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Disciplina: Sistemas Fluidomecânicos Equação da Quantidade de Movimento para Regime Permanente

Disciplina: Sistemas Fluidomecânicos · Introdução • A revisão de Mecânica dos Fluidos discorreu, entre outros tópicos, sobre como é realizado o balanceamento de massas e

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Disciplina:Sistemas Fluidomecânicos

Equação da Quantidade de Movimento para Regime

Permanente

Introdução

• A revisão de Mecânica dos Fluidos discorreu, entre outros tópicos, sobre como é realizado o balanceamento de massas e energia em escoamentos de fluidos, empregando as equações da continuidade e da energia.

• Entretanto, em muitas aplicações na engenharia, é necessário estimar as forças que agem em estruturas devido a fluidos que se movem em contato com elas.

• A equação que permite este tipo de estimativa é a Equação da Quantidade de Movimento.

Equação da Quantidade de Movimento

• Seja a Segunda Lei de Newton da Dinâmica:

�⃗ = �. �⃗ = �.��

��

• Esta equação deve ser mantida na forma vetorial, pois a velocidade pode variar em direção sem que seja alterado seu módulo.

• Considerando a massa constante (regime permanente):

�⃗ =�

����

• Por definição, o produto m.V é a quantidade de movimento do sistema.

• Desta forma, pode ser afirmado que a força resultante que age no sistema em estudo é igual a variação da quantidade de movimento do mesmo, com o tempo.

• Admitindo propriedades uniformes na seção, no intervalo de tempo dt, a massa de fluido que atravessa a seção (1) com

velocidade �� será dm1, provocando uma variação na

quantidade de movimento entre (1) e (2), de ���. ��

(1)

(1’)

(2) (2’)

dt

A1

A2

dm1

dm2

��

�� 1

2

−��

��

∆�

�⃗ = �̇. ∆�

∆� = �� − ��

• Similarmente, no mesmo intervalo de tempo dt, a massa de

fluido que atravessa a seção (2) com velocidade �� será dm2, provocando uma variação na quantidade de movimento entre

(1) e (2), de ���. ��

(1)

(1’)

(2) (2’)

dt

A1

A2

dm1

dm2

��

�� 1

2

−��

��

∆�

�⃗ = �̇. ∆�

∆� = �� − ��

• Logicamente, para o intervalo de tempo dt, a variação total da quantidade de movimento entre (1) e (2), é estimada por

���. �� − ���. ��

(1)

(1’)

(2) (2’)

dt

A1

A2

dm1

dm2

��

�� 1

2

−��

��

∆�

�⃗ = �̇. ∆�

∆� = �� − ��

“Variação” não é a soma dos vetores, e sim a diferença!

• Deste modo, a força resultante desta variação na quantidade de movimento é expressa por

�⃗ =���. ����

−���. ����

(1)

(1’)

(2) (2’)

dt

A1

A2

dm1

dm2

��

�� 1

2

−��

��

∆�

�⃗ = �̇. ∆�

∆� = �� − ��

�̇� =���

���̇� =

���

��Então

�⃗ = �̇�. �� − �̇�. ��

(1)

(1’)

(2) (2’)

dt

A1

A2

dm1

dm2

��

�� 1

2

−��

��

∆�

�⃗ = �̇. ∆�

∆� = �� − ��

Mas neste estudo, o regime de escoamento é permanente, ou seja, �̇� = �̇� = �̇

Deste modo,

�⃗ = �̇�. �� − �̇�. �� = �̇. �� − ��

ou

�⃗ = �̇. ∆�

(1)

(1’)

(2) (2’)

dt

A1

A2

dm1

dm2

��

�� 1

2

−��

��

∆�

�⃗ = �̇. ∆�

∆� = �� − ��

A força resultante

tem a direção de ∆�

O ponto de aplicação da resultante é a intersecção das

direções de �� e ��.

Força que o fluido exerce sobre a tubulação

• O fluido entre (1) e (2) está sujeito a forças de contato normais (de pressão), tangenciais (tensões de cisalhamento) e à força de campo causada pelo campo gravitacional (força peso):

�⃗ = �′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗

Forças de pressão

Força pesoForças tangenciais

Forças externas ao VC (somente fluido) que são exercidas sobre o mesmo.

Convenção das normais: Os vetores são normais (perpendiculares) à superfície do volume de controle (VC), positivos ao “sair” do volume de controle, e negativos ao “entrar” no VC.

• O fluido a jusante e montante da seção entre (1) e (2) exerce pressões contra o tubo de corrente na seção. As forças são, em módulo, p1A1 e p2A2. Como são forças aplicadas contra o volume de controle estas recebem sinal negativo pela convenção das normais.

• Vetor força de pressão (jusante): −��. ��. ��• Vetor força de pressão (montante): −��. ��. ��

montante

jusante

Convenção das normais: Os vetores são normais (perpendiculares) à superfície do volume de controle (VC), positivos ao “sair” do volume de controle, e negativos ao “entrar” no VC.

• Na lateral, o tubo de corrente sofre pressões e tensões de cisalhamento no contato com o meio. Seja uma parcela da superfície de contato lateral, um elemento denominado aqui de dAlat. A resultante das forças de pressão e de cisalhamento neste elemento podem ser expressas como

��′� = −����. �����. ���� + �⃗. �����

montante

jusante

��′� = −����. �����. ���� + �⃗. �����• Integrando, é obtida a força resultante na superfície lateral

que envolve o tubo de corrente:

�′� = �−����. �����. ���� + � �⃗. �����

montante

jusante

• A força resultante �⃗ que age sobre o tubo de corrente pode então ser expressa da seguinte forma:

�⃗ = �′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗

(2)

A2

(1)

��

−��. ��. ��

��

−��. ��. ��

�⃗A1

�′�

• Entretanto, sabe-se que as forças que agem sobre o tubo de corrente (VC) tem de ser iguais às forças que o tubo de corrente exerce sobre o meio, portanto:

�⃗ = �′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗ = �̇. ∆�

(2)

A2

(1)

��

−��. ��. ��

��

−��. ��. ��

�⃗A1

�′�

A força �′� representa a força resultante da superfície sólida sobre o fluido.

Meio contra o VC

VC contra o meio

�′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗ = �̇. ∆�

�′� = ��. ��. �� + ��. ��. �� − �⃗ + �̇. ∆�

ou

�′� = ��. ��. �� + ��. ��. �� − �⃗ + �̇. �� − ��

(2)

A2

(1)

��

−��. ��. ��

��

−��. ��. ��

�⃗A1

�′�

A força �′� representa a força resultante da superfície sólida sobre o fluido.

• Assim, pelo princípio da ação e reação, a força �⃗� que o fluido

exerce na superfície sólida será �⃗� = −�′� :

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��

(2)

A2

(1)

��

−��. ��. ��

��

−��. ��. ��

�⃗A1

�′�

Para simplificar a resolução de problemas, normalmente o peso do fluido é desprezado por representar uma fração ínfima das forças envolvidas, mas nem sempre isto é possível.

Aplicação 1 Conduto com Redução Gradual da Seção

• Para o trecho (1)-(2) tem-se

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��

Projetando na direção do eixo x :

�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. +1 − �̇. �� − ��

�� ��

�� ��

����

(1)(2)

O peso será desprezado!

x

y

�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. +1 − �̇. �� − ��

• Empregando vazão volumétrica no lugar de vazão mássica:

�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. +1 − �. �̇. �� − ��

�⃗�� = ��. �� − ��. �� − �. �̇. �� − ��

�� ��

�� ��

����

(1)(2)

O peso será desprezado!

x

y

Exemplo 1• Seja um fluxo através do redutor abaixo representado, em um

sistema de bombeamento de gasolina. Determine a força horizontal necessária para fixa-lo. Considere o peso do redutor como 25 kgf, e o seu volume interno, 0,2 m3.

�� ��

�� ��

����

(1)(2)

O peso do fluido e do redutor são desprezados neste exemplo.

x

y

Exercício 4.67 Fox McDonald 5ª ed. ou 4.92 na 8ª ed.

D1 = 0,4 mV1 = 3 m/sp1 = 58,7 kPa (manom.)

D2 = 0,2 mV2 = 12 m/sp2 = 109 kPa (absol.)

gas 0,75 g/ml g = 9,81 m/s2

�⃗�� = ��. �� − ��. �� − �. �̇. �� − ��

�̇ = ��. �� = ��. ��

�̇ = ��.�.��

�= 3 ×

��,��

�= 0,37699m3/s

�� ��

�� ��

����

(1)(2)

x

y

= 1 = 2

gas 0,75 g/ml = 750 kg/m3

A pressão atmosférica atua externamente, por isto utiliza-se a pressão manométrica nos cálculos.

�̇ = 0,37699 m3/s

� ≈ 750 kg/m3

�� = 58700 Pa

�� = 109000 − 101325 = 7675 Pa

�⃗�� = 58700 ×� × 0,4�

4 − 7678 ×

� × 0,2�

4− 750 × 0,377 × 12 − 3

�⃗�� = 4590,57� ≈ 4,59��

�� ��

�� ��

����

(1)(2)

x

y

A força Fsx é a força resultante do escoamento sobre o redutor. A força para fixar o redutor deve ter o mesmo módulo, mas aplicada em sentido contrário, no eixo x.

�� = −4,59��

��

� ≈ 750 kg/m3

� = 9,81m/s2

���� = 25 kg

∀���= 0,2m3

�⃗�� = −� × ∀ × � −���� × � = −750 × 0,2 × 9,81 − 25 × 9,81

�⃗�� = −1716,75� ≈ −1,72��

�� ��

�� ��

����

(1)(2)

x

y

�� = +1, 72��

��

A força Fsy é a força resultante do peso do redutor e do fluido sobre a estrutura de suporte. A força vertical para fixar o redutor portanto deve ter o mesmo módulo, mas aplicada em sentido contrário, no eixo y.

Aplicação 2 Redução da Seção e Mudança de Direção

• Da aplicação anterior, sabemos que

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��

• Projetando no eixo x :

�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. ���� − �̇. ��. ���� − ��

�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����

���

• Projetando no eixo y :

�⃗�� = − ��. ��. ���90° − ��. ��. ���� + �⃗ − �̇. ��. ���� − ��. ���90°

�⃗�� = −��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗

���

�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����

�⃗�� = −��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗

• Deste modo, a força resultante pode ser estimada como sendo:

�⃗� = �⃗��� + �⃗��

��

Exemplo 2

• Seja o redutor em curva mostrado abaixo. Estime os componentes nos eixos x e y da força necessária para manter imóvel o redutor. Fluido: água.

Massa do redutor, M = 10 kg

Volume interno, = 0,006 m3

Exercício 4.69 Fox McDonald 5ª ed. ou 4.89 na 8ª ed.

x

y

�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����

�⃗�� = ��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗

�⃗� = �⃗��� + �⃗��

Volume interno,

x

y��

�� ��

��

��

��

�̇

Massa do redutor, M = 10 kg

Volume interno, = 0,006 m3

�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����

x

y

�̇ = �. �̇ = 998 × 0,11 = 109,78��/�

�� =�̇

��=

0,11

0,0182= 6,044�/� �� =

�̇

��=

0,11

0,0081= 13,58�/�

�� = 200000 − 101325 = 98675���� = 120000 − 101325 = 18675��

Massa do redutor, M = 10 kg

Volume interno, = 0,006 m3

�⃗�� =

98675 × 0,0182 − 18675 × 0,0081. ��� 30°

+109,78 × 6,044 − 13,58 × ��� 30°

�⃗�� = 1795,085 − 131,001 − 627,571 = 1036,513� ≈ 1,04��

�� = −�⃗�� = −1036,513� ≈ −1,04��

x

y

�̇ = 109,78��/�

�� = 6,044�/�

�� = 13,58�/��� = 98675��(���)

�� = 18675��(���)

Massa do redutor, M = 10 kg

Volume interno, = 0,006 m3

�⃗�� = −��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗

�⃗�� = −18675 × 0,0081 × ��� −30° − 109,78 × 13,58 × ��� −30° + �⃗

�⃗�� = +821,040� + �⃗

x

y

�̇ = 109,78��/�

�� = 6,044�/�

�� = 13,58�/��� = 98675��(���)

�� = 18675��(���)

Massa do redutor, M = 10 kg

Volume interno, = 0,006 m3

�⃗ = −�.���� − �. �. ∀���

�⃗�� = 821,040 − 9,81 × 10 − 9,81 × 998 × 0,006 = +664,198�

�� = −�⃗�� = −664,198�

�� = ��� + ��

� = 1231,064� ≈ 1,23��

x

y

�̇ = 109,78��/�

�� = 6,044�/�

�� = 13,58�/��� = 98675��(���)

�� = 18675��(���)

Aplicação 3 Desvio de Jato Fixo

• A figura representa um desviador de jato, um caso que tem aplicação no estudo de pás de turbina, por exemplo.

• O fluido lançado contra o desviador sofre uma deflexão provocada por este.

• Observa-se que parte da força Fs é produzida no contato do fluido com o ar, mas isto normalmente é desprezado.

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��

• Como o jato em (1) a (2) é livre à pressão atmosférica, então p1 e p2 são nulos:

�⃗� = �⃗ − �̇ �� − ��

�⃗� = �⃗ − �̇ �� − ��

• Projetando segundo o eixo x :

�⃗�� = −�̇ ��. ���� − �� = �̇ �� − ��. ����

• Projetando segundo o eixo y :

�⃗�� = �⃗ − �̇ ��. ���� − 0 = �⃗ − �̇. ��. ����

• Para simplificar, normalmente o atrito do fluido contra a superfície é desprezado, de modo que V1 = V2 = Vj (velocidade do jato). Deste modo:

�⃗�� = �̇ �� − ��. ���� = �̇. �� 1 − ����

�⃗�� = �⃗ − �̇. ��. ���� = �⃗ − �̇. ��. ����

Aplicação 4 Jato em Placa Plana

• Considerando que o jato se espalha uniformemente em todas as direções ao atingir a placa, a velocidade V2 não terá componente no eixo x.

• Além disso, como o escoamento ocorre em pressão atmosférica, p1 = p2 = 0.

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��

• Projetando segundo o eixo x :

�⃗�� = −�̇. ��

�� ��

��

��

(1)

(2)

Forças em Superfícies Sólidas em Movimento

• Em muitas situações, deseja-se determinar a forças envolvidas em escoamentos contra superfícies móveis.

• Com o objetivo de simplificar o equacionamento, serão vistas aqui somente superfícies que se movimentam a velocidade constante, pois caso contrário seria necessário considerar as forças de inércia devido às acelerações.

�� = �� + ��

• A vazão mássica lançada pelo bocal é �̇ = �. ��. ��, mas a

superfície sólida, em movimento, não recebe exatamente esta vazão, e sim

�̇�� = �. �� − �� . �� = �. ��. ��

��

�� = ��

Desprezando atrito do fluido com a superfície do desviador:

Vazão mássica aparente

�̇�� = �. �� − �� . �� = �. ��. ��

• Assim, para o caso de movimento relativo,

�⃗� = �̇��. �� − ��

• Na forma geral:

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� − �̇��. �� − ��

��Atenção

�� = ��

�� ≠ ��

Exemplo 3

• Um desviador de jato se move a uma velocidade de 9 m/s. Um bocal de 5 cm de diâmetro lança um jato de óleo com uma velocidade de 15 m/s, tal que o mesmo incide sobre o desviador. O ângulo de saída é de 60 e o peso específico do óleo é de 8.000 N/m3. Calcular a força do jato sobre o desviador.

Exemplo resolvido Brunetti 1ª ed. pag. 128

Resposta: 56,5 N

Exemplo 4

• Um bocal, de área de 0,05 m2, lança um jato de água com velocidade de 15 m/s sobre um desviador de jato estacionário. O ângulo de saída é de 50. Determine a massa M necessária para manter estacionário o desviador de jato.

Resposta: M = 409 kg

Exercício 4.49 Fox McDonald 5ª ed. ou 4.66 na 8ª ed.

Exemplo 5

• Determinar a potência transmitida por um jato de água a uma turbina de ação tipo Pelton. Determinar também o rendimento da transmissão de potência.

Exemplo resolvido Brunetti 1ª ed. pag. 129

• O corte A-A corresponde a um desviador de jato com ângulo de saída .

��2

��

x

y ��

• Tratando-se de uma única pá, a solução seria

�⃗�2=�̇��

2. �� − �� ⇒ �⃗� = �̇��. �� − ��

• Projetando no eixo x:

��� = �̇��. �� − ��. cos �

��

2

��

x

y ��

��

�� = ��

��� = �̇��. �� − ��. cos �

• Supondo V1 = V2 = V = Vj – Vs, onde Vs = .R, tem-se

��� = �̇��. ��. 1 − cos � = �̇��. �� − �� . 1 − cos �

��

2

��

x

y ��

��

�� = ��

• No caso da turbina, existe um grande número de pás operando em uma velocidade angular relativamente alta.

• Deste modo, pode-se admitir sem perda significativa de precisão, que sempre é encontrada uma pá na posição acima representada, durante todo o tempo de operação.

��

2

��

x

y ��

��

�� = ��

• Se sempre é encontrada uma pá na posição acima representada, durante todo o tempo de operação, então pode ser admitido que toda a vazão do jato é aproveitada para a transmissão de potência.

• Em outras palavras, neste caso pode-se usar a vazão real ao invés da vazão aparente.

��

2

��

x

y ��

��

�� = ��

• Assim:

��� = �̇��. �� − �� . 1 − cos �

��� = �̇. �� − �� . 1 − cos �

��� = �. ��. ��. �� − �� . 1 − cos �

��

2

��

x

y ��

��

�� = ��

Considerando�̇�� ≈ �̇

• Potência N é definida como � = ���. �� , de modo que

� = �. ��. ��. �� − �� . 1 − cos � . ��

• O rendimento da turbina é obtida através da comparação entre a potência da turbina com a potência do jato. Como a potência do jato é

�� =�. ��. ��

2• então

� =�

��=�. ��. ��. �� − �� . 1 − cos � . ��

�. ��. ���

2

� =2. �� − �� . 1 − cos � . ��

���

• O rendimento máximo em função da velocidade Vs (na verdade, em função da velocidade angular da turbina) pode ser estimado derivando-se em função de Vs e igualando a zero:

��

���= 0

• Rendimento:

� =2. �� − �� . 1 − cos � . ��

���

• Sendo

� =2. 1 − cos �

��� �� = ��

���. �. � = �. ��

��−�. �� = −2. �. �

���. �. � − �. �. �� = �. � − 2. �. �

• Sendo

� =2. 1 − cos �

��� �� = ��

• Então

��

���=2. 1 − ���� . ��

��� −

4. 1 − ���� . ��

���

• Igualando a zero:

2. 1 − ���� . ��

��� −

4. 1 − ���� . ��

��� = 0

• Simplificando:

2. 1 − ���� . �� − 4. 1 − ���� . �� = 0

�� − 2. �� = 0

• Finalmente:

�� =��

2

• Substituindo na equação do rendimento:

���� =2. �� −

��2 . 1 − cos � .

��2

���

���� =2. 1 −

12. 1 − cos � .

12

1=

1 − cos �

2

• Desta forma, vemos que o ângulo de saída ideal seria de 180(cos180 = 1, e então o rendimento alcançaria o valor de 0,5, o maior possível segundo a equação de rendimento máximo).

• Entretanto, isto não é possível, pois o jato retornaria sobre si mesmo, incidindo sobre a pá seguinte. Na prática, o ângulo adotado é um pouco menor que 180.

Exemplo 6

• Determinar a força de propulsão de um foguete, supondo a pressão de saída dos gases igual à do ambiente.

Exemplo resolvido Brunetti 1ª ed. pag. 132

Vs

x

As Ps

�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��

• A pressão de saída dos gases (p2), sendo igual à do ambiente,é considerada como nula.

• Não há pressão ou velocidade de entrada (p1 e V1) , portanto

�⃗� = +�⃗ − �̇. ��ou

�� = � − �. ��. ���

Bibliografia

Franco Brunetti

Mecânica dos Fluidos; 1ª ed., Editora Pearson, Prentice Hall, 2005.

ISBN 85.87918-99-0

Bibliografia

Robert W. Fox, Alan T. McDonald

Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada.

ISBN-10: 8521610785

ISBN-13: 978-8521610786