DISTÂNCIAS - .Manual de Geometria Descritiva -António Galrinho Distâncias 1 8 DISTÂNCIAS Neste

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  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 1

    8

    DISTNCIAS

    Neste captulo estuda-se uma das partes dos Problemas Mtricos (a outra

    o captulo ngulos). Apresentam-se as vrias possibilidades de conjugar

    pontos, rectas e planos e mostra-se como se determina a distncia entre

    essas figuras. Para o estudo deste captulo convm ter um bom conheci-

    mento dos Mtodos Geomtricos Auxiliares.

    Sumrio:

    2 e 3. As distncias no espao

    4. Distncias entre pontos com uma coordenada igual

    5. Distncias entre pontos sem coordenadas iguais

    6. Distncia entre um ponto e um plano projectante

    7 e 8. Distncia entre um ponto e plano de rampa

    9 e 10. Distncia entre um ponto e um plano oblquo

    11. Distncias entre planos projectantes

    12 e 13. Distncia entre planos de rampa

    14 e 15. Distncia entre planos oblquos

    16. Distncia entre uma recta e um plano projectante

    17. Distncia entre uma recta e um plano de rampa

    18. Distncia entre uma recta e um plano oblquo

    19. Distncias de resoluo directa entre um plano e uma recta

    20. Distncias entre um ponto e as rectas horizontal, frontal e

    fronto-horizontal

    21. Distncia entre um ponto e uma recta de perfil

    22. Distncia entre um ponto e uma recta oblqua

    23. Distncias de resoluo directa entre rectas paralelas

    24. Distncias entre rectas fronto-horizontais, oblquas, horizontais e

    frontais paralelas

    25. Distncia entre rectas de perfil paralelas

    26. Distncias de resoluo directa entre rectas enviesadas

    27 e 28. Distncia entre rectas oblquas enviesadas

    29. Distncia entre um ponto e um plano definido por rectas

    30. Distncia entre uma recta e um plano definido por rectas

    31. Distncia entre planos definidos por rectas

    32, 33 e 34. Exerccios

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 2

    As distncias no espao

    Neste captulo estudam-se distncias entre: dois pontos; um ponto e um plano; dois planos; um pon-

    to e uma recta; duas rectas; uma recta e um plano.

    Distncia entre dois pontos

    A distncia entre dois pontos corresponde ao tama-nho do segmento de recta que tem esses pontos como extremos.

    A

    B

    Distncia entre um ponto e um plano

    A distncia entre um ponto e um plano a medida do segmento de recta que tem como extremos esse ponto e o ponto do plano que lhe fica mais prximo. Este obtm-se passando pelo ponto dado uma recta perpendicular ao plano, que o vai inter-sectar.

    C

    I

    p

    Distncia entre dois planos

    A distncia entre dois planos a medida de um segmento de recta cujos extremos so os pontos de interseco de uma recta com os planos, sendo essa recta perpendicular aos planos.

    I

    I

    p

    p

    p

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 3

    Nas projeces veremos que as distncias nem sempre se determinam da forma directa e simples

    que estes esquemas aparentam, sendo muitas vezes necessrio aplicar mtodos auxiliares.

    Distncia entre uma recta e um plano

    A distncia entre uma recta e um plano a medida dum segmento de recta perpendicular a ambas as figuras, cujos extremos se situam em cada uma delas. Esse segmento obtm-se intersectando uma recta perpendicular a ambos os elementos.

    I

    I

    p

    r

    r //

    p

    a

    b

    I

    I

    Distncia entre duas rectas paralelas

    A distncia entre duas rectas paralelas a medida de um segmento de recta perpendicular a ambas, com um extremo em cada uma das rectas. Esse segmento pode obter-se cruzando pelas rectas dadas uma recta perpendicular e concorrente com ambas.

    p

    r

    S

    I

    Distncia entre um ponto e uma recta

    A distncia entre estes elementos a medida do segmento de recta perpendicular recta, tendo como extremos o ponto dado e o ponto da recta que lhe fica mais prximo. Esse segmento pode obter-se passando pelo ponto dado uma recta per-pendicular e concorrente com a dada.

    p

    r

    s

    I

    I

    Distncia entre duas rectas enviesadas

    A distncia entre duas rectas enviesadas obtm-se aqui atravs de uma recta perpendicular e concor-rente com ambas. Dos pontos de interseco resul-ta o segmento mais curto entre estas rectas.

    p r

    p r

    p a b

    p r s

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 4

    Distncias entre pontos com uma coordenada igual

    Nesta pgina mostra-se como se determina a verdadeira grandeza (VG) da distncia entre dois pon-

    tos que tm em comum a medida de, pelo menos, uma das coordenadas.

    Para mais fcil visualizao, aqui optou-se por unir os pontos, transformando-os num segmento de

    recta.

    x

    Verdadeira grandeza de segmentos de recta paralelos aos planos de projeco

    Nos segmentos paralelos aos planos de projeco, a VG determina-se directamente. Um segmento que se pro-jecta num plano ao qual paralelo mantm o seu tamanho real nessa projeco. O segmento fronto-horizontal, mantm a VG em ambas as projeces, j que paralelo a ambos os planos de projeco; neste caso basta indicar a VG apenas numa delas.

    x

    Verdadeira grandeza de um segmento de recta de perfil

    O segmento de recta de perfil paralelo ao plano lateral de projeco, por isso a sua projeco nesse plano apresenta-se em VG. Este exerccio pode tambm ser resolvido por qualquer dos processos que se mostram na pgina seguinte, aplicados ao segmento de recta oblquo.

    A2 B2

    A1

    B1

    VG

    C2

    D2

    G1H1

    VG

    C1 D1

    VG

    G2

    H2

    I2 J2

    I1 J1

    VG

    VG

    E2F2

    D1

    E1

    VG

    yz

    VG

    K2 K3

    L2

    K1

    L1

    L3

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 5

    Verdadeira grandeza de um segmento de recta oblquo, utilizando rebatimentos

    So mostradas aqui duas maneiras de rebater o segmento de recta. No primeiro caso rebateu-se para o PHP o plano de topo que contm o segmento; no segundo fez-se um rebatimento lateral, simplificado, para o plano horizontal que contm um dos pontos, sem indicao do plano que rebate nem de charneira.

    Verdadeira grandeza de um segmento de recta oblquo, com rotaes e mudanas de planos

    No primeiro caso aplicou-se uma rotao, colocando o segmento horizontal com um eixo de topo. No segundo caso fez-se um mudana do PFP tornando o segmento de recta frontal.

    Distncias entre pontos sem coordenadas iguais

    Quando nenhuma das coordenadas dos pontos tem valor igual, estamos perante um segmento de

    recta oblquo. Para determinar a sua verdadeira grandeza utilizam-se processos geomtricos auxilia-

    res: rebatimentos, rotaes ou mudanas de planos. Estes processos tambm se podem aplicar ao

    segmento de recta de perfil.

    VG

    A2

    A1

    B2

    B1

    AR

    BR

    xfR

    hhR

    f

    D2

    D1DR

    C2

    C1

    = (f)

    VG

    =

    CR

    E2

    E1

    G2Gr2(e2)

    B1Br1

    Er2

    Er1

    VG

    e1

    x

    J2

    J1

    L1

    L2 =

    =

    J4

    L4 VG

    x

    x // [J1L1]

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 6

    Distncia entre um ponto e um plano projectante

    A verdadeira grandeza da distncia entre um ponto e um plano determina-se directamente sempre

    que o plano projectante, bastando traar um segmento de recta na perpendicular ao trao do plano

    sobre o qual ele projectante.

    Distncia entre um ponto e os planos horizontal, frontal e de perfil

    Se o plano for projectante frontal a VG da distncia encontra-se entre o seu trao frontal e a projeco frontal do ponto; se o plano for projectante horizontal encontra-se entre o trao horizontal e a projeco horizontal do ponto; no caso do plano de perfil, que duplamente projectante, pode marcar-se a partir de qualquer uma das projeces do ponto, uma vez que as distncias aos traos do plano so iguais.

    x

    (f)

    A2

    A1

    VG VG

    VG

    C2

    C1

    fh

    Distncia entre um ponto e os planos de topo e vertical

    No plano de topo (que projectante frontal) a VG da distncia marca-se na perpendicular entre a projeco frontal do ponto e o trao frontal do plano; no plano vertical (projectante horizontal) a VG marca-se entre a pro-jeco horizontal do ponto e o trao horizontal do plano. No primeiro caso indica-se tambm o ponto do plano que fica mais prximo do ponto dado.

    x

    VG

    B2

    B1

    f

    h

    (h)

    B2

    B1

    VG

    D2

    D1

    VG

    f

    h

    Q1

    Q2

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 7

    Distncia entre um ponto e um plano de rampa

    Mostra-se aqui como se pode determinar a VG da distncia entre um ponto e um plano de rampa

    utilizando o plano lateral de projeco e o rebatimento.

    x

    Distncia entre um ponto e um plano de rampa, utilizando o plano lateral de projeco

    Para determinar a VG da distncia entre um ponto e um plano de rampa recorre-se aqui projeco lateral do ponto e ao trao lateral do plano, que se marca na perpendicular a esse trao do plano. Determina-se aqui tam-bm o ponto do plano que fica mais prximo do ponto dado.

    yz

    h

    f

    l

    VG

    P2

    P1

    P3

    Distncia entre um ponto e um plano de rampa, utilizando um rebat