Dissertacao Irma Verri Bastian

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  • 7/22/2019 Dissertacao Irma Verri Bastian

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    Irma Verri Bastian

    O TEOREMA DE PITGORAS

    Mestrado em Educao Matemtica

    PUC-SP

    2000

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    Irma Verri Bastian

    O TEOREMA DE PITGORAS

    Dissertao apresentada como exigncia

    parcial para obteno do ttulo de

    MESTRE EM EDUCAO

    MATEMTICA Comisso

    Examinadora da Pontifcia Universidade

    Catlica de So Paulo, sob orientao do

    Professor Doutor Saddo Ag Almouloud

    PUC-SP

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    Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou parcial desta

    dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

    Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

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    BANCA EXAMINADORA

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    RESUMO

    O presente trabalho focaliza o ensino-aprendizagem do Teorema de Pitgoras

    por meio de uma abordagem que visa enfatizar, inicialmente, o carter necessrio e

    suficiente do Teorema, para chegar, posteriormente, forma da igualdade pitagrica.

    O estudo histrico e epistemolgico levou, num segundo momento, a uma

    anlise mais apurada do objeto matemtico em questo. Aps examinar como os livros

    didticos lidam com uma parte da transposiodidtica do Teorema, fez-se o confronto

    dessas abordagens com as propostas curriculares, especialmente os Parmetros

    Curriculares Nacionais (PCNs).

    A segunda fase do trabalho trata da elaborao e aplicao de uma seqnciadidtica, tendo como pblico-alvo alunos de 8asrie. A referida seqnciacompe-se

    de duas partes: a primeira voltada para a abordagem do Teorema e a segunda para

    aplicaes do mesmo em problemas.

    Com essa experimentao foi possvel constatar a vantagem do enfoque adotado

    em relao ao usualmente encontrado nos livros didticos.

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    ABSTRACT

    This paper focusses on the teaching-learning of the Pythagorass Theorem

    through an approach that aims to emphasize, initially, the necessary and sufficient

    character of the Theorem to get, subsequently, to the form of the Pythagorean equality.

    The historical and epistemological study led, at a second moment, to a more

    refined analysis of the mathematical object in question. After examining how the

    textbooks deal with a part of the didactictransposition of the Theorem, these approaches

    were confronted with the curricular proposals, especially the National Curricular

    Parameters (PCNs).

    The second phase of the paper consists in the elaboration and application of adidactic sequence, having eighth-grade students as a target audience. The sequence

    referred to is composed of two parts: the first one concerning the approach of the

    Theorem and the second, the applications of the latter on problems.

    This experimentation made it possible to establish the advantage of the approach

    adopted over the one commonly found in textbooks.

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    AGRADECIMENTOS

    Ao professor-doutor Saddo Ag Almouloud, pela orientao dedicada e amiga,

    pelo incentivo e apoio constantes.

    Aos professores-doutores da Banca Examinadora, Benedito Antonio da Silva,

    Lilian Nasser e Tnia Maria Mendona Campos, pela ateno e sugestes.

    coordenao, professores, colegas do mestrado em Educao Matemtica da

    PUC-SP, funcionrios, bem como bibliotecrias, pelo convvio, apoio e compreenso.

    Ao colega Ronaldo P. Saraiva, pela disponibilidade em ajudar e aplicao doquestionrio em Santos.

    direo, coordenao, professores, especialmente Fussae, Joo e Tereza

    Cristina, e funcionrios dos colgios Conde Jos Vicente de Azevedo, Afonso Pena e

    Antonio Alcntara Machado, pela oportunidade da experimentao, e aos alunos que

    dela participaram.

    Ao professor-doutor Pedro A. Ruiz, jornalista, pela dedicada reviso dos textos e

    editorao.

    doutora Brigitte van Eyll, mdica, e doutor Siegfried J. Wehr, psiclogo, pela

    sustentao nos momentos crticos.

    Aos amigos, pelo apoio constante. amiga Setsuko, pelo incentivo e por me

    convencer a ingressar no mestrado.

    A meus familiares, pelo amor expresso de vrias formas: meu marido, Willy,

    pela pacincia, compreenso, cooperao e apoio irrestrito; minha filha, Andrea, e meugenro, Pedro, pela pacincia e boa vontade, auxiliando na digitao do trabalho e na

    construo das figuras. A meu filho, Marcello, e minha futura nora, Marcia, pelo

    carinho e solidariedade. minha me, Cassia, pela importante presena. minha neta,

    Sylvia, pela esperana no futuro.

    A todos que, de algum modo, contriburam para a concretizao deste trabalho.

    A Deus, por permitir que eu esteja agradecendo.

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    SUMRIO

    INTRODUO .................................................................................................................. 1

    CAPTULO I PROBLEMTICA E METODOLOGIA............................................. 3

    Problemtica ................................................................................................................. 3

    Metodologia ................................................................................................................. 11

    CAPTULO II ESTUDO HISTRICO E EPISTEMOLGICO ............................. 13

    CAPTULO III O OBJETO MATEMTICO............................................................ 19

    Sobre a importncia do Teorema de Pitgoras ........................................................ 19

    Anlise do ponto de vista matemtico e didtico de algumas demonstraes do

    Teorema de Pitgoras ............................................................................................... 22

    Algumas aplicaes do Teorema de Pitgoras ........................................................ 60

    Alguns problemas no convencionais envolvendo o Teorema de Pitgoras ........... 63

    Sobre ternas pitagricas ........................................................................................... 68

    CAPTULO IV ESTUDO DO TEOREMA DE PITGORAS NO ENSINO .......... 71

    Anlise de livros didticos, comparao com Propostas Curriculares e Parmetros

    Curriculares Nacionais (PCNs) ................................................................................ 71

    Questionrio ............................................................................................................. 84

    Anlise a priori do questionrio ............................................................................... 84

    Aplicao do questionrio ....................................................................................... 91

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    Anlise a posteriori do questionrio por meio de histogramas de barras e do

    Software CHIC ................................................................................................... 92

    CAPTULO V SEQNCIA DIDTICA ........................................................... 108

    Anlise a priori das atividades, aplicao da seqncia didtica, anlise a

    posteriori e discusso dos resultados ...... .... .... ................................. .... ... 110

    Teste de avaliao ............................................................................................ 165

    CAPTULO VI CONCLUSES ........................................................................... 179

    BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................... 184

    ANEXOS ........................................................................................................................ I

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    INTRODUO

    No decorrer de muitos anos de magistrio, no ensino de Matemtica para o

    colegial, atualmente denominado nvel mdio, observamos a grande dificuldade dos

    alunos no que se refere aplicao do Teorema de Pitgoras comoferramentatanto na

    resoluo de problemas, como na aprendizagem de outros conceitos. Qual seria a causa

    dessa dificuldade?

    No momento da escolha do tema para nosso primeiro trabalho de Didtica em

    ps-graduao, a questo ressurgiu em nossa mente e decidimos iniciar um estudo

    horizontal sobre o Teorema, isto , averiguar as possveis utilizaes em Geometria,

    Geometria Analtica e lgebra, no mbito do nvel mdio. Entretanto, medida que

    tomvamos conhecimento de trabalhos, livros e pesquisas sobre o assunto, estas

    notadamente francesas, nosso horizonte se ampliou e percebemos se tratar de um vasto

    campo, compreendendo mltiplos aspectos. Poderamos focalizar a parte histrica e

    epistemolgica, dada a importncia do Teorema de Pitgoras na discusso dos

    incomensurveis; ou o objeto matemtico possuidor de quase 400 demonstraes; ou

    ainda um aspecto didtico, da anlise de erros mais freqentes cometidos pelos alunos.

    Ao iniciar o estudo dos trabalhos da pesquisadora Virginia Padilla sobre Anlise

    Cognitiva e de Raymond Duval sobre Registros de Representao, nosso interesse se

    voltou para a aplicao desses resultados em outras reas do conhecimento e

    almejamos, por meio deste trabalho, poder chegar