DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS - … · Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 1 1. INTRODUÇÃO A verificação

DECivil Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS

Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções

Francisco Virtuoso

2011/12

Estruturas Metálicas – Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções i

INDÍCE

1. Introdução ................................................................................................................................................... 1

2. Critério de cedência ................................................................................................................................... 3

3. Critério de plasticidade ............................................................................................................................. 9 3.1. Resistência a esforços isolados .......................................................................................................... 9 3.2. Combinações de esforços. Diagramas de interacção ....................................................................... 13

3.2.1 Flexão composta ...................................................................................................................... 13 3.2.2 Flexão composta desviada ...................................................................................................... 23 3.2.3 Caso geral da interacção entre momento flector, esforço axial e esforço transverso ............. 28 3.2.4 Características dos diagramas de interacção .......................................................................... 30

4. Verificação da segurança de secções de acordo com o EC3 .............................................................. 31 4.1. Introdução ......................................................................................................................................... 31 4.2. Esforços resistentes em secções das classes 1 e 2. ........................................................................ 35

4.2.1 Esforços isolados. .................................................................................................................... 35 4.2.2 Interacção no caso da flexão composta e flexão composta desviada. .................................... 35 4.2.3 Interacção do esforço transverso com o esforço axial e o momento flector. ........................... 36

5. Referências ............................................................................................................................................... 39

Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 1

1. INTRODUÇÃO

A verificação da segurança de estruturas é actualmente efectuada com base na filosofia

dos estados limites últimos. No caso de secções a verificação da segurança pode ser

traduzida de uma forma geral pela seguinte expressão

Ed ≤ Rd (1.1)

em que Ed representa o valor de cálculo dos efeitos das acções e Rd o valor de cálculo da

resistência correspondente. Estando a analisar a resistência de secções as variáveis Ed e

Rd podem representar os efeitos e as resistência associados a esforços isolados, como

por exemplo um esforço axial, um momento flector ou um momento torsor, ou, de uma

forma mais genérica, representar uma combinação de esforços, correspondendo neste

caso à aplicação de curvas de interacção.

Os valores de cálculo dos esforços actuantes são obtidos para os valores de cálculo das

acções, pd, os quais resultam de se majorarem os valores característicos das acções, pk,

pelos coeficientes parciais de segurança das acções1, γf, ou seja

Ed(pd) = Ed(γf pk) (1.2)

No caso de os esforços dependerem linearmente das acções, como acontece quando se

admite que a estrutura tem um comportamento física e geometricamente linear, é

numericamente indiferente majorar as acções ou os seus efeitos, tendo-se

Ed(pd) = γf Ek(pk) (1.3)

em que Ek representa o valor característico dos efeitos das acções, os quais são

calculados para os valores característicos das acções. A utilização desta equivalência

numérica, frequentemente aplicada na prática, não deve levar a esquecer que

formalmente os coeficientes parciais de segurança γf têm de ser aplicados às acções

(equação 1.2) e não aos seus efeitos (equação 1.3).

Os valores de cálculo das resistências, Rd, são calculados com base nos respectivos

valores característicos, Rk, minorados pelo coeficiente parcial de segurança das

propriedades dos materiais, γM, tendo-se

Rd = Rk

γM (1.4)

1 A apresentação mais detalhada da filosofia dos estados limites últimos assim como a sua aplicação através da utilização de coeficientes parciais de segurança faz parte do programa da disciplina de Dimensionamento de Estruturas.


Os valores dos coeficientes parciais de segurança, γf para as acções e γM para as

propriedades dos materiais, são em geral fixados nos regulamentos ou códigos de

verificação da segurança de estruturas e dependem de diversos factores como por

exemplo do tipo de acções, do tipo de verificação ou do modo de rotura associado. Por

uma questão de simplicidade, e a menos de indicação explícita diferente, considera-se

neste texto γf=1,5 e γM=1,0. Refira-se que o valor γf=1,5 é um valor considerado em geral

para as acções gravíticas nas verificações dos estados limites últimos de resistência e

que o valor γM=1,0 é o valor frequentemente utilizado para as tensões de cedência dos

aços de estruturas metálicas, aplicável nas verificações dos estados limites últimos de

resistência de secções.

Para a verificação da segurança das secções admite-se, de um forma geral, como válida

a hipótese da conservação da secções planas, hipótese de Bernoulli, ou seja, que as

secções planas se mantém planas após a deformação, ou, no contexto da verificação da

segurança, até que se atinja a rotura.

A capacidade resistente de uma secção depende da relação σ-ε do material que a

constitui. No caso de secções de aço admite-se uma relação elasto-plástica perfeita,

representada na figura 1.1, caracterizada por um módulo de elasticidade E=210 GPa e

por um valor característico da tensão de cedência, fy, que depende da classe de

resistência do aço.

Figura 1.1 – Relação tensões deformações elasto-plástica perfeita

Refira-se finalmente que se apresentam neste texto os métodos de verificação da

segurança de secções adoptando critérios de cedência ou de plasticidade. Nos critérios

de cedência admite-se que a capacidade resistente das secções é atingida quando se

inicia a cedência, ou seja, quando a tensão máxima é igual à tensão de cedência. No

caso corrente a verificação do início da cedência obriga à utilização de um critério de

cedência, como por exemplo o critério de Mises-Henky, em que se utiliza uma tensão de

comparação representativa do estado de tensão em cada ponto. Nos critérios de


plasticidade admite-se que a rotura ocorre apenas quando a secção está totalmente

plastificada.

2. CRITÉRIO DE CEDÊNCIA

Quando se admite um critério de cedência considera-se que a capacidade resistente da

secção se atinge quando o valor máximo da tensão na secção é igual à tensão de

cedência.

Considere-se uma secção solicitada apenas por um esforço axial e por momentos

flectores aplicados segundo os eixos principais de inércia. A tensão normal numa fibra

genérica de coordenadas (y; z) é, conforme se representa na figura 2.1, dada por

σ = NA +

MyzΙy

- MzyΙz

(2.1)

Figura 2.1 – Tensões normais numa secção

A cedência ocorre quando a tensão máxima for igual à tensão de cedência, ou seja,

admitindo os esforços com sinais positivos, a secção verifica a segurança desde que

σmax = NA +

Myzmax

Ιy +

Mzymax

Ιz ≤ fy (2.2)

A equação 2.2 pode ser escrita em função dos valores dos esforços de cedência, o

esforço axial e os momentos flectores que actuando isoladamente provocam a cedência

da secção, tendo-se

NNpl

+ MyMy.c

+ MzMz.c

≤ 1 (2.3)


em que Npl representa o esforço axial plástico e My.c e Mz.c os momentos de cedência em

torno dos eixos y e z, respectivamente, os quais são dados por

Npl = A fy (2.4)

My.c = Ιy

zmax fy =Wy.el fy (2.5)

Mz.c = Ιz

ymax fy =Wz.el fy (2.6)

representando A a área da secção transversal da secção e Wy.el e Wz.el os módulos

elásticos de flexão em torno dos eixos y e z, respectivamente.

No caso particular da secção ser solicitada em flexão composta com Mz=0 a equação 2.3

simplifica-se, podendo ser escrita da seguinte forma

NNpl

+ MyMy.c

≤ 1 (2.7)

A equação 2.7 corresponde ao diagrama de interacção representado na figura 2.2a.

Figura 2.2 – Diagrama de interacção em flexão composta e em flexão desviada de acordo com o critério de

cedência

No caso em que a secção é solicitada em flexão desviada com um esforço axial nulo a

equação 2.3 reduz-se a

MyMy.c

+ MzMz.c

≤ 1 (2.8)

a que corresponde o diagrama de interacção representado na figura 2.2b.

No caso geral da secção solicitada em flexão composta desviada o diagrama de

interacção correspondente à cedência plástica da secção é definido pela equação 2.3,

estando representado na figura 2.3.


Saliente-se que os diagramas representados nas figuras 2.2a e b, correspondentes às

equações 2.7 e 2.8, representam as intersecções do diagrama da figura 2.3 com os

planos definidos pelos eixos (My/My.c;N/Npl) e (My/My.c; Mz/Mz.c), respectivamente.

Figura 2.3 – Diagrama de interacção em flexão composta desviada de acordo com o critério de cedência

Exemplo 2.1: Adoptando um critério de cedência pretende verificar-se a segurança de um perfil

HEA200 S355 submetido a N = 800 kN e My = 70 kNm.

HEA200 S355 - A=5380 mm2; Wy.el=389x103 mm3; Wz.el=134x103 mm3; fy=355 N/mm2

Tendo em consideração a equação 2.2 tem-se que

σmax = 800x103

5380 + 70x106

389x103 = 148,7 + 179,9 = 328,6 ≤ 355 N/mm2 ✓

Ou, de forma equivalente, usando a equação 2.7

Npl = 5380 x 355 x 10-3 = 1909,9 kN; My.c = 389x103 x 355 x 10-6 = 138,1 kNm

8001909,9 + 70

138,1 = 0,419 + 0,507 = 0,926 ≤ 1 ✓

Sugestão: verifique que adoptando o critério de cedência, e para um esforço axial N=800 kN, o momento

máximo que se pode aplicar é de 80,2 kNm.


HEA200 S355 submetido a N = 500 kN; My = 40 kNm e Mz = 15 kNm.

Tendo em consideração a equação 2.2 tem-se que

σmax = 500x103

5380 + 40x106

389x103 + 15x106

134x103 = 92,9 + 102,8 + 111,9 = 307,6 ≤ 355 N/mm2 ✓


Ou, de forma equivalente, usando a equação 2.3 e os valores calculados no exemplo 2.1

Mz.c = 134x103 x 355 x 10-6 = 47,6 kNm

5001909,9 + 40

138,1 + 1547,6 = 0,261 + 0,290 + 0,315 = 0,866 ≤ 1 ✓

Sugestão: verifique que adoptando o critério de cedência, e para um esforço axial N = 500 kN e My = 40 kNm,

o momento máximo Mz que se pode aplicar é de 21,4 kNm.

Nos casos correntes a secção é solicitada simultaneamente por esforços que dão origem

a tensões normais, o esforço axial e os momentos flectores, e esforços que dão origem a

tensões tangenciais, o momento torsor e os esforços transversos. Nestes casos a

determinação do início da cedência efectua-se através da aplicação de critérios de

cedência baseados no cálculo de uma tensão equivalente, função do estado de tensão,

que se designa por tensão de comparação, σcomp. De entre os critérios de cedência o

mais utilizado é o critério de Mises-Hencky de acordo com o qual a tensão de

comparação é dada por

σcomp = σ21 + σ2

2 + σ23 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ3σ1 (2.9a)

em σ1, σ2 e σ3 representam as tensões normais num ponto referidas aos eixos principais

de tensão.

De acordo com o critério de Mises-Hencky para um estado triaxial de tensão o início da

cedência ocorre quando a tensão de comparação é igual à tensão de cedência, ou seja,

quando

σcomp = = σ21 + σ2

2 + σ23 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ3σ1 = fy (2.9b)

No caso particular de uma peça linear em que o estado de tensão possa ser reduzido a

um estado plano de tensão e em que tensão normal segundo o eixo perpendicular ao

eixo da peça é nula, a equação 2.9b pode ser reescrita na forma

σcomp = σ2x + 3τ2= fy (2.10)

em que σx e τ representam a tensão normal e tangencial numa faceta perpendicular ao

eixo da peça, respectivamente.



HEA200 S355 submetido a N = 600 kN, My = 45 kNm e Vz = 180 kN.

A área e os módulos elásticos de flexão de um perfil HEA200 foram já indicados nos exemplos 2.1 e 2.2. Na

figura 2.4 indicam-se as dimensões da secção transversal de um HEA200 representando-se os diagramas de

tensões normais e tangenciais devidos aos esforços aplicados, sendo os valores necessários à definição dos

diagramas de tensões os seguintes:

Figura 2.4 – Perfil HEA200. Diagramas de tensões normais e tangenciais

Tensão máxima devida ao esforço axial - σN = NA = 600x103

5380 = 111,5 N/mm2

Tensões máxima devida ao momento flector - σM = MyWy.el

= 45x106

389 x103 = 115,7 N/mm2

Tensões devidas ao esforço transverso - τ = Vz Sy

Ιytl

Ponto 1 no banzo junto à ligação à alma - τ1 = 180x103 x( )100x10x90

36,9 x106 x10 = 43,9 N/mm2

Ponto 2 na alma a meia altura da secção - τ2 = 180x103 x( )200x10x90+902x6,5/2

36,9 x106 x6,5 = 154,8 N/mm2

Ponto 3 na alma junto à ligação ao banzo - τ3 = 2x43,9x106,5 = 135,1 N/mm2

A verificação da segurança efectua-se determinando o valor da tensão de comparação e comparando-a com

a tensão de cedência, tendo-se no ponto 3, que é o ponto mais desfavorável,

σcomp = ( )111,5 + 115,7 2+ 3x135,12= 326,2 < 355 N/mm2 ✓


A equação 2.10 pode ser reescrita em função de termos adimensionais, sendo a

condição para que a tensão de comparação não ultrapasse o limite de cedência dada por

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞σx

fy 2 + 3⎝⎜

⎛⎠⎟⎞τ

fy 2 ≤ 1 (2.11)

A equação 2.11 permite resolver o problema genérico da verificação da segurança de

uma secção. Note-se no entanto que, devido à relação não linear entre σx e τ, não é fácil

a partir da equação 2.11 obter diagramas de interacção entre esforços. Os diagramas de

interacção entre o esforço axial N e os momentos flectores My e Mz apresentados nas

figuras 2.2 e 2.3 podem ser utilizados no caso geral, embora de forma aproximada, mas

conservativa, se for adoptada a seguinte metodologia:

1 - Determina-se o valor máximo da tensão tangencial na secção τmax.

2 - Com base na equação 2.11 calcula-se um valor fictício da tensão de

cedência f'y, dado por

f'y = 1 - 3⎝⎜⎛

⎠⎟⎞τmax

fy 2 fy (2.12)

3 - Adoptam-se os diagramas de interacção apresentados nas figuras 2.2 e 2.3,

mas considerando os valores do esforço axial plástico Npl e dos momentos de

cedência My.c e Mz.c calculados com base na tensão de cedência fictícia f'y.

Realce-se que esta metodologia é simples de aplicar e é conservativa, uma vez que se

admite que os valores máximos da tensão normal e da tensão tangencial ocorrem no

mesmo ponto, situação que raramente se verifica.

Exemplo 2.4: Apresenta-se neste exemplo a verificação da segurança apresentada no exemplo 2.3, mas

considerando agora a metodologia apresentada recorrendo à tensão de cedência fictícia f'y.

τmax = τ3 = 154,8 N/mm2

f 'y = 1 - 3( )154,8 355

2

355 = 232,7 N/mm2

Verificação da segurança - σmax = 111,5 + 115,7 = 227,2 ≤ 232,7 N/mm2 = f'y ✓


3. CRITÉRIO DE PLASTICIDADE

3.1. Resistência a esforços isolados

Nos critérios de plasticidade considera-se que a capacidade resistente da secção se

atinge apenas quando toda a secção está plastificada, pelo que os esforços resistentes

são no mínimo iguais ou, no caso mais geral, superiores aos esforços obtidos quando se

adopta um critério de cedência.

Como o critério de plasticidade corresponde a considerar a secção totalmente plastificada

a capacidade resistente das secções para os esforços actuando isoladamente é igual ao

valor do respectivo esforço plástico. Tem-se assim para o esforço axial e para os

momentos flectores

Npl = A fy (3.1)

My,pl = Wy,pl fy (3.2)

Mz,pl = Wz,pl fy (3.3)

em que Wy,pl e Wz,pl representam os módulos de flexão plástica relativamente aos eixos y

e z, respectivamente.

Relativamente ao esforço transverso é também possível definir um valor do esforço

transverso plástico o qual corresponde a admitir-se uma distribuição de tensões

tangenciais τ=fy/ 3 uniforme na secção e com o sentido do esforço transverso aplicado.

Na figura 3.1 representam-se os diagramas com as distribuições de tensões tangenciais

elástica e plástica numa secção rectangular sujeita ao esforço transverso plástico na

direcção z.

No caso da distribuição elástica a tensão tangencial máxima é dada por

τmax = VzSy.max

Ιyb =

Vz(bh2/8)(bh3/12)b =

Vz(bh2/8)(bh3/12)b =

1,5Vbh =

1,5VzA (3.4)

Tendo em consideração que na distribuição plástica a tensão tangencial é uniforme, e

dada por τ=fy/ 3 , o esforço transverso plástico é dado por Vz,pl = A fy/ 3.


Figura 3.1 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção rectangular.

Ao considerar-se uma distribuição plástica das tensões tangenciais nem sempre a área

total da secção contribuí para a resistência ao esforço transverso. Na figura 3.2

representa-se uma secção em Ι indicando-se as distribuições de tensões tangenciais e

elástica e plástica para um esforço transverso segundo o eixo z.

Figura 3.2 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção Ι. Esforço transverso

segundo o eixo z.

Como se ilustra nos diagramas apresentados na figura 3.2, tratando-se de uma secção

de parede fina a direcção das tensões tangenciais coincide com a direcção da linha

média da secção. Note-se que a resultante das tensões na alma tem de ser

estaticamente equivalente ao esforço transverso aplicado. A principal diferença entre os

dois diagramas apresentados é que a distribuição elástica depende das características de

toda a secção, incluindo os banzos, enquanto que o valor do esforço transverso plástico

só depende da área da alma. Tem-se neste caso


Vz,pl = Av fy3

com Av = Aw (3.5)

em que Aw representa a área da alma. A área Av representa a área resistente ao corte,

designação que, embora indevidamente, é frequentemente abreviada para área de corte

(“shear area” na designação inglesa). Saliente-se que a área resistente ao corte depende

apenas da parte da secção que contribui para a resistência ao corte, não tendo o mesmo

significado nem o mesmo valor da área de corte, usualmente representada por A’, que se

considera para a determinação da contribuição das deformações por corte no cálculo das

deformações de peças lineares.

Na figura 3.3 representa-se uma secção Ι solicitada por um esforço transverso na

direcção do eixo y, indicando-se as distribuições elástica e plástica de tensões.

Figura 3.3 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica numa secção Ι. Esforço transverso

segundo o eixo y.

As distribuições de tensões tangenciais apresentadas na figura 3.3 são idênticas às da

secção rectangular, apresentadas na figura 3.1, sendo apenas necessário ter em

consideração que a resistência ao esforço transverso é assegurada pelos dois banzos.

Para o esforço transverso plástico tem-se neste caso

Vy,pl = Av fy3

com Av = Abanzos = A – Aw (3.6)

em que Abanzos representa a área dos banzos.


O mesmo tipo de abordagem pode ser utilizado de forma semelhante para outros tipos de

secções. A título de exemplo representam-se na figura 3.4 as distribuições de tensões

elástica e plástica para os casos das secções tubulares rectangulares e circulares.

No caso da secção tubular rectangular a área resistente ao corte é, à semelhança da

secção I, igual às áreas das almas. No caso da secção tubular circular é necessário ter

em consideração a variação da direcção da linha média da secção, obtendo-se

Vpl = Av fy3

com Av = 2Aπ

(3.7)

deixando-se a cargo do leitor verificar o valor de Av indicado.

A resistência plástica à torção, embora possa ser determinada com base na mesma

abordagem adoptada para o esforço transverso, não é tratada no presente texto.

Figura 3.4 - Distribuição de tensões tangenciais elástica e plástica em secções tubulares rectangulares e

circulares

Exemplo 3.1: Adoptando um critério de plasticidade pretende calcular-se a resistência ao esforço axial, aos

momentos flectores e aos esforços transversos actuando isoladamente num perfil HEA200 S355.

HEA200 S355 – A = 5380 mm2; Wy,pl = 430x103 mm3; Wy,el = 204x103 mm3; fy = 355 N/mm2


O esforço axial e os momentos plásticos são calculados de acordo com as equações 3.1 a 3.3, tendo-se

Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN

My,pl = Wy,pl fy = 430x103x355x10-6 = 152,7 kNm

Mz,pl = Wz,pl fy = 204x103x355x10-6 = 72,4 kNm

Os esforços transversos plásticos calculam-se de acordo com as equações 3.5 e 3.6, tendo-se

Az,v = Aw = A - 2btf = 5280 - 2x200x10 =1380 mm2 → Vz.pl = 1380 x 3553

x 10-3= 282,8 kN

Ay,v = Abanzos = 2x200x10 = 4000 mm2 → Vy.pl = 4000 x 3553

x 10-3 = 819,8 kN

3.2. Combinações de esforços. Diagramas de interacção

3.2.1 Flexão composta

Na prática raramente uma secção é solicitada por um dos esforços actuando

isoladamente pelo que é necessário determinar a sua capacidade resistente quando

solicitada por combinações de dois ou mais esforços. Nestes casos a capacidade

resistente tem de ser determinada tendo em consideração a interacção entre os

diferentes esforços actuantes, designando-se por diagramas de interacção as curvas ou

superfícies que representam a referida interacção. Estes diagramas são, de uma forma

geral, definidos em função dos valores resistentes de cada um dos esforços actuando

isoladamente apresentados no §3.1.

Secção Rectangular

Considere-se a secção rectangular representada na figura 3.5 na qual se representam

também as distribuições plásticas de tensões normais correspondentes ao esforço axial

Npl (figura 3.5b) e ao momento flector My.pl (figura 3.5c).


Figura 3.5 - Distribuição de tensões normais numa secção rectangular em flexão composta

Na figura 3.5d representa-se uma situação genérica da secção submetida um esforço

axial N e a um momento My. Tendo em conta as características geométricas da secção o

diagrama de tensões pode ser decomposto em duas parcelas, uma simétrica (N≠0 e

M=0), que corresponde ao esforço axial, e outra anti-simétrica (N=0 e M≠0), que

corresponde ao momento flector. A parcela estaticamente equivalente ao esforço axial é

definida pela altura a, sendo a/2 a distância do centro de gravidade à linha neutra plástica.

Com base nos diagramas apresentados na figura 3.5 tem-se que

N = ba fy = ah Npl com Npl = bh fy (3.8)

M = 2 h-a2 b

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞h

2 - h-a4 fy =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1 -

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞N

Npl

2 Mpl com Mpl =

bh2

4 fy (3.9)

A equação 3.9 pode ser escrita em função do quociente entre os esforços na secção e os

correspondentes valores plásticos, tendo-se

MMpl

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞N

Npl

2 = 1 (3.10)

A equação 3.10 define a curva de interacção plástica numa secção rectangular em flexão

composta a qual é representada na figura 3.6.


Figura 3.6 – Diagrama de interacção de uma secção rectangular em flexão composta

Na figura 3.6 representa-se também o diagrama de interacção elástico, correspondente

ao início da cedência, sendo assim possível a sua comparação com o diagrama de

interacção plástico. Quando o momento flector é nulo o esforço axial resistente é igual ao

esforço axial plástico, independentemente do critério de rotura adoptado. Pelo contrário,

quando o esforço axial é nulo o momento resistente é igual ao momento de cedência, se

o critério for o elástico, ou igual ao momento plástico, se o critério for o plástico. O

diagrama de interacção elástica é linear uma vez que resulta da combinação linear dos

efeitos do esforço axial e do momento flector (reveja-se a equação 2.7 e o

correspondente diagrama de interacção). O diagrama de interacção plástica é não linear

(equação 3.10) sendo a curva convexa.

Secção tubular circular

Considere-se agora a secção circular tubular representada na figura 3.7 na qual se

representam também as distribuições plásticas de tensões normais correspondentes ao

esforço axial Npl (figura 3.7b) e ao momento flector My.pl (figura 3.7c). Note-se que se

admite tratar-se de uma secção de parede fina, em que se pode considerar que as

tensões são uniformes na espessura, sendo a distribuição de tensões na secção definida

apenas pela sua distribuição ao longo da linha média da secção.


Figura 3.7 - Distribuição de tensões normais numa secção tubular circular em flexão composta

À semelhança do procedimento adoptado para a secção rectangular representa-se na

figura 3.7d a distribuição plástica de tensões para uma situação genérica da secção

submetida um esforço axial N e a um momento My. Aquela distribuição de tensões é

decomposta em duas parcelas, uma simétrica (N≠0 e M=0), que corresponde ao esforço

axial, e outra anti-simétrica (N=0 e M≠0), que corresponde ao momento flector. A posição

da linha neutra é definida pelo ângulo β sendo a parcela estaticamente equivalente ao

esforço axial a corresponde ao comprimento da linha média definida pelo ângulo 2β.

Com base nos diagramas apresentados na figura 3.7, e tendo em conta a área e a

posição do centro de gravidade de um arco de circunferência2, tem-se que

N = 4βRt fy = 2βπ

Npl com Npl = 2πRt fy (3.10)

M = (2θRt fy) (2 Rsenθθ

) = 4R2t fy cosβ = cosβ Mpl com Mpl = 4R2t fy (3.11)

As equações 3.10 e 3.11 podem ser reunidas numa única através da eliminação do

parâmetro β obtendo-se

2π

arcsen MMpl

+ NNpl

= 1 (3.12)

A equação 3.12 define a curva de interacção plástica numa secção tubular circular em

flexão composta a qual é representada na figura 3.8.

2 Para um arco de circunferência definido pelo ângulo 2θ tem-se Área A = 2Rθt Momento estático S = ⌡⌠-θ

θ tR2cosα dα = 2t R2senθ

Centro de gravidade yg = SA = R senθθ


Figura 3.8 – Diagrama de interacção de uma secção tubular circular em flexão composta

Na figura 3.8 representa-se também o diagrama de interacção elástico, correspondente

ao início da cedência, sendo assim possível a sua comparação com o diagrama de

interacção plástico, sendo a análise desta comparação idêntica à já apresentada para a

secção rectangular.

Exemplo 3.2: Considere-se um perfil CHS 219.1x10 S355. Adoptando um critério de plasticidade pretende

determinar-se o valor do máximo momento que o tubo pode resistir quando sujeito a um esforço axial de

1000 kN.

Raio da linha média R = 219,1-102 = 104,55 mm

A = 2πRt = 2πx104,55x10 = 6569 mm2 ⇒ Npl = A fy = 6569x355x10-3 = 2332 kN

Wpl = 4R2t = 4x104,552x10 = 437228 mm3 ⇒ Mpl = Wpl fy = 437228x355 x10-6 = 155,2 kNm

Para N = 1000 kN e tendo em consideração a curva de interacção definida pela equação 3.12 obtém-se

M ≤ sen⎝⎛

⎠⎞π

2 - π2 x 10002332 x155,2 = 139,2 kNm

Sugestão: represente os diagramas de interacção (M;N), elástico e plástico, de um CHS 219.1x10 S355.

Verifique que usando um critério elástico para um N = 1000kN o máximo momento que é possível aplicar é

de 69,6 kNm.

Secção em Ι ou H

Com excepção de alguns casos particulares, como a secção rectangular e a secção

tubular circular anteriormente apresentadas, não é possível obter uma única equação

explícita para o diagrama de interacção. No entanto, para as secções mais correntes é

possível obter os diagramas de interacção como um conjunto de equações cujo domínio

de validade depende das características geométricas da secção, como se exemplifica de

seguida para o caso das secções em Ι ou H.


No caso de uma secção em Ι a determinação da curva de interacção tem de ter em conta

o facto de a secção ser composta por uma alma e dois banzos. Neste caso a curva de

interacção tem de ser determinada de forma diferente consoante a alma seja ou não

suficiente para resistir ao esforço axial.

Considerem-se as situações limites de a secção estar totalmente plastificada por flexão

em torno do eixo y e por esforço axial. Para cada uma destas situações, e conforme se

ilustra na figura 3.9, decomponham-se os esforços nas parcelas absorvidas pelos banzo

e pela alma, identificadas pelos índices f e w, respectivamente.

Figura 3.9 – Secção em Ι. Decomposição do Npl e do My.pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma.

No caso do esforço axial tem-se

Nf = 2btf fy (3.13)

Nw = htw fy (3.14)

Npl = Nf + Nw = (2btf + htw) fy (3.15)

No caso do momento flector tem-se

Mf = btfh fy (3.16)

Mw = twh2

4 fy (3.17)

My,pl = Mf + Mw = (btfh + twh2

4 ) fy (3.18)

Com base nos valores apresentados nas equações 3.13 a 3.18 é possível definir o

diagrama de interacção (My/My,pl; N/Npl) para uma secção Ι que se representa na figura

3.10.


Figura 3.10 – Secção em Ι. Diagrama de interacção plástica (My/My,pl, N/Npl)

No diagrama de interacção representado na figura 3.10 os pontos A e C correspondem à

secção totalmente plastificada por flexão e por esforço axial, respectivamente. O ponto B

corresponde à situação em que o esforço axial total é igual ao esforço axial plástico da

alma Nw e o momento flector total é igual ao momento flector plástico dos banzos Mf.

Entre os pontos B e C o diagrama de interacção é linear. Com efeito, quando se aumenta

o esforço axial para valores superiores a Nw os banzos deixam de estar totalmente

disponíveis para resistir ao momento flector. Como a redução da área dos banzos

disponível para resistir ao momento flector varia linearmente com o esforço axial o

diagrama de interacção é também linear entre os pontos B e C.

O diagrama de interacção entre os pontos A e B depende apenas da variação da

contribuição da alma para a resistência ao momento flector e ao esforço axial. Como a

alma é uma secção rectangular, de altura h e espessura tw, a curva de interacção entre

os pontos A e B é dada por

MfMy,pl

+ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤M - Mf

Mw + ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞N

Nw

2 MwMy,pl

≤ 1 para N < Nw (3.19)

Nesta equação Mf/My,pl representa a abcissa do ponto B definindo a parcela do momento

resistido pelos banzos. A segunda parcela do 1º termo da equação 3.19 tem em

consideração o momento flector resistido pela alma, afectado do termo entre parênteses

rectos, que não é mais do que a curva de interacção plástica da alma determinada com

base na equação 3.10, definida para secções rectangulares. Assim verifica-se que a

curva de interacção entre os pontos A e B é definida pela curva de interacção de uma


secção rectangular aplicada à alma da secção e afectada do efeito de escala para ter em

consideração que a alma é apenas uma das componentes da secção transversal.

Considere-se agora a determinação da curva de interacção da flexão composta de uma

secção Ι solicitada por um momento flector segundo o eixo z. Adoptando a mesma

metodologia utilizada anteriormente apresenta-se na figura 3.11 a decomposição do

momento plástico e do esforço axial nas parcelas resistidas pelos banzos e pela alma.

Figura 3.11 - Secção em Ι. Decomposição do Npl e do Mz,pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma.

Tendo em consideração os diagramas apresentados na figura 3.11 verifica-se que os

esforços axiais absorvido pela alma, pelo banzo e pela totalidade da secção são os

definidos pelas equações 3.13 a 3.15.

Relativamente aos momentos flectores tem-se

Mf = 2 tfb2

4 fy (3.20)

Mw = 0 (3.21)

Mz,pl = Mf + Mw = tfb2

2 fy (3.22)

Com base nos valores apresentados nas equações 3.13 a 3.15 e 3.20 a 3.22 pode

definir-se o diagrama de interacção (Mz/Mz,pl; N/Npl) para uma secção Ι que se representa

na figura 3.12.


Figura 3.12 – Secção em Ι. Diagrama de interacção plástica (Mz/Mz,pl, N/Npl)

Os pontos A e C correspondem à secção totalmente plastificada por flexão e por esforço

axial, respectivamente. O ponto B corresponde à situação em que o esforço axial total é

igual ao esforço axial plástico da alma Nw e o momento flector total é igual ao momento

flector plástico dos banzos Mf. Entre o ponto A e o ponto B o diagrama de interacção é

definido por uma recta vertical, correspondente a Mz/Mz,pl=1, uma vez que a alma não

contribui para a resistência ao momento flector. Entre os pontos B e C o diagrama de

interacção depende apenas da variação da contribuição dos banzos para a resistência ao

momento flector e ao esforço axial. Como os banzos são secções rectangulares, de

altura b e espessura tf, a curva de interacção entre os pontos B e C é dada por

MMpz,pl

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞N - Nw

Npl - Nw

2 ≤ 1 (3.23)

Esta equação corresponde à curva de interacção plástica dos banzos, determinada com

base na equação 3.10, definida para secções rectangulares, tendo ainda em conta que o

esforço axial total resulta da soma da parcela absorvida pelos banzos com a parcela

absorvida pela alma.

Exemplo 3.3: Considere-se um perfil HEA200 S355. Adoptando um critério de plasticidade pretende obter-se

o diagrama de interacção em flexão composta para o momento segundo o eixo y (My/My,pl; N/Npl).

HEA200 S355 – A = 5380 mm2; Wy.pl = 430x103 mm3; fy = 355 N/mm2

O esforço axial e o momento plástico são calculados de acordo com as equações 3.1 e 3.2, tendo-se

Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN


My,pl = Wy,pl fy = 430x103x355x10-6 = 152,7 kNm

Aw = A - 2btf = 5280 - 2x200x10 =1380 mm2 NwNpl

= AwA = 1380

5280 = 0,261

Mf = btfh fy = 200x10x180x355x10-3 = 127,8 kNm MfMpl,y

= 127,8152,7 = 0,847 Mw

Mpl,y = 1 - 0,847 = 0.153

Com base nestes valores obtém-se o diagrama de interacção representado na figura 3.13 o qual é definido

por

Se N/Npl < 0,261 → MfMy,pl

+ ⎣⎡

⎦⎤My - Mf

Mw + ( )N

Nw

2

MwMy,pl

≤ 1 ⇒ 0,847+ ⎣⎡

⎦⎤My

My,pl - 0,847 + ( )N

Npl

2 10,2612 x 0,153 ≤ 1

⇒ MyMy,pl

+ 2,246( )NNpl

2

≤ 1

Se N/Npl ≥ 0,261 → 0,872 MyMy,pl

+ NNpl

≤ 1

Figura 3.13 - Diagrama de interacção plástica (My/My,pl; N/Npl) para um HEA 200 S355

Com base nas curvas de interacção definidas tem-se, por exemplo, para esforços axiais de 200 e 1000 kN os

seguintes valores dos momentos flectores My

N = 200 kN → My ≤ ⎣⎡

⎦⎤1 – 2,246 x ( )200

1909,9

2

x 152,7 → My ≤ 148,9 kNm

N = 1000 kN → My ≤ ( )1 – 10001909,9 x 152,7

0,872 → My ≤ 83,4 kNm

Exemplo 3.4: Considere-se um perfil HEA200 S355. Adoptando um critério de plasticidade pretende obter-se

o diagrama de interacção em flexão composta para o momento segundo o eixo z (Mz/Mz,pl; N/Npl).

HEA200 S355 – Wz.pl = 204x103 mm3; fy = 355 N/mm2

O momento plástico é calculado de acordo com a equação 3.3, tendo-se

Mz,pl = Wz,pl fy = 204x103x355x10-6 = 72,4 kNm


NwNpl

= 0,261

Com base nestes valores obtém-se o diagrama de interacção representado na figura 3.14 o qual é

numericamente definido por

Se N/Npl > 0,261 → MzMpl,z

+ ( )N - NwNpl - Nw

2

≤ 1 ⇒ MzMz.pl

+ ( )N/Npl,z - 0,2611 - 0,261

2

≤ 1 ⇒

MzMz.pl

+ ( )N/Npl,z - 0,2610,739

2

≤ 1

Se N/Npl ≤ 0,261 → MzMz,pl

≤ 1

Figura 3.14 - Diagrama de interacção plástica (Mz/Mz,pl, N/Npl) para um HEA 200 S355

Com base nas curvas de interacção definidas tem-se, por exemplo, para esforços axiais de 200 e 1000 kN os

seguintes valores dos momentos flectores Mz

N = 200 kN → Mz ≤ 72,4 kNm

N = 1000 kN → Mz ≤ ⎣⎡

⎦⎤1,125 - 1,831( )1000

1909,9

2

x 72,4 → Mz ≤ 45,1 kNm

3.2.2 Flexão composta desviada

No caso da flexão composta desviada, em que a secção é solicitada simultaneamente

por um esforço axial e por momentos flectores segundo os dois eixos no plano da secção,

não é possível, de uma forma geral, obter os diagramas de interacção exactos. Recorre-

se neste caso a diagramas de interacção aproximados, os quais são obtidos a partir dos


diagramas de interacção em flexão composta, considerando a flexão apenas num plano,

que foram apresentados no §3.2.1.

Considere-se o diagrama de interacção (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl) representado na figura

3.15.

Figura 3.15 – Diagrama de interacção (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl)

Conforme se pode verificar na figura 3.15 no caso de Mz ser nulo o diagrama de

interacção reduz-se à curva de interacção ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My

My,pl;

NNpl

, ou seja, uma curva de flexão

composta com flexão apenas segundo o eixo y. Da mesma forma, no caso de My=0 o

diagrama reduz-se à curva de interacção ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Mz

Mz,pl;

NNpl

, ou seja, uma curva de interacção em

flexão composta com flexão apenas segundo o eixo z. Estas duas curvas de interacção

podem ser obtidas analisando as distribuições plásticas de tensões como foi apresentado

no §3.2.1.

Conhecidas as duas curvas de interacção, cada uma das quais com momentos apenas

num dos eixos, ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My

My,pl;

NNpl

e ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Mz

Mz,pl;

NNpl

, o problema resume-se a definir a interacção para

as situações em que os dois momentos, My e Mz, são simultaneamente não nulos.

Conforme se pode observar na figura 3.15 a superfície de interacção ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My

My,pl;

MzMz,pl

; NNpl


pode ser definida através das curvas de nível correspondentes a valores de ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞N

Npl

constantes.

Definam-se como MN,pl,y e MN,pl,z os momentos segundo os eixos y e z, respectivamente,

associados à plastificação da secção para um dado valor de ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞N

Npl e representados na

figura 3.16.

Figura 3.16 - Definição do diagrama de interacção (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl) através de curvas de interacção

para N=cte.

A curva de nível que define a interacção entre ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My

MN,y,pl;

MzMN.z,pl

pode ser genericamente

definida por

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My

MN.y.pl

α + ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Mz

MN.z.pl

β = 1 (3.24)

A aproximação da curva definida desta forma aos valores reais de um curva de

interacção pode ser efectuada através da calibração dos parâmetros α e β. Com efeito, e

conforme se ilustra na figura 3.17, fazendo variar os parâmetros α e β de forma

independente e para valores entre 1,0 e ∞ é possível definir curvas de interacção desde

uma recta (α = β = 1,0) até um quadrado (α = β = ∞), assim como qualquer curva de

interacção intermédia entre aquelas duas curvas extremas.


Figura 3.17 – Influência dos expoentes α e β na forma das curvas de interacção.

Na figura 3.18 representam-se as projecções no plano ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My

MN.y.pl;

MzMN.z.pl

das curvas de

interacção para N/Npl=0 e para um valor genérico de N/Npl diferente de zero. Os valores

de α e β são determinados numericamente tendo em consideração as características

geométricas das secções. No quadro 3.1 indicam-se os valores de α e β para o caso das

secções mais correntemente utilizadas em flexão composta desviada (EC3 [1]).

Figura 3.18 – Projecção no plano ( )MyMN.y.pl

; MzMN.z.pl

das curvas de interacção para N = cte.


Secção α β Observações

Ι, H 2 5n β ≥ 1

2 2 -

1,661 - 1,13n2

1,661 - 1,13n2 α, β ≤ 6

Quadro 3.1 – Valores dos parâmetros α e β para definir as curvas de interacção entre momentos flectores

em função do nível de esforço axial (n= N/Npl) (Adaptado do EC3 [1])

Note-se que no caso em que um dos termos My ou Mz é nulo a expressão 3.24 se reduz

às expressões da verificação da resistência de secções solicitadas em flexão composta

não desviada.

Da análise dos valores dos parâmetros α e β apresentados no quadro 3.1 salientam-se

os seguintes aspectos:

- o parâmetro β depende do esforço axial reduzido uma vez que as curvas de

interacção são dependentes do nível de esforço axial, ou seja, as curvas de

interacção para diferentes valores de n= N/Npl não são em geral homotéticas;

- no caso particular de secções com simetria radial, como por exemplo secções

tubulares circulares, os valores de α e β tomam o valor de 2, ou seja, para um valor

de fixo de n = N/Npl as curvas de interacção são circunferências uma vez que os

momentos flectores resistentes são iguais em todas as direcções.

Exemplo 3.5: Para o perfil HEA200 S355 já considerado nos exemplos 3.3 e 3.4 pretende determinar-se a

curva de interacção para N = 400kN e, com base nessa curva de interacção, o valor do momento resistente

My quando Mz = 20kNm:

Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN

My.pl = Wy.pl fy = 430x103x355x10-6 = 152,7 kNm

Mz.pl = Wz.pl fy = 204x103x355x10-6 = 72,4 kNm

n = NNpl

= 400,01909,9 = 0,209

a = NwNpl

= 0,261 (ver exemplo 3.2)

MN.y.pl = 152,7 ( )1 - 2,246x0,2092 = 137,7 kNm (ver exemplo 3.2)


MN.z.pl = Mz.pl = 72,4 kNm (note-se que n<a; ver exemplo 3.3)

α = 2; β = 5n = 5x0,209 = 1,045 (ver quadro 3.1)

A curva de interacção é dada por

( )My138,8

2

+ ( )Mz72,4

1,045

≤ 1

Mz=20,0 kNm ⇒ My ≤ 1 - ( )20,072,4

1,045

x 138,8 ⇒ My ≤ 117,2 kNm

3.2.3 Caso geral da interacção entre momento flector, esforço axial e esforço

transverso

Nas §3.21 e §3.2.2 analisaram-se as situações de interacção envolvendo apenas tensões

normais, ou seja, em termos de esforços, os diagramas de interacção para secções em

flexão composta, simples ou desviada. Analisam-se agora as situações em que, para

além dos esforços associados a tensões normais, é ainda necessário considerar os

esforços associados a tensões tangenciais, em particular os esforços transversos.

Saliente-se que a interacção de esforços envolvendo o esforço transverso raramente é

condicionante uma vez que, para o tipo de estruturas em que se adoptam perfis metálicos,

a resistência das secções é em geral condicionada apenas pelo esforço axial e pelo

momento flector. Para além disso, as secções mais correntemente adoptadas para os

perfis metálicos, Ι, H ou tubos rectangulares, são secções cuja geometria está adaptada

de forma a que os banzos assegurem a maior parte da resistência à flexão e a alma

assegure a resistência ao esforço transverso, minimizando-se assim os efeitos da

interacção entre aqueles dois esforços.

Para a determinação do diagrama de interacção plástica entre o momento flector e o

esforço transverso pode adoptar-se a mesma metodologia que foi utilizada para estudar a

interacção entre o momento flector e o esforço axial e que consiste em separar as partes

da secção cuja capacidade plástica contribui para a resistência a cada um dos esforços.

Esta repartição é ilustrada na figura 3.19 para o caso de uma secção rectangular, sendo

a separação entre a zona sujeita a tensões normais e tensões tangenciais efectuada de

forma a maximizar o momento resistente.


Figura 3.19 – Interacção entre o momento flector e o esforço transverso numa secção rectangular.

Adoptando a mesma metodologia usada para a determinação do diagrama de interacção

N-M de uma secção rectangular, apresentada no §3.2.1, obtém-se para este caso

MMpl

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞V

Vpl

2 = 1 (3.25)

equação esta que define a curva de interacção representada na figura 3.20.

Figura 3.20 – Diagrama de interacção entre o momento flector e o esforço transverso numa secção

rectangular.

No caso de uma secção Ι ou H o diagrama de interacção pode ser definido tendo em

consideração as características geométricas das secções, em particular quando a secção

é solicitada no plano da alma. Neste caso, e à semelhança do considerado na análise

dos diagramas de interacção esforço axial - momento flector, pode separar-se a

contribuição da alma e dos banzos para a resistência da secção como se representa na

figura 3.21.


Figura 3.21 – Interacção entre o momento flector My e o esforço transverso Vz numa secção Ι ou H.

Com base na contribuição dos banzos e da alma para a resistência ao esforço transverso

define-se o diagrama de interacção My-Vz de uma secção Ι ou H representado na figura

3.22, em que o troço não linear corresponde à interacção entre o esforço transverso e o

momento flector da alma, o qual é definido adaptando a equação 3.25 ao rectângulo

definido pela alma do perfil, obtendo-se

M - MfMpl - Mf

+ ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞V

Vpl

2 = 1 (3.26)

Figura 3.22 - Diagrama de interacção entre o momento flector My e o esforço transverso Vz numa secção Ι ou H.

3.2.4 Características dos diagramas de interacção

Pode demonstrar-se que os diagramas de interacção plástica são sempre convexos. Esta

propriedade tem uma importância fundamental na determinação aproximada de curvas

de interacção e na aplicação prática dessas mesmas curvas. Com efeito, o facto de as

curvas de interacção serem convexas permite afirmar que uma curva de interacção

obtida através duma poligonal definida por pontos sobre a solução exacta é sempre uma


solução conservativa relativamente à curva exacta. Como nas situações correntes não é

possível obter a solução analítica exacta uma forma de obter a curva de interacção é

determinar um conjunto de pontos, em número dependente da curvatura da curva e do

grau de aproximação pretendido, e uni-los por segmentos de recta.

Outro aspecto importante das curvas de interacção é que se a tensão de cedência em

tracção e compressão forem iguais em valor absoluto, o que em geral acontece, em

particular no caso dos aços, e desde que exista simetria em relação a pelo menos um

dos eixos da secção transversal, o que em geral também acontece, então as curvas de

interacção são simétricas em relação a qualquer um dos eixos coordenados. Assim, nos

casos em que se verificam aquelas duas condições é suficiente determinar a curva de

interacção para os valores positivos dos esforços.

4. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE SECÇÕES DE ACORDO COM O EC3

4.1. Introdução

Conforme se apresentou na introdução geral deste texto (§1) a verificação da segurança

aos estados limites últimos é de uma forma genérica definida pela inequação Ed ≤ Rd

(equação 1.1) em que Ed e Rd representam os valores de cálculo dos efeitos das acções

e das resistências, respectivamente. Tendo em conta as propriedades mecânicas do aço

e as características geométricas das secções a inequação que traduz a verificação da

segurança aos estados limites últimos de resistência de secções pode ser expressa em

termos de tensões ou dos esforços considerados de uma forma isolada ou, no caso mais

geral, de variáveis que representam os efeitos da combinação de dois ou mais esforços.

Nos projectos de estruturas a verificação da segurança é efectuada através da aplicação

de regulamentos ou códigos estruturais. No caso dos países europeus aplicam-se

actualmente os Eurocódigos Estruturais, dos quais o Eurocódigo 3 [1], referido

abreviadamente por EC3, se aplica às estruturas metálicas em aço. A verificação da

segurança da resistência das secções baseia-se na aplicação dos resultados da

resistência de materiais, apresentados nos capítulos anteriores enquadrados na filosofia

dos estados limites. Algumas vezes este procedimento é acompanhado de algumas

simplificações que, embora retirem alguma exactidão e formalismo à verificação da

segurança, permitem a sua mais fácil aplicação.


De acordo com o EC3 [1] as secções são classificadas da classe 1 à classe 4 consoante

a forma como atingem a sua resistência máxima e portanto o seu estado limite último de

resistência.

Nas secções das classes 1 e 2 o estado limite último de resistência é atingido quando a

secção está totalmente plastificada. No caso das secções das classes 3 e 4 a capacidade

de deformação da secção (a sua extensão axial, no caso de um esforço axial, ou a sua

curvatura, no caso de um momento flector) é limitada pela ocorrência de fenómenos de

encurvadura local.

No caso das secções da classe 3 a ocorrência da encurvadura local apenas impede o

desenvolvimento de esforços plásticos na secção, sendo a capacidade resistente definida

pelo início da cedência, num estado uniaxial ou multiaxial de tensões, em qualquer ponto

da secção.

Nas secções da classe 4 a ocorrência de fenómenos de encurvadura local das secção

são de tal forma condicionantes que o estado limite de resistência da secção ocorre para

esforços inferiores aos esforços de cedência calculados de acordo com a teoria da

resistência de materiais. A avaliação da capacidade resistente de secções de classe 4

exige uma análise aprofundada dos fenómenos de encurvadura local de secções, pelo

que não é abordada no presente texto.

Excluindo-se as secções da classe 4 tem-se que o estado limite de resistência de uma

secção é definido pelo início da cedência, no caso de uma secção da classe 3, ou pela

sua plastificação total, no caso de secções das classes 1 ou 2. Sendo o critério de

cedência mais conservativo do que o critério de plasticidade a sua aplicação é possível a

qualquer tipo de secção, sendo genericamente definido por

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞σx.Ed

fy/γM0

2 + ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞σz.Ed

fy/γM0

2 - ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞σx.Ed

fy/γM0 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞σz.Ed

fy/γM0 + 3

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞τEd

fy/γM0

2 ≤ 1 (EC3.1.1 – 6.1) 3 (4.1)

em que, e sempre referido a um ponto,

σx.Ed - representa o valor de cálculo da tensão normal segundo x (eixo do elemento);

σz.Ed - representa o valor de cálculo da tensão normal segundo z (eixo perpendicular

ao eixo do elemento e que, juntamente com este, define o plano de

carregamento);

3 - Por uma questão de referência aos textos dos Eurocódigos identifica-se, quando apropriado, o documento e o número da equação nesse documento. Por exemplo a equação 4.1 deste texto é idêntica à equação 6.1 do Eurocódigo 3 – Parte 1.1 [1].


τEd - representa o valor de cálculo da tensão tangencial.

A equação 4.1 corresponde à aplicação a um estado plano de tensão do critério de

Mises-Hencky, que permite definir o início da cedência num estado de tensão genérico,

sendo a tensão de cedência dividida pelo coeficiente parcial de segurança γM0 4.

Nos casos correntes de elementos metálicos a tensão σz.Ed é nula, ou não sendo nula é

suficientemente pequena para poder ser desprezada, caso em que a equação 4.1 se

reduz a

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞σx.Ed

fy/γM0

2 + 3

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞τEd

fy/γM0

2 ≤ 1 (4.2)

Note-se que as equações 4.1 e 4.2 permitem definir a ocorrência da cedência numa

secção de uma peça linear uma vez que as tensões σx.Ed, σz.Ed e τEd têm de ser

calculadas tendo em consideração os esforços que actuam na secção: esforço normal,

momentos flectores, esforços transversos e momento torsor.

Conforme já foi referido a capacidade resistente das secções das classes 1 e 2 não se

esgota com o início da cedência, podendo para as secções destas classes considerar-se

a sua plastificação total. A determinação dos esforços associados à plastificação total das

secções, seja no caso dos esforços actuando isoladamente, seja no caso de

combinações de esforços, foi já apresentada no §3. Para a determinação dos esforços

correspondentes aos estados limites últimos de resistência de acordo com o EC3 [1] é

apenas necessário considerar o coeficiente parcial de segurança das resistências que, e

uma vez que se trata de situações em que a resistência é condicionada pela plasticidade,

é neste caso γM0.

Os elementos das estruturas metálicas têm de ser ligados entre si. Estas ligações podem

ser efectuadas através de soldaduras, de parafusos ou, em alguns casos particulares,

com rebites. Nestes últimos casos os elementos têm de ser furados de modo a

permitirem a colocação dos elementos ligadores. A existência dos furos reduz a área da

secção definindo-se uma secção útil, que se designa por Anet, cuja resistência pode ser

condicionante.

Saliente-se que no caso das secções das classes 1 e 2 a resistência da secção útil

também é calculada com base numa distribuição plástica de tensões, mas definida pela

4 - Os coeficientes parciais de segurança são definidos nos Anexos Nacionais de cada país. Neste texto consideram-se os valores recomendados no Eurocódigo 3 Parte 1.1 [1], ou seja, γM0 = γM1 = 1,0; γM2 = 1,25.


tensão última fu e não pela tensão de cedência fy. No caso das secções correntes a

resistência plástica é calculada com base na tensão de cedência, permitindo assim

assegurar que o comprimento do elemento em que as secções estão totalmente

plastificadas é infinitesimal, uma vez que nas secções adjacentes os esforços serão

sempre inferiores aos esforços plásticos. No caso da verificação da resistência das

secções úteis admite-se que a tensão pode atingir o valor da tensão última fu, afectada de

um coeficiente de redução, que de acordo com o EC3 [1] é de 0,90, uma vez que secção

útil existe apenas num pequeno comprimento ao longo do eixo da peça, pelo que à sua

plastificação não está associada nenhuma plastificação nas zonas do elemento fora das

secções reduzidas pela existência dos furos.

No EC3 [1] a verificação da secção útil é apresentada apenas para o caso da tracção.

Note-se que no caso de esforços de compressão o problema da secção útil não se coloca

pois assume-se que o furo está preenchido com o ligador, um parafuso ou um rebite. No

caso de esforços de flexão, ou mais geralmente de flexão composta, a determinação da

capacidade resistente da secção útil pode efectuar-se tendo em consideração as regras

de cálculo da resistência da secção aplicadas apenas à parte traccionada da secção. Por

exemplo, no caso de uma secção em I ou H em flexão simples a regra da verificação da

resistência da secção útil aplica-se apenas ao banzo traccionado.

Refira-se finalmente que, estando a determinação da capacidade resistente das secções

úteis associada ao estado limite último de resistência das ligações, o coeficiente parcial

de segurança que se considera é o γM2 ( de acordo com o EC3.1.1 [1] recomenda-se que

se considere γM2 = 1,25).

A verificação da segurança das secções úteis pode ser condicionante na verificação da

capacidade resistente das secções de um elemento de uma estrutura metálica uma vez

que, por razões relacionadas com a economia e com a montagem das estruturas, as

ligações entre elementos estruturais se efectuam nas extremidades das barras, ou seja,

nas secções em que, frequentemente, os esforços são máximos.

Apresentam-se em seguida e de uma forma resumida as regras para a determinação de

acordo com o EC3.1.1 [1] da capacidade resistente das secções das classes 1 e 2.

Recorde-se que as secções das classes 1 e 2 são aquelas que em que é possível

determinar os valores de cálculo dos esforços resistentes com base em distribuições

plásticas de tensões. As letras maiúsculas usadas para as variáveis permitem identificar

o tipo de esforço.


Os índices que afectam cada uma das variáveis permitem caracterizar os esforços de

acordo com as seguintes regras:

t - esforços associados a tensões de tracção;

c - esforços associados a tensões de compressão ou tracção e compressão;

u - esforços na secção útil (estados limites últimos de resistência);

pl - esforço plástico;

Rd - valores de cálculo dos esforços resistentes;

Ed - valores de cálculo dos esforços actuantes.

4.2. Esforços resistentes em secções das classes 1 e 2.

4.2.1 Esforços isolados.

Na tabela 4.1 apresentam-se as expressões propostas no EC3 [1] para a determinação

da resistência aos estados limites últimos no caso dos esforços actuando isoladamente.

Refira-se que no caso particular do momento torsor em perfis com secções de parede

fina abertas a resistência é assegurada pela torção de Saint-Venant (torção uniforme) e

pela torção não uniforme. Não sendo considerada a contribuição da torção não uniforme

a verificação da segurança ao estado limite último de resistência da secção nas situações

que envolvam esforços de torção, isolados ou combinados com outros esforços, deve ser

efectuada adoptando o critério de cedência definido pelas equação 4.1 ou 4.2.

4.2.2 Interacção no caso da flexão composta e flexão composta desviada.

As regras gerais para a determinação dos diagramas de interacção de secções

solicitadas em flexão composta em flexão composta desviada foram apresentadas no

§3.2. Estas regras são adoptadas no EC3 [1] para as situações mais correntes, em

alguns caso com a introdução de algumas hipóteses simplificativas de forma a permitirem

a sua mais fácil utilização, salientando-se que as expressões apresentadas no EC3 [1]

estão escritas em função dos valores de cálculo dos esforços actuantes e resistentes

identificados através dos índices Ed e Rd, respectivamente.

No quadro 4.1 apresentam-se também as expressões propostas no EC3 [1] para a

verificação da segurança de secções das classes 1 e 2 tendo em consideração a

interacção entre o esforço normal e um momento flector, ou seja, em flexão composta.


No caso mais geral de uma secção solicitada em flexão composta desviada os diagramas

de interacção são definidos através da seguinte equação

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞My,Ed

MN,y,Rd

α + ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Mz,Ed

MN,z,Rd

β ≤ 1 (EC3.1.1 – 6.41) (4.3)

em que MN,y,Rd e MN,z,Rd representam os valores de cálculo dos momentos flectores

resistentes tendo em consideração os valores do esforço axial, calculados em flexão

composta. Os valores dos parâmetros α e β estão definidos no Quadro 3.1.

4.2.3 Interacção do esforço transverso com o esforço axial e o momento flector.

Conforme se apresentou no §3 nos casos correntes, e devido às características

geométricas das secções, o esforço transverso actuante é, em geral, suficientemente

pequeno em comparação com o seu valor resistente para que não seja necessário

considerar a sua interacção com os esforços que produzem tensões normais, o esforço

normal e o momento flector. No entanto, e conforme também se apresentou no §3, a

consideração simultânea do esforço transverso e dos momento flectores ou do esforço

axial pode obrigar à consideração do efeito esforço transverso na análise da interacção

de esforços. No EC3 [1] a interacção entre o esforço transverso e o momento flector ou o

esforço axial é considerada de forma aproximada. Esta aproximação toma como

referência o parâmetro ρ, definido por

ρ = ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2VEd

Vpl.Rd - 1

2 se VEd/Vpl.Rd > 0,5 (4.4a)

ρ = 0 se VEd/Vpl.Rd ≤ 0,5 (4.4b)

(4.5)

Se ρ=0, o que corresponde a admitir que VEd/Vpl.Rd ≤ 0,5, não é necessário considerar a

interacção. Se ρ > 0, o que corresponde a VEd/Vpl.Rd > 0,5, o efeito do esforço transverso

na determinação do momento flector ou do esforço axial resistente é considerado através

da redução do valor da tensão de cedência através da seguinte expressão

fy.red = (1 - ρ) fy

em que fy.red representa um valor reduzido da tensão de cedência. Saliente-se que no

EC3 [1] não existe nenhuma referência a fy.red, sendo sempre indicado de forma explicita

(1-ρ)fy.


Secções da classe 1 e 2

Esforços isolados

Esforço axial

tracção

Nt.Ed/Nt.Rd ≤ 1,0 Nt.Rd =

⎩⎨⎧Npl.Rd = Afy/γM0

Nu.Rd = 0,9Anetfu/γM2

Esforço axial

compressão

Nc.Ed/Nc.Rd ≤ 1,0 Nc.Rd = Npl.Rd = Afy/γM0

Momento

flector

MEd/Mc.Rd ≤ 1,0 Mc.Rd = Mpl.Rd = Wplfy/γM0

Esforço

transverso

VEd/Vc.Rd ≤ 1,0 Vc.Rd = Vpl.Rd = Avfy/ 3/γM0 Av ≈ hwtw

Flexão Composta

Secções rectangulares

MN.Rd = Mpl.Rd⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1-

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞NEd

Npl.Rd

2

Secções em I ou H

Se n≤0,25 e

n≤0,5a

MN.y.Rd = Mpl.y.Rd n = NEd

Npl.Rd

a = A - 2btf

A ≈ hwtwA Se n>0,25 ou

n>0,5a MN.y.Rd = Mpl.y.Rd

1-n1-0,5a ≤ Mpl.y.Rd

Se n≤a MN.z.Rd = Mpl.z.Rd

Se n>a MN.z.Rd = Mpl.z.Rd⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1-

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞n-a

1-a2

Secções tubulares ou em caixão

MN.y.Rd = Mpl.y.Rd

1-n1-0,5aw

≤ Mpl.y.Rd n = NEd

Npl.Rd

aw = (A - 2btf)/A≤0,5

MN.z.Rd = Mpl.z.Rd

1-n1-0,5af

≤ Mpl.z.Rd n = NEd

Npl.Rd

af = (A - 2htw)/A≤0,5

Quadro 4.1 – Determinação de esforços axiais, momentos flectores e curvas de interacção definidas no

EC3 [1] para secções das classes 1 e 2.


As expressões apresentadas no Quadro 4.1 também são aplicáveis nos casos em que é

necessário ter em consideração o efeito do esforço transverso, sendo nestes casos

suficiente determinar os esforços plásticos da secção com base no valor reduzido da

tensão de cedência fy.red, definido na equação 4.5.

Se o esforço transverso actuante for inferior a metade do correspondente valor resistente,

o valor reduzido da tensão de cedência é igual à própria tensão de cedência. No caso de

o esforço transverso actuante ser igual ao esforço transverso resistente o valor reduzido

da tensão de cedência é nulo, ou seja, a secção esgota toda a sua capacidade resistente

no esforço transverso, não tendo nenhuma reserva para a resistência ao momento flector

ou ao esforço normal.

Com base na aproximação adoptada no EC3 [1] consegue evitar-se a necessidade de

considerar a interacção do esforço transverso com o momento flector ou com o esforço

axial para esforços transversos pouco significativos, permitindo simultaneamente que,

nos casos em que a interacção não pode deixar de ser desprezada, os momentos

flectores ou os esforços axiais sejam calculados através de uma simples correcção do

valor da tensão de cedência para o seu valor reduzido.

No caso particular das secções em I ou H, e tirando partido das características

geométricas destas secções, em que no caso de a secção ser solicitada em flexão com

esforço transverso no plano da alma os banzos asseguram a resistência ao momento

flector e a alma a resistência ao esforço transverso, a aproximação adoptada no EC3 [1]

pode ser aplicada apenas à alma, conduzindo neste caso a

My.V.Rd = Wpl.y -

ρAw2

4twγM0

fy com Aw = hwtw (EC3.1.1 – 6.30) (4.6)

Tendo em conta que

Wpl.y = Wpl.f + Wpl.w com Wpl.w = Aw

2

4tw (4.7)

em que Wpl.f e Wpl.w representam os módulos plásticos de flexão do banzo e da alma,

respectivamente, a equação 4.6 pode ser reescrita na forma

My.V.Rd = Wpl.f fyγM0

+ (1 - ρ) Wpl.w fyγM0

(4.8)

ou seja o momento flector resistente total é a soma do momento flector plástico do banzo,

o qual nunca é afectado pelo efeito do esforço transverso, com o momento flector


resistente da alma afectado do coeficiente (1 - ρ), para ter em consideração a interacção

com o esforço transverso.

5. REFERÊNCIAS

• [1] - Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. EN 1993-1-1; May 2005.

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DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS - … · Estruturas Metálicas - Análise e verificação da segurança de estruturas de aço. Resistência de secções 1 1. INTRODUÇÃO A verificação