Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 03 - Filtros Digitais

PDS - Aula 03Filtros Digitais

EduardoSimas

Introducao

FiltrosAnalogicos

Aproximacao deButterworth

Aproximacao deChebyshev

Filtros Digitais

EstruturasBasicas deFiltros Digitais

Projeto deFiltros Digitais

Aproximacoespara Filtros FIR

Aproximacoespara Filtros IIR

Filtros Linearesde Mınimo ErroQuadraticoMedio

Disciplina: Processamento Digital de SinaisAula 03 - Filtros Digitais

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Departamento de Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia


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Introducao

FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais






Conteudo

1 Introducao

2 Filtros AnalogicosAproximacao de ButterworthAproximacao de Chebyshev

3 Filtros DigitaisEstruturas Basicas de Filtros DigitaisProjeto de Filtros DigitaisAproximacoes para Filtros FIRAproximacoes para Filtros IIRFiltros Lineares de Mınimo Erro Quadratico Medio


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Introducao

Filtros sao sistemas lineares invariantes no tempo capazes demodificar as caracterısticas dos sinais conectados em suaentrada, de modo que, apenas uma parcela especıfica doscomponentes de frequencia do sinal chega a saıda do filtro.

Considerando sinais analogicos x(t) e y(t) e um filtro comfuncao de resposta ao impulso h(t), temos:

y(t) = h(t) ∗ x(t)

No domınio da frequencia pode-se escrever:

Y (jω) = H(jω)X (jω)


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Filtros Analogicos Ideais

Os filtros analogicos podem ser classificados quando ao modocomo atuam no domınio da frequencia em:

- Passa-Baixas (FPB): |H(jω)| =

1, |ω| ≤ ωc

0, |ω| > ωc

- Passa-Altas (FPA): |H(jω)| =

0, |ω| ≤ ωc

1, |ω| > ωc

- Passa-Faixa (FPF): |H(jω)| =

1, ω1 < |ω| ≤ ω2

0, ω1 ≤ |ω| e |ω| > ω2

- Rejeita-Faixa (FRF):

|H(jω)| =

0, ω1 < |ω| ≤ ω2

1, ω1 ≤ |ω| e |ω| > ω2

Onde |H(jω)| representa as respostas de modulo ideais para osfiltros acima (mostradas graficamente na figura a seguir).


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Filtros Analogicos Ideais

|H(jw)|

wwc

Passa-Baixas

|H(jw)|

wwc

Passa-Altas

|H(jw)|

ww1

Passa-Faixa

|H(jw)|

w

Rejeita-Faixa

w2 w1 w2


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Filtros Analogicos

Na pratica nao e possıvel realizar um filtro ideal e as transicoesentre as bandas de passagem e de corte sao mais suaves:

|H(jw)|

wwc

Passa-Baixas

Quanto maior a complexidade (ordem) do filtro, mais proximoestamos da resposta ideal, porem maior e mais complexo sera ocircuito analogico necessario para realiza-lo.

A ordem de um filtro esta diretamente ligada a quantidade depolos da funcao de transferencia, que por sua vez, depende donumero de elementos armazenadores de energia (capacitores eindutores) do circuito analogico.


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Filtros Analogicos - Exemplo

Considerando que um sinal de interesse x(t) = sin(20πt) estacontaminado por um ruıdo de alta frequencia r(t) = sin(100πt),de modo que o sinal medido e s(t) = x(t) + r(t).

Uma aproximacao x(t) do sinal x(t) pode ser obtida a partir dautilizacao de um filtro passa-baixas com frequencia de corteωc ≈ 20π rad/s.

Quanto maior a ordem do filtro, melhor e a aproximacao obtida,conforme pode-se observar nas figuras a seguir.

Quando a ordem do filtro e suficientemente grande, umaaproximacao satisfatoria e obtida.


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0 0.2 0.4−1

0

1Sinal de Interesse

0 0.2 0.4−2

0

2Sinal + Ruido

0 0.2 0.4

−1

0

1

Sinal Filtrado (Ordem 1)

0 0.2 0.4

−1

0

1


0 0.2 0.4−1

0

1


0 0.2 0.4−1

0

1Sinal Filtrado (Ordem 10)


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Resposta em frequencia × ordem dos filtros:

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H(j

ω)|

Ordem 10Ordem 1

Percebe-se que com o aumento da ordem, a resposta do filtro“tende” para a resposta ideal.

Em contrapartida, os filtros analogicos de alta ordem sao demontagem complexa e altamente dependentes dos valores doselementos do circuito.

Ja os filtros digitais de alta ordem demandam maior capacidade deprocessamento, devido ao maior numero de operacoes necessarias.


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Projeto de Filtros Analogicos


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Projeto de Filtros Passa-Baixas Analogicos

Existem diversas tecnicas utilizadas para o projeto de filtrospassa-baixas analogicos.

A seguir iremos apresentar duas das principais abordagens(aproximacoes de Butterworth e de Chebyshev) e apresentarexemplos de projeto com o auxılio do MATLAB.

Os filtros passa-baixas analogicos normalizados podem serconvertidos em outros tipos de filtros (passa-altas, passa-faixa erejeita-faixa).

Os filtros digitais serao estudados apos essa introducao aosfiltros analogicos

Uma forma de projeto de filtros digitais envolve a conversao dafuncao de transferencia do filtro analogico para o domıniodigital.


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Especificacoes do Filtro

O primeiro passo no projeto de um FPB e definir as especificacoes dofiltro, que podem ser associadas a figura abaixo:

ΩP - frequencia limite da banda de passagem;

ΩS - frequencia limite da banda de rejeicao;

1√1+ε2

- atenuacao maxima da banda de passagem;

1A

- atenuacao mınima da banda de rejeicao.


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Aproximacao de Butterworth

Na aproximacao de Butterworth considera-se que a funcao detransferencia do filtro de ordem N e tal que:

|Ha(jΩ)|2 =1

1 +(

ΩΩc

)2N

O ganho de um filtro de Butterworth e definido por:

G (Ω) = 10 log10 |Ha(jΩ)|2 dB

Observa-se que:

- Para um sinal DC (Ω = 0) temos: G (0) = 1.- Para Ω = Ωc : G (Ωc) = 10 log10( 1

2 ) ∼= −3 dB.

E possıvel provar que a resposta de magnitude o filtro deButterworth e maximamente plana em Ω = 0 e nao apresentaoscilacoes.


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Exemplos de resposta de magnitude para filtros de Butterworth:

A ordem do filtro pode ser calculada considerando-se que:

|Ha(jΩp)|2 =1

1 +(Ωp

Ωc

)2N=

1

1 + ε2

|Ha(jΩs)|2 =1

1 +(

ΩsΩc

)2N=

1

A2


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Resolvendo para N temos:

N =1

2

log10[(A2 − 1)/ε2]

log10(Ωs/Ωp)

O valor de Ωc (frequencia de corte de -3 dB) pode ser obtido porsubstituicao nas expressoes de |Ha(jΩp)|2 e |Ha(jΩs)|2.

Se for feita a substituicao de N na expressao de |Ha(jΩs)|2 garante-seexatamente a especificacao para Ωs (banda de rejeicao) econsegue-se exceder a especificacao para Ωp, garantindo umamargem de seguranca na banda de passagem (e vice-versa).

Com os valores de N e de Ωc e possıvel determinar Ha(s) =C

DN(s),

onde os coeficientes do polinomio de Butterworth de ondem N(DN(s)) podem ser calculados ou obtidos de tabelas.

No exemplo a seguir sera utilizado o Matlab para auxılio ao projetode um FPB usando a aproximacao de Butterworth.


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Projeto em Matlab de um FBP usandoaproximacao de Butterworth

Inicialmente determina-se N (ordem do filtro) e Wn (freq. decorte de -3 dB) usando o comando “buttord” e em seguidadetermina-se o a funcao de transferencia do filtro usando ocomando“butter”:

O comando buttord tem a sintaxe:

[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)

sendo Wp a frequencia limite da banda de passagem (emrad/s), Ws a frequencia limite da banda de rejeicao (em rad/s),Rp a maxima atenuacao da banda de passagem (em dB) e Rs amınima atenuacao na banda de rejeicao (em dB).

O comando butter tem a sintaxe:

[num,den]=butter(N,Wn)


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Exemplo

Projetar, usando o Matlab, um filtro de Butterworth com asespecificacoes a seguir:

- frequencia limite da banda de passagem 100 Hz;

- frequencia limite da banda de rejeicao 300 Hz;

- maxima atenuacao na banda de passagem 0,5 dB;

- mınima atenuacao na banda de rejeicao 20 dB;

Neste caso, a sequencia de comandos a ser utilizada e:

[N,Wn]=buttord(100,300,0.5,20,’s’);

Assim obtemos: N = 4 e Wn = 168.9145.

Os polinomios do numerador e do denominador da funcao detransferencia do filtro (no domınio de Laplace) podem ser obtidas de:

[num,den]=butter(N,Wn,’s’);


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Exemplo

As respostas de modulo e fase do filtro podem ser obtidas por:

freqs(num,den)

O resultado encontrado e:

101

102

103

−200

0

200

Frequency (rad/s)

Ph

ase

(d

eg

ree

s)

101

102

103

10−4

10−2

100

Frequency (rad/s)

Ma

gn

itu

de


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Aproximacao de Chebyshev

A aproximacao de Chebyshev tenta minimizar a diferenca entrea resposta do filtro e a resposta ideal em uma das bandas defrequencia (de passagem ou de rejeicao).

Eistem dois tipos de filtros de Chebyshev, que variam quanto alocalizacao da ondulacao na resposta de modulo:

- Tipo 1: Ondulacao na banda de passagem e monotonico nabanda de rejeicao;

- Tipo 2: Monotonico na banda de passagem e ondulacao nabanda de rejeicao;

As aproximacoes de Chebyshev produzem filtros de menorordem para um mesmo problema se comparadas a aproximacaode Butterworth. Em contrapartida, as respostas de amplitudedos filtros produzidos apresentam oscilacoes.


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Aproximacao de Chebyshev do Tipo 1

Para o Tipo 1 temos:

|Ha(jΩ)|2 =1

1 + ε2T 2N

(Ω

Ωc

)Sendo T 2

N o polinomio de Chebyshev de ordem N:

T 2N =

cos(N cos−1 Ω), |Ω| ≤ 1

cosh(N cosh−1 Ω), |Ω| > 1

Exemplos de resposta de modulo para filtros de Chebyshev do tipo 1.


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Aproximacao de Chebyshev do Tipo 2

Para o Tipo 2 temos:

|Ha(jΩ)|2 =1

1 + ε2

[TN (Ωs/Ωp)

TN (Ωs/Ω)

]2

Exemplos de resposta de modulo para filtros de Chebyshev do tipo 2.

Comparando com o Tipo 1, percebe-se que as regioes onde ocorremas oscilacoes se alternam (Tipo 1→Banda de Passagem e Tipo2→Banda de Rejeicao).


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Projeto de Filtros de Chebyshev usando o Matlab

De modo semelhante ao realizado para os filtros deButterworth, pode-se utilizar funcoes do Matlab para calcular aordem do filtro, a frequencia de -3 dB e os coeficientes dafuncao de transferencia.

Utilizando o mesmo exemplo anterior, para o Tipo 1:

[Nc1,Wnc1]=cheb1ord(100,300,0.5,20,’s’)

como resultado obtemos: Nc1 = 3 e Wnc1 = 100.

Para o Tipo 2:

[Nc2,Wnc2]=cheb2ord(100,300,0.5,20,’s’)

agora: Nc2 = 3 e Wnc2 = 205.3656

As funcoes de transferencia podem ser obtidas de:[numC1,denC1]=cheby1(Nc1,Rs,Wnc1,’s’) e[numC2,denC2]=cheby2(Nc2,Rp,Wnc2,’s’);


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Projeto de Filtros de Chebyshev usando o Matlab

A figura a seguir apresenta uma comparacao entre as respostas demodulo (|H(jω)|2 em dB) para os tres tipos de filtros estudados ateaqui.

0 100 200 300 400 500−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequencia (Hz)

|H(j

ω)|

2 (

dB

)

Butterworth (N=4) Chebyshev 1 (N=3)Chebyshev 2 (N=3)

Percebe-se que as especificacoes do projeto sao atendidas nos trescasos, porem os filtros de Chebyshev apresentam respostas maisseletivas, mesmo com uma ordem menor.


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Projeto de Outros Tipos de Filtros

Ate agora foi abordado apenas o projeto de filtros Passa-Baixas.

Utilizando as funcoes do Matlab e simples projetar filtrosPassa-Altas, Passa-Faixa e Rejeita-Faixa, para isso e necessario:

- especificar corretamente as frequencias limite das bandas depassagem e rejeicao (que no caso do FRF e do FPF sao agoravetores com dois elementos);

- definir o “tipo” do filtro para o FPA (’high’) e para o FRF(’stop’) nos comandos utilizados anteriormente.

Exemplo:[N,Wn]=buttord([100,600],[300,400],0.5,20,’stop’,’s’);

[numB,denB]=butter(Nb,Wnb,’stop’,’s’);


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Projeto de Outros Tipos de Filtros

Com os comandos do slide anterior estamos especificando umFRF com banda de rejeicao para ω < 100 rad/s eω > 600 rad/s, e banda de passagem para 300 < ω < 400. Asatenuacoes permitidas sao Rp=0.5 dB e Rs=20dB.

A resposta de modulo do filtro obtido e:

0 100 200 300 400 500 600 700−100

−80

−60

−40

−20

0

Frequencia (Hz)

|H(j

ω)|

2 (

dB

)


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Filtros Digitais - Introducao

Um filtro digital e a implementacao de um algoritmomatematico em hardware ou software que opera sobre sinal x [n]aplicado em sua entrada gerando na saıda uma versao filtraday [n] de x [n].

Considerando que o filtro esta implementado num ProcessadorDigital de Sinais (PDS) e que o objetivo e processar um sinalanalogico x(t), temos:

ADCx(t) PDS DAC y(t)

Se os sinais a serem processados forem digitais o diagrama seresume a:

PDSx[n] y[n]


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Filtros Digitais × Filtros Analogicos

Entre as principais vantagens dos filtros digitais podemoslistar:

- Filtros digitais podem apresentar a fase perfeitamente linear.

- O desempenho dos filtros analogicos nao depende decomponentes do circuito, ou seja, sua resposta nao einfluenciada por mudancas ambientais (temperatura, umidade).

- A resposta em frequencia do filtro digital pode ser maisfacilmente modificada (caso esteja implementada em softwareou hardware programavel).

- Com o avanco da tecnologia de fabricacao eletronica os filtrosdigitais podem ser implementados em dispositivos cada vezmenores e mais economicos.

- Filtros digitais podem ser utilizados em sinais de frequenciamuito baixa (como e o caso de algumas aplicacoes biomedicas).


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Filtros Digitais × Filtros Analogicos

Entre as principais desvantagens dos filtros digitais pode-semencionar:

- Considerando as etapas de conversao AD e DA e oprocessamento propriamente dito, os filtros digitais tem umavelocidade de resposta inferior aos analogicos.

- Os filtros digitais estao sujeitos aos erros inerentes ao processode quantizacao (na conversao AD) e tambem aos erros deaproximacao devido ao uso de palavras digitais de comprimentofinito. Em filtros recursivos de alta ordem esses fenomenospodem levar a instabilidade.


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Tipos de Filtros Digitais

Os filtros digitais sao classificados quanto ao comprimento dasua sequencia de resposta ao impulso como:

- Filtros de resposta ao impulso finita (FIR - Finite ImpulseResponse);

- Filtros de resposta ao impulso infinita (IIR - Infinite ImpulseResponse);

As saıdas dos filtros podem ser calculadas usando:

Filtro FIR: y [n] =N−1∑k=0

h[k]x [n − k];

Filtro IIR: y [n] =∞∑k=0

h[k]x [n − k];


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Tipos de Filtros Digitais

A saıda de um filtro IIR do modo como foi definidaanteriormente nao pode ser obtida na pratica.

Utiliza-se, entao, uma representacao recursiva do tipo:

y [n] =∞∑k=0

h[k]x [n − k] =N∑

k=0

bkx [n − k]−M∑k=1

aky [n − k];

sendo ak e bk os coeficientes do filtro.

Aplicando-se a transformada z , obtemos as funcoes detransferencia H(z) = Y (z)/X (z) dos filtros digitais:

- FIR: H(z) =N−1∑k=0

h(k)z−k e IIR: H(z) =

N∑k=0

bkz−k

1 +M∑k=1

akz−k


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Etapas para o Projeto de um Filtro Digital

O projeto e a construcao de um filtro digital envolvem as etapasa seguir:

1 Especificacao das caracterısticas do filtro;

2 Calculo dos coeficientes da funcao de transferencia;

3 Representacao do filtro por uma estrutura adequada(realizacao);

4 Analise dos efeitos do comprimento finito da palavradigital no desempenho do filtro;

5 Implementacao do filtro em software ou hardware.


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FIR ou IIR ?

A escolha entre os filtros FIR e IIR depende da aplicacaoespecıfica e deve considerar as caracterısticas do dois tiposcomo:

- Os filtros FIR tem resposta de fase linear. Isso implica quenenhuma distorcao de fase e produzida no sinal filtrado. Essacaracterıstica e importante em diversas aplicacoes comoprocessamento de audio e imagem, biomedicina e transmissaode dados.

- Filtros FIR sao realizados de modo nao-recursivo, e assim saosempre estaveis. O mesmo nao pode ser garantido para osfiltros IIR.

- Os efeitos da precisao finita e dos erros de quantizacao saomenos severos para os filtros FIR.


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FIR ou IIR ?

- Filtros IIR, em geral, necessitam de menos coeficientes que osFIR para atender a uma mesma especificacao de projeto. Umfiltro de menor ordem tem menor tempo de execucao.

- Filtros analogicos podem ser facilmente convertidos em filtrosdigitais IIR equivalentes

De modo geral pode-se usar as indicacoes abaixo:

- Utilize um filtro IIR sempre que for importante uma respostabem seletiva no domınio da frequencia ou quando for necessariorealizar a conversao das especificacoes de um filtro analogico;

- Utilize um filtro FIR quando o numero de coeficientes nao egrande (pois a estabilidade da estrutura FIR e garantida) eespecialmente quando a distorcao de fase desejada for pequena.


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Estruturas Basicas de Filtros Digitais


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Estruturas Basicas de Filtros Digitais

Os algoritmos computacionais de filtros lineares e invariantes notempo (LTI) podem ser representados em forma de diagrama deblocos utilizando estruturas basicas como:

- atrasos unitarios;

- ganhos (multiplicadores);

- somadores

- realimentacoes (para filtros recursivos).

Estruturas Canonicas e Nao-Canonicas:

Uma estrutura e dita canonica se o numero de atrasos nodiagrama de blocos e igual a ordem da equacao a diferencas (ouda funcao de transferencia) do filtro.


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Estruturas de Filtros FIR (Nao-recursivos)

Um filtro FIR pode ser descrito por: y [n] =N−1∑k=0

h[k]x [n − k].

Uma modo simples de realizar um filtro FIR e utilizar estruturasna forma direta, conforme mostrado na figura a seguir.

Figure : Estrutura FIR na forma direta


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Estruturas de Filtros FIR (Nao-recursivos)

Existem diversas implementacoes digitais para um mesmoproblema, sendo elas equivalentes quando ao calculo da saıda dofiltro.

A seguir e apresentada a estrutura de um filtro FIR na formadireta alternativa:

Figure : Estrutura FIR na forma direta alternativa

As implementacoes na forma direta tem a vantagem deutilizarem os coeficientes da funcao de resposta ao impulso dofiltro (h(k)) como multiplicadores no diagrama.


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Filtros FIR na Forma Cascata

A implementacao na forma cascata e obtida pela conexao em cascatade uma serie de filtros FIR de segunda ordem:

A funcao de transferencia associada a essa realizacao e da forma:

H(z) =N∏

k=1

(γ0k + γ1kz−1 + γ2kz

−2)

os coeficientes γik precisam ser determinados em funcao dos h(k) dafuncao de resposta ao impulso do filtro.


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Filtros FIR com fase linear

Uma importante classe de filtros FIR e aquela que apresentafase linear.

Esses filtros tem resposta em frequencia do tipo:

H(e jω) = B(ω)e−jωτ+jφ

onde B(jω) e real, τ e φ sao constantes.

Calculando a sequencia de resposta ao impulso temos:

h[n] =1

2π

∫ ∞−∞

H(e jω)e jωndω = e jφb[n − τ ]

Apos algumas manipulacoes algebricas e considerando que ofiltro deve ser causal e ter duracao finita, entao chega-se a:

h[n] = e2jφh∗[M − n], sendo que o filtro existe para 0 ≥ n ≥ M.


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Considerando o caso onde todos os coeficientes sao reais, entao:

h[n] = h∗[n] e

e2jφ ∈ R→ φ =kπ

2, k ∈ Z.

Entao chega-se a:

h[n] = (−1)kh[M − n), k ∈ Z.

Na pratica, basta considerarmos os casos abaixo (todas asoutras combinacoes de k e M serao equivalentes):

- Tipo I: k = 0 e M e par.- Tipo II: k = 0 e M e ımpar.- Tipo III: k = 1 e M e par.- Tipo IV: k = 1 e M e ımpar.


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Filtros FIR com fase linear - Caracterısticas


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Exemplos de resposta ao impulso de filtros FIR de fase linear dostipos (a) I, (b) II, (c) III e (d) IV.


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Estruturas Eficientes para Filtros FIR com faselinear

Uma propriedade interessante de filtros FIR com fase linear e que elespodem ser realizados atraves de estruturas eficientes que exploramsuas caracterısticas de simetria e anti-simetria.

Realizacao de filtro de fase linear com resposta ao impulso simetricae ordem par.


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Estruturas de Filtros IIR (Recursivos)

A funcao de transferencia de um filtro recursivo e do tipo:

H(z) =

( M∑k=0

bkz−k)/(

1 +N∑

k=1

akz−k)

Pode-se considerar que H(z) e obtido da composicao emcascata de N(z) e 1/D(z).

O polinomio N(z) pode ser realizado por qualquer estrutura FIRmostrada anteriormente e 1/D(z) por uma realimentacao do

filtro FIR descrito por D ′(z) = z(1− D(z)) = −z∑N

k=1 akz−k :


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Filtros IIR na Forma Direta

Representando ao mesmo tempo N(z) e 1/D(z) temos umarealizacao do filtro IIR na forma direta (na qual os coeficientesdo filtro estao explıcitos na estrutura realizada):


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Filtros IIR na Forma Canonica

A estrutura anterior pode ser modificada de modo a obter umarealizacao equivalente, porem na forma canonica:


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Filtros IIR na Forma Canonica

Outra estrutura tambem na forma canonica:


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Outras Realizacoes de Filtros IIR

Existem ainda outras realizacoes utilizadas para filtros IIR como:- Cascata:

- Paralela:


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Outras Realizacoes de Filtros IIR

Nos casos mostrados no slide anterior, os blocos Hi (z)apresentam funcoes de transferencia simples, de primeira ousegunda ordem.

Como veremos futuramente, as diferentes realizacoes de filtrosdigitais apresentam diferentes propriedades quando seconsideram uma implementacao pratica com precisao finita.

E preciso avaliar o comportamento da realizacao utilizadaquando ocorre quantizacao dos coeficientes e das operacoesaritmeticas envolvidas.

A analise dos efeitos da precisao finita e uma etapa importantepara o projeto de filtros digitais.


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Projeto de Filtros Digitais


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Projeto de Filtros Digitais

O projeto de filtros digitais consiste na determinacao da funcaode transferencia (ou da sequencia de resposta ao impulso) queatenda (pelo menos de modo aproximado) as especificacoes daresposta em frequencia necessarias para uma dada aplicacao.

Considerando os 4 tipos de filtros abordados ate aqui (FPB,FPA, FPF e FRF), as respostas ao impulso das funcoes detransferencia ideais nao sao realizaveis digitalmente, poisapresentam comprimento infinito e sao nao-causais.

Para os filtros FIR, uma abordagem bastante utilizada e otruncamento da resposta ao impulso dos filtros ideais.

Para os filtros IIR, pode-se mapear para o domınio z funcoes detransferencia projetadas para filtros analogicos.

Como veremos a seguir, existem ainda outras metodologias paraprojeto de filtros digitais, que nao tem uma ligacao direta taoforte com o domınio analogico.


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Aproximacoes para Filtros FIR


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Aproximacoes para Filtros FIR

Conforme visto anteriormente, a implementacao de um filtro erealizada a partir da sua funcao de transferencia:

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n

Porem, seu comportamento e melhor caracterizado por suaresposta em frequencia:

H(e jω) =∞∑

n=−∞h[n]e−jωn

sendo que h[n] pode ser descrita por:

h[n] =1

2π

∫ π

−πH(e jω)e jωndω

A seguir serao apresentados os pares H(e jω) e h[n] para osfiltros ideais.


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Caracterısticas de Filtros Ideais


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Aproximacoes para filtros FIR usandoFuncoes-Janela

Um modo de contornar as limitacoes para realizacao da funcaode resposta ao impulso dos filtros ideais h[n] e definir umasequencia auxiliar h′(n) de comprimento finito de ordem M daforma:

h′[n] =

h[n]w [n], |n| ≤ M

2

0, |n| > M2

Essa resposta, embora de comprimento finito, ainda enao-causal.

Porem ela pode ser transformada em causal atraves damultiplicacao por z−M/2, sem distorcer a resposta de modulo esem destruir a propriedade de fase linear.

A sequencia w [n] e conhecida como “funcao janela”.


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Filtros FIR usando Janela Retangular

Para a janela retangular temos:

w [n] =

1, |n| ≤ M/20, |n| > M/2

Na verdade a janela retangular representa o simplestruncamento da resposta ao impulso do filtro ideal.

Considerando, entao, o projeto de um filtro passa-faixa com ascaracterısticas a seguir:

- M=50- Ωc1 = π/4 rad/s- Ωc2 = π/2 rad/s- Ωs = 2π rad/s


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Considerando uma janela retangular, h′[n] e obtido pelo script:M = 49;

wc1 = pi/4; wc2 = pi/2; ws = 2*pi;

n = 1:M/2;

h0 = 1 - (wc2 - wc1)/pi;

haux = (sin(wc1.*n) - sin(wc2.*n))./(pi.*n);

h = [fliplr(haux) h0 haux];

Os 25 coeficientes do filtro sao mostrados a seguir (os demais24 sao obtidos por rebatimento):


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A resposta em frequencia obtida e:

Observa-se que aparecem ondulacoes nas extremidades da faixa depassagem chamadas “Oscilacoes de Gibbs ”, que surgem devido adescontinuidade imposta pela janela da sequencia h[n].

O aumento da ordem do filtro torna a resposta mais seletiva, masnao modifica a amplitude das oscilacoes.


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Filtros FIR usando Janelas Triangulares

O uso de janelas sem descontinuidade diminuem as oscilacoesde Gibbs.

Uma opcao simples e utilizar janelas de formato triangular como:

w [n] =

− 2|n|M + 2

+ 1, |n| ≤ M/2

0, |n| > M/2

Adicionando-se uma amostra igual a zero nas extremidades dajanela triangular obtemos a janela de Bartlett.

Em alguns casos e necessario a utilizacao de janelas maissofisticadas, que reduzem ainda mais as oscilacoes. Algumasdestas janelas serao apresentadas a seguir.


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Filtros FIR usando Janelas de Hamming e Hanning

A janela de Hamming generalizada pode ser definida por:

w [n] =

α + (1− α) cos(2πn/M), |n| ≤ M/20, |n| > M/2

Para a janela de Hanning ou Hann, faz-se: α = 0, 50.

Para termos a janela de Hamming propriamente dita, usamosα = 0, 54:

As janelas do tipo Hamming apresentam maior atenuacao dasoscilacoes de Gibbs se comparadas as janelas triangulares.


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Filtros FIR usando Janela de Blackman

A janela de Blackman e obtida a partir de modificacoes najanela de Hamming, sendo definida por:

w [n] =0, 42 + 0, 5 cos(2πn/M) + 0, 08 cos(4πn/M), |n| ≤ M/20, |n| > M/2

Comparada com as janelas anteriores, a de Blackman apresentacaracterısticas como:

- Menor ondulacao na faixa de passagem;

- Maior atenuacao na banda de rejeicao.


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Comparacao entre Janelas

Nos proximos slides sera apresentada uma comparacao entrealgumas das funcoes janelas apresentadas considerando osdomınios do tempo e da frequencia.

No domınio do tempo, pode-se observar que, a menos da janelaretangular (boxcar), as demais tem caracterısticas semelhantes.

No slide do domınio da frequencia temos as respostas parajanelas (a) retangular, (b) Hamming, (c) Hann e (d) Blackman.

Percebe-se que com a evolucao das janelas ha uma diminuicaodas oscilacoes de Gibbs.


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Comparacao entre Janelas - Domınio do Tempo


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Comparacao entre Janelas - Domınio da Frequencia


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Comparacao entre Janelas

Janela ∆ω AP (dB) AR (dB) w [n],(p/ ωs = 2π) |n| ≤ (N − 1)/2

Retangular 0, 9π/N 0,7416 20,9 1

Hanning 3, 11π/N 0,0546 43,9 0, 5 + 0, 5 cos

(2πn

N

)Hamming 3, 32π/N 0,0194 54,5 0, 54 + 0, 46 cos

(2πn

N

)Blackman 5, 56π/N 0,0017 75,3 0, 42 + 0, 5 cos

(2πn

N − 1

)+0, 08 cos

(4πnN−1

)


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Filtros FIR usando Janela “Ajustaveis”

Conforme visto anteriormente, o uso de janelas produzoscilacoes de Gibbs que, para as janelas estudadas ate aqui, naopodem ser controladas.

O uso de janelas mais sofisticadas (Ex. Blackman) contribuipara a reducao das oscilacoes, porem sua amplitude eindependente da ordem do filtro.

Em muitos casos praticos, as especificacoes dos filtrosconsideram valores limitados para as oscilacoes tanto na bandade passagem como na banda de rejeicao.

Para atingir esse proposito e preciso utilizar janelas que possuamparametros ajustaveis associados as oscilacoes como:

- Janela de Kaiser- Janela de Dolph-Chebyshev


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Filtros FIR usando Janela de Kaiser

A janela de Kaiser e definida por:

w [n] =

I0

[β√

1− ( 2nM )2

]I0(β)

, |n| ≤ M/2

0, |n| > M/2

Sendo I0(x) = 1 +∞∑k=1

[(x/2)k

k!

]2

a funcao de Bessel modificada

de primeira classe de ordem zero.

O parametro β pode ser utilizado para controlar ascaracterısticas da resposta em frequencia do filtro.

Os filtros projetados usando a janela de Kaiser tambemapresentam a mesma ondulacao tanto na banda de passagemcomo na de rejeicao, porem a amplitude das ondulacoes podeser ajustada atraves do parametro β.


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Filtros FIR usando Janela de Kaiser

Considerando um filtro com as seguintes especificacoes:

O projeto usando a janela de Kaiser envolve os passos a seguir.


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Etapas de Projeto usando Janela de Kaiser

1 Determine a resposta ao impulso ideal. Para FPB e FPA facaΩc = (Ωp + Ωr )/2.

2 Dadas as ondulacoes Ap e Ar em dB encontre seus valores usando:

δp =100.05Ap − 1

100.05Ap + 1e δr = 10−0.05Ap .

3 Fazendo δ = min(δp, δr ) recalcule as ondulacoes resultantes em dB:

Ap = 20 log1 + δ

1− δ e Ar = −20 log δ.

4 Calcule a faixa de transicao: Tr = Ωr − Ωp.

5 Determine β usando (expressao empırica de Kaiser):

β =

0, Ar ≤ 210, 5842(Ar − 21)0,4 + 0, 07886(Ar − 21), 21 < Ar ≤ 500, 1102(Ar − 8, 7), Ar > 50


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6 O comprimento da janela M e definido como o menor numero parque satisfaz:

M ≥ ΩsD

Tr,

sendo Ωs a frequencia de amostragem e D calculado por:

D =

0, 9222, Ar ≤ 21Ar − 7, 95

14, 36, 21 < Ar

7 Uma vez determinados M e β pode-se determinar w [n] (usando aexpressao do slide 67) e formar a sequencia h′[n] = w [n]h[n], sendoh[n] a funcao de transferencia do filtro ideal calculada na Etapa 1.

8 A funcao de transferencia do filtro projetado e obtida de:

H(z) = z−M/2Zh′[n],

sendo Z· o operador da transformada z .


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O procedimento descrito nos slides anteriores se aplica a filtrospassa baixas e passa altas.

Se for necessario projetar filtros passa faixa ou rejeita faixadeve-se acrescentar o seguinte:

- Calcular a faixa de transicao Tr mais estreita que sera dada por:

Tr = Ωr1 − Ωp1 ou Tr = Ωr2 − Ωp2.

- As duas frequencias centrais sao determinadas usando:

Ωc1 =

(Ωp1 +

Tr

2

)e Ωc2 =

(Ωp2 −

Tr

2

)Uma especificacao tıpica de um filtro rejeita faixa e mostradano proximo slide.


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Especificacao tıpica de um filtro rejeita faixa:

O projeto usando Janela de Dolph-Chebyshev e realizado de modosemelhante ao descrito para a janela de Kaiser, sendo que a janela edefinida com base no polinomio de Chebyshev de ordem M.


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Aproximacoes de Filtros FIR usando MetodosNumericos

Embora o projeto de filtros FIR utilizando janelas sejarelativamente simples e direto, ele tem limitacoes,principalmente quando deseja-se obter uma resposta nafrequencia com caracterısticas pre-definidas.

O metodo baseado em janelas nao e eficiente para o projeto defiltros com amplitudes diferentes das ondulacoes nas faixas depassagem e rejeicao e tambem nao sao capazes de produzir FPFe FRF assimetricos

Para esses casos pode-se utilizar metodos baseados emotimizacao numerica, que sao capazes de projetar filtros comfuncao de transferencia mais generica.

Entre os metodos numericos utilizados para o projeto de filtrosFIR pode-se destacar:

- Metodo WLS (Weighted Least Squares ou MınimosQuadrados Ponderados);

- Metodo Otimo de Chebyshev.


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Filtros FIR usando Metodos Numericos

Para o desenvolvimento dos metodos numericos de projeto de filtrosFIR e preciso considerar os quatro tipos de filtro com resposta de faselinear (Tipos I, II, III e IV vistos anteriormente).

Visando uma apresentacao unificada destes filtros define-se umafuncao auxiliar:

P(ω) =L∑

l=0

p(l) cos(ωl)

Com base nessa funcao pode-se expressar a resposta em frequenciados quatro tipos de filtros FIR com fase linear.

E definida entao uma funcao de erro:

E(ω) = Wq(ω)[Dq(ω)− P(ω)]

sendo Wq(ω) = W (ω)Q(ω), Dq(ω) = D(ω)/Q(ω), W (ω) a funcaopeso, D(ω) a resposta em amplitude ideal do filtro e Q(ω) umafuncao variavel com o tipo do filtro.


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Temos entao os valores de Q(ω) em funcao do tipo do filtro:

- Tipo I: Q(ω) = 1

- Tipo II: Q(ω) = cos(ω/2)

- Tipo III: Q(ω) = sen(ω)

- Tipo VI: Q(ω) = sen(ω/2)

Os valores de W (ω) e D(ω) podem ser calculados da tabela noslide a seguir.

Pela formulacao obtida no slide anterior o problema deotimizacao para projeto dos filtros FIR pode ser definido comodeterminar os coeficientes p(l) que minimizam a funcao E (ω)em uma certa faixa de frequencias.


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⇒ Filtros FIR pelo Metodo dos Mınimos QuadradosPonderados (WLS)

O metodo WLS busca a minimizacao do valor medio quadraticodo erro.

Ou seja, os coeficientes p(l) do filtro sao ajustados visando:

min

∫ π

0

|E (ω)|2dω

⇒ Filtros FIR pelo Metodo Otimo de Chebyshev

O metodo otimo de Chebyshev tem como objetivo aminimizacao do valor maximo do erro:

min

max|E (ω)|


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Projeto de Filtros FIR com auxılio do Matlab

O projeto de filtros FIR pode ser simplificado utilizando oMatlab (principalmente em termos dos calculos que envolvem aobtencao dos coeficientes da funcao de resposta ao impulso).

O Matlab possui funcoes na Signal Processing Toolboxdedicadas para filtros digitais. Entre elas podemos listar:

- fir1: projeta filtros-padrao FIR (FPB, FPA, FPF e FRF)utilizando o metodo da janela.

- fir2: projeta filtros FIR com resposta arbitraria utilizandoo metodo da janela.

- boxcar, triang, bartlet, hamming, hanning, blackmane kaiser: determinam as funcoes janela correspondentes.

- kaiserord: determina a ordem do filtro FIR com janelaKaiser (para ser utilizado com o comando fir1).

- firls: projeta filtros FIR com fase linear utilizando ometodo dos mınimos quadrados ponderados.

- filter: realiza a filtragem de um sinal.- freqz: obtem a resposta em frequencia do filtro.


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Aproximacoes para Filtros IIR


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Aproximacoes para Filtros IIR

Os filtros de resposta ao impulso infinita (IIR) podem serrealizados a partir de uma estrutura recursiva (a saıda atualdepende de versoes atrasadas dela mesma).

A estrutura recursiva produz uma funcao de transferencia comnumerador e denominador (ou seja, com zeros e polos),diferente dos filtros FIR que nao possuem polos.

Conforme comentado anteriormente uma caracterısticainteressante de filtros digitais IIR e que eles podem ser obtidos apartir de estruturas analogicas correspondentes utilizando umatransformacao de variaveis

Os filtros analogicos podem ser projetados usando um dosmetodos mostrados a partir do slide 10.


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Filtros IIR pelo metodo da Transformacao Bilinear

O metodo da transformacao bilinear consiste basicamente emmapear o semi-plano s esquerdo no interior do ciclo unitario doplano z .

O mapeamento bilinear e definido por:

s =2

T

z − 1

z + 1

A funcao de transferencia do filtro digital e obtida do domınioanalogico fazendo:

H(z) = HA(s)∣∣s= 2

Tz−1z+1

O mapeamento bilinear e nao-linear para altas frequencias,gerando uma distorcao na resposta de modulo conhecida comowarping (ou empenamento).


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Mapeamento realizado pela transformacao bilinear:


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A caracterıstica nao linear da transformacao bilinear produzdistorcao na resposta de modulo do filtro digital:

E possıvel compensar esse efeito gerando artificialmente uma“pre-distorcao” adequada das especificacoes do filtro analogico.


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Filtros IIR pela Aproximacao de Modulo e Fase

Assim como os filtros FIR, os filtros IIR podem ser projetados apartir de metodos numericos de otimizacao que visam aproximarespecificacoes de modulo e fase da resposta em frequencia dofiltro com mınimo erro.

Considerando que H(z) e a funcao de transferencia de um filtroIIR, entao H(e jω) e funcao dos coeficientes do filtro (quepodem ser agrupados no vetor c) e da variavel independenteθ = ω e pode ser expressa como: F (c, θ).

A resposta na frequencia desejada e: f (θ).

Assim, define-se uma funcao custo que busca o vetor de pesos cque realiza a minimizacao do erro entre F (c, θ) e f (θ).


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Projeto de filtros IIR usando o Matlab

O projeto de filtros IIR utilizando o Matlab pode ser realizadocom as mesmas funcoes utilizadas para o projeto dos filtrosanalogicos (conforme mostrado a partir do slide 10).

Entre as funcoes uteis podemos destacar:

- butter: projeta filtros analogicos e digitais IIR utilizandoa aproximacao de Butterworth.

- buttord: estima a ordem necessaria para o filtro deButterworth a partir das especificacoes de projeto.

- cheby1: projeta filtros analogicos e digitais IIR utilizandoa aproximacao de Chebyshev.

- cheby1ord: estima a ordem necessaria para o filtro deChebyshev a partir das especificacoes de projeto.

- lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs: realizam a conversao dofiltro passa-baixas normalizado para filtros FPB naonormalizado, FPA, FPF e FRF, respectivamente.


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Filtros Lineares de Mınimo Erro Quadratico Medio


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Filtragem Linear de Mınimo Erro Quadratico Medio

Quando um sinal de interesse S(t) e contaminado por ruıdoaditivo N(t), de modo que o sinal observado e:

X (t) = S(t) + N(t) , surge o problema de obter uma

estimacao S(t) de S(t) a partir do sinal observado X (t).

Este problema pode ser definido, de modo equivalente como:

- Estimacao de S(t) a partir de X (t);- Filtragem do ruıdo N(t) existente no sinal medido X (t).

Entre os filtros Lineares de MMSE (Minimum Mean SquareError) podemos destacar:

- Filtros de Wiener e Filtros de Kalman- Filtros Adaptativos

Os filtros MMSE normalmente tem estrutura FIR e sao obtidosa partir de uma analise estatıstica dos sinais disponıveis, sendoabordados com detalhes na disciplina:ENG A83 - Processamento Estatıstico de Sinais.


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Exemplo de Filtragem MMSE


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Resumo


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Resumo

Neste modulo foram abordados aspectos que envolvem o projetoe a implementacao de filtros digitais.

Inicialmente foram estudados os filtros analogicos.

A seguir deu-se a apresentacao de diversas estruturas digitaispara a realizacao de filtros de resposta ao impulso finita (FIR) einfinita (IIR).

As etapas que envolvem o projeto de filtros digitais foramabordadas separadamente para os filtros FIR e IIR.

Exemplos praticos de projeto e teste de filtros digitais foramrealizados em sala de aula com o auxılio do Matlab.


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Bibliografia Consultada

Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

Algumas figuras foram retiradas na ıntegras das referenciasacima.

Documents

Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 03 - Filtros Digitais