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Licenciatura em Engenharia do Ambiente
Disciplina de Mecânica dos Fluidos
Propriedades dos Fluidos e do Campo de Velocidades
Ramiro �eves
2003
Índice
1 Introdução ...................................................................................................... 1
2 Sólidos e fluidos ............................................................................................. 1
3 Massa Volúmica: ........................................................................................... 3
4 Peso volúmico ............................................................................................... 3
5 O fluido como meio contínuo ......................................................................... 4
5.1 Velocidade .............................................................................................. 4
5.2 Fluxo advectivo ....................................................................................... 7
5.3 Divergência da velocidade ...................................................................... 8
5.4 Propriedades do campo de velocidades ............................................... 10
5.4.1 Escoamento estacionário .............................................................. 10
5.4.2 Dimensionalidade do escoamento ................................................ 11
5.4.3 Linhas de corrente, trajectórias e linhas de emissão ..................... 12
5.4.4 Forma das linhas de corrente e forças de pressão........................ 13
5.5 Difusividade .......................................................................................... 15
5.6 Viscosidade e Tensão de corte ............................................................ 18
5.7 Operadores com tensores .................................................................... 21
5.7.1 Gradiente ....................................................................................... 21
5.7.2 Divergência ................................................................................... 23
5.7.3 Laplaciano ..................................................................................... 24
5.7.4 Rotacional ..................................................................................... 25
5.7.5 Rotacional e efeitos viscosos ........................................................ 30
6 Equação da continuidade ............................................................................ 33
7 Equação de transporte de quantidade de movimento ................................. 33
3
8 Equação de Bernoulli ................................................................................... 34
9 Nota Final .................................................................................................... 35
1
1 Introdução
Este texto é constituído por um conjunto de notas sobre as propriedades mais
importantes dos fluidos e do campo de velocidades. Os conceitos de massa
volúmica, peso volúmico e concentração não são novos para os alunos de
Mecânica dos Fluidos, sendo o objectivo de os apresentar aqui chamar a
atenção para que são grandezas definidas num ponto e que por isso, sempre
que se usam para caracterizar propriedades em sistemas de dimensões finitas é
necessário associar-lhes um volume de fluido.
A velocidade e a difusividade/viscosidade são apresentadas como propriedades
que se complementam e resultantes do conceito de fluido como meio contínuo.
Quando se faz esta aproximação perde-se informação sobre os processos
associados ao movimento individual de cada molécula, cujo efeito é quantificado
pela difusividade. Mais adiante veremos que também no caso dos escoamentos
turbulentos não é possível quantificar explicitamente os processos de
associados às altas-frequências da variação da velocidade, sendo eles também
quantificados por uma difusividade (turbulenta neste caso).
2 Sólidos e fluidos
A matéria pode encontrar-se na forma sólida ou fluida e os fluidos podem ainda
dividir-se em líquidos e em gases.
Nos gases as moléculas são completamente livres e movem-se por todo o
espaço ocupado pelo gás com uma energia cinética que depende da
temperatura. Por as moléculas se poderem mover livremente, e terem energia
cinética, uma molécula move-se até chocar com outra ou com um obstáculo
(e.g. uma parede, chocando efectivamente com as moléculas da parede!).
Destes choques resultam forças que alteram a velocidade de cada molécula.
Este movimento é normalmente designado por movimento Browniano em
homenagem ao cientista que demonstrou a sua existência.
2
Devido ao movimento browniano, os gases ocupam todo o espaço dos
recipientes em que são colocados. Se o volume do recipiente aumentar a
pressão baixa, por a frequência dos choques com as moléculas baixar. A
pressão que um gás exerce sobre as paredes do reservatório (que é a pressão a
que o gás está sujeito) mede a força por unidade de área exercida pelos
choques das moléculas nas paredes do recipiente, dependendo por conseguinte
da intensidade e da frequência dos choques.
Nos líquidos as moléculas apresentam-se em grupos, que podem ter movimento
relativo. A dimensão destes grupos de moléculas diminui com o aumento de
temperatura, até que as moléculas têm movimento individual quando os líquidos
vaporizam.
Nos sólidos as moléculas ocupam posições relativas fixas, o que lhes permite
manterem a forma ao longo do tempo. O aumento da energia cinética das
moléculas com a temperatura aumenta a amplitude dos seus movimentos
oscilatórios fazendo-os aumentar de volume, mas mantendo a forma.
Assim, uma diferença básica entre os sólidos e os fluidos é que os primeiros
podem suportar tensões tangenciais sem haver movimento relativo permanente
entre as moléculas, enquanto nos fluidos, as tensões tangenciais dão sempre
origem a movimento do fluido1. Veremos mais abaixo que a relação entre a
tensão tangencial e o gradiente de velocidades que gera é uma das
propriedades mais importantes dos fluidos (viscosidade).
Outra característica importante dos fluidos decorrente da sua estrutura molecular
e da liberdade relativa das moléculas é a chamada condição de não -
escorregamento. Quando um fluído se move sobre um sólido, a força de
atracção entre as moléculas do sólido é normalmente superior à força de
atracção entre as moléculas do fluido e por isso este adere à parede, sendo a
1 O vidro é o fluido mais emblemático deste movimento. Sendo um fluído, a força da gravidade
dá origem a escorregamento, do qual resulta com o envelhecimento um aumento da espessura
na parte inferior e diminuição da parte superior. Como a viscosidade à temperatura ambiente é
muito elevada, este processo é muito lento.
3
velocidade do movimento sobre a parede igual à velocidade da parede. Outra
razão para baixar a velocidade junto à parece é a rugosidade da parede que,
mesmo para uma parede “lisa” é muito superior à dimensão das moléculas,
oferecendo por conseguinte uma resistência de forma que se traduz numa
redução da velocidade junto à parede.
Do mesmo modo, quando dois fluidos se movem um sobre o outro, as moléculas
de um, ou são atraídas pelas do outro, ou se interpenetram (fluidos miscíveis) e
por isso a velocidade dos dois fluidos, na interface é também a mesma. Mais
abaixo veremos que a força de atrito entre os fluidos é também a mesma, sendo
estas as duas condições de fronteira que nos permitirão conhecer o perfil de
velocidades na interface entre dois fluidos imiscíveis.
3 Massa Volúmica:
É a massa por unidade de volume. A massa volúmica só fica objectivamente
definida se calculada em cada ponto e em cada instante, por poder ser variável
no espaço e no tempo. Assim define-se massa volúmica como:
dV
dm
V
mV =
∆
∆= →∆ 0limρ
e por conseguinte tem dimensões de massa sobre volume:
[ ] 3−= MLρ
que no sistema SI são (kg m-3), no sistema gravítico são (UMM m-3), onde UMM
representa Unidades Métricas de Massa e no sistema CGS as unidades da
massa volúmica são (g cm-3).
4 Peso volúmico
É a força com que a unidade de volume é atraída para a terra:
gργ =
4
Como a massa volúmica, define-se num ponto e em cada instante de tempo.
Tem unidades de força por unidade de volume: (N m-3) no sistema SI, (kg m-3)
no sistema gravítico e (dine cm-3) no sistema CGS.
A vantagem da criação dos sistemas de unidades SI e gravítico, em que o SI
tem como grandezas fundamentais Massa, Comprimento e Tempo e o gravítico
tem Força, Comprimento e Tempo e de os dois sistemas e de a força do sistema
gravítico ser 9.8 vezes superior à do SI é que o peso no gravítico é dado pelo
mesmo número que a massa no SI. É por esta razão que o kg é usado para
massa no SI e para força no gravítico. A conjugação destes dois sistemas é
prática, pois é muito mais fácil medir o peso de um corpo do que a sua massa.
5 O fluido como meio contínuo
A aproximação do fluido como meio contínuo decorre da nossa incapacidade de
considerarmos as moléculas individualmente num escoamento. Como tal define-
se porção elementar de fluido (volume elementar) como um volume de fluido
suficientemente pequeno para que todas as propriedades sejam uniformes, mas
muito maior do que a distância entre moléculas, para que não haja
descontinuidade da matéria.
5.1 VELOCIDADE
Matematicamente define-se velocidade num fluído como a taxa de deslocamento
médio das moléculas contidas num volume elementar2. Sendo o volume
elementar infinitesimal, a velocidade define-se num ponto.
A velocidade de um sólido define-se como a taxa de deslocamento do sólido:
( )321 ,, vvvdt
dxv
dt
xdv i
i ==<=>=
rr
Num fluido, a velocidade definida do mesmo modo num ponto do escoamento,
representa a taxa de deslocamento de um volume infinitesimal de fluido. Sendo
2 O que é equivalente a dizer que a velocidade num ponto do fluido é a velocidade média das
moléculas que ocupam aquele ponto em cada instante.
5
o volume elementar constituído por moléculas, poderemos dizer que a
velocidade do escoamento representa a velocidade média das moléculas
contidas no volume infinitesimal, filtrando por conseguinte o movimento
browniano das moléculas (cujo efeito será quantificado pela difusividade,
definida mais abaixo).
Poderemos então dizer que através de uma superfície paralela à velocidade, o
fluxo de moléculas devido à velocidade (fluxo advectivo) é nulo (o número de
moléculas que passa num sentido é igual ao que passa em sentido contrário).
Para termos fluxo advectivo através de uma superfície precisamos então que a
normal à superfície faça com a velocidade um ângulo diferente de 90º (o produto
interno da velocidade pela normal tem que ser diferente de zero).
Podemos então definir velocidade como o volume de fluido que passa por
unidade de tempo numa unidade de área perpendicular à velocidade. Sendo a
velocidade um vector, ela é representada por 3 quantidades num espaço
tridimensional.
Se considerarmos um volume elementar, com faces perpendiculares aos eixos
coordenados (um cubo no caso de um referencial cartesiano), como
representado na Figura 1, as três componentes da velocidade serão os fluxos
volúmicos através da unidade de área de cada uma dessas superfícies.
Essas componentes podem ser definidas para cada uma das 6 faces como:
i
idA
dQv =
Se fizermos tender o volume para zero, as faces perpendiculares ao mesmo eixo
convergem uma para a outra e os valores da velocidade passam a ser os
mesmos em faces paralelas. Assim passamos de 6 quantidades para 3
quantidades, que são as componentes da velocidade no ponto para o qual
fizemos convergir o volume.
6
Figura 1: Figura representando um volume elementar de dimensões ∆x1∆x2∆x3
Sendo a velocidade definida como o deslocamento médio das moléculas
contidas num volume de fluido, isso significa que quando a medimos, o valor que
obtemos corresponde à velocidade média num volume com dimensões idênticas
às do instrumento que a está a medir. Assim, quando se usa um anemómetro de
copos com 10 cm de diâmetro por 5 cm de altura, a velocidade que ele mede é o
deslocamento médio das moléculas num volume elementar com dimensões da
ordem de 103 cm3. Este anemómetro, colocado numa sala fechada medirá
velocidade nula e por conseguinte o fluxo advectivo calculado com base nesta
velocidade será nulo. O transporte de ar correspondente ao deslocamento das
moléculas não medido pelo anemómetro é tratado como fluxo difusivo e será
analisado mais abaixo.
É por isso que se pode dizer que a velocidade num fluido e a viscosidade são
grandezas complementares. Se conseguíssemos medir a velocidade em pontos
infinitamente próximos (e por isso com instrumentos de dimensões
infinitesimais), o único movimento não caracterizado por esta velocidade seria o
browniano, o qual dá origem à difusividade molecular. Porque os instrumentos
V1
X1
X3
X2
∆X1
∆X3
∆X2
V3
V2
7
não são infinitesimais e porque temos que medir num número finito de pontos, a
difusividade a usar em problemas sem solução analítica depende da “rede de
amostragem”.
5.2 FLUXO ADVECTIVO
O fluxo advectivo representa o transporte de uma propriedade pela velocidade,
através de uma superfície. O transporte associado ao movimento das moléculas,
não resolvido pelo fluxo advectivo designa-se por fluxo difusivo e será tratado
após a introdução do conceito de difusividade.
Se a velocidade for dirigida de dentro para fora do volume elementar, o fluido
entra para o volume, se for dirigida para fora o fluido sai o volume. Se a
quantidade de fluido que entra for igual à quantidade de fluido que sai, o
somatório destes caudais será nulo.
Consideremos o volume elementar representado na Figura 1. Para sabermos se
o fluido entra ou se sai do volume através de uma face, consideremos a normal
exterior a essa face. O produto interno da velocidade pela normal a uma
superfície dá a componente da velocidade perpendicular a essa superfície, a
qual é responsável pelo fluxo advectivo através dessa superfície.
( )dAnvdQrr.=
Uma área tem duas normais, de sentidos opostos, uma de cada lado. No caso
de a área pertencer a um volume de controlo, a normal a considerar na
expressão anterior é a exterior (por convenção). Nas faces onde a velocidade
tiver o mesmo sentido da normal (produto interno positivo), o fluxo é para fora do
volume elementar e é para dentro no caso contrário.
Assim, se integramos o produto interno ao longo de toda a superfície do volume
obtemos a diferença entre o caudal que sai e o que entra no volume de controlo
por unidade de tempo (por via do sinal do produto interno). A diferença entre o
volume de fluido que sai e o volume de fluido que entra por unidade de tempo, é
a taxa de variação do volume do fluido que atravessa o volume de controlo.
8
dAnvdt
dvol
A
∫=rr.
O integral dá também a definição de fluxo advectivo. Sendo positivo quando sai
e negativo quando entra, quando integrado ao longo de toda a área, dá a
diferença entre o volume que sai e o que entra. Esta diferença é igual ao volume
de fluido produzido no interior do volume de integração (volume de controlo)
que, como veremos mais abaixo é o integral da divergência no interior do
volume de integração.
No caso de a superfície ser aberta, não faz sentido falar em volume de controlo
e o integral representa o caudal através da superfície:
∫∫ ==A
jj
A
dAnvdAnvQrr.
Nesta equação é usada a notação vectorial no primeiro integral e a notação
tensorial no segundo. Na notação tensorial é usada a convenção de soma de
Einstein. De acordo com esta convenção, quando um índice aparece repetido,
representa uma soma de termos (soma dos termos que se obtêm fazendo variar
o índice entre 1 e o número de dimensões do espaço, 3 neste caso). A
expressão mostra que os fluxos mais fáceis de calcular são os que se fazem
através de superfícies perpendiculares à velocidade, para as quais a convenção
de somatório de Einstein origina só um termo.
A este fluxo estão associados fluxos de todas as propriedades transportadas
pelo fluído (e.g. massa, calor, quantidade de movimento).
5.3 DIVERG�CIA DA VELOCIDADE
Consideremos de novo o volume de controlo representado na Figura 1. Vamos
considerar um volume suficientemente pequeno para podermos admitir que a
velocidade é uniforme em cada uma das suas faces.
Nesse caso o integral de superfície do fluxo advectivo dá o somatório:
9
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
333
222
111
321321
231231
132132
)()(
)()(
)()(.
xxx
xxx
xxx
A
vxxvxx
vxxvxx
vxxvxxdAnvdt
dvol
∆+
∆+
∆+
∆∆−∆∆
+∆∆−∆∆
+∆∆−∆∆== ∫rr
Dividindo a equação pelo volume ( )321 xxx ∆∆∆ e considerando um volume
suficientemente pequeno para que a divergência da velocidade no seu interioir
seja uniforme, obtém-se:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
=>∆∆∆
∆∆+∆∆−
+∆∆∆
∆∆+∆∆−
+∆∆∆
∆∆+∆∆−=
∆∆∆
∆+
∆+
∆+
3
3
2
2
1
1
321
321321
321
231231
321
132132
321
vol
)()(
)()(
)()(1
333
222
111
x
v
x
v
x
v
dt
dvol
xxx
vxxvxx
xxx
vxxvxx
xxx
vxxvxx
dt
dvol
xxx
xxx
xxx
xxx
No caso de a divergência da velocidade não ser uniforme no interior do volume,
a taxa de variação do volume seria obtida integrando a divergência no interior do
volume de fluido:
∫∫ ==Avol
dAnvdvolvdivdt
dvol vrr.)(
A equação acima é o teorema da divergência e mostra que a divergência da
velocidade é igual à taxa de variação da unidade de volume de fluido, estando
por conseguinte associada à compressão e expansão do fluido. Assim, se não
existir expansão nem compressão de uma massa de fluido durante o seu
deslocamento (escoamento incompressível), a divergência da velocidade tem
que ser nula.
Para se perceber melhor o papel da divergência da velocidade, consideremos
uma porção de fluido em movimento, num campo de velocidade com divergência
positiva. Vamos permitir ao volume que se deforme de modo a conter sempre a
10
mesma massa de fluido. Vamos considerar um caso em que o campo de
velocidades tem divergência positiva e, por uma questão de simplicidade, que a
velocidade só tem uma componente (e.g. escoamento no interior de um tubo).
No caso do escoamento num tubo, o volume de controlo terá a forma de um
cilindro. Se o campo de velocidades tiver divergência positiva, isso significa que
a velocidade vai aumentando para jusante e por isso que os dois topos do
cilindro se vão afastando um do outro, para que nenhuma massa de fluido possa
sair. A taxa de variação do volume ocupado por aquela porção de fluido é o
integral de volume da divergência.
5.4 PROPRIEDADES DO CAMPO DE VELOCIDADES
Caracterizar um escoamento consiste basicamente em caracterizar a velocidade
em cada ponto3 e em cada instante de tempo. Conhecido o campo de
velocidades podemos calcular as outras propriedades do escoamento (fluxos,
acelerações e forças, variação da massa volúmica, etc.).
5.4.1 Escoamento estacionário
Um escoamento diz-se estacionário se todas das suas propriedades (P) se
mantêm constantes no tempo, em todos os pontos do espaço.
ioestacionár escoamento num 0=∂
∂
t
P
Num escoamento estacionário o campo de velocidades não se altera, o que não
significa que a velocidade de uma porção de fluido se mantenha constante no
tempo.
ioestacionár escoamento num 0≠dt
dP
3 A distribuição de velocidades é normalmente designada por “campo de velocidades”.
11
5.4.2 Dimensionalidade do escoamento
O número de dimensões do escoamento é o número de dimensões ao longo das
quais a velocidade varia4.
Um escoamento tridimensional é um escoamento onde a velocidade varia nas 3
direcções do espaço. É o escoamento mais complexo que se pode ter. São
exemplos de escoamentos tridimensionais, o escoamento na atmosfera e no
oceano.
Um escoamento é bidimensional se a velocidade só varia em duas direcções do
espaço. É frequentemente o caso dos escoamentos em estuários de baixa
profundidade. Nesse caso as propriedades variam menos na direcção vertical do
que nas outras direcções do espaço e por isso duas dimensões são suficientes
para as descrever. A velocidade efectivamente varia nas 3 direcções do espaço,
mas o escoamento pode ser resolvido considerando uma velocidade média na
coluna de água e parametrizando o atrito de fundo em função dessa velocidade
média5.
Um escoamento diz-se unidimensional se a velocidade só varia numa direcção
do espaço. Os canais rectangulares e os tubos cilíndricos são exemplos de
escoamentos unidimensionais, onde a velocidade varia essencialmente entre o
fundo e a superfície livre no canal e entre o raio e a parede no tubo. Nos rios, a
as propriedades transportadas pela água variam essencialmente ao longo do
eixo do rio e por isso são normalmente tratados como problemas
unidimensionais, mas é ao longo da direcção axial que se considera a
variabilidade. Nestes casos, como no caso do estuário, o efeito da variação
vertical da velocidade é parametrizado na forma de uma força de atrito,
calculada em função da velocidade média na secção do rio.
4 Não de deve confundir dimensão do escoamento com dimensão do problema. Com efeito o
número de dimensões em que cada propriedade pode variar não tem que ser o mesmo.
5 Mais adiante veremos como aparece e o que significa a força de atrito.
12
No caso de estarmos só interessados no estudo do escoamento, a velocidade é
a única propriedade que temos que ter em consideração para a classificação da
sua dimensionalidade.
No caso de escoamentos em canais de secção variável o escoamento já tem
variação longitudinal e na profundidade e por, isso em rigor, o escoamento deve
ser considerado bidimensional ou mesmo tridimensional. É frequente no entanto
continuar a tratá-lo como unidimensional. Neste caso o efeito da variação da
largura é quantificado através das consequências para a variação da velocidade
média na secção.
Em resumo, os escoamentos são sempre tridimensionais, no entanto, sempre
que a variação das propriedades numa direcção é muito menor do que nas
outras, a consideração de aproximações que envolvam a redução da
dimensionalidade por ter vantagens em termos de custo/benefício, em que o
custo é a perda de precisão e o benefício é a redução do esforço de cálculo.
5.4.3 Linhas de corrente, trajectórias e linhas de emissão
Entre os aspectos importantes para a caracterização de um escoamento, está a
caracterização das forças que estão na origem das variações da velocidade
(acelerações) e identificação de zonas de fluxos particulares. As linhas mais
frequentes para caracterizar um campo de velocidades são:
• Linhas de emissão,
• Trajectórias,
• Linhas de corrente.
As linhas de emissão são as mais fáceis de identificar. Elas correspondem ao
lugar geométrico de todas as porções de fluido que passaram num ponto. A
pluma de uma chaminé vista ao longe é o exemplo mais comum de uma linha de
emissão. Quando vista ao longe, a saída da chaminé pode ser considerada
como um ponto e o fumo como uma linha. Uma linha de emissão pode variar no
13
tempo e por isso em cada momento poderia ser registada com uma máquina
fotográfica.
A trajectória de uma porção de fluido é o lugar geométrico de todas as posições
ocupadas pelo fluido durante o seu deslocamento. É fácil de identificar usando
uma câmara de filmar.
Linhas de corrente são linhas tangentes à velocidade em cada ponto. Estas
linhas são as mais difíceis de identificar num escoamento não estacionário, mas
são as mais úteis para caracterizar um escoamento.
As linhas de corrente podem ser identificadas colocando marcas no escoamento
e registando as suas posições em dois instantes consecutivos (duas fotografias).
Sendo o deslocamento tangente à velocidade, a união dos pontos dá a direcção
e sentido da velocidade. O espaço percorrido por unidade de tempo dá o módulo
da velocidade.
No caso de escoamentos estacionários estas três linhas são coincidentes, uma
vez que todas as partículas que passam num mesmo ponto se deslocam da
mesma maneira. No caso de a velocidade num ponto mudar de direcção, as
linhas de corrente deslocam-se perpendicularmente a elas próprias.
As linhas de corrente são as mais úteis, porque sendo paralelas à velocidade,
são linhas através das quais o caudal é nulo. Isso significa que num escoamento
estacionário as linhas de corrente não podem ter movimento perpendicular a
elas próprias. A existência desse movimento é uma condição suficiente para que
o escoamento seja não estacionário. Com efeito, nesse caso a velocidade num
ponto é variável no tempo.
5.4.4 Forma das linhas de corrente e forças de pressão
As linhas de corrente são tangentes à velocidade e por conseguinte, podemos
definir tubos de corrente no espaço tridimensional, no interior dos quais o caudal
se mantém constante. Num escoamento bidimensional em que a velocidade não
varia na direcção perpendicular ao papel, poderemos dizer que o caudal se
mantém constante entre duas linhas de corrente. Nesse caso, se duas linhas de
14
corrente se afastam isso significa que a velocidade baixa, aumentando no caso
de se aproximarem (em escoamento incompressíveis). Se a velocidade se
altera, isso significa que a energia cinética também se altera e por isso que o
trabalho das forças aplicadas sobre o fluido é não nulo.
Quando a energia cinética aumenta, o trabalho das forças é positivo e por isso a
resultante das forças tem que ser no sentido do escoamento. As forças
aplicadas sobre o fluido podem ser de pressão, mássicas (peso) e viscosas.
Mais adiante falaremos das forças viscosas. Para já vamos admitir que são
muito menos importantes que as de pressão e as gravíticas. Vamos admitir um
caso em que as forças gravíticas são também pouco importantes (e.g.
escoamento na horizontal). Nesses casos, quando a velocidade aumenta, a
pressão tem que diminuir e vice-versa.
Figura 2: exemplo de linhas de corrente. O caudal em A é igual ao caudal em B e o caudal
em C é igual ao caudal em D. Como consequência do afastamento das linhas de corrente
poderemos dizer que a velocidade baixa para a direita e por isso que a pressão aumenta.
Do mesmo modo poderemos dizer que quando temos curvatura das linhas de
corrente, a pressão tem que ser maior do lado de fora do que do lado de dentro.
Com efeito, se existe curvatura das linhas de corrente, existe aceleração, com
redução da componente da velocidade que aponta para o lado de fora da curva
e aumento da que aponta para o lado de dentro. A força necessária a esta
alteração da velocidade tem que ser uma força perpendicular à linha de corrente
e dirigida de fora para dentro da curva. Veremos mais adiante que esta força é
A
B
D
C
15
normalmente a força de pressão. À força medida pela massa vezes a aceleração
dá-se normalmente o nome de força centrífuga. A Figura 3 mostra um
escoamento com curvatura, indicando onde é que a pressão é maior.
Figura 3: Exemplo de uma linha de corrente com curvatura. A pressão é maior do lado de
fora da linha para equilibrar a força centrífuga resultante da aceleração associada à
curvatura.
5.5 DIFUSIVIDADE
A difusividade é como vimos aquando da definição de velocidade, uma
consequência da hipótese de meio contínuo e da definição de velocidade de um
fluido. As moléculas têm massa e por isso transportam matéria e energia, pelo
que o seu movimento não pode ser ignorado. Ele é efectivamente quantificado
pela difusividade, que no caso de se falar em quantidade de movimento, se
chama viscosidade.
Consideremos uma superfície plana no seio de um gás em repouso - velocidade
média das moléculas nula - como mostra a Figura 4. A figura mostra moléculas
de dois tipos e um gradiente de concentração. Se considerarmos a superfície
virtual representada na figura, poderemos calcular o fluxo de matéria associado
às moléculas de um dos tipos (e.g. moléculas pretas).
O fluxo resulta neste caso do movimento produzido pela velocidade browniana e
é tanto maior quanto maior for essa velocidade. No entanto, porque esta
velocidade é aleatória, há moléculas pretas a cruzarem a superfície em ambos
os sentidos. O fluxo resultante através da superfície de controlo será uma
θv-
θv-θv
-
r
vf c
2
θρ=
P+
P-
16
quantidade proporcional à diferença de concentrações entre ambos os lados da
superfície e à intensidade da velocidade do movimento browniano (ub):
( ) bllld ucc ∆+−∝Φ
A distância ∆l é o comprimento típico do deslocamento de uma molécula até
chocar com outra e mudar de direcção. O fluxo através da superfície de controlo
resultante do movimento browniano das moléculas é então proporcional à
velocidade das moléculas e ao livre percurso de cada uma delas. Na equação
acima este percurso aparece implicitamente na diferença de concentrações, que
aumenta com a distância entre os pontos em que são avaliadas.
A diferença de concentrações pode ser estimada conhecendo a distância entre
os pontos em que são avaliadas e o gradiente:
( )l
clcc lll
∂
∂∆−=− ∆+
Onde o sinal “-“ tem em conta o facto de o gradiente ser positivo no sentido
crescente do eixo.
Substituindo a equação anterior na equação do fluxo obtêm-se:
l
cul bd
∂
∂∆∝Φ .
Sendo “x” o eixo perpendicular à superfície de controlo, o fluxo através da
superfície de controlo pode ser escrito como:
x
cdx
∂
∂−=Φ ν
Onde ν é a difusividade, que é proporcional ao produto da componente da
velocidade das moléculas não incluída na nossa definição de velocidade pelo
comprimento do deslocamento associado a essa componente da velocidade. A
difusividade tem por conseguinte dimensões de [m2s-1]. Esta lei foi proposta por
Fick no século XIX, a partir de observações empíricas.
17
Nos escoamentos de gases em que a única componente do movimento não
resolvida pela velocidade é o movimento browniano (escoamentos laminares), a
difusividade é só função das propriedades das moléculas (i.e. do fluido), da
energia cinética das moléculas (temperatura) e da distância percorrida por uma
molécula até chocar com outra (da pressão e temperatura). Esta difusividade
pode ser por isso tabelada para cada gás, em função da temperatura e da
pressão.
Figura 4: Fluido com um gradiente de concentração (visualizado pela cor das moléculas) e
uma superfície virtual. As setas representam a velocidade do movimento Browniano.
No exemplo que demos, falámos de concentrações (e por isso de massa).
Poderíamos no entanto falar de qualquer propriedade transportada pela
molécula (e.g. calor, quantidade de movimento). No caso da propriedade
transportada ser a quantidade de movimento a difusividade toma o nome de
viscosidade e é responsável pela existência de força de atrito nos escoamentos,
a qual é tanto maior quanto mais viscoso for o fluido.
No caso dos líquidos as moléculas estão associadas formando grupos que se
movem uns em relação aos outros. Estes grupos são demasiado pequenos para
que a velocidade de cada um deles pudesse ser analisada individualmente e
estão permanentemente a ser partidos e reconstituídos. A sua dinâmica tem por
isso que ser também tratada através de uma difusividade. Como os líquidos são
praticamente incompressíveis, a sua difusividade só depende da temperatura, a
Cx Cx+∆x
18
qual reduz a dimensão dos grupos de moléculas em movimento e por isso a
difusividade.
5.6 VISCOSIDADE E TE�SÃO DE CORTE
A difusividade toma o nome de viscosidade quando se fala de difusão de
quantidade de movimento. Quando se fala de difusão de massa, as moléculas
têm efectivamente de alterar a sua posição relativa, para que exista um
transporte efectivo. No caso da quantidade de movimento, basta que uma
molécula exerça uma força sobre outra (e.g. um choque) para que haja
transferência de quantidade de movimento. A quantidade de movimento é por
conseguinte uma grandeza com maior difusividade do que a massa6.
O facto de a quantidade de movimento poder ser difundida através de choques
faz também com que nos líquidos e nos gases os processos de difusão sejam
um pouco diferentes. Nos gases a difusão é feita exclusivamente através de
moléculas que mudam de local e de choques entre moléculas. Nos líquidos as
moléculas movem-se em grupos sendo a difusão proporcional à dimensão dos
grupos de moléculas. Esta diferença tem consequências ao nível da variação
(diminuição) da viscosidade com a temperatura.
Nos gases o aumento da energia cinética das moléculas com a temperatura
resulta numa maior capacidade de difundir quantidade de movimento porque a
velocidade do movimento browniano aumenta e porque a quantidade de
movimento de cada molécula aumenta. Como consequência a viscosidade dos
gases aumenta com a temperatura. Nos líquidos a energia cinética das
moléculas também aumenta com a temperatura, mas a dimensão dos grupos de
moléculas diminui, e por isso diminui também a quantidade de movimento
associada a cada um deles. Como consequência o choque de grupos de
6 Também o calor é mais fácil de difundir do que a massa. Sendo a temperatura uma medida da
energia cinética das moléculas, basta que uma transmita energia cinética a outra para que haja
“difusão de calor”. É por essa razão que o calor se pode difundir através de um corpo sólido.
Também por esta razão a difusividade de calor toma o nome de condutividade e neste caso a lei
de Fick é normalmente designada por lei de “Fourier”.
19
moléculas é menos eficiente a difundir quantidade de movimento, quando a
temperatura aumenta. Como resultado, a viscosidade dos fluidos baixa com a
temperatura7.
No caso da quantidade de movimento a grandeza difundida é a velocidade8.
Então utilizando as expressões apresentadas aquando da descrição da
difusividade, é fácil verificar que o fluxo difusivo de quantidade de movimento é
dado por:
n
v
n
v
∂
∂−=
∂
∂−= µρντ
onde n é a direcção do espaço perpendicular à velocidade9 e µ é a chamada
viscosidade dinâmica e tem como dimensões [µ]=ML-3L2T-1. No sistema CGS a
unidade de viscosidade é o Poise (g cm-1 s-1). No sistema SI as unidades são (kg
m-1 s-1).
Num escoamento unidimensional a difusão de quantidade de movimento ocorre
sempre que a velocidade varia perpendicularmente a ela própria (neste caso o
7 Os óleos estão entre os fluidos mais viscosos usados em engenharia. Os petroleiros têm que
manter os tanques aquecidos, para facilitar a descarga. Tipicamente a temperatura do petróleo é
de 60 C e junto à aspiração das bombas estão situadas resistências eléctricas que aumentam a
temperatura para cerca de 90 C na conduta de descarga.
8 A quantidade de movimento é efectivamente o produto da massa pela velocidade ( vr
ρ ). No
entanto a variação de ρ tem associada a expansão/contracção do fluido e por isso é
contabilizada pela velocidade (mais precisamente pela divergência da velocidade como veremos
mais adiante).
9 Poderá perguntar-se porque é que a velocidade não se difunde na direcção perpendicular a ela
própria. Pensando nos conceitos físicos associados à definição de difusividade e no conceito de
quantidade de movimento é fácil verificar que isso não é possível. Efectivamente a difusão de
quantidade de movimento tem que estar associada a um desvio da direcção do escoamento que,
na presença de uma variação da velocidade perpendicular a ela própria, vai fazer com que o
fluido adjacente aproxime a sua velocidade da velocidade do fluido que para aí se deslocou.
Quando a flutuação da velocidade é na própria direcção da velocidade, é a própria velocidade
que se altera e essa alteração não é mais do que o próprio movimento browniano.
20
rotacional é não - nulo) e é tanto maior quanto maior for a sua taxa de
variação10.
A Figura 5 mostra um escoamento sobre uma superfície alinhada com o eixo
dos “xx”. Neste caso a velocidade só tem componente segundo “x” e a difusão
de quantidade de movimento faz-se segundo “y”. O fluxo é negativo, significando
que as camadas que se deslocam em valores de “y” maiores, perdem
quantidade de movimento para as que se deslocam mais perto da parede. A
análise do fluxo difusivo mostra que ele é máximo junto à parece, onde a taxa de
variação da velocidade é máxima (admitindo que a viscosidade é uniforme).
Figura 5: Exemplo de um escoamento sobre uma superfície plana alinhada com o eixo dos
“xx”. Neste caso a velocidade só tem componente segundo “x” e a difusão de quantidade
de movimento faz-se segundo “y”. O fluxo é negativo, significando que as camadas que
se deslocam em valores de “y” maiores, perdem quantidade de movimento para as que se
deslocam mais perto da parede.
Então da difusão de quantidade de movimento resulta o arrastamento do fluido
que se desloca a menor velocidade e o travamento do fluido que se desloca a
maior velocidade. Do fluxo difusivo de quantidade de movimento resulta por
10 Há casos em que a velocidade pode variar na direcção perpendicular a ela própria e ter
rotacional nulo (é o caso do escoamento associado a ondas em águas profundas). Ver detalhes
no parágrafo abaixo, dedicado ao operador rotacional.
x
y
v
21
conseguinte uma força. Essa força é normalmente designada por força viscosa
ou força de atrito ou força de corte. Ao seu valor por unidade de área chama-se
normalmente tensão de corte.
A equação anterior foi escrita para o caso de um escoamento com uma única
componente de velocidade que varia numa única direcção do espaço. Veremos
mais adiante que esta equação se escreve para o caso geral como:
k
kij
i
j
j
iji
x
v
x
v
x
v
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−= µδµτ
3
2
onde ijδ é o “delta de Kronecker”, que vale “1” se i=j e “0” no caso contrário. No
caso de escoamento incompressível o segundo termo vale zero.
5.7 OPERADORES COM TE�SORES
Na Mecânica dos fluidos lidamos com vectores, (velocidades e forças, tensores
de ordem 1) e com escalares (tensores de ordem “0”), envolvendo as equações
operações com estes operadores (divergência, gradiente, rotacional e
laplaciano). A bom conhecimento destes operadores é por conseguinte
essencial para a compreensão das equações.
5.7.1 Gradiente
O gradiente de uma propriedade faz subir de uma unidade a ordem do tensor
que a representa. Assim o gradiente de um escalar é um vector que aponta no
sentido em que a taxa de variação é máxima e cujo módulo é a taxa de variação
nessa direcção. O gradiente de um vector é um tensor de segunda ordem
(representado por 9 quantidades, 3 referentes a cada uma das coordenadas do
vector).
ix
Pe
x
Pe
x
Pe
x
PPPgrad
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇= 3
3
2
2
1
1
)(v
Sendo o vector na direcção da taxa de variação espacial máxima, ele é
perpendicular às isolinhas da propriedade.
22
Quando existe difusão, ela faz-se no sentido contrário do gradiente e por isso o
fluxo difusivo é um vector perpendicular à isolinhas da propriedade a que se
refere.
Como consequência, o fluxo difusivo através de uma superfície com normal nv, é
dado pela expressão geral de um fluxo associado a um vector:
( )( )dAnpdAnx
p
A
j
A j
dif ∫∫ ∇=∂
∂=Φ
vv.ϑϑ
Neste integral não foi considerado o sinal “-“ do fluxo difusivo porque, no caso de
a superfície A ser fechada, a normal a considerar é a exterior e por conseguinte,
se o fluxo entra, então o produto interno do fluxo pela normal é negativo. No
caso de A ser fechada, o integral acima dá a diferença entre “o que sai e o que
entra através da superfície do volume de controlo”. Pelo teorema da divergência,
este fluxo é igual ao integral de volume da divergência do fluxo:
dVolx
p
xdAn
x
p
jVol j
j
A j
dif
∂
∂
∂
∂=
∂
∂=Φ ∫∫ ϑϑ
Este termo aparece nas equações de evolução a que chegaremos na disciplina
de Mecânica dos Fluidos e designa-se por termo difusivo.
Figura 6: Isolinhas de concentração e exemplos de
gradientes em dois pontos (P e Q). O gradiente é um
vector perpendicular às isolinhas e o comprimento do
vector que o representa é inversamente proporcional à
distância entre as isolinhas.
X1
X2
Q
P
23
5.7.2 Divergência
A divergência é um operador que, ao contrário do gradiente, faz baixar a ordem
do tensor e por conseguinte não se aplica a escalares. A divergência de um
vector vvdefine-se como:
i
i
x
v
x
v
x
v
x
vvdiv
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
3
3
2
2
1
1)(v
Para se perceber o significado físico da divergência, consideremos um
escoamento genérico que atravessa um volume de controlo de dimensões
infinitesimais e quantifiquemos os fluxos de volume que entram e que saem do
volume de controlo. Sendo o volume infinitesimal, podemos considerar a
velocidade uniforme nas faces do volume e por isso os fluxos são dados por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2132133123123213213332221
sai} que fluido de volumeo eentra que fluido volumeo entre {Diferença
xxvxxvxxvxxvxxvxxvxxxqq xxxxxx
∆∆−∆∆+∆∆−∆∆+∆∆−∆∆
=
∆+∆+∆+
Dividindo a equação pelo volume 321 xxx ∆∆∆ e fazendo o volume tender para
zero obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(
esai}/Volum que fluido de volumeo eentra que fluido volumeo entre {Diferença
3
3
2
2
1
1
3
33
2
22
1
113332221 vdiv
x
v
x
v
x
v
x
v
x
vv
x
vv
x
vv
i
ixxxxxx xxxqq v=
∂
∂−=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−=
∆
−+
∆
−+
∆
−
=
∆+∆+∆+
Que mostra que a divergência da velocidade é o simétrico da taxa de variação
de volume por unidade de volume de fluido. Esta é a razão de ser do nome
deste operador.
No caso de a velocidade ser variável nas faces do volume de controlo e no seu
interior, os fluxos e a divergência teriam que ser integrados ao longo do volume
e obter-se-ia:
( ) dVolx
vdAnv
Vol i
i
A
∫∫ ∂
∂=
rv.
24
Que é o Teorema da Divergência. No caso de o escoamento ser incompressível,
o volume de fluido que entra no volume de controlo é igual ao que sai e por isso
a divergência da velocidade é nula.
Figura 7: Volume de controlo infinitesimal de dimensões 321 xxx ∆∆∆ de faces normais aos
eixos coordenados.
5.7.3 Laplaciano
O laplaciano é a divergência do gradiente. Tem particular interesse para analisar
o fluxo difusivo. Com efeito o fluxo difusivo de uma propriedade é proporcional
ao gradiente dessa propriedade. A divergência desse fluxo dá a diferença entre
o que entra e o que sai. Assim, nos casos em que a difusividade é uniforme, a
divergência do fluxo difusivo é igual à difusividade vezes o laplaciano:
( )Px
P
x
P
x iii
2
2
2
∇=∂
∂=
∂
∂
∂
∂ννν
Sendo o laplaciano uma segunda derivada, ele mostra que a difusão só origina
variação da propriedade num ponto se a segunda derivada for não-nula.
1x∆
2x
3x∆
2x∆
3x
1x
25
5.7.4 Rotacional
Em coordenadas rectangulares o rotacional da velocidade é dado por:
3
1
2
2
12
1
3
3
11
2
3
3
2 ex
v
x
ve
x
v
x
ve
x
v
x
vvrot
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
v
Para que o rotacional da velocidade seja nulo é suficiente que as derivadas de
uma componente da velocidade em relação às direcções perpendiculares a essa
componente sejam nulas. No caso de um escoamento unidimensional isso
implica que a velocidade não varie perpendicularmente a ela própria. Se isso
acontecesse, as tensões de corte seriam nulas e não existiriam efeitos viscosos
no escoamento.
Mas para que o rotacional seja nulo, é suficiente que as derivadas transversais e
anulem. Vejamos então o que isto significa fisicamente. Consideremos a
componente do rotacional segundo x3.
3
1
2
2
1 ex
v
x
v
∂
∂−
∂
∂
O termo 2
1
x
v
∂
∂origina a rotação de linhas verticais, no sentido horário e o termo
1
2
x
v
∂
∂ origina a rotação de linhas horizontais no sentido contrário dos ponteiros do
relógio. Assim, no caso de escoamentos irrotacionais, se desenharmos uma cruz
num ponto, as linhas que a constituem ou não rodam, ou se rodarem rodam em
sentidos contrários. Imaginemos que essas linhas são os lados de um quadrado,
como mostra a Figura 8. No caso deste escoamento as duas derivadas que
compões o rotacional são simétricas e as linhas horizontal e vertical rodam do
mesmo modo. Assim, o quadrado roda sem se deformar. Imaginemos que este
quadrado era uma cadeirinha de uma roda vertical de feira popular. Nesta
cadeirinha os utilizadores ficariam alternadamente de cabeça para cima e de
cabeça para baixo. Neste caso os utilizadores teriam rotação, mas não seriam
“deformados”.
26
Figura 8: Exemplo de um escoamento rotacional, com rotação pura. O escoamento é um
vórtice forçado (rotação do tipo corpo sólido).
Consideremos agora o caso do escoamento representado na Figura 9. Nesse
escoamento a componente v1 da velocidade é igual à do exemplo anterior, mas
a componente v2 é simétrica. Sendo assim, o rotacional passa a ser nulo, mas o
mesmo quadrado do exemplo anterior deforma-se como mostra a figura. Neste
exemplo um quadrado colocado na bissectriz dos quadrantes desloca-se ao
longo da bissectriz, mas vai-se alongando, pois o vértice mais afastado da
origem tem mais velocidade do que o que está mais próximo11.
Se tivéssemos colocado o quadrado noutro ponto do escoamento ele iria
deslocar-se ao longo da linha de corrente que passa pelo seu centro e iria
deformar-se, mas não rodaria porque o rotacional da velocidade é zero.
11 Consideremos dois pontos sobre essa diagonal, afastados de uma distância ds. Se a
velocidade de num dos pontos for (vx, vy), então ( ) ( ) dxx
vvv
y
xydxxy∂
∂+=
+ e
( ) ( ) dyy
vvv x
yxdyyx∂
∂+=
+como estamos na bissectriz do quadrante, então dx = dy e, como as
derivadas são iguais, então a velocidade no segundo ponto é também alinhada com a bissectriz.
A
vθ
A
X2
X1
27
Figura 9: Exemplo de um escoamento irrotacional onde a velocidade tem derivadas
cruzadas. Neste caso o quadrado deforma-se mas as diagonais não rodam (nota: as setas
mais próximas do eixo positivo dos xx têm os sentidos ao contrário).
A Figura 10 mostra o perfil de velocidades de um vórtice livre. Neste caso o
escoamento também roda em torno da origem. Mas ao contrário do vórtice
forçado, a velocidade diminui à medida que nos afastamos da origem. Neste
escoamento a velocidade tangencial só depende da distância à origem e as
linhas de corrente são circulares. Neste aspecto é um escoamento idêntico ao
do vórtice forçado representado na Figura 8, mas aqui a velocidade diminui à
medida que nos afastamos da origem, sendo dada por:
)0,0,( θvv =v
X
Y Y
28
r
kv =θ , onde r é ao coordenada radial. No sistema de coordenadas
rectangulares representado na figura, θθ rsenxrx == 21 e cos e as componentes
da velocidade são ( ) ( )222
1
122
2
2
1
21 cos e
xx
kxvv
xx
kxsenvv
+==
+== θθ θθ .
Assim, neste escoamento, o rotacional será dado por:
03
1
2
2
13
1
2
2
12
1
3
3
11
2
3
3
2 =
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= e
x
v
x
ve
x
v
x
ve
x
v
x
ve
x
v
x
vvrotv
Sendo o rotacional nulo, então os elementos de fluido deslocam-se também sem
rodar, ao longo de linhas de corrente circulares. Se essas cruzes fossem as
diagonais de um quadrado, então este deslocar-se-ia como mostra a Figura 10.
Figura 10: Perfil de velocidades num escoamento do tipo “vórtice”. No caso de o perfil ser
o representado na figura, o escoamento seria irrotacional. O círculo representa uma linha
de corrente (coincidente com uma trajectória e o quadrado representado nos pontos “1” e
“2”desloca-se, sem que as suas diagonais rodem uma sobre a outra.
X1
X2
A
A
29
Este escoamento é interessante pois a velocidade das linhas de corrente mais
próximas da origem é maior do que as que estão mais afastadas. Se
analisarmos as diferenças entre as velocidades dos vértices dos quadrados
temos a impressão de que este se deforma e que tem rotação. Analisemos a
diagonal vertical na posição superior. O ponto mais próximo da origem desloca-
se mais rapidamente que o ponto mais afastado e isso dá por si origem a uma
rotação no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Do mesmo modo os
lados que se juntam no vértice A parecem rodar no mesmo sentido, o que
sugere rotacional não - nulo, com rotação no sentido anti-horário. O rotacional é
nulo porque esta rotação é anulada pela rotação global do quadrado associada
ao movimento do seu centro.
Este conjunto de exemplos mostra então que:
1. Quando falamos de volumes elementares e da linha de corrente ao longo
da qual se desloca o elemento de volume, estamos a falar da linha de
corrente que passa pelo seu centro.
2. O rotacional da velocidade dá a rotação que um elemento de volume
sofre globalmente, em torno do seu centro.
Na natureza o escoamento nos furações é do tipo vórtice livre e como veremos
mais abaixo é pouco afectado pelas forças de origem viscosa, dissipando pouca
energia e permitindo que esses escoamentos se mantenham por bastante tempo
(os habitantes da envolvente do Golfo do México que o digam...).
As cadeirinhas nas rodas da “Feira Popular” estão penduradas numa “linha de
corrente” e rodam em torno do ponto de suspensão, de modo que os utentes
têm a certeza de que não ficam de cabeça para baixo, como seria o caso se
tivessem rotação sólida (cadeiras soldadas à roda).
Consideremos agora um escoamento típico dos problemas de engenharia, como
o representado na Figura 11. Neste escoamento a velocidade tem só uma
componente (segundo xx), que varia segundo yy. Temos por isso rotacional não
nulo, com componente segundo zz. Neste caso linhas paralelas a xx não podem
30
rodar porque 0=∂
∂
x
v y , mas as linhas paralelas ao eixo dos yy rodam devido
0>∂
∂
y
v x . Estas linhas vão-se inclinando como mostra a figura.
Figura 11: Escoamento unidimensional onde o rotacional é diferente de zero. A derivada
da velocidade no ponto P é dada pela tangente do ângulo θθθθ. Um elemento quadrado
colocado naquele ponto deforma-se como mostra a figura.
5.7.5 Rotacional e efeitos viscosos
No caso de o rotacional da velocidade ser nulo poderemos afirmar que:
i
j
j
i
x
v
x
v
∂
∂=
∂
∂
Este resultado tem consequências para a resultante das forças viscosas. A
resultante das forças viscosas é dada pela divergência do fluxo difusivo de
quantidade de movimento representado pela tensão de corte. No caso de
escoamento incompressível teremos:
X1
X2
θ
P
<90º
α
31
( ) 0222 =∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
j
j
ii
j
ji
j
ji
j
j
i
j
ji
j x
v
xx
v
xx
v
xx
v
x
v
xxµµµµτ
Nesta equação tivemos em consideração que as derivadas cruzadas de uma
função contínua são iguais e que o escoamento é incompressível.
Poderemos então afirmar que em escoamentos irrotacionais os efeitos viscosos
são nulos. Na realidade a afirmação para ser útil em termos de simplificação das
equações, convém ser formulada ao contrário “Se os efeitos viscosos são pouco
importantes, então o rotacional da velocidade é baixo”.
Analisemos as forças de pressão e as forças mássicas. As forças de pressão
são origem a forças normais com resultante no sentido contrário ao gradiente de
pressão. As forças de pressão podem por isso originar aceleração no sentido do
gradiente de pressão, mas não dão origem a rotação do elemento de volume.
Do mesmo modo as forças mássicas dão origem a força vertical, mas não a
rotação.
Para produzirmos rotação precisamos então de forças tangenciais. Estas forças
podem ser exercidas pelas forças viscosas. A tensão de corte é dada por:
( ) 0222 =∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
j
j
ii
j
ji
j
ji
j
j
i
j
ji
j x
v
xx
v
xx
v
xx
v
x
v
xxµµµµτ
∂
∂+
∂
∂=
i
j
j
iji
x
v
x
vµτ
Esta tensão aplicada a um volume de fluido daria a distribuição de tensões
representada na Figura 12. A figura mostra que a resultante das tensões
tangenciais pode fazer rodar o fluido, sendo a variação do momento angular
igual ao momento desta resultante de tensões. No escoamento unidimensional
da Figura 11 a velocidade só tem uma componente e por isso v2 e as derivadas
em x1 são nulas. Assim a resultante das tensões de corte paralelas a x2 é nula.
O binário destas tensões é igual ao das tensões paralelas a x1, que têm
resultante não - nula.
32
Figura 12: Tensões de corte aplicadas num volume de fluido. O momento destas tensões
determina a taxa de variação do momento angular do elemento de volume e a resultante
das tensões determina a taxa de acumulação de quantidade de movimento em cada uma
das direcções.
Se o rotacional da velocidade fosse zero, então estas tensões seriam iguais
duas a duas (as duas que estão apontadas ao mesmo vértice) e por isso dariam
origem a deformação do volume, mas teriam resultante nula e por isso não
dariam origem a difusão de quantidade de movimento.
Podemos então dizer que:
• Num escoamento irrotacional a resultante das forças viscosas é nula e
por isso não produzem aceleração, e não aprecem na equação de
transporte de quantidade de movimento.
• Num escoamento as forças viscosas são as únicas capazes de geral
rotação. Assim, se um escoamento for pouco viscoso, a rotação tem que
ser aplicada injectando fluido no domínio com uma distribuição de
velocidades que já contenha o rotacional. Isso significa que em geral,
X1
1
X2
1 ( )
2221 xx ∆+
τ
( )2
21 xτ
( )11
12 xx ∆+τ ( )
112 x
τ
33
quando os efeitos viscosos são baixos, o rotacional da velocidade é
baixo.
6 Equação da continuidade
Depois do que foi dito sobre a velocidade e sobre a divergência da velocidade, já
é possível escrever a equação da continuidade - que deduziremos de forma
mais física noutro local - e que representa a lei da conservação da massa.
A lei de conservação da massa diz “A massa de um corpo não varia no tempo”.
Aplicando esta lei a uma porção de fluido com volume V e massa volúmica ρ,
poderemos dizer que:
( ) ( )dVvdVdt
d
dt
dVoldV
dt
ddV
dt
d
dt
dM∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇+=+==
rv.ρ
ρρ
ρρ
Admitindo um volume suficientemente pequeno para que as propriedades
possam ser consideradas uniformes no seu interior e referindo à unidade de
volume vem:
0. =∇+ vdt
d rvρ
ρ
ou, num referencial euleriano:
vvt
rvrv.. ∇−=∇+
∂
∂ρρ
ρ
que, no caso de fluido incompressível se transforma em “divergência nula da
velocidade”.
7 Equação de transporte de quantidade de movimento
A equação de transporte de quantidade de movimento obtém-se directamente
da lei de Newton:
j
ij
iii
iii
x
vv
t
v
dt
dvf
Vol
F
dt
dvmF
∂
∂+
∂
∂====>= ρρρ
Para obtermos a equação precisamos das forças por unidade de volume.
As forças podem ser de pressão, viscosas ou gravíticas.
34
Pressão: i
px
pf
i ∂
∂−=
Gravíticas: i
igx
gzgf
i ∂
∂−==
ρρ
Viscosas (para escoamento incompressível):
( )
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
j
i
ji
j
jj
i
ji
j
j
i
j
ji
j x
v
xx
v
xx
v
xx
v
x
v
xxµµµµτ
porque as derivadas cruzadas são iguais e o escoamento é incompressível, a
segunda parte da tensão de corte anula-se.
Substituindo na equação acima obtém-se:
( )
∂
∂
∂
∂+
∂
+∂−=
∂
∂+
∂
∂=
i
i
iij
ij
ii
x
v
xx
gzp
x
vv
t
v
dt
dvµ
ρρρρ
Esta equação designa-se por Equação de Navier-Stokes e será deduzida mais
adiante com mais detalhe.
8 Equação de Bernoulli
Se o escoamento for irrotacional então o termo das forças viscosas da equação
de Navier-Stokes anula-se (ver parágrafo 5.7.5) e, na derivada convectiva
poderemos substituir i
j
j
i
x
v
x
v
∂
∂=
∂
∂. Considerando ainda escoamento estacionário e
incompressível, anula-se a contribuição da derivada local temporal da
aceleração e a massa volúmica pode passar para o interior da derivada,
obtendo-se:
35
( )
Constgzvvp
x
gzvvp
x
gzp
x
vv
jj
i
jj
ii
j
j
=
++
=∂
++∂
∂
+∂−=
∂
∂
ρρ
ρρ
ρρ
2
1
02
1
Esta é a equação de Bernoulli que diz que num escoamento irrotacional,
estacionário, incompressível, a energia mecânica é a mesma em qualquer ponto
do escoamento.
No caso de o escoamento não ser irrotacional, mas os efeitos viscosos poderem
ser desprezados e o escoamento ser estacionário e incompressível, a mesma
equação pode ser obtida, mas com a restrição de ser ao longo de uma linha de
corrente. Nesse caso, a aceleração convectiva só pode ser transformada na
derivada espacial da energia cinética se a velocidade só tiver uma componente,
o que só acontece se o referencial acompanhar uma linha de corrente.
9 Nota Final
Este texto constitui um conjunto de notas sobre a parte introdutória da disciplina
e pretende apresentar a mecânica dos fluidos como sendo um caso particular da
física.
Efectivamente a disciplina constitui essencialmente no trabalhar dos conceitos
que são apresentados neste texto e que são integrados nas equações da
continuidade e de Navier-Stokes, analisando casos simples, com soluções
analíticas e mostrando qualitativamente os escoamentos mais importantes que
não têm solução analítica e ainda como em Engenharia se resolvem os
problemas usando informação experimental.
As soluções das equações para casos de dimensões finitas, obtidos
considerando hipóteses simplificativas para o cálculo dos fluxos serão também
analisadas com detalhe nas aulas práticas.
