Dissertação de mestrado em aterramento

Gilberto de Magalhães Falcoski

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE

DE FALTA EM SISTEMAS DE ATERRAMENTO

DE REDES PRIMÁRIAS

Área de concentração:

Sistemas de Potência

Orientador:

Prof. Dr. Aderbal de A. Penteado Jr.

Contato com os autores:

[email protected]

Defendida em 28/09/2001, à disposição na biblioteca de Engenharia de Eletricidade da Escola Politécnica da USP.

Esta re-impressão difere da original apenas com relação à numeração das páginas.

Universidade de São Paulo

2001

1

mailto:[email protected]

SUMÁRIO

SUMÁRIO...........................................................................................2

FIGURAS............................................................................................7

SIMBOLOGIA...................................................................................11

RESUMO..........................................................................................12

AGRADECIMENTOS.......................................................................13

1. INTRODUÇÃO.......................................................................14

1.1 ATERRAMENTO - FUNÇÕES E IMPORTÂNCIA.................................14

1.1.1 Importância......................................................................................14

1.1.2 Proteção de pessoas.......................................................................22

1.1.3 Tensões de toque e passo..............................................................24

1.1.4 Proteção de equipamentos.............................................................25

1.2 PROCEDIMENTOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SISTEMAS DE

ATERRAMENTO...............................................................................................28

1.2.1 Pré-definição dos elementos...........................................................28

2

1.2.2 Cálculo da distribuição de correntes...............................................28

1.2.3 Cálculo de sobretensões.................................................................30

1.2.4 Definição final dos elementos..........................................................31

1.3 IMPACTO DA DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTES NOS

DIMENSIONAMENTOS DOS ATERRAMENTOS DE REDES PRIMÁRIAS....33

1.3.1 Correntes de falta nos cabos neutros multi-aterrados....................33

1.3.2 Superdimensionamentos.................................................................35

1.3.3 Custos x Segurança........................................................................35

2. METODOLOGIAS EXISTENTES..........................................37

2.1 MODELOS MATEMÁTICOS.................................................................37

2.1.1 Modelo por grandezas reais com impedância de retorno pela terra

37

2.1.2 Modelo por grandezas reais sem impedância de retorno pela terra

39

2.1.3 Modelo por diagrama de sequência zero........................................40

2.1.4 Modelo por grandezas reais com capacitâncias próprias e mútuas

42

2.2 RECOMENDAÇÕES DA NORMA ANSI/IEEE 80 - 1991......................45

2.3 MATRIZES EM CASCATA (SEBO).......................................................46

2.4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS (ENDRENYI)............................................49

2.4.1 Lader infinito sem mútuas...............................................................50

2.4.2 Lader finito sem mútuas..................................................................51

2.4.2.1 Com terminação em aberto..................................................52

2.4.2.2 Com terminação em impedância..........................................53

2.4.3 Lader finito com mútuas..................................................................54

2.4.4 Lader infinito com mútuas...............................................................56

2.4.5 Hipóteses e limitações.....................................................................56

2.5 ELIMINAÇÃO DUPLA (DAWALIBI).......................................................58

2.6 EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS (VERMA, MUKHEDKAR)....................59

3

2.7 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO (MELIOPOULOS).......................64

2.8 MÉTODO DIRETO (MELIOPOULOS)...................................................66

2.8.1 Modelagem da linha pela matriz admitância...................................66

2.8.2 Modelagem da alimentação e falta pela matriz admitância............68

2.8.3 Equações nodais.............................................................................69

2.9 MÉTODO DESACOPLADO (SOBRAL, MUKHEDKAR).......................71

2.9.1 Desacoplamento.............................................................................72

2.9.2 Substituição de lader desacoplado por pi equivalente....................75

2.9.2.1 Lader finito com vãos iguais.................................................77

2.9.2.2 Lader finito com vãos diferentes...........................................78

2.9.2.3 Constante de espaço............................................................78

2.9.3 Análise nodal...................................................................................79

2.10 ALIMENTAÇÃO NO PONTO (GOOI, SEBO)........................................82

2.11 MÉTODO PRÁTICO (POPOVIC)..........................................................88

2.12 MÚTUA EQUIVALENTE (SEEDHER)...................................................94

2.13 SÍNTESE...............................................................................................95

3. APLICAÇÕES A SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO................98

3.1 REDE PRIMÁRIA DE DISTRIBUIÇÃO TÍPICA.....................................98

3.1.1 Configuração...................................................................................98

3.1.2 Impedâncias..................................................................................101

3.1.3 Cálculo da distribuição de correntes para falta no ponto P1-A.....102

3.1.3.1 Pelas leis de Kirchhoff, com aproximações........................103

3.1.3.2 Método desacoplado..........................................................105

3.1.3.3 Pelas aproximações gráficas de funções hiperbólicas.......107

3.1.4 Idem para falta no ponto P9-A......................................................110

3.1.4.1 Pelas leis de Kirchhoff, com aproximações........................111

3.1.4.2 Método desacoplado..........................................................112

3.1.4.3 Pelas aproximações gráficas de funções hiperbólicas.......113

3.1.5 Constante de espaço....................................................................114

4

3.1.6 Sobretensão no neutro devida a falta na subestação de alimentação

115

3.2 REDUÇÃO DE CUSTOS EM DIMENSIONAMENTOS DE MALHA DE

TERRA DE SUBESTAÇÃO ALIMENTADA POR REDE PRIMÁRIA...............117

3.2.1 Divisão da rede primária em regiões considerando a constante de

espaço117

3.2.2 Critérios práticos para dimensionamento otimizado de malha de

terra de subestação de consumidor..........................................................118

3.2.3 Considerações sobre segurança...................................................120

3.3 ANÁLISES DE SENSIBILIDADE PARA A REDE PRIMÁRIA..............122

3.3.1 Variação do tamanho do vão........................................................122

3.3.2 Variação das resistências de aterramento nos postes..................123

4. CONCLUSÕES....................................................................125

4.1 A IMPORTÂNCIA DO CONDUTOR NEUTRO MULTI-ATERRADO NA

DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTES EM REDES PRIMÁRIAS.........................126

4.2 TRANSFERÊNCIA DE POTENCIAIS..................................................126

4.2.1 Sobretensões no neutro devidas a falta na subestação da

concessionária..........................................................................................126

4.2.2 Sobretensões no neutro devidas a falta em subestação alimentada

pelo circuito primário.................................................................................127

4.2.3 Sobretensões no neutro da rede secundária 220 V devidas a falta

na rede primária........................................................................................128

4.3 TRABALHOS FUTUROS.....................................................................128

ANEXO – SOBRETENSÕES EM REDES PRIMÁRIAS

CAUSADAS POR FALTAS NA SUBESTAÇÃO DA

CONCESSIONÁRIA.......................................................................129

SISTEMA DE POTÊNCIA DA CONCESSIONÁRIA........................................129

5

CÁLCULO POR LADER INFINITO (ENDRENYI)............................................130

POR EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS (VERMA, MUKHEDKAR).....................137

COMPARAÇÃO DE RESULTADOS...............................................................137

APÊNDICE A - DEDUÇÕES DA MATRIZ DO VÃO E DAS

EQUAÇÕES DO MÉTODO “MATRIZES EM CASCATA”...........139

APÊNDICE B - DEDUÇÃO DA MATRIZ ADMITÂNCIA DO

“MÉTODO DIRETO” PARA MODELO DE LINHA FASE NEUTRO

MULTI-ATERRADO.......................................................................145

APÊNDICE C - ATP ALTERNATIVE TRANSIENT PROGRAM -

ARQUIVOS DE DADOS PARA ITENS 3.1.3.2 E 3.1.4.2......153

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................156

6

FIGURAS

Figura 1-A ESQUEMA DE ATERRAMENTO TN...........................................15

Figura 1-B ESQUEMA DE ATERRAMENTO TT...........................................16

Figura 1-C ESQUEMA DE ATERRAMENTO IT............................................17

Figura 1-D ESQUEMA DE ATERRAMENTO TTS........................................19

Figura 1-E LINHAS EQUIPOTENCIAIS EM HASTE.....................................19

Figura 1-F LINHAS EQUIPOTENCIAIS EM MALHA.....................................20

Figura 1-G ESQUEMA DE ATERRAMENTO TNR........................................21

Figura 1-H SISTEMA ELÉTRICO SEM ATERRAMENTO COM FALTA

FASE-TERRA.............................................................................................25

Figura 1-I SISTEMA ELÉTRICO COM FALTA ENTRE ALTA E BAIXA

TENSÃO.....................................................................................................26

Figura 1-J DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA EM ATERRAMENTO

DE REDE PRIMÁRIA.................................................................................29

Figura 1-K DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA NO NEUTRO

MULTI-ATERRADO...................................................................................33

Figura 2-A MODELO POR GRANDEZAS REAIS COM IMPEDÂNCIA DE

RETORNO PELA TERRA..........................................................................38

Figura 2-B MODELO POR GRANDEZAS REAIS SEM IMPEDÂNCIA DE

RETORNO PELA TERRA..........................................................................40

Figura 2-C MODELO POR DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO.................41

Figura 2-D MODELO POR GRANDEZAS REAIS COM CAPACITÂNCIAS

PRÓPRIAS E MÚTUAS.............................................................................43

Figura 2-E MÉTODO “MATRIZES EM CASCATA”: REDE PRIMÁRIA COM N

VÃOS EM FALTA PARA TERRA...............................................................46

7

Figura 2-F REDE PRIMÁRIA EM FALTA REPRESENTADA POR

PARÂMETROS DISTRIBUIDOS................................................................49

Figura 2-G EQUIVALÊNCIA ENTRE LADERS INFINITOS A PARÂMETROS

CONCENTRADOS E DISTRIBUIDOS.......................................................51

Figura 2-H ELEMENTO DE LADER FINITO COM COMPRIMENTO

TENDENDO A ZERO.................................................................................52

Figura 2-I LADER FINITO SEM MÚTUAS A SER CALCULADO POR

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS......................................................................53

Figura 2-J IMPEDÂNCIAS DE CORREÇÃO PARA O MÉTODO "FUNÇÕES

HIPERBÓLICAS"........................................................................................54

Figura 2-K MÉTODO "EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS": REDE PRIMÁRIA

EM FALTA..................................................................................................60

Figura 2-L LINHA FASE NEUTRO MULTI-ATERRADO A SER

REPRESENTADA PELA MATRIZ ADMITÂNCIA.......................................67

Figura 2-M ALIMENTAÇÃO E FALTA A SEREM MODELADAS PELAS

MATRIZES ADMITÂNCIAS........................................................................68

Figura 2-N MÉTODO DIRETO: REDE PRIMÁRIA EM FALTA....................69

Figura 2-O CIRCUITO DE UM VÃO A SER DESACOPLADO......................73

Figura 2-P CIRCUITO DESACOPLADO DE UM VÃO..................................73

Figura 2-Q CIRCUITO DESACOPLADO DE N VÃOS..................................75

Figura 2-R REDUÇÃO DE CIRCUITO UTILIZANDO EQUIVALÊNCIA

ENTRE LADER E PI...................................................................................76

Figura 2-S LADER FINITO COM VÃOS IGUAIS A SER SUBSTITUIDO POR

PI EQUIVALENTE......................................................................................77

Figura 2-T CIRCUITO PI EQUIVALENTE AO LADER..................................78

Figura 2-U LADER FINITO COM VÃOS DIFERENTES A SER

SUBSTITUIDO POR PI EQUIVALENTE....................................................78

Figura 2-V DEFINIÇÃO DE CONSTANTE DE ESPAÇO..............................79

Figura 2-W "MÉTODO DESACOPLADO": CIRCUITOS ORIGINAL E

REDUZIDO DE REDE PRIMÁRIA EM FALTA...........................................80

Figura 2-X MÉTODO "ALIMENTAÇÃO NO PONTO": REDE PRIMÁRIA EM

FALTA PARA TERRA................................................................................83

8

Figura 2-Y CIRCUITO EQUIVALENTE COM ALIMENTAÇÃO NO PONTO

EM FALTA..................................................................................................84

Figura 2-Z “MÉTODO PRÁTICO”: SISTEMA EM ANÁLISE........................88

Figura 2-AA “MÉTODO PRÁTICO”: CIRCUITO EQUIVALENTE PARA O

CASO GERAL............................................................................................89

Figura 2-BB INTERLIGAÇÃO DOS DIAGRAMAS SEQUENCIAIS PARA

JUSTIFICATIVA DO CIRCUITO EQUIVALENTE......................................91

Figura 2-CC CIRCUITO EQUIVALENTE SIMPLIFICADO............................92

Figura 3-A REDE PRIMÁRIA EM ANÁLISE..................................................99

Figura 3-B DISPOSIÇÃO DOS CONDUTORES NO POSTE......................100

Figura 3-C DIAGRAMAS SEQUENCIAIS PARA 150m DA REDE PRIMÁRIA

.................................................................................................................103

Figura 3-D FALTA EM P1A: CIRCUITO EQUIVALENTE COM

APROXIMAÇÕES....................................................................................104

Figura 3-E FALTA EM P1A: CIRCUITO EQUIVALENTE PARA O MÉTODO

DESACOPLADO......................................................................................106

Figura 3-F CIRCUITO DESACOPLADO SIMPLIFICADO POR PI

EQUIVALENTE........................................................................................106

Figura 3-G FALTA EM P1A: CIRCUITO DO MÉTODO DESACOPLADO A

SER RESOLVIDO PELO ATP..................................................................107

Figura 3-H CIRCUITO REDUZIDO PARA CÁLCULO PELAS

APROXIMAÇÕES GRÁFICAS DE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS.............108

Figura 3-I DIAGRAMAS SEQUENCIAIS PARA 1350m DA REDE PRIMÁRIA

.................................................................................................................110

Figura 3-J FALTA EM P9A: CIRCUITO EQUIVALENTE...........................111

Figura 3-K FALTA EM P9A: CIRCUITO DESACOPLADO SIMPLIFICADO

PELO PI EQUIVALENTE.........................................................................112

Figura 3-L FALTA EM P9A: CIRCUITO DO MÉTODO DESACOPLADO A

SER RESOLVIDO PELO ATP..................................................................113

Figura 3-M DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTES NA SUBESTAÇÃO DE

ALIMENTAÇÃO DOS CIRCUITOS PRIMÁRIOS.....................................115

Figura 3-N DIVISÃO DA EXTENSÃO DA REDE PRIMÁRIA EM REGIÕES

PARA DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO..............................................118

9

Figura 3-O DETERMINAÇÃO PRÁTICA DE It PARA SUBESTAÇÃO

LOCALIZADA NA REGIÃO A ou C..........................................................119

Figura 3-P DETERMINAÇÃO PRÁTICA DE It PARA SUBESTAÇÃO

LOCALIZADA NA REGIÃO B...................................................................119

Figura 3-Q DETERMINAÇÃO PRÁTICA DE It PARA SUBESTAÇÃO EM

REDE PRIMÁRIA MENOR QUE 2 CE.....................................................120

Figura A SUBESTAÇÃO DA CONCESSIONÁRIA EM FALTA PARA TERRA

NO BARRAMENTO DE ALTA TENSÃO..................................................129

Figura B IMPEDÂNCIAS POR VÃO DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO.....130

Figura C CIRCUITO COMPLETO DO SISTEMA DE POTÊNCIA EM FALTA

.................................................................................................................131

Figura D CIRCUITO EQUIVALENTE REDUZIDO........................................132

Figura E CÁLCULO DA CORRENTE DE FALTA PELAS IMPEDÂNCIAS DE

CARSON DESPREZANDO AS MÚTUAS................................................132

Figura F DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA NA SUBESTAÇÃO DA

CONCESSIONÁRIA.................................................................................133

Figura G DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA NO TERMINAL DE

ENERGIZAÇÃO.......................................................................................133

Figura H CIRCUITO EQUIVALENTE SIMPLIFICADO CONSIDERANDO AS

MÚTUAS..................................................................................................134

10

SIMBOLOGIA

NOTA: Esta simbologia será utilizada em todas as partes exceto nas

descrições de métodos de cálculo, itens 2.1 a 2.12, onde serão mantidos em

cada método, para facilidade de consulta, os símbolos utilizados pelos

respectivos autores.

Ua - tensão em relação a um terra remoto, complexa, no ponto a.

k - representação genérica do vão sendo k=1 no poste ou subestação em

falta e k = n na subestação de alimentação.

n - número total de vãos entre a falta e a alimentação

If - corrente complexa de falta fase-terra, igual a 3 Io

Io - corrente complexa de falta de seqüência zero

It - corrente complexa que penetra a terra, sendo It1 a corrente que flui do

ponto 1 para terra.

In - corrente complexa no neutro.

In1, In2 - corrente complexa na derivação 1 do neutro, ou derivação 2

Ian - corrente complexa autoneutralizada

Za - impedância complexa própria, com retorno pela terra, da fase a

Zn - impedância complexa própria, com retorno pela terra, do neutro

Zm - impedância complexa mútua, com retorno pela terra, entre fase a e

neutro.

- fator de acoplamento

Zse - impedância complexa total de aterramento da subestação de

alimentação,

igual à resistência da malha em paralelo com os laders dos cabos

guarda

Zf - impedância complexa total de aterramento do ponto em falta para terra

igual à resistência do ponto em paralelo com os laders dos cabos guarda

Rp - resistência de aterramento de um poste

Z1, Z2, Zo - impedâncias complexas respectivamente de sequência positiva,

negativa e zero de rede trifásica

11

Zs, Zp - impedâncias série e paralelo de um circuito lader

Zinf - impedância de um lader infinito

CE - constante de espaço

RESUMO

Será feita uma análise do aterramento de redes primárias aéreas

de distribuição típicas, operando com tensões de 13,8 kV a 32,5 kV,

alimentando consumidores em alta tensão e transformadores para redes de

distribuição de baixa tensão. Serão estudadas as distribuições de correntes

durante faltas à terra, considerando-se diversos locais para o defeito e

determinando valores característicos.

Um dos objetivos é a sugestão de método de cálculo de forma a

possibilitar que o consumidor em alta tensão projete, de maneira simples, o

sistema de aterramento de sua subestação com o menor custo possível,

considerando a corrente que penetra a terra através de sua malha de aterra-

mento, em vez da corrente total de falta. Isto será conseguido assumindo-se

alguns parâmetros da rede de distribuição, considerando o pior caso, o que

resultará em certo erro para a corrente, porém conservativo. Foi executada

uma pesquisa sobre os métodos de cálculo existentes, procurando-se

identificar o mais adequado ao caso.

Outro objetivo é a detecção de sobretensões perigosas nas insta-

lações de baixa tensão, durante faltas à terra nas redes de alta tensão. Será

feita a análise em sistemas de baixa tensão alimentados tanto por rede

secundária da concessionária como por transformador de consumidor em alta

tensão. Meios para a eliminação ou minimização destas tensões serão

procurados.

Para a consecução destes objetivos serão elaboradas também aná-

lises de sensibilidade para diversos parâmetros dos sistemas em estudo. Des-

12

tas análises concluiremos sobre os melhores valores para cada parâmetro, sob

o ponto de vista das metas acima.

13

AGRADECIMENTOS

Ao orientador Prof. Dr. Aderbal A. Penteado pelo total apoio.

Aos senhores membros da banca de qualificação pelas críticas

construtivas e inúmeras sugestões, Prof. Dr. E. C. Senger e Prof. Dr. M. A.

Saidel.

Ao Prof. Dr. J. R. Cardoso pelo permanente incentivo.

Aos senhores Diretores e Coordenadores da Universidade Santa

Cecília, que através do Programa de Pós-Graduação Inter-Institucional

estabelecido com a USP, nos possibilitaram excelente evolução profissional.

14

1. INTRODUÇÃO

1.1 ATERRAMENTO - FUNÇÕES E IMPORTÂNCIA

1.1.1 Importância

Para um sistema elétrico qualquer, micro ou mega, diversas são as

finalidades de um adequado aterramento:

- Proteção de pessoas

- Proteção de equipamentos

- Fornecer caminho de escoamento da corrente de falta para terra.

- Fornecer caminho de escoamento de descargas atmosféricas para a terra.

- Fornecer referência de sinais para equipamentos eletrônicos.

O enfoque deste trabalho será na proteção de pessoas.

Adicionalmente vamos procurar minimizar custos, sem cálculos extensos, em

sistemas de aterramento de subestações alimentadas por redes primárias.

Atualmente estão bem estabelecidos em norma [12,13] os perigos

da corrente elétrica no corpo humano, sendo que os dimensionamentos dos

aterramentos são feitos em função destes perigos. Uma pessoa não pode

estar submetida a uma diferença de potencial perigosa, tanto em operação

normal como em situações de defeitos.

15

A norma brasileira de instalações de baixa tensão [21] determina

que os aterramentos sejam feitos de três formas:

a) Sistema TN:

R

S

T

Alimentacao

Cargas

Neutro

Terra

intr tn

Figura 1-A ESQUEMA DE ATERRAMENTO TN

A.1) Definição:

Sistema onde carcaças de equipamentos e neutro da alimentação são ligados

ao mesmo eletrodo.

A.2) Vantagem:

Um caminho de baixa impedância para a corrente de falta à terra, o que

resulta em elevada corrente capaz de atuar os dispositivos de proteção do

circuito defeituoso.

A.3) Desvantagem:

Potenciais de transferência perigosos que podem aparecer nas carcaças dos

equipamentos durante faltas para terra na parte de alta tensão.

16

b) Sistema TT:

R

S

T

Alimentacao

Cargas

Neutro

Terra

Eletrodos distintos, nao interligados,

distantes um do outro

intr tt

Figura 1-B ESQUEMA DE ATERRAMENTO TT

B.1) Definição:

Sistema onde carcaças de equipamentos e neutro da alimentação são ligados

a eletrodos distintos.

B.2) Vantagem:

Eliminação de perigos devidos à transferência de potenciais por ocasião de

faltas na parte de alta tensão.

B.3) Desvantagem:

Caminho para a corrente de falta para terra que inclui o solo em série com os

condutores metálicos. Assim o circuito para a corrente de falta tem geralmente

17

alta impedância, o que resulta em baixo valor para a corrente, sendo esta

insuficiente para desligar os dispositivos de proteção do circuito. Desta forma a

falta pode perdurar por muito tempo sem ser percebida, ocasionando perdas

de energia e perigos para o corpo humano. Estes problemas podem ser

contornados por dispositivos DR, obrigatórios pela NBR5410 nos sistemas TT,

que evitam os perigos para o ser humano; nos disjuntores gerais podem ser

instalados detectores de falta à terra.

c) Sistema IT:

R

S

T

Alimentacao

Cargas

Neutro

Terra



Impedancia elevada

ou infinita

intr it

Figura 1-C ESQUEMA DE ATERRAMENTO IT

C.1) Definição:

Sistema onde carcaças de equipamentos são aterradas e o neutro da

alimentação não é aterrado, ou é aterrado por meio de alta impedância.

C.2) Desvantagem:

18

Neste sistema não há um caminho fechado para a corrente de falta à terra,

sendo nula ou muito baixa. Isto resulta em carcaças sob tensão, havendo a

necessidade de dispositivos “supervisores de isolamento” para detectarem o

problema. Se não houver estes equipamentos, o defeito vai perdurar no

sistema, colocando carcaças sob tensão nominal, o que representa perigo ao

corpo humano. Nesta situação, a ocorrência de uma segunda falta provocaria

o desligamento da alimentação.

C.3) Vantagem:

Ocorrendo o defeito, não há desligamento da alimentação e a energia elétrica

continua a ser suprida às cargas. Este sistema de aterramento é utilizado

apenas em locais onde seja vital a continuidade do fornecimento de energia

elétrica, por exemplo hospitais, ou indústrias onde a interrupção de energia

represente enorme prejuízo.

A norma NBR 14039, de instalações elétricas de alta tensão ( até

36 kV), está sofrendo revisão, sendo que serão autorizados 6 esquemas de

aterramento, dos quais citaremos apenas um. O TTS considera uma instalação

alimentada a partir de transformador, onde a tensão primária pode ser

qualquer valor entre 1 e 36 kV. Na parte de baixa tensão temos o esquema TT

acima apresentado, e na parte de alta tensão aterramos a carcaça do

transformador a um eletrodo independente.

19

R

S

T

Cargas

Neutro

Terra



Transformador de

alimentacao

Tensao

secundaria

intr tts

Figura 1-D ESQUEMA DE ATERRAMENTO TTS

Do exposto verificamos que qualquer que seja o esquema de ater-

ramento teremos vantagens e desvantagens, que devem ser consideradas na

escolha do melhor sistema para uma dada situação.

O escoamento de correntes para terra através de uma haste

produz a seguinte configuração de linhas equipotenciais:

V1V2

V3V4

Potencial na

haste = U

corrente potencial 0

no infinito

intr eq1

Figura 1-E LINHAS EQUIPOTENCIAIS EM HASTE

O escoamento pode ser também através de uma malha de terra, caso em que

temos a configuração a seguir:

20

V1V2

V3

Potencial na

malha = U

V = 0

intr eq2

Figura 1-F LINHAS EQUIPOTENCIAIS EM MALHA

Em qualquer das 2 situações verificamos, para o escoamento da corrente It,

uma elevação do potencial U na haste ou na malha, em relação a um ponto

muito afastado, sendo o seu cálculo conforme item 1.2.2, “Cálculo de

sobretensões”.

Endrenyi [5] mediu os potenciais causados por falta à terra em

uma torre de linha de transmissão, muito distante da alimentação, obtendo as

linhas equipotenciais com formatos concêntricos, conforme a penúltima figura.

Para o potencial na torre, em relação a um ponto remoto, obteve 1000 V, com

corrente de falta 10 kA, resistividade do solo 75 ohm-m, e 2 cabos-guarda

ACSR de 110,8 MCM. O valor calculado para este potencial foi 1150 V.

Em um esquema qualquer, o ideal é não termos nenhuma

diferença de potencial ao qual o corpo humano possa estar sujeito, e por isto

devemos na medida do possível executar uma equalização de potenciais,

conforme recomendado pelas normas de instalações elétricas. Assim, sempre

que possível, devemos interligar partes metálicas não energizadas e os

diversos sistemas de aterramento das edificações, tais como, pára-raios,

aterramento para informática, subestação, etc... O esquema TNR, a ser

implementado na revisão em curso da NBR 14039, adota estas medidas.

21

R

S

T

Cargas

Neutro

Terra

Transformador de

alimentacao

intr tnr

Figura 1-G ESQUEMA DE ATERRAMENTO TNR

Na escolha de um sistema de aterramento, especial atenção deve

ser dada, conforme alertado na IEEE-80 [13], capítulo 15, ao perigo de

surgimento de potenciais de transferência, sendo que, nestes casos várias

soluções podem ser adotadas, ou mesmo outros esquemas de aterramento

podem ser utilizados. Embora as soluções para potenciais de transferência

não sejam objeto deste trabalho, o cálculo da distribuição da corrente é

fundamental para quantificarmos estes potenciais.

Além da proteção de pessoas, o aterramento protege

equipamentos também, evitando prejuízos. Por exemplo, a instalação de

gerador sem um adequado aterramento pode resultar em sobretensões em

regime contínuo da ordem de 73% em relação ao valor nominal fase-terra,

suficientes para romper a isolação de muitos equipamentos de utilização.

Assim, podemos afirmar que um sistema elétrico sem um

adequado aterramento está com riscos para a segurança das pessoas e

integridade dos equipamentos.

22

1.1.2 Proteção de pessoas

A norma IEC 479 nos fornece, em forma gráfica, a relação tempo-

corrente tolerada pelo corpo humano. Este gráfico está reproduzido em

“Manual de Instalações Elétricas” de A. Cotrim [12], onde distinguimos 3

regiões:

- Região 2: geralmente nenhum efeito pato-fisiológico perigoso

- Região 3: geralmente nenhum risco de fibrilação

- Região 4: probabilidade de até 50% de fibrilação

Entre as regiões 2 e 3 temos a chamada “curva de segurança”,

pela qual devemos nos orientar em projetos de sistemas elétricos.

A partir do gráfico vemos que importa o valor da corrente

associado ao tempo que ela perdura no corpo humano. Uma corrente de 200

mA sendo cortada antes de 50 ms não apresenta risco nenhum, enquanto que

uma corrente de 50 mA durando 10 s pode ser prejudicial. Para os pares

tempo-corrente situados na região 2 temos boas condições de segurança.

A corrente que atravessa o corpo humano depende da tensão a

que está submetido e da sua resistência, conforme a lei de ohm. Esta

resistência não é constante com a tensão, sendo o corpo humano um bipolo

não linear. Além disto, ela varia também com as condições de umidade da

pele, sendo menor para pele molhada e maior para pele seca. Também, para

as mesmas condições de tensão e umidade, ela varia de um indivíduo para

outro, sendo que trabalhamos sempre com valores médios para o ser humano.

Com relação à umidade da pele a NBR 5410 define 4 situações:

23

- BB1: pele perfeitamente seca, nem mesmo suor

- BB2: pele úmida

- BB3: pele molhada

- BB4: pele imersa na água

Temos os valores de resistência para o corpo humano como função da tensão

aplicada e umidade da pele, e conseqüentes valores das correntes:

TENSÃO BB1 BB2 BB3 BB4

(V) kohm / mA kohm / mA kohm / mA kohm / mA

25 5/5 2,5/10 1/25 0,4/50

100 2,2/45 1,5/70 0,73/140 0,26/370

250 1/230 1/230 0,65/500 0,2/1000

Tabela 1-A RESISTÊNCIAS DO CORPO HUMANO

Verificamos desta tabela que um choque em 110 V com a pele molhada pode

ser extremamente perigoso. Concluímos o mesmo para um choque, nas

melhores condições para a pele, em uma rede de 220/380 V.

Da associação desta tabela com as curvas tempo x corrente

mencionadas, resultam as chamadas “CURVAS DE SEGURANÇA PARA

CONDIÇÕES BB” [12], que nos fornecem os máximos valores de tensões para

determinados tempos, que o corpo humano suporta.

Concluímos destas curvas os tempos de atuação das proteções,

para a condição mais favorável possível, BB1:

Tensão no corpo humano Tempo máximo de corte

24

75 V 5 s

110 V 200 ms

220 V 50 ms

300 V 25 ms

400 V 10 ms

Tabela 1-B TEMPOS DE CORTE DE TENSÕES PERIGOSAS NO CORPO

HUMANO

1.1.3 Tensões de toque e passo

A IEEE80 define estas tensões como:

- Tensão de toque: A tensão, durante o escoamento de corrente para terra,

entre as mãos e os pés de uma pessoa, supondo as mãos em contato com

partes metálicas aterradas. Na Figura 1-E, uma pessoa em pé sobre a linha

equipotencial V4 e tocando um metal aterrado fica sujeita a uma tensão de

toque igual a (U - V4).

- Tensão de passo: A tensão, durante o escoamento de corrente para terra,

entre os pés de uma pessoa, supondo um passo de 1 m e não havendo

contato com partes metálicas aterradas. Na Figura 1-E, uma pessoa com um

pé na linha equipotencial V4 e outro pé em V3, com 1 m entre os pés, fica

sujeita a uma tensão de passo igual a (V4 - V3).

Nesta mencionada norma o cálculo do valor limite para cada uma

destas tensões é feito considerando-se o tempo de atuação da proteção, a

resistividade do solo, e a existência de fina camada de material com alta

resistividade, na superfície, por exemplo pedra britada.

25

Verificamos pela Figura 1-E e Figura 1-F que as tensões de passo

e toque são frações da tensão da malha em relação a um ponto remoto, “U”,

sendo que esta pode exceder os limites de tensão para o corpo humano.

Entretanto, cuidados especiais devem ser tomados com relação aos potenciais

de transferência, quando as pessoas podem ficar sujeitas a “U”.

1.1.4 Proteção de equipamentos

Verificaremos com 2 casos simples como a falta de aterramento

pode provocar danos a equipamentos.

Consideremos um sistema elétrico constituído por um gerador

trifásico 440 V alimentando diversas cargas, sem aterramento do neutro. Por

acidente, em uma das cargas, o condutor fase encosta na carcaça. Nesta

situação temos o esquema abaixo, onde observamos que a fase R ficou ao

potencial da terra.

S

T

Gerador 440 V

Falta fase-terra

Cargas

440V 440V

440V 440V

Rintr pe1

Figura 1-H SISTEMA ELÉTRICO SEM ATERRAMENTO COM FALTA

FASE-TERRA

26

Como conseqüência temos a tensão de linha 440 V aplicada à

isolação fase-terra dos equipamentos, pois as carcaças normalmente estão ao

potencial da terra devido aos elementos de fixação em geral metálicos, e

devido também ao próprio contato das carcaças com a terra ou concreto. Esta

sobretensão agindo continuamente nos elementos isolantes dos equipamentos

vai causar uma falha da isolação ou uma redução considerável da vida útil dos

equipamentos, situação que pode ser evitada com aterramento do sistema.

O sistema IT tem a alimentação isolada da terra, conforme

mencionado anteriormente, e na ocorrência da primeira falta fase-terra temos

uma situação similar à da figura anterior, ou seja, tensões de linha entre fases

e carcaças. É por esta razão que a NBR 5410 exige que equipamentos a

serem utilizados em sistemas IT tenham isolação entre fases e carcaças

projetadas para o valor da tensão de linha.

Outro caso de danos a equipamentos, e também perigo para as

pessoas, é uma falta entre instalações de tensões diferentes, por exemplo, um

condutor de alta tensão que acidentalmente se solta do poste e encosta nos

condutores de baixa tensão, ou uma falha de isolação dentro do

transformador, conforme esquema:

2000 V 200 V

Ligacao acidental entre

alta e baixa tensaoIf

If

If

If

If

IfIf

If = corrente

de falta

2000:200 V

intr pe2

Figura 1-I SISTEMA ELÉTRICO COM FALTA ENTRE ALTA E BAIXA

TENSÃO

27

Nesta situação a corrente de falta tem o caminho indicado, e valor suficiente

para fazer atuar o dispositivo de proteção contra faltas à terra na subestação

da concessionária. Caso não haja o terra indicado no secundário do

transformador, a corrente de falta não tem caminho de retorno, portanto é nula,

não havendo atuação da proteção da concessionária. Desta forma, todo o

sistema elétrico alimentado pelo secundário do transformador ficará

indefinidamente sob a tensão do primário.

Além dos 2 casos citados, muitas outras razões existem para o

aterramento de sistemas elétricos relacionadas com a proteção de

equipamentos. Apresentamos, baseados no Handbook “Beeman” [2], capítulo

VI, “Aterramento dos Sistemas Elétricos”, as seguintes vantagens de um

sistema aterrado:

a) Custos reduzidos de operação e manutenção:

- Redução na magnitude das sobretensões transitórias.

- Melhoria na proteção contra descargas atmosféricas.

- Simplificação da localização de faltas à terra.

- Melhoria da proteção dos equipamentos e do sistema.

b) Maior confiabilidade do sistema.

c) Maior segurança para pessoas e equipamentos.

28

1.2 PROCEDIMENTOS PARA DIMENSIONAMENTO DE

SISTEMAS DE ATERRAMENTO

Os procedimentos deste item são genéricos, valendo para

qualquer caso de aterramento, seja de redes primárias, linhas de transmissão

ou mesmo distribuição em baixa tensão.

1.2.1 Pré-definição dos elementos

Devem ser feitas definições em caráter preliminar de todos os

elementos do aterramento, quais sejam, malhas de terra de subestações,

cabos guarda de linhas de transmissão, cabos neutros de redes de distribuição

primárias, hastes de aterramento de cabos guarda ou neutros multi-aterrados

e outros. Estas pré-definições serão analisadas através dos passos seguintes

e poderão ou não tornar-se as definições definitivas.

Não há critérios rígidos para esta etapa, podendo ser utilizadas as

ordens de grandezas de correntes e tensões, em casos de defeitos à terra,

esperadas para cada elemento. Pode-se também utilizar experiências em

projetos anteriores de sistemas similares.

1.2.2 Cálculo da distribuição de correntes

Para a consecução das proteções relatadas, é necessário que se

faça o cálculo da distribuição de correntes, nos componentes de interesse, já

dimensionados conforme item anterior. Após o conhecimento das correntes

devemos verificar se as sobretensões atendem às curvas de segurança IEC.

29

Consideremos o caso de um alimentador de rede primária de

distribuição, por exemplo de 13,8 kV. Para determinarmos as sobretensões

precisamos calcular todas as correntes indicadas:

introd01

Malha da SE daconcessionaria

Malha da SE doconsumidor

Aterramentonos postes

CABO NEUTRO

It

I1+Ian I2

If

It

A

B

C

N

TRAFO 138/13,8 KV

solo

Figura 1-J DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA EM

ATERRAMENTO DE REDE PRIMÁRIA

Para a linha de transmissão que alimenta a subestação da

concessionária da figura acima, temos uma situação análoga, analisada no

anexo A, mudando apenas o nível de tensão e os valores de impedâncias da

linha.

O cálculo da corrente de falta If é feito por componentes

simétricas, sendo um assunto conhecido e não detalhado neste trabalho. Uma

vez conhecida esta corrente, aplicaremos qualquer dos vários métodos

expostos no capítulo 2, para obtermos a sua distribuição pelo sistema de

aterramento.

Conhecendo o valor da corrente que efetivamente penetra a terra

na subestação, podemos efetuar o dimensionamento da malha seguindo os

procedimentos da IEEE 80.

30

Com a corrente que percorre o cabo neutro, podemos aplicar as

tradicionais fórmulas de aquecimento adiabático, por exemplo as apresentadas

no Handbook Beeman [2], capítulo 3, “Proteção Contra Curtos-Circuitos”, e

efetuar o dimensionamento deste condutor para curto-circuito fase-terra.

1.2.3 Cálculo de sobretensões

Com o cálculo da distribuição das correntes já efetuado, podemos

facilmente determinar as sobretensões em qualquer elemento do aterramento,

em relação a um ponto afastado, considerando a parcela de corrente que

penetra a terra.

O elemento considerado pode ser:

a) A malha de terra de uma subestação, sendo a sobretensão neste caso

chamada pela IEEE 80 de “GPR - Ground Potential Rise”. Este valor é

importante na análise de potenciais de transferência entre duas subestações

próximas, ou entre uma subestação e um consumidor próximo.

b) Hastes ou outros eletrodos de aterramento.

c) Estruturas metálicas em contato com a terra, de torres de linhas de trans-

missão.

d) Fundações de edificações.

e) Contrapesos, contínuos ou não, de linhas de transmissão.

f) Outros.

Assim temos:

U = Zf It Df (1-A)

Sendo:

U - sobretensão em relação a ponto remoto

31

Zf, It - definidos em “Simbologia”

Df - fator que leva em conta a assimetria da corrente

Para o caso de descargas atmosféricas o modelo matemático é o

mesmo que o acima, entretanto sendo a corrente um impulso com tempo de

frente de onda muito reduzido, o valor de R acima não mais será válido e

deveremos considerar uma impedância para altas freqüências, com valor

complexo e sendo significativa a parte imaginária. Tal estudo não é objetivo

deste trabalho, e devemos nos ater ao modelo de baixas freqüências.

Observamos também que, de acordo com a IEEE 80:

a) A corrente que penetra a terra, utilizada para cálculo de sobretensões, deve

ser considerada no pior caso, portanto será a corrente subtransitória sem o

respectivo decaimento exponencial com o tempo.

b) A corrente acima, obtida nos cálculos de distribuição de corrente, é uma

corrente simétrica e, para o cálculo das sobretensões, deverá ser multiplicada

por fator que leva em conta a assimetria no instante da falta, “Df”.

c) A corrente It deverá também ser multiplicada por fator que prevê a expansão

do sistema de potência em análise.

A sobretensão “U” calculada acima é uma ddp em relação a um

ponto afastado e não necessariamente a tensão à qual uma pessoa estará

sujeita. Esta tensão à qual uma pessoa estará sujeita é determinada em

função da geometria do sistema e deve ser mantida abaixo dos valores

máximos tolerados pelo corpo humano.

1.2.4 Definição final dos elementos

32

Caso a condição exposta no último parágrafo esteja atendida, o

dimensionamento preliminar adotado no item 1.2.1 fica sendo o definitivo.

Caso esta condição não esteja atendida, devemos refazer o

dimensionamento preliminar adotado, de forma a aliviar as sobretensões, e

repetir os procedimentos.

33

1.3 IMPACTO DA DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTES NOS

DIMENSIONAMENTOS DOS ATERRAMENTOS DE REDES

PRIMÁRIAS

1.3.1 Correntes de falta nos cabos neutros multi-aterrados

A distribuição da corrente de falta à terra ao longo de neutros multi-

aterrados está ilustrada.

2 4

Alimentacao Falta

distanciaem vaos

correnteem modulo

6 22 44 66

Ian + I1

I2

I1

Ian

introd02

Figura 1-K DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA NO NEUTRO

MULTI-ATERRADO

Sebo apresentou gráfico com o formato acima [7] para uma linha

de transmissão de 30,7 km e 132 vãos, cuja corrente no cabo guarda foi

calculada pelo método “Matrizes em Cascata”, exposto no item 2.3. Estes

cálculos foram comparados com medições realizadas em linha real, tendo sido

obtidos desvios menores que 15% [4].

À direita da falta temos um lader infinito, por onde escoa parte da

corrente também, sem mútuas com o cabo fase, pois a alimentação é por um

lado apenas.

34

Sobral, no artigo sobre o método desacoplado [16], também

apresenta gráfico semelhante, entretanto para falta alimentada pelos 2 lados

da linha de transmissão, indicando também a elevação de potencial de todos

os pontos do cabo guarda ao longo de toda a sua extensão.

Verificamos que a corrente que deriva pelo cabo neutro, no ponto

da falta, decai exponencialmente com a distância, para a hipótese de vãos

iguais. Para o lado da alimentação, a corrente estabiliza em determinado valor

diferente de zero, denominada corrente “auto-neutralizada”. Para o lado oposto

ao da alimentação, a corrente tende a zero para pontos afastados da falta.

Desta forma, a corrente que penetra a terra no ponto de falta é apenas uma

parcela da corrente de falta.

A partir do gráfico acima visualizamos facilmente todas as parcelas

da corrente de falta:

It - conforme “Simbologia”

Ian - idem

I1 - corrente que decai exponencialmente para o lado

da alimentação

I2 - corrente que decai exponencialmente para o lado

oposto ao da alimentação.

Sendo: If = It + Ian + I1 + I2 (1-B)

A IEEE 80 define o fator Sf, denominado “fator de divisão de

corrente”, como:

Sf = It / If (1-C)

sendo Sf < 1. Como alternativa podemos primeiro calcular este fator a partir da

configuração do sistema de aterramento, e após isto determinamos It

35

1.3.2 Superdimensionamentos

A IEEE80 fornece uma série de procedimentos para

dimensionamento de malha de terra, utilizando a corrente que efetivamente

penetra a terra pela malha, It. Se esta corrente não for conhecida, teremos que

utilizar a corrente de falta If que, sendo maior, resultará em um

superdimensionamento da malha.

Para um eletrodo qualquer de aterramento, teremos o valor da

sobretensão máxima em relação a um ponto afastado, Umax, determinado a

partir da geometria do sistema e dos valores limites para as tensões de passo

e toque. Temos então que diminuir a resistência para terra de acordo com:

Zf It Df Umax

inequação derivada da equação 1-1. Se It não for conhecida, teremos que

utilizar a própria corrente de falta If.

Conforme amplamente demonstrado nos artigos da bibliografia, a

relação Sf = It / If varia dentro de larga faixa, aproximadamente 10% a

99%. Como conseqüência, se considerarmos Sf = 1 poderemos estar gastando

material a mais do que o necessário. Um exemplo de baixo valor para Sf está

no artigo de Sobral [17], que apresenta os resultados obtidos para Itaipu,

sendo para uma das usinas Sf = 12%.

1.3.3 Custos x Segurança

O menor custo com máxima segurança será obtido efetuando-se os

dimensionamentos com a corrente que efetivamente penetra a terra, valor

obtido por meio do cálculo da distribuição de correntes.

36

2. METODOLOGIAS EXISTENTES

2.1 MODELOS MATEMÁTICOS

2.1.1 Modelo por grandezas reais com impedância de retorno

pela terra

Neste caso tensões e correntes nos 6 terminais da próxima figura

são os valores realmente existentes na linha em falta para a terra, e não as

componentes de seqüência zero.

O caminho de retorno pela terra é representado por uma

impedância Zg, calculada de acordo com os trabalhos de Rudenberg [3]. Esta

impedância será subtraida das impedâncias, com retorno pela terra, próprias e

mútuas, que devem ser calculadas por meio de Carson-Clem [1,3]. Esta

subtração se deve ao fato das impedâncias calculadas por Carson-Clem já

incluirem o valor Zg, podendo ser utilizadas diretamente em modelo mais

simples, detalhado no item a seguir.

O circuito equivalente a um vão, apresentado a seguir, representa

com exatidão o que ocorre por ocasião de uma falta à terra, entretanto só

precisa ser utilizado em casos especiais onde se necessite conhecer o valor da

tensão absorvida pela terra, ou seja, a queda em Zg. Para os propósitos deste

trabalho podemos utilizar o circuito do próximo item, mais simples e que nos

fornece da mesma forma os valores de tensões e correntes nos quais estamos

interessados, a saber Vck, Ick e Itk.

37

Lembramos que os valores das impedâncias dependem da

resistividade do solo, sendo que uma mesma linha que atravessa solos não

homogêneos vai apresentar valores diferentes para os diversos vãos.

Temos o vão k de uma linha de transmissão, onde o condutor 1-4

representa o cabo fase em falta para terra, o condutor 2-5 representa o cabo

guarda da linha de transmissão, aterrado em todas as torres, e o condutor 3-6

representa o caminho de retorno pela terra. Utilizaremos a simbologia proposta

por Sebo [7] no método “Matrizes em Cascata”:

modmat01

Zpk - Zgk

Zgk

Zck - Zgk

Zmk - Zgk

Ip Ip

IckIck+1

Vpk+1

Vck+1 Vck

Vpk

Ip - Ick

1

2

3

4

5

6

Rtk

Itk

Figura 2-A MODELO POR GRANDEZAS REAIS COM IMPEDÂNCIA DE

RETORNO PELA TERRA

Sendo:

k - representação genérica do vão sendo k=1 na torre em

falta e k = n na subestação de alimentação.

Vpk+1 - Tensão de fase entre pontos 1 e 3, V13. Valor complexo.

38

Vpk - Idem, entre pontos 4 e 6, V46.

Ip - Corrente (real) de falta para terra (3Io). Valor complexo.

Ick - Corrente complexa no vão k do cabo guarda

Itk - Corrente complexa que penetra a terra na torre k

Ick+1 - Corrente complexa no cabo guarda do vão k + 1

Ip - Ick - Corrente complexa que retorna pela terra no vão k

Zp - Impedância própria, com retorno pela terra, do cabo fase,

calculada por Carson-Clem

Zc - Idem cabo guarda

Zm - Impedância mútua, com retorno pela terra, entre o cabo

fase em falta e o cabo guarda, calculada por Carson-Clem.

Zg - Impedância que representa o caminho de retorno pela

terra, calculada por Rudenberg.

Rt - Resistência de aterramento da torre ligada ao nó 2.

2.1.2 Modelo por grandezas reais sem impedância de retorno

pela terra

É o modelo mais utilizado nos artigos relacionados na bibliografia,

pelos motivos já citados.

O caminho de retorno pela terra é representado por um curto-

circuito, não havendo a impedância Zg. Está demonstrado no Apêndice A que

a utilização deste modelo ou do anterior, resulta nos mesmos valores de

tensões e correntes nas extremidades de cada vão. Logo, a utilização deste é

preferível pois resulta em cálculos mais simples.

As impedâncias com retorno pela terra, próprias e mútuas, como

mencionado no item anterior, devem ser calculadas por meio de Carson-Clem

[1,3].

39

Apresentamos o vão k de uma linha de transmissão, sendo que o

condutor 1-4 representa o cabo fase em falta para terra, o condutor 2-5

representa o cabo guarda da linha de transmissão, aterrado em todas as

torres, e o condutor 3-6 representa o caminho de retorno pela terra.

modmat02Ip Ip

IckIck+1

Vpk+1

Vck+1 Vck

Vpk

Ip - Ick

1

2

3

4

5

6

Rtk

Zpk

Zmk

ZckItk

Figura 2-B MODELO POR GRANDEZAS REAIS SEM IMPEDÂNCIA DE

RETORNO PELA TERRA

Onde os símbolos são como definidos anteriormente.

2.1.3 Modelo por diagrama de sequência zero

Neste caso o diagrama de seqüência zero da linha trifásica, com

cabo pára-raios, deve ser montado de forma a serem representados todos os

caminhos de retorno da corrente de falta, ou seja, cabo pára-raios, resistências

40

de aterramentos das torres e a terra. Os diagramas de seqüência direta e

inversa não sofrem alteração. Após montados os 3 diagramas, aplica-se os

métodos tradicionais de componentes simétricas para o cálculo dos diversos

tipos de faltas, sendo que a distribuição da corrente de seqüência zero pode

ser calculada.

Abaixo está o referido diagrama, mostrando 2 vãos de linha,

conforme desenvolvido por Meliopoulos [14].

modmat03

Rp + j Xpp

Rge + j Xg

Io

Zpg

Rge + j Xg

Rp + j Xpp

Zpg

3 Rt 3 Rt 3 Rt

Igok

Vao kVao k+1

Figura 2-C MODELO POR DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO

Onde:

Io - Componente de seqüência zero da corrente de falta

Igok - Corrente de seqüência zero no cabo pára-raios, vão k

Rt - Resistência de aterramento da torre ou poste

Rp + j Xpp - Impedância própria de seqüência zero do cabo fase

Rge + j Xg - Impedância própria de seqüência zero do cabo guarda

Zpg - Impedância mútua de seqüência zero entre cabos fase e guarda

41

As impedâncias próprias e mútuas são calculadas por fórmulas

propostas por Meliopoulos, deduzidas a partir das impedâncias de Carson-

Clem e considerando a teoria de componentes simétricas.

As resistências de aterramento de torres e subestações, neste

caso, aparecem multiplicadas por 3, da mesma forma que uma resistência

inserida entre o neutro do transformador e a malha terra da subestação.

Verificamos neste caso que o aparecimento de mútuas no circuito

de seqüência zero torna sua solução trabalhosa. Garret, conforme citado na

IEEE-80, propôs uma solução por meio do diagrama de seqüência zero, na

qual desprezou todas as mútuas. Desta forma obteve um circuito muito mais

fácil de ser resolvido, evidentemente a custa de precisão. O erro cometido

neste caso é conservativo, sendo pois aceitável se não houver recursos

computacionais.

2.1.4 Modelo por grandezas reais com capacitâncias próprias e

mútuas

Conforme proposto por Meliopoulos [14], cada vão é substituído

por um circuito pi, sendo as impedâncias série calculadas da mesma forma

que no circuito por grandezas reais, e as reatâncias capacitivas próprias e

mútuas calculadas pelo método das imagens em relação ao solo. Este autor

mostra o desenvolvimento das fórmulas de cálculo destas reatâncias

capacitivas feito a partir da teoria geral do “Método das Imagens”.

Na página seguinte temos o modelamento de dois vãos, onde para

cada um as correntes são representadas sempre entrando, com o 1o. índice

correspondendo ao vão.

42

43

mod

mat

04

Vao

2V

ao 1Z

p1

Zm

1

Zn1

Icn

Zp2

Zm

2

Zn2

I11 I12

Vp1 Vn1

I13

I14V

p2

Mod

elo

com

cap

acit

anci

as p

ara

terr

a

Vn2

Vp2 Vn2

In

Ip

I21

I22

I23

I24

Vp3

Vn3

Rt1

Rt2

Rt3

Tor

re 1

/pon

to 1

Tor

re 2

/pon

to 2

Tor

re 3

/po

nto

3

Figura 2-D MODELO POR GRANDEZAS REAIS COM CAPACITÂNCIAS

PRÓPRIAS E MÚTUAS

44

Verificamos por este modelo que as capacitâncias drenam corrente

para terra, tanto do cabo fase como do cabo guarda, podendo desta forma

influenciar o valor da corrente de falta e da corrente de retorno. Evidentemente

isto apenas será significativo em linhas longas. No mencionado livro não há

nenhuma observação sobre critérios para se saber quando o efeito capacitivo

será importante.

O modelo será utilizado por Meliopoulos no “método direto”, que

conforme será exposto no item respectivo (2.8), representa a linha de

transmissão por uma matriz de admitâncias, que relaciona tensões e correntes

nos terminais. Observa-se que este mesmo método pode ser utilizado,

conservando-se todas as suas vantagens, se as capacitâncias para terra forem

desprezadas, obtendo-se uma considerável simplificação nos cálculos. Para

redes primárias de forma geral, onde as distâncias são curtas, o “método

direto” poderia ser empregado sem preocupação com os ramos capacitivos.

Sobre as capacitâncias observamos ainda que quase todos os

autores citados neste trabalho as desprezaram, parecendo não haver prejuízo,

para as distâncias consideradas, na precisão dos cálculos, conforme foi

constatado por comparações com medições, por exemplo:

1) Para a linha de transmissão apresentada por Sebo em [4] (30 km).

2) Para a linha de transmissão apresentada por Endrenyi em [5].

3) Para a estação geradora de Itaipu, conforme Sobral [17].

45

2.2 RECOMENDAÇÕES DA NORMA ANSI/IEEE 80 - 1991

Esta norma diz que o cálculo da distribuição de correntes deve ser

feito antes do dimensionamento de qualquer malha de terra, entretanto o

método de cálculo pode ser escolhido entre vários existentes, de acordo com

cada caso a ser resolvido.

Todos os métodos neste capítulo, e que foram desenvolvidos

antes de 1986, são recomendados pela referida norma, que não expõe

nenhum, porém ressalta a importância da adequada escolha para cada caso.

Por exemplo, um sistema de potência simples, não interligado, constituído

apenas de geração, uma linha de transmissão e uma subestação de carga,

pode ser resolvido de forma simples e rápida sem a utilização de computador,

utilizando o conceito de lader infinito. Já outras configurações mais complexas

exigiriam outros métodos mais trabalhosos e o uso de computadores.

De forma geral temos que quanto maior a precisão desejada, mais

trabalhosos os cálculos, e a custa de perda de precisão, podemos ter grandes

simplificações. Há configurações de rede para as quais temos grande precisão

com cálculos simples. Para os métodos expostos neste capítulo serão

ressaltados os seguintes tópicos, fundamentais para a melhor escolha para

cada caso:

- hipóteses assumidas.

- recursos computacionais necessários.

- melhor situação para a aplicação, levando em consideração as configurações

de rede .

- de forma geral, vantagens e desvantagens.

46

2.3 MATRIZES EM CASCATA (SEBO)

Estão no Apêndice A as deduções das matrizes e equações

referentes a este método de cálculo.

Para uma rede primária de distribuição em falta, temos o circuito

completo do sistema, onde a simbologia é a mesma utilizada por Sebo,

relacionada no item 2.1.1.

mcsebo02

Ip

Ic1

Rt1

Zp1

Zm1

Zc1

Zfl

Ic2

Rt2

Zp2

Zm2

Zc2

Vao 2Vao 1

Rtn-1

Icn

Rfp

Zpn

Zmn

Zcn

Vao n

Ip

Vfase

+

Figura 2-E MÉTODO “MATRIZES EM CASCATA”: REDE PRIMÁRIA COM

N VÃOS EM FALTA PARA TERRA

Nesta figura, para cada vão foi utilizado o ”Modelo por grandezas

reais sem impedância de retorno pela terra”, item 2.1.2.

Sebo [7] utilizou o modelo por grandezas reais com impedância de

retorno, item 2.1.1 e colocou tensões e correntes de um lado do vão em função

de tensões e correntes do outro lado, por meio de uma matriz conhecida:

47

Vpk+1 1 0 Zpk -Zmk Vpk

Vck+1 0 1 Zmk -Zck Vck

Ip = 0 0 1 0 Ip

Ick+1 0 -1/Rtk -Zmk/Rtk 1+Zck/Rtk Ick

Matriz Sk do vão k

Está demonstrado no Apêndice A que se usarmos o “Modelo por

grandezas reais sem impedância de retorno pela terra”, item 2.1.2, obtemos a

mesma matriz para o vão.

Multiplicando-se as matrizes de todos os vãos, relacionamos

tensões e correntes na falta com tensões e correntes na alimentação, obtendo

assim um sistema de 4 equações a 4 incógnitas, cuja solução nos fornece as

grandezas de interesse (Ic1, Icn na figura acima).

Sebo apresentou a comparação entre os cálculos efetuados com

este método e medições realizadas em uma linha de transmissão real com 132

vãos de aproximadamente 230 m cada [4]. Todos os valores obtidos tiveram

desvios menores que 15%, resultado considerado bom, pois de acordo com

Sebo, as fontes de erro são muitas, por exemplo, erros devidos às medições

das resistências de aterramento das torres, resistividade do solo, existência de

solos não homogêneos, utilização das equações de Carson-Clem e outras.

Com relação a este método fazemos as seguintes observações:

1) Os resultados são precisos, pois são consideradas diferenças nas

impedâncias de cada vão e nas resistências de aterramento de cada torre, por

exemplo em solos com altas variações de resistividade.

2) Os recursos computacionais necessários não são grandes, podendo o

programa ser feito para computador com pouco espaço em disco e pouca

48

memória. Entretanto o número de contas é grande, e para computadores com

pouca velocidade de processamento, o tempo de cálculo será grande.

3) Devido ao elevado número de contas que o computador executará, especial

atenção deve ser dada à propagação de erros, “round off errors”, conforme

alertado por Sobral em seu artigo sobre o método desacoplado [16]. Para se

evitar isto, é necessário utilizar números com muitos algarismos significativos e

se possível, após obtidos os cálculos checar os valores por meio de contas

executadas de formas diversas.

4) Este método não se aplica a linhas de transmissão alimentadas pelos dois

lados, sendo que para este caso Sebo propõe uma variação.

5) Praticamente não há limites para o tamanho da linha de transmissão,

considerando as capacidades atuais de disco rígido dos computadores,

podendo a linha ter dois, três ou milhares de vãos.

6) Não se aplica a sistemas de potência interligados, onde a falta em uma

subestação eleva o potencial das malhas das outras subestações vizinhas.

7) Este método evoluiu para o método “Alimentação no Ponto”, item 2.10 .

49

2.4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS (ENDRENYI)

Endrenyi [6] utilizou o modelo por grandezas reais do item 2.1.2,

entretanto fez a suposição de que as impedâncias e admitâncias são valores

distribuídos, dividindo os valores concentrados pelo tamanho do vão. Assim

foram obtidos os parâmetros distribuídos da linha:

z = Zc / vão ohm / m (2-A)

y = (1/Rt) / vão mhos / m (2-B)

Onde: Zc - definido no item 2.1.2 ; Rt - idem

z - impedância série distribuída

y - admitância paralelo distribuída

vão - comprimento do vão

Foi adotada também a hipótese simplificadora de que todos os

vãos da linha são iguais. Desta forma ficamos com o circuito:

mcendr01

Rge Rse

Zm If

Trecho An Torresn+1 vaos

Trecho BN TorresN+1 vaos

Linhas representadaspor parametros distribuidos

Figura 2-F REDE PRIMÁRIA EM FALTA REPRESENTADA POR

PARÂMETROS DISTRIBUIDOS

Onde:

50

If - corrente de falta para terra calculada por componentes simétricas

Rge, Rse - resistências de aterramento

O objetivo é calcular a corrente que penetra Rse. Isto foi feito

deduzindo e resolvendo as equações diferenciais do circuito, por um processo

análogo ao das conhecidas equações para uma linha de transmissão, sendo

que na resolução foram consideradas as condições de contorno na falta e na

geração.

2.4.1 Lader infinito sem mútuas

Para o trecho B o equacionamento é mais simples visto não haver

mútuas, sendo constituído por um circuito lader que pode ser finito ou infinito.

O lader será infinito se

l zy 2 (2-C)

Sendo: Zs = Zc (ver figura abaixo) ; Zp = Rt; l = comprimento total da

linha;

z ; y ; Zc ; Rt já definidos

O cálculo de um lader infinito a parâmetros concentrados é apresentado por

Endrenyi com base na figura abaixo, onde vemos que Zinf = Zs + Zp // Zinf.

De onde resulta a fórmula para Zinf:

Zinf = Zs

2 +

Zs

4 + Zp Zs

2

(2-D)

51

mcendr03Zs

ZpZinf Zinf

Za

Zinf

Lader infinito aparametros concentrados

Linha a parametros distribuidoscom impedancia caracteristica Zo

correcao

Figura 2-G EQUIVALÊNCIA ENTRE LADERS INFINITOS A

PARÂMETROS CONCENTRADOS E DISTRIBUIDOS

Endrenyi demonstrou que o cálculo de Zinf pode ser feito também

baseado nos parâmetros distribuídos, entretanto neste caso é necessária uma

impedância de correção designada por Za na figura acima, sendo:

Zinf = Za + Zo

Za = Zs

Zo = impedância característica = ( z / y )0.5

onde depende da razão Zs / Zp e é fornecida graficamente.

2.4.2 Lader finito sem mútuas

Para o caso do lader finito com parâmetros distribuídos, as

equações diferenciais foram deduzidas da mesma forma que é feito para uma

linha de transmissão a 2 condutores, ou seja, aplica-se as leis das malhas e

dos nós a um elemento de linha com comprimento x:

Z = z x Y = y x

52

mcendr05Z

Y

Elemento de linha com comprimento tendendo a zero

Figura 2-H ELEMENTO DE LADER FINITO COM COMPRIMENTO

TENDENDO A ZERO

Para as equações assim obtidas teremos no limite para x tendendo a zero:

di = - y v dx

dv = - z i dx

Resolvendo estas equações diferenciais obtemos as fórmulas para cálculo das

impedâncias do lader finito por funções hiperbólicas, para os 2 casos:

2.4.2.1 Com terminação em aberto

Neste caso temos Rst = infinito na próxima figura.

Zlad = Za + Zl

Zl = Zo coth l ( z y ) 0.5

Za = n Zs

Onde: Zlad - impedância no ponto assinalado por Zn na figura abaixo

Zl - impedância do trecho com parâmetros distribuidos

l - comprimento total da linha

n - fator de correção fornecido de forma gráfica

z, y - parâmetros distribuidos

Zo - impedância característica = ( z / y )0.5

53

mcendr04

Zp

Za Zs

Zp

Zs

Zp

Zs

Zp Rst

Zb

Zn

Trecho a ser representadopor parametros distribuidos

Impedancias de correcao devido'a representacao por parametrosdistribuidos

Figura 2-I LADER FINITO SEM MÚTUAS A SER CALCULADO POR

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

2.4.2.2 Com terminação em impedância

Agora Rst na figura acima não é infinito, caso mais comum.

Zn = Za + Zo An (2-E)

Onde: Zn - impedância no ponto assinalado na figura acima

Za = impedância de correção = n Zs

An = Zg cosh n K + Zo sinh n K

Zg senh n K + Zo cosh n K (2-F)

n - número de torres

Zg = Zb + Rst Zb = ‘ Zs

‘ = fator de correção = 1 - n

n - fator de correção fornecido graficamente

K = Zs / Zp ; Zo - impedância característica

54

A análise por parâmetros distribuídos resulta sempre em uma

impedância de correção em série com os trechos representados por estes

parâmetros. Temos o sistema em estudo com estas impedâncias:

mcendr02

RgeRse

ZmIf

Za Zb Zc

Trecho An torresn+1 vaos

Trecho BN torresN+1 vaos

Impedancias de correcao devido'a representacao por parametrosdistribuidos

Figura 2-J IMPEDÂNCIAS DE CORREÇÃO PARA O MÉTODO

"FUNÇÕES HIPERBÓLICAS"

2.4.3 Lader finito com mútuas

Até o momento foi analisado o trecho sem mútuas. Para o circuito

com acoplamento por meio de mútuas, trecho A, deduz-se as equações

diferenciais da mesma forma que foi feito anteriormente, obtendo-se:

- di = v y dx

- dv = i z dx - If zm dx

onde zm é a mútua distribuída = Zm / vão.

A solução das equações acima em conjunto com as condições de contorno na

falta e na geração nos fornece as seguintes fórmulas para o cálculo da

distribuição de correntes no ponto da falta:

V = (1 - ) If ZnN (2-G)

55

Sendo a simbologia a mesma proposta por Endrenyi, para facilidade

de consulta:

V - potencial em Rse

- fator de acoplamento = Zm / Zs (2-H)

Zm - mútua para um vão

Zs; If - já definidos

Z =

1

1

Z+

1

D Rse+

1

Z

nN

n n N'

1

(2-I)

Zn’ = Zs + Zo Bn (2-J)

Bn = Zg cosh n K -Rge + Zo sinh n K

Zg senh n K + Zo cosh n K (2-K)

- fator de correção determinado graficamente

K, Zo, n, - já definidos anteriormente

Zg = Za + Rge ; Za = ‘ Zs ; ‘ = 1 -

Rge - resistência para terra da estação alimentadora conforme fig 2-10.

OBS.: Na notação original do artigo temos Rst em vez de Rge; neste trabalho

o símbolo foi trocado pois Rst foi utilizado no caso anterior

D = 1-Rge

nZg Zs n K Z Z K n Kg cosh senh0

(2-L)

ZN = impedância do trecho B, calculada anteriormente

Endrenyi apresentou uma série de gráficos para se obter a

resposta de forma mais simples, entretanto a custa de precisão nos resultados.

Estes gráficos simplificam bem os cálculos, entretanto não há como sabermos

a ordem de grandeza do erro cometido, o que limita suas aplicações. Devido a

isto recomendamos seu emprego nas etapas preliminares de um projeto,

conforme 1.2.1 . Utilizamos estes gráficos no item 3, e obtivemos, para os

casos particulares analisados, desvios pequenos ( 10 % ).

56

2.4.4 Lader infinito com mútuas

As equações são similares às acima, porém mais simples. Para o ponto da

falta temos:

V = (1 - ) If Zeq (2-M)

Onde: V, , If - já definidos

Zeq - impedância equivalente do lader infinito em paralelo com

a impedância de aterramento do ponto em falta:

Zeq =

11

+1

RseZ ZNinf

1 (2-N)

Rse - resistência para terra na falta

ZN = impedância do trecho B, calculada anteriormente

Observar que neste caso não existe o fator Dn.

2.4.5 Hipóteses e limitações

Resumindo para este método as hipóteses de desenvolvimento e

limitações de aplicações:

1) Todos os vãos devem ser iguais.

2) As fórmulas fornecem a distribuição de correntes na falta, mas não na

geração.

3) Os gráficos para simplificação dos cálculos resultam em erros de

proporções desconhecidas.

57

4) Para utilização das fórmulas exatas por funções hiperbólicas, é necessária a

programação de computador, que não necessita de muitos recursos. Pode-se

dizer que o menor computador, para os padrões atuais, atende.

5) Não se aplica em sistemas interligados, entretanto Endrenyi apresentou

extensão do método para linhas alimentadas por ambos os lados.

58

2.5 ELIMINAÇÃO DUPLA (DAWALIBI)

Dawalibi [10,8], a partir das equações de análise de malhas do

circuito típico, considerando cada vão uma malha e mais uma malha para o

cabo fase, desenvolveu um algoritmo que permite, sem grandes esforços

computacionais, e sem necessidade da inversão de matriz quadrada enorme,

o cálculo de todas as correntes em todos os nós.

Para uma análise de malhas aplicada diretamente ao circuito típico

seria necessário a inversão de matriz quadrada de ordem n, igual ao número

de vãos, o que dificultaria ou inviabilizaria a solução. A “eliminação simples” é

etapa preliminar para a “eliminação dupla”, e consiste em aplicar algumas

fórmulas seqüencialmente desde o primeiro vão até o enésimo, e obter no final

2 equações a 2 incógnitas que fornecem as grandezas de interesse. A partir

deste algoritmo é deduzida a “eliminação dupla”, que tem como principal

característica evitar os erros de imprecisão dos computadores devido ao

excesso de contas.

Tem a grande vantagem de poder considerar vãos diferentes, ou

seja, com tamanhos e/ou impedâncias diferentes, podendo a linha atravessar

solos de diferentes resistividades.

Dawalibi calcula por este método também a corrente de falta no

cabo fase, diretamente pelas impedâncias de Carson-Clem, o que é feito por

componentes simétricas em outros métodos como etapa preliminar.

Pode ser estendido para sistemas interligados ou linhas

alimentadas pelos dois lados, sendo entretanto de aplicação trabalhosa.

59

2.6 EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS

(VERMA, MUKHEDKAR)

Verma e Mukhedkar, embasados em Rudenberg1, propuseram o

cálculo da distribuição de correntes por meio de equações de diferenças [9],

indicando, para o tratamento matemático, o livro “Equações Diferenciais

Ordinárias”, de Kaplan2.

O cálculo por estes procedimentos tem a vantagem de ser

extremamente simples, determinando as correntes que fluem para terra em

todas as torres, entretanto é limitado ao caso de termos os vãos iguais. Para

cada vão foi utilizado o modelo “por grandezas reais sem impedância de

retorno pela terra”, do item 2.1.2 . A corrente de falta é previamente calculada.

Temos neste método a demonstração de que as correntes que

saem para a terra pelas torres têm decaimento exponencial com a distância,

se a linha entre a falta e a alimentação puder ser considerada infinita. A linha

será infinita se

l 2 , sendo = cte de propagação = z

rg pu

t pu

( )

( )

onde l - comprimento total da linha

zg(pu) - impedância série distribuida

rt(pu) - impedância paralela distribuida

Condição igual à proposta por Endrenyi, eq. 2-3.

Consideremos o sistema abaixo em falta para a terra, onde

devemos observar que a resistência do ponto em falta é igual às resistências

dos outros postes. Na simbologia utilizada por Verma o vão genérico é

denominado n, equivalente ao k da “Simbogia” deste trabalho.

1RUDENBERG, R. Transient performance of electric power systems. N. Y. McGraw-Hill 19502KAPLAN, W. Ordinary differential equations. Addison Wesley Publishing Co. Inc.

60

verma01

Vph+

-

If

Rt

Zg

Rt

Zg Zg

I0

IfZm

RtRt

ZgZg

RtRt

i1i2

I1I2

in i(n-1)

I(n-1)

i(n+1)

I(n+1) In

Subestacaogeradora

Poste emfalta

Figura 2-K MÉTODO "EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS": REDE PRIMÁRIA

EM FALTA

Aplicando Kirchhoff à malha n, e respectivos nós, temos:

I i in n n 1

(2-O)

I i in n n 1 1

i Z I Z I R I Rn g f g n t n t 1 0 (2-P)

onde é o fator de acoplamento, conforme [1]3:

log

log'

b

ah

r

2

sendo: b - distância do condutor à imagem do cabo guarda

a - distância do condutor ao cabo guarda

h - altura em relação ao solo do cabo guarda

r’ - raio do cabo guarda

Nota: este fator é definido em outros artigos como = Zm / Zg , sendo portanto

um número complexo para cálculos com maior precisão.

3Página 592 da edição de 1950

61

Obtendo-se o valor de in e in+1 de 2-16, substituindo em

2-15, e reagrupando, temos:

In (Zg/Rt) = (In+1 - In) - (In - In-1)

= 2 In

Equação definida como “equação de diferença”, que tem como solução:

In = A en + B e-n , onde Z Rg t

Também, substituindo-se 2-15 em 2-16 e reagrupando, ficamos com:

in (Zg / Rt) = 2 in + If Zg / Rt

Equação de diferença com um termo constante, que tem como solução:

in = a en + b e-n + If

Substituindo-se in , in+1 e In em 2-15, obtêm-se uma relação entre as

constantes das soluções:

A = a (1 - e) e B = b (1 - e-)

Portanto temos:

in = A en / (1 - e) + B e-n / (1 - e-) + If

Para o cálculo de A e B temos que considerar as condições de contorno do

problema. Para o cálculo de A os autores consideraram o lader infinito,

portanto depois de certa distância a corrente fluindo das torres para a terra cai

a zero. Desta forma:

A = 0

Nota: fazendo-se A = 0 perdemos o equacionamento para a subestação

alimentadora. A condição de contorno na torre em falta fica I f = I0 + i1 ,de onde

tiramos o valor de B e chegamos às soluções finais:

in = If (1 - ) e-n + If (2-Q)

62

In = If (1 - e-) (1 - ) e-n (2-R)

Sendo Z Rg t (2-S)

Para o primeiro vão temos:

i1 = If (1 - ) e- + If (2-T)

I0 = If (1 - ) (1 - e-) (2-U)

Verificamos então que com as expressões acima, o cálculo da

distribuição de correntes se torna, como dissemos, muito simples, sendo

possível calcular a corrente em todos os postes.

Analisando estas expressões verificamos que no cabo neutro a

corrente decai exponencialmente com a distância e se estabiliza no valor If .

Nos postes decai exponencialmente, com a distância, a zero.

Uma extensão deste método apresentada no mesmo artigo

permite o cálculo da distribuição de correntes, de forma simples também, para

o caso da falta ser em uma subestação de carga com resistência de

aterramento diferente das resistências dos postes. Entretanto o cálculo torna-

se um pouco mais trabalhoso, com a aplicação de fórmulas com funções

hiperbólicas, para o caso do lader não ser infinito.

Outras limitações do método são:

- não calcular a distribuição na subestação alimentadora, sendo válido apenas

para o ponto de falta;

- a linha deve ser um lader infinito para aplicação das equações 2-Q a 2-U ;

63

- para o lader finito foi apresentado um método de cálculo para a impedância

do lader vista no ponto de falta, que permite determinar a corrente derivada

pela subestação de carga, mas não a corrente nos diversos ramos do lader;

- não se aplica a sistemas interligados.

64

2.7 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO (MELIOPOULOS)

Neste caso cada vão será modelado pelo diagrama de seqüência

zero de uma linha trifásica, conforme circuito do item 2.1.3. Como mencionado

neste item, cada elemento deste circuito pode ser calculado conforme

Meliopoulos em “Power System Grounding and Transients” [14], e como é

esperado, obtemos valores com ordem de grandeza de 300% das impedâncias

de Carson-Clem.

Obtidas as impedâncias, monta-se a rede de seqüência zero para

o sistema completo, efetua-se a interligação desta com as de seqüência

positiva e negativa, e pode-se então calcular as componentes simétricas de

tensões e correntes em qualquer ponto. A partir destas componentes podemos

obter pelos meios tradicionais as correntes e tensões de fase.

De acordo com este autor, praticamente não há vantagem em se

utilizar este modelo, pois:

1) O circuito a ser resolvido é, em geral, complexo como o circuito por

grandezas reais, sendo que verificamos a presença de mútuas em cada vão.

2) Não se pode utilizar grandezas em pu, pois há considerável porcentagem da

corrente que flui da alta para a baixa tensão sem passar por transformador.

3) Alguma simplificação pode ser obtida adotando-se 1 pu com fase zero para

a corrente de seqüência zero, e resolvendo-se apenas o circuito desta

seqüência [25]. Desta forma obtemos todas as correntes, deste circuito, como

uma fração da corrente total, que seria calculada pelos meios convencionais.

Estes procedimentos simplificam os cálculos, contudo ainda são trabalhosos

como os cálculos por grandezas reais.

65

Por estes motivos, Meliopoulos sugere a utilização do “Método

Direto”, item 2.8.

Observamos ainda que o cálculo por componentes simétricas

supõe transposição completa da linha, o que geralmente não ocorre para faltas

à terra. Assim algum erro, embora pequeno, estaria sendo cometido no cálculo

da corrente de falta, apesar de se considerar as impedâncias de cabos guarda

e torres.

Uma variação deste método é apresentada por Meliopoulos em

“Current Division in Substation Grounding Systems” [25], onde a terra é

considerada como um condutor metálico equivalente, percorrido por corrente I,

sendo que ficamos com 3 condutores: fase, guarda e terra. A partir desta

configuração, foi deduzido o diagrama de seqüência zero, no qual temos, por

vão, um ramo representando o cabo fase, outro representando o cabo guarda

e outro o condutor metálico equivalente à terra, sendo que aparecem 3

mútuas: entre fase e guarda, entre fase e terra e entre guarda e terra. Desta

forma, a solução do circuito de seqüência zero fica extremamente complicada,

dependendo de poderoso software.

Apesar dos trabalhosos cálculos inerentes a este método, ele pode

ser vantajoso nos casos em que se possui um sistema de potência já

modelado por componentes simétricas em software e hardware possantes o

suficiente para a solução dos extensos circuitos, e com possibilidade de se

introduzir mútuas nas redes de seqüência zero. Neste caso para calcularmos a

distribuição das correntes, apenas seriam informados os diversos caminhos no

diagrama de seqüência zero.

66

2.8 MÉTODO DIRETO (MELIOPOULOS)

Será empregado o modelo por grandezas reais com capacitâncias

próprias e mútuas, item 2.1.4. Os vãos podem ter impedâncias diferentes,

assim como as resistências de aterramento das torres podem ser diferentes e

as capacitâncias próprias e mútuas podem ou não ser consideradas. Conforme

exposto por Meliopoulos em “Power System Grounding and Transients” [14 ],

este método consiste em 2 etapas:

1 - Representar a linha de transmissão por meio de uma matriz admitância, de

ordem reduzida, podendo esta representação ser aplicada a qualquer tipo de

linha, monofásica, trifásica ou, para nossos objetivos, com uma fase e um

neutro multi-aterrado, ambos com retorno pela terra. Também, outra vantagem

desta representação é o fato de não precisarmos simetria da linha no trecho

em consideração, não havendo necessidade de termos a transposição de

fases. A alimentação será também representada por uma matriz admitância e

idem para o ponto de falta.

2 - Utilizando as matrizes do item anterior, determinar um sistema de equações

de forma a calcular as tensões e correntes de interesse, sendo que este

sistema tem um número reduzido de equações, podendo ser calculado sem

grandes esforços computacionais e com alta precisão.

2.8.1 Modelagem da linha pela matriz admitância

Está demonstrado no Apêndice B que a linha da figura abaixo,

constituída por um cabo fase e um neutro multi-aterrado com um número

qualquer de vãos, pode ser representada por uma matriz admitância tal que:

67

Il1 V1

Il2 = [ Y ] V2

Il3 V3

Il4 V4

Ou, de forma compacta: [I] = [Y] [V]

Sendo: [I] - matriz coluna das correntes nos terminais entrando

[V] - matriz coluna das tensões nos terminais.

[Y] - matriz admitância da linha.

Correntes e tensões são grandezas reais e não componentes simétricas, o que

originou o nome do método. A matriz [Y] leva em conta todas as resistências

para terra, sendo própria para cálculos de tensões e correntes no sistema de

aterramento. Pode-se também incluir as capacitâncias próprias e mútuas de

cada vão se necessário.

Rt2Rtn

Zn1Zn2Znn

Zpn Zp1Zp2

Zm1Zm2Zmn

vao 1vao 2vao nmet_dir3

Il2

Il1

V1

V2

Il3

Il4

V3

V4

Rt3

1

2

3

4

Figura 2-L LINHA FASE NEUTRO MULTI-ATERRADO A SER

REPRESENTADA PELA MATRIZ ADMITÂNCIA

68

2.8.2 Modelagem da alimentação e falta pela matriz admitância

Vemos na figura a alimentação e a falta que também serão

modeladas por matriz admitância.

+-

Rt1Rse

SEgerad.

met_dir1

Is2

Ig2

Is1

V1

V2

linha modelada pela matriz admitancia

If3

If4

Ig4

V3

V4

Es

Zs

Zfalta

Figura 2-M ALIMENTAÇÃO E FALTA A SEREM MODELADAS PELAS

MATRIZES ADMITÂNCIAS

Para a alimentação podemos escrever:

V1 - V2 = Zs Is1 + Es

Is2 = - Is1

Resolvendo para as correntes obtemos:

Is1 = 1/Zs -1/Zs V1 - Es/Zs

Is2 -1/Zs 1/Zs V2 -Es/Zs

69

Vemos portanto que as fontes serão representadas por uma matriz admitância

e uma matriz de correntes impostas.

Aplicando procedimento análogo podemos determinar a matriz

admitância da falta:

If3 = Yf11 Yf12 V3

If4 Yf21 Yf22 V4

2.8.3 Equações nodais

Consideremos o sistema completo onde cada elemento, quais

sejam, 1 - alimentação; 2 - linha; 3 - falta, é modelado pela sua matriz

admitância.

+-

Rt1

Rt2Rtn

Zn1Zn2Znn

Rse

Zpn Zp1Zp2

Zm1Zm2Zmn

vao 1vao 2vao nSEgerad.

met_dir2

Il2Is2

Ig2

Il1Is1

V1

V2

linha modelada pela matriz admitancia

Il3

Il4

If3

If4

Ig4

V3

V4

Es

Zs

Zfalta

Figura 2-N MÉTODO DIRETO: REDE PRIMÁRIA EM FALTA

70

Para cada um dos quatro nós temos:

Nó 1 : Is1 + Il1 = 0

2 : Is2 + Ig2 + Il2 = 0

3 : Il3 + If3 = 0

4 : Il4 + Ig4 + If4 = 0

Cada corrente das equações acima pode ser obtida da sua respectiva matriz

de admitâncias, em função de apenas 4 variáveis: V1; V2; V3; V4, que são

as tensões nodais para o sistema. Substituindo as correntes em função das

tensões, e desenvolvendo algebricamente, obtemos o sistema de equações

nodais, constituido por apenas 4 equações a 4 incógnitas, de resolução fácil.

71

2.9 MÉTODO DESACOPLADO

(SOBRAL, MUKHEDKAR)

Foi desenvolvido para sistemas interligados e utilizado no cálculo

da distribuição de correntes em Itaipu [16, 17, 18]. Com os resultados foram

dimensionadas as malhas de terra das várias subestações do sistema, assim

como os cabos guarda que interligam estas malhas. Foram realizadas

medições da distribuição de correntes, em faltas simuladas, e comparadas

com os valores calculados, sendo que os erros dos valores calculados foram

baixos, o que comprovou a eficácia dos procedimentos.

Há vantagens na utilização deste método em cálculo de redes

primárias ou em linhas de transmissão radiais, desde que os vãos adjacentes

não apresentem diferenças em suas impedâncias e resistências de

aterramento. Assim, uma rede primária com 200 vãos, sendo:

- os vãos de 1 a 100 iguais com mesmas impedâncias,

- e os vãos 101 a 200 com impedâncias diferentes das dos outros vãos, mas

iguais entre si,

pode ser resolvida com vantagem. Uma rede com 200 vãos, todos diferentes

entre si, pode ser resolvida também, entretanto não apresenta vantagem pois

a preparação dos dados de entrada para software específico será trabalhosa,

e além disto teremos um número excessivo de contas, acarretando enorme

esforço computacional. Na prática a maioria dos casos está de acordo com o

1o. exemplo, sendo portanto rara a situação para a qual o método não é

recomendado.

Os procedimentos consistem em:

1) Calcular a corrente de falta por componentes simétricas, utilizando os

inúmeros programas existentes no mercado. Para um sistema interligado

interessam também as correntes nos neutros dos vários transformadores

alimentando o sistema.

72

2) Desacoplar o circuito de terra do circuito de fase, o que significa eliminar as

mútuas do circuito de terra.

3) Simplificação do circuito “desacoplado”, substituindo laders infinitos e finitos

por circuitos pi equivalentes. Outras simplificações possíveis utilizando a teoria

tradicional de circuitos devem também ser feitas.

4) Solução do circuito assim obtido, que deve ter um número pequeno de nós,

por análise nodal.

O passo quatro acima relatado apenas deve ser executado após

uma grande redução no circuito, pois um número elevado de nós acarretaria

em um sistema de muitas equações, o que exigiria a inversão de uma matriz

com muitos elementos. Esta inversão de matriz de ordem elevada pode dar

origem a uma propagação de erros de forma a invalidar a solução final. O

princípio desta propagação de erros é simples:

- A grandeza A tem 3% de incerteza, portanto: A = a 3%

- Idem para a grandeza B: B = b 3%

- Efetuando operações com A e B a incerteza do resultado será maior que 3%:

A * B = (a 3%) * (b 3%) = ab 6,09%

2.9.1 Desacoplamento

O modelo “por grandezas reais sem impedância de retorno pela

terra”, item 2.1.2, será colocado em forma conveniente para se executar o

desacoplamento. Temos abaixo o novo circuito onde a única mudança foi a

substituição da mútua por uma fonte de tensão no condutor terra.

73

mcsobr01

Ip1

2

3

4

5

6Rt

Ic

Zc+

Zm Ip

Zp

Figura 2-O CIRCUITO DE UM VÃO A SER DESACOPLADO

Sendo: Zm - idem “Simbologia”; Zc - idem Zn da “Simbologia”; Ip - idem If

Na verdade teríamos outra fonte de tensão no condutor fase que

não será representada por não estar interessando ao presente cálculo.

Uma vez introduzida a fonte de tensão de valor (Zm Ip) no

condutor neutro, o trecho 1-4 não será mais necessário e portanto será

eliminado do circuito. Para o trecho 2-5 será aplicada a equivalência Norton-

Thevenin e teremos o circuito representativo de um vão:

mcsobr02

2

3

5

6Rt

Zc

(Zm/Zc) Ip

Figura 2-P CIRCUITO DESACOPLADO DE UM VÃO

Observar que os pontos 2, 5, 6, 3 deste circuito são os mesmos do

circuito original, e para estes pontos o circuito acima é equivalente. Verificamos

74

também que o circuito de aterramento ficou independente do condutor fase,

sem a ligação original por meio das mútuas, ou seja, ficou desacoplado.

O gerador de corrente do circuito desacoplado tem valor:

Ian = Ip (2-V)

Sendo: Ian - corrente auto-neutralizada

= fator de acoplamento = Zm / Zc, definido na eq. 2-8

Aplicando-se o circuito acima a n vãos, todos com mesmos fatores

de acoplamento, mas Rt e o tamanho do vão podendo variar, obtemos os 2

circuitos equivalentes entre si:

75

mcs

obr0

3

Rt

Zc

(Zm

/Zc)

Ip

Rt

Zc

(Zm

/Zc)

Ip

Rt

Rt

Zc

(Zm

/Zc)

Ip

Rt

Zc

(Zm

/Zc)

Ip

vao

1va

o 2

vao

n-1

vao

n

Rse

Rt

Zc

Rt

Zc

Rt

Rt

Zc

Rt

Zc

vao

1va

o 2

vao

n-1

vao

n

Rse

(Zm

/Zc)

Ip

EQ

UIV

AL

E A

Figura 2-Q CIRCUITO DESACOPLADO DE N VÃOS

2.9.2 Substituição de lader desacoplado por pi equivalente

O último circuito pode ser simplificado ainda mais, resultando em:

76

mcs

obr0

4

Rt

Zc

Rt

Zc

Rt

Rt

Zc

Rt

Zc

vao

1va

o 2

vao

n-1

vao

n

Rse

(Zm

/Zc)

Ip

EQ

UIV

AL

E A

(Zm

/Zc)

Ip

Rt

Zc

Zc

vao

1va

o n

Rse

(Zm

/Zc)

Ip

(Zm

/Zc)

Ip

vaos

2 a

n-1

PP

Q

Figura 2-R REDUÇÃO DE CIRCUITO UTILIZANDO EQUIVALÊNCIA

ENTRE LADER E PI

Para esta última passagem foi utilizada a equivalência entre um

circuito lader desacoplado e um pi de parâmentros P, Q , desenvolvida por

77

Sobral, e cuja demonstração consta nos artigos citados. Este pi equivalente é

calculado da seguinte forma:

2.9.2.1 Lader finito com vãos iguais

mcsobr06

Zs

Zg

Zs Zs

Zg Zg Zg

A B

VbVa

I=1

Figura 2-S LADER FINITO COM VÃOS IGUAIS A SER SUBSTITUIDO

POR PI EQUIVALENTE

Sendo: Zg - Impedância de aterramento da torre, em ohms

Zs - Impedância série do cabo guarda, em ohms

Ze - Impedância equivalente do lader infinito, em ohms

N - Número de nós

Temos:

Ze = Zs

2 +

Zs

4 + Zg Zs

2

K = Zg

Zg + Ze

A = K

1 - K

2N

2N

Potencial no ponto n (n variando de 1 a N):

V = I Zg 1- K K 1+ A + A

Kn-1

n

Nesta fórmula fazemos I = 1 /_0 A.

Para n=1 temos Va e n = N temos Vb. Finalmente:

P = (Va + Vb) ohm ; Q = {P (Va - Vb) / Vb} ohm (2-W)

Temos então o circuito pi equivalente:

78

mcsobr08

BA

P P

Q

Figura 2-T CIRCUITO PI EQUIVALENTE AO LADER

2.9.2.2 Lader finito com vãos diferentes

mcsobr07

Z2

Z1

Z4

Z3Zn

A B

VbVa

I=1

Zn-2

Zn-1

Figura 2-U LADER FINITO COM VÃOS DIFERENTES A SER

SUBSTITUIDO POR PI EQUIVALENTE

Neste caso não há fórmulas diretas como no anterior, havendo

necessidade de uma análise nodal para o cálculo de Va e Vb, supondo uma

corrente de 1 A aplicada ao nó A. Calculados Va e Vb caímos no caso anterior

sendo P e Q calculados pelas eq. 2-23, e sendo o circuito pi equivalente o

mesmo do item anterior.

2.9.2.3 Constante de espaço

Designada pelo símbolo “CE” e também denominada

“comprimento característico”, é a distância necessária no circuito lader para

que a corrente que penetra a terra através da resistência paralelo decaia a

36,8% do valor original.

79

mcsobr10

A B

ItA

1 2 3 4 8

It4 It8

0,37pu

0,13pu

It

ItA = 1pu

Comprim.

CE

Figura 2-V DEFINIÇÃO DE CONSTANTE DE ESPAÇO

Vemos que It4 = 0.368 ItA , portanto CE = 4 vãos. O

critério proposto por Endrenyi na equação 2-3 considera um lader com 2 CE

como infinito, e o ponto 8 na figura acima pode-se considerar desconectado do

ponto A. No método desacoplado é sugerido 3 CE. Assim, o critério para lader

infinito depende da precisão desejada.

Determinação da CE: )1Kln(

SCE

(km) (2-X)

Sendo S - comprimento do vão em km; K1 - módulo do complexo K

2.9.3 Análise nodal

Utilizando-se as ferramentas expostas, temos a resolução de uma

rede primária, sendo a primeira figura o sistema completo e a segunda, o

circuito simples obtido.

80

mcs

obr0

5Ip

Ic1

Rt1

Zp1

Zm

1

Zc1

Zfl

Ic2

Rt2

Zp2

Zm

2

Zc2

Vao

2V

ao 1

Ic3

Rt3

Zp3

Zm

3

Zc3

Vao

3

Icn-

1

Rtn

-1Zpn

-1 Zm

n-1

Zcn

-1

Vao

n-1

Icn

Rfp

Zpn

Zm

n

Zcn

Vao

n

Ip

Vfa

se

+

EQ

UIV

AL

E A

Zc

Zc

vao

nva

o 1

Zfl

(Zm

/Zc)

Ip

(Zm

/Zc)

Ip

vaos

2 a

n-1

PP

Q

IpIp

Rfp

Ic1

Icn

Figura 2-W "MÉTODO DESACOPLADO": CIRCUITOS ORIGINAL E

REDUZIDO DE REDE PRIMÁRIA EM FALTA

81

Este último circuito tem solução por meio de 4 equações a 4

incógnitas resultantes de análise nodal, onde o nó de referência é a própria

terra. Conhecendo as tensões em todos os nós temos:

- A tensão obtida em Zfl será a sobretensão no ponto em falta, em relação a

um ponto afastado, ou “Ground Potential Rise” segundo a IEEE 80.

- A tensão em Rfp será a elevação de tensão, em relação a um ponto

afastado, na subestação de alimentação, ou GPR.

- A corrente Ic1 percorre o cabo guarda da subestação em falta e, em conjunto

com o tempo de desligamento do disjuntor, pode ser utilizada para o

dimensionamento deste cabo com relação a curto fase-terra.

- Idem para a corrente Icn.

- A corrente que penetra Zfl será utilizada para o dimensionamento da malha

de terra desta subestação, sendo esta corrente denominada “grid current” pela

IEEE 80, igual a 3 Io.

- Idem para a corrente que penetra Rfp.

- Por este circuito verifica-se que desprezando a mútua estaremos com erro

conservativo.

82

2.10 ALIMENTAÇÃO NO PONTO (GOOI, SEBO)

De acordo com os autores, este algoritmo é uma evolução do

apresentado no item 2.3, “Matrizes em cascata”. Da mesma forma que neste

último método, o descrito no presente item pode ser aplicado nos casos em

que há variação das impedâncias de um vão para outro, e para laders finitos

ou infinitos, sendo portanto genérico. Além disto, apresenta as seguintes

vantagens adicionais:

- minimização da quantidade de contas executadas, de forma a diminuir ou

eliminar os erros gerados pelas imprecisões dos números, conforme

mencionado no item 2.9, “Método Desacoplado”;

- minimização do tempo de processamento, como conseqüência do item

anterior;

- assim como “Matrizes em Cascata” tem que ser empregado com computador,

porém apresenta maior facilidade de programação.

- a corrente de falta é calculada pelo próprio algoritmo, não sendo necessário

informar ao computador; em “Matrizes em Cascata”, a corrente de falta era

suposta conhecida.

Utilizando o modelo “por impedâncias reais sem retorno pela terra”,

item 2.1.2, temos o sistema a ser analisado, com n vãos e sendo o vão 1

aquele onde ocorreu a falta. Se o ponto em falta for uma subestação de carga,

a situação é a mesma exceto que a resistência Rt1 passa a ser a resistência

para terra da subestação, igual à resistência da malha em paralelo com as dos

cabos guarda de todas as linhas que chegam ou saem.

83

Vsp +-

Ip

gooi01

Zsp

Rt1Rt2Rtn Rtn-1

Zg1Zg2Zgn-1Zgn

Rfp

Zpn Zpn-1 Zp1Zp2

Vgn+1

Vgn Vgn-1

Vg1

Vg2

Zm1Zm2Zmn-1Zmn

Ig2Ig3IgnIgn+1

Ip

vao 1vao 2vao n vao n-1

Ig1=Ip

SE gerad.

Figura 2-X MÉTODO "ALIMENTAÇÃO NO PONTO": REDE PRIMÁRIA

EM FALTA PARA TERRA

Onde, na notação original do artigo:

k - vão genérico variando de 1 na falta a n na alimentação

Vp - tensão do condutor fase

Vg - idem cabo guarda

Ip - corrente no cabo fase

Ig - corrente no cabo guarda

Igk - idem no k-ésimo vão

Rfp - resistência para terra da SE alimentadora

Rtk - resistência da torre no k-ésimo vão

Zsp - impedância equivalente do sistema de alimentação

Vsp - tensão do sistema de alimentação

Zpk - impedância do condutor fase no k-ésimo vão

Zmk - impedância mútua entre condutor fase e

cabo guarda no k-ésimo vão

Zgk - impedância do condutor guarda no k-ésimo vão

84

O circuito acima, com relação à distribuição de correntes e

potenciais no cabo guarda, é equivalente ao circuito abaixo, onde a

alimentação foi transferida para o ponto da falta:

Vsp+

-

Ip

gooi02

Zsp

Rt1Rt2Rtn Rtn-1

Zg1Zg2Zgn-1Zgn

Rfp

Zpn Zpn-1 Zp1Zp2

Vp1Vp2Vpn-1Vpn

Vpn+1

Vgn+1

Vgn Vgn-1

Vg1

Vg2

Zm1Zm2Zmn-1Zmn

Ig2Ig3IgnIgn+1

Ip

vao 1vao 2vao n

SEgerad.

vao n-1

Ig1=Ip

Figura 2-Y CIRCUITO EQUIVALENTE COM ALIMENTAÇÃO NO PONTO

EM FALTA

Para este circuito, considerando o vão n+1, ou seja, a subestação

alimentadora, temos:

Vpn+1 -(Zsp + Rfp) Rfp Ip

= (2-Y)

Vgn+1 -Rfp Rfp Ign+1

Sendo:

-(Zsp + Rfp) Rfp Z11n+1 Z12n+1

Zn+1 = =

-Rfp Rfp Z21n+1 Z22n+1

Considerando agora o vão n temos:

85

Vpn+1 - Zpn Ip + Zmn Ign+1 = Vpn (2-Z)

Vgn+1 + Zgn Ign+1 - Zmn Ip = Vgn (2-AA)

Ign+1 = Ign - Vgn / Rtn (2-BB)

Executando os procedimentos:

1) Tiramos Vpn+1 de 2-25 e substituimos em 2-26.

2) Tiramos Vgn+1 de 2-25 e substituimos em 2-27.

3) Ign+1 dado por 2-28 substituimos em 2-27.

Obtemos:

Vpn Ip

= Zn

Vgn Ign

Sendo os elementos da matriz Zn:

Z Z Z

Z Z

R

Z Z

Z Z

R

n n pnn mn

tn

n mn

n gn

tn

11 11 121 1 12 1

22 11

Z

Z Z

Z Z

R

nn mn

n gn

tn

1212 1

22 11

Z Z Z

Z Z

R

Z Z

Z Z

R

n n mnn mn

tn

n gn

n gn

tn

21 21 121 1 22 1

22 11

Z

Z Z

Z Z

R

n

n gn

n gn

tn

22

22 1

22 11

86

Para o vão n-1 teremos igualmente:

Vpn-1 Ip

= Zn-1

Vgn-1 Ign-1

Onde a matriz Zn-1 é calculada de forma análoga à matriz Zn, apenas

substituindo-se os índices n+1 por n e n por n-1 .

Desta forma procedemos até o vão 1, onde temos:

Vp1 Ip

= Z1

Vg1 Ig1

Introduzindo as condições de contorno:

Ip = Ig1; Vg1 - Vp1 = Vsp;

Temos:

Ip = Vsp / (Z221 + 2 * Z211 - Z111)

Equação que nos permite o cálculo da corrente de falta. A partir destes valores

calculamos Igk, para k = 2 até k = n, e idem para Vgk, com as seguintes equa-

ções onde as matrizes de impedâncias são conhecidas:

- vão 1:

Vp1 Ip

= Z1

Vg1 Ig1

- vão 2:

Vp2 Ip

= Z2

87

Vg2 Ig2

- e assim por diante até a alimentação.

Os autores apresentam uma extensão do método para o caso de

linha alimentada pelos 2 lados, e também para outros tipos de faltas à terra.

Entretanto para sistemas de potência interligados não se aplica.

Para a comprovação do método, são feitas 2 comparações:

1) Foram executados os cálculos para as mesmas condições em que foram

efetuadas medidas da distribuição de correntes em uma linha de transmissão

real conforme relatado em artigo de Sebo e Regeni [4]. Estes cálculos

executados pelo algoritmo “Alimentação no ponto” resultaram idênticos aos

mesmos cálculos executados por “Matrizes em cascata”, e portanto

forneceram resultados em bom acordo com as medições.

2) Foram efetuados os cálculos para um caso já resolvido por programa do

Electric Power Research Institute, sendo que os resultados foram idênticos.

Com relação ao tempo gasto de CPU, este método precisou de apenas 5,2 %

do tempo utilizado pelo programa do EPRI.

88

2.11 MÉTODO PRÁTICO (POPOVIC)

Consideremos um sistema, não interligado, constituído por uma

subestação geradora A, uma linha de transmissão com cabo guarda, e uma

subestação de distribuição B.

popovi01

Zs

Za R

A

Ie

Vph+

-

Ia

Zs

R

Zs

R Zb

1 n N

Zs Zs

BIb

IfZm

Iw

0

2 n-1

n+1

F

SE-A (ger) SE-B (car)

Figura 2-Z “MÉTODO PRÁTICO”: SISTEMA EM ANÁLISE

Para este esquema foi utilizado o modelo “por grandezas reais

sem impedância de retorno pela terra”, sendo na notação original:

If - corrente de falta no ponto F, para terra

Ia, Ib - parcelas da corrente de falta

Ie - corrente para terra na subestação A

Iw - corrente no cabo guarda no primeiro vão

Za, Zb - impedância para terra das subestações A, B

Zs - impedância própria do cabo guarda

Zm - impedância mútua entre o cabo guarda e o cabo fase em falta

R - resistência de aterramento das torres

n - número de vãos até o ponto em falta

N - número total de vãos entre A e B

89

Para este sistema, Popovic [23] propôs o seguinte circuito

equivalente, considerando uma eventual alimentação da corrente de falta pela

subestação de carga:

popovi02

Za

A

Ie

Vph

+

-

Ia

R Zb

n

N

BIb

Iw0

F

Pa Pa

Qa

Iia

Vtn

(Z1+Z2)/3

Zlao/3 Zlb0/3

Pb Pb

Qb

Ia

IibZbo/3Zao/3

G

If

Figura 2-AA “MÉTODO PRÁTICO”: CIRCUITO EQUIVALENTE PARA O

CASO GERAL

Onde:

Iia, Iib - geradores de corrente para desacoplar o circuito, sendo:

Iia = Zm / Zs Ia ; Iib = Zm / Zs Ib

P, Q - impedâncias, desenvolvidas por Popovic, de um circuito pi

equivalente a lader (finito ou infinito), sendo:

Pk

k kZa

n

n

1

Qk

k kZa

n

n n

2

1

1

k = 1 + Z/R

ZZs

RZZ

ss

2 4

2

Pb , Qb : idem porém troca-se n por m=N-n

Vph - fonte de alimentação no ponto igual à da estação geradora

Vtn - potencial da torre em falta

Z1, Z2 - impedâncias de seq direta e inversa, do sistema,

no ponto em falta

Zao, Zbo - impedâncias de sequência zero das subestações A e B

90

Zlao, Zlbo - idem para linha de transmissão

G - terra remoto

No artigo em questão não foi fornecida a demonstração deste últi-

mo circuito, constando apenas que foi baseado em:

- Teoria das componentes simétricas

- Metodologia por alimentação no ponto [11]

- Método desacoplado [16, 17]

- Paper de Popovic: “Equações gerais de linha representada por

parâmetros discretos”

A justificativa para o circuito equivalente apresentamos na próxima

figura, onde foram interligados os diagramas seqüenciais do sistema trifásico

em análise para o cálculo de uma falta à terra no ponto F. Observar que:

- Dividindo-se todas as impedâncias desta figura por 3, a corrente Io torna-se

diretamente a corrente de falta If.

- Substituindo-se os diagramas de seqüência direta e inversa pelos seus

equivalentes Thevenin, obtemos o ramo, do circuito equivalente, entre os

pontos F e n.

- Introduzindo-se os diversos caminhos para a corrente de seqüência zero,

cabo guarda, torres e a terra, entre os pontos G , M e G , N do diagrama

de seqüência zero, obtemos os circuitos pi desacoplados do circuito

equivalente. Notar que estas impedâncias entram no diagrama de seqüência

zero com seus valores reais multiplicados por 3. Como mencionado, todas as

impedâncias deste diagrama serão divididas por 3 para se obter a corrente de

falta diretamente, logo no circuito equivalente final, os vários caminhos para a

cor-rente de falta entram com seus valores reais, não multiplicados por 3.

91

popovi03A

Vph+

-

B

F

Za1

Zla1

Zlb1Zb1

A BF

Za2

Zla2 Zlb2

Zb2

A BF

Zao

Zlao Zlbo

(elevado,carga)

(elevado,carga)

(aberto,delta)

Io

GM N

Seq +

Seq -

Seq o

Figura 2-BB INTERLIGAÇÃO DOS DIAGRAMAS SEQUENCIAIS PARA

JUSTIFICATIVA DO CIRCUITO EQUIVALENTE

Assumindo as seguintes hipóteses simplificadoras, o circuito

equivalente pode ser reduzido:

- Ligação delta na subestação de carga, resultando em circuito aberto para a

sequência zero. Assim Ib = 0, Iib = 0 e podemos desprezar os efeitos do cabo

fase entre F e B.

- Impedâncias para terra das subestações A e B muito inferiores às outras

impedâncias, podendo ser consideradas zero.

Ficamos desta forma com o circuito equivalente bastante simplificado.

92

popovi04A

Ie

Vph

+

-

n

Iw0

F

Qa

Iia

Vtn

G

ZfIf

Zn

Figura 2-CC CIRCUITO EQUIVALENTE SIMPLIFICADO

Onde:

Z Z nZf A s ’

ZA - impedância da fonte igual a:

ZZ Z Z

AA A A

1 2 0

3

ZA1 : Impedância de seq. + da fonte

ZA2 : Impedância de seq. - da fonte

ZA0 : Impedância de seq. 0 da fonte

Zs’- impedância da linha por vão igual a:

ZZ Z

sLs Ls'

2

31 0

ZLs1 - impedância de seq. + da linha por vão

ZLs0 - impedância de seq. 0 da linha por vão

Zn - impedância para terra no ponto da falta, F, calculada de forma

simples a partir do circuito equivalente original, pois Iib = 0, e

ficamos com impedâncias associadas em série ou paralelo.

Para este circuito são conhecidas todas as impedâncias e Vph,

portanto calcula-se facilmente:

Ie - corrente na malha da SE geradora

Iw - corrente no cabo guarda no primeiro vão

Vtn - elevação de potencial no ponto em falta

93

Observar que no circuito acima as impedâncias estão em função

de n, ou seja, número de vãos até a falta, e isto possibilita determinar o valor

de n que resulta na maior corrente Ie ou Iw. Com isto pode-se fazer os

dimensiona-mentos da malha de terra e cabo guarda, para a pior condição de

falta em toda a linha. Para se determinar este valor de n, Popovic propõe um

método por equação transcendental, com solução gráfica, de onde obtemos

um valor próxi-mo da solução; partindo deste número, um computador faria

uma pesquisa para os valores de n logo acima e logo abaixo e determinaria a

solução final.

O autor afirma que o método em pauta pode ser utilizado para

sistemas interligados também, apenas acrescentando-se no circuito

equivalente uma impedância entre os ponto A e G, que leva em conta as

correntes nos neutros de todo o sistema, excluída a subestação A. Sobre esta

impedância não foi fornecido nenhum critério de cálculo ou exemplo numérico.

Para a validação do método, o autor comparou os cálculos obtidos

com resultados de método mais preciso executado por computador e baseado

em “paper” de Meliopoulos4, obtendo diferenças menores que 5%. Estas

pequenas diferenças são explicadas, no artigo , por 2 fatores:

- o cálculo por componentes simétricas supõe transposição completa, sendo

que não foi considerada nenhuma transposição;

- a disposição dos condutores na torre foi escolhida da maneira mais

assimétrica possível, de forma a maximizar o erro da solução.

4Meliopoulos, A. ; Webb, R. ; Joy, E. ; Patel, S. “Computation of Maximum Earth Current in Substation Switchyards” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS 102, n. 9, p. 3131-3139, sept. 1983

94

2.12 MÚTUA EQUIVALENTE (SEEDHER)

Seedher, em artigo recente, apresentou um circuito equivalente ao

cabo guarda, constituído por uma única impedância própria e uma única

impedância mútua. O cabo guarda pode ter número finito ou infinito de vãos,

sendo que todos os vãos devem ter impedâncias iguais. A corrente de falta

neste caso é pré-calculada por métodos tradicionais e a resistência para terra,

da alimentação, é suposta muito pequena, sendo desprezada. Assim, o

complicado e extenso circuito que representa a falta para terra alimentada pela

linha de transmissão com cabo guarda, é substituído por um circuito simples

onde o cabo fase torna-se apenas uma fonte de corrente, o cabo guarda torna-

se uma impedância própria e uma mútua, e o ponto em falta é ligado à terra

por uma impedância, cuja corrente é a nossa incógnita e pode ser facilmente

calculada.

O método apresenta evidente facilidade de cálculo. Entretanto o

autor não demonstrou a equação para a obtenção da mútua única equivalente

a todo o sistema, e nem mesmo forneceu o embasamento para tal equação.

Apesar disto, as comparações realizadas com valores já calculados por

programas exatos do EPRI mostraram resultados bastante precisos, em 3

diferentes casos analisados.

95

2.13 SÍNTESE

Dentre os métodos analisados, apontamos o algoritmo

“Alimentação no ponto”, de Gooi/Sebo, item 2.10, como um dos mais

adequados ao estudo das redes primárias radiais, pois:

- É de programação relativamente fácil, não necessitando fluxogramas com

lógica complicada.

- Uma vez programado, basta fornecer ao computador os dados e rodar, não

necessitando interação homem-máquina para realimentação de dados.

- Os vãos podem ter diferentes comprimentos, ou mesmos comprimentos e

diferentes valores de impedâncias, o que significa que a rede pode atravessar

solos com resistividades diferentes, caso mais comum.

- Calcula a corrente de falta pelas impedâncias de Carson, o que significa que

fornece a maior precisão possível para este valor, pois o cálculo por

componentes simétricas pressupõe transposição completa de fases.

- O número de contas é minimizado para evitar propagação de erros devido à

imprecisão dos valores.

Outro método igualmente adequado ao estudo em questão é o

desenvolvido por Dawalibi, “Eliminação Dupla”, exatamente pelos mesmos

motivos.

A única situação em que é possível a solução por calculadora,

evitando-se o trabalho de programação de computador, é rede primária com

todos os vãos iguais e cujo lader de aterramento pode ser considerado infinito.

96

Neste caso particular o equacionamento proposto por Endrenyi, item 2.4,

resolve o problema de forma simples. Para o caso de lader finito este autor

propôs soluções baseadas em funções hiperbólicas, sendo necessário o uso

de computador com programação específica.

Aproximações gráficas, derivadas das funções hiperbólicas, foram

propostas por Endrenyi, item 2.4, com extrema simplificação dos cálculos e

válidas para qualquer caso. Estes procedimentos não podem ser utilizados em

projetos executivos finais por não se conhecer o tamanho do erro cometido,

entretanto são ótimos nas etapas preliminares, conforme item 1.2.1, onde

trabalha-se apenas com ordens de grandezas.

O cálculo por Verma/Mukhedkar, item 2.6, resolve também de

forma simples e rápida, apenas com calculadora, o caso de vãos iguais e lader

infinito, tendo ainda a vantagem de possibilitar a determinação das correntes

nos postes adjacentes ao ponto em falta. Para o caso de lader finito, é

necessária programação simples com funções hiperbólicas. Não se aplica a

redes primárias com vãos diferentes.

O método por diagrama de seqüência zero, item 2.7, devido a ser

trabalhoso, só é recomendado nos casos em que já se possua um extenso

sistema de potência modelado por componentes simétricas em software e

hardware suficientemente possantes.

O “Direto”, item 2.8, é um dos mais precisos e gerais, pois calcula

a corrente de falta diretamente pelas impedâncias de Carson, e pode ser

empregado em linhas com vãos diferentes, sem transposição, e em sistemas

interligados. É recomendado para linhas longas pois pode levar em conta as

capacitâncias próprias e mútuas. Em contrapartida, exige programação

pesada, com grande número de contas executadas pelo computador. Para a

entrada de dados, é necessário uma interação homem-máquina, pois os dados

iniciais são fornecidos ao computador para um primeiro processamento; os

97

resultados serão tratados algebricamente e fornecidos novamente ao

computador, que então fará o processamento final.

O “Desacoplado”, item 2.9, é baseado em análise nodal onde o nó

de referência é a terra, e os outros nós do sistema são os pontos de

aterramento para os quais se deseja tensões e correntes. Os cabos fase não

fazem parte do circuito final a ser resolvido, tendo sido transformados em

geradores de corrente para o circuito de aterramento, onde as correntes são

previamente calculadas por componentes simétricas. Do circuito final a ser

resolvido foram eliminados os acoplamentos mútuos entre cabos guarda e

cabos fase, por meio de geradores de corrente equivalentes. Técnicas

especiais de redução de circuitos foram utilizadas, para que o circuito final, a

ser resolvido por análise nodal, tenha o menor número possível de nós,

evitando-se com isto a inversão de grandes matrizes. É um método adequado

para a solução de sistemas interligados, sendo que para redes primárias

apresenta o inconveniente de necessitar interação homem-máquina para o

processamento total.

O recente “Prático” de Popovic é baseado nos métodos

“Desacoplado”, “Alimentação no Ponto” e “Componentes Simétricas” e resulta

em circuito facilmente resolvível, utilizando contudo o auxílio de computador. É

aplicado principalmente nos casos em que se deseja saber qual o pior ponto

da linha para faltas à terra, tendo o autor desenvolvido equacionamento

específico para isto. Calcula também a corrente de falta, não havendo

necessidade de ser previamente conhecida. Para o cálculo desta corrente são

utilizadas as impedâncias seqüenciais da linha, o que resulta em pequeno erro

para locais em que não haja transposição de fases.

O mais recente, “Mútua Equivalente” de 1999, é aplicado para

linhas com vãos iguais e com lader finito ou infinito, e resulta em equações

simples, resolvíveis apenas com calculadora. Entretanto o autor não

demonstrou a principal equação, para mútua única equivalente a toda a linha.

98

3. APLICAÇÕES A SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

3.1 REDE PRIMÁRIA DE DISTRIBUIÇÃO TÍPICA

Serão comparadas algumas metodologias por meio de cálculos

executados para uma rede primária padrão Eletropaulo.

Os resultados serão comparados com valores precisos, obtidos em

simulações por computador, relatados em “Análise de sensibilidade da

influência dos sistemas de aterramento e dos valores de resistência de terra

nas redes de distribuição de energia elétrica” de Aderbal Penteado [20].

Evidentemente para que esta comparação possa ser feita, nossas

metodologias serão aplicadas à mesma rede, com os mesmos pontos em falta,

definidos no próximo item.

3.1.1 Configuração

A próxima figura nos fornece a configuração de um circuito

primário desde a origem até o primeiro transformador, instalado em poste, que

alimentará consumidores em baixa tensão. Observar que este circuito não

termina no transformador, podendo alimentar outros transformadores em poste

ou consumidores em alta tensão.

99

rdpr

im10

150m

150m

150m

150m

150m

P1-

AP

2-A

P3-

AP

4-A

P5-

AP

6-A

P7-

AP

8-A

P9-

A

150m

150m

150m

150m

fase

b

fase

c

neut

ro m

ulti

-ate

rrad

oN

T1

NT

2

NT

3N

T5

NT

7

NT

9

CO

NF

IGU

RA

CA

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A R

ED

E P

RIM

AR

IA

SU

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STA

CA

O D

E

DIS

TR

IBU

ICA

O

TR

AN

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OR

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DO

R

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DIS

TR

IBU

ICA

O

cont

inua

cao

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lim

enta

dor

prim

ario

em

anal

ise

circ

uito

secu

ndar

io

com

neu

tro

mul

ti-a

terr

ado

NT-

G

ater

ram

ento

da s

ubes

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o

linh

as d

e

tran

smis

sao

com

cab

os g

uard

a

mul

ti-a

terr

ados

alim

enta

dore

s

com

neu

tros

mul

ti-a

terr

ados

fase

a

Figura 3-A REDE PRIMÁRIA EM ANÁLISE

100

A disposição dos condutores no poste está representada abaixo.

fases 13,8 KV

neutro multi-aterrado

solo

12 m

1,5 m

0,8 m 0,8 m

cabos ACSR 1/0

cabo ACSR 1/0

rdprim09

Figura 3-B DISPOSIÇÃO DOS CONDUTORES NO POSTE

Esta disposição é próxima da disposição padrão Eletropaulo [15].

Os cabos utilizados por esta concessionária podem ter material diferente,

sendo de alumínio somente ou cobre, e em geral têm a seção indicada no

desenho, equivalente aproximadamente a 50 mm2. Uma característica dos

circuitos primários é ter a seção do condutor neutro multi-aterrado igual à do

condutor fase, o que não ocorre com o cabo guarda de linhas de transmissão,

cuja seção é muitas vezes menor que a dos cabos fase. Também, para cabos

guarda é utilizado com freqüência o aço, de baixa condutividade, enquanto que

nas redes primárias o neutro é do mesmo material que as fases.

O circuito secundário em 220 V que parte do transformador no

poste, alimenta diversos quarteirões, sendo que o neutro está ligado a 9

hastes da concessionária, espaçadas de 100 ou 200 m entre si. Além destas

101

hastes, encontramos mais uma haste em cada entrada consumidora, instalada

pelo consumidor, de forma que a resistência total para a terra é muito baixa,

tendo sido calculada precisamente no referido trabalho. Em nossas aplicações

utilizaremos este valor já calculado.

Durante faltas à terra na parte de alta tensão é necessário

conhecer o potencial da haste NT9, pois ele vai aparecer, praticamente na

íntegra, dentro das instalações dos consumidores, podendo gerar situações de

perigo. Calcularemos este potencial para faltas fase-terra em P1-A e P9-A.

3.1.2 Impedâncias

Está ressaltado no mencionado trabalho que, para a correta

modelagem do sistema, é necessário que se considere para as resistências de

aterramento, todos os neutros ou cabos guarda multi-aterrados ligados ao

ponto de aterramento em questão, além das resistências para terra de seus

próprios eletrodos.

Assim, para a subestação de distribuição da concessionária, a

impedância de aterramento Zse será a resistência para terra de sua malha, em

paralelo com as impedâncias equivalentes dos circuitos lader constituídos por:

- cabos guarda multi-aterrados das linhas de transmissão;

- cabos neutros multi-aterrados dos alimentadores.

Para o ponto NT9 a impedância de aterramento é constituída pelos

seguintes valores em paralelo:

- resistência do eletrodo em NT9, constituído de 1 haste, Rp = 50 ohm;

- impedância do neutro multi-aterrado do circuito secundário, constituído de 9

hastes da concessionária e 9 ou mais dos consumidores, sendo para cada

haste Rp = 50 ohm;

- impedância do lader do alimentador primário, que pode ser extenso,

considerado infinito.

102

Para as impedâncias de aterramento foram utilizados os seguintes

valores, já previamente calculados no citado estudo [20]:

- Pontos NT1, NT3, NT5, NT7: uma haste com Rp = 50 ohm

- Ponto NT9: Znt9 = 0,42 + j 0,28 = 0,5 33,7 ohm

- Na subestação, ponto NT-G: Zse = 0,11 + j 0,07 = 0,13 32,47 ohm

Com base na disposição apresentada para os condutores foram

calculadas as diversas impedâncias da rede em questão por métodos

tradicionais [3], assumindo-se solo com resistividade 100 ohm*m homogêneo

em toda a extensão do circuito. Considerada a potência de curto da

subestação igual a 120 MVA, conforme [20], e tensão nominal do sistema 13,2

kV.

- Impedância própria dos cabos fase, com retorno pela terra:

Za = 0.986 + j 1,537 = 1,826 57,32 ohm/mi

- Impedância própria do cabo neutro, com retorno pela terra:

Zn = Za

- Impedância mútua entre fase e neutro, com retorno pela terra:

Zm = 0,093 + j 0,76 = 0,766 83,02 ohm/mi

- Impedância de seqüência zero da linha trifásica:

Zo = 1,48 + j 2,14 ohm/mi

- Impedância de seqüência positiva da linha trifásica:

Z1 = 0,893 + j 0,72 ohm/mi

- Impedâncias seqüenciais do transformador:

Z1 = Zo = j 1,45 ohm

3.1.3 Cálculo da distribuição de correntes para falta no ponto

P1-A

Cálculo da corrente de falta If:

103

- Impedâncias para 150 m da rede em análise:

Z1 = 0,084 + j 0,068 ohm ; Zo = 0,139 + j 0,2 ohm

- Diagramas seqüenciais:

j 1,45 ohm

j 1,45 ohm

0,084 + j 0,068 ohm

0,139 + j 0,2 ohm

7621 V j 1,45 ohm

0,084 + j 0,068 ohm

rdprim11

Seq + Seq - Seq o

Figura 3-C DIAGRAMAS SEQUENCIAIS PARA 150m DA REDE

PRIMÁRIA

- Corrente de seqüência zero (Io): 1623,9 -86,24 A

- Corrente de falta (3 Io): 4872 A

- Este valor será comparado com o calculado no citado Estudo:

Corrente de falta calculada em [20] 4834 A

Corrente de falta calculada neste trabalho 4872 A

Tabela 3-A COMPARAÇÃO DE RESULTADOS PARA A CORRENTE DE

FALTA EM P1A

Conhecendo o valor da corrente durante o curto fase-terra,

podemos então executar o cálculo da distribuição desta corrente no sistema de

aterramento. Após isto calcularemos a sobretensão na haste NT-9 que se

propagará para a instalação do consumidor.

3.1.3.1 Pelas leis de Kirchhoff, com aproximações

A determinação da corrente de retorno pelo neutro devida à mútua,

é feita em [3] a partir das impedâncias de Carson e das leis de Kirchhoff. É

104

denominada corrente auto-neutralizada no método desacoplado conforme

equação 2-V, pois não afeta os potenciais dos elementos de aterramento.

Após a sua obtenção e adotando aproximações razoáveis, calcularemos

tensões e correntes no sistema de aterramento apenas aplicando as

tradicionais leis de circuitos.

Cálculo da distribuição de correntes no sistema de aterramento:

- Fase adotada para a corrente de falta: zero, portanto If = 4872 | 0 A.

- Corrente de retorno pelo neutro devida à mútua, eq 2-V:

Ian = 0,42 | 25,7 If = 2046,24 25,7 A

- Corrente injetada no nó NT1:

Int1 = If - Ian = 3155,5 -16,33 A

- Impedância própria de 150 m de cabo neutro:

Zn = 0,17 57,32 = 0,092 + j 0,143 ohm

- Circuito equivalente:

ZnNT1

NT9N

4872 /_ 0 A

Znt9Zse

I1

rdprim022046 /_ 25,7 A

3155 /_ -16,33 A

4872 /_ 0 A

3155 /_ -16,33 A

8Zn

Figura 3-D FALTA EM P1A: CIRCUITO EQUIVALENTE COM

APROXIMAÇÕES

- Aproximação conservativa adotada para simplificação dos cálculos:

Resistências para terra das hastes muito grandes face às resistências

em NT9 e em N: 50 ohm >> 0,5 | 33,7 ohm , então:

Resistências das hastes NT1, NT3, NT5, NT7 =

- Terra equivalente em NT9:

Znt9 = 0,42 + j 0,28 = 0,5 33,7 ohm

105

- Terra equivalente em N:

Zse = 0,11 + j 0,07 = 0,13 32,47 ohm

- Divisor de correntes:

A corrente injetada no nó NT1 será dividida pelo divisor de correntes

constituido por Z1 e Z2, sendo:

Z1 = 8Zn + Znt9 + Zse = 1,27 + j 1,5 ohm

Z2 = Zn = 0,092 + j 0,143 = 0,17 57,32 ohm

- Corrente pela terra:

I1 = 252,4 - 9,46 A

- Potencial na haste NT9 pela eq. 1-1: U = 127,2 V

- ANÁLISE DO RESULTADO: Este valor obtido tem um erro devido ao fato de

termos desprezado os diversos ramos para terra entre os pontos NT1 e NT9, o

que simplificou os cálculos. Para este caso pode-se afirmar que o erro é con-

servativo, portanto podemos utilizar este resultado.

3.1.3.2 Método desacoplado

O primeiro passo é “desacoplar” o circuito, ou seja, eliminar as

mútuas entre os condutores através de geradores de corrente equivalentes.

Desta forma ficamos com um circuito equivalente análogo ao do item anterior,

representado na próxima figura.

Procedimentos:

- Gerador de corrente devido à corrente de falta:

If = 4872 | 0 A

- Gerador de corrente para desacoplar pela eq 2-V:

Ian = 2046,24 25,7 A

- Circuito equivalente desacoplado:

106

Zn

NT9N

4872 /_ 0 A

Znt9Zse50 OHMS 50 OHMS 50 OHMS 50 OHMS

NT1

NT3 NT5 NT7

rdprim03

2046 /_ 25,7 A

3155 /_ -16,3 A

2Zn 2Zn 2Zn 2Zn

Figura 3-E FALTA EM P1A: CIRCUITO EQUIVALENTE PARA O

MÉTODO DESACOPLADO

- Simplificação do circuito desacoplado pelo pi equivalente conforme item

2.9.2.1 e equações 2-W:

Zn

NT9N

4872 /_ 0 A

Znt9Zse

QNT1

NT7

rdprim04

P P

2046 /_ 25,7 A

3155 /_ -16,3 A

2Zn

Figura 3-F CIRCUITO DESACOPLADO SIMPLIFICADO POR PI

EQUIVALENTE

- A simplificação acima é recomendada por Sobral para redução de circuitos

extensos, a fim de que possa ser aplicada análise nodal sem inversão de

grandes matrizes. Sendo o circuito original pequeno, dispensaremos esta

etapa e o resolveremos pelo software “ATP” , sendo que o arquivo de dados

de entrada “DISSERT01.ATP” consta do apêndice C.

107

NT9

B

NT1 NT3 NT5 NT7

rdprim14

0.11+j0.0750+j0

3155/_-16,3

3155/_-16,3

A

N

0.092+j0.143 0.184+j0.286 0.184+j0.286

0.42+j0.28

0.184+j0.286 0.184+j0.286

50+j0 50+j0 50+j0

Figura 3-G FALTA EM P1A: CIRCUITO DO MÉTODO DESACOPLADO A

SER RESOLVIDO PELO ATP

- Obtivemos como resposta do ATP a tensão em NT9 em relação à terra, para

regime permanente:

U = 124,5 V

3.1.3.3 Pelas aproximações gráficas de funções hiperbólicas

Com o fator de acoplamento, eq 2-H, obtém-se a corrente de

retorno pelo neutro devida à mútua *If , sendo o restante (1 - )*If injetado

no sistema de aterramento. Assim ficamos com o mesmo circuito já analisado

no item anterior, figura 3-E. Este circuito será reduzido calculando-se a

impedância Zn’ do lader finito sem mútuas, próxima figura. Após isto pode-se

calcular a corrente nesta impedância por divisor de correntes.

108

Zn

N

4872 /_ 0 A

Zse 50 OHMS

NT1

rdprim05

2046 /_ 25,7 A

3155 /_ -16,3 A

Zn'

Figura 3-H CIRCUITO REDUZIDO PARA CÁLCULO PELAS

APROXIMAÇÕES GRÁFICAS DE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

A corrente através de Zn’ será tomada aproximadamente igual à corrente para

terra em NT9, pois temos altas resistências nas outras hastes de aterramento.

Rigorosamente Zn’ seria calculada pela eq 2-E, entretanto para

reduzir o trabalho de cálculo vamos utilizar os gráficos aproximados fornecidos

por Endrenyi em [6]. Sendo:

- Número de ramos paralelos: n = 3

- Zs = 0,34 57,32 = 0,184 + j 0,286 ohms

- Zp = 50 + j0 ohms K = Zs / Zp= 0,0068

- Terminação do lader finito sem mútuas: Rst = Znt9 = 0,5 33,7 ohm

- Rst / Zp = 0,01

- Entrando com os parâmetros acima no gráfico da figura 4 de [6]:

Zn’ / Zp = 0,05 , de onde obtemos Zn’ 2,5 ohm

- Observar que foi feita uma extrapolação para o valor de K o que resulta em

erro desconhecido.

- Para a fase de Zn’ pode-se estimar 45 analisando-se o circuito original.

- Então a impedância do lader finito sem mútuas Zn’ = 2,5 | 45 ohm

A partir deste valor pode-se ter uma estimativa da corrente que

penetra o lader com 3 torres, apenas com dois divisores de correntes:

109

- Divisor 1: entre Zn e [(50 // Zn’) + Zse]

Divisor 1 = 0.066

- Divisor 2: entre 50 ohm e Zn’ = 2,5 | 45 ohm

Divisor 2 = 0,966

- Corrente em NT9:

Int9 = divisor 1 * divisor 2 * 3155 = 201,2 A

- Potencial em NT9 , eq 1-A:

U = 100,5 V

- Apresentamos os resultados obtidos com os vários métodos:

calculado em [20], pag 8 caso 1 76 V

pelas leis de Kirchhoff, aproximado, erro conservativo 127 V

método desacoplado 125 V

aproximações gráficas de funções hiperbólicas 101 V

Tabela 3-B COMPARAÇÃO DE RESULTADOS: POTENCIAL EM NT9, EM

RELAÇÃO AO TERRA REMOTO, DEVIDO A FALTA EM P1A

- ANÁLISE DOS RESULTADOS: O valor exato é o do método desacoplado

que não faz nenhuma aproximação. Este valor difere do calculado em [20]

devido à distância considerada entre a subestação e o ponto de falta P1A igual

a 150 m em nosso trabalho, valor assumido por não constar no mencionado

estudo. O método pelas leis de Kirchhoff, apesar das aproximações adotadas,

forneceu resultado bem próximo do valor exato. O método pelas aproximações

gráficas apresentou grande desvio e não conservativo, o que comprova nossas

observações de que só deve ser usado nos ante-projetos para obtenção de

ordens de grandezas, conforme item 1.2.1 .

110

3.1.4 Idem para falta no ponto P9-A

Cálculo da corrente de falta:

- Impedâncias para 1350 m da rede:

Z1 = 0,754 + j 0,608 ohm ; Zo = 1,25 + j 1,81 ohm

- Diagramas sequenciais:

j 1,45 ohm

j 1,45 ohm

0,754 + j 0,608 ohm1,25 + j 1,81 ohm

7621 V j 1,45 ohm

0,754 + j 0,608 ohm

rdprim12

Seq + Seq - Seq o

Figura 3-I DIAGRAMAS SEQUENCIAIS PARA 1350m DA REDE

PRIMÁRIA

- Corrente de sequência zero (Io): 964,5 -69,5 A

- Corrente de falta: If = 3 Io = 2893,4 A

- Este valor será comparado com o do citado Estudo:

corrente de falta calculada em [20], pag 8 caso 6 3205 A

corrente de falta calculada neste trabalho 2894 A

Tabela 3-C COMPARAÇÃO DE RESULTADOS PARA A CORRENTE DE

FALTA EM P9A

- Análise dos resultados: Considerando as fontes de erros, a saber

- o método das componentes simétricas pressupõe uma transposição

completa de fases entre a alimentação e o ponto de falta;

- as impedâncias dependem da resistividade do solo adotada;

- a disposição dos condutores no poste apresenta uma pequena

diferença com relação ao padrão Eletropaulo;

111

- o cabo utilizado neste exemplo é ACSR, sendo que no trabalho [20]

pode ter sido considerado outro material;

podemos afirmar que o valor calculado está satisfatório.

Passaremos ao cálculo da distribuição desta corrente e da

sobretensão na haste NT9 que se propagará para a instalação do consumidor.

3.1.4.1 Pelas leis de Kirchhoff, com aproximações

Da mesma forma que no item 3.1.3.1 adotaremos aproximações

simplificadoras, o que introduzirá erros nos resultados, porém conservativos.

Procedimentos:

- Fase adotada para a corrente de falta: zero, portanto If = 2894 | 0 A

- Corrente de retorno pelo neutro devida à mútua, eq 2-V:

Ian = 0,42 | 25,7 If = 1215 25,7 A

- Corrente injetada no nó NT9:

Int9 = If - Ian = 1873,8 | -16,3 A

- Impedância própria de 150 m de cabo neutro:

Zn = 0,17 57,32 ohm = 0,092 + j 0,143

- Circuito:

Z

NT9N

Znt9Zse 50 OHMS 50 OHMS 50 OHMS 50 OHMS

2Z 2Z 2Z 2Z

NT1 NT3 NT5 NT7

rdprim13

1215 /_25,7 A

1873,8 /_-16,3 A

2893 /_0 A

Itnt9

Figura 3-J FALTA EM P9A: CIRCUITO EQUIVALENTE

- Aproximação conservativa adotada para simplificação dos cálculos:

Resistências para terra das hastes muito grandes face às resistências

112

em NT9 e em N: 50 ohm >> 0,5 | 33,7 ohm , então:

Resistências das hastes NT1, NT3, NT5, NT7 =

- Terra equivalente em NT9:

Znt9 = 0,42 + j 0,28 ohm = 0,5 33,7

- Terra equivalente em N:

Zse = 0,11 + j 0,07 ohm = 0,13 32,47

- Divisor de correntes entre:

Z1 = Znt9 + Zse = 0,63 33 ohm = 0,53 + j 0,34 ohm

e Z2 = 9Z = 0,83 + j 1,29 = 1,53 57,32 ohm

- Corrente pela terra: Itnt9 = divisor * Int9 = 1352 -9,14 A

- Potencial na haste NT9 por 1-A:

U = 676 V

- ANÁLISE DO RESULTADO: Mesma observação feita para o item 3.1.3.1 .

3.1.4.2 Método desacoplado

Desacoplando o circuito caímos no circuito da figura 3-J, que pode

ser simplificado pelo pi equivalente:

Z

NT9N

Znt9Zse

2Z

NT1 NT7

rdprim08

1215 /_ 25,7 A

1873,8 /_ -16,3 A

P P

Q

I1 I2 I3

2893 /_ 0 A

Figura 3-K FALTA EM P9A: CIRCUITO DESACOPLADO SIMPLIFICADO

PELO PI EQUIVALENTE

113

- Da mesma forma que no item 3.1.3.2, podemos dispensar esta última etapa

visto que o circuito original é pequeno. Este será resolvido pelo software ATP ,

sendo que o arquivo de dados de entrada “DISSERT02.ATP” consta do

apêndice C.

NT9

B

NT1 NT3 NT5 NT7

rdprim15

0.11+j0.0750+j0

1874/_-16,3

1874/_-16,3

A

N

0.092+j0.143 0.184+j0.286 0.184+j0.286

0.42+j0.28

0.184+j0.286 0.184+j0.286

50+j0 50+j0 50+j0

Figura 3-L FALTA EM P9A: CIRCUITO DO MÉTODO DESACOPLADO A

SER RESOLVIDO PELO ATP

- Obtivemos como resposta do ATP a tensão em NT9 em relação à terra, para

regime permanente:

U = 677 V

3.1.4.3 Pelas aproximações gráficas de funções hiperbólicas

Temos uma linha finita, com mútuas, entre a alimentação e a falta,

situação do item 2.4.3 . A sobretensão em NT9 será calculada por 2-G .

- Cálculo de ZnN: pela figura 9 de [6], entrando com

Rst / Zp = 0,13 / 50 = 0,0026 0,01 (notar que Rst = Rge)

K = Zs / Zp = 0,3 / 50 = 0,006 0,01

n = 4 (número de postes aterrados)

114

temos: Zn’ / Zp = 0,045; então Zn’ = 2,25 ohm

pela figura 10 de [6], entrando com

n = 4 ; Rst/Zp 0,01 ; K 0,01

temos: Dn = 0,82

então: ZnN

11

2 25

1

0 82

1

0 5, , , 0,347 ohm

- Potencial em NT9: U = 650 V

- OBSERVAÇAO: Este método não se aplica à subestação alimentadora.

- Temos os resultados obtidos com os vários métodos:

calculado em [20], pag 8 caso 6 590 V

calculado pelas leis de Kirchhoff, aproximado, erro conservativo 676 V

calculado pelo “método desacoplado” 677 V

calculado por funções hiperbólicas (aproximação gráfica) 650 V

Tabela 3-D COMPARAÇÃO DE RESULTADOS: POTENCIAL EM NT9, EM

RELAÇÃO AO TERRA REMOTO, DEVIDO A FALTA EM P9A

- ANÁLISE DO RESULTADO: idem para tabela 3-B

3.1.5 Constante de espaço

Para a rede típica em estudo temos:

- Comprimento do vão: 300 m

- Impedância série do lader de aterramento: Zs = 0,34 57,32 ohm

- Impedância paralelo do lader de aterramento: Zp = 50 + j 0 ohm

115

- Impedância do lader infinito, eq. 2-4: Zinf = 4,26 29,8 ohm

- Constante K conforme item 2.9.2.1: K = 0,931 -2,3

- Constante de espaço pela eq 2-24: CE = 4,2 km

Para esta rede o valor da constante de espaço é elevado,

significando que, caso haja escoamento de corrente para terra na primeira

haste, só depois de 2 CE = 8,4 km teremos haste sem escoamento de

corrente, portanto sem sobretensão.

3.1.6 Sobretensão no neutro devida a falta na subestação de

alimentação

Vamos supor 2 circuitos primários típicos alimentados pela

subestação do anexo A, conforme figura A-1, para a qual foram calculadas as

correntes de falta à terra If e que penetra a terra It. A corrente If foi obtida sem

considerar os laders dos circuitos de distribuição, porém ela praticamente não

se altera se estes laders forem considerados. Já a distribuição da corrente de

falta ficará bastante alterada devido a estes laders conforme figura.

rdprim16If = 4560 A

Malha, It

2,5 ohm

Lader, In1

2,67 ohmCirc. prim. 1

4,3 ohm

Circ. prim. 2

4,3 ohm

Figura 3-M DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTES NA SUBESTAÇÃO DE

ALIMENTAÇÃO DOS CIRCUITOS PRIMÁRIOS

116

As impedâncias dos laders infinitos dos circuitos primários foram aproximadas

pelos seus módulos para simplificação das contas. A nova distribuição de

correntes, em relação à distribuição calculada no anexo A, fica:

- Corrente que penetra a terra pela malha: It = 1470 A

- Sobretensão na malha em relação ao terra remoto: U = 3680 V

- Corrente que deriva pelo lader de cada circuito de distribuição: 855 A

- Corrente que deriva pela primeira haste terra do circuito de distribuição: 67 A

- Sobretensão na haste acima, em relação ao terra remoto: U = 3350 V

Verificamos então que para um comprimento de 2 CE = 8,4 km a

partir da origem, teremos elevadas sobretensões no cabo neutro, durante a

ocorrência da falta na subestação de alimentação. Para a haste localizada a

8,4 km, o potencial será pela eq. 2-R 450 V , igual a 13,5% do potencial

inicial. Estando o terra do consumidor ligado ao cabo neutro, estas

sobretensões aparecerão nas instalações do consumidor. Considerando que

450 V é um valor ainda elevado para instalações de baixa tensão, neste caso é

mais seguro considerar infinita uma linha com 3 ou mais constantes de

espaço.

117

3.2 REDUÇÃO DE CUSTOS EM DIMENSIONAMENTOS DE

MALHA DE TERRA DE SUBESTAÇÃO ALIMENTADA POR REDE

PRIMÁRIA

Como mencionado em 1.3.3, a malha deve ser dimensionada para

dissipar It, porém verifica-se que muitas vezes é utilizada a corrente de falta If

no lugar de It. Consideremos a rede típica anteriormente analisada e uma

subestação, em vez do transformador de distribuição, no ponto P9. A corrente

calculada de falta é 2894 A, porém It será menor que 1874 A, pois * If

retorna pelo cabo neutro. Assim, se a malha for dimensionada para It = 65%

de If, vemos que a economia de material será significativa.

Serão fornecidos critérios simples, com poucas contas, para obter-

mos a corrente It a partir de If. Caso o projetista possua recursos

computacionais envolvendo hardware e software, assim como dados

completos da rede primária alimentando a subestação a ser projetada, é

possível uma redução ainda maior no valor de It.

3.2.1 Divisão da rede primária em regiões considerando a

constante de espaço

Toda a extensão do circuito primário será dividida em 3 regiões

conforme figura.

118

rdprim17

circuito primario trifasico com neutro multi-aterrado

origem

2CE

fim

2CE

regiao A regiao B regiao C

Figura 3-N DIVISÃO DA EXTENSÃO DA REDE PRIMÁRIA EM REGIÕES

PARA DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO

Temos as definições das 3 regiões:

- Região A: entre a origem e 2 vezes a constante de espaço

- Região C: entre o fim e o ponto distante 2 CE do fim

- Região B: entre as 2 regiões acima.

Considerando as definições acima e conhecendo para o circuito

primário apenas os seguintes dados:

- fator de acoplamento ,

- a impedância do lader infinito Zinf,

- a constante de espaço CE,

podemos estabelecer os critérios do próximo item.

3.2.2 Critérios práticos para dimensionamento otimizado de

malha de terra de subestação de consumidor

a) Circuito primário com comprimento superior a 4 CE:

a.1) Subestação a ser projetada localizada na região A ou C:

A corrente It para dimensionamento da malha de terra será obtida do divisor

de correntes, sendo If calculada por componentes simétricas:

119

rdprim18

Ian = u If

If - Ian

If

Malha consumidorIt In

Zinf

Figura 3-O DETERMINAÇÃO PRÁTICA DE It PARA SUBESTAÇÃO

LOCALIZADA NA REGIÃO A ou C

a.2) Subestação a ser projetada localizada na região B:

Neste caso temos o divisor de correntes.

rdprim19

Ian = u If

If - Ian

If

Malha consumidorIt Zinf

In1In2Zinf

Figura 3-P DETERMINAÇÃO PRÁTICA DE It PARA SUBESTAÇÃO

LOCALIZADA NA REGIÃO B

b) Circuito primário com extensão entre 2 CE e 4 CE:

b.1) Subestação a ser projetada com distância superior a 2 CE de qualquer

extremidade: Utiliza-se o divisor de correntes do item a.1 acima.

b.2) Subestação a ser projetada não possue distância superior a 2 CE de

nenhuma extremidade: Utiliza-se o divisor de correntes do item c.

c) Circuito primário com extensão menor ou igual a 2 CE:

Utiliza-se o divisor de correntes.

120

rdprim20

Ian = u IfIf

Malha consumidorIt = If - Ian

Figura 3-Q DETERMINAÇÃO PRÁTICA DE It PARA SUBESTAÇÃO EM

REDE PRIMÁRIA MENOR QUE 2 CE

Vemos dos critérios acima que é importante um valor baixo para a

constante de espaço, um valor baixo para a impedância do lader infinito e um

valor alto para o fator de acoplamento.

3.2.3 Considerações sobre segurança

Verificamos pelos divisores de corrente acima que uma falta em

determinada subestação de consumidor provocará uma elevação do potencial

em relação ao terra remoto nas subestações vizinhas próximas. Sobral define

subestações próximas [18] aquelas que distam, umas das outras, 3 ou menos

constantes de espaço, sendo que um critério menos rígido poderia considerar

2 constantes. Esta elevação do potencial nas subestações próximas não deve

provocar situações de perigo, portanto é necessário:

1) Uma padronização a ser seguida para todas as subestações de certo

circuito primário, com relação ao valor de sobretensão em relação ao terra

remoto, que elas devem suportar.

2) Cada vez que um dos divisores de corrente acima for aplicado, uma

checagem deve ser feita para as subestações vizinhas com relação à corrente

nelas injetada (In1 e In2, nas figuras acima). Esta corrente não deve provocar

uma sobretensão maior que o padrão para a rede.

121

Observamos que estas cautelas devem ser tomadas mesmo que os

dimensionamentos das malhas de terra sejam feitos para a corrente total de

falta If, e não apenas no caso da aplicação dos divisores de corrente acima.

Para a segurança do sistema elétrico, deve ser observado na

determinação dos dados do circuito primário alimentador que, havendo

incerteza, os seguintes valores devem ser adotados:

- Para o fator de acoplamento: o menor valor para o módulo e o maior para o

ângulo.

- Para a constante de espaço: o maior valor.

- Para a impedância do lader infinito: o maior valor.

122

3.3 ANÁLISES DE SENSIBILIDADE PARA A REDE PRIMÁRIA

Considerando que a sobretensão obtida no neutro para falta em

P9A é um valor elevado, tentaremos a sua redução modificando os dois

parâmetros da rede relatados nos próximos itens. Os cálculos foram

executados pelo método desacoplado, sendo a análise nodal processada no

ATP, da mesma forma que foi feito nos itens 3.1.3.2 e 3.1.4.2 .

3.3.1 Variação do tamanho do vão

O vão original de 300 m foi reduzido para 100 m, sendo que todos

os outros parâmetros do item 3.1.4.2 foram mantidos. Como conseqüência

desta redução tivemos Zs alterado para 0.06133 + j 0.09533 ohms, e ficamos

com 11 nós entre NT1 e NT9. A corrente de falta não foi recalculada pois

praticamente não depende do tamanho do vão. O novo valor obtido para o

potencial em NT9 consta na tabela.

COMPRIMENTO DO VÃO (m) SOBRETENSÃO NO NEUTRO (NT9)

300 m , conforme item 3.1.4.2 677 V

100 m 666 V

Tabela 3-E SENSIBILIDADE PARA VARIAÇÃO DO TAMANHO DO VÃO

Considerando, da tabela acima, que a influência do comprimento

do vão é mínima na redução da sobretensão no neutro, é desnecessário

refazer os cálculos para vão igual a 50 m, valor mínimo possível na prática.

123

3.3.2 Variação das resistências de aterramento nos postes

Primeiro será considerado o vão original igual a 300 m, e a

resistência de aterramento Zp nos postes será reduzida de 50 para 15 ohm,

sendo os demais parâmetros iguais aos do item 3.1.4.2 .

RESIST. ATERRAM. NOS POSTES SOBRETENSÃO NO NEUTRO (NT9)

50 ohm, conforme item 3.1.4.2 677 V

15 ohm 667 V

Tabela 3-F SENSIBILIDADE PARA VARIAÇÃO DA RESISTÊNCIA DE

ATERRAMENTO NOS POSTES, PARA VÃO DE 300 m

Considerando, pela tabela acima, que a influência da resistência

para terra nos postes é mínima na redução da sobretensão no neutro, é

desnecessário refazer os cálculos para resistências menores que 15 ohm, já

um valor difícil de ser conseguido na prática.

Vamos procurar para um vão de 100 m, o valor de Zp a partir do

qual temos maior influência na redução da sobretensão. Para isto Zp será

reduzida gradualmente até o valor teórico, impossível de se obter na prática,

de 0,5 ohm.

RESIST. ATERRAM. NOS POSTES SOBRETENSÃO NO NEUTRO (NT9)

50 ohm 666 V

30 657

15 635

8 602

4 549

2 483

0,5 349

124

Tabela 3-G SENSIBILIDADE PARA VARIAÇÃO DA RESISTÊNCIA DE

ATERRAMENTO NOS POSTES, PARA VÃO DE 100 m

Verificamos que a redução significativa na sobretensão só

acontece para valores muito baixos de Zp, impossíveis de serem obtidos na

prática. Mesmo assim a tensão ainda resultante em NT9 tem valor perigoso,

pois considerando-se um tempo de desligamento de 0,2 s, a máxima tensão a

que uma pessoa pode ser submetida é, conforme item 1.1.2 e tabela 1-B,

aproximadamente 110 V.

Assim conclui-se que, nem a redução do vão, nem a redução das

resistências para terra nos postes, pode controlar as sobretensões no sistema

de aterramento, perigosas ao ser humano, resultantes de faltas na parte de

alta tensão.

Seria interessante conhecer a sensibilidade da rede, repetindo-se

os cálculos acima, para outras resistividades do solo, e outras disposições dos

condutores nos postes. Contudo pode-se antever que estas variáveis também

não influenciarão significativamente os potenciais analisados, e outras

soluções para o controle das sobretensões de neutro devem ser pesquisadas,

sendo que algumas sugestões constam do item 4.

125

4. CONCLUSÕES

Em uma rede primária típica, durante faltas para terra, há o

surgimento de tensões perigosas ao ser humano no cabo neutro, que vai se

propagar para as instalações dos consumidores, pois este condutor está

interligado com os neutros dos consumidores. A probabilidade de acidentes é

baixa visto que uma pessoa deve estar tocando partes aterradas exatamente

no momento da falta, que será cortada em aproximadamente 0,5 s. Mesmo

assim estas sobretensões devem ser controladas.

Considerando que muitas subestações de consumidor,

alimentadas por redes primárias, têm sua malha de terra dimensionadas para

a corrente de falta à terra, uma redução de custos pode ser conseguida com

um dimensionamento para a corrente que efetivamente penetra a terra. Para o

cálculo desta última foram enunciados procedimentos práticos, que podem ser

executados sem recursos computacionais. A simplicidade destes cálculos teve

o ônus de certo erro, porém a favor da segurança.

Na pesquisa bibliográfica que abrangeu artigos desde 1963 até

1999, foi identificado um excelente algoritmo para o cálculo exato da corrente

que penetra a terra, para subestações alimentadas por redes análogas às

primárias. Para a aplicação deste método entretanto é necessária a utilização

de computador com programação específica.

Alem disto, temos também as seguintes conclusões.

126

4.1 A IMPORTÂNCIA DO CONDUTOR NEUTRO MULTI-

ATERRADO NA DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTES EM REDES

PRIMÁRIAS

Verificamos ser o condutor neutro indispensável nas redes

primárias, para minimizar as sobretensões nos sistemas de aterramento por

ocasião de faltas. Para a rede primária típica o neutro tem mesma seção que

as fases, o que propicia excelente dreno da corrente de falta. Ficam as

sugestões para trabalhos futuros de análise de sensibilidade:

a) neutro com seção superior aos cabos fase

b) neutro de cobre

c) em conjunto com estas duas medidas acima, aumentando a mútua entre

fase e neutro, estaremos elevando o fator de acoplamento do circuito, que

resultará em maior dreno da corrente de falta.

Uma rede primária sem neutro estará sujeita a sobretensões nos

sistemas de aterramento dos consumidores, bem maiores do que as

calculadas neste trabalho.

4.2 TRANSFERÊNCIA DE POTENCIAIS

4.2.1 Sobretensões no neutro devidas a falta na subestação da

concessionária

Foi calculado no Anexo A, para subestação 120/13,8 kV típica, que

5 kV pode aparecer no neutro dos circuitos de distribuição 13,8 kV, nos

primeiros vãos. Como sugestão para trabalhos futuros propomos a análise

das seguintes soluções para a eliminação deste problema:

127

a) Redução da corrente de falta à terra na SE da concessionária, por meio de

um reator entre neutro e malha terra no secundário do transformador que

alimenta a linha de transmissão 120 kV.

b) Drenagem da corrente de falta à terra na SE da concessionária, por meio do

cabo guarda da linha de 120 kV, que terá sua seção aumentada nos vãos

próximos a esta SE. Nestes vãos é interessante que o cabo guarda seja de

material com alta condutividade, conforme recomendado por Sobral [18].

c) Desconectar o neutro do circuito de distribuição, da malha da subestação de

origem, sendo o aterramento feito em malha separada, conforme

recomendado no Handbook Beeman [2].

4.2.2 Sobretensões no neutro devidas a falta em subestação

alimentada pelo circuito primário

Foi demonstrado que estes potenciais podem atingir

aproximadamente 700 V na rede típica, e se propagam às subestações

próximas. Como solução propusemos, em conjunto com os procedimentos

práticos para cálculo de It, uma padronização para todas as subestações

alimentadas pela rede primária, do valor mínimo de tensão em relação ao terra

remoto, que elas devem suportar.

Como sugestão para trabalhos futuros fica a análise de reator no

neutro do transformador que alimenta o circuito primário, para redução da

corrente de falta.

128

4.2.3 Sobretensões no neutro da rede secundária 220 V devidas

a falta na rede primária

Foi calculada uma sobretensão no neutro de aproximadamente

700 V. Por meio da análise de sensibilidade concluímos que não há como

diminuir esta sobretensão variando o tamanho do vão ou as resistências para

terra nos postes. Como sugestão para trabalhos futuros fica a análise da

separação dos neutros da rede primária e secundária, com aterramentos

diferentes, conforme recomendado pelo Handbook Beeman [2].

4.3 TRABALHOS FUTUROS

Nos itens anteriores ficaram sugestões para a continuação do

presente trabalho. Para estas sugestões deve-se estudar as implicações com

a qualidade da energia, pois reatores em série com a linha provocam

afundamentos maiores de tensão. Em nosso caso, como ficam localizados

sempre no neutro, os prejuízos para a qualidade podem ser menores.

129

ANEXO – SOBRETENSÕES EM REDES PRIMÁRIAS

CAUSADAS POR FALTAS NA SUBESTAÇÃO DA

CONCESSIONÁRIA

SISTEMA DE POTÊNCIA DA CONCESSIONÁRIA

Para o sistema da figura, baseado no exemplo de cálculo de

distribuição de correntes apresentado na IEEE 80 [13], item 13.8, faremos as

aplicações de algumas das metodologias apresentadas.

sisp1_01

LT2

LT3

TE2

TE3 If

Linha Transm. 1

Terminal

Energizacao 1

Circ. distr. 13,8 kV

Circ. distr. 13,8 kV

Barramento

120 kV

SE Concession.

Figura A SUBESTAÇÃO DA CONCESSIONÁRIA EM FALTA PARA

TERRA NO BARRAMENTO DE ALTA TENSÃO

Cada linha de transmissão possui 100 vãos, cada um com 500 m,

tendo sido fornecidas, pela referida norma, todas as impedâncias:

a) Impedância própria do cabo fase por vão: 0,1 + j 0,425 ohm

b) Impedância própria do cabo guarda por vão: 3,5 + j 0,65 ohm

c) Impedância mútua entre cabos fase e guarda por vão: 0,025 + j 0,19 ohm

d) Resistência de aterramento de cada torre: 10 + j 0 ohm

130

e) Resistência de aterramento de cada terminal de energização: 3 + j 0 ohm

f) Resistência de aterramento da subestação de carga: 2,5 + j 0 ohm

Foram assumidas pela IEEE 80 as seguintes hipóteses:

a) Todos os terminais de energização iguais, assim como todas as linhas de

transmissão.

b) Todos os vãos iguais (comprimento e impedâncias).

c) Solo uniforme com valor constante de resistividade igual a 1000 ohm x m.

Para a falta indicada teremos uma sobretensão em relação ao

terra remoto elevada, que se propagará pelos laders dos circuitos de

distribuição de 13,8 kV para as instalações dos consumidores. Calcularemos

esta sobretensão na subestação, inicialmente desprezando a mútua; depois

introduziremos este efeito nos cálculos observando a sua influência.

Analisaremos também a influência do cabo-guarda das linhas que alimentam a

subestação no controle da mencionada sobretensão.

CÁLCULO POR LADER INFINITO (ENDRENYI)

Utilizando o modelo matemático por “grandezas reais sem

impedância de retorno pela terra”, item 2.1.2, temos para cada vão:

sisp1_02

500 m

0,1 + j 0,425 ohm

0,025 + j 0,19 ohm

3,5 + j 0,65 ohm

10 + j 0 ohm

Figura B IMPEDÂNCIAS POR VÃO DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

131

Para o sistema completo temos:

sisp1_03+

-

69 kVZa

ZsZsZs Zs

Zp Zp Zp Zp

If

If

1 ohm

Res. deaterram.

da SE:2,5 ohm

Figura C CIRCUITO COMPLETO DO SISTEMA DE POTÊNCIA EM FALTA

Onde:

Considerando 100 vãos e 3 linhas em paralelo temos:

Za = 3,33 + j 14,17 ohm; Zs = 1,17 + j 0,22; Zp = 3,33 ohm

Considerando que a parte imaginária é pequena face à parte real,

adotaremos a aproximação: Zs = 1,19 ohm

Para a redução deste circuito faremos o cálculo da impedância

equivalente do lader infinito:

- O lader será infinito se a ineqüação 2-C for satisfeita, onde

z - impedância série distribuída = 0,0024 ohm / m

y = 1/zp sendo zp - impedância paralela distribuída = 1665 ohm * m

l - comprimento da linha = 50 Km

- O comprimento deve ser maior que 2 / (z/zp)0,5 = 1666 m,

portanto o lader é infinito

- Zinf = 2,67 ohm conforme eq. 2 - D

Ficamos com o circuito, onde conhecemos todas as impedâncias,

e bastante simplificado em relação ao original:

132

sisp1_04+

-

69 kVZa

If

If

Zlader Zlader1 ohm

2,5 ohm

Figura D CIRCUITO EQUIVALENTE REDUZIDO

Simplificando ainda mais este circuito temos:

- Impedância equivalente para terra na SE1: Zeq,se1 = 1,29 ohm

- Impedância equivalente para terra no TE: Zeq, te = 0,73 ohm

Temos então:

sisp1_05+

-

69 kVZa

If

If

Zeq,se1Zeq,te

Figura E CÁLCULO DA CORRENTE DE FALTA PELAS IMPEDÂNCIAS

DE CARSON DESPREZANDO AS MÚTUAS

Podemos agora calcular a corrente de falta para terra If = 3 Io.

- Impedância total do circuito: Ztot = 5,35 + j 14.17 = 15,15 \69,3 ohm

- Corrente de falta: If = 69 kV / Ztot = 4560 A

A distribuição desta corrente na SE1 obtêm-se facilmente por um

divisor de correntes:

133

sisp1_06If = 4560 A

Malha, It

2,5 ohm

Lader, In1

2,67 ohm

Figura F DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA NA SUBESTAÇÃO

DA CONCESSIONÁRIA

A distribuição na alimentação obtêm-se de maneira análoga:

sisp1_07If = 4560 A

Lader, Inn

2,67 ohm

Malha, It

1 ohm

Figura G DISTRIBUIÇÃO DA CORRENTE DE FALTA NO TERMINAL DE

ENERGIZAÇÃO

Pela equação 1 - A, item 1.2.3, a elevação de potencial em relação

à terra, na subestação, será 5,9 kV e na alimentação 3,3 kV. Por simplicidade

não foram considerados os laders correspondentes aos circuitos de

distribuição em 13,8 kV, pois praticamente não influenciarão a corrente de

falta. As impedâncias destes laders estão em paralelo com as resistências

acima, logo a sobretensão de 5,9 kV estará aplicada a eles, e aparecerá nos

sistemas de aterramento dos clientes ligados aos primeiros vãos dos circuitos

primários.

Com o cabo guarda desconectado toda a corrente de falta passaria

pela resistência da malha, não havendo assim os divisores de corrente. A

corrente de falta praticamente não se altera, pois vemos nos circuitos acima

134

It = 2360 A

In1 = 2200 A

Fator de divisão de corrente (IEEE80):

Sf = It / If = 0,518

It = 0,728 * 4560 = 3320 A

Sf = 0,728

Inn = 1240 A

que a impedância do cabo fase é predominante. Desta forma temos para a

subestação 11,4 kV.

O fato de haver cabo guarda nas linhas de transmissão pode

reduzir drasticamente a elevação de potencial na malha, durante faltas à terra.

Entretanto, apesar da redução ser significativa em muitos casos, sempre

haverá elevação de potencial devido à parcela de corrente que penetra a terra

através da malha. Assim, os dimensionamentos devem ser executados de

forma que, mesmo com esta elevação de potencial, os potenciais de passo e

toque fiquem dentro de seus limites, conforme exposto na introdução. Em caso

de rompimento do neutro teremos 11,4 kV em vez de 5,9 kV, portanto haverá

sérios riscos.

Considerando a indutância mútua entre cabo fase e cabo guarda

temos, pela eq 2-H, item 2.4.3:

- Fator de acoplamento: = 0,054 | 72 = 0,017 + j 0,051.

Nota: para as linhas em paralelo, suficientemente afastadas entre si, este

fator de acoplamento será o mesmo, embora Zs e Zm fiquem reduzidos, no

caso, divididos por 3.

- Corrente que retorna pelos cabos guarda: If

- Corrente que retorna pela terra: (1 - ) If = 0,984 | -2,97 If

sisp1_08

+

-

69 kVZa

If

If

Zeq,se1

Zeq,teu If

(1-u)If

Figura H CIRCUITO EQUIVALENTE SIMPLIFICADO CONSIDERANDO AS

MÚTUAS

135

Recalculemos a corrente de falta. Aplicando a lei das malhas à

malha externa da última figura:

Za If - If Zmt + (1 - ) If Zeq,se1 + (1 - ) If Zeq,te = 69 kV

Resolvendo para If obtemos praticamente o mesmo valor do caso anterior, ou

seja, If = 4560 A. Verificamos assim que para valores baixos do fator de

acoplamento, a corrente de falta praticamente não se altera, o que pode ser

deduzido de forma mais genérica pelo quociente Vf / If obtido da equação

acima:

69 kV/ If = Za - Zmt + (1-) (Zeq,se1 + Zeq,te) (A - 1)

Esta impedância é denominada impedância de seqüência zero para um

circuito monofásico e calculada de acordo com o Handbook da Westinghouse

[1] por

Vfase / If = Zo = Zoc - Zom2 / Zog (A - 2)

Onde, na notação original:

Zo - impedância de seqüência zero para um circuito monofásico

Zoc - impedância própria, com retorno pela terra, do cabo fase

Zog - impedância própria, com retorno pela terra, do cabo

guarda

Zom - impedância mútua, com retorno pela terra, entre

cabos fase e guarda

Observamos que as equações A - 1 e A - 2 são equivalentes. Sebo em

“Measurement of the Zero-Sequence Current Distribution on a Transmission

Line” [4] apresenta memorial de cálculo utilizando estas equações. Na

equação

A - 1 verificamos que, neste exemplo, a parcela Zm é pequena e (1-) fica

136

próximo da unidade, portanto a corrente de falta praticamente não se altera em

relação ao caso anterior.

Temos então:

- Corrente pelos cabos-guarda: 246 |72 A

- Corrente pelo lader e malha: 4487 | -2,97 A

Esta última corrente será dividida entre o lader e a malha de terra da mesma

forma que anteriormente, sendo que a redução de correntes e sobretensões

em relação ao caso anterior é insignificante.

Verificamos então que para valores reduzidos de fator de

acoplamento pode-se desprezar o efeito da mútua nos cálculos de correntes e

sobretensões, para linha com lader infinito, sendo que os erros cometidos

serão conservativos.

Analisemos o mesmo problema, porém com uma mútua 4 vezes

superior. Temos agora:

Zm = (0,1 + j 0,76) ohm / vão / linha

= 0,216 | 72 = 0,068 + j 0,204

(1-) = 0,932 - j 0,204 = 0,954 | -12,35 A

Zm = 3,33 + j 25,33 = 25,55 | 82,51 ohm

Zm = 0,216 | 72 * = 5,52 | 154,51

- Impedância de sequência zero do circuito monofásico fase-neutro:

Zo = Za - Zmt + (1-) (Zeq,se1 + Zeq,te)

Zo = 15,28 | 48,13 ohm

- Corrente de falta:

If = 69 kV / Zo = 4515,7 | -48,13 A

- Corrente no cabo guarda: 975 | 24 A

- Corrente no lader e malha: 4308 | -60 A

- Redução da corrente para terra It em relação ao caso anterior: 5,5 %

137

O aumento de 4 vezes no valor da mútua não resultou em redução

significativa, neste caso particular, na corrente que retorna pela terra e

sobretensão respectiva, embora a corrente no cabo guarda tenha tido enorme

aumento. Portanto, o aumento da mútua não foi eficaz para redução da

sobretensão na malha de terra. Para se alcançar este objetivo, sugerimos que

a seção do cabo guarda seja aumentada, ou seja utilizado material de maior

condutividade.

POR EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS (VERMA, MUKHEDKAR)

Para aplicarmos as equações 2 - Q a 2 - U deveríamos ter a

resistência da malha da subestação igual às resistências das torres, 3 ohm.

Sendo a resistência da malha igual a 2,5 ohm, vamos considerá-la

aproximadamente 3 ohm e aplicar as referidas equações.

Simplificando ao máximo vamos considerar dado pela equação

2 - S, que na verdade é complexo, real. Para isto utilizaremos o módulo de Zg

e obteremos = 0,597. Pela equação 2 - U temos a corrente na malha igual

a 2049 A, considerando a corrente de falta já calculada de 4560 A. Destes

valores resulta a sobretensão indicada na tabela.

COMPARAÇÃO DE RESULTADOS

por lader infinito (Endrenyi) 5900 V

por equações de diferenças (Verma, Mukhedkar) 5123 V

138

Tabela 0-A SOBRETENSÃO NA MALHA DE TERRA : COMPARAÇÃO DE

RESULTADOS

O cálculo pelas equações de Verma/Mukhedkar supõe a

resistência da subestação igual a 3 ohm, quando na verdade ela tem 2,5 ohm.

Além disto, este cálculo foi feito com os módulos dos números complexos, o

que introduz também um erro. Portanto, dentro das aproximações assumidas,

os resultados estão em bom acordo.

Esta elevada tensão em relação a um terra remoto não representa

necessariamente um perigo dentro da subestação, pois para um projeto bem

elaborado da malha de terra teremos as tensões de toque e passo dentro dos

seus limites. Entretanto ela será transferida para as instalações dos

consumidores ligados aos primeiros vãos das redes primárias, via cabos

neutros. Os consumidores ligados aos vãos seguintes sofrerão também

sobretensões, porém cada vez menores a medida que se afasta da

subestação.

139

APÊNDICE A - DEDUÇÕES DA

MATRIZ DO VÃO E DAS EQUAÇÕES

DO MÉTODO “MATRIZES EM CASCATA”

Apresentamos neste item as deduções da matriz do vão e das

equações referentes ao item 2.3, método “Matrizes em Cascata” de Sebo [7].

Considerando o modelo por grandezas reais com impedância de

retorno, item 2.1.1, aplica-se a lei das malhas aos pontos 1,4,6,3:

NOTA: no desenvolvimento todas as impedâncias têm índice k, portanto

vamos suprimi-lo; na expressão final ele será recolocado

Vpk+1 - (Zp - Zg) Ip + (Zm - Zg) Ick = Vpk + (Ip - Ick) Zg

Vpk+1 - Zp Ip + Zg Ip + Zm Ick - Zg Ick = Vpk + Zg Ip - Zg Ick

Vpk+1 - Zp Ip + Zm Ick = Vpk (I)

Aplicando-se a lei das malhas aos pontos 2,5,6,3 obtemos:

Vck+1 = -(Zc - Zg) Ick + (Zm - Zg) Ip + Vck + Zg (Ip - Ick)

Vck+1 = - Zc Ick + Zg Ick + Zm Ip - Zg Ip + Vck + Zg Ip - Zg Ick

Vck+1 - Zm Ip + Zc Ick = Vck (II)

140

Aplicando-se a lei dos nós ao ponto 2 temos:

Ick+1 + Itk = Ick

ItkZc Zg Ick Zm Zg Ip Vck Zg Ip Ick

Rtk

( ) ( ) ( )

ItkZcIck ZgIck ZmIp ZgIp Vck ZgIp ZgIck

Rtk

ItkZcIck ZmIp Vck

Rtk

Ick+1 - ZcIck/Rtk + ZmIp/Rtk + Vck/Rtk = Ick

- Ick+1 - Ip Zm/Rtk + Ick ( 1 + Zc/Rtk) - Vck/Rtk = 0 (III)

As equações (I), (II), (III) serão reescritas de forma mais conve-

niente:

Vpk+1 = Vpk + 0 Vck + ZpIp - ZmIck (I)

Vck+1 = 0 Vpk + 1 Vck + ZmIp - ZcIck (II)

Ip = 0 Vpk + 0 Vck + 1 Ip + 0 Ick

Ick+1 = 0 Vpk - (1/Rtk)Vck - (Zm/Rtk)Ip + (1+Zc/Rtk)Ick (III)

Em forma matricial, e re-introduzindo o índice k que denota o vão,

temos:

141

Vpk+1 1 0 Zpk -Zmk Vpk

Vck+1 0 1 Zmk -Zck Vck

Ip = 0 0 1 0 Ip

Ick+1 0 -1/Rtk -Zmk/Rtk 1+Zck/Rtk Ick

Utilizando notação matricial compacta ficamos com:

[Lk] = [Sk] [Rk]

Onde:

[Lk] - matriz coluna das tensões e correntes no ponto k + 1

[Rk] - matriz coluna das tensões e correntes no ponto k

[Sk] - matriz quadrada das impedâncias do vão (conhecida)

Analisemos quais as modificações caso tivessemos utilizado o

modelo por grandezas reais sem impedância de retorno pela terra, item 2.1.2 .

Para isto vamos desenvolver os mesmos procedimentos.

Aplicando-se a lei das malhas aos pontos 1,4,6,3 temos:

NOTA: no desenvolvimento todas as impedâncias têm indice k, portanto

vamos suprimí-lo; na expressão final ele será recolocado

Vpk+1 - Zp Ip + Zm Ick = Vpk (I)

Obtivemos desta forma diretamente a equação (I) do caso anterior.

Aplicando-se a lei das malhas aos pontos 2,5,6,3 :

Vck+1 - Zm Ip + Zc Ick = Vck (II)

142

Obtivemos diretamente a equação (II) do caso anterior.

Aplicando-se a lei dos nós ao ponto 2 :

Ick+1 + Itk = Ick

ItkZcIck ZmIp Vck

Rtk

Ick+1 - ZcIck/Rtk + ZmIp/Rtk + Vck/Rtk = Ick

- Ick+1 - Ip Zm/Rtk + Ick ( 1 + Zc/Rtk) - Vck/Rtk = 0 (III)

Obtivemos desta forma a mesma equação (III) que no caso

anterior.

Verificamos que as equações (I), (II), (III), são as mesmas para

qualquer dos 2 modelos considerados, logo concluimos que para o cálculo de

tensões e correntes nos pontos k e k+1 podemos utilizar qualquer um. Assim,

vamos trabalhar sem a impedância de retorno pela terra que é mais simples.

Consideremos o caso de uma linha de transmissão com n vãos

entre a alimentação e a falta, sendo n >= k >= 1 e k = 1 no ponto de falta, de

acordo com figura no item 2.3. Temos:

Vp1 Zfl(Ip - Ic1)

[R1] = Vc1 = Zfl(Ip - Ic1)

Ip Ip

Ic1 Ic1

Esta matriz traduz as condições no ponto da falta, onde:

143

- Zfl é a impedância para terra no ponto da falta, igual à resistência de aterra-

mento da torre em falta em paralelo com o lader da linha de transmissão no

lado oposto ao da alimentação.

- Ip é a corrente de falta, calculada previamente por componentes simétricas.

- Ic1 é a parcela da corrente de falta, drenada pelo cabo pára-raios da linha de

transmissão, incógnita.

- Ip - Ic1 é a parcela da corrente de falta, que penetra a terra no ponto da falta

e que origina a sobretensão em Zfl.

Para o vão 1 escrevemos então:

[L1] = [S1] [R1]

Sendo [S1] uma matriz conhecida. Para o vão 2 temos:

[R2] = [L1] = [S1] [R1]

Portanto:

[L2] = [S2] [R2] = [S2] [S1] [R1]

Analogamente para o vão (n-1):

[Ln-1] = [Sn-1] [Sn-2] ... [S2] [S1] [R1]

E para o vão n:

[Rn] = [Ln-1]

Sendo:

144

Vpn

[Rn] = Rtn-1(Icn-1 - Icn)

Ip

Icn

Esta matriz introduz as condições perto da alimentação, onde Vpn, Icn e Icn-1

são incógnitas. Ficamos com:

[Rn] = [Sn-1] [Sn-2] ... [S2] [S1] [R1]

Nesta equação matricial temos 4 incógnitas, a saber

- Ic1 em [R1];

- Vpn em [Rn];

- Icn em [Rn];

- Icn-1 em [Rn];

mas apenas 3 equações. A quarta equação podemos obter do vão n, onde

aplicaremos aos pontos n+1, n, a, b, a lei das malhas:

Zcn Icn - Zmn Ip - Rtn-1 (Icn-1 - Icn) + Rfp (Icn - Ip) = 0

Ip (Zmn + Rfp) - Icn ( Zcn + Rtn-1 + Rfp) + Icn-1 Rtn-1 = 0

Resolvendo-se as 4 equações a 4 incógnitas, obtemos os valores para os

pontos da falta e da alimentação. Utilizando-se as matrizes Sk obtemos

tensões e correntes para qualquer vão, sendo que para os vãos perto da

alimentação podemos utilizar a matriz inversa de Sk, calculando

[Rk] = [Sk]-1 [Lk]

145

APÊNDICE B - DEDUÇÃO DA MATRIZ

ADMITÂNCIA DO “MÉTODO DIRETO”

PARA MODELO DE LINHA FASE NEUTRO MULTI-

ATERRADO

Representaremos a linha de transmissão por uma matriz,

denominada “matriz admitância”, tal que:

[I] = [Y] [V]

Onde:

[I] - matriz coluna das correntes nos terminais entrando

na linha de transmissão.

[V] - matriz coluna das tensões nos terminais.

[Y] - matriz admitância da linha.

Consideremos uma linha monofásica constituída por um cabo fase

e um neutro multi-aterrado, representada pelo “Circuito por grandezas reais

com capacitâncias para terra”, conforme figura correspondente do item 2.1.4 e

calculemos a matriz admitância para o vão 1.

Para as tensões entre os pontos 1 e 2 temos:

Vp1 - Vp2 = Zp1 Ip + Zm1 In

Vn1 - Vn2 = Zm1 Ip + Zn1 In

146

Para simplificação vamos supor impedâncias iguais para todos os

vãos, entretanto pode-se facilmente estender a dedução para impedâncias

diferentes. Pelos trabalhos de Carson sabemos que:

Zp = Rpe + j Xppe

Zn = Rne + j Xnne

Zm = Rme + j Xpne

onde o índice “e” indica que há retorno pela terra para os 2 condutores.

Definindo-se as seguintes matrizes

Rs = Rpe Rme Xs = Xppe Xpne

Rme Rne Xpne Xnne

Vs1 = Vp1 Vs2 = Vp2 I = Ip

Vn1 Vn2 In

temos em notação compacta matricial:

[Vs1] - [Vs2] = ([Rs] + j[Xs]) [I] (I)

Para as reatâncias capacitivas no ponto 1 temos:

Vp1 = j Xc11 (I11 - Ip) + j Xc12 (I12 - In)

Vn1 = j Xc12 (I11 - Ip) + j Xc22 (I12 - In)

sendo estas reatâncias calculadas conforme mencionado no item “Modêlo por

grandezas reais com capacitâncias para terra”, 2.1.4.

Definindo-se as matrizes:

147

Is1 = I11 Xsh = Xc11 Xc12

I12 Xc21 Xc22

obtemos a equação matricial:

[Vs1] = j [Xsh] ([Is1] - [I]) (II)

Da mesma forma temos a equação matricial para o ponto 2:

[Vs2] = j [Xsh] ([I] + [Is2]) (III)

onde Is2 = I13

I14

O resultado desejado é obtido por manipulação algébrica das

equações I, II, III. Da equação (I) temos:

([Rs]+j[Xs])-1 ([Vs1]-[Vs2]) = ([Rs]+j[Xs])-1 ([Rs]+j[Xs]) [I]

[I] = ([Rs] + j[Xs])-1 ([Vs1] - [Vs2]) (IV)

Da equação (II) temos:

(j [Xsh])-1 [Vs1] = (j [Xsh])-1 (j [Xsh]) ([Is1] - [I])

[Is1] - [I] = (j [Xsh])-1 [Vs1] (V)

Da equação (III) temos, da mesma forma:

[I] + [Is2] = (j [Xsh])-1 [Vs2] (VI)

148

Substituindo (IV) em (V):

[Is1] - ([Rs] + j[Xs])-1 ([Vs1] - [Vs2]) = (j [Xsh])-1 [Vs1]

[Is1] - ([Rs] + j[Xs])-1 [Vs1] + ([Rs] + j[Xs])-1 [Vs2] = (j [Xsh])-1 [Vs1]

[Is1] = ([Rs] + j[Xs])-1 [Vs1] + (j [Xsh])-1 [Vs1] - ([Rs] + j[Xs])-1 [Vs2]

[Is1] = {([Rs] + j[Xs])-1 + (j [Xsh])-1 } [Vs1] - ([Rs] + j[Xs])-1 [Vs2] (VII)

Da mesma forma, substituindo (IV) em (VI):

[Is2] = - ([Rs] + j[Xs])-1 [Vs1] + {([Rs] + j[Xs])-1 + (j [Xsh])-1 } [Vs2] (VIII)

As equações (VII) e (VIII) podem ser agrupadas de forma matricial, resultando

outra equação matricial onde cada elemento é uma matriz:

[Is1] [Vs1] = [Ys] (IX) [Is2] [Vs2]

sendo:

([Rs] + j[Xs])-1 + (j [Xsh])-1 } -([Rs] + j[Xs])-1

Ys = -([Rs] + j[Xs])-1 {([Rs] + j[Xs])-1 + (j [Xsh])-1 } (X)

Substituindo em (IX) as matrizes Is1, Is2, Vs1, Vs2 anteriormente definidas,

obtemos o resultado procurado:

149

I11 Vp1

I12 = [ Ys ] Vn1

I13 Vp2

I14 Vn2

Verificamos portanto que a matriz quadrada Ys de ordem 4

representa o vão considerado, entre os pontos 1 e 2, sendo a matriz

admitância deste trecho. Observar que esta representação não inclui nenhuma

resistência de aterramento de torre ou de subestação, modelando apenas o

trecho entre as torres 1 e 2. Caso os vãos tenham impedâncias diferentes,

teremos uma matriz admitância para cada vão, e esta matriz passaria a se

chamar Ys1, ou seja, valores para o vão 1, e a matriz do n-ésimo vão seria

Ysn.

Vamos procurar agora a matriz admitância para os vãos 1 e 2, e

neste caso havendo uma torre com resistência de aterramento Rt = 1 / Gt

entre os vãos, ela deve ser incluida no modelamento deste trecho.

Para o vão 2 definiremos as seguintes matrizes:

Is2r = I21 Is3 = I23 Vs3 = Vp3

I22 I24 Vn3

Vs2 = Vp2 (já definida anteriormente)

Vn2

Temos então a equação matricial, cujos elementos são matrizes

também, para o vão 2:

150

[Is2r] = [Ys] [Vs2] (XI)

[Is3 ] [Vs3]

Caso as impedâncias deste vão fossem diferentes das dos outros

vãos, teríamos, como já mencionado, [Ys2] ao invés de simplesmente [Ys],

sendo [Ys2] deduzida da mesma forma que foi feito para [Ys].

Para as correntes no ponto 2 temos:

I13 + I21 = 0

I14 + I22 + Gt Vn2 = 0

Definindo a matriz Yt como:

Yt = 0 0

0 Gt

Ficamos com a equação matricial:

[Is2] + [Is2r] + [Yt] [Vs2] = 0 (XII)

Das equações (IX), (X), (XI), (XII), por manipulação algébrica, obtemos o

resultado desejado. Desenvolvendo as equações (IX) e (XI) temos:

Is1 = Y11 Vs1 + Y12 Vs2 (XIIIa)

Is2 = Y21 Vs1 + Y22 Vs2 (XIIIb)

Is2r = Y11 Vs2 + Y12 Vs3 (XIIIc)

Is3 = Y21 Vs2 + Y22 Vs3 (XIIId)

Nestas equações foram omitidos os colchetes para simplificação, porém

devemos lembrar que cada elemento é uma matriz. As matrizes Yij são

quadradas de ordem 2 e definidas pela equação (X). Os valores de Is2 e Is2r,

151

obtidos da 2a. e 3a. equações acima (XIIIb e XIIIc) serão substituidos da

equação (XII) resultando:

Y21 Vs1 + Y22 Vs2 + Y11 Vs2 + Y12 Vs3 + Yt Vs2 = 0

Y22 Vs2 + Y11 VS2 + Yt Vs2 + Y21 Vs1 + Y12 Vs3 = 0

(Y22 + Y11 + Yt) Vs2 + Y21 Vs1 + Y12 Vs3 = 0

(Y22 + Y11 + Yt) Vs2 = - (Y21 Vs1 + Y12 Vs3)

Vs2 = (Y22 + Y11 + Yt)-1 (- Y21 Vs1 - Y12 Vs3)

Chamando (Y22 + Y11 + Yt)-1 = Ya temos:

Vs2 = Ya (-Y21) Vs1 + Ya (-Y12) Vs3

Substituindo Vs2 da equação acima na equação XIIIa temos:

Is1 = Y11 Vs1 + Y12 {Ya (-Y21) Vs1 + Ya (-Y12) Vs3}

Is1 = Y11 Vs1 + Y12 Ya (-Y21) Vs1 + Y12 Ya (-Y12) Vs3

Is1 = {Y11 + Y12 Ya (-Y21)} Vs1 + Y12 Ya (-Y12) Vs3

Is1 = {Y11 - Y12 Ya Y21} Vs1 - Y12 Ya Y12 Vs3

Observando que Y21 = Y12 e chamando Y12 Ya Y21 = Y1 temos:

Is1 = (Y11 - Y1) Vs1 - Y1 Vs3 (XIV)

Por procedimento análogo obtemos:

152

Is3 = - Y1 Vs1 + (Y11 - Y1) Vs3 (XV)

Desenvolvendo estas últimas equações obtemos o resultado desejado:

I11 Vp1

I12 = [Y2s] Vn1

I23 Vp3

I24 Vn3

Sendo [Y2s] a matriz admitância, quadrada de ordem 4, para os vãos 1 e 2,

levando em consideração a resistência de aterramento da torre entre eles e

também as capacitâncias próprias e mútuas.

O procedimento apresentado pode ser estendido para n vãos,

resultando desta forma em uma matriz admitância para toda a linha de

transmissão, considerando as capacitâncias e resistências de aterramento das

torres. Os cálculos para obtenção desta matriz são extensos, entretanto uma

vez obtidos por software específico, a linha pode ser representada

simplesmente por uma matriz 4 x 4.

153

APÊNDICE C -

ATP ALTERNATIVE TRANSIENT

PROGRAM - ARQUIVOS DE DADOS PARA

ITENS 3.1.3.2 E 3.1.4.2

O ATP é um software para microcomputador derivado do EMTP -

ElectroMagnetic Transients Program, utilizado para simular transitórios em

sistemas de potência. O EMTP foi desenvolvido por H. W. Dommel durante

vários anos, com início na década de 60, tendo sido transcrito para vários tipos

de computadores como IBM, VAX, HONEYWELL, e outros.

O ATP é utilizado neste trabalho para calcular tensões e correntes

durante os curtos-circuitos, nas diversas barras do sistema, sendo que foi

executado um cálculo equivalente à análise nodal.

Este software é livre de “royalties”, podendo ser utilizado por

qualquer pessoa, bastando entrar em contato com a coordenação do mesmo

pelo email [email protected] .

Estão anexos os arquivos de dados identificados por

“DISSER01.ATP” e “DISSER02.ATP” , respectivamente para os casos dos

itens 3.1.3.2 e 3.1.4.2 .

154

BEGIN NEW DATA CASEC *****************************************************************************C *** Dissertação - DISSER01.ATP NOTA: AS COLUNAS ESTÃO DESLOCADASC *** Falta em P1A POIS A FORMATAÇÃO ORIGINAL É “TEXTO”C *** Chaves fecham em t = 0.0 sC *****************************************************************************C * INSTRUCOES OBRIGATORIAS MISCELANEOUS DATA CARDS FLOATING-POINTC DELTAT TMAX XOPT COPT EPSILIN TOLMAT TSTARTC E8.0 | E8.0 | E8.0| E8.0 | E8.0 | E8.0 | E8.0 | 0.1E-5 100.E-5 60C * MISCELLANEUS DATA CARDS INTEGERS TODOS OS CAMPOS COM FORMAT I8C IOUT | IPLOT |IDOUBL | KSSOUT| MAXOUT| IPUN | MEMSAV| ICAT | NENERG| IPRSUP| 100 1 1 1 1C * RAMOS LINEARES E NAO LINEARES$VINTAGE, 1C BUS1 |BUS2 | BUS3|BUS4 |RESIT (OHM) |INDUT( OHM/mH) | CAP(mMHO/uF) | | N 0.11 0.07 3 N NT1 0.092 0.143 3 NT1 50.0 3 NT1 NT3 0.184 0.286 3 NT3 NT1 3 NT3 NT5 NT1 NT3 3 NT5 NT1 3 NT5 NT7 NT1 NT3 3 NT7 NT1 3 NT7 NT9 NT1 NT3 3 NT9 0.42 0.28 3$VINTAGE, 0BLANK ENCERRA OS RAMOS LINEARES E NAO LINEARESC * CHAVES (ITEM VI RULE BOOK)C BUS1 | BUS2| TCLOSE| TOPEN|ruptura | A N -1. 1.0 B NT1 -1 1.0BLANK ENCERRA AS CHAVESC *FONTES (ITEM VII RULE BOOK)C NAME | | VPICO | FREQ.HZ | TETA| TSTART| TSTOP |14 A-1 -3155. 60. -16.3 -1 114 B-1 3155. 60 -16.3 -1 1BLANK ENCERRA FONTESC * ESPECIFICACAO DE SAIDA (ITEM XII RULE BOOK )C NO-1 |NO-2 |NO-3 | NO-4 |C A B C BLANK ENCERRA ESPECIFICACAO DE SAIDABLANK ENCERRA O CASOBEGIN NEW DATA CASEBLANK ENCERRA A EXECUCAO DO ATP

155

BEGIN NEW DATA CASEC *****************************************************************************C *** Dissertação - DISSER02.ATP NOTA: AS COLUNAS ESTÃO DESLOCADASC *** Falta em P9A POIS A FORMATAÇÃO ORIGINAL É “TEXTO” C *** Chaves fecham em t = 0.0 sC *****************************************************************************C * INSTRUCOES OBRIGATORIAS MISCELANEOUS DATA CARDS FLOATING-POINTC DELTAT TMAX XOPT COPT EPSILIN TOLMAT TSTARTC E8.0 | E8.0 | E8.0| E8.0 | E8.0 | E8.0 | E8.0 | 0.1E-5 100.E-5 60C * MISCELLANEUS DATA CARDS INTEGERS TODOS OS CAMPOS COM FORMAT I8C IOUT | IPLOT |IDOUBL | KSSOUT| MAXOUT| IPUN | MEMSAV| ICAT | NENERG| IPRSUP| 100 1 1 1 1C * RAMOS LINEARES E NAO LINEARES$VINTAGE, 1C BUS1 |BUS2 | BUS3|BUS4 |RESIT (OHM) |INDUT( OHM/mH) | CAP(mMHO/uF) | | N 0.11 0.07 3 N NT1 0.092 0.143 3 NT1 50.0 3 NT1 NT3 0.184 0.286 3 NT3 NT1 3 NT3 NT5 NT1 NT3 3 NT5 NT1 3 NT5 NT7 NT1 NT3 3 NT7 NT1 3 NT7 NT9 NT1 NT3 3 NT9 0.42 0.28 3$VINTAGE, 0BLANK ENCERRA OS RAMOS LINEARES E NAO LINEARESC * CHAVES (ITEM VI RULE BOOK)C BUS1 | BUS2| TCLOSE| TOPEN|ruptura | A N -1. 1.0 B NT9 -1 1.0BLANK ENCERRA AS CHAVESC *FONTES (ITEM VII RULE BOOK)C NAME | | VPICO | FREQ.HZ | TETA| TSTART| TSTOP |14 A-1 -1874. 60. -16.3 -1 114 B-1 1874. 60 -16.3 -1 1BLANK ENCERRA FONTESC * ESPECIFICACAO DE SAIDA (ITEM XII RULE BOOK )C NO-1 |NO-2 |NO-3 | NO-4 |C A B C BLANK ENCERRA ESPECIFICACAO DE SAIDABLANK ENCERRA O CASOBEGIN NEW DATA CASEBLANK ENCERRA A EXECUCAO DO ATP

156

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] WESTINGHOUSE ELECTRIC CORP. Electrical transmission and

distribution reference book. 4. ed. East Pittsburgh, Pa, 1964. Cap. 3.

[2] BEEMAN, D. Industrial power systems handbook. New York, McGraw-

Hill, 1955. Cap. 6 e 7.

[3] CLARKE, E. Circuit analysis of AC power systems. New York, John

Wiley, 1943. V. 1, cap. 11.

[4] SEBO, I.; REGENI, L. Measurement of the zero sequence current

distribution on a transmission line. Periodica Polytech., v. 7, p. 295-317,

1963.

[5] ENDRENYI, J. Transmission-tower potentials during ground faults. Ontario

Hydro Research Quarterly, v.17, p. 14-18, second quarter, 1965.

[6] ENDRENYI, J. Analysis of Transmission Tower Potentials During Ground

Faults. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-86, n.

10, p. 1274-1283, October 1967.

157

[7] SEBO, S. Zero sequence current distribution along transmission lines. IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-88, n. 6, p. 910-

919, june 1969.

[8] DAWALIBI, F.; MUKHEDKAR, D. Ground fault current distribution in power

systems - The necessary link. In: IEEE PES SUMMER MEETING, Mexico City,

Mexico, 1977. Proceedings. Paper A 77 754-5.

[9] VERMA, R.; MUKHEDKAR, D. Ground fault current distribution in sub-

station, towers and ground wire. IEEE Transactions on Power Apparatus

and Systems, v. PAS-98, n. 3, p. 724-730, may/june 1979.

[10] DAWALIBI, F. Ground fault current distribution between soil and neutral

conductors. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-

99, n. 2, p. 452-461, march/april 1980.

[11] GOOI, H. B.; SEBO, S. Distribution of ground fault currents along

transmission lines - An improved algorithm. IEEE Transactions on Power

Apparatus and Systems, v. PAS-104, n. 3, p. 663-670, march 1985.

[12] COTRIM, A. Manual de instalações elétricas. McGraw-Hill do Brasil,

1985. Cap 2.

[13] THE INSTITUTE OF ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERS

IEEE Guide for safety in AC substation grounding. Norma técnica

ANSI/IEEE Std 80-1986.

[14] MELIOPOULOS, A.P. Power systems grounding and transients.

Marcel Dekker Inc., 1988.

[15] ELETROPAULO Redes de distribuição aérea urbana 15 kV -

Padronização. Norma interna No. PD4-1, jan/87.

158

[16] SOBRAL, S. T.; FLEURY, V. G. P. ; VILLALBA, J. R.; MUKHEDKAR, D.

Decoupled method for studying large interconnected grounding systems using

microcomputers - Part I - Fundamentals. IEEE Transactions on Power

Delivery, v. 3, n. 4, p. 1536-1544, october 1988.

[17] SOBRAL, S. T.; FLEURY, V. G. P. ; VILLALBA, J. R.; MUKHEDKAR, D.

Decoupled method for studying large interconnected grounding systems using

microcomputers - Part II - Utilization on Itaipu ground system and

complementary aspects. IEEE Transactions on Power Delivery, v. 3, n. 4, p.

1545-1552, october 1988.

[18] SOBRAL, S. T.; COSTA, V. S.; CAMPOS, M.S.; GOLDMAN, B.;

MUKHEDKAR, D. Dimensioning of nearby substations interconnected ground

system. IEEE Transactions on Power Delivery, v. 3, n. 4, p. 1605-1614,

october 1988.

[19] ANNICCHINO, M. W. Metodologia de cálculo da distribuição da

corrente de falta em sistemas de aterramento multiconectados. São

Paulo, 1995. Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica, Univerdade de São

Paulo.

[20] PENTEADO JR., A. A. Análise de sensibilidade da influência dos

sistemas de aterramento e dos valores de resistência de terra nas redes

de distribuição de energia elétrica. São Paulo, Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo, setembro 1995. (Estudo Técnico No. CED

206/PROT 002/NT 006/OR, realizado para a CESP, CPFL e Eletropaulo)

[21] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Instalações

elétricas de baixa tensão. Norma técnica No. NBR 5410, novembro 1997.

[22] POPOVIC, L. Practical method for evaluating ground fault current

distribution in station supplied by an unhomogeneous line. IEEE Transactions

on Power Delivery, v. 12, n. 2, p. 722-727, april 1997.

159

[23] POPOVIC, L. Practical method for evaluating ground fault current

distribution in station, towers and ground wire. IEEE Transactions on Power

Delivery, v. 13, n. 1, p. 123-128, january 1998.

[24] SEEDHER, H. R.; ARORA, J. K.; SONI, S. K. A practical approach for

computation of grid current. IEEE Transactions on Power Delivery, v. 14, n.

3, p. 897-902, july 1999.

[25] MELIOPOULOS, A. P.; PAPALEXOPOULOS, A.; WEBB R. P. Current

Division in Substation Grounding Systems. In: PROTECTIVE RELAYING

CONFERENCE, GEORGIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY, Atlanta, GA, may

1982. Proceedings.

160

Documents

Dissertação de mestrado em aterramento