Distâncias

Distância entre dois pontos

Sejam A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) então d(a,b) = |AB|

222 )12()12()12( zzyyxx

Exercício

Mostrar que o ponto p(2,2,3) é equidistante dos pontos A(1,4,-2) e B(3,7,5)

Determinar no eixo das ordenadas, um ponto equidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4)

Distância de um ponto a uma reta

Seja r:A(x1,y1,z1), v=(a,b,c)

Seja B(x0,y0,z0) um ponto qualquer do espaço

Os vetores v e AB determinam um paralelogramo

B

AV

d

Área do paralelogramo é dada por |v|d

Mas também é |AB x v|

Daí d= |AB x v| / |v|

Exercício

Calcular a distância de P(1,2,3) à reta r:x=1-2t,y=2t,z=2-t

Calcular a distância de P(1,2,3) à cada um dos eixos coordenados

Seja o triângulo ABC, A(-3,1,4), B(-4,-1,0) e C(-4,3,5)

Calcular a altura relativa ao lado BC

Distância entre duas retas

Caso as retas sejam concorrentes d(r,s)=0

Retas Paralelas

d(r,s)=d(p,s)

d

r

s

p

Retas Reversas

Sejam r:p1(x1,y1,z1),u=(a1,b1,c1) e s:p2(x2,y2,z2),v=(a2,b2,c2) retas reversas

Os vetores u, v e p1p2 determinam um paralelepípedo

Volume = base . Altura = |u x v| . Altura

Altura = d(r,s)

Como calcular o volume?

|[u,v,p1p2]|=|u x v|*d(r,s)

d(r,s)=|[u,v,p1p2]|/|u x v|

Exercício

Calcular a distância entre as retas r:x=0,y=z e s:y=3,z=2x

Calcular a distancia entre r que passa pelos pontos A(1,0,1) e B(-1,-1,0) s que passa pelos pontos C(0,1,-2) e D(1,1,1)

Calcular a distância entre r:x=y=z-2 e s:y=x+1,z=x-3

Distância de um ponto a um plano

Seja um ponto B(x0,y0,z0) e um plano π ax+by+cz+d=0

P A

Bn

π

P є π, A є π é o pé da perpendicular baixada de B sobre o plano π

Note que o vetor AB é a projeção do vetor PB sobre o vetor normal n=(a,b,c)

Assim, d(B,π)=|AB| = proj n PB = |(PB.n°)n°| = |PB . n| / |n|

222

|)0()0()0(|),(

cba

zzcyybxxaBd

222

|)000|

cba

czbyaxczbyax

Como P є π ax+by+cz+d=0 -> d=-ax-by-cz

222

|000|),(

cba

dczbyaxBd

Exercício

Calcule d(P(2,-1,2),π) onde π:2x-y-z+3=0

Calcule d(P(2,-1,2),π) onde π:2x+y=3

Calcule d(A,π) onde A(0,0,0) e π:x=2-h+2t,y=1+3h-t,z=-t

Escrever as equações dos planos π’ paralelo ao plano π 3x-2y-6z-5=0 que distam 5 unidades da origem

Distância entre 2 planos

A distância entre 2 planos é definida somente quando os planos são paralelos

d(\pi1,\pi2)=d(P,\pi2) com P \in pi1

Calcular a distância entre os planos paralelos: π1:2x+2y+2z-5=0 e π2:x+y+z-3=0

Distância de uma reta a um plano

Temos que ter r//π e neste caso d(r,π) = d(P,π) com P є r

Determinar a distância da reta r:x=3,y=4 ao plano xOz

Determinar a distância da reta r:x=3,y=4 ao plano yOz

Determinar a distância da reta r:x=3,y=4 ao eixo z