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Mecânica dos Fluidos I

Disciplina : Mecânica dos fluidos I

Aula 5: Estática dos Fluidos

Curso: Engenharia Mecânica

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Estática dos Fluidos – Sistemas Hidráulicos

Os sistemas hidráulicos são caracterizados por pressões muito elevadas,

de modo que as variações de pressão hidrostática podem ser

frequentemente desprezadas.

Os freios hidráulicos automotivos desenvolvem pressões de até 10 Mpa.

Sistemas de atuação hidráulica de aviões e máquinas são

frequentemente projetados para pressões de até 40 MPa e os macacos

hidráulicos usam pressões de até 70 MPa.

Embora os líquidos são geralmente considerados incompressíveis sob

pressões ordinárias, variações em suas massas específicas podem ser

apreciáveis sob pressões elevadas.

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Estática dos Fluidos – Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas

Para determinar completamente a resultante

de força atuando sobre uma superfície

submersa, devemos especificar:

1. O módulo da força. ( Intensidade )

2. O sentido da força.

3. A linha de ação da força.

Consideraremos tanto superfícies submersas

planas quanto curvas.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Além do módulo da força resultante, 𝑭𝑹, também desejamos localizar o

ponto de aplicação dessa força (de coordenadas 𝒙′, 𝒚′) sobre a superfície.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

A força hidrostática sobre

qualquer elemento da superfície

age normalmente à superfície.

A força de pressão atuando sobre

um elemento 𝒅𝑨 = 𝒅𝒙𝒅𝒚 da face

superior é dada por:

A força resultante agindo sobre a superfície é encontrada somando as

contribuições das forças infinitesimais sobre a área inteira.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Determinação da Força Resultante :

Para avaliar a integral, tanto a pressão p quanto o elemento de área

dA devem ser expressos em termos das mesmas variáveis.

Podemos expressar a pressão p em uma profundidade h do líquido

como:

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana SubmersaTemos ainda, da geometria do sistema, que 𝒉 = 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽. Substituindo na

equação anterior da pressão, obtemos:

𝐹𝑅 = න𝐴

𝑝𝑑𝐴 = න𝐴

𝑝𝑜 + 𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴 = න𝐴

𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃 𝑑𝐴

𝐹𝑅 = 𝑝𝑜න𝐴

𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴

𝑦𝑑𝐴 = 𝑝𝑜𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴

𝑦𝑑𝐴

A integral é o primeiro momento de área da superfície em torno do eixo 𝑥,

que pode ser escrita como:

න𝑨

𝒚𝒅𝑨 = 𝒚𝒄𝑨

Onde 𝒚𝒄 é o centroide da área 𝑨

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Substituindo na equação anterior temos:

𝑭𝑹 = 𝒑𝒐𝑨 + 𝝆𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽𝒚𝒄𝑨

ou

Onde 𝒑𝒄 é a pressão absoluta no líquido

na posição do centroide de área 𝑨.

𝑭𝑹 = 𝒑𝒄𝑨

A equação exprime a força resultante devido

ao líquido — incluindo o efeito da pressão

ambiente 𝒑𝒐 — sobre um lado de uma

superfície plana submersa.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

É importante notar que, embora a

força resultante possa ser calculada a

partir da pressão no centro da placa

(centroide da área), esse não é o seu

ponto de aplicação!

Nossa próxima tarefa é determinar

(𝒙′, 𝒚′) a localização do ponto de

aplicação da força resultante.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Vamos obter 𝒚′, reconhecendo que o

momento da força resultante em

torno do eixo 𝒙 deve ser igual ao

momento devido à força distribuída

da pressão.

Tomando a soma (isto é, integral) dos

momentos das forças infinitesimais

𝒅𝑭 em torno do eixo 𝒙, nós obtemos:

𝒚′𝑭𝑹 = න𝐴

𝑦𝑝𝑑𝐴

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

𝒚′𝑭𝑹 = න𝐴

𝑦𝑝𝑑𝐴 = න𝐴

𝑦 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃 𝑑𝐴 = න𝐴

𝑦𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑦2 sin 𝜃 𝑑𝐴

Como feito anteriormente, podemos fazer a integração expressando 𝒑

como uma função de 𝒚:

𝒚′𝑭𝑹 = 𝑝𝑜න𝐴

𝑦𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴

𝑦2𝑑𝐴

න𝐴

𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝑐𝐴 න𝐴

𝑦2𝑑𝐴 = (𝐼ො𝑥 ො𝑥 + 𝑦𝑐2𝐴)

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

𝒚′𝑭𝑹 = 𝑝𝑜𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐼ො𝑥 ො𝑥 + 𝑦𝑐2𝐴 = 𝑦𝑐 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝑦𝑐 𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐼ො𝑥 ො𝑥

Usando essas relações obtemos:

𝐹𝑅 = 𝑝𝑜𝐴 + 𝜌𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑦𝑐𝐴

𝒚′𝑭𝑹 = 𝑦𝑐𝐹𝑅 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐼ො𝑥 ො𝑥𝒚′ = 𝒚𝒄 +

𝝆𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑰ෝ𝒙ෝ𝒙𝑭𝑹

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

A equação é válida para o cálculo da coordenada 𝒚′ do ponto de aplicação

da força sobre o lado submerso da superfície, quando se deseja incluir a

pressão ambiente 𝒑𝒐.

Se esta mesma pressão atua sobre o outro lado da superfície devemos

desprezar 𝒑𝒐 no cálculo da força líquida.

𝐹𝑅 = 𝑝𝑐,𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝐴 = 𝜌𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑦𝑐𝐴

E a equação torna-se:

𝒚′ = 𝒚𝒄 +𝑰ෝ𝒙ෝ𝒙𝑦𝑐𝐴

𝒚′ = 𝒚𝒄 +𝝆𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑰ෝ𝒙ෝ𝒙

𝑭𝑹

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Para problemas em que a pressão sobre o

outro lado da superfície não é 𝒑𝒐 ,

podemos analisar cada um dos lados da

superfície separadamente ou reduzir as

duas distribuições de pressão a uma

distribuição líquida de pressão.

Note que em qualquer situação, 𝒚′ > 𝒚𝒄— a

localização do ponto de aplicação da força é

sempre abaixo do centroide.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Uma análise similar pode ser feita para calcular 𝒙′, a coordenada 𝒙 do

ponto de aplicação da força resultante sobre a superfície.

𝒙′𝑭𝑹 = න𝐴

𝑥𝑝𝑑𝐴 = න𝐴

𝑥 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴 = න𝐴

𝑥𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑥𝑦 sin 𝜃 𝑑𝐴

𝒙′𝑭𝑹 = න𝐴

𝑥𝑝𝑑𝐴

Podemos expressar 𝒑 como uma função de 𝒚 como antes:

𝒙′𝑭𝑹 = 𝑝𝑜න𝐴

𝑥𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴

𝑥𝑦 𝑑𝐴

න𝐴

𝑥𝑑𝐴 = 𝑥𝑐𝐴 න𝐴

𝑥𝑦𝑑𝐴 = (𝐼ො𝑥 ො𝑦 + 𝑥𝑐𝑦𝑐𝐴)

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

𝒙′𝑭𝑹 = 𝑝𝑜𝑥𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 (𝐼ො𝑥 ො𝑦 + 𝑥𝑐𝑦𝑐𝐴)

Usando essas relações obtemos:

𝒙′𝑭𝑹 = 𝑥𝑐 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑦𝑐sin 𝜃 𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐼ො𝑥 ො𝑦

𝒙′𝑭𝑹 = 𝑥𝑐𝐹𝑅 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐼ො𝑥 ො𝑦

𝐹𝑅 = 𝑝𝑜𝐴 + 𝜌𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑦𝑐𝐴

Finalmente, obtemos para 𝒙′:

𝒙′ = 𝒙𝒄 +𝝆𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑰ෝ𝒙𝒚

𝑭𝑹

A equação acima é conveniente para calcular 𝒙’ quando se deseja incluir a pressão ambiente 𝒑𝒐.

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Estática dos Fluidos – Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa

Quando a pressão ambiente age sobre o outro lado da superfície, podemos

novamente desprezar 𝒑𝒐 no cálculo da força líquida.

𝐹𝑅 = 𝑝𝑐,𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝐴 = 𝜌𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑦𝑐𝐴

𝒙′ = 𝒙𝒄 +𝝆𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑰ෝ𝒙𝒚

𝑭𝑹

𝒙′ = 𝒙𝒄 +𝑰ෝ𝒙𝒚

𝒚𝒄𝑨

A direção da força será sempre perpendicular ao plano da superfície.

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Exemplo 1: Força resultante sobre uma superfície plana Inclinada Submersa

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Exemplo 1: Força resultante sobre uma superfície plana Inclinada Submersa

Distribuição de pressão hidrostática líquida sobre a comporta

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Exemplo 2: Força resultante sobre uma superfície plana vertical

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Exemplo 2: Força resultante sobre uma superfície plana vertical

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Exemplo 2: Força resultante sobre uma superfície plana vertical

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Exercícios Sugeridos:

FOX, Robert W., PRITCHARD, Philip J. McDONALD, Alan T. Introdução à

mecânica dos fluidos. 8a Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.

Capítulo 3:

50, 52, 63, 66.