NEDER DO CARMO PEREIRA HABIB

ABORDAGEM E ATIVIDADES PARA A CNICA

HIPRBOLE

LAVRAS - MG

2013

NEDER DO CARMO PEREIRA HABIB

ABORDAGEM E ATIVIDADES PARA A CNICA HIPRBOLE

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Federal de Lavras, como partedas exigncias do Programa de Ps-GraduaoProfissional em Matemtica, rea de concentra-o em Matemtica, para a obteno do ttulode Mestre.

Orientador

Dr. Agnaldo Jos Ferrari

LAVRAS - MG

2013

Habib, Neder do Carmo Pereira. Abordagem e atividades para a cnica hiprbole / Neder do

Carmo Pereira Habib. Lavras : UFLA, 2013.

88 p. : il.

Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Lavras, 2013.

Orientador: Agnaldo Jos Ferrari. Mestrado Profissional em Matemtica.

Bibliografia.

1. Foco. 2. Cone. 3. Material concreto. 4. Ensino de cnicas. I. Universidade Federal de Lavras. II. Ttulo.

CDD 373.133

Ficha Catalogrfica Elaborada pela Diviso de Processos Tcnicos da

Biblioteca da UFLA

NEDER DO CARMO PEREIRA HABIB

ABORDAGEM E ATIVIDADES PARA A CNICA HIPRBOLE

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Federal de Lavras, como partedas exigncias do Programa de Ps-GraduaoProfissional em Matemtica, rea de concentra-o em Matemtica, para a obteno do ttulode Mestre.

APROVADO em 13 de maro de 2013.

Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa UFLA

Dra. Grasiele Cristiane Jorge UNICAMP

Dr. Agnaldo Jos FerrariOrientador

LAVRAS - MG

2013

AGRADECIMENTOS

Universidade Federal de Lavras (UFLA) e ao Departamento de Cincias

Exatas (DEX), pela oportunidade concedida para realizao do curso;

Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CA-

PES), pela concesso da bolsa de estudos;

Aos professores, pelos ensinamentos e pacincia;

Aos colegas, pelo companheirismo, em especial s colegas Adriana e Gi-

sele e aos colegas de viajem Daniel, Rodnei, Emilio, Rosan, Lessa, pelas ajudas e

grande pacincia.

amiga Isabella pela fora na reta final.

RESUMO

As cnicas so utilizadas atualmente em astronomia, engenharia, arquite-tura, fsica e em vrias outras reas. Porm, o estudo das cnicas fica restringidoao Ensino Mdio, e na maioria dos casos, nem no Ensino Mdio trabalhado. Emmuitos livros didticos encontrados nas escolas, o ensino das cnicas se restringea memorizao de frmulas sem o entendimento das propriedades e conceitos portrs delas. Apolnio foi o primeiro a se aprofundar no estudo das cnicas. Keplerestabeleceu que as rbitas dos planetas fossem elpticas, e desde ento o uso daelipse ganhou importncia na astronomia. Ela tambm utilizada para construode alguns tipos de refletores e nas cmaras de sussurros, que utilizam suas propri-edades de reflexo nos focos. No mtodo de navegao LORAN (long-range navi-gation) e na descrio da trajetria de uma partcula-alfa sujeita ao campo eltricogerado por um ncleo atmico, utilizado o conceito de hiprbole. Na fabricaode antenas parablicas, faris de automveis, refletores, entre outros, utilizado oconceito de parbola. Sugerimos que para o ensino de cnicas deve-se dar enfasea visualizao, utilizando material concreto e da partir para as definies. Paraisso foram apresentadas algumas atividades interessantes para se trabalhar na salade aula. No Captulo 5 foi apresentado uma parte sobre transformaes de coor-denadas mais voltada para cursos de graduao. Deseja-se com isso levar o alunodo Ensino Mdio a se interessar e entender as cnicas.

Palavras-chave: Foco. Cone. Material concreto.

ABSTRACT

Conics are currently used in astronomy, engineering, architecture, physicsand many other areas. However, the study of conics is restricted to high schooland, in most cases, not even then. Conics are taught, in many textbooks, only bymemorizing formulas, without understanding the properties and concepts behindthem. Apollonius was the first to deepen in the study of conics. Kepler esta-blished that the planets orbits were elliptical and, since then, ellipses have gainedimportance in astronomy. It is also used in the construction of reflectors and whis-pering chambers, which use its properties of reflection in the focus. The hyperbolemethod is used in the LORAN navigation method (long-range navigation) and inthe description of an alpha-particle subject to an electrical field generated by anatomic nucleus. The parabola is used in the fabrication of satellite dishes, headlights, reflectors, among others. The parabolas are models of various types of mo-vements and are vastly used in physics. We suggest that conics must be taught ina manner of easer visualization using concrete material and, after this, teach thedefinitions. In order to do this, we bring some interesting activities to work with inthe classroom. We also bring, in chapter 5, a portion on coordinate transformationsfocusing on graduate courses. With this we aim at leading the high school studentto be interested in and understand conics.

Key-words: Focus. Cone. Concrete Material.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 As cnicas como cortes do cone duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 2 A hiprbole e alguns de seus pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 3 Pontos iniciais marcados na atividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 4 Hiprbole traada com o auxlio de colagens de barbante . . . . . . . . . . .32

Figura 5 Pontos iniciais marcados na atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 6 Hiprbole traada com rgua graduada e compasso . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 7 A rgua furada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Figura 8 Como usar a rgua furada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 9 Momento inicial do trao com a rgua furada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 10 Pedao de barbante junto rgua furada durante o trao da curva . . . 38

Figura 11 Hiprboles desenhadas com rgua furada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 12 Construo auxiliar para o trao da hiprbole no Z.u.L . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 13 Construo utilizada no Z.u.L para obteno da hiprbole - 1 . . . . . . . 42

Figura 14 Construo utilizada no Z.u.L para obteno da hiprbole - 2 . . . . . . . 43

Figura 15 Ponto da hiprbole iniciando passeio pelo ramo da direita . . . . . . . . 45

Figura 16 O ponto se deslocou um pouco para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 17 Malha quadriculada do Z.u.L e ponto da hiprbole mais acima . . . . . . 46

Figura 18 Hiprbole obtida variando-se o tamanho do raio e a posio do foco .46

Figura 19 Mesa de bilhar com borda hiperblica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 20 Propriedade de reflexo da hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 21 Mesa de bilhar com borda hiperblica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 22 Telescpio espacial Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 23 Catedral de Braslia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 24 Parede seccionando cones de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 25 Hiprbole num grfico de presso x volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 26 Hiprboles so usadas por radares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 27 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 28 Pontos em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 29 Alguns pontos marcados em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 30 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 31 Elipse em coordenada cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Figura 32 Parbola em coordenada cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 33 Hiprbole em coordenada cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 34 Equao polar das cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 35 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Figura 36 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Figura 37 Esboo rudimentar da hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 38 Translao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 39 Rotao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 40 Eixos com rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 41 Rotao de eixos da hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 42 Rotao de eixos na hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ANEXO

Figura 1 Grficos de hiprboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Figura 2 Grficos de hiprboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Figura 3 Grficos de hiprboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Figura 4 Grficos de hiprboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 5 Grficos de hiprboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 6 Grficos de hiprboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

SUMRIO

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 FUNDAMENTAO HISTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 HIPRBOLE, DEFINIES E ABORDAGEM USUAL . . . . . . . . . . 19

3.1 Anlise de livros didticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Fundamentos de Matemtica Elementar de Gelson Iezzi e outros 20

3.1.2 Matemtica: Ensino Mdio, de Ktia S. Smole e Maria I. Diniz . . 21

3.1.3 Matemtica: cincias e aplicaes, de Gelson Iezzi e outros . . . . . . 22

3.1.4 Matemtica completa, de Jos R. Giovanni e Jos R. Bonjorno . . 22

3.2 A abordagem dos livros didticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Observaes ps anlise dos livros didticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 PROPOSTAS DE ABORDAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1 Atividades sobre o tema hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Encontrando pontos da hiprbole com barbante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.2 Encontrando pontos da hiprbole com rgua graduada e compasso 33

4.1.3 Desenhando hiprboles com a rgua furada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.4 Hiprboles no computador com o software Z.u.L . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.1.5 Sinuca com borda em formato de hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Cnicas em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.2 Cnicas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 TRANSFORMAES DE COORDENADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1 Translao de eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Rotao dos eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 A equao geral do 2o grau em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Rotao de eixos usando a lgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

ANEXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10

1 INTRODUO

Os professores da atualidade tm um grande desafio, que o de ensinar

a matemtica em um mundo dominado pela alta tecnologia. Portanto, devemos

modificar as nossas aes e tcnicas para que possamos ensinar matemtica de

forma que ela fique mais interessante para os alunos.

As cnicas so curvas especiais em que se podem destacar a elipse, a pa-

rbola e a hiprbole. Elas foram estudadas a fundo no sculo III pelo matemtico

grego Apolnio. Atualmente elas so aplicadas na geometria, astronomia, por

meio do dos movimentos elpticos dos planetas, na fsica, na ptica, por meio de

telescpios espaciais, na engenharia, na arquitetura e nas novas tecnologias, por

meio de antenas parablicas ou hiperblicas.

No ensino bsico as cnicas s aparecem no terceiro ano do Ensino M-

dio, mas muitas vezes nem so trabalhadas pelos professores. Quando ensinado,

muitas vezes o contedo restringido a um amontoado de frmulas que na mai-

oria das vezes decorado pelo aluno e raramente entendido. Muitas das vezes

as cnicas so trabalhadas somente com centro na origem, esquecendo assim das

cnicas com centros em outros pontos e que as cnicas tambm podem estar rota-

cionadas. As elipses e as hiprboles so trabalhadas por meio dos parmetros a, b

e c e as parbolas do parmetro p. No ensino superior elas voltam a ser estudadas

em clculo, para a construo de superfcies no espao, em geometria analtica,

com enfoque nas equaes analticas e lgebra linear, onde feita uma ligao

delas com vetores e matrizes.

Objetiva-se com este estudo despertar o gosto pela matemtica, tornando-

a real e mais simples para os alunos, utilizando materiais concretos e de interesse

dos mesmos. Quer-se com isso explorar as cnicas e suas aplicaes partindo de

materiais concretos e chegando s suas equaes, ento foi elaborado um material

didtico que pode oferecer alternativas para professores de matemtica da educa-

o bsica, podendo se estender at a graduao.

Este trabalho foi dividido em trs partes, uma das quais, tratada neste tra-

balho, composta pelas hiprboles e mais dois outros trabalhos so desenvolvidos

conjuntamente. As parbolas so tratadas por Gisele Polyana Rodrigues Pereira

11

e as elpses por Adriana de Sousa Sabino Melo. Os trs trabalhos tm algumas

partes comuns, que sero citadas abaixo.

O segundo captulo traz um histrico das cnicas comum aos trs traba-

lhos.

O terceiro traz como as cnicas so comumente trabalhadas no Ensino

Mdio. Essa parte individual e cada trabalho traz somente a cnica especfica.

O quarto captulo comea com propostas de abordagens e atividades con-

textualizadas para o ensino de cada cnica, que individual para cada trabalho. No

fim do captulo mostramos um pouco sobre coordenadas polares, parte esta que

comum aos trs trabalhos.

O quinto captulo, comum aos trs trabalhos, vem com a parte de trans-

formaes de coordenadas usando a geometria analtica e a lgebra linear. Este

captulo destinado aos cursos de graduao, j que os alunos do Ensino Mdio

no tm pr-requisitos para esse captulo.

Em anexo segue um banco de questes como material para professores na

elaborao de suas aulas.

12

2 FUNDAMENTAO HISTRICA

Neste captulo ser feito um relato da histria das cnicas por meio dos

sculos mostrando o desenvolvimento do estudo das mesmas.

Egpcios e babilnios, h mais de 3000 anos, utilizavam a geometria nas

regies inundveis dos vales do Nilo, Tigre e Eufrates, na demarcao das terras

a fim de organizar o plantio e facilitar a cobrana de impostos. Durante o perodo

Helnico (400 a.C. - 476 d.C), Alexandre Magno construiu Alexandria em 331

a.C., que em pouco tempo transformou-se no centro mais suntuoso e cosmopolita

do mundo. Depois da morte de Alexandre, o imprio se dividiu em trs imprios.

Ptolomeu ficou com o governo do Egito, escolheu Alexandria como sua capital e

l construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber, cabendo

a Euclides o Departamento de Matemtica. Apolnio, que foi um dos maiores

estudiosos das cnicas, nasceu em Perga e estudou em Alexandria onde ficou por

um bom tempo (RODRIGUES FILHO, 2007).

Para Youssef (2005), Menaecmus, astrnomo e gemetra grego foi o pri-

meiro a utilizar duas curvas: a parbola e a hiprbole. No sculo IV a.C., ele

solucionou o problema da duplicao do cubo que consistia em encontrar um

cubo cujo seu volume fosse igual a dois, utilizando-se dessas duas curvas. Conse-

quentemente, a elipse surgiu mais tarde quando se seccionou uma superfcie cnica

perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o nome seces cnicas.

Segundo Lopes (2011), para alguns historiadores a origem do estudo das

cnicas no muito clara, mas tudo leva a crer que elas originaram-se no problema

da duplicao do cubo.

Hipcrates de Chios (470 - 410 a.C.) mostrou queesse problema (a duplicao do cubo) se reduzia emencontrar curvas com propriedades expressas na pro-poro contnua entre dois segmentos. Esse processoconsistia em determinar mdias proporcionais entreduas grandezas dadas, ou seja, dados os segmentos ae b, encontrar dois outros x e y tais que a

x= x

y= y

b.

13

Hipcrates afirmou que para b = 2a, a proporo con-tnua traduzia a soluo do problema da duplicaodo cubo, pois isolando e eliminando y, conclui-seque x3 = 2a3. Isto equivale, na notao atual, re-solver simultaneamente quaisquer duas das trs equa-es x2 = ay; y2 = 2ax e xy = 2a2 que representamparbolas nos dois primeiros casos e hiprbole no ter-ceiro.Mas a descoberta dessas curvas se deu por Menaech-mus (380 - 320 a.C.) por volta de 360 ou 350 a.C..Ele construiu as curvas com essas propriedades alg-bricas e consequentemente mostrou que o ponto deinterseo delas daria as mdias proporcionais dese-jadas. A descoberta da elipse parece ter sido feitatambm por ele como um simples subproduto dessasua pesquisa(LOPES, 2011, p. 33-34).

Para Venturi (1949), foi Apolnio quem introduziu os nomes elipse e hi-

prbole. J a parbola, provavelmente, foi nomeada por Arquimedes.

As seces cnicas eram conhecidas havia cerca deum sculo e meio quando Apolnio escreveu seu c-lebre tratado sobre essas curvas. [...] O tratado so-bre Cnicas de Apolnio derrotou todos os Rivais nocampo das seces cnicas, inclusive As cnicas deEuclides (BOYER, 2010, p. 99).

De acordo com Boyer (2010), Apolnio foi o primeiro a mostrar que as

trs seces no eram obtidas necessariamente de trs cones diferentes, mas pode-

riam ser encontradas variando o ngulo de inclinao do plano da seco. Esse fato

foi relevante para identificar e relacionar os trs tipos de curvas. Apolnio tambm

provou que o cone pode ser oblquo ou escaleno, no precisando ser reto e que as

propriedades das curvas no se modificam de acordo com o cone de origem.

Ainda para Boyer (2010), Apolnio poderia ter partido de qualquer cone

e ter obtido as mesmas curvas, ou seja, qualquer seo plana de qualquer cone

poderia servir de curva base em sua definio.

Menaecmus afirmava que cada seco cnica era encontrada em um for-

mato diferente de cone. Assim, as cnicas eram tratadas de forma separada. So-

mente com Apolnio houve a unificao das mesmas (BORDALLO, 2011).

14

De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como

reto ou de revoluo (retngulo) quando o ngulo formado entre as geratrizes que

pertencem a um dado plano que passa pelo vrtice do cone e pelo centro da circun-

ferncia da base reto; obtusngulo, quando este ngulo obtuso e acutngulo,

quando agudo. Arquimedes deu nomes de Orthotome para parbola, que sur-

gia do cone retngulo, Oxythome para a elipse, que surgia do cone acutngulo e

Amblythome para a hiprbole que surgia do cone obtusngulo.

Segundo Youssef (2005), Apolnio de Perga (262 - 190 a.C.) escreveu

um importante documento sobre as cnicas. Neste documento, acrescentou aos

estudos de Menaecmus vrias proposies, mas de forma puramente geomtrica.

Pode-se destacar uma proposio sobre a posio do plano secante em relao ao

eixo de rotao ou geratriz de uma superfcie cnica de revoluo.

Para Boyer (2010), o cone de duas folhas surgiu quando Apolnio fez uma

reta de comprimento indefinido que passava por um ponto fixo mover-se sobre uma

circunferncia de um crculo que no coplanar ao ponto de origem, passando por

todos os pontos dessa circunferncia, a reta mvel dar origem superfcie de um

cone duplo. Com isso surge o segundo ramo da hiprbole.

Apolnio foi o autor que mais contribuiu para o estudo das cnicas. Ele

escreveu oito livros, dos quais os quatro primeiros apresentam resultados de outros

matemticos anteriores e os quatro ltimos apresentam resultados desenvolvidos

por ele mesmo. Apolnio o primeiro a unificar as seces cnicas e afirmar que

elas poderiam ser obtidas a partir de um nico cone. Ele tambm duplicou o cone

e da a hiprbole passa a ter duas folhas (QUARANTA, 2008).

Segundo Bordallo (2011), Pappus fez um comentrio sobre todos os ma-

temticos gregos de seu tempo em sua obra Coleo Matemtica. Ele contribuiu

para o estudo das cnicas com seus resultados sobre foco, diretriz e excentricidade.

E de acordo com a variao da excentricidade ele define cada curva.

Boyer (2010, p. 101) afirma as cnicas eram conhecidas como lugares

slidos, pois as cnicas no eram definidas como sees planas, mas sees de

figuras tridimensionais. Apolnio usava o cone para obter as cnicas, mas o dis-

pensou logo que possvel. A partir do cone ele desenvolveu uma propriedade plana

15

fundamental (symptome) para a seco e a partir da iniciou um estudo somente no

plano, baseado nessa propriedade.

Seja ABC uma seco triangular de um cone circularoblquo (Fig.9.3) e seja P qualquer ponto sobre umaseco HPK cortando todos os elementos do cone.Prolongue HK at encontrar BC em G e por P passa-se um plano horizontal que corta o cone no crculoDPE e o plano HPK na reta PM. Trace-se DME,um dimetro do crculo perpendicular a PM. En-to a semelhana dos tringulos MEK e KCG tem-seMEMK

= CGKG

. Agora, da propriedade do crculo tem-sePM2 = DM.ME; logo PM2 = (HM.BG

HG)(MK.CG

KG). Se

PM = y, HM = x e HK = 2a, a propriedade na sen-tena precedente equivale equao y2 = kx.(2ax),que reconhecemosmo a equao de uma elipse comH como vrtice e HK como eixo maior. De modosemelhante, Apolnio obteve para a hiprbole o equi-valente da equao y2 = kx(x+2a). Essas formas sofacilmente redutveis s formas de nome acima, bas-tando tomar k = b

2

a2 e l =2b2a

. Depois de Apolnio terobtido de um estudo esteriomtrico do cone a relaobsica entre o que chamaramos hoje as coordenadasplanas um ponto da curva - dadas pelas trs equaesy2 = lx b2x2

a2, y2 = 1x e y2 = lx + b

2x2

a2obteve ou-

tras propriedades a partir das equaes no plano, semmais referncia ao cone. Em particular, Apolnio co-nhecia as propriedades da hiprbole referida s assn-totas como eixos, dadas para a hiprbole equiltera,pela equao xy = c2. No podia saber, claro, queum dia essa relao, equivalente lei de Boyle, seriafundamental no estudo dos gases, ou que seu estudo

16

da elipse seria essencial para a moderna astronomia(BOYER, 2010, p. 101-102).

Figura 9.3 Cortes no cone

Ainda para Boyer (2010), Apolnio provou que quando um ramo de uma

hiprbole intersecta os dois ramos de outra hiprbole, o outro ramo da primeira

hiprbole no intersectar nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, tambm

se uma hiprbole encontra uma segunda hiprbole com sua concavidade em sen-

tido oposto em um nico ponto, o outro ramo da primeira no encontrar o outro

ramo da segunda.

De acordo com Venturi (1949, p. 20), Kepler foi fortemente influenciado

pelo livro As Cnicas de Apolnio. Em 1609 ele mostra uma fundamental lei

da Astronomia: os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, com o

Sol ocupando um dos focos. Kepler tambm introduziu a palavra foco, que vem

do latim focus que significa fogo, lareira. O livro As Cnicas tambm traz outra

aplicao em que Galileu (1632) desprezando a resistncia do ar diz que a trajetria

de um projtil uma parbola.

Para Quaranta (2008), Kepler (1571 - 1630) tambm apresenta as cnicas

de forma unificada usando a hiprbole para medies do fenmeno de reflexo.

Ele tambm mostra pela primeira vez a parbola como limite de uma elipse ou

hiprbole. Na construo da parbola ele utiliza a mesma distncia dos pontos at

o foco e at a diretriz. Ele tambm afirma que a parbola tem o segundo foco no

infinito, que at ento no era utilizado na geometria.

Apolnio em As Cnicas no trata de aspectos que atualmente nos pa-

recem to fundamentais. Por exemplo, ela trata dos focos das cnicas apenas indi-

retamente e nem tinha nomes para os mesmos (BOYER, 2010).

17

Segundo Youssef (2005), Apolnio tambm investigou o movimento dos

planetas e baseado nos egpcios, acreditava que os planetas giravam em torno do

sol em rbitas circulares. Somente em 1609, Kepler conclui que os planetas giram

em rbitas elpticas. Apolnio nunca poderia imaginar que as cnicas estudadas

por ele seriam utilizadas 1800 anos depois para descrever as rbitas planetrias e

nem que belos projetos arquitetnicos teriam esses formatos.

Afirma Boyer (2010, p. 104) que Apolnio diz que o assunto um da-

queles que parecem dignos de estudos por si mesmos. Ele sequer imaginava que

futuramente seus estudos seriam importantes na dinmica terrestre e mecnica ce-

leste, e que eles possibilitariam a viagem de ida e volta lua.

No pensamento de Boyer (2010), os estudos de Apolnio eram to seme-

lhantes aos atuais que muitas vezes ele antecipa a Geometria Analtica de Descar-

tes. Seus mtodos no so diferentes do uso de sistemas de coordenadas. Nos es-

tudos gregos as equaes so determinadas pelas curvas, mas as curvas no eram

determinadas por equaes. Para os gregos, as equaes no eram suficientes,

eram necessrias construes.

Para Bordallo (2011), Fermat e Descartes, no sculo XVII criam separada-

mente a Geometria analtica, que mais utilizada atualmente. Com a chegada da

Geometria analtica surge uma nova opo, na qual alguns optaram por ela, outros

no, e ainda alguns utilizaram as duas concepes em conjunto. O estudo sinttico

das cnicas, sem a utilizao da Geometria analtica contribuiu para a Geometria

projetiva. A contribuio de Fermat s cnicas encontrada principalmente no

seu tratado Ad locos Planos et Solidos Isagoge, onde Fermat utilizou mudanas

de coordenadas para descobrir que tipo de lugar correspondia a uma equao de

primeira ou segunda ordem. Ele tambm mostrou que equao do segundo grau

corresponde a uma cnica, um par de retas ou uma reta contada duas vezes.

Segundo Quaranta (2008), Descartes inicia uma nova forma de classifica-

o das curvas por meio de equaes. Conhecendo as propriedades geomtricas

de uma curva, ele representava todos os pontos da mesma por meio de equaes.

A caracterizao bifocal, que permite as construes das cnicas, comea a ganhar

fora a partir do sculo XVI, com Kepler, Descartes e Van Schooten, que utilizam

construes mecnicas dessas curvas. Tambm por meio de retas, da geometria

18

projetiva e por meio de equaes analticas surgem outras caracterizaes. Para o

ensino das cnicas os mtodos mais utilizados so a caracterizao analtica e o

uso dos focos, alm da usual obtida por meio do cone.

De acordo com Venturi (1949), o marco zero da geometria analtica o

tratado de Fermat. Foi Fermat quem descobriu as equaes da reta, da circun-

ferncia e as equaes mais simples da elipse, da parbola e da hiprbole. Para

simplificar as equaes do 2o grau ele utilizava a rotao dos eixos. Ele tambm

descobriu que se a equao envolve trs incgnitas, ela no pode ser de um ponto

ou uma curva, mas sim de uma superfcie.

Segundo Bordallo (2011), Philippe de La Hire, no sculo XVII, tornou

a fragmentar as cnicas, dando o primeiro passo na direo ao tratamento pura-

mente focal que presente no ensino das cnicas atualmente, em seu livro Nou-

velle mthode en gometrie pour lessection setles superfcies coniques de 1673.

Ele comea o seu trabalho tratando cada curva separadamente, introduzindo as

propriedades caractersticas e sua definio focal. Dandelin, no sculo XIX, ten-

tou unificar as cnicas novamente, mostrando que as sees do cone que geram

cada cnica coincidem com a definio focal.

O estudo das curvas feito pelos gregos fica em posio desfavorvel em

relao flexibilidade e extenso do tratamento moderno. Os antigos no tinham

noo da utilizao dessas curvas no mundo que os cercava. Os inventores mo-

dernos da geometria analtica tinham sua disposio a lgebra da Renascena,

enquanto que Apolnio manejava a lgebra geomtrica trabalhando com o instru-

mento mais rigoroso e menos manejvel (BOYER, 2010).

As cnicas estudadas desde a antiguidade esto presentes, no mundo atual,

em vrios ramos do dia-a-dia. Apesar das vrias caracterizaes discutidas pelos

autores, mal sabiam seus inventores da importncia que elas teriam futuramente.

19

3 HIPRBOLE, DEFINIO E ABORDAGEM USUAL

Nem todos os professores de matemtica ensinam, orientam, trabalham da

mesma maneira os contedos/habilidades matemticas com seus alunos. Cada um

carrega consigo particularidades, traos pessoais. Mas, no tocante metodologia

de ensino e didtica, quem acompanha o cotidiano escolar, professores, pais ou

at mesmo os prprios alunos sabem que muitos dos professores, seguem uma

rotina pedaggica, s vezes chamada de cuspe e giz, onde as aulas so apenas

expositivas. So inmeras as razes que podem vir a justificar tal postura e tais

razes no vem ao caso.

Nas aulas expositivas de matemtica o livro didtico assumiu e ainda hoje

assume papel extremamente importante. Chagas (2004) corrobora tanto a presena

de aulas expositivas quanto a importncia do livro didtico nas aulas de matemtica

ao dizer que:

No raro encontrarmos, dentro do trabalho cotidi-ano das escolas, professores de matemtica ensinandoesta disciplina de forma rotineira, onde os conte-dos trabalhados so aqueles presentes no livro did-tico adotado e o mtodo de ensino se restringe a aulasexpositivas e a exerccios de fixao ou de aprendiza-gem (CHAGAS, 2004, p. 242).

Huete e Bravo (2006) vo alm de atestar, consideram muito negativa a

rotina no ensino de matemtica e a predominncia do livro didtico quando dizem

que

A ausncia, nos professores, de um slido conheci-mento terico leva-os a dirigir a tarefa escolar (deresoluo de situaes problemticas) de forma roti-neira, cujo nico objetivo chegar soluo esperada[...]. As situaes problemticas, as quais aparecemem algumas apostilas ou nos livros-texto seleciona-dos, distanciam-se consideravelmente de suas expe-rincias de seus interesses, deixando margem qual-quer resqucio de participao imaginativa que possaoriginar na aula (HUETE; BRAVO, 2006, p. 8).

20

Portanto razovel considerar que os livros textos determinam em grande

medida o currculo escolar e como o ensino/aprendizagem de matemtica efeti-

vamente ocorre nos dias atuais. Assim sendo uma anlise de livros didticos foi

realizada para investigao de como se d a abordagem usual das hiprboles nos

dias de hoje.

Foram selecionados para anlise de sua abordagem sobre as hiprboles

quatro livros didticos do Ensino Mdio. Dos quais trs so atuais e de autores

bastante adotados pelos professores e um uma verso antiga de um dos mesmos

autores. Foram observados na anlise os critrios de contextualizao, abordagem

matemtica, aplicaes, atividades concretas, quantidade e qualidade dos exerc-

cios.

3.1 Anlise de livros didticos

3.1.1 Fundamentos de Matemtica Elementar de Gelson Iezzi e outros

Trata-se do stimo volume de uma muito utilizada coleo, e publicado no

ano de 1979. O livro, j no incio do assunto Hiprbole, apresenta a definio da

curva em forma textual e em linguagem de conjuntos. Em seguida uma ilustra-

o de uma hiprbole que apresenta alguns pontos marcados e alguns segmentos

que representam as distncias dos pontos aos focos. Ou seja, em poucas linhas e

com uma gravura onde esto destacados apenas seis pontos da mesma definida e

apresentada ao estudante a cnica em questo.

Aps as poucas linhas de apresentao da curva, so listados os elementos

principais e, sem maiores explicaes, apresentada a relao notvel C2 =

a2+b2. Em seguida feita a deduo da frmula da hiprbole de centro na origem

e eixo real coincidindo com o eixo x, como o prprio autor cita no livro: a deduo

imediata. Analogamente so apresentadas, mas aqui sem o desenvolvimento

para se chegar frmula, as frmulas para hiprboles com centro na origem e eixo

real coincidindo com o eixo y e hiprboles com centro diferente da origem e eixos

reais paralelos aos eixos x e y. Alguns exemplos so apresentados, mas nenhum

exerccio resolvido ou situao contextualizada.

21

As sees seguintes, que abordam as cnicas conjuntamente, so da mesma

maneira isentas de contextualizao, totalmente abstratas. So elas: Reconheci-

mento de uma Cnica e Interseces de Cnicas.

A abordagem no apresenta contextualizao, puramente abstrata e al-

gortmica, no h aplicaes ou propostas de atividades concretas. Ao final da

seo existem sete exerccios de treinamento simples do que foi exposto no texto,

nenhum problema contextualizado.

3.1.2 Matemtica: Ensino Mdio, de Ktia S. Smole e Maria I. Diniz

O assunto hiprbole aparece no volume 3 da coleo seriada, publicada

em 2010. Na introduo do estudo das cnicas feito, assim como no livro citado

anteriormente, um breve apanhado histrico e as cnicas so apresentadas como

cortes do cone. E na verso do professor do livro existe logo no incio do captulo

sobre as cnicas uma indicao de Experimentos educacionais e um endereo

de pgina da internet onde so encontradas algumas atividades concretas, algumas

delas relacionadas s cnicas. Tambm apenas na verso do professor e no incio

do captulo sobre as cnicas existe um pequeno texto informativo sobre o assunto

ser de carter opcional, a ser desenvolvido caso o tempo permita ou o professor

deseje um aprofundamento no trato do aluno com a geometria analtica.

Na seo referente exclusivamente hiprbole existe um exemplo de visu-

alizao das hiprboles no dia a dia, que a figura de uma luminria em forma de

cone e do reflexo de luz em forma de hiprbole em uma parede vertical prxima

luminria.

No mais a abordagem do livro bem parecida com o livro anteriormente

descrito. Apresenta definio, breve explicao da definio, listagem de elemen-

tos da hiprbole, e uma tambm breve explicao de como obter as frmulas, mas,

aqui, apenas para as de hiprboles com centro na origem. E, diferentemente do

primeiro livro analisado, breve explicao sobre as assntotas da hiprbole, exerc-

cios resolvidos e nove exerccios de fixao dos conceitos da seo, mas entre eles

alguns exerccios onde o leitor deve raciocinar e explicar sobre a cnica. No fim

da seo desenvolvida a frmula de Uma hiprbole especial: y = 1x

.

22

Mais contextualizado que o primeiro, mas ainda assim pouco contextua-

lizado, exigindo um grau um pouco menor de abstrao do estudante em relao

ao primeiro livro, mas ainda assim um elevado grau de abstrao. Os livros pouco

diferem. Ponto positivo que merece destaque a indicao ao professor de um site

onde se encontram atividades concretas, a saber: www.uff.br/cdme.

3.1.3 Matemtica: cincias e aplicaes, de Gelson Iezzi e outros

Publicado em 2010, 31 anos aps a publicao do primeiro livro aqui ana-

lisado.

E pouqussimas so as mudanas no terceiro livro analisado em relao

ao primeiro. O assunto abordado na ordem definio, ilustrao que explica a

definio sucintamente, elementos principais, raciocnio algbrico para se obter as

frmulas. As poucas diferenas so: citar hiprbole equiltera e um tpico com

o ttulo Hiprboles e funes recprocas. As sees Reconhecimento de uma

Cnica e Interseces de Cnicas do primeiro livro analisado tambm aparecem

aqui e novamente de forma abstrata e sem contextualizao.

Em relao aos exerccios tambm no existem mudanas que merecem

nota, inclusive alguns dos exerccios so os mesmos do livro de 1979.

Outro livro pobre, no tratamento da hiprbole, no que se refere s ativida-

des concretas e contextualizao, de abordagem um tanto quanto mecanizada, sem

aplicaes, com poucos exerccios e sem exerccios contextualizados.

3.1.4 Matemtica completa, de Jos R. Giovanni e Jos R. Bonjorno

Livro publicado em 2005. Nele a definio um pouco mais explicada

ao leitor. Assim como nos outros livros a lista de elementos da hiprbole aparece

aps a definio. A relao notvel C2 = a2 + b2 justificada pelo teorema de

Pitgoras.

Em seguida so obtidas as frmulas para hiprboles com centro na origem

e eixos reais coincidindo com os eixos x e y respectivamente e depois as frmulas

para hiprboles com centro em um ponto qualquer e eixos reais paralelos aos eixos

23

x e y so apenas apresentadas. Cinco exerccios resolvidos encerram a parte terica

do tpico hiprbole. Tudo de forma no contextualizada e com uma frase sobre

aplicaes: Rutherford usou rbitas hiperblicas de partculas ? irradiadas para

explorar o ncleo do tomo (GIOVANNI; BONJORNO, 2005, p. 105).

Ao final da abordagem terica sobre a hiprbole o livro apresenta uma ati-

vidade intitulada Como construir uma hiprbole onde dado um passo a passo

para o aluno, munido de compasso, fazer o trao da curva. A atividade deixa a

desejar apenas no que diz respeito explicao da relao entre os passos da ati-

vidade e a definio da hiprbole.

O livro tem explicao mais detalhada, alm de apresentar uma atividade

concreta para construo da hiprbole. A quantidade de exerccios de fixao

bem maior que a dos outros livros, totalizando dezoito.

3.2 A abordagem dos livros didticos

Tendo em vista que a forma como os livros didticos atuais de matemtica

abordam a hiprbole no varia muito, faz sentido falar em a abordagem usual dos

livros didticos. Abaixo est uma exposio do que a maioria dos livros apresenta

sobre o assunto hiprbole.

Poucas palavras so dedicadas histria das cnicas, quando existem.

As cnicas so apresentadas como cortes de cone como na figura abaixo.

24

Figura 1 As cnicas como cortes do cone duplo

No que se segue abordada ainda mais diretamente a hiprbole, expondo,

assim, neste trabalho o que os livros texto trazem sobre o assunto.

Definio: Hiprbole o conjunto dos pontos P de um plano tais que a

diferena de suas distncias a dois pontos fixos F1 e F2 desse plano uma constante

positiva e menor que a distncia entre esses pontos fixos.

Ilustrao e breve explicao da definio: Considerando a ilustrao da

hiprbole dada pela figura 3, os pontos P, Q, R, S, A1 e A2 so exemplos de pontos

da hiprbole porque,

25

PF1PF2 =QF2QF1 =RF2RF1 = SF1SF2 =A1F2A1F1 =A2F1A2F2 = 2a

Figura 2 A hiprbole e alguns de seus pontos

Elementos da hiprbole:

Focos da hiprbole: pontos F1 e F2;

Distncia focal: a distncia entre os focos, de medida 2c;

Centro da hiprbole: o ponto mdio entre os focos, o ponto O;

Vrtices da hiprbole: so os pontos A1 e A2;

Eixo real ou transverso: o seguimento que liga A1 e A2, de medida 2a;

Excentricidade: a razo; a excentricidade sempre um nmero maior

que 1 e diferencia o formato das hiprboles, a hiprbole tanto mais aberta em sua

forma quanto maior for o valor de sua excentricidade.

Eixo imaginrio de tamanho 2b, onde, a maioria dos livros didticos no

explica que tal valor batizado de b um argumento para facilitar a compreenso,

memorizao, trato com a frmula da curva, uma vez que a hiprbole totalmente

definida pela distncia focal e pela distncia entre os vrtices.

26

Demonstrao da equao reduzida da hiprbole com eixo real sobre o

eixo x e centro na origem:

Seja o ponto P de coordenadas (x,y) pertencente hiprbole. Pela defi-

nio, temos que o mdulo da diferena da distncia de P at F1 e da distncia

de P a F2 igual a 2a. Usando a equao das distncias e considerando que as

coordenadas de F1 so (c,0) e as de F2 so (c,0) temos:

(x c)2 + y2

(x+ c)2 + y2

= 2a

Retirando o mdulo e adicionando

(x+ c)2 + y2 em ambos os membros:

(x c)2 + y2 =2a+

(x+ c)2 + y2

Elevando ao quadrado os dois lados:

(x c)2 + y2 = 4a2 4a

(x+ c)2 + y2 +(x+ c)2 + y2

Desenvolvendo quadrados de x c e x+ c:

x2 2xc+ c2 + y2 = 4a2 4a

(x+ c)2 + y2 + x2 +2xc+ c2 + y2

Subtraindo x2,y2 e c2 em ambos os membros:

2xc = 4a2 4a

(x+ c)2 + y2 +2xc

Subtraindo 2xc e 4a2 em ambos os membros da equao:

4a2 4xc =4a

(x+ c)2 + y2

Dividindo ambos os membros por 4 e os elevando ao quadrado:

a4 +2a2xc+ x2c2 = a2(

(x+ c)2 + y2)

Elevando x+ c ao quadrado e multiplicando os parnteses por a:

a4 +2a2xc+ x2c2 = a2x2 +2a2xc+a2c2 +a2y2

Reorganizando com somas e subtraes:

27

a4 a2c2 = a2x2 +a2y2 x2c2

Evidenciando a2 no primeiro membro e x2 no segundo:

a2(

a2 c2)

= x2(a2 c2)+a2y2

Substituindo a2c2 por b2, pois b foi definido com um valor tal o pontoB de coordenadas (0,b) forme juntamente com os pontos A1 e O e tambm com

os pontosA2 e O tringulos retngulos de catetos a e b e hipotenusa c, logo pelo

teorema de Pitgoras: a2 +b2 = c2 a2 c2 =b2:

a2b2 =b2x2 +a2y2

Dividindo-se ambos os membros por a2b2:

1 = x2

a2 y2

b2.

De forma anloga pode ser obtida a equao da hiprbole com centro na

origem e eixo real sobre o eixo y. Apenas os papis de x e y se invertem, resultando

em:

1 = y2

a2 x2

b2.

E com raciocnios tambm parecidos podemos obter as equaes de uma

hiprbole com centro em um ponto qualquer (x0,y0) e eixos reais paralelos ao eixo

x ou ao eixo y, sendo elas respectivamente:

1 = (xx0)2

a2 (yy0

b2e 1 = (yy0)

2

a2 (xx0

b2

onde (x x0)2 equivale a x2 e (y y0)2 equivale a y2 por poder ser vistaessa situao como translaes da hiprbole com centro na origem horizontal e/ou

verticalmente.

No mais, os livros didticos geralmente apresentam exerccios resolvidos,

salvo algumas excees.

28

3.3 Observaes ps anlise dos livros didticos

O tratamento dado s hiprboles nos quatro livros analisados muito pa-

recido. So comuns a presena de definio focal da curva, a listagem exaustiva de

elementos, demonstrao de frmulas, exerccios resolvidos e exerccios propos-

tos. A definio focal, isto , a curva definida pela sua propriedade de distncia

em relao aos focos em todos os livros analizados.

So poucas as atividades de construo da curva.

Em suma a anlise feita concorda com a anlise maior, que envolveu mais

livros didticos e as trs cnicas, feitas por Bordallo (2011, p. 18):

As sees cnicas aparecem apenas dentro de geome-tria analtica; As trs sees so estudadas separada-mente da seguinte forma:o corte do cone que gera acnica; definio focal; elementos principais; equa-o reduzida com centro e vrtice na origem e eixoscartesianos como eixos; equao com centro e vrticefora da origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos.

A mesma autora, critica a forma fragmentada como as cnicas so aborda-

das: Acreditamos que a apresentao fragmentada atual no faz sentido aos alu-

nos, tornando-se uma decoreba que no ter qualquer serventia (BORDALLO,

2011, p. 18).

Logo, no de se estranhar que, na verso do professor do segundo li-

vro didtico acima analisado, as autoras comentem que a unidade sobre as cnicas

pode ser desenvolvida por voc (o professor que adotou o livro) em carter opci-

onal, caso o tempo permita.

No descartando um papel importante para o livro didtico, mas tendo em

vista o exposto acima, fica claro que apenas o livro didtico no suficiente na

abordagem do tema hiprbole. Para que o ensino das cnicas seja mais que um

decorar frmulas e elementos, faz-se necessrio que o professor esteja munido de

atividades diferenciadas que possibilitem aos alunos uma participao investiga-

tiva, imaginativa, criativa e mais rica em significado.

29

4 PROPOSTAS DE ABORDAGEM

4.1 Atividades sobre o tema hiprbole

Abaixo so apresentadas atividades como material complementar ao livro

didtico para abordagem da cnica hiprbole na sala de aula.

4.1.1 Encontrando pontos da hiprbole com barbante

Nesta atividade construiremos uma hiprbole com colagem de barbantes.

Siga o passo a passo caprichosamente e voc construir uma das mais importantes

curvas da matemtica.

Materiais necessrios Meia cartolina - Lpis - Rgua graduada - Barbante

- Tesoura - Cola

Passo a passo 1o passo: Marque o ponto O no centro da meia cartolina

2o passo: Trace a reta r passando pelo ponto O e paralela borda maior

da meia cartolina

3o passo: Marque os pontos F1, do lado direito do ponto O, e F2 , do lado

esquerdo do ponto O, pertencentes reta r e distantes 5 centmetros do ponto O

4o passo: Marque os pontos A1, do lado direito do ponto O, e A2 , do lado

esquerdo do ponto O, pertencentes reta r e distantes 4 centmetros do ponto O

5o passo: Recorte dois pedaos de barbante de tamanhos 10cm e dois pe-

daos de tamanho 2cm.

6o passo: Coloque uma ponta do pedao de barbante de tamanho 10cm

sobre F1 e uma ponta do pedao de tamanho 2 cm sobre F2 . Agora encontre um

ponto na metade de cima da cartolina onde a outra ponta de cada um dos barbantes

se encontra. Marque o ponto.

7o passo: Repita o 6o passo com os outros pedaos de barbante de tamanho

10cm e 2cm e marque o ponto onde as pontas se encontram na metade de baixo da

cartolina.

8o passo: Lambuse os pedaos de barbante de cola e cole-os na posio

encontrada para marcar os pontos de acordo com o 6o passo e com o 7o passo.

30

Figura 3 Pontos iniciais marcados na atividade 1

9o passo: Repita do 5o ao oitavo passo usando pares de pedaos de bar-

bantes, todos com 8cm de diferena do pedao maior para o pedao menor, por

exemplo pedaos de tamanhos 12cm e 4cm, 14cm e 6cm, 17cm e 9cm, 20cm e

12cm, 24cm e 16cm.

10o passo: Trace uma curva que passe pelos pontos onde as pontas de

barbante se encontram e pelo ponto ponto A1.

11o passo: Tente traar uma curva simtrica curva traada no 10o passo

que passa por A2.

Reflexo sobre a atividade

Por que a hiprbole passa pelos pontos A1 e A2?

O que todos os pontos por onde passa a hiprbole tem em comum?

O QUE UMA HIPRBOLE?

Elementos da hiprbole nesta atividade

Ponto O: centro da hiprbole

Segmento A1A2: eixo real ou eixo transverso da hiprbole

Pontos A1 e A2: Vrtices da hiprbole

Pontos F1 e F2: Focos da hiprbole

31

Dever de casa: Construa outra hiprbole, usando outros valores para a

distncia entre o centro da hiprbole e os focos e entre o centro da hiprbole e os

vrtices. Note que a diferena entre os tamanhos dos barbantes deve ser igual

distncia entre os pontos A1 e A2.

Compare as duas hiprboles e anote quais as diferenas que voc observa

entre elas.

Objetivos da atividade: Visualizar a hiprbole, definir ou vir a refletir sobre

a definio focal da mesma, a saber, o lugar geomtrico dos pontos cuja diferena

das distncias a dois pontos fixos constante. Apresentar alguns elementos da

hiprbole aos alunos. Trabalhar em equipe, interagir. Trabalhar com medies.

Dessa forma pretende-se que o aluno tenha um primeiro contato com a hiprbole

por meio de manipulao, indo de encontro ao que diz Huete e Bravo (2006, p.

59) quando dizem que: Para a introduo de conceitos matemticos timo re-

correr a atividades do tipo ldico. Pretende-se tambm apresentar aos alunos do

Ensino Fundamental a cnica, para que no Ensino Mdio ela no seja uma curva

totalmente estranha, concordando com Nina e Portanova (2005, p. 19) quando diz

que:

A capacidade de raciocnio de um aluno desenvolve-se ao longo de um perodo de tempo e est intima-mente ligada vivncia de uma gama de experinciasvariadas [...] e que devem ser, especialmente no En-sino Fundamental, apresentados como um todo inte-grado, num currculo em espiral, organizado num gralcrescente de complexidade.

Pblico alvo: alunos a partir do 8o ano do Ensino Fundamental ou alunos

que no conhecem ainda o formato da hiprbole

Pr-requisitos: noo de reta, reta paralela, ponto, distncia.

Materiais e tecnologias: cartolina, lpis, barbante, cola, rgua graduada e

tesoura.

Recomendaes metodolgicas: formao em duplas ou trios, leitura e tira

dvida por parte do professor do passo a passo. Promover discusso com a turma

sobre o que cada ponto de encontro entre cada par de pedaos de barbante tem em

comum, para que eles possam se aproximar da definio da hiprbole.

32

Dificuldades previstas: leitura das regras do passo a passo, mos sujas de

cola.

Descrio geral: Os alunos devem ler e seguir os passos da atividade,

marcao de pontos, trao de uma reta, cortes de pedaos de barbante, encontrar

o lugar onde os pedaos de barbante definem um ponto pertencente hiprbole,

colar barbantes. Previso de tempo de duas aulas de 50 minutos.

Possveis desdobramentos: O professor pode orientar os alunos a variarem

a distncia entre os focos, bem como entre os vrtices e, a partir da visualizao dos

novos formatos, proporem discusso, investigao sobre a relao entre a distncia

focal e da distncia entre vrtices.

Figura 4 Hiprbole traada com o auxlio de colagens de barbante

33

4.1.2 Encontrando pontos da hiprbole com rgua graduada e compasso

Esta atividade consiste de um passo a passo para que seja feito o trao de

uma hiprbole.

Siga o passo a passo da atividade, responda ao questionrio e em seguida

construa outra hiprbole com valores que voc escolher.

Materiais utilizados: Folha de papel ofcio - Rgua graduada - Lpis -

Compasso

Passo a passo

1o passo: Marque no centro da folha o ponto O

2o passo Trace a reta R passando pelo ponto O e paralela borda maior da

folha

3o passo: Marque os pontos F1 e F2 sobre a reta r de tal forma que F1 esteja

direita de O 5cm e F2 esquerda de O tambm 5cm

4o passo: Marque os pontos A1 e A2 sobre a reta r de tal forma que A1esteja direita de O 3cm e A2 esquerda de O tambm 3cm

5o passo: Faa com o compasso uma abertura de 9cm e trace duas circun-

ferncias de raio 9 cm, uma com centro em F1 e outra com centro em F2.

Figura 5 Pontos iniciais marcados na atividade 2

34

6o passo: Faa com o compasso uma abertura de 3 cm e trace duas circun-

ferncias de raio 3 cm, uma com centro em F1 e outra com centro em F2.

7o passo: Marque os quatro pontos de encontro entre circunferncias de

raios 9 cm e as circunferncias de raio 3 cm.

8o passo: Repita do 5o ao 7o passo pelo menos mais seis vezes com valores

maiores para o par de circunferncias. Escolha valores de tal forma que a diferena

entre eles seja sempre 6 cm. Por exemplo 10 cm e 4 cm, 11 cm e 5 cm.

10o passo: Ligue os pontos marcados com uma curva. Observao: Os

pontos A1 e A2 fazem parte da curva. Eis uma hiprbole!

Elementos da hiprbole desta atividade:

Ponto O: centro da hiprbole

Pontos A1 e A2: vrtices da hiprbole

Segmento A1A2: eixo real ou transverso

Pontos F1 e F2: focos da hiprbole

Distncia de F1 a F2: distncia focal

Discuta com seu colega de dupla e responda:

Porque os pontos A1 e A2 fazem parte da hiprbole?

O que os pontos marcados tm em comum?

O que uma hiprbole?

Exerccio: Construa mais duas hiprboles seguindo o Passo a Passo acima,

com outros valores para os segmentos OF1, OF2, OA1 e OA2. Use tamanhos de

circunferncias tais que a diferena do raio da maior para o raio da menor seja

igual distncia de A1 a A2.

Objetivos da atividade: Visualizar a hiprbole pela marcao de alguns

de seus pontos. Trabalhar com rgua e compasso o conceito de lugare(s) geom-

trico(s). Trabalhar ponto, reta, medidas, interseo entre circunferncias. Pretende-

se que os alunos possam se aproximar da definio de hiprbole, ou mesma defini-

la, facilitando assim a compreenso da definio formal da curva.

Pblico alvo: Alunos do Ensino Mdio ou mesmo do 9o ano do Ensino

Fundamental.

Pr-requisitos: Ponto, reta, distncia, reta paralela, medir usando a rgua.

35

Materiais e tecnologias: rgua graduada, compasso, papel e lpis. Reco-

mendaes metodolgicas: formao de duplas, leitura e tira dvida por parte do

professor do passo a passo. Promover discusso com a turma sobre o que cada

ponto marcado tem em comum, para que eles possam se aproximar da definio

da hiprbole.

Dificuldades previstas: leitura do passo a passo, manuseio do compasso

Descrio geral: seguindo passos descritos na atividade os alunos devem

fazer pares de crculos em torno de dois pontos escolhidos como focos de uma

hiprbole a ser construda de tal forma que a diferena entre os raios nos pares de

crculos seja igual diferena entre as distncias de cada ponto da hiprbole aos

focos, obtendo assim pontos da hiprbole pela interseo de circunferncias.

Possveis desdobramentos: O professor pode orientar os alunos a variarem

a distncia entre os focos, bem como entre os vrtices e, a partir da visualizao

dos novos formatos, proporem discusso, investigao sobre a relao entre a dis-

tncia focal e da distncia entre vrtices, e as duas distncias e sua relao com a

excentricidade da hiprbole. Tambm pode propor uma atividade onde a hiprbole

seja assim traada em papel quadriculado e os alunos verifiquem a validade da

equao da mesma escolhendo pontos do traado.

Figura 6 Hiprbole traada com rgua graduada e compasso

36

4.1.3 Desenhando hiprboles com a rgua furada

Faa dois furos nas extremidades de uma rgua de acrlico e amarre um

pedao de barbante (de tamanho menor que a distncia entre os focos, o tamanho

do barbante definir a distncia entre os vrtices) em uma das extremidades. Na

ponta livre que sobrar no pedao de barbante faa um pequeno lao, como na figura

abaixo.

Figura 7 A rgua furada

Usando uma tachinha ou um percevejo prenda a extremidade da rgua

onde no est amarrado o barbante em um foco da hiprbole e o lao do barbante

no outro foco da hiprbole. O lpis, mantendo o contato com a rgua deve passear

pelo barbante enquanto a rgua gira em torno do foco onde est presa, como na

figura abaixo.

Figura 8 Como usar a rgua furada

37

Ao se chegar metade do ramo da hiprbole, deve-se parar o trao da

mesma, soltar a extremidade presa da rgua, virar a rgua e prend-la novamente,

e assim fazer o trao da outra metade do ramo da curva.

Em seguida basta trocar de posio a extremidade presa da hiprbole com

o lao do barbante e proceder da mesma maneira para que seja traado o outro

ramo da hiprbole.

Por que o trao com a rgua furada uma hiprbole?

No incio do trao da curva com a rgua furada, temos que as distncias

aproximadas do ponto onde se encontra a caneta e os focos so: a distncia entre

os furos da rgua que ser batizado de r, e o tamanho livre do barbante, que ser

denotado por b. Nesse momento pode-se dizer que a diferena das distncias do

ponto aos focos rb. A situao est ilustrada na figura abaixo.

Figura 9 Momento inicial do trao com a rgua furada

medida que a caneta passeia pelo barbante e traa a curva, faz com que

um pedao fique encostado na rgua, considerando p o tamanho do pedao de bar-

bante que encosta-se rgua, como o pedao de rgua que encosta-se no barbante

tambm mede p, temos que as distncias do ponto onde a caneta se encontra e os

38

focos so r p e b p. De tal forma que a diferena entre as distncias agora :(r p) (b p) = r pb+ p = rb, ou seja, a diferena permanece a mesma.Tal situao ilustrada na figura abaixo, note o pedao de barbante que se encontra

junto rgua.

Figura 10 Pedao de barbante junto rgua furada durante o trao da curva

Objetivos da atividade: Construo de diferentes hiprboles, reflexo da

relao entre o processo usado na construo e a definio da curva, fazendo assim

com que a definio da curva seja mais bem assimilada pelo estudante.

Pblico alvo: alunos dos ltimos anos do Ensino Fundamental e alunos do

Ensino Mdio.

Pr-requisitos: no possui

Materiais e tecnologias: rgua furada, barbante, cartolina e lpis.

Recomendaes metodolgicas: Orientar os alunos na reflexo do porque

o procedimento utilizado origina uma hiprbole, na conferncia da validade da

definio da hiprbole para pontos da curva traada, na variao da distncia focal

e na distncia entre vrtices para obteno de novas hiprboles e na reflexo do

fato da distncia entre vrtices ser justamente o tamanho livre do barbante.

39

Figura 11 Hiprboles desenhadas com rgua furada

Dificuldades previstas: as rguas devem ser furadas anteriormente por ser

necessrio uso de faca de ponta. Para prender os percevejos bom que a cartolina

seja apoiada em papelo, apenas a cartolina no capaz de prend-los suficiente-

mente.

Descrio geral: Atividade para ser realizada em uma aula de 50 minutos,

com possvel continuidade em outra aula para as reflexes sobre a atividade. Con-

siste em aprender manusear a rgua furada para com ela executar o trao de vrias

hiprboles e reflexes sobre o processo.

40

Possveis desdobramentos: Uso de plano cartesiano para trao de hiprbo-

les com equao dada.

4.1.4 Hiprboles no computador com o software Z.u.L

Nesta atividade ser feita uma construo que possibilitar que seja tra-

ada uma hiprbole com um simples clique. Tambm, uma vez feita a construo

ser possvel modificar a hiprbole de forma fcil, bastando apenas mudar um ou

outro valor.

Uma vez aberto o software Z.u.L, que gratuito, devemos:

1o: Clicar no boto PONTO e marcar dois pontos quaisquer que sero os

focos da hiprbole.

2o: Clicar no boto CRCULO COM RAIO FIXO, clicar em um dos focos

marcados anteriormente e clicar novamente de forma a obter uma circunferncia

com raio menor que a distncia entre os focos. Aperte OK.

3o: Clicar novamente em PONTO e marcar um ponto qualquer em cima

da circunferncia.

4o: Clicar no boto SEGMENTO e em seguida no ponto marcado no 3o

passo e no foco que est fora da circunferncia, traando dessa maneira o segmento

que liga os dois.

5o: Clicar no boto PONTO MDIO e em seguida nos dois pontos clica-

dos no 4o passo para assim marcar o ponto mdio do segmento.

6o: Clicar no boto RETA em seguida no foco que est dentro da circun-

ferncia e no ponto que est sobre a circunferncia, traando assim uma reta.

7o: Clicar no boto PERPENDICULAR e em seguida no segmento tra-

ado anteriormente e no ponto mdio do segmento, nessa ordem, traando assim a

reta perpendicular ao segmento.

8o: Clicar no boto PONTO novamente e marcar o ponto de encontro entre

as duas retas.

A construo necessria para que o programa trace a hiprbole est feita,

se voc seguiu os passos certinhos sua construo deve conter os mesmos elemen-

tos que a figura abaixo, confira:

41

Figura 12 Construo auxiliar para o trao da hiprbole no Z.u.L

Agora para terminar:

ltimo passo: Clicar no boto RASTREIO AUTOMTICO DE PONTO

OU RETA, em seguida clicar no ponto de interseo das retas, depois no ponto

que est na circunferncia escolher C1 e clicar em OK. Clique mais uma vez no

ponto da circunferncia. As coisas comearam a se movimentar? Apareceram os

dois ramos de uma hiprbole? Se sim, pronto.

Agora se sinta vontade para mudar o tamanho do raio, mudar a posio

dos focos, fazer outras hiprboles.

Antes de falar sobre as caractersticas da atividade, apresentada uma

demonstrao do porque da construo utilizada originar uma hiprbole.

42

Figura 13 Construo utilizada no Z.u.L para obteno da hiprbole - 1

Denotando os pontos F1 e F2 da figura por F1 e F2, so elementos da cons-

truo:

Pontos F1 e F2;

Circunferncia C de centro em F1 e raio menor que a distncia entre F1 e

F2;

Ponto P que um ponto qualquer da circunferncia C;

Segmento PF2;

Ponto M que o ponto mdio do segmento PF2;

Reta r que a reta que passa por F1 e P;

Reta s que a reta mediatriz do segmento PF2;

E o ponto R que o ponto de interseo entre as retas r e s.

Deve-se provar que a diferena entre a distncia de R a F1 e a distn-

cia de R a F2 a mesma para qualquer ponto P tomado na circunferncia, isto

|R f1 RF2|= c . Onde c uma constante.O tringulo PRF2 por construo um tringulo issceles de base PF2,

uma vez que os tringulos PMR e F2MR so congruentes por serem ambos os

tringulos retngulos com catetos iguais devido ao fato de M ser ponto mdio e

MR ser comum, logo RP = RF2 .

43

Existem dois casos a serem considerados: Quando RF1 maior que RF2 e

o caso inverso.

RF1 maior que RF2 quando o ponto P est entre F1 e R, sendo assim

RF1 = RP+PF1 como ilustra a figura acima, e o caso que define o ramo direito

da hiprbole, nesse caso tem-se:

RF1RF2 = RP+PF1RF2 = PF1 = c, pois RP = RF2 e onde c o raio dacircunferncia.

J RF2 maior que RF1 ocorre quando o ponto F1 est entre P e R, sendo

assim PR = RF1 +F1P como ilustra a figura abaixo, e o caso que define o ramo

esquerdo da hiprbole, nesse caso tem-se:

RF2 RF1 = PRRF1 = RF1 +F1PRF1 = F1P = c, pois RP = RF2 eonde c o raio da circunferncia.

Figura 14 Construo utilizada no Z.u.L para obteno da hiprbole - 2

Tal demonstrao garante que o ponto R um ponto da hiprbole porque

temos que todos os pontos R assim construdos tero o mdulo da diferena das

44

distncias a dois pontos fixos (no caso F1 e F2) igual a uma constante (que na

demostrao foi chamada de c).

Objetivos da atividade: Construo e visualizao de hiprboles onde so

abordados os conceitos de ponto, reta, ponto mdio, circunferncia, interseo

de retas em uma atividade utilizando o software Z.u.L. que permite que vrias

hiprboles sejam traadas com uma simples mudana na localizao de um ponto.

Pretende-se que alm de revisar os conceitos acima descritos o estudante tenha a

oportunidade de observar e inferir facilmente sobre a relao que a distncia focal

e a distncia entre os vrtices da hiprbole tm no formato da mesma, visualizando

assim hiprboles de vrias excentricidades.

Pblico alvo: Alunos do Ensino Mdio

Pr-requisitos: ponto, reta, ponto mdio, circunferncia, interseo de re-

tas.

Materiais e tecnologias: computador que tenha instalado o software Z.u.L.

Recomendaes metodolgicas: se os alunos no tm familiaridade com

o software necessrio que o professor realize a construo com os alunos, sem

pressa, todos juntos.

Dificuldades previstas: o uso do software se for a primeira vez que os

alunos o utilizarem

Descrio geral: Usando o software Z.u.L. os alunos so orientados na ati-

vidade a elaborarem uma construo de que possibilita o traado de uma hiprbole

e tambm a construir vrias hiprboles variando parmetros da forma que acharem

melhor. O Z.u.L. um programa para construes com rgua e compasso que roda

em vrios sistemas operacionais e gratuito.

Possveis desdobramentos: O professor pode aproveitar a atividade em um

estudo investigativo ou de verificao sobre as equaes da hiprbole, fazendo uso

da grade quadriculada do prprio programa e das medidas que o mesmo informa.

Segue abaixo algumas imagens de hiprboles feitas com o programa:

45

Figura 15 Ponto da hiprbole iniciando passei pelo ramo da direita

Figura 16 O ponto se deslocou um pouco para cima

46

Figura 17 Malha quadriculada do Z.u.L e ponto da hiprbole mais acima

Figura 18 Hiprbole obtida variando-se o tamanho do raio e a posio do foco

47

4.1.5 Sinuca com borda em formato de hiprbole

Objetivos da atividade: Confeco de uma mesa de sinuca com borda

em formato de hiprbole para uma abordagem prtica da propriedade de reflexo

da hiprbole. Apresentar ao aluno uma propriedade muito usada na tica de forma

concreta e ldica.

Pblico alvo: Alunos do Ensino Mdio

Pr-requisitos: Fazer o traado de uma hiprbole

Materiais e tecnologias: A mesa de bilhar com borda em formato de

hiprbole pode ser confeccionada com materiais distintos escolha do grupo de

alunos, como por exemplo, papelo, madeira, isopor, e nos mais diferentes tama-

nhos, podendo ser uma bola de gude, por exemplo, para fazer o papel de bola de

bilhar. Para a borda da mesa pode-se usar o emborrachado conhecido por EVA

e muito utilizado nas escolas. Recomendaes metodolgicas: pode ser indicado

como trabalho em grupo. Discusso com os alunos sobre como confeccionar a

mesa. Apresentar a propriedade de reflexo da hiprbole.

Dificuldades previstas: Escolher hiprbole que melhor se ajuste a mesa,

desenhar e recortar de forma precisa a curva no material concreto.

Descrio geral: Formao de grupos de alunos, apresentao da proprie-

dade reflexiva da hiprbole, apresentao das fotos da mesa de bilhar, explicao

da relao que a propriedade reflexiva tem com a mesa, discusso com a turma

a respeito da viabilidade, materiais utilizados, tamanho da mesa. Apresentao

e estudo sobre a propriedade reflexiva da hiprbole.

Possveis desdobramentos: Construes mais aprimoradas. Estudo siste-

mtico da propriedade reflexiva da hiprbole.

48

Figura 19 Mesa de bilhar com borda hiperblica 1

Figura 20 Propriedade de reflexo da hiprbole

49

Figura 21 Mesa de bilhar com borda hiperblica 2

4.2 Aplicaes

Todas as cnicas possuem aplicaes prticas de seu uso. impossvel

expor todas, at porque novas aplicaes podem ser inventadas futuramente. Citar

aplicaes das cnicas para os alunos importante por mostrar que as curvas so

presentes na vida real. Abaixo listamos algumas aplicaes da hiprbole.

A propriedade de reflexo da hiprbole, ilustrada pela mesa de bilhar

com borda em forma de hiprbole, faz com que a hiprbole seja muito usada na

ptica, na construo de lentes e telescpios. O telescpio espacial Hubble, que

tem ajudado o homem a resolver problemas antigos de astronomia, um famoso

exemplo do uso de lentes em formato de hiprbole.

50

Figura 22 Telescpio espacial Hubble

Na arquitetura tambm possvel observar a utilizao das hiprboles.

Como por exemplo, na Catedral de Braslia, projetada pelo famoso arquiteto bra-

sileiro Oscar Niemeyer, onde dezesseis colunas em formato de hiprboles simetri-

camente opostas so destaque.

Figura 23 Catedral de Braslia

51

Existem cometas cujas trajetrias que descrevem pelo espao so em for-

mato de hiprbole.

As hiprboles tambm aparecem num quarto escuro quando se acende um

abajur, pois o bojo do abajur forma cones de luz que interceptam a parede e

como se a parede fizesse um corte paralelo altura do cone, resultando assim

numa iluminao com borda em formato de hiprbole, Como na figura seguinte:

Figura 24 Parede seccionando cones de luz

No estudo da qumica e da fsica no Ensino Mdio, aprendemos que vrias

so as grandezas inversamente proporcionais, onde o produto entre elas cons-

tante. Por exemplo, na fsica, velocidade e tempo, no movimento retilneo uni-

forme; na qumica, no estudo dos gases, o volume ocupado por um gs e a presso

exercida (como ilustra a figura 26); no comrcio, a quantidade de produtos com-

prados e o preo a pagar (quando no se tem desconto); entre muitos outros. A

proporo inversa representada graficamente por uma hiprbole, uma vez que a

equao que caracteriza o produto de duas varaveis ser igual uma constante , ou

seja xy = k, a equao de uma hiprbole rotacionada (ver o ltimo exemplo da

seo 5.3).

52

Figura 25 Hiprbole num grfico de presso x volume

Hiprboles so tambm utilizadas por alguns radares de navegao onde

os radares se situam no foco de vrias hiprboles.

Figura 26 Hiprboles so usadas por radares

53

4.3 Coordenadas polares

Em geral, os alunos do Ensino Mdio utilizam somente o sistema de coor-

denadas cartesianas. Deve-se introduzir outros sistemas de coordenadas no Ensino

Mdio, entre eles o sistema de coordenadas polares. Para alguns, pode parecer

desnecessrio considerar outro sistema diferente do sistema cartesiano. Mas em

muitos casos o uso dessas coordenadas representa muitas vantagens sobre as coor-

denadas cartesianas.

Segundo Kindle (1976), para determinar a posio de um ponto P ao invs

de usar como referncia dois eixos ortogonais, s vezes mais fcil localiz-lo em

funo da distncia dele a um ponto fixo O e do ngulo que a direo OP forma

com uma reta fixa que passa por O as coordenadas desse sistema denominam-se

coordenadas polares.

Para Lehmann (1966), trace o segmento OP e designe sua longitude por

r (Figura 47). Considerando um segmento AO, onde A um ponto qualquer do

plano, chamemos ao ngulo AOP. Evidentemente a posio do ponto P com

relao ao eixo polar e ao plo determinada quando se conhecem r e . Em

particular r se chama vetor raio e ngulo polar, ngulo vetorial ou argumento de

P. As coordenadas polares de P se escrevem (r,).

Figura 27 Coordenadas polares

Chama-se r de coordenada radial de P e de coordenada angular (ou n-

gulo polar) de P (ANTON et al., 2000).

54

De acordo com Jnior (1973) chamaremos de o menor ngulo positivo

medido no sentido anti-horrio em graus ou em radianos de AO para OB, e de r a

distncia orientada positivamente, OP. Mas s vezes preciso que r e tenham

valores positivos ou negativos. Se negativo e r positivo, traamos o ngulo =

AB, medidos a partir de OA, no sentido horrio e marcamos P sobre OB de modo

que OP = r. Se r negativo construmos = AB, prolongando OB at o plo B e

marcamos P sobre OB a uma distncia r de O. Um par de coordenadas polaresdetermina somente um ponto, mas um ponto pode ser determinado de vrias ma-

neiras. Outra forma de representar (r,+2n) onde est dado em radianos e n

um nmero inteiro ou (r,+n) onde n um nmero inteiro mpar qualquer.

Figura 28 Pontos em coordenadas polares

Lehmann (1966) traz um exemplo de pontos em coordenadas polares est

representado na figura 52, onde esto traados os pontos P1(4, 6 ), P2(6,2), P3(7,75o)e P4(5, 74 ).O ngulo polar 2 (em P2) significa 2 radianos que equivale a 114

o35,5

(aproximadamente).

55

Figura 29 Alguns pontos marcados em coordenadas polares

Fonte: (LEHMANN, 1966).

O plo tem infinitas representaes no sistema polar (0,), pois so todos

os valores de tais que r = f () = 0, que do as direes das tangentes no plo.

Considerando o plo como a origem do sistema cartesiano, e o eixo polar

como a parte positiva do eixo x tem-se as seguintes relaes:

Figura 30 Coordenadas polares

56

cos =x

r x = rcos (1)

sen =y

r y = rsen (2)

Pelo Teorema de Pitgoras tem-se que:

r2 = x2 + y2

E da provm que r =

x2 + y2 ento:

sen = yx2 + y2

e

cos = xx2 + y2

Dividindo (2) por (1) tem-se que:

y

x=

rsen

rcos

tg =y

x

= arctg(y

x

)

Para traar o grfico de curvas em coordenadas polares deve-se, de acordo

com Lehmann (1966), seguir os seguintes passos:

a) Determinao das interseces com o eixo polar e com o eixo de 90o;

b) Determinao da simetria da curva com respeito ao eixo polar, ao eixo

a 90o e ao plo;

57

c) Determinao da extenso do lugar geomtrico;

d) Clculo das coordenadas de um nmero suficiente de pontos para obter

um grfico adequado, e

e) Traar o grfico.

Para determinar as interseces com o eixo polar basta fazer = 0o e para

fazer a interseco com o eixo de 90o, basta fazer = 90o.

Para fazer a simetria explica Kindle (1976) nos casos em que a substitui-

o de por - no altera a equao, curva simtrica em relao ao eixo polar.

Quando substitumos por , e a equao continua a mesma, a curva sim-trica em relao reta = . E a curva simtrica em relao ao plo quando

substitumos r por r ou por + e a equao no se modifica.Sobre a determinao da extenso do lugar geomtrico Ayres Jnior (1973)

diz que a equao polar r = f () representa curva fechada quando r um nmero

real e finito para qualquer , mas quando existem valores para os quais uma das

variveis torna a outra infinita a curva no fechada.

Segundo Anton et al. (2000), deve-se escolher valores conhecidos para ,

calcular os valores correspondentes de r, ento, marcar os pontos (r,) no sistema

de coordenadas polares e ento traar o grfico.

4.3.1 Cnicas em coordenadas cartesianas.

(1) A elipse

A elipse o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja soma de suas

distncias a dois pontos fixos F1 e F2 constante o maior que a distncia entre eles.

PF1 +PF2 = 2a

Os elementos de uma elipse so:

Focos: so os pontos F1 e F2.

Distncia focal: a distncia entre os focos (2c = F1F2).

Eixo maior: o segmento A1A2 = 2a, que passa pelos focos (2a > 2c).

58

Figura 31 Elipse em coordenada cartesiana

Centro: o ponto O, ponto mdio de A1A2.

Eixo menor: o segmento B1B2 = 2b, perpendicular a A1A2 passando por O.

Excentricidade (e): a razo e =c

a, sendo 0 < e < 1.

Se a excentricidade e for prxima de 1, o formato da elipse ser mais achatado, se

e for prximo de 0, o seu formato ser prximo ao de uma circunferncia.

Em uma elipse: a2 = b2 + c2.

As equaes de uma elipse so dadas por:

i) Focos no eixo das abscissas e centro (0,0)

x2

a2+

y2

b2= 1

ii) Focos no eixo das ordenadas e centro (0,0)

x2

b2+

y2

a2= 1

59

(2) A parbola

A parbola o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja distncia a

uma reta r dada igual distncia a um ponto fixo F no pertencente a r.

PF = PH

Figura 32 Parbola em coordenada cartesiana

Os elementos de uma parbola so:

Focos: o ponto F .

Diretriz: a reta r.

Eixo de simetria: reta perpendicular a r, que passa por F .

Vrtice: a interseco da parbola com o eixo de simetria.

Parmetro da parbola: a distncia de p entre o foco e a diretriz.

As equaes de uma parbola so dadas por:

i) Eixo de simetria sobre o eixo x (F(c,0))

y2 = 4cx ou y2 = 2px

60

ii) Eixo de simetria sobre o eixo x (F(c,0))

y2 =4cx ou y2 =2px

iii) Eixo de simetria sobre o eixo y (F(0,c))

x2 = 4cy ou x2 = 2py

iv) Eixo de simetria sobre o eixo y (F(0,c))

x2 =4cy ou x2 =2py

(3) A hiprbole

A hiprbole o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja diferena,

em mdulo, de suas distncias aos focos F1 e F2 constante e menor que a distncia

entre eles.

|PF1 PF2|= 2a

Figura 33 Hiprbole em coordenada cartesiana

Os elementos de uma hiprbole so:

Focos: so os pontos F1 e F2.

Distncia focal: a distncia entre os focos (2c = F1F2).

61

Vrtices: So os pontos A1 e A2, interseces de F1F2 com a hiprbole.

Eixo real: o segmento A1A2 = 2a.

Centro: o ponto O, ponto mdio de A1A2.

Eixo imaginrio: o segmento B1B2 = 2b.

Excentricidade (e): a razo e =c

a, sendo e > 1.

Se e est prximo de 1, os ramos da hiprbole sero mais fechado. Se e for um

nmero tendendo ao infinito, os ramos da hiprbole sero mais abertos.

Em uma hiprbole: c2 = a2 +b2.

As equaes de uma hiprbole so dadas por:

i) Focos no eixo das abscissas

x2

a2 y

2

b2= 1

ii) Focos no eixo das ordenadas

x2

b2 y

2

a2= 1

As assntotas de uma hiprbole so as retas y = ba

x, das quais a hiprbole fica

cada vez mais prxima, sem toc-las.

4.3.2 Cnicas em coordenadas polares.

Anton et al. (2000) deduz as equaes polares para as cnicas. Suponha-

mos que a diretriz esteja a direita do foco (Figura 54).

Sabendo quePF

PD= e, temos que

PF = ePD,

e como PF = r e PD = d rcos, segue que

62

r

d rcos = e

.

Assim,

d

r rcos

r=

1e

d

r=

1e+ cos

ed = r+ ercos

ed = r(1+ ecos)

r =ed

1+ ecos

.

Figura 34 Equao polar das cnicas

63

Assim, para os demais casos temos o seguinte resultado:

Teorema: Se uma seo cnica com excentricidade e est posicionada em um

sistema de coordenadas polares, de modo que seu foco est no plo e a diretriz

correspondente est a d unidades do plo, ento a equao da cnica tem uma das

quatro formas possveis, dependendo da sua orientao:

r =ed

1+ ecos(diretriz direita do polo)

r =ed

1 ecos (diretriz esquerda do polo)

r =ed

1+ esen(diretriz acima do polo)

r =ed

1 esen (diretriz abaixo do polo)

Ainda para Anton et al. (2000) na elipse precisa-se determinar a distncia

do foco aos vrtices. Sendo r0 a distncia do foco at o vrtice mais prximo e r1a distncia at o vrtice mais afastado, temos que: r0 = ac, r1 = a+c, somandoas duas temos: a = 12(r1 + r0) e subtraindo temos: c =

12(r1 r0). Agora multipli-

cando r0.r1 = a2 c2 = b2, logo b =

r0r1. Da mesma maneira que na elipse, na

hiprbole tem-se que: r0 = ca, r1 = a+c, somando as duas temos: a= 12(r1r0)e subtraindo tem-se: c= 12(r1+r0). Agora multiplicando r0.r1 = c

2a2 = b2, logob =

r0r1.

Exemplo:

a) Esboce o grfico de r =2

1+2senem coordenadas polares.

Soluo: Comparando com as equaes acima, observa-se a equao do

exemplo se trata da equao de uma hiprbole com diretriz uma unidade abaixo

do plo e excentricidade igual a dois, pois d = 1 e e = 2

64

Figura 35 Elipse

Figura 36 Hiprbole

Quando varia ao longo do intervalo de 0 < 76 , o valor de r positivo,e varia desde 2 para 23 e, em seguida, para + , que gera parte do ramo inferior.

(figura 40).

Quando varia ao longo do intervalo 76 < 32 , o valor de r negativae varia de a - 2, o que gera a parte direita do ramo superior.

Quando varia ao longo do intervalo 32 < 116 , o valor de r negativae varia de - 2 a , a qual gera a parte esquerda do ramo superior.

Quando varia ao longo do intervalo 116 < 2 , o valor de r positivo,e varia de + a 2, que preenche a pea que faltava no ramo inferior direito.

65

Figura 37 Esboo rudimentar da Hiprbole

Fazendo = 2 e =32 obtemos valores para r0 e r1 respectivamente:

r0 =2

1+2sen( 32 )= 23 e r1 =

21+2sen( 32 )

= 2.

Fazendo subtrao, adio e multiplicao dos valores de r0 e r1 temos a = 12(r1r0) =

23 , b =

r0r1 =

2

33 e c =

12(r1 + r0) =

43 como na figura 39.

66

5 TRANSFORMAES DE COORDENADAS

Este captulo apresenta um estudo voltado para a graduao, onde aborda-

mos as rotaes e translaes de eixos coordenados. No fim do captulo mostramos

a rotao de eixos utilizando a lgebra linear.

Quando se trabalha com cnicas, muitas vezes a escolha certa dos eixos

conduz a uma forma mais simples da equao. possvel simplificar essa equao

de duas maneiras, pela translao de eixos e/ou pela rotao de eixos.

Para Lehmann (1966) uma transformao uma operao pela qual uma

relao, expresso ou figura se transforma em outra seguindo uma lei dada. Ana-

liticamente, a lei se expressa por uma ou mais equaes chamadas equaes de

transformaes.

5.1 Translao de eixos coordenados

De acordo com Kindle (1976) sendo OX e OY os eixos originais e OX

e OY os eixos transladados, respectivamente paralelos aos primeiros. Conside-

rando (h,k) a nova origem do novo sistema e seja P um ponto qualquer do plano,

com (x,y) as coordenadas dos eixos originais e (x,y) as coordenadas nos novos

eixos.

Figura 38 Translao de eixos

67

Determinando-se x e y em funo de x, y, h e k, temos:

x = MP = MM+MP = h+ x

e,

y = NP = NN+NP = k+ y

Logo, as frmulas para transformao so: x = x+ h e y = y+ k, isto ,

x = xh e y = y k.

5.2 Rotao dos eixos coordenados

A rotao dos eixos coordenados consiste em manter a origem fixa e girar

os eixos em um determinado ngulo.

Lehmann (1966) traz o seguinte resultado,

Teorema 1: Se os eixos coordenados giram um ngulo em torno de sua origem

como centro de rotao, e as coordenadas de um ponto qualquer P antes e depois da

rotao so (x,y) e (x,y) respectivamente, as equaes de transformao do sis-

tema original ao novo sistema de coordenadas esto dadas por: x= xcosysen,y = xsen+ ycos.

Demonstrao: Sejam X e Y os eixos originais e X e Y os novos eixos. A partir

do ponto P traa-se a ordenada AP correspondente ao sistema X ,Y , a ordenada AP

correspondente ao sistema X ,Y , e a reta OP. Seja o ngulo POA = = r. Por

trigonometria tem-se:

68

Figura 39 Rotao de eixos

x = OA = rcos(+) (1)

y = AP = rsen(+) (2)

x = OA = rcos,y = AP = rsen (3)

De (1) tem-se:

x = OA = rcos(+) = rcoscos rsensen

.

Se nesta ltima equao substituir-se os valores dados por (3), obtemos a

primeira equao de transformao

x = xcos ysen

Analogamente, de (2)

69

y = rsen(+) = rsencos+ rcossen

De (3), tem-se a segunda equao de transformao:

y = xsen+ ycos

Para as aplicaes ser necessrio girar os eixos coordenados somente por

um ngulo suficientemente grande para fazer coincidir um dos eixos coordenados

com uma reta dada fixa qualquer, ou para fazer que seja paralelo a ela em um plano

coordenado. Assim podemos restringir, em geral, os valores do ngulo de rotao

ao intervalo dado por 0o 2

(LEHMANN, 1966).

J Ayres Jnior (1973) apresenta outra maneira de encontrar as equaes

de rotao, mantendo a origem fixa, e os eixos coordenados girando em sentido

anti-horrio um ngulo , e se um ponto P tem coordenadas (x,y) no sistema OXY

e (x,y) no novo sistema tem-se:

Figura 40 Eixos com rotao

70

x = OM = ON MN = ON RQ

= OQcosQPsen

= xcos ysen

y = MP = MR+RP = NQ+RP

= OQsen+QPcos

= xsen ycos

De acordo com Camargo et al.(2005) sendo P(x,y) um ponto do plano

. Quando rotaciona-se radianos no sentido anti-horrio, obtm-se um ponto

P(u,v) tal que{

x = ucos vseny = usen+ vcos

,

onde P = P. Resolvendo esse sistema temos{

u = xcos+ ysen

v =xsen+ ycos,

que so as expresses das novas coordenadas em relao s antigas. Pode-se es-

crever matricialmente por[

x

y

]

= M.

[

u

v

]

ou

[

u

v

]

= M1.

[

x

y

]

,

onde M a matriz mudana de base M =

[

cos sensen cos

]

que ortogonal, ou

71

seja, M1 = Mt .

Exemplo:

Obtenha um sistema de coordenadas xy pela rotao do sistema de coor-

denadas xy por um ngulo de = 60. Obtenha a equao da curva

3xy+y2 = 6

no sistema de coordenadas xy. Esboce o grfico da curva mostrando ambos sis-

temas de coordenadas.

Soluo: As equaes de transformao por rotao so:

x = xcos60 ysen60 = 12 x

32 y

e

y = xsen60+ ycos60 =

32 x

+ 12 y.

Substituindo estes valores de x e y na equao

3xy+ y2 = 6:

3(

12 x

32 y

)

.

(3

2 x+ 12 y

)

+(

32 x

+ 12 y)2

= 6

Desenvolvendo e simplificando essa ltima equao, obtemos a equao

transformada 3x2y2 = 12. Logo, o lugar geomtrico uma hiprbole, esboadana figura 43.

Figura 41 Rotao de eixos da hiprbole

72

5.3 A equao geral do 2o grau em R2

De acordo com Anton et al. (2000), a equao da forma

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0

recebe o nome de equao polinomial de segundo grau em x e y. O termo Bxy

chamado termo misto. Se a equao no tiver o termo misto, ou seja, B = 0,

ento a equao do tipo Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+F = 0 e, neste caso, o grfico

ser possivelmente uma seco cnica degenerada que est na posio padro ou

transladada. Agora, se a equao tiver o termo misto, ou seja, B 6= 0, o grfico serpossivelmente uma cnica rotacionada de sua orientao-padro.

Lehmann (1966) afirma que para transformar a equao polinomial do se-

gundo grau que apresenta o