Prof. Dr. Evandro Rodrigo Dário, Eng.
IFSC – Campus Joinville - SC
Mecânica dos Fluidos I
Disciplina : Mecânica dos fluidos
Aula 3: Conceitos fundamentais
Curso: Engenharia Mecânica
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Mecânica dos Fluidos I
Campo de Tensão
Cada partícula fluida pode sofrer a ação de dois tipos de forças:
• forças de superfície (pressão, atrito) que são geradas pelo contato
com outras partículas ou com superfícies sólidas;
• forças de campo (tais como forças de gravidade e eletromagnética)
que agem através das partículas.
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Campo de Tensão
A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de
volume, 𝑑𝑉, é dada por 𝜌 Ԧ𝑔𝑑𝑉, que é a força peso do elemento.
Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram
tensões.
O conceito de tensão é útil para descrever como é que forças, agindo
sobre as fronteiras de um meio (fluido ou sólido), são transmitidas
através do meio.
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Campo de Tensão
Quando você fica de pé sobre uma prancha de esqui, tensões são
geradas na prancha.
Quando um corpo se move através de um fluido, tensões são
desenvolvidas no fluido.
A diferença entre um fluido e um sólido, é que as tensões em um
fluido são majoritariamente geradas por movimento e não por
deflexão.
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Imagine a superfície de uma partícula fluida em contato com outras
partículas fluidas e considere a força de contato sendo gerada entre
as partículas.
Campo de Tensão
Considere uma porção, 𝜹𝑨 , da
superfície em um ponto qualquer C.
A orientação de 𝜹𝑨 é dada pelo vetor
unitário, ෝ𝒏 , mostrado na figura ao
lado. O vetor ෝ𝒏 é normal à superfície da
partícula apontando para fora dela.
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A força, 𝜹𝑭 , agindo sobre 𝜹𝑨, pode ser decomposta em duas
componentes, uma normal e a outra tangente à área.
Uma tensão normal 𝝈𝒏 e uma tensão de cisalhamento 𝝉𝒏 são então
definidas como:
Campo de Tensão
𝜎𝑛 = lim
𝛿𝐴𝑛→ 0
𝛿𝐹𝑛
𝛿𝐴𝑛
𝜏𝑛 = lim
𝛿𝐴𝑛→ 0
𝛿𝐹𝑡
𝛿𝐴𝑛
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Em coordenadas retangulares, podemos considerar as tensões
atuando em planos cujas normais orientadas para fora estão nas
direções dos eixos x, y ou z.
Campo de Tensão
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Dividindo o módulo de cada componente da força pela área, 𝛿𝐴𝑥, e
tomando o limite quando 𝛿𝐴𝑥 se aproxima de zero, definimos as três
componentes da tensão mostradas na figura abaixo:
Campo de Tensão
𝜎𝑥𝑥 = lim
𝛿𝐴𝑥→ 0
𝛿𝐹𝑥
𝛿𝐴𝑥
𝜏𝑥𝑦 = lim
𝛿𝐴𝑥→ 0
𝛿𝐹𝑦
𝛿𝐴𝑥
𝜏𝑥𝑧 = lim
𝛿𝐴𝑥→ 0
𝛿𝐹𝑧
𝛿𝐴𝑥
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Usamos uma notação com índice duplo para designar as tensões:
• O primeiro índice (neste caso, x) indica o plano no qual a tensão
atua (neste caso, a superfície perpendicular ao eixo x).
• O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua.
Campo de Tensão
Considerando agora a área elementar 𝛿𝐴𝑦, definiremos as tensões
𝜎𝑦𝑦, 𝜏𝑦𝑥 e 𝜏𝑦𝑧 ; a utilização da área elementar 𝛿𝐴𝑧, levaria, de
modo semelhante, à definição de 𝜎𝑧𝑧, 𝜏𝑧𝑥 e 𝜏𝑧𝑦.
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O estado de tensão em um ponto pode ser completamente descrito
pela especificação das tensões atuantes em três planos quaisquer
ortogonais entre si que passam pelo ponto.
A tensão em um ponto é especificada então pelas nove
componentes.
Campo de Tensão
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
Onde 𝜎 foi usado para denotar uma tensão normal, e 𝜏 para denotar
uma tensão cisalhante.
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Há seis planos (dois planos x, dois planos y e dois planos z), nos quais
as tensões podem atuar.
Campo de Tensão
Os planos são nomeados e
denotados como positivos ou
negativos de acordo com o sentido
da sua normal. Dessa forma, o
plano superior, por exemplo, é um
plano y positivo, o posterior é um
plano y negativo.
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Viscosidade
Qual a origem das tensões?
Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material é
deformado ou cisalhado elasticamente;
Para um fluido, as tensões de cisalhamento aparecem devido ao
escoamento viscoso.
Desse modo, dizemos que os sólidos são elásticos e os fluidos são
viscosos.
Para um fluido em repouso, não existirá tensão de cisalhamento.
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Viscosidade
Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas
infinitas conforme mostrado abaixo.
O elemento fluido retangular está inicialmente em repouso no tempo t.
Consideremos que uma força constante para a direita 𝛿𝐹𝑥 seja aplicada à placa
de modo que ela é arrastada através do fluido a velocidade constante δu.
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Viscosidade
A ação de cisalhamento relativo da placa infinita produz uma tensão de
cisalhamento, 𝝉𝒚𝒙, aplicada ao elemento fluido que é dada por:
Imagens instantâneas do elemento fluido, ilustram a deformação do
elemento fluido da posição MNOP no tempo t, para a posição M′NOP′ no
tempo t + δt, e para M″NOP″ no tempo t + 2δt, devido à tensão de
cisalhamento imposta.
𝜏𝑦𝑥 = lim
𝛿𝐴𝑦→ 0
𝛿𝐹𝑥
𝛿𝐴𝑦
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Viscosidade
Durante o intervalo de tempo 𝜹𝒕, a taxa de deformação do fluido é dada
por:
Desejamos expressar Τ𝒅𝜶 𝒅𝒕 em função de quantidades prontamente
mensuráveis. A distância 𝜹𝒍, entre os pontos M e M′, é dada por:
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 = lim
𝛿𝑡→ 0
𝛿𝛼
𝛿𝑡
𝛿𝑙 = 𝛿𝑢 𝛿𝑡
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Viscosidade
Alternativamente, para pequenos ângulos temos:
Igualando essas duas expressões para 𝛿𝑙, obteremos:
𝛿𝑙 = 𝛿𝑦 𝛿𝛼
𝛿𝛼
𝛿𝑡
=
𝛿𝑢
𝛿𝑦
Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:
𝑑𝛼
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente
proporcional à taxa de deformação são fluidos newtonianos
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Alternativamente, para pequenos ângulos temos:
Igualando essas duas expressões para 𝛿𝑙, obteremos:
𝛿𝑙 = 𝛿𝑦 𝛿𝛼
𝛿𝛼
𝛿𝑡
=
𝛿𝑢
𝛿𝑦
Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:
𝑑𝛼
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dessa forma, o elemento fluido, quando submetido à tensão de cisalhamento,
𝜏𝑦𝑥 , experimenta uma taxa de deformação dada por 𝑑𝑢/𝑑𝑦.
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Viscosidade
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