITANTES 97
3.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA TRANSVERSINA – DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS
SOLICITANTES ........................................................................................................ 101
3.8.1. CARGAS PERMANENTES NA TRANSVERSINA ....................................... 101
3.8.2. CARGAS MÓVEIS NA TRANSVERSINA ................................................. 107
3.8.3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DA TRANSVERSINA .............................. 112
3.8.4. DIMENSIONAMENTO AO CISALHAMENTO DA TRANSVERSINA ................. 112
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 113
4.1. CONCLUSÃO ................................................................................................. 113
4.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....................................................... 113
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 114
DOCUMENTOS CONSULTADOS .......................................................................... 116
ANEXOS ................................................................................................................. 117
1
1. INTRODUÇÃO
Ao se falar em obras de arte especiais, faz-se referência às estruturas de
pontes, viadutos, passarelas, túneis entre outras obras de grande porte, que devido
ao seu tamanho requerem normas específicas.
O presente trabalho tem por objetivo apresentar os diversos aspectos desse
tipo de estrutura com foco principal na ponte/viaduto de concreto armado com a laje
do tabuleiro apoiada em duas vigas, condições necessárias para o projeto, bem
como demonstrar didaticamente a concepção inicial de um projeto e o
dimensionamento da superestrutura da mesma. Com isso, pretende-se encaminhar
o leitor possuidor de conhecimentos básicos de engenharia a fazer corretamente o
processo de projeto e dimensionamento além de agregar-lhe conhecimentos básicos
que sirvam de orientação para a confecção de projeto, dimensionamento e execução
de outras variantes de pontes.
2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. DEFINIÇÕES
Pontes ou obras de arte especiais são aquelas construções destinadas a
transpor obstáculos de diferentes naturezas, como vias, vales rios, entre outros.
Sendo o obstáculo um rio ou braço de mar, a estrutura é uma ponte. Caso o
objetivo seja transpor uma via, a estrutura é chamada de viaduto (PFEIL, 1990).
As pontes possuem como elementos constituintes, sob o ponto de vista
funcional (PFEIL, 1990):
Superestrutura:
Caracteriza-se por ser a “parte útil” da estrutura com relação à finalidade da
mesma, já que é constituída das vigas, tabuleiro e cortinas.
Mesoestrutura:
Parte da ponte responsável pela transmissão das solicitações da
superestrutura e daquelas sofridas pela própria mesoestrutura (vento, pressão da
água) para as fundações. Fazem parte da mesoestrutura os pilares e eventualmente
travessas de ligação.
Infraestrutura
A infraestruturas transmite os esforços recebidos da mesoestrutura ao solo,
podendo fazer isso através de diversos elementos de fundação, como sapatas,
blocos, estacas, tubulões, etc. Além disso, podem fazer parte da infra vigas de
ligação dos blocos.
Dentro de mesoestrutura ou infraestrutura, também se pode incluir os
elementos de encontros, que têm a principal finalidade de receber o empuxo de terra
proveniente do aterro de acesso à ponte, de modo que esse empuxo não provoque
solicitações no restante da ponte.
Por elementos de encontro entendem-se paredes na extremidade e cortina
de extremidade quando não estão diretamente ligadas à superestrutura. Apesar de
ser de extrema importância em determinadas obras, os encontros podem ser
eliminados de algumas pontes ou viadutos, isso porque nessas obras o aterro de
acesso estaria em condições de se manter sem sofrer erosão (O’CONNOR, 1976).
3
Geralmente, juntamente à cortina de extremidade encaixa-se a chamada laje
ou placa de transição. Essa placa de aproximadamente 4,0m (n.a.)1 forma uma
rampa junto à ponte, que tem como finalidade aliviar o degrau formado ao longo do
tempo no local de transição entre o aterro e o início da ponte devido à compactação
do solo provocada pela passagem dos veículos.
Além disso, é comum adotar alas ou saias de aterro nas extremidades da
ponte, porém dependendo do tipo de solo, essas estruturas não se fazem
necessárias. Elas possuem a mesma inclinação do aterro, geralmente adotada igual
a 2:3 (n.a.)2 e têm a principal finalidade de preservar o aterro contido ao longo da
largura da ponte para que este não sofra erosão e consequentemente provoque
danos à estrutura.
2.2. APRESENTAÇÃO DA SUPERESTRUTURA
A superestrutura das pontes pode ser de diversas maneiras, curvas, retas,
inclinadas, com laje apoiada sobre duas ou mais vigas, com ou sem encontros,
estaiadas, pênseis, enfim, é possível ter pontes ou viadutos em variados formatos e
tamanhos dependendo da conveniência de construção da estrutura, bem como do
aspecto desejado.
A seguir são apresentados alguns dos principais tipos de pontes e suas
características.
1 Nota do autor – o comprimento de 4,0 m da placa de transição citado é baseado em dados de experiências anteriores de projetistas de pontes e viadutos.
2 Nota do autor – a inclinação do talude de 2:3 foi definido com base em dados de experiências anteriores de projetistas de pontes e viadutos.
Figura 2.1 – Esquema longitudinal de ponte. FONTE: O autor
4
2.2.1. TIPOS DE PONTES
2.2.1.1. PONTES EM VIGAS
São as estruturas de pontes mais comuns, sendo que a laje pode estar
apoiada sobre uma viga longitudinal, sobre duas vigas ou mais (nesse caso a ponte
é sobre grelha). Esse tipo de ponte transmite as cargas aos apoios através de
solicitações de compressão (O’CONNOR, 1976).
Pontes sobre duas vigas, desde que de estrutura e carregamentos
simétricos são mais simples de prever a distribuição das cargas da superestrutura
até a fundação, já que os carregamentos serão divididos simetricamente entre as
duas vigas sem que outras partes da ponte influenciem nessa divisão (O’CONNOR,
1976).
Pontes sobre mais de duas vigas são chamadas pontes em grelha porque as
vigas longarinas juntamente com as transversinas formam uma espécie de grelha, e
que juntamente com a laje contribuem para a distribuição de carregamentos por toda
a ponte de forma interligada. Isso quer dizer que um carregamento atuante em uma
determinada viga exerce influência sobre cada uma das outras estruturas da ponte
(O’CONNOR, 1976), sendo errado fazer o cálculo dessa estrutura sem levar isso em
consideração.
Sobre dois apoios
As vigas longarinas sobre dois apoios são isostáticas e são consideradas
simplesmente apoiadas (LEONHARDT, 1978), como demonstrado nas figuras
esquemáticas a seguir:
Figura 2.2 – Esquema longitudinal de ponte sobre dois apoios
FONTE: LEONHARDT, 1978
5
a. Sobre dois apoios com vários vãos
LEONHARDT (1978) afirma que:
Móveis longitudinalmente em todos os apoios, exceto um deles
A laje do tabuleiro é livre de juntas até 3 ou 4 vãos
b. Sobre dois apoios com balanços e com vigas apoiadas nos balanços (vigas
Gerber)
Segundo LEONHARDT (1978), pode-se afirmar que:
São isostáticas
Possuem juntas no tabuleiro
Podem ter pilares entre o apoio móvel e a viga Gerber. Esse tipo de estrutura
é vantajoso no caso de vigas pré-moldadas.
Figura 2.4 – Esquema longitudinal de ponte sobre dois apoios com balanços de vigas Gerber e exemplos de seções transversais de pilares para vigas Gerber. FONTE: LEONHARDT, 1978.
Figura 2.3 – Esquema longitudinal de ponte sobre dois apoios com vários vãos
FONTE: LEONHARDT, 1978
6
c. Contínua de vários vãos
Em LEONHARDT (1978), afirma-se que:
Consegue-se maior esbeltez e com isso maior economia de concreto
Nesse tipo de ponte é essencial a busca por momentos iguais em todos os
vãos, por isso é comum que os vãos das extremidades sejam menores que os vãos
centrais. Isso porque os momentos nulos nas extremidades ocasionariam um
momento maior no meio dos vãos de extremidade, portanto se o vão em questão for
reduzido, o momento no meio do vão também o é, tendo-se então a situação a
seguir:
2.2.1.2. PONTE EM ARCO
(O’CONNOR, 1976) define as pontes em arco como a seguir:
Permite a transposição de rios muito profundos ou vales sem a necessidade
de pilares muito altos;
O arco é desenvolvido no projeto de modo a seguir a linha de pressões, para
que as solicitações devidas às cargas permanentes sejam unicamente de
compressão;
Seu emprego deve ser feito com cautela, pois essa estrutura desenvolve forças
horizontais nas extremidades do arco que estão em contato com o solo. Por isso não
é recomendável para locais onde o solo não é muito resistente;
Pode ter arco biarticulado (articulado apenas nas extremidades), triarticulado
(com rótula no meio do arco) ou bi engastado (sem articulações).
Figura 2.5 – Esquema longitudinal de ponte contínua de vários vãos FONTE: O autor
7
2.2.1.3. PONTE PÊNSIL
A partir de (O’CONNOR, 1976), pode-se dizer que:
Considerada competitiva com relação aos outros tipos de pontes para
estruturas de vãos que excedem 600m, fato este que não exclui o seu emprego para
pontes com vãos menores;
Sua principal característica está no cabo flexível espiralado ou formado por
fios torcidos, de alta resistência. Esse cabo tem como função transferir as cargas de
maior importância às torres e ancoragens por tração simples;
Usa pendurais ou tirantes de alta resistência à tração, que suspendem o
tabuleiro. Devido a isso, a estrutura de concreto da ponte é reduzida apenas ao
tabuleiro, fundações e torres, fazendo com que essa estrutura seja economicamente
interessante para pontes de grandes vãos, aonde o peso próprio produz grandes
solicitações.
Figura 2.6 – Esquema longitudinal de ponte em arco com estrado intermediário FONTE: O autor
Figura 2.7 – Esquema longitudinal de ponte pênsil FONTE: O autor
8
2.2.1.4. PONTE ESTAIADA
Em seu livro, (O’CONNOR, 1976) aponta que:
Pode parecer semelhante a uma ponte pênsil, porém a ponte estaiada difere
em diversos aspectos da ponte pênsil. Um exemplo disso são seus cabos (estais),
que são dispostos retos oferecendo maior rigidez à estrutura quando comparado a
cabos curvos;
Os cabos são de alta resistência à tração e passam do acesso à torre
chegando ao vão principal do tabuleiro. Ali provocam forças inclinadas das quais
suas componentes horizontais exercem compressão no vão do tabuleiro. São
dimensionados quanto à deformação e não à ruptura.
O arranjo dos cabos pode ser em leque (em que os cabos convergem para o
topo da torre), em harpa (em que os cabos são dispostos paralelamente), ou
modificações dessas duas variações;
É conveniente dispor de macacos hidráulicos no topo das torres ou nas
ancoragens para que seja possível a calibração do cabo, pois ao longo do tempo os
cabos sofrem deformações que acabam diminuindo seu efeito no suporte da
estrutura. Além disso, esses macacos podem ser úteis, caso se faça necessária uma
modificação na distribuição de tensões ao longo do tabuleiro, permitindo a protensão
de acordo com a necessidade;
Os estais são úteis também para o processo de execução, servindo de
escoramento;
Esse tipo de ponte é mais eficiente no suporte de cargas móveis (ao contrário
da ponte pênsil), fazendo com que essa estrutura, geralmente, não apresente
vantagens econômicas para pontes muito longas, atendo-se a tamanhos de vãos de
até aproximadamente 350m.
Figura 2.8 – Esquema longitudinal de ponte estaiada FONTE: O autor
9
2.2.2. VIGAS
As vigas são elementos estruturais que possuem como solicitações
predominantes as forças cortantes, momentos fletores e momentos de torção. Em
pontes elas podem ser chamadas de longarinas quando referidas às vigas dispostas
longitudinalmente ao comprimento da ponte e de transversinas quando são
transversais a ao eixo longitudinal da ponte.
As cortinas são consideradas transversinas especiais, que são colocadas na
extremidade da ponte para suporte da laje e contenção do aterro (PFEIL, 1990).
Frequentemente nesse trabalho as vigas longarinas serão denominadas
simplesmente por vigas, e as transversinas serão referenciadas apenas como
transversinas e não como vigas.
São as vigas que recebem as cargas da laje e as transmitem à
mesoestrutura. As vigas podem ser caracterizadas como a seguir (LEONHARDT,
1978):
Viga de banzos paralelos
Não possui variação de altura ao longo de sua longitudinal;
A face inferior é paralela à linha do greide (inclusive em pontes inclinadas
verticalmente).
Usada em pontes de um só vão:
Usada em pontes com viga contínua de vários vãos
Figura 2.9 – Esquema longitudinal de ponte com vigas de banzos paralelos FONTE: O autor
Figura 2.10 – Esquema longitudinal de ponte de viga contínua com curva vertical e de banzos paralelos FONTE: O autor
10
Viga com mísulas
Segundo (LEONHARDT, 1978), as vigas com mísulas possuem as
seguintes características:
Por ser mais rígida nos apoios (devido às mísulas) quando comparada com
vigas retas, absorve mais momento nos apoios, aliviando os momentos do meio do
vão;
As mísulas podem ser retas, em que os perfis são totalmente retilíneos:
Ou podem ser curvas, onde os perfis precisam de concordância vertical:
A seção transversal das vigas e transversinas podem ser das mais variadas.
A seguir apresentam-se as mais utilizadas:
Vigas de seção “T”
Essas vigas podem ser moldadas in loco ou pré-moldadas. Esse tipo de
vigas visa um melhor aproveitamento da distribuição de tensões ao longo da seção
transversal da estrutura e consequentemente economia de material, pois onde se
espera obter grande nível de compressão do concreto, é onde se tem a mesa. Logo
abaixo da linha neutra, já é possível que sua seção seja mais delgada, já que a
responsável por resistir às solicitações de tração atuantes nessa região é a
armadura e não o concreto.
É comum recorrer a um alargamento na base desse tipo de viga para uma
melhor acomodação da armadura inferior. A alma da viga deve ser o mais delgada
possível, pois isso evita que as fissuras devido às forças cortantes sejam muito
Figura 2.11 – Esquema longitudinal de ponte com vigas com mísulas verticais retas FONTE: O autor
Figura 2.12 – Esquema longitudinal de ponte com vigas com mísulas verticais com curvas de concordância FONTE: O autor
11
grandes. Apesar disso, deve-se ter cautela ao minimizar a espessura da alma, pois
devido à solidarização da mesa da viga com a laje, o eixo baricêntrico da viga é
muito alto, limitando a resistência à compressão da viga. A solução para esse
problema é aumentar e espessura da alma, fazer mesas de compressão na base ou
fazer uso de armaduras de compressão (LEONHARDT, 1978)
Esse tipo de viga é apropriado para concreto armado e uso de protensão
parcial (LEONHARDT, 1978).
Vigas caixão
As vigas caixão são as denominadas estruturas de seção celular. Essas
vigas podem ser moldadas in loco, mas estão também disponíveis no mercado pré-
moldadas. Possuem como principal característica a grande rigidez à torção, sendo
de grande utilidade para pontes que, devido a limitações locais, possuem apenas
um pilar. Além disso, elas são muito utilizadas para pontes curvas ou de largura
variável, apresentam um bom comportamento perante a variação da distância entre
almas das vigas e do balanço da laje (LEONHARDT, 1978).
As vigas caixão pré-moldadas são muito úteis para pontes em aduelas, em
que se faz o encaixe de várias peças pré-moldadas respectivas. Podem também
usar uma peça única contínua para todo o vão, porém isso exige o uso de
equipamentos pesados para içamento e consequentemente espaço amplo e um
terreno capaz de suportar os equipamentos (LEONHARDT, 1978).
2.3. SOLICITAÇÕES
As pontes podem ser solicitadas por (NBR 7187:2003):
Cargas permanentes
Cargas variáveis
Cargas excepcionais
12
2.3.1. CARGAS PERMANENTES
As cargas permanentes são aquelas provenientes do peso próprio da
estrutura, inclusive do pavimento, barreiras, guarda-corpo, dispositivos de
sinalização, lastros, trilhos, dormentes (no caso de pontes ferroviárias), enfim, todas
as cargas que atuam ao longo de toda a vida útil da obra (NBR 7187:2003).
2.3.1.1. PESO PRÓPRIO
Segundo a norma NBR 7187:2003, no item 7.1.1, os pesos específicos do
concreto devem ser considerados como:
25kN/m³ para concreto armado ou protendido;
24kN/m³ para concretos simples e para pavimentação, sendo que para a
última considera-se uma sobrecarga de 2kN/m² para um possível recapeamento.
2.3.1.2. EMPUXO DE TERRA
O empuxo de terra também é considerado com uma carga permanente,
sendo que essa carga deve obedecer a alguns parâmetros (NBR 7187:2003):
Peso específico úmido da terra deve ser considerado de no mínimo 18kN/m³;
Ângulo de atrito interno máximo de 30º.
2.3.1.3. EMPUXO DA ÁGUA
O empuxo da água e a subpressão devem ser considerados nas situações
mais desfavoráveis, ou seja, devem-se levar em consideração as situações de
carregamentos para máximas e mínimas cheias (NBR 7187:2003).
Nos encontros faz-se necessário o uso de uma camada filtrante contínua no
local em contato com o solo, juntamente com drenos, de modo a evitar pressões
hidrostáticas na estrutura. É comum utilizar para drenos 1,0cm² de área a cada m²
de área de influência do dreno (NBR 7187:2003).
13
2.3.1.4. FLUÊNCIA E RETRAÇÃO
Outras cargas que devem ser levadas em consideração no projeto de uma
obra de arte especial são a fluência e a retração. a fluência ou deformação lenta do
concreto é, segundo MARCHETTI (2008), a “redução de volume das peças de
concreto quando sujeitas permanentemente a uma força normal de compressão”. Já
a retração é o encolhimento volumétrico da peça de concreto devido à perda de
água do mesmo (PFEIL, 1983).
Abaixo, apresenta-se a tabela retirada da norma NBR 6118:2003, no item
8.2.11, que fornece valores de coeficiente de fluência (t,t0) e retração específica
cs(t,t0) para concreto com temperatura entre 10ºC e 20ºC, sendo que a norma
permite o uso da mesma tabela para temperaturas variando entre 0ºC e 40ºC.
Sendo:
Ac = área da seção transversal
u = perímetro da seção em contato com a atmosfera
Tabela 2.1 – Valores para cálculo de retração e fluência FONTE: NBR 6118:2004
14
Ainda segundo a norma NBR 6118:2003, no item 11.3.3.1, a retração pode
ser calculada interpolando-se os valores da tabela acima e a fluência (item 11.3.3.2
da mesma norma) pode ser calculada como mostrada a seguir:
2.3.2. CARGAS VARIÁVEIS
As cargas móveis, referentes aos veículos que irão trafegar na ponte são
consideradas cargas variáveis por não estarem carregando a ponte
permanentemente, sendo que a consideração dessas cargas nos cálculos é sempre
feita de modo a considerar as piores situações. Essas cargas móveis podem ser
assimiladas a cargas estáticas através de um coeficiente de impacto que consta na
norma NBR 7187:2003 dado pela fórmula:
Onde l é o vão teórico do elemento carregado, considerado em metros.
Sendo que:
Para viga simplesmente apoiada, l=lvão
Para viga em balanço, l=2lb
Figura 2.13 – Viga simplesmente apoiada FONTE: O autor
Figura 2.14 – Viga em balanço FONTE: O autor
15
Para viga contínua,
A norma NBR 7188:1982 na seção 3.5, trata justamente das cargas móveis
nas estruturas de pontes. Abaixo se apresentam duas tabelas retiradas da norma
referentes aos veículos, suas cargas e características.
A carga de multidão é uma carga uniformemente distribuída que se utiliza no
tabuleiro, onde não há veículo. Ela é referente à solicitação na ponte proveniente
dos veículos. A figura 2.16 demonstra ilustrativamente como deve ser o
carregamento de multidão (transcrito da norma NBR 7188:1984, item 3.5):
Tabela 2.2 – Cargas dos veículos FONTE: NBR 7188:1984
Figura 2.15 – Viga contínua FONTE: O autor
16
Como acima ilustrado, o veículo-tipo possui área de 3,0 x 6,0m, área esta
que não é carregada pela multidão. O resto do tabuleiro deve ser carregado.
Abaixo será ilustrado o conteúdo da tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Características dos veículos FONTE: NBR 7188:1984
Figura 2.16 – Esquema de veículo e carga de multidão FONTE: NBR 7188:1984
17
2.3.2.1. FRENAGEM E ACELERAÇÃO
Os esforços horizontais longitudinais da ponte também devem ser
considerados, porém essa consideração só é feita no dimensionamento da
mesoestrutura, já que as forças horizontais devidas à frenagem não provocam
solicitações na superestrutura. São eles a frenagem e aceleração dos veículos sobre
a ponte. A norma NBR 7187:2003, no item 7.2.1.5, impõe que:
“O valor característico da força longitudinal provocada pela frenação ou pela aceleração de veículos sobre as pontes deve ser tomado como uma fração das cargas móveis, consideradas sem impacto. Nas pontes rodoviárias, a força longitudinal devida à frenação ou à aceleração dos veículos deve ser considerada aplicada na superfície de rolamento e igual ao maior dos seguintes valores: 5% do peso do carregamento do tabuleiro com as cargas móveis distribuídas, excluídos os passeios, ou, 30% do peso do veículo tipo.”
Figura 2.17 – Tipos, cargas e dimensões dos veículos-tipo FONTE: NBR 7188:1984
18
2.3.2.2. VENTO
A ação do vento é importante, mas suas solicitações são relevantes apenas
no dimensionamento da mesoestrutura e infraestrutura. Para esses casos,
recomenda-se consultar a norma “Forças devidas ao vento em edificações” da
ABNT NBR 6123:1988.
2.3.2.3. PRESSÃO DA ÁGUA EM MOVIMENTO
A pressão da água em movimento deve ser avaliada segundo explica a
norma NBR 7187:2003 no item 7.2.5, transcrita abaixo:
“A pressão da água em movimento sobre os pilares e elementos das fundações pode ser determinada através da expressão:
Onde: p é a pressão estática equivalente, em quilonewtons por metro quadrado; va é a velocidade da água, em metros por segundo; k é um coeficiente dimensional, cujo valor é 0,34 para elementos com seção transversal circular. Para elementos com seção transversal retangular, o valor de k é função do ângulo de incidência do movimento das águas em relação ao plano da face do elemento, conforme a tabela 1.”
Tabela 2.4 – Valores de k para o cálculo de pressão da água em movimento FONTE: NBR 7187:2003
19
2.3.2.4. VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Costuma-se utilizar como variação de temperatura em estruturas de pontes
um valor de T15ºC. Essa variação tem como efeito uma variação de comprimento
na superestrutura da ponte, além de esforços solicitantes na mesoestrutura que
provocam um deslocamento no topo dos pilares.
2.3.3. CARGAS EXCEPCIONAIS
São consideradas ações excepcionais aquelas produzidas por cargas
decorrentes de circunstâncias anormais. No caso de obras de arte especiais, essas
circunstâncias podem ser choques de objetos móveis contra a estrutura, explosões,
desastres naturais, entre outros (NBR 7187:2003).
No caso de choques, é possível dispensar a verificação quanto a essa
situação se no projeto da mesoestrutura já estiverem previstos dispositivos de
proteção. Para as outras situações de cargas especiais, a verificação só deve ser
feita caso o proprietário da obra considere necessária (NBR 7187:2003).
2.4. ARMADURA DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO
A norma de projetos de estruturas de concreto NBR 6118 prescreve taxas
de armadura mínima e máxima para as estruturas, bem como espaçamentos. A
seguir serão indicados alguns desses limites.
2.4.1. LIMITES PARA ARMADURA LONGITUDINAL
A taxa mínima de armadura é definida como sendo:
Pode-se resumir a tabela apresentada no item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003
da seguinte maneira:
20
Para vigas que atuam com armaduras de compressão, define-se:
2.4.2. LIMITES PARA ARMADURA TRANSVERSAL
Equação 2.1 – taxas mínimas de armadura longitudinal de vigas FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.2 – taxa máxima de armadura longitudinal de vigas com armadura de compressão FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.3 – limites para estribos FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.4 – limites para estribos FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.3 – espaçamentos verticais e horizontais de armadura longitudinal FONTE: MARINO, 2006
21
2.5. ARMADURA DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
As armaduras de lajes de concreto armado devem obedecer aos limites
impostos pela norma NBR 6118:2003. Os itens a seguir apresentam equações para
limites mínimos e máximos de armadura baseadas nas especificações na norma.
2.5.1. LIMITES MÍNIMOS
2.5.2. LIMITES PARA ARMADURA DE FLEXÃO
Equação 2.5 – limites mínimos de armadura negativa de lajes, por metro de laje. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.6 – limites mínimos de armadura positiva de laje armada em duas direções, por metro de laje. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.7 – limites mínimos de armadura positiva principal de laje armada em uma direção, por metro de laje. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.8 – limites mínimos de armadura positiva secundária de laje armada em uma direção, por metro de laje. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.9 – diâmetro máximo da armadura de flexão FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.10 – limites de espaçamento para a armadura principal de flexão. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.11 – limites de espaçamento para a armadura secundária de flexão. FONTE: MARINO, 2006
22
2.5.3. LIMITES PARA ARMADURA DE FLEXÃO
2.5.4. LIMITES PARA ARMADURA DE CISALHAMENTO
Equação 2.12 – limites de espaçamento para a armadura de flexão constituída de barras alternadas. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.13 – limite para armadura de fissuração na direção de menor dimensão da laje, por metro de laje. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.14 – limite para armadura de fissuração na direção de maior dimensão da laje, por metro de laje. FONTE: MARINO, 2006
Equação 2.15 – taxa de armadura de cisalhamento na região próxima ao apoio. FONTE: MARINO, 2006
23
3. METODOLOGIA E RESULTADOS
3.1. LANÇAMENTO DA ESTRUTURA
3.1.1. CRITÉRIOS INICIAIS
O projeto de uma ponte deve ser baseado em vários dados iniciais
(LEONHARDT, 1978):
a. Planta de situação, onde é visualizada a estrutura dentro do contexto da
região, objetos, rios ou vias a serem transpostas, etc;
b. Seção longitudinal em que já se tem ideia do gabarito do rio ou via
transpostos;
c. Largura da ponte dentro da qual será inserida a largura das faixas,
acostamentos, canteiros centrais, etc;
d. Condições das fundações com dados obtidos por inspeções de campo de
modo a encaminhar as possíveis soluções de estruturas de fundação;
e. Condições locais como, por exemplo, as estradas de acesso ao local da obra,
possibilidade de transporte de materiais, presença ou não de matérias-primas na
região, etc;
f. Condições meteorológicas e ambientais, de modo a ser feito um planejamento
de execução da obra que não conflite com a natureza como épocas de cheia, de
seca, de congelamento, entre outros;
g. Estética e meio ambiente, para que a estrutura não seja chocante em
contraposição com o ambiente a ser inserida;
h. Exigências relativas ao meio ambiente que são as condições de acabamento
da estrutura ou de medidas de proteção que dependem do ambiente da obra. No
caso de pontes ou viadutos em cidades, onde a estrutura é vista mais de perto, o
acabamento da mesma deve condizer com essa situação para que a estrutura seja
agradável esteticamente.
Observados todos os aspectos acima descritos, prossegue-se à
elaboração do projeto. A primeira coisa a se fazer então é decidir que tipo de ponte é
mais adequado para a situação em estudo.
24
No presente trabalho será abordado apenas o pré-dimensionamento da
superestrutura para uma ponte ou viaduto de concreto armado com laje apoiada em
duas vigas paralelas. Com isso já definido, inicia-se a determinação do comprimento
da ponte, largura, entre outros aspectos.
3.1.2. DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DA ESTRUTURA
Para que seja possível definir o comprimento da ponte, é de extrema
importância prestar atenção em todos os obstáculos a serem transpostos pela
estrutura em estudo, bem como suas características. Por exemplo, se a estrutura a
ser projetada é uma ponte, ela deverá transpor um rio, mesmo em sua máxima
cheia, com tráfego de veículos (barcos, navios, etc). O mesmo se aplica para um
viaduto que transpõe uma determinada via, em que se deve levar em consideração
o tipo de veículos que trafegam nessa via para que não haja problemas futuros.
Através dessa análise então se define a “altura livre” abaixo da ponte, que
nada mais é o que a distância medida verticalmente do ponto mais baixo da
superestrutura até o ponto mais alto do obstáculo transposto (no caso o rio ou via).
Em posse de dados topográficos do local e da pré-determinação da cota
onde a ponte/viaduto deve estar, é possível então prever o comprimento da ponte da
seguinte forma:
1º. De maneira bem simplificada, desenha-se uma linha na cota do obstáculo a
ser transposto e uma linha na cota de projeto;
2º. Desenha-se a inclinação do talude do aterro (2:3) a partir da cota do
obstáculo a ser transposto até a cota de projeto;
3º. Define-se onde serão as cortinas para expressar uma ideia do início e fim da
ponte. É conveniente que as cortinas tenham uma altura de aproximadamente 2,00
metros;
4º. Verifica-se a locação dos pilares;
5º. Verifica-se no desenho o comprimento que ficou a ponte.
25
Para uma melhor visualização, será apresentada uma exemplificação1 para
que seja feita uma análise completa do tema abordado.
EXEMPLO: Considerando uma via de largura total de 23,60m, localizada na cota
91,80m que será transposta por um viaduto na cota 100,00m.
O comprimento do viaduto é determinado seguindo os passos indicados no
anteriormente.
Deve-se saber então, onde os pilares podem ser locados. Na exemplificação
acima não seria conveniente colocar pilares no meio da via a ser transposta,
limitando as possibilidades de locação dos pilares. A partir disso, define-se
aproximadamente onde estarão os pilares através de uma regra básica:
2
Onde:
o lv = comprimento do vão da ponte (entre apoios)
o lb = comprimento dos balanços
1 Exemplificação retirada das notas de aula do professor Jorge Ceccon.
2 Essa regra não compõe nenhuma norma, é baseada em e experiências anteriores de outros autores e/ou engenheiros projetistas.
Figura 3.1 – Esquema longitudinal de viaduto na fase de pré-dimensionamento. FONTE: O autor
Figura 3.2 – Esquema de distribuição dos apoios ao longo do viaduto. FONTE: O autor
26
Assim, do exemplo acima teríamos:
o Com
o Com
Então, adota-se um valor inteiro:
Com o valor do comprimento entre pilares, pode-se tirar o comprimento dos
balanços:
Como a distância do início do viaduto ao início da via é 9,30m, verifica-se se
os pilares não estão invadindo a pista abaixo:
3.1.3. DEFINIÇÃO DA ALTURA CONSTRUTIVA DISPONÍVEL
A altura de construção refere-se à distância medida entre o ponto mais alto
da superfície do estrado e o ponto mais baixo da superestrutura. Essa altura é de
extrema importância para o projeto, pois ela pode ser decisiva para a escolha do tipo
de estrutura a ser adotado.
Para que seja possível a definição da altura construtiva e consequentemente
da altura das vigas, faz-se necessário saber o gabarito da via ou rio a serem
transpostos.
O gabarito refere-se ao conjunto de espaços livres que a ponte deve
apresentar para cumprir com suas finalidades permitindo o escoamento do fluxo
abaixo da estrutura. Em outras palavras, corresponde às distâncias verticais e
horizontais mínimas a serem respeitadas pela estrutura que será implantada acima
da via/rio.
A seguir se apresenta um exemplo de gabarito para um viaduto acima de
uma rodovia.
Figura 3.3 – Gabarito para um viaduto sobre rodovia. FONTE: PFEIL, 1979.
OK
27
EXEMPLO (continuação): A partir das cotas fornecidas e considerando que o
gabarito do viaduto seja de 5,50m na vertical é possível determinar a altura
construtiva:
( )
Com a altura construtiva, prossegue-se à determinação da altura das vigas.
Nesse caso, será adotado Hviga=Hcostrutiva=2,70m
A partir de experiências anteriores, os projetistas tendem a seguir a seguinte
regra básica: 1
Sendo:
o H = altura da viga
o lv = comprimento do vão da ponte (entre apoios)
Assim, para o exemplo:
Caso o valor de H fosse menor que ⁄ , seria recomendável adotar
soluções alternativas para a viga, como por exemplo um maior número de vigas,
vigas em concreto protendido ou vigas mistas.
Em posse desses resultados, é possível desenhar a seção longitudinal da
ponte de maneira esquematizada:
3.1.4. DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
A seção transversal de uma ponte ou viaduto é dependente da classe a que
essa estrutura pertence. Os órgãos públicos responsáveis pela construção e
1 Essa regra não compõe nenhuma norma, é baseada em e experiências anteriores de outros autores e/ou engenheiros projetistas.
OK
Figura 3.4 – Esquema longitudinal de viaduto na fase de pré-dimensionamento. FONTE: O autor
28
manutenção das rodovias especificam condições técnicas que devem ser
obedecidas e que classificam as rodovias como Classe I, II ou III. Segundo o Manual
do DNER (1996), pode-se fazer a seguinte relação:
Classe I – pistas simples onde o volume médio diário de tráfego é maior que
1400 veículos;
Classe II – pistas simples onde o volume médio diário está entre 700 e 1400
veículos;
Classe III – pistas simples onde o volume médio diário de tráfego está entre
300 e 700 veículos.
As tabelas a seguir são tabelas do DNER para definir as características das
obras de arte especiais, baseadas na classe da rodovia e relevo da região.
Dependendo dos pré-requisitos necessários para a estrutura em estudo,
prossegue-se à verificação da classe da estrutura.
Tabela 3.1 – Velocidades diretrizes (km/h) em rodovias federais. FONTE: ARAÚJO, 1999.
Tabela 3.2 – Raios mínimos de curvatura horizontal (m) em rodovias federais. FONTE: ARAÚJO, 1999.
Tabela 3.3 – Rampas máximas (%) em rodovias federais. FONTE: ARAÚJO, 1999.
29
Segundo as normas do DNIT (Departamento Nacional de Infra-Estrutura de
Transportes), a largura da pista de rolamento para casos de pistas com duas faixas
de tráfego é de:
7,20m para estradas da Classe I
De 6,00m a 7,20m para estradas das Classes II e III.
Ainda segundo as mesmas normas, para estradas com duas pistas
independentes, cada uma contendo duas faixas de tráfego, adota-se largura de
7,00m para cada pista (independentemente da classe).
Os acostamentos possuem larguras variadas, que dependem da classe da
estrada. Para a Classe I, adota-se acostamentos de 2,50m de largura.
Além das larguras da(s) pista(s) de tráfego, deve-se saber o tamanho das
barreiras ou guarda-corpos a serem utilizados na ponte. O tamanho dessas
estruturas é normalizado, e elas são pré-moldadas, sendo que no projeto da
estrutura de pontes não se faz necessário o desenvolvimento do projeto da barreira.
Deve-se apenas indicar qual o tipo de barreira/guarda-corpo a ser usado, bem como
indicações das juntas dessas estruturas com o estrado da ponte e a execução das
mesmas.
As figuras abaixo ilustram, segundo a norma do DNIT de projeto de barreiras
de concreto, os tamanhos referentes a barreiras simples e duplas (comumente
usadas para dividir duas pistas). A tabela também retirada da norma mostra os
tamanhos máximos e mínimos admissíveis para cada tipo de barreira.
Figura 3.5 – Seções transversais das barreiras lateral e interna tipo “New Jersey”. FONTE: Norma DNIT “Projeto de barreiras de concreto”, 2009.
30
Normalmente, as barreiras laterais das pontes são usadas com 0,40m de
largura e 0,87m de altura. As barreiras internas são as chamadas barreiras duplas, e
geralmente possuem seção de 0,60m de largura por 0,87m de altura.1
Além das estruturas de barreira, também podem ter estruturas chamadas
guarda-corpo nas laterais da ponte. Essas estruturas são usadas para a proteção
lateral de passarelas de pedestres. Seu dimensionamento leva em consideração
uma força horizontal aplicada de 80kgf/m de comprimento do guarda-corpo.
Com a posse dessas informações é possível definir a seção transversal da
ponte.
EXEMPLO (continuação): Considerando que o viaduto a ser construído será de
apenas uma pista de tráfego, teríamos:
Duas barreiras laterais de largura igual a 0,40m
Dois acostamentos de 2,50m
Uma pista de 7,20m (dependendo da classe da ponte pode ser menor, porém
aqui será adotada a maior largura recomendada pela norma).
Com isso, pode-se determinar a largura entre eixos de vigas e nos balanços:
; onde:
o B = largura do vão entre eixos de vigas
o b = largura entre o eixo da viga e a extremidade do balanço
Para que seja possível a determinação desses valores, costuma-se usar a
seguinte regra básica:
1 As dimensões citadas das barreiras são dimensões usadas corriqueiramente em projetos de pontes; não foram retiradas de nenhuma norma.
Tabela 3.4 – Dimensões das seções transversais das barreiras lateral e interna tipo “Jersey”. FONTE: Norma DNIT “Projeto de barreiras de concreto”, 2009.
31
1
Assim, teríamos:
o Com
o Com
Poderíamos então adotar: e conseqüentemente,
.
A seção transversal da ponte poderia ser esquematicamente apresentada
como na figura a seguir:
3.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA – DETERMINAÇÃO DAS DIMENSÕES
ESTRUTURAIS
As obras de arte especiais são estruturas consideradas de grande porte e
que possuem peculiaridades com relação a estruturas mais correntes da engenharia
civil. Por isso, além do auxílio das normas, para que o pré- dimensionamento desse
tipo de obra seja feito da maneira mais segura e rápida, recorre-se a dados obtidos
através de experiências anteriores. Assim sendo, algumas dimensões que serão
apresentadas no decorrer desse trabalho são arbitrados com base em experiências
anteriores de outros autores e projetistas.
1 Essa regra não compõe nenhuma norma, é baseada em e experiências anteriores de outros autores e/ou engenheiros projetistas.
Figura 3.6 – Seção transversal do viaduto em fase de pré-dimensionamento. FONTE: O autor.
32
A primeira coisa a se fazer no pré-dimensionamento da superestrutura de
uma ponte de concreto armado em duas vigas é definir as dimensões de suas partes
constituintes.
3.2.1. DISCRETIZAÇÃO DAS VIGAS
As vigas longitudinais, como já mostrado em itens anteriores podem ter
seções transversais de vários formatos e, inclusive, apresentar diferentes formatos
de seções transversais ao longo do seu comprimento.
É comum usar nas estruturas de pontes em concreto armado vigas de seção
T ao longo dos vão e de seção retangular nos apoios, sendo que entre uma seção e
outra se faz uma transição gradual ao longo do comprimento da viga. Dessa maneira
é possível otimizar o trabalho da viga quando solicitada, pois nos apoios ela sofre
solicitações que tendem a comprimir a face inferior e a tracionar a face superior. Já
no meio do vão, as solicitações tendem a provocar tensões de tração no banzo
inferior e compressão no banzo superior. A figura abaixo ilustra essa situação
esquematicamente:
A determinação da seção da viga é feita da seguinte forma:
1º. Arbitra-se uma armadura longitudinal para a viga (baseado em outros projetos
ou experiências anteriores);
2º. Define-se o cobrimento nominal da armadura. Esse cobrimento depende
exclusivamente da classe de agressividade ambiental a que a estrutura está sujeita.
Figura 3.7 – Vista longitudinal da viga, representação de seus esforços internos e seções transversais. FONTE: O autor.
33
A seguir, apresentam-se tabelas retiradas na NBR 6118:2003 referentes à classe de
agressividade ambiental e sua relação com o cobrimento nominal da armadura.
1
3º. Arbitra-se uma bitola para a armadura transversal (t)
1 c corresponde à tolerância de execução e é acrescido ao cobrimento mínimo admissível por
norma. Na maioria das obras esse valor é igual ou superior a 10 mm.
Tabela 3.5 – Classes de agressividade ambiental. FONTE: NBR 6118:2003.
Tabela 3.6 – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para Δc
1=10 mm.
FONTE: NBR 6118:2003.
34
4º. São definidos os espaçamentos horizontais e verticais entre barras
longitudinais. Esses espaçamentos também devem seguir as especificações da
norma NBR 6118:2003. Abaixo está transcrito um o item 18.3.2.2 dessa norma que
especifica os espaçamentos entre barras para vigas:
“O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: a) na direção horizontal (ah): . 20 mm; . diâmetro da barra, do feixe ou luva; . 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. b) na direção vertical (av): . 20 mm; . diâmetro da barra, do feixe ou da luva; . 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo.”
5º. Com o valor do cobrimento, os espaçamentos e a armadura longitudinal
arbitrada é possível arbitrar quantas barras serão usadas por camada e, através de
uma conta bem simples, se tira a largura da seção transversal da viga.
EXEMPLO (continuação): Através dos passos explicados acima, será definida a
seção transversal da viga.
A armadura longitudinal da viga será arbitrada de 40 25mm para cada
viga.
Como a estrutura a ser dimensionada faz parte de um viaduto, segundo a
tabela 3.5 percebe-se que a classe de agressividade para o ambiente urbano é
Classe II. Através da tabela 3.6 define-se o valor de cobrimento como sendo de
30mm.
A bitola do estribo será arbitrada em t=10 mm.
Com isso podemos prosseguir ao 4º passo, que é a definição dos
espaçamentos. O diâmetro máximo do agregado para esse exemplo será
considerado igual a 2,50 cm.
o Espaçamento horizontal entre barras da armadura longitudinal:
[
]
35
o Espaçamento vertical entre barras da armadura longitudinal:
[
]
Se forem arbitradas 10 barras por camada, a distância entre as
extremidades das barras longitudinais é expressa como:
o
Daí calcula-se a largura da seção transversal da viga (bw):
o ( ) ( )
Abaixo se apresenta um desenho esquemático para melhor visualização da
disposição dos elementos de aço dentro da seção da viga:
Nos apoios será adotado um bw igual ao diâmetro do pilar. Se considerarmos
um diâmetro do pilar igual a 100 cm (valor arbitrado baseado em outras obras),
teremos então .
Com isso já dá para perceber que próximo aos apoios as vigas terão mísulas
horizontais. Essas mísulas também têm dimensões baseadas em experiências de
projetos anteriores, sendo bastante comum adotar: (
), onde:
o = comprimento do vão longitudinal entre apoios
Figura 3.8 – Vista da seção transversal da viga para os espaçamentos de armadura indicados. FONTE: O autor.
36
Assim, teríamos:
( ) (
)
As outras dimensões da viga, como as mísulas verticais são definidas
baseadas em outros projetos. Nesse projeto serão adotadas mísulas de 15cm de
altura (na parte voltada ao lado externo da seção transversal) e de 10cm de altura
por 100cm de comprimento (na parte voltada para o lado interno da seção
transversal do viaduto). Posteriormente serão ilustradas as seções com as
dimensões referidas para uma melhor análise e visualização.
3.2.2. DISCRETIZAÇÃO DAS TRANSVERSINAS
As transversinas ou vigas transversais geralmente são feitas de modo a não
se unirem à laje do tabuleiro para que a armadura na laje seja constante em toda a
sua extensão. Além disso, elas são feitas de modo a ficarem com seção transversal
de altura menor que a da viga para que a armadura inferior da mesma não conflite
com a armadura da transversina. Tendo como referência outros projetos, pode-se
afirmar que as transversinas possuem espessura de alma entre 20 e 25 cm.
Segundo LEONHARDT (1978), a quantidade e disposição das transversinas
na estrutura da ponte podem ser adotadas de maneira simplificada como a seguir:
Para pontes com mais de três vigas, adotar transversinas no meio dos vãos
Para pontes com vigas de alma muito delgadas, adotar transversinas a ⁄ do
comprimento do vão entre apoios
Para duas vigas, adotar transversinas delgadas a ⁄ do comprimento do vão
entre apoios, apenas para evitar rotação por torção da alma das vigas.
Para a determinação da distância entre transversinas, é importante observar
a distância entre as vigas e mantê-las aproximadamente iguais. Isso fará com que o
travamento entre as vigas seja efetuado com maior eficiência.
O pré-dimensionamento geralmente é feito adotando-se dimensões
baseadas em projetos análogos ao em estudo.
37
EXEMPLO (continuação): A disposição das transversinas nesse exemplo seguirá a
recomendação dada por Leonhardt, que a distância máxima entre as transversinas
para pontes ou viadutos com duas vigas deve ser de
⁄ .
Assim, a distância seria:
⁄ ⁄ . Porém, se adotada essa
distância, haverá quatro transversinas ao longo do vão, duas delas nos apoios (uma
em cada apoio) e duas dispostas no vão, sendo que não haverá nenhuma no meio
do vão. Sabe-se que o meio do vão sofre as piores solicitações, sendo
recomendável o travamento do viaduto nessa seção.
Para que isso seja possível e o viaduto continue sendo simétrica
longitudinalmente, adota-se distância entre as transversinas de 7,50m, de modo que
haverá cinco transversinas dispostas ao longo do vão, sendo duas nos apoios (uma
em cada apoio), uma no meio do vão e duas dispostas a 7,50m à esquerda e à
direita respectivamente do meio do vão.
A seguir apresenta-se um esquema longitudinal do viaduto para uma melhor
visualização da disposição das transversinas.
As dimensões da transversina serão apresentadas sem nenhum cálculo por
se tratar de dimensões especificadas em outros projetos e que serão adotadas
nesse exemplo.
o Para transversina de apoio:
bw = 25 cm;
o Para transversina de vão:
Foi adotado no meio do vão um espaçamento vertical cota da base da viga e a
cota da base da transversina de 30 cm.
bw = 25 cm;
Figura 3.9 – Vista da seção longitudinal do viaduto, já com a locação das transversinas. FONTE: O autor.
38
Assim como as dimensões de espessura da alma e da altura, as dimensões
das mísulas da transversina também são arbitradas baseadas em projetos
anteriores. A seguir estão representadas as seções da transversina de apoio e de
vão:
3.2.3. DISCRETIZAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE EXTREMIDADE
As estruturas mostradas nesse item possuem suas seções transversais bem
definidas de outros projetos, sendo possível adotar as dimensões usuais e depois
apenas verificar se essas estruturas serão apropriadas para o projeto em
desenvolvimento.
3.2.3.1. CORTINAS
As cortinas, assim como as transversinas, possuem seção transversal (bw)
variando entre 20 e 25 cm. Elas são dotadas de viguetas inferiores para uma maior
estabilidade da cortina devido ao empuxo de terra solicitante, além de uma pequena
protuberância da seção transversal (chamada consolo) que tem a finalidade de
sustentar a laje de transição. Essas duas partes da cortina também possuem
dimensões já definidas em projetos anteriores e que são freqüentemente adotadas.
Figura 3.10 – Vista da seção transversal das transversinas no apoio e no vão. FONTE: O autor.
39
Assim sendo, é possível representar a seção da cortina. A altura da seção
vai depender da altura prevista no lançamento da estrutura.
3.2.3.2. ALAS
As alas, como já explicado em seção anterior, podem ou não fazer parte da
estrutura, sendo facultativo o seu emprego dependendo do tipo de solo da locação
do projeto.
Essas estruturas são engastadas na cortina, podendo ser abertas ou
fechadas. São definidas como abertas as alas com direção perpendicular ao eixo
longitudinal da ponte e de fechadas aquelas na mesma direção do eixo da ponte. As
alas fechadas são vantajosas por diminuírem o comprimento da saia de aterro junto
à extremidade da ponte, porém possuem como desvantagem sofrerem empuxo de
terra devido à carga móvel, sendo necessário fazer a verificação quanto a esse
empuxo no dimensionamento.
A inclinação das alas segue a inclinação do aterro (2:3) e sua espessura
usualmente varia entre 15 e 20 cm. A altura é a mesma da cortina.
A seguir apresenta-se o desenho da ala:
Figura 3.12 – Vista da seção transversal da cortina, ala e inclinação do talude. FONTE: O autor.
Figura 3.11 – Vista da seção transversal da cortina e suas dimensões usuais FONTE: O autor.
40
Os valores indicados de H e h são arbitrados, sendo que h (na faixa de 20 a
30 cm aproximadamente) é bem menor que H.
3.2.3.3. LAJE DE TRANSIÇÃO
A laje de transição pode ser definida com comprimento na direção
longitudinal do eixo da ponte de aproximadamente 4,00m. Seu comprimento
transversal ao eixo da ponte varia dependendo da seção transversal da mesma,
sendo a laje de transição locada entre as duas alas e de comprimento um pouco
menor que a distância entre elas.
A folga que se dá, entre a ala e a laje de transição, é essencial para que a
laje fique livre para se movimentar conforme o terreno se acomode.
A laje de transição deve estar em contato direto com o terreno, e deve
receber um aterro logo acima. O desenho abaixo mostra as dimensões comumente
usadas para essa estrutura.
EXEMPLO (continuação): Com as estruturas de extremidade de dimensões já
definidas, podemos desenhar uma planta de meia seção longitudinal (viaduto é
simétrico longitudinalmente) mostrando esquematicamente as dimensões da
superestrutura (sem a laje) e da extremidade (ver figura 3.14).
Figura 3.13 – Vista da seção transversal da cortina com laje de transição e dimensões usuais. FONTE: O autor.
41
Figura 3.14 – Planta de meia seção longitudinal do viaduto. FONTE: O autor.
42
3.2.4. DISCRETIZAÇÃO DAS ESTRUTURAS DO TABULEIRO
3.2.4.1. LAJE
A laje maciça para as obras de arte especiais geralmente possuem uma
altura de 20cm entre vigas e de 15cm nas extremidades.
A figura abaixo ilustra a seção transversal da laje conjugada com a viga.
3.2.4.2. BARREIRA LATERAL
Com já mostrada anteriormente, a barreira é padronizada pelo DNIT.
Geralmente a seção usada para barreira lateral é a seguinte:
Figura 3.15 – Seção transversal da viga e laje com dimensões usuais. FONTE: O autor.
Figura 3.16 – Seção transversal da barreira com suas dimensões usuais. FONTE: O autor.
43
3.2.4.3. PAVIMENTO
As dimensões do pavimento também variam em cada obra, sendo que
normalmente utiliza-se um caimento de 2% do meio da seção transversal para os
bordos (até a barreira). Esse caimento pode ser dado tanto no próprio pavimento,
quanto na face superior da laje. Já foi constatado na prática que o caimento dado
diretamente na laje é mais econômico, pois o pavimento asfáltico necessita de
manutenção freqüente exigindo um gasto excedente de asfalto caso a laje seja reta.
Além disso, a execução tanto da obra quanto da manutenção futura se torna mais
simples, pois com o caimento na laje, a espessura do asfalto a ser colocado é a
mesma ao longo de toda a obra, mantendo-se a perfeição do caimento ao longo da
vida útil da ponte.
O pavimento pode ser de asfalto ou de concreto. O primeiro tem vantagens
por ser de fácil substituição e aplicação, porém pode ser danoso à estrutura devido à
sua permeabilidade, que permite o carreamento de material da superfície para
possíveis fissuras existentes na laje. O pavimento de concreto é solidário à estrutura
e pode ser executado simultaneamente com a laje. Ele deve possuir juntas
transversais de concretagem que, de acordo com o Manual de Inspeção de Pontes
Rodoviárias, deve ser de dimensões 5x5mm a cada seis metros aproximadamente
preenchidas de selantes. Além disso, deve garantir o cobrimento da armadura de no
mínimo 5cm.
A figura 3.17 demonstra a seção transversal da ponte com a distribuição do
pavimento com espessura variada ao longo da transversal e com o pavimento de
espessura homogênea ao longo da transversal.
44
EXEMPLO (continuação): No caso do exemplo, será dotada uma espessura de
pavimento asfáltico no meio do vão de 16cm. Sabendo-se que o caimento é de 2%,
através de uma regra de três, chega-se à espessura do pavimento junto à barreira.
( )
2% 2%Pavimento
2% 2%Pavimento
Seção transversal com caimento de 2% no pavimento Seção transversal com caimento de 2% direto na laje
2% 2%Pavimento
2% 2%Pavimento
Seção transversal com caimento de 2% no pavimento Seção transversal com caimento de 2% direto na laje
Figura 3.17 – Seção transversal da ponte com pavimento de espessura variada e de espessura homogênea. FONTE: O autor.
2% 2%Pavimento
16
3,8
610
300 700 300
610
Figura 3.18 – Seção transversal da ponte com pavimento de espessura variada e suas dimensões. FONTE: O autor.
45
3.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA – DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS SOLICITANTES
As forças solicitantes relevantes para o pré-dimensionamento da
superestrutura são provenientes dos carregamentos permanentes e móveis, sendo
que as cargas de empuxo, variação de temperatura, vento, frenagem/aceleração,
são não são levadas em consideração quando se está lidando com superestrutura.
As cargas permanentes atuantes na superestrutura podem ser calculadas
em duas etapas. A primeira seria referente às cargas provenientes do peso próprio
da laje, das cortinas de extremidade, das transversinas e das vigas.
A segunda etapa leva em consideração as barreiras, pavimentação e reação
da laje de transição.
No presente trabalho os cálculos serão realizados em duas etapas como
explicado acima, porém essa divisão não se faz necessária quando se trata de
estruturas de concreto armado, mas sim para concreto protendido.
Isso se explica porque a análise da protensão deve ser verificada tanto para
a carga mínima atuando na ponte (equivalente às cargas permanentes da primeira
etapa) quanto para a carga máxima (equivalente à carga permanente total, ou seja,
primeira e segunda etapas somadas).
Essa análise é feita de maneira a verificar se a força de protensão não é
excessiva quando estão atuando apenas as cargas mínimas, fato que acarretaria em
contra-flechas muito altas e conseqüentemente ruptura da estrutura. Para as cargas
máximas, a verificação deve atender à finalidade da protensão, que é eliminar os
esforços de tração no meio do vão.
3.3.1. CARGAS PERMANENTES NA SUPERESTRUTURA – 1ª ETAPA
As cargas permanentes calculadas são representadas em forças aplicadas
nas vigas longarinas, sendo que as forças de metade da ponte vão para uma
longarina e as da outra metade vão para a outra longarina. Isso é possível por se
tratar de uma estrutura simétrica e com duas vigas. Assim, se faz necessário
calcular apenas meia seção da ponte.
46
EXEMPLO (continuação): Primeiramente será ilustrada a meia seção transversal
do viaduto no vão e no apoio.
Figura 5.1
A partir das seções acima representadas, pode-se partir para o cálculo dos
pesos próprios das estruturas em uma viga. Esses pesos são distribuídos ao longo
da viga segundo o esquema de cargas da figura 3.21.
Tranversina
Viga
Laje3,8
15
15
24
0
20
0 a
27
0
60
100
10
25
02
0 16
27
0
270
Meia seção transversal do apoio
Tranversina
Viga
Laje3,8
15
15
24
027
0
60
100
10
22
02
0 16
24
0
270
Meia seção transversal do vão
A3
A5
A1
A2
A4
Figura 3.19 – Seção transversal da ponte no vão, com divisões das áreas para o cálculo da área da viga. FONTE: O autor.
Figura 3.20 – Seção transversal da ponte no apoio e suas dimensões. FONTE: O autor.
47
3.3.1.1. DETERMINAÇÃO DA CARGA g1
A carga g1 é referente à carga da seção transversal do viaduto da viga+laje
no vão.
1º. Determinação das áreas (indicadas na figura 5.1) da seção transversal:
o
o
o
o
o
2º. Cálculo de g1
A ideia é que se tenha um resultado de carga distribuída ao longo da
longitudinal da viga, então para isso, se acha uma carga distribuída por metro de
viga.
o
3.3.1.2. DETERMINAÇÃO DA CARGA g2
A carga g2 é referente ao peso próprio no balanço longitudinal da viga.
Lembrando que do início da viga até o apoio a altura da seção varia de 2,00m até
2,70m.
o
o
g2
G1g1
g4
g3
610 750 750 750 750 610
600
3000 610610
(cm)
G2
G3G4
g2
G1
g4
g3G2
G3
600
Figura 3.21 – Esquema das cargas permanentes ao longo da viga. FONTE: O autor.
48
3.3.1.3. DETERMINAÇÃO DA CARGA g3
A carga g3 é devida à mísula horizontal da viga. Então:
o ( ) ( ) ( )
3.3.1.4. DETERMINAÇÃO DA CARGA g4
o
3.3.1.5. DETERMINAÇÃO DA CARGA G1
A carga concentrada G1 corresponde à reação de apoio devido ao peso de
meia cortina de extremidade que exerce uma ação na viga.
Segundo as figuras 3.22, 3.23 e 3.24 é possível obter as dimensões para as
estruturas de extremidade a seguir:
30 20
25
20
400
2525
25
20
202
0
1001
0
Figura 3.22 – Seção transversal da cortina e da placa de transição com respectivas dimensões. FONTE: O autor
49
O cálculo do peso de meia cortina será efetuado da seguinte maneira:
Figura 3.23 – seção transversal da cortina e da ala com respectivas dimensões. FONTE: O autor
Figura 3.24 – Planta de meia seção transversal e respectivas dimensões. FONTE: O autor
50
3.3.1.5.1. CÁLCULO DO PESO DEVIDO À ALMA DA CORTINA
o Espessura (e) da alma = 0,25m
o Altura (h) da cortina = 2,00m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há alma = 6,50m
o
3.3.1.5.2. CÁLCULO DO PESO DEVIDO À VIGUETA DA CORTINA
o Largura (b) da vigueta = 0,25m
o Altura (h) da vigueta = 0,25m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há vigueta = 6,50m
o
3.3.1.5.3. CÁLCULO DO PESO DEVIDO AO CONSOLO DA CORTINA
o Largura (b) do consolo= 0,20m
o Altura (h1) do consolo = 0,20m
o Altura (h2) do consolo = 0,40m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há consolo = 6,50m – 0,15m =
6,35m
o (
) (
)
51
3.3.1.5.4. CÁLCULO DO PESO DEVIDO À MÍSULA DA CORTINA
o Espessura (e) da mísula = 1,00m
o Altura (h) da mísula = 0,10m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há mísula = 3,20m
o
3.3.1.5.5. CÁLCULO DO PESO DEVIDO À ALA
o Espessura (e) da ala = 0,15m
o Altura (h1) da ala = 0,30m
o Altura (h2) da ala = 2,00m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) da ala = 2,55m
o (
) (
)
3.3.1.5.6. CÁLCULO DO PESO FINAL
3.3.1.6. DETERMINAÇÃO DA CARGA G2
Essa carga é devida ao peso de meia transversina de apoio, ou seja, é
quando a transversina possui altura de 2,70m como demonstrado na figura 3.25. As
figuras 3.26 e 3.27 ilustram através da planta e de uma seção no apoio a
transversina do apoio.
52
O cálculo de G2 fica então:
3.3.1.6.1. CÁLCULO DO PESO DA ALMA DA TRANSVERSINA:
o Espessura (e) alma = 0,25m
o Altura (h) da alma = 2,70m – 0,20m = 2,50m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há transversina = 2,80m
Figura 3.25 – Planta de meia seção da transversina de apoio. FONTE: O autor
Seção A-A
20
10
100 100
25
270
Figura 3.26 – Seção transversal da transversina de apoio. FONTE: O autor
53
o
3.3.1.6.2. CÁLCULO DO PESO DAS MÍSULAS DA TRANSVERSINA:
o Largura (b) da mísula = 1,00m
o Altura (h) da mísula = 0,10m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há transversina = 2,80m
o Número de mísulas = 2
o (
) (
)
3.3.1.6.3. CÁLCULO DO PESO FINAL DA TRANSVERSINA DO APOIO:
3.3.1.7. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS G3 E G4
Essas cargas que atuam na viga são devidas ao peso de meia transversina
de vão, seção em que a transversina possui uma altura total de 2,40m. As figuras
3.27 e 3.28 representam a planta e seção na região da transversina de vão.
Figura 3.27 – Planta de meia seção da transversina de vão. FONTE: O autor
54
O cálculo de G3 e G4 fica então:
3.3.1.7.1. CÁLCULO DO PESO DA ALMA DA TRANSVERSINA:
o Espessura (e) alma = 0,25m
o Altura (h) da alma = 2,40m – 0,20m = 2,20m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há transversina = 3,20m
o
3.3.1.7.2. CÁLCULO DO PESO DAS MÍSULAS DA TRANSVERSINA:
o Largura (b) da mísula = 1,00m
o Altura (h) da mísula = 0,10m
o c = 2,50tf/m³
o Comprimento (c) de meia seção onde há transversina = 3,20m
o Número de mísulas = 2
o (
) (
)
Seção A-A
20
10
100 100
25
240
Figura 3.28 – Seção transversal da transversina de vão. FONTE: O autor
55
3.3.1.7.3. CÁLCULO DO PESO FINAL DA TRANSVERSINA DO VÃO:
3.3.2. CARGAS PERMANENTES NA SUPERESTRUTURA – 2ª ETAPA
EXEMPLO (continuação): Na figura 3.29 é apresentado o esquema longitudinal da
viga para as cargas permanentes da 2ª etapa.
3.3.2.1. DETERMINAÇÃO DA CARGA G5:
A carga distribuída da segunda etapa é referente ao peso das barreiras e do
pavimento por metro de comprimento da viga.
3.3.2.1.1. CÁLCULO DO PESO DA BARREIRA:
Como o cálculo está sendo feito apenas para a carga que age em uma
longarina, então se calcula o peso de apenas meia seção da ponte que, no exemplo
em estudo, possui apenas uma barreira.
Para ficar mais fácil o cálculo, divide-se a área da barreira em várias partes
(figura 3.30) e calcula-se o peso para cada parte, somando tudo no final.
o (
)
o (
)
o
Figura 3.29 – Esquema de cargas da viga das cargas permanentes da segunda etapa (laje de transição, cortina de extremidade, pavimento barreiras). FONTE: O autor
56
87
17,5 5 17,5
47
25
15
40
A1
A2
A3
o
Sabendo-se que c=2,50tf/m³ e que para se ter uma carga por metro de
comprimento multiplica-se a área por 1,0, tem-se:
3.3.2.1.2. CÁLCULO DO PESO DO PAVIMENTO:
Da figura 3.18 tem-se:
o Altura do pavimento no meio do vão = 0,16m
o Altura do pavimento junto à barreira = 0,040m
o Largura da seção ao longo do qual há pavimento = 6,10m
o Considerando, segundo o item 7.1.1 da NBR 6118:2003, que pavimento =
2,40tf/m³.
(
)
3.3.2.1.3. CÁLCULO DO PESO FINAL:
Figura 3.30 – Seção transversal da barreira dividida em áreas para cálculo. FONTE: O autor
57
3.3.2.2. DETERMINAÇÃO DA CARGA G5:
Essa carga é concentrada nas extremidades da viga por se tratar da reação
de apoio do conjunto composto por laje de transição, aterro e pavimento sobre a
laje, que por sua vez causa uma ação na viga. Também nesse caso é válida a
simetria da ponte, portanto calcula-se apenas meia seção.
Primeiramente é feito o cálculo de peso atuante por metro quadrado de laje.
Tem-se então:
o
o (
)
o (
)
Depois de calculado o peso por metro quadrado de laje, passa-se ao cálculo
da reação (R) desse conjunto que atua na viga como uma ação. Para isso,
simplifica-se a placa de transição como uma laje simplesmente apoiada com uma
carga distribuída de g=1,19/m². A figura 3.31 mostra a condição de apoio e
carregamento considerados da placa de transição.
Assim:
Da figura 3.14, observa-se que o comprimento da laje de transição ao longo
da transversal do viaduto é de 12,70m menos os espaços laterais de 0,02m de cada
lado entre a placa e as alas. Com isso o comprimento da laje fica em 12,66m. Com
isso é possível obter a força G5 final (de meia seção).
4,00m
g=1,19tf/m²
R
Figura 3.31 – Esquema da placa de transição. FONTE: O autor
58
3.3.3. CARGAS MÓVEIS
A determinação das solicitações devidas às cargas móveis é feita de
maneira a se obter os máximos e mínimos efeitos. Para que seja possível fazer essa
análise, pode-se recorrer a programas, como por exemplo, o SAP2000, que se
aplica muito bem a estruturas de pontes. Esse programa utiliza o método dos
elementos finitos para a determinação dos esforços na estrutura tridimensional.
Outro programa bem simples e muito utilizado principalmente no meio
acadêmico é o FTOOL, desenvolvido e disponibilizado gratuitamente na internet pela
PUC-Rio, que demonstra as deformações e solicitações devidas a carregamentos
aplicados em estruturas planas.
Porém, apenas obter o programa e saber usá-lo não é suficiente, fazendo-se
necessário saber a teoria e como pesquisar as situações que provocam as maiores
solicitações na estrutura.
Essa pesquisa é feita, segundo manda a norma NBR 7188:1984, através da
linha de influência. A linha de influência de uma determinada solicitação (Sm) no
ponto m é uma linha ao longo da peça estrutural que apresenta ordenadas capazes
de fornecer o valor da força Sm para cada posição da carga unitária (PFEIL, 1990).
Ou seja, para se achar a linha de influência de forças cortantes de uma viga de uma
determinada seção S, por exemplo, divide-se a viga em várias seções (quantas se
fizerem necessárias ou possíveis), aplica-se uma carga P=1 na seção desejada,
acha-se a força cortante para essa seção devido à carga unitária (ou seja o efeito
que a carga unitária aplicada na seção S provoca nas outras seções) e finalmente
desenha-se a linha de influência.
Uma maneira bem simples de se fazer isso é, após encontrar a ordenada
correspondente à seção onde a carga foi aplicada, desenhar o diagrama linearmente
cruzando com a linha da viga nos apoios, de modo que seja possível a determinação
do valor da ordenada de qualquer outra seção por trigonometria, desde que
conhecidas as distâncias entre seções.
59
Para achar a máxima solicitação de força cortante na seção S devido a certa
carga, multiplicam-se os valores das cargas concentradas aplicadas ao longo da
viga por suas respectivas ordenadas. No caso de a carga solicitante ser distribuída,
ela é multiplicada pela área da linha de influência sobre a qual é aplicada.
Abaixo será apresentada uma pequena exemplificação para uma melhor
visualização de como usar a linha de influência em uma estrutura.
EXEMPLIFICAÇÃO: Considerando uma viga de 10,00m e uma carga
concentrada na seção 5 de P=5tf e uma carga distribuída ao longo de toda a viga de
p=0,50tf/m, representar a linha de influência de força cortante no meio do vão e a
máxima força cortante nessa seção.
Solução
Primeiramente, divide-se a viga em seções. No caso serão feitas 10 seções
espaçadas de 1,00 metro (figura 3.32).
Com isso, aplica-se uma carga unitária na seção em questão e calcula-se a
força cortante nessa seção. Sabendo-se que a convenção de sinais de força
cortante é , tem-se:
Desenha-se então a linha de influência, que varia linearmente até os apoios,
onde a influência da força é zero. É importante observar que a convenção de sinais
do diagrama de linha de influência é igual à de momentos, onde negativo é acima e
positivo, abaixo da linha da viga, como mostra a figura 3.33.
V (+)V (+)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1000
Figura 3.32 – Esquema de seções na viga. FONTE: O autor
60
Então, para se achar a máxima força cortante:
(
) (
)
Analogamente, pode-se calcular a força cortante mínima, que se encontraria
o valor de -2,50tf.
É importante observar que a localização da carga unitária na seção S
determina que essa seção seja onde será pesquisada a máxima ou mínima força
solicitante. Em um caso aonde se deseja determinar as máximas e mínimas
solicitações em todas as seções, constrói-se a envoltória das linhas de influência. A
envoltória é a linha de influência cujas ordenadas de cada seção são provenientes
das linhas de influência com as cargas unitárias aplicadas em cada seção, ou seja, é
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0,500
0,500a=500 b=500
L=1000
P=1
L.I. V5
Figura 3.33 – Linha de influência da seção no meio do vão de cortantes da viga. FONTE: O autor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0,500
0,500a=500 b=500
L=1000
P=5tf p=0,50tf/m
Figura 3.34 – Carregamento na viga para forças cortantes máximas no meio do vão. FONTE: O autor
61
representada pelas máximas ordenadas possíveis devidas à carga P=1 de cada
seção.
Para o caso de cargas móveis da ponte ou viaduto, depois de encontrada a
linha de influência, a primeira coisa a se fazer é determinar o chamado “trem-tipo”
para a estrutura em estudo.
Trem-tipo é a combinação, no caso de pontes, correspondente às forças
solicitantes provenientes da carga móvel, ou seja, as forças concentradas referentes
aos eixos do veículo e as forças distribuídas de multidão. Esse trem-tipo é então
locado, com base na linha de influência, de maneira a provocar máximos e mínimos
esforços solicitantes na seção em análise.
Para a análise de uma viga de uma ponte, o veículo é locado
transversalmente ao eixo da ponte, definindo-se então a posição do trem-tipo e com
isso é calculado o trem de carga (já com o coeficiente de impacto) para a viga
longarina. Encontra-se então a linha de influência da longarina em estudo e dispõe
as cargas do trem de carga ao longo da mesma, de modo a obter os
máximos/mínimos esforços solicitantes na seção desejada da viga.
3.3.3.1. DISPOSIÇÃO DO VEÍCULO AO LONGO DA TRANSVERSAL
Como explicado anteriormente, o veículo deve ser disposto de modo a
provocar as máximas solicitações na viga em estudo. Assim sendo, para o caso em
que se tem laje sobre duas vigas, a análise da viga deve ser feita, segundo
recomendações da NBR 7188:1984, com o veículo disposto com a roda encostada
no guarda-rodas (se houver) ou apenas distanciado da barreira de modo a não
haver colisão entre a carroceria do veículo e a mesma. Ou seja, dá-se o
espaçamento da barreira de 40cm e do guarda-rodas (ou do eixo da roda quando
não houver guarda rodas) de 50cm.
A figura 3.35 ilustra a seção transversal da ponte de duas vigas com o
veículo na pior situação.
62
A figura 3.36 ilustra outra possibilidade de carregamento na viga, onde não
tem veículo, mas sim apenas carga de multidão atuando.
Sendo que p é a carga de multidão que tem valor diferente dependendo do
veículo-tipo da ponte (verificar tabelas 2.2 e 2.3).
Determinado o veículo-tipo da ponte e consequentemente suas dimensões e
valores de cargas do trem-tipo, inicia-se o processo de cálculo do trem de carga da
viga longarina. Isso é feito baseado na linha de influência de reação de apoio na viga
em estudo da transversal da ponte. O intuito desse cálculo é justamente obter os
efeitos de reação na viga em estudo que o trem-tipo causará e a partir disso ser
possível a análise dos piores efeitos na longarina.
p
QeixoQeixo
Seção Transversal
50 40
V1 V2
Figura 3.35 – Disposição do veículo e carga de multidão transversalmente à ponte de modo a obter maior carregamento na viga V2. FONTE: O autor
p
Seção Transversal
Figura 3.36 – Seção transversal da ponte carregada com carga de multidão. FONTE: O autor
63
A figura 3.37 mostra a linha de influência da reação na viga da transversal
da ponte tanto para o trem-tipo com o carregamento de veículo, quanto só para o
carregamento de multidão. É importante observar que o carregamento foi feito
apenas até o cruzamento da linha de influência com a linha de referência da ponte.
Isso é feito para que os resultados de solicitações obtidos sejam realmente os
máximos e não que sejam aliviados por cargas de sinal contrário, como aconteceria
caso o carregamento fosse aplicado ao longo de toda a largura da ponte.
Essa linha de influência é construída da mesma maneira que a linha de
influência de forças cortantes, porém, ao invés de levarem-se em conta as forças
cortantes, levam-se em conta os efeitos de reação de apoio. Para isso é aplicada
uma carga de P=1 no apoio correspondente à viga desejada e calcula-se a ordenada
para a reação de apoio nesse local, que, para condições de apoio fixo, será de
mesmo valor da carga unitária. A linha de influência é prolongada até as duas
extremidades de modo a cruzar no ponto de encontro com o outro apoio (outra viga).
Os valores das ordenadas ɳ1, ɳ2, ɳ3 e ɳ4 necessárias para o cálculo das
forças solicitantes são tirados por semelhanças de triângulo. Em posse desses
Seção Transversal
RVG
P=1
300 700 300
p
1
QeixoQeixo
123
p
14
L.I. RVG
L.I. RVG
Figura 3.37 – Linha de influência de reação da viga, locação dos carregamentos e suas ordenadas. FONTE: O autor
64
valores, podem-se calcular as forças distribuídas solicitantes (q1 e q2) e as forças
concentradas.
Uma observação deve ser feita com relação ao formato da linha de
influência. Para estruturas isostáticas, essa linha tem variação linear, sendo possível
calcular suas ordenadas e área simplesmente por semelhança de triângulos como
explicado acima. Porém, para estruturas hiperestáticas, as linhas de influência são
curvas (ver figura 3.38), sendo necessário fazer integral para calcular a área e sendo
mais simples o uso de um programa que realize esses cálculos. Apesar disso, é
possível fazer algumas simplificações nesses casos para que o cálculo manual não
seja tão exaustivo. Essas simplificações consistem em considerar a curva como
sendo várias retas, sendo possível calcular as ordenadas da mesma maneira que
para uma estrutura isostática.
O cálculo das áreas das linhas de influência, tanto para estruturas isostáticas
quanto para estruturas hiperestáticas também podem se tornar cálculos maçantes
quando feitos à mão. Assim sendo, pode-se usar a fórmula a seguir para o cálculo
de uma área como a mostrada na figura 3.39, que é baseada na soma das áreas de
vários trapézios, resultando então em:
Onde:
ɳi = ordenadas da linha de influência;
n = número de ordenadas da área em análise;
Δl = distância entre ordenadas.
Figura 3.38 – Linha de influência de estrutura hiperestática. FONTE: O autor
L.I. RVG
2 3 45
l l l l l
1
6=0
Figura 3.39 – Linha de influência de estrutura hiperestática e suas ordenadas. FONTE: O autor
( ( )
)
L.I. RVG
65
Para a figura 3.39, ter-se-ia: (
) .
As forças distribuídas q1 são aquelas referentes à carga de multidão que
atua na lateral do veículo, por isso é menor que a carga q2, que é a carga de
multidão que atua, para uma visão em planta, na frente e atrás do veículo. A figura
3.40 pode ilustrar, esquematicamente, essa visão em planta e o local das cargas
distribuídas citadas.
Depois de calculadas essas forças, acrescenta-se a elas o coeficiente de
impacto e finalmente chega-se ao conjunto de cargas constituintes do trem de carga
da viga. Caso a longarina em estudo tenha balanços nas extremidades, calcula-se
um coeficiente de impacto para o vão e um para o balanço, obtendo-se no final,
trens de carga diferentes para as duas situações, devendo-se ter especial cuidado
quando for feita a análise das solicitações na viga para não usar o trem de carga
errado.
Legenda
Força q1
Força q2
Figura 3.40 – Meia seção da ponte e disposição das cargas de multidão (q1 e q2) e veículo ao longo da ponte. FONTE: O autor
66
O coeficiente de impacto é calculado pela fórmula dada na NBR 7187:2003,
como já demonstrada no item 2.3.2 desse trabalho.
EXEMPLO (continuação): Considerando que o viaduto do exemplo seja de veículo
classe 30:
3.3.3.2. DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS DO VEÍCULO-TIPO
O veículo classe 30 pesa 30tf e possui, como demonstrado na norma e na
figura 1.2 desse trabalho, três eixos distanciados longitudinalmente de 1,50m, como
demonstrado na figura abaixo:
Então se tem para cada roda a força Qeixo de:
A carga de multidão, por norma é 0,5tf/m².
Outras características do veículo-tipo podem ser vistas no item 2.2 desse
trabalho, como por exemplo, a largura das rodas.
3.3.3.3. LINHA DE INFLUÊNCIA TRANSVERSAL
Dispondo o veículo e a multidão da mesma maneira que mostrado nas
figuras 3.35 e 3.36, a linha de influência fica como mostrado a seguir:
150 150 150 150
50
200
50
Figura 3.41 – Esquema em planta do veículo-tipo classe 30. FONTE: O autor
67
Seção Transversal
RVG
P=1
300 700 300
p=0,50tf/m²
1
5tf
123
p=0,50tf/m²
14
L.I. RVG
L.I. RVG
5tf
9020050
660 10
40260700
960
Para encontrar as ordenadas da linha de influência, tem-se, por semelhança
de triângulos:
o
o
o
o
3.3.3.4. CÁLCULO DO TREM DE CARGA PARA A VIGA
Com os valores das ordenadas calculados no item anterior, tem-se:
o
o
o
Figura 3.42 – Linhas de influência de reação da transversal do viaduto. FONTE: O autor
68
Qv=13,77tf Qv=13,77tf
q2v=3,915tf/m q2v=3,915tf/m
q1v=1,852tf/m
Qv=13,77tf
150 150 150 150
Calcula-se então o coeficiente de impacto vertical segundo a fórmula:
Como a viga é bi-apoiada com dois balanços, um em cada extremo, calcula-
se o trem de carga para o vão e para o balanço.
Para o vão da viga:
Então:
o
o
o
O trem de carga para o vão da viga fica então:
Para o balanço da viga:
( )
Então:
o
o
o
O trem de carga para o balanço da viga fica então:
Figura 3.43 – Trem de carga do vão da viga. FONTE: O autor
69
Qb=15,21tf Qb=15,21tf
q2b=4,326tf/m q2b=4,326tf/m
q1b=2,046tf/m
150 150 150 150
Qb=15,21tf
3.3.4. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA VIGA – 1ª ETAPA: CARGAS PERMANENTES
A partir dos valores de peso próprio encontrados para a viga, é possível
então calcular os esforços atuantes nela, como por exemplo, as reações de apoio,
forças cortantes e momentos fletores para qualquer seção da viga.
EXEMPLO (continuação): Os esforços atuantes na viga devido às cargas
permanentes da primeira etapa de cálculo podem ser calculados com demonstrado
a seguir.
3.3.4.1. REAÇÕES DE APOIO
As cargas permanentes na viga são distribuídas como mostra a figura 5.26
de apenas meia viga, pois é simétrica longitudinalmente.
Figura 3.44 – Trem de carga do balanço da viga. FONTE: O autor
g1=7,923tf/m
305 750 750
600
G4=5,200tf
g2=6,243tf/m
G1=11,590tf
g4=9,793tf/m
g3=2,500tf/mG2=5,080tf
G3=5,200tf
R0,1
305
1500610
a b0
1 2 3 4 5300
Figura 3.45 – Esquema de cargas permanentes (da 1ª etapa) em meia seção longitudinal da viga. FONTE: O autor
70
Então a reação de apoio de R0,1 (reação na seção zero devido às cargas
permanentes da primeira etapa) é igual a R10,1, que valem metade do peso total.
Assim:
⁄
3.3.4.2. MOMENTOS FLETORES
Os momentos fletores das seções da viga são calculados como a seguir.
Antes de iniciados os cálculos, aqui vão alguns lembretes e observações
adicionais:
A convenção de sinais para momentos é:
O centro de gravidade do trapézio é dado por:
Onde:
As distâncias entre dois pontos X e Y são designadas da seguinte
maneira: LX,Y.
Assim sendo, os cálculos de momentos fletores podem ser apresentados
como a seguir:
Seção a
M (+) M (+)
B
b
H
71
o
Seção b
o
( )
(( )
⁄ )
Seção 0
o
(
)
(
)
Seção 1
o ( )
(
)
(
)
(
⁄ )
( )
(
)
(
)
( ⁄ )
Seção 2
o ( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
Seção 3
72
o ( )
(
)
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)
Seção 4
o ( )
(
)
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)
Seção 5
o ( )
(
)
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)
Sabendo-se que a estrutura da viga é simétrica longitudinalmente, os
momentos são simétricos também.
Com o auxílio do programa FTOOL, demonstra-se na figura 3.46 o diagrama
de momentos fletores.
73
3.3.4.3. FORÇAS CORTANTES
As forças cortantes, assim como os momentos fletores possuem valores
simétricos para a viga, porém de sentido contrários.
Baseando-se na figura 3.45, calculam-se as forças cortantes como
apresentadas abaixo. Lembrando que a convenção de sinais de forças cortantes é:
Seção a
o
o
Seção b
o
( )
( )
o
Seção 0
o
( )
( )
o
V (+)V (+)
Figura 3.46 – Diagrama de momentos fletores da viga devido às cargas permanentes da 1ª etapa. FONTE: O autor
74
Seção 1
o
⁄
⁄
o
Seção 2
o
⁄
⁄
o
Seção 3
o
o
Seção 4
o
o
Seção 5
o
o
Na figura 3.47 apresenta-se o diagrama de forças cortantes, construído a
partir do programa FTOOL. Deve-se observar que o programa FTOOL utiliza
convenção de sinais contrária à utilizada nos cálculos acima, por isso, o diagrama
representado na figura está com os sinais usados no FTOOL. Porém, os resultados
são os mesmos.
75
3.3.5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA VIGA – 2ª ETAPA: CARGAS DA LAJE DE TRANSIÇÃO,
BARREIRA E PAVIMENTO.
Analogamente ao que foi feito no item anterior para as cargas permanentes
da 1ª etapa se faz para as cargas da 2ª etapa.
EXEMPLO (continuação): A figura 3.29 deste trabalho demonstra as cargas
permanentes da segunda etapa que atuam na viga. A figura 3.46 mostra a meia
seção da viga com essas cargas.
3.3.5.1. REAÇÕES DE APOIO
A reação de apoio de R0,2 (reação na seção zero devido às cargas
permanentes da segunda etapa) é igual a R10,2, que valem metade da carga total
aplicada. Assim:
g5=2,044tf/m
1500610
G5=15,06tf
R0,2
a b0
1 2 3 4 5300
Figura 3.48 – Esquema de cargas permanentes (da 2ª etapa) em meia seção longitudinal da viga. FONTE: O autor
Figura 3.47 – Diagrama de forças cortantes da viga devido às cargas permanentes da 1ª etapa. FONTE: O autor
76
3.3.5.2. MOMENTOS FLETORES
Os momentos fletores das seções da viga são calculados como a seguir.
Seção a
o
Seção b
o
Seção 0
o
Seção 1
o
Seção 2
o
Seção 3
o
Seção 4
o
77
Seção 5
o
Como a estrutura é simétrica longitudinalmente, os esforços solicitantes
também são simétricos. Na figura 3.49 representa-se o diagrama de momentos
fletores construído com auxílio do FTOOL.
3.3.5.3. FORÇAS CORTANTES
As forças cortantes são calculadas exatamente como já feito para as cargas
permanentes da primeira etapa.
Seção a
o
o
Seção b
o
o
Seção 0
o
o
Figura 3.49 – Diagrama de momentos fletores devido às cargas permanentes da 2ª etapa. FONTE: O autor
78
Seção 1
o
o
Seção 2
o
o
Seção 3
o
o
Seção 4
o
o
Seção 5
o
o
Na figura 3.50 apresenta-se o diagrama de forças cortantes retirados do
FTOOL. Lembrando que os sinais do diagrama estão contrários aos de cálculo
devido à convenção de sinais.
Figura 3.50 – Diagrama de forças cortantes devido às cargas permanentes da 2ª etapa. FONTE: O autor
79
3.3.6. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA VIGA – CARGAS MÓVEIS
Como já explicado anteriormente no decorrer desse trabalho, o tratamento
das cargas móveis em uma estrutura deve ser feito de modo a analisar as piores
situações de carregamento para as diversas seções necessárias ou desejadas em
estudo. Isso só é possível com o uso de linhas de influência.
Para encontrar o trem de carga da viga foi necessário o uso da linha de
influência. O mesmo raciocínio deve ser seguido para o cálculo dos esforços, sendo:
1º. Define-se a linha de influência da seção e carregamento (momentos fletores,
forças cortantes ou reações de apoio) desejados;
2º. Posiciona-se o trem de carga da viga de maneira a obter os máximos ou
mínimos esforços na seção em questão;
3º. Calculam-se os esforços multiplicando-se os carregamentos por suas
ordenadas na linha de influência ou área, dependendo, respectivamente, se as
cargas forem concentradas ou distribuídas.
Convém aqui fazer uma observação a respeito da representação da
estrutura. No cálculo dos itens anteriores, a laje de transição não era representada,
sendo que ela foi substituída pela força que provoca. No cálculo das cargas móveis,
no entanto, faz-se necessária a presença da placa de transição, já que ela possui
sua própria linha de influência e também será solicitada pelos veículos.
Normalmente, representa-se a laje como uma continuação da viga, ligada a ela por
uma rótula (ligação Gerber).
A figura 3.51 mostra uma viga em balanço e sua representação para cálculo
dos esforços devidos às cargas móveis.
Laje de
transição
Rótula
Gerber
viga com extremidades em balanço
Figura 3.51 – Representação da viga com extremos em balanço para o cálculo dos esforços devido às cargas móveis. FONTE: O autor
80
EXEMPLO (continuação):
3.3.6.1. CÁLCULO DAS FORÇAS CORTANTES
Para o cálculo forças cortantes devido às cargas móveis, é necessário
construir as linhas de influência de força cortante.
Utilizando o método já explicado de construção de linha de influência, aplica-
se a carga P=1 no apoio desejado e traça-se a linha de influência, cruzando com a
linha da viga nos apoios e prolongando até o balanço.
Por exemplo, para a seção zero à direita teria:
A partir dessa linha de influência, percebe-se que para a pesquisa da
máxima força cortante na seção 0, o trem de carga deve ser disposto a partir do
apoio da seção 10.
Já para a pesquisa das forças cortantes mínimas (ou máximas negativas), o
ideal seria dispor o trem de carga de modo a locar as cargas concentradas onde as
ordenadas da linha de influência são maiores.
Figura 3.52 – Representação da viga e suas seções para o cálculo das linhas de influência. FONTE: O autor
a b0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b'
10
a'
1
1
L.I. V0,dir
Figura 3.53 – Linha de influência de força cortante da seção zero à direita. FONTE: O autor
81
3.3.6.1.1. CÁLCULO DAS FORÇAS CORTANTES MÍNIMAS (OU MÁXIMAS NEGATIVAS)
No caso ficaria como mostrado na figura 3.54.
É importante notar que ao longo do vão usam-se as cargas do trem de carga
calculado com o coeficiente de impacto para o vão. Já as cargas locadas no balanço
são aquelas calculadas com o coeficiente de impacto do balanço.
1º. Cálculo das ordenadas da linha de influência:
o
o
o
o
o
2º. Cálculo de Vmin
o (
) (
) (
)
(
) (
)
a b0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b'
10
a'
1
3xQv=13,77tf
q1v=1,852tf/m
q2v=3,915tf/m
150150150150 2550860
345
2
1
q2b=4,326tf/m
q1b=2,046tf/m
L.I. V0,dir
Figura 3.54 – Carregamento de cargas móveis para obtenção das mínimas forças cortantes na seção zero à direita. FONTE: O autor
82
a b0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b'
10
a'
1
3xQb=15,21tf
q1b=2,046tf/m
q2b=4,326tf/m q2b=4,326tf/m
310 150150150150100
1 2 34
5L.I. V0,dir
(
) (
) (
)
(
) (
)
3.3.6.1.2. CÁLCULO DAS FORÇAS CORTANTES MÁXIMAS (OU MÁXIMAS POSITIVAS)
Para a consideração das máximas forças cortantes, o carregamento seria
disposto como mostra a figura 3.55.
1º. Cálculo das ordenadas da linha de influência:
Como a linha de influência tem uma inclinação diferente da seção a’ até o
fim da laje de transição, faz-se necessário o uso de outra equação de comparação,
então:
Da equação (I), tem-se:
o
o
Figura 3.55 – Carregamento de cargas móveis para obtenção das máximas forças cortantes na seção zero à direita. FONTE: O autor
(I)
(II)
83
o
Da equação (II), tem-se:
o
o
2º. Cálculo de Vmax
o (
) (
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
O cálculo para as outras é seções é feito da mesma maneira, lembrando que
para que se obtenham os máximos e mínimos de uma seção, primeiro se constrói a
linha de influência para a seção em questão e então é feita a análise e cálculos dos
esforços.
O cálculo aqui demonstrado é referente à seção zero à direita. É importante
lembrar que, para uma força aplicada na seção zero à esquerda, a linha de
influência fica limitada apenas ao balanço. Para melhores esclarecimentos sobre
construção de linhas de influência, recomenda-se leitura do capítulo 9 da apostila
“Teoria das Estruturas” da UFPR dos professores Plínio Filho, Shido Ogura e Moacir
Inoue.
3.3.6.2. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES:
Para o cálculo dos momentos fletores devido às cargas móveis, os
processos de cálculo são os mesmos que para as forças cortantes, sendo que a
pesquisa dos maiores esforços é feita com as linhas de influência de momentos
fletores.
84
EXEMPLO (continuação):
Ainda usando como exemplo a seção zero, o carregamento com a força
unitária seria igual ao mostrado na figura 3.52. A linha de influência do momento fica
então:
3.3.6.2.1. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES MÍNIMOS (OU MÁXIMOS NEGATIVOS)
Com a análise acima, a distribuição do trem de carga para obtenção dos
momentos fletores mínimos fica como na figura 3.57.
1º. Cálculo das ordenadas da linha de influência:
Para achar os valores das ordenadas, é necessário conhecer uma das
ordenadas para ter como parâmetro de comparação. Então, calcula-se o momento
provocado pela carga P=1 aplicada na seção zero, em alguma das seções. Será
tomado aqui o momento na seção a (ordenada ɳ3).
Com isso, pode-se fazer:
a b0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 b'10
a'
L.I. M0
Figura 3.56 – Linha de influência de momento fletor da seção zero à direita. FONTE: O autor
(I)
a b0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 b'10
a'
L.I. M0
q1b=2,046tf/m
q2b=4,326tf/mq2b=4,326tf/m
310150150150150100
3xQb=15,21tf
123 45
Figura 3.57 – Carregamento de cargas móveis para obtenção dos mínimos momentos fletores na seção zero à direita. FONTE: O autor
85
Como a linha de influência tem uma inclinação diferente da seção a até o fim
da laje de transição, faz-se necessário o uso de outra equação de comparação,
então:
Da equação (I), tem-se:
o
o
Da equação (II), tem-se:
o
o
2º. Cálculo de Mmin
o (
) (
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
3.3.6.2.2. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES MÍNIMOS (OU MÁXIMOS NEGATIVOS)
Para a seção zero o momento máximo é nulo.
(II)
86
3.4. DIMENSIONAMENTO DA VIGA À FLEXÃO
O dimensionamento à flexão de pontes é feito de modo a verificar o Estado
Limite Último e os Estados Limites de Serviço.
Primeiramente, faz-se o dimensionamento da armadura segundo a norma
NBR 6118:2003 para o ELU. Depois de feito isso, passa-se à verificação da
armadura para os ELS.
3.4.1. EMBASAMENTO TEÓRICO
O dimensionamento das estruturas de concreto armado deve ser feito
baseando-se na distribuição, ao longo da seção transversal, de concreto comprimido
e armadura tracionada. A definição dessa distribuição é inicialmente entendida
quando encontrada a profundidade da linha neutra, que caracteriza o limite entre o
concreto comprimido e tracionado. Porém, a posição da linha neutra é uma variável
dependente de infinitas combinações das deformações específicas do concreto (εc)
e da armadura (εs), fato que fez com que constasse na norma NBR 6118:2003
domínios que possuem limites de deformação do concreto e armadura bem
definidos, sendo que a distribuição das deformações na seção transversal de uma
estrutura deve pertencer a um desses domínios para que estado limite último seja
caracterizado (MARINO, 2006).
A figura 3.58 mostra os domínios determinados pela norma da ABNT NBR
6118:2003. A figura demonstra que os domínios 2 e 3 são os que trabalham no limite
do alongamento do aço tracionado (10‰) e do concreto comprimido (3,5‰),
respectivamente. Isso resulta em estruturas dúcteis, ou seja, estruturas capazes de
“avisar” quando vão romper, pois quando submetidas a esforços maiores que os de
projeto, sofrem fissuração devido ao alongamento do aço e concreto adjacente
(MARINO, 2006). Assim sendo, as estruturas serão calculadas para o estado limite
último seguindo as condições propostas para os domínios 2 e 3 de deformações da
seção transversal, ou seja, pretende-se dimensionar estruturas subarmadas, que
têm uma distribuição de armadura e concreto mais equilibrada (MARINO, 2006).
87
Como já mencionado, o conhecimento da profundidade da linha neutra é
indispensável para a determinação das áreas comprimida e tracionada da seção
transversal da estrutura. Usando-se os limites impostos para os domínios 2 e 3, é
possível determinar as deformações, a posição da linha neutra e, com isso, as
tensões solicitantes. A norma NBR 6118:2003 permite que a tensão de compressão
do concreto seja simplificada de maneira que ela tenha um formato retangular. Mas,
para isso, é necessário determinar a ordenada y que essa tensão atua, de modo que
esta seja equivalente à tensão real (de área irregular, atuando até a profundidade da
linha neutra). Essa ordenada, segundo a norma é tomada como sendo y=0,8x (ou
seja, 80% da profundidade da linha neutra) e a tensão de compressão no bordo
pode ser determinada segundo a condição prescrita do item 17.2.2-e da norma:
“a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10,com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 12.3.3. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x
Figura 3.58 – Domínios de estado limite último da seção transversal de uma estrutura. FONTE: MARINO, 2006.
88
(onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:
⎯ 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir esta para a borda comprimida;
⎯ 0,80 fcd no caso contrário. As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional.”
A figura 3.59 ilustra a condição acima descrita:
A partir disso, é possível determinar as forças solicitantes e com isso,
baseado em fórmulas e limites prescritos pela norma, chega-se ao cálculo da
armadura capaz de resistir a essas forças.
Sabendo-se que a condição de segurança para o ELU é ,ou seja,
momento resistente deve ser maior ou igual ao solicitante, apresenta-se o cálculo da
armadura longitudinal de vigas de concreto armado.
3.4.2. CÁLCULO DAS ARMADURAS (AS; AS’)
A seguir então, serão apresentadas as sequências de cálculo de armadura
para o estado limite último de vigas de seção retangular com armadura simples e
dupla e vigas de seção em “T” com armadura simples.
Figura 3.59 – Valores de tensão de compressão na região de concreto comprimido segundo as condições da NBR 6118:2004. FONTE: MARINO, 2006.
89
3.4.2.1. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES
A figura 3.60 mostra a seção transversal de uma viga e sua área teórica
comprimida (de altura y=0,80x). Além disso, pode-se visualizar um corte longitudinal,
que mostra esquematicamente os momentos solicitante e resistente, as
deformações específicas (ε) e o binário formado pela força devida à tensão do
concreto e pela força devida à tração do aço.
A sequência de cálculo consistiria então no seguinte:
1º. Árbitro da altura útil d:
Sabendo-se que a altura útil é medida a partir do centro de gravidade da
armadura de tração até a extremidade da seção transversal onde o concreto está
comprimido, é possível arbitrar esse valor com base na espessura do cobrimento e
no diâmetro da armadura transversal usual em vigas de pontes (também
inicialmente arbitrado.
Também, segundo MARINO (2006), é comum iniciar os cálculos arbitrando
uma altura útil de , onde h é a altura total da viga.
2º. Cálculo de segundo a equação:
Figura 3.60 – Viga de seção retangular com armadura simples. FONTE: MARINO, 2006.
{
90
Onde:
= momento fletor resistente de cálculo, arbitrado igual ao momento
fletor solicitante. É importante observar que esse valor, para que a dutilidade da viga
fique garantida, deve ser:
=largura da seção transversal
=distância entre o centro de gravidade da armadura de tração e a
extremidade da seção transversal onde o concreto está comprimido
=resistência de cálculo à compressão do concreto
3º. Cálculo de segundo a equação:
Sabendo-se que ⁄ ; onde x corresponde à profundidade da linha
neutra, pode-se daí tirar o valor de x.
Para que a dutilidade da viga fique garantida e não seja necessária
armadura de compressão, a condição a ser satisfeita é:
4º. Cálculo de segundo a equação:
5º. Determinação de βs a partir da condição:
Sendo:
= módulo de elasticidade do aço, que pode ser considerado igual a
210 GPa (NBR 6118:2003) na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante;
= resistência de cálculo à tração do aço.
√
{
{
{
(
)
91
Essa condição deve ser satisfeita para que estrutura seja dimensionada no
domínio 2, onde ; ou no domínio 3, em que .
6º. Cálculo da área de armadura As através da equação:
Com o valor de As, define-se a quantidade de armaduras, bem como suas
bitolas, de modo a obter um ; sempre respeitando os limites máximos e
mínimos impostos pela norma NBR 6118:2003.
3.4.2.2. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA
Como já demonstrado anteriormente, para que a viga mantenha sua
dutilidade, faz-se necessário que . Quando isso não ocorre, faz-se
necessário o uso de armaduras de compressão para que se consiga manter a viga
dútil e sua linha neutra entre os domínios 2 e 3. Isso é possível arbitrando-se
, que culmina em (MARINO, 2006). Assim, o excedente
de momento solicitante é absorvido pela armadura de compressão As’ a ser
calculada.
A figura 3.61 mostra a situação de uma viga de seção retangular que trabalha
com armadura dupla.
Figura 3.61 – Viga de seção retangular com armadura dupla. FONTE: MARINO, 2006.
92
A sequência de cálculo inicial (onde ainda não se sabe que a viga
necessitará de armadura de compressão), segue igual aos primeiros três passos
descritos no item anterior. Após determinado e verificado que ,
prossegue-se da seguinte maneira:
1º. Imposição de
2º. Cálculo da armadura de tração As:
Como a armadura de tração, além de manter o equilíbrio do momento
resistido pelo concreto, deve também fazê-lo para o momento resistido pela
armadura de compressão, o cálculo de As é diferente daquele visto para seções que
trabalham apenas com armadura simples. Tem-se então:
Sendo que os valores de βz e βs podem ser retirados das tabelas dos
ANEXOS a partir do valor de βx já imposto, de fyd e do tipo de aço; ou podem ser
calculados segundo as fórmulas já vistas anteriormente. As tabelas contidas nos
anexos foram retiradas da apostila de Concreto Armado do professor Marino e são
uma relação dos coeficientes adimensionais, com base no tipo de aço, para o
cálculo de armadura.
Com o valor de As, define-se a quantidade de armaduras, bem como suas
bitolas, de modo a obter um ; sempre respeitando os limites máximos e
mínimos impostos pela norma NBR 6118:2003.
3º. Determinação de a partir da condição:
{
{
(
⁄
)
(
⁄
)
(
( ))
93
Esse valor, assim como todos os outros valores adimensionais β, pode ser
retirado das tabelas dos ANEXOS, de posse do valor de βx, fyd, tipo do aço e de
⁄ .
4º. Cálculo de :
5º. Cálculo da área da armadura de compressão segundo a equação:
Com o valor de A’s, define-se a quantidade de armaduras, bem como suas
bitolas, de modo a obter um ; sempre respeitando os limites máximos e
mínimos impostos pela norma NBR 6118:2003.
3.4.2.3. SEÇÃO EM “T” COM ARMADURA SIMPLES
As vigas de seção transversal em “T” podem ter o concreto comprimido de
três modos diferentes. A figura 3.62 mostra isso.
( )
Figura 3.62 – Regiões de concreto comprimido das vigas de seção em “T”. FONTE: MARINO, 2006.
94
Assim, o cálculo da armadura deve levar em consideração o local da seção
que está sendo comprimido. A sequência de cálculo da armadura de tração é
demonstrada a seguir:
1º. Árbitro da altura útil d:
Sabendo-se que a altura útil é medida a partir do centro de gravidade da
armadura de tração até a extremidade da seção transversal onde o concreto está
comprimido, é possível arbitrar esse valor com base na espessura do cobrimento e
no diâmetro da armadura transversal usual em vigas de pontes (também
inicialmente arbitrado.
Também, segundo MARINO (2006), é comum iniciar os cálculos arbitrando
uma altura útil de , onde h é a altura total da viga.
2º. Cálculo de segundo a equação:
3º. Cálculo de segundo a equação:
Ou, como já explicado anteriormente, determinação de a partir das
tabelas dos ANEXOS.
Sabendo-se que ⁄ ; onde x corresponde à profundidade da linha
neutra, pode-se daí tirar o valor de x. Com o valor de x, calcula-se o valor de
y=0,80x e faz-se a comparação:
Se , o cálculo da armadura de compressão é feito se maneira a
simplificar a seção transversal da viga em “T” para uma seção retangular de base bf.
Assim, a armadura de compressão é determinada da mesma maneira que mostrado
no item 3.4.2.1, porém, onde se tem bw nas fórmulas, substitui-se por bf. A figura
3.63 ilustra o comportamento das forças resistentes para essa situação.
√
ou
{
95
Já para a situação onde (ver figura 3.64) o cálculo é diferenciado e é
demonstrado nos passos a seguir.
1º. Cálculo de
Figura 3.63 – Viga de seção “T” com armadura simples para .
FONTE: MARINO, 2006.
Figura 3.64 – Viga de seção “T” com armadura simples para .
FONTE: MARINO, 2006.
{
96
2º. Cálculo do momento resistente através da equação:
3º. Cálculo do momento resistente através da equação:
Sabendo-se que:
4º. Cálculo de segundo a equação:
5º. Verificação da altura da área comprimida:
A partir do valor de βc calculado, retira-se das tabelas dos ANEXOS o valor
de βy e calcula-se novamente y através da equação:
Atendida a condição, prossegue-se ao cálculo da armadura.
6º. Cálculo da armadura de tração As:
Com o valor de As, define-se a quantidade de armaduras, bem como suas
bitolas, de modo a obter um ; sempre respeitando os limites máximos e
mínimos impostos pela norma NBR 6118:2003.
3.5. DIMENSIONAMENTO DA VIGA AO CISALHAMENTO
Assim como o dimensionamento à flexão, o dimensionamento ao
cisalhamento da viga é feito como demonstrado na apostila “Concreto Armado da
UFPR” do professor Marino.
Maiores explicações serão adicionadas mais futuramente ao trabalho.
( ) ( )
{
(
)
97
3.6. VERIFICAÇÕES
Cabem aqui considerações sobre as verificações que devem ser feitas para
o dimensionamento das vigas em pontes. Essas verificações são feitas com relação
ao Estado Limite de Serviço e são de extrema importância para o dimensionamento
das obras de arte especiais, já que ela sofrem solicitações de cargas móveis, que
provocam esforços repetidos. São essas verificações:
Verificação quanto à abertura de fissuras;
Verificação quanto à fadiga.
Maiores explicações serão adicionadas mais futuramente ao trabalho.
3.7. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE – DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS SOLICITANTES
As lajes de pontes podem ser calculadas de diversas maneiras, com o
auxílio de diferentes métodos e materiais. O procedimento descrito nesse trabalho
será o das superfícies de influência. Esse método consiste em, da mesma maneira
que nas vigas e transversinas, analisar as forças devidas às cargas móveis
concomitantemente com as linhas de influência das seções desejadas. Porém, para
as lajes, essas linhas de influência são superfícies de influência, sendo difícil sua
definição numérica manualmente.
A figura 3.65 mostra essa superfície de influência para a seção do meio do
vão.
Figura 3.65 – Superfície de influência de momento da seção no meio do vão de laje. FONTE: ARAÚJO, 1999.
98
Com isso, é comum para o dimensionamento manual das lajes a
recorrência a tabelas que fornecem parâmetros capazes de, juntamente com os
valores de dimensões da laje e veículo-tipo presente nas normas brasileiras,
determinar os esforços solicitantes necessários. Algumas dessas tabelas
comumente usadas atualmente são as tabelas de Hubert Rüsch, que foram
desenvolvidas para o trem-tipo presente na norma alemã. Porém, como o trem-tipo
da norma brasileira possui as mesmas características que os da norma alemã, é
possível o uso dessas tabelas nos projetos brasileiros (ARAÚJO, 1999).
Para que seja possível o uso das tabelas de Rüsch, são necessárias as
determinações de alguns parâmetros da ponte. A condição de apoio das lajes é um
desses parâmetros, sendo que as tabelas possuem divergência para três tipos de
apoio: engaste, simples e bordo livre. Além disso, é de primordial importância saber
o sentido do tráfego e a nomenclatura adotada nas tabelas de Rüsch (usa-se que a
direção y é aquela paralela à direção de maior dimensão da laje e é a referente à
direção de tráfego).
A figura 3.66 apresenta um exemplo das tabelas de Rüsch para uma
situação de laje apoiada nos quatro lados.
Figura 3.66 – Exemplo de uma das tabelas de Rüsch para laje simplesmente apoiada nos quatro
lados, com relação
⁄ = 1.
FONTE: ARAÚJO, 1999.
99
O parâmetro a da tabela é referente à distância entre duas rodas de um
mesmo eixo de veículo-tipo, como demonstrado na figura 3.67.
Os valore acima representados por t’ e t” são diferentes dependendo do
veículo-tipo da ponte e são necessários para o cálculo do parâmetro t da tabela.
Esse parâmetro é referente à projeção da área de contato das rodas na superfície
média da laje. Essa projeção é feita de maneira a prolongar com um ângulo de 45º
as linhas que limitam as rodas até a superfície média da laje. Essa simplificação se
faz necessária porque, como pode-se visualizar na figura 3.65, a força concentrada
do eixo do veículo aplicada no meio do vão teria uma ordenada da superfície de
influência infinita, fato que não é verdade.
A área t é definida por ; onde define-se:
a=
200
t'
t" Figura 3.67 – Demonstração dos parâmetros necessários do veículo-tipo para o uso das tabelas. FONTE: ARAÚJO, 1999.
√
100
Com isso, passa-se ao cálculo dos momentos fletores devido pela tabelas de
Rüsch, sendo:
Para cargas permanentes usa-se: ; onde k também é um
valor tabelado e depende da direção que está sendo calculado o momento.
Para cargas móveis usa-se:
( ( )
Onde:
O asterisco indica meio da laje ou engaste;
= coeficiente de impacto vertical calculado da mesma maneira que
já demonstrado para as vigas e transversinas;
= peso de uma roda (dependente do veículo-tipo);
h/2
h/2
t'
45° 45°
t1
pavimentação
laje de concreto
h/2
h/2
45° 45°
t2
pavimentação
laje de concreto
t"
Figura 3.67 – Demonstração dos parâmetros t1 e t2. FONTE: ARAÚJO, 1999.
101
= cargas de multidão aplicadas como demonstrado na figura
3.68.
Além disso, a continuidade das lajes também deve ser levada em
consideração, indicando-se a apostila da Universidade Federal de Goiânia como
fonte de informação sobre o assunto.
3.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA TRANSVERSINA – DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS
SOLICITANTES
Assim como as vigas, as transversinas são solicitadas por cargas
permanentes e cargas móveis. As transversinas, como já citado anteriormente,
podem ser ligadas ou não à laje, sendo que isso é feito a critério do projetista.
Porém, segundo PFEIL (1990), é preferível os projetos onde a transversina é ligada
à laje, pois ela faz com que a rigidez à torção da laje seja maior, o que reduz os
momentos transversais provocados por flechas diferenciais das vigas.
3.8.1. CARGAS PERMANENTES NA TRANSVERSINA
Dentre as cargas permanentes está o peso próprio da transversina e, em
alguns casos, a reação causada na transversina pela laje.
Figura 3.68 – Cargas de multidão aplicadas na laje. FONTE: ARAÚJO, 1999.
102
A figura 3.69 ilustra uma vista em planta de uma ponte.
O cálculo do peso próprio da transversina é simples e é calculado por metro
de comprimento de transversina, ficando então:
Sendo que c = 2,50tf/m³.
Para as transversina que são ligadas à laje, faz-se necessário o cálculo do
peso da laje que age na transversina. Ele é feito baseado em um processo
simplificado denominado regra do trapézio (PFEIL, 1990). Essa regra determina os
ângulos das charneiras plásticas (ou linhas de ruptura) da laje de acordo com a NBR
6118:2003, onde os ângulos formados por essas charneiras são determinados como
transcrito abaixo:
“⎯ 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
⎯ 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado;
⎯ 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.”
Se for considerado que a laje é simplesmente apoiada em todos os seus
lados, ter-se-ia uma vista em planta da ponte, com as charneiras plásticas da laje
sobre a transversina simplificadas, como mostrado na figura 3.70.
Transversina de apoio
Longarina
Transversina de vão
Ala
Cortina de extremidade
Figura 3.69 – Exemplo de vista em planta de uma ponte. FONTE: O autor.
103
A reação da laje na transversina é então calculada baseada na carga
permanente da laje na área formada pelas charneiras, como ilustrada na figura, e é
definida por metro de transversina. Assim, tem-se:
Para a figura acima tem-se então:
( ⁄
)
Onde:
= carga permanente da laje (peso + pavimento)
= comprimento da transversina
Assim sendo, a carga permanente total da transversina ligada à laje é:
Já para as transversina que são dimensionadas desligadas da laje, a carga
permanente atuante é referente ao seu peso próprio e a momentos fletores
transversais devidos a excentricidades do carregamento (ARAÚJO, 1999). Como
esses momentos são difíceis de serem determinados, costuma-se usar para o
dimensionamento da transversina os seguintes procedimentos simplificados:
Para o momento fletor positivo e esforços cortantes, considera-se a
transversina simplesmente apoiada nas vigas longarinas;
Para os momentos nos apoios, não há um total consenso entre
projetistas e autores de livros, podendo-se citar:
45° 45°
45° 45°
B/2
B
Longarina
Transversina
Charneiras plásticas
Figura 3.70 – Exemplo de vista em planta das charneiras plásticas em cima da transversina. FONTE: O autor.
104
Segundo ARAÚJO (1999), deve-se dimensionar as transversinas
para os momentos negativos de modo que ela resista à diferença
entre os momentos do balanço e da laje central do tabuleiro.
Segundo PFEIL (1990), deve-se dimensionar as transversinas nos
apoios para um momento fletor negativo igual a 1/3 do maior
momento fletor positivo e, para o momento positivo no apoio,
dimensiona-se a transversina para resistir a ¼ do maior momento
fletor positivo.
EXEMPLO (continuação): Para que o que foi demonstrado acima possa ser
facilmente visualizado, será feito o cálculo das cargas permanentes atuantes na
transversina de apoio, que é conectada à laje. Portanto, o cálculo inclui o peso
próprio da transversina e a reação devido à carga permanente da laje.
3.8.1.1. CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO DA TRANSVERSINA
O peso próprio de meia transversina já foi calculado no item 3.3.1.6, mas em
forma de reação, ou seja, como uma força concentrada. Obteve-se
⁄
Então para uma transversina inteira e em tf/m de transversina, tem-se:
⁄
3.8.1.2. CÁLCULO DA LAJE SOBRE A TRANSVERSINA
Prossegue-se então ao cálculo da reação da laje na transversina.
Primeiramente desenham-se as linhas de ruptura (para laje simplesmente apoiada)
como mostra a figura 3.71.
105
É importantes observar que, dependendo do espaçamento entre vigas
longarinas e entre transversinas, as linhas de ruptura podem se encontrar e formar
trapézios ao invés de triângulos. Por isso deve-se desenhar as charneiras para
todas as transversinas vizinhas àquela que se deseja calcular.
Com as medidas da figura, pode-se calcular a área de laje que atua acima
da transversina, então:
o ⁄
O cálculo da carga permanente da laje glaje é feito calculando-se o peso
próprio e o peso do pavimento distribuídos por m² de laje.
o
o
Com isso tem-se que:
Assim, calcula-se a reação da laje por metro de comprimento da
transversina:
( )
( )
Figura 3.71 – Vista em planta de meia seção do viaduto com as linhas de ruptura da laje sobre a transversina definidas. FONTE: O autor.
B =
70
0
45° 45°
45°45°
B/2 = 350
2110
750 750
B/2 = 350
106
3.8.1.3. CÁLCULO DA CARGA PERMANENTE FINAL ATUANTE NA TRANSVERSINA
A carga permanente total da transversina ligada à laje é:
3.8.1.4. MOMENTOS FLETORES DEVIDOS ÀS CARGAS PERMANENTES NA
TRANSVERSINA
Os momentos fletores nas seções da transversina devidos às cargas
permanentes são calculados assim como das vigas. Considerando que a carga
distribuída gtrn é uniforme ao longo da transversina, pode-se facilmente calcular os
momentos fletores solicitantes.
Para o meio do vão, por exemplo, tem-se que:
A figura 3.72 mostra os momentos fletores nas sete seções, espaçadas de
1,0 metro entre si, e no meio do vão, atuantes na transversina devido à carga
permanente.
3.8.1.5. FORÇAS CORTANTES DEVIDAS ÀS CARGAS PERMANENTES NA TRANSVERSINA
Assim como os momentos fletores, as forças cortantes na transversina são
calculadas de maneira semelhante à feita para as vigas.
A figura 3.73 mostra o diagrama de forças cortantes da transversina
carregada da força distribuída gtrn. A convenção de sinais do FTOOL é a contrária
da usada nos cálculos do presente trabalho.
Figura 3.72 – Diagrama de momentos fletores na transversina devidos às cargas permanentes, retirado do FTOOL. FONTE: O autor.
107
3.8.2. CARGAS MÓVEIS NA TRANSVERSINA
As cargas móveis na transversina são definidas de maneira semelhante à da
viga, onde se determina o trem de carga da transversina composto das cargas
concentradas por eixo de veículo acrescidas do coeficiente de impacto, porém, ao
contrário do que se faz para as vigas, para as transversinas ligadas à laje não são
levadas em consideração as cargas distribuídas referentes à carga de multidão. A
NBR 7188:1984 define que:
“Para o cálculo de cortinas e transversinas solidárias às lajes, o
carregamento, na ausência de justificativa teórica mais precisa, deve ser o
de um eixo isolado, com o peso total do veículo correspondente à classe
da ponte, acrescido ainda do respectivo impacto.”
O posicionamento do veículo na transversina também deve ser definido de
modo a se obter os maiores esforços na mesma. Esse posicionamento geralmente é
definido por tentativas, fazendo-se divisões(5) ao longo do comprimento da
transversina e definindo a linha de influência para cada uma das seções, ou seja,
faz-se a envoltória das seções e com isso verificam-se os locais mais desfavoráveis
para o posicionamento do veículo.
Para o cálculo de uma seção específica da transversina, apenas determina-
se a linha de influência para essa seção e calculam-se os esforços analogamente ao
que foi demonstrado para as vigas longarinas.
Figura 3.73 – Diagrama de forças cortantes na transversina devidas às cargas permanentes, retirado do FTOOL. FONTE: O autor.
108
EXEMPLO (continuação): Lembrando que o viaduto é dimensionado para o veículo
classe 30, apresenta-se a figura 3.74 para demonstrar o posicionamento do veículo
tipo com o eixo em cima da transversina.
3.8.2.1. DETERMINAÇÃO DO TREM DE CARGA DA TRANSVERSINA
Como demonstrado no item 3.2.2.1, tem-se que para cada roda a força Qeixo
é:
.
Com o cálculo do coeficiente de impacto vertical tem-se:
Então:
o
Para o dimensionamento da transversina, as forças correspondentes ao eixo
do veículo, dispostas longitudinalmente à transversina, são representadas pela força
acumulada atuante nas três rodas (que estão alinhadas) de cada eixo, ficando como
na figura 3.75.
Assim, cada uma das forças atuantes é definida como:
o
30
0
50
20
05
0
150 150 150 150
B =
70
0
Figura 3.74 – Locação do veículo tipo com o eixo na transversina. FONTE: O autor.
109
Para efeito de demonstração do cálculo das cargas móveis na transversina
de apoio, serão feitos os cálculos para a seção 3.
3.8.2.2. MOMENTOS FLETORES DEVIDOS ÀS CARGAS MÓVEIS
Como citado anteriormente, serão feitos os cálculos pra a seção 3 da
transversina. Então, primeiramente determina-se a linha de influência na seção
desejada e, assim como na viga, posiciona-se o veículo de maneira a obter os
maiores esforços. No caso da seção 3, tem-se:
Para encontrar as ordenadas da linha de influência, calcula-se o valor de ɳ1
como um momento devido à carga P=1. Então:
01 2 3 4 5 6
7
B = 700
100 100 100 100 100 100 100
3xQeixo3xQeixo
Figura 3.75 – Esquema do trem de carga da transversina. FONTE: O autor.
01 2 3 4 5 6
7
B = 700
100 100 100 100 100 100 100
P=1
01 2 3 4 5 6
7
20,26tf20,26tf
1
2
L.I. M3
a=300 b=400
Figura 3.76 – Linha de influência de momento fletor na seção 3 da transversina. FONTE: O autor.
110
o
A partir disso, por semelhança de triângulos calcula-se ɳ2.
o
A figura 3.77 mostra a linha de influência da seção 3 retirada do programa
FTOOL.
O momento fletor máximo devido às cargas móveis na seção 3 fica:
o ( ) ( )
O momento mínimo para essa situação é zero.
3.8.2.3. FORÇAS CORTANTES DEVIDAS ÀS CARGAS MÓVEIS
As forças cortantes são calculadas da mesma maneira que os momentos
fletores. Define-se a linha de influência e calcula-se a força solicitante.
Ainda para a seção 3, ter-se-ia para o cálculo do momento máximo:
Figura 3.77 – Linha de influência de momento fletor na seção 3 da transversina do FTOOL. FONTE: O autor.
01 2 3 4 5 6
7
B = 700
100 100 100 100 100 100 100
P=1
01 2 3 4 5 6
7
20,26tf20,26tf
2
3
L.I. V3
1
4
Figura 3.78 – Linha de influência de força cortante na seção 3 da transversina e o carregamento para obtenção de Vmax,3. FONTE: O autor.
111
Lembrando que a convenção de sinais usada para a representação da linha
de influência de força cortante é:
Para encontrar as ordenadas da linha de influência, calcula-se o valor de ɳ2
como uma força cortante devida à carga P=1. Então:
o
A partir disso, por semelhança de triângulos calcula-ɳ1.
o
O cálculo do momento máximo fica:
o ( ) ( )
Para o cálculo do momento fletor mínimo na seção 3, o cálculo segue o
mesmo raciocínio do que foi demonstrado acima, então o posicionamento do trem
de carga seria como mostra a figura 3.79:
Para encontrar as ordenadas da linha de influência, calcula-se o valor de ɳ3
como uma força cortante devida à carga P=1. Então:
o
A partir disso, por semelhança de triângulos calcula-se ɳ4.
o
O cálculo do momento mínimo fica:
o ( ) ( )
V (+)V (+)
01 2 3 4 5 6
7
20,26tf20,26tf
2
3
L.I. V3
1
4
Figura 3.79 – Linha de influência de força cortante na seção 3 da transversina e o carregamento para obtenção de Vmin,3. FONTE: O autor.
112
A figura 3.80 mostra a linha de influência retirada do programa FTOOL para
a situação em estudo. Não esquecendo que o programa usa uma convenção de
sinais contrária à usada no presente trabalho. Porém, observa-se que os valores são
os mesmos, validando os resultados acima obtidos.
3.8.3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DA TRANSVERSINA
O dimensionamento à flexão da transversina é feito analogamente ao da
viga e será melhor apresentado em uma futura revisão do trabalho.
3.8.4. DIMENSIONAMENTO AO CISALHAMENTO DA TRANSVERSINA
Assim como o dimensionamento à flexão, também é feito de modo análogo
ao da viga e será melhor apresentado em uma futura revisão do trabalho.
Figura 3.80 – Linha de influência de força cortante na seção 3 da transversina do FTOOL. FONTE: O autor.
113
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.1. CONCLUSÃO
O trabalho elaborado permite que os leitores, sejam profissionais ou
estudantes da área de engenharia, percebam as diversas minúcias que envolvem
um projeto de obras de arte especiais, desde a idealização do projeto até sua
efetivação.
Além disso, o texto aqui produzido demonstrou ao leitor que além de se ter
conhecimento de engenharia, é necessário estar atualizado sobre o assunto com
base em projetos atuais de outros colegas de profissão, pois muitas das
especificidades do projeto não são retiradas de normas nem livros, mas sim de
outros projetos já concluídos.
Salienta-se também o fato de que a indústria da informação evolui a cada
dia, oferecendo à comunidade de engenharia novos programas e softwares capazes
de auxiliar nos projetos, cálculos e dimensionamentos de estruturas em geral. Isso
exige do profissional em engenharia uma constante busca por conhecimento
tecnológico de modo a otimizar o trabalho e obter resultados mais rápidos e fiéis à
realidade. Porém, a cautela com o uso da tecnologia é fundamental, sendo que o
profissional deve ter conhecimento suficiente para reconhecer qualquer erro dos
programas, assim como interpretar os resultados fornecidos por eles.
4.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
O trabalho apresentado visou especificamente a superestrutura de obras de
arte especiais sobre duas vigas.
Assim sendo, percebe-se um grande campo de exploração para novos
trabalhos, que podem dissertar sobre a mesoestrutura e infraestrutura seguindo uma
linha de raciocínio semelhante à aqui mostrada, com que, de maneira didática se
mostre de grande serventia para os futuros engenheiros ou profissionais da área.
114
REFERÊNCIAS
CECCON, JORGE LUIS. Notas de aula. PFEIL, WALTER. Pontes em concreto armado: elementos de projeto, solicitações e superestrutura (vol. 1). 4 ed. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos editora S.A. (LTCE), 1990. MARINO, MARCO ANTÔNIO. Concreto armado da UFPR, 2006. FILHO, PLINIO DE MATTOS PESSOA; OGURA, SHIDO; INOUE, MOACIR HISSAYASSU. Teoria das estruturas. Curitiba, 1995. ARAÚJO, DANIEL DE LIMA. Projeto de pontes em concreto armado com duas longarinas. Universidade Federal de Goiás, 1999. DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES (DNIT). Manual de inspeção de pontes rodoviárias. 2 ed. Publicação IPR-709. Rio de Janeiro, 2003. INSTITUTO DE PESQUISAS RODOVIÁRIAS (IPR). Obras complementares – segurança no tráfego rodoviário – projeto de barreiras de concreto – procedimento. rev. PRO 176/94. DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES (DNIT), 2009. DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES (DNIT). Manual de pavimentação. 3 ed. Publicação IPR-719. Rio de Janeiro, 2006. O’CONNOR, COLIN. Pontes – superestruturas. São Paulo. Rio de Janeiro: USP: Livros Técnicos e Científicos, 1976. LEONHARDT, FRITZ; MONNING, EDUARDO. Construções de concreto: princípios básicos da construção de pontes. Vol. 6. Rio de Janeiro: Interciência, 1977-1978. MARCHETTI, OSVALDEMAR. Pontes de concreto armado. São Paulo: Blucher, 2008.
115
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto: procedimento. Rio de Janeiro, 2004. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 7187:2003 Projeto de pontes de concreto armado e concreto protendido: procedimento. Rio de Janeiro, 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 7188:1984 Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre: procedimento. Rio de Janeiro, 1984. PFEIL, WALTER. Concreto Protendido. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos editora S.A. (LTCE), 1984. DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS DE RODAGEM. Manual de projeto de obras-de-arte especiais. Rio de Janeiro, 1996.
116
DOCUMENTOS CONSULTADOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ. Normas para apresentação de documentos científicos. 2 ed. Curitiba: Editora UFPR, 2007. DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS DE RODAGEM (DNER). Normas para o projeto de estradas de rodagem. Rio de Janeiro: Serviço de Publicações, 1973.
117
ANEXOS
ANEXO 1 ................................................................................................................... 117
ANEXO 2 ................................................................................................................... 118
ANEXO 3 ................................................................................................................... 119
ANEXO 1 – TABELA DOS COEFICIENTES PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO COM AÇO CA-25
117
ANEXO 2 – TABELA DOS COEFICIENTES PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO COM AÇO CA-50
118
ANEXO 3 – TABELA DOS COEFICIENTES PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO COM AÇO CA-60119
