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Disciplina : Mecânica dos fluidos Aula 3: Conceitos ... evandro.dario/Mecânica dos Fluidos I/Aulas... · PDF file Prof. Dr. Evandro Rodrigo Dário, Eng. IFSC –Campus Joinville

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    IFSC – Campus Joinville - SC

    Mecânica dos Fluidos I

    Disciplina : Mecânica dos fluidos

    Aula 3: Conceitos fundamentais

    Curso: Engenharia Mecânica

    Prof. Evandro Rodrigo Dário, Dr. Eng.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Campo de Tensão

    Cada partícula fluida pode sofrer a ação de dois tipos de forças:

    • forças de superfície (pressão, atrito) que são geradas pelo contato

    com outras partículas ou com superfícies sólidas;

    • forças de campo (tais como forças de gravidade e eletromagnética)

    que agem através das partículas.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Campo de Tensão

    A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de

    volume, 𝑑𝑉, é dada por 𝜌 Ԧ𝑔𝑑𝑉, que é a força peso do elemento.

    Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram

    tensões.

    O conceito de tensão é útil para descrever como é que forças, agindo

    sobre as fronteiras de um meio (fluido ou sólido), são transmitidas

    através do meio.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Campo de Tensão

    Quando você fica de pé sobre uma prancha de esqui, tensões são

    geradas na prancha.

    Quando um corpo se move através de um fluido, tensões são

    desenvolvidas no fluido.

    A diferença entre um fluido e um sólido, é que as tensões em um

    fluido são majoritariamente geradas por movimento e não por

    deflexão.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Imagine a superfície de uma partícula fluida em contato com outras

    partículas fluidas e considere a força de contato sendo gerada entre

    as partículas.

    Campo de Tensão

    Considere uma porção, 𝜹𝑨 , da

    superfície em um ponto qualquer C.

    A orientação de 𝜹𝑨 é dada pelo vetor

    unitário, ෝ𝒏 , mostrado na figura ao

    lado. O vetor ෝ𝒏 é normal à superfície da

    partícula apontando para fora dela.

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    Mecânica dos Fluidos I

    A força, 𝜹𝑭 , agindo sobre 𝜹𝑨, pode ser decomposta em duas

    componentes, uma normal e a outra tangente à área.

    Uma tensão normal 𝝈𝒏 e uma tensão de cisalhamento 𝝉𝒏 são então

    definidas como:

    Campo de Tensão

    𝜎𝑛 = lim 𝛿𝐴𝑛→ 0

    𝛿𝐹𝑛 𝛿𝐴𝑛

    𝜏𝑛 = lim 𝛿𝐴𝑛→ 0

    𝛿𝐹𝑡 𝛿𝐴𝑛

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    Mecânica dos Fluidos I

    Em coordenadas retangulares, podemos considerar as tensões

    atuando em planos cujas normais orientadas para fora estão nas

    direções dos eixos x, y ou z.

    Campo de Tensão

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    Mecânica dos Fluidos I

    Dividindo o módulo de cada componente da força pela área, 𝛿𝐴𝑥, e

    tomando o limite quando 𝛿𝐴𝑥 se aproxima de zero, definimos as três

    componentes da tensão mostradas na figura abaixo:

    Campo de Tensão

    𝜎𝑥𝑥 = lim 𝛿𝐴𝑥→ 0

    𝛿𝐹𝑥 𝛿𝐴𝑥

    𝜏𝑥𝑦 = lim 𝛿𝐴𝑥→ 0

    𝛿𝐹𝑦

    𝛿𝐴𝑥 𝜏𝑥𝑧 = lim

    𝛿𝐴𝑥→ 0

    𝛿𝐹𝑧 𝛿𝐴𝑥

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    Mecânica dos Fluidos I

    Usamos uma notação com índice duplo para designar as tensões:

    • O primeiro índice (neste caso, x) indica o plano no qual a tensão

    atua (neste caso, a superfície perpendicular ao eixo x).

    • O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua.

    Campo de Tensão

    Considerando agora a área elementar 𝛿𝐴𝑦, definiremos as tensões

    𝜎𝑦𝑦, 𝜏𝑦𝑥 e 𝜏𝑦𝑧 ; a utilização da área elementar 𝛿𝐴𝑧, levaria, de

    modo semelhante, à definição de 𝜎𝑧𝑧, 𝜏𝑧𝑥 e 𝜏𝑧𝑦.

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    Mecânica dos Fluidos I

    O estado de tensão em um ponto pode ser completamente descrito

    pela especificação das tensões atuantes em três planos quaisquer

    ortogonais entre si que passam pelo ponto.

    A tensão em um ponto é especificada então pelas nove

    componentes.

    Campo de Tensão

    𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧

    Onde 𝜎 foi usado para denotar uma tensão normal, e 𝜏 para denotar uma tensão cisalhante.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Há seis planos (dois planos x, dois planos y e dois planos z), nos quais

    as tensões podem atuar.

    Campo de Tensão

    Os planos são nomeados e

    denotados como positivos ou

    negativos de acordo com o sentido

    da sua normal. Dessa forma, o

    plano superior, por exemplo, é um

    plano y positivo, o posterior é um

    plano y negativo.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Viscosidade

    Qual a origem das tensões?

    Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material é

    deformado ou cisalhado elasticamente;

    Para um fluido, as tensões de cisalhamento aparecem devido ao

    escoamento viscoso.

    Desse modo, dizemos que os sólidos são elásticos e os fluidos são

    viscosos.

    Para um fluido em repouso, não existirá tensão de cisalhamento.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Viscosidade

    Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas

    infinitas conforme mostrado abaixo.

    O elemento fluido retangular está inicialmente em repouso no tempo t.

    Consideremos que uma força constante para a direita 𝛿𝐹𝑥 seja aplicada à placa

    de modo que ela é arrastada através do fluido a velocidade constante δu.

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    Mecânica dos Fluidos I

    Viscosidade

    A ação de cisalhamento relativo da placa infinita produz uma tensão de

    cisalhamento, 𝝉𝒚𝒙, aplicada ao elemento fluido que é dada por:

    Imagens instantâneas do elemento fluido, ilustram a deformação do

    elemento fluido da posição MNOP no tempo t, para a posição M′NOP′ no

    tempo t + δt, e para M″NOP″ no tempo t + 2δt, devido à tensão de

    cisalhamento imposta.

    𝜏𝑦𝑥 = lim 𝛿𝐴𝑦→ 0

    𝛿𝐹𝑥 𝛿𝐴𝑦

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    Viscosidade

    Durante o intervalo de tempo 𝜹𝒕, a taxa de deformação do fluido é dada

    por:

    Desejamos expressar Τ𝒅𝜶 𝒅𝒕 em função de quantidades prontamente

    mensuráveis. A distância 𝜹𝒍, entre os pontos M e M′, é dada por:

    𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 = lim 𝛿𝑡→ 0

    𝛿𝛼

    𝛿𝑡

    𝛿𝑙 = 𝛿𝑢 𝛿𝑡

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    Mecânica dos Fluidos I

    Viscosidade

    Alternativamente, para pequenos ângulos temos:

    Igualando essas duas expressões para 𝛿𝑙, obteremos:

    𝛿𝑙 = 𝛿𝑦 𝛿𝛼

    𝛿𝛼

    𝛿𝑡 = 𝛿𝑢

    𝛿𝑦

    Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:

    𝑑𝛼

    𝑑𝑡 = 𝑑𝑢

    𝑑𝑦

    Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente

    proporcional à taxa de deformação são fluidos newtonianos

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    Viscosidade

    Alternativamente, para pequenos ângulos temos:

    Igualando essas duas expressões para 𝛿𝑙, obteremos:

    𝛿𝑙 = 𝛿𝑦 𝛿𝛼

    𝛿𝛼

    𝛿𝑡 = 𝛿𝑢

    𝛿𝑦 Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:

    𝑑𝛼

    𝑑𝑡 = 𝑑𝑢

    𝑑𝑦

    Dessa forma, o elemento fluido, quando submetido à tensão de cisalhamento,

    𝜏𝑦𝑥 , experimenta uma taxa de deformação dada por 𝑑𝑢/𝑑𝑦.

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    Viscosidade

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