DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I · A barra tem comprimento L e secção transversal de área A ver a Figura 1.1. O material que a constitui é elástico linear, isotrópico

SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I

APONTAMENTOS DE

TRACÇÃO E COMPRESSÃO

DINAR CAMOTIM

LISBOA, ABRIL DE 2018

Tracção e Compressão de Peças Lineares

1

TRACÇÃO E COMPRESSÃO DE PEÇAS LINEARES

1 O PROBLEMA DE SAINT-VENANT

Considere-se uma barra prismática e homogénea submetida a um esforço normal

constante N. A barra tem comprimento L e secção transversal de área A ver a Figura 1.1.

O material que a constitui é elástico linear, isotrópico e caracterizado pelos valores do

módulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson .

Figura 1.1 Problema de Saint-Venant da tracção/compressão.

Conforme se viu anteriormente, a resolução deste problema, através do método semi-

inverso, conduz à solução:

02313122211 A

N33

0231312 EA

N 2211

EA

N33

1211 kk xxEA

Nu

2122 kk xx

EA

Nu

333 k x

EA

Nu

EA

LNuLuL )0()( 33 (alongamento/encurtamento da barra)

E

LN)(VV 21332211 (variação de volume hip. peq. defs.)


2

Observações

(i) A grandeza E A designa-se por rigidez axial e representa “o esforço normal que é

necessário aplicar numa secção para provocar uma extensão longitudinal unitária”.

Mede a resistência da secção (barra) à deformação axial.

(ii) Em barras comprimidas as expressões apresentadas não são válidas para qualquer

valor do esforço normal. O seu limite de validade é controlado pela esbelteza da barra

(grandeza que depende da relação entre o comprimento e as dimensões e forma da

secção transversal) e está associada à ocorrência de fenómenos de instabilidade

fenómenos geometricamente não-lineares que serão estudados posteriormente

(nomeadamente na disciplina de Resistência de Materiais II).

2 PEÇAS LINEARES SUJEITAS A ESFORÇO AXIAL

Na secção anterior recordaram-se expressões válidas para barras prismáticas,

homogéneas, constituídas por um material elástico linear e isótropo, e submetidas

apenas à acção de um esforço normal constante (i.e., sem variações de temperatura ou

tensões iniciais). Estas expressões podem continuar a ser utilizadas se alguma ou algumas

destas condições não forem verificadas, passando então a fornecer soluções aproximadas.

Abordam-se em seguida os casos de barras:

(i) Submetidas a um esforço normal variável N=N (x3).

(ii) Com secção transversal variável A=A (x3).

(iii)Heterogéneas E=E (x1, x2, x3). Tratam-se separadamente as barras em que os

vários materiais estão dispostos em série (E=E (x3)) e em paralelo (E=E (x1, x2)).

(iv) Submetidas a variações de temperatura (uniformes na secção) T=T (x3).

(v) Com tensões iniciais 0 (x3)0.

Saliente-se que em todas as situações anteriores se admite que o material (ou os materiais)

que constitui a barra é elástico linear e isótropo esta hipótese só será abandonada

na disciplina de Resistência de Materiais II, onde se consideram materiais

isótropos mas não elásticos lineares.


3

2.1 ESFORÇO NORMAL VARIÁVEL N=N (X3)

Neste caso, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:

A

xNx 3

333

EA

xNx 3

333

EA

xNxx 3

322311

L

dxxNEA

L0 33

1 30 333 k

1 3 x

dxxNEA

u (E e A constantes)

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.1, com comprimento L e secção transversal de

área A, a qual está submetida à acção de uma carga P e do seu peso próprio p(x3)= A.

Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.1 Exemplo ilustrativo esforço normal variável.

33 xpPxN PN 0 LpPLN

33

333 xA

P

A

xpPx

3

3333 x

EEA

P

EA

xpPx

E

L

EA

PLLpPL

EAdxxpP

EAL

L

22

11 22

0 33

32333

23

330 333 k 2

k 2

1k 1 3

x

Ex

EA

PxpxP

EAdxxpP

EAu

x


4

2.2 SECÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL A=A (X3)

Antes de mais, deve referir-se que se admite aqui uma variação da secção transversal da

barra A=A (x3) fraca (necessariamente contínua), por oposição a uma variação forte

(e.g., uma variação brusca ou a existência de furos ou entalhes). Este último caso será

abordado, de forma sucinta, no final desta secção.

Se a variação da secção transversal da barra for fraca, as tensões, deformações e

deslocamentos que nela ocorrem são razoavelmente aproximados pelas expressões:

3

333xA

Nx

3

333xEA

Nx

3

322311xEA

Nxx

L

dxxAE

NL

0 3

3

1 30 3

33 k13

xdx

xAE

Nu (N e E constantes)

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.2, com comprimento L e secção rectangular de

altura constante (h) e largura variável (b(x3) variação linear entre b0 e bL), a qual está

submetida à accção de um esforço axial constante N. Pretende-se determinar os campos

de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.2 Exemplo ilustrativo secção transversal variável.


5

hbAA 000 hbALA LL hxL

bbbxA L

3

003

300

333

1

xbbLbh

NLx

L

300

333

1

xbbLbEh

NLx

L

LL

L

L

L

xbbLblnbbEh

NLdx

xbbLbEh

NLL

0300

00 3

300

11

00

lnb

b

bbEh

NL L

L

3300

0

3 k ln

xbbLbbbEh

NLu L

L

Exemplo Ilustrativo

Determinar o perfil de igual resistência de uma barra submetida à acção de uma carga P

e do seu peso próprio p(x3)= A (ver a Figura 2.3).

Figura 2.3 Exemplo ilustrativo perfil de igual resistência.

Perfil de igual resistência:

tetanconsxA

xN

3

3

3xAA 00 AP

A

33

0 330 333

xxdxxAPdxxpPxN


6

Secção x3: 3xN 3xA

3

3

xA

xN

Secção x3 + dx3: dNxN 3 dAxA 3

dAxA

dxxAxN

3

333

dAAdxAN

dAxA

dxxAxN

3

3

333

CxAdxA

dAdAdxA 333 ln

3

033

0

00 lnln0x

eAxAxA

AACAA

3

333

xA

xN

E

33

E

LL

333 k x

Eu

Observações

(i) Quando a variação da secção transversal da barra for forte (e.g., uma variação brusca

ou a existência de furos ou entalhes) as expressões anteriores constituem uma

má aproximação na vizinhança da zona barra onde ocorre essa variação. De facto, a

distribuição das tensões normais deixa de ser uniforme nessa zona ver a Figura 2.4.

(a) (b) (c)

Figura 2.4 Distribuição das tensões normais em barras com (a) uma variação brusca

da secção transversal, (b) um furo circular e (c) dois entalhes semi-circulares.


7

O valor fornecido pelas expressões apresentadas (med) subestima a tensão máxima

instalada na barra (max ), devendo ser “corrigido” por meio de um factor K cujo valor

depende da forma da secção e do tipo e características geométricas da sua variação

(max=K med) existem na literatura expressões que fornecem valores de K.

(ii) Apesar da observação anterior, numa barra em que a variação da secção (A(x3)) seja

descontínua e caracterizada por troços prismáticos constantes adopta-se a solução

aproximada (N e E constantes e barra constituída por n troços prismáticos):

iA

N

133 i

iEA

N33

1

122111EA

N

n

i i

i

A

L

E

NL

1

3

1

1

3

1

1

3 k

m

i

i

m

m

i i

i LxEA

N

EA

NLu com

m

i

i

m

i

i LxL1

3

1

1

Como o perfil de igual resistência de uma barra submetida ao seu peso próprio e a

uma carga P é difícil de fabricar (ver o último exemplo ilustrativo), considera-se

muitas vezes uma barra contituída por vários troços prismáticos ver a Figura 2.5.

As características de um perfil “de igual resistência” desse tipo são determinadas

através das expressões anteriores (i.e., admitindo distribuições de tensões uniformes).

Figura 2.5 Perfil “de igual resistência” constituído por vários troços prismáticos.


8

2.3 BARRAS HETEROGÉNEAS E=E (x1, x2, x3)

2.3.1 MATERIAIS DISPOSTOS EM SÉRIE E=E (X3)


A

Nx 333

AxE

Nx

3

333 AxE

Nxx

3

322311

L

dxxEA

NL

0 3

3

1 30 3

33 k13

xdx

xEA

Nu (N e A constantes)

Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x3) não é contínua mas sim por

troços constantes (correspondentes aos n materiais comprimentos Li e módulos de

elasticidade Ei), tem-se:

A

Ni33

AE

N

i

ii 33

AE

N

i

ii

2211

n

i i

i

E

L

A

NL

1

3

1

1

3

1

1

3 k

m

i

i

m

m

i i

i LxAE

N

AE

NLu com

m

i

i

m

i

i LxL1

3

1

1

(N e A constantes)

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.6, a qual (i) está submetida ao carregamento

indicado e (ii) é constituída por quatro troços prismáticos e homogéneos cada troço tem as

seguintes características:

Troço : N1= 3 P A1=A E1=E L1=L

Troço : N2= 4 P A2=A E2=2 E L2=1.5 L

Troço : N3= 2 P A3=1.5 A E3=2 E L3=1.5 L

Troço : N4= P A4=A E4=1.5 E L4=2 L


Figura 2.6 Exemplo ilustrativo barra heterogénea com materiais em série.


9

A

P31

A

P42

A

P

3

43

A

P4

EA

P31

EA

P22

EA

P

3

23

EA

P

3

24

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PL

EA

PLL

3

25

3

433

3313 k 3 x

EAPu (0 x3 L) 33

23 k 23 Lx

EAP

EAPLu (L x3 2.5 L)

3333 k 5226 L.x

EAP

EAPLu (2.5 L x3 4 L)

3343 k 4

327 Lx

EAP

EAPLu (4 L x3 6 L)

2.3.2 MATERIAIS DISPOSTOS EM PARALELO E=E (X1, X2)

Admite-se que a barra funciona como um todo, o que implica que a aderência entre os

vários materiais impede quaisquer deslocamentos (deslizamentos) relativos entre eles.

A existência de uma distribuição uniforme de tensões normais conduziria agora a

extensões longitudinais variáveis nas secções transversais da barra (E=E (x1, x2)), o que

contraria a hipótese anterior (não ocorrerem deslocamentos relativos entre os vários

materiais). Assim, as condições de equilíbrio não são suficientes para determinar o

campo de tensões e o problema diz-se estaticamente indeterminado (ou hiperstático).

É necessário recorrer a condições que envolvem as deformações que ocorrem na barra

equações de compatibilidade, as quais traduzem o facto de as extensões longitudinais

terem de ser uniformes nas secções da barra (única forma de estas sofrerem apenas

translacções de corpo rígido na direcção longitudinal). Elas têm a forma:

tetanconsxxxx 212133 ,,

Tem-se, então:


10

A

A

AA

NdAx,xE

x,xEx,x

dAx,xE

N

NdAx,xE

x,xE

x,x

NdAx,x

21

2121

21

21

21

21

21

AdAx,xE

LNL

21

33

21

3 k

xdAx,xE

Nu

A

Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x1, x2) não é contínua mas sim por

áreas constantes, correspondentes às zonas da secção ocupadas pelos n materiais áreas

Ai e módulos de elasticidade Ei. Trata-se de um problema hiperstático de grau n1,

definido pelas equações

NAEAn

iii

n

iii

11

equação de equilíbrio

n,...,j1j 2para equações de compatibilidade (n1)

e cuja solução é dada por (Ni é a parcela do esforço normal absorvida por cada material e

admite-se que todos os materiais têm o mesmo coeficiente de Poisson):

N

AE

En

i

ii

iii

1

33

n

i

ii

i

AE

N

1

33 ii 2211

N

AE

AEN

n

i

ii

iii

1

n

i

ii AE

LNL

1

33

1

3 k

x

AE

Nu

n

i

ii

Observações

(i) A rigidez axial da secção (barra) é agora dada por

n

i

ii AE1

.

(ii) As parcelas do esforço normal absorvidas por cada um dos materiais (Ni) são

proporcionais aos respectivos valores da rigidez axial (Ei Ai).

(iii) Admite-se que o único elemento de redução não nulo da distribuição de tensões

normais determinada, no centróide da secção transversal, é o esforço normal N esta

hipótese é trivialmente satisfeita se a secção exibir dupla simetria (geométrica e material).

No caso geral, os elementos de redução das tensões normais, no centróide da secção


11

transversal, são o esforço normal e dois momentos flectores. Este caso será abordado

na Secção 7 dos Apontamentos de Flexão.

(iv) Se a secção não exibir dupla simetria, tanto geométrica como material, torna-se

indispensável introduzir o conceito de centro de rigidez da secção. A sua definição e

a respetiva determinação são abordadas em seguida, na Secção 2.3.2.1.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.7, a qual (i) está submetida a uma tracção

uniforme N e (ii) é constituída por dois materiais, a e b, dispostos em paralelo (a secção da barra

tem dupla simetria geométrica e material) e com as áreas e módulos de elasticidade indicados.


Figura 2.7 Exemplo ilustrativo barra heterogénea com materiais em paralelo.

EA

N

AEAE

N

bbaa

ba20

A

NN

EA

Eaa

420

4

NAN aaa

A

NN

EA

Ebb

2020

4

3NAN bbb

EA

NLL

20 333 k

20 x

EA

Nu

2.3.2.1 CENTRO DE RIGIDEZ

Pode definir-se “centro de rigidez” de uma secção (ou barra prismática) como o

ponto onde deve ser aplicado um esforço normal (de tracção ou compressão) para

que a secção exiba deformações axiais uniformes (i.e., a barra sofra apenas um


12

alongamento ou encurtamento, não ocorrendo flexão). Obviamente, se a secção

exibir dupla simetria (geométrica e material), o centro de rigidez coincide com o

centróide (geométrico) da secção G.

No caso de a barra possuir um plano de simetria, o centro de rigidez está obrigatoriamente

sobre o correspondente eixo de simetria da secção transversal. Assim a determinação da

sua localização envolve apenas a obtenção de uma única coordenada CRx2 este é o

único caso que se irá abordar neste momento.

Considere-se a secção heterogénea mono-simétrica arbitrária representada na Figura

2.8, a qual é constituída por n materiais, cada um deles ocupando uma área Ai e

exibindo um módulo de elasticidade Ei (i=1, …, n).

Figura 2.8 Barra de secção heterogénea mono-simétrica arbitrária.

Como se admite que as deformações axiais são uniformes (33i =), a correspondente

distribuição de tensões normais é necessariamente não uniforme, pois tem-se 33i = Ei (a

distribuição de tensão é “constante por blocos”, cada um deles associado a um material).

Figura 2.9 Barra de secção heterogénea mono-simétrica: distribuições de deformações

(uniforme) e de tensões (não uniforme).

E1, A1

E2, A2

E3, A3

x1

x2

O

x1

x2

O

33i = E

i

E1

E2

E3

33i=

N > 0


13

Pretende-se agora determinar em que ponto do eixo de simetria deve ser aplicado o

esforço axial N para ser estaticamente equivalente ao diagrama de tensões normais não

uniforme. Por outras palavras, ambos devem provocar o mesmo momento em torno de

um eixo x1 perpendicular ao exo de simetria x2.

Então, considerando o referencial x1x2 (x1 é arbitrário), tem-se que

A

n

iAin

i

ii

CRi

dAxE

AE

NdAxxN

1

2

1

2332

n

iAin

i

ii

CRi

dAxE

AE

x1

2

1

2

1

Observando que os integrais indicados são os momentos estáticos das áreas Ai em

relação ao eixo x1, vem

iiiiA

GxASSdAxi

)(212

onde iGx )( 2

é a coordenada do centro de gravidade de Ai e, portanto, tem-se

n

i

ii

n

i

iii

n

i

ii

n

i

ii

CR

AE

xAE

AE

SE

x

G

1

1

2

1

12

)(

Observações

(i) No caso de uma secção homogénea (Ei = E), tem-se GCR xx )()(22

, isto é, o centro

de rigidez coincide com o centróide da área da secção.

(ii) Tudo se passa como se estivesse a calcular o centróide de uma secção em que

as várias áreas são “ponderadas” pelos respectivos módulos de elasticidade.

(iii)No caso de o eixo x1 passar no centro de rigidez tem-se, obviamente, M1=0.


14

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a secção representada na Figura 2.10, a qual (i) está submetida a uma

tracção N e (ii) é constituída por três materiais, com as áreas e módulos de elasticidade

indicados. Pretende-se determinar o centro de rigidez e as tensões instaladas na secção.

Figura 2.10 Exemplo ilustrativo secção heterogénea constituída por três materiais.

o Centro de rigidez

axG

2

312 axx GG

2

33222

a.a

Ea

aEaaEaaEax CR 6820

66

45

66

)23(12)23(36)23(182

222

2

o Tensões nos três materiais

2

1

32166Ea

N

AE

Nn

i

ii

2216666 a

N

Ea

NE

2222266

3a

N

Ea

NE

2233366

2a

N

Ea

NE

x2

x1 0.682a CR

2

2

E1 = E

A1 =18a

2

E2 = 3 E

A2 =26a

2 =12a

2

E3 = 2 E

A3 =6a

2

6 a

6 a

1

3


15

2.4 BARRAS SUBMETIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA T=T (X3)


0333 x 3333 xTx 3322311 xTxx

L

dxxTL0 33 30 333 k3

xdxxTu (N=0; e E(x1, x2) constantes)

A grandeza designa-se por coeficiente de dilatação térmica linear e é uma característica

de cada material. Representa “a extensão linear provocada por uma variação de

temperatura unitária” e as unidades em que se exprime são (ºC)1

recorde-se que a

extensão linear é uma grandeza adimensional.

Observações

(i) Em barras heterogéneas, tem-se, no caso geral, =(x3) (materiais em série) ou

=(x1, x2) (materiais em paralelo) neste último caso, continua a admitir-se que a

secção transversal da barra possui dupla simetria geométrica e material.

(ii) Barras estaticamente determinadas sujeitas apenas à acção de uma variação de

temperatura apresentam tensões nulas em todos os seus pontos. No caso de barras

estaticamente indeterminadas, uma variação de temperatura provoca, em geral,

um estado de coacção tensões não nulas mas que equilibram forças aplicadas nulas

(i.e., “equivalentes a zero”). Estas afirmações permanecem válidas no caso de

estruturas, conforme se verá na secção 3.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.11, a qual está submetida a (i) uma tracção

uniforme N e (ii) uma variação de temperatura variável longitudinalmente T=T (x3).


Figura 2.11 Exemplo ilustrativo barra sujeita a tracção e variação de temperatura.


16

A

Nx 333 3333 xT

EA

Nx 3322311 xT

EA

Nxx

L

dxxTEA

LNL

0 33 30 3333 k3 x

dxxTxEANu

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra heterogénea (dois materiais dispostos em paralelo) representada na

Figura 2.12, a qual está submetida a uma variação de temperatura constante T. Pretende-se

determinar os campos de tensões e deformações instalados na barra.

Figura 2.12 Exemplo ilustrativo barra heterogénea sujeita a variação de temperatura.

aa

aaa

AE

NT

bb

bbb

AE

NT

ba

bb

ba

ba

NN

EA

NT

EA

NT

NN1510

2

0

T

T

ET

ET

EATN

EATN

a

b

a

b

a

b

5

7

5

7

6

5

2

6

6

LTL 5

7 333 k

5

7 xTu

0tracçãocompressão0

0compressãotracção0

ab

ab

T

T

O estado de tensão caracterizado por a e b é um estado de coacção:

0mas0e0 bbaaAaa AAdA, .


17

2.5 BARRAS COM TENSÕES INICIAIS (OU RESIDUAIS) MAS =0)

Definem-se tensões iniciais (ou residuais) de um corpo como as tensões que correspondem

ao estado natural do corpo, isto é, ao estado do corpo não solicitado por acções exteriores.

Assim, as tensões inicias são auto-equilibradas, na medida em que equilibram forças

exteriores nulas. É ainda habitual considerar o estado natural do corpo como o seu

estado indeformado (ij=0). Então, o estado natural pode ser caracterizado por (i) N=0,

33=0 e ij=0 (tensões inicias nulas) ou por (ii) N=0, 330 e ij=0 (tensões inicias não

nulas estado de coacção).

Admitindo que o valor das tensões inicias não varia longitudinalmente, as tensões,

deformações e deslocamentos da barra são dadas por:

2102133 ,, xxA

Nxx

E

xxxx

EA

Nx 2102133

333

,,

322311 xx EA

NLL 333 k x

EA

Nu (N, E e A constantes)

Exemplo Ilustrativo Pré-Esforço

Pode definir-se pré-esforço como a operação que consiste em aplicar uma determinada

solicitação a uma estrutura (neste caso uma barra) com o objectivo de melhorar a sua

capacidade resistente a outras solicitações, a aplicar posteriormente. Aborda-se aqui o

caso de barras de betão armado (betão + aço) submetidas a um esforço normal de tracção.

Sabe-se que (i) no aço as resistências à tracção e à compressão são sensivelmente iguais, e

que (ii) a resistência à compressão do betão é significativamente maior que a sua resistência

à tracção (muito pequena). Deste modo, a resistência de uma barra de betão armado à tracção

é condicionada pela muito pequena resistência do betão a tensões de tracção.

Este facto sugeriu a realização de uma operação de pré-esforço, a qual visa aumentar a

resistência da barra (e do betão) a um esforço normal de tracção e compreende os passos que

se descrevem em seguida:

(i) Considera-se um varão de aço submetido a um esforço de tracção Fp, designado

por “força de pré-esforço”.


18

p

i

a FN a

pi

aA

F

aa

pi

aAE

F

aa

pi

aAE

LFL

(ii) Envolve-se o varão de aço com betão, mas mantêm-se os dois materiais independentes.

p

ii

a FN a

pii

aA

F

aa

pii

aAE

F 0

aa

pii

aAE

LFL (peq. defs.)

0ii

bN 0ii

b 0ii

b 0 ii

bL

(iii) Provoca-se a aderência entre os dois materiais, de modo a impedir totalmente

qualquer deslizamento relativo, e retira-se o esforço Fp, o que equivale a aplicar

um esforço ( Fp) ao conjunto aço + betão note-se que quando se retira Fp os dois

materiais já estão a trabalhar solidariamente.

bbaa

aap

iii

aAEAE

AEFN 1 p

bbaa

a

a

piii

a FAEAE

E

A

F

p

bbaa

bbiii

b FAEAE

AEN

p

bbaa

biii

b FAEAE

E

bbaa

piii

b

iii

aAEAE

F

bbaa

piii

b

iii

aAEAE

LFLLL

Obteve-se assim uma barra de betão pré-esforçado (pré-esforço Fp), onde está

instalado um estado de coacção caracterizado por tensões de compressão no betão e

tensões de tracção no aço. De algum modo, “transferiu-se” alguma resistência à

tracção do aço para o betão. O estado natural da barra de betão pré-esforçado é:


19

p

bbaa

a

a

p

a FAEAE

E

A

F

0 00 a

p

bbaa

bb F

AEAE

E

0 00 b

LAEAE

LFL

bbaa

p

1 (pequenas deformações)

(iv) Aplica-se à barra de betão pré-esforçado um esforço normal N (de tracção caso

contrário, a operação de pré-esforço teria sido prejudicial).

(troca os s por As)

bbaa

aapp

iv

aAEAE

AEFNFN

bbaa

ap

a

piva

AEAE

EFN

A

F

bbaa

bbp

iv

bAEAE

AEFNN

bbaa

bp

iv

bAEAE

EFN

bbaa

iv

b

iv

aAEAE

N

bbaa

ivb

iva

AEAE

NLLLL

açonotracçãoebetãonoCompressão

açonoebetãonoTracção

p

p

FN

FN

2.6 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Na Teoria da Elasticidade mostrou-se que a energia de deformação (U ) armazenada num

corpo elástico é dada por

0UdVWUV

onde U0 é a energia intrínseca (energia armazenada pelo corpo no seu estado natural) e W

é a densidade da energia de deformação (por unidade de volume) associada às acções

exteriores a que o corpo está submetido.


20

No caso de o corpo ser constituído por um material elástico linear e isótropo W toma

a forma:

ijijijijijklklijkl TTTHW 0

2

1

onde os coeficientes Hijk l podem ser expressos em termos de duas constantes e se tem:

0

ijijklklijkl TH

Logo, a energia de deformação (U) armazenada no corpo é dada por:

dVTU ijijoijijV

2

1

Consideram-se em seguida as expressões da energia de deformação relativas a uma

série de casos particulares:

(I) Peças Lineares (barras)

030

0

2

1UdxdATU

L

A ijijijij

(II) Peças Lineares onde apenas existem esforço axial e tensões normais 33

030 33

03333

2

1UdxdATU

L

A

(III) Caso (II) + Ausência de variações de temperatura e tensões iniciais

30 33332

1dxdAU

L

A

(IV) Caso (III) + Secções transversais homogéneas (materiais dispostos em série)

30

2

30 2

2

30 2

1

2

1

2

1dx

EA

NdxdA

EA

NdxdA

EA

N

A

NU

LL

A

L

A


21

Exemplo Ilustrativo

Calcular a energia de deformação das barras analisadas nos Exemplos Ilustrativos das secções

2.1 e 2.3.1.

(i) Exemplo Ilustrativo da secção 2.1 (página 3)

LLLpP

LpLP

EAdxxpPxpP

EAdxxN

EAU

0

23

2233

23

22

0 32

332

12

2

1

2

1

EA

LPUp

20

2

(ii) Exemplo Ilustrativo da secção 2.3.1 (página 8)

EA

LP

EA

LP

EA

LP

EA

LP

EA

LPL

AE

NU j

j jj

j22

2224

1

2

6

73

2

3

2

3

2

32

2

2

34

3

2

1

2

1

3 ESTRUTURAS CONST I TUÍDAS POR PEÇAS LINEARES SUJEITAS APENAS A ESFORÇO AXIAL

Considere-se agora um tipo especial de problemas que envolvem corpos constituídos

unicamente por peças lineares (eventualmente associadas a um ou mais corpos rígidos)

estes corpos designam-se habitualmente por estruturas reticuladas.

As ligações das peças lineares (entre si, com o exterior ou com eventuais corpos

rígidos) e o carregamento a que as estruturas estão submetidas são de forma a que

essas peças lineares estejam sujeitas apenas a esforço axial.

Para resolver um problema deste tipo basta determinar, para todas as barras da estrutura:

(i) Os esforços axiais (N). O procedimento utilizado para efectuar esta determinação

depende da estatia global da estrutura, a qual combina as respectivas estatia exterior


22

e estatia interior. Enquanto a estatia exterior está relacionada com o modo como a

estrutura está ligada ao exterior (i.e., com o número e natureza dos seus apoios),

a estatia interior diz respeito a forma como estão ligados entre si os vários elementos

(barras e/ou corpos rígidos) que a constituem.

(ii) Os alongamentos/encurtamentos (L).

(iii)Os deslocamentos das extremidades ().

3.1 ESTATIA GLOBAL

A estatia global de uma estrutura está relacionada com o modo como os seus vários

elementos estão ligados entre sim e ao exterior. Assim, diz-se que uma estrutura,

submetida à acção de um carregamento geral (arbitrário) é:

(i) Hipoestática se não for possível garantir o equilíbrio estático da estrutura e de todas

as suas partes. O grau de hipoestatia da estrutura é fornecido pelo número de

movimentos de corpo rígido que podem ter a estrutura ou as suas partes.

(ii) Isostática se existir apenas uma combinação de reacções de apoio e esforços axiais

nas barras que garanta o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes.

(iii)Hiperstática se existirem várias combinações de reacções de apoio e esforços axiais

nas barras que garantam o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes.

O grau de hiperstatia da estrutura é fornecido pelo número de ligações (interiores

e/ou exteriores) que podem ser suprimidas continuando a garantir o equilíbrio estático.

A Figura 3.1 mostra alguns exemplos de estruturas (i) hipoestática de grau 1 ((g)), (ii)

isostáticas ((a), (d) e (h)), e (iii) hiperstática de grau 3 ((b)) e (iv) hiperstáticas de

grau 1 (todas as restantes).


23

Figura 3.1 Exemplos de estruturas hipoestáticas, isostáticas e hiperstáticas.

3.2 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

Estruturas isostáticas são, por definição, aquelas em que é possível determinar os

valores de todas as reacções de apoio e dos esforços normais (neste contexto, admite-se

que todas as barras da estrutura estão submetidas unicamente a esforço normal) em

todas as barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. Uma vez

conhecidos todos os esforços axiais é possível calcular as tensões normais e o

alongamento/encurtamento em cada barra (utilizando as equações estabelecidas na

secção 2). Finalmente, as equações de compatibilidade permitem determinar os valores

dos deslocamentos que definem completamente a configuração deformada da estrutura.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura isostática representada na Figura 3.2, a qual está submetida ao

carregamento indicado (carga P e variação de temperatura T ) e é constituída por uma

barra rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea dois


24

materiais dispostos em paralelo). Pretende-se determinar (i) o esforço normal, as tensões

normais e o alongamento/encurtamento de cada barra deformável e (ii) o valor do

deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.

Figura 3.2 Exemplo ilustrativo estrutura isostática.

Equações de equilíbrio:

ABA

CDC

A

CA

NP

R

NP

R

PLLR

PRR

3

3

2

3

Relações esforços-tensões:

ETA

PET

A

P

A

P

b

CD

a

CD

AB

3

2

45

2

3

10

9

4

24

Relações esforços-alongamentos:

HTEA

HPL

HTEA

HPL

CD

AB

3

5

45

2

24

Relações deslocamentos-alongamentos: CDDABB LL

Equação de compatibilidade: ABCDABEBDBE LLL

LL

3

2

3/2


25

3.3 ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS

Estruturas hiperstáticas são, por definição, aquelas em que não é possível determinar os

valores de todas as reacções de apoio e/ou dos esforços normais (neste caso) em todas as

barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. É necessário utilizar também

as equações de compatibilidade e as relações esforços-alongamentos. O sistema constituído

por estes três tipos de equações é determinado, permitindo calcular inicialmente:

(i) Ou os esforços normais nas barras e, eventualmente, as reacções de apoio para isso,

escrevem-se as equações de compatibilidade em termos dos esforços, utilizando as

equações esforços-alongamentos.

(ii) Ou os alongamentos/encurtamentos nas barras e, eventualmente, as reacções de

apoio para isso, escrevem-se as equações de equilíbrio em termos dos alongamentos,

utilizando as equações esforços-alongamentos.

No primeiro caso, (i) segue-se a determinação das tensões normais e dos alongamentos

nas várias barras, após o que (ii) se calculam os deslocamentos que definem a

configuração deformada da estrutura.

No segundo caso, determinam-se (i) por um lado os esforços e as tensões normais

nas várias barras e (ii) por outro lado os deslocamentos necessários à definição da

configuração deformada da estrutura.

Observação

Uma variação de temperatura introduz numa estrutura hiperstática uma distribuição de

esforços normais (não nulos) auto-equilibrada, i.e., que equilibra forças exteriores nulas

(no caso de uma estrutura isostática esses esforços são todos nulos).

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra hiperstática representada na Figura 3.3, a qual tem comprimento L

(L=L1+L2) e está submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar (i) os

diagramas de esforços normais e das tensões normais, e (ii) o deslocamento horizontal do ponto

de aplicação da carga P.


26

Figura 3.3 Exemplo ilustrativo barra hiperstática.

Equações de equilíbrio: CBCAABCA RNRNPRR

Relações esforços-tensões: A

N

A

N BCBC

ABAB

Relações esforços-alongamentos: EA

LNL

EA

LNL BC

BCAB

AB21

Relações deslocamentos-alongamentos: BCABB LL

Equação de compatibilidade: 0 BCAB LL

(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais

00 21 LNLNLL BCABBCAB

PL

LN

PL

LN

L

LNN

PL

LN

LNLN

PNN

AB

BC

BCAB

BC

BCAB

BCAB

2

1

1

2

1

2

21

1

0

BCABBCAB LEA

P

L

LLL

A

P

L

L

A

P

L

L 2112

EA

P

L

LLB

21

(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos

EA

P

L

L

L

LP

L

EAL

L

EALPNN BCAB

BCABBCAB

2121


27

ABBC

AB

BCAB

BCAB

LL

EA

P

L

LLL

LL

EA

LLPLLLL 2121

12

0

A

P

L

LP

L

LN

A

P

L

LP

L

LN BCBCABAB

1122

EA

P

L

LLB

21

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.4, a qual (i) é constituída por

uma barra rígida e duas barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado

(carga P). Pretende-se determinar (i) os esforços normais e as tensões normais nas barras

BD e CE, e (ii) os deslocamentos verticais dos pontos D, E e F (ponto de aplicação da carga P).

Figura 3.4 Exemplo ilustrativo estrutura hiperstática.

Equações de equilíbrio: CCEBBD

CB

CBA

RNRNLPLRLR

PRRR

2

32

Relações esforços-tensões: A

N

A

N CECE

BCBC

Relações esforços-alongamentos: EA

HNL

EA

HNL CE

CEBD

BD

Relações deslocamentos-alongamentos: CEEBDD LL

Equações de compatibilidade: 22

2 CEBDEDFDE

LL


28

(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais

BDCEBDCE NNLL 22

PN

PN

PNN

NN

CE

BD

CEBD

BDCE

5

3

10

3

2

32

2

EA

HPL

A

P

EA

HPL

A

PCECEBDBD

5

3

5

3

10

3

10

3

EA

HP

EA

HP

EA

HPFED

20

9

5

3

10

3

(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos

EA

HPLLPNN CEBDCEBD

2

32

2

32

EA

HPL

EA

HPL

EA

HPLL

LL

CE

BD

CEBD

BDCE

10

3

10

3

2

32

2

A

PPN

A

PPN CECEBDBD

5

3

5

3

10

3

10

3

EA

HP

EA

HP

EA

HPFED

20

9

5

3

10

3

As duas formas de abordar o problema que acabam de ser descritas e ilustradas estão

na base de dois métodos especiais que permitem resolver, de forma sistemática,

estruturas hiperstáticas: (i) o Método das Forças (ou dos Esforços) e (ii) o Método dos

Deslocamentos. Ambos os métodos utilizam o Princípio da Sobreposição, o que significa

que podem ser aplicados na resolução de estruturas lineares, isto é, estruturas para as

quais sejam válidas as hipóteses da linearidade geométrica e da linearidade física.

O método das forças consiste em fornecer um processo sistemático para estabelecer

sistemas determinados (i.e., com solução única) de equações de compatibilidade, cujas

incógnitas são esforços ou reacções de apoio. Uma vez calculados os valores dessas


29

incógnitas é possível, recorrendo apenas a equações de equilíbrio, determinar todos os

restantes esforços e reacções de apoio.

O método dos deslocamentos fornece um processo sistemático para estabelecer sistemas

determinados de equações de equilíbrio, cujas incógnitas são deslocamentos. Após

calcular os valores dessas incógnitas é possível, utilizando só equações de compatibilidade

e relações alongamentos-deslocamentos, determinar os alongamentos/encurtamentos e os

esforços em todas as barras da estrutura.

Descreve-se em seguida apenas o método das forças e ilustra-se a sua aplicação através de

um exemplo. Antes, porém, é conveniente recordar o enunciado do Princípio da

Sobreposição, o qual, como se disse atrás, é válido apenas para estruturas lineares:

“Considere-se uma estrutura submetida à actuação independente de várias solicitações

(e.g., forças aplicadas ou variações de temperatura). Pode então dizer-se que qualquer

efeito (e.g., uma reacção de apoio, um esforço ou um deslocamento) provocado por

uma combinação linear dessas solicitações é igual à mesma combinação linear dos

efeitos homólogos causados por cada uma das solicitações primitivas”

Observações

(i) Neste capítulo aplica-se o método das forças apenas a estruturas reticuladas cujas

barras deformáveis estão submetidas unicamente a esforço normal. No capítulo

relativo à Flexão e nas disciplinas de Resistência de Materiais II e Análise de

Estruturas I estudar-se-á a sua aplicação a problemas mais gerais.

(ii) O método dos deslocamentos só voltará a ser abordado mais tarde, no âmbito da

disciplina de Análise de Estruturas I.

3.3.1 MÉTODO DAS FORÇAS (OU DOS ESFORÇOS)

PASSOs DO MÉTODO

(i) Determinar o grau de hiperstatia da estrutura (n).

(ii) Definir um sistema base, o qual se obtém da estrutura original através da supressão

de n ligações (interiores e/ou exteriores) é, portanto, sempre uma estrutura

isostática. Passam assim a ser permitidos n deslocamentos (relativos ou

absolutos, consoante as correspondentes ligações suprimidas forem interiores ou


30

exteriores). Os esforços (ligações interiores) e/ou reacções de apoio (ligações

exteriores) associados às n ligações suprimidas designam-se por redundantes ou

incógnitas hiperstáticas (X1,..., Xn).

Observações

(1) Uma estrutura hiperstática pode dar origem a vários sistemas base. O único factor

a condicionar a escolha de um determinado sistema base é a conveniência

(facilidade) de cálculo.

(2) A escolha das n ligações a suprimir deve ser feita de forma criteriosa, de modo a

garantir que a estrutura resultante não seja hipoestática (i.e., tenha as ligações

“mal distribuídas”).

(iii)Submeter o sistema base (estrutura isostática) aos seguintes (n + 1) carregamentos:

(iii.1) 1 carregamento constituído por todas as solicitações aplicadas à estrutura

original (hiperstática).

(iii.2) n carregamentos constituídos por uma única força (ou esforço) aplicada, a qual

tem valor unitário e corresponde a uma incógnita hiperstática (Xi=1, i=1, , n).

Observação

Os sentidos convencionados para as forças e/ou esforços unitários (e, portanto,

também para as incógnitas hiperstáticas) são arbitrários.

(iv) Calcular, no sistema base e para cada um dos (n + 1) carregamentos definidos no

ponto anterior, os n deslocamentos correspondentes às ligações suprimidas.

Representam-se esses deslocamentos por 0

iU (deslocamento correspondente à

ligação suprimida i e provocado pelas solicitações actuantes na estrutura original) e

por ijf (deslocamento correspondente à ligação suprimida i e provocado pela força

ou esforço unitário associada à incógnita hiperstática Xj) estes últimos

deslocamentos designam-se por coeficientes de flexibilidade (ou flexibilidades).

Observação

Toma-se para sentido positivo do deslocamento correspondente à ligação suprimida i

o sentido arbitrado para a incógnita hiperstática Xi deste modo, todos os coeficientes

de flexibilidade fii são sempre positivos.


31

(v) Aplicar o princípio da sobreposição para calcular o valor das incógnitas hiperstáticas.

Observe-se que:

(v.1) A estrutura original com o seu carregamento pode ser obtida através da

sobreposição de (n + 1) carregamentos no sistema base, n dos quais estão

expressos em termos dos valores das incógnitas hiperstáticas Xi, ainda

desconhecidas e cujo cálculo constitui o objectivo do método das forças.

(v.2) São sempre conhecidos, na estrutura original, os valores dos deslocamentos

correspondentes às ligações suprimidas representam-se por Ui e, na grande

maioria dos casos, tem-se Ui=0.

Podem então escrever-se as seguintes equações de compatibilidade, utilizando o

princípio da sobreposição,

nnnnnnn

nn

nn

UfXfXfXU

UfXfXfXU

UfXfXfXU

...

...

...

2211

0

22222211

0

2

11122111

0

1

as quais constituem um sistema de equações lineares que permite determinar os valores

das redundantes Xi. O sistema de equações pode ser escrita de forma matricial como

UXFU 0

onde a matriz ijfF se designa por matriz de flexibilidade. Pode provar-se

que fij=fji, i.e., que a matriz de flexibilidade é simétrica.

Observações

(1) No caso de redundantes que correspondam a reacções de apoios elásticos tem-se

Ui= Xi /K, onde K é a rigidez do apoio elástico.

(2) No caso de estruturas hiperstáticas de grau 1, o sistema de equações lineares

degenera numa única equação.

(3) Um valor de Xi positivo significa que o sentido arbitrado para essa redundante

estava correcto. Um valor de Xi negativo significa que é necessário inverter o

sentido inicialmente arbitrado para essa redundante.


32

(vi) Uma vez conhecidos os valores das incógnitas hiperstáticas pode calcular-se qualquer

efeito (e.g., um esforço, uma reacção de apoio, uma tensão ou um deslocamento) na

estrutura original de duas formas:

(vi.1) Raciocinando directamente em termos da estrutura original, a qual foi tornada

estaticamente determinada pelo conhecimento das n redundantes.

(vi.2) Utilizando o princípio da sobreposição e somando os valores desse efeito

produzidos no sistema base pelas n redundantes Xi e pelas solicitações

actuantes na estrutura original.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.5, a qual (i) é constituída por

uma barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado

(carga P). Pretende-se determinar os valores (i) das reacção nos apoios A, B, C e D e (ii)

dos deslocamentos verticais dos pontos E, F, G e H (ponto de aplicação da carga).

Figura 3.5 Exemplo ilustrativo aplicação do método das forças.

Adopta-se o sistema base representado na Figura 3.6, o qual se obtém da estrutura original

suprimindo os apoios em B e C. Nessa mesma figura está esquematizada a aplicação do método

das forças (para esse sistema base) consideram-se os três carregamentos indicados,

identificados respectivamente por (carregamento aplicado à estrutura original), (força

unitária correspondente ao apoio suprimido em C) e (força unitária correspondente ao

apoio suprimido em B). A resolução do problema envolve os seguintes passos:


33

Figura 3.6 Exemplo ilustrativo esquematização da aplicação do método das forças.

(i) Resolução do sistema base submetido ao carregamento

PRD4

3

EA

HPU

EA

HPU

EA

HP

EA

HP

EA

HP

E

F

GE

GF

G

16

3

8

3

16

3

4

8

3

2

4

3

02

01

(ii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento

2

1DR

EA

Hf

EA

H

EA

Hf

EA

H

EA

H

EA

H

E

F

GE

GF

G

CF

8

1

4

51

8

1

4

4

1

2

2

1

21

11 deoalongamentinclui


34

(iii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento

4

1DR

BEEA

H

EA

Hf

fEA

Hf

EA

H

EA

H

EA

H

E

F

GE

GF

G

deoalongamentinclui16

171

8

1

16

1

4

8

1

2

4

1

22

2112

(iv) Determinação das incógnitas hiperstáticas

2

1

2

1

2221

1211

0

2

0

1

2222212

0

2

1122111

0

1

U

U

X

X

ff

ff

U

U

UfXfXU

UfXfXU

PRPX

PRPX

PXX

PXX

B

C

7

1

7

1

7

2

7

2

16

3

16

17

8

1

8

3

8

1

4

5

2

1

21

21

(v) Resultados finais

PXXPRD

7

4

4

1

2

1

4

321

EA

HP

EA

HP

EA

HP

EA

HX

EA

HX

EA

HP

GE

GF

G

7

1

4

7

2

2

7

4

4

1

2

1

4

321

EA

HPGFH

7

3

2


35

3.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

Até aqui utilizaram-se as seguintes abordagens para calcular os deslocamentos dos nós

de uma estrutura reticulada:

(i) Calculam-se inicialmente os esforços normais e os alongamentos/encurtamentos das

várias barras da estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade

(deslocamentos-alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-

se esta abordagem em estruturas isostáticas (sempre) e estruturas hiperstáticas com as

equações de compatibilidade escritas em termos dos esforços e reacções de apoio.

Observação

Recorde-se que a aplicação do método das forças envolve unicamente o cálculo

de deslocamentos num sistema base, sempre uma estrutura isostática.

(ii) Calculam-se inicialmente os alongamentos/encurtamentos das várias barras da

estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade (deslocamentos-

alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-se esta

abordagem em estruturas hiperstáticas com as equações de equilíbrio escritas em

termos dos alongamentos/encurtamentos.

Apresentam-se nesta secção dois métodos especiais para calcular deslocamentos em

estruturas reticuladas, os quais se baseiam nos conceitos de trabalho e energia. A

utilização de qualquer destes dois métodos é particularmente vantajosa no caso de

estruturas com um elevado número de barras, na medida em que nenhum deles requer o

estabelecimento de relações deslocamentos-alongamentos (muito complexas) ou qualquer

outro tipo de considerações de natureza geométrica.

O primeiro método baseia-se no Princípio da Conservação da Energia Mecânica e apenas

pode ser utilizado num número restrito de problemas.

O segundo método é uma aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e pode ser

utilizado em qualquer tipo de problema.

3.4.1 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

O Princípio da Conservação da Energia Mecânica afirma que:


36

“Numa estrutura elástica actuada por um conjunto de forças aplicadas quasi-

estaticamente (i.e., sem alterarem o valor da energia cinética) e em que não ocorram

trocas de calor com o exterior (transformação adiabática) ou geração interna de calor,

tem-se que o trabalho realizado pelas forças exteriores ( e ) é igual à variação da

energia de deformação ( U )”. Tem-se, então, Ue .

Observações

(1) Se se admitir que U=0 quando as forças exteriores que realizam e são nulas,

vem UU e, portanto, Ue esta hipótese será admitida daqui em diante.

(2) Apesar de o princípio ser válido para qualquer estrutura elástica, considera-se

aqui apenas a sua aplicação a estruturas elásticas lineares (linearidade física).

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

A energia de deformação de uma estrutura reticulada é dada pela soma das energias de

deformação das barras que a constituem, i.e.,

N

i

iUU1

(Ui é a energia de deformação da barra i e n o número de barras deformáveis)

Recorde-se (ver secção 2.6) que a energia de deformação de uma barra constituída por

um material elástico linear, submetida apenas a esforço normal e sem variações de

temperatura ou tensões iniciais é dada, no caso geral, por

30

233

30 33332

1

2

1dxdA

EdxdAU

L

A

L

A

podendo ainda utilizar-se outras expressões (escritas directamente em termos do

esforço normal N) numa série de casos particulares ver secção 2.6.

TRABALHO DAS FORÇAS EXTERIORES

Admite-se que a estrutura é actuada por um conjunto de forças exteriores conservativas (o

trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final do ponto de aplicação, e não

da trajectória por ele percorrida) representadas por Qj (j=1,..., m). Podem ser forças

(i) concentradas (aplicadas num ponto de um corpo rígido, num nó ou no interior de

uma barra neste último caso, actuando obrigatoriamente segundo o respectivo eixo) ou


37

(ii) distribuídas (aplicadas ao longo de uma barra e actuando segundo o respectivo eixo)

no seu conjunto, designam-se por Forças Generalizadas.

A cada força generalizada Qj corresponde um deslocamento generalizado qj, o qual

representa o deslocamento (ou soma dos deslocamentos) da estrutura no(s) ponto(s) de

aplicação, na direcção e no sentido de Qj. Pode então definir-se o Trabalho Exterior

realizado pelas forças exteriores para levar a estrutura da sua configuração inicial (qj=0)

até à sua configuração final ( f

jj qq ) como

m

jj

q

jm

q

m

q

e dqQdqQ...dqQfj

fm

f

10010 1

1

Em virtude de se considerarem apenas estruturas com comportamento linear (linearidade

geométrica + linearidade física) pode ainda escrever-se

fj

m

j

fj

m

jj

q

je qQdqQfj

11

0 2

1

Por exemplo, no caso de uma estrutura ser solicitada por uma única força exterior, o valor

de e corresponde à área tracejada representada na figura

CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

O princípio da conservação da energia mecânica apenas permite calcular deslocamentos

em estruturas reticuladas nas seguintes condições:

(i) A estrutura é solicitada por uma única força generalizada Q.

(ii) Calcula-se unicamente o valor do deslocamento generalizado q, correspondente

à força generalizada Q.

Nestas condições, tem-se

n

i

n

ii

iQ

U

qUqQ1

1

2

2

1


38

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 3.7, constituída por dois troços distintos e submetida

ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar o valor do deslocamento

horizontal do ponto C (deslocamento do ponto de aplicação da carga no sentido desta).

Figura 3.7 Exemplo ilustrativo aplicação do princípio da conservação da energia mecânica.

Ce P2

1 BCAB UUU

PNAB

A

PPN

A

PPN

b

BC

b

BC

a

BC

a

BC

153

3

2

3

2

AE

LP

AE

LP

AE

LNU

ABAB

ABABAB

1682

1

2

1 222

30

2

30

2

30

2

2

1

2

1

2

1dxdA

EdxdA

EdxdA

EU

L

A bBC

bBCL

A aBC

aBCL

ABC

BCBC

BCBCBC

AE

LP

AE

LP

AE

LP

AE

LN

AE

LNUU

b

BC

b

BC

BC

b

BC

a

BC

a

BC

BC

a

BCb

BC

a

BC3090180

4

2

1

2

1 22222

AE

LP

P

U

AE

LP

AE

LP

AE

LPU C

240

232

240

23

3016

222

3.4.2 TRABALHOS VIRTUAIS

Viu-se anteriormente que o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) afirma que:


39

“Se um corpo deformável actuado por um sistema de forças exteriores (distribuídas no

volume e/ou na superfície do corpo) em equilíbrio for submetido a um campo de

deslocamentos virtuais compatível com as ligações (interiores e exteriores),

então o trabalho virtual realizado pelas forças exteriores e interiores é nulo”.

Tem-se, então, 0 ie .

Pretende-se agora particularizar o PTV ao caso de estruturas reticuladas (i) solicitadas

de modo a que as barras que as constituem estejam submetidas unicamente a esforço

axial e (ii) com padrões de deformação provocáveis por esforços normais e/ou variações

de temperatura. Tem-se, nesse caso,

j

m

jj

e qQ 1

n

k

n

kA k

L

kkii dxdA

k

k

1 13330 33

onde m é o número de forças generalizadas do sistema equilibrado, n é o número de

barras e ki é o trabalho virtual das forças instaladas no interior da barra k. As forças

generalizadas a considerar são forças concentradas ou distribuídas (com as características

mencionadas na secção anterior) e ainda esforços normais em barras da estrutura

o deslocamento generalizado que corresponde a este último tipo de força generalizada é

o deslocamento axial relativo (r). Fazendo 33 33 e 33

33, o PTV pode então

ser expresso na forma

n

k

L

A kkj

m

jj

k

kdxdAqQ

10 3

1

Consideram-se em seguida expressões do trabalho virtual realizado pelas forças instaladas

no interior duma barra numa série de casos particulares:

(I) Material (ou materiais) elástico linear (Lei de Hooke)

A

L

A

i

A

dxdATdAE

NT

dAE

N30

(II) Caso (I) + Tensões uniformes nas secções transversais no sistema equilibrado

30dxT

dAE

NN

A

N L

A

i


40

(III) Caso (II) + Secções transversais homogéneas (materiais não dispostos em paralelo)

30dxTN

AE

NNAEdAE

Li

A

(IV) Caso (III) + ’’ não provocadas por variações de temperatura

300 dx

AE

NNT

Li

CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS

O método das cargas unitárias é um método para calcular deslocamentos, provocados em

estruturas por solicitações exteriores, que se baseia no Princípio dos Trabalhos Virtuais.

Como se viu anteriormente, a aplicação do PTV a uma determinada estrutura requer a

existência de (i) um sistema de forças exteriores equilibrado (sistema “linha”) (ii) um

campo de deslocamentos (e correspondentes deformações) compatível (sistema “duas

linhas”). No método das cargas unitárias, tem-se:

(i) O sistema equilibrado é “fictício” (i.e., é “imaginado” exclusivamente com o intuito

de aplicar o método) e é caracterizado pela existência de uma única força generalizada

exterior, de valor unitário e aplicada no ponto e com a direcção do deslocamento que

se pretende calcular. O sentido da carga unitária é arbitrário, mas passa a constituir o

sentido positivo do deslocamento em causa (i.e., um valor positivo do deslocamento

indica que este tem o sentido da força unitária um valor negativo indica que tem o

sentido oposto ao da força).

(ii) O campo de deslocamentos e deformações compatível é constituído pelos

deslocamentos e deformações efectivamente introduzidos na estrutura pelas

solicitações exteriores que provocam o deslocamento que se pretende calcular.

(iii)Em consequência do que foi dito nos dois pontos anteriores, os trabalhos virtuais

das forças exteriores e interiores do sistema equilibrado, quando este é submetido

ao campo de deslocamentos e deformações compatível, são dados por

qe 1

n

kA k

L

ki dxdA

k

k

130


41

onde q é o deslocamento que se pretende calcular e k é um campo de tensões que

equilibre a força unitária. Tem-se, então, que

n

kA k

L

k dxdAqqk

k

130

expressão que sintetiza o método das cargas unitárias

Observações

(1) Tudo se passa como se a estrutura, em equilíbrio sob a acção de uma carga

unitária, fosse submetida a um campo de deslocamentos (e deformações) virtuais

que coincide como o campo de deslocamentos reais provocados nessa estrutura

pelo conjunto de solicitações exteriores responsáveis pelo deslocamento que se

pretende calcular a compatibilidade com as ligações está obviamente garantida.

(2) Observe-se que esta equação não está dimensionalmente correcta, na medida em

que está “subentendida” a presença da carga unitária e das respectivas unidades.

PASSOS DO MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS

(i) Calcular as deformações provocadas na estrutura pelo conjunto de solicitações

exteriores responsáveis pelo deslocamento que se pretende calcular.

Observação

A determinação de obriga a resolver a estrutura, i.e., a calcular os esforços,

tensões e deformações que efectivamente ocorrem na estrutura. No caso da

estrutura ser hiperstática e a sua resolução se efectuar através do método das forças,

é necessário calcular deslocamentos no sistema base adoptado. O cálculo desses

deslocamentos pode ser feito também através do método das cargas unitária nesse

caso, o cálculo dos coeficientes de flexibilidade fkk (índices iguais) tem a

particularidade da coincidência entre os sistemas equilibrado e compatível (ambos

associados ao sistema base actuado pela mesma força unitária). Este facto origina

por vezes a confusão entre o método das forças e o método das cargas unitárias.

Relembre-se que enquanto o primeiro é um método destinado a resolver estruturas

hiperstáticas, o segundo permite calcular deslocamentos em estruturas (isostáticas

ou hiperstáticas).


42

(ii) Determinar um conjunto de esforços normais N que esteja em equilíbrio com

uma carga unitária aplicada no ponto e com a direcção do deslocamento que se

pretende calcular. Em seguida, determinar, para cada barra, um campo de

tensões em equilíbrio com o respectivo esforço normal N sem perda de

generalidade, pode considerar-se sempre AN / .

Observações

(1) Se a estrutura for isostática existe apenas um conjunto de esforços normais

N que equilibra a carga unitária. Se a estrutura for hiperstática existem

vários conjuntos de esforços normais N nessas condições. Neste último caso, a

escolha do conjunto a utilizar é feita exclusivamente por conveniência de cálculo

normalmente, escolhe-se o conjunto com maior número de esforços nulos.

(2) É frequente designarem-se os esforços normais do sistema equilibrado por N ,

em vez de N nestes apontamentos, adopta-se sempre a designação N .

(iii)Calcular o valor do deslocamento q através da expressão

31

0dxNq

n

k

L

kk

Exemplo Ilustrativo (idêntico ao exemplo ilustrativo da secção 3.2)

Considere-se a estrutura isostática representada na Figura 3.8, a qual está submetida ao

carregamento indicado (carga P e variação de temperatura T) e é constituída por uma barra

rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea dois materiais

dispostos em paralelo). Pretende-se determinar o valor do deslocamento vertical do ponto de

aplicação da carga P.

Figura 3.8 Exemplo ilustrativo aplicação do método das cargas unitárias.


43

(i) TEA

PT

EA

PCDAB

3

5

45

2

24

(ii) Estrutura isostática só existe um conjunto de esforços normais ( ABN , CDN )

que equilibra uma força unitária vertical aplicada em E.

(iii) HTEA

PHT

EA

PLNLN CDCDCDABABABE

3

5

45

2

3

2

243

1

HTEA

HPE

9

13

1080

47

Exemplo Ilustrativo (idêntico ao exemplo ilustrativo da secção 3.3.1)

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.9, a qual (i) é constituída por uma

barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado (carga P).

Pretende-se determinar o valor do deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.


(i) PNPNPN DGCFBE7

4

7

2

7

1

(ii) Estrutura hiperstática existem vários conjuntos de esforços normais ( BEN , CFN , DGN )

que equilibram uma força unitária vertical aplicada em H.

Exemplos de possíveis conjuntos de esforços normais equilibrados:

7

4

7

2

7

1

DGCFBE NNN (esforços reais também compatíveis)

2

1

2

10

DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios C e D)

003 DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e B)


44

02

30

DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e C)

4

300

DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e D)

(iii)

EA

HPGFH

7

3

2

EA

HP

EA

HNNNNNN DGDGCFCFBEBEE

7

3

Observação

De entre os cinco possíveis conjuntos de esforços normais equilibrados indicados,

aqueles que conduzem a um menor esforço de cálculo são, obviamente, os três

últimos (apenas uma das barra tem esforço axial não nulo).

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura articulada isostática representada na Figura 3.10, a qual está submetida

ao carregamento indicado (carga horizontal P aplicada no nó C). Pretende-se determinar o valor

do deslocamento vertical do nó C.


(i) A resolução da estrutura conduz aos seguintes valores dos esforços normais:

PNPNPNPNN CDBDBCADAC 2

52

2

50

(ii) Estrutura isostática existem um conjunto de esforços normais que equilibra

uma força unitária vertical aplicada em C.

A resolução da estrutura (actuada por uma carga vertical unitária aplicada em C)

conduz aos seguintes esforços normais (equilibrados e compatíveis):

12

52

2

52

CDBDBCADAC NNNNN


45

(iii)

PPPPEA

LL

AE

NNk

k Kk

kkC

V2

1

32

552

32

550

5

1

EA

LP

EA

LPC

V 613.216

216855

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura articulada hiperstática (de grau 2) representada na Figura 3.11, a qual

está submetida ao carregamento indicado (duas cargas verticais de valores P e 2P, com P=36 kN).

Sabendo que esse mesmo carregamento provoca na estrutura os esforços normais (deixa-se

como exercício a sua determinação)

kNNkNNkNNkNNkNN BFAECDBCAB 59.702.3223.354.1961.25

kNNkNNkNNkNNkNN CECFBEDFEF 39.2013.7455.403.430.9

pretende-se calcular o deslocamento horizontal do nó D e o deslocamento vertical do nó E.


AAAAAAAAAAAAAA DFAECEBFCFBEEFCDBCAB2

3

4

3

5

6

LLLLLLLLLLLLLLL DFCEBFAECFBEEFCDBCAB4

5

4

3

4

3 2

2

22 /2000020024036 cmkNEcmAcmLkNP

(A) Cálculo de D

H

(i) NN


46

(ii) Estrutura hiperstática escolhe-se um conjunto de esforços normais que

equilibre uma força unitária horizontal aplicada em D e seja tão “simples” quanto

possível (esforços não nulos apenas nas barras horizontais AB, BC e CD):

00.1 CEBFCFBEDFEFAECDBCAB NNNNNNNkNNNN

(iii) CD

CD

CDCDBC

BC

BCBCAB

AB

ABABD

H LEA

NNL

EA

NNL

EA

NNkN

1

cmEA

LkN

EA

LD

H 02908.088.480.123.30.154.190.161.25

(B) Cálculo de E

V

(i) NN

(ii) Estrutura hiperstática escolhe-se um conjunto de esforços normais que

equilibre uma força unitária vertical aplicada em E e seja tão “simples” quanto

possível (esforços não nulos apenas no “triângulo” formado pelas barras AE,

CE, AB e BC):

kNNNkNNN CEAEBCAB6

5

3

2

0CDBFCFBEDFEF NNNNNN


47

(iii) CE

CE

CECEAE

AE

AEAEBC

BC

BCBCAB

AB

ABABE

V LEA

NNL

EA

NNL

EA

NNL

EA

NNkN

1

kNEA

L

EA

L

EA

LE

V

39.20

6

5

3

502.32

6

5

6

554.19

3

261.25

3

2

cmEA

LkNE

V 04839.056.80

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DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I · A barra tem comprimento L e secção transversal de área A ver a Figura 1.1. O material que a constitui é elástico linear, isotrópico